– 63 –

Podstawy matematyki dla informatyków

Wstęp do logiki

Proponowana literatura

Podręczniki:

[1] Alonzo Church, Introduction to Matematical Logic, Princeton University Press, 1956[2] Andrzej Grzegorczyk, Zarys logiki matematycznej, W-wa 1969,[3] Andrzej Mostowski, Logika matematyczna, Monografie Matematyczne t. XVIII, W-wa 1948,[4] Jerzy Tiuryn, Wstęp do teorii mnogości i logiki, Wrocław 2000,[5] Helena Rasiowa, Roman Sikorski The mathematics of methamathematics, Monografie Ma-tematyczne t. XLI, PWN W-wa 1968,

[7] Helena Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej, PWN W-wa 2003,[7] Zofia Adamowicz, Paweł Zbierski, Logika matematyczna, PWN W-wa 1991,[8] Agnieszka Wojciechowska, Elementy logiki i teorii mnogości, PWN W-wa 1979.

Zbiory zadań:

[1] Igor A. Ławrow, Łarisa L. Maksimowa, Zadania z teorii mnogości, logiki matematycznej iteorii algorytmów, PWN W-wa 2004,

[2] Janusz Onyszkiewicz, Wiktor Marek, Elementy logiki i teorii mnogości, PWN W-wa 2004.

– 64 –

Zarys historii logiki

Słowo logika jest dziś używane tak często, że trudno sobie wyobrazić możliwość dyskusjiczy też jakichkolwiek badań bez odwoływania się do treści jakie słowo to oznacza. Na ogółwypowiadane jest ono bezrefleksyjnie i zwykle w sytuacji, która ma podkreślić poprawnośćwywodu mówcy, bądź wykazania braku takiej poprawności u adwersarza. Tego rodzaju odwo-łanie wydaje się argumentem ostatecznym, który rozstrzyga o sensie lub jego braku w przed-stawianej argumentacji.

Droga myśli ludzkiej do stanu, gdy zaczęły funkcjonować zasady logiki jest, patrząc narozwój cywilizacji ludzkiej, dość długa. Zwykle logika kojarzona jest z konsekwencją wywodu, akonsekwencji takiej wymagała od zawsze matematyka. Stąd podwaliny rozumowania zwanegodzisiaj logicznym znajdujemy w zachowanych pracach matematyków, gdzie dodajmy, matematykówczesny to nie tylko matematyk w dzisiejszym rozumieniu, ale często także filozof, astronom ifizyk.

W matematyce przedgerckiej, której materialne dowody istnienia są dziś znane, choćbypoprzez wytworzone przez tę matematykę pojęcia takie jak pojęcie liczby całkowitej i miarywielkości, z którymi spotykamy się w dokumentach egipskich czy chaldejskich, pojęcia logicz-ne nie są wyraźnie eksponowane. Jednak bez elementów rozumowania logicznego nie byłobywyników babilońskiej algebry, której rezultaty dawały możliwość rozwiązywania zagadnień prak-tycznych. Chociaż wyniki matematyków przedgreckich nie zawierały dowodów w dzisiejszymrozumieniu, to zawierały one wysoki poziom ogólności, dziś powiedzielibyśmy – abstrakcji.Wyniki te nie powstałyby, gdyby nie istniał pewien poziom powiązań logicznych. Możemyzatem mówić o pewnej intuicjonistycznej logice, pozbawionej formalizmów.

Najstasze ślady cywilizacji, co do których istnieje dokumentacja materialna określa się naokoło 3 000 lat przed Chrystusem. Dotyczą one starożytnego Egiptu oraz Babilonu. Niemalrównocześnie z nimi rozwijały się kultury na terenach dzisiejszych Indii i Chin. Zachowały się zowych czasów nieliczne dokumenty zawierające świadectwa istnienia na tych terenach pierwszychprób rozwiązywania problemów praktycznych z pomocą matematyki. W papirusach egipskichinformacje przekazywane są już w postaci zdań. To prawda, że dokumenty te sporządzali naj-bardziej wykształceni mieszkańcy Egiptu – pisarze, wykształceni w szkołach zwanych uroczyścieszkołami życia. Jednak jak to zauważyliśmy poprzednio bardziej wykształceni ludzie posługiwalisię zdaniami. Współcześnie zaś można odnieść wrażenie, że tylko niewielka część populacjiludzkiej posługuje się zdaniami jako sposobem komunikowania.

Międzi innymi potrzeba zaprowadzenia porządku formalnego w języku codziennym byłapowodem rozwoju nauki, w tym rozwoju wiedzy na temat tworzenia i oceny zdań. Wraz zrozwojem cywilizacyjnym ludzkości pojawia się refleksja nad zasadami poprawnego myślenia iwystępuje w dziejach myśli ludzkiej w mniej skrystalizowanej formie od wczesnej starożytności.Dotyczy to nie tylko jednego ośrodka kultury, bo dzieje się tak w Chinach w okresie od V do IIIwieku przed naszą erą, a także w Indiach, gdzie powstała bramińska szkoła njaja oraz buddyjskaszkoła madhjamików. W Grecji w wiekach V i IV przed Chrystusem powstała i rozwijała sięlogika, jako pomocnicza dyscyplina naukowa, użyteczna przy przeprowadzani dowodów, uzasad-nianiu i obalaniu twierdzeń. Z kolei Euklides żyjący w IV wieku przed Chrystusem przedstawił

– 65 –

geometrię jako teorię aksjomatyczną, posługiwał się także dowodami apagogicznymi. Natomiastpoczątki rachunku zdań występują w pracach Chryzypa z III wieku p.n.e. [9].

Matematyka grecka zasłużyła się między innymi tym, że dążyła do sformalizowania i upo-rządkowania dowodów matematycznych. Ponadto starano się o uporządkowania wiedzy mate-matycznej w ten sposób, by przejście od od jednego do następnego etapu nie pozostawiałomiejsce dla wątpliwości i było powszechnie odbierane jako poprawne. Od czasów Archimedesamamy zaś do czynienia z uzasadnieniami znalezionych wyników, które w niczym zasadniczymnie różnią się od współczesnych dowodów. Należy podkreślić, że dedukcyjne metody badawczemożna dostrzec w ostatecznej niemal postaci w szkole pitagorejskiej. Od metody dedukcyjnejrozpoczyna się istnienie logiki formalnej, mającej jako swoisty wzorzec matematykę. W efekcierozwijania logiki formalnej zostają skonstruowane sformalizowane języki, a jednocześnie wynikiuzyskane w logice formalnej dają impuls do badań nad podstawami matematyki – z tym, że teostatnie prace zostały rozpoczęte dopiero w XIX wieku.

Filozofowie greccy strarali się znaleźć metody porządkujące myśl ludzką, w sczególnościdotyczyło to sposobów wyrażania się, czego wyrazem była retoryka. Mówiąc wprost poszuki-wano tego, co dziś nazywamy logiką. Wynikiem tych poszukiwań jest coraz większa jasnośći precyzja wywodu. Pojawiają się wtedy pierwsze zasady mogące stanowić podstawę dialek-tyki. Prekursorami są tu Parmenides i Zenon z Elei. Ważną rolę w rozwoju logiki odegraływ starożytnej Grecji praktyki krasomówcze, które zmuszały oratorów do analizy języka. Natym polu główne zasługi położyli sofiści. Z kolei Arystoteles uczeń Platona, stworzył dzieło, wktórym dokonał systematyzacji sposobów rozumowania oraz kodyfikacji tych reguł. Arystotelespierwszy odkrył pewne szczególne reguły konstrukcji złożonych zdań orzekających, prowadzącedo zdań złożonych, które są prawdziwe niezależnie od tego jakie konkretne zdania orzekającezostały użyte jako zdania składowe. Uniwersalizm prac Arystotelesa polegał głównie na tym, żewskazał on sposób w jaki każde poprawne rozumowanie można sprowadzić do stosowania pewnejniewielkiej liczby reguł niezależnych od natury obiektów, których one dotyczą. Te reguły kon-strukcji zdań złożonych zwane są sylogizmami Arystotelesa [6]. Współcześnie sylogizmy należądo rachunku kwantyfikatorów i są zwykle objaśniane przy omawianiu rachunku kwantyfikatorów.Wkładem Arystotelesa w rozwój logiki jest także to, że po raz pierwszy rozgraniczył on rolęzdań ogólnych od roli zdań szczegółowych. Dziś możemy powiedzieć, że dał od podstawy dlapóźniejszego wprowadzenia kwantyfikatorów.

Grono filozofów zwanych perypatetykami, które rywalizując ze stoikami stworzyło to, co dziśnazywamy rachunkiem zdań. Zasługa tych filozofów polega na analizie zdań nieokreślonych tj.takich, które dziś wyrażamy posługując się symboliką literową. Zbudowali oni ponadto kanonreguł niemożliwych do dowiedzenia przy użyciu metod jakie dziś uważamy za nowoczesne. Jed-nakże ich sposoby rozumowania uległy po niedługim czasie zapomnieniu. Dopiero dziwiętnasto-wieczni logicy odnaleźli w tych wynikach drogę wiodącą do logiki jaką posługujemy się współ-cześnie. To od dziewiętnastowiecznych logików pochodzą uniwersalne schematy konstrukcji zdańorzekających, prawdziwych niezależnie od treści składowych zdań orzekających. Takimi właśniezdaniami zajmuje się rachunek zdań.

Rozwój algebry doprowadził do sytuacji, w której same nasuwały się analogie w stosunkudo logiki. Tak w logice formalnej jak i w algebrze występowały prawa odnoszące się do tzw.obiektów nie sprecyzowanych – w jednym przypadku zdań w drugim liczb. Po uporządkowaniu

– 66 –

symboliki logicznej w XVII wieku (co głównie było dziełem Viete’a i Kartezjusza) zaczęły po-jawiać się próby pisma symbolicznego, którego celem było przedstawienie operacji logicznych.Jednak dopiero Leibniz dokonał w tym procesie istotnego postępu. Należy podkreślić, że byłon zarówno wybitnym filozofem jak i matematykiem. Jego zainteresowania formalizacją językai myśli dawały ciągły impuls do badań nad logiką formalną. W wielu próbach uporządkowaniadotychczasowych osiągnięć logiki Leibniz odwoływał się do swoich doświadczeń algebraicznych.Jednym z ważniejszych jego osiągnięć na tym polu jest przedstawienie praw rachunku zbiorów zwykorzystaniem praw logiki. Z jednej strony dało to impuls do poszukiwania nowych wynikówna gruncie algebry, z drugiej zaś było powodem modyfikacji języka logiki. W konsekwencji praceLeibniza doprowadziły do zainteresowania tematyką logiczną wielu myślicieli, wśród którychGeorge Boole może być uważany bezspornie za twórcę nowożytnej symboliki logicznej i nowożyt-nej logiki. Dodajmy, że jest wtedy wiek dziewiętnasty. Wprowadzone przez Boole’a operacjezwane od jego nazwiska boolowskimi pozwalają na powiązanie problemów algebraicznych z prob-lemami logicznymi. Kolejny etap to wprowadzenie zmiennych i kwantyfikatorów, co jest zasługąFregego i Pierce’a. W tym przypadku motywacja była jasno sprecyzowana. Chodziło o zas-tosowanie logiki do podstaw matematyki. Z kolei Peano przystąpił do budowy sformalizowanegojęzyka matematyki przy użyciu, którego wyraził wszystkie najważniejsze jej osiągnięcia. Choćcel ten wydawał się dość utylitarny, to doprowadził w efekcie do przyjęcia przez matematykównie tylko symboliki Peano, ale również wielu wprowadzonych przez niego pojęć. Prace Fregegoi Peana doprowadziły do takiego stadium, w którym możliwe było sprecyzowanie elementówjęzyków sformalizowanych używanych współcześnie. Ukoronowaniem tej drogi były wyniki za-warte w dziele „Principia Mathematica” autorstwa Russela i Whiteheada. W tym przypadkunastąpiło połączenie wszystkich dobrych cech prac Fregego i Peana. Wyniki tych logikówstanowią filar wszystkich używanych obecnie języków formalnych.Podsumowując, zauważmy jak długą drogę przebyć musiał ludzki umysł i to umysł niepoś-

ledni, by wypracować język komunikacji wolny od szczegółowych cech opisywanych obiektów.Droga rozwoju logiki, to równocześnie droga poszukiwania abstrakcyjnych, a więc przez toobiektywnych, środków opisu zjawisk. Z dzisiejszego punktu widzenia niektóre problemy lo-giczne badane w przeszłości wydają się nieistotne, czy łatwe. Jednak docenić należy geniuszumysłów ludzi, którzy otworzyli drogę do rozwoju myśli. Dziś nikt z użytkowników sprzętuelektronicznego nie zastanawia się nad głębią myśli, która doprowadziła do jego skonstruowa-nia. Sformułowania „sprzęt nowoczesny”, „nowoczesny program”, „współczesna informatyka”,„postęp w naukach biologicznych” na ogół przyjmowane są bezrefleksyjnie. Nie byłoby ich napewno, gdyby zabrakło metody opisu, narzędzi wnioskowania, czy wreszcie sposobu na wyrażeniemyśli. Zatem jeśli istnieje jakieś określenie opisujące nieformalnie logikę, to jest ona z pewnościąsystemem nerwowym dla organizmu jaki stanowią ludzkie myśli. Skoro już patrzymy w tensposób na przedmiot, któremu poświęcimy przynajmniej jeden semestr, to popatrzmy równieżna niego jako na dziedzictwo ludzkiej myśli w jej najlepszym wydaniu.

– 67 –

Literatura

[1] N. Bourbaki – Elementy historii matematyki, PWN Warszawa 1980,

[2] A.P. Juszkiewicz – Historia matematyki (od czasów najdawniejszych do początku czasównowożytnich), Tom 1, PWN Warszawa 1975,

[3] S. Kulczycki – Z dziejów matematyki greckiej, PWN 1973

[4] I. Lakatos – Proofs and Refutations. The Logic of Mathematical Discovery, CambridgeUniversity Press, 1976,

[5] V. Lackshmikantham and A.S. Vatsala – The origin of mathematics, Nonlinear Studies,Vol. 5, No. 2, 1998,

[6] A. Mostowski – Logika matematyczna, Monografie Matematyczne t. XVII, str. 125-129

[7] R. Murawski – Filozofia matematyki – zarys dziejów, Wydawnictwo Naukowe PWN 1995,

[8] Wielka Encyklopedia Powszechna PWN, Tom 5, str. 296,

[9] Wielka Encyklopedia Powszechna PWN, Tom 6, str. 583,

Ważne osoby i daty w rozwoju logiki

• ARYSTOTELES, (∗384 r. przed Chrystusem, Stagina w Macedonii – † 322 p. Chrystusem,Chalcis na greckiej wyspie Euboea), części mowy, sylogistyka.

• EUKLIDES, (∗325 r. przed Chrystusem, Alexandria w Egipcie – †265 r. przed Chrystusem,Alekandria w Egipcie), geometria jako teoria aksjomatyczna, dowód nie wsprost (apago-giczny) (często mylony z Euklidesem z Megary, filozofem badającym istotę dobra, który żyłokoło 100 lat wcześniej).

• stoicy, CHRYZYP, (∗260 r przed Chrystusem, Soloj w Cylicji – †206 Soloj), początkirachunku zdań.

• John Duns SCOTUS, (∗1266, Duns hrabstwo Lothian w Szkocji – †1308, Kolonia w Niem-czech), (franciszkanin), prawo: �∼ p→ (p→ q).

• Christopher CLAVIUS, (∗1538, Bamberg w Bawarii – †1618, Rzym), (jezuita), komentatorEuklidesa, prawo: � (∼ p→ p)→ p.

• Nikołaj Iwanowicz ŁOBACZEWSKI (∗1792 Niżnyj Nowgorod w Rosji–†1856 Kazań wRosji), Janos BOLYAI (∗1802 Koloszvar w Austowęgrzech obecnie Cluj w Rumunii –†1860 Marosvasarheley w Austrowęgrzech obecnie Targu Mures w Rumunii), każdy z nichniezależnie wskazał na niepełność (niezupełność) teorii aksjomatycznych, pierwszym przy-kładem była geometria nieeuklidesowa.

• George BOOLE (∗1815 Lincoln hrabstwo Lincolnshire w Anglii–†1864 Ballintemple hrab-stwo Country Cork w Irlandii), „The Mathematical Analysis of Logic” (1847), „An Inves-tigation of the Laws of Thought” (1854).

• Julius Wilhelm Richard DEDEKIND (∗1831 Braunschweig w Niemczech –†1916 Braun-schweig w Niemczech), nowoczesna teoria liczb algebraicznych, prakroje Dedekinda.

• Ernst SCHRODER (∗1841 Manheim w Niemczech –†1902 Karlsruhe w Niemczech), metodazoro-jedynkowa, tabelki Schrodera.

– 68 –

• Georg Ferdynand Ludwig CANTOR (∗1845 St Petersburg w Rosji –†1918 Halle w Niem-czech), twórca teorii mnogości, która wpłynęła na rozwój całej matematyki, a w szczególnoś-ci na podstawy współczesnej analizy matematycznej, konstrukcja Cantora liczb rzeczy-wistych.

• Friedriech Ludwig Gottlob FREGE (∗1848 Wismar w Mecklenburgii-Schwerinie w Niem-czech –†1925 Bad Kleinen w Niemczech), pierwsze ujęcie rachunku zdań jako sformali-zowanej teorii aksjomatycznej.

• Giuseppe PEANO (∗1858 Cuneo na Sardynii – †1932 Turyn we Włoszech), atytmetykajako teoria aksjomatyczna sformalizowana (Arytmetyka Peano).

• David HILBERT (∗1862 Królewiec w Prusach Wschodnich – †1943 Getynga w Niemczech),jego badania nad podstawami geometrii (1898-1902) zapoczątkowały nowoczesną, aksjo-matyczną budowę teorii matematycznych (23 problemy Hilberta, teoria spektralna opera-torów liniowych – podstawowy aparat mechaniki kwantowej).

• Bertrand Arthur William RUSSEL (∗1872 Ravenscroft w Walii – †1970 Penrhyndendraethw Walii), w 1902 r analizując zaproponowany przez Fregego system logicznych podstawmatematyki zauważył w nim sprzeczność polegającą na tzw. paradoksie klas (antynomiaRussella), w 1903 ogłosił „Principles of Mathematics”, w których starał się sprowadzićteorię mnogości, a nawet całą matematykę do logiki, w 1908 r stworzył zasady tzw. teoriitypów logicznych. W latach 1910-1913 B.A.W. Russell wraz z Alfredem North Whitehea-dem (∗ 1861 Ramsgate hrabstwo Kent w Anglii – † 1847 Cambridge w Massachusetts USA)napisali i opublikowali „Principia Mathematica” (t. I–III), w której ideą przewodnią byłoposzukiwanie podstaw matematyki w zasadach logicznych, rezultatem zaś przedstawieniematematyki w postaci systemu sformalizowanego oraz nadanie współczesnego kształtu log-ice matematycznej.

• Kurt GODEL (∗1906 Brunn w Austrowęgrzech obecnie Brno w Czechach –†1978 Princetonw stanie Nowy Jork w USA), niepełność teorii aksjomatycznych sformalizowanych zawiera-jących arytmetykę.

• Paul Joseph COHEN (∗1934 Long Branch, New Jersey), niezależność hipotezy continuum(1963), medal Fieldsa w 1966.

�

Przedstawiony tekst powstał dzięki pomocy Pana Profesora Jana Kisyńskiego, pierwszegowykładowcy przedmiotu Logika i teoria mnogości na kierunku Informatyka Wydziału Elek-trotechniki i Informatyki Politechniki Lubelskiej.

– 69 –

11. Klasyczny rachunek zdań

Prezentowany obecnie klasyczny rachunek zdań jest teorią matematyczną opisującą wyni-kanie i zaprzeczanie na gruncie formuł zdaniowych. Istnieje wiele sposobów przedstawianiaklasycznego rachunku zdań, wśród nich zamieszcony w klasycznej już książce Alonzo Churcha1 iokreślony jako „system logiczny P2”. W systemie tym znakami, z których budowane są formułyzdaniowe są cztery znaki:

(, →, ), ∼

oraz litery

p, q, r, s, p1, q1, r1, s1, p2, . . .

których liczba jest nieograniczona, ale przeliczalna i, które nazywamy zmiennymi zdaniowymi.Z wymienionych znaków tworzone są formuły zdaniowe dobrze zbudowane (fdz) przy czymspełnione są równocześnie następujące reguły:

(i) pojedyncza zmienna jest fdz;

(ii) jeśli Γ oraz ∆ są fdz, to (Γ→ ∆) jest fdz;(iii) jeśli Γ jest fdz, to ∼ Γ jest fdz Przyjmujemy umowę, że pierwszy i ostatni nawias w fdzmożna opuścić.

Aksjomaty

Przyjmijmy umowę, że zamiast mówić formuły zdaniowe będziemy mówić krótko: formuły.Powodem tego jest fakt, że wszystkie formuły w P2 są formułami zdaniowymi więc taki zwrotnie prowadzi do nieporozumień.

W systemie logicznym P2 aksjomatami są następujące formuły :

(A1) p→ (q → p) – prawo symplifikacji;

(A2)(p→ (q → r)

)→

((p→ q)→ (p→ r)

)– prawo samorozdzielności implikacji;

(A3) (∼ q →∼ p)→ (p→ q) – prawo kontrapozycji.

Mówimy, że zbiór Z formuł rachunku zdań P2 jest zamknięty ze względu na podstawianiewtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej formuły F ∈ Z, w której występuje zmienna p i dla każdejformuły G do Z należy formuła otrzymana z F wskutek podstawienia G w miejsce zmiennej pwszędzie tam, gdzie p występuje w F .

Mówimy, że zbiór Z formuł rachunku zdań P2 jest zamknięty ze względu na odrywaniewtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi warunek: jeśli F i G są formułami rachunku zdań P2 takimi,że F ∈ Z oraz (F → G) ∈ Z, to G ∈ Z.

Przez zbiór twierdzeń rachunku zdań P2 rozumiemy najmniejszy zbiór formuł rachunku zdańP2 zawierający aksjomaty (A1), (A2) i (A3) zamknięty ze względu na podstawianie i odrywanie.Fakt, że formuła F jest twierdzeniem oznaczamy pisząc:

� F.

1Alonzo Curch, Introduction to Matematical Logic, Princeton University Press, 1956

– 70 –

Mówimy, że formuła F rachunku zdań P2 jest twierdzeniem rachunku zdań P2 wtedy i tylkowtedy, gdy istnieje skończony ciąg F1, F2, . . . Fn formuł rachunku zdań P2 spełniający warunki:

D-1 F1 jest aksjomatem, lub powstaje z aksjomatu wskutek podstawienia;

D-2 jeśli k ∈ {2, . . . , n}, to Fk powstaje z A1, A2, A3, F1, . . . Fk−1 poprzez podstawianie i odry-wanie;

D-3 Fn = F tj. formuły Fn oraz F są identyczne.

Ciąg formuł F1, . . . , Fn o takich własnościach nazywamy dowodem formuły F w rachunkuzdań P2. Możemy zatem powiedzieć, że zbiór twierdzeń rachunku P2 jest identyczny ze zbioremtych wszystkich formuł, które mają dowody.2

W przedstawionej formalizacji rachunku zdań dysponujemy trzema aksjomatami A1, A2, A3

oraz dwiema regułami wnioskowania: regułą podstawiania i regułą odrywania (modus ponens).

Regułę podstawiania możemy zapisać następująco:

jeśli � F oraz G jest formułą i � (F → G), to � G.

Jeśli F i G są fdz rachunku zdań P2 oraz w F występuje zmienna p, to:

(i) podstawienie w F formuły (G) zamiast p w jednym tylko miejscu, w którymwystępuje pprowadzi do fdz;

(ii) równoczesne podstawienie w F formuły (G) zamiast p we wszystkich miejscach jej występo-wania prowadzi do fdz, co wyrażamy pisząc: F (G/p) lub niekiedy F pG. Ponadto, z uwagina zamkniętośc zbioru twierdzeń ze względu na podstawienie, jeśli � F , to � F (G/p).

Równoważność formalizacji P2 rachunku zdań z formalizacją za pomocą trzechschematów aksjomatów i jednej tylko reguły odrywania

W tej części wykładu przedstawimy metodę eleiminacji reguły podstawiania, rozumianejjako regułę podstawiania formuł zdaniowych w miejsce zmiennych zdaniowych.

Dla każdych dobrze zbudowanych formuł F , G, H rachunku zdań aksjomatami są:

(A1) F → (G→ F );(A2)

(F → (G→ H)

)→

((F → G)→ (F → H)

);

(A3) (∼ G→∼ F )→ (F → G).Nieskończony zbiór tych aksjomatów oznaczamy symbolem {LOG}.Jeśli T jest dowolnym zbiorem formuł (dobrze zbudowanych) rachunku zdań, to przyjmu-

jemy definicję:

Cnq(T ) def=∞⋃n=0

Tn

T0 =T ∪ {LOG}Tn+1 ={G : istnieje F ∈ Tn oraz (F → G) ∈ Tn}

2Zdanie to przypomina anegdote↪ o wynalezieniu zarowki. Otoz, mi�losnicy ,,poste↪pu” twierdzili,ze autorem tego wynalazku by�l genialny samouk rosyjski �Lodygin. Jemu to przypisywali prymatnad Thomasem Edisonem. Z�losliwcy twierdza↪ jednak, ze chociaz �Lodygin wynalaz�l zarowke↪, tozarowke↪ ktora swieci�la wynalz�l Thomas Edison.

– 71 –

Lemat 1. Zbiór Cnq(∅) jest identyczny ze zbiorem Z twierdzeń rachunku P2.3

Dowód. Dowiedziemy, że T0 ⊂ Z ze względu na zamkniętość Z na podstawienie (przy-pomnijmy, że Z jest zbiorem formuł rachunku zdań P2). Postępując przez indukcję względemn udowodnimy, że Tn ⊂ Z dla wszystkich n ∈ {1, 2, . . .}.Jeżeli Tn ⊂ Z, F ∈ Tn i (F → G) ∈ Tn, to F jest prawem rachunku zdań czyli � F , i

oraz (F → G) jest prawem rachunku zdań czyli � (F → G), a więc G jest prawem rachunkuzdań – tj. � G, czyli G ∈ Z, na podstawie reguły odrywania. Zatem Tn+1 ⊂ Z. W rezultacieCnq(∅) ⊂ Z.Wykażemy teraz, że Z ⊂ Cnq(∅). Jeżeli F ∈ Z (co oznacza, że F jest formułą rachunku

zdań P2) tj., gdy � F , to F ma w P2 dowód będący skończonym ciągiem F1, F2, . . . Fn = F

twierdzeń P2 spełniającym własności D-1, D-2 i D-3 przedstawione poprzednio. Przez in-dukukcję względem k ∈ {1, 2, . . . , n} (skończoną, a zatem nie wymagającą powoływania się naZasadę Indukcji Matematycznej) pokażemy, że Fk ∈ Cnq(∅).Mamy:

1◦ F1 ∈ {LOG} ⊂ Cnq(∅) na mocy D-1.Ponadto

2◦ jeżeli {F1, F2, . . . , Fk−1} ∈ Cnq(∅), to rozróżniamy dwa przypadki:(i) jeśli Fk powstaje z Fl, przy l < k i Fm = (Fl → Fk) przy m < k przez odrywanie, to

Fk ∈ Cnq(∅) na podstawie definicji Cnq(∅);(ii) jeśli Fk powstaje z Fl, przy l < k, przez podstawienie formuły G w miejsce zmiennej p (wewszystkich tych miejscach, w których w formule Fl występuje p), to Fl ma w Cnq(∅) dowódF1, F2, . . . , Fm = Fl oraz F

p1G, F p2G

, . . . , F pmG= F plG = Fk jest dowodem w Fk ∈ Cnq(∅).

W obu przypadkach, z tego, że {F1, F2, . . . , Fk−1} ⊂ Cnq(∅) wynika, że Fk ∈ Cnq(∅).Zatem, gdy F1, F2, . . . , Fn = F jest dowodem w P2, to można utworzyć ciąg F1, F2, . . . , Fm = F ,dla m ≥ n, zawierający F1, F2, . . . , Fn jako podciąg taki, że F1, F2, . . . , Fm = F jest dowodemF w Cnq(∅). Dowodzi to, że Z ⊂ Cnq(∅).Podsumowując, ponieważ wykazaliśmy inkluzje Cnq(∅) ⊂ Z oraz Z ⊂ Cnq(∅), to wykazaliś-

my tezę tj. że Cnq(∅) = Z tj., że Cnq(∅) jest identyczny ze zbiorem wszystkich formuł rachunkuzdań P2. �

Definicja CnqP2(T) według Churcha

Niech T = {T1, T2, . . .} będzie co najwyżej przeliczalnym (skończonym lub mocy ℵ0) zbioremformuł zdaniowych zawierających zmienne zdaniowe oznaczone wężykiem u góry tj.

p, q, r, s, p1, q1, r1, s1, p2, . . . .

Aksjomaty A1, A2, A3 wyrażone są w zmiennych zdaniowych bez wężyka:

p, q, r, s, p1, q1, r1, s1, p2, . . .

3Lemat mozna zapisac lapidarnie w postaci Cnq(∅) := Z. Jest on metatwierdzeniem, a wie↪c jegodowod nie jest sformalizowany.

– 72 –

Symbolem CnqP2(T ) oznaczamy najmniejszy zbiór formuł zdaniowych zawierających zmien-ne zdaniowe obu wmienionych rodzajów (tj. z wężykiem i bez wężyka) takim, że

(i) {A1, A2, A3, T1, T2, . . .} ⊂ CnqP2(T );(ii) CnqP2(T ) jest zbiorem formuł zamkniętym ze względu na odrywanie;(iii) CnqP2(T ) jest zbiorem formuł zamkniętym ze względu na podstawianie typu Churcha tzn.równoczesne podstawianie formuł w miejsce zmiennych bez wężyka

(jeśli F ∈ CnqP2(T )), F

zawiera zmienną p bez wężyka oraz G jest poprawne zbudowaną formułą mogącą zawieraćzmienne zdaniowe obu rodzajów, to F pG ∈ CnqP2(T )

).

Lemat 2. Jeżeli F ∈ CnqP2(T ) oraz F zawiera zmienną p bez wężyka i G jest poprawniezbudowaną formułą mogącą zawierać zmienne bez wężyka i z wężykiem, to F pG ∈ CnqP2(T ).Dowód. Postępując przez indukcję względem k, przy założeniach Lematu 2 wykażemy, że

jeśli F ∈ Tk, to F pG ∈ Tk.1◦ Jeżeli F ∈ T0 = T ∪ {LOG}, to F ∈ {LOG} ze względu na zawieranie zmiennej bez wężyka.Wynika stąd, że F pG ∈ {LOG} ⊂ T , ponieważ {LOG} jest zbiorem formuł zamkniętym zewzględu na podstawianie.

2◦ Przypuśćmy, że z faktu F ∈ Tk−1 wynika FpG ∈ Tk−1 dla każdej formuły F zawierającej

zmienną p.

Jeśli F ∈ Tk oraz F zawiera p, to istnieje H ∈ Tk−1 takie, że (H → F ) ∈ Tk−1. Wtedy namocy założenia indukcyjnego Hp

G ∈ Tk−1 i (HpG → F pG) ≡ (H → F )pG ∈ Tk−1, a więc F

pG ∈ Tk

(na mocy indukcyjnej definicji zbiorów T1, T2, . . .). �

Przyjmujemu umowę, że HpG = H jeśli tylko H nie zawiera zmiennej p.

Twierdzenie. CnqP2(T ) = Cnq(T )

Dowód. W pierwszym etapie pokażemy, że Cnq(T ) ⊂ CnqP2(T ).T0 = T ∪{LOG} powstaje z T ∪{A1, A2, A3} poprzez podstawienie typu Churcha (T0 jest na-

jmniejszym zbiorem formuł zawierającym T∪{A1, A2, A3} i zamkniętym ze względu na podstaw-ienie typu Churcha). Zatem T0 ⊂ CnqP2(T ). Ponieważ Cnq(T ) jest najmiejszym zbiorem formułzamkniętym ze względu na odrywanie i zawierającym T0, natomiast CnqP2(T ) jest zamknięte zewzględu na odrywanie, to Cnq(T ) ⊂ CnqP2(T ).W drugim etapie pokażemy, że CnqP2(T ) ⊂ Cnq(T ).Jeśli F ∈ CnqP2(T ), to F ma w CnqP2(T ) dowód w postaci ciągu formuł F1, F2, . . . , Fn = F

mogących zawierać zmienne zdaniowe bez wężyków i z wężykami takich, że

1◦ F1 ∈ {A1, A2, A3} ∪ T ⊂ T0 ⊂ Cnq;2◦ dla każdego k ∈ {2, 3, . . . , n} jest:albo

(α) istnieje l < k oraz m < k takie, że l �= m i Fm = (Fl → Fk);albo

(β) Fk powstaje z pewnego Fl, l < k przez podstawienie typu Churcha.

Postępując przez indukcję względem k ∈ {1, 2, . . . , n} udowodnimy, że Fk ∈ Cnq(T ). Dlak = 1 jest to wykazane na podstawie punktu 1◦. Przypuśćmy teraz, że F1, F2, . . . , Fk−1 ∈Cnq(T ). W przypadku 2◦(α) wynika stąd, że Fk ∈ Cnq(T ), ponieważ Cnq(T ) jest zamknięte zewzględu na odrywanie. Natomiast w przypadku 2◦(β) mamy, dla pewnego l < k, Fl ∈ Cnq(T ),

– 73 –

F zawiera zmienną p i Fk = F plG dla pewnej (dobrze zbudowanej) formuły G, mogącej zawieraćzmienne zdaniowe bez wężyka i z wężykiem. Na podstawie założenia indukcyjnego Fl ∈ Cnq(T ),a zatem Fl = F plG ∈ Cnq(T ) na mocy lematu 2. �

Twierdzenie. (o dedukcji)4 Dla F i G będących formułami zdaniowymi oraz co najwyżejprzeliczalnego zbioru formuł zdaniowych T zachodzi warunek:

G ∈ Cnq(T ∪ {F}) wtedy i tylko wtedy (F → G) ∈ Cnq(T ). �

Równoważnie fakt ten możemy wyrazić pisząc

T, F � G wtedy i tylko wtedy, gdy T � F → G.

Przez elementarne formuły zdaniowe rozumiemy pojedyncze zmienne zdaniowe p1, p2, . . ..Niech E oznacza zbiór elementarnych formuł zdaniowych i niech F oznacza zbiór dobrze zbu-dowanych formuł zdaniowych. Rozpatrzmy odwzorowania:

∼:F F � (∼ F ) ∈ F→:F × F (F,G)� (F → G) ∈ F

Oznaczmy je odpowiednio przez n oraz i. Wtedy:

n(F ) := (∼ F ) oraz i(F,G) := (F → G).

Wtedy każda dobrze zbudowana formuła F ∈ F zawierająca dokładnie n zmiennych zdaniowychp1, p2, . . . , pn może być rozumiana jako odwzorowanie

F : En (p1, . . . , pn)� F (p1, p2, . . . , pn) ∈ F

wyrażające się jako (wielokrotna na ogół) superpozycja odwzorowań n oraz i. Funkcja

HF : {0, 1}n → {0, 1}

powstaje z superpozucji wyrażającej F poprzez zastąpienie w niej n oraz i poprzez odwzorowania

n :{0, 1} x→ {0, 1},n :x� 1− x,i :{0, 1}2 → {0, 1},i :〈x, y〉� max(1− x, y).

Różnym formułom F , a zatem różnym schematom superpozycji mogą odpowiadać identy-czne funkcje HF .

Twierdzenie. (o rozstrzygalności rachunku zdań) Jeśli F ∈ F jest dobrze zbudowanąformułą zdaniową zawierającą dokładnie n zmiennych zdaniowych, to F jest twierdzeniem ra-chunku zdań (w sposób sformalizowany � F tj., F ∈ Cnq(∅)) wtedy i tylko wtedy, gdy HF jestfunkcją na {0, 1}n równą tożsamościowo 1 (tj. F jest tautologią). �

Twierdzenie. (o dowodach nie wprost) Jeśli T , ∼ G � F , to T � (F → G). �

4[1] str. 88 i str. 197, [7] str 67

– 74 –

Twierdzenie o rozstrzygalności rachunku zdań, mówiąc w dużym skrócie, gwarantuje ist-nienie dowodu formuły dobrze zbudowanej i sprowadza, od strony technicznej, sam problemdowodzenia do pewnej dość znanej operacji, której odkrycie zawdzięczamu Ernstowi Schroderowi(1841-1902). Mianowicie, stosując definicję funktorów zdaniotwórczych oraz wykorzystując dlaformuły F zawierającej n zmiennych zdaniowych wszystkie możliwe układy wartości takich zmi-ennych możemy w skończonej liczbie kroków stwierdzić, czy funkcja HF : {0, 1}n → {0, 1} jesttożsamościowo równa 1, czy też nie. Mówiąc mniej oficjalnie: czy tabelka Schrodera kończy się„kolumną jedynek”, czy może tak nie jest.

Poniżej przedstawimy metodę tablic Schrodera sprawdzania prawdziwości formuł zdanio-wych.

A. Metoda zerojedynkowa. Polega ona na rozpatrzeniu wszystkich uk�ladow wartoscilogicznych zmiennych zdaniowych wyste↪puja↪cych w danym wyrazeniu. Metoda ta nazywanajest niekiedy metoda↪ matrycowa↪, ze wzgle↪du na pos�lugiwanie sie↪ w niej tabelkami matrycowymi,przedstawiaja↪cymi w jaki sposob wartosc logiczna zdania z�lozonego utworzonego przy pomocyustalonego funktora, lub funktorow, jest wyznaczona przez wartosci logiczne zdan sk�ladowych.Metode↪ zerojedynkowa↪ zilustrujemy naste↪puja↪cym przyk�ladem. Bez szczegółowych wyjaśnieńprzyjmijmy na obecnym etapie (dla uproszczenia), że symbolem w będziemy oznaczać wartośćprzyporządkowania zmiennej „bez wężyka” lub „z wężykiem” (czyli pojedynczej zmiennej zdan-iowej lub pewnej formule) elementu zbioru {0, 1}.

Przyk�lad. Sprawdzimy czy formu�la (∗) (p→ q)→ [(q → r)→ (p→ r)] jest tautologia↪rachunku zdan.

w(p)00001111

w(q)00110011

w(r)01010101

w(p→ q)11110011

w(q → r)11011101

w(p→ r)11110101

w[(q → r)→→ (p→ r)]11110111

w{(p→ q)→→ [(q → r)→ (p→ r)]}

11111111

Zatem badana przez nas formu�la jest tautologia↪. �

B. Metoda sprowadzania do sprzecznosci (nie wprost). Zak�ladamy w niej, ze wartosclogiczna rozpatrywanego wyrazenia jest rowna 0. Naste↪pnie analizuja↪c konsekwencje przyje↪tegoza�lozenia – oczywiscie przy uwzgle↪dnieniu definicji wyste↪puja↪cych w nim funktorow – otrzymu-jemy sprzecznosc z za�lozeniem, jesli tylko formu�la jest tautologia↪.

Idee↪ tej metody omowimy na przyk�ladzie badanego juz wyrazenia.

Przyk�lad. Zbadamy czy wyrazenie (∗) jest tautologia↪. Zgodnie z przedstawionym opisemmetody zak�ladamy, ze (∗) ma wartosc logiczna↪ rowna↪ 0. Wynikaja↪ z tego naste↪puja↪ce wnioski:w(p =⇒ q) = 1 oraz w[(q −→ r) −→ (p −→ r)] = 0. Z drugiej strony wynika, ze

– 75 –

w(q −→ r) = 1 i w(p −→ r) = 0. Po to by by�la prawdziwa ostatnia z tych rownosci musibyc: w(p) = 1 i w(r) = 0. Z drugiej strony skoro w(q −→ r) = 1, to wobec definicji implikacjimamy, ze w(q) = 0. Zatem, skoro w(p) = 1 i w(q) = 0, to w(p −→ q) = 0, co przeczy rownosciw(p −→ q) = 1. Wynika sta↪d, ze rozwazane wyrazenie nie moze byc fa�lszywe dla zadnychwartosci logicznych zdan sk�ladowych. �

Bardziej elegancko, sprawdzanie wyrazen rachunku zdan przeprowadzamy pisza↪c wzory je-den pod drugim; rozpoczynaja↪c od wzoru, ktory prowadzi do sprzecznosci, o ile rozwazanewyrazenie jest tautologia↪ (prawem logicznym). Wszystkie wzory numerujemy i obok kazdego znich podajemy w nawiasach klamrowych numery wzorow, z ktorych dany wzor wynika. Spraw-dzenie konczy wyraz sprzecznosc, obok ktorego podane sa↪ numery wzorow wykluczaja↪cych sie↪.Jeszcze raz przeprowadzimy badanie rozwazanego juz wyrazenia.

(1) w{(p→ q)→ [(q → r)→ (p→ r)]} = 0 {za�l.}(2) w(p −→ q) = 1 { 1 }(3) w[(q −→ r) −→ (p −→ r)] = 0 { 1 }(4) w(q −→ r) = 1 { 3 }(5) w(p −→ r) = 0 { 3 }(6) w(p) = 1 { 5 }(7) w(r) = 0 { 5 }(8) w(q) = 0 { 4,7 }(9) w(p −→ q) = 0 { 6,8 }

sprzecznosc { 2,9 }

�

Posługując się metodą opartą o sformułowaną poprzednio definicję dowodu wykażemy, wkilku przykładach, ważniejsze prawa rachunku zdań.

Formuła 1. � p→ p.

Dowód zostanie przeprowadzony na podstawie aksjomatów podstawiania (symplifikacji) isamorozdzielności (Fregego).

Dowód:

(1) p→ [(p→ p)→ p] z A1 przez podstawienie,(2) {p→ [(p→ p)→ p]} → {[p→ (p→ p)]→ (p→ p)} z A2 przez podstawienie(3) [p→ (p→ p)]→ (p→ p) z (1) i (2) przez odrywanie,(4) p→ (p→ p) z A1 przez podstawienie(5) p→ p z (3) i (4) przez odrywanie.

�

Formuła 2. �∼ p→∼ pDowód: ∼ p→∼ p z poprzedniego prawa wskutek podstawienia

�

Formuła 3. �∼ p→ (p→ q) — prawo Dunsa ScotusaDowód:

(1) [(∼ q →∼ p)→ (p→ q)]→ {∼ p→ [(∼ q →∼ p)→ (p→ q)]} z A1 przez podstawienie,

– 76 –

(2) ∼ p→ [(∼ q →∼ p)→ (p→ q)] z (1) i A3 przez odrywanie,(3) {∼ p→ [(∼ q →∼ p)→ (p→ q)]} → {[∼ p→ (∼ q →∼ p)]→ [∼ p→ (p→ q)]} z A2 przez

podstawianie(4) [∼ p→ (∼ q →∼ p)]→ [∼ p→ (p→ q)] z (2) i (3) przez odrywanie(5) ∼ p→ (∼ q →∼ p) z A1 przez podstawienie,(6) ∼ p→ (p→ q) z (4) i (5) przez odrywanie

�

Formuła 4. � (p→ q)→ [(q → r)→ (p→ r)] prawo przechodniości implikacji

Dowód: Jeśli p→ q oraz q → r, p � r z modus ponens, więc q → r � (p→ q)→ (p→ r)p→ q, q → r, � p→ r, p→ q � (q → r)→ (p→ r),� (p→ q)→ [(q → r)→ (p→ r)] z twierdzenia o dedukcji,� (q → r)→ [(p→ q)→ (p→ r)].

�

Formuła 5. �∼∼ p→ p

Dowód:(1) ∼∼ p→ (∼ p→∼∼∼ p) z prawa Dunsa Scotusa przez podstawienie(2) ∼∼ p→ (∼ p→∼∼∼ p)]→ {[(∼ p→∼∼∼ p)→ (∼∼→ p)]→ [∼∼ p→ (∼∼→ p)]} zprzechodniości implikacji przez podstawienie

(3) [(∼ p→∼∼∼ p)→ (∼∼→ p)]→ [∼∼ p→ (∼∼ p→ p)] z (1) i (2) przez odrywanie,(4) (∼ p→∼∼∼ p)→ (∼∼ p→ p) z A3 przez podstawienie(5) ∼∼ p→ (∼∼ p→ p) z (3) i (4) przez odrywanie(6) ∼∼� (∼∼ p→ p) z (5) na podstawie twierdzenia o dedukcji(7) ∼∼ p, ∼∼ p � p z (6) na podstawie twierdzenia o dedukcji,(8) ∼∼ p � p to oznacza to samo co (6),(9) �∼∼ p→ p z (8) na podstawie twierdzenia o dedukcji.

�

– 77 –

Formuła 6. � p→∼∼ pDowód:

(1) ∼∼∼ p→∼ p z Formuły 5. przez podstawienie(2) (∼∼∼ p→∼ p)→ (p→∼∼ p) z A3 przez podstawienie(3) p→∼∼ p z (1) i (2) przez odrywanie

�

Formuła 7. � p→ (∼ p→ q) – drugie prawo Dunsa ScotusaDowód:

(1) p→∼∼ p Formuła 6,

(2) ∼∼ p→ (∼ p→ q) z pierwszego prawa Dunsa Scotusa ( Formuła 3.) przez podstawienie

(3) (p→∼∼ p)→ {[(∼∼ p→ (∼ p→ q)]→ [p→ (∼ p→ q)]} z przechodniości implikacji (Formuła 4.) przez podstawienie

(4) [∼∼ p→ (∼ p→ q)]→ [p→ (∼ p→ q)] z (1) i (3) przez odrywanie

(5) p→ (∼ p→ q) z (2) i (4) przez odrywanie�

Formuła 8. � p→ {∼ q → [∼ (p→ q)]}Dowód:

(1) p, p→ q � q z reguły odrywania(2) p � (p→ q)→ q z twierdzenia o dedukcji

(3) ∼∼ (p→ q)→ (p→ q) z Formuły 5 przez podstawinie(4) q →∼∼ q z Formuły 6.

(5) p �∼∼ (p→ q)→∼∼ q z (1), (2), (4) i twierdzenia o przechodniości implikacji

(6) [∼∼ (p→ q)→∼∼ q]→ [∼ q →∼ (p→ q)] z A3 przez podstawianie(7) p �∼ q →∼ (p→ q) z (5) i (6) przez odrywanie(8) � p→ [∼ q →∼ (p→ q)] z (7) na podstawie twierdzenia o dedukcji.

�

Formuła 9. � (∼ p→ q)→ [(∼ p→∼ q)→ p] – prawo dowodzenia nie wprostDowód:

(1) p, ∼ q �∼ (p→ q) na podstawie Formuły 8. i twierdzenia o dedukcji

(2) (∼ q →∼ p)→ (p→ q) z A3

(3) ∼∼ (∼ q →∼ p)→ (∼ q →∼ p) z prawa podwójnegi zaprzeczania przez podstawienie(4) (p→ q)→ sin ∼ (p→ q) z drugiego prawa podwójnego zaprzeczania przez podstawienie(5) ∼∼ (∼ q →∼ p)→∼∼ (p→ q) z (2), (3), (4) i z przechodniości implikacji(6) ∼ (p→ q)→∼ (∼ q →∼ p) z A3 i (5) przez odrywanie(7) p, ∼ q �∼ (∼ q →∼ p) z (1) i (6) przez odrywanie

(8) (∼ q →∼ p), ∼ q � p z reguły odrywania(9) (∼ q → p), ∼ q �∼ (∼ q →∼ p) z (7) i (8)

(10) ∼ q → p � [∼ q →∼ (∼ q →∼ p0] z (9) na podstawie twierdzenia o dedukcji

(11) ∼ q → p � [(∼ q →∼ p)→ q] z A3 i (10) przez odrywanie(12) (∼ q → p)→ [(∼ q →∼ p)→ q] z (11) na podstawie twierdzenia o dedukcji

stąd Formuła 9. przez podstawienie (i zamianę ról p i q)�

– 78 –

Formuła 10. � (∼ p→ p)→ p — prawo Claviusa

Dowód:

(1) (∼ p→ q)→ [(∼ p→∼ q)→ p] Formuła 9. – prawo dowodu nie wprost

(2) (∼ p→∼ p)→ [(∼ p→∼∼ p)→ p] z (1) przez podstawienie(3) ∼ p→∼ p z Formuły 2.

(4) (∼ p→∼∼ p)→ p z (2) i (3) przez odrywanie(5) p→∼∼ p z drugiego prawa podwójnego zaprzeczania(6) ∼ p→ p, p→∼∼ p � p z prawa przechodniości implikacji i z (4)(7) ∼ p→ p ⊥ p na podstawie (5) i (6)

(8) (∼ p→ p)→ p z (7) na podstawie twierdzenia o dedukcji�

Formuła 11. � (∼ q → p)→ [(q → p)→ p]Dowód:

(1) (∼ q → p)→ (∼ q →∼∼ p) z drugiego prawa podwójnego zaprzeczania na podstawieprzechodniości implikacji

(2) (∼ q →∼∼ p)→ (∼ p→ q) z A3 przez podstawienie(3) ∼ q → p)→ (∼ p→ q) z (1) i (2) na podstawie przechodniości implikacji(4) ∼ q → p, q → p �∼ p→ q, na podstawie (3)

(5) ∼ q → p, q → p �∼ p→ p z (4) na podstawie przechodniości implikacjioraz przez odrywanie

(6) ∼ q → p, q → p � p z (5) i z prawa Claviusa przez odrywanie(7) ∼ q → p � (q → p)→ p na podstawie twierdzenia o dedukcji(8) (∼ q → p)→ [(q → p)→ p] na podstawie twierdzenia o dedukcji

�

Przykład. Udowodnić, że liczba√

2 jest niewymierna.Dla dowodu tego faktu posłużymy się prawem Claviusa.

Przypuśćmy, że: q :≡√

2 jest liczbą wymierną. Poza tym niech f =√

2 = lm, gdzie liczby

naturalne l i m są względnie pierwsze. Wtedy co najmniej jedna z nich jest nieparzysta.

Jeśli zatem q, to r. Zatem jeżeli ∼ r, to ∼ q. Pozostaje dowieść ∼ r i zastosować regułęodrywania.

Skorzystamy z tautologii

� (q → r)→ [(r →∼ r)→∼ q]

(przez zamianę q na ∼ Q i r na R tautologia ta sprowadza się do użytej w poprzednim dowodzie)wynikanian: jeśli r, to nie r.

Dowód implikacji r →∼ r.

r ≡√

2 =l

m→ 2 =

l2

m2→ 2m2 = l2 → l jest parzyste

l = 2k → 2m2 = 4k2 → m2 = 2k2 → m jest parzyste→ l oraz m są parzyste→∼ r

(� r →∼ r)→∼ r – prawo Calviusa) �

– 79 –

Przykład. Dla każdego naturalnego n liczba n! + 1 jest podzielna przez liczbę pierwszą pwiększą od n.

Dowód.(i) Jeśli n! + 1 jest liczbą pierwszą, to n! + 1 = p i p > n.(ii) Jeśli n! + 1 nie jest liczbą pierwszą, to n! + 1 = p ·k dla pewnej liczby pierwszej p i pewnegonaturalnego k > 1. Mamy p ∈ {2, 3, . . . , n!}.

Q :≡ p ∈ {n+ 1, n + 2, . . . , n!}.

Wówczas ∼ Q→ R, gdzie R :≡ p ∈ {n+ 1, n + 2, . . . , n!}. Zatem ∼ R→ Q.Jednak, jeśli zachodzi R, to p jest dzielnikiem liczby n!. Ponieważ p jest też dzielnikiem

liczby n! + 1, więc p jest też dzielnikiem liczby 1. Tak więc nie jest prawdą Q tj., że p ∈{n+ 1, n + 2, . . . , n!}.Mamy więc implikację R→∼ R. Stąd ∼ R na mocy prawa Claviusa i reguły odrywania. Z

∼ R oraz ∼ R→ Q wynika na mocy reguły odrywania (� (∼ Q→ R)→ [(R→∼ R)→ Q]

Alternatywa, koniunkcja, równoważność

Dotychczas, z przyczyn formalnych, w systemie P2 opieraliśmy się przy konstrukcji formułdobrze zbudowanych (fdz) na czterech znakach (, →, ), ∼. Jak to zauważyliśmy, zwłaszcza przydowodach ostatnich formuł, taka oszczędność narzędzi jest dość kłopotliwa w niektórych sytu-acjach – jakkolwiek istotna merytorycznie. Posługując się negacją oraz implikacją wprowadzimyteraz trzy nowe funktory, zwane alternatywą (∨), koniunkcją (∧) i równoważnością (↔). Sąto funktory dwuargumentowe tzn. takie, które parze zdań przyporządkowują nowe zdanie.Definicje tych funktorów są następujące: jeśli p i q są zmiennymi zdaniowymi to formułę

(i) ∼ p→ q nazywamy alternatywą i oznaczamy przez p ∨ q;(ii) ∼ (p→∼ q) nazywamy koniunkcją i oznaczamy przez p ∧ q;(iii) ∼ ((p→ q)→ (∼ (q → p))) nazywamy równoważnością i oznaczamy przez p↔ q.

Dobrze zbudowane formuły zdaniowe F i G nazywamy inferencyjnie równoważnymi jeśli� F ≡ B.Funktory dwuczłonowe odgrywają istotną rolę w konstrukcji formuł zdaniowych. Istotne

jest w szczególności zaprzeczanie takim formułom. Prawa de Morgana dotyczą takich właśniesytuacji.

Twierdzenie. Jeśli p i q są dowolnymi zdaniami, to

� ∼ (p ∨ q)↔ (∼ p) ∧ (∼ q)� ∼ (p ∧ q)↔ (∼ p) ∨ (∼ q)

(pierwsze prawo de Morgana)

(drugie prawo de Morgana)

Dowód. Przeprowadzimy go dla pierwszego prawa de Morgana. Na wstępie wyraźmy je wnotacji negacyjno implikacyjnej. Mamy wedy:

∼ (p ∨ q) ≡∼ (∼ p→ q)

– 80 –

a z drugiej strony:

∼ p∧ ∼ q ≡∼ [(∼ p)→∼ (∼ q)] ≡∼ (∼ p→ q).

Z identyczności prawych stron obu formuł mamy zależność:

∼ (p ∨ q)↔ (∼ p) ∧ (∼ q).

Postępując podobnie otrzymamy dowód drugiego prawa de Morgana. �

Ponieważ twierdzenie o rozstrzygalności rachunku zdań sprowadza nas na poziom tabelSchrodera, to na zakończenie tej części w jawny sposób zapiszmy definicje funktorów zdanio-twórczych w takiej właśnie konwencji.

w(p) w(q) w(∼ p) w(p ∧ q) w(p ∨ q) w(p→ q) w(p↔ q)0 0 1 0 0 1 10 1 1 0 1 1 01 0 0 0 1 0 01 1 0 1 1 1 1

12. Klasyczny rachunek kwantyfikatorów

W sformalizowanych teoriach matematycznych pojęcia: term oraz formuła są podstawowy-mi narzędziami opisu. W związku z tym przedstawimy ich definicje oraz przykłady.

Słowo term oznacza określenie i zwykle rozumiemy przez nie rzeczowniki, nazwy przed-miotów danej teorii. W monografii A. Grzegorczyka czytamy, że „zbiór termów jest tym, comożna utworzyć ze stałych danej teorii za pomocą funkcji występujących w tej teorii”. Nato-miast przez formuły rozumiemy rozumiemy zdania orzekające (o przedmiotach danej teorii)wyrażające się poprzez relacje (w sformalizowanycm języku tej teorii). Na gruncie teorii liczbrzeczywistych przykładami termów są: −7, 0,

√3, . . ., x rozumiane jako zmienna (liczbowa), sym-

bol exp, a także exp(x) := 1 +∞∑n=1

xn

n!. Przykładami formuł są natomiast: 12 > 5, x2 − 2 = 0,

exp(x) = 1, exp(x) > 0 ∀x∈R exp(x) > 0.Przez formułę otwartą rozumiemy funkcję zdaniową rozumianą jako wyrażenie rachunku

zdań zawierające zmienną zdaniową i stające się zdaniem, gdy w miejsce tej zmiennej wstawionyzostanie dowolnie ustalony element ze zbioru stanowiącego zakres zmiennej. Zwykle jeśli x ∈ Xjest zmienną zdaniową o zakresie X, to funkcję zdaniową tej zmiennej oznaczamy literą alfabetugreckiego np. ϕ, ψ itd.

Zatem jeżeli ϕ jest funkcją zdaniową zmiennej x ∈ X, to odwołując się do konwencji zawartejw twierdzeniu o rozstrzygalności rachunku zdań możemy napisać:

ϕ : X → {0, 1},

W takim przypadku zmienną x z uwagi na wskazany zakres jej zmienności nazywamy zmiennązwiązaną. Jeżeli natomiast zakres zmienności zmiennej nie jest określony, to zmienną takąnazywamy zmienną wolną.

– 81 –

W sytuacji, gdy zakres X jest zbiorem skończonym np. X = {x1, x2, . . . , xn}, to zamiastpisać

ϕ(x1) ∧ ϕ(x2) ∧ . . . ∧ ϕ(xn)

piszemy∀x∈Xϕ(x)

lub też, co jest bardziej sugestywne∧x∈X

ϕ(x) (tzw. symbolika polska). Widać zatem, że symbole

∀ (lub∧) jest uogólnieniem funktora koniunkcji. Nazywamy go kwantyfikatorem ogólnym.

Podobnie jeśli x ∈ X oraz jak poprzednio X = {x1, x2, . . . , xn} to zamiast pisać

ϕ(x1) ∨ ϕ(x2) ∨ . . . ∨ ϕ(xn)

piszemy∃x∈Xϕ(x)

lub też posługując się polską symboliką∨. Tym razem widać, że symbole ∃ (

∨) jest uogólnieniem

alternatywy. Operację taką nazywamy kwantyfikatorem egzystencjalnym.

Reguły wnioskowania rachunku kwantyfikatorów

Przedstawimy je za Andrzejem Mostowskim, na podstawie jego monografii [3], str. 53.Reguł takich, zwanych operacjami jest siedem. A oto one.

(1) Operacja odrywania. Prowadzi ona od wyrażeń Φ(x) oraz Φ(x)→ Ψ(x), do Ψ(x). Możemyzatem zapisać:

� Φ(x),Φ(x)→ Ψ(x)� Ψ(x)

(2) Operacja podstawiania. Prowadzi ona od funkcji zdaniowej Φ(x) zawierającej zmienną wolnąx, do funkcji zdaniowej Φ(y), powstającej z Φ(x) przez zastąpienie zmiennej x zmienną ywzędzie tam, gdzie zmienna x jest wolna, przy założeniu, że zmienna y nie stanie się zmiennązwiązaną na żadnym miejscu, na którym x była wolna.

(3) Operacja opuszczania kwantyfikatora ogólnego. Prowdzi ona od wyrażenia Φ → ∀x∈XΨ(x)do wyrażenia Φ→ Ψ(x). W zapisie symbolicznym mamy:

� Φ→ ∀x∈XΨ(x)� Φ→ Ψ(x)

Uwolnienie zmiennej związanej w następniku implikacji. Zmienna ta nie owinna występowaćw poprzdniku implikacji, czyli w Φ jako zmienna wolna.

(4) Operacja opuszczania kwantyfikatora egzystencjalnego. Operacja prowadzi od wyrażenia∃x∈XΦ(x)→ Ψ(x) do wyrażenia Φ(x)→ Ψ. Formalny zapis ma postać:

� ∃x∈XΦ(x)→ Ψ� Φ(x)→ Ψ

(5) Operacja dołączania kwantyfikatora ogólnego. Prowadzi od funkcji zdaniowej Φ → Ψ(x),której poprzednik nie zawiera zmiennej wolnej do funkcji zdaniowej Φ → ∀x∈XΨ(x). Wprzypadku, gdy zmienna x jest wolna w poprzedniku funkcji zdaniowej Φ → ∀x∈XΨ(x),

– 82 –

to operacja dołączenia kwantyfikatora ogólnego nie daje się przeprowadzić. Symboliczniemamy:

� Φ→ Ψ(x)� Φ→ ∀x∈XΨ(x).

(6) Operacja dołączania kwantyfikatora egzystencjalnego. Prowadzi ona od funkcji zdaniowejΦ(x)→ Ψ, której następnik nie zawiera zmiennej wolnej x do zdania lub funkcji zdaniowej∃x∈XΦ(x)→ Ψ.

� Φ(x)→ Ψ� ∃x∈XΦ(x)→ Ψ

(7) Operacja uogólniania. Prowadzi od funkcji zdaniowej φ(x) do funkcji zdaniowej ∀x∈XΦ(x).

Φ(x)� ∀x∈XΦ(x).

Twierdzenie. Jeśli Φ(x) jest funkcją zdaniową zmiennej x o zakresie X, to:

∼ ∀x∈XΦ(x)↔ ∃x∈X ∼ Φ(x) − (pierwsze prawo de Morgana)

∼ ∃x∈XΦ(x)↔ ∀x∈X ∼ Φ(x) − (drugie prawo de Morgana)

�

Kwantyfikatory o ograniczonym zakresie

Niekiedy zachodzi konieczność ograniczenia zakresu zmienności zmiennej obje↪tej kwanty-fikatorem. Mówimy wtedy o podzbiorze właściwym zakresu zmienności. W takim przypadkuwarunek precyzujący ten podzbiór umieszczamy pod znakiem kwantyfikatora, albo dołączamydo funkcji zdaniowej. I tak na przykład piszemy:

∃x>0 log x = 2 lub tez ∃x(x > 0 ∧ log x = 2).

Mówimy wtedy, ze kwantyfikator ma ograniczony zasie↪g. Ogólnie, jeśli Φ i Ψ są dowolnymifunkcjami zdaniowymi zmiennej x o jej niepustym zakresie, to zamiast mówić: “dla kazdegox spełniającego Φ(x) zachodzi Ψ(x)” (“dla pewnego x spełniającego Φ(x) zachodzi Ψ(x)”)be↪dziemy pisać:

∀Φ(x)Ψ(x)(∃Φ(x)Ψ(x)

)Funkcja Φ ogranicza wtedy zakres kwantyfikatora do zbioru tych elementów zbioru X (zakresumaksymalnego), które spełniają funkcje↪ Ψ, tj. tych x, dla których prawdziwe jest zdanie Ψ(x).

Przykład. W napisie∀x>0x

3 > 0

funkcja Φ(x) :≡ x > 0 ogranicza zakres zmienności zmiennej x funkcji zdaniowej Ψ takiej, zeΨ(x) :≡ x3 > 0. Oczywiście jest to zdanie prawdziwe.

Pozostając w tej samej konwencji dla napisu:

∀0<x<π sinx > 0

mamy Φ(x) :≡ x ∈ (0, π) oraz Ψ(x) :≡ sinx > 0. �

– 83 –

W przypadku ogólnym zmiana zakresu kwantyfikatora odbywa sią według naste↪pującychreguł

[∀xΦ(x)→ Ψ(x)]⇐⇒ ∀Φ(x)Ψ(x). (K.1)

[∃xΦ(x) ∧Ψ(x)]⇐⇒ ∃Φ(x)Ψ(x). (K.2)

Dla kwantyfikatorów o ograniczonym zakresie prawa de Morgana dla kwantyfikatorów zachowująwazność. Mamy mianowicie:

∼[∀Φ(x)Ψ(x)

]⇐⇒∼ [∀xΦ(x) =⇒ Ψ(x)]⇐⇒ ∃x ∼ [Φ(x) =⇒ Ψ(x)]⇐⇒

⇐⇒ ∃Φ(x)∧ ∼ [Ψ(x)]⇐⇒ ∃Φ(x) ∼ [Ψ(x)], (K.3)

oraz∼

[∃Φ(x)Ψ(x)

]⇐⇒∼ [∃xΦ(x) ∧Ψ(x)]⇐⇒ ∀x ∼ [Φ(x) ∧Ψ(x)]⇐⇒

⇐⇒ ∀x ∼ [Φ(x)]∨ ∼ [Ψ(x)]⇐⇒ ∀x{Φ(x) =⇒∼ [Ψ(x)]} ⇐⇒ ∀Φ(x)[∼ Ψ(x)]. (K.4)

Podobnie jak w przypadku funkcji zdaniowych jednej zmiennej stosuje sie↪ prawa de Morganado zaprzeczania zdaniom, w których znajduje sie↪ kilka kwantyfikatorów. Mamy na przykład

∼ [∀x∀y>x∃z<02x− y < z]⇐⇒ ∃x∃y>x∀z<02x− y ≥ z.

�

Bez dowodu, który oparty jest o dołączanie i opuszczanie kwantyfikatora, przedstawimynastępujące twierdzenie dotyczące przestawiania kwantyfikatorów:

Twierdzenie. Jeżeli Φ(x, y) jest funkcją zdaniową dwóch zmiennych, o zakresach x ∈ Xoraz y ∈ Y , to:

∀x∈X∀y∈Y Φ(x, y)↔∀y∈Y ∀x∈XΦ(x, y)

∃x∈X∃y∈Y Φ(x, y)↔∃y∈Y ∃x∈XΦ(x, y)

∃x∈X∀y∈Y Φ(x, y)→∀y∈Y ∃x∈XΦ(x, y)

Na zakończenie podamy kilka ważnych tautologii rachunku funkcji zdaniowych.

∃x[Φ(x) ∨Ψ(x)]←→ ∃xΦ(x) ∨ ∃xΨ(x),

∃x[Φ(x) ∧Ψ(x)] −→ ∃xΦ(x) ∧ ∃xΨ(x),

∀x[Φ(x) ∧Ψ(x)]←→ ∀xΦ(x) ∧ ∀xΨ(x),

∀xΦ(x) ∨ ∀xΨ(x) −→ ∀x[Φ(x) ∨Ψ(x)].

Ostatnie prawa mozemy streścić naste↪pująco:“ Kwantyfikator ogólny nie jest rozdzielny wzgle↪-dem alternatywy, natomiast kwantyfikator szczegółowy nie jest rozdzielny wzgle↪dem koniunkcji.”Dla ilustracji przedstawiamy naste↪pujący przykład.

Przykład. Zdanie ∀x∈R[x ≥ 0 ∨ x < 0] jest zdaniem prawdziwym, podczas gdy zdanie∀x∈Rx ≥ 0 ∨ ∀x∈Rx < 0 jest zdaniem fałszywym. Podobnie zdanie ∃x∈R[x ≥ 0 ∧ x < 0] jestfałszywe, prawdziwe jest natomiast zdanie ∃x∈Rx ≥ 0 ∧ ∃x∈Rx < 0. �

– 84 –

Zastosowanie kwantyfikatorów do zapisywania twierdzeń matematycznych

I. Definicja granicy ciągu nieskończonego (an)n∈N

g = limn→∞ an oznacza ∀ε

[ε > 0→ ∃n0(n0 ∈ NC) ∧ ∀n{n ∈ N → [n > n0 → |an − g| < ε]}

]Po wprowadzeniu kwantyfikatorów o zakresie ograniczonym możemy zapisać ostatni warunek wbardziej pzejrzysty sposób:

g = limn→∞ an oznacza ∀ε>0∃n0∈N∀n∈N [n > n0 → |an − g| < ε].

II. Jednostajna ciągłość funkcji na zbiorze A.Zwrot „funkcja f jest jednostajnie ciągła na zbiorze A” oznacza, że

∀ε>0∃δ>0∀x1∈A∀x2∈A[|x1 − x2| < δ → |f(x1)− f(x2)| < ε

]Natomiast zwrot „funkcja f jest ciągła w każdym punkcie zbioru A” oznacza, że

∀ε>0∀x1∈A∃δ>0∀x2∈A[|x1 − x2| < δ → |f(x1)− f(x2)| < ε

]

III. Warunek Cauchy’ego konieczny i wystarczający (w zakresie R, ale nie wystarczający wzakresie Q) dla istnienia granicy ciągu (an)n∈N :

∀ε>0∃n0∈N∀m∈N∀n∈N[(m > n0) ∧ (n > n0)→ |am − an| < ε

].

IV. Twierdzenie Moore’a-Osgood’a. Jeśli f jest funkcją rzeczywistą określoną na R2, (a, b) ∈ R2

oraz [[limx→a f(x, y) = f(a, y) jest jednostajnnie zbieżna względem y ∈ R1] i [limy→b f(x, y) =f(x, b) dla każdego x ∈ R1], to lim(x,y)→(a,b) f(x, y) = f(a, b), tzn. funkcja f jest ciągła wpunkcie (a, b).Fakt ten wyraża warunek:

{∀ε>0∃δ>0∀y∈R∀x∈R[|x− a| < δ → |f(x, y)− f(a, y)| < ε]}∧

∧ {∀ε>0∀x∈R∃δ>0∀y∈R[|y − b| < δ → |f(x, y)− f(x, b)| < ε]}

−→ {∀ε>0∃δ>0∀x∈R∀y∈R [(|x− a| < δ) ∧ (|y − b| < δ)→ |f(x, y)− f(a, b)| < ε]}

V. Twierdzenie o ciągłości granicy jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych.Jeśli f i fn, n ∈ N są funkcjami rzeczywistymi określonymi na zborze A ⊂ R takimi, że:

1◦ dla każdego n ∈ N funkcja fn jest ciągła na zbiorze A;2◦ ciąg funkcji (fn)n∈N jest zbieżny do funkcji f jednostajnie na zbiorze Ato:3◦ funkcja f jest ciągła na zbiorze A.Poszczególne warunki zapisane w sformalizowanej postaci mają postać:

1◦◦ ∀n∈N∀x0∈A∀ε>0∃δ>0∀x∈A[|s− x0| < δ → |fn(x)− fn(x0)| < ε].2◦◦ ∀ε>0∃n0∈N∀n∈N∀x∈A[n > n0 → |fn(x)− f(x)| < ε].3◦◦ ∀x0∈A∀ε>0∃δ>0∀x∈A[|x− x0| < δ → |f(x)− f(x0)| < ε].

– 85 –

Zastosowanie funkcji zdaniowych i kwantyfikatorów do sformalizowanego opisurównań i nierówności

Pojęcie równania Niech A = (A,⊕,�) będzie ustaloną algebrą, której nośnik jest zbioremliczbowym, zaś a1(x1, x2, . . . , xn) i a2(x1, x2, . . . , xn) wyrażeniami algebraicznymi zbudowanymiz następujących elementów:

(i) zmiennych należących do zbioru {x1, x2, . . . , xn}, przy czym ciąg (x1, x2, . . . , xn) jest ele-mentem An;

(ii) symboli funkcji elementarnych, o argumentach pochodzących ze zbioru {x1, x2, . . . , xn};(iii) stałych, zwanych współczynnikami pochodzących ze zbioru A, nośnika ustalonej wcześniejalgebry A = (A,⊕,�);

(iv) symboli działań w algebrze A;(v) symbolu superpozycji funkcji elementarnych.

Funkcję zdaniową ϕ(x1, x2, . . . , xn) o zakresie D ⊂ An określoną warunkiem

ϕ(x1, x2, . . . , xn) :≡ a1(x1, x2, . . . , xn) = a2(x1, x2, . . . , xn), (1)

nazywamy równaniem o dziedzinie D i niewiadomych (x1, x2, . . . xn) określonym przez wyrażeniaa1(x1, x2, . . . , xn) i a2(x1, x2, . . . , xn).

Przypomijmy, że zakres funkcji zdaniowej ϕ(x1, x2, . . . , xn), to najszerszy w sensie inkluzjizbiór, dla którego elementów (x1, x2, . . . , xn) funkcja ta staje się zdaniem w sensie logicznym.

Oprócz równań, w których niewiadomymi są liczby, czy też ciągi liczb, rozpatrujemy teżrównania funkcyjne, czy też równania różniczkowe, w których niewiadomymi są funkcje. Zwyklejednak słowu równanie towarzyszy przymiotnik charkteryzujący bliżej typ równania.

Przykładami równań w sensie przedstawionej w tym paragrafie definicji są:

(a) 2x− 1 = 0

(b) x2 − x− 2 = 0

(c) x√

1− x+ 6 = 0

(d) 2x − 1 = 0

(e) log2 (3− x) = 4

(f) sin(x− π

6

)= sin 2x

Każde z równań (a)–(f) jest funkcją zdaniową jednej zmiennej, którą jest x. Zauważmy przytym, że wszystkie te równania zostały przedstawione w sposób bezkontekstowy. Mianowicie,nie zostały wskazane algebry, w których należy je rozpatrywać. Jest to jeden ze zwyczajówz jakimi spotykamy się w praktyce, a które to zwyczaje prowadzą do zaniedbywania precyzjiw formułowaniu odpowiedzi wskutek braku tej precyzji w samym tylko poleceniu:

”Rozwiązać

równanie”. Brak wskazanej dziedziny równania może być powodem niemożności wystawieniapoprawnej i logicznej oceny całemu procesowi rozwiązywania równania. Dziedzina równaniarozumiana jako dziedzina (zakres) funkcji zdaniowej ϕ(x1, x2, . . . , xn) to nie tylko zbiór określonyprzez definicje poszczególnych funkcji elementarnych tworzących funkcję ϕ(x1, x2, . . . , xn), alenajszerszy zbiór, w którym poddaje się ocenie logicznej cała funkcja zdaniowa. Ta oczywistauwaga w praktyce nie jest tak oczywista!

– 86 –

Po tych uwagach sformułujemy kilka definicji.

Przez polecenie rozwiązać równanie rozmiemy wyznaczenie zakresu prawdziwości funkcjizdaniowej (1) (najszerszego w sensie relacji inkluzji).

Mówimy, że równanie (1) jest rozwiązalne w dziedzinie Dϕ wtt, gdy Tϕ �= ∅.W szczególności mówimy, że równanie jest oznaczone lub, że ma dokładnie jedno rozwiązanie

wtt, gdy zbiór Tϕ jest jednoelementowy i piszemy czasami cardTϕ = 1 lub też |Tϕ| = 1.

Jeśli zbiór Tϕ jest więcej niż jednoelementowy (cardTϕ > 1), to mówimy, że równanie jestnieoznaczone.Liczność zbioru Tϕ w przypadku równania nieoznaczonego zależy od algebry, nad którą jest

ono rozpatrywane.Jeśli równanie ma zakres prawdziwości identyczny z dziedziną tj. Tϕ = Dϕ, to równanie

takie nazywamy wtedy tożsamościowym.Przez równanie sprzeczne rozumiemy równanie, w którym Tϕ = ∅.

Niekiedy dokonujemy klasyfikacji równań postaci

ϕ(x1, x2, . . . , xn) :≡ a1(x1, x2, . . . , xn) = a2(x1, x2, . . . , xn),

ze względu na rodzaj funkcji elementarnych występujących w wyrażeniach tworzących równanietj. a1(x1, x2, . . . , xn) i a2(x1, x2, . . . , xn) oraz ze względu na operacje jakimi posługujemy się wcelu wyznaczenia zbioru rozwiązań (zakresu prawdziwości) równania. Równanie (1) nazywamy:— algebraicznym wtt, gdy wyrazenia a1(x1, x2, . . . , xn) i a2(x1, x2, . . . , xn) są wielomianami;— algebraicznym stopnia n wtt, gdy jedna ze stron równania jest wielomianem stopnia n, adruga jest tożsamościowo równa stałej z A.

Równoważność równań czy nierówności jest określeniem towarzyszącym nauczaniu matem-atyki od szkoły podstawowej. Rozumiana jest ona jako zjawisko polegające na tym, że równaniaczy też nierówności o różnych postaciach zapisu mają ten sam zbiór rozwiązań. Zatem równoważ-ność rozumiana jest tu jako równość zbiorów, która jest relacją równoważności, a więc równaniarównoważne są elementami tej samej klasy abstrakcji relacji równości zbiorów.Łatwo teraz podać przykłady operacji algebraicznych, które mogą nie posiadać własności

różnowartościowości. Są nimi na przykład podnoszenie stronami do kwadratu bez ustaleniarówności znaku stron równania, czy też podnoszenie stronami do kwadratu nierówności bezzwrócenia uwagi na monotnoczność stosowanej operacji.

Równania równoważne. Poprzednio zdefiniowaliśmy równanie jako funkcję zdaniową, a więctakże równoważność równań zostanie omówiona na gruncie logiki, a ściślej na gruncie rachunkufunkcji zdaniowych.

Niech Φ(x1,x2,...,xn) ={ϕ(x1, x2, . . . , xn) : (x1, x2, . . . , xn) ∈ D

}oznacza zbiór funkcji

zdaniowych o zmiennych (x1, x2, . . . , xn) i wspólnym zakresie D ⊂ An.Przekształceniem równoważnym funkcji zdaniowej ϕ(x1, x2, . . . , xn) ∈ Φ(x1,x2,...,xn) o zakre-

sie prawdziwości Tϕ ⊂ D nazywamy każdą funkcję

λ : Φ(x1,x2,...,xn) → Φ(x1,x2,...,xn)

– 87 –

spełniającą warunek:

Tϕ(x1,x2,...,xn) = Tλ(ϕ(x1,x2,...,xn)).

Równoważność funkcji zdaniowych, co oczywiste, jest uzależniona zarówno od algebry,której D jest podzbiorem jak również od uporządkowania określonego w dziedzinie funkcji zda-niowej.

Przyjmijmy umowę, że od tej chwili wszystkie równania będą rozpatrywane w zbiorze liczbrzeczywistych. W oparciu o aksjomaty zbioru liczb rzeczywistych możemy sformułować kata-log przekształceń równoważnych równań (funkcji zdaniowych), czyli katalog przekształceń za-chowujących zbiór rowiązań równania.

Twierdzenie. Jeśli a1(x1, x2, . . . , xn) oraz a2(x1, x2, . . . , xn), są dowolnymi wyrażeniami nadR oraz

ϕ(x1, x2, . . . , xn) :≡ a1(x1, x2, . . . , xn) = a2(x1, x2, . . . , xn),

to dla dowolnego wyrażenia b(x1, x2, . . . , xn) nad R i funkcji zdaniowej

ψ(x1, x2, . . . , xn) :≡≡ a1(x1, x2, . . . , xn) + b(x1, x2, . . . , xn) = a2(x1, x2, . . . , xn) + b(x1, x2, . . . , xn),

zachodzi równość:

Tϕ(x1,x2,...,xn) = Tψ(x1,x2,...,xn).

D o w ó d. Ponieważ dla każdego ustalonego ciągu argumentów (x1, x2, . . . , xn) ze wspólnejdziedziny wyrażeń a1(x1, x2, . . . , xn), a2(x1, x2, . . . , xn) i b(x1, x2, . . . , xn) wartości tych wyrażeńtj. a1(x1, x2, . . . , xn), a2(x1, x2, . . . , xn), b(x1, x2, . . . , xn) są liczbami rzeczywistymi, to na mocyfaktu, że wszystkie liczby rzeczywiste są regularne względem dodawania w tym zbiorze otrzy-mujemy tezę twierdzenia. �

Zauważmy, że w szczególności wyrażenie b(x1, x2, . . . , xn) może być stałe dla wszytkichargumentów. Oznacza to, że dodanie do obu stron równości dowolnej liczby rzeczywistej niezmienia zbioru jego rozwiązań.

Twierdzenie. Jeśli a1(x1, x2, . . . , xn) oraz a2(x1, x2, . . . , xn), są dowolnymi wyrażeniami nadR oraz

ϕ(x1, x2, . . . , xn) :≡ a1(x1, x2, . . . , xn) = a2(x1, x2, . . . , xn),

to dla dowolnego wyrażenia b(x1, x2, . . . , xn) nad R takiego, że b(x1, x2, . . . , xn) �= 0 dla argu-mentu (x1, x2, . . . , xn) z dziedziny funkcji zdaniowej ϕ(x1, x2, . . . , xn) oraz funkcji zdaniowej

ψ(x1, x2, . . . , xn) :≡≡ a1(x1, x2, . . . , xn) · b(x1, x2, . . . , xn) = a2(x1, x2, . . . , xn) · b(x1, x2, . . . , xn),

zachodzi równość:

Tϕ(x1,x2,...,xn) = Tψ(x1,x2,...,xn).

– 88 –

D o w ó d. Korzystając z argumentacji dowodu poprzedniego twierdzenia oraz z tego, żekażda liczba rzeczywista różna od zera jest elementem regularnym mnożenia w R otrzymujemytezę twierdzenia. �

Twierdzenie. Jeśli a1(x1, x2, . . . , xn) oraz a2(x1, x2, . . . , xn), są dowolnymi wyrażeniami nadR oraz a1(x1, x2, . . . , xn) ∈ S i a1(x1, x2, . . . , xn) ∈ S dla wszystkich (x1, x2, . . . , xn) z dziedziny,a przy tym jeśli funkcja f : S → R jest różnowartościowa oraz

ϕ(x1, x2, . . . , xn) :≡ a1(x1, x2, . . . , xn) = a2(x1, x2, . . . , xn),

to dla funkcji zdaniowej

ψ(x1, x2, . . . , xn) :≡ f(a1(x1, x2, . . . , xn)

)= f

(a2(x1, x2, . . . , xn)

)zachodzi równość:

Tϕ(x1,x2,...,xn) = Tψ(x1,x2,...,xn).

D o w ó d. Teza jest konsekwencją definicji funkcji różnowartościowej. �

Pojęcie nierówności. Zgodnie z ograniczeniem dokonanym w poprzednim paragrafie będzie-my się zajmować jedynie nierównościami w zbiorze liczb rzeczywistych R, w którym relacjąporządku liniowego jest relacja niewiększości ≤. Zatem mówiąc o rozwiązywaniu nierównościmamy na myśli takie postępowanie, w którym w kolejnych krokach tego procesu zachowujemyuporządkowanie. Mówiąc lapidarnie prawidłowe rozwiązanie nierówności, to takie, które za-chowuje uporządkowanie.

W zbiorze uporządkowanym liniowo (R,≤) z wyróżnionym podzbiorem D ⊂ Rn przeznierówność o niewiadomych (x1, x2, . . . , xn) ∈ D generowaną przez wyrażenia a1(x1, x2, . . . , xn)i a2(x1, x2, . . . , xn) rozumiemy funkcję zdaniową

η(x1, x2, . . . , xn) :≡ 〈a1(x1, x2, . . . , xn), a2(x1, x2, . . . , xn)〉 ∈≤

o zmiennych (x1, x2, . . . , xn) i zakresie D.Zwyczajowo fakt przynależności pary wyrażeń 〈a1(x1, x2, . . . , xn), a2(x1, x2, . . . , xn)〉 do re-

lacji ≤ zapisujemy w postaci:

a1(x1, x2, . . . , xn) ≤ a2(x1, x2, . . . , xn).

Zakres prawdziwości funkcji η(x1, x2, . . . , xn) tzn. zbiór Tη(x1,x2,...,xn) ⊂ D nazywamyrozwiązaniem nierówności.

Nierówność na podstawie przedstawionej definicji może zawierać jedną lub więcej niewiado-mych. Może być ona nierównością “słabą” opartą bezpośrednio na relacji porządku liniowego ≤,lub też nierównością “mocną” opartą na relacji poprzedzania generowanej przez relację porządkuczęściowego tj. na relacji <.Przykładami nierówności są następujące funkcje zdaniowe.

(a) η(x) :≡ |x− 1| ≤ 3

(b) η(x) :≡ x2 − x− 2 ≥ 0

(c) η(x) :≡ x√

1− x+ 6 > x

(d) η(x) :≡ 2x + 2 ≤ 42

(e) η(x, y) :≡ logy x < logy x

(f) η(x, y, z) :≡ x+ 2y − 3z ≤ 5

– 89 –

Podobnie jak w przypadku równań, także przykłady nierówności zostały zaprezentowanebez zakresu zmienności zmiennych. Zakres ten, jeśli nie zostały podane dodatkowe warunkiograniczające, będzie przez nas rozumiany jako najszerszy w sensie relacji inkluzji podzbiór Rn

(dla funkcji zdaniowej n zmiennych), w którym możliwe jest dokonanie oceny wartości logicznejfunkcji zdaniowej, niezależnie czy dla konkretnego argumentu (czy też ciągu argumentów) stajesię ona zdaniem prawdziwym czy też fałszywym.

Nierówności równoważne. Niech E(x1,x2,...,xn) ={η(x1, x2, . . . , xn) : (x1, x2, . . . , xn) ∈ D

}oznacza zbiór funkcji zdaniowych o zmiennych (x1, x2, . . . , xn) i wspólnym zakresie D ⊂ An

generowanych przez relację porządku liniowego i nazywanych nierównościami o niewiadomych(x1, x2, . . . , xn). Pojęcie równoważności nierówności rozumianych jako funkcje zdaniowe, podob-nie jak w przypadku równań, sprowadza się do równości zakresów ich prawdziwości.

Każdą funkcję λ : E(x1,x2,...,xn) → E(x1,x2,...,xn) taką, że dla dowolnej funkcji zdaniowejη(x1, x2, . . . , xn) ∈ E(x1,x2,...,xn), oznaczającej nierówność, zachodzi warunek:

Tη(x1,x2,...,xn) = Tλ(η(x1,x2,...,xn)

).nazywamy przekształceniem równoważnym tej nierówności.

Twierdzenie. Jeśli a1(x1, x2, . . . , xn) oraz a2(x1, x2, . . . , xn), są dowolnymi wyrażeniaminad R oraz

η(x1, x2, . . . , xn) :≡ a1(x1, x2, . . . , xn) ≤ a2(x1, x2, . . . , xn),

to dla dowolnego wyrażenia b(x1, x2, . . . , xn) nad R i funkcji zdaniowej

µ(x1, x2, . . . , xn) :≡≡ a1(x1, x2, . . . , xn) + b(x1, x2, . . . , xn) ≤ a2(x1, x2, . . . , xn) + b(x1, x2, . . . , xn),

zachodzi równość:Tη(x1,x2,...,xn) = Tµ(x1,x2,...,xn).

D o w ó d. Ponieważ dla dowolnie ustalonego ciągu argumentów (x1, x2, . . . , xn) zewspólnej dziedziny wyrażeń a1(x1, x2, . . . , xn), a2(x1, x2, . . . , xn) i b(x1, x2, . . . , xn) ich wartościa1(x1, x2, . . . , xn), a2(x1, x2, . . . , xn), b(x1, x2, . . . , xn) są liczbami rzeczywistymi, to na mocy ak-sjomatyki arytmetyki zbioru liczb rzeczywistych otrzymujemy tezę twierdzenia. �

Twierdzenie. Jeśli a1(x1, x2, . . . , xn) oraz a2(x1, x2, . . . , xn), są dowolnymi wyrażeniami nadR oraz

η(x1, x2, . . . , xn) :≡ a1(x1, x2, . . . , xn) ≤ a2(x1, x2, . . . , xn),

to dla dowolnego wyrażenia b(x1, x2, . . . , xn) nad R takiego, że dla (x1, x2, . . . , xn) z dziedzinyfunkcji zdaniowej ϕ(x1, x2, . . . , xn) jest b(x1, x2, . . . , xn) > 0 oraz funkcji zdaniowej

µ(x1, x2, . . . , xn) :≡≡ a1(x1, x2, . . . , xn) · b(x1, x2, . . . , xn) ≤ a2(x1, x2, . . . , xn) · b(x1, x2, . . . , xn),

zachodzi równość:Tη(x1,x2,...,xn) = Tµ(x1,x2,...,xn).

– 90 –

D o w ó d. Ponieważ wyrażenie b(x1, x2, . . . , xn) jest z założenia dodatnie w dziedzinie,to dla wszystkich argumentów (x1, x2, . . . , xn) spełnione są warunki aksjomatyki zbioru liczbrzeczywistych, co dowodzi prawdziwości twierdzenia. �

Ostatnie twierdzenie odnoszące się do problemu mnożenia nierówności “stronami” przezwyrażenie dodatnie czy też liczbę dodatnią jest jak wiemy jednym z zasadniczych narzędzi wprocesie rozwiązywania nierówności. Kolejne twierdzenie jest jego uogólnieniem.

Twierdzenie. Jeśli a1(x1, x2, . . . , xn) oraz a2(x1, x2, . . . , xn), są dowolnymi wyrażeniami nadR oraz a1(x1, x2, . . . , xn) ∈ S i a1(x1, x2, . . . , xn) ∈ S dla wszystkich (x1, x2, . . . , xn) z dziedziny,a przy tym jeśli funkcja f : S → R jest ściśle monotoniczna na S oraz

η(x1, x2, . . . , xn) :≡ a1(x1, x2, . . . , xn) ≤ a2(x1, x2, . . . , xn),

to dla funkcji zdaniowej

µ1(x1, x2, . . . , xn) :≡ f(a1(x1, x2, . . . , xn)

)≤ f

(a2(x1, x2, . . . , xn)

)Tη(x1,x2,...,xn) = Tµ1(x1,x2,...,xn) wtedy i tylko wtedy, gdy f jest ściśle rosnąca na S.

Natomiast dla funkcji zdaniowej

µ(x1, x2, . . . , xn) :≡ f(a1(x1, x2, . . . , xn)

)≥ f

(a2(x1, x2, . . . , xn)

)Tη(x1,x2,...,xn) = Tµ2(x1,x2,...,xn) wtedy i tylko wtedy, gdy f jest ściśle malejąca na S.D o w ó d. Teza twierdzenia jest konsekwencją definicji odpowiednio funkcji rosnącej i

funkcji malejącej. �

Problemem prowadzącym do błędów w procesie rozwiązywania nierówności jest mnożenieprzez liczbę ujemną, czy też przez wyrażenie stale ujemne na zbiorze S, o którym mówi ostatnietwierdzenie. Zauważmy, że funkcja liniowa f postaci f(x) = kx dla k < 0 jest malejąca na całymzbiorze R, co oznacza, że wtedy zmiana zwrotu nierówności, czyli odwrócenie uporządkowaniazbioru wartości w stosunku do uporządkowania w dziedzinie jest oczywistą konsekwencją tegofaktu.

Niech b1(x1, x2, . . . , xn) oraz b1(x1, x2, . . . , xn) będą ustalonymi wyrażeniami w sensie wpro-wadzonej wcześniej definicji wyrażenia i niech określają funkcję zdaniową:

η(x1, x2, . . . , xn) :≡: b1(x1, x2, . . . , xn) ≤ b1(x1, x2, . . . , xn)

przy (x1, x2, . . . , xn) ∈ Dη oraz Dη ⊂ Rn.Ostatnie twierdzenie, a właściwie jego nieznajomość, jest powodem trudności, gdy wyjściowa

nierówność jest stronami(1) logarytmowana, przy podstawie a ∈ (0; 1), przy założeniu, że wyrażenia logarytmowane sądodatnie;

(2) podnoszona do kwadratu, gdy obie strony są ujemne;(3) zamieniana na wyrażenia wykładnicze, gdy obie strony przyjmują wartości z przedziału

(0; 1).

– 91 –

13. Obliczalność, efektywność, rozstrzygalność

Intuicje. Słowo efektywny jest dość często używane w mowie potocznej i zazwyczaj rozumia-ne jest jako „osiągalny”, „mający prodedurę realizacji możliwą do wykonania w skończonej iniewielkiej liczbie kroków” itp. Również w matematyce nie wystarczy stwierdzić, że coś jestprawdziwe, należy jeszcze podać sposób sprawdzenia tej tezy w skończonej, i co oczywistemożliwie najmniejszej, liczbie prostych kroków sprawdzenia tej hipotezy. Mówi się, że metodajest efektywna5, gdy pozwala w skończonej liczbie kroków rozwiązywać zagadnienia, którychdotyczy. Przykładem takiej metody jest chociażby procedura rozwiązywania równania kwadra-towego.

O zagadnieniu mówimy, że jest rozstrzygalne, gdy każde z pytań wchodzących w składtego zagadnienia jest rozwiązalne za pomocą pewnej efektywnej metody. Przykładem zagad-nienia rozstrzygalnego jest chociażby sprawdzenie czy formuła rachunku zdań jest prawemtego rachunku z wykorzystaniem metody tabelek Schroedera. Innym przykładem zagadnieniarozstrzygalnego jest sprawdzanie czy dana liczba naturalna p jest liczbą pierwszą. Możemy mi-anowicie wypisać wszystkie liczby naturalne większe od 1 i mniejsze od p i dzielić liczbę p przezkażdą z tych liczb. Jeśli żadna z nich nie okaże się dzielnikiem p, to liczba ta będzie liczbąpierwszą. W przeciwnym przypadku p nie będzie liczbą pierwszą. Tak więc w skończonej liczbiekroków (dzieleń) możemy określić czy p jest liczbą pierwszą, czy też nie.

W dziedzinie liczb natiralnych poszczególne liczby naturalne są dane poprzez ich reprezen-tacje (zapisy) na przykład w systemie dziesiętnym. Podobnie pewne własności liczb, relacjei funkcje są dane poprzez metody ich uzyskiwania (stwierdzania). To samo dotyczy operacjimyślowych nie wyprowadzających poza funkcje i relacje. Przez funkcję obliczalne rozumiemyfunkcje i relacje empiryczne dane lub też dające się uzyskać. Funkcje takie nazywamy niekiedyogólnie rekurencyjnymi. Przedstawione definicje zgodnie z zapowiedzią są jedynie intuicjami.Precyzyjne definicje zostaną przedstawione później, a na razie jako wersję roboczą przyjmijmynastępujące brzmienie.

Funkcję f nazywamy obliczalną wtt, gdy istnieje metoda efektywna obliczenia wartości tejfunkcji dla każdego n ∈ N .Podobnie relację � nazywamy obliczalną (ogólnie obliczalną) wtt, gdy istnieje efektywna

metoda sprawdzenia czy dowolna para liczb naturalnych należy do � czy też nie należy.

Zbiór Z nazywamy obliczalnym wtt, gdy istnieje efektywna metoda pozwalająca stwierdzićdla dowolnej liczby naturalnej n czy należy ona do Z czy też nie należy.

Funkcje rekurencyjne i ich własności. Przyjmijmy umowę, że dla oznaczenia skończonegociągu liczb natiralnych x1, x2, . . . , xn będziemy używać symbolu x tj. x = x1, x2, . . . , xn. Kon-sekwencją takiej umowy są natępujące fakty

∀xϕ(x) ≡ ∀x1∀x2 . . . ∀xnϕ(x+ 1, . . . , xn) oraz ∃xϕ(x) ≡ ∃x1∃x2 . . . ∃xn

ϕ(x+ 1, . . . , xn)

Jeśli � ⊆ Nn jest relacją n-członową, to przez funkcję charakterystyczną relacji � rozumiemy

5[2], str. 338

– 92 –

funkcję χ� : Nn → N taką, że

χ�(x) ={

0, gdy �(x),1, gdy ∼ �(x).

Przykładem funkcji obliczalnej są n-argumentowe funkcje rzutowania Ini : Nn → N , gdziedla dowolnie ustalonego i ∈ {1, 2, . . . , n} oraz x = x1, x2, . . . , xn jest

Ini (x) = Ini (x1, x2, . . . , xn) = xi.

Innymi przykładami funkcji obliczalnych są: dodawanie, mnożenie i potęgowanie liczb natural-nych. Podobnie relacja < i jej funkcja charakterystyczna χ< są obliczalne.Dla funkcji obliczalnych g, h1, . . . , h2 funkcja utworzona wskutek ich superpozycji jest obli-

czalna. Zatem funkcja

f(x) = g(h1(x), h2(x), . . . , hn(x))

jest funkcją obliczalną.Dla formuły ϕ(x) zawierającej zmienną wolną x symbolem µxϕ(x) oznaczamy najmnieszą

liczbę x spełniającą ϕ. Tak opisaną operację nazywamy operacją minimum, zaś µx nazywaćbędziemy µ-operatorem. W napisie µxϕ(x) zmienna x stała się zmienną związaną, a zatemmożna ją zastąpić dowolną inną zmienną i wartość całości nie ulegnie zmianie.Rozpatrzmy teraz funkcję obliczalną g spełniającą warunek efektywności tzn. taką, że dla

każdego x istnieje y, że

g(x, y) = 0.

Wówczas możliwe jest zdefiniowanie nowej funkcji f w następujący sposób:

f(x) = µy[g(x, y0 = 0].

Funkcja ta (tj. f) jest także funkcją obliczalną. Mianowicie dla wyznaczenia wartości f(x)wystarczy obliczać wartości g(x, 0), g(x, 1), . . . do momentu aż otrzymamy 0. Wiemy przy tym,na podstawie warunku efektywności, że istnieje taki element y0, że g(x, y0) = 0. Przedstawionąoperację prowadzącą od spełniającej warunek efektywności funkcji g do funkcji f nazywamyoperacją mininmum efektywnego (czasami zamiast tego mówimy o niej jako o: „minimum efek-tywnym”).

Przedstawimy teraz definicję klasy funkcji rekurencyjnych.

Niech Rec oznacza klasę funkcji określoną następująco:(i) Ini ∈ Rec, gdzie n ∈ N oraz i ∈ {1, 2, . . . , n};(ii) funkcje sumy + i iloczynu · liczb naturalnych należą do Rec;(iii) χ< ∈ Rec;(iv) jeśli g, h1, . . . , hk ∈ Rec, to f(x) ∈ Rec, gdzie f(x) = g(h1(x), . . . , hk(x));(v) jeśli g ∈ Rec oraz ∀x∃y[g(x, y) = 0], to funkcja f(x) ∈ Rec, gdzie f(x) = µx[g(x, y)](vi) nie ma innych funkcji w zbiorze Rec poza określonymi w punktach (i)-(iii) oraz utworzonychzgodnie z regułami zawartymi w punktach (iv) i (v).Zbiór Rec nazywamy zbiorem funkcji rekurencyjnych.

– 93 –

Przedstawiona definicja rodziny funkcji rekurencyjnych wyraża fakt, że Rec jest najm-niejszym zbiorem funkcji zawierających funkcje Ini ,+, ·, χ< oraz zamkniętym za względu naoperacje supepozycji i minimum efektywnego.W definicji rodziny Rec wymaga się, aby funkcje podstawiane h1, h2, . . . , hk miały taką

samą liczbę argumentów co funkcja f . Po to by taki warunek zawsze był spełniony posługujemysię operacją rzutowania Ini . Ilustracją tego jest następujący przykład.

Przykład. Niech f : N 3 → N będzie określona wzorem:

f(x1, x2, x3) = (x1 + x2)2 + x3.

Pokażemy, że f jest rekurencyjna, ponieważ poniższe funkcje składowe są rekurencyjne. Mamymianowicie:

f1(x1, x2, x3) =x1 + x2 = I31 (x1, x2, x3) + I3

2 (x1, x2, x3)

f2(x1, x2, x3) =(x1 + x2)2 = f1(x1, x2, x3) · f1(x1, x2, x3)

f(x1, x2, x3) =(x1 + x2)2 + x3 = f2(x1, x2, x3) + I33 (x1, x2, x3) =

=[(I31 (x1, x2, x3) + I3

2 (x1, x2, x3)] · [(I31 (x1, x2, x3) + I3

2 (x1, x2, x3)] + I33 (x1, x2, x3).

Relację � nazywamy rekurencyjną wtt, gdy jej funkcja charakerystyczna χ� jest rekuren-cyjna.

Przedstawimy teraz ciąg własności funkcji i relacji rekurencyjnych. Własności te stanowiąrónocześnie nowe sposoby definiowania funkcji i relacji należących do klasy Rec.

Twierdzenie. Jeśli � jest relacją rekurencyjną oraz h1, . . . , hk są funkcjami rekuencyjnymi,to relacja η spełniająca warunek

η(x) = �(h1(x), . . . , hk(x)

)jest także rekurencyjna.

D o w ó d. Ponieważ χη(x) = χ�(h1(x), . . . , hk(x)), to na mocy warunku (iv) definicjirodziny funkcji rekurencyjnych mamy, że η ∈ Rec. �

Twierdzenie. Jeżeli relacja η jest rekurencyjna oraz jeśli ∀x∃yη(x, y), to f(x) = µxη(x, y)jest także rekurencyjna.

D o w ó d. Ze względu na fakt, że f(x) = µx[χ�(x, y) = 0] mamy na mocy definicji rodzinyfunkcji rekurencyjnych iż f ∈ Rec. �

Twierdzenie. Każda funkcja stała jest rekurencyjna.

D o w ó d. Jeśli fk jest symbolem n-argumentowej funkcji stałej przyjmującej wartość k,to posługując się metodą indukcji matematycznej względem k wykażemy, że fk jest rekurencyjnadla każdego k ∈ N .Jeśli k = 0, to mamy:

f0(x) = µx(In+1n+1 (x, y) = 0).

Przypuśćmy teraz, że fk jest rekurencyjna. Wykażemy, że fk+1 jest także rekurencyjna. Mamywtedy:

fk+1(x) = µx(fk(x) < y).

– 94 –

Na mocy założenia indukcyjnego oraz poprzedniego twierdzenia funkcja fk+1 jest rekurencyjna.�

Dla relacji � i η możemy posługując się spójnikami zdaniowymi określić nowe relacje. Mamymianowicie:

(∼ �)(x) ≡ ∼ �(x),

(� ∨ η)(x) ≡�(x) ∨ η(x)

(� ∧ η)(x) ≡ ∼ (∼ �(x) ∨ η(x))

(�→ η)(x) ≡ ∼ �(x) ∨ η(x)

(� ≡ η)(x) ≡(∼ �(x) ∨ η(x)) ∧ (∼ η(x) ∨ �(x))

Twierdzenie. Jeśli relacja � jest rekurencyjna, to relacja ∼ � jest również rekurencyjna.Jeżeli rekurencyjną są relacje � i η, to rekurencyjne są także relacje: � ∨ η, � → η, � ∧ η oraz� ≡ η.D o w ó d. Pomijamy. �

Twierdzenie. Relacje <,≤, >,≥,= są rekurencyjne.D o w ó d. Pomijamy. �

Twierdzenie. Jeśli � jest relacją rekurencyjną, to funkcja określona rónością

f(x, x) = µyy<x�(x, y)

jest funkcją rekurencyjną.

D o w ó d. Pomijamy. �

Okazuje się, że kwantyfikatory, w odróżnieniu od spójników zdaniowych wyprowadzają pozaklasę relacji rekurencyjnych. Jednak kwantyfikatory o ograniczonym zakresie uważane niekiedyza „słabsze” zachowują włąsność spójników zdaniowych tzn. nie wyprowadzają poza kladę Rec.Mamy mianowicie, że jeśli t jest dowolną liczbą naturalną natomiast ϕ(x) dowolną formułązawierającą x jako zmienną wolną (niekoniecznie jedyną), to możemy określić dwie operacje:∃x<tϕ(x) oraz ∀x<tϕ(x) w następujący sposób:

∃x<tϕ(x) ≡µxx<tϕ(x) < t,

∀x<tϕ(x) ≡ ∼ ∃x<t ∼ ϕ(x).

Bezpośrednio w tych definicji mamy nstępujący wynik.

Twierdzenie. Jeśli � jest relacją rekurencyjną, to relacje η oraz θ spełniające warunki:

η(x, x) ≡∃y<x�(ux, y),

θ(x, x) ≡∀y<x�(x, y).

są także relacjami rekurencyjnymi. �

Nierówności ostre (w zbiorze liczb naturalnych) możemy zastąpić poprzez nierówności słabe.Mianowicie nierówność x ≤ t jest z tym zbiorze równoważna nierówności x < t+ 1.

– 95 –

Jeśli x i y są liczbami naturalnymi, to funkcję . : N ×N → N określamy warunkiem:

x . y ={x− y, gdy x ≥, y0, gdy x < y.

Twierdzenie. Funkcja . : N ×N → N jest rekurencyjna.D o w ó d. x . y = µt(y + t = x ∨ x < y). �

Twierdzenie. Dla funkcji rekurencyjnych g1, . . . , gk oraz n-członowych relacji rekuren-cyjnych �1, �2, . . . , �k o tej własności, że dla każdego układu x liczb naturalnych zachodzi dokład-nie jedna z relacji �1(ux), �2(x), . . . , �k(x) jeśli funkcja f spełnia warunki:

f(x) =

⎧⎪⎨⎪⎩g1(x), gdy �1(x),...

......

gk(x), gdy �k(x),

to f jest funkcją rekurencyjną.

D o w ó d. Ma miejsce równość:

f(x) = g1(x) · χ∼�1(x) + . . .+ gk(x) · χ∼�k(x)

Bezpośrednio z definicji funkcji rekurencyjnej oraz twierdzenia o rekurencyjności relacji gen-erowanych przez spójniki zdaniotwórcze wynika rekurencyjność tak określonej funkcji f . �

Twierdzenie. Dla relacji rekurencyjnych η1, . . . , ηk oraz relacji rekurencyjnych �1, . . . , �k

o tej własności, że dla każdego układu x liczb naturalnych zachodzi dokładnie jedna z relacji�1(ux), . . . , �k(x) jeśli relacja θ spełnia warunki:

θ(x) =

⎧⎪⎨⎪⎩η1(x), gdy �1(x),...

......

ηk(x), gdy �k(x),

to θ jest relacją rekurencyjną.

D o w ó d. Ma miejsce równość:

χθ(x) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩χη1(x), gdy �1(x),...

......

χηk(x), gdy �k(x),

�

Przedstawiony ciąg twierdzeń pozwala uzasadnić fakt, że następujące funkcje są rekuren-cyjne. Są takimi funkcje:1. funkcja poprzednika P (x):

P (x) ={x . 1, gdy x > 0,0, gdy x = 0,

– 96 –

2. funkcja |x− y|:

|x− y| ={x . y, gdy x ≥ y,y . x, gdy x < y,

3. funkcja signum:

sgn (x) ={

1, gdy x �= 0,0, gdy x = 0,

4. funkcja mniejsza z dwóch liczb min(x, y)

min(x, y) = x . (x . y),

5. funkcja najmniejsza z n liczb min(x1, x2, . . . , xn):

min(x1, . . . , xn+1) = min(min(x1, . . . , xn), xn+1)

6. funkcja większa z dwóch liczb max(x, y):

max(x, y) = y + (x . y),

7. funkcja największa z n liczb max(x1, x2, . . . , xn):

max(x1, . . . , xn+1) = max(max(x1, . . . , xn), xn+1)

8. relacja podzielności Div(y, x) (liczba y dzieli liczbę x):

Div(y, x) ≡ ∃z≤x(x = y · z),

9. relacja bycia liczbą pierwszą Pr(x)

Pr(x) ≡ x �= 0 ∧ x �= 1 ∧ x = µzz≤x(z > 1 ∧Div(x, z)).

Jeśli potraktujemy zbiór jako relację jednoczłonową (unarną), to dostajemy następującefakty.

Twierdzenie.(i) Dopełnienie dowolnego zbioru rekurencyjnego jest zbiorem rekurencyjnym.(ii) Suma i iloczyn zbiorów rekurencyjnych jest zbiorem rekurencyjnym.(iii) Każdy zbiór skończony jest rekurencyjny. �

D o w ó d. Ponieważ zbiory można traktować jako relacje jednoczłonowe (unarne), topunkty (i) oraz (ii) są tego faktu bezpośrednimi kinsekwencjami.Rozpatrzmy teraz przypadek (iii). W sytuacji, gdy A jest zbiorem pustym, to mamy a ∈

A ≡ a < a. Ponieważ jedno z poprzednich twierdzeń głosoło między innymi, że relacja < jestrekurencyjna, to zbiór A jest na mocy tego twierdzenia rekurencyjny. Przyjmijmy obecnie, żeA = {k1, . . . , kn}. Wówczas mamy:

a ∈ A ≡ a = k1 ∨ . . . ∨ a = kn

to rekurencyjność tego zbioru wynika z faktu, że równość jest relacją rekurencyjną podobnie jakalternatywa. �

– 97 –

Teza Churcha Klasa wszędzie określonych funkcji oblczalnych jest tożsama z klasą funkcjirekurencyjnych �

Ponieważ pojęcie funkcji obliczalnej nie jest ściśle definiowane, to przedstawionej tu tezyChurcha nie można wykazać.

Używać będziemy pojęcia funkcji częściowej. Przez funkcję taką rozumiemy każdą funkcjęokreśloną na podzbiorze włąściwym ustalonego zbioru X i o wartościach w zbiorze Y . Zatemjeśli f jest symbolem takiej funkcji, to dziedzina f którą oznaczamy symbolem Dom(f) spełniawarunek Dom(f) �⊆ X. Jeśli zaś Dom(f) = X, to mówimy, że f jest wszędzie określona, lub teżcałkowita.Pojęcie funkcji częśiowo rekurencyjnej rozumianej jako funkcji częściowej określonej za po-

mocą algorytmu zostało wprowadzone przez Kleene’ego. Zaproponował on następującą hipotezę.

Hipoteza Kleene’go Wszystkie funkcje częściowe obliczalne za pomocą algorytmów sączęściowo rekurencyjne �

Hipoteza ta podobnie jak teza Churcha nie jest możliwa do udowodnienia.

W dalszej części tezę Churcha będziemy rozumieć w jej wersji rozwiniętej przez Kleene’go.

Mimo braku formalnego dowodu teza Churcha wystarcza do nadania wymaganej ścisłościsformułowaniu zagadnień algorytmicznych, a także w licznych przypadkach pozwolić na dowie-dzenie ich nierozstrzygalności.

Z uwago na tezę Churcha pytanie o to czy funkja jest obliczalna jest równoważne pytaniu ojej rekurencyjność. Ponieważ pojęcie funkcji rekurencyjnej jest pojęciem ścisłym, to w oparciuo nie możemy niekiedy bezpośrednio udowodnić, że funkcja rozwiązująca zadanie nie może byćrekurencyjna, a zatem zadanie nie jest rozstrzygalne.

Wykorzystanie teorii funkcji rekurencyjnych do teorii algorytmów oparte jest na idei numer-acji słów w dowolnym alfabecie za pomocą kolejnych liczb naturalnych. Jest to z kolei możliwe,gdy z jednej strony oprzemy taką numerację o pojęcie sługości słowa, zaś z drugiej o porządekleksykograficzny.

W takiej sytuacji możemy zamiast posługiwać się słowami posługować się liczbami natural-nymi. Jeśli f jest taką funkcją, to ze względu na jej specyfikę możemy przyjąć za dziedzinę pewienpodzbiór zbioru N . Funkcje takie nazywamy funkcjami arytmetycznymi. W szczególnościwyróżniamy podzbiór takich funkcji rozumianych jako funkcje najprostsze i nazywamy je el-ementarnymi funkcjami arytmetycznymi. Składa się on z następujących funkcji:(1) funkcje tożsamościowo równe zeru

0n(x1, . . . , xn) = 0,

gdzie wszystkie (x1, . . . , xn) ∈ Nn.

(2) funkcje rzutowania

Ini (x1, . . . , xn) = xi

dla ustalonego i ∈ {1, . . . , n}.(3) funkcje bezpośredniego następnika

S1(x) = x+ 1

– 98 –

określone dla wszystkich x ∈ N .W teorii rekurecyjnych szczególne znaczenie mają operacje superpozycji, rekursji prostej i

operatora minimum, przy pomocy których tworzymy bardziej złożone funkcje arytmetyczne.

Funkcje arytmetyczne utworzone z elementarnych funkcji arytmetycznych za pomocą re-kursji prostej i superpozycji nazywamy funkcjami pierwotnie rekurencyjnymi.Warto dodać, że operacje te użyte do funkcji całkowitych dają funkcje całkowite.

Przykład. Pokażemy pierwotną rekurencyjność pewnych funkcji arytmetycznych.

(i) Funkcja f(x, y) = x+ y.

Mamy, że funkcja tożsamościowa spełnia warunek: x+ 0 = x = I11 (x)

Z kolei x+ (y + 1) = (x+ y) + 1 = S(x, y) jest funkcją bezpośredniego następstwa.Zatem f(x, y) = x+y powstaje z funkcji pierwotnie rekurencyjnych I1

1 oraz h(x, y, z) = z+1wskutek użycia rekursji prostej, co oznacza, że jest ona pierwotnie rekurencyjna.

(ii) Funkcja f(x, y) = x · y.Mamy dla niej

x · 0 =0(x);

x · (y + 1) =x · y + x.

Funkcje arytmetyczne uzyskane drogą operacji superpozycji i rekursji prostej w skończonejliczbie kroków nie wyczerpują jednak zbioru wszystkich funkcji arytmetycznych. Dla utworzeniawszystkich takich funkcji potrzebujemy dodatkowo operacji minimum.

Funkcje arytmetyczne powstałe z elementarnych funkcji arytmetycznych za pomocą: (i)operacji superpozycji, (ii) operacji rekursji prostej oraz (iii) operacji minimum nazywamy funkc-jami częściowo rekurencyjnymi. Jeśli są to dodatkowo funkcje wszędzie określone, to nazywamyje funkcjami ogólnie rekurencyjnymi.Definicja ta pozwala na wykorzystanie wzystkich dopuszczalnych operacji dowolną skończo-

ną liczbę razy. Funkcje częściowo rekurencyjne są najogólniejszą klasą funkcji arytmetycznychdającyh się określić konstruktywnie.

Kodowanie Zajmiemy się teraz zagadnieniem dotyczącym kodowania skończonych ciągów liczbnaturalnych za pomocą pojedynczych liczb naturalnych. Głównym problemem dla nas będzie to,by zarówno kodowanie jak i dekodowanie (rozumiane jako operacja odwrotna do kododwania)były rekurencyjne.

Twierdzenie (Goedla) Istnieje dwuargumentowa funkcja rekurencyjna β taka, że dla dowol-nych a oraz i zachodzi warunek: β(a, i) ≤ a . 1 oraz dla dowolnych liczb a0, a1, . . . , an−1 istniejeliczba a taka, że β(a, i) = ai dla i < n.

D o w ó d. Definiujemy relację dwuczłonową RP w natępujący sposób:

RP (a, b) ≡ a �= 0 ∧ b �= 0 ∧ ∀x[Div(ax, b)→ Div(x, b)].

Zauważamy, że relacja ta zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy liczby a i b są względnie pierwsze.Mamy przy tym:

RP (a, b)→ RP (b, a).

– 99 –

Rzeczywiście, niech RP (a, b) oraz Div(bx, a). Wtedy bx = ay dla pewnego y. Stąd Div(ay, b).Na mocy założenia RP (a, b) mamy Div(y, b) czyli y = bz dla pewnego z. Stąd bx = abz orazx = az i w konsekwencji Div(x, a). Pokażemy teraz, że:(∗) dla dowolnych liczb a1, . . . , an, b1, . . . , bm takich, że są one różne od 0 i 1 oraz mają tęwłasność, że RP (ai, bj) dla wszystkich i oraz j istnieje taka liczba c, że Div(c, ai) dlai ∈ {1, . . . , n} oraz ∼ Div(c, bj) dla j ∈ {1, . . . ,m}.

Dla n = 1 wystarczy przyjąć c = a1. Wtdy n > 1. Wówczas na mocy założenia indukcyjnegoistnieje c′, które jest podzielne przez każdą z liczb a1, . . . , an−1 i nie jest podzielna przez żadnąz liczb b1, . . . , bm. Weźmy zatem c = anc

′. Liczba ta ma interesujące nas własności.Zauważmy teraz, że

k �= 0 ∧ z �= 0 ∧Div(z, k)→ RP (1 + (j + k)z, 1 + jz).

Rzeczywiście dla dowolnego x jeśli Div(x + xjz, z), to Div(x, z). Oznacza to, że RP (1 + jz, z)czyli RP (z, 1 + jz) na mocy faktu, że RP (a, b)→ RP (b, a).Przypuśćmy obecnie, że Div(x+x(j+k)z, 1+jz). Wtedy Div(xkz, 1+jz), ale równocześnie

RP (z, 1 + jz), a więc Div (xk, 1 + jz). Z założenia mamy, że Div (z, k) dlatego Div(xz, 1 + jz).Jednak RP (z, 1+ jz). W efekcie mamy: Div (x, 1+ jz). Zatem mamy: RP (1+ (j+k)z, 1+ jz).

Określamy funkcjęOP (a, b) = (a+ b)(a+ b) + a+ 1.

Jak możemy zauważyć OP jest funkcją rekurencyjną, a także dodatkowy fakt:

OP (a, b) = OP (a1, b1)→ a = a1 ∧ b = b1.

Załóżmy, że a+ b < a1 + b1. Wtedy

OP (a, b) ≤ (a+ b+ 1)2 ≤ (a1 + b1)2 < OP (a1, b1).

Uzyskaliśmy sprzeczność, a więc nie jest prawdą, że a+ b < a1 + b1. Podobnie można pokazać,że nie zachodzi nierówność a1 + b1 < a+ b. W efekcie mamy a+ b = a1 + b1. Z tego faktu oraz zzałożenia mamy OP (a, b) = OP (a1, b1) wnioskujemy, że a = a1, a w konsekwencji także b = b1.Teraz możemy zdefiniować poszukiwaną funkcję β Goedla. Przyjmujemy mianowicie:

β(a, i) = µxx≤a . 1

[∃y<a∃z<a

(a = OP (y, z) ∧Div (y, 1 + (OP (x, i) + 1) · z)

)]

Stąd widać, że β jest rekurencyjna oraz, że β(a, i) ≤ a . 1. Wystarczy więc udowodnić tylkodrugą z własności wymienionych w twierdzeniu.Zatem niech dane będą liczby a1, . . . , an−1. Szukamy liczby a takiej, że β(a, i) = ai dla

i < n. Niech c będzie największą z liczb OP (ai, i) + 1 dla i < n, zaś z jest liczbą podzielnąprzez wszystkie x takie, żę x < c. Na mocy faktu, że OP (a, b) = OP (a1, b1)→ a = a1 ∧ b = b1.

rozpatrywanego dla k = l − j mamy, że jeśli j < l < c, to RP (1 + jz, 1 + lz). Na mocy (∗)istnieje liczba y taka, że dla j < c:

Div (y, 1 + jz) wtt, gdy j jest postaci OP (ai, i) + 1.

– 100 –

Kładziemy a = OP (y, z). Jest to szukana liczba a. Pokażemy, że istotnie ma ona żądanąwłasność. Na mocy definciji funkcji OP mamy: ai < y < a, z < a. Na podstawie równościOP (a, b) = OP (a1, b1)→ a = a1 ∧ b = b1. mamy, że y i z są jedynymi takimi liczbami, że

ai = µx[Div (y, 1 + (PO(x, i) + 1) · z].

W tym celu wystarczy udowodnić, że

x < ai → OP (x, i) < c ∧OP (x, i) nie jest postaci OP (aj , j) dla j < n.

Jednak OP (x, i) ≤ OP (ai, i) < c oraz OP (x, i) �= OP (aj , j) również na mocy OP (a, b) =OP (a1, b1)→ a = a1 ∧ b = b1. �

Z twierdzenia Goedla wynika, że β(0, i) = 0 oraz, że a �= 0→ β(a, i) < a.

Kodem ciągu liczb naturalnych a1, . . . , an nazywamy najmniejszą liczbę naturalną a taką, żeβ(a, 0) = n oraz β(a, i) = ai dla i ∈ {1, . . . , n}. Przyjmujemy umowę, że kod ciągu a1, . . . , an

oznaczać będziemy symbolem 〈a1, . . . , an〉.Na mocy twierdzenia Goedla liczba taka istnieje. Dla n = 0 mamy 〈 〉 = 0.

Twierdzenie. Dla każdego ustalonego n funkcja 〈a1, . . . , an〉 jest rekurencyjna.Dowód. W istocie mamy:

〈a1, . . . , an〉 = µx[β(x, 0) = n ∧ β(x, 1) = a1 ∧ . . . ∧ β(x, n = an]

Przedstawimy teraz definicję dwóch funkcji dekodujących.

Jeśli 〈a1, . . . , an〉 = a jest kodem ciągu a1, . . . , an, to symbot lh(a) oznaczać będziemydługość ciągu o kodzie a (od ang. słowa lenght). Funkcja lh jest rekurencyjna. Podobnie dlaciągu o kodzie a oznaczymy symbolem (a)i funkcję, która przypisuje mu i-ty wyraz. Mamyzatem dla ciągu 〈a1, . . . , an〉:

lh(a) = n oraz (a)i = ai, dla i < n.

Ponadto

a �= 〈 〉 → lh(a) < a ∧ (a)i < a.

Przez Seq oznaczmy zbiór liczb naturalnych będących kodami skończonych ciągów liczbnaturalnych. Zbiór ten jest rekurencyjny ponieważ zachodzi zależność:

Seq(a) ≡ ∀x<a[lh(x) �= lh(a) ∨ ∃i<lh(a)((x)i �= (a)i)

].

Symbolem In oznaczymy funkcję pozwalającą otrzymywać z kodu danego ciągu kod pod-ciągu będącego jego segementem początkowym. Natomiast ∗ oznaczać będzie funkcję dającąkod podciągu powstałego przez konkatenację dwu ciągów, gdzie tradycyjnie przez konkatenacjęciągów a1, . . . , an oraz b1, . . . , bm rozumiemy ciąg o długości n+m powstały przez dopisanie dociągu a1, . . . , an ciągu b1, . . . , bm to znaczy ciąg a1, . . . , an, b1, . . . , bm.

– 101 –

W sformalizowany sposób możemy to zapisać następująco:

In(a, i) def=µx[lh(x) = i ∧ ∀j<i((x)j = (a)j

)]

a ∗ b def=µx[lh(x) = lh(a) + lh(b) ∧ ∀i<lh(a)

((x)i = (a)i

)∧ ∀i<lh(b)

((x)lh(a)+i = (b)i

)]Funkcja In dla pary (a, i) przyporządkowuje ciągowi o kodzie a początkowy segment długości iaż do miejsca i-tego.Funkcje In oraz ∗ są rekurencyjne i mają następujące własności:

In(〈a1, . . . , an〉, i) =〈a1, . . . , ai〉〈a1, . . . , an〉 ∗ 〈ba, . . . , bm〉 =〈a1, . . . , an, b1, . . . , bm〉.

Jeśli f : Nn → N jest dowolną funkcją, to przez ściągnięcie funkcji f nazywać będziemyfunkcję jednoargumentową 〈f〉 określoną wzorem:

〈f〉(a) = f((a)0, . . . , (a)n−1

).

Jeśli zaś � ⊆ Nn jest relacją n-członową w N , to przez ściągnięcie relacji � nazywamyjednoczłonową relację 〈�〉 określoną następującą zależnością:

〈�〉(a) = �((a)0, . . . , (a)n−1

).

Zauważamy przy tym równości:

f(a1, . . . , an) =〈f〉(〈a1, . . . , an〉),�(a1, . . . , an) ≡〈�〉(〈a1, . . . , an〉).

Twierdzenie. Funkcja f jest rekurencyjna wtt, gdy funkcja 〈f〉 jest rekurencyjna. Relacja� jest rekurencyjna wtt, gdy funkcja 〈�〉 jest rekurencyjna.

Rekursja prosta. Dla dowolnej n-argumentowej funkcji f przez funkcję-pamięć funkcji frozumiemy n-argumentową funkcję f określoną równością:

f(a, b) = 〈f(a, 0), f(a, 1), . . . , f(a, b− 1)〉.

Wartość funkcji f na argumentach a i b jest zatem kodem ciągu skończonego długości b liczbnaturalnych będących wartościami funkcji f na arguentach (a, 0), (a, 1), . . . , (a, b − 1). Wynikastąd, że f(a, x) zawiera informacje o wartościach f(a, x) dla wszystkich x < b. Ten fakt tłumaczynazwę funkcji.

Twierdzenie. Funkcja f jest rekurencyjna wtt, gdy funkcja-pamięć f jest rekurencyjna.Dowód. Niech f będzie rekurencyjna. Wtedy

f(a, b) = µx[Seq(x) ∧ lh(x) = b ∧ ∀i<b((x)i = f(a, i)

)].

Oznacza to, że funkcja f jest również rekurencyjna. Widzimy, że nie jest możliwe użycie równościwystępującej w definicji funkcji-pamięci ponieważ występują w niej kropki zależące od argu-mentu.

– 102 –

Aby dowieść implikacjiodwrotnej załóżmy, że f jest rekurencyjna. Rekurencyjność funkcjif wynika ze wzoru:

f(a, b) =(f(a, b+ 1)

)b.

Twierdzenie. Jeżeli g oraz h są funkcjami rekurencyjnymi, to funkcja f spełniającawarunek

f(a, b) ={g(a), jeśli b = 0,h(f(a, b), a, b), jeśli b > 0.

jest również rekurencyjna.

Dowód. Niech

H(a, b) = µx [Seq(x) ∧ lh(x) = b ∧ (x)0 = g(a) ∧ ∀i<b(i > 0→ (x)i = h(In(x, i), a, i))] (�)

Funkcja H jest funkcją rekurencyjną i jest ona równa funkcji f . Stąd:

f(a, b) = h(H(a, b), a, b)a, b).

Oznacza to, że f jest rekurencyjna. �

Każdą funkcję f określoną za pomocą zależności (�) nazywamy określoną za pomocąrekursji prostej.

Wniosek. Jeżeli funkcje f i g są rekurencyjne, to funkcja f określona wzorem

f(a, 0) =g(a)

f(a, b+ 1) =g′(f(a, b), a, b)

jest także rekurencyjna.

D o w ó d. Jeśli w ostatnim twierdzeniu zamiast brać h(c, a, b) przyjmiemy funkcjęg′((c)lh(c), a, b). �

Operacja rekursji prostej ma zasadnicze znaczenie przy dowodzeniu, że ustalona funkcja jestrekurencyjna. Pozwala ona także wyjaśnić pochodzenie nazwy funkcja rekurencyjna. Poprzed-nie twierdzenie implikuje, że dla wyliczenia wartości funkcji f(a, b), dla b > 0 należy znaleźćwcześniej wartości funkcji dla argumentów 0, 1, . . . , b − 1 (oraz parametrów a). Taka tech-nika postępowania uzasadnia nazwę funkcja rekurencyjna pochodzącą od łacińskiego słowa„powracać”.Bezpośrednią konsekwencją ostanich twierdzeń jest konstatacja, że funkcjami rekurencyj-

nymi są funkcje:— silnia a!, gdzie 0! = 1 oraz (a+ 1)! = a! · (a+ 1).— potęga ab, gdzie a0 = 1, ab+1 = ab · a.— reszta z dzielenia rm(a, b) tj. reszta z dzielenia b przez a, gdzie mamy:

rm(a, 0) =0,

rm(a, b+ 1) =(rm(a, b) + 1) · sgn (|a− rm(a, b) + 1|).

– 103 –

— część całkowita z dzielenia qt(a, b) tzn. część całkowita z dzielenia b przez a. Wtedy

qt(a, t) =0

qt(a, b+ 1) =qt(a, b) + sgn (|a− (rm(a, b) + 1)|)

przy czym

sgn (a) ={

1, gdy a = 00, gdy a �= 0

Definicję tej funkcji możemy oprzeć również o pojęcie minimum efektywnego i wtedy:

qt(a, b) = µx[a · (x+ 1) > b ∨ a = 0].

Reprezentowalność funkcji i relacji rekurencyjnych w arytmetyce PeanoPrzez arytmetykę Peano PA rozumiemy teorię sformalizowaną opartą na klasycznym ra-

chunku predykatów (funkcji zdaniowych), której znakami są następujące symbole:

(1) stałe logiczne ∼,∧,∨,→,↔ ∀,∃;(2) zmienne idywiduowe x1, x2, . . . (tzn. symbole oznaczające dowolne przedmioty (indywidua),którymi zajmuje się rozpatrywana teoria, np. w arytmetyce byłyby to liczby);

(3) predykat dwuczłonowy: = (identyczność);(4) stałą indywiduowa: 0 (zero);(5) jednoargumentowy symbol funkcyjny: S (funkcja bezpośredniego następnika);

(6) dwuargumentowe symbole funkcyjne: + (dodawanie), · (mnożenie);(7) znaki techniczne: (, ) (nawiasy).

Przyjmujemy następujące umowy dotyczące termów:

(t-1) każda zmienna indywiduowa xi oraz stała indywiduowa 0 jest termem (formułą nazwową)języka arytmetyki Peano;

(t-2) jeśli α jest dowolnym termem, to S(α) jest także termem;(t-3) jeśli α i β są dowolnymi termami, to także (α) + (β), (α) · (β) są termami;(t-4) język arytmetyki Peano nie zawiera żadnych innych termów poza wymieniowymi w punkcie

(t-1) oraz tych, które można otrzymać psługując się regułami wymienionymi w punktach(t-2) oraz (t-3).

Podobne ustalenia zrobimy w odniesieniu do formuł zdaniowych:

(f-1) jeśli α i β są termami języka arytmetyki Peano, to że wyrażenie α = β jest formułą zdaniowąjęzyka arytmetyki Peano;

(f-2) jeśli ϕ jest dowolną formułą zdaniową, to wyrażenia ∼ (ϕ), ∀xiϕ(xi) oraz ∃xi

ϕ(xi) sąformułami zdaniowymi;

(f-3) jeśli ϕ i ψ są dowolnymi formułami zdaniowymi, to wyrażenia ϕ ∧ ψ, ϕ ∨ ψ ϕ→ ψ, ϕ↔ ψ

są formułami zdaniowymi;

(f-4) nie ma innych formuł zdaniowych języka arytmetyki Peano poza tymi, które można otrzy-mać stosując reguły podane w punktach (f-1)–(f-3).

Aksjomaty arytmetyki Peano dzielą się na: aksjomaty logiczne, aksjomaty równości orazaksjomaty pozalogiczne.

– 104 –

Aksjomatami logicznymi są te i tylko te formuły zdaniowe języka arytmetyki Peano, którepowstają z następujących formuł rachunku zdań przez konsekwentne zastąpienie w nich zmi-ennnych zdaniowych dowolnymi formułami zdaniowymi języka arytmetyki Peano:

(al-1) p→ (q → p);(al-2) [p→ (q → r)]→ [(p→ q)→ (p→ r)];(al-3) (p→ q)→ (∼ q →∼ p);(al-4) ∼∼ p→ p;

(al-5) p→∼∼ p;(al-6) p ∧ q → p;

(al-7) p ∧ q → q;

(al-8) (p→ q)→ [(p→ r)→ (p→ q ∧ r)];(al-9) p→ p ∨ q;(al-10) q → p ∨ q;(al-11) (p→ r)→ [(q → r)→ (p ∨ q → r)];(al-12) (p↔ q)→ (p→ q);(al-13) (p↔ q)→ (q → p);(al-14) (p→ q)→ [(q → p)→ (p↔ q)].

Aksjomatami równości arytmetyki Peano są:

(ar-1) x = x;

(ar-2) x = y → y = x;

(ar-3) x = y ∧ y = z → x = z;

(ar-4) x = y → S(x) = S(y);(ar-5) x = y → x+ z = y + z;

(ar-6) x = y → z + x = z + y;

(ar-7) x = y → x · z = y · z;(ar-8) x = y → z · x = z · y.

Natomiast aksjomatami pozalogicznymi, a zatem w ścisłym sensie aksjomatami arytmetykiPeano są:

(AP.1) S(x) = S(y)→ x = y;

(AP.2) ∼ (0 = S(x));(AP.3) x+ 0 = x;

(AP.4) x+ S(y) = S(x+ y);(AP.5) x · 0 = 0;(AP.6) x · S(y) = x · y + x;

(AP.7) ϕ(0) ∧ ∀x[ϕ(x)→ ϕ(S(x))]→ ∀xϕ(x).

Regułami wnioskowania są: reguła podstawiania, reguła odrywania, reguła opuszczaniadużego kwantyfikatora, reguła dołączania dużenia kwantyfikatora, reguła opuszczania małegokwantyfikatora, reguła dołączania małego kwantyfikatora oraz regułą uogólniania.

Każda tautologia rachunku zdań jest konsekwencją stosowania tych aksjomatów oraz regułypodstawiania i odrywania.

– 105 –

Istotą tego fragmentu wykłady jest pokazanie związku między funkcjami i relacjami rekuren-cyjnymi, a arytmetyką Peano. Pokażemy, że wszystkie funkcje i relacje rekurencyjne mogą byćreprezentowane w systemie PA rozumienym jako system arytmetyczny Peano, w którym możliwejest dowodzenie faktów dotyczących własności funkcji rekurencyjnych oraz zachodzenia relacjirekurencyjnych. W pewnym sensie system ten jest adekwatny w stosunku do wyróżnionej klasyfunkcji rekurencyjnych.

Przyjmujemy przy tym, że term 0 jet liczebnikiem. Jeśli term α jest liczebnikiem, to jegonastępnik S(α) jest także liczebnikiem. Wszystkie termy otrzymane wskutek użycia dowolniejkrotności superpozycji operacji następnika są rónież liczebnikami. Mówiąc krótko 1 oznaczaterm S0, 2 oznacza term SS0, a w przypadku ogólnym n rozumiemy jako S . . . S︸ ︷︷ ︸

n−razy

0.

Formułę zdaniową ϕ języka arytmetyki Peano zawierającą n zmiennych wolnych słaboreprezentuje w arytmetyce PA relację � ⊆ Nn wtt, gdy dla dowolnych liczb naturalnychk1, k2, . . . , kn ma miejsce równoważność:

R(k1, . . . , kn) wtt, gdy A � ϕ(k1, . . . , kn).

Mówimy, że relację � ⊆ Nn jest słabo reprezentowa w arytmetyce PA wtt, gdy istniejeformuła ϕ języka arytmetyki PA o n zmiennych wolnych, która reprezentuje � w PA.

O formule zdaniowej ϕ języka arytmetyki PA zawierającej n zmiennych mówimy, że mocnoreprezentuje w arytmetyce PA relację � ⊆ Nn wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych liczbnaturalnych k1, . . . , kn zachodzą implikacje:

jeśli �(k1, . . . , kn), to PA � ϕ(k1, . . . , kn),

jeśli ∼ �(k1, . . . , kn), to PA �∼ ϕ(k1, . . . , kn).

Mówimy natmiast, że relacja � ⊆ Nn jest mocno rerezentowana w arytmetyce PA wtt,gdy istnieje formuła zdaniowa ϕ o n zmiennych wolnych, języka arytmetyki Peano, która mocnoreprezentuje � w PA.

Twierdzenia Goedla dotyczące arytmetyki Peano liczb naturalnych oparte zostały na takimoto pomyśle, że wyrażeniom języka arytmetyki rozumianym jako formuły zawowe i formułyzdaniowe w jednoznaczny sposób przyporządkowane zostały liczby naturalne. Spowodowałoto istotną zmianę techniczną, bo zamiast nich można było działać na liczbach naturalnych.Ponadto relacjom metamatematycznym odpowiadają w takim przypadku relacje rekurencyjnemiędzy liczbami naturalnymi, które to jak wiemy są mocno reprezentowane w arytmetyce Peano.

Zbiór formuł T nazywamy teorią wtt, gdy jest on zamknięty ze względu na konsekwencjelogiczne. Elementy zbioru T nazywamy twierdzeniami. Natomiast teorię T nazywamy zupełnąwtt, gdy dla każdej zamkniętej formuły F tej teorii albo F jest twierdzniem tej teorii, albo teżjest nim ∼ F .Zbiór formuł U nazywamy sprzecznym wtt, gdy dla pewnej formuły F zachodzi U � F oraz

U �∼ F . Zbiór U nazywamy natomiast niesprzecznym wtt, gdy nie jest on sprzeczny.Twierdzenie. (Goedla o niezupełności) Każda teoria zwierająca aksjomatykę Peano liczb

naturalnych jeśli jest niesprzeczna, to jest niezupełna �

– 106 –

Twierdzenie. (Goedla o niesprzeczności) Jeśli T jest niesprzeczna i zawiera arytmetykęPeano liczb naturalnych, to formuła zawierająca jedną zmienną wolną nie posiada dowodu wteorii T . �

Innymi słowy oznacza to, że nie istnieje numer Goedla dowodu tej formuły.