volatilità e informazione implicita

Volatilità e informazione implicita

U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna

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Il modello di Black & Scholes• Il modello di Black & Scholes è basato sull’assunzione di

distribuzione normale dei rendimenti. Si tratta di un modello nel tempo continuo. Ricordando la definizione di prezzo forward F(Y,t) = Y(t)/v(t,T)

tTdd

tT

tTKtYFd

dKNTtvdNtYTKtYcall

12

2

1

21

2/1/,ln

,,;,


3

Prezzi di opzioni put

• Dalla relazione di parità put-call e dalla proprietà della normale standard secondo la quale: 1 – N(a) = N(– a) otteniamo

tTdd

tT

tTKtYFd

dKNTtvdNtYTKtYput

12

2

1

21

2/1/,ln

,,;,


4

Volatilità implicita• La volatilità utilizzata è selezionata per ottenere

prezzi coerenti con quelli osservati sul mercato.

• Questo concetto è noto come volatilità implicita e rappresenta un esempio di informazione implicita estratto dai dati di mercato.

• Si noti che il modello di Black e Scholes è basato sull’ipotesi che la volatilità sia costante.


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Il mondo di Black e Scholes

• La volatilità è costante, che equivale a dire che i rendimenti sono distribuiti normalmente

• I portafogli di replica sono ribilanciati senza costo nel tempo continuo, e i derivati possono essere replicati esattamente (mercati completi)

• I derivati non sono soggetti a rischio di controparte cioè il rischio che la controparte possa non tenere fede alle proprie oibbligazioni.


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Oltre Black & Scholes

• Il modello di Black & Scholes implica la stessa volatilità per ogni contratto derivato

• Dal crash del 1987, questa regolarità non è supportata dai dati– La volatilità implicita varia per diversi strike

(smile effect)– La volatilità implicita varia per diverse date di

esercizio (struttura a termine di volatilità)• Il sottostante non ha distribuzione log-normale.


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Smile, please!Smiles in the equity markets

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0,8 0,85 0,9 0,95 1 1,05 1,1 1,15 1,2 1,25 1,3

Moneyness

Imp

lied

Vo

lati

lity

Mib30

SP500

FTSE

Nikkei


8


9


10


11


12

Informazione implicita

• Nel mondo di Black e Scholes, a volatilità costante, e distribuzione normale dei rendimenti, la volatilità implicita di una opzione qualsiasi racchiude tutta l’informazione implicita nei mercati.

• Dopo Black e Scholes, si prova a estrarre da tutte le opzioni scambiate sul mercato per una stessa data di esercizio l’intera distribuzione aggiustata per il rischio dei prezzi (informazione implicita) utilizzando l’approccio di Breeden e Litzemberger.

• Più recentemente prezzi di opzioni con strike e tempi di esercizio diversi sono stati utilizzati per estrarre la dinamica implicita dei prezzi (alberi impliciti)


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Digitali…Digital CoN

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

48 48,5 49 49,5 50 50,5 51 51,5 52

Digital CoN


14

…e spread verticali (super-replica)Spread verticali e opzioni digitali

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

48 48.5 49 49.5 50 50.5 51 51.5 52


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Probabilità implicita nelle call…

• Ricordiamo che il valore dell’opzione digitale cash-or-nothing (CoN) è dato da

Digital Call CoN = P(t,T)Q( S(T) > K)• Sappiamo anche che il pay-off può essere

approssimato da

…da cui

Kh

hh

KCall

KCall-KCalllim CoN Call Digital

0

KTtP

KTSQ

KCall

,

1


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…e nelle put

• La stessa analisi può esser fatta per l’opzione put digitale, cioè che paga un’unità di valuta se S(T) K

Digitale Put CoN = P(t,T)Q( S(T) K)• Allo stesso modo l’approssimazione da dati di

mercato è

…da cui

Kh

hh

KPut

-KPutKPutlim CoNPut Digitale

0

KTtP

KTSQ

KPut

,

1


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Probabilità implicita S&P Mib – Aprile

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

-0,15 -0,1 -0,05 0 0,05 0,1 0,15 0,2

Smile

Gaussian


18

Probabilità implicita S&P Mib Maggio

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

-0,15 -0,1 -0,05 0 0,05 0,1 0,15 0,2

Smile

Gaussian


19

Eventi estremi: aprile

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0,5

-0,15 -0,1 -0,05 0 0,05 0,1 0,15

Smile

Gaussian


20

Eventi estremi: maggio

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

-0,15 -0,1 -0,05 0 0,05 0,1 0,15

Smile

Gaussian


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Alberi ImplicitiNumero Livelli

3

Tasso

Step4

3756480,5336

3700049,7143110

35000 19,46643466548,6742440 48,7698

33000 50,285733000875 36,81320

51,325831000 51,230231415414 80,4157

63,229000630

19,584319083

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DATI DI ESEMPIOMercato: Opzioni CALL sul Mib30 - Fonte: Il Sole 24 Ore 11 Marzo 1999Tasso = 0STEP 1Mib30 = 36500, Call es. APRILE con strike = 36500 prezzo=1764STEP2Call es. GIUGNO con strike = 40000 prezzo = 1347Put es. GIUGNO con strike = 32000 prezzo = 960

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