la volatilità realizzata -...

IntroduzioneVolatilità integrata e variazione quadratica

Errori di misura ed effetti microstrutturaliI Salti

I Modelli

La Volatilità Realizzata

Paolo Santucci de Magistris1

Dipartimento di Economia Politica e Metodi QuantitativiUniversità di Pavia

Pavia, 26 Marzo 2008

Paolo Santucci de Magistris La Volatilità Realizzata



I Modelli

Outline

1 IntroduzioneModelli parametriciModelli non parametrici

2 Volatilità integrata e variazione quadraticaLa distribuzione di RV

3 Errori di misura ed effetti microstrutturaliAnalisi di cointegrazione

4 I Salti

5 I Modelli




I Modelli

Modelli parametriciModelli non parametrici

La necessità di una buona stima della volatilità, come misuradel rischio, ha origine da differenti necessità:

asset allocation;risk management;option pricing




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Diverse nozioni di volatilità:Volatilità IntegrataVolatilità attesaVolatilità istantanea, spot volatility




I Modelli


Il termine volatilità integrata, si riferisce alla variabilità cumulataex post dal processo osservato del rendimento. Due approciper l’analisi empirica:

Modelli parametrici;Modelli non parametrici;




I Modelli


I modelli ARCH e GARCH, appartengono alla classe di modellicompletamente specificati per la volatilità ex ante .

corretta specificazione del modello;tutta l’informazione al tempo t − 1 è osservabile;

La volatilità è predeterminata al periodo t − 1.




I Modelli


I modelli di volatilità stocastica, ne descrivono la dinamicaattraverso un’equazione differenziale stocastica per il moto.L’idea è quella di includere due innovazioni separate (MDHhypotesis), una per la media dei rendimenti, l’altra per legare ilprocesso latente della volatilità alla media.

Processo informativo latente;Tecniche per inferire la volatilità stocastica dal processodel moto.




I Modelli


I modelli non parametrici utilizzano tutta l’informazione ex post,Ft , per estrarre misure della volatilità integrata.

Range: Proxy della volatilità integrata, usa la differenzaminimo-massismo giornaliera;Volatilità Realizzata: Misura direttamente la volatilitàintegrata, rispetto ad intervalli di lunghezza fissa, h > 0;




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La distribuzione di RV

Supponiamo che il processo del logaritmo del prezzo sia unprocesso diffusivo

dpt = µtdt + σtdWt (1)

che descrive le traiettorie di una semimartingala a tempocontinuo. µt è il drift mentre σt è la volatilità spot, Wt è ilprocesso di Wiener al tempo t.




I Modelli


Possiamo definire un’equazione per i rendimenti come:

rt = pt − pt−1 =

∫ t

t−1µsds +

∫ t

t−1σsdWs (2)

e da qui il termine volatilità integrata, IVt

IVt =

∫ t

t−1σsds (3)

Se si assume che la la variazione del drift sia trascurabile,allora si dimostra che Var(rt |Ft) = E(IVt |Ft−1), per cui lavarianza condizionale (modelli ARCH) corrisponde alla volatilitàintegrata. La IVt è la realizzazione ex post.




I Modelli


Barndorff-Nielsen e Shepard(2002) hanno introdotto il concetto divariazione quadratica, QV, in questo ambito. Si ridefinsca l’equazione1 come

Yt = αt + mt (4)dove αt è il termine di drift, mentre mt è una martingala locale Lavariazione quadratica di Yt è

[Yt ] = plimM→∞

tj≤t∑j=1

(Ytj − Ytj−1)2 (5)

cumula i cambiamenti lungo uno specifico orizzonte temporale.Assumendo che αt sia prevedibile, allora

[Yt ] = [mt ] (6)

da cui si ha che, data l’equazione 2, si ottiene

[rt ] =

∫ t

t−1σsds = IVt (7)




I Modelli


Uno stimatore della variazione quadratica è la volatilitàrealizzata, definita come

RVt =

h/δ∑j=1

r2t+j∗δ,δ (8)

In particolare, Andersen et al (2001) hanno dimostrato che RVconverge in probabilità a QV quando M, il numero diosservazioni intragiornaliere, diverge.Campionando i prezzi ad intervalli sempre più brevi, δ → 0, siannullerà l’errore di misurazione e RV convergerà a IV.




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Qual’ è la distribuzione asintotica di RV? Barndorff Nielsen eShepard(2002) hanno derivato la seguente approssimazioneasintotica alla distribuzione della volatilità realizzata:∑M

j=1 y2j,i −

∫ hih(i−1) σ

2s ds√

23

∑Mj=1 y4

j,i

→ N(0,1) (9)

al denominatore la realized quarticity che approsissima lavolatilità della volatilità.




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Analisi di cointegrazione

I dati empirici ad alta frequenza differiscono dal processoarbitrage free per il prezzo, rendendo lo stimatore RV distorto.Varie soluzioni, tra le altre:

Utilizzare dati campionati a frequenze meno elevate (5minuti), trade off varianza-distorsione,Analisi di cointegrazione (Hansen e Lunde (2006))




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Analisi di cointegrazione

Hansen e Lunde (JBES 2006) presentano una procedura perottenere il prezzo efficiente su cui basare la stima della RV:

pti è il vettore (3× 1) del transaction price, l’ask e il bid all’i-esima transazione intragiornaliera i ;si scrive la dinamica di pti come un VECM;la matrice di cointegrazione β è formata da due vettori dicointegrazione:

β =

1 0−1

2 1−1

2 1

Il trend stocastico comune, cioè il prezzo efficiente, siottiene dal teorema di rapresentazione di Granger:

pti∗ = (α′⊥Γβ⊥)−1i∑

j=1

α′⊥εtj (10)




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Essere in grado di scomporre l’ammontare di varianza in unaparte continua e una di salto è fondamantale. Barndorff-Nielsene Shephard introducono il cocetto i bipower variation, come

BVt =π

2

M∑i=2

|rt ,i ||rt ,i−1| (11)

mentre il processo del prezzo è

dpt = µtdt + σtdWt + ktdqt (12)

pertanto [rt ] =∫ t

0 σ2s ds +

∑0≤s≤t k2

s .I salti si ottengono per differenza

p limδ→0

RVt(δ)− BVt(δ) =∑

t−1≤s≤t

k2s (13)




I Modelli

Huang e Tauchen suggeriscono un due misure per i salti:Relative Jump

RJt =RVt − BVt

RVt(14)

che è un indicatore del contributo dei salti (se presenti) allavariazione totale intragiornaliera del processo.Excess Jump

EJt =RVt − BVt

BVt(15)

che è un indicatore del contributo in eccesso di ciascunsalto.




I Modelli

Nel momento in cui si è ottenuta la misura non parametricadella volatilità realizzata, si possono implementare modelliparametrici al fine di prevedere e descrivere alcunecaratteristiche delle serie sotto esame. Alcuni fatti stilizzati:

La distribuzione della volatilità realizzata è asimmetrica edha più curtosi della normale. Invece, il logaitmo della RV èGaussiano;Effetto leverage;Cluster di volatilità;La volatilità realizzata è frazionalmente integrata, questosignifica che uno shock sulla volatilità si smorza moltolentamente. Il grado di persistenza può essere misuratoattraverso il coefficiente d nella forma (1− L)dRVt ;




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L’operatore (1− L)d introduce una espansione infinita di termininell’opratore ritardo, vedi Hosking(1981):

(1− L)dxt = at ⇒ xt =

(∞)∑k=0

ψ(k)at (16)

doveψ(k) =

(k − d − 1)!

(d − 1)!k !Lk (17)

Per k →∞,kd−1/(d − 1)! (18)




I Modelli

La stima del parametro d può essere effettuata almeno in 3modi:

massima verosimiglianza imponendo un troncamentoall’espansione infinita;Metodo di Geweke Porter-Hudak(1984), regression delperiodogramma sulle frequenze;Stimatore ML di Whittle (Fox and Taqqu (1986));




I Modelli

Al fine di catturare la persistenza della serie della volatilitàrealizzata, Andersen et al. hanno suggerito di utilizzare ilmodello ARFIMA(p,d,q):

φ(L)(1− L)d(√

RVt − µ) = ψ(L)ut (19)

Alternativamente all’ARFIMA, Corsi (2003) ha suggerito unasemplice modelizzazione della memoria lunga attravrsoun’equazione autoregressiva vincolata, chiamata HAR-RV:

RV (d)t+1d = c +β(d)RV (d)

t +β(w)RV (w)t +β(m)RV (m)

t +ωt+1d (20)

a cui si aggiunge la versione con specificazione GARCH per lavolatilità della volatilità realizzata.




I Modelli

La volatilità realizzata può essere anche utilizzata comebenchmark di riferimento ex post per valutare la bontà dellastime della volatilità fatte ex ante attraverso modelli di volatilitàcondizionale; Lunde and Hansen(2001), per valutare la bontàdi previsione dei modelli GARCH, hanno implementato 6funzioni di perdita quadratiche del tipo:

n−1n∑

i=1

(σt − ηt)2 (21)

dove σt è la volatilità latente, mentre ηt è la sua stima conmodelli parametrici. Essi trovano che il GARCH(1,1) è quasisempre il modello migliore.




I Modelli

Un’altra applicazione, che rende la volatilità realizzata unbuono strumento per la gestione del rischio, è il Value at Risk. IlValue at Risk è il quantile della distribuzione dei rendimentiattesi al livello di significatività α. Data l’evidente non nomalitàdei rendimenti, ipotizzare che essi siano gaussiani porta aduna sottostima del rischio. Ipotizzando che la non normalità deirendimenti sia dovuta all’eteroschedastcità, diviene necessariolavorare con una buona misura della volatilità attesa.Da qui l’esigenza di un buon modello previsivo per la volatilitàrealizzata.


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