vjerojatnost, statistika i boltzmannova...
TRANSCRIPT
Vjerojatnost, statistika i
Boltzmannovaraspodjela
AK2; šk.g.2006/07; sastavio: T. Biljan
Prema Albertu Einsteinu:“God does not play dice.”
VJEROJATNOST• Teorija vjerojatnosti: matematička disciplina koja opisuje i
primjenjuje pravilnosti povezane uz slučajne događaje.
• Pojedinačni slučajni fenomen nije nužno moguće egzaktno matematički opisati ali za veliki broj takvih fenomena matematički je opis moguć.
• Teorija vjerojatnosti je osnova matematičke statistike.
• Matematička statistika: teorija numeričkog opisa i ispitivanja velikog broja događaja koji se pojavljuju u prirodi i društvu.
• Deskriptivna statistika: Elementarni dio matematičke statistike. Bavi se opisom, obradom, podjelom i reprezentacijom empirijskih podataka. Osnovni zadatak statistike: donositi zaključke o ukupnom skupu podataka na temelju manjeg skupa podataka dobivenog opažanjem (slučajno uzorkovanje).
• SLUČAJNI DOGAĐAJI
• Elementarni događaji wi: mogući rezultati slučajnog pokušaja
• Skup događaja Ω: skup elementarnih događaja
• Diskretni skup događaja: skup događaja čiji se elementi mogu preslikati na skup prirodnih brojeva
• Kontinuirani skup događaja: skup događaja čiji su elementi neprebrojivi i mogu se preslikati samo na skup relanih brojeva
• Slučajni događaj A: događaj koji se može dogoditi kao rezultat slučajnog pokušaja (podskup od Ω)
• Siguran događaj: događaj koji se mora dogoditi
• Nemoguć događaj: događaj koji se ne može dogoditi
• Događaj komplementaran A: događaj koji se može dogoditi akko se A ne dogodi
• VJEROJATNOST DOGAĐAJA
• Relativna frekvencija kn(A): opisuje pojavu događaja A tijekom nnezavisnih ponavljanja slučajnog eksperimenta
• Vjerojatnost (aksiomatska definicija po Kolmogorovu): jedinstveno pridruživanje realnog broja p=P(A) slučajnom događaju A.
• Aksiom I: P(A) je pozitivan realni broj.
• Aksiom II: vjerojatnost sigurnog događaja je jedan.
• Aksiom III: vjerojatnost zbroja nekompatibilnih događaja A1, A2,..., je jednaka zbroju vjerojatnosti događaja P(A1) + P(A2) + ......
• Tri načina računanja vjerojatnosti:
• Klasična metoda: vjerojatnost kao omjer broja elementarnih događaja (P(A)=broj puta događanja A/broj pokušaja) najjednostavniji primjer je koliko puta se pojavi glava (događaj A) u n-bacanja novčića
• Geometrijska metoda: vjerojatnost kao omjer veličine skupa geometrijskih elemenata
• Statistička metoda: vjerojatnost kao omjer broja ponavljanja eksperimenata
• SVOJSTVA VJEROJATNOSTI
• - vjerojatnost komplementarnog događaja je P(A’)=1-P(A)
• - vjerojatnost nemogućeg događaja je nula
• - vjerojatnost neovisnih događaja je jednaka produktu vjerojatnosti P(A∩B)=P(A)P(B)
Pravilo aditivnosti
• 1. Koristi se za računanje vjerojatnosti unije događaja
• 2. P(A ILI B)= P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
• 3. Za međusobno isključive događaje: P(A ILI B) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
PrimjerEEksksperimentperiment: : Vucite 1 kartuVucite 1 kartu. . Zapamtite Zapamtite boju i vrstu.boju i vrstu.
BojaBojaTTipip CrvenaCrvena CrnoCrno Ukup.Ukup.
AAss 22 22 44Nije AsNije As 2424 2424 4848UkupnoUkupno 2626 2626 5252
P(AP(Ass ILIILI Crno)Crno) == P(AP(Ass)) ++ P(P(CrnoCrno)) -- P(P(AsAs CrnoCrno))445252
∩∩
== ++ −− ==26265252
225252
28285252
Množenje vjerojatnosti
Za neovisne događaje:
P(A I B) = P(A ∩ B) = P(A)*P(B)
PrimjerEEksksperimentperiment: : Vucite 1 kartuVucite 1 kartu. . Zapamtite boju i Zapamtite boju i vrstu.vrstu.
BojaBojaTTipip CrvenaCrvena CrnoCrno Ukup.Ukup.
AAss 22 22 44Nije AsNije As 2424 2424 4848UkupnoUkupno 2626 2626 5252
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
⋅
522
42
524
As)|P(CrnoP(As) = Crno) I P(As
• SLUČAJNE VARIJABLE I NJIHOVE DISTRIBUCIJE
Slučajne varijable, X,Y,.... funkcije čija je domena definicije skup Ω elementarnih događaja i čiji je interval podskup skupa realnih brojeva.
Diskretne slučajne varijable: po definiciji slučajna varijabla X i njezina raspodjela su diskretne ako X može imati konačno mnogo ili prebrojivo mnogo vrijednosti x1,x2,... koje se nazivaju moguće vrijednosti od X sa vjerojatnostima p1=P(X=x1), p2=P(X=x2),.....
Kontinuirane slučajne varijable: slučajne varijable čija je vrijednost bilo koji realni broj.
• Raspodjela vjerojatnosti slučajne varijable:
• Raspodjela može biti zadana funcijom raspodjele ili pojedinačnimvrijednostima (u slučaju diskretne slučajne varijable) ili funkcijom gustoće (u slučaju kontinuiranih slučajnih varijabli)
• Postoje tri načina specificiranja raspodjele: analtička, grafička i pomoću tablice.
FUNKCIJA RASPODJELE
F(x)=P(X≤x)
- je vjerojatnost da će X poprimiti vrijednost koja nije veća od x.
∫
∫
∑
∑ ∑
=−=≤<
=
=≤<
==
==
∞−
≤<
≤ ≤
b
a
x
bj
xx xxjj
j
dvvfaFbFbXaP
dvvfxF
pbXaP
pxfXF
pxf
j j
)()()()(
na.kontinuira je funkcija tai raspodjele ili nosti vjerojat vjgustoću f(v) je gdje -
)()(
raspodjela naKontinuira 2.
)(X. od
xti vrijednosmogućog svakoj pri p veličvelskokom sa funkcija step je to-
)()(
0 je maslučlučaaj drugim svimu a x xje ako )(X od f(x) osti vjerojatnfunkcijom i zadati se može raspodjela diskretna -
raspodjela Diskretna .1
jxa
jj
j
OČEKIVANA VRIJEDNOST I VARIJANCA RASPODJELE
)raspodjela ana(kontinuir )()(
)raspodjela (diskretna )()(
)raspodjela ana(kontinuir )(
)raspodjela (diskretna )(
22
22
dxxfx
xfx
dxxxf
xfx
jjj
jj
j
∫
∑
∫
∑
∞
∞−
∞
∞−
−=
−=
=
=
µσ
µσ
µ
µ
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−=
==
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
−
−
2
n
21exp
21)(
raspodjela Gaussova ili NormalnaRASPODJELE NEKONTINUIRA SPECIJALNE
),,,,0,1,(x ,!
)(
RASPODJELA POISSONOVA 2.
),.....1,0( )(
RASPODJELABINOMNA 1.RASPODJELEDISKRETNESPECIJALNE
σµ
πσ
µ µ
xxf
ex
xf
nxqpxf
x
xnx
x
STATISTIKA• Opis mjerenja• Karakteristike mjernih varijabli:• a) diskretne• b) kontinuirane• c) nominalne (karakteristike koje se mogu razlikovati samo pomoću imena
(npr. boja)• d) ordinalne karakteristike (karakteristike koje se razlikuju po kvantitativnoj
hijerarhiji)
• Karakteristike izmjerenih vrijednosti: vrijednosti mjerenja ili mjerenih varijabli nakon mjerenja; obično su nereproducibilne ali fluktuiraju oko srednje ili prave vrijednosti.
• - u većini slučajeva te fluktuacije se mogu opisati normalnom raspodjelom
• STVARNA VRIJEDENOST: vrijednost oko koje svi mjerni rezultati fluktuiraju. Ona je rezultat mjerenja bez pogreške (IDEALNI SLUČAJ).
• Mjerne pogreške: odstupanja izmjerene vrijednosti od stvarne vrijednosti.
• Aritmetička sredina: aproksimativna vrijdenost stvarne vrijednosti za seriju mjerenja.
∑=
=n
iix
nx
1
1
• Često se stvarna vrijednost izjednačava sa srednjom vrijednosti. TO NIJE TOČNO; srednja vrijednost je samo APROKSIMACIJA stvarne vrijednosti.
EMPIRIJSKA STANDARDNA DEVIJACIJA: mjera disperzije zbog mjernih pogrešaka.
( ) ( )∑=
−−
=∆n
ii xx
nx
1
22
11
TIPOVI POGREŠAKA
1. Sistematske pogreške: devijacije zbog naprimjer eksperimentalnihnesigurnosti (loša kalibracija instrumenta), mogu se samo djelomično izbjeći.
2. Statistička ili slučajna pogreška: devijacije zbog nekontroliranih perturbacija (utjecaj temperature, tlaka, itd.) ili zbog slučajnosti procesa (radioaktivni raspad).
3. Stvarna pogreška: devijacija i-tog mjerenja od stvarne vrijednosti. Obično nepoznata.
4. Apsolutna pogreška: pogreška mjerenja koja se odnosi na pojedinačno mjerenje.
xxv ii −=
∑=
−==n
iiix xx
nvd
1
1
xvv i
rel =
5. Srednja pogreška ili linearna disperzija:
6. Relativna pogreška: apsolutna pogreška podijeljena sa srednjom vrijednošću.
7. Srednja pogreška pojedinačnog mjerenja.
( )∑=
−−
=∆=n
iin xx
nx
1
2
11σ
8. Srednja pogreška srednje vrijednosti: jednaka je srednjoj pogrešci pojedinačnog mjerenja, podjeljenom sa korijenom broja mjerenja.
LINERANA REGRESIJAMETODA NAJMANJIH KVADRATA
Princip metode najmanjih kvadrata: Pravac se fita kroz točke tako da suma kvadrata udaljenosti točaka od pravca bude minimalna (udaljenost se mjeri u vertikalnom smjeru, tj. y-os).
( )[ ] ( )[ ] )koeficjent ski(korelacij 2222
10
1
2
1
2
1 111
10
∑ ∑∑ ∑∑ ∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑∑
−−
−=
−=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
=
+=
= =
= ==
yynxxn
yxxynr
xbyb
xxn
yxyxnb
xbby
n
i
n
iii
n
i
n
ii
n
iiii
25 3040 80120 15075 80150 200300 350270 240400 320450 470575 583
0 100 200 300 400 500 600
0
100
200
300
400
500
600 B Linear Fit of Data1_B
Aut
omat
ski
Rucno
0 100 200 300 400 500 600
0
100
200
300
400
500
600
Aut
omat
ski
Rucno
[8.10.2006 10:08 "/Graph1" (2454016)]Linear Regression for Data1_B:
Y = A + B * X
Parameter Value Error------------------------------------------------------------
A 26,11496 21,20188B 0,93216 0,07064
------------------------------------------------------------
R SD N P------------------------------------------------------------
0,97779 40,10932 10 <0.0001------------------------------------------------------------
Y
X
Y
X
r = 1 Y
X
r = -1
r = .89 Y
X
r = 0
- Osim linerane regresije moguća je i nelinearna regresija
- Ako imamo više zavisnih varijable koriste se multivarijatne statističke metode kao što su PCA (Principal component analysis) i PLS (Partial least squares)
- Statistička analiza eksperimentalnih podatatka sastavni je dio svake znanosti a posebice je bitna za analitičku kemiju
BOLTZMANNOVA RASPODJELA
Broj čestica Ni u uzorku sa N čestica, koje se nalaze u stanju Ei u termalnoj ravnoteži pri temperaturi T može se izraziti Boltzmannovom raspodjelom.
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−=
== ∑ −−
kTEE
gg
NN
eqq
eNN
ji
j
i
j
i
i
kTEkTE
i ii
exp
, //
Boltzmannova raspodjela je od iznimne važnosti za razumijevanje cijelog niza spektroskopskih metoda kao što su atomska i molekulska spektroskopija, infracrvena i Ramanova spektroskopija te nuklearna magnetska rezonancija te fizikalne osnove funkcioniranja lasera i masera.