Stranica: IX - 1

Višefrekvencijski Višefrekvencijski izmjenični krugoviizmjenični krugovi

Izmjenični krugovi s izvorima različitih frekvencija. Metoda superpozicije.

t

u,i

u=f(t)= konst

.

i=f(t)=kon

st.u(t)

i(t)

Početna stranica

Stranica: IX - 2

1. zadatak1. zadatakZa spoj prema slici treba odrediti:

a) iR(t), iL(t) i iC(t)

b) efektivne vrijednosti napona i struja

Zadano:

= 1000 [s-1] R = 100 [] L = 0.1 [H] C = 10 [F] u(t) = 100 sin(t+/6) + 30 sin(3t) + 10 sin(5t+3/4) [V]

R CL

+

u(t)

i(t) iR(t) iL(t) iC(t)

Početna stranica

Stranica: IX - 3

U svakoj linearnoj mreži koja se sastoji od više naponskih ili strujnih izvora struja u grani k bit će jednaka sumi svih struja što bi ih u toj grani prouzročili pojedini izvori, sami za sebe.

Uvodni pojmoviUvodni pojmoviMetoda superpozicijeMetoda superpozicije

Metodom superpozicije struja se u jednoj grani izračuna tako da se redom ugase svi izvori osim jednog i izračuna struja u promatranoj grani samo uz taj jedan izvor. Tako se redom određuju struje za sve izvore u mreži, a suma tih pojedinih struja bit će tražena struja u promatranoj grani.

U jednofrekvencijskim mrežama radi se s vektorskoj sumi struja, a u višefrekvencijskim mrežama radi se o sumi struja u vremenskoj domeni.

Za višefrekvencijske mreže vrijedi:

...IIII

...tωItωItωIti

ωωω

mmm

2

32

22

12

333222111 sinsinsin)(

Početna stranica

Stranica: IX - 4

Da bi se odredile struje u mreži potrebno je korištenjem metode superpozicije odrediti struje na tri različite frekvencije.

Rješenje zadatkaRješenje zadatka

Za frekvenciju vrijedi:

1000.11000LωX L

100011000

115Cω

XC

V 30250 U

A 302

2

100

30205

R

UIR

A 602

2

0910030250

LL jX

UI

A 1202

2

0910030250

CC jX

UI

Početna stranica

Stranica: IX - 5

Za frekvenciju 3 vrijedi:

3000.1100033 LωX L

3

100

0110003

1

3

15Cω

XC

V 02153 ωU

V 0215.0100

02153

R

UωIR

A 90205.0093000215

3

LL jX

UωI

A 90245.009

3100

02153

C

C jX

UωI

Početna stranica

Stranica: IX - 6

Za frekvenciju 5 vrijedi:

5000.1100055 LωX L

200110005

1

5

15Cω

XC

V 135255 U

V 135205.0100

135255

R

UωIR

A 225201.009500

135255

LL jX

UωI

A 45225.00920

135255

CC jX

UωI

Početna stranica

Stranica: IX - 7

U vremenskoj domeni struje iznose:

A 1355sin1.03sin3.030sin)( ttttiR

A 2255sin02.0903sin1.060sin)( ttttiL

A 455sin5.0903sin9.0120sin)( ttttiC

Efektivne vrijednosti struja:

A 0.742

1.0

2

3.0

2

1222

RI

A 0.712

02.0

2

1.0

2

1222

LI

A 1.012

5.0

2

9.0

2

1222

CI

Početna stranica

Stranica: IX - 8

2. zadatak2. zadatakOdredite struju iL(t) i njezinu efektivnu vrijednost za spoj prema slici. Zadano:

i(t) = 10 + 302 sin(t) + 152 sin(2t) [A] XC = 1 []

XL = 0.5 [] R = 1 []

RXC

XL

i(t)

iL(t)

R

Početna stranica

Stranica: IX - 9

Zadatak rješavamo koristeći metodu superpozicije.

Rješenje zadatkaRješenje zadatka

Za frekvenciju 0 mreža poprima izgled kao na slici i struja koja teče kroz zavojnicu iznosi:

RI

IL1

R

A 10I

A 51

5.00101

R

RRIωIL

Početna stranica

Stranica: IX - 10

Za frekvenciju :

j.j

j.jωIL

150

150130

A 030 ωI

A 020 ωIL

ωjXRωjX

ωjXRωjXRωIωI

CL

CLL

RXC()

XL()

RI().

IL().

Početna stranica

Stranica: IX - 11

Za frekvenciju 2:

ωjXRωjX

ωjXRωjXRωIωI

CL

CLL 22

2222

501

5011152

.jj

.jjωIL

A 0152 ωI

A 272.112 ωIL

RXC(2)

XL(2)

R

IL(2).

I(2).

Struja kroz zavojnicu:

A 5.232.11205 222 LI

A 272sin22.11sin2205 tttiL

Početna stranica

Stranica: IX - 12

3. zadatak3. zadatakOdredite snagu koja se razvija na otporniku R. Zadano:

i1(t) = 22 sin(100t) [A]

i2(t) = 102 sin(200t+53) [A] u(t) = 60 sin(150t) [V] R = 5 [] R1 = 15 []

R2 = 10 [] L = 0.1 [H]

R2

L

L

R1

i1(t)

R

i2(t)

+

u(t)

Početna stranica

Stranica: IX - 13

Da bi se odredila snaga na otporu R potrebno je odrediti struju koja teče kroz njega.

Rješenje zadatkaRješenje zadatka

Za frekvenciju 1 aktivan je samo strujni izvor i1, dok su ostali izvori neaktivni. To znači, da je strujni izvor (i2) odspojen iz mreže, a naponski kratko spojen.

A021 I

R2R1

i1(t)

RXL()

XL()

100.110011 LωωXX LL

L

LLR jXRR

jXRRjXRIωI

2

2111

L

R jX

jjωI

510

10510101521

A 011 ωIR

Početna stranica

Stranica: IX - 14

Frekvencija 2:

R2

R1

R

+

u(t)

XL()

XL() V02

60U

150.150122 LωωXX LL

RjXRR

UωI

LR

2212

A 22512 ωIR

15251015

2

60

2 jωIR

Početna stranica

Stranica: IX - 15

Frekvencija 3: A53102 I

200.12003ωXX LL

LL

LLR jXjXR

jXjXRRRIωI

2123

A 053 ωIRR2R1

R

i2(t)

XL() XL()

405

405101553103 j

jωIR

Efektivna vrijednost struje kroz otpor R:

232

22

1 ωIωIωII RRRR

A 27511 222 RI

Snaga na otporu R:

W 1355272 RIP RR

Početna stranica

Stranica: IX - 16

4. zadatak4. zadatakU mreži prema slici zadane su vrijednosti impedancija za kružnu frekvenciju . Odredite snagu na otporu R. Zadano:

R = 5 []

R

10sin(t)4sin(2t)

+

-j6 15

j6

-j8j2

Početna stranica

Stranica: IX - 17

Rješenje zadatkaRješenje zadatka Struja koja teče kroz otpor se sastoji od dvije komponenete, na frekvenciji i 2.

2865

2

10

jjjωIR

A 02 ωIR

R

10sin(t)

+

-j6 15

j6

-j8j2

A02 ωIR

Zbog serijske rezonancije

W 105222 RIP RR

Snaga na R:R

4sin(2t)

-j3 15

j12

-j4j4