A.Ü.F.F. Döner Sermaye işletmesi Yay ı nları

No:49

VEKTÖREL ANALIZ CILT-II

Doç. Dr. M. Kemal SAĞ EL Ankara Üniversitesi .

Fen Fakültesi Ö ğ retim Üyesi

Ankara 2006 (2. Baskı )

C.) Bu kitab ı n bütün haklar ı sakl ıd ı r.

Yazarın yaz ı l ı iznini almaks ızın bu kitabın herhangi bir kısmı veya tamam ı herhangi bir şekilde ve herhangi bir anlamda, elektronik, mekanik, foto ğrafık olarak veya xerografik, mikrofilm ve hatta teyp, fax veya video yoluyla çoğaltı lıp satı lamaz veya kullan ı lamaz. Bu hallerde yazar telif haklar ını korumak için kanuni yollar ı takip edebilir.

Annem ve Rahmetli Babam için

ÖNSÖZ

Ankara Üniversitesi Fen Fakültesinin Lisans ve Mühendislik Bölümlerinde öğrenim gören öğrencilerinin program ında yer alan bir yanyı llık Vektörel Analiz dersi için haz ırladığı m birinci cilt kitab ım da eksik olan yüzey integralleri, logaritma, ayr ıca vektör cebiri ve tek değ işkenli vektörel fonksiyonlar üzerinde diferensiyel i ş lemler bölümleri ile ilgili al ış tırmalann çözümlerinin bulundu ğu bu ikinci cilt kitab ı hazırlad ım.

Bu kitab ı hazırlarken özellikle Eutiquio C. Young' ın Vector and Tensor Analysis, Murray R. Spiegel'in Vektörel Analiz ve Tensör Analize Giriş kitaplarından geni ş ölçüde yararlan ılmış tı r.

Kitab ın her ne kadar eksiksiz ve hatas ız olmas ına gayret sarfettim. Fakat baz ı eksikliklerin olabilece ği düş_üncesindeyim bu eksiklerin bildirilmesini bekler, yard ımlar-n-11z için ş imdiden te şekkür ederim.

M. Kemal SAĞEL 2006

1V

IÇINDEKILER

V. BÖLÜM: YÜZEY IN'T'EGRALLER İ 5.0 Giriş 1

5.1 Yüzey Üzerindeki Skaler ve Vektör Alanlann ın İntegralleri 3

5.2 Divergens Teoremi 5

5.3 Stokes Teoremi 10

V. Bölüm İ le İ lgili Al ış tırmalar 14

VI. BÖLÜM: LOGARİTMA

6.1 Logaritma Özellikleri 18

6.2 Belli Bir Say ının Logaritmas ını Bulmak 19

6.3 Logaritmas ı Belli Olan Sayıyı Bulmak 21

6.4 Trigonometrik Fonksiyonlar ın Logaritmas ı 21

6.5 Logaritmas ı Belli Olan Trigonometrik Aç ıyı Bulmak 23

6.6 Derece, Grad ve Radyan Aras ındaki Bağı ntı 23

6.7 Milâdi, Rumi ve Hicri Y ı llar Aras ındaki Bağı ntı 24

VII. BÖLÜM: VEKTÖR CEBIRİ 7.1 Bölüm İ le İ lgili Alış tırmalar

26

7.2 Bölüm ile İ lgili Alış tı nnalann Çözümleri

32

V

VIII. BÖLÜM: TEK DEĞİŞ KENL İ VEKTÖREL FONKSİ YONLAR

ÜZERINDE DİFERENS İYEL IŞLEMLER

8.1 Bölüm İ le İ lgili Alış tırmalar

54

8.2 Bölüm İ le İ lgili Alıstı rmalar ı n Çözümleri

60

Bazı Sabitler 89

Trigonometrik Bilgiler 90

Trigonometrik Formüller 91

İntegral Alma Formülleri 92

Baz ı Metrik Sistem Değerleri 94

Grek Alfabesi 95

Index 96

VI

V. BÖLÜM

YÜZEY İ NTEGRALLER İ

5.0. G İ R İŞ

Bu bölümde yüzey integralleri olan Divergens (Gauss) teoremi ve Stokes teoremini inceleyeceğ iz.

Bir yüzey üzerinde integrel i ş lemini yaparken yüzeyi düzgün yüzey parçalar ı na ay ı rmak gerekir. Düzgün yüzeyler küre, silindir ve koni gibi yüzeylerdir. Düzgün yüzeylerde koordinatlar ı n değ i ş tirilmesi ile yüzeyin xOy düzlemi üzerindeki izdü ş ümünün kapal ı düzgün bir eğ ri meydana getirdi ğ ini kabul edelim. Bu yüzey z = f(x, y) denklemli, birinci mertebeden sürekli ve

diferensiyellenebilir olsun. Bu yüzeyler üzerindeki integral, yüzey parçalar ı üzerindeki integrallerin toplam ı na eş it olduğ undan burada bir yüzey parças ı üzerinden integral almak yeterlidir. Ş ekil 5.1 den de görüldüğ ü gibi z = f(x, y) denklemli yüzeyin herbir noktas ı ndaki te ğet düzlemi ve doğ rultman kosinüslerinin z x ,z y , 1 ile orant ı l ı olan normal bir doğ rultusu vard ı r.

Şekil 5. 1

Yüzeyin herbir noktas ı ndaki ds alan parças ı , teğ et düzlem içinde olup, x0y düzlemi üzerindeki izdü ş ümü dxdy olan yüzey parças ı d ı r.Burada

dxdy = cosads

dir. O halde a aç ı s ı yüzeyin herbir noktas ı ndaki normal vektör ile aras ı ndaki aç ı d ı r ve

COSCL = y Z x2 +Z y

2

olur.

T de S yüzeyinin x0y düzlemi üzerindeki izdü ş ümü olmak üzere yüzeyin alan ı

A = Jds= .\/1 + z >,2 + dxdy s T

dir.

Ornek 5.0.1: 6x + 3y + 2z = 6 düzleminin koordinat düzlemleri aras ı nda kalan parças ı n ı n alan ı n ı bulunuz.

Çözüm:

Ş ekil 5.2

Ş ekil 5.2 den görüldü ğ ü gibi alan ı istenen düzlem parças ı n ı n

x0y düzlemi üzerindeki izdü ş ümü x2 =1 doğ rusu ile koordinat eksenlerinin

s ı n ı rlad ığı T bölgesidir. O halde

6x+3y+2z=6z =3(1—x—F

olur.

2

fjfds = fff[U(x, y) V(x, A W(x, S T

R x xR Y dxdy

dir.

Burada

z x = -3, z y = - 3

ve .\11+ z 2„ + z 2 = -7

2 Y 2 olduğ undan,

A= fj + z x2 z 2y dxdy T

de yerine konursa

Y Y ı

2 7 7 j. 2

A = dxdy = x ı dy

y ox_-0 2 2 o

2 , ı '

A= 1 dy=-7

2 y t? 2 , 2 4

A = -7

- 2

elde edilir.

5.1. YÜZEY ÜZER İ NDE SKALER VE VEKTÖR ALANLARININ İ NTEGRALLER İ

Tan ı m 5.1.1 : f,D bölgesinde sürekli bir skaler alan ve S de düzgün bir yüzey. Bu yüzeyin vektörel denklemi

FZ(x, y) = U(x, A i+ V(x, j>+ W(x, AIR> ,

ayr ı ca x0y düzleminin bir T bölgesinde sürekli diferensiyellenebilir olsun. S üzerinde f nin yüzey integrali

.ff fds

ş eklinde tan ı mlan ı r. O halde

2

o

3

Eğ er S yüzey alan ı için f =1 ise yüzey alan ı

A = ff T

R x xR y dxdy

dir.

Örnek 5.1.1:

R(x,y)= sinxcosy i +sinxsiny j + cosx k ,

vektörel denklemli kürenin yüzey alan ı n ı bulunuz.

Çözüm_

2n 1, AJ f y O x-0

R x xR y dxdy

den

R x (x,y)= cosxcosyi + cosxsiny j - sinx k

y (x,y)=-sinxsinyi +sinxcosyj

ve -->

R x xR y = sin2 xcosyi + sin 2 xsinyj +sinxcosxk

,ı s R x xR y • • n 2 xcos 2 y + s ı n 4 xs ı n 2 y+ s ı. n 2

xcos 2 x

=sinx

bulunur.Bu ifadeler yerine konursa,

2n ıl

A = f fsinxdxdy y-0 x=0

2n n 2n 2n

cos dy =f2dy = 2y1 .= 4n y o o o o

bulunur .

4

5.2. D İVERGENS TEOREM İ

Teorem 5.2.1 : DIVERGENS ( GAUSS ) TEOREMI

D,S kapal ı yüzeyinin çevrelediğ i üç boyutlu uzay bölgesi ve ıl de yüzeye ait dış a doğ ru yönlendirilmi ş birim normal vektör olsun. Eğer bölgesinde sürekli k ı smi türevleri olan bir vektör alan ı ise

ffF ds = Sildiv F dxdydz D

dir.

Ispat :

F(x, y,z) = P(x, y, i + Q(x, y,z) j + R(x, y,z)k olsun.

( _>

ii' P i • n+ Q j • R k• s + + aR dxdydz s n)d

D \ ex ez

dir.

Teoremin ispat ı n ı yapmak için,

fil — dxdydz = SSP ı •n ds <-3)(

fff ( dxdydz=ffQj-nds D <9Y

fff dxdydz = n ds III D S

eş itliklerinin doğ ru olduğ unu göstermek yeterlidir.

Ş ekil 5.3 de görüldü ğ ü gibi,

5

n

Ş ekil 5.3

S, koordinat eksenlerine paralel do ğ rular ı n ı n kendisini ikiden fazla noktada kesmedi ğ i kapal ı bir yüzey, yüzeyin üst k ı sm ı na S,, alt k ı sm ı na S 2 ve silindir

yüzeyineS 3 diyelim. Bunlar ı n denklemleri ise

S, : z = f, (x, y), S 2 : z = f2 (x, y), S 3 : F2 (x, z (x, y)

ve S yüzeyinin x0y düzlemindeki izdü ş ümüne T diyelim. Ş imdi de e ş itliklerin ispat ı birbirinin benzeri oldu ğ undan, III .nün ispat ı n ı yapal ı m.

ff Ny)

--dXdydZ = [ D f3Z T z"--fz(x,Y) i z ydx

fic.3) = ffR(x, y, z) ı dydx

T z- f2t x y)

= fj[R(x, y, fı (x, y))- R(x, y, f 2 (x, y))]:lydx T

dir. S, üst parças ı için k ile n ı vektörü aras ı ndaki a aç ı s ı bir dar aç ı olduğ undan

dydx = cosads, = k- n i ds,

dir. S 2 alt parças ı için k ile n 2 vektörü aras ı ndaki (3 aç ı s ı dar bir aç ı olduğ undan

dydx = - cos (3ds 2 =

dir.

6

Bu durumda ,

ve

dir.

ff R(x, y, f, (x, y))dydx = T

fiR(x, y, f2 (x, y))dydx T

ISR ds, s,

_ = - .ff R k- n 2 ds 2

s2

D T

aR dxdydz = fiR k• n ds

■ Z sis

nR(x, y, f, (x, y))dydx y, f2 (x, y))dydx =SSR k• n, ds, + Ir R 1.C• h2 ds 2 T T S ı S,

= k. n ds

olduğ undan

dir. Benzer şekilde S yüzeyinin di ğ er koordinat düzlemleri üzerindeki izdü ş ümleri al ı narak di ğ er e ş itlikler ispatlan ı r. Böylece elde edilen e ş itliğ inin toplam ı ile istenilen divergens teoremi ispat edilmi ş olur.

Örnek 5.2.1 :

x 2 + y 2 = 4, z = 0, z = 3 do ğ rular ı taraf ı ndan s ı n ı rlanan bölge üzerinde

al ı nan F(x, y, = 4x i - 2y 2 j + z 2 k vektör alan ı n ı divergens teoreminden

yararlanarak hesaplay ı n ı z.

7

Çözüm :

ii n ds = ffidivFdxdydz S D

div (4x)+ 2y 2 )+ 4 2 ) 4 - 4y + 2z

ii nds = - 4y + 2z)cizdydx x- 2 re— vzz=o

2 44-x i 3 = (4Z — 4yz + z 2 )1 dydx

x=-2 o

2 sı14-x,2 = n12 -12y+ 9 )dydx

2vr4- x

1(21 — 1 2 y)clydx x -2 x 2

2 , x

= (21Y — 6Y 2 ) I dx x--2 - \/4 x 2

= r .1-,f4"-- x 2 -6-6- x 2)+21-,/4- x 2 +6(4- X 2 )1iX

x- -2 2

= J 42 Nİ4 - x 2 dx x , 2

= 42

= 42

—2

XN/4

—1

. 2 . 2

(21( -- k

\

- x 2 + —4 arcsin-?-( 2 2

</4 - 4 + 2 arcsin1- 2). <4 - 4 + 2 arcsin(-1) "

= 42(2 arcsin1 - 2 arcsin(- 1))

= 84(arcsin1- arcsin(- 1))

= 8.(

Lc - .\ 2 2 ,

= 84(- 7t)

- -84n

8

Diye-dans teoreminin fizik aç ı s ı ndan izah':

F = Br s ı v ı n ı n herhangi bir noktas ı ndaki h ı z ı , sariyede ds den geçen s ı v ı n ı n hacmi = taban ds ve eğ ik yüksekli ğ i

vAt olan silindirin hacmi

=j . \/At n ds

= v- n dsAt

0 halde bir saniyede geçen s ı v ı n ı n hacmi

H = v. n ds dir.

Akan bir ak ış kan ı n bir P(x,y,z) iç noktas ı ndaki h ı z ı F ve ak ış kan içindeki bir D bölgesinin s ı n ı r ı olan kapal ı yüzey S olsun. Bu durumda

SSF- n ds

integrali birim zamanda bu bölgeden d ış ar ı ya ç ı kan ak ış kan ı gösterir. E ğ er

akış kan s ı k ış amaz ise içeri giren ak ış kan ile d ış ar ı ç ı kan ak ış kan biribirine e ş it ve

ffF-nds= ili V. Fdv = O s d ı v F

halde s ı k ış amaz bir ak ış kan ı n h ı z ı n ı n divergensi s ı f ı rd ı r.

NOT:Akan bir ak ış kan ı n her noktadaki h ı z ı , o noktadaki birim hacmin birim

zamandaki de ğ i ş me miktar ı na e ş it bir divergense sahiptir.

NOT: Bir F vektör alan ı n ı n birim normal vektörünün kapal ı bir yüzey üzerinde

hesaplanan yüzey integrali, bu vektörünün divergens ı söz konusu yüzey taraf ı ndan s ı n ı rlanan hacim üzerinden hesaplanan integraline e ş ittir.

9

5.3. STOKES TEOREM İ

Teorem 5.3.1 : STOKES TEOREM İ

C, basit kapal ı , parçal ı düzgün , pozitif yönlü bir e ğ ri ve bu e ğ rinin çeyreledi ğ i yüzey, S olsun. Yüzey üzerinde pozitif tarafa yönlendkilmi ş birim

normal vektör n ve F nin bile şenleri S U C de sürekli ve diferensiyellenebilir fonksiyonlar olmak üzere

F. r = ffrot F• nds

dir.

Ispat :

F(x, y, z) = P(x, y, z) i +Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k olsun.

Pdx + Qdy + Rdz = ffrot F• n ds c s

ı _;\ Vx P i+Qj+Rk •nds

_ dir. Buradan,

jPdx = ff V xP ı • n ds s

„ II SQdy = if V xQ j • n ds

c s

III fRdz ff V xR k • n ds s

e ş itliklerini hesaplayal ı m. Ş ekil 5.4 de görüldü ğ ü gibi,

ş ekil 5.4

10

S yüzeyinin xOy düzlemindeki izdü ş ümüne T diyelim. f,g ve h tek de ğ erli, sürekli ve diferensiyellenebilir fonksiyonlar olmak üzere S yüzeyinin denkleminin z = f(x, y) veya x = g(y,z) veya y = h(x,z) ile gösterildi ğ ini kabul edelim. Ş imdi, S yüzeyinin denklemi z = f(x, y) ve yer vektörü

r =x i+y j+zk =x i+y j+f(x,y)k olduğ undan

r

ay +fy (x,y)k

d ı r. Bu vektör S yüzeyine te ğ et oldu ğ undan n 'ne diktir. O halde

-■ -T -7.

n = j • n+ fy k• n = O j• n = -fy k. n = -z y k. n

ve S yüzeyi üzerinde P(x, y, z,) = P(x, y,f(x, y)) = F(x, y) olduğ undan

aF aP aP az

ay ay az ay

dir. Bunlar ı , 1 denkleminde yerine koyarsak,

ff vxp .nds = ff --aF) k nds s . caz ay

= fsf aP -> aP-• j • n- —k • n ds

ffH-P zy )k• —y°F) az

olur.

r aP aP = - -- —

az ay ay k• nds

11

Buradan da S yüzeyinin xOy düzlemi üzerindeki izdü ş ümü T olmak üzere,

-ff —dxdy T av

dir. Düzlemde Green teoremi gereğ ince

= iFdx

dir.

C* eğ risinin çevreledi ğ i yüzey T olduğ undan, F fonksiyonunun C* eğ risinin her ( x,y ) noktas ı ndaki değ eri, P fonksiyonunun C e ğ riS,nin her ( x,y,z ) noktas ı ndaki değere e ş it olmas ı C ve C* e ğ rileri için dx ' in

değ iş mediğ inden dolay ı

Fdx = iPdx c-

= (V xP i • n ds

dir. Benzer ş ekilde yOz ve zOx düzlemleri üzerindeki izdü şüm yap ı larak,

f Qdy = ff v xQ j nds s

ve

j- Rdz = f f V xR k • n ds s

e ş itlikleri elde edilir. Bu e ş itlikler taraf tarafa toplan ı rsa

SPdx + Qdy + Rdz = ff Vx P i+Q j+Rk • nds

VxF •nds

= LfrotF.nds s

elde edilir.

12

Not : Stokes teoreminin özel bir hali düzlemde Green teoremidir.

Eğ er, yukar ı daki ş artlar ı sağ lamayan yüzeyler için de teorem geçerlidir. Bunun için yüzey S İ ,S 2 ,..., S, gibi alt yüzeylere ayr ı larak, yüzeylerin meydana geldiğ i C İ , C 2 ,..., C r, eğ rileri ş artlar ı sağ las ı n. Bu taktirde her yüzey için Stokes teoremi geçerlidir. Bu durumda yüzey S İ , S 2 ,..., S n yüzeylerinin integralleri toplam ı al ı narak S yüzeyi üzerinden toplam integral bulunur. eğ rileri boyunca hesaplanan eğ risel integrallerin toplam ı al ı narak C eğ risi boyunca hesaplanan e ğ risel integral bulunur.

Örnek 5.3.1: z = -‘la 2 — X

2 — y 2 yar ı küresinin

F(x,y,z) = (1- z)y ı + zex j + x sinz k

vektör alan ı n! stokes teoreminden yararlanarak hesaplayin ı z.

Gözüm:

Stokes teoreminden

ffrot F. n ds = rF.dr

= j(1- z)ydx + zexdy +xsinzdz

dir. Burada

x = a cosO , yr.asin , z = O ve dx = -a sin ede) , O _.E) 27c

olup,

ffrot F. n ds = Sydx

2n

= f a sin a sin 0):10 o

2n

= -a 2 fsin 2 OdO o

-= -na 2

bulunur.

13

V. BÖLÜM iLE İ LG İ L İ ALIŞ TtRMALAR

1. F(x,y,z)= x 2 i + xy j+ xz k ve S de z = 0,z x 2 + y2 = a 2

silindir yüzeyinin yüzey integralini bulunuz.

[o]

2. F(x,y,z) xy i + z 2 j + 2yz k veSde O x 5.1,0 y 5_1,0 5_ Z 5. 1

s ı n ı rl ı küp yüzeyinin yüzey integralini bulunuz.

3

2

3. F(x,y,z)= x i+ y j+zk veSde x2 +y2 + z2 = a2

küre yüzeyinin yüzey integralini hesaplay ı n ı z.

[4 ıcal

4. Aş ağı da verilen vektör alanlar ı ile yüzeyler için divergens teoreminin doğ ruluğ unu gösteriniz.

a) F(x, y, z) = xz i + xy j + yz k ve S de O= z, y + z 2, x 2 + y 2 = 4 yüzeyi için,

b) F(x, y.,z) = xy i + y 2 j+ yz k veSde z = O z = N/4- x 2 - y 2 yüzeyi için,

c) F(x,y,z)- + x 2 y j+x 2 zk veSde z = 0,z = 4 düzlemi ve x 2 + y 2 =1 silindir yüzeyi için,

d) F(x,y,z)=x 2 i+y 2 j+z 2 k veSde0.5..1,04_1,0_51 s ı n ı rl ı küp yüzeyi için,

„ e) F(x, y, z) = 4xz i - y 2 j + yz k ve S de x = O, x = 1, y = O, y = 1, z = 0,z = 1

düzlemlerinin belirledi ğ i küp yüzeyi için,

f) F(x, y,z) =x i+y j+(z-1)k veSde z = 0,z = 1vex 2 + y 2 =(z- 2)2

yüzeyi için,

14

g) F(x,y,z)= y 2 ı + yz j + xz k ve S de x=0, y=0 ve x+y+z=1 taraf ı ndan s ı n ı rlanan yüzeyi için

ı

[a)6ır b)0 c)5n d)3 e)-3- f)721 g)

2 24

5. y,z) = sin y T+ex + z 2 k' ve S de z=0 ve z = \ia. 2 _ x 2 _ y 2

yüzeyinin SfP> ds integralini hesaplay ı n ı z.

ıta 4

2

6. x Ğ dx dy dz = f Jn x Ğ ds e ş itli ğ inin do ğ rulu ğ unu gösteriniz. D S

(Yol gösterme: i -isabit bir vektör olmak üzere

divergens teoreminde F = G x H- alal ı m)

7. S.F4) dx dydz = if(1). n ds e ş itli ğ inin do ğ rulu ğ unu gösteriniz. D S

(Yol gösterme: Ğ sabit bir vektör olmak üzere

divergens teoreminde P= Ğ eD alal ı m)

8. iff(clı V 2 ıg - ıvV 2 4)) dx dy dz = 11(0y - y .k7. (5) ds e ş itli ğ inin D S

do ğ rulu ğ unu gösteriniz.

(Yol gösterme: Divergens teoreminden F = alal ı m)

9, Nx, y,z) = 2x 2 y7- y 2 j+4xz' lı ve S de y 2 + z 2 = 9, x = 2 ile s ı n ı rlanan yüzeyin birinci bölgedeki k ı sm ı üzerinde divergens teoreminin do ğ ruluğ unu gösteriniz.

[180]

15

10. x 2 + y 2 +z 2 =1 küresinin üst yar ı s ı n ı n yüzeyi, C, bu .-

yüzeyin s ı n ı r ı ve Nx,y,z)= (2x — y) ı — yz2 j — y 2 z k için stokes teoreminin do ğ rulu ğ unu gösteriniz.

[ it]

11. y,z) = yz i — xz j + xy ( S de z = -Nia 2 — x2 y2 yar ı m

küresi için stokes teoreminin do ğ rulu ğ unu gösteriniz.

[ O ]

12. Nx,y,z)= y[+z j+x re, S de y+z=2 ile x 2 + y2 =4 silindiri için stokes teoreminin do ğ rulu ğ unu gösteriniz.

[ -87]

13. F(x, y,z) = (X 2 + y — 4)T +3xy j+ (2xz+ z 2 ) Tc , S de x2 + y 2 z 2 + = 16 küresinin xoy düzleminin üstünde kalan k ı sm ı için stokes teoreminin do ğ rulu ğ unu gösteriniz.

[ - 1 61c ]

14. F(x,y,z)= xz i —y j+xy k , S de A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1) noktalar ı üçgenin kö ş e noktalar ı ise stokes teoreminin do ğ rulunu gösteriniz.

_ _I

15. Li(n 3->c V')x Ğ ds = SĞ x di e ş itli ğ inin doğ rulu ğ unu gösteriniz. s

c

(Yol gösterme: H sabit bir vektör olmak üzere

stokes teoreminde F = G x fi alal ı m.)

16

16. Nx, y,z) = yz — xz + Tc , S de x 2 + y2 = z (O z 1) paraboloidi için stokes teoreminin do ğ rulu ğ unu gösteriniz.

[ -27t ]

17. P(x, y,z) = (x 2 y — 4) { +3xy + (2xz + z 2 )1<- , S de

z=4—(x 2 + y 2 ) paraboloidinin xoy düzleminin üstünde

kalan k ı sm ı n ı n yüzeyi oldu ğ una göre Lfrot F. ii ds integralini

hesaplay ı n ı z.

[ -47t ]

18. Nx,y,z)= (y—z+2) -(+(yz+ 4) j—xz rc, S de x=0, y=0, z=0, x=2, y=2, z=2 e ş itlikleri ile belirlenen kübün xoy düzleminin üstünde kalan k ı sm ı için stokes teoreminin do ğ rulu ğ unu gösteriniz.

[ -4 ]

19. Nx, y,z) = y 2 T+ xy j + xz , S de Z a= 2 x 2 y 2 , z o

paraboloid yüzeyi için stokes teoreminin do ğ ruluğ unu gösteriniz.

[0]

20. Her kapal ı C e ğ risi için Jr.ur = 0 e ş itli ğ inin do ğ ru olmas ı

için gerek ve yeter ş art ı n \,xf'= O olduğ unu gösteriniz.

17

VI. BÖLÜM

LOGARİTMA

Logaritmay ı e taban ına göre 1614 y ı lında yay ınlayan bilgin John Napier (1550- 1617) daha sonra 10 taban ına göre logaritma alman ın daha kolay olaca ğı n ı düş ündü ve onu da bir matematik profesörü olan arkada şı Henry Briggs 1624 y ı lında yayınlad ı .

Logaritma: a >1 ve x >0 olmak üzere, ay = x e ş itliğ ini sağ layan y say ı sını bulmaya logaritma i ş lemi denir. loga x = y şeklinde yazıhr ve a taban ına göre x' in logaritmas ı diye okunur.

aY = x y loga x dir.

Sayılarm logaritmas ı iki kı sımdan olu şur. Birinci k ısım yani tam k ı smı karakteristik, ikinci kı smı yani ondal ık kı sı -num da mantis denir.

Örnek 1.1:

log1298 — 3,11327

Burada 3 karakteristik, 11327 de mantis dir.

6.1. Logaritma

t. loga xy = loga x + loga y

2. loga x

= loga x - loga y Y

3. 1.0ga xm = m loga x

4. loga y x = -1- loga X m

5. loga x .logx a = 1

6. loga x -

log„a

18

Ayr ı ca e taban ı na - göre logaritma için,

1' e = l ı m 1 ı —

.--\ = 2,7182818 veya

1 e _ 1+ 1 4 — + • • • 2,7182818

1! 2! 3!

sonsuz serisiyle ifade edilen say ı e taban ı olarak kullan ı l ı r ve

log o x = In x

Ş eklinde yaz ı l ı r. Burada

log e. In 10 = 1

den

loge= 1 1 0,43429

In10 2,3025 bulunur.

6.2: Belli bir Say ı n ı n Loqaritmas ı n ı Bulmak

Örnek6.2.1: 53 say ı s ı n ı n logaritmas ı n ı bulal ı m. ( log 53 = ? )

Çözüm: Say ı m ı z iki basamakl ı olduğ undan karakteristi ğ it mantisi ise logaritma cetvelinden 53'e bak ı ld ığı nda 72428 oldu ğ u görülür. 0 halde ,

Log 53 = 1,72428

dir.

Örnek 6.2.2: 953 say ı s ı n ı n logaritmas ı nedir? ( log 953 = ? )

Çözüm: Say ı m ı z üç basamakl ı oldu ğ undan karakteristi ğ i 2, mantisi ise logaritma cetvelinden 953 °ün sa ğı ndaki (o) sütunun üst taraf ı ndaki 97 ile bu sütunun 953 sat ı r ı yla kesim noktas ı ndaki say ı 909 olduğ unda mantisi 97909 dur. O halde

Log 953 = 2,97909

dur. 19

Örnek 6.2.3: 1953 say ı s ı n ı n logaritmas ı nedir?

Çözüm: Say ı m ı z dört basamakl ı oldu ğ undan karakteristi ğ i 3, mantisi ise logaritma cetvelinden 195 say ı s ı n ı n saö ı ndaki (o) baş l ı kl ı sütundan 29 ve (3) başhldı sütun ile 195 say ısının kesim noktasma karşı lık gelen 070 sayısının yanyana yaz ılmas ı ile mantis 29070 olduğunda

Log 1953 = 3,29070

olur.

Örnek 6.2.4: 12,98 say ı s ı n ı n logaritmas ı nedir? ( log 12,98 = ? )

Çözüm: 12,98 say ı s ı n ı n karakteristi ğ i 1 dir. Mantisi için 1298 say ı s ı n ı n logaritma değ erine bak ı ld ığı nda 11327 olduğ u görülür. 0 halde

Log 12,98 = 1,11327

dir.

Örnek 6.2.5: 0,1298 say ı s ı n ı n logaritmas ı nedir? ( log 0,1298 = ? )

Çözüm: Ondal ı k say ı n ı n ba şı nda bir s ı f ı r olduğ undan karekteristik 1 ile gösterilir. Geriye kalan k ı sm ı 1298 olduğ undan bunun logaritmas ı na bak ı l ı rsa 11327 oldu ğ u görülür. O halde

Log 0,1298 = 7,11327 dir.

Örnek 6.2.6: 0,01298 say ı s ı n ı n logaritmas ı nedir?

Gözüm: Ondal ı k say ı n ı n ba şı nda iki s ı f ı r olduğ undan karakteristik 2 ile gösterilir. Geriye kalan 1298 say ı s ı n ı n Logaritma değ eri 11327 olduğundan

Log 0,01298 = -2 ,11327

dir.

20

6.3.: Loqaritmasi Belli Olan Say ı y ı Bulmak

Örnek 6.3.1: log x = 3,11327 ise x = ?

Çözüm: Karakteristik 3 oldu ğ undan x say ı s ı 4 rakaml ı d ı r. Mantis k ı sm ı n ı n ilk iki rakam ı 11 olduğ undan s ı f ı r ba ş l ı kl ı sütundan 11 bulunur. Geriye kalan 327 say ı s ı 11 say ı s ı n ı n bulundu ğ u sat ı r veya alt ı ndaki sat ı rlara bak ı larak 327 say ı s ı bulunur. Bu say ı n ı n bulunduğ u sütun sekiz olduğ undan

x = 1298 elde edilir.

Ayn ı ş ekide

log x = 2,11327 = x = 129,8

log x = 1,11327 = x= 12,98

log x = 0,11327 = x = 1,298

logx=1,11327 = x= 0,1298

log x = 2,11327 x = 0,01298

log x = 3,11327 = x = 0,001298

elde edilir.

6.4: Trigonometrik Fonksiyonlar ı n Lociaritmasi

O ° ile 90 ° aras ı ndaki derece ve dakikalara ait aç ı lar ı n trigonometrik fonsiyonlar ı nin logaritmas ı , logaritma cetvellerinde be ş ondal ı kl ı olarak verilmi ş tir. Ayr ı ca bu cetvellerin yan taraf ı nda saniyeleri de bulmak için küçük tablolar vard ı r.

ÖRNEK 6.4.1: Sin 30 ° 15' n ı n logaritmas ı n ı bulal ı m. ( log sin 30 ° 15 1 =?)

Çözüm: Trigonometrik fonksiyonlar ı n logaritmas ı n ı gösteren cetvelden önce 30 ° ait tablonun sol kenarinda15 1 bulunur. Ostlaraftan da sinüs bulunur. Datıa sonra da 151 ya ait sat ı r ile sinüs sütununun kesim yerindeki de ğ er okunur ve

log s ı n 30 ° 15' = 1:70224 bulunur.

21

NOT: Baz ı logaritma cetvellerinde, tam k ı sm ı negatif olan logaritmalar ı kolayca yazmak için tam k ı sm ı 4, 5, 6, 7, 8, 9 olan bütün logaritmalara —10 eklenerek bulunur.

Ş imdi örnek 1.4.1' i buna göre çözelim. ( log sin 30 ° 15 1 =?)

Bu trigonometrik fonksiyonlar ı n değ eri, trigonometriye ait tablodan önce 30 ° , daha sonrada tablonun sol taraf ı ndan 15 1 ve üst k ı s ı mda sinüs bulunduktan sonra 15 1 ile kesim yerindeki say ı okunur. Bu say ı da 9,70224 dür. O halde

log sin 30 ° 15' = 9,70224 -10

= 1,70224 olduğ u görülür.

Ayn ı ş ekilde cosinüs, tanjant ve cotanjant için de logaritmik fonksiyonlar bulunur.

ÖRNEK 6.4.2: Sin 30 ° 15 1 -- logaritmas ı n ı bulal ı m. ( log sin 30 ° 15' 29 11 ? )

Çözüm: Sin 30 ° 15 1 n ı n logaritmas ı n ı bulmak için önce

log sin 30 ° 15 1 ='7,70224 ve

log sin 30 ° 16' = 1,70245

değ erleri bulunacak ve bunlar ı n fark ı na bak ı lacak ve bulunan 21 dir. Bu 21 say ı s ı logaritman ı n sağı nda (solunda) bulunan cetveldir. 21 say ı l ı cetvelden 29 11 y ı bulmak için önce

20 11 kar şı l ı k gelen 7,0

ve

9 11 karşı l ı k gelen 3,2

bulunur ve bu dakikalar toplan ı nca

29 11 kar şı l ı k gelen 10,2 bulunur.

0 halde log sin 30 ° 15' nin mantisi 70224'e bulunan, bu 10,2 ilave edilirse

log sin 30 ° 15 1 29 11 = 1,70234 bulunur.

Ayn ı Ş ekilde cos, tan,cot için yap ı l ı r.

22

6.5: Logaritmas ı Belli Olan Tridonometrik Ac ı y ı Bulmak

Örnek 6.5.1: Log sin A = 1, 70234 A = ?

Çözüm: 1,70234 değ eri logaritma sinüs sütunlar ı nda tam olarak bulunamayabilir. Bu durumda bu say ı ya yak ı n 2 aç ı ya bak ı l ı r. Bunlar

log sin 30 ° 15 1 = 1,70224

ve

log sin 30 ° 16 1 = 1,70245 dir.

Bunlar ı n mantisierinin fark ı 21 artmas ı na karşı l ı k 1 1 (60 saniye) artt ığı görülür.

0 halde bizim mantisimiz 70234 oldu ğ undan log Sin 30 ° 15' = 170224 ün mantisinden ç ı k ı larak 10 fark bulunur. Bu durumda

21 mantisi 60 11

10 mantisi

x - 0x 610

28,5 29" bulunur. 21

O halde

A = 30 ° 15 1 29 11 dir.

6.6 , : Derece, Grad ve Radyan Aras ı nda Baö ı nt ı

TANIM 6.6.1: Dairenin çevresinin 360 da birini gören merkez aç ı ya 1 derece denir ve 1 ° ile gösterilir.

TANIM 6.6.2: Dairenin çevresinin 400 de birini gören merkez aç ı ya 1 grad denir ve 1 grad ile gösterilir.

TANIM 6.6.3: Daire çevresinin yar ı çap uzunluğ undaki k ı sm ı n ı gören merkez aç ı ya 1 radyan denir ve 1 rad ile gösterilir (Dairenin çevresi 2 7C radyand ı r).

Tan ı m 1.6.1, Tan ı m 1.6.2, ve Tan ı m 1.6.3. dende anla şı laca ğı gibi dairenin çevresinin derece, grad ve radyan aras ı ndaki ba ğı nti

360 ° = 400 grad = 2 TC radyan d ı r.

Bu ba ğı nt ı yard ı m ı yla derece, grad ve radyan aras ı ndaki aç ı değ i ş imi yap ı labilir.

23

6.7: Milâdi, Rumi ve Hicri y ı llar aras ı nda ba ğı nt ı :

Milâdi y ı l = M Ruml y ı l = R Hicri y ı l = H

ve Hicri y ı l devir say ı s ı 33 olmak üzere

Milâdi ve Rurrıl y ı llar aras ı ba!':ıı nt ı :

M = R + 584 R = M - 584

Milâdi ve Hicri y ı llar aras ı baffint ı :

32 M = H + 62233

33 H -= — 32 (M-622 )

Örnek6.7.1 : Rumi 1413 y ı l ı n ı n Milâdi y ı l karşı l ığı nedir?

Çözüm :

M = 1413 + 584 M = 1997 dir.

Örnek6.7.2 : Milâdi 1953 y ı l ı n ı n Ruml y ı l karşı l ığı nedir?

Çözüm :

R = 1953 - 584 R = 1369 dur.

Örnek6.7.3 : Hicri 1299 y ı l ı n ı n Milâdi y ı l karşı l ığı nedir?

Çözüm : 32

M = 33 1299 +622

41568 +622

33

a.- 1259 +622

24

Örnek6.7.4 Milâdi 1938 y ı l ı n ı n Hicri' y ı l karşı l ığı nedir?

Gözüm : H=— 33

(1938 -622 ) 32

33 =-32- 1316

43428

32

=1357

Milâdi, Rumi ve Hicri y ı llar aras ı ndaki bağı nt ı :

M=R+ 584= 33 —

32H + 622

dir. Bu bağı nt ı yard ı m ı yla Miradi, Ruml ve Hicri y ı llar aras ı ndaki değ iş im bulunur.

25

VII. BÖLÜM

BÖLÜM İ LE ILGILI ALIŞ TIRMALAR

1- Aş ağı da baş lang ı ç ve bitim noktalar ı verilen F.;*Q doğ ru parçalar ı n ı n büyüklük ve bile ş enlerini bulunuz.

a) P--( 1,2), Q=(3,4) b) P=(1,-1), Q=(-2,2) c) P=(0,1), Q=(4,-2) d) P=(1,2,3), Q=(4,6,8) e) P=(1,0,-1), Q—(2,3,-4) f) P=(-1,2,-2), Q=(3,-2,5)

ra) (2,2), 2 ,[2- b) (-3,3), c) (4,-3),5

[d) (3,4,5),5,İ1 e) (1,3,-3),-Ji§ f) (4,-4,7), 9

2- Aş ağı da baş lang ı ç veya bitim noktas ı verilen P->ö = Â vektörünün di ğ er noktas ı n ı bulunuz.

a) A = (7,8), P = (-1,2)

b) A = (3,-2), Q= (4,0)

e)4

Q = \ 3 3

d) -Â = (2,-3,4), P = (1,2,-3)

e) A = (-8,1,-2), Q = (-7,1,3)

= (1,0,2,5), P = (0,-1,3,-2)

a) Q = (6,10) b) P = (1,2) c) P = 4 3)

[d) Q = (3,-1,1) e) P = (1,0,5) f) Q =

3- A = (-3,4) vektörünün do ğ rultman kosinüslerini bulunuz.

[cos0 = , sin0 = -4-5 ]

4- A = (5,2,-1) vektörünün doğ rultman kosinü ş lerini bulunuz.

[cosa = 5 , cos(i = 2 , cosy =

5- Uzunluğ u 2 birim ve yönü e = 30° olan düzlemsel A vektörünün bile ş enlerini bulunuz. (x-ekseni ile yapt ığı aç ı 30° ).

26

-4 6- A = (-3,1,-2) vektörü veriliyor.

a) A vektörü ile ayn ı yöndeki birim vektörü,

b) -A> vektörü(

ile ters yöndeki birim vektörü bulunuz. 3 1 2

a) u = Nİ -171. h‘

7- -A> = (-4,3,-2) ve 1-3> = (1,-2,3) ise

a) A+ 4 -1.3 b) 2 -A> -1-3 , c) iiA+4b , d) 112 A-- 13 , e) + 111

bulunuz. {a) (0,-5,10), b) (-9,8,-7), c)5,S, d) Nrf -94, e) Nr2.--9- + Nr17:11

8- El> = (0,1,2) ve C = (3,4,5) ise 4 -13+ 5 -A> = 3 -C> bağı nt ı s ı n ı sağ layan A vektörünü bulunuz.

[Z = -9] 5'5'5

9- -A* = (-5,6,-7) , B = (2,-3,4) ve C = (-3,4,-5) ise -A> = ki3+s -C> ba ğı nt ı s ı m sağ layan k ve s say ı lar ı n ı bulunuz. (k ve s bir skalerdir.) [ k = 2 , s = 3

10- -A> = (1,2,3) , i3> = (-5,1,-5) , C = (0,4,5) ve D = (2,3,6) ise

1; = -;,+ k +si3 bağı nt ı s ı m sağ layan m, k ve .s say ı lar ı n ı bulunuz. [ m=1 k=2 , s=-3

11- Her -A> ve 13 vektörleri için

SIIA +I i3>

b)

= -4 -4 A- B

11A> olduğ unu gösteriniz.

l -4 -4 Ail nin B üzerindeki dik izdü ş ümünün 12- Aş ağı da verilen A ve B vektörleri için

boyunu ve A ve B vektörleri aras ı ndaki aç ı n ı n kosinüsünü bulunuz. -+ -4 -9 -+ -> --> -■

a) A=2i-2 j+k, B=-i-2j+2k -9 -4 -4 -›

b) A= i-2 j+3k, B=3i+ j-2k

27

-4 -4 -4 -4 -4 .4 -4 c) A=3 i-5 j+4k, B=4 i+3 j-5k

-4 -4 -4 -4 -› -4 -4 d) A=2 i+3 j-6k, B= i-2 j+4k

-a)

(4 4 cos8=-9-) b) 5 5 c°5°=--14)

c)(- 52,[2-3 , cos8 = - 5203)

"

( 28 4 )

,İ2T cos =

13- 12 inci problemde verilen A ve B vektörlerini gözönüne alarak

üzerindeki dik izdü ş ümünün boyunu bulunuz.

ra)-4 b)- )c) —23,-- d - 4 L 3 44 5,12

14- A = (1,-2,1), B = (3,1,-1) ve C = (1,4,7) vektörlerinin birbirlerine dik (ortogonal) olduklar ı n ı gösteriniz.

15- A = -i>+ 27+ 1->c ve B. = 2 -i> + k vektörlerini gözönüne alal ı m. Hem -Â ya hem

de B vektörlerine dik olan bir vektör bulunuz. Bu vektör tek midir?

-› -0. .4 16- A= i+3j-4k ve B=2i-3j+5k vektörlerini gözönüne alarak A- tB

vektörü

> i) -A vektörüne,

ii) 13 vektörüne dik olacak ş ekilde t sabitini , bulunuz.

(- 26, f8) -> -->-> -> -> -> -> -> ->

17- A =3 i - j+ 5 k ve B= 2 i -4 j- 3k vektörlerini gözönüne alarak aA+ B vektörü

i) -A> vektörüne,

ii) g vektörüne dik olacak ş ekilde a sabitini bulunuz.

L 7' 1)1 18- A = (1,-2,3), B = (-3,4,-5) ve Ğ = (5,-6,7) vektörlerini gözönüne alal ı m.

A- k B+ s e vektörü hem B ya hem de C ye dik olacak biçimde k ve s sabitierini bulunuz.

[ k = -2 , s 1

B nin A

J

28

cauchy-schwarz e ş itsizliğ ini ispatlay ı n ı z.

üçgen e ş itsizliğ ini ispatlay ı n ı z. (Not: Vektörler yard ı m ıyla)

19-

20-

A+ B

B

21- Aş a ğı daki herbir ;k ve i3 vektörünün paralel olduklar ı n ı gösteriniz. -4 -4 -4. -4 -> -4. -4

a) A=-i+2 j-3k, B=2 i-4 j+6k

b) A=3i+6 j-9k, B= i+2 j-3k

22- Aş ağı daki vektörlerin her ikisine birden dik olan bir birim vektör bulunuz. -4 -4 -4 --> -4 -4 -> ->

a) A= i-2 j+3k, B=2 i+ j-k -3. -4. -> -4. -4 -4. ->

b) A=3i- j+6k, B= i+4 j+k

La) (-1,7,5)

5i3- b)

-;$3- ( -25,3,13)1

-> •-> -> -> -4 -> -> -4. -4 -4 23- A=2 i+ j-k, B=- i+3 j+4k ve C= i -3 j +5k olmak üzere a ş ağı daki

ifadeleri hesaplay ı n ı z.

a) -A* x i:+t , b) i3> x , c) -A* , d) C) e) -A.' xe13> x ›)

-> --> -› -4 --> -> --> a)7i-7j+7k b)27 i+9 j c)-2 i+11j+7k

-4 -4 _d)63 e)9 i-27 j- 9k

24- Vektörel çarp ı m ı kullanarak, a ş ağı da kö ş e noktalar verilen üçgenlerin alanlar ı n ı hesaplay ı n ı z. [Uyar ı : Üçgenin alan ı =111.1* 2

a) P=(1,0,3), Q=(1,2,-1), R=(-2,1,3) b) P=(-2,-1,3), Q=(1,2,-1), R=(4,3,-3) c) P=(4,-2,3), Q=(-3,1,1), R=(1,1,1) d) P=(-1,-3,1), Q-(2,2,-1), R=(-3,2,-2)

[a) 7 b)../.19 c)210 d) ş-J9 11 2

-> -> -> 25- Do ğ rultman vektörü A = i +2 j- k olan ve P 0=(1,2,0) noktas ı ndan geçen

doğ runun simetrik ve parametrik denklemlerini bulunuz.

[x-1=Y-2= 2 z , x=l+X, y=2+27., z=-2 ı ]

29

26- -›

L i :R ı = i -+ - j + k+ + j+ k) t

-› (

L2 :R2 =3 i -3 j+ k+ - i+3 j+2k) t'

doğ rular ı n ı n kesim noktalar ı n' bulunuz ve aralar ı ndaki aç ı y ı belirleyiniz.

[P = (2,0,3) cos0 = 4 /.4-12]

27- (-1,3,2) noktas ı ndan geçen ve A=21-3 j+5k vektörüne paralel olan doğ runun parametrik denklemini bulunuz. [x=-1+2X, y=3-32 ı,, z =2+5X , -0D<X<G0]

28- (3,-1,4) ve (-2,3,5) noktas ı ndan geçen doğ runun simetrik formunu bulunuz. [(x-3)/-5=(y+1)/4=(z-4)]

29- (1,-2,1) noktas ı ndan geçen ve 2x-3y+4z=5 düzlemine dik olan do ğ runun parametrik denklemini bulunuz. [x=1+2X, y=-2-3X, z=1+4X, -oo<2 ■.<co]

30- (3,4,6) noktas ı ndan geçen i +2 j- k vektörüne dik ve 2x-3y+5z+4=0 düzlemine paralel olan do ğ runun parametrik denklemini bulunuz.

[x=3-7/1,,y=4+72,2=6+721

31-

R ı = 21+ 1c+ ei*- 2 --j> + k) t

R2 = -1+21c+ (1.- 3 -j+ rc) t'

dogrularm ı n kesim noktalar ı n ı bulunuz ve aralar ındaki aç ı n ı n kosinüsünü belirleyiniz.

[P = (3,-2,3) cos0 = 4-1g6- / 33]

x -2 y + 4 z - 3 x-2 - 2 y -5 z- 3 32- — = = ve - = 1 2 1 2 1 2

doğ rular ı aras ı ndaki aç ı n ı n kosinüsünü bulunuz.

[cos0 = ,r6- ı 3]

33- (1,-1,1), (-2,3,4) ve (-3,-2,1) noktalar ından geçen düzlemin denklemini bulunuz. [3x -12y +19z - 34 =

30

34- A ş ağı da verilen vektörlerin karma çarp ı m ı n ı bulunuz.

a) A = (2,1,0), B = (-1,4,0), C = (1,1,2)

b) A = (-1,1,2), B = (1,2,0), C = (2,-1,4)

c) A = (2,1,3), B = (-3,0,2), C = (2,-1,4)

d) A = (3,1,2), i3* = (2,0,5), C* = (1,6,3) [a)18 b) - 22 c) 29 d) - 67]

35- P=(1,2,0), Q=(3,5,0), R=(4,3,0), ve S=(-1,-1,2) bir paralel yüzün dört kö ş esi olduğ una göre bu paralel yüzün hacmini bulunuz, [ 14 ]

36- A = (1,2,m), i3= (2,3,0) ve C = (1,1,-3) vektörlerinin ayn ı düzlemde olmas ı için m ne olmal ı d ı r. [ m = 3 ]

37- Bir üçgenin kenarortaylar ın ı n kesim noktas ı H ise HA +HB + HC = 0 d ı r. Gösteriniz.

38- Bir üçgenin kenar orta dikmelerinin kesiy, noktas ı 9 olsunAyr ı ca üçgenin kenarortaylar ı n ı n kesim .noktas ı H ise QA + QB + QC = 3QH olduğun ıi gösteriniz.

--) -3 -3 -3 -3 -3. -3 -3, -3 -3 -3 39- A = 4 i - 3 j + k, B = - 1- 2 j + 2 k ve C = -7 i - 4 j vektörlerinin ayn ı

düzlemde oldu ğ unu gösteriniz.

40- A = 1- 2 j - k, B=2 j+3k ve C= i+2 j+4k olmak üzere a ş ağı daki ifadeleri hesaplay ı n ı z.

a) Axe-13> x) b) (Z,x11)x c) (A+ -1+3)x(A-)

[a)-15T+51-251-+c b)- 26 -i*+311- 91: c)237+151-1211

31

L BÖLÜM İ LE ILGILI ALIŞ TIRMALARIN ÇÖZÜMLERI

1- a ) P =(1,2) , Q =(3, 4)

PQ = OQ — OP = (3,4)— (1,2) = (2,2) bile ş enleri cinsinden ifadesi

PQ = yia, 2 a2 2 = N/4 + 4 = 2-4- büyüklüğü

b ) P = , — 1) , Q = (— 2,2)

PQ = OQ = (-2,2)— (1,-1) = (-3,3)

11PQ = +9 =

c ) = (0,1), Q = (4,-2)

PQ = OQ — OP = (4,-2)—(0,1) = (4,-3)

PQ NI16 +9 = 5

d) P = (1 ,2 ,3) , Q = (4 , 6 ,8)

PQ = OQ OP = (4,6,8) — (1,2,3) = (3,4,5)

11PQ(+ = -19 +16 + 25 =

e) P =(1,0,-1), Q = (2,3,-4)

PQ = 00 OP = (2,3,-4) — (1,0,-1) = (1,3,-3)

PQ = N11+9+9

f ) P = Q = (3,-2,5)

PQ = OQ — OP = (3,-2,5)— (-1,2,-2) = (4,-4,7)

PQ =V16+16+49

32

2 a ) = (7,8) , P = (-1,2)

A= PQ = OQ - OP = (7,8) = (q,,q 2 )- (-1,2)

7=q,-1-1q,=6

8 = qz -2 = q2 =10 Q = (6,10)

b ) A = (3,-2) , Q = (4,0)

A = PQ = OQ - OP (3,-2) = (4,0)- (p,, )72 )

3 = 4 - p, api - 2 - p2 p, = 2 P = (1,2)

), Q (_ i 4'3) '3)

= PQ = OQ - OP 1)- (p, p,) 4 '3 '3

3 - -4 = -1- Pi = --4 5 1 4 „

4

1 41 3 3 - = - - p2

3 p2 = r = , - - -3-

ı

d) A = (2,-3,4) , P = (1,2,-3)

71= PQ = OQ - OP (2,-3,4)= (1,2,-3)

2 = q, -1q1 =3

-3=q 2 -2q 2 =-1

4=q3 -1-3q3 =1Q=(3,-1,1)

e) A = Q = 7,1,3) (- 8,1,-2) =( 7,1,3)- (p,, p2 , p3 )

-8 = -7- p, p, =1

1=1- p2 p2 = O

- 2 = 3- p, p3 = 5

P = (1,0 ,5)

33

f ) = (1,0,2,5) , P = (1,0,2,5) = (q, ,q2 , q 3 , 14 )– (0,-1,3,-2)

0 = q 2 +1 q, -= –1 2=q3 -3q3 =5

5=q4 +2q4 Q = (1,-1,5,3)

3-

5

= cose

7111= NI 9

a cosa = :41

16 =

3 = – 5

cos /3 = (İ' 4

= sirı t9 :1 5

= (5,2,–/)

1:411= 25 + 4 + 1 =,1:30

a cosa = –

– V30

cos fl = —a, = 2 ,f5ö-

a3 1 cosy = = A -‘130

34

5 A = 2

cos0 =

sin 8 = --2-a_

br = 30°

cos30 ° = A

sin 30 ° = -1

A 2

23 a =

a2 = 1

6- a ) A =

- u =

711

3,1,-2)

3 1 2

71j =V9+1+4

A u = (

i1: NA:4- j

( 3 1 2 u ) - u =

14 N/Fr ı 14)

7-a) + 473 4,3,-2)+ 41,-2,3) = (- 4 + 4,3 - 8,-2 + 12) = (0,-5,10)

b ) 2A - B = 2(- 4,3,-2)- (1,-2,3) = (- 8 -1,6 + 2,-4 - 3) = 9,8,-7)

e ) + 473 = (O ,5 ,1 O)

=5-f5 :4+41.3 =N/0+25+100

d) 2:4 - =(-9,8,-7)

- 7311 = ./81 + 64 + 49 = .V194

e ) = N/16+9+4

=,/1+4+9 =N/14

A 1+ 1 h = + Nİ1 21

35

8 - 4 7-3' + 5 A- = 3 C :" 4(0,1,2)+ 5(a, , a2 , a3 ) = 3(3,4,5)

+ 5a, ,4 + 5a2 ,8+5a3 )= (9,12,15)

5a, = 9 a, = 9

5

4+5a2 =12a2 =-8

5 7 5

(9 8 _7)

9 - A- = k73 + sC," 5,6,-7)= k(2,-3,4)+ s(--

5,6,-7) = (2k — 3s,-3k + 4s,4k — 5s)

2k — 3s. = —5

— 3k + 4s = 6

4k — 5s = —7

k = 2 ,s -=- 3

10.- = mJ4 + kCj + sJ3 (— = m(1,2,3)+ k(0,4,5)+ s(2,3,6)

(— = + 2s,2m + 4k + 3s,3m + 5k + 6s)

m + 2s = —5

2m + 4k + 3s = 1

3m+5k+6s=-5

m=1, k =2 ,s=-3

2 = (71 4- A• (fi

= + -4- 73• A> +

= 2 4- 271 +

8+5a3 =15a3

36

ı 3 I

A

Burada Schwarz e ş itsizliğ i ( A•B 1 A B kullanı hrsa,

-ÂA-i3- 11 2 -A- 2 +2X

+1BI

:4+13 < ;1 H73

B B 2 --.

B

12-

b ) I2 -73 2 = - ) •

=:4 - 71 .73 +İ 3 •B

-73 -73 .:4 -71 .7 3 +:11. • A

= (B A) . - A)

= 1B -

c ) A - 73 2 =(A - 73)•(A - B)

=

= 2 - 2X• -lj4- 2 X•f3

A

A ı

nün B üzerine dik izdü şümü:

nin :4 üzerine dik izdü şümü:

A.B cos0 = = coso,

I -Alt A B

A Icos

B cos

A

37

a) ;1=27-2:/+ İc,B= —7 —2:2+2k.

P =44+4+1=3

=41+4+4 =3

A.B =(2,-2, ı )•(— ı ,-2,2) = —2+4+2=4

11:41cost9 = ;1J3 AcosB=4

=cos D =4

B 3 9

b ) A= i — 2j+3k , B=3 i +j- 2k

A • B (1,-2,3)- (3,1,-2) = 3— 2 — 6 = —5

IA =41+4+9 =4F4:

B

A

=49+1+4=414

cos =

İS3

1173 5 5

cos9= cos0 = 14 14

c ) A=3i —5j+4k,B=4i +3.; —57c

71.73 =(3,-5,4).(4,3,-5)=12 —15 — 2 = —23

=49+25+16=5,5

Bil = 416 + 9 + 25 = 542-

- 23 23 Hicose = ,r

f; = cos = — 50 B

d) A= 2 7 + —67c , B = 7 — + 41c

A • B = (2,3,-6)- (1,-2,4) = 2 — 6 — 24 = —28

I!Ali = .44 +9 + 36 = 7

Bil= ,I1+ 4+16 =15

A = 73 28 4

cos O =

1173 cos .=

-421

38

13-a) A.B

B cos0 =

-21. + 2

—2 + 4 + 2 -= 4

A

A = 27- 2)-F , B=

:4 • 73 = 1,-2,2)=

:41=V4+4+1=3

B cos = —4 3

b ) A=i —2/— +37c , B =3i —2 İc

= (3,1,-2) = 3 — 2 — 6 = —5

= ,İ1+ 4 + 9 =

cos0 = 74.B 5

= A N/14

c ) A=3i — 5j+4k, 73 = +3:; -5k

A 73. = (3,-5,4)-(4,3,-5)=12 —15— 20 -= —23

A =N/9+25+16=5,5

cos0 = = 23r- 5Nİ 2

d) A=2i +3j-6k, B=i —2j+4k, :4•13= —28,

7311 cos B= :413 = —4 A

14 — A.B = O , A.0 = O , B.0 = O olmalıdı r.

• 13 = (3,1,-1) = 3 — 2 — 1 .-- O

471 • C: = (1,4,7). 1— 8 + 7 -= O

13 = (3,1,-1)-(1,4,7). 3+4 —7 = O

Bj

A = 7

39

15 - = (u,,a,,a3 ) =(b,,b2 ,b3 ) olmak üzere

j

al az a3 = (a 2 .b3 - a3 .b2 ,a3 .b,- a,.b,)

b,

b2 b3 1

:Ax73 vektörü hemJ4 ya hemde B ye dik olan vektördür.

i j

;b<73= 1 2 1 = -37 +3j-3k

") -

16 - i ) :4 • (:4 - t73)=. O olmal ı d ı r. )4 -173 = (1,3,-4)- t(2,-3,5)= (1- 2t,3 + 3t,-4 - 5t)

-173)= (1,3,-4) • (1 - 243 + 3t,-4 - 5t) = O

1 - 2t + 3(3 + 3t)+ 4(4 + 5t) = t = -26 27

) 73 -(71- tB = 0 olmal ı dı r. 73 • (,-4 - tB = - 243 + 3t,-4 - 5t)= O

2(1 - 2t)- 3(3 + 3t)- 5(4 + 50= O t = - —27 38

17 - i ) 51 • (a:4 + 13)= O olmal ı dı r. atk +1E3 = a(3,-1,5)+ (2,-4,-3)

(3,-1,5)- (3a + 2,-a - 4,5a - 3) = 3(3a + 2)-(-a - 4)- 3(5a - 3) = O

a = -1 7

ii ) 73 • (a,A + 73) = 0 olmal ı dı r. (2,-4,-3)• (3a + 2,-a - 4,5a - 3) = 2(3a + 2)+ 4(a + 4)- 3(5a - 3) = 0

a = —29 5

ii x73 =

40

B cos 0

71 • S' cos , icos 01 5_ 1 , A_LB :4 • ıi = O

19 -

A+B + 2 A B

B

18 - B (;1--k73+s,)= o ve (:4 — + O olmal ı d ı r.

— kB + s Ğ = (1,-2,3)— k(— s(5,-6,7)

=(1+ 3k + 5s,-2 — 4k — 6s,3 + 5k + 7s)

73 -(7,1— k73 + sC)= 3,4,-5)• (1+ 3k + 5s,-2 — 4k — 6s,3 + 5k +7 s)

—3(1+3k +5s)+ 4(— 2 — 4k — 6s)— 5(3 + 5k +7 s)= 0

—26 — 50k — 74s = O ...I

•(A> -- + s(7)= (5,-6,7)-(1+3k + 5s,-2 — 4k — 6s,3 + 5k + 7s)= O

5(1+3k + 5s)— 6(— 2 — 4k — 6s)+ 7(3 + 5k + 7s)= O

38+74k+110s=0 .../1

Burada I ve II denklemlerinin çözümünden k = —2 , s = 1 bulunur.

21•73 )1 73

;;I• 731 < ı B dı r.

20 — ,1(4 ). (71 _ )

_ )

2

A +24B + B

Schwarz e ş itsizliğ inden A • B < P , +11B1 < A 73

A+B

41

A

-

xB

Ax B 25 - 3 - 13

803 k N43-6-5 Nri6-3-

21 - Not: İki vektörün paralel olmas ı için A x B = 0 olmal ıdı r.

a) AxB= 42-12)7 -(-6 +6)=; + (4 - 4)k. = O

.1

-1 2 -3

2 -4 6

i j

3 6

1 2

k

- 9

-3

b) AxB= =(-18+10 -(-9+9)j+(6-6)k=0

22 - Not: A ve B vektörlerinin her ikisine birden dik olan vektör 71x B vek- törüdür. Bu vektörü birim vektör haline getirmek için,

A

-

x B

x B

ifadesini oluş turmak gerekir.

i

a) AxB= 1 -2 3

2 1 -1

=-i +7j+5k

—V1+49+25=5,h-

:4x13 --7+7:;+57c 1 - 7 - 1 - = ,. ı + ,j+--_-_-, k AxB 5,1:3 5N/3 SN/3 N/3

b ) Ax B=

i j k

3 -1 6

1 4 1

= -25,1 + 3 +13k

= V625+9 +169 = V803

4 x B

- 73

42

23-a)

b)

71x73= 2

-1

-1

1

1

3

3

-3

k

-1

4

4

5

-7j +7k

=27i +9 j

e) C xA=

k

1 -3 5

2 1 -1

+11.1+7k

d) A (-B. ><F)= (71, -B.,(1= 2 1 -1

-1 3 4

1 -3 5

= 63

e) İ3x(:=2771-9J-

i 7tx (73x C)= 2 1 -1

27 9 0

24 - Not: Üçgenin alan ı =

71= PQ =Q - P

B = PR = R- P

9r -27j -9k

AxB

2

43

a ) A = PQ =Q— P = (1,0,3) = (0,2,-4)

PR = R— P = (1,0,3)= ( 3,1,0)

i j k

AxB= 0 2 —4 =47+12;+67c

3 1 0

AxB = V16+144+36 =14

!IA x 731i = 7 br2

2

b ) = PQ =Q— P = (1,2,-1)— (— 2,-1,3). (3,3,-4)

= PR = R— P = (4,3,-3)— (— 2,-1,3)= (6,4,-6)

x 73 =

1171x 73 = N/4 +36+36 =

P x 73 2 = ,fi9 br 2

c ) A = PQ =Q — P = (-3,1,1)— (4,-2,3)= ( 7,3,-2)

- = PR = R— P = (1,1,1)— (4,-2,3) =

7 ;

A

-

xB = —7 3 —2 = —127c

—3 3 —2

A x B = ,/64 + 144 =4,53-

A xB 2 -= 2,53:

7 )

3 3 —4 = — 2 — 6 J— — 6 1c

6 4 —6

44

d ) A = P() = Q — P = (1,-3,0= (3,5,-2)

B = PR = R— P = (—

i j k

Ax73 = 3 5 —2 =-57+13:;+25 İc —2 5 —3

x 73 = V25 +169 + 625 =

A x B 3Vği 2

2

25- , y, z)

. — Uzayda bir Po (x o ,yo ,z o ) noktası ve bir de A = (a,,a2 ,a3 ) vektörü

verilmiş olsun. P, noktas ından geçen ve A vektörüne paralel olan bir tek doğ ru vardı r.

PoP=tA,te%

OP —0P, = t A

Ro =tA R= R,+tA , t e 91 doğnmun vektörel denklemi

(x,y,z)=(x o ,yo ,z o )+1(a,,a,,a3 )

x = x, + ta,

y = yo + ta2 , t e 91 dogrunun parametrik denklemi z = zo + ta3

x— x o Y yo — =t , t e 91 doğ runun simetrik formu

a, a2

45

A doğ rultman ı belli P, noktas ından geçen doğ runun denklemi:

7 A = (a,,a2 , .23 )

Po(xo , Yo , z o)

x — x o = y — y o ....... z — z o ____ t , t e 91

a1 a 2 a 3

(x, y, (x o , y„ , 0 )+ 2(a,, a2 , (13 )

(x, y, z) = (1,2 ,0) + 2(1,2,-1) = + /1,2 + 22,-2)

x = ı +2

y = 2 + e ..1? doğ runun parametrik denklemi z =

x —1 y — 2 z — O = ,2 e 91 doğ runun simetrik formu

2 — 1

26 -

L, için ;

L, in parametrik denklemi: x =1+ t y=-1+t z = 2 +1,t e 91

L, in doğ rultman vektörü: A = (1,1,1)

46

L, için;

722 =37-3;+747+3J+27c)t . 43-t'F+(3+3t. ')j+(1+2t')Z

L2 nin parametrik denklemi: x = 3 - t' y = -3 +31'

z =1+2t. ,t'

L, nin doğ rultman vektörü: B = (-1,3,2)

İki doğ runun kesim noktas ı istendi ğ ine göre kesim noktas ında bileşen-leri e ş it olmal ıdır. 1+ t = 3 - t'

-1+t =-3+3t'

2+t=1+2i t=1,t' =I

Bulunan t ve t' nün değ erlerini L ı ve L 2 nin parametrik denklemle-rinde yerlerine yaz ı lı rsa x = 2, y = 0, z = 3 olarak bulunur. Buna göre kesim noktas ı P = (2,0,3) dir.

L ı = 0,13)=7 + İı. L,•• .13 =(-1,3,2)= -7 + 3 j- +

İki doğ ru aras ındaki açı : cos O = 71. 73

İrA 73 -1+3+2 4 cos e9 = =

-N i/1+1+1,11+9+4 ,/42

27 - P0 (x, y, , = (aı ,a,,a,)

P, noktas ından geçen 71 vektörüne paralel olan do ğ runun parametrik

denklemi OP = OP + 2-74 olduğundan, P, (-1,3,2), A = (2,-3,5) ve P(x, y, z) denklemde yerine konulursa, (x, y, z) = (x, , ye , z, )+ 2(a, , a,,a,) •

(x,y,z)=(-1,3,2)+ .1(2,-3,5)= (1+ 22,3 - 32,2 + 5.1.)

47

(2,-3,4)

Doğ runun parametrik denklemi: x = -I+ 22 y = 3- 3.1 z=2+52,2e91

28 - İki noktadan geçen doğ runun simetrik formu

x - xo y - yo-- zo

x, - xo y, - y, z, -Z

olduğundan,

x-3 y+I z-4 -5 4

dir.

29 - (1,-2,1),72= (2,-3,4) X = P +2 ;İ

(x, y, = (1,-2,1)+ 2(2,-3,4)

x =1+2.1 y = -2 - 3/1 z .1+ 42

30 -

x-3y+5z+4 =O

v = i + 2j - k

Düzlemin normali: - - -3j +5k

48

n vektörü düzleme dik olan bir vektör ve d-do ğ rusu da düzleme para lel olduğundan n vektörü d-do ğ rusuna dildir. Buna göre düzlemde iki kesi şen, vektöre dik olan do ğ runun doğ rultman ı doğrultmanı bu vektör- lerin vektörel çarp ımma eş ittir. Buna göre şı x v d-doğ rusunun doğ rult-manı dı r.

fc nxv= 2 —3 5 =-7i +7j+7k

1 2 —1

Buna göre (3,4,6) noktas ından geçen P, =(7,7,7) doğ rultmanl ı doğ -runun parametrik denklemi: x = 3 — 72

y = 4 + 72 ı =6+72,2,c92

31 - R, =7+t7+2;. -2ti+iı +tİı .(1+t)1+(2-2trj+(1+t)7c x =l+t y = 2 — 2t z=l+t,tE91

R, in doğ rultman vektörü: A = (1,-2,1) dir.

7?:=27+:;+27ı +t1 7-3t s :j+t1 7c 42+4/4-3/ 1 T/4+4k. x=2+t'

y=1-3t'

z=2+ti ,t1 E9I

RZ nin doğ rultman vektörü: 73 = (1,-3,1) dir.

49

İki doğ runun kesim noktas ı istendiğ ine göre kesim noktas ı nda bileşen-ler eş it olmal ıdı r. 14- ı =2+/'

2 — 2/ = 1— 3/'

l+t=2+/'

,t`=1

Bulunan t = 2 ve t' = 1 değerleri /7, ve 7?; de yerine yaz ı l ı rsa, x = 3,y = —2,z = 3 bulunur. Buna göre kesim noktas ı P(3,-2,3) dir.

r?, = - +

RZ = (1,-3A = 7- 37 +

:4 • B 4 cos =

A B1 33

32 - Doğ rultman vektörleri: A = (1,2,1)= 7 +27 +

73 = (2,1,2) = 27 + •73 2+2+2 ,r6- cos,„„=

A Bil ıl1+4+1V4+1+4 — 3

33 - A = (1,-1,1) , B = 2,3,4) , C = 3,-2,1) ve gezici nokta S = (X, y, olsun. AB = 3,4,3) , AC = 4,-1,0)

AS -=(x-1,y +1,z —1)

i

AB x AC = —3 4 3 = —12J+19it = (3,-12,19) —4 —1 0

tı1h x ) - AS = 3(x — 1) — 12(y + 1) + 19(z — 1) = O

3x-12y+1 9 z —34=0 veya

50

(AS, AB, AC). O

x-1 y +1 z —1

—3 4 3 = O

—4 —1 0

dan 3x — 12y +19z — 34 = O bulunur.

34— a ) 73, C).

b ) (-1,73,C).

c )

2

—1

1

—1

1

2

2

—3

2

1 O

4 0

1 2

1

2

—1

1

0

—1

=

2

O

4

3

2

4

2(8— 0)— ( 2) = 18

— 8 — 4 + 2(— 1 — 4)

= 2(2)— ( 12 — 4)+

= —22

3(3) = 29

d) 0,73, 3 1 2

2 O 5

1 6 3

= 3(— 30)— (6 — 5) + 2(12) = —67

35 - P Q =:-../4 , P R , P S =C

PQ = Q—P = (3,5,0)— (1,2,0) = (2,3 ,0)

B = PR = R—P = (4,3,0) — (1,2,0) = (3,1,0)

PS =S—P = (-1,-1,2)— (1,2,0) =(- 2,-3,2)

2 3 O

V = (A,B,C)-= 3 1 O =-141/=14

—2 —3 2

51

36 - 71,73,C nin ayn ı düzlemde olmas ı için (:4,13,(:.')= 0 olmal ı dı r.

(71, İi,C)=2 1

1

2 3 1

m

0 —3

=-9-1-12—m=0m=3

37 -

HE = CE ve HE ED HD = 2HE = —2 CE =—HC 3 3

11A+HB+HC=HD+HC=-11C+HC=0

A

38 -

rk" QA+ QB +QC = H + HA)+(QH + HB)+ H + HC)

=3QH +(HA+ HB + HC)

37. al ıstırmadan HA + HB + HC = 0 olduğundan, QA + QB + QC = 3QH

39 — Not: 36. Al ış t ırmadan faydalanarak, —4 —3 1

(71,73,(1= —1 — 2 2 = O — 7 —4 0

olduğ undan 71,73,C vektörleri ayn ı düzlemdedir.

52

40—a) BxC= ıc.

2 —1 3

1 2 4

= —10; — + 5k

k

1 —2 —1

— 10 —5 5

= + — 25k

b) AxB=

j k

1 — 2 —1 = -7i -5j+ 3k

2 —1 3

(71 x 73), j k

—7 — 5 3

1 2 4

= —26 ı + 31 — 9k

c ) A+B = (1,-2,-1) + (2,-1,3) = (3,-3,2)

— C = (1,2,4) -=

T ("A- + - ) = 3 —3 2 = 237 + 15:/ — 12k

0 — 4 —5

53

VIII. BÖLÜM

II. BÖLÜM İ LE ILGILI ALI Ş TIRMALAR

F(t) = (3t - 1)7+ (t2 - 2) -f+ t 1( ve Ğ (t) = 2et cos t j+ t2-1C , ( t O) --> -4 -4 -4

olduğ una göre 3F- 2G , F G, F (t) -› -›

ve Fx G bulunuz.

P . Ğ = 2e` (3t -1) - (t 2 - 2) cos t + t 3 )1

--> 2. F(t) = t i + (1+ t') j - sin t k ve G(t) =111(1+ t) - j + k , (t O) oldu ğ una

göre 2 Ğ , F G , Fx G , 11(t) ve -›

G ( t)I bulunuz.

= t 111(1+ t) - e t (1+ t2 ) - sirk t)

(Fx G = I.( 1+ t') - sinti i - [t + sin t 111(1+ O] j - [t + (1+ t 2 )1n(1 + t31C

3. F(t) = tcos2t i + tsin2t1+e t--k , (t Z O) olsun. t Z o için

biçimde bir h skaler fonksiyonunu bulunuz.

[11(t) = (t2 +e2`)-112 ]

h(t)F(t)il= I olacak

4. Al ış t ı n= 3 'ü F(t) = e-t cos t i + , sin t j+ t k (t Z O) için tekrar yap ı n ız.

{h(t) (e -2` + t2 )-112 ]

5. F(t) = a(cos t i + sin t -İ ) + brc ve dm= - sin cos t -j> (O t 2rc) a, b

sabit, [0,2 ıt) deki bütün t ler için F(t) ve G(t) lerin dik olduklar ı n ı gösteriniz.

Ayr ı ca () 5 t S 27z için x -Ğ (t) ye paralel bir birim vektör bulunuz.

-4 (-bcost-bsint -j+al-e)

Va2 b2

--> 6. Al ış t ı rma 5'i F(t) = (cos t - sin t) i + (sin t + dost)j+ 1c

--> ve -Ğ (t) -(cos t + sin t) i + (cos t - sin 0 -j> , O 5 t S 27r olmak üzere tekrar çözünüz.

--> (sin t - cos t) 1- (cos t + sin t)j + 2 k

--> -([

54

7. ++ (cost) 1 2 j+ ( I n h

t2 t 2 sec t ) 11 = ( t-+0 t

[(2 51/2 -I+ 2 /-1

--> 8. lim [(2 t +1)' sin 2 t -t 1+ j+ t k = ?

t->o 1- cos t

[(e2 7+ 2 -.O]

t

e - t-.* -> 9. 114 ı + j + ? ı sı n t cos t

[sin t lo. lira — ı + COS t .1 + ln(1+ t) k]= ? t-->0 t t

{(7+ 7+ :1*()]

t

11. Vt3 +10 :1]=?

[(ek7+ j)]

2

12. (2tt++11Y 7+ nf =

13. 1431- t -1 3t 2 +2 -j> 2 18+ 141 .?

ı--. 2 - t -2 5t2 — 2 t + 1 V t2 j

[( 2 -1( )]

-+ 14. F(t) = Asin t + Bcos t olsun. Asag ı dakileri hesaplay ı n ı z.

(Burada A j ve B = + j dir.)

-+ -+ --+ a) lim F(t) , b) lim F(t)ii , c) lim (i+ j + k)- F(t) , d)

1—> ıc/3 t-->n13 t-+İs14 lim (tan t)F(t)

t—>n/6

[a) ,r3"

j b)../ı • e)v-1 d)( -'5+3 1 -1++(3---i5 ).11 1+ 2 2 6 6 ) J

55

-■ -+ --> 15. F(t) = t ı +t2 j+t3 k ve G(0= 2t j+3t2 k (t Z O) olsun. Aş ağı daki lin-lideri

hesaplay ı n ı z.

a) lim 11(t) d(t) b) lim F( t) • G( t) , c) lim F(t) x G( t) , d) lim F(t) x -d(t)

[a) 5 b) 4 c) 4 i j - 3 k d),T2-6]

16. Aş ağı da verilen fonksiyonlar için F( t) G(t) ve F(t) x G(t) nin türevlerini bulunuz.

-F(t) = t 1> + 2t2 -1*c ve -Ğ (t) = t 7+ cos t -j>+ t -k , t

-F(t)= t2-j> + t 2.1+c ve Ğ (t)= t -1>+ (t +1) j+(t 2 +1)1: , t 0

c) - (t) = (74+ 1c)sin t + k)cos t ve

Ğ (t) = i+ -j)e' - (j+ 2 -k)111 t , t > O

a) 2t - sin t - 6t 2 , (1 + 4t cos t - 2t 2 sin t)1) - (2t + 6t 2 )1+ (cos t - t si ıı t - 1)re

b) 1- 3t 2 + 4t3 , 4t 3 - 3t 2 - 4t)7+ (3t2 - 201+ (3t2 +1)1C

c) 2sin t + 4 cost)- (cost + 3 sin Oh' t + -1 (3cos t -sin t), t

cos t - sin t)In t - 2e' sin t + -1 Osin t + cos t) 2(2 sin t - cos t)ln t - 4e t sin t - -2

(sin t + 2 cos t t F

[(2s. ni t - cos t)ln t + e' cos t -sin t)- (sin t + 2 cos t)11Ç. t

17. F vektör değ erli fonksiyon iki defa diferensiyellenebilir olsun. Bu takdirde

[F(t) x i*•-'(01 = -F(t) x F"(t) dir. Gösteriniz.

18. F vektör değ erli diferensiyellenebilir bir fonksiyon olsun. F(t) = rF( t) ise

F(t) • F'(t) = F(t)1 -7 '( t) dir. Gösteriniz.

19. Eğ er G(t) = F(t))<P(t) = F"(t) ise G'( t) = F(t)xF'(t) F'"(t) dir. Gösteriniz.

20. F(t) = a(cos wt i + sin wt j + b k 0 S t < 2rc / w olsun. Burada a,b ve w pozitif

sabitlerdir. F nin aş ağı daki teoremi gerçekledi ğ ini gösteriniz.

) J

56

(Teorem : -F> , (a,b) üzerinde diferensiyellenebilir ve V t E (a,b) için sabit olacak

biçimde bir vektör fonksiyonu olsun. Bu durumda F(t) ile F'(t) ortogonaldir.)

21. R(t) = e' cos t i + sin t j , OStS ıt ile verilen denklemin yan ı nda yaz ı l ı parametrelere kar şı l ı k gelen parças ın ın uzunluğ unu bulunuz.

[s -.T1(eg — 1)]

22. = a cos t i + a sin t j+ btk , (a ve b sabitler) 0 S t S 2n olan dairesel helisin uzunluğunu bulunuz.

[s = 24 2 + b2I nj 23. Aş ağı da vektörel denklemi verilen eğ rilerin yanlar ı nda yaz ı l ı parametrelerine kar şı l ı k

gelen noktas ındaki, teğ et, normal, binormal vektörlerini ayr ı ca eğ rilik ve burulmas ı n ı bulunuz.

-+ a) R(0=a(t-sint)i+a(1-tost) j , a> O , O StS 27c

b) 1-2(t) = 12 -İ + (i t)7+ .15tr( (t ,

R(t) = cos t i+e t sint j-1-c' k , (t 0) „

R(t)= tcost i+ tsint j+ t k , (t O)

e) it(t) = cosh t 7+ sinh t -k> , (t 0)

t 2 f) it(t) = (sin t - tcost) -i> + (cos t + tsin t) j+

k , (t O) 2.

g) .1-.›Z,(t) = t -i> + at2-j+ 2-a2 t3 1->c , (t 0) a = sabit 3

h) = sin t 7+ t 7+ (I cos t) , t O

11)

1 Nİ e"' a) K(t) =

23/2a(1- cos 01/2 b) t(t) = 0 c) K(t) ....«Te -t , t(t) = 3

(t 2 + 6) 1 2 1

d) t(t) = (t4 + 5t2 4. 8) 2 cosh e) K(t) =

2 sec h t , t(t) =

2 t

f) K(t) = —I

t(t)= -- g) t(t)=. 2a ,

2 t ' 2t (2a2t2 + 1) 2 -,. 1 ( --› -? -› --■ -■ , t =co st i+ j+sintk , n=-sinti+costk

)

■

-:› .._ ( . --.> i -› Ob --,i,---

2c s t ı - j + sin t k)

57

24. Aş ağı da vektörel denklemi verilen e ğ rilerin yanlar ında yaz ı l ı parametrelerine kar şı lık gelen noktas ı ndaki eğ rilik merkezinin koordinatlar ı ve eğ rilik yançap ı nedir ?

t -› -It a) R( t) = (t + sin t) i + (1 cos t) j + 4 sin

2 - k , t O ve t =2

b) R( t) = cos t i + sin t j + cos t I-1c , O S t < 2rt ve t = 4

a) p = 4,r2". , (-7C2 - 3,5,2-vr )

(1 -ı- sin 2 03/2 -11) b) p = N8 4 8 )

25. Aş ağı da vektörel denklemi ile tan ımlanan yörüngeler üzerindeki bir hareket göz önüne al ı n ıyor. Hız vektörü, h ız ı n büyüklüğ ü, ivme vektörü, ivmenin büyüklü ğ ü ve ivmenin bileş enlerini bulunuz.

a) R(t) 3t i + 3t` j + 2t'', k , (t = 1)

b) 1-'2.(t) = m(sinh t - t) i + m(cosh t -1) j , (t = In 2)

. t2-› R* (0=tcosti+ts ı nt j+— 2 k , (t=rt)

d) li.(t) = ın(1+ cos s sin m cos t I: , (t -= 3

-4 -4 e) R(t) = cosh t cos t + cosh t sin t j + sinh t 1-C , (t = 7C)

, a) v = 3i +6j +6k , v = 9 b) a

.4 =( — 3 i + 5 J ) , a =

4

4 m

-4 -4 -4 .4 -4 -4 -› ,4 c)v=-i-rcj+rck , a=rti-2 j+k

d) v = -1 ,i6m2 + s2 1 ı 2 2 --> -÷ -+)

, a = -k2 ırı + 3s )1/2 e) a = sinh 4-2 j + k

2 2

26. Aş ağı da vektörel denklemi ile tan ı mlanan yörüngeler üzerindeki bir partikülün hareketi göz önüne al ı n ı yor. H ız vektörünü, h ı z ı n büyüklüğ ünü, ivme vektörünü, ivmenin büyüklüğünü, h ız ı n kutupsal bile şenlerini hesaplay ı n ız.

a) R(t) = cosh w t(cos t -i> + sin t -S) , w > O sabit

b) h(t) = t 2 (cosw t i + sinwt j) , w>0 sabit

c) R(t) = r(t) cos3t i + sin 3t j ı , r(t) = a(1 - cos3t) a > O sabit

d) it(t)= r(t) .11. , r(t) = a(1 + sint) , O = 1- e-t

58

e) ii(t) = r(t)(cosw t i

▪

+ sin w t j , r(t) = 1+ cos t

a > O

f) R(t) = r(t) (cos t i + sin , r(t) = 3a

2(2 + cos t) (a >O)

a) v

-

= w sinh wt Ur+ cosh wt U0 b) a = (2 — w 2 t2 )i-J,+ 4wtUu - -->

c) v = r' Ur+ 3r U0 , r' = 3asin 3t

d) a = (r" — re-2`) U r + (2r'e-t — re') Uu , r' = a cosi , r" = —a sin t -+ asin t e) v = r' Ur+ rw Uu , r' =

(1+ cos

59

II. BÖLÜM İLE ILGILI ALIŞ TIRMALAR

1- 3P(t) - 2Ğ (t)= 31(3t + (t 2 — 2)j+ 212e' — cos + t 2 1-1

= [3(3t —1)— 4e' + [3(t 2 — 2)+ 2 costrj + [3t — 2t 2 ir(

(t). ö(t)= [(3t — + (t 2 — 2)j 1.2e t 1 cos tf +t 2 .1 =(3t-1)2et —(t 2 — 2)COS t -I- t 3

F(t) 4- Ö(t) = k3t 1) Ş 4- (t 2 — tici+ [2e l r — costi + t 2 = (3t —I+ 2e t )İ (t 2 —2—cost + + t 2 )1c

Ğ (t)11= Nj(3t — 1+ 2e' y +(t2 _ 2 — cost)2 + + t 2 y

.•,(t)x Ğ (t)= 3t —1 t 2 — 2 t

2e t —cost t 2

=Et 2 (t 2 — 2)± t COS ti — [t 2 — — 2te 13. + [— (3t — 1)cos t — 2e t (t 2 — 2)]

= [t 4 — 2t 2 + t eos t] [3t 3 — t 2 — 2te t + kes t — 3t cos t —2t 2e t +4e' jk

I _.. 2- Mt)— Ğ (t)= 21ti + (1 + t 2 )j süt tk j— [111(1+ t) — e' j + k]

= [2t — In(1+ t)ri + [2(1+ t 2 )+ e' + 2 sin t —111c

F(t). Ğ (t)= + + t 2 — sin t11-11n(1 + t) —e'3+11

=t1n(l+t)—(1+t 2 ' — sint

1c f(t)x d:(t) = t + t 2 —sint

In(1+ t) — e'

+ t 2 — e sin — [t + sin t In0 + t) — [te` + + t 2 )1n0 + t*

60

,(11=,/t2+(1+t2y±sin2 t

-d(t)1 = ‘İ ln 2 (1+ t) + e 2t +1

3- I h(t)F(11 =1 olmal ı .

h(t)(t cos 2ti +tsin 2tj+e t k = N/11 2 (tXt 2 cos 2 2t + t 2 sin 2 2t + e 2t )

Nith 2 (tXt

)= İ

h(t)- (t 2 + 2 t)-Y2

4- h(t)(t = 1

h(t)(e -t costi + e -t sin tj+ tiC)11.--- .‘111 2 (tXe -2t cos 2 t + e-2t sin 2 t + t 2

= 2 (t)(e

h(t)= (e_2t 2 y- Y2

5- Ğ (t)= 0 ise . (t).L.Ğ (t) dir.

Ğ (t) [1. cos t1 a sin + sin + cos t3 .1

= —a cos t sin t + a sin t cos t = O

f'(t)1:6(t) dir.

acost asin t b

— sin t cos t 0

= —bcost; — b sin tj+ cos 2 t + a sin 2 t)Ic

—bcosti — bsin + arc

d(t)=

61

(t)x d(t)11 = vlb 2 cos 2 t + b 2 sin 2 +a 2 = a z +bz

F(t)x d(t)bcost - bsin t a - = -I- k

F(t)x ,/a 2 + b2 ,42 +b2 Va2 b2

6- (t)• Ğ (t)= 1(cos t - sin t) ı + (sin t + cos t)j. + (cos t + sin + (cos t - sin t)ij

= -(cos t - sin t). (cos t + sin t) + (cos t + si ıı t). (cos t - sin t) = O

G(t)= 0 Ç'(t)ld(t) dir.

6(t) = cos t- sin t sin t + cos t 1

- cos t - sin t cos t - sin t 0

= (sin t - cos t); - (cos t + sin t) -1 + ((cos t - sin t) 2 + (cos t + sin t) 2 .11c

= (sin t - cost)i - (cos t + sin j + 2k

11F(t)x 6(t)1!= Nı (sin t - cos t)2 + (cos t + sin t)2 + 4 = Nf6--

P(t)x d(t) sin t - cos t :. cos t + sin t 2 j

(t)X ö(t1 1[6- + 1[6-

7- lim ln(e + t) = Go •O 11mo t l - ln(e` + t)= Hut 111k ----1- t - lim et ± 1 - 2 -> 10 t

1 , t->0 t 1-ı 0 e t t

tı2' hm. ln cos t lim(cos t) lim(cos t) = lim —1

In cos t 1-›o t->o t->0 t 2 t->0 t 2

= . s = l - in t . - cos t - sin t t

ım 2 2

2t cos t t-+0 2 cos2 t 2

lim(cos t) t->0

=. e --)4

litn(

1 1 1 1 1 1 ) = Go lim( , ) - lim —(1 - --)

t.--w t 2 t 2 sect t-A t' t 2 sect t•-40 t 2 sect

62

= lim -1 cos t .

= km sin t .

ht cos t = 1 n

t->o t 2 t->0 2t t-40 2 2

1

Iln(e t + + (cos t)//

t2 j +( 1 )1c =2i+ e-Y2 J+-21 Z . t t 2 t 2 sec t

1/ ı t / ı 1 ln(2t + 1)

8- lim(2t + 1) = l lim(2t + = lim -1n(2t + 1) = lim 2

t->o t-->o t->o t t-->o t t-4o 2t + 1

t ı , 1im(2t +1)/2 = e' t-4o

lim sin 2 t 0

km sin 2

t- lim 2sin t cost -Itm2cost =2

t-›o 1- cos t 0 t-*o 1- cos t t-40 sin t t->0

linit =O t ->0

lim t->o

1 / /t sit, 2 t (2t + 1 i + j + tk

1 cos t 2:- = ı + 2j

9 - et - e -t O . e t - e -t t .,. e + e = 1

-t

= nm t->o 2 sin t 0 t->o 2 sin t t-->o 2 cos t

in. s 2t lim = O t-->o cos t

et - e-t sin 21. + + k

2 sin t cos t = i + k

10- Innsin t—=1

t ->0 t

lim cos t =1 t->o

lim İn(1+ t) 0 1n(1 + 1

=1 t->0 t 0 t->o t t->0 + t

lim [sin t 17.

+ costj-

k + 1n(1+ t) - -- =i + j +k

t-40 t t

63

k k -1- o lim+—) =ek

,_+.0 t t_. t

lim t t Co= lim

t + ı o t->- Vt 3 ı o t-- / ı o 1+

t'

lim t

(1± _ki t - ± t

Vt 3 +10

k = e + j

ilin g(xXdx)-1] 12- NOT: lim f(x)= 1 ve lim g(x)=co ise lim [f(x)Ig (x) = ex --->a

x—>a x-->a x—>a

2 lim ı t +1 ) ( t +1

00') lim t--›0°,2t +1 +1 )

ıi. '' —t3 . e t—>os, L2t+1

(t —1 \t (t—ly t ( t-1_ 1 ) —2t

lim — ozı tim = e lt+1 e e -2 t,

t —>, t +1) t—›..\ t +I

limr( t+1

2

t—>ool 2t +1 L

13- lım 3 1— t 3

t—>. 2_ t -2 2

t 2 (3 + —2 3t 2 -1- 2 t 2

lim -,--' lim ( t --->°' 5t 2 -2t + I t ---", 2 2

t 5-? + --,-- t t - ,

3

5

-1

+1, J

—2 e j

J

dir.

lim t—>so.

lim 3 + 3 2 +2 — 1 37 37 —

j 38+-2

k = -71 + - j +2k -- t›00 2-t -2 5t 2 -2t+1 '‘,1 t -2 5

64

sin _) 2 .

6 at

cos - 6

r

2 (sin it . 7 . n 6

+ sm 6

1 + sm

6 it cos --

6

J

1 i +

2

fJJ - 2

+ 11 + - J 6 2 ) 2 6

14 - F(t) = t + + -ilcos t = (sin t + cos t)r + (cos t - sin t) -1

a - lim F(t)= lim (sin t + cos t)t + lim (cos t - sin t)i

t --> - t -> -3

3 3

NİS 1 \ 1 -151- 1 + - 1 + 1 + - _ - — j + J \ 2 2 2 2 2 2

b - ğ (t1 = „sin t + cos -02 + (cos t - sint)2 = aFİ

=

3

c - lim i + + k • F(t) = 1im ksin t + cos t) + (cos t - sint)] -

4 4

= lim 2 cos t = Vr2 TC

4

sin t d- (tan trF(t)= lim [ COS t COS t

sin t (sin t + cos t)i + (cos t - sin t)

J TC t-->-

6 6

ı Isin 2 t . sin 2 t

+ stn t i + sin t j cos t cos t

= İ1M t

6

+ J 6 6

65

[p(t).--(01 (t)x (t)

1c — 4t t 1 —2t 2

t 1 — sin t 1 1 0 t cos t

15 — a - P(t)+ -6(0 = (t + 2t)i + t + 3t 2 )r( = 3tt+ (t 2 + 3t 2

bin P(t)+ ,d(t)l ı \i9t 2 + (t 2 -1)2 + (t 3 +3t 2 )2 . 5 t->1 t-÷1

b - Ğ (t) = 2t 2 - t 2 4- 3t 5

tim f.(t). d(t)= lim (t 2 3t 5 )= 4 t-> ı t-> ı

c^ r;(t)x j k

t t 2 t 3

2t -1 3t 2

=(3t 4 + t 3 )1— (3t 3 2t 4 )3 + ( t —2t 3 )1(

İİ M - t) X d(t)= ii14(3t 4 t3 - (3t 3 - 2 t 4 - + 2t 3 )1-1= 4 -17 - - 3k t-*1 t-›1

d- lim F(t)x Ğ (t)11 lim -\k3t 4 + t 3 + (3t3 - 2t 4 )2 +(t+2t3 T. t ->1

16 - kt)•d(t)] = (t). Ğ (t)+ Ğ e (t)

(t)x Ğ (t)1 = F (t)x Ğ (t)+ F(t)x d (t)

a (t)= tf+ 2t 2 FC (t) = - 4tFC

d(t) = COS tj + tfe (t) = - sin tj +

k(t)• = (t). -d(t) -d(t) =(1-t +o -cost-4t•t)-4-t-sint •1 —1- 2t 2 )

— 4t 2 +t — sin t — 2t 2 = —6t 2 + 2t sin t

\- , =14tcosti - (t + 4t - + cos tiCi+ 1(1 - 2t 2 sin tfi - + 2t` )j + (- sin t - 1) -q = cost +1— 2t 2 sin — (2t + 6t 2 )T + (cos t — t sin t — 1)1—c

66

b- F(t).--r—t 2 i+t 2 iı t)= —2tj+2tZ

Ö(t)= +(t+1):j + 2 +1 ö(t)= r + ı trç

k(t). ö(t)] = ö(t)+ P(t). 60= -2t(t + 2t(t 2 + 1)4- 1 - t 2 + 2t 3

= —2t 2 2t + 2t 3 + 2t +1— t 2 + 2t 3

—3t 2 + 4t 3 +1

j k

d(t)+ (t)x d(t) 2t 2t 1 — t 2 t 2

t t+1 t 2 +1 1 1 2t

▪ 2t(t2 44)_ 2t(t o]; 2t 2j + 2t 2i4- 2 t 3 + + t 2 11-c.

▪ 2t 3 — 4t-2t 2 —2t 3 — t 2 )i+ (2t 2 —2t + t 2 )-j: +(2t 2 + 1+ t 2 )1C

=( 4t 3 — 3t 2 - 4t); + (3t 2 - 2t)T + (3t 2 + 1)iC

c - = + in t + — 1c)c o s t

F(t)= (sin t + 2 cos — (sin t + cost) j + (sin t — cos t)IC

(t)= (cos t — 2 sin — (Gest — sin t):; + (cos t + sin t)ls

a(t)= (21. + —V + 21c)ln t

6(t)= 2e t ; + (e t — t)1 — 21n tlÇ

S(t)= 2e t i+ (e t — —1 t t

(t) Ğ (t)] = F (t) ö(t)+N G (t) 2e t (cos t — 2 sin t)— (e t — teos t — sin t)— 21n t(cos t + sin t)

+ 2e t (sin t + 2 cos t)— (et 1 ■ I

— --)ksin t + cos t) — 2 — ksin t — cos t) t t

11 = e t cos t — 2 sin t)+ In t(— cos t — 3 sin t)+ —

tk— sin t + 3 cos t)

(t)x -6(4 = F (t) x -6(0+ (t)x -d(t)-

67

cos t — 2 sin t 2e

sin t — cos t e t In t

k

cos t + sin t — 2 In t

sin t + 2 cos t 2e t

.17 — sin t — cos t

t I e — — t

sin t — eos t 2

--

t

= 21n t(sin t — cos t) — (e t — In t)(cos t + sin t)] — 21n t(cos t — 2 sin t)— 2e t (cos t + sin t).1

+ [(e t — In tY,cos t — 2 sin t) — 2e t (sin t — cos t)] + [-2 (sin t + cos — (e t — —1 )(sin — cos t) -1 t t

- —2 sin t + 2 cos t)— 2e t (sin t — cos t)1 + [(e t — —1 )(sin t + 2 cos t) + 2e I (sin t + cos t)] t

[ = In t(3 cos t — sin t) — 2e t sin t + 1 (3 sin t + cos t.)] r t — [2 In t(2 sin t — cos t)— 4e` sin t — 2 (sin t + 2 cos t)]

t

+ t(2 sin t — cos 0+ e t (7 cos t — sin 1 —(sin t + 2 cos t) t

17 - [F(t)x F (t)] = F (t) x F (t) + F(t) x F (t)

1.(t) X F = O dı r. [i(t) x F (t)] = F(t)x F (t) olur.

18 - = F(t) (t)- P(t) = F 2 (t)

İF'(t). F(t)1 = [F 2 (t)]

(t). F(t)+ (t) = 2F(t)F' (t)

2F(t)• F -= 2F(t)F' (t)

F ' (t) = F(t)F (t)

68

19 - G (t) = (t) (t)-

f.(t)xP' (t) = X(t) dersek,

d(t)= (t) . (t)+ (t). P- (t)

=.[P(t)oP(t)] P(t)+[P(t)xP(t)].P(t)

=[P>'(t)ıd(t).-f- (t)ıtf. (t)= F (t)+ [(t)xF(t),1 4 -f.". (t) L

= F(t)XF " (t) . P(t)›-P'(t).P - (t) , P(t)xP . (t).-- o)

=P(t)xf . (t). -P- (t} ,<ftoxP“(t)..P H (t)= o)

20 - F(t)= a(cos wtr + sin wtn-f- brc

-,„ F (t ) = -aw sin wti + aw cos wtS

-a 2 w cos wtsin wt + a 2 w sin wt cos wt = 0

P(t) ile F ortogonaldir.

21 - İ2(t) = x(t)i- + y(t)I + z(t)lc, a < t b

S(t)= fx/(x . (t)) + (y . w)2 ±(z.(0)2 dt

di-Z1 -c-F- Kit u ı r. S(t)=

69

x(t)= e t cos t x (t)= cos t — e t sin t

y(t)= e t sin t y r (t)= e t sin t + e t tost

dR = •■Rx(t))2 4(t))2

Nke l cos t — e t sint)2 +(e t sin t + e t cost7

)/e 2i [(cos t — sin +(sin t + cos tfl

= e t ..12:

s(t)— eidt..Me. _ İ )

22 - x(t) = a cos t = x' (t) = —asin t

y(t) = a sin t y' (t) = a cos t

z(t) = bt b

dR

dt \/(x (t))2 4-(y (t))2 4-(z (of

= Nia 2 sin2 t + a 2 cos 2 t + b 2

,42 ."2

27z 27c s(t)= --Hdt = 2 b2 idt = 2rc[22a + b

o Il dt I o

23 — Teğet Vektörü:

Esas normal vektör:

Binormal vektör:

t- —

1-ı(t)=

R (t)

t01

,

(

(t)

t(t)xn(t)

dt

70

.... j 1c.

sin t 0 = — — (1 — cos t) 0

Binormal vektör: lı(t)= 1 2(1 — cos

:- ı 1 cos t

sin t

Eğ rilik: k(t)=

li . (t)x R t

3

(11

Burulma: R (t)x R

" (t) • R (t) R (t)x R (t) • R (t)

t(t)— —

K 2 (t)1 R (t 6

k(t)x ii(t)1 2

a - 12.(t) = a(t — sin t)i + a(1 — cos t)j

R (t) = a(1 — cost)i + asin tj .

= Nia 2 (1 — cos + a2 sin 2 t \ia2(i — 2cos t + cos 2 t) -1- a 2 sin 2 t

= Nia2 (1 — 2 cos t + cos 2 t + sin 2 t).= 42(1 cost)] >'27

ı (1 — cost)i» + sin tj Teğet vektör: kt)= [2(1 — cos tfi

' ı ■ sin — (1— cost)J t kt> = t (t Y2 2[2(1 — cost Li11

1— cost ? Esas normal vektör: n—(t)— sin tl' — (

[2(1— cos t)]

YY

2

1

Eğrilik: k(t)— 3/ 2 /2 a(1 cos t)

71

R (t)= a sin +acos tj

İ2: (t) = a costi —asin tj

j

R (t)x R (t)-- a(I — cos asin t 0

a sin t a cos t 0

= —a2 (1— cost)ft

[ii(t)xlEC(t)1•ii(t)= o J

Burulma: t(t)= O

b - ft(t)= t 2 ç +(I +

R (t)= 2 tr + j + i5rt

12(01= (4t 2 + 1 + 3Y2= 2(t 2 +1) )2/

2tr + j+Nr.31<

2(t 2 +1)Y2

t (t)=2r — t5 + tk

2(t 2 + 1) /2

2

(t2 +1)i

1-;(t)_ 2i — t j V3tk

42 +1

k

2t 1

2 —t .‘5t

1 2,/§-t;. — 2Nr3-(t 2 - 1)1 - 2(t 2 4- 1)1-1

8

K(t) =

1

t2

72

k(t)x it(t)=

ı j k

2t 1 VS 2 O O

= — 2k

[R (t)x R (t) • R (t) = O

* JJJ

t(t)= O

e - et + e sin tj +et k

R (t)= et (cos t —sin t)r + e t (sin t + cos t)j + e t 1‹*

(t)11= Ee 2 t(cos t —sin t)2 + e2t (sin t + cos t? + e2t

..1. (t)= -- kcos t — sin t); + (sin t + cos +1<1

t (t)= sin t — cost)r + (cos t — sin t)j1 N(3

N[2- t kt

kn(t)=-- sin + cos t)r + (cos t — sin t) -51 N/2

b(■

t) 1

N/6 cos t — sin t

— sin t — cos t

IÇ

sin t + cos t 1

cos t — sin t 0

Y2= Ç5et

= ksin t — cos t) — (sin t + cos t) j —4sintcos tkl

.(t)._ 3 e--

R (t)= —2e t sin ti + 2e t cos tj + e t k ~,,, R (t) = —2e t. (sin t + eos t)i + 2e

• (cos t — sit). t) j + e t k

73

R(t)x R'(t)= j

e t (cost — sin e t (sin t + cos t) e t

— 2e t sin t 2e t tost e t

= e 2t kİst • n t — costp — e 2t (eos t sin t) j+2e Zt k

[İZ(0X fi" (t)] • (t) = 2e3t J

2e 3t 1 _ t e 2 e -2t nebt 3 9

Benzer şekilde diğ erlerini de çözünüz.

d - k(t)----teosti+tsintj+tk ,

t(t)=

74

f - ft: 2 (t). (sin t – t cost)i + (cos t + t sin t)j- + —t , O) 2

76

= 2 klıt-) 2 )

t

2 24 - a - R kt\ = + sin t )i + - cos t) j + 4 s ın -k , t O ve t = -

(t)= + cos t› + sin + 2 cos -t 1--c

R (11= 2Nf(cos 2)

7 . t

2

--

R (t) = - sin t ı + cos t j sın -k

• j-

•

k

k"(t)= I + cos t sin t 2 cos -t

2 . t

sin t tost - s ın - 2

=( 2

- sin -t 2 - sin t - 2 coslcos t

l ı (- sin -t

- sin -t

cos t + 2 sin t cos-t ■

j + (cos t + 1)1c ) \ 2 2 2 )

b- -ğ.(t)= costr + sin t]. +costrt

R (t)= -sin ti + cos t j - sin tk

R (t) ---4sin 2 t + cos 2 t + sin 2 t /2 1+ sin 2

R (t) = - costi - sin t j - cos tk

R" (t)= sin t

- cos t

cos t - sin t

- sin t - cos t

= + k .

79

I fi(t)xl.(t)1= ŞA-1=Nri

KW- (1+ sin2 / t)

3/2

(1+ sin 2 t)3A

P = KO =

25 - H ı z vektörü: dt

Hı zın büyüklüğü: V = 1V(t)t

d R dV İvme vektörü: aktj== dt 2 dt

İ vmenin büyüklüğü: a = F(t11

2 İvmenin bileşenleri: Teğet bileşeni: a t = dtV , Normal bileşeni: a n = kV 2 = V P

a- 12.(t)=3t1+3t 2 5+2t 3 1-C , (t=1)

Hı z vektörü: V(t)= d

=3i +6tj +6t k

t = 1 noktas ındaki hı z vektörü: V(1) = 3 :1> + 6 j + 41C

t = 1 noktas ındaki hı z ın büyüklüğü: V = İ .(111= (3 2 +6 2 + 2 =9

2 dV ivme vektörü: a d t

kt)= = = 6i +12 ı k d 2 dt

t = 1 noktas ındaki ivme vektörü: a:(1)= 6j + 12k

t = 1 noktas ı ndaki ivmenin büyüklüğü: a =F(1)1 = (6 2 + 2 2 .„.6.,[5-

dV d t = 1 noktası ndaki ivmenin teğet bile şeni: a t =— =—(9)= O dt dt

80

a2 = at 2 +an 2 den

İvmenin normal bileşeni: a n2 = a2 at2 = (6,5Y = (6M2

t = 1 noktas ındaki ivmenin normal bile şeni: an =

b - i(t)=m(sinb. t — t); + nı (cosh t —1)5 , =111 2)

'Vr(t)=dt

tn(cosh t - 1)1 + m(smh t)T + e t

2

e t jJ .•

2e -t

1)1 + m

(

In2 -In 2 2 +- 2 - - V(In 2)=

e - e 2 2 1nrCin2 e-ln2

i 112 1 +m J 2 2 2 2

= 4- + -mi = +3j) 4 4

V = 11V(1n = 10 m 4

dV - e t - e-t - e t + e -t a(tj= = msinlı ti + mcosh tj = m i + m

dt 2 2

In 2 -In 2 hı 2 -hı 2 2-? 2 + -1

a(1n2)=m 2

-e r+me 2

+e 1=m 2 2

2 f+m 2 T = 3 m1+-5mT 4 4

= 2-(3i + 5T)

a = 11;(111211= 5::t rn

- -, t 2 -,-: ( C - 1(t)= t costi + t sin ti +—

2 x , kt 7i)

dR = kcos t - t sin 01. + (sin t + t eos t)T + tic dt

V(7t)=( ı - 0)i + + 7c (- 1» j + ıtk = -1 - + ıtk

V = F1(711= k-1)2 + 702 + ıt 2P = (1+ ın2 Y/2

81

. a(t) = dV = sin t - sin t - t costY; + (cos t + cos t - t s ın t) j + k

dt ,

(- 2 sin t - t cos t ji + (2 cos t - t sin t ) j + k

;.(7c)= (- 2 . O - 7E 1))i +(2-(- - . 0)j +k

= - 2j + k

+(_2)2 42 11/2 +5y/

d- R(t)= m(1 + cos t)i + ssin tj + m cos tic , 7c)

t -= 3

- 1 dR V(t)= — = m(- sin t)i + scos t j + m(- sin t )1( = -msin ti + scos t j- - msin tk

dt mi V( 713) = - 2 + 1 sj - e%f ml-c

r-- 2 2 r- 2 - <3 1 <3 j — nı + -s + - m 2 2 2

L

a(t)=

dt - = -M COS ti - S ti - COS tr(

-Ln) = mı - s .

- 1

mk

a - —j -

3 2 2 2

1 2+ a-Lx) = [-- - ın) a=

I 3 2

= _1 an 2 4, ___ s 2 +3 _1 m2 Y2 = _1 (21.11 2 4_ 3s2 p ( 4 4 4

e - ii(t)= cosh t costr + cosh t sin ti . + sinh t1-.( , (t = n)

--, ■ dR ı \ - \-- V(t) = — ----. ksinh t cos t - cosh t sin qi + (sinh t sin t + cosh t cos t) j + cosh tk

dt

V(70= sinh n)i + (- cosh ıt)f + cosh nk

a (n)1

2 2

V = VI >1.-c 3

-(43 4

[-

,, s

,5 N2

2 ı +

İın

2 (' )

Y2

2 I 2 +-s 4

3 21' 2 +-m 4 )

1 ( 2 2 )Y = - 6m + s 2 2 '

82

V = ilV(ıt) = ksinh ıt)2 + (- cosh ır)2 + (cosh n)`"

= (sinh + cosh 2 ır + cosh 2 71)Y I 2 kSinh 2 7C + 2 cosh 2 7CY2

( '-‘2 akti = d Lcosh t cos t - sinh t sin t - sinh t sin t - cosh t cos ti ı

dt ,- + [cosh t sin t + sinh t cos t + sinh t cos t - cosh t sin tfi + sinh t k

. - = -2 sinh t sin ti + 2 sulh t cos tj + sinh tk

a(ıc)= -2 sinh ır • Or + 2 sinh ır • (- 1)j + sinh ırrc

= -2 sinh ırj + sinh ıriC = sinh ıt( 2I +

a =11;(711= sinh ır((- 2)2 + 1 2 t 2 = Nİ-5- sinh ı c

26 - Kutupsal koordinatlarda:

R(t) = r(t4cos0(t)i + sin 0(t)ii= r(t)u, ,

u r = cosi:« + sin etoi

du r = de = - sin e(t)i- + cos e(t)i

Hız vektörü: ı d 12 dt

Hı zı n büyüklüğü: V =111

ivme vektörü: a = dV7 = d2it dt dt 2

ivme büyüklüğü: a = IIaI a - it(t)= cosh wt(costi. + sin tJ) , w >O sabit

Hı z vektörü: V = = w sinh wt(cos ti + sin tn+ cosh wt( sin ti + cos tj .) dt

= w sinh wtu r + cosh wtu o.

Kı zın bilesenleri: wsinhwt ve coshwt dir.

83

Hız ı n büyüklüğü: V = • 1V2 = [w 2 sulh 2 2 wt + cosh wtj' -

r - ı ivme vektörü: a = = w 2 cosh wtkcos ti + sin t j 1+ w sinh wt( sin ti + costj ) dt

+ w sinh wt(– sin ti + cos tn+ cosh wt( cos t; – sin tj)

= 2 cosh wt – cosh wt u t + 2w sinh wtu o

= 2 - 1)COSh Wt + 2w sinh wtu o

İvmenin büyüklüğü: a = ra = [(W 2 - 1)2 cosh 2 wt + 4w 2 ssinh 2

İvmenin bile şenleri: 2 - 1)COSh wt ve 2w sinh wt dir.

b - k(t)= t 2 (cos wtr + sin wti) , w >O sabit

Hı z vektörü: V = — = 2t(cos wti + sin wt5)+ t 2 w sin wt; + w cos wt,j) dt

=2tu r + wt u o

Hızın 2t ve wt 2 dir.

Hı zın büyüklüğü: V = = (4 t 2 +w 2 t 4) 1/2 =

ivme vektörü: a = (1.V = 2keos wti + sin wt .n+ w sin wt; + w cos wt.0 dt

-"•‘ ( + 24- w sin wt; + w coswtj j+ t` 2 )cos pos wt; – w 2 sin wtj

= (2 – w 2 t 2 XCOS Wt; sin wt1)+ 4wt( sin wtr + cos vvt:j)

=(2 – w 2 t 2 ı r + 4wtue

İvmenin büyüklüğü: a = a [

=(2 - w 2 t 2 + (4w02

İvmenin bile şenleri: 2 – w 2 t 2 ve 4wt dir.

84

c - R(t)= r(t)(cos3tr + sin 3t -j) , r(t)= a(1 - cos3t) , a >O sabit

V = dR—d

---- 3a sin 34cos 3ti + sin 3tS)+ a(1 - cos 3t)( 3 sin 3ti + 3 cos 3ti) -

3a sin 3t(cos N

+ sin 3t j 3a(1 cos3t)(- sin 3ti + cos3t1)

= 3a sin 3tu r + 3a(1 - cos 3t)u o

V = r u r + 3ru o ,r' =3asin3t

H ı zın bileşenleri: r ve3r dir.

V ı -V Ii [(r. + (3r)2 ] 3

a"-> =dt

= 9a cos 34cos + sin 3t-j')+ 3a sin 34( 3 sırt + 3 cos 3t3) N , . + 9a sin 34- sin + cos3tj 3a(1 - cos3t)(- 3 cos 3t ı - 3 sın 3tj )

N --..3a(4cos3t - 1)(cos + sin 3tj )+ 18a sin sin 3tr + cos3ti)

= 3a(4 cos3t - 1)u, + 18a sin 3tu o

a = = k3a(4 ÇOS3t İ D2 + (18a Sin 32)2 }Y2

Ivmenin bile şenleri: 3a(4cos3t - °ve 18a sin 3t dir.

d - r(t)ıı : , r(t) = a(1 + sin t) , = 1- e -t

1. '0= acos t, r"(0= -as ılı t

00= , 0" 0= -e-t

u r = cos + sin 00j

u o - sin 43(t)i + cos 00j

V = —dt

= r u r + re -t u o

Hızı n bileşenleri : r ' ve re -t dir.

v.F11.[(r.)2.4.‘.0--ty] )4

85

- dV , a--.—=r u r +re

_t u o +re t ue - re -t uo - re -2t ur

dt

= kr„ - re - + (2r'e' -re' u o

a =i I

[(r” - re -2t y re )21 2

ivmenin bileş enleri: r" - re -2t ve 2r . e' - re' dir.

, , .

e - R (ir-, rktAcos wti s ın , r(t)= —a , a >O sabit 1+ cos t

V = dR =

a sin t . . . a w sır,

(cos wt ı + s ın wti )+ . .

wt ı + w cos dt (1+ cos t)2 1+ cos t

r u r + wru o

H ı zı n bileşenleri: r' ve wr dir.

V 11V = [(r' ± (wr)2 1 , —

a = =r u r + r wu o + wr u o - w2 ru r

dt

dV

= İr" - + 2 wr u o

a =[(r u - w 2 rY + (2wr')2

İ vmenin bile ş enleri: r" - w 2 r ve 2wr • d ı r.

f - r(t)kcost ı + sın t j j , r(t) , . 3a

2(2 + cos t) , a >O sabit

V d =

R 6a sin t ( 3a ( . „ kcost ı + sın t j )+ k sat. ti +cos tj )

dt [2(2 + cos t)] 2(2 + cos t)

=--r u r +ru o

H ı zın bileşenleri: r ver dir.

1 / ]/2 (r . )2 +, v

86

dV a=—

dt =r u r +r u o +r u o —ru r =kr — r ---"+ 2r u o

a= 11;11 = [(r" —r) 42111Y2 İvmenin bile şenleri: r —r ve 2r' dir.

87

K K L E R

88

Büyüklük

2 ıc

2-

n2

v-şz

e

-e e2

e

M = log e 1 -

m = ln 10

0,01745 2,24188 9,81 0,99167

96,2361 1,98334

0,050968 2,70730

3,1320919 0,49583

4,429447 0,64635

1,003033 0,00132

0,709252 1,85080

1 radian 57° 17' 45" arc 1° g

g2

2g

7C

BAZI SABITLER

x log x 3,1415927 0,49715 6,2831853 0,79818

1,57080 0,19612

0,7853982 1,89509

0,3183099 1,50285

9,8696044 0,99430

1,7724539 0,24857

1,4645919 0,16572 2,718282 0,43429

0,367879 1,56571

7,389056 0,86859

0,135335 1,13141

1,648721 0,21715

1,39561 0,14476

0,43429 1,63778

2,30258 0,36222

89

TR İ GONOMETRIK BILGILER

Aç ı 00 300 45° 60° 90 ° 180° 270° 360°

sin O ı 2

-J2

2 -5

2 1 0 —1 0

cos 1 -.5- 2

,r2-•

2 0 —1 0 1

2

tan 0 1 Nrj co O co 0

cot „ 3 0 00 0 Go

Aç ı — cc 90 ± a 180 ± a 270 t a 360 t a

sin —sina cosa ±sina —cosa tsina

cos cosa ±sina —cosa tsina cosa

tan — tana ± cotcı ± tarla ±cota ± tana

cot —cota ttana ± cota ± tana ±cota

sec seca ±csca —seca ±csca seca

90

TRIGONOMETR1K FORMÜLLER

a b c Sinüs Teoremi = =

sina sinfl siny

Kosinüs Teoremi a 2 = b2 + c2 — 2bc cosa

sin2 a + cos2 a = 1 sina tan = cos a

cot ot. -= cosa

sina kana • cota = 1

seca = 1 cosa

coseca = 1 sina

sin(a T j3) = sina cosa T cosa sin p cos(a. -T P) = cosa cos /3 t sina sin

tan(a T P) = tana tanP 1 + tana tanj3

cot(a T p) = cota cot P ± 1 cotP F cota

sina sin j3 = 2 sin 2

cos a R 2

- cosa + cost3 = 2 cos a2 2

cos a2

P

cosa cosi:3 = —2 sin a 2 + sin a

2 — p

sin(a T P) tana tan = cosa cosp

cota T coti3 = sin(j3 a) sina sin

sin2 a =-1 (1 cos2a) 2

cos2 a = —1 (1+ cos2a) 2

sina a = 1 (3 sina sin 3a) 4

cosa a = —1(cos3a + 3 cosa)

4 91

İ NTEGRAL

• Eğ er F'(x) = f(x) ve c sabit olmak üzere

jf(x) dx = F(x) + c

• a sabit olmak üzere fa f(x) dx = a•jf(x) dx

• J[f(x) T g(x)] dx = J f(x) dx Jg(x) dx

• ff(ax+b)dx= 1F(ax+b)+c , a()

• J u dv = uv — SN, du , u = f(x) , v = g(x) (K ısmi integrasyon)

x'11-1 • jx" dx =— n —1

n +1 dx • = ı nixi x

• Sex dx = ex + c

• faxdx =, (a>0, In a

•i. dx 1 1 _

arctan—x

+ c = --arc cot—x

-I- c , (a O) j x2 + a2 — a a a a

ıı r x

2 dx a

2 = 2a

1 ln x + ax — a +c , (a90)

.1 — r dx inla+xl , c

( • (a O) -1- , J a2 — x 2 2a la — x

•dx — In

+ a2 x+.1x 2 +a2 1+c , (a ^ 0)

f dx • — arcsin—x

+ c = —arccos—x +c , (a > O)

i Va2 — x2 a a

• Din x dx = —cos x + c

• j. sin 2 x dx = 1 x — 1-sinx cosx -1-.c 2 2

• sin" x dx = x cos x + sin n-2 x dx

• Scosx dx sin x + c

1 1 . • Scos2 x dx = —2

x + —2

s ı n x cosx + c

92

S cosn x dx = —1 cos' i x sin x + cos"-2 x dx

cot x dx — cot x — x + c

sec x dx = loglsec x + tan xl + c

r

dx = cot x + c sin- x

r dx =tanx+c j cos x

sinh x dx = cosh x + c

cosh x dx = sinh x c

r dx c, — oth x + c sinh x

dx cosh 2 x

= tank x + c

cos(m + n)x cos(m — n)x + c f sin mx cos nx dx -=

2(m + n) 2(m — n)

f sin mx sin nx dx = sin(m + n)x + sintm — n)x + c

2(m + n) 2(m — n) _sin,(m + n)x

+ sin ( m — n)x

+ c

2(m + n) 2(m — n)

arcsin x dx = x arcsin x + + c

arccos x dx = x arccos x — + c

arctan x dx = x arctan x —2

+ x2 I + c

j arc cot x dx = x arc cot x +2

+ x2 I + c

j x"ex dx = )( ne' — n f x"-lex dx

log x dx = x log x — x + c

f log x dx = x)2 + c x

dx =lnitan—x 2

InItan(—

+ c = lnIcos

2 x lt +

4

ec x — c,ofxI + c

c = Initanx + sec xi + c

sin x dx

cosx

j cos mx cos nx dx =

93

BAZI METRIK SISTEM DE Ğ ERLERI

Uzunluk Ölçüleri

1 inç 1 fut 1 yarda 1 kara mili

Alan Ölçüleri

= 2,54 cin = 0,3048 m .... 3 fut = 0,9144 m = 1,60934 km

1 inç kare (in2 ) = 6,4516 cm2

1 fut kare (ft2 ) = 929,03 cm2

1 yarda kare (yd 2 ) = 0,83613 m2 1 acre = 0,40468 ha

1 mil kare

Hacim Ölçüleri

= 640 acres = 2,590 km2

1 inç küp (ini ) =

1 fut küp (ft 3 ) =

1 yarda küp (yd 3 ) =

16,387 cm3

0,028317 m3

0,76455 m3

S ı v ı lar için

1 pint = 0,4732 It (Amerikan) ---- 0,5682 It (İ ngiliz)

1 galon = 3,7853 It (Amerikan) = 4,5418 It (İngiliz)

Ağı rl ı k Ölçüleri

1 Ounce 1 Pound 1 Ton

= 28,35 gr = 0,45359 kg, = 907,185 kg (Amerikan) = 1016,048 kg ( İ ngiliz)

94

GREK ALFABESI

A a Alfa

B P Beta

F 7 Gamma

A Ö Delta

E e Epsilon

Z Ç Zeta

H Tl Eta

O O Teta

I t İyota

K K Kapa

A X Lamda

M 1-1. Mü

N v Nü

Ksi

O o Omikron

fI as Pi

P P Ro

cr Sigma

T T To

r ıı Upsilon

(I) (f> Fi

Ş i

Psi

S2

Omega

95

INIDEX

A

Aç ı 9

Aç ı sal Hız 55

B

Birim vektör 3

Bileşen 2

Binormal vektör 43, 44

Burulma 47

C

Curl 75

D

Del 67

Derece 23 -

Dış çarpım 12

Diferensiyellenebilir 34

Divergens 72

Divergens Teoremi 5 -®

Doğ ru denklemi 15

Doğ rultman kosinüsleri 3

Doğ rultman vektörü 17

Düzlem denklemi 18

E

Eğrilik 43

Eğ rilik çemberi 44

Eğ rilik yar ı çapı 44

Eğ risel integral 87

Esas normal vektör 43, 44

Eylemsizlik momenti 85

F

Frenet Formülleri 47

Frenet üçlüsü 44

Frenet vektörleri 44

G

George Green 98

G rad 23 -®

Gradiyent 67

Green formülü 100

Green Teoremi 98

Grek Alfabesi 113

H

Harmonik fonksiyon 74

Hı z 49,54

Hicri 24 -®

İ

İç çarp ım 9

integral alma formilleri 110

İvme 50, 55

İvme vektörü 55

K

Kapal ı yüzey 71

Karma çarp ı m 20

Korunumlu alan 74

L

Laplace denklemi 74

96

Laplace operatörü 74

Limit 33

Logaritma 18 -O

M

Metrik sistem de ğerleri

S ıfı r vektörü 3

Simetrik form 16

Skaler alan 63

Skaler çarp ı m 8

112 Stokes Teoremi 10 -O

Miladi 24 -O

N

Nabla operarörü 67

Nokta çarp ımı 9

Norm 3

Normal düzlem 45

Normal vektör 44

O

Ortogonal 32,60

Oskülatör denklemi 45

P

Paralel yüzün hacmi 21

Parametrik denklem 16

Potansiyel fonksiyon 74

R

Radyan 23 -e

Reel fonksiyon 29

Rektifıyan düzlem 45

Rotasyonel 75

Rami 24 -0

S

Seviye düzeyi 70

Süreklilik 33, 34

T

Teğet vektörü 37,39

Teğetsel ivme 52

Trigonometrik bilgiler 108

Trigonometrik forinüller 109

Türev 33

U

Uzay eğ risinin vektörel denklemi 37

v

Vektör 1

Vektör alan ı 63

Vektör değerli fonksiyonlar 29

Vektörel çarp ım 12

Vektörel denklem 16

Vektörlerin bile şeni 2

Vektörlerin ç ıkarmas ı 6

Vektörlerin toplam ı 6

Y

Yay uzunluğu 41

Yoldan bağı ms ız 95

Yüzey alan ı 86

Yüzey integrali • 1

işaretli terimler II. Cil tte eklenmi ş tir

97