uticajne linije.docx

Uticaj pokretnog opterećenja

Opterećenje dijelimo prema:načinu prenošenja:- direktno (u proizvoljnim tačkama)- posredno (u određenim tačkama – vezama)vremenu djelovanja:- trajno (sopstvena težina, nepokretni dijelovi)- povremeno : 1) nepokretno 2) pokretno (pomjera se po nosaču dovoljno sporo da zadržava statički karakter)

Uticajna linija je funkcija koja izražava zavisnost uticaja Z u presjeku s (Zs) od položaja jediničnog opterećenja (u).

sila P=1 u tački uuticaj Z na mjestu s ¿>Zs=Zs(u)

Za statički određene nosače ta funkcija je linearna duž jedne krute ploče.

Uticaji usljed stalnog i povremenog nepokretnog opterećenja su funkcije samo intenziteta, dok uticaji usljed pokretnog opterećenja zavise i od njegovog položaja.

Pokretna opterećenja mogu biti:- jednako podijeljena:

1) neprekidno (tenk, gusjeničar)2) prekidno (proizvoljne dužine, prekidamo ga gdje hoćemo)

- sistem koncentrisanih sila sa konstantnim razmakom tokom kretanja (motorna vozila sa više osovina, voz)

Konačan cilj je dobijanje ekstremnih vrijednosti traženih uticaja, a postupak je:- crtanje uticajne linije- određivanje mjerodavnog položaja opterećenja- sračunavanje maksimalnog uticaja.

Računanje uticaja:- koncentrisane sile

Z s=∑m=1

n

Pm Z s¿¿

- raspodijeljeno opterećenje p(u)

Z s=∫u1

u2

puZ s (u )du

za p=const . —˃Z s=p∫u1

u2

Zs (u )du=p·F - F je

površina ispod uticajne linije u1-u2

Statika konstrukcija 2 Uticajne linije - ukratko 1

Određivanje opasnog položaja pokretnog opterećenja

a) Pokretno opterećenje beskonačne dužine (možemo ga prekinuti proizvoljno)

b) Pokretno opterećenje konačne dužine

- uslov da bi opterećenje bilo u opasnom položajuZ s (u1 )=Zs (u2 )

c) Sistem pokretnog opterećenja konačne dužine sa konstantnim međusobnim rastojanjem- uslov opasnog položaja

∑m=1

n

Z s (u1 )=∑m=1

n

Z s (u2 )

d) Pokretni sistem vezanih koncentrisanih sila- uslov opasnog položaja

∑m=1

n

PmZ s’ (um )=0

∑m=1

n

Pm tg αm=0

Da bi bio opasan položaj mora bar jedna od sila da bude iznad tjemena uticajne linije – mjerodavna sila

Za trougaonu uticajnu liniju: 1x∑i=1

m−1

Pi<Rl< 1x’∑i=m

n

Pi˄1x∑i=1

m

Pi<Rl< 1x’ ∑

i=m+1

n

Pi

Određivanje uticajnih linija: - statička metoda - kinematička metoda

- metod ravnoteženih koncentrisanih opterećenja

U okviru vježbi iz Statike konstrukcija 2 bavićemo se samo uticajnim linijama za statičke veličine statički određenih nosača.


Statička metoda se zasniva na određivanju funkcionalne zavisnosti traženog uticaja od položaja jednične sile. Obično je potrebno superponirati (sabrati) nekoliko jednostavnih uticajnih linija koje predstavljaju članove posmatrane funkcionalne zavisnosti.

PRОSTA GREDAa) x<u≤l

T s=A

M s=A · x= x·u '

l

b) 0≤u<xT s=−B

M s=B · x'= x ' · ul


LUK NA TRI ZGLOBAreakcije oslonaca

Pokretno opterećenje je vertikalno, pa je uticajna linija za V a' i V b

' ista kao za A i B odgovarajuće proste grede.

H a=H b=H

V a=V a' +Htgα o

V b=V b' −Htgα o

H=M go

f


LUK NA TRI ZGLOBAmoment savijanja

M c=M c 0−H yc


Kinematička metoda (KM) se zasniva na stavu o uzajamnosti rekacija veza i pomjeranja koji glasi:

Reakcija veze m (C ¿¿m)¿ usljed jedinične generalisane sile na mjestu n (P¿¿n)¿ jednaka je negativnoj vrijednosti

generalisanog pomjeranja napadne tačke sile Pn(δ¿¿n)¿ usljed jediničnog generalisanog pomjeranja veze m

(c¿¿m)¿ .

Cmn=−¿ δ nm

Slijedi da ćemo uticajnu liniju za statičku veličinu dobiti kao dijagram vertikalnih pomjeranja opterećenog poteza štapova mehanizma nastalog zadavanjem jediničnog pomjeranja na mjestu krute veze koja odgovara traženom statičkom uticaju.

Algoritam za konstrukciju uticajnih linija kinematičkom metodom:

1. Ukidamo krutu vezu koja izaziva (tj. usljed čijeg postojanja se javlja) traženi statički uticaj.2. Zadajemo odgovarajuće negativno jedinično pomjeranje na mjestu ukinute krute veze3. Crtamo dijagram vertikalnog pomjeranja opterećenog poteza štapova – tražena uticajna linija.

Ordinate uticajne linije koje su ovim postupkom nanijete na dolje su pozitivne a one sa suprotne strane su negativne.


Metod ravnotežnih koncentrisanih opterećenja (MRKO) se zasniva na stavu o uzajamnosti presječnih sila i pomjeranja koji glasi:

Presječna sila u presjeku m (C ¿¿m)¿ usljed jedinične generalisane sile na mjestu n (P¿¿n)¿ jednaka je

generalisanom pomjeranju napadne tačke sile Pn(δ¿¿n)¿ usljed dejstva ravnotežnog koncentrisanog opterećenja na krajevima diferencijalne okoline presjeka m.

Cmn=¿ δ nm

Slijedi da ćemo uticajnu liniju za presječnu silu dobiti kao dijagram vertikalnih pomjeranja opterećenog poteza štapova nastalog zadavanjem jediničnog generalisanog pomjeranja na mjestu posmatrane sile. Ovo jedinično generalisano pomjeranje ostvarujemo zadavanjem ravnotežnih koncentrisanih opterećenja.

Algoritam za konstrukciju uticajnih linija metodom ravnotežnih koncentrisanih opterećenja:

1. Zadajemo odogovarajuće ravnotežno koncentrisano opterećenje na stvarnom nosaču 2. Crtamo fiktivni nosač koji odgovara vertikalnom pomjeranju poteza štapova kuda se kreće jednična sila3. Nanosimo odgovarajuće opterećenje na fiktivni nosač

- za uticajnu liniju za momenat savijanja ravnotežno koncentrisano opterećenje je par momenata M= EIdx

te je fiktivno opterećenje pf= 1

dx cosα→PY

f =1

- za uticajnu liniju za normalnu silu ravnotežno koncentrisano opterećenje je par sila N= EFdx

te je fiktivno opterećenje mf= tgα

dx→M❑

f =−sinα

- za uticajnu liniju za transverzalnu silu ravnotežno koncentrisano opterećenje je par sila T=GFkdx

te je fiktivno opterećenje mf= 1

dx→M❑

f =cosα

- za uticajnu liniju za vertikalnu reakciju oslonca mfiktivno opterećenje je M❑f =1

- za uticajnu liniju za horizontalnu reakciju oslonca fiktivni nosač je neopterećen- za uticajnu liniju za reakciju uklještenja fiktivno opterećenje je isto kao za moment savijanja

4. Određujemo dijagram momenata savijanja fiktivnog nosača - tražena uticajna linija

U slučaju da je fiktivni nosač statički neodređen, rješavamo ga na sljedeći način. Za statički neodređene veličine fiktivnog nosača usvajamo momente savijanja u krutim vezama. S obzirom da moment savijanja fiktivnog nosača odgovara ugibu čvora stvarnog nosača usljed dejstva ravnotežnih koncentrisanih opterećenja, prema teoremi o uzajamnosti presječnih sila i pomjeranja, traženi ugib je jednak presječnim silama u presjeku gdje djeluju ravnotežna koncentrisana opterećenja usljed dejstva jedinične vertikalne sile koja odgovara ugibu traženog čvora.


Razlika između KM i MRKO je u tome što se u KM jedinično generalisano pomjeranje zadaje direktno na sistemu kome je ukinuta odgovarajuća kruta veza, dok se kod MRKO jedinično generalisano pomjeranje ostvaruje u stvarnom nosaču zadavanjem ravnotežnih koncentrisanih opterećenja na mjestu traženog uticaja.

Zadatak 1

Odrediti maxM u presjeku c usljed vezanog sistema koncentrisanih sila koje se kreću u oba poretka.


Određivanje maxM 'šetanjem' sila

M cI=210 [3.375+ 3.37513.5

(11.9+10.3+8.7+7.1 )]+180 3.37513.5(4.1+2.5 )=3000.75kNm

M cII=210[ 3.3754 .5

(2.9+4.5 )+ 3.37513.5

(11.9+10.3+8.7 )]+180 3.37513.5(5.7+4.1 )=3228.75kNm

M cIII=210 [ 3.3754 .5

(1.3+2.9+4.5 )+ 3.37513.5

(11.9+10.3 )]+180 3.37513.5(7.3+5.7+1.2 )=3174.75kNm


U obrnutom poretku se dobija da je P6 mjerodavna sila.

M cop=180 ·3.375(1+ 2.94 .5 )+210 3.37513.5

(4.1+5.7+7.3+8.9+10.5 )=2915.25 kNm

maxM c❑=M c

II=3228.75kNm

Određivanje opasnog položaja preko kriterijuma za trougaonu uticajnu liniju

1x∑i=1

m−1

Pi<Rl< 1x’∑i=m

n

Pi˄1x∑i=1

m

Pi<Rl< 1x’ ∑

i=m+1

n

Pi

R I / l=78.33

R II / l=78.33

R III / l=88.33

Rop / l=78.33

I položaj 0<78.33<104.44

46.66>78.33>88.88 X

II položaj 46.66<78.33<88.88

93.33>78.33>73.33

III položaj 93.33<88.33 X

obrnuti poredak 40<78.33<91.11

80>78.33>77.7


Zadatak 2

Konstruisati uticajnu liniju za momenat savijanja i transverzalnu silu u presjeku n, horizontalnu komponentu reakcije c te normalnu silu u presjeku m ako se jedinična sila kreće duž označenog poteza štapova. Potom odrediti extrM usljed:

a) vezanog sistema koncentrisanih sila koji se kreće u oba poretkab) raspodijeljenog opterećenja beskonačne dužine p=12kN /mc) raspodijeljenog opterećenja dužine l=6m, p=12kN /m



Uticajna linija za moment savijanja u presjeku n

plan polova:

yx+6

=86

y24−x

=812

}⇒ x=4∧ y=40/3

plan pomjeranja:

δφ25=1=δφ2+δφ53 · δφ5=7 · δφ2 }⇒ δφ2=0.3∧δφ5=0.7

8 · δφ2=12· δφ3⇒ δφ3=0.2


Uticajna linija za transverzalnu silu u presjeku n

plan polova:

položaj pola O2 je kao i maloprije

e=√102+13.3332=16.667plan pomjeranja:

δφ2=δφ5=1e=0.06

ili

δφ2=δφ5Δ25=1=5 · δφ5+11.666 · δφ5}⇒ δφ2=δφ5=0.06

8 · δφ2=12· δφ3⇒ δφ3=0.04


Uticajna linija za normalnu silu u presjeku m

plan polova:

y18

= 812⇒ y=12

plan pomjeranja:

δφ2=δφ3=1e=0.05

ili

δφ2=δφ5Δ23=1=8 · δφ2+12 · δφ3}⇒δφ2=δφ3=0.05

18 · δφ3=12· δφ4⇒δφ4=0.075


Uticajna linija za horizontalnu komponentu reakcije oslonca c

plan polova:

y12

= 818⇒ y=5.333

plan pomjeranja:

Δc=1=13.333 · δφ3⇒ δφ3=0.075

12 · δφ3=18 · δφ2⇒ δφ2=0.05

Određivanje uticajnih linija primjenom metoda ravnotežnih koncentrisanih opterećenja

Postupak:

1. Crtamo fiktivni nosač koji odgovara vertikalnim pomjeranjima opterećenog poteza štapova2. Nanosimo fiktivno opterećenje (u ovom zadatku ono postoji samo za Nm i tad je jednako nuli)3. Usvajamo statički neodređene veličine fiktivnog nosača, ovdje su to momenti – jednaki su ugibima stvarnog

nosača4. Zadajemo na stvarnom nosaču jednične sile koje odgovaraju traženim ugibima te crtamo dijagrame

presječnih sila usljed dejstva svake od jediničnih sila5. Sada možemo crtati uticajne linije u svakom presjeku jer znamo vrijednosti statički neodređenih veličina

fiktivnog nosača za bilo koji presjek stvarnog nosača


Uticajna linija za M u presjeku n

Uticajna linija za T u presjeku n

Uticajna linija za N u presjeku m

Uticajna linija za Hc


ekstremni momenti savijanja u presjeku n

a)

'šetanje' sila

M nI=2.1[15( 77 + 3

7 )+10( 710 + 410 )]=68.1kNm

M nII=2.1[20 37 +10 (1010 + 7

10 )+15 410 ]=66.3kNmkriterij R=70l=17R / l=4.117

I položaj 40 /10<R/ l<30/755/10>R / l>15 /7

II položaj 40 /10<R/ l<30/750/10>R / l>20/7

Odredili smo opasan položaj opterećenja pri oba poretka kretanja sila, te zaključujemo da se maksimalni momenat savijanja koji zateže 'donje' vlakno javlja u slučaju položaja I.

maxM n❑=68.1kNm

'šetanje' sila

M nI=−2.4 [20 48 +10( 1212+ 912 )+15( 612 + 2

12 )]=−90 kNm

M nII=−2.4 [15( 88+ 48 )+10 ( 912 + 6

12 )+20 212 ]=−92kNm

kriterij R=70l=20R / l=3.5

I položaj 20/8<R/ l<50/1230/8>R / l>40 /12

II položaj 15/8<R / l<55/1230/8>R / l>40 /12

Odredili smo opasan položaj opterećenja pri oba poretka kretanja sila, te zaključujemo da se maksimalni momenat savijanja koji zateže 'gornje' vlakno javlja u slučaju položaja II.

minM n❑=−92kNm

Na osnovu svega prethodno sračunatog, slijedi da je ekstremni momenat savijanja u presjeku n usljed dejstva vezanog sistema koncentrisanih sila koje se kreću u oba poretka jednak 92 kNm pri čemu se zateže 'gornje' vlakno.

extrM n❑=−92kNm


b)

maxM n❑=12( 2.1·172 +0.6 ·13

2 )=261kNmminM n

❑=−122.4 ·202

=−288 kN m }⇒extrM n❑=−288kNm

c)

ycxc

=2.110

yc17−(xc+6)

=2.17

}⇒ xc=6.471∧ yc=1.359

F+¿=1.359 ·6+

(2.1−1.359) ·62

=10.377 ¿

maxM n❑=p·F+¿=12 ·10.377=124.924kNm ¿

ycxc

=2.48

yc20−( xc+6 )

=2.412

}⇒ xc=5.6∧ yc=1.68

F−¿=−(1.68 ·6+ (2.4−1.68 ) ·6

2 )=−12.24 ¿

minM n❑=p· F−¿=−12 ·12.24=−146.88 kNm¿

extrM n❑=−146.88 kNm


uticajne linije.docx

Documents