Prosta gredaUTICAJNE LINIJE

Prosta gredaP=1

luA

A

∑Mb = 0 01 ulA

l

BReakcije oslonaca

1llAluza

01 + A

000 l

Auza

luB ∑Ma = 0 01 ulBl

000 l

Buza

l

1+B

1llBluza

Presječne sile

a) Sila P=1 desno od presjeka s

P=1

A B∑Y = 0

0 sTA

) p j

xsA Ts

Ms u

luATs

s

∑Ms = 0 0MxA

xluxza

1

1 +lxuxAM s

∑Ms 0 0sMxA

b) Sila P=1 lijevo od presjeka s

luxza Ts-

M

∑Y = 0

0 sTB x’s

BTs

Ms

x +Ms

luBTs

∑Ms = 0

x BTs

xuza 0 x’

lxuxBM s

∑

0 sMxB xuza 0

(3)

(3)

Granične vrijednosti tansverzalnih sila

A B

22

p 2pl

l2xppFTmax

A B

g2l2

22

pplxppFTmin

p 2l2ppFTmin

(3)

Rggl21glT Rg 22

2Rpg pg

2lTmaxTTmax Rpg pg2

2R pglTminTTmin Rpg pg

2TminTTmin

plp 2Granične vrijednosti momenata savijanja

RplxlxpMp 22

max

gdje je R bezdimenziona fukcija položaja presjeka.gdje je R bezdimenziona fukcija položaja presjeka.

A B

x +x’

p

MMpmax

Kada se sila P=1 nalazi lijevo od presjeka s sile u presjeku su definisane sa:

Konzola

1Txu 0

sP=1 Ms

u1sT

uxM s x

s Tsu

Mslux

Kada se sila P=1 nalazi desno od presjeka s sile u presjeku su definisane sa:

xs Ts

u0sT0sM

uticaji u presjeku s su jednaki nuli P=1

Ms

s bl-xTs

u Uticajna linija za momenatsavijanja Mb je trougao samaksimalnom ordinatom l naslobodnom kraju nosača.

Greda sa prepustima

Greda sa prepustima razlikuje se od prostegrede po tome što joj oslonci nijesu nakrajevima.

Raspon polja ab obilježen je sa l, a dužineprepusta ac i bd sa a1 i a2.

Uticajne linije za sile u presjecima s1 i s2na prepustima iste su kao uticajne linijeza sile u odgovarajućim presjecimak l i bdkonzole ac i bd.

Posmatraćemo nosač raspona l=16m saprepustima a =a =4 0m koji je direktno

Konstrukcija dijagrama ekstremnih vrijednosti sila u presjecima grede sa prepustima

prepustima a1=a2=4,0m koji je direktnoopterećen jednako podijeljenim pokretnimopterećenjem intenziteta p=20kN/m.

minZ=p F

maxZ=p F+

minZ p F-

Na slici su prikazani položaji jednakopodijeljenog pokretnog opterećenja p prikojima se javljaju ekstremne vrijednostisila u presjecima

Dijagrami ekstremnih vrijednostitransverzalnih sila, na prepustima jednaktransverzalnih sila, na prepustima jednakje dijagramu transverzalnih sila, adijagram ekstremnih vrijednostitransverzalnih sila na dijelu ab opisan jeizrazima:

216010max Tp

izrazima:

216010min pT

Gerberov nosač

Greda oslonjena na više od tri oslonaca je statički neodređenaGreda oslonjena na više od tri oslonaca je statički neodređena.Ako je greda oslonjena u tačkama od 0 do n+1 na ležišta od kojih je jedno nepokretno, aostala pokretna tada je takav nosač n puta statički neodređen i naziva se kontinualan nosač.Zglobne veze mogu biti iznad oslonaca čime se dobija neekonomično rješenje.

Ekonomičnije rješenje se dobija ubacivanjem zglobova između oslonaca.

Kada se zglobovi nalaze između oslonaca sistem se sastoji od prostih greda i greda saprepustima

Ovakvi nosači se nazivaju Gerberovi nosači. Raspored zglobova mora biti takav da sistembude stabilan.

0 1 g 2 g 3 g 4Labilan dio

Labilan dioLabilan dioStabilan dio

g3 4

3

0 1 g1 2 g2 3 g3 4

g2 3 g3

g1 2 g2

0 1 g1

Reakcije oslonaca i sile u presjecima zavise od rasporeda zglobova i položaja opterećenja. Tako na primjer, reakcije oslonaca grede sa prepustom 0-g1 postoje za bilo koji položajopterećenja po nosaču dok će reakcija oslonca na dijelu g g postojati samo kada je

Prema tome uticajne linije za reakciju oslonca 0 postojaće na čitavom nosaču, dok ćeuticajna linija za reakciju oslonca 2 postojati samo u dijelu od g1 do 4.

opterećenja po nosaču, dok će reakcija oslonca na dijelu g1-g2 postojati samo kada jeopterećenje na dijelu g1-4.

Kada je opterećenje na stabilnom dijelu tj. od a-g1 tada uticaji na labilnom dijelu tj.

Na primjeru je prikazan Gerberov nosač koji se sastoji od dvije grede sa prepustimaa-g1 i g1-g2 i proste grede g2-d.

Kada je opterećenje na stabilnom dijelu tj. od a g1 tada uticaji na labilnom dijelu tj.dijelu g1-d imaju vrijednost nula.

Kada je opterećenje na labilnom dijelu od g1-d tada postoje uticaji na stabilnom dijelua kada je opterećenje na dijelu g1-g2 tada uticaji u dijelu g2-d imaju vrijednost nula .

Uticajne linije za reakcije oslonaca A i B i sile u presjecima s1 i s2 identične su sauticajnim linijama za iste grede sa jednim prepustom a-g1, slike 11a,b,e,f,g,h.

Uticajne linije za reakcije A i B imaju jediničnu vrijednost ordinate za položaj sile P

Duž svake krute ploče uticajna linija je prava.

iznad oslonca a, odnosno, oslonca b, i nulte vrijednosti ordinata za položaj sile P iznadoslonaca, b, c i d za reakciju A, odnosno, a,c id za reakciju B.

Uticajna linija za reakciju C ima jediničnu vrijednost ordinate ispod oslonca c i nultevrijednosti ispod oslonca d, dok uticajna linija za reakciju D ima jediničnu vrijednostispod oslonca d .

a s1 b s2 g1 s3 c s4 g2 s5 d A B C D

a b g1

g2 dg1 c g2

A 1 +-

g1

B1+

-

C + 1

D

1

+ 1X1

Ms1

X1

T

+ -

+

- 1 -Ts11 + +

X2

X2 -Ms2

2

1 +-

Ts2

a s1 b s2 g1 s3 c s4 g2 s5 d A B C DA B C D

a b g1

g2 dg1 c g2

X3

X

Ms3

+ -

X3

Ts31

1+

- -X4

XM 4 X4Ms4

Ts4

-

1

M 5 X4

+Ms5

Ts5

X4

X4

+

1- +

1

+

Nosači sa tri zglobaNosač sa tri zgloba sastoji se od dvije kinematički krute ploče koje su oslonjene na nepokretnaležišta a međusobno zglavkasto vezane

Ovakvi nosači mogu imati različite oblike lučne i okvirne nosače.

.

Nosači sa tri zgloba bitno se razlikuju od grednih nosača: reakcije oslonaca ovih nosača su kose pri bilo kom opterećenju, pa i pri vertikalnomopterećenjuopterećenju Normalne sile u njima postoje uvijek i imaju bitan uticaj na dimenzije, za razliku odgrednih nosača kod kojih su mjerodavni uticaji redovno samo momenti i transverzalnesile.

To je naročito izraženo kod lučnih nosača kod kojih su normalne sile često značajnije odmomenata savijanja.

Kako se oblik nosača može podesiti tako da pri nekom datom opterećenju postoje samonormalne sile koje izazivaju konstantne normalne napone pritiska u čitavom poprečnomnormalne sile koje izazivaju konstantne normalne napone pritiska u čitavom poprečnompresjeku, lučni nosači su veoma pogodni za konstrukcije u materijalima kao što su kamen,opeka i beton, koji podnose pritiske a ne trpe zatezanje.

Kada je opterećenje vertikalno, što je u praksi najčešći slučaj, reakcije Va' i Vb' jednake sureakcijama oslonaca proste grede pa su i uticajne linje za njih iste kao uticajne linije za

k ij t dreakcije proste grede.

oaa HtgVV

fM

H go

ogo

aa tgf

MVV p

f2lplHmax 21

p

f

f2p

otgfl 21 + of

HMMUticajne linije za presječne sile

ccoc HyMM Mc

uticajne linije za momenat savijanja u presjeku c mogu dobiti:

• ordinata uticajnih linija za momenat Mco ekvivalentene proste grede,

• i ordinata uticajne linije za silu potisaka H pomnoženih sa –yc.

Sa slike se vidi da se ordinate uticajne linije na dijelu c-g linearno mijenjaju od vrijednosti x

Kako su prve pozitivne a druge negativne, treba od ordinata uticajne linije Mco oduzetiordinate uticajne linije za Hyc

fyl c2

Sa slike se vidi da se ordinate uticajne linije na dijelu c-g linearno mijenjaju od vrijednosti xcispod oslonca a do vrijednosti ispod oslonca b.

Kada ova dva odsječka spojimo pravom linijom prava a'b' dio ove prave između presjaka c'Kada ova dva odsječka spojimo pravom linijom, prava a b , dio ove prave između presjaka c i g' predstavlja uticajnu liniju za Mc na dijelu nosača od c do g.

Prave a-c ' i g'b su djelovi uticajne linije lijevo od presjeka c, odnosno, desno od zgloba g. Na ovaj način je uticajna linija redukovana na horizontaluNa ovaj način je uticajna linija redukovana na horizontalu.

ccoc HyMM

Uticajna linija za momenat savijanja u presjeku c ima nultu tačku L koja se nalazi navertikali presjeka d pravih a-c i g-bK d il P 1 dj l j di k d j j d li ij l i k čk d i

Pri tom položaju sile P=1 reakcije

Kada sila P=1 djeluje na dio c-g, tako da joj napadna linija prolazi kroz tačku d, pravcireakcija su a-c i b-g, momenat savijanja je jednak nuli, time je dokazano da je položaj silenulti položaj. P=1Pri tom položaju sile P=1 reakcije oslonaca su:

c B0bM

lelVa

AVa'

Vb' 0)(1 ellVa

l

e

e l-e0aM01 llVb 0 ccaccoc HyxVHyMM

leVb

ellVMH bgo 22

02

ccc ylfelx

lelM

llfff

H bgo 22

c

c

xy

flle21

ccoc HyMM P=1

lelVa

leVb c B

Vb'

lfelH 2 A

Va'

Vb'

e l-e

c

c

xy

flle21

e l e

lcf

x

cyfl2

+-

xc

Kada je poznat položaj nulte tačke uticajna linija može da se konstruiše putem jednog odsječka, odsječka ispod oslonca a ili odsječka ispod oslonca b.

occcoc HTT

cossincos

Tc

ocos

o

occ cos

sint

cccoc HtTT cos gdje je

ordinate uticajne linije za transverzalnu silu u presjeku c mogu dobiti superpozicijomordinate uticajne linije za transverzalnu silu u presjeku c mogu dobiti superpozicijom

ordinata uticajne linije za transverzalnu silu Tco proste grede pomnoženih sa cosc

ordinata uticajne linije za potisak H pomnoženih sa -tc

Ordinate uticajne linije na dijelu c-g linearno mijenjaju od vrijednosti cosc ispod oslonca a dovrijednosti –l2tc/f ispod oslonca b.

Prema tome ako ispod oslonca a nanesemo odsječak cosc a ispod oslonca b odsječak –l2tc/f i ted j čk ji ' b' di t d t lj ć ti j li ij t l

Prava koja je paralelno povučena pravoj a'-b' iz tačke a predstavljaće uticajnu linija za Tc lijevood presjeka c, a prava g'-b uticajnu liniju desno od zgloba g.

odsječke spojimo pravom a'-b' dio te prave predstavljaće granu uticajne linije za transverzalnusilu Tc na dijelu od c do g.

p j , p g j j g g

Uticajna linija ima nultu tačku L koja se nalazi na vertikali presjeka d prave b-g i prave krozoslonac a paralelne tamgenti na osu luka u tački c.

Kada sila P=1 djeluje na dio c g tako da joj napadna linija prolazi kroz tačku d pravci reakcijaKada sila P=1 djeluje na dio c-g tako da joj napadna linija prolazi kroz tačku d pravci reakcijasu a-d i b-g.

HtTT cccoc HtTT cos

el eV elH 2

P=1

lelVa

lVb

lfH 2

o

occcoc HTT

cossincos

P 1

Bc

A

B

Vb' cccoc HtTT cos

o

occ cos

sint

Va'

e l-e

0tel

coselT c2

cc

tlle

2

lfl ccc

c

ctfl

cos1 2

P=1

HtTT cos

c B

cccoc HtTT cos

AVa'

Vb'

e l-e

ctfl2

-

cosαc+

-

cos Nc

o

occcoc HTN

coscossin

cccoc HnTN sin

occcoc HTN

coscossin

Nc

ocos

cccoc HnTN sinP=1

lelVa

P 1

0bM

leVb

el

B0aM

M

lfel

H 2

0nelcoselN 2

A

Va’

Vb’fM

H go

0nlf

cosl

N ccc

nlle

1sin

nfl

c

c2

occcoc HTN

coscossin

Nc

ocoscccoc HnTN sin P=1

1sin

nfl

le

c

c2

B

A Vb’

Va’

i -sinαc

I O i ij l j d i ič i i j k k ji j d l

Momenti u odnosu na tačke jezgra

MN

Iz Otpornosti materijala je poznato da su ivični naponi u presjeku koji je napadnut normalnom silom N i momentom savijanja M, tj. normalnom silom na odstojanju e=M/N od težišta presjekadati izrazima:

oo

WM

FN

uu

WM

FN

Gdje su Wo i Wu otporni momenti poprečnog presjeka za gornju, odnosno, donju ivicu presjeka.

Iz ovih izraza vidimo da se u opštem slučaju ekstremne vrijednosti ivičnih napona neće javiti niIz ovih izraza vidimo da se u opštem slučaju ekstremne vrijednosti ivičnih napona neće javiti nipri položaju opterećenja pri kome se javlja ekstremna vrijednost momenata savijanja.

Ekstremne vrijednosti ivičnih napona pojaviće se pri položajima opterećenja koji nijesu mjerodavni položaji za gornje sile u presjeku.j p j g j p j

o

uu

oo

oo

WMek

WNe

FW

WN

Poznatom transformacijom izraza:

WWFW

u

oo

u

u

uu

WMek

WNe

FW

WN

uu keNM oo keNM

Ivični naponi izraženi su putem momenata s obzirom na tačke jezgra Ku i Ko

Ekstremne vrijednosti ivičnih napona dobićemo kada momenti u odnosu na tačke jezgra imajuekstremne vrijednosti.

Momenti u odnosu na tačke jezra nosača luka sa tri zloba koji je opterećen vertikalnim

cuu

cucc

ooc

oc HyMMHyMM 00

j j j popterećenjem, dati su izrazima:

Gdje su Moc0 i Mu

c0 momenti u odgovarajućim presjecima proste grede raspona l opterećenedatim opterećenjem a yo

c i yuc odstojanja gornje i donje tačke jezgra u presjeku c od pravca

lučne sile a-b.lučne sile a b.

K k ij i j ih li ijKonstrukcija uticajnih linija zamomente s obzirom na tačke jezgra Mo

ci Mu

c koja je prikazana analogna jekonstrukciji uticajne linije za momenat

ij j b i žiš

cu

0

savijanja s obzirom na težištepoprečnog presjeka.

Uticajna linija za horizontalnu

Luk sa tri zgloba sa zategomUticajna linija za horizontalnukomponentu H sile u zatezi ista je kaouticajna linija sile potiska kod luka,čija je strijela jednaka vertikalnom

t j j l b d štrastojanju zgloba g od ose onog štapazatege koji se nalazi na vertikali krozzglob g. xc x’c

l1 l2Uti j li ij il ti l1 l2lUticajne linije za sile u prostim

štapovima prikazuju se u funkciji odsile H množeći ordinate uticajne linijeodgovarajućim multiplikatorima.

H

xc/f x’c/f+

m cosHS

g j pshodno izrazima:

xc/f

l /fe1mcos

m1mm tgtgHV Mc

l2yc/f

+-

xc

e1

ccoc HyMM

Konstrukcija uticajnih linija saKonstrukcija uticajnih linija sapresječne sile pomoću odsječaka navertikalama kroz oslonce a i b slična jekonstrukciji uticajnih linija luka na trizgloba.

Odstojanja nultih tačaka dobijamo takošto u izraze za veličinu e umjesto ounesemo ugao m, pri čemu je ym

zgloba.

xc x’c

l1 l2g m, p j ymodstojanje težišta presjeka s od osepresečenog štapa zatege.

l1 l2l

l2tc/fe2

Tc

cosαc+

-

sinαc

-l2nc/fe3

Nc

Langerova greda

Uticajna linija za momenat u presjeku s ihorizontalni potisak poligonalnog luka H usvemu je isti izrazima za iste te sile luka a-g'-b.

slTT

Uticajna linija za transverzalnu silu u presjekus je slična uticajnoj liniji ekvivalentnog luka aiz izraza:

s

sls cos

T

ordinate na vertikalama kroz oslonce a i b su:

MsL1ys/f

+ -

em

1coscos1

s

s

1cos

cos1

s

s

ordinate na vertikalama kroz oslonce a i b su: +xs

Ts 1Položaj razdjelnica određujemo kao kod luka na tri zgloba. +-

et

1

1

1

Lančani most sa gredom za ukrućenje

fM

H goMg=Mgo-H f=0

ukrućenje

o2o tgtgHAA

ttHBB o2o tgtgHBB

M =M -H y

Ts=Tso + H(tgo- tg s)

Ms Mso H ys

Ekvivalentni luk na tri zgloba a'-g'-b'.

Poligonalni luk sa gredom za ukrućenje iznad lukag g