Uswatun Chasanah, S.Pd MODUL 7

RUANG DIMENSI TIGA

I. PENDAHULUAN

A. DeskripsiModul 7 ini membahas tentang “ Ruang Dimensi Tiga “. Materi ini sangat penting sekali karena dalam kehidupan sehari-hari kita tidak bisa terlepas dari yang namanya dimensi tiga, kapanpun dan dimanapun. Banda-benda di alam semesta ini merupakan dimensi tiga. Batu, akuarium, penghapus, pensil, rumah, televisi, dan radio termasuk contoh benda yang berdimensi tiga.Karakteristik benda dimensi tiga sangat menarik untuk di kaji karena hal ini dapat bermanfaat bagi manusia. Sebagai contoh, seorang desainer bangunan harus mampu menganalisis berapa ukuran panjang, lebar, dan tinggi bangunan supaya bengunan itu tidak roboh. Seorang perancang kapal terbang harus dapat menentukan berapa panjang total kerangka dan luas permukaan pesawat serta volumenya supaya pesawat tersebut dapat mengangkasa

B. PrasaratUntuk mempelajari modul ini, terlebih dahulu harus menyelesaikan kompetensi dasar dari modul sebelumnya. Selain itu ketika di SMP, kalian telah belajar tentang bangun-bangun ruang dimensi tiga, diantaranya adalah prisma, limas, tabung, kerucut dan bola. Kalian juga telah mempelajari cara menentukan luas permukaan dan volumenya.Pada modul ini kalian di ajak mempelajari komponen-komponen bangun ruang, kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang, termasuk menghitung jarak dan besar sudut.

C. Petunjuk Penggunaan ModulPenggunaan modul ini sangat sederhana. Siswa terlebih dahulu mempelajari materi yang disajikan dalam kegiatan belajar, kemudian mengerjakan tugas, tes formatif, dan lembar kerja. Jika mengalami kesulitan bisa mendiskusikannya dengan teman-teman dan guru sebagai fasilitator beserta siswa menyimpulkan materi yang di pelajari.

D. Tujuan AkhirDiharapkan siswa dapat mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih dari materi yang disajikan.

E. Kompetensi Dasar1. Menentukan kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga. 2. Menentukan jarak dari titik ke garis dan dari titik ke bidang dalam ruang dimensi tiga. 3. Menentukan besar sudut antara garis dan bidang, dan antara dua bidang dalam ruang

dimensi tiga.

F. Cek Kemampuan1. Apa yang dimaksud dengan prisma, limas, tabung, dan kerucut?2. Misalnya kalian dibuatkan nasi tumpeng berbentuk kerucut oleh ibu. Selanjutnya, kalian potong bagian tengah tumpeng tersebut secara horizontal. Bagaimana ide kalian untuk menentukan volume potongan tumpeng yang tersisa?

Setelah kalian benar-benar dapat menjawab soal-soal di atas, mari kita lanjutkan ke materi berikut.

Peta Konsep

Dimensi Tiga

Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang

dalam Ruang

Benda-benda Ruang, Volume,

dan Luasnya

Menggambar Bangun Ruang

Irisan Bidang dengan Bangun

Ruang

Kubus, Balok, Limas, Kerucut, Prisma,

Tabung, Bola

II. PEMBELAJARAN

A. Rencana Belajar SiswaModul 7 ini akan dilaksanakan dalam waktu 16 jam pelajaran

B. Kegiatan Belajar

1. Kegiatan Belajar 1

a. Tujuan PembelajaranSetelah mengikuti pembelajaran, diharapkan siswa dapat:- Menentukan kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang.

b. Uraian materi Titik, Garis, dan Bidang

Terdapat 3 unsur yang ada dalam suatu benda berdimensi tiga, yaitu titik, garis, dan sudut. Pengertian ke tiga unsur itu adalah:1. Titik

Titik merupakan sesuatu yang tidak memiliki ukuran (tak berdimensi) dan hanya ditentukan oleh letaknya saja. Titik disimbolkan dengan noktah (•) dan biasanya di beri nama dengan huruf besar (kapital), misal A, B, C, D, dan sebagainya. (Lihat gambar. 1)Gambar.1.

• •A B

Titik A Titik B2. Garis

Garis adalah kumpulan atau himpunan titik-titik yang membentuk kurva lurus. Garis merupakan bangun berdimensi satu karena ukuran (dimensi) yang dimiliki hanya satu, yaitu ukuran panjang saja.

Garis merupakan kurva lurus yang panjangnya takterbatas, garis juga biasaya di beri nama dengan huruf kecil, misal a, b, c dan seterusnya. Bagian garis yang di sebut dengan segmen garis di beri nama sesuai dengan titik-titik yang ada pada ujung garis tersebut. Segmen garis disebut juga ruas garis. Ruas garis merupakan kurva lurus yang panjangnya terbatas. (lihat gambar.2)

3. BidangBidang disebut bangun berdimensi dua karena memiliki du dimensi (ukuran), yaitu dimensi panjang dan lebar, dan tidak mempunyai ketebalan

Beberapa aksioma tentang titik, garis, dan bidang;Aksioma 1: melalui dua buah titik sembarang yang tidak berimpit hanya dapat dibuat

tepat sebuah garis lurusAksioma 2: jika sebuah garis dan sebuah bidang mempunyai dua buah titik

persekutuan, maka garis itu seluruhnya terletak pada bidang tersebutAksioma 3: melalui tiga titik yang tidak segaris hanya dapat dibuat sebuah bidang

Berdasarkan 3 buah aksioma tentang titik, garis dan bidang di atas diturunkan dalil-dalil berikut.1. Sebuah bidang ditentukan oleh tiga titi sembarang.

• • •

2. Sebuah bidang ditentukan oleh sebuah garis dan sebuah titikyang tidak terletak pada garis tersebut.

•

g P Q

Garis g Garis PQ

Gambar.2

Bidang α Bidang ABCD

α

A B

C D

α A

B

C

α A

g

3. Sebuah bidang dapat dibentuk oleh dua buah garis yang berpotongan.

4. Sebuah bidang dapat dibentuk oleh dua buah garis yang sejajar.

Adapun kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang adalah sebagai berikut:1. Kedudukan titik terhadap garis

Kedudukan yang mungkin antara titik dan garis adalah: a. titik terletak pada garis

•

b. titik P terletak di luar garis•

2. Kedudukan titik terhadap bidang Kemungkinan kedudukan titik terhadap bidang adalah : a. titik terletak pada bidang

•

b. titik trletak di luar bidang •

3. Kedudukan garis terhadap garis Kemungkinan kedudukan garis dengan garis lain adalah: a. sejajar

Dua buah garis dikatakan sejajar, jika kedua garis tesebut terletak pada sebuah bidang dan tidak mempunyai satupun titik persekutuan.

b. berpotonganDua buah garis g dan h dikatakan berpotongan di A, jika ke dua garis tersebut terletak pada satu bidang dan mempunyai satu titik persekutuan.

c. berimpitDua buah garis g dan h dikatakan berimpit, jika kedua garis tersebut terletak pada satu bidang dan mempunyai lebih dari satu titik persekutuan

d. bersilanganDua buah garis g dan h dikatakan bersilangan, jika ke dua garis tersebut tidak terletak pada satu bidang dan garis g menembus bidang di titik A dimana A tidak terletak pada garis h.

α

g h

α

g h

P

kTitik P terletak pada garis k

P kTitik P terletak di luar garis k

V A Titik A terletak pada bidang V

V

A

Titik A terletak di luar bidang V

α

h g

α

g

h A

α

g=h

α

h •

g

A

4. Kedudukan garis terhadap bidang Kedudukan yang mungkin terjadi antara garis dan bidang adalah: a. Garis terletak pada bidang

Garis g dikatakan terletak pada bidang V, jika antara garis g dan bidang V tersebut terdapat sekurang-kurangnya dua titik persekutuan

b. Garis sejajar bidangGaris g dikatakan sejajar dengan bidang V, jika antara garis g dan bidang V tersebut tidak terdapat satupun titik persekutuan.

c. Garis memotong / menembus bidangGaris g dikatakan memotong bidang V, jika antara garis g dan bidang V tersebut terdapat sebuah titik persekutuan (titik persekutuannya di sebut titik tembus / titik potong)

5. Kedudukan bidang terhadap bidang Kemungkinan kedudukan sebuah bidang terhadap bidang lain adalah: a. Sejajar

Dua bidang V dan W di katakan sejajar jika ke dua bidang tersebut tidak mempunyai satupun titik persekutuan.

b. Berpotongan

Dua bidang V dan W dikatakan berpotongan apabila ke dua bidang tersebut mempunyai tepat satu garis persekutuan (garis potong)

c. BerimpitDua bidang V dan W di katakan berimpit jika setiap titik yang terletak pada bidang V juga terletak pada bidang W

CONTOH.1. Pada kubus PQRS.TUVW

Titik P terletak pada garis PQ dan PT Titik Q terletak di luar garis RV Titik T terletak pada bidang PSWT Titik W terletak di luar bidang QRVU

2. Pada balok ABCD.EFGH Garis AB sejajar dengan HG Garis FG berpotongan dengan EF Garis AD dan EF bersilangan

V

g • •

A B

V

g

V

•

V

W

V

W

V W

P Q

R S

T U

V W

A B

C D E F

G H

3. Pada prisma tegak segitiga KLM.NOP

Bidang KLM sejajar dengan bidang NOP Bidang KLON berpotongan dengan bidang NOP

c. Rangkuman- Kedudukan titik terhadap garis atau bidang adalah

a. titik terletak pada garis atau bidangb. titik terletak di luar garis atau bidang

- Kedudukan garis terhadap garis adalah sejajar, berimpit, berpotongan, dan bersilangan.- kedudukan garis terhadap bidang adalah

a. garis terletak pada bidang b. garis sejajar bidangc. garis berpotongan (menembus) bidang

- Kedudukan dua bidang dalam ruang adalah sejajar, berpotongan, dan berimpit

d. Tugas1. Perhatikan gambar berikut.

Berdasarkan macam-macam kedudukan garis terhadap garis. Tentukan hubungan antara:a. garis AB dan AD c. garis AD dan BCb. garis AB dan CG d. garis BF dan CE

2. Pada prisma tegak segitiga ABC.DEF, sebutkan masing-masing 3 buah rusuk yanga. saling sejajar b. bersilangan c. berpotongan

e. Tes Formatif 1Pilihlah satu jawaban yang paling tepat. 1. Pada kubus PQRS.TUVW, maka rusuk yang sejajar bidang SQUW adalah …

A. TW B. TQ C. TP D. RQ E. RS2. Banyak bidang yang melalui tiga titik yang tidak segaris adalah …

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 53. Pada kubus ABCD.EFGH, hubungan garis AD dan BF adalah …

A. sejajar B. berpotongan C. berimpit D. bersilangan E. menembus4. Pada kubus ABCD.EFGH, hubungan bidang yang berpotongan dengan bidang ABCD

adalah …A. EFGH B. ACGE C. GFEH D. BCGF E. BDHF

5. Pada kubus ABCD.EFGH, garis yang sejajar bidang BCGF adalah …A. AB B. AC C. BC D. AD E. HG

f. Kunci Jawaban Tes formatif 11. C 2. A 3. D 4. D 5. D

g. Lembar Kerja 11. Berapa banyak bidang yang dapat dibuat melalui:

a. dua garis yang saling berpotonganb. dua garis yang sejajarc. dua garis yang bersilangan

2. Berapa banyak garis yang dapat dibuat a. melalui sebuah titik dan memotong sebuah garis?

Apakah garis-garis tersebut terletak pada satu bidang? b. melalui sebuah titik dan memotong sebuah bidang?

Apakah garis-garis tersebut terletak pada satu bidang?

K L M

N O P

A B

C D

E F

G H

c. melalui sebuah titik dan sejajar dengan sebuah garis?d. melalui sebuah titik dan sejajar dengan sebuah bidang

Apakah garis-garis tersebut terletak pada satu bidang? e. memotong sebuah garis dan sejajar dengan sebuah garis yang lain

2. Kegiatan Belajar 2

a. Tujuan PembelajaranSetelah mengikuti pembelajaran, diharapkan siswa dapat:- Menentukan volume benda-benda ruang - Menghitung perbandingan volume dua benda dalam suatu bangun ruang.

b. Uraian Materi1. Kubus

Kubus (heksaeder) adalah sebuah bangun ruang yang dibatasi oleh enam bidang datar berbentuk persegi yang kongruen.

Jika panjang rusuk kubus adalah a, maka- Luas permukaan kubus (L) = 6a2

- Volume kubus (V) = a3

- Panjang diagonal sisi = a- panjang diagonal ruang = a

CONTOH. Jika perbandingan panjang rusuk ke dua kubus adalah 2 : 3 dan jumlah volume ke dua kubus tersebut 945 cm3. Tentukan panjang rusuk masing-masing rusuk kubus tersebut!Penyelesaian:Misal panjang kubus yang satu = 2a, maka panjang rusuk kubus yang lain = 3a, sehingga;V1 = (2a)3 = 8a3

V2 = (3a)3 = 27a3

V1 + V2 = 945 8a3 + 27a3 = 945 35a3 = 945

a3 = 945 : 35 = 27 a = 3

jadi, panjang rusuk ke dua kubus tersebut adalah2a = 2. 3 = 6 cm dan 3a = 3 . 3 = 9 cm

2. BalokBalok adalah sebuah bangun ruang yang dibatasi oleh enam bidang datar yang berupa persegi panjang

- Luas permukaan balok (L) = 2 (pl + pt + lt)- Volume balok (V) = plt

CONTOH. Perbandingan panjang, lebar, dan tinggi suatu balok adalah 5 : 4 : 3. Jika jumlah panjang seluruh rusuknya 336 cm. Tentukan luas permukaan dan volume balok tersebut.Penyelesaian.Jumlah panjang seluruh rusuk = 336 cm4 ( p + l + t ) = 336 p + l + t = 84

p = x 84 = 35 cm, l = x 84 = 28 cm, t = x 84 = 21 cm

Jadi,Luas permukaan = 2 (pl+pt+lt) = 2 (35 x 28 + 35 x 21 + 28 x 21) = 4.606 cm2

Volume = p l t = 35 x 28 x 21 = 20.580 cm3

aa

a

p l

t

3. LimasLimas (piramida) adalah bangun ruang yang dibatasi oleh segi banyak (sebagai bidang alas) dan beberapa segitiga yang alasnya berimpit dengan segi banyak tersebut dan bertemu pada satu titik puncak.Pemberian nama limas di dasarkan pada bidang alasnya. a. limas sebarang

Sebuah limas dinamakan limas sebarang jika alasnya berbentuk segi- n sebarang dan proyeksi puncaknya pada bidang alas berimpit dengan titik puncak alas tersebut.

b. limas beraturanSuatu limas dikatakan limas beraturan segi – n, jika alasnya berbentuk segi – n beraturan dan proyeksi puncaknya berimpit dengan pusat bidang alas.

Luas permukaan limas = luas alas +luas seluruh bidang(sisi) tegak

Volume limas = x luas alas x tinggi

Catatan: * limas dengan alas segitiga dinamakan bidang empat (tetra hedron/ limas segitiga)* pada bidang empat beraturan (limas segitiga beraturan) berlaku: jika panjang rusuk = a, maka

- tinggi bidang empat beraturan = a

- Luas permukaan = a2

- Volume = a3

CONTOH. Diketahui limas segi empat beraturan dengan sisi alas berbentuk persegi yang panjangnya 3 cm dan tingginya 8 cm. Tentukan volume limas dan luas permukaan limas.Penyelesaian:

Perhatikan gambar.

* Volume limas = x luas alas x tinggi

= x ( 3 x 3 ) x 8

= 24 cm3

* Tinggi sisi tegak limas EG = = = 8, 14

Luas ΔABE = x AB x EG = x 3 x 8,14 = 12,21 cm2

Luas sisi tegak limas = 4 x L ΔABE = 4 x 12,21 = 48,84 cm2

Luas alas = AB x BC = 3 x 3 = 9 cm2

Jadi luas permukaan limas = 48,84 + 9 = 57,84 cm2

4. KerucutKerucut adalah bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah bidang alas yang berbentuk lingkaran dan oleh sebuah bidang lengkung. Bidang lengkung terbentuk dari sebuah juring ligkaran dengan panjang busur saa dengan keliling lingkaran.Jika sebuah kerucut mempunyai panjang jari-jari alas r, tinggi t, dan panjang garis pelukis s, maka:

s2 = r2 + t2

Volume kerucut = π r2t

Luas permukaan kerucut = π r2 + π rs = π r (r + s)

T

C

B

A

A B

C D

T

E

G A B

C D

8

3

r

t s

CONTOH. Jika sebuah kerucut dengan diameter bidang alas adalah 14 cm dan tinggi 24 cm. hitunglah:a. Luas permukaan kerucutb. Volume kerucutPenyelesaian:Perhatikan gambar.* s = = = = = 25 Luas = π r (r + s)

= π. 7 (7+25)= π. 7 (32)= 224 π cm2

* Vol = π r2t = π. 72 . 24 = 392π cm3

CONTOH. Tunjukan bahwa volume gambar berikut adalah V =

Penyelesaian:Jika diperpanjang, bangun ruang itu berbentuk kerucut, dengan menggunakan konsep kesebangunan, diperoleh:

= x = …………………….(1)

Jadi Volume bangun ruang yang dimaksud adalah

V = πR12 ( h + x ) – πR2

2 x

= π (R12 h + R1

2 x – R22 x)

= π (R12 h + (R1

2 – R22) x) ……………………….(2)

Dengan mensubtitusikan nilai x dari persamaan (1) ke (2), diperoleh;

V = π (R12 h + (R1

2 – R22) )

= π (R12 h + (R1 + R2) R2 h )

= ………..(terbukti)

5. PrismaPrisma adalah sebuah bangun ruang yang dibatasi oleh dua segi – n yang sejajar dan n buah segi empat.Perhatikan gambar berikut.

Apabila dilihat dari kedudukan rusuk tegaknya, terdapat dua jenis prisma:a. prisma tegak yaitu prisma yang rusuk-rusuknya tegak lurus dengan bidang alas.

Gambar di atas adalah contoh prisma tegak.

s

O B A

T

R1

h

R2

R1

h

R2

h

x

Prisma segi lima Prisma segi empat Prisma segi tiga

b. prisma condong/ miring yaitu prisma yang rusuk-rusuk tegaknya tidak tegak lurus dengan alas.

Luas permukaan prisma = 2 x luas alas + luas sisi tegakVolume prisma = luas alas x tinggi

CONTOH. Diketahui sebuah prisma tegak segitiga siku-siku PQR.STU dengan panjang rusuk bidang alas PQ = 8 cm, QR = 15 cm, dan PR = 17 cm. Tentukan luas permukaan prisma tersebut dan volumenya jika tinggi prisma tersebut adalah 10 cm.Penyelesaian:

Luas alas = .(PQ).(QR) = (8).(15) = 60 cm2

Luas PQTS = 8 . 10 = 80 cm2

Luas QRUT = 15. 10 = 150 cm2

Luas PRUS = 17. 10 = 170 cm2

Luas Permukaan = 2 x luas alas + LPQTS + LQRUT + LPRUS

= 2 x 60 + 80 + 150 + 170 = 520 cm2

Volume = luas alas x tinggi = 60 x 10 = 600 cm3

CONTOH. Prisma tegak dengan alas segi enam beraturan dengan jari-jari lingkaran luar 12 cm. Jika tinggi prisma tersebut 20 cm. Tentukan volume prisma tersebut.Penyelesaian:Alas berbentuk segi enam beraturan

Luas segi enam = r2 sin

= 3. 122 . sin 600

= 3. 144.

= 216 Volume = luas alas x tinggi = 216 x 20 = 4320 cm3

6. Tabung (Silinder)

Silinder atau tabung adalah suatu bangun ruang yang di batasi oleh bidang alas dan bidang atas yang berbentuk lingkaran dengan jari-jari sama dan oleh sebuah bidang lengkung (selimut tabung)

Luas selimut tabung = 2π r tLuas permukaan tabung = 2πr2 + 2πr2t = 2π r ( r + t )Volume = luas alas x tinggi = π r2 t

CONTOH. Jika dua buah silinder masing-masing silinder A dan B dengan perbandingan jari-jari bidang alas 3 : 4, sedangkan perbandingan tingginya 5 : 6, hitunglaha. Perbandingan luas permukaan kedua silinderb. Perbandingan volume kedua silinderPenyelesaian:

t t

S U

P

Q

R

T 10

8 15

17

r

Misal silinder A jari-jari = rA, tinggi = tA, sedangkan silinder B jari-jari = rB,

tinggi = tB, maka rA : rB = 3 : 4 rA = rB

tA : tB = 5 : 6 tA = tB

a. Luas permukaan Silinder A : Silinder B = 2π rA ( rA + tA ) : 2π rB ( rB + tB )

= rA ( rA + tA ) : rB ( rB + tB )

= rB ( rB + tB) : rB ( rB + tB )

= ( rB + tB) : ( rB + tB )

Jadi Perbandingan luas silinder A dengan B adalah ( rB + tB) ( rB +

tB ) atau ( r + t) : ( r + t ) jika rB = r dan tB = t

c.VolumeSilinder A : silinder B = π rA

2 tA : π rB2 tB

= π ( rB)2 tB : π rB2 tB

= ( ) : 1

= : 1

= 15 : 32CONTOH. Sebuah tabung dengan tinggi 18 cm. jika luas permukaan 288π cm2.

tentukan volume tabung tersebut.Penyelesaian:Luas permukaan tabung = 2π r ( r + t )

288π = 2π r ( r + 18 )144 = r2 + 18 r

r2 + 18 r – 144 = 0( r – 6 ) ( r + 24 ) = 0r = 6 atau r = - 24 (tidak mungkin)

jadi, r = 6 cm, dengan demikianvolume = π r2 t = π . 62 . 18 = π. 36. 18 = 648 cm3

7. BolaSebuah bola di peroleh jika lingkaran di putar pada sumbunya.

Luas permukaan bola = 4 π r2

Volume bola = π r3

CONTOH. Sebuah bola dengan jari-jari 6 cm. hitung luas permukaan bola dan volume bola tersebut.Penyelesaian:Luas permukaan bola = 4 π r2 =4.π .62 = 4 π. 36 = 144 π cm2

Volume bola = π r3 = π 63 = π. 216 = 288π cm3

CONTOH. Dua buah bola masing-masing dengan perbandingan volumenya 27 : 8. tentukan perbandingan masing-masing jari-jari dan luas permukaan bola tersebut.Penyelesaian:Misal jari-jari bola tersebut r1 dan r2, maka V1 : V2 = 27 : 8

r

π r1 3 : π r2 3 = 27 : 8

r1 3 : r2 3 = 27 : 8r1 : r2 = 3 : 2Jadi perbandingan jari-jarinya 3 : 2Perbandingan luas permukaan L1 : L2 = 4 π r1 2 : 4 π r2 2

= r1 2 : r2 2

= 32 : 22

= 9 : 4Jadi, perbandingan volumenya 9 : 4

c. Rangkuman1. Kubus : Luas permukaan kubus (L) = 6a2 , Volume kubus (V) = a3, dengan a = rusuk2. Balok : Luas permukaan balok (L) = 2 (pl + pt + lt); Volume balok (V) = plt3. Limas : Luas permukaan = luas alas +luas seluruh bidang(sisi) tegak

Volume limas = x luas alas x tinggi

4. Kerucut : Luas permukaan kerucut = π r2 + π rs = π r (r + s)

Volume kerucut = π r2t

5. Prisma : Luas permukaan = 2 x luas alas + luas sisi tegak Volume = luas alas x tinggi

6. Tabung : Luas permukaan = 2πr2 + 2πr2t = 2π r ( r + t ) Volume = luas alas x tinggi = π r2 t

7. Bola : Luas permukaan = 4 π r2 ; Volume = π r3

d. Tugas1. Sebuah rancangan dalam bentuk miniatur sebuah rumah berbentuk balok pada alasnya

dan bagian atapnya berbentuk prisma segi empat yang diletakkan di atas balok itu.a. Tentukan volume bangun ruang di samping.b. Jika bagian luar model itu akan di cat, berapa cm2 luas

permukaan yang akan di cat.

2. Dalam sebuah percobaan di laboratorium kimia terdapat 2 bejana yang berbentuk bola masing-masing berjari-jari 8 cm dan 16 cm. tentukan perbandingan volume kedua bola itu.

3. Tentukan volume setiap bangun berikut (satuan dalam cm)

4. Sebuah tabung pengukur berdiameter 20 dm dan berisi air setinggi 15 dm. Jika sebuah bola besi berdiameter 5 dm dimasukkan ke dalam tabung tersebut, ternyata bola tersebut tenggelam sampai ke dasar tabung pengukur. Tentukan tinggi air dalam tabung pengukur sekarang.

5. Sebuah balok dengan perbandingan panjang, lebar, dan tingginya adalah 3 : 2 : 1. jika volumenya 162 cm3. Tentukan luas permukaan balok tersebut.

e. Tes Formatif 2

10 cm 6 cm

8 cm

4cm

8

6

4

7

14

14

18

Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!1. Sebuah prisma tegak ABC.DEF, AB ┴ BC, jika AB = 4 cm dan BC = AD = 10 cm, maka

volume prisma tersebut adalah …cm3

A. 100 B. 150 C. 200 D. 250 E. 3002. Jika Volume kubus 27 cm3, maka panjang diagonal sisi kubus adalah …

A. 3 cm B. 3 cm C. 3 cm D. 9 cm E. 9 cm3. Sebuah tenpat air berbentuk kerucut diameternya 18 cm dan kerucut tersebut dapat

menampung air sebanyak 1.188 cm3. Tinggi kerucut tersebut adalah …A. 28 cm B. 21 cm C. 14 cm D. 7 cm E. 3,5 cm

4. Sebuah bak penampung air berbentuk kubus dengan panjang rusuk 100 cm, air tersebut telah di pakai seperempatnya, maka sisa air dalam bak tersebut adalah …cm3

A. 7.500 B. 75.000 C. 750.000 D. 850.000 E. 8.500.0005. Panjang rusuk alas limas beraturan T.ABCD adalah 8 cm. Jika panjang rusuk tegaknya 6

cm, maka tinggi limas tersebut adalah … cmA. 2 B. 3 C. 3 D. 4 E. 4

f. Kunci Jawaban Tes Formatif 21. C 2. B 3. C 4. C 5. A

g. Lembar Kerja 21. Misalnya terdapat dua bola, yaitu bola A dan bola B. jika perbandingan jari-jari bola A

dan B adalah 2 : 3. tentukan perbandingan volume bola A dan B.2. Sebuah tabung berdiameter alas 70 cm dan tinggi 20 cm penuh berisi air. Selanjutnya

dimasukkan 10 buah bola-bola kecil berdiameter sepersepuluh dari diameter alas tabung. Tentukan air yang tumpah dari tabung.

3. Sebuah wadah terbuat dari setengah lingkaran yang berjari-jari 20 cm. wadah itu diisi air hingga penuh. Kemudian, air yang ada di dalam wadah itu dituangkan ke dalam sebuah tabung yang berjari-jari sama dengan jari-jari bola tersebut. Ternyata air tersebut tepat memenuhi tabung. Tentukan tinggi tabung itu.

4. Perhatikan gambar di samping.Tentukan volume kerucut bagian bawah (ABCD)

5. Tentukan luas permukaan gambar di bawah ini.

3. Kegiatan Belajar 3

a. Tujuan PembelajaranSetelah mengikuti pembelajaran, diharapkan siswa dapat:- Menjelaskan bidang frontal, sudut surut, dan perbandingan proyeksi dalam

menggambarkan bangun ruang.

b. Uraian MateriBeberapa istilah yang harus di perhatikan dalam gambar ruang.

C

A B

D

T

O

P

12cm

6cm

12cm

15cm

8cm

H

E F

G

- Bidang gambar adalah bidang yang digunakan untuk menggambar bangun ruang. Misalnya kertas, buku gambar, papan tulis, dll- Bidang frontal adalah bidang pada bangun ruang yang sejajar dengan bidanggambar, contohnya bidang ABFE dan DCGH- Bidang ortogonal adalah bidang pada bangun ruang yang tegak lurus dengan bidang frontal atau bidang gambar. Contohnya BCGF dan ADHE- Garis Frontal adalah garis-garis pada bangun ruang yang sejajar dengan bidang

gambar. Garis frontal ada dua macam, yaitu frontal vertikal dan frontal horizontal. Contoh garis frontal vertikal adalah AE, BF, CE, dan DH. Contoh garis frontal horizontal adalah AB, EF, DC, dan HG.

- Garis ortogonal adalah garis-garis pada bangun ruang yang tegak lurus dengan bidang frontal atau bidang gambar. Pada gambar yang termasuk garis ortogonal adalah BC, AD, FG, dan EH.

- Perbandingan ortogonal adalah perbandingan panjang garis ortogonal dengan panjang garis sebenarnya. Perbandingan ortogonal disebut juga perbandingan proyeksi.

- Sudut surut (sudut menyisi) adalah sudut yang di bentuk oleh garis frontal horizontal ke kanan dan garis ortogonal ke belakang. Pada gambar, susut-sudut seperti <BAD dan <FEH adalah sedut surut dari bangun ruang ABCD.EFGH.

CONTOH. Lukislah kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm, ABFE bidang frontal, AB horizontal dan sudut surut 600. dengan perbandingan proyeksi 2 : 3.Penyelesaian:

a. Lukislah persegi ABFE frontal, AB = 6 cmb. Lukislah <BAD = 600

c. Lukislah panjang AD = x 6 = 4 cm

d. Lukislah jajar genjang ABCDe. Lukislah bidang CDHF ukuran sama dengan ABFEf. Lengkapilah dengan melukis rusuk yang belum ada.

CONTOH. Lukislah limas segi empat beraturan T.ABCD, dengan panjang BD = 3 cm, tinggi limas 4 cm, bidang frontal TBD dan sudut penyisi 450, serta perbandingan ortogonal 2 : 3.Penyelesaian:

a. Lukislah TBD frontal dan BD horizontal dengan panjang 3 cm serta tinggi OT = 4 cm (titik O pertangahan BD)

b. Lukislah bidang alas ABCD melalui titik O. buatlah garis AC (O ditengah) sepanjang 2 cm dengan sudut surut 450

c. Lengkapilah dengan melukis rusuk yang ada dengan menghubungkan titik yang ada.

c. RangkumanUntuk menggambar / melukis bangun ruang perlu diperhatikan tentang pegertian bidang gambar, bidang frontal, bidang ortogonal, garis frontal, garis ortogonal, perbandingan ortogonal, dan sudut surut.

d. Tugas1. Kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm, ACGE frontal, dan AC horisontal. Jika sudut

surut 500 dan perbandingan ortogonal . Gambarlah kubus tersebut!

2. Gambarlah sebuah kubus ABCD.EFGH dengan panjang garis frontal 3 cm, ABFE adalah bidang frontal dan AB adalah garis frontal vertikal dengan sudut surutnya 1350 dan

perbandingan proyeksi

B A

C D

A

H G

F

D C 600

B

E

6 cm

6 cm

4 cm

AD=2cm

4

T

D

C

A

B

BC=3cm

3. Limas segi empat beraturan T,ABCD dengan panjang AB = 6 cm, tinggi limas 8 cm. TAC

frontal, sudut menyisi 1200. dan perbandingan proyeksi . Gambarlah limas tersebut.

e. Tes Formatif 3Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!1. Pada gambar disamping yang merupakan bidang frontal adalah …

A. ABFE C. ADEH E. ACGEB. BLFG D. CDGH

2. Pada kubus soal nomor 1, yang merupakan garis frontal vertikal adalah … A. AB B. AF C. AC D. HG E. FG

3. Diketahui limas T.KLM dimana ΔKLM siku-siku di K. jika TK tegak lurus ΔKLM maka diperoleh keterangan sebagaiberikut.(1) TK ┴ LM (2) KL ┴ TM (3) KM ┴ KL (4) TM ┴ TLA. 1,2, dan 3 B. 1 dan 2 C. 2 dan 4 D. hanya 4 E. semua benar

4. Dari gambar disamping yang merupakan bidang ortogonal adalah A. PQRS dan TUVW D. PSWT dan QRVU B. PQRS dan QRVU E. QRVU dan PQRS C. PSWT dan SRUW

5. Pada kubus soal no.4. yang merupakan bidang frontal adalah …A. PQVW B. QRWT C. PRVT D. PSVU E. SRTU

f. Kunci Jawaban Tes Formatif 31. E 2. B 3. B 4. D 5. C

g. Lembar Kerja 31. Gambarlah kubus KLMN.OPQR dengan ketentuan sebagai berikut.

a. panjang garis frontal 4,5 cm dan KL merupakan garis frontal horisontal.b. bidang KLOP merupakan bidang frontalc. perbandingan ortogonalnya 0,5d. sudut surut 400

2. Gambarlah sebuah balok PQRS.TUVW dengan ketentuan PQRS adalah bidang frontal dengan panjang PQ = 7 cm dan QU = 4 cm. PQ adalah garis frontal horisontal, sudut proyeksi 1100. QU adalah garis ortogonal dengan panjang 9 cm. dan perbandingan

proyeksi .

3. Balok ABCD.EFGH, Ab = 4 cm, Ad = 3 cm, dan AE = 2 cm, ACGE frontal, sudut menyisi

600. serta perbandingan proyeksi . Gambarlah balok tersebut.

4. Kegiatan Belajar 4

a. Tujuan PembelajaranSetelah mengikuti pembelajaran, diharapkan siswa dapat:- Menggambar dan menghitung jarak titik ke garis dan titik ke bidang - Menggambar dan menghitung jarak dua garis bersilangan pada benda ruang. - Menggambar dan menghitung jarak 2 bidang sejajar pada benda ruang

b. Uraian Materi Jarak Titik, Garis, dan Bidang dalam Ruang

A

F

B

H

D

E G

C

P

R

V

U T

S

W

Q

1. Jarak titik ke titikJarak titik A ke titik B sama dengan panjang ruas garis AB yang ditentukan dengan teorema Pythagoras, yaitu:

AB = 2. Jarak titik ke garis

Jarak titik dan garis g adalah panjanng ruas garis AB’ di mana A’ pada garis g dan berlaku AA’ ┴ g ( A’ adalah proyeksi titik A pada garis g )

3. Jarak titik ke bidangJarak titik A dan bidang V adalah panjang ruas garis AA’ dimana A’ pada bidang V dan AA’ ┴ bidang V

CONTOH. Kubus ABCD.EFGH, dengan panjang rusuk 8 cm, dan titik P pertengahan garis GC. Hitung jarak antara;a. B dan EG b. A dan P c. E dan AFGPenyelesaian :a. Jarak B dengan EG = jarak BT, T pertengahan EG.

BT = = = = = 4 cm

b. Jarak A dan P = panjang garis AP AP = = = = = 12 cm

c. Jarak E dengan AFH = EE’ yaitu ruas garis yang di buat dari E dan tegak lurus terhadap AT.Panjang ET = 4Panjang AT = 4 (lihat pembahasan a)

Pada ΔETA siku-siku di E sehingga sin < EAT = =

Sehingga EAE’ siku-siku di E’

sin < EAE’ = → EE’ = EA. sin < EAE’

= 8 ( )

= cm

4. Jarak dua garis yang sejajarDiketahui dua garis g dan h sejajar jaraknya adalah GH, dimana G pada g dan H pada h. sedemikian hingga GH ┴ g dan GH ┴ h

5. Jarak dua garis bersilanganPada gambar disamping, garis AH dan FC adalah garis-garis yang bersilangan. Jarak dua garis bersilangan adalah panjang ruas garis yang tegak lurus terhadap ke dua garis tersebut.

6. Jarak garis dan bidang yang sejajarMisalnya garis k sejajar bidang W, jarak garis k dan bidang Wadalah AB, dimana A pada garis k dan B pada bidang Wsedemikian hingga AB ┴ bidang W.

B

A x y

g

A’

A •

V A’

• A

A B

C D

E F

G H T

P E’

h g G H

A

H G F E

D C

B

W

A

B

k

7. Jarak dua bidang yang sejajarMisal bidang V dan bidang W sejajar, jarak V dan W adalah AB dimana A pada bidang V dan B pada bidang W sedemikian hingga AB ┴ V dan W

CONTOH. Diketahui kubus ABCD.EFGH denganpanjang rusuk 6 cm. hitunglah jarak DB ke AGPenyelesaian:DB dan AG bersilangan.Jarak DB dan AG = OPΔOAE siku-siku di AEO = = = = 3

cos θ = = =

Perhatikan APO siku-siku di P

cos θ = → OP = OA. cos θ

= 3 . ( )

= cmc. Rangkuman

Jarak titik, garis dan bidang dalam ruang meliputi; 1. jarak titik ke titik 5. jarak dua garis bersilangan 2. jarak titik ke garis 6. jarak garis dan bidang yang sejajar 3. jarak titik ke bidang 7. jarak dua bidang yang sejajar4. jarak dua garis yang sejajar

d. Tugas1. Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a . hitunglah jarak antara

a. E dan C b. B dengan O, jika O titik tengah EG 2. Perhatikan limas segi empat di samping.

Apabila panjang AB = 8 cm, BC = 5 cm, EB = 13 cm. Tentukan jarak E ke bidanng ABCD.

3. Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. carilah jarak titik C ke bidang BDG4. Jika panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 5 cm dan P adalah titik tembus EC pada

bidang AFH. Tunjukan bahwa panjang EP =

e. Tes Formatif 4Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!1. Bidang empat beraturan T.ABC dengan rusuk 8 cm. Jarak T ke garis AB adalah … cm

A. 4 B. 4 C. 4 D. 6 E. 62. Jarak antara titik C dengan bidang BDE dalam kubus ABCD.EFGH yang panjang

rusuknya 6 cm adalah … A. 3 B. 2 C. D. E. 2

3. Panjang setiap rusuk bidang empat T.ABC sama dengan 16 cm. Jika P pertengahan AT dan Q pertengahan BC, maka PQ sama dengan … A. 8 B. 8 C. 8 D. 12 E. 12

4. Kubus ABCD.EFGH dengan panjanng rusuk 8 cm, maka panjang proyeksi AH pada bidang BDHF adalah …A. 8 B. 8 C. 4 D. 4 E. 4

V

W

A •

• B

A B

C D

E F

G H

O

P

θ

A C

G H

O

P

θ

A B

C D

E

F

5. Diketahui limas segi enam beraturan T.ABCDEF, AB = 4 cm, dan TA = 8 cm. Jarak T ke bidang alas adalah …A. 4 B. 2 C. 2 D. 4 E. 6

f. Kunci Jawaban Tes Formatif 41. C 2. E 3. A 4. C 5. A

g. Lembar Kerja 41. Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH, Titik K, L, dan M

berturut-turut adalah titik tengah BC, CD, dan CG. Tentukan jarak antara bidang AFH dengan bidang KLM, jika panjang BH = 6 cm

2. Diketahui T.ABCD limas beraturan, panjang rusuk alas 12 cm, dan panjang rusuk tegak 12 cm. tentukan jarak A ke TC.

3. Prisma segi empat beraturan ABCD.EFGH panjang rusuk AB = 6 cm, AE = 5 cm. jika P titik pusat bidang alas ABCD. Tentukan jarak C pada PG

4. Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. hitunglah panjang proyeksi AF terhadap bidang ACGE

5. Kegiatan Belajar 5

a. Tujuan PembelajaranSetelah mengikuti pembelajaran, diharapkan siswa dapat:- Menggambar dan menghitung sudut antara garis dan bidanng - Menggambar dan menghitung sudut antara dua bidang.

b. Uraian Materi Sudut antara Garis dan Bidang

Sudut antara garis dan bidang adalah sudut yang di bentuk oleh garis tersebut (AB) dengan proyeksinya pada bidang yang bersangkutan (AB’)

CONTOH. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. hitunglah besarnya sudut antara : a) BE dengan EFGH

b) CE dengan ABCDPenyelesaian: a) sudut BE dengan EFGH = < EBF = 450

b) sudut CE dengan bidang ABCD = < ACE Perhatikan Δ ACE siku-siku di A

tan α = = =

α = 35,260

Jadi < ACE = 35,260

CONTOH. Diketahui kubus ABCD.EFGH, dengan O adalah titik pusat bidang alas. Jika α adalah sudut antara GO dengan bidang ABCD. Hitunglah nilai cos α.Penyelesaian:Misal panjang rusuk kubus = a cmPerhatikan ΔOCG siku-siku di COG = =

= = = a

A K B C D

E F

G H

L

M

A

B

α B’ )

B A

D

E

C

F

G H

A B

C D

E F G H

O α )

cos α = = = = = .

Sudut antara Dua Bidang Sudut yang di bentuk oleh garis AP ( pada bidang α) dan garis BP (pada bidang β) yaitu <APB merupakan sudut antara bidang α dan β

CONTOH. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm dan T di tengah-tengah BD. Tentukan besar sudut antara bidang BDG dengan bidang ABCD.Penyelesaian:

Sudut antara bidang BDG dan ABCD adalah <CTG = α,

karena panjang diagonal sisi AC = a maka TC = ,

Jadi, tan <CTG = = = = 1,4142

Dengan demikian, < CTG = 54,740

c. Rangkuman- Sudut antara garis dan bidang adalah sudut antara garis tersebut dengan proyeksinya.- Sudut antara bidang α dan β di tentukan oleh garis pada bidang α dan garis pada bidang β yang saling tegak lurus pada garis potong bidang α dan β

d. Tugas1. Suatu kubus ABCD.EFGH dengan panjanng rusuk a cm, sudut antara CG dan bidang

CFH adalah α. tentukan nilai cos α. 2. Diketahui panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 2a cm. jika P adalah titik pusat

ABCD, Q titik tengah BC, dan R titik tengah BF, tentukan:a. nilaitangen sudut antara garis AP dan bidang ABCDb. nilai cos sudut antara garis DR dan bidang ACGEc. nilai sin sudut antara PQ dan bidang EFGHd. besar sudut antara garis DH dan EFGH

3. Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 5 cm. jika α sudut antara bidang ABCD dan ACH. Tentukan nilai sin α.

4. Diketahui limas segitiga T.ABC, dengan AB = AC = TB = TC = 10 cm, AT = 8 cm, dan BC = 12 cm. hitung besar sudut antara bidang TBC dan ABC.

e. Tes Formatif 5Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!1. Jika α adalah sudut yang di bentuk oleh garis AE dan bidang AFH pada kubus

ABCD.EFGH , maka sin α sama dengan …

A. B. C. D. E.

2. Sebuah kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. jika sudut α adalah sudut antara bidang AFH dengan DBFH, maka nilai sin α adalah …

A. B. C. D. E.

3. Sebuah limas beraturan T.ABCD dengan AB = 4 cm, dan TA = 2 cm. Tangen sudut antara TD dengan bidang alas ABCD adalah …

A. B. C. D. E. 2

A B

C D

E F

G H

T α )

α

β

P A

B

( (α, β)

4. Sinus sudut yang di bentuk alas kubus ABCD.EFGH dengan AP, jika P titik tengah EH adalah …

A. B. C. D. E.

5. Pada kubus ABCD.EFGH, sudut antara garis AH dan bidang diagonal BFHD samadengan …A. 150 B. 300 C. 450 D. 600 E. 750

f. Kunci Jawaban Tes Formatif 51. D 2. C 3. B 4. E 5. B

g. Lembar Kerja 51. T.ABCD adalah bidang limas segi empat beraturan dengan semua rusuknya sama

panjang. Tentukan sinus sudut antara TAD dengan TBC. 2. Diketrahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. jika θ adalah sudut antara

bidang BDE dan bidang BDFH. Tentukan nilai sin θ.3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a cm. jika α adalah sudut antara bidang

DBG dan bidang DBFH. Tentukan nilai cos α.4. Gambar di samping adalah sebuah limas beraturan

P.QRST. tentukan besar sudut antara PT dan QRST.

6. Kegiatan Belajar 6

a. Tujuan PembelajaranSetelah mengikuti pembelajaran, diharapkan siswa dapat:- Menggambar irisan suatu bidang dengan benda ruang.

b. Uraian MateriIrisan antara suatu bidang dengan sebuah bangun ruang adalah daerah yang di batasi oleh perpotongan bidang tersebut dengan bidang-bidang sisi bengun ruang tersebut sehingga bangun tersebut terbagi menjadi dua bagian.Ada beberapa cara menentukan irisan, diantaranya dengan cara menggunakan sumbu afinitas (garis datar).Sumbu afinitas adalah perpotongan antara bidang yang di cari irisannya dengan bidang sisi alas atau perluasannya dari bangun ruang yang diketahui.

CONTOH. Kubus ABCD.EFGH, dengan rusuk 8 cm, titik Q di tengah-tengah EH.a. lukislah bidang irisan yang melalui bidang BDQb. tentukan volume ABD.EQR.Penyelesaian:a. caranya:

- hubungkan D dan Q sehingga memotong AE di P.

- hubungkan B dengan P sehinnga memotong EF di R

- hubungkan Q dengan R dan R dengan B. sehingga terjadilah irisan BDQR

c. Perhatikan limas P.ABD

Q R

P

S T

U

a cm

a cm

A B

C D

E F

G H

P

Q R

Volume limas P.ABD = x Luas segitiga ABD x AP

Luas Δ SBD = x AB x AD = x 8 x 8 = 12 cm2

Volume limas P.ABD = x 32 x 16 = 170,67 cm3

Volume P.EQR = x x 4 x 4 x 8 = = 21, 33 cm3

Jadi, Volume ABD.EQR = 170,67 – 21,33 = 149,34 cm3

CONTOH. Diketahui kubus ABCD.EFGH, titik K pada tengah-tengah AE. Lukislah irisan bidang yang melalui bidang BKH.Penyelesaian:

Caranya:- hubungkanlah H dengan K dan

memotong AD di L- hubungkan K dengan B- tariklah garis L ke B dan memotong AC

di M- hubungkan H dengan M memotong CG

di Q dan hubungkan pula Q dengan B. terjadilak irisan BKHQ.

c. RangkumanMenentukan irisan antara suatu bidang dengan sebuah bangun ruang dapat dilakukan dengan menggunakan sumbu afinitas (garis datar)

d. Tugas1. Sebuah kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm. P adalah titik tengah AE. Lukislah irisan

bidang datar yang melalui BHP dengan kubus tersebut.

2. Sebuah kubus ABCD.EFGH , titik P pada DH sehingga DP = DH. Q adalah titik tengah

AD dan AB = 8 cm. tentukan volume BCS.QDP jika S adalah perpotongan antara bidang BQP dengan CG.

3. Diketahui kubus ABCD.EFGH, titik K, L dan M berturut-turut merupakan titik tengah AE,AB, dan BC. Tentukan luas irisan yang melalui KLM jika rusuknya 6 cm.

e. Tes Formatif 61. Diketahui kubus ABCD.EFGH, titik P, Q, dan R pertengahan rusuk AE, AB, dan CG.

Irisan bidang yang melalui titik P, Q, R dengan kubus berbentuk …A. Trapesium C. Segi enam beraturan E. Segi limaB. Persegi D. Segi empat sembarang

2. Kubus ABCD.EFGH berusuk a cm. titik P, Q dan R adalah titik-titik tengah dari AD, AB, dan BF. Penampang bidang PQR dengan kubus berupa …A. persegi C. segi lima baraturan E. segi enam beraturanB. segitiga sama sisi D. trapesium sama kaki

3. ABCD.EFGH sebuah kubus degan panjang rusuk a, P adalah titik tengah AE. Luas irisan bidang datar yang melalui B, H, dan P dengan kubus adalah …

A. 2a2 B. a2 C. D. (1+ ) a2 E. (1+ ) a2

4. Diketahui kubus ABCD.EFGH dan P titik tengah CG. Jika panjang rusuk kubus 6 cm, maka luas irisan bidang yang melalui PBH adalah …A. 426 B. 216 C. 216 D. 108 E. 108

f. Kunci Jawaban Tes Formatif 61. C 2. E 3. C 4. E

g. Lembar Kerja 6

A B

C D

E F

G H

K

L

Q

M

1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Titik K pada rusuk AE sehingga panjang AK = 3 cm. Titik L pada rusuk BF sehingga panjang BL = 1 cm. Bidang α melalui titik H, K, dan L. Gambarlah irisan antara bidang α dengan kubus ABCD.EFGH.

2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. titik K terletak pada rusuk AE

sehingga AK = AE. Titik L terletak pada rusuk AB sehingga AL : LB = 1 : 3, dan titik M

adalah pertengahan rusuk CD. Bidang β melalui titik K, L, dan M. Gambarlah irisan bidang β dengan kubus itu.

3. Diketahui kubus ABCD.EFGH diiris dengan bidang α. bidang α adalah bidang yang sama dengan bidang HAF dan melalui titik sudut H, A, dan F. Tentukan luas bidang irisan apabila:a. panjang rusuk kubus adalah a cmb. panjang rusuk kubus adalah 2a cmc. panjang rusuk kubus adalah 3 cm

II. EVALUASI

Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!

1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jika titik P merupakan titik potong diagonal bidang atas, maka jarak antara titik B dengan titik P adalah … A. 4 cm B. 3 cm C. 3 cm D. 3 cm E. 2 cm

2. Volume limas beraturan dengan panjang rusuk 6 cm dan panjang rusuk alas 8 cm adalah…cm3

A. 28 B. 32 C. 32 D. 42 E. 48

3. Sebuah bidang empat beraturan T.ABC. panjang rusuknya 8 cm, maka tingginya adalah … cm

A. 3 B. C. 32 D. 42 E. 48

4. Sebuah silinder dengan jari-jari 6 cm dan tinggi 6 cm. luas permukaannya adalah … cm2

A. 72 π B. 84 π C. 112 π D. 144 π E. 168 π

5. Jika sebuah kubus dengan panjang seluruh rusuknya adalah 60 cm, maka luas permukaan kubus tersebut adalah … cm2

A. 600 B. 500 C. 450 D. 350 E. 300

6. Pada kubus ABCD.EFGH, luas permukaannya adalah 96 cm2. Panjang diagonal sisi kubus tersebut adalah … cm.A. 4 B. 4 C. 4 D. 3 E. 3

7. Sebuah kubus dengan panjang rusuknya 5 cm, maka luas bidang diagonal kubus tersebut adalah … cm2

A. 50 B. 50 C. 75 D. 75 E. 100

8. Apabila luas bidang diagonal suatu kubus 27 cm2, maka volume kubus tersebut adalah…A. 27 cm3 B. 27 cm3 C. 81 cm3 D. 81 cm3 E. 81 cm3

A B

C D

E F

G H

9. Sebuah bidang empat beraturan T.ABC, panjang rusuknya 4 cm. Volumenya adalah … cm3

A. B. C. D. 8 E. 16

10. Jika volume suatu kubus 64 cm3, maka luas bidang diagonalnya adalah … cm2

A. 8 B. 12 C. 12 D. 16 E. 16

11. Sebuah limas beraturan T.ABCD dengan tinggi limas 24 cm dan rusuk alas 14 cm, luas permukaannya adalah … cm2

A. 896 B. 878 C. 956 D. 956 E. 186

12. Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. BDHF frontal, EF horizontal, sudut menyisi

450, dan perbandingan proyeksi , maka panjang diagonal AC dalam gambar adalah … cm

A. 16 B. 8 C. 8 D. 4 E. 4

13. Bidang empat T.ABC dengan rusuk 8 cm. Jarak T ke garis AB adalah … cmA. 4 B. 4 C. 4 D. 6 E. 6

14. Pada bidang empat beraturan dengan volume 144 cm3. Panjang rusuknya adalah … cmA. 8 B. 9 C. 10 D. 12 E. 16

15. Jika sebuah silinder dengan perbandingan jari-jari dan tingginya 1 : 2 dan luas bidang lengkung 64π cm2, maka jari-jari dan tingginya masing-masing adalah …A. 2 dan 4 B. 3 dan 6 C. 4 dan 8 D. 5 dan 10 E. 6 dan 12

16. Sebuah tabung dengan volume 490π cm3. Jika tinggi tabung tersebut 10 cm, maka luas bidang lengkungnya adalah … cm2

A. 100 π B. 140 π C. 160 π D. 200 π E. 240 π

17. Sebuah kerucut dengan tinggi 12 cm. Jika jari-jari bidang alasnya kali tingginya, maka

volume kerucut tersebut adalah … cm3

A. 360 π B. 324 π C. 300 π D. 264 π E. 24 π18. Volume sebuah kerucut 50π cm3. Jika diameter bidang alasnya 10 cm, maka tinggi kerucut

adalah … cm.A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 E. 9

19. Jika sebuah bola dengan luas permukaan 36 π cm2, maka volume bola tersebut adalah… cm3

A. 27 B. 30 π C. 36 π D. 42 E. 64 π

20. Jika volume suatu bola adalah 288 π cm3, maka diameter bola tesebut adalah … cmA. 6 B. 8 C. 12 D. 16 E. 18

21. Apabila dua bola dengan perbandingan jari-jari 2 : 3, maka perbandingan luas permukaan bola tersebut adalah …A. 2 : 3 B. 4 : 6 C. 4 : 9 D. 4 : 27 E. 8 : 27

22. Jika sebuah kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. P, Q , dan R masing-masing titik tengah BC, CD, dan CG maka jarak antara AFH dengan PQR adalah … cmA. B. 2 C. 3 D. 4 E. 6

23. Pada bidang empat beraturan jika panjang rusuknya 5 cm, maka luas permukaannya adalah...A. 8 cm2 B. 20 cm2 C. 20 cm2 D. 20 cm2 E. 25 cm2

24. Pada kubus ABCD.EFGH, titik P, Q, dan R masing-masing merupakan titik tengah AB, AD, dan AE. Jika panjang rusuk kubus tesebut adalah 8 cm, maka volume P.AQR adalah … cm3

A. 18 B. C. 12 D. 16 E.

25. Limas T.ABCD, panjang AB = 2p cm dan tinggi limas p cm. Tangen sudut antara bidang TBC dengan alas ABCD adalah …

A. B. 1 C. D. E. 2

26. Sebuah bidang empat baraturan T.ABC dengan panjang rusuk 6 cm, maka volumenya adalah A. 18 B. 18 C. 27 D. 42 E. 56

27. Volume sebuah bola adalah 972 π cm3, maka luas permukaan bola tersebut adalah … cm2

A. 72 π B. 84 π C. 112 π D. 144 π E. 324 π

28. T.ABCD merupakan limas beraturan dengan panjang rusuk AB = 4 cm, dan TC = 2 cm. Jika α adalah sudut yang dibentuk antara garis TD dan bidang alas ABCD, maka tan α = …

A. B. C. D. E. 2

29. Suatu limas segitiga beraturan dengan panjang rusuk 8 cm, maka volume limas tersebut adalah … cm3

A. 64 B. 64 C. 128 D. E. 128

30. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a, melalui diagonal DF dan titik tengah rusuk AE dibuat bidang datar. Luas bagian bidang di dalam kubus sama dengan …

A. a2 B. 2 a2 C. a2 D. E.

Kunci Jawaban:Evaluasi1. B 11. A 21. E2. D 12. D 22. C3. B 13. C 23. E4. D 14. D 24. B5. C 15. C 25. B6. B 16. B 26. A7. A 17. B 27. E8. E 18. C 28. B9. C 19. C 29. D10. E 20. C 30. D

IV. PENUTUP

Cocokkanlah jawaban Anda dengan kunci jawaban evaluasi. Hitunglah jawaban Anda yang benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi.

Rumus:

Jumlah jawaban Anda yang benarTingkat Penguasaan = x 100 %

30

Arti tingkat penguasaan yang Anda capai:90 % – 100 % = Baik sekali80 % – 89 % = Baik70 % – 79 % = Cukup

< 70 % = Kurang

Kalau Anda mencapai tingkat penguasaan 80 % atau lebih, maka Anda dapat meneruskan Modul berikutnya. Bagus! Tetap kalau kurang dari 80 %, Anda harus mengulangi Kegiatan Belajar pada modul ini terutama bagian yang belum Anda kuasai.

V. DAFTAR PUSTAKA

Herawati, Endang Daman, dan Tri Dewi Listya. 2000. Matematika 1A untuk kelas 1 SMU.Bandung : Yudhistira

Rosihan Ari Y dan Indriyastuti. 2007. Khasanah MATEMATIKA X untuk SMA dan MA.Solo : Salatiga

BK Noormandiri dan Endar Sucipto. 2004. Matematika SMA kelas X. Jakarta : ErlanggaAhmad Zaelani, Cucun Cunayah, dan Ersa Indra Irawan. 2006. 1700 Bank Soal

Bimbingan Pemantapan Matematika untuk SMA/MA. Bandung : YRAMA WIDYALKS Matematika SMA kelas X. Solo : Fokus

MODUL MATEMATIKA

KELAS X

SEMESTER 2

Disusun Oleh: Uswatun Chasanah, S.Pd