uniwersytet zielonogÓrski - wbais.uz.zgora.pl · od starożytności po współczesność starano...

– 1 –

UNIWERSYTET ZIELONOGÓRSKI

WYDZIAŁ BUDOWNICTWA, ARCHITEKTURY I INŻYNIERII ŚRODOWISKA

INSTYTUT BUDOWNICTWA

Zakład Konstrukcji Budowlanych

AUTOREFERAT PRACY DOKTORSKIEJ

Przestrzenne kształtowanie prętów ściskanych o maksymalnej nośności wyboczeniowej

Mirosław Sadowski

Promotor: dr hab. inż. Jakub Marcinowski, prof. UZ

Zielona Góra, 2018

– 2 –

SPIS TREŚCI

1. Wprowadzenie ................................................................................................................... 3

2. Cel, zakres i tezy rozprawy ................................................................................................ 4

3. Rezultaty obliczeń analitycznych ...................................................................................... 5

3.1. Opis modeli matematycznych prętów ........................................................................ 5

3.2. Wyniki rozwiązań analitycznych ................................................................................ 7

3.2.1. Rezultaty dla prętów pełnych ........................................................................... 7

3.2.2. Rezultaty dla prętów drążonych o stałej grubości ścianki ................................ 9

3.2.3. Rezultaty dla prętów drążonych o zmiennej grubości ścianki ....................... 10

3.2.4. Optymalizacja kształtu pierścieniowych prętów drążonych

zdefiniowanych trzema niezależnymi zmiennymi decyzyjnym ..................... 11

4. Symulacja numeryczna trójkątnego pręta pełnego

opisanego powierzchnią „cosh” ....................................................................................... 12

5. Badania empiryczne przeprowadzone na pręcie pełnym,

opisanym powierzchnią „cosh” ........................................................................................ 13

6. Konfrontacja rezultatów obliczeń analitycznych i numerycznych

z wynikami badań empirycznych .................................................................................... 13

7. Podsumowanie ................................................................................................................. 14

7.1. Ocena wyników badań .............................................................................................. 14

7.2. Oryginalne aspekty pracy ......................................................................................... 15

7.3. W przyszłości – perspektywy dalszych badań ......................................................... 15

Bibliografia ........................................................................................................................... 16

– 3 –

1. WPROWADZENIE

Od starożytności po współczesność starano się znaleźć taki kształt słupów (prętów)

ściskanych, aby zmniejszyć ich masę, przy jednoczesnym zachowaniu nośności lub odwrotnie

– przy ustalonej masie, zwiększyć ich wytrzymałość. Prawdopodobnie efekt enthasis,

stosowany już w starożytności, mający na celu zniesienie złudzenia optycznego,

przejawiającego się we wrażeniu wklęsłości kolumn (rys. 1.1), miał do tego doprowadzić.

Ukształtowanie prętów, a ściślej mówiąc nadanie

odpowiedniego kształtu przestrzennego rozpórkom

łączącym płaty w statkach powietrznych (dwupłatowcach

– rys. 1.2) oraz rozpórkom kielichów amortyzatorów

w komorze silnika samochodu, nadto – rdzeniowi

tzw. rozpornicy, to niektóre z wielu rozwiązań

technicznych, mających zastosowanie wszędzie tam, gdzie

wymagany jest najmniejszy z możliwych ciężar elementu.

Z uwagi na minimalizację ciężaru, lub też

maksymalizację nośności, zagadnienie sprowadza się do optymalizacji stateczności konstrukcji,

czyli do wyboru – spośród możliwych – rozwiązania „najlepszego”, przy jednoczesnym

spełnieniu kryteriów optymalizacji i stateczności. Pierwsze teoretyczne podejście

do zagadnienia rozpoczęło się od momentu, w którym L. Euler, w roku 1757, wyprowadził

wzór wyrażający siłę krytyczną w kolumnie ściskanej [5]. Zagadnienie najmniejszego ciężaru

słupa ściskanego sformułował J. L. Lagrange [13], a T. Clausen je rozwiązał (por. [2], [4]).

Również J. L. Lagrange był prawdopodobnie

pierwszym z badaczy, którzy próbowali określić

optymalny kształt ściskanej kolumny,

w odniesieniu do kryteriów stateczności. Jednak,

jak się później okazało, jego rozwiązanie nie było

w pełni prawidłowe i dopiero T. Clausen,

w roku 1851, przedstawił poprawną odpowiedź

(por. [3], [14]). Jego rozwiązanie dotyczyło

jednak słupa pełnego, którego przekroje były

wzajemnie podobne i zostało uzupełnione dopiero

przez J. Ł. Nikolai [16], który przeprowadził je dla przekrojów kołowych przez wprowadzenie

warunku ograniczonego naprężenia ściskającego.

Wśród współczesnych badaczy, słupy ściskane analizowało wielu naukowców,

co pokazuje, że temat cieszy się dość sporym zainteresowaniem. J. B. Keller [11]

oraz J. B. Keller i I. Tadjbakhsh [12] poruszyli przypadki kształtowania prętów o różnych

warunkach brzegowych. A. Gajewski zajął się kształtowaniem prętów wykonanych z materiału

nieliniowo sprężystego [9, 10], w których dodatkowo dokonał przeglądu i krótkiego omówienia

formowania prętów przy obciążeniach niekonserwatywnych. W niedalekiej przeszłości

A. P. Filipow i W. B. Griniew, do modelowania prętów ściskanych siłami skupionymi

oraz ciągłymi, zastosowali zasadę maksimum Pontriagina (por. [6, 7, 8]). W czasach

najbliższych, zainteresowanie tematem nie słabnie. Przykładami są prace, przytoczone

w poz. [1, 14, 15]. W poz. [14] autor rozważa kolumny „beczkowate” opisane bryłami,

będącymi rezultatem obrotu założonych krzywych płaskich, wykazując przy tym, że takie

ukształtowanie słupa, implikuje wzrost nośności wyboczeniowej w każdym analizowanym

przypadku w odniesieniu do nośności wyboczeniowej referencyjnej kolumny walcowej

o tej samej masie o ok. 30%.

Niepełne wyczerpanie tematu, jak również spore nim zainteresowanie, stały się

bezpośrednimi przyczynami, dla których został on podjęty przez autora.

Rys. 1.1. Enthasis

Rys. 1.2. Replika FVM Ö1 Tummelisa



– 4 –

2. CEL, ZAKRES I TEZY PRACY

Cel pracy to wyznaczenie optymalnych (najlepszych w świetle założonych kryteriów

oceny) kształtów prętów ściskanych o poprzecznych przekrojach kołowym i wielokątnych

(pełnych i drążonych o stałej i zmiennej grubości ścianki), przenoszących maksymalną

siłę osiową.

Postawiony zamysł osiągnięto drogą obliczeń analitycznych oraz symulacji numerycznych,

a także zweryfikowano i potwierdzono wyniki tych rozważań poprzez badania

eksperymentalne, wykonywane na prętach pełnych o teoretycznie wyznaczonym, najbardziej

korzystnym kształcie. Zakres pracy obejmował:

a) poszukiwanie najkorzystniejszego przestrzennego ukształtowania prętów ściskanych

(przy zadanych warunkach podparcia) o poprzecznych przekrojach kołowym

i wielokątnych, (pełnych oraz drążonych o stałej i zmiennej grubości ścianki),

wpisanych w powierzchnie wyznaczone obrotem łuku paraboli, sinusoidy oraz funkcji

zawierającej w swej strukturze cosh, poprzez liczne obliczenia analityczne,

b) numeryczne analizy stateczności wyznaczonych teoretycznie optymalnych kształtów

prętów pełnych i drążonych, wykonane za pomocą metody elementów skończonych

(MES),

c) pozyskanie modelu rzeczywistego, najkorzystniej ukształtowanego przestrzennie pręta,

o pełnym przekroju poprzecznym, wykonanego z tworzywa sztucznego,

d) przeprowadzenie badań eksperymentalnych na modelu rzeczywistym.

Podstawowe założenia, pozwalające na zbudowanie modeli prętów, sformułowano

następująco:

a) założono, że materiał, z którego wykonano pręty jest liniowo sprężysty oraz że jest

izotropowy i jednorodny,

b) przyjęto, że analizowane pręty są wykonane ze wstępną imperfekcją geometryczną,

która reprezentuje niedoskonałości wykonawcze,

c) nie ograniczono przemieszczeń w prętach,

d) pręty opisano za pomocą deterministycznych parametrów geometrycznych

i materiałowych,

e) nie uwzględniono zmian temperatury.

Z uwagi na powyższe, postawiono następujące tezy, będące przedmiotem opracowania

dysertacji doktorskiej:

T1: Przestrzenne kształtowanie prętów niepryzmatycznych o kołowym i wielokątnych

przekrojach poprzecznych (pełnych oraz drążonych o stałej i zmiennej grubości ścianki),

poddanych ściskaniu osiowemu, pozwala znacząco zwiększyć ich nośność wyboczeniową.

T2: Wzrost nośności wyboczeniowej prętów pełnych, uzyskany poprzez ich przestrzenne

kształtowanie, w pewnych przypadkach może osiągać połowę nośności walcowego pręta

referencyjnego o takiej samej masie i tej samej długości.

T3: Nośność wyboczeniowa prętów drążonych stałej grubości ścianki jest kilkakrotnie większa

od nośności wyboczeniowej walcowego pręta referencyjnego, natomiast w przypadku

prętów o zmiennej grubości ścianki, może osiągać wartość kilkunastokrotnie wyższą.

Przedmiotem rozprawy była zatem optymalizacja kształtu prętów o poprzecznych

przekrojach kołowym i wielokątnych (pełnych oraz drążonych o stałej i zmiennej grubości

ścianki), wpisanych w powierzchnie wyznaczone obrotem łuku paraboli, sinusoidy oraz funkcji

zawierającej w swej strukturze cosh, poddanych ściskaniu osiowemu (dla zdefiniowanych

warunków podparcia), przy założonej funkcji celu – maksymalnej wartości nośności

wyboczeniowej i głównym ograniczeniu – przyjętej wstępnie masie i długości pręta.



– 5 –

3. REZULTATY OBLICZEŃ ANALITYCZNYCH

3.1. Opis modeli matematycznych prętów

Rozpatrzmy pręt o długości L, poddany ściskaniu osiowemu, który jest podparty

przegubowo na końcach i którego schemat statyczny przedstawiony jest na rys. 3.1.

Rys. 3.1. Rozważany schemat statyczny układu

Rozważono trzy rodzaje prętów pełnych, o przekrojach poprzecznych: trójkątnym,

kwadratowym , sześciokątnym

(rys. 3.2). Długości boków na końcach pręta oznaczono przez a,

natomiast w połowie jego długości – jako A. Pręty wpisano w pewne powierzchnie obrotowe,

powstałe w wyniku obrotu założonych krzywych płaskich: paraboli drugiego stopnia, sinusoidy

i łuku funkcji cosh), wokół osi geometrycznej pręta.

Rys. 3.2. Widok niepryzmatycznych prętów pełnych o poprzecznym przekroju trójkątnym,

czworokątnym i sześciokątnym, wpisanych w powierzchnie obrotowe

(skala niezachowana)

Rozważaniom poddano także pręty drążone o przekrojach wielokątnych (o stałej grubości

ścianki): trójkątnym, kwadratowym, sześciokątnym; zewnętrzne tworzące bryły, w którą

zostały wpisane (jak również wewnętrzne) przedstawiono za pomocą łuków zadanych

krzywych płaskich. Do analizy włączono również pręty drążone o pierścieniowym przekroju

poprzecznym (rys. 3.3).

W końcowym etapie analizy obliczeniowej zbadano pręty drążone o przekrojach

wielokątnych (trójkątnym, kwadratowym, sześciokątnym) i pierścieniowym o zmiennej

grubości ścianki. Jak poprzednio, przyjęto, że zewnętrzne i wewnętrzne powierzchnie obrotowe

(mowa o nich była powyżej), w które wpisano pręty, to rezultat obrotu łuków trzech par funkcji

płaskich.



– 6 –

Rys. 3.3. Widok niepryzmatycznego pręta o poprzecznym przekroju pierścieniowym

(skala niezachowana)

Przyjęto, że rozpatrywane pręty mają jednakową masę z pewnym wzorcowym prętem

walcowym o średnicy S i długości L.

Założenie, że analizowane pręty mają jednakową masę z masą pręta referencyjnego,

pozwoliło na wyznaczenie relacji wiążącej długość boku przekroju poprzecznego prętów

w połowie ich długości, z długością boku przekroju poprzecznego prętów na ich końcach

– przykład: relacja (3.4).

Dla pełnego zobrazowania algorytmu, jako przykład, przytoczmy model matematyczny

pełnego pręta trójkątnego, opisanego bryłą powstałą w wyniku obrotu łuku funkcji,

zawierającej czynnik cosh.

Łuk tworzącej bryłę obrotową dany jest relacją

(3.1)

natomiast długości boku przekroju poprzecznego pręta wyraża związek

(3.2)

Moment bezwładności przekroju poprzecznego dany jest relacją:

(3.3)

zaś porównanie masy tego pręta z masą referencyjnego pręta walcowego, prowadzi do związku

(3.4)



– 7 –

3.2. Wyniki rozwiązań analitycznych

3.2.1. Rezultaty dla prętów pełnych

Prześledźmy analizę pręta pełnego o trójkątnym przekroju poprzecznym, wpisanego

w bryłę powstałą z obrotu funkcji cosh, wykonanego ze stali – przyjmijmy parametry

geometryczne i fizyczne walcowego pręta referencyjnego:

średnica przekroju poprzecznego: długość pręta: materiał – stal:

Po uwzględnieniu związków (3.1) – (3.4), wzór na siłę krytyczną ma postać następującą1:

przy czym wyrażone jest poprzez (3.4); jest zatem funkcją długości boku przekroju

poprzecznego na początku pręta: .

Opisywana funkcja jest krzywą gładką i posiada maksimum lokalne; analiza każdego

przypadku potwierdza to założenie i pozwala wyznaczyć parametry geometryczne prętów,

dla których przyjmuje ekstremum – przyjrzyjmy się rozkładowi siły krytycznej

dla analizowanego pręta oraz otrzymanym rezultatom (rys. 3.4).

Rys. 3.4. Rozkład siły krytycznej dla niepryzmatycznego pełnego pręta o przekroju trójkątnym,

wpisanego w powierzchnię cosh

W dalszej części pracy, przeanalizowano wszystkie przypadki prętów pełnych. Wyniki

przedstawiają się następująco (tabl. 3.1):

1 ) Na podstawie wzoru Timoshenki:

.



– 8 –

Tabl. 3.1. Zestawienie wartości ekstremalnych siły krytycznej [N],

uzyskanych za pomocą wzoru Timoshenki, dla niepryzmatycznych prętów pełnych

rodzaj

powierzchni

obrotowej

wartości ekstremalne sił krytycznych

przekrój

trójkątny

przekrój

kwadratowy

przekrój

sześciokątny

paraboloidalna 26662,0 23090,0 22218,3

sinusoidalna 26427,7 22887,1 22023,1

cosh(…) 26681,7 23107,1 22234,8

Stosowanie wzoru Timoshenki prowadzi do uzyskania przybliżonej wartości

siły krytycznej. Celem wyznaczenia jej rzeczywistej wartości, konieczne jest rozwiązanie

różniczkowego równania stateczności dla każdego przypadku (f – wstępna imperfekcja):

(3.5)

Prześledźmy algorytm obliczeniowy dla rozpatrywanego pręta. Relacja opisująca

różniczkowe równanie stateczności (3.5), ma postać (poszukiwana wielkość to F):

przy czym wyrażone jest związkiem (3.4), natomiast a = 14 mm uzyskano

na podstawie poszukiwania argumentu, dla którego siła krytyczna, wyrażona wzorem

Timoshenki, uzyskała wartość ekstremalną.

Niestety, rozwiązanie powyższego równania jest bardzo uciążliwe, lub też w ogóle

niemożliwe w próbie szukania rozwiązania analitycznego. Trudność tę można ominąć

posługując się rozwiązaniem numerycznym, generującym wykres funkcji ugięcia – siła

krytyczna ma tę wartość, dla której maksymalne ugięcie wykazuje nieograniczony wzrost.

Poniżej zaprezentowano wykres funkcji ugięcia i uzyskaną w ten sposób wartość

siły krytycznej (rys. 3.5). Można zauważyć, że wartość przemieszczenia, otrzymana

w wyniku rozwiązania liniowego równania różniczkowego (3.5) dąży wręcz

do nieskończoności gdy siła osiąga wartość krytyczną.

Rys. 3.5. Rozkład funkcji ugięcia w(x) dla niepryzmatycznego pełnego pręta o przekroju trójkątnym,

wpisanego w powierzchnię „cosh” oraz odpowiadająca mu wartość siły krytycznej



– 9 –

Rozwiązując numerycznie różniczkowe równanie stateczności (3.5) dla każdego

przypadku modeli matematycznych, opisanych prętów pełnych, otrzymano następujące

wartości siły krytycznej (tabl. 3.2):

Tabl. 3.2. Zestawienie wartości ekstremalnych siły krytycznej [N],

uzyskanych w drodze numerycznego rozwiązania równania różniczkowego (3.5)

dla niepryzmatycznych prętów pełnych o przekrojach wielokątnych

rodzaj

powierzchni

obrotowej

wartości ekstremalne sił krytycznych

przekrój

trójkątny

przekrój

kwadratowy

przekrój

sześciokątny

paraboloidalna 25265,10 21775,20 21217,38

sinusoidalna 24944,80 21668,72 20676,70

cosh(…) 25324,35 21833,10 21254,15

Dla zadanych wyjściowych parametrów geometrycznych i materiałowych,

siła krytyczna referencyjnego pręta walcowego wynosi:

(3.6)

a zatem, otrzymany wzrost nośności wyboczeniowej analizowanych prętów

w stosunku do nośności wyboczeniowej tego pręta, przedstawia się tak,

jak pokazano w tabl. 3.3.

Tabl. 3.3. Zestawienie wzrostu siły krytycznej [%] prętów pełnych o przekrojach wielokątnych,

w stosunku do siły krytycznej referencyjnego pręta walcowego

rodzaj

powierzchni

obrotowej

wzrost siły krytycznej

przekrój

trójkątny

przekrój

kwadratowy

przekrój

sześciokątny

paraboloidalna 55,21 33,78 30,34

sinusoidalna 53,24 33,11 27,02

cosh(…) 55,57 34,12 30,57

3.2.2. Rezultaty dla prętów drążonych o stałej grubości ścianki

Niech parametry geometryczne i fizyczne walcowego pręta referencyjnego mają wartości

analogiczne jak na str. 7. Siła krytyczna jest w tym przypadku funkcją dwóch wielkości:

Przykładowy rozkład tej relacji przedstawia rys. 3.6. Analizując kształt

powierzchni ilustrujących przebieg siły krytycznej, można zaobserwować, że wartość

siły krytycznej, dla ustalonej długości boku przekroju poprzecznego z końca pręta a wzrasta,

gdy grubość ścianki t zdąża do zera. Z uwagi na zastosowanie techniczne, przyjmijmy,

że grubość ścianki jest stała i wynosi t = 3mm. Relacja wyrażająca siłę krytyczną jest wówczas

funkcją jednego parametru:

(3.8)



– 10 –

Rys. 3.6. Rozkład siły krytycznej

dla drążonego niepryzmatycznego pręta sześciokątnego o stałej grubości ścianki,

opisanego bryłą powstałą w wyniku obrotu pary parabol II-go stopnia

Wzrost nośności wyboczeniowej tak przyjętych prętów w stosunku do nośności

wyboczeniowej pręta referencyjnego, przedstawia się tak, jak pokazano w tabl. 3.6.

Tabl. 3.6. Zestawienie wzrostu siły krytycznej [%]

drążonych niepryzmatycznych prętów wielokątnych o stałej grubości ścianki,

w stosunku do siły krytycznej pryzmatycznego pręta walcowego o tej samej masie

rodzaj

powierzchni

obrotowej


przekrój

trójkątny

przekrój

kwadratowy

przekrój

sześciokątny

przekrój

pierścieniowy

paraboloidalna 450,85 517,48 584,28 646,24

sinusoidalna 448,36 512,56 576,45 638,79

cosh(…) 453,04 518,55 586,73 648,97

3.2.3. Rezultaty dla prętów drążonych o zmiennej grubości ścianki

Przyjmijmy, że wartości parametrów geometrycznych i fizycznych referencyjnego

walcowego pręta pryzmatycznego są identyczne jak w pkt. 3.2.1.

Niech parametr wyrażający stosunek grubości ścianki na końcu pręta do grubości

ścianki w jego środku, przyjmuje następujące wartości:

(3.9)

przy czym co oznacza, że przy kolejnych jego zmianach, grubość

ścianki na końcach pręta będzie zmieniać się o 0,5 mm (w przedziale ).

Na podstawie wzoru Timoshenki, wraz z przyjętymi wartościami parametrów oraz dla

ustalonej wartości , widać, że siła krytyczna jest w tym przypadku funkcją dwóch wielkości

(3.10)



– 11 –

Z uwagi na zastosowanie techniczne, przyjmijmy zatem, że grubość ścianki w środku

długości pręta określona jest na poziomie t = 3mm.

Dla zadanych wyjściowych parametrów geometrycznych i materiałowych,

siła krytyczna referencyjnego pręta walcowego wynosi , a zatem, otrzymany wzrost

nośności wyboczeniowej poszczególnych prętów w stosunku do nośności wyboczeniowej

tego pręta, przedstawia się tak, jak pokazano w tabl. 3.9.

Tabl. 3.9. Zestawienie wzrostu siły krytycznej [%]

drążonych prętów niepryzmatycznych o zmiennej grubości ścianki w stosunku do siły krytycznej pryzmatycznego pręta walcowego o tej samej masie

rodzaj

powierzchni

obrotowej


przekrój

trójkątny

przekrój

kwadratowy

przekrój

sześciokątny

przekrój

pierścieniowy

paraboloidalna 725,88 824,08 927,11 1023,81

sinusoidalna 755,26 865,01 972,60 1072,30

cosh(…) 722,99 822,30 922,94 1017,90

3.2.4. Optymalizacja kształtu pierścieniowych prętów drążonych,

zdefiniowanych trzema niezależnymi zmiennymi decyzyjnymi

W poprzednich punktach przeprowadzono analizę prętów drążonych o stałej i zmiennej

grubości ścianki, zakładając na wstępie (z uwagi na ograniczenia techniczne), że jej wartość

w połowie długości pręta to 3 mm. Przeprowadźmy teraz optymalizację kształtu prętów

o zmiennej grubości ścianki i przekroju pierścieniowym z trzema zmiennymi decyzyjnymi:

grubością ścianki w połowie długości pręta ( ),

długością promienia zewnętrznej tworzącej bryły pręta ( ) na jego końcu,

stosunkiem grubości ścianki na końcach pręta do grubości ścianki w jego połowie ( ).

Podobnie jak poprzednio, zakładamy, że masy tych prętów są identyczne z masą

walcowego pręta referencyjnego o następujących parametrach geometrycznych i fizycznych:

średnica przekroju poprzecznego: długość pręta: materiał – stal:

Okazuje się, że wzrost nośności wyboczeniowej rozważanych prętów w stosunku

do nośności wyboczeniowej referencyjnego pręta walcowego (Fkr(w) = 1157,57 N), przedstawia

się jak w tabl. 3.10, a więc ma wartość niemal dwudziestokrotnie większą.

Tabl. 3.10. Zestawienie wzrostu siły krytycznej [%] pierścieniowych prętów drążonych

o zmiennej grubości ścianki, w stosunku do siły krytycznej referencyjnego pręta walcowego.

rodzaj powierzchni

obrotowej

otrzymane wartości

parametrów geometrycznych wartość

siły krytycznej

[N]

wzrost

siły krytycznej

[%] [mm] [mm]

paraboloidalna 2,93 4,38 0,50 22522,94 1845,71

sinusoidalna 2,64 4,62 0,52 22347,24 1830,53

cosh(…) 2,58 5,07 0,51 24302,58 1999,45



– 12 –

4. SYMULACJA NUMERYCZNA TRÓJKĄTNEGO PRĘTA PEŁNEGO

OPISANEGO POWIERZCHNIĄ „COSH”

Rozpatrzmy przypadek liczbowy dla pręta wykonanego z tworzywa sztucznego.

Przyjmijmy parametry geometryczne i fizyczne walcowego pręta referencyjnego:

średnica przekroju poprzecznego: ,

długość pręta: ,

materiał – tworzywo sztuczne: ,

Siła krytyczna, która wynika z obliczeń ma wartość

(4.1)

Z uwagi na symetrię pręta, analiza numeryczna dotyczyła jego połowy – rozpatrzono

pręt wspornikowy o długości L/2 (rys. 4.1).

Rys. 4.1. Połowa pręta, rozpatrywanego jako wspornik

(skala niezachowana; trójkątna płaszczyzna czołowa o boku A – miejsce utwierdzenia)

oraz jego analiza numeryczna

Pręt, na trójkątnej powierzchni czołowej o boku a = 5,5 mm, obciążono ciśnieniem

osiowym o wartości natomiast liczbę Poissona przyjęto równą 0,3.

Z analizy otrzymano następującą wartość mnożnika skalarnego2 (por. rys. 4.2):

(4.2)

co daję siłę krytyczną:

(4.3)

Błąd względny tej wartości w odniesieniu do wartości siły krytycznej,

uzyskanej drogą obliczeń analitycznych (4.1) wynosi:

(4.4)

2 ) Jest to liczba otrzymana dla pierwszej formy wyboczenia.



– 13 –

5. BADANIA EMPIRYCZNE PRZEPROWADZONE

NA PRĘCIE PEŁNYM, OPISANYM POWIERZCHNIĄ „COSH”

Badania doświadczalne miały na celu eksperymentalne wyznaczenie pewnych relacji,

które wykazują niepryzmatyczne pręty pełne o poprzecznym przekroju trójkątnym, opisane

powierzchnią powstałą z obrotu łuku funkcji zawierającej w swej strukturze czynnik cosh.

Badaniom doświadczalnym zostały poddane niepryzmatyczne pręty o trójkątnym

przekroju poprzecznym, opisane bryłą, powstałą w wyniku obrotu tworzącej, będącej łukiem

funkcji, zawierającej w swej strukturze czynnik cosh, które wytworzono z tworzywa

sztucznego. Pręty wyprodukowano w technice drukarskiej 3D.

Z uwagi na znaczne imperfekcje, który wykazywały badane pręty, do wyznaczenia

rzeczywistej (empirycznej) wartości siły krytycznej, użyto metody Southwella

która pozwala ją wyznaczyć niezależnie od niedoskonałości próbek.

Na podstawie przeprowadzonych prób (po trzy próby dla każdego z trzech modeli pręta),

otrzymano średnią wartość siły krytycznej:

ś (5.1)

przy odchyleniu standardowym 1,95 N. Błąd względny (w odniesieniu do wartości (4.1))

stanowi 1,015%.

6. KONFRONTACJA REZULTATÓW OBLICZEŃ ANALITYCZNYCH

I NUMERYCZNYCH Z WYNIKAMI BADAŃ EMPIRYCZNYCH

Bezpośredni pomiar siły krytycznej, realizowany przez obciążanie pręta, aż do wystąpienia

wyboczenia był trudny do zrealizowania, jeśli nie niemożliwy w tym przypadku (z uwagi

na niedoskonałości wykonawcze próbek). Wstępna, nieokreślona bliżej krzywizna pręta,

trudności ściśle osiowego przyłożenia siły i inne czynniki, przekładały się na to, że znaczne

poprzeczne ugięcie prętów obserwowano już przy wartościach sił o wiele mniejszych od siły

krytycznej, której ustalenie stało się praktycznie niemożliwe, chociażby ze względu na fakt,

że niewykonalnym było ustalenie momentu, w którym

rozpoczynało się wyboczenie.

W tych okolicznościach z powodzeniem zastosowano

metodę Southwella, która na podstawie zmierzonych wartości

siły i odpowiadającej jej ugięć, pozwoliła określić wartość siły

krytycznej.

Jeśli porównać wartości siły krytycznej otrzymane

na podstawie obliczeń analitycznych ((4.1)), symulacji

numerycznej ((4.3)) oraz wynikającej z doświadczenia ((5.1)),

widzimy, że lokują się one na bardzo zbliżonym poziomie.

Fakt ten dobitnie potwierdza zasadność przewidywań

co do wzrostu nośności wyboczeniowej prętów

ukształtowanych przestrzennie w założony sposób oraz

uwierzytelnia przeprowadzone obliczenia analityczne

i symulacje numeryczne.

Można zatem stwierdzić, że tezy postawione na początku

pracy zostały udowodnione.

Rys. 5.1. Próba ściskania



– 14 –

7. PODSUMOWANIE

7.1. Ocena wyników badań

W ocenie autora, przeprowadzone badania doprowadziły do konkluzji,

iż tezy, które sformułowano na wstępie, są prawdziwe.

Przeprowadzone dedukcje pozwoliły na sformułowanie stwierdzenia, iż prawdziwymi

pozostają wnioski, dotyczące optymalnych kształtów prętów ściskanych:

1) w przypadku niepryzmatycznych prętów pełnych:

klasyfikacja ze względu na rodzaj badanych powierzchni obrotowych, w którą

zostały wpisane, według wartości wzrostu nośności wyboczeniowej, w stosunku do

nośności wyboczeniowej pręta walcowego o tej samej masie: powierzchnia cosh,

powierzchnia paraboloidalna, powierzchnia sinusoidalna,

klasyfikacja ze względu na rozważane kształty przekroju poprzecznego, według

wartości wzrostu nośności wyboczeniowej, w stosunku do nośności wyboczeniowej

pręta walcowego o tej samej masie, przebiega według kolejności: trójkątny,

kwadratowy, sześciokątny, okrągły,

2) w przypadku niepryzmatycznych prętów drążonych o stałej grubości ścianki:

a) klasyfikacja ze względu na rodzaj badanych funkcji, będących tworzącymi

powierzchni, w które je wpisano, według wartości wzrostu nośności wyboczeniowej,

w stosunku do nośności wyboczeniowej pręta walcowego o tej samej masie,

prezentuje się jak następuje: powierzchnia cosh, powierzchnia paraboloidalna,

powierzchnia sinusoidalna,

b) klasyfikacja ze względu na rozważane kształty przekroju poprzecznego, według


pręta walcowego o tej samej masie, przebiega według kolejności: pierścieniowy,

sześciokątny, kwadratowy, trójkątny.

3) w przypadku niepryzmatycznych prętów drążonych o zmiennej grubości ścianki:

a) klasyfikacja ze względu na rodzaj badanych funkcji, będących tworzącymi

powierzchni, w które je wpisane, według wartości wzrostu nośności wyboczeniowej,

w stosunku do nośności wyboczeniowej pręta walcowego o tej samej masie,

przedstawia się następująco:

dla grubości ścianki na końcach prętów, mniejszej lub równej 5/6t: powierzchnia

sinusoidalna, powierzchnia paraboloidalna, powierzchnia cosh,

dla grubości ścianki na końcach prętów, większej niż 5/6t: powierzchnia cosh,

powierzchnia paraboloidalna, powierzchnia sinusoidalna,

b) klasyfikacja ze względu na rozważane kształty przekroju poprzecznego, według


pręta walcowego o tej samej masie, przebiega według porządku: pierścieniowy,

sześciokątny, kwadratowy, trójkątny.

4) w przypadku niepryzmatycznych prętów drążonych o zmiennej grubości ścianki

i pierścieniowym przekroju poprzecznym, poddanych optymalizacji

z trzema zmiennymi decyzyjnymi, klasyfikacja ze względu na rodzaj badanych funkcji,

będących tworzącymi powierzchni prętów, według wartości wzrostu nośności

wyboczeniowej, w stosunku do nośności wyboczeniowej pręta walcowego o tej samej

masie, prezentuje się jak następuje: powierzchnia cosh, powierzchnia paraboloidalna,

powierzchnia sinusoidalna,



– 15 –

7.2. Oryginalne aspekty pracy

Innowacyjnym ujęciem rozwiązania postawionego problemu było:

a) zaproponowanie rodziny funkcji, wyrażających łuki tworzących powierzchni

obrotowych, opisujących pręty oraz zbioru przekrojów poprzecznych,

b) opracowanie algorytmów w programie MathematicaTM

, realizujących skomplikowane

obliczenia, wynikające z potrzeb pracy,

c) przeprowadzenie badań empirycznych na rzeczywistym modelu zaprojektowanego

pręta oraz potwierdzenie poprzez to wyników obliczeń analitycznych i symulacji

numerycznych,

d) wykazanie, że wzrost nośności wyboczeniowej rozważanych prętów następuje

w kierunku: niepryzmatyczne pręty pełne niepryzmatyczne pręty drążone o stałej

grubości ścianki niepryzmatyczne pręty drążone o zmiennej grubości ścianki,

e) opracowanie modeli niepryzmatycznych prętów pełnych i drążonych, które, w ramach

dostępnej technologii można wykonać w rzeczywistości.

7.3. W przyszłości – perspektywy dalszych badań

Rozważania zaprezentowane w ramach rozprawy, otwierają szeroki wachlarz testów

analitycznych, numerycznych oraz eksperymentalnych. Mogą nimi być:

a) próby przyjęcia innej rodziny funkcji (lub ich kombinacji), które jednoznacznie

definiują łuk tworzącej bryły opisującej pręt,

b) wykonanie rzeczywistych modeli prętów drążonych o stałej i zmiennej grubości ścianki

oraz przeprowadzenie empirycznych badań na nich,

c) podjęcie próby znalezienia rozwiązania problemu w obrębie zagadnień wariacyjnych,

a poprzez to, wyznaczenie funkcji jednoznacznie definiującej łuk tworzącej bryły

opisującej pręt, która wykazywałaby ekstremum wobec wszystkich innych,

d) w przypadku niepryzmatycznych prętów drążonych, próby zbudowania ich modeli

matematycznych, które w inny sposób określałyby zmianę grubości ścianki,

e) analiza wrażliwości funkcji celu,

f) przeprowadzenie optymalizacji kształtu pręta, wyrażającej się przyjęciem innej liczby

zmiennych,

g) analiza optymalizacji kształtu pręta innymi metodami matematycznymi, chociażby

probabilistycznymi,

h) próby przeprowadzenia optymalizacji kształtu pręta ściskanego mimośrodowo

lub poddanego innemu stanowi obciążenia,

i) porównanie wyników dociekań niniejszej rozprawy z wynikami, które można byłoby

uzyskać z przeprowadzenia optymalizacji prętów ściskanych, pracujących w zakresie

pozasprężystym,

j) próby zbudowania interakcyjnej procedury (systemu), która łączyłaby w całość

wykorzystane narzędzia komputerowe,

k) analiza prętów o innych warunkach podparcia.



– 16 –

BIBLIOGRAFIA

[1] Bochenek B., Krużelecki J.: Optymalizacja stateczności konstrukcji. Współczesne

problemy. Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej, Kraków, 2007.

[2] Brandt A. M. [and other]: Criteria and Methods of Structural Optimization.

PWN – Polish Scientific Publishers. Warszawa, 1984.

[3] Brandt A. M. [i inni]: Podstawy optymalizacji elementów konstrukcji budowlanych.

Polskie Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1978.

[4] Clausen T.: Über die Form architektonischer Säulen. Bulletin physico-math.

de l’Academie de St. Petersbourg, t. IX, 1851.

[5] Euler L.: Sur la force des colonnes, Mem. de l’Acad., Berlin, 1757.

[6] Filipow A. P., Griniew W. B.: Ob optymalnych oczertaniach strieżniej w zadaczach

ustojcziwosti. Stroit, Mech. i Razcz. Sooruż., Nr 2, Moskwa, 1975, 21 – 27.

[7] Filipow A. P., Griniew W. B.: Ob optymalnych strieżniach w zadaczach ustojcziwosti

pod diejstwijem raspredielennych nagruzok. Stroit, Mech. i Razcz. Sooruż., Nr 2,

Moskwa, 1977, 16 – 21.

[8] Filipow A. P., Griniew W. B.: Optimalizacja strieżniej po spektru sobstwiennych

zacznij. Nauk. Dumka, Kijew, 1979.

[9] Gajewski A.: Calulation of Elastic Stability of Circular Plates with Variable Thickness

by an Inverse Method. Bull Acad. Polon. Sci., Ser.sci.techn., 5, 14(1966), 303 – 312.

[10] Gajewski A.: Optymalne kształtowanie wytrzymałościowe w przypadku materiałów

o nieliniowości fizycznej. Zesz. Nauk., P. Kr. nr 5, Kraków, 1975.

[11] Keller J. B.: Strongest Column and Isoparametric Inequalities for Eigenvalues.

J. Appl. Mech., Vol. 9, 1962, 159 – 164.

[12] Keller J. B., Tadjbakhsh I.: The shape of the Strongest Column. Arch. Rat.

Mech. Anal., 5,4, 1960, 275 – 285.

[13] Lagrange J. L.: Sur la figure des colonnes. Miscellanea Taurinensia, 1770 – 1773.

[14] Marcinowski J.: Maximum elastic buckling resistance of columns of constant volume.

XIV Sympozjum stateczności konstrukcji, Zakopane, 08-12. 06. 2015.

[15] Marcinowski J.: Stateczność konstrukcji sprężystych. Struktury prętowe,

łuki, powłoki. Dolnośląskie Wydawnictwo Edukacyjne, Wrocław, 2017

[16] Nikolai J. Ł.: Zadacza Lagrange’a o najwygodniejszom oczertaniji kołomm. Izdat. Petrierb. Pilitechn. In-ta, t. 8, 1907.

uniwersytet zielonogÓrski - wbais.uz.zgora.pl · od starożytności po współczesność starano...

Documents