universite 20 a out - skikda faculte des sciences et...

République Algérienne Démocratique Et Populaire Ministère De L'enseignement Supérieur Et De La Recherche

Scientifique

UNIVERSITE 20AOUT - SKIKDA –

FACULTE DES SCIENCES ET SCIENCES DE L’INGENIEUR

DEPARTEMENT DE GENIE-CIVIL

MEMOIRE DE MAGISTER

Spécialité : GENIE CIVIL

Option : STRUCTURES

Présenté par :

MOKHTARI SALIM

Promotion 2006/2007

INSTABILITE PAR FLAMBAGE ELASTIQUE DES PLAQUES STRATIFIEES MUNIES DUNE

SINGULARITE GEOMETRIQUE

REMERCIMENT

Je voudrais tout d'abord exprimer ma profonde reconnaissance a monsieur,

professeur GUENFOUD MOHAMED qui m'a encadré durant ce travail et pour

ses conseils et son suivi pour l'élaboration de ce travaille qu'il trouve ici

témoignage de ma profonde gratitude.

Et je remerciée en particulier monsieur .docteur TATI Abdelouaheb, pour nous

avoir prêté ce programme de flambage des plaques stratifiée.

Je tiens a remercie également le président de jury et les membre du jury. Je

tiens aussi a remercier tous ceux qui m'ont aidés de prés ou loin pour

l'élaboration de ce travaille

Enfin mes remerciements vont à l’ensemble du corps enseignant de l'institut

génie civil et mécanique à Biskra skikda. Constantine à Guelma.

MOKHTARI.SALIM

DEDICACE

Je dédie ce travail à :

Mes très chers parents.

Toute ma famille.

Tout mes amie : Samir, Bacha, Larbi, chergui, guidiri, bellili,

daha,bouziane,

A tout ceux qui ont une bonne impression dans mon coeur.

Toute la promotion post graduation 2006

Mokhtari. Salim

Résumé

Le présent travail concerne l'analyse de l'instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées

menues de singularité géométrique.

Le flambage des plaques stratifiées en matériaux composite est un phénomène très complexe,

pour l'analyse du flambage des plaques minces stratifiées, nous avons employé un élément de

quatre nœuds 32 degré de liberté, la formulation a été basée sur la théorie de Kirchhoff étendue

au plaque stratifiées en adoptant l'approche mono couche équivalente. Nous présentons en suite la

formulation du problème d'instabilité en élisant le principe de la variation seconde de l'énergie

potentielle pour la construction des matrices de rigidité.

Une série d'exemples a été testé au flambage des plaque mince isotropes et stratifiées, les

résultats obtenus et comparés a ceux disponible dans la littérature, ont montré la rapidité de

convergence et la bonne performance de l'élément.

Une étude paramétrique a été entreprise pour mettre en évidence l'effet de certains paramètres sur

le comportement de flambage des plaques minces munies d'ouvertures carré isotrope et stratifiées

ont montre que la charge critique de flambage augmente avec l'augmentation de l'ouverture pour

certaines condition aux limites.

Mots clés : Stratifié, Composite, Flambage, Instabilité, Plaque, Singularité Géométrique, Elément fini

Abstract

This work relates to the analys is of the instability with elastic buckling small laminated

plates of geometrical singularity. The buckling of the plates laminated out of materials composite

is a very complex phenomenon, for the analysis of the buckling of the laminated thin sections, we

employed an element of four nodes 32degré of freedom, the formulation was based on the theory

of kirchoff extended to the plate laminated by adopting the mono approach sleep equivalent.

We present in continuation the formulation of the problem of instability in the principle of the

variation second of the potential energy for construction of the matrices of rigidity.

A series of examples was tested with the buckling of the thin section isotropic and

laminated, the results obtained and compared has those available in the literature, showed the

speed of convergence and the good performance of the element.

A parametric study was undertaken to highlight the effect of certain parameters on the

behavior of buckling of the thin sections provided with openings square isotropic and laminated

have watch which the critical load of buckling increases with the increase in the opening for

certain boundary condition.

Keys Words : Lamina, Composite, Buckling, Instability, Plate, Geometrical singularity, Finite Element

خالصة

عدم من ھو analys الى العمل ھذا ویتصل الطابع ذات لوحات مرقق الصغیرة التواء مرونة مع االستقرار المواد اصل من مرقق للوحات التواء فان .والتفرد الھندسي

مرقق من لإللتواء لتحلیل ، للغایة معقدة ظاھرة ھو المركبھ العقد اربعة عناصر من عنصرا العاملین ونحن ، االبواب رقیقة

32degré كیرتشوف لمدد نظریة صیاغھ الى ویستند ، للحریة .یعادلھا ما النوم آحادي نھج باعتمادھا مرقق اللوحھ

مبدأ في االستقرار عدم مشكلة صیاغھ استمرار ھذا في ونحن البناء أجل من الطاقة امكانات من الثانیة االختالف

.الصالبھ للمصفوفات رقیقة التواء مع اختبارھا تم االمثلھ من مجموعة

الحصول تم التي والنتائج ، ومرقق الخواص موحد الباب من سرعة اظھر ، االدب في لھ المتاحة تلك ومقارنة علیھا

.للعنصر الجید واالداء التقارب بعض تأثیر على الضوء لتسلیط دراسة اجریت وقد حدودي أ

الفتحات زودت ابواب من رقیقة التواء سلوك على المعالم من حمل التي الحرجھ مشاھدة وقد مرقق الخواص وموحد المربعھ

.لبعض شرطا الحدود فتح في زیادة مع تزید التواء

االستقرار وعدم ، التواء ، مركب ، lamina : الكلمات مفاتیح عناصر من محدود ، والتفرد الھندسي الطابع ذات لوحة ،

NOTATION

ZYX .. Coordonnées cartésiennes

h .t épaisseur

mf SSV ... Volume et les aires

mV Fraction volumique de la matrice

fV Fraction volumique des fibres

mE Module d élasticité de la matrice

fE Module d élasticité des fibres

m Le cœfficient de poisson de la matrice

f Le cœfficient de poisson des fibres

fS Aire des fibres

mS Aire de la matrice

f Déformation dans les fibres

m Déformation dans la matrice

LE Module d élasticité longitudinale

TE Module d élasticité transversale

212312 .. GGG Module de cisaillement

ij Le cœfficient de poisson

m Cisaillement de la matrice

f Cisaillement des fibres

yx . Rotation autour des axes x.y

wvud Déplacement suivant x.y.z

yx . Rotation de la normale autour x.y.z

000xylylxl Déformation membranaire

k Déformation flexionnelle

000xynlynlxnl Déformation non linéaire de membrane

ijQ cœfficient de rigidité réduite

ijA rigidité extensionnelle

ijB Rigidité de couplage

ijD Rigidité flexionnelle

ijklS Coefficient de la matrice de souplesse

xyyx MMM Effort des moments de flexion par unité de ………………………………………………...longueur

xyyx NNN Effort des efforts internes par unité de …………………………………………………..longueur

Contrainte

S Matrice qui relier les déformation avec le ……………………………………………………vecteur de déplacement

kS Matrice qui relier les courbure avec le ……………………………………………………vecteur de déplacement

a Coefficient qui dépend du rapport a/b

a largeur de la plaque

b longeur de la plaque

d largeur de trou

L'intensité de la charge critique

crF La charge critique

s sinus

c cosinus

eK1 Matrice de rigidité élémentaire membrane

ee KK 32 . Matrice de rigidité de couplage membrane ……………………………………………………flexion

lgK Matrice géométrique élémentaire

U l'énergie potentielle de déformation

V l'énergie potentielle due aux charges ……………………………………………………extérieures

/V L'énergie potentielle due aux charges ……………………………………………………transversale

L'énergie potentielle totale

. Coordonnées de l élément de référence

N Fonction d'interpolation

1. JJ det J matrice jacobien , son inverse , et son ……………………………………………………déterminent

m ,n nombre de demi-monde sinusoïdales ……………………………………………………caractérisant le flambement

LISTE DES FIGUIRES

FigureII.1: Traction longitudinale ............................................................................................ 11

FigureII.2: Traction transversale .............................................................................................. 12

FigureII.3: Essai de cisaillement longitudinal .......................................................................... 14

FigureII.4: Axes principaux et axes de référence d'une couche stratifié .................................... 17

FigureII.5: Schématisation des résultantes en membrane des actions exercées sur un stratifié

FigureII.6: Schématisation des résultantes de cisaillement ....................................................... 21

FigureII.7: Schématisation des moments de flexion et de torsion ............................................. 21

FigureII.8:Schématisation des déformations dans le cas de la théorie

classique des stratifiés ................. ………………………………………………......22

FigireIII.1: Elément membranaire............................................................................................ 29

FigureIII.2: L'élément plaque .................................................................................................. 32

FigureIII.3: Schématisation des déformations dans le cas de la théorie

Classique des stratifiés ......................................................................................... 33

Figure. (V.1): Condition géométrique en élasticité plan simuler les types

de sollicitation ................................................................................................... 45

Figure (IV.1.a): La variation de Ncr en fonction de nombre d'élément

a/b=1.5 pour une plaque isotrope simplement appuyée ................. …...……....46

Figure (IV.1.b): la variation de Ncr en fonction de nombre d'élément

(a/b=1et2 )pour une plaque isotrope simplement .

. appuyée…………………………………………………………… ................ ..46

Figure. (V.2): Condition géométrique en élasticité plansimuler les tupes

de sollicitation…………………… ................... ……………… …………..........47


(a/b=1 )pour une plaque isotrope simplement appuyée

sollicité par une Compression biaxialle………… .................. ………………….48

Figure. (V.3): Condition géométrique en élasticité plansimuler les tupes

de sollicitation…………………………………… ................. …………..........49

Figure (IV.3.a): la variation de Ncr en fonction de nombre d'élément


sollicité par une Cisaillement pur ……..…… .................. …………………...…50

Figure (IV.3.b): La variation de Ncr en fonction de nombre d'élément


sollicité par une Cisaillement ……………………… ................ ……………...50

Figure (IV.3.c): La variation de Ncr en fonction de nombre d'élément

(a/b=1.5)pour une plaque isotrope simplement appuyée

sollicité par une Cisaillement pur………………………… ................ ………..51

Figure (IV.4): la plaque stratifié avec une orientation (90,-90,0,0,-90,90)……....................…..52

Figure. (IV.5): condition géométrique en élasticité plan simuler les types

de sollicitation…………………………………… ……… .................. …..........52

Figure (IV.5.a): La variation de Ncr en fonction de nombre

d'élément a/b=1 ,a/b =1.5 ,a/b=2 pour une plaque

isotrope simplement appuyéesollicité par une

compression simple ………………………………… ............... ………….......53


(a/b=1 )pour une plaque orthotrope simplement appuyée

Sollicité par une Compression biaxialle…..……… ................ ……….………...55


(a/b=1 ) et (a/b=1.5 ) , (a/b=2 )pour une plaque orthotrope

simplement appuyée sollicité par une Cisaillement pur...… ................... …….....57

Figure (IV.8):Type de sollicitation utilisé pou étude de flambage avec

singularité………………………………………………… ..................... ……..58

Figure (V.10): La discrétisation de la plaque carré…………………………… .................. ……63

Figure (IV.12): La variation Fcr en fonction de d/b pour a/b=1 , le cas isotrope………........….64

Figure (IV.13): La variation Fcr en fonction d/b 5 pour a/b=1.5, le cas isotrope…………..... 64

Figure (IV.14): La variation Fcr en fonction d/b pour a/b=1 pour le cas orthotrope…… .…. 65

Figure (IV.15): La variation Fcr en fonction de d/b pour a/b=1.5 ,le cas orthotrope……… .... ..65

Liste des tableaux

Tableau IV.1 charge critique de flambage d'une plaque isotrope simplement appuyée

45

Tableau IV.2 Variation de Ncr en fonction de nombre d'élément a /b=1 Pour une

plaque isotrope simplement appuyée sollicitée Par une compression

biaxiale

47

Tableau IV.3 charge critique de flambage d'une plaque isotrope Sollicitée Par un

cisaillement pur

49

Tableau IV.4 charge critique de flambage d'une plaque orthotrope stratifiée

simplement Appuyée Sollicitée par une compression uniaxiale

53


simplement appuyée Sollicitée par une compression biaxiale

54


simplement Sollicitée par Cisaillement pur

56

Tableau IV.7 Cas isotrope la variation Fcr en fonction de la position de trou en

Compression uniaxiale

61

Tableau IV.8 Cas orthotrope la variation Fcr en fonction de la position de trou en

compression uniaxiale

61

Tableau IV.9 Cas isotropela variation Fcr en fonction de la position de trous en.

cisaillement pur

62

Tableau IV.10 Cas orthotrope la variation Fcr en fonction de la position de trous en

cisaillement pur

62

INTRODUCTION GENERALE

Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies de singularité géométrique

1

1. INTRODUCTION : L'évolution actuelle de la technologie a amené l'ingénieur à réaliser des projets de plus

en plus complexes, coûteux et soumis à des contraintes de sécurité de plus en plus sévères. La

grande utilisation des plaques, avec ou sans ouverture, en matériaux composites stratifiés dans

plusieurs types de structures ; aérospatiale, aéronautique, marine.

Les ingénieurs civils ont exploité les avantages d'utilisation des matériaux composites et

spécialement les plaques renforcées par des fibres de verre (F.R.P) parmi ces avantages on

cite:

Rapport résistance/ poids optimale

La légèreté

La résistance a la corrosion

Faible conductivité électrique et thermique

Le besoin d'avoir des ouvertures dans les composantes des structures est d'une considération

pratique, par exemple dans l'aéronautique, l'industrie automobile et aussi dans les sous marins,

les ouvertures sont nécessaires pour l'accès des lignes hydrauliques et pour empêcher des

dommages éventuels.

Dans certaines applications les éléments structuraux doivent résister au flambage et dans

d’autres au post-flambage et ainsi pour économiser le poids.

Les plaques avec ouverture sont souvent soumises aux charges de compression induites

mécaniquement ou thermiquement et qui peuvent causer le flambage de ces derniers.

Alors, le comportement de ce type de structures vis-à-vis de la stabilité, doit être bien connu

lors de leur conception.

2. Recherche bibliographique :

Les travaux sur le comportement du flambage des plaques en matériaux composites

stratifiées ont débuté depuis les années 70.

En 1972, Martin [1] a publié ce qui apparaît être parmi les premières études du flambage et

du post-flambage des plaques en composite avec ouvertures soumises à un chargement

uniaxial de compression. Son travail était basé sur la méthode Rayleigh Rite dans laquelle la

double intégrale a été effectuée numériquement et des travaux expérimentaux ont été faits en



2

parallèle pendant cette période, et les résultats analytiques et expérimentaux se sont révélés

concordants.

En 1978, Knauss, Starnes et Henneke [2] ont présenté une investigation expérimentale du

comportement de flambement et des caractéristiques de rupture d'une plaque rectangulaire en

graphite–époxy, possédant une ouverture circulaire et soumise à un chargement de

compression.

Dans ce travail, les auteurs ont étudié le cas de deux plaques de 24 et 48 couches avec une

ouverture de dimension b/d = 0,3

En 1982, Herman [3] a présenté ce qu'on peut considérer comme la première investigation du

comportement du flambage des plaques soumises au cisaillement avec une ouverture centrale

de forme circulaire. Il a utilisé la méthode des éléments finis pour étudier le flambage des

plaques en graphite–époxy.

En 1983, Nemeth et ses collègues [4.5] ont présenté une analyse approximative pour le

flambement des plaques rectangulaires soumises à la compression avec une ouverture

centrale. Leur étude approximative était basée sur la méthode variationnelle de Kontorovitch.

En 1984 et 1985, Marshall, Little et Eltayeb, [6.7] ont présenté une investigation analytique

et expérimentale du comportement du flambage des plaques rectangulaires orthotropes

soumises à un chargement de compression avec des ouvertures circulaires. Ils ont fait une

analyse approximative en utilisant la méthode de Rayleigh Ritz. Dans ce travail expérimental,

les résultats obtenus concernent une plaque carrée, simplement appuyée en verre époxy sans

ouverture et avec ouverture jusqu'a d/b= 0,7. Les résultats analytiques et expérimentaux se

sont révélés concordants, spécialement les cas où d/b = 0,5 et où les dimensions des

ouvertures d/b < 0,5.

En 1986 Marshall, Lite, El Tayeb et William [8] ont présenté des résultats de flambage des

plaques orthotropiques avec des ouvertures circulaires. Le travail était analytique,

parallèlement à un travail expérimental pour des plaques carrées avec des ouvertures de

dimension d/b = 0,3 et 0,5.

Il y a eu une bonne concordance entre les résultats analytiques et ceux obtenus par la méthode

expérimentale utilisée.



3

3. PROBLEMATIQUE

Pour répondre aux besoins d'accès et de services, il est toujours nécessaire d'avoir des

singularités (ouvertures) au centre ou bien loin du centre de la plaque. Cela est souvent le cas

de récipients contenant des liquides où il est nécessaire de permettre le passage du liquide

d'une chambre à une autre à travers des valves positionnées près du fond de la partition. La

présence de pareilles ouvertures mène à une distribution non uniforme des contraintes de

compression, et par conséquent, il en résulte un changement dans la charge critique de

flambement.

Les structures composites minces (plaques stratifiées) qui sont largement utilisées de nos

jours, deviennent instables lorsqu'elles sont sujettes à des chargements de nature mécanique

ou thermique, et flambent dans la zone élastique. Par conséquent, le flambage présente une

très grande importance lors de la conception de ce type de structures.

L'objectif de ce travail est la contribution dans l'étude du flambage des plaques multicouches

avec singularité en matériaux composite stratifié et isotrope, en utilisant la méthode des

élément finis [MEF], et donner un aperçu sur l'importance et la précision des résultats obtenus

grâce à l'utilisation de la [M.E.F] et à la méthode du calcul numérique pour la résolution des

problèmes.



4

4. PLAN DE TRAVAIL

Le travail est organisé en quatre chapitres :

Nous avons présenté, en premier lieu, la théorie de l'instabilité élastique. Dans le second

chapitre nous faisons un bref rappel de la théorie des plaques stratifiées.

Le troisième chapitre, est consacré à la modélisation des problèmes d'instabilité par élément

finis:

Elément utilisé (TATI, DHAT) 14 15

Rigidité de membrane (membrane)

Rigidité de flexion (plaque)

Elément coque

Cas des multicouches (la loi de comportement)

Problème de flambage

Matrice des contraintes initiales gK

Le dernier chapitre est consacré la validation des différents éléments au flambage des

plaques isotropes et multicouches avec et sans singularité, en faisant une comparaison avec

des méthodes analytiques et numériques.

Enfin, ce travail se termine par une conclusion générale qui met en valeur les résultats

obtenus.

CHAPITRE I LA THEORIE DE L'INSTABILITE ELASTIQUE-CAS DES PLAQUES

Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique

5

I. INSTABILITE DES PLAQUE

I.1 Généralités

Le but de ce chapitre est de formuler les équations de base pour représenter les

problèmes liés à la flexion, aux effets de membrane et à l'instabilité élastique des plaques

minces. Nous définissons également, l'énergie potentielle, sa première et seconde variation

pour chacun des cas.

I.2 formulation générale

Les développements qui suivent peuvent être retrouvés dans les ouvrages d'Almroth 9 ,

Timoshenko 10 , Chajes 11 .

Avant de formuler le problème spécifique de l'instabilité des plaques, nous allons formuler

celui de l'instabilité en général, d'après Rubinstein 12 .

Notons l'état d'une structure en équilibre sous l'action de charges externes comme l'état

d'équilibre 1, pour vérifier si c' est un état d'équilibre stable , nous cherchons d'abord l'énergie

potentielle d'un autre état, disons 2 , produit par une perturbation arbitraire.

Par exemple pour une structure à un degré de liberté (w) nous représentons les états 1 et 2

comme suite :

Etat 1 : w , Π(w)

Etat 2 : w +δw, Π( w w ) où ( w )est la perturbation ainsi définie.

La variation de l'énergie potentielle ΔΠ est:

ΔΠ= Π(w+ δw) - Π(w) (1.1)

En utilisant la série de Taylor, ΔΠ peut être écrite sous la forme:

ΔΠ= δ Π+ 2 Π + 0 3 (1.2)

δΠ= ww

Dans la quelle :

22

22 w

w

(1.3)

0( 3 ) sont les termes d'ordre supérieur ou égale à trois que nous négligeons.

Pour l'équilibre à l'état 1, w doit être stationnaire d’où



6

w =0 où 0w

pour 0w (1.4)

Pour que cet équilibre 1 soit stable, w doit être minimum. Pour garantir cette stabilité de

l'équilibre 1, la seconde variation 2 doit être définie positive d’où:

Equilibre stable : 2 0 où 02

2

wpuisque 2w est positif (1.5)

Pour un équilibre instable au stade 1, la structure ne tendra pas à retourner vers le stade1,

quand une perturbation vers le stade 2 survient .ceci a lieu quand la seconde variation du

potentiel 2 est nulle ou négative. La ligne de démarcation, ou bifurcation entre la condition

de stabilité et d'instabilité de l'équilibre, correspond à :

2 = 0, d’où pour un équilibre instable 2 = 0 ou 02

2

w (1.6)

Nous constatons donc que l'étude d'équilibre se limite à l'étude de la première variation et

celui de l'instabilité à la seconde variation 2 .

I. 3 Instabilité élastique des plaques minces

Nous avons un système d'axes tel que celui de la figure (II.5) la plaque est soumise à un

chargement d'intensité arbitraire dans le plan xy qui provoque une compression de la plaque.

Par l'élasticité plane, et pour ce chargement d'intensité arbitraire, nous trouvons en chaque

point de coordonnées x, y, z un vecteur d'effort internes N par unité de longueur, où

N est défini ci-dessous:

dzNNNN xyy

h

hxxyyx

2

2

(1.7)

Où h est l'épaisseur de la plaque, xyyx ,, sont les contraintes planes dans le plan x, y et

xN , yN , xyN les efforts internes correspondants, par unité de longueur.

Afin d'étudier l'instabilité élastique des plaques, pour laquelle l'intensité du chargement axial

lors du flambement est inconnue, nous considérons qu'au flambement, cette intensité est

représentée par λ fois l'intensité arbitrairement choisie qui donne le vecteur ,N étant

une constante.

Notre plaque est maintenant soumise à une distribution d'efforts internes N



7

Appliquons maintenant un chargement de flexion transversale, et regardons l'équilibre pour

une position légèrement fléchie de la plaque, en supposant que :

Le vecteur N reste constant durant la flexion. Cet état d'équilibre correspond à l'état

d'équilibre 1 que nous avons défini au paragraphe (I.1) pour savoir si cet état d'équilibre est

stable ou non, nous allons évaluer la seconde variation de l'énergie potentielle 2 entre

l'état 1 , et un état d'équilibre voisin obtenu par légère perturbation de l'état 1.

I.3.1 Evaluation de l'énergie potentielle pour l'état d'équilibre 1

Dans l'évaluation de l'énergie potentielle, nous négligeons, pour les plaques minces

l'énergie interne due aux déformations de cisaillement. Les relations qui suivent sont établies

pour une position fléchie de la plaque.

I.3.1.a Relation déformations -déplacements

Les déformation x y xy pour un point de coordonnées x, y, z qui s'est déplacé de u,

v, w suivant les axes x, y et z, respectivement, sont :

m + nl +z K (1.8a)

Où est le vecteur de déformation total

m = xyyx (1.8b)

m =xv

yu

yv

xu

(1.8c)

m Est le vecteur de déformations linéaires de membrane

nl Est le vecteur de déformations non linéaires de membrane

nl =yw

xw

yw

xw

22

21 (1.8d)

K Est le vecteur de déformations de flexion

K =xyyx

yxyx

(1.8e)

Tel que :

xw

x

; yw

y



8

x et y étant les rotations des plans yz et xz autour de x et y, respectivement .

Les équations (1.8) sont les relations cinématique de la plaque.

Les variation u, v, w, x , y sont fonction de x et y seulement et se référent au plan moyen

xy.

I.3.1.b Evaluation de l'énergie potentielle

L'énergie interne U est

DUv

21 (1.9)

U=

1

21 dvD m

vm +

2

dvD mv

nl +

3

dvDKz mv

+

4

21 dvD nl

vnl + vdDKz nl

v 5

+

6

2

21 dvKDKz

v (1.10)

Nous cherchons la deuxième variation U2 pour une perturbation w , et on ne garde que les

termes quadratiques de (w) et de ses dérivées afin de linéariser le problème de l'instabilité. Par

conséquent, le terme (1) de l'équation (1.10) qui ne contient pas de termes de w ou de ses

dérivées est abandonné.

Les termes (3) et (5) sont nuls pour une matrice D constante ou symétrique par rapport au

plan moyen car :

2

2

0

h

h

zdz

Le terme (4) qui est du quatrième ordre est négligé.

Pour des plaques minces orthotropes ou isotropes, l'énergie U qui varie avec w se réduit

donc aux termes (2) et (6), qui pour une intégrale sur l'aire A devient:

U =

2

dAD mmA

nl +

6

21 dAKDK f

A (1.11)

Comme N = mmD où N est défini par l'équation (1.7) nous obtenons:

U= dAKDKdAN fAA

nl 21 (1.12)

Si nous considérons les notations suivantes :



9

yw

xw

n

Et

yyx

xyx

NNNN

N (1.13)

L'équation (1.11) devient:

U= dAN nA

n 21 dAKDK f

A2

1 (1.14)

Pour un matériau isotrope, l'expression (1.11) devient :

U= dANyw

xwN

ywN

xw

xyyxA

21

21

21

22

+

(1.15)

)1(24 2

3

Eh

A

yxyx

yxyx

222

+2

21

xyyx

dA

Nous avons vu au paragraphe (I.1) que l'état d'équilibre est instable si :

0222 U (1.16)

Mais comme les charges externes sont conservatives alors :

02 (1.17)

Utilisons la relation (1.13), l'équation (1.14) :

02 dAKDKdAN fA

nA

n (1.18)

La discrétisation de la plaque par éléments finis permet de mettre l'équation (1.18) sous la

forme d'un problème de valeur propre.

0 nG UKK (1.19)

Où K et GK sont respectivement, la matrice de rigidité de flexion et la matrice

géométrique.

nU Représente les vecteurs déplacements correspondant au mode de flambement dont

l'intensité de la charge critique est donné par

I.4 Conclusion :

Nous avons présenté dans ce chapitre la résolution de problème d'instabilité par la

seconde variation de l'énergie potentielle pour le cas d'un seul degré de liberté, mais notre

but et d'étudie l'instabilité d'une plaque stratifiée avec un vecteur de déplacement iq qu'on

va le rencontré dans le chapitre précédant suivant.

CHAPITRE II LA THEORIE DES STRATIFIES


10

II. LATHEORIE DES STRATIFIE

II .1 INTRODUCTION

Le matériau composite est un assemblage d'au moins deux matériaux non miscibles (mais ayant

une forte capacité d'adhésion). Le nouveau matériau ainsi constitué possède des propriétés que

les éléments seuls ne possèdent pas.

Ce phénomène, qui permet d'améliorer la qualité de la matière face à une certaine utilisation

(légèreté, rigidité à un effort, etc.), explique l'utilisation croissante des matériaux composites,

dans différents secteurs industriels. Néanmoins, la description fine des composites reste

complexe du point de vue mécanique.

La cellule élémentaire du matériau est considérée comme constitué d'une fibre entourée d'un

cylindre de matrice à base circulaire ou hexagonal L. Cette cellule possède un axe de révolution

noté l'axe 1 ou l'axe longitudinal L. Les directions normales aux fibres sont appelées directions

transversales. Le composite est considéré comme étant isotrope transverse c'est –à – dire qu'il est

isotrope dans le plan normal à la direction 1. Le plan transverse est repéré par les deux directions

équivalentes 2 et 3 notées aussi T et 'T

.

II. 2 LOI DE COMPORTEMENT DE LA MONOCOUCHE

II.2.1 Approches théoriques à la détermination des modules d'élasticité

Le problème de détermination des modules d'élasticité d'un matériau composite

unidirectionnel consiste à rechercher des expressions de ces modules (5 modules indépendants)

en fonction des caractéristiques mécaniques et géométriques des constituants; modules

d'élasticité des fibres, de la matrice, fraction volumique des fibres, longueurs des fibres, etc. Les

propriétés mécanique et géométriques des fibres et de la matrice seront caractérisées par leurs

modules d'élasticité, coefficients de poisson et de fractions volumiques notés respectivement Ef,

Em, Uf, Um, Vf et Vm.

La résolution du problème est plutôt complexe à cause des possibilités multiples et variées

d'arrangements des fibres dans le composites. (Figure II.1).

Dans ce qui suit on donne quelques expression simplifiée des modules élastiques du composite

unidirectionnel en fonction des caractéristiques des constituants.

II.2.1.1 Module de Young longitudinal



11

Le module de Young est déterminé par un essai de traction longitudinale figure (II.1). On

suppose que les fibres et la matrice subissent une déformation identique et uniforme. Si ΔL est

l'allongement de la cellule du composite, la déformation longitudinale imposée à la cellule est:

L =ll (2.1)

fibre

Matrice

Matrice

1

2

L

h

1 1

L

h

FigureII.1: Traction longitudinale

Où L est longueur initiale de la cellule considérée.

La déformation dans la fibre et la matrice est:

f = m = L (2.2)

Les contraintes dans la fibre et la matrice sont exprimées par:

fff E (2.3)

mmm E (2.4)

La charge totale appliquée est : F1= σƒSƒ+ σƒSm (2.5)

Où Sƒ et Sm sont respectivement les aires des sections droites de la fibre et de la matrice.

Si S est l'aire de la section droite de la cellule moyenne, la contrainte moyenne

σ1= F1/S (2.6)

σ1= σƒ Sƒ+ σm (1-Vƒ) (2.7)

Cette contrainte moyenne est liée a la déformation de la cellule par le module

d'Young Longitudinal par:

1 =EƒVƒ+ Em (1-Vƒ) (2.8)

La relation précédentes, conduisent a' léxpression du module d'Young longitudinale

EL = Eƒ Vƒ+ Em (1-Vƒ) (2.9)



12

Cette expression est connue sous le non de loi de mélange pour le module d'Young dans la

direction des fibres.

II.2.1.2 Module de Young transversal

Le module d'Young transversal est déterminé dans un essai de traction transversal ou le

composite est chargé suivant la direction normale aux fibres (figure II.2).

fibre

Matrice

Matrice

1

2

hf

2

hm/2

hm/2

2 FigureII.2: Traction transversale

La charge F 2 imposée suivant dans la direction transversal est transmise dans les fibres et la

matrice et impose des contraintes égales soit.

σm = σƒ = σ2

Il en résulte que les déformations respectives des fibres et de la matrice dans la direction

transversale sont:

f = f

2 (2.10)

m = E m

2 (2.11)

La déformation transversale est donnée par:

ε 2= εƒVƒ+εm (1-Vƒ) (2.12)

la déformation est liée a la contrainte imposé à la cellule par:



13

22 TE (2.13)

la combinaison des relation précédente conduit à léxpression du module d'Young

Transversale.

m

f

f

f

f EV

EV

E

11 (2.14)

II.2.1.3 Coefficient de poison longitudinal

Le coefficient de poisson longitudinal, est déterminé par essai de traction longitudinale.

Les déformations transversales respectives des fibres et de la matrice sont donnée par:

1212 ffmm et

L'allongement transversal de la cellule élémentaire est:

ffmmt hhL 11

La déformation transversale st donnée par:

12 ])1([ fffmmf

t

hhL (2.15)

D’où l'expression du coefficient de poisson

)1( fmffLT (2.16)

Cette expression est la loi des mélanges pour le coefficient de poisson longitudinal.

II.2.1.4 Module de cisaillement longitudinal

Le module de cisaillement longitudinal LTG est déterminé dans un essai de cisaillement

longitudinal (figure II.3) Les contraintes de cisaillement dans les fibres et la matrice sont égales

du fait des contraintes de cisaillement imposées à la cellule. Les déformations en cisaillement de

la fibre et de la matrice sont donnée par:

Gff

mm G



14

fibre

Matrice

Matrice

1

2

hf

hm/2

hm/2

FigureII.3: Essai de cisaillement longitudinal

Les déformations induites dans la fibre et la matrice sont donnée par:

mmmfff hh

La déformation totale de la cellule est:

mmffmf hh (2.17)

Alors l'angle de cisaillement de la cellule est donné par l'expression:

)1( fmffmf

VVhh

(2.18)

Cet angle de cisaillement est liée a la contrainte de cisaillement par le module de cisaillement

LTG (2.19)

De la combinaison des relations précédentes, on obtient:

M

f

f

f

LT GV

GV

G

11 (2.20)

II.2.2 Matrice de rigidité et de souplesse

Le comportement élastique d'un matériau composite unidirectionnel peut être d'écrite en

introduisant soit la matrice de rigidité notée ijc , soit la matrice de souplesse Sij

La loi de Hooke s'écrit suivant l'une des deux formes :

C (2.21)

Ou bien sous forme explicite:



15

666564636261

565554535251

564544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

cccccccccccccccccccccccccccccccccccc

6

5

4

3

2

1

(2.22)

S (2.23)

6

5

4

3

2

1

=

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS

6

5

4

3

2

1

(2.24)

Avec C matrice d élasticité et S matrice de souplesse

Pour un matériau orthotrope les matrices d élasticité et de souplesse s'écrivent :

C

66

55

44

333231

232221

131211

000000000000000000000000

cc

cccccccccc

(2.25)

S

66

55

44

333231

232221

131211

000000000000000000000000

SS

SSSSSSSSSS

(2.26)

Les constantes de rigidité et de souplesse sont liées aux modules d'élasticité EL, ET, GLT et



16

LT Par les relation suivantes:

Constante de souplesse

1266

1355

2344

333

2

2323

222

1

1313

1

1212

111

1,1,1

1,,1

,,1

GS

GS

GS

ES

ES

ES

ES

ES

ES

Constantes d'élasticité

21

322311

1EE

C ,

31

32231212 EE

C ,

21

23121313 EE

C

31

311322

1EE

C ,

21

13212323 EE

C ,

21

211233

1EE

C

126613552344 ,, GCGCGC

Avec

321

13322113312112 21EEE

II.2.3 Matériau composite en-dehors de ses axes principaux

Les stratifié sont élaborés par lémpilement de couche successible dont la direction

des fibres et variable d'une couche a l'autre. Pour faire l'étude du comportement élastique de tels

stratifiés, il est nécessaire de prendre un système d'axe de référence pour l'ensembles du

stratifiée, et de rapporter le comportement élastique de chaque couche à ce système de référence.

On considère une couche (figureII.4) de matériau unidirectionnel de directions principales

1, 2, 3 le plan 1,2 est confondue avec le plan de la couche et la direction 1 est confondue avec la

direction des fibre .il est question de caractériser les propriétés élastique de la couche en les

exprimant dans le système d'axes de référence (1'.2'.3 ') du stratifié, la direction des fibres fait un

angle ( ) avec la direction1',



17

1' 1

3 3'

2 2'

FigureII.4: Axes principaux et axes de référence d'une couche stratifié

Les matrices d'élasticité C' et de souplesse S' dans le système de refèrence sont obtenues en

appliquant au matrices d'élasticité et de souplesse C et S les relation de changement de base

Suivantes:

TCTC 1 (2.27)

Et

TSTS 1' (2.28)

Avec T est la matrice de changement de base, donné par:

T =

22

2

22

sincos000cossincossin0cossin0000sincos000000100

cossin2000cossincossin2000sincos

(2.29)

Les matrice C' et S' s'écrivent de la forme

PPPPPPPP

PPPPPPPPP

0000000000000000000

(2.30)

Avec ''ijijij SouCP

II.2.3.1 Etat de contraintes planes



18

Dans le cas ou le problème d'élasticité peut être ramené a un problème d'élasticité a deux

dimensions , les relation établies dans le cas général se simplifient l'étude du problème de

contraintes de rigidité réduites dans les axes principaux par:

66

2221

1211

0000

QQQQQ

Q (2.31)

Avec:

TLLT

LEQ

111

TLLT

TEQ

122

TLLT

TLLTQQ

12112

LTGQ 66

La matrice de rigidité réduite hors axes est donnée par l'expression:

TQTQ 1__

(2.32)

Avec

22

22

22

sincoscossincossincossin2cossin

cossin2sincosT

Les composantes de la matrice s'écrivent explicitement et en posant:

cs

cossin

22661211

411

411

__

)2(2 csQQQsQcQ

)()4( 4412

2266221112

__

scQcsQQQQ

csQQQscQQQQ 3661211

366121116

__

)2()2( (2.33)

22661222

411

422

__

)2(2 csQQQcQsQ

3661211

366121126

__

)2()2( scQQQcsQQQQ



19

)()(2 4466

226612221166

__

csQcsQQQQQ

II.3. la théorie des plaques stratifiées

La théorie élémentaire des plaques faites l'hypothèse que les contraintes normales 33

sont négligeables dans le volume de la plaque, par rapport aux composantes 122211 ,, cette

hypothèse est généralement vérifiée dans la pratique, et dans ce cas la loi de Hooke Généralisé

hors axes principaux d'une couche s'écrit:

33

22

11

__

33

__

32

__

31

__

23

__

22

__

21

__

13

__

12

__

11

33

22

11

QQQ

QQQ

QQQ

(2.34)

Où ijQ__

sont les coefficients de la matrices de rigidité d'une couche k donné.

La discontinuité des matrices de rigidité d'une à l'autre entraîne la discontinuité des contraints au

passage d'une couche à l'autre.

II.3.1 Résultantes en membrane

Le vecteur résultantes en membrane noté ),( yxN et défini par:

2

2

),(

h

hk dzyxN (2.35)

Où k est la matrice en membrane xyyyxx ,, dans la couche k

Le vecteur ),( yxN peut s'écrire

2

2

),(

h

hxy

yy

xx

xy

y

x

NNN

yxN

(2.36)

xyyx etNNN ,, Sont les résultantes par unité de longueur:des contraintes suivant x, y et des

contraintes de cisaillement respectivement,



20

y

z

x

Nx

Nx

Ny

Ny

Nxy

Nxy

Nxy

Nxy

FigureII.5: schématisation des résultantes en membrane des actions exercées sur un stratifié

La discontinuité des contraintes d'une couche à l'autre conduit à la relation précédente sous la

forme:

dzNNN

n

k

h

hxy

y

x

xy

y

x k

k

11

(2.37)

II.3.2 résultantes en cisaillement

Le vecteur force en cisaillement est définie de la même manière par :

dzQQ

Qn

k

k

h yz

xz

y

xxy

k

11

(2.38)

Comme les résultantes en membrane, les résultantes en cisaillement sont définies par unité de

longueur du stratifié,



21

x y

z

Qx

Qx

Qy

Qy

FigureII.6:schématisation des résultantes de cisaillement

II.3.3 Moment de flexion et de torsion

Les moments de flexion et de torsion exercés sur un élément du stratifiée sont définis par:

zdzMMM

yxMn

k

k

hxy

yy

xx

XY

Y

X

k

11

),(

(2.39)

y

x

z Mx Mxy

Mx

Mx

My Mxy My

Mxy

FigureII.7:schématisation des moments de flexion et de torsion

II.3.4 Théorie classique des stratifiés

La théorie classique des stratifiés utilise les modèles du premier du premier ordre à savoir les

modèles de love-kirchhoff.Les rotations de la section suivant les axe X et Y s'écrivent:

x

wyxx

0),( (2.40)

y

wyxy

0),(

Le champ des déplacements s'écrie alors:



22

),(),(),,( 00 yx

xwzyxuzyxu

),(),,(),,( 00 yx

yw

zzyxvzyxv

(2.41)

),(),,( 0 yxwzyxw

0u Et 0v sont les déplacements membranaires de la feuille moyenne de la plaque 0w

Est le déplacement hors plan feuille moyenne de la plaque.

A

B

M H

z x

z

w0

y

y

zy

u0

A

B

M H

z y

z

w0

x

x

-zx

v0

FigureII.8:schématisation des déformations dans le cas de la théorie classique des stratifiés

II.3.4.1 Champ des déformations

Le champ des déformations s'écrit :

200

xwz

xu

xx



23

200

ywz

yv

yy

(2.42)

yx

wz

xv

yu

xy

02

00 2

0 yzxz

Le tenseur des déformations en un point M est donnée par:

00000

)( yyyx

xyxx

M

(2.43)

La matrice des déformation se réduit a trois composantes non nulles:

xyM yy

xx

)( (2.44)

Le champ des déformation st la superposition des déformations en membrane donnée par:

xv

yu

yvx

u

M

xy

yy

xx

m

00

0

0

0

0

0

)(

(2.45)

Et les déformation en flexion donnée par :

yxw

ywxw

Mf

xy

fyy

fxx

f

02

20

2

20

2

2

)(

(2.46)

Généralement, les déformations en flexion et en torsion s'expriment suivant la relation:

),()( yxzkMf (2.47)

En posant:



24

yxw

ywxw

kkk

yxk

xy

y

x

02

220

2

20

2

2

),( (2.48)

La matrice k(x, y) est appelée matrice des courbures de la plaque stratifiée en flexion.

Les angles de rotation de la déformée du plan moyen au point H(x, y, o) s'expriment en fonction

du déplacement transversal w0(x, y) de se point par:

y

wx

0

(2.49)

x

wy

0

Finalement le champ des déplacements s'écrit:

xy

yy

xx

xy

yy

xx

xy

yy

xx

kkk

z0

0

0

(2.50)

Ou sous la forme:

),(),()( yxzkyxM m (2.51)

II.3.4.2 Champ de contraintes

Le champ de contrainte en un point est donné par:

00000

)( yyyx

xyxx

M

(2.52)

Le champ de contraintes se réduit au composantes en membrane donnée par:

xy

yy

xx

M

)( (2.53)

Les contrainte dans une couche k sont données par:



25

xy

yy

xx

xy

yy

xx

QQQ

QQQ

QQQ

__

66

__

26

__

16

__

26

__

22

__

21

__

16

__

12

__

11

(2.54)

Cette relation peut s'écrire :

0

0

0

__

66

__

26

__

16

__

26

__

22

__

21

__

16

__

12

__

11

xy

yy

xx

xy

yy

xx

QQQ

QQQ

QQQ

xy

yy

xx

kkk

QQQ

QQQ

QQQ

z__

66

__

26

__

16

__

26

__

22

__

21

__

16

__

12

__

11

(2.55)

Où

),(),(),,()(____

yxkQzyxQzyxM kmkkk (2.56)

)(Mk Représente la matrices contrainte dans la couche k : kk hzh 1 , la matrice de rigidité

réduite kQ__

varie d'une couche à l'autre .il en résulte donc une discontinuité du champ des

contraintes dans les couches successives.

II.3.4.3 Expression des résultantes et des moments

II.3.4.3.a Résultantes en membrane

L'expression (2.44) conduit à L'expression des résultantes en membrane:

dzyxkQzyxQyxNn

k

h

hkmk

k

k

1

____

1

),(),(),(

n

k

h

hmk

k

k

dzyxQyxN1

__

1

),(),(

k

k

h

h

n

kk zdzyxkQ

11

__),( (2.57)

n

kkkm

n

kkkk QhhyxQhhyxN

1

__2

12

1

__

1 21,),( ),( yxk

Soit, en définitive:

),();(),( yxBkyxAyxN m (2.58)

Les matrice, A, B s'écrivent:



26

__

11)( QhhA

n

kkk

(2.59)

Avec ijAA

Et

__

11

)( kk

n

kkji QhhA

(2.60)

Avec ijBB

Et

__

21

2

1)(

21

kkk

n

kij QhhB

(2.61)

L'expression développée des résultantes s'écrit :

xy

y

x

NNN

=

662616

262221

161211

AAAAAAAAA

xy

yy

xx

+

662616

262221

161211

BBBBBBBBB

xy

yy

xx

kk

(2.62)

II.3.4.3.b Moment de flexion et de torsion

L'expression (2.44) conduit à l'expression des moments de flexion et de torsion:

dzyxkQzyxQzyxMk

k

h

hkk

n

k

__2

1),(),(),( (2.63)

Ou :

n

kkk hhyxM

1

21

2

21),( ),(

31),(

1

31

3 yxkhhyxn

kkk

(2.64)

Soit :

),(),(),( yxkDyxByxM (2.65)

L'expression de la matrice D:

___

1

31

3

31

k

n

kkk QhhD

(2.66)

kijkkij QhhDD ))((__

31

3 (2.67)



27

L'expression développée des moments s'écrit sous la forme:

xy

y

x

MMM

662616

262221

161211

BBBBBBBBB

xy

yy

xx

+

662616

262221

161211

DDDDDDDDD

xy

yy

xx

kk

(2.68)

II.4 Conclusion :

Dans ce chapitre la théorie des matériaux composites stratifiés a été présentée .cette théorie

va être comptée au la théorie d'instabilité élastique pour se permettre d'analyser la stabilité des

plaques multicouches, chose qui va faire le sujet du chapitre III

CHAPITRE III MODELISATION DES PROBLEMES D'INSTABILITE PAR ELEMENT FINIS

Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'unesingularité géométrique

27

III. MODELISATION DES PROBLEMES D'INSTABILITE PAR ELEMENT FINIS

III.I INTRODUCTION

Les modèles concernant le calcul des stratifiés se rapportent tous au problème de

dépendance ou d'indépendance des rotations des normales aux feuillets moyens des

différentes couches. On suppose dans tous les cas qu'il n'y a pas de glissement aux interfaces.

On distingue :

Les modèles basés sur l'approche monocouche équivalente.

Les modèle basés sur l'approche par couche.

Dans ce chapitre, nous présentons un élément fini sur la base d'un des modèles de la première

catégorie basé sur la théorie de kirchhoff.

On suppose que la théorie de kirchoff est vérifiée dans chacune des couches .cela revient

évidemment à supposer que cette hypothèse est vérifiée globalement dans toute l'épaisseur de

la plaque. Cette approche se justifié dans le cas d'une plaque mince, les couches constituant la

plaque sont composées de matériaux assez peu différents, et possèdent les modules de

cisaillement transverse du même ordre de grandeur que les autre modules

C'est-à-dire possède peu d'anisotropie. Pour que cette approche donne de bons résultats, une

autre condition s'ajoute aux autres :le chargement est condition aux limites n'occasionnant que

peu de flexion.

Dans ce travaille, tout les condition pour l'adoption de cette approche sont remplies.

En effet les plaques étudiées sont minces et constituées de couche identique d'autant plus, le

flambage n'occasionne que peut de flexion. L'élément de A.TATI 15 est un élément basé

sur un modèle issu de l'approche monocouche équivalent.

L'élément est issu d'une combinaison de deux élément quatre nœuds chacun bidimensionnels

Chacun:

le premier est un élément quadrilatéral membranaire isoparamétrique bilinéaire

le deuxième est un élément plaque rectangulaire de haute précision, de premier ordre, de

type Hermite, qui sera transformé en un élément quadrilatéral.

III.2 L'ELEMENT MEMBRANAIRE

III.2.1 Approximation nodale des coordonnées

Les cordonnées paramétrique sont noté et .les coordonnées x ),( et y ),( d'un

point quelconque sont définies par:



28

(x ),( = ii

i xN ),(4

1

(3.1)

y ),( = ii

i yN ),(4

1

Ou ( )( , ii yx sont les coordonnées du nœud i, et les fonction d'interpolation linéaire sont donné

par 13 et 14

1141),(1N

1141),(2N (3.2)

1141),(3N

1141),(4N

III.2.2 Champ des déplacements

Comme l'élément est isoparamétrique, l'approximation nodale pour le champ des

déplacements dans le plan de l'élément s'écrie en utilisant les mêmes fonctions de formes que

l'approximation géométrique soit:

ii

i uNu ),(),(4

1

(3.3)

ii

i vNv ),(),(4

1

Où u ),( et v ),( sont les déplacements membranaires d'un point quelconque

),( et ii vu , sont les déplacements d'un nœud i (figure III.1)



29

FigireIII.1: Elément membranaire

III.3 L'ELEMENT PLAQUE

III.3.1 Fonction d'interpolation de l'élément de référence

L'approximation nodale du champ du déplacement hors plan w ),( d'un point de

coordonnées ),( et d'un élément rectangulaire de haute précision de type Hermite de

premier ordre est donné par: Dhatt 14 et TATI 15

w ),( =

iiii

wH

wH

wHwH

2

11011000 (3.4)

Où

22)(161

02

02

000 H

21)(161

02

002

010 H

(3.5)

12)(161

02

0002

001 H

11)(161

02

0002

0010 H

-1 +1

(u1, v1) (u2, v2)

(u3, v3)

(u4, v4)

-1

+1

x

y

(u1, v1)

(u2, v2)

(u3, v3) (u4, v4)

a) Élément de référence b) Élément réel

I II

III IV



30

III.3.2 Fonction d'interpolations de l'élément réel

Les dérivées des fonctions d'interpolation géométriques seront calculées par la formule

suivante:

x

N i

=x

Nx

N ii

(3.6)

y

N i

=y

Ny

N ii

Ou sous la forme matricielle par:

yNx

N

i

i

=

yy

xx

i

i

N

N

(2.7)

Les dérivées xyx

,, et

se déterminent à partir de la matrice Jacobienne

Inversée 1J la matrice Jacobienne est donnée par:

J=

yx

yx

=

4

1ii

ii

i

ii

ii

yNxN

yNxN

(3.8)

Les fonctions d'interpolation de l'élément plaque réel quadrilatérale sont déterminées à

partir des fonctions d'interpolation de l'élément de référence en introduisant les fonctions

d'interpolation géométrique.

w =

y

ywx

xw

w =

y

ywx

xw (3.9)

w2

2

2

xw

xx + 2

2

yw

yy +

yxw

2

xyyx +



31

xw

x2

+yw

y2

En traduisant les expressions (3.9) dans l'expression (3.4) en aboutit à:

W(x,y) = 1000 HwH i

y

ywx

xw + 01H

y

ywx

xw +

11H 2

2

xw

xx + 2

2

yw

yy +

yxw

2

xyyx + (3.10)

xw

x2

yw

y2

L'expression du déplacement hors w(x,y) d'un point quelconque de coordonnées(x,y)

l élément réel est donnée par: A. TATI 15

W(x, y)= 2

2

2

22

yw

Lxw

Lyx

wL

yw

LwLwL iyy

ixx

ixy

iyixiw

(3.11)

w(x,y)=

2

2

2

2

2

ywxwyx

wy

wx

ww

LLLLLL

i

i

i

i

i

i

yyxxxyyxw

Ou yyxxxyyxw LLLLLL ,,,,, sont les fonctions d'interpolation de l'élément réel par:

00HLw

xHxHxHL x

2

110110

xHyHyHL y

2

110110

yxyxHL xy 11 (3.12)

xxHL xy 11



32

yyHL yy 11

Comme on peut le remarquer les fonctions d'interpolation de l'élément réel sont fonction des

coordonnés ii etyx , des nœuds (i=1.2.3.4) figure (III.2).

-1 +1

(w1,w1, ,w1, ,w1,,) (w2,w2, ,w2, ,w2,,)

(w3,w3, ,w3,,w3,,)

(w4,w4, ,w4, ,w4,,)

-1

+1

Élément de référence Élément réel

x

y

(wi,wi,x ,wi,y ,wi,x,y,w,x,x,w,y,y) avec i =1,2,3,4;

1

2

3 4

FigureIII.2: L'élément plaque

III.4 CONSTUCTION DE L'EMENT COMBINE

La combinaison des deux éléments permet d'obtenir un élément de type coque a quatre

noeud de huit degrés de liberté chacun, soit un élément de 32 degrés avec un vecteur de

déplacement:

2

2

2

22

,,,,,,,iiiii

iiiT

yx

xw

yxw

yw

xwwvuq Avec i=1.2.3.4

III.4.1 Relation cinématiques

La théorie utilisée est la théorie classique des stratifiés, basée sur le modèle classique de

Kirchhoff dans laquelle on suppose que la normale au feuilles moyen reste après déformation

en plus elle néglige les déformation dues au cisaillement transverse .les déplacement selon

cette approche s'écrie:



33

A

B

M H

z x

z

w0

y

y

zy

u0

A

B

M H

z y

z

w0

x

x

-zx

v0

FigureIII.3:schématisation des déformations dans le cas de la théorie classique des stratifiés

),(),(),,( 00 yx

xwzyxuzyxu

),(),,(),,( 00 yx

yw

zzyxvzyxv

(3.13)

),(),,( 0 yxwzyxw

0u Et 0v sont les déplacements membranaires de la feuille moyenne de la plaque 0w

Est le déplacement hors plan feuille moyenne de la plaque

Le champ des déformations pou le cas de grandes déformations est donné par:

xxx zk 0

zkyyy 0 (3.14)

xyxyxy zk 0



34

2

0

21

xw

xu

x

2

0

21

yw

yv

x (3.15)

yw

xw

yu

xy

xy0

Ou sous forme suivante:

000xnlxlx

000ynlyly (3.16)

000xynlxylxy

Ou sous forme matricielle:

000nll =

0

0

0

xyl

yl

xl

+

0

0

0

nxyl

nyl

nxl

(3.17)

.et

yxwk

ywk

xwk

xy

y

x

2

2

2

2

2

2

qui peut s’écrire sous la forme :

xy

y

x

kkk

k (3.18)

III.4.2 Loi de comportement d'un stratifié

Le stratifié est constitué d'un nombre de couches ou plies unidirectionnelles en

négliges les contraintes dans le sens d'épaisseur de chaque couche, les relation contraintes

déformation dans le système de coordonnées locales des fibres, sont données par:



35

3

2

1

33

2221

1211

3

2

1

00

0

0

Q

QQ

QQ

(3.19)

Les composantes de la rigidité Qij sont donnée par:

221

212

111 1

EQ =212

1

2

1

1 EEE

111

2221

212

222 1

QEEEQ

(3.20)

2212221

212

21212 1

QEQ

1233 GQ

Dans les quelles 121221 ,,, GEE sont les caractéristiques mécaniques d'une couche.

Les relation contraintes _déformation dans le repère globale du stratifié, sont données par:

xy

yy

xx

xy

yy

xx

QQQ

QQQ

QQQ

__

33

__

32

__

31

__

23

__

22

__

21

__

13

__

12

__

11

(3.21)

Les efforts et le moment de la plaque sont liés aux déformations et aux courbures par les

expressions suivantes:

xy

y

x

xy

y

x

M

MMNNN

333231333231

232221232221

131211131211

333231333231

232221232221

131211131211

DDDBBBDDDBBBDDDBBBBBBAAABBBAAABBBAAA

xy

y

x

xy

y

x

kkk

0

0

0

(3.22)



36

Et en peut écrire cette expression sous la forme:

KDBBA

MN 0

(3.23)

En notant par ij les contraintes dans le plan, on peut écrire:

2

2

2

2h

hijij

h

hijij

zdzM

dzN

(3.24)

Les rigidité extensionnelle, flexionnelle et de couplage sont définies par:

2

2

__h

hijij dzQA

2

2

__h

hijij zdzQB (3.25)

2

2

2__

h

hijij dzzQD

III.4.3. Energie potentielle de déformation:

Energie potentielle de déformation d'une plaque est donnée par:

v

T dvU 21 (3.26)

Ou v et le volume de la plaque.

En utilisant les relations contraintes –déformations et les relations constituves des stratifiés,

l'énergie potentielle de déformation peut s'écrire:

dkDkBKkBAU TL

TTll

Tl

0000 (3.27)



37

Puisque la plaque est supposée être chargées par les résultantes des contrainte

xyyx NNN ,, ,l'énergie potentielle due a une charge extérieures membranaires est donnée par:

dyw

xwN

ywN

xwNV xyyx 2

21

22

(3.28)

L'énergie potentielle due à une charge transversale P repartie sur la surface de la plaque est

donné par:

w(x,y) d

V' p (3.29)

En traduisant les relations (3.22) dans les expressions de l'énergie, on obtient:

ddJqSDS

SBSSBSSASqU

KT

K

TKK

TTT

1

1

1

121

(3.30)

ddJqGNGqV TT

1

1

1

102

1 (3.31)

Ou' J est la matrice Jacobienne

qSl 0 (3.32)

qSk k (3.33)

ywxw

qG (3.34)

yxy

xyx

NNNN

N 0 (3.35)

L'énergie potentielle totale d'une plaque Π est la somme des énergies potentielles de

déformation, et celle des charges extérieures



38

Dans le cas de la flexion de la plaque due à un chargement transversale L'énergie potentielle

de déformation donné par:

'U V (3.36)

Dans le cas de grand déformation et l'existence d'un chargement membranaire l'énergie

potentielle totale donné par:

Π = VVU ' (3.37)

III.4.4 PROBLEME DE FLAMBAGE

Problèmes de flambage des plaques, la détermination en avance de la distribution des

contraintes à travers la plaque n'est pas nécessaire. Cependant dans le cas générale et lorsque

les contraintes normales sont non uniformément distribués à travers la plaque, notamment

lorsque la plaque renferme des ouvertures ou subit une variation non uniforme de température

, il sera nécessaire de déterminer la distribution des efforts membranaire comme première

étape dans l'analyse.

Il faut donc déterminer la distribution des efforts membranaire dans il éléments en résolvant

l'équation:

FXK (3.38)

F est le vecteur force global du à un chargement membranaire dans le plan appliqué sur les

bords de la plaque.

Les efforts dans l'élément sont donnés par:

qSBSAN k (3.39)

Où xyyx NNNN ,,'

Dans ce cas la plaque est soumise à un chargement membranaire et le champ des efforts

membranaires dans un élément est donnée par:



39

yxy

xyx

NNNN

NN '0 (3.40)

Avec est le paramètre de charge

L'énergies potentielle totale de la plaque données par:

Π=U+V (3.41)

L'équilibre critique signifié de la deuxième variation de l'énergie potentielle totale

Soit:

2 Π = 022 VU (3.42)

Soit :

ddJqSDS

SBSSBSSASq

KT

K

TK

TK

TT1

1

1

1

(3.43)

ddJqGNGq TT

1

1

1

10

2

Avec:

eeeee KKKKK 4321

ddJASK Te

1

1

1

11

ddJSBSK Tk

e

1

1

1

12

ddJSBSK Tk

e

1

1

1

13

ddJSDSK kT

ke

1

1

1

14

eK1 : Matrice de rigidité élémentaire

eK2 Et eK3 : Matrice de rigidité élémentaire de couplage membrane flexion

eK 4 : Matrice de rigidité élémentaire flexionnelle

En remplaçant la matrice des efforts 0N de l'équation (3.43) par la matrice 'N , on obtient:



40

0 qKqK ge (3.44)

et :

ddJGNGK Teg

1

1

1

1

'

(3.45)

egK et la matrice géométrique élémentaire

L'assemblage des matrices élémentaires, eg

e KK , perme d'obtenir le problème aux valeurs

propres suivant :

XK + XK g =0 (3.46)

Cette relation est nulle quelle que soit le vecteur des déplacements X alors sa résolution et

sa nulle le déterminant de l'expression c'est-à-dire :

DET 0 gKK (3.47)

La résolution de l'équation (3.47) permet d'obtenir les valeurs propres i .

La plus petite des valeurs de i correspondre au coefficient de la charge critique cr .

la matrice des efforts critiques Nocr est égale cr 'N et par conséquent on peut déterminer

la charge critique extérieur appliquée telle que :

crP = cr .P

Avec crP est la charge critique membranaire par unité de longueur.

III.5 Conclusion:

Une fois que l'élément développé par Tati 15 est mis en route. Il est adapté a l'analyse

des instabilités par flambement et cela par son enrichissement avec une matrice des couplage

membrane- flexion nécessaire pour les problèmes des multicouches initiales ainsi que par la

matrice des contrainte initiales k .Dans le prochain chapitre nous allons validé cet élément

par des exemples le mettant en valeur.

CHAPITRE IV INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUES MUNIES D'UNE SINGULARITE . GEOMETRIQUE


41

IV.INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUE MINCES SANS OUVERTURE

Dans ce chapitre nous avants testé sur plusieurs exemples. La fiabilité de

L'élément a 4noeuds pour le calcul des efforts externes en élasticité plane,

Nous vérifions dans cette section l’efficacité de ce programme sur plusieurs exemples de

flambement de plaque pour le calcule la charge critique de flambage.

IV.1 présentation de problèmes

Les plaques étudiées sont des plaques isotropes ou des plaques orthotropes stratifiées,

simplement supportées, les chargements utilisés sont : la compression uniaxiale, la

compression bi axiale et le cisaillement pur.

Avec des sections carrées et rectangulaires a/b = (1, 1.5, 2), les caractéristiques géométriques

a=20cm et b = 20 cm, un'épaisseur de la plaque h = 20 mm et avec des caractéristiques

mécaniques pour le cas isotrope E = 27 /102 cmNx , G = 7692307.7N/cm2 et 3.0

Mais pour le cas stratifié, les caractéristiques mécaniques sont : 52 10123xE N/ 2cm

, 52 102.8 xE N/ 2cm , G = 5101.4 x N/ 2cm et 25.0 .

Cette plaque est composée de six couches avec une épaisseur h = 1,75 mm. Les orientations

des fibres comme suit : des fibres comme suit : [902/0]s, et les chargement utilisés sont : la

compression uni axiale, la compression bi axiale et le cisaillement pur, définis à la figure

(IV.1a). L'état de distribution des efforts internes XYYX NNN ,, (fig IV.1a) se calcule par le

programme d'élasticité plane en utilisant l'élément à 4 noeuds.

Pour les plaques stratifiées orthotropes, nous avons étudié les cas d'une plaque orthotrope

simplement supportée, avec des sections carrées et rectangulaires, les chargements utilisés

sont la compression unie axiale, la compression bi axiale et le cisaillement pur.

Pour chacun des problèmes étudiés, nous avons calculé la charge critique, la convergence de

cette charge critique vers la solution exacte en fonction de nombre N d'élément utilisés, en

comparant les solutions analytiques (Timoshenko et Gere) 16 avec celles obtenues par la

méthode des éléments finis.

Les maillages N généralement utilisés dans cette section sont N=2*4, 4*4,5*5 ,8*8, 10*10

IV.1.a Le cas isotrope :

Les solutions analytiques des charges critiques crN pour les cas étudiés peuvent être

présentées sous forme :Timonchenko et Gere 16 :



42

2

2

bDN acr

Timonchenko et Gere 16 (4.1)

Où a est un coefficient qui dépend du rapport ba , du chargement, des conditions d'appui et

l'anisotropie de la plaque.

D: la rigidité flexionnelle des la plaque D=)1(12 2

3

h

b: est le cote de la plaque perpendiculaire ou chargement

a: est le cote de la plaque parallèle ou chargement

Les valeurs de a dans Timoshenko et Gere 16 sont parfois données sous forme

littérale,parfois en valeur numidique; voici les formules littérales que nous avons pu relever

pour les plaques isotropes simplement supportées, soumise au chargement suivantes :

- compression uniaxiale (fig. IV.1a)

22

ba

mn

abma Timoshenko et Gere 16 (4.2)

- Compression biaxiale Yx NN (fig IV.1b)

2

2

22 n

abma Timoshenko et Gere 16 (4.3)

- Cisaillement pur (fig IV.1c)

32

3aba

m n p qqpmn

m nmn

nqnmmnpqaa

bn

ama

)()( 2222

1 12

2

2

2

(4.4)

Ou m q et n q sont des entiers impaire (Timoshenko et Gere 16 )

m, n Représentent dans la formule ci-dessus le nombre de demi-mondes sinusoïdaux

respectivement dans les directions parallèles et perpendiculaires au chargement.



43

IV.1.b la plaque stratifiée orthotrope

Pour la plaque stratifiée orthotrope simplement supportée, soumise a' une compression

uniforme sur chaque coté, de résultantes yx NetN , aucune charge latérale n'étant exercé

( 0q ). (fig IV.1a), la valeur analytique crF d'après witney 17 :

- compression uniaxiale (fig.IV.1a)

2222

422

226612

4112 22

RnmaRnDRnmDDmD

N cr

witney 17 (4.5)

R: ba est le rapport longueur sur largeur de la plaque

m; nombre de demi onde sinusoïdales dans la direction parallèle au chargement

n; nombre de demi onde sinusoïdales dans la direction perpendiculaire au chargement

b: est le cote de la plaque perpendiculaire ou chargement

a: est le cote de la plaque parallèle ou chargement

La charge critique de flambement correspond aux valeur de m et n, conduisant au valeur les

plus faible de crN nous étudiant plusieurs type de chargement

-compression unaxiale

Dans le cas d'une compression uniaxiale suivant x, nous avant α =0, et que 311

22

DD

ba

et 02616 AA , 0ijB ij , la charge critique et calculé par l'expression suivante:

witney 17

4422

2226612

41122

2

2 RnDRnmDDmDam

N cr witney 17 (4.6)

Pour m donné, la plus faible valeur de crN est donné pour n=1

2 22

2 12 6622 11xcr 2 2

22 22

D 2DD D b 1 aN m 2D a D bb m

witney 17 (4.7)

311

22

DD

ba et 02616 AA 0ijB ij , la charge critique et calculé par



44

L'expression suivante: witney 17

6612

22

2211 DDCb

DDKN cr witney 17 (4.8)

K=19.7, C=2

K et C : cœfficient Dépend des condition d'appuis

- compression biaxiale

Dans le cas d'une plaque carrée soumise à une compression biaxiale sur les deux cotés,

nous avons α=1 et R=1 .l'expression (4.5) devient :

422

226612

411222

2

2 nDnmDDmDanm

N cr

witney 17 (4.9)



45

-Nx uniforme sur la plaque -Ny=Nxy=0 Compression biaxial

Fig (IV.1) Conditions géométrique en élasticité plane pour simuler les types de sollicitation

a/b Maillage 4x2 4x4 5x5 8x8 10x10 crN analytique = a = a/b (m,n)

1

crN x 310 N/cm

1.4241

1.4401 1.4439 1.4459 1.4460 1.4461 4 (1.1)

1.5 1.5015

1.5265 1.5533 1.5674 1.5686 1.569 4.34 (2.1)

2 1.3417

1.3605 1.4156 1.4430 1.4450 1.4461 4 (2.1)

Tableau IV.1 Charge critique de flambage d'une plaque isotrope simplement appuyée

0 yw

0

x

w

0 yw

0

x

w



46

1490

1500

1510

1520

1530

1540

1550

1560

1570

1580

0 16 32 48 64 80 96 112

Nombre d'élements

Ncr

(N/c

m)

numérique

Analytique

Fig (IV.1.a) Variation de Ncr en fonction de nombre d'élément. (a /b)=1.5 Pour une plaque isotrope simplement appuyée

1320

1336

1352

1368

1384

1400

1416

1432

1448

0 16 32 48 64 80 96 112Nombre d'élements

Ncr

(N/c

m)

Ncr numérique a/b=1Ncr numérique a/b=2

Ncr analytique

Fig (IV.1.b) Variation de Ncr en fonction de nombre d'élément a /b=1, a/b=2 Pour une plaque isotrope simplement appuyée sollicitée par une

Compression uniaxiale



47

Nx=Ny uniforme sur la plaque -Compression biaxial


a/b Maillage 4x2 4x4 8x8 10x10 crN analytique a =a/b (m,n)

1 crN N/cm

713.51

721.45

723.00

723.04

723.04

2 (1.1)

Tableau IV.2: Variation de Ncr en fonction de nombre d'éléments a /b=1

Pour une plaque isotrope simplement appuyée sollicitée Par une compression biaxiale

0 yw

0 yw 0

x

w

0

x

w



48

712

714

716

718

720

722

724

0 16 32 48 64 80 96 112

Nombre d'élements

Ncr

(N/c

m)

Ncr numirique

Ncr analytique

Fig (IV.2.a) Variation de Ncr en fonction de nombre d'éléments a /b=1

Pour une plaque isotrope simplement appuyée sollicitée Par une Compression biaxiale



49

- Nxy uniforme sur la plaque Nx=Ny=0 - Cisaillement pur


Tableau IV.3: Charge critique de flambage d'une plaque isotrope Sollicitée Par une cisaillement pur

a/b Maillage 4x4 8x8 10x10 10x16 Ncr analytique err

00

a =a/b (m,n)

1

crN x 310 N/cm

2.9565

3.34071 3.3594 3.3660 3.37682 -0.3 9.35 (1.1)

1.5 2.11779

2.5336 2.5476 2.5734 2.55360 0.77 7.12 (2.1)

2 1.76651

2.3365 2.360 2.3657 2.34268 0.97 6.38 (2.1)

0 xyw

0

y

x

w

0

y

x

w

0 yxw



50

2900

2950

3000

3050

3100

3150

3200

3250

3300

3350

3400

0 16 32 48 64 80 96 112 128 144 160

Nombre d'élements

Ncr

(N/c

m)

Ncr numériqueNcr Analytique

Fig (IV.3.a) Variation de Ncr en fonction de nombre d'éléments a /b=1 Pour une plaque isotrope simplement appuyée sollicitée

Par une Cisaillement pur

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 16 32 48 64 80 96 112 128 144 160

Nombre d'élements

Ncr

(N/c

m)

Ncr numériqueNcr Analytique

Fig (IV.3.b) Variation de Ncr en fonction de nombre d'éléments a /b=1,5 Pour une plaque isotrope simplement appuyée sollicitée Par

Une Cisaillement pur



51

800

1250

1700

2150

2600

0 32 64 96 128 160 192

Nombre d'elements

Ncr

(N/c

m) Ncr Numérique

Ncr Analytique

Fig (IV.3.c) Variation de Ncr en fonction de nombre d'éléments a /b=2 Pour une plaque isotrope simplement appuyée sollicitée

Par une Cisaillement



52

Z Y

-

X

- Fig (IV.4)- La plaque stratifiée avec une orientation (90,-90, 0, 0,-90,90)

-Nx uniforme sur la plaque -Ny=Nxy=0 -Compression biaxial


0

x

w

0

x

w

0 yw

0 yw



53

a/b Maillage 4x2 4x4 5x5 8x8 10x10 Ncr analytique (m,n)

1 crN

N/cm

23.492

23.60966 23.808 23.8846 23.885 23.885 (2.1)

1.5 21.660

21.689 23.294 23.857 23.885 23.885 (3.1)

2 14.446

20.7088 20.713 23.714 23.850 23.229 (2.1) (2.1)

Tableau IV.4: Charge critique de flambage d'une plaque orthotrope stratifiée simplement appuyée Sollicitée par une compression uniaxiale

18

19

20

21

22

23

24

25

0 16 32 48 64 80 96 112Nombre d'élements

Ncr

(N/c

m)

Ncr numérique a/b=1Ncr AnalytiqueNcr numirique a/b=1,5Ncr analytiqueNcr numérique a/b=2Ncr Analytique

(Fig IV.5.a) Variation de Ncr en fonction de nombre d'éléments a /b=1, a/b=2, a/b=1,5

Pour une plaque orthotrope stratifiée simplement appuyée sollicitée par une compression uniaxiale



54

Nx=Ny uniforme sur la plaque -Compression biaxial

(Fig IV.6) Conditions géométrique en élasticité plane pour simuler les types de sollicitation

a/b Maillage 4x2 4x4 8x8 10x10 Ncr analytique (m, n)

1

crN N/cm

18.106

18.107

18.1217

18.1218

18.1218

(1.1)

Tableau IV.5: Charge critique de flambage d'une plaque orthotrope stratifiée simplement .. appuyée Sollicitée par une compression

0 yw

0

x

w

0

x

w

0 yw



55

18,10418,10618,10818,11

18,11218,11418,11618,11818,12

18,12218,124

0 16 32 48 64 80 96 112

Nombre d'élements

Ncr

(N/c

m)

Ncr numérique

Ncr analytique

Fig (IV.6.a) Variation de Ncr en fonction de nombre d'éléments a /b=1 Pour une plaque orthotrope stratifiée simplement appuyée

Sollicitée Par une compression biaxial



56

- Nxy uniforme sur la plaque Nx=Ny=0 - Cisaillement pur


a/b Maillage 4x4 8x8 10x10 10x16 analytique 1

crN N/cm

62.383

77.695 78.341 78.6105 ---------

1.5 38.608

67.1602 67.976 69.0862 ---------

2 22.625

60.577 64.388 66.160 ----------

Tableau IV.6: Charge critique de flambage d'une plaque orthotrope stratifiée simplement appuyée

Sollicitée par Cisaillement pur

0 yxw

0

x

y

w

0

x

y

w

0 yxw



57

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 30 60 90 120 150 180

Nombre d'elements

Ncr

(N/c

m)

Ncr Numériqie a/b=1

Ncr Numérique a/b=1,5

Ncr Numérique a/b=2

Fig (IV.7.a) Variation de Ncr en fonction de nombre d'éléments a /b Pour une plaque orthotrope stratifiée simplement appuyée sollicitée Par une Cisaillement pur



58

VI.1.2Discussion et conclusion: La figures (IV.1.a) présente la variation de la charge critique ( Ncr ) en fonction du

nombre d’éléments pour une plaque rectangulaire (a/b = 1.5) simplement supportée et

sollicitée par une charge uni axiale pour un type de matériau isotrope.

Les résultats obtenus, présentés sous forme de courbes, montrent que les résultats numériques

convergent vers la solution analytique. Cela ne nécessite pas d'un maillage N très grand,

généralement un maillage 10X10, et ceci correspond au deuxième mode de flambement.

Pour la figure (IV.1.b) présente la variation de la charge critique ( Ncr ) en fonction du

nombre d’éléments pour une plaque carrée et rectangulaire, (a/b = 1,2), simplement supportée

et sollicitée par une charge uni axiale pour un type de matériau isotrope.

En montre que les résultats numériques convergent vers les solutions analytiques. La

convergence des résultats de la charge critique analytique et numérique correspond au premier

monde de flambement pour la section carré, mais par contre pour la section rectangulaire

(a/b = 2) elle correspond au deuxième mode de flambement, mais donne une charge critique

identique.

La figure (VI.2.a) présente la variation de la charge critique ( Ncr ) en fonction du nombre

d’éléments pour une section carrée (a/b = 1) dans le cas d'une plaque simplement supportée

avec un chargement bi axial. La convergence de la charge crique numérique est aussi rapide,

ce qui correspond au premier mode de flambement.

Les figures (VI.3a) (VI.3b) (VI.3c) présentes la variation de la charge critique ( Ncr ) en

fonction du nombre d’éléments pour le cas d'une plaque simplement supportée avec un

chargement de cisaillement pur. Il a fallu un Maillage N =16X10, pour obtenir une erreur de.

-0.3 00 , + 0.77 0

0 et +0.9 00 sur le calcul de la petite charge critique. Cette convergence peut

s'expliquer par la nature de la formule littérale de a (équation (4.4)) qui nécessite la

somation sur plusieurs termes pour obtenir une approximation satisfaisante (Timoshenko et

Gere 15 ).

La figure (IV.5.a), montre sous forme graphique la charge critique en fonction du nombre

d’éléments pour une plaque carrée (a/b = 1) et des plaques rectangulaires (a/b = 1.5) et (a/b =

2), simplement supportée, sollicitée par une charge uni axiale, pour un type de matériau

composite. Nous remarquons que les sections (a/b = 1) et (a/b = 1.5) convergent vers la même

petite charge critique de flambage et avec des modes différents.



59

Mais pour la plaque de section rectangulaire (a/b = 2), il y a divergence vers la solution

analytique des plaques (a/b=1) et (a/b=1.5). Ceci peut s'expliquer par la nature de la formule

littérale de Ncr en fonction des paramètres c et k qui dépendent de la nature du chargement

et de la nature des conditions d'appui.

La figure (VI.6.a) présente une section carrée (a/b = 1) pour le cas d'une plaque

simplement supportée, avec un chargement biaxial. La convergence de la charge crique

numérique est aussi rapide, ce qui correspond au premier mode de flambement.

La figures (VI.7.a) montre la variation de Ncr en fonction du nombre d'éléments a /b pour

une plaque orthotrope stratifiée simplement appuyée, sollicitée par un cisaillement pur. On

voit que la courbe converge lentement vers une valeur bien déterminée, et que le flambage

des plaques stratifiées est un sujet très compliqué, alors on ne trouve de solution analytique

que pour quelque cas de stratifiés.

Conclusion:

A la lumière des cas classiques étudiés, nous concluons que le programme qu'on a étilisé

pour l'étude de l'instabilité élastique des plaques minces isotropes et orthotropes stratifiés

donne de très bons résultats pour le calcul de la charge critique.

CHAPITRE IV INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUES MUNIES D'UNE SINGULARITE ….. GEOMETRIQUE


60

IV.2 LES PLAQUES AVEC OUVERTURE :

IV-2.1 INTRODUCTION: Le besoin des ouvertures dans les sous composantes qui sont des plaques est nécessaire

pour des considérations pratiques. Par exemple les ouvertures dans les plaques composant les

structures spatiales sont utilisées comme des accès aux lignes hydrauliques. Il est toujours

nécessaire d'avoir des ouvertures loin du centre de la plaque.

Cela est souvent le cas des récipients contenant des liquides où il est nécessaire de permettre

le passage du liquide d'une chambre à une autre à travers des valves positionnées près du fond

de la partition. fig (IV.8 et 9)

IV.2.2 Présentation du problème :

Dans ce qui suit on analyse l'effet du degré d'excentricité d'un trou carré sur la charge

critique de flambage des plaques carrée (a/b = 1) et rectangulaire (a/b = 1,5) isotropes et

orthotropes stratifiées.

Pour les plaques carrée et rectangulaire avec une singularité carrée excentrée, nous avons

étudié le cas d'une plaque simplement supportée soumise à une compression uni axiale, et à

un cisaillement pur, fig. (IV. 8et9).

Pour chacun des problèmes étudiés, nous avons calculé la charge critique et comparé avec la

plaque sans défaut.

Le deuxième problème est l'étude de la variation de la charge critique de flambage d'une

plaque carrée et rectangulaire isotrope et orthotrope stratifiée avec une ouverture carrée

centrée. On considère le cas de chargement uni axiale pour les plaques simplement appuyées.

La taille de l'ouverture est exprimée par le paramètre non dimensionnel d/b, fig. (V.10) tel

que :

a - cote de la plaque parallèle au chargement.

d- longueur de l'ouverture perpendiculaire au chargement.

Remarque: on garde les mêmes caractéristiques géométriques et mécaniques des plaques

[chapitre (IV.4.1)]



61

- Nx uniforme sur la plaque avec une excentricité -Nx uniforme sur la plaque avec une excentricité

Position 1 position 2

-Compression uniaxiale

Fig (IV.8) Types de sollicitation utilise pour l étude de flambage avec singularité

a/b

Position 1 Position 2

1

310Fcrx 2/ cmN 1.30333 1.30333

1.5

1.3884 1.3884

Tableau (IV.7)- Cas isotrope la variation Fcr en fonction de la position de trou en . compression uniaxiale

a/b


1

Fcr 2/ cmN 19.4951 19.4951

1.5

19.6664 19.6664

Tableau (IV.8) Cas orthotrope la variation Fcr en fonction de la position de trou en . compression uniaxiale

1

2



62

Position 1 position 2 Cisaillement pur Fig (IV.9) Types de sollicitation utilise pour l étude de flambage avec singularité

a/b


1

310Fcrx 2/ cmN 1.8986 1.8986

1.5

1.7174 1.7174

Tableau (IV.9) Cas isotrope la variation Fcr en fonction de la position de trou en cisaillement pur

a/b


1

Fcr 2/ cmN 36.1559 36.1559

1.5

33.915 33.915

Tableau (IV.10) Cas orthotrope la variation Fcr en fonction de la position de trou en Cisaillement pur

1 2

CHAPITRE IV INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUE MUNIES D'UNE SINGULARITE . . GEOMETRIQUE


63

Fig V.10 La discrétisation d'une plaque carré Pour d/b=(0.2-0.4)

b

a

u= w = 0

v = w = 0

z

h y

x a) Simplement appuyée

Fig(V.11) Géométrie de la plaque et condition aux limites

b

a

z

h y

x

b) Encastrée u=v=w=0



64

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

b/d

Fcr (

N/c

m)

simplement appuis

encastrement

Fig IV.12 La variation Fcr en fonction b/d pour le cas isotrope (a/b=1)

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7b/d

Fcr (

N/c

m)

simplementappuisEncastrement

Fig IV.13 La variation fcr en fonction b/d pour le cas isotrope a/b=1.5



65

05

10152025303540455055606570

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8b/d

Fcr

(N/c

m)

simplement appuis

encastrement

Fig IV.14 La variation fcr en fonction b/d pour le cas stratifié a/b=1

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7b/d

Fcr (

N/c

m)

simplementappuisencastrement

Fig IV.15 La variation fcr en fonction b/d pour le cas stratifié (a/b=1.5)



66

VI.2.2 Discussion et conclusion Les tableaux (IV.7-8-9-10) montre l'effet du degré d'excentricité d'un trou carré sur la

charge critique de flambage d'une plaque carrée (a/b=1) et rectangulaire (a/b=1.2) isotrope et

orthotrope simplement supportée soumise a un chargement uniaxiale, et un cisaillement pur

on observe que la charge critique de flambement décroît dans le cas du degrés d'excentricité

e/b par apport a la plaque sont ouverture.

Les figures (IV.12) (IV.13) présente la variation de la charge critique en fonction de la

dimension de l'ouverture (d/b) pour le cas d'une plaque carré a/b=1 et rectangulaire a/b=1.5

simplement supportée et encastrée pour le cas isotrope les résultats montre pour le cas d'une

plaque carré simplement supporté avec l'ouverture d/b=0.2 la charge critique de flambage

croit d'une manière rapide puis elle décrois progressivement.

Mais par contre pour la plaque rectangulaire a/b=1.5 elle croit jusqu a quelle arrive d/b =0.6.

Le cas de l'encastrement les deux courbe présente les même allures elle décrois jusqu a

d/b=0.2 puis elle crois progressivement jusqu a d/b=0.6

Les figures (IV.14) (IV.15) présente la variation de la charge critique en fonction de la

dimension de l'ouverture (d/a) pour le cas d'une plaque carré a/b=1 et rectangulaire a/b=1.5

simplement supporté et encastre pour le cas des plaques orthotrope elle présente presque les

même allure que celle des plaques isotope sauf Pour la plaque a/b=1.5 simplement supportée

elle décroît de départ.

Conclusion:

Dans ce chapitre, on a une analyse de quelques cas des plaques munies des

singularités centrées et excentrées. Au cours de l'analyse, certains résultats montre que la

présence d'ouverture dans certaines conditions d'appuis augmente la charge critique de

flambement par rapport à celle relatives aux plaques pleines correspondantes. Les résultats ont

aussi montré que la position de l'ouverture peut avoir une influence directe sur la valeur de la

charge critique dans certaines mesures.

Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munis de singularité géométrique

67

CONCLUSION GENERALE

Pour l'analyse du comportement de flambage des plaques minces stratifiées en

matériaux composites, on a présenté un élément fini de type coque à 4 nœuds et 32 degrés de

liberté. Pour établir le comportement, on a adopté le modèle monocouche équivalente qui

consiste à déterminer le comportement de la plaque à partir des caractéristiques mécaniques

des couches constituant cette plaque considérée comme une seule couche équivalente.

La cinématique adoptée est celle de la théorie classique des stratifiés qui est l'extension de la

théorie de kirshhoff. Cette théorie ne tient pas compte des déformations dues au cisaillement

transverse.

Les variables nodales sont divisées en deux types:

les déplacements membranaires dans le plan de l'élément membranaire

isoparamétrique, qui sont interpolés par des fonctions bilinéaires.

Le déplacement transversal hors plan et ses dérivées hors plan de l'élément et ses

dérivées hors plan de l'élément plaque de type Hermet.

Dans le quatrième chapitre l'élément a été testé dans l'analyse du comportement de flambage

des plaques isotropes et stratifiées. Les résultats obtenus à travers une série d'exemples et

comparés à ceux obtenus analytiquement ont montré la bonne performance de l'élément,

notamment dans le cas de la plaque stratifiée (a/b) = 2 . La charge critique de flambage

converge vers la valeur analytique de celle de la plaque (a/b) = 1et 1.5, mais avec un mode

différent, le cas d'une compression uniaxiale simplement supporté.

Nous avons montré que la précision pour le calcul de la charge critique, diminuant pour le cas

de la plaque a/b = 1 et augmentant dans le cas des plaques (a/b) = 1.5 ou 2, tend vers la

solution analytique en fonction du nombre de maillage N pour le cas des plaques soumise à du

cisaillement pur.

En suite, nous avons montré l'effet d'une ouverture carrée excentrée sur les plaques carrées

ou rectangulaires sollicitées par une compression uniaxiale. Au cisaillement pur, la charge

critique de flambage décroît.

Pour le cas des plaques stratifiées, l'effet de la dimension de l'ouverture dépend du type de

conditions aux limites. La charge critique de flambage croit avec l'augmentation de la

dimension de l'ouverture, bien qu’elle garde la même allure pour le cas des plaques

simplement appuyées.

Bibliographie 1 Martin, James: Buckling and Postbuckling of Laminated Composite Square Plates With Reinforced Central Holes. Ph.D. Diss., Case Western Reserve Univ, 1972. 2 Knauss, J. F.; Starnes, J. H., Jr.; and Henneke, E. G., II: The Compressive

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