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UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI PARMAUNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI PARMAUNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI PARMAUNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI PARMA

Scuola di Specializzazione per l’Insegnamento Secondario

VIII ciclo a.s. 2006-2007

Indirizzo F.I.M.

Laboratorio di Didattica della Matematica

UNITA’ DIDATTICA

LA PARABOLA

Gruppo: Lazzarini Martha

Mariani Flavia

Raschellà Raffaella

Introduzione

Scopo di questa unità didattica è introdurre la definizione e alcune proprietà notevoli della parabola,

sia attraverso la geometria sintetica sia analitica. Si userà un approccio storico sia come strumento

per stimolare l’interesse sia per mostrare l’evoluzione della matematica verso la generalizzazione e

l’economicità.

Questa unità didattica è destinata a:

Istituto scolastico: Liceo Scientifico.

Anno scolastico: Terzo.

Schema dell’unità didattica

Prerequisiti

Vedi singole fasi.

Obiettivi

Obiettivi a breve termine: definizione della parabola come sezione conica

proprietà: fuoco, lato retto, tangente

definizione della parabola come luogo geometrico

equazione della parabola in casi particolari

equazione della tangente alla parabola

Obiettivi a medio termine: coniche come curve geometriche ed equazioni analitiche

trattare un problema geometrico analiticamente

Obiettivi a lungo termine: saper confrontare geometria analitica e sintetica secondo criteri di

semplicità, economicità, generalità

Fasi dell’attività

FASE TIPOLOGIA DESCRIZIONE PREREQUISITI OBIETTIVI

1 lezione frontale (1 h)

Definizione come sezione conica e proprietà lato retto

Cono, triangoli simili, triangolo inscritto in una semicirconferenza, II teorema di Euclide, teorema di Talete

Parabola come sezione di un cono, lato retto

2 attività di gruppo (2 h)

Equazione y=ax2 da definizione precedente; proprietà della tangente per via sintetica e per via analitica

sistema cartesiano, equazione di una curva, equazione di una retta per due punti, triangoli congruenti e triangoli simili, tangente.

Equazione y=ax2, proprietà della tangente. Traduzione di un problema geometrico in analitico. Confronto metodi sintetici e analitici

3 attività di gruppo (2 h)

Lettura brano da “Lo Specchio Ustorio”. Pproprietà del fuoco

Legge della riflessione Fuoco, proprietà del fuoco. Evoluzione del linguaggio matematico nella storia


Definizione come luogo geometrico. Equivalenza delle due definizioni per via sintetica e analitica

Luogo geometrico. Visione completa della parabola e delle sue proprietà. Traduzione di un problema geometrico in analitico


Equazione generale y=ax2+bx+c ; caso di asse parallelo ad asse x; curva y=sqrt(ax+b). Equazione tangente in un punto

traslazioni in un sistema di riferimento cartesiano; luogo geometrico

equazione in diversi casi, equazione tangente generalizzabile a tutte le curve quadratiche


Applicazioni: specchio parabolico (mirage); disequazioni di II grado

proprietà analitiche della parabola e delle disequazioni di II grado; legge della riflessione

Applicazioni in fisica (specchi parabolici) Applicazioni in algebra (disequazioni II grado)

.

Scheda insegnante

Introduzione storica

Le tre sezioni coniche, parabola, iperbole ed ellisse, comparvero per la prima volta nel quarto secolo

a.C. nei lavori del matematico greco Menecmo che cercava di risolvere il problema della

duplicazione del cubo. Menecmo costruì le coniche come intersezione di un piano con tre tipi

differenti di cono circolare retto. Si sa che anche Euclide (300 a.C.) scrisse un libro in quattro volumi,

ora perduto, sulle sezioni coniche. Le coniche erano conosciute da circa un secolo quando Archimede

(287 a.C.-212 a.C.) calcolò l’area dell’ellisse, l’area del segmento parabolico, e il volume dei segmenti

dei solidi di rotazione delle coniche. Il terzo grande matematico dell’età d’oro della matematica

greca, Apollonio da Perga (262 a.C.-190 a.C.), scrisse un’opera in otto volumi intitolata “Coniche”, di

cui sono rimasti i primi sette. Questo libro consolidò molto del lavoro precedente sull’argomento e

aggiunse nuovi risultati sulla teoria e le proprietà di queste curve. Apollonio fu il primo ad affermare

che tutte le coniche si possono ottenere da un unico cono a doppia nappa variando l’inclinazione del

piano secante. Fu inoltre il primo a introdurre i nomi parabola, iperbole ed ellisse. Nel 320 d.C.

Pappo di Alessandria scrisse un libro in otto volumi intitolato “Collezione matematica”, dove, nel

settimo, dimostrò che il rapporto tra la distanza di ogni punto di una conica da un punto fisso (il

fuoco) e una retta (la direttrice) è una costante (l’eccentricità). Distinse quindi l’ellisse, la parabola e

l’iperbole come coniche di eccentricità rispettivamente <1, =1, >1.

La riedizione delle “Coniche” di Apollonio nel 16o secolo contribuì alla rinascita della geometria. Fu

in questo periodo che si cominciò a definire le coniche come luoghi di punti nel piano anziché sezioni

di un piano secante un cono. Per esempio, nel 1579 Guidobaldo del Monte definì l’ellisse come luogo

dei punti tali che la somma delle distanze dai due fuochi è costante. Lo sviluppo della geometria

analitica stimolò ulteriormente lo studio delle coniche. Sia Isaac Newton sia Leonard Euler estesero le

idee di Cartesio sullo studio e classificazione delle sezioni coniche. Nel 1656, il matematico inglese

John Wallis propose la prima analisi delle coniche come curve di second’ordine.

Le sezioni coniche hanno molte applicazioni. Apollonio sviluppò l’emiciclo, una specie di meridiana,

usando una superficie basata su una sezione conica su cui erano inscritte le linee delle ore.

Durante il decimo secolo i matematici indiani studiarono le proprietà ottiche degli specchi di forma

di sezioni coniche, in particolare la proprietà di uno specchio concavo ellittico di riflettere la luce o il

suono proveniente da una sorgente posta in un fuoco nell’altro fuoco, e la proprietà di uno specchio

parabolico di riflettere la luce o il suono proveniente da una sorgente posta nel fuoco in raggi

paralleli. Questo principio è applicato oggi ai fanali delle automobili o alle antenne.

Omar Khayyam (1048-1131) trovò un metodo geometrico per risolvere equazioni cubiche usando le

coniche. Mentre bisogna aspettare il 1545 perché Girolamo Cardano pubblicasse una formula

algebrica generale per risolvere le equazioni cubiche.

Le coniche sono coinvolte anche in astronomia. La prima legge di Keplero sul moto dei pianeti,

dedotta empiricamente nel 1609 dai dati osservativi raccolti negli anni precedenti, afferma che la

traiettoria di ogni pianeta è un’ellisse con il sole in uno dei fuochi. Circa 80 anni dopo, Newton

dimostrò nei suoi “Principia” che l’ellisse è la traiettoria di ogni corpo in un sistema binario legato

soggetto a una forza centrale proporzionale all’inverso del quadrato della distanza.

Teoria

In questa sezione, dopo una breve introduzione per richiamare definizioni ed equazioni che

descrivono le coniche, vengono presentate in dettaglio le dimostrazioni delle proprietà principali

della parabola (lato retto, fuoco, intersezione tangente/asse, equidistanza da fuoco e direttrice), per

via sintetica e analitica, e in entrambi i sensi, cioè dalla definizione come sezione conica si dimostra la

proprietà di equidistanza da fuoco e direttrice, e dalla definizione come luogo dei punti equidistanti

da fuoco e direttrice si dimostra che la curva è una sezione conica, in modo da dimostrare anche

l’equivalenza delle due definizioni.

Introduzione

La parabola è una curva piana introdotta storicamente come sezione di un cono opportuno, e

successivamente classificata da Apollonio insieme alle altre coniche, intese come sezioni di un cono

retto, al variare dell’inclinazione del piano che lo seziona. In particolare la parabola è generata da un

piano parallelo a una generatrice del cono.

Questa definizione è equivalente a quella moderna secondo cui la parabola è il luogo geometrico dei

punti equidistanti da un punto detto fuoco e una retta detta direttrice.

Ancora più generale, è la definizione di conica come luogo geometrico dei punti con un rapporto

costante (eccentricità e) tra distanza dal fuoco e dalla direttrice. In questo modo si classificano le

coniche come aventi e<1 (ellisse), e=1 (parabola), e>1 (iperbole)

L’introduzione della geometria analitica ha permesso di classificare le coniche attraverso la loro

equazione. Si dimostra infatti che ogni curva con un’equazione di second’ordine è una conica o

degenera in una coppia di rette. L’equazione in coordinate cartesiane nella forma più generale è:

Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F = 0

Si possono distinguere i diversi casi sfruttando gli invarianti dell’equazione:

− il grande discriminante ∆=A B D

B C E

D E F

− il piccolo discriminante δ=A B

B C

La curva degenera in una coppia di rette se e solo se ∆=0, altrimenti è un’ellisse per δ>0, una parabola

per δ=0, un’iperbole per δ<0.

Dimostrazioni sintetiche: 1. da sezione a lato retto

Consideriamo il cono di vertice A, luogo delle rette che, passanti per A, intersecano il cerchio BCDE,

posto in un piano differente da A. Un piano passante per il vertice e per il centro del cerchio

determini come sezione con il cono il triangolo ABC, ove BC è un diametro del cerchio BCDE. Un

piano parallelo alla generatrice AC, intersechi il cono in modo che D, E, H siano su una corda

perpendicolare al diametro BC. Questo piano interseca il cono nella parabola EZD.

Consideriamo ora un piano parallelo al cerchio BCDE che intersechi AB in M, AC in N e la parabola

in due punti K, K’ (di cui in Figura 1 è mostrato solo K). Sia, infine L un punto su MN tale che KL sia

parallelo a DH. Cerchiamo una relazione tra i segmenti ZL e KL, che in termini moderni, fissato un

riferimento cartesiano nel piano della parabola, con origine nel vertice Z e asse y coincidente con

l’asse della parabola, sono rispettivamente l’ordinata e l’ascissa del punto K.

Figura 1. Parabola costruita come sezione del cono di vertice A.

Dalla similitudine dei triangoli ABC, AMN e ZLM segue ML/ZL=BC/AC e MN/MA=BC/AB. Per il

parallelismo tra ZL e AN, per Talete LN/ZA=ML/MZ, da cui, per le precedenti,

ML=ZL BC/AC LN=ZA BC/AB

Essendo M, K e N su un cerchio di cui MN è un diametro, MKN è un triangolo rettangolo, quindi per

Euclide II,

KL2 = ML*LN

cioè, sostituendo le precedenti:

KL2 = ZL*ZA* BC2 /(AC*AB)

La quantità ZA* BC2 /(AC*AB) è indipendente dalla scelta del punto K ed è caratteristica invece della

parabola, dipendendo dal cono e dal piano scelto per sezionarlo. Si conviene quindi considerarla la

lunghezza di un segmento ZT, detto lato retto, che si associa alla parabola.

Il significato geometrico è mostrato in Figura 2: il rettangolo che ha per lati il lato retto e l’ordinata di

un punto della parabola è equiesteso al quadrato che ha per lato l’ascissa del punto.

Figura 2. Interpretazione geometrica della proprietà del lato retto.

Dimostrazioni sintetiche: 2. da lato retto a proprietà della tangente

Preso un punto P sulla parabola di vertice V, sia P’ la sua proiezione sull’asse. Vogliamo dimostrare

che la tangente alla parabola in P interseca l’asse in un punto O tale che VO=VP’.

Si traccia la retta che passa per i punti P e O e si dimostra che è la tangente per assurdo. Supponiamo

che la retta incontri la parabola in un secondo punto Q, e chiamiamo ℓ la lunghezza del lato retto VT,

x e y l’ascissa e l’ordinata intrinseche di P, cioè le lunghezze dei segmenti PP’ e PP’’, e ∆x e ∆y i

segmenti PH e QH, rispettivamente.

Per l’appartenenza di P e di Q alla parabola,

ℓ*y = x2 (1)

ℓ*(y+∆y) = (x+∆x)2 (2)

Figura 3. Proprietà della tangente.

Per Talete, essendo P’V=VO è anche PK=KO, quindi i due triangoli rettangoli VOK e KPP’’ sono

congruenti (gli angoli VKO e PKP’’ sono opposti al vertice), quindi VK=KP’’.

Allora per la similitudine tra PKP’’ e PHQ

∆y/∆x = 2y/x = 2x2/ℓx=2x/ℓ (3)

Sostituendo la (3) nella (2) e svolgendo i calcoli si trova

x2 + 2x∆x = x2 + 2x∆x + ∆x2 (4)

Si vede che l'uguaglianza è valida solo per ∆x=0, cioè per P e Q coincidenti.

Dimostrazioni sintetiche: 3. Proprietà del fuoco (brano di Cavalieri)

Segue una traduzione e sintesi del brano da “Lo specchio ustorio” di

Cavalieri in cui viene dimostrato che tutti i raggi paralleli all’asse

vengono riflessi in un unico punto, che dista dal vertice ¼ della

lunghezza del lato retto.

Lo specchio ustorio (proprietà del fuoco)

E’ difficilissimo sapere quali e quante siano tutte le proprietà delle sezioni

coniche, così come quelle di altri tipi di curve e figure, ma credo che si possano

conoscere almeno le principali con l’aiuto della geometria. Perciò nei seguenti

capitoli ne esamineremo qualcuna tra le più belle, che risultano anche utili, delle

quali alcune sono state già dimostrate, altre ancora non conosciute.

Cominceremo dalla Parabola.

Data la Parabola AQY di asse AV, si consideri QY, perpendicolare all’asse AV. Si

prendano su QY due punti arbitrari G e X e si traccino da essi le parallele all’asse

che intersecano la Parabola nei punti M e Z. Si considerino GM e XZ come raggi incidenti e M e Z i punti di incidenza.

Si verifica la seguente ammirabile proprietà: i raggi riflessi si incontrano in un unico punto I.

Per dimostrarlo, dimostriamo prima le seguente proprietà:

Il punto I è tale che la sua distanza dal vertice IA è la quarta parte del lato retto AT.

Questa proprietà è già stata dimostrata da altri (Vitellone nella sua ‘Prospettiva’; da Marin Ghetaldo nel libro dello

specchio Ustorio), tuttavia ne riporto la dimostrazione.

Teorema:

− IP: Si traccino le tangenti alla Parabola nei punti M e Z che intersecano il prolungamento dell’asse

rispettivamente nei punti N e O.

− IP: Siano C e P le proiezioni di M e Z sull’asse AV

− IP: Sia I l’intersezione tra il raggio riflesso da Z e l’asse AV

− TESI: IA = ¼ AT

Dimostrazione:

L’angolo XZS, è congruente all’angolo OZI per la legge della riflessione;

Ma l’angolo XZS è congruente a IOZ perché corrispondenti.

Allora, per la proprietà transitiva della congruenza, OZI ≅ IOZ

Quindi il triangolo OIZ è isoscele di base OZ

Quindi IO ≅ IZ

Inoltre, PA ≅ AO per il teorema 35 del capitolo I dei Conici di Apollonio.

Sia PAI il segmento PA + AI. Essendo PA = AO, OI = PAI

Essendo AP=AI+IP, il quadrato composto dai 4 rettangoli di lati AP e AI e dal quadrato di lato IP è congruente al

quadrato di lato OI:

4(PA•AI)+PI2=PAI2=OI2 (1)

OI = IZ perché abbiamo dimostrato che OIZ è isoscele. Quindi per Pitagora:

IP2 + PZ2 = IZ2 = OI2 (2)

Dalle (1) e (2) segue che

PZ2 = 4(PA⋅AI). (3)

D’altra parte, per definizione di lato retto,

PZ2 = AT⋅PA. (4)

Dalle (3) e (4) segue la tesi:

4(PA⋅AI) = AT⋅PA da cui

AT = 4 AI

QED

Si può dimostrare che per ogni punto sulla parabola, ad esempio M, la riflessa interseca l’asse in un punto I’ tale che

AI’ è ¼ di AT, quindi tutte le riflesse intersecano l’asse nello stesso punto I, che chiamiamo fuoco della Parabola.

Dimostrazioni sintetiche: 4. Equidistanza da fuoco e direttrice

A

I

I

P

Se si prende una retta che dista dal vertice quanto la distanza vertice-fuoco VF (Figura 4), si dimostra

con i risultati precedenti che ogni punto della parabola è equidistante da retta e fuoco.

Figura 4. Dimostrazione dell’equidistanza di ogni punto P della parabola da fuoco F e direttrice.

per la proprietà del lato retto PP’2 = VT*PP’’

per il teorema dimostrato da Cavalieri PP’2 = 4FV*PP’’ = 4FV*(FV+FP’) = 4FV2 + 4FV*FP’ (*)

per il teorema di Pitagora PF2 = FP’2 + PP’2

PH2 = (2FV+FP’)2 = FP’2 + 4FV2 + 4FV*FP’

per la (*) PF2 = PH2

QED.

Dimostrazioni sintetiche: 5. da luogo geometrico a proprietà del fuoco

In riferimento alla

Figura 5. Dimostrazione della proprietà

della riflessione a partire dalla

definizione come luogo geometrico


della tangente a partire dalla definizione

come luogo geometrico

, se si dimostra che la tangente è la bisettrice di FPH, prolungando HP e considerando gli angoli

opposti al vertice KPH e α segue immediatamente che i raggi paralleli all’asse si riflettono nel fuoco.

Supponiamo che la bisettrice di FPH non sia tangente ma intersechi la parabola in Q. Allora per

l’appartenenza di Q alla parabola QF=QH’, mentre per l’appartenenza di Q alla bisettrice di FPH, che

è anche l’asse di FH perché il triangolo FPH è isoscele, QF=QH, cioè dovrebbe essere QH=QH’,

impossibile perché cateto e ipotenusa dello stesso triangolo rettangolo QHH’.

Dimostrazioni sintetiche: 6. da luogo geometrico a proprietà della tangente

Per la (5), la tangente è bisettrice di FPH. Inoltre per definizione FP=PH, quindi FPH è un triangolo

isoscele e PH è altezza e mediana.

Considerati i triangoli HPK e OKF, sono rettangoli, hanno FK=KH e FOK=KPH perché alterni interni,

quindi sono congruenti e in particolare PH=FO.

D’altronde FO=FV+VO e PH=PP’’+P’’H=VP’+VH’, inoltre VH’=FV perché il vertice è equidistante da

fuoco e direttrice, quindi VO=VP’, QED.


della riflessione a partire dalla

definizione come luogo geometrico




Dimostrazioni sintetiche: 7. da luogo geometrico a lato retto

Dimostriamo che per ogni punto P sulla parabola definita come luogo dei punti equidistanti da fuoco

F e direttrice, vale PP’2 = PP’’*4FV; essendo la quantità 4FV indipendente dal punto scelto, possiamo

considerarla come lunghezza di un segmento associato alla parabola, il lato retto.

per il teorema di Pitagora PF2 = FP’2 + PP’2

per costruzione e per definizione PH2 = (PP’’+HP’’)2 = (PP’’+FV)2

per costruzione FP’2 = (PP’’-FV)2

per definizione della parabola PF2 = FP’2 + PP’2 = (PP’’-FV)2 + PP’2 = PH2 = (PP’’+FV)2

da cui PP’2 = PP’’*4FV

QED.

In questo modo abbiamo dimostrato l’equivalenza delle due definizioni, come luogo geometrico dei

punti equidistanti da fuoco e direttrice, e come luogo dei punti per cui il quadrato sull’ascissa è

equivalente al rettangolo costruito su ordinata e lato retto. Per dimostrare l’equivalenza tra la

definizione come luogo e come sezione conica, bisogna trovare una costruzione a partire da una delle

due definizioni precedenti, del cono di cui la parabola è sezione. Data una parabola γ su un piano Π,

si può sempre costruire un cono χ’ che abbia una generatrice parallela a Π. La sezione di questo cono

in generale non è la parabola γ, ma una parabola γ’ che si può trasformare in γ con un’omotetia,

sfruttando il fatto che tutte le parabole sono simili. Siccome le omotetie conservano il parallelismo, la

stessa omotetia trasformerà il cono χ’ nel cono χ che ha per sezione γ.

Dimostrazioni per via analitica

Alcune dimostrazioni analitiche sono rapide e dirette, altre, anche se lunghe, hanno comunque il

vantaggio di non dover cercare una dimostrazione ad hoc, ma di applicare delle tecniche note,

perché una volta trovata l’equazione della curva sfruttando una proprietà caratterizzante, si ricavano

le altre proprietà.

1. Da proprietà del lato retto (di lunghezza ℓ) a equazione:

y*ℓ=x2 da cui y=x2/ℓ

2. Da equazione a proprietà della tangente

Con riferimento alla Figura 3, si dimostra che la retta PO non può incontrare la parabola in un

punto Q distinto da P:

PO: (y-yP)/ (x-xP)= (yO-yP)/ (xO-xP) da cui, essendo O(0,-yP), y=2yP/xP * x - yP

Dovendo le coordinate di Q e di P soddisfare sia l’equazione di PO sia della parabola, y=ax2,

yQ = 2yP/xP * xQ - yP = axQ2

2axP2/xP * xQ - axP2 = axQ2

2xPxQ – xP2 = xQ2

(xP – xQ)2 = 0

verificata solo per P e Q coincidenti.

Da notare che questa dimostrazione risulta semplice solo “traducendo” analiticamente la

versione sintetica. Una dimostrazione algoritmica, che costruisse l’equazione della tangente dal

sistema tra equazione della parabola ed equazione di una retta passante per P, e cercasse di

verificare che la retta trovata (imponendo che il sistema abbia due soluzioni coincidenti) interseca

l’asse y in un punto O(0; -yP), è più complicata e ci si può perdere in lunghi calcoli se non si fanno

delle considerazioni iniziali e se non si sostituisce al momento giusto y=ax2, accorgimenti che

possono non risultare evidenti agli studenti.

Si può infatti considerare che la tangente in P a una parabola con asse coincidente con l’asse y

non può essere parallela all’asse y, quindi si può scrivere l’equazione della tangente come quella

di una retta passante per P e un punto O(0, q):

p: y=ax2

t: y = (q-yP)/xp * x + q

Mettendo a sistema e annullando il discriminante dell’equazione risolvente:

∆ = q2 + yP2 -2qyP + 4aqyP2 = 0

sostituendo yP = axP2,

∆ = q2 + yP2 +2qyP = (q+yP)2 = 0

da cui la tesi, cioè q=-yP.

3. Unicità del fuoco (come punto di intersezione con l’asse di raggi paralleli riflessi) e FV=L/4

Data la parabola di equazione y=ax2 definiamo fuoco il punto F(0,1/4a) e dimostriamo che la tangente

è bisettrice dell’angolo tra PF e la parallela all’asse y per P

Figura 5. Dimostrazione della proprietà della

riflessione a partire dalla definizione come luogo

geometrico




).

PF: ( )1

40

P

P P

P

yay y x x

x

−− = −

−

(4ayP - 1)x – 4axPy + xP = 0

La retta parallela all’asse y passante per P è:

x=xP x-xP=0.

La bisettrice dell’angolo FPH deve essere equidistante da queste due rette, quindi:

( )( ) P

PP

PPPxx

xaxa

xyaxxxa−=

+−

+−−

22222

22

1614

414

avendo sostituito yP=axP2. Il denominatore si può scrivere come:

( ) ( )2 22 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 24 1 16 16 1 8 4 1 4 1P P P P P Pa x a x a x a x a x a x− + = + + = + = +

quindi:

( )P

P

PPPxx

xa

xyaxxxa−=

+

+−−

14

41422

22

(scegliendo il caso col segno meno:)

( )P

P

PPP xxxa

xyaxxxa−=

++−−

−14

41422

22

( ) ( ) ( ) PPPPPP xxaxxaxyaxxxa 1414441 222222 +−+=−+−

0448 3222 =−− PPP xayaxxxa

2 22 P

P P P

P

yy ax x ax x y

x= − = −

che è l’equazione della tangente in P(xP,yP) per la (2).

4. Dalle precedenti a equidistanza da fuoco e direttrice (Figura 4):

PH2 = (y + L/4)2 = (x2/L + L/4)2 = y2 + L2/16 + x2/2

PF2 = x2 + (y – L/4)2 = y2 + L2/16 - x2/2 + x2

da cui PH2 = PF2

5. Da equidistanza a equazione (Figura 4):

Data la direttrice di equazione y=-d,

(y+d)2 = x2 + (y-d)2

y=x2/(4d)

da cui si ritrova subito, all’inverso, anche L=4d. Quindi l’equivalenza tra le due definizioni in

geometria analitica segue immediatamente dal fatto che entrambe portano allo stesso tipo di

equazione, che descrivono quindi la stessa curva.

La generalizzazione per il caso di vertice non nell’origine è banale applicando una traslazione

degli assi oppure imponendo la condizione di equidistanza a questo caso.

6. Da cono a parabola (Figura 7)

Un cono di equazione x2 + y2 – az2 = 0 viene tagliato dal piano Π di equazione z = my+b. Con

questa scelta degli assi, a=tgθ, con θ semiapertura del cono, e m=tgφ, con φ angolo tra Π e il piano

xy. Sostituendo l’equazione del piano in quella del cono si trova l’equazione della sezione conica:

x2/a2 + y2 (1/a2-m2) -2mby – b2 = 0

che dipendendo da due variabili rappresenta una curva piana. Nel caso della parabola Π è

parallelo a una delle generatrici, quindi θ+φ=π/2 da cui tgθ=cotgφ, da cui m=1/a e l’equazione si

riduce a quella di una parabola:

y = 1/(2ab)x2 – ab/2

Figura 7. Grafico cartesiano di un cono di equazione az2=x2+y2 sezionato da un piano Π di

equazione z=y/a+b.

x

y

θθθθ

φφφφ

z

ΠΠΠΠ

Descrizione dell’attività

Fase 1: Definizione come sezione conica e proprietà lato retto

Ostacoli:

• Lavorare senza un sistema di riferimento (o meglio con un sistema di riferimento implicito);

• Didattici: Non far visualizzare la parabola come una curva piana.

Scaletta

• Brevissima introduzione storica

• Richiami delle definizioni di cono, direttrice, generatrici

• Definizione di parabola come sezione conica

• Dimostrazione della proprietà del lato retto

Lezione

Facciamo un salto nella matematica greca, quando ancora non c’era il piano cartesiano.

La definizione di cono come viene data ancor oggi si deve ad Apollonio, che lavorava senza piano

cartesiano. Apollonio, dato un cerchio C ed un punto A non appartenente al piano del cerchio, definì

cono il luogo delle rette che passano per A ed intersecano il cerchio. A è il vertice del cono.

Figura 8. Parabola costruita come sezione del cono di vertice A.

Dato un cono, non necessariamente retto (Figura 8), consideriamo un piano passante per il vertice A

e per il centro del cerchio C. Questo individua un triangolo ABC la cui base BC è un diametro del

cerchio C. I due lati AB ed AC sono le generatrici del cono.

Consideriamo un ulteriore piano, parallelo alla generatrice AC, a cui appartiene la corda ED

perpendicolare al diametro BC. L’intersezione di questo piano ed il cono individua la parabola EZD.

Definiamo parabola la curva ottenuta sezionando un cono con un piano parallelo a un generatrice

del cono.

Vediamo ora in che modo possiamo descriverla per cercare di capire quali sono le sue proprietà.

Consideriamo un piano parallelo al piano a cui appartiene il cerchio C che interseca AB in M, AC in

N e la parabola nei punti K e K’ e consideriamo il punto L che si trova sulla retta MN ed è tale che il

segmento KL è parallelo a DE. Vogliamo studiare la relazione tra ZL e KL perché al variare di questo

piano il punto K descrive la parabola. (Apollonio in realtà enuncia questa relazione e la dimostra in

seguito, noi invece la ricaviamo subito)

Consideriamo il triangolo ABC. MN è parallelo ad BC e quindi il triangolo ABC è simile al triangolo

AMN. ZL è parallelo ad AN (perché ZL appartiene al piano parallelo ad AC) quindi il triangolo

AMN è simile al triangolo ZML e, per la proprietà transitiva della similitudine, il triangolo ABC è

simile al triangolo ZML e quindi (per definizione di similitudine):

ML:ZL=BC:AC

ML=ZLAC

BC⋅ .

MN:ML=AM:ZM

(per la proprietà dello scomporre, essendo MN>ML ed AM>ZM, oppure con il teorema di Talete,

come nel paragrafo di teoria)

(MN-ML):MN=(AM-ZM):AM

LN:MN=AZ:AM

LN=AZAM

MN⋅ ,

ma:

MN:AM=BC:AB

AB

BC

AM

MN =

Quindi:

LN=AZAB

BC⋅ .

Ma i punti M, N e K appartengono allo stesso cerchio di diametro MN e quindi il triangolo MNK

(inscritto alla semicirconferenza MNK) è retto e l’altezza relativa ad MN è KL, cioè KL ed MN sono

perpendicolari (perché MN è parallelo a CB, KL è parallelo a DE e DE è perpendicolare a BC per

costruzione) (quindi per il II teorema di Euclide)

ABAC

BCAZZL

AB

BCAZ

AC

BCZLLNMLKL

⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅=

22 .

A questo punto abbiamo trovato la relazione tra KL e ZL che cercavamo che dipende dalla quantità:

AZABAC

BC

⋅⋅

2

, indipendente dal punto K, ma caratteristica della parabola perché dipende dal cono e

dal piano scelto per sezionarlo, quindi possiamo vederlo come la lunghezza di un segmento ZT che

chiameremo lato retto, che ci permette di scrivere la relazione precedente come:

ZTZLKL ⋅=2 (1)

che geometricamente esprime una relazione di equiestensione tra un quadrato di lato KL ed un

rettangolo di lati il lato retto ZT e ZL.

Al variare del piano parallelo al piano del cerchio C, otteniamo che questa relazione descrive la

parabola ZED.

Il punto Z è detto vertice della parabola e la retta ZH asse della parabola.

Fase 2: Equazione y=ax2 da definizione precedente; proprietà della tangente per via sintetica e per via

analitica

Ostacoli:

• Difficoltà nel lavorare senza sistema cartesiano e nello scegliere quello opportuno, con

apparente di mancanza di dati se il riferimento scelto è generico.

• Epistemologici: dimostrazioni non costruttive.

• Didattici: misconcetti sulla tangente.

Scaletta

• Introduzione all’attività

• Lavoro di gruppo: determinare l’equazione della parabola

• Discussione collettiva dei risultati e istituzionalizzazione

• Lavoro di gruppo: dimostrazione della proprietà della tangente per via sintetica e analitica

• Confronto delle due dimostrazioni (economicità, semplicità, generalità…) e

istituzionalizzazione

Lezione

Abbiamo visto che la relazione:

ZTZLKL ⋅=2 (1)

descrive la parabola e l’abbiamo ottenuta utilizzando la geometria sintetica, come aveva fatto

Apollonio e non la geometria analitica. Ma noi oggi abbiamo il piano cartesiano quindi possiamo

determinare l’espressione analitica che descrive la parabola e lo possiamo fare sulla base di quanto

già detto.

Consegna 1: Data una parabola qualunque di lato retto ℓ, che s’ottiene intersecando un cono retto

con un piano parallelo ad una delle generatrici, determina la sua espressione analitica fissando un

opportuno sistema di riferimento cartesiano.

Rilanci:

1. Se non riescono a determinare il riferimento cartesiano opportuno, fargli notare che nello

studio teorico variava il punto K sulla parabola e di conseguenza L su MN (Figura 8), ma

c’era un punto fisso a cui abbiamo riferito tutto;

2. Se hanno ulteriori difficoltà a determinare il sistema di riferimento cartesiano opportuno,

suggerirgli di considerare l’origine in Z e come asse y l’asse della parabola MN.

Istituzionalizzazione: Determinazione dell’espressione analitica:

y=ax2

con a=1/ℓ e disegnarla.

Tornando al lavoro di Apollonio. Lui dimostra che la tangente in un punto P della parabola interseca

l’asse della parabola in un punto O tale che VO è congruente a VP’, ordinata di P (Figura 9).

Figura 9. Proprietà della tangente.

Consegna 2:

a. Un gruppo dimostrerà questa proprietà della tangente per via sintetica;

b. L’altro gruppo la dimostrerà per via analitica.

Rilanci:

a. Suggerire di procedere per assurdo. Nel caso ce ne sia bisogno suggerire di individuare

congruenze e similitudini tra i triangoli che si formano;

b. Se cominciano a determinare l’equazione della tangente col “metodo del sistema” e affogano

nei calcoli, si possono suggerire delle considerazioni che semplificano i calcoli (vedi teoria);

oppure si può suggerire di procedere per assurdo (vedi teoria)

Istituzionalizzazione: Confronto tra le due dimostrazioni. Notare che questa proprietà può essere

usata per trovare la tangente alla parabola in un punto semplicemente determinando la retta che

passa per il punto di tangenza e per il punto che interseca l’asse della parabola ad una distanza dal

vertice pari all’ordinata. Inoltre la tangente alla parabola in un punto P(xp, yp) interseca l’asse x del

sistema cartesiano precedentemente considerato nel punto (xp/2, 0).

Fase 3: Lettura brano da “Lo Specchio Ustorio” proprietà del fuoco

Ostacoli:

• Difficoltà nell’interpretare il brano e nel ricostruire la dimostrazione

Scaletta

• Lavoro di gruppo: lettura del brano

• Istituzionalizzazione: analisi del brano

• Lavoro di gruppo: stessa dimostrazione per via analitica

• Confronto delle due dimostrazioni (economicità, semplicità, generalità…) e

istituzionalizzazione

Lezione

Consegna 1: Leggere il brano tratto da “Lo Specchio Ustorio” e ricostruire la dimostrazione. Viene

consegnata la traduzione come supporto

Istituzionalizzazione: analisi del brano: far notare differenze rispetto alla matematica attuale (es

uguale invece di congruente, concetto di applicate, linguaggio prolisso invece che simbolismo

sintetico)

Consegna 2: Dimostrare la proprietà del fuoco analiticamente.

Rilanci:

1. Suggerire di determinare le coordinate del fuoco F e di dimostrare che la tangente alla

parabola nel punto P è bisettrice dell’angolo FPH che ha per lati FP e la parallela all’asse y

passante per P (interessandoci la riflessione dei raggi paralleli alla parabola);

2. Nel caso di ulteriori problemi suggerire di determinare la bisettrice e verificare che è la

tangente.

Istituzionalizzazione: Proprietà del fuoco; confronto delle due dimostrazioni: semplicità, analogie,

generalità…

Fase 4: Definizione come luogo geometrico; equivalenza delle due definizioni per via sintetica

Scaletta

• Utilizzo delle proprietà geometriche per dimostrare l’equidistanza da fuoco e direttrice

• Definizione come luogo geometrico

• Dimostrazione per via sintetica dell’equivalenza delle due definizioni

• Dimostrazione per via sintetica delle proprietà dalla definizione come luogo (vantaggio della

definizione come luogo)

• Dimostrazione per via analitica delle proprietà dalla definizione come luogo (traduzione di

un problema geometrico in algebrico)

Lezione

Abbiamo definito la parabola come una certa sezione di un cono, il fuoco come il punto sull’asse

della parabola in cui si riflettono tutti i raggi paralleli all’asse ed abbiamo anche dimostrato una

proprietà della tangente.

Ora consideriamo una retta la cui distanza dal vertice è pari alla distanza fuoco-vertice VF.

Dimostriamo per via sintetica che ogni punto della parabola è equidistante dal fuoco F e da questa

retta.

Sia P un punto qualsiasi della parabola, allora:

VP’’2=VP’*VT.

Ma nella dimostrazione di Cavalieri vista nella lezione precedente:

PP’2=4VP’*VF=4VF(P’F+VF)=4VF2+4VF*P’F.

Ma per il Teorema di Pitagora:

FP2=FP’2+PP’2=FP’2+4VF2+4VF*P’F.

Inoltre (essendo VH ≅ VF per costruzione):

PH2=(P’F+VF+VH)2=(FP’+2VF)2=FP’2+4FV2+4VF*FP’=FP2

e quindi: PH ≅ FP, cioè ogni punto della parabola è equidistante dal fuoco F e da questa retta d detta

direttrice. Siamo arrivati così alla definizione “moderna” di parabola, non più come sezione ma come

luogo geometrico:

Definizione: La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto detto

fuoco e da una retta detta direttrice.

Ovviamente le due definizioni di parabola che abbiamo dato, la prima come sezione e questa come

luogo, devono essere equivalenti. Per ora abbiamo ottenuto la definizione come luogo a partire dalla

definizione come sezione, ora vediamo il viceversa.

Consideriamo quindi un punto P della parabola definita come luogo dei punti equidistanti dal fuoco

F e dalla direttrice d, quindi:

PH2=PF2=P’F2+PP’2

(PP’’+P’’H)2=(VP’-VF)2+PP’2

(PP”+VF)2=(PP”-VF)2+PP’2

PP”2+VF2+2VF*PP”=PP”2+VF2-2PP”*VF+PP’2

PP’2=PP”*4VF

Con 4VF indipendente dal punto P scelto quindi può essere vista come lunghezza di un segmento

associato alla parabola, il lato retto. Abbiamo così ritrovato la definizione di parabola come sezione e

quindi abbiamo dimostrato l’equivalenza delle due definizioni.

A questo punto siamo sicuri che, fissando un opportuno sistema di riferimento cartesiano e

ricavando l’equazione della parabola secondo quest’ultima definizione, ritroviamo l’equazione già

ricavata con la prima definizione. Avevamo già fissato un sistema di riferimento cartesiano che aveva

l’asse y coincidente con l’asse della parabola e l’origine nel vertice, in questo caso la direttrice risulta

parallela all’asse x ed allora questo riferimento cartesiano risulta comodo anche in questo caso perché

il vertice ha coordinate V(0, 0) l’asse di simmetria ha equazione x=0 e se indichiamo con p=d(F, d)

(p ≠ 0) il fuoco ha coordinate F(0, p/2) e la direttrice ha equazione y=-p/2 e quindi se P(x, y) è un

punto qualsiasi della parabola, l’equazione della parabola applicando la definizione come luogo è:

d(P, F)=d(P, d)

−−=

−+22

22 p

yp

yx

222

22

+=

−+ py

pyx

x2+y2+4

2p-py=y2+

4

2p+py

x2-2py=0

y=p2

1x2

y=ax2 con a=p2

1

e quindi ritroviamo l’equazione della parabola e le coordinate del fuoco F(0, p/2)=(0, 1/4a),

l’equazione della direttrice è quindi: y=-1/4a ed inoltre a=1/ℓ=1/2p, cioè: ℓ=2p e quindi il lato retto è il

doppio della distanza del fuoco dalla direttrice.

Consegna: come esercizio per casa dimostrare per via sintetica e per via analitica la proprietà del

fuoco e della tangente a partire dalla definizione come luogo geometrico

Istituzionalizzazione: vantaggi della definizione come luogo nella dimostrazione delle proprietà

Fase 5: Equazione generica y=ax2+bx+c; caso di asse parallelo ad asse x; curva y=sqrt(ax+b)

Scaletta

• Equazione della parabola riferita agli assi e significato del coefficiente di secondo grado (1-2)

• Equazione generale della parabola con asse parallelo all’asse y (3)

• Equazione della tangente dal sistema e discriminante nullo (4)

• Equazione della parabola con asse parallelo all’asse x e grafico della curva di equazione

βα += xy (5)

Lezione

1. Sia F(0,d) e y = -d l’equazione della direttrice, sia P(x,y) un generico punto del piano. Esso, per

appartenere alla parabola definita come luogo dei punti, deve soddisfare alla condizione :

PF = PD.

Ovvero

x2+(y-d)2=(y+d) 2

y=1/4d x2

con d = 1/4a

2. Per capire il significato di a in relazione al grafico, si disegnino per punti le seguenti parabole:

a = + 1; a = + 3; a= -1 e si verifichi che in tutti i casi il vertice è l’origine V(0,0). Segue discussione e

istituzionalizzazione.

3. Si consideri ora una parabola con asse parallelo all’asse delle ordinate, ma vertice V di coordinate

generiche V (xo,yo) . Si operi una traslazione

+=+=

Yyy

Xxx

0

0che porti O in V in modo da ricondursi all’equazione nota (Y = aX2 )per la parabola con

V nell’origine dei nuovi assi X e Y; L’equazione della parabola nel sistema XVY

Y = aX2 diventa quindi in xOy:

y- yo = a(x- xo )2

ovvero y=ax2+bx+c con

b = -2a xo⇒ xo = - b/2a

c = a xo 2+yo ⇒ yo = -∆/(4a)

Per trovare le equazioni del fuoco nel sistema xOy basta utilizzare l’equazione della traslazione e

delle coordina di V : ricordando che in XVY il fuoco ha ordinata Y = 1/4a e che la sua ascissa è X = 0 si

ricavano le coordinate del Fuoco di una parabola con V traslato rispetto all’origine.

4. Ricerchiamo ora l’equazione generale della tangente della parabola in un punto: dato il punto

P(x0,y0) appartenete alla parabola, bisogna considerare il fascio passante per tale punto y-y0=m(x - x0).

Esso contiene le infinite rette passanti per P al variare del coefficiente angolare. Se tra queste infinite

rette vogliamo selezionare quella tangente alla parabola, basterà applicare la condizione di tangenza

ovvero imporre che i due punti di intersezione delle due curve siano coincidenti. Algebricamente

significa seguire i seguenti passaggi:

Intersecare le due curve :

−=−++=

)( 00

2

xxmyy

cbxaxy ottenendo una unica equazione di secondo grado nella

variabile x ed incognita m (che ammette quindi al massimo due soluzioni). Imporre la condizione di

tangenza ovvero che le due soluzioni siano coincidenti: basta imporre Δ = 0. Da questa condizione

verrà selezionato il valore del coefficiente angolare m della retta tangente alla parabola. Da notare

che questo metodo vale solo per le curve rappresentate da un’equazione di secondo grado.

5. Applicando la definizione di parabola come luogo geometrico nel caso in cui l’asse sia parallelo

all’asse delle ascisse e vertice in V si giunge alla seguente equazione:

x=ay2+by+c. Alla stessa equazione si arriva scambiando x con y; cioè applicando una simmetria

rispetto alla bisettrice del I e III quadrante.

Ricavando y da tale equazione si trova la forma della stessa parabola esplicitata rispetto alla variabile

y. Si consideri per semplicità il caso particolare con b =0,

ottengo βα += xy che rappresenta il ramo positivo della parabola. Abbiamo quindi scoperto che

la rappresentazione analitica di una curva di equazione βα += xy è una parabola con asse

parallelo all’asse delle ascisse.

Fase 6: Applicazioni: specchio parabolico e disequazioni di II grado

Scaletta

• Applicazioni fisiche: specchi parabolici

• Applicazioni matematiche: soluzioni disequazioni di II grado

Lezione

• Applicazioni fisiche: specchi parabolici

Immaginiamo di porre un oggetto sopra uno specchio parabolico e di coprirlo con un secondo

specchio parabolico identico ma attrezzato di un foro come in

Figura 10. L’immagine dell’oggetto sembrerà fluttuare sopra il foro (

Figura 11).

Per spiegare questo fenomeno, ricordiamo che lo specchio parabolico ha la proprietà che i raggi

uscenti dal fuoco sono riflessi nella stessa direzione dell’asse, o al contrario che tutti i raggi incidenti

sullo specchio nella stessa direzione dell’asse, convergono nel fuoco come mostrato in Figura 12.

26

Figura 10. Un maialino viene posto nel vertice

dello specchio parabolico e ricoperto da un

secondo specchio parabolico forato nel suo

vertice.

Figura 11. Apparizione dell’immagine nel

punto centrale dello specchio superiore

Figura 12. Proprietà degli specchi parabolici

Cerchiamo ora di spiegare l’effetto di Figura 11: per costruzione, il fuoco di ciascuno specchio sta nel

vertice dell’altro (Figura 13). Un oggetto posto nel vertice dello specchio A si trova dunque nel fuoco

dello specchio B per cui i raggi uscenti dall’oggetto e incidenti sullo specchio superiore B, vengono

riflessi in direzione parallela all’asse della parabola (proprietà del fuoco); incideranno sullo specchio

inferiore A e verranno a sua volta riflessi nel fuoco di A dove si compone l’immagine reale

dell’oggetto.

Figura 13. Il fuoco dello specchio A sta nel

vertice dello specchio B e viceversa.

Figura 14. L’immagine reale dell’oggetto posto

nel vertice dello specchio A si ricompone nel

fuoco dello specchio A.

• Applicazioni matematiche: soluzioni disequazioni di II grado

Utilizziamo ora le proprietà analitiche della parabola per la risoluzione delle disequazioni di II

grado. Data la disequazione 02 ≥++ cbxax osserviamo che il polinomio di secondo grado p(x)

rappresenta una parabola di equazione y=p(x), con asse parallelo all’asse delle ordinate. Risolvere la

disequazione di II grado, cioè trovare gli intervalli di x per i quali il polinomio è positivo o nullo,

equivale a individuare gli intervalli di x in cui la parabola sta sopra l’asse delle ascisse. Dobbiamo

quindi:

− disegnare la parabola cbxaxy ++= 2

− trovarne le intersezioni con l’asse delle ascisse che individuano degli intervalli

− Individuare graficamente in quali intervalli la parabola sta sopra l’asse delle ascisse.

Abbiamo in questo modo risolto la disequazione senza ricorrere alla regola mnemonica di Cartesio.

28

Scheda studente

Brano tratto dallo Specchio Ustorio

31

Sommario

Introduzione.....................................................................................................................................................2

Schema dell’unità didattica ............................................................................................................................2

Prerequisiti....................................................................................................................................................2

Obiettivi.........................................................................................................................................................2

Fasi dell’attività............................................................................................................................................3

Scheda insegnante ...........................................................................................................................................4

Introduzione storica ....................................................................................................................................4

Teoria.............................................................................................................................................................5

Introduzione.............................................................................................................................................5

Dimostrazioni sintetiche: 1. da sezione a lato retto.............................................................................6

Dimostrazioni sintetiche: 2. da lato retto a proprietà della tangente ...............................................7

Dimostrazioni sintetiche: 3. Proprietà del fuoco (brano di Cavalieri)..............................................8

Dimostrazioni sintetiche: 4. Equidistanza da fuoco e direttrice......................................................10

Dimostrazioni sintetiche: 5. da luogo geometrico a proprietà del fuoco.......................................10

Dimostrazioni sintetiche: 6. da luogo geometrico a proprietà della tangente ..............................10

Dimostrazioni sintetiche: 7. da luogo geometrico a lato retto.........................................................11

Dimostrazioni per via analitica............................................................................................................12

Descrizione dell’attività ............................................................................................................................16

Fase 1: Definizione come sezione conica e proprietà lato retto.......................................................16

Fase 2: Equazione y=ax2 da definizione precedente; proprietà della tangente per via sintetica e

per via analitica......................................................................................................................................18

Fase 3: Lettura brano da “Lo Specchio Ustorio” proprietà del fuoco.............................................20

Fase 4: Definizione come luogo geometrico; equivalenza delle due definizioni per via sintetica

..................................................................................................................................................................21

Fase 5: Equazione generica y=ax2+bx+c; caso di asse parallelo ad asse x; curva y=sqrt(ax+b)....23

Fase 6: Applicazioni: specchio parabolico e disequazioni di II grado............................................25

Scheda studente .............................................................................................................................................28

Brano tratto dallo Specchio Ustorio ........................................................................................................28

universita’ degli studi di parmauniversita’ degli studi di...

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