università degli studi di napoli parthenope ding

A.A.

202

0-21

Università degli studi di NapoliPARTHENOPE

DINGDipartimento d’INGegneria

Corso di

Elettrotecnica9.1 – Mutuo

accoppiamento magnetico

9.2 – Risonanza

Prof. M. de [email protected]

In questo blocco tratteremo due distinti argomenti

Il mutuo accoppiamento magnetico, anche detto trasformatore reale, è un esempio di doppio bipolo dinamico di cui, a partire da una breve descrizione fisica, introdurremo le caratteristiche. La sua importanza risiede nella parentela che ha con il trasformatore ideale, che verrà messa in evidenza tramite i circuiti equivalenti.

Lo studio del circuito risonante rappresenta anzitutto un’importante esempio di analisi in frequenza. La sua analisi permette di evidenziarne in modo generale i principali aspetti fisici, anche dal punto di vista energetico, in relazione ai parametri. La sua applicazione al filtraggio in frequenza dà un’idea dell’importanza realizzativa di tale tipologia di circuiti.

Mutuo accoppiamento magnetico/Risonanza

2Copyright 2020 - Prof. Massimiliano de Magistris - Università di Napoli "Parthenope"

Unità 1: Struttura e caratteristiche del mutuo accoppiamento magnetico, energia immagazzinata e condizioni di fisica realizzabilità; accoppiamento perfetto e coefficiente d’accoppiamento; circuiti equivalenti con il trasformatore ideale.

Unità 2: analisi un circuito RLC serie forzato sinusoidalmente, risposta in modulo e fase e frequenza di risonanza; fattore di qualità e diagramma dei fasori alla risonanza; considerazioni energetiche; curve universali di risonanza; analisi in frequenza e frequenze di taglio a metà potenza.




4

Unità 1:

Struttura e caratteristiche del mutuo accoppiamento; energia immagazzinata e condizioni di fisica

realizzabilità.

Accoppiamento perfetto e coefficiente d’accoppiamento; circuiti equivalenti con il trasformatore ideale.

Copyright 2020 - Prof. Massimiliano de Magistris - Università di Napoli "Parthenope"

Un mutuo accoppiamento magnetico è tipicamente realizzato come schematizzato in figura. Due avvolgimenti, primario e secondario, sono realizzati con filo conduttore, smaltato con vernice isolante, su un supporto materiale di elevata permeabilità magnetica µ.

Classica realizzazione di un mutuo accoppiamento su supporto magnetico

+

-v1

i1

+

-v2

i2Analogamente a quanto visto per l’induttore, le tensioni ai terminali di ciascun avvolgimento sono legate dalla legge di Faraday alle variazioni di flusso magnetico concatenato:

1 21 2; d dv v

dt dtF F

= =

Mutuo accoppiamento: struttura e realizzazione


F1 ed F2 si suppongono generati dalle sole correnti i1 e i2(assenza di correnti e campi “esterni”); in ipotesi di linearità:

ì = +ïF = F + F = + ü ï®ý íF = F + F = + þ ï = +

ïî

1 21 1 12

1 11 12 1 1 12 2

2 21 22 21 1 2 2 1 22 21 2

di div L ML i M i dt dtM i L i di div M L

dt dtÈ possibile mostrare (vedremo più avanti) che M12=M21=M, per cui le caratteristiche, associate al simbolo circuitale in figura sono le seguenti:

1 21 1

1 22 2

di div L Mdt dtdi div M Ldt dt

= +

= +L1 L2

Mi1 i2

v1 v2

+

-

+

-

Mutuo accoppiamento: caratteristiche e simbolo


I parametri L1, L2, M sono dimensionalmente induttanze(henry); L1, L2, sono le induttanze dei due avvolgimenti, presi separatamente; M è il coefficiente di mutua induzione. Con le convenzioni fatte L1³0, L2³0, M può avere segno qualsiasi!Consideriamo la potenza assorbita:

( )

( ) 1 2 1 21 1 2 2 1 1 2 2

2 21 2 1 1 2 2 1 2

1 1,2 2

a m

m

di di di di dWp v i v i L M i M L idt dt dt dt dt

W i i L i L i Mi i

æ ö æ ö= + = + + + =ç ÷ ç ÷è ø è ø

= + +

Il differenziale 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2dW p dt L i di Mi di Mi di L i di= × = + + +

risulta “esatto” in virtù della condizione M12=M21=M. Dunque la funzione Wm (i1, i2), è conservativa, e la variazione di energiatra due punti (i’1, i’2), (i’’1, i’’2) è indipendente dal percorso.

Mutuo accoppiamento: proprietà/1


Wm (i1, i2) rappresenta la massima energia erogabile dall’elemento, a partire dalla condizione (i1, i2), definendo così l’energia immagazzinata. Dunque il trasformatore è un DB dinamico, passivo e conservativo. L’energia immagazzinata è (sempre) una quantità definita positiva:

( )2

2 1 11 2 2 1 22

2 2

1 1, 02 2mi iW i i i L M Li i

æ ö= + + ³ç ÷

è øÈ abbastanza diretto, studiandone il segno, ricavare la condizione sui coefficienti L1L2³M2. Si definisce il coefficiente di accoppiamento k come:

1 21 2

0 0 (induttori disaccoppiati)1;

1 (accoppiamento perfetto)

k MMk

k M L LL L

= ® =ìï= £ í= ® =ïî

Mutuo accoppiamento: proprietà/2


Interpretiamo sul piano fisico la condizione di accoppiamento perfetto. Denominati N1 ed N2 i numeri di spire dei due avvolgimenti, definiamo i cosiddetti “flussi medi” Fij di auto e mutua induzione, ed i “flussi dispersi” primario F1d e secondario F2d:

1 1 12 2 21 1 2 211 12 21 22

1 1 2 2

1 11 21 2 22 12

, , ,

,

m m m m

d m m d m m

L i M i M i L iN N N N

f f f f

f f f f f f

= = = =

= - = -

La condizione F1d=F2d=0 corrisponde a L1L2=M2 (k=1). Dunque in assenza di flussi dispersi l’accoppiamento è perfetto! In tal caso una corrente nel primo avvolgimento produce, mediamente, lo stesso flusso concatenato per spira sia nel primo che nel secondo avvolgimento e, viceversa.

Condizione di accoppiamento perfetto/1


= = =1 1

2 2

L NM nM L N

Dalle relazioni precedenti, annullando il flusso disperso, abbiamo

dove definiamo n il rapporto tra il numero di spire dei due avvolgimenti.Sempre nel caso di accoppiamento perfetto (e solo in esso), l’energia immagazzinata Wm (i1, i2) si può annullare anche se le correnti i1 e i2 non sono entrambe nulle. Difatti:

( )

( )

2 2

1 2 1 1 2 2 2 11 2

1 2 1 21

1 1,2 2

, 0

m

m

M MW i i L i i L i iL L

MW i i i iL

æ ö æ ö= + = +ç ÷ ç ÷

è ø è ø

= « = -

Condizione di accoppiamento perfetto/2


E’ interessante il legame tra mutuo accoppiamento e trasformatore ideale. Consideriamo il caso di accoppiamento perfetto, L1L2=M2 à L1/M=M/L2=n. Dalle caratteristiche si ha:

11 1 2

21

1 1 22 1 2

1

1

11

vv di di nvL dt n dtv di div di diL dt n dtM dt n dt

ìì == + ïïï ï®í íï ï = += +ï ïî î

dunque il mutuo accoppiamento risulta equivalente ad un trasformatore ideale di rapporto n se l’accoppiamento è perfetto e l’induttanza primaria è infinita!

1 1 21 1 2

1

1 10v di diL i iL dt n dt n

® ¥ Þ = = + Þ = -

Nel caso limite di induttanza L1 infinita si ha:

Circuiti equivalenti del mutuo accoppiamento /1


Nel caso (più realistico) di L1 limitata, in riferimento al circuito in figura è facile mostrare l’equivalenza. Difatti:

=

= +

1 2

1 1 2

1

1v v nv di diL dt n dt

Circuito equivalente (caso ad accoppiamento perfetto)

( )*1 11 1 21 1 1 1

1Ld i idi di div L L L

dt dt dt n dt- æ ö= = = +ç ÷

è øDunque:

i1 i2

v1 v2

+

-

+

-

n:1

L1

i1*



Infine, supposti L1 limitato e l’accoppiamento non perfetto (flusso disperso ¹ 0) ponendo:

i1 i2

v1 v2

+

-

+

-

n:1

L1*

DL1

Circuito equivalente (caso generale)

2 2* *

1 1 1 1 1 12 2

; ; M ML L L L L LL L

= + D = D = -

è abbastanza semplice giustificare l’equivalenza con il circuito in figura, quando le equazioni siano poste nella forma:

* 1 21 1

1 1

1 22 2

di didi L Mv L dt dtdtdi div M Ldt dt

ì æ ö+ï ç ÷= D +ïç ÷íç ÷ï = +ç ÷ï è øî



Unità 2:

Analisi un circuito RLC serie forzato sinusoidalmente: risposta in modulo e fase, frequenza di risonanza.

Fattore di qualità e diagramma dei fasori alla risonanza; considerazioni energetiche.

Curve universali di risonanza; analisi in frequenza e frequenze di taglio (a metà potenza).



Studiamo ora un circuito RLC serie in regime sinusoidale, ma da un nuovo punto di vista: l’analisi in funzione della pulsazione del generatore. Ciò ci permette di mettere in luce il fenomeno della risonanza nei circuiti, introducendo al tempo stesso l’analisi in frequenza. Poniamo:

Circuito RLC serie in regime sinusoidalee(t)=Emcoswt

+-

R LC

i(t)

( ) cos ; ( ) cos( ) jm m m me t E t E E i t I t I I e jw w j= « = = + « =

tenuto conto che gli elementi sono tutti in serie, si ha:

1m

eq

EEIZ R j L

Cw

w

= =æ ö+ -ç ÷è ø

!

Circuito risonante RLC serie


Esplicitiamo le espressioni per il modulo e l’argomento del fasore I in funzione di w, con gli andamenti corrispondenti in figura:

( ) ( ) ( ) 1

22

1; tan1

mm

EI I L RC

R LC

w w j w ww

ww

- é ùæ ö= = = - -ç ÷ê úè øë ûæ ö+ -ç ÷è ø

Modulo e argomento di I(w) in un circuito RLC serie

Circuito risonante: analisi con i fasori


_

w

| I(w) |_

wr

Em/R

wwr

-p/2

j(w)

p/2

È immediato verificare che Im(w) tende a zero per w→0 e per w→∞; assume il massimo corrispondenza della pulsazione wr, caratteristica del circuito, per la quale:

( ) ( )1 1 ; ; 0mr r r r

r

EL IC RLC

w w w j ww

= ® = = =

wr prende il nome di pulsazione di risonanza del circuito. In tali condizioni le oscillazioni “naturali” del circuito non forzato hanno la stessa pulsazione del generatore.L’andamento della I(w) disvela la peculiarità del circuito: solo nell’intorno della pulsazione di risonanza wr l’ampiezza della corrente è significativa, e si riduce rapidamente quando ci si allontana da wr. Tale comportamento, che discrimina le diverse pulsazioni, è alla base del filtraggio in frequenza.

Circuito risonante: analisi con i fasori/2


Un aspetto molto significativo della risonanza è che le tensioni nel circuito possono eventualmente superare (in ampiezza) quella del generatore. Consideriamo, ad esempio, la tensione dell’induttore alla risonanza:

ww w w<ì

= ® = = í³î

1( ) ( ) ;

1L Lm r

r r r m mQE LV j L V E Q E

R R Q

Il parametro adimensionale Q è detto fattore di qualità o di merito del circuito risonante (serie). Esso può, in generale, superare l’unità, in funzione dei parametri del circuito. Se si considera la tensione del condensatore analogamente:

1 1( ) ; ( ) C Cr

r m r mr r

LV E V Q ECR CR R

ww ww w

= = ® =

Circuito risonante: fattore di qualità


I E_ _p/2

VL_

VC_

-p/2

Diagramma fasoriale alla risonanza nel caso Q>1

È istruttivo considerare il diagramma fasoriale delle grandezze del circuito alla risonanza.

( )

( ) ;

( ) ;

L

C

r

r r

rr

EIR

EV j L jQ EREV j jQ ERC

w

w w

ww

=

= =

= - = -

La corrente risulta in fase con la tensione del generatore, la tensione dell’induttore in anticipo di p/2, quella del condensatore in ritardo di p/2.

Circuito risonante: diagramma fasoriale


Per cogliere appieno il significato fisico della risonanza è utile farne un’analisi di tipo energetico. Considerate le potenze complesse relative a tutti gli elementi si ha:

( ) ( )

( ) ( )

2 22( ) * ( )

2 2 2 2( ) ( )

1 1 1 1ˆ ˆ; 2 2 2 2

ˆ ˆ; 2 2 2 2

e am mE r R r

a ar m m r m mL r C r

r r

E EP E I P R IR R

LI V CV IP j j P j jL C

w w

w ww ww w

= × = = × =

= = = - = -

Per la conservazione della potenza complessa, inoltre:

= + + ® = = -( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ;e a a a e a a aE R L C E R L CP P P P P P jQ jQ

Dunque alla risonanza si bilanciano la potenza attiva del generatore e del resistore, e quelle reattive del condensatore e dell’induttore.

Circuito risonante: considerazioni energetiche/1


( ) ( )cos ; cos sin2

m m mL r C r r

r r

E E Ei t t v t t tR CR CR

pw w ww w

æ ö= = + =ç ÷è ø

( ) ( ) ( )2 2

( ) 2 2 2 22 2 2 2

1 1 1 1cos sin2 2 2 2

i m mL C r r

r

E EW t Li t Cv t L t C tR C R

w ww

= + = +

Nel dominio del tempo le espressioni di iL e vC sono:

Di conseguenza l’energia immagazzinata ha espressione:

che, tenuto conto della condizione di risonanza, diviene:

( ) ( )2 2

( ) 2 22 2 2 2

1 1 ; sin cos cost.2 2

im mr r

r

E EL C W W t W t tR C R

w ww

= = = + =

t

iL(t)

T=2p /wt

WWL(i) WC

(i)

T=2p /w

vC(t)

Andamenti di vC, iL ed energie immagazzinate alla risonanza

Circuito risonante: considerazioni energetiche/2

21

I diagrammi di ampiezza e fase della risposta del circuito risonante possono porsi in una generale forma adimensionale. Dividendo per |Imax|, introducendo la pulsazione normalizzata W=w/wr e ricordando la definizione di Q si ottiene:

( )( )

( )2

2 11 1r

IX Q

I

w

wæ ö= W = + W -ç ÷Wè ø

Curve universali di risonanza al variare del fattore di merito Q

Per la fase si può ragionare analogamente.

Circuito risonante: curve universali

22

W

|X(W)|

1

p/2

-p/2

/X(W)1

W1Q Q

L’analisi della risonanza mette in evidenza un comportamento selettivo in frequenza. Solo quando la pulsazione w del generatore è vicina ad wr la risposta è significativa, altrimenti risulta fortemente attenuata. Se abbiamo in ingresso segnali a pulsazione diversa, la relazione ingresso uscita è rappresentata dalla figura, dove le ampiezze in ingresso e in uscita sono simboleggiate dalle altezze delle frecce verticali.

Rappresentazione della risposta in ampiezza ad ingressi distribuiti in frequenza per un circuito risonante (filtro passa banda)

w1 w2 w3 w4 w5

spettro di ampiezzadel segnale in ingresso

risposta in ampiezza spettro di ampiezzadel segnale in uscita1

w6 w1 w2 w3 w4 w5 w6 w1 w2 w3 w4 w5 w6

Circuito risonante: applicazione al filtraggio


Consideriamo le pulsazioni w-< wr < w+ per cui l’ampiezza è ridotta a 1/Ö2 del suo valore massimo. Per la potenza si ha:

Frequenze di taglio a metà potenza

( ) ( )2

2 max max1 12 2 2 2

RR

I PP R I Rw w± ±= = =

e dunque le pulsazioni w+,w- sono anche dette di taglio a metà potenza. Per esse è possibile ricavare un’espressione approssimata (v. testo p.261) in funzione di Q.

L’intervallo ω+−ω−= ωr/Q, per il quale la potenza trasferita al resistore è superiore alla metà della potenza massima, è anche detto banda passante del circuito risonante.

ww+w-

max2I

I112r Q

w w±

æ ö= ±ç ÷

è ø

Circuito risonante: banda passante


E’ frequente esprimere il rapporto tra ampiezze di segnali, per mezzo dei logaritmi, in dB.

= × = × 210 1020 log ( ) 10 log ( )dBA A A

Circuito risonante: frequenze di taglio a 3 dB


In tal caso, se supponiamo nei punti w+,w- il rapporto tra la ampiezza e quella massima pari a Ö2, si ha:

× = × !10 10120 log ( ) 20 log ( 2) 3 dB

1 2Pertanto le pulsazioni w+,w- sono anche dette pulsazioni di taglio a 3 dB.

università degli studi di napoli parthenope ding

Documents