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Universidade de BrasíliaUniversidade de BrasíliaInstituto de GeociênciasInstituto de GeociênciasPrincípios em PetrofísicaPrincípios em Petrofísica

Propriedades Físicas das RochasPropriedades Físicas das Rochas

Propriedades Elásticas das RochasPropriedades Elásticas das Rochas

Prof. Marcelo Peres RochaProf. Marcelo Peres RochaProf. Adriana Chatack CarmeloProf. Adriana Chatack Carmelo

Brasília-DF - 1º Semestre/2011Brasília-DF - 1º Semestre/2011


Para entendermos o mecanismo de propagação das ondas Para entendermos o mecanismo de propagação das ondas sísmicas produzidas por fontes de energia dentro da Terra, é sísmicas produzidas por fontes de energia dentro da Terra, é necessário a compreensão do comportamento mecânico do necessário a compreensão do comportamento mecânico do meio por onde esta onda se propaga.meio por onde esta onda se propaga.


Quando as ondas sísmicas passam pelo meio, fazem com que Quando as ondas sísmicas passam pelo meio, fazem com que as partículas que o constituem sofram movimentos. as partículas que o constituem sofram movimentos.

Com exceção das regiões muito próximas à fonte sísmica, a Com exceção das regiões muito próximas à fonte sísmica, a tendência das partículas é retornar à sua posição inicial após o tendência das partículas é retornar à sua posição inicial após o seu movimento. seu movimento.

Chama-se isso de Chama-se isso de comportamento elástico!comportamento elástico!


Estes movimentos envolvem pequenas deformações elásticas Estes movimentos envolvem pequenas deformações elásticas (strains), que são causadas por forças chamadas de esforços (strains), que são causadas por forças chamadas de esforços (stresses).(stresses).

A teoria da elasticidade descreve as deformações das A teoria da elasticidade descreve as deformações das partículas e os esforços que atuam no meio, os parâmetros partículas e os esforços que atuam no meio, os parâmetros elásticos que caracterizam o meio, e as relações matemáticas elásticos que caracterizam o meio, e as relações matemáticas entre os esforços e as deformações.entre os esforços e as deformações.

Estas relações são baseadas em Estas relações são baseadas em uma lei constitutiva conhecida uma lei constitutiva conhecida como “Lei de Hooke”como “Lei de Hooke”

Robert Hooke (1635-1703)Robert Hooke (1635-1703)


Esforço (ou tensão) é definido como força por unidade de área Esforço (ou tensão) é definido como força por unidade de área (também definido como pressão). Quando uma força é aplicada (também definido como pressão). Quando uma força é aplicada em um corpo, o esforço é a razão entre esta força e a área na em um corpo, o esforço é a razão entre esta força e a área na qual ela está sendo aplicada.qual ela está sendo aplicada.

Esforço (Stress)Esforço (Stress)


Se a força é perpendicular à área, o esforço é chamado de Se a força é perpendicular à área, o esforço é chamado de esforço normal (esforço normal (normal stressnormal stress), e se a força é tangencial ao ), e se a força é tangencial ao elemento de área, o esforço é chamado cisalhante ou de elemento de área, o esforço é chamado cisalhante ou de cisalhamento (cisalhamento (shearing stressshearing stress). No caso da força não ser nem ). No caso da força não ser nem perpendicular e nem paralela à área, os esforços serão perpendicular e nem paralela à área, os esforços serão resolvidos pela combinação das componentes normais e resolvidos pela combinação das componentes normais e cisalhantes.cisalhantes.



Os esforços podem atuar em um elemento de volume de um Os esforços podem atuar em um elemento de volume de um corpo posicionado em um sistema de coordenadas. Os esforços corpo posicionado em um sistema de coordenadas. Os esforços atuando em cada uma das seis faces podem ser divididos em atuando em cada uma das seis faces podem ser divididos em componentes normais e tangenciais.componentes normais e tangenciais.

Como exemplo temos Como exemplo temos que que yx yx é o esforço é o esforço paralelo ao eixo y paralelo ao eixo y atuando na superfície atuando na superfície cujo a normal é paralela cujo a normal é paralela ao eixo x.ao eixo x.



Quando os índices forem os Quando os índices forem os

mesmos (como mesmos (como xxxx), o esforço ), o esforço será normal, e quando forem será normal, e quando forem

diferentes (como diferentes (como yxyx), o esforço ), o esforço será cisalhante. Desta forma, o será cisalhante. Desta forma, o esforço é um tensor definido esforço é um tensor definido por nove componentes da por nove componentes da seguinte forma:seguinte forma:



Quando um corpo elástico está submetido a esforços, ocorrem Quando um corpo elástico está submetido a esforços, ocorrem variações em sua forma e dimensão. Estas mudanças são variações em sua forma e dimensão. Estas mudanças são chamadas de deformação:chamadas de deformação:

Deformação (Strain)Deformação (Strain)


A deformação é definida como sendo a variação relativa (ou A deformação é definida como sendo a variação relativa (ou variação fracional) na dimensão ou forma de um corpo:variação fracional) na dimensão ou forma de um corpo:


L

L


Consideremos um retângulo PQRS em um plano xy.Consideremos um retângulo PQRS em um plano xy.


Quando esforços são Quando esforços são aplicados, o ponto P aplicados, o ponto P move-se para P’, move-se para P’, tendo o segmento PP’ tendo o segmento PP’ as componentes as componentes uu e e vv..


Se os outros vértices Q, R e S têm o mesmo deslocamento de P, Se os outros vértices Q, R e S têm o mesmo deslocamento de P, o retângulo será apenas deslocado em o retângulo será apenas deslocado em uu e e vv ( (uu no eixo x e no eixo x e vv no no eixo y), e neste caso não existirão mudanças de tamanho e eixo y), e neste caso não existirão mudanças de tamanho e forma, somente de posição, não existindo assim deformações.forma, somente de posição, não existindo assim deformações.


No entanto, se No entanto, se uu e e vv forem forem diferentes de um vértice diferentes de um vértice para o outro, o retângulo para o outro, o retângulo sofrerá mudanças no seu sofrerá mudanças no seu tamanho e na sua forma, tamanho e na sua forma, existindo deformações.existindo deformações.


Vamos assumir que as coordenadas Vamos assumir que as coordenadas dos vértices do retângulo PQRS e dos vértices do retângulo PQRS e P’Q’R’S’ são:P’Q’R’S’ são:





Com esta suposição temos que:Com esta suposição temos que:

2 – Os ângulos infinitesimais 2 – Os ângulos infinitesimais 11 e e 22 são iguais a são iguais a v/v/y y e e u/u/xx, respectivamente. , respectivamente.


1 – O segmento PQ aumenta 1 – O segmento PQ aumenta ((u/u/x)dx x)dx em comprimento, enquanto que o segmento PS em comprimento, enquanto que o segmento PS aumenta aumenta ((v/v/y)dy,y)dy, portanto, portanto, ((u/u/x) x) e e ((v/v/y)y) e são os incrementos fracionais em e são os incrementos fracionais em comprimento na direção dos eixos.comprimento na direção dos eixos.





3 - O ângulo reto à P diminui por (3 - O ângulo reto à P diminui por (11++22)=()=(v/v/y)+(y)+(u/u/x)x)


4 – O retângulo serã todo rotacionado de acordo com o ângulo 4 – O retângulo serã todo rotacionado de acordo com o ângulo ((11 - - 22)=()=(v/v/y)-(y)-(u/u/x)x). .


Estendendo esta análise para as três dimensões, temos (u,v,w) como as Estendendo esta análise para as três dimensões, temos (u,v,w) como as componentes de deslocamento do ponto P(x,y,z).componentes de deslocamento do ponto P(x,y,z).

As deformações elementares então serão:As deformações elementares então serão:


Portanto, as deformações também correspondem Portanto, as deformações também correspondem a um tensor com nove componentes:a um tensor com nove componentes:


Para um material elástico ideal, os tensores Esforço e Deformação podem Para um material elástico ideal, os tensores Esforço e Deformação podem ser relacionados pela Lei de Hooke generalizada: ser relacionados pela Lei de Hooke generalizada:

Onde COnde Cijklijkl representa o tensor de rigidez elástica ou tensor de elasticidade. representa o tensor de rigidez elástica ou tensor de elasticidade. Este tensor pode possuir até 81 componentes.Este tensor pode possuir até 81 componentes.

Lei de Hooke (Relação entre Stress e Strain)Lei de Hooke (Relação entre Stress e Strain)

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