UNIVERSIDAD DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL

ESTRATEGIAS DE ASIGNACIÓN DE FLOTA EN

UN CORREDOR DE TRANSPORTE PÚBLICO

TESIS PARA OPTAR AL GRADO DE MAGÍSTER EN CIENCIAS DE LA

INGENIERÍA, MENCIÓN TRANSPORTE

MEMORIA PARA OPTAR AL TÍTULO DE INGENIERO CIVIL

ALEJANDRO ANDRÉS TIRACHINI HERNÁNDEZ

PROFESORES GUÍA: CRISTIÁN CORTÉS CARRILLO

SERGIO JARA DÍAZ

MIEMBROS DE LA COMISIÓN: ROBERTO COMINETTI COTTI-COMETTI

JUAN CARLOS MUÑOZ ABOGABIR

SANTIAGO DE CHILE NOVIEMBRE 2007

RESUMEN

La demanda diaria de sistemas de transporte público urbano presenta puntas, tanto temporales como espaciales, que podrían hacer ineficiente operar con la misma oferta en toda la red y a lo largo del día. Una mayor frecuencia de servicio en las horas punta es la respuesta típica por parte de los operadores a las diferencias temporales en la afluencia de pasajeros, mientras que para la concentración espacial de la demanda existe un conjunto de estrategias para asignar la flota disponible de un modo más eficiente, aumentando la frecuencia en los sectores más cargados, ajustando así de mejor forma la oferta a la demanda. Entre tales estrategias se cuenta la creación de bucles o ciclos cortos, estrategia útil cuando hay demanda concentrada en torno a un punto, en la cual parte de la flota se destina a servir sólo aquel segmento de mayor demanda o carga en el corredor. Por otro lado, para corredores con demanda desbalanceada, en que la afluencia de pasajeros en un sentido de operación es muy superior a la afluencia en el otro sentido existe la estrategia deadheading, en la que se impone que algunos vehículos, al llegar al terminal del sentido de mayor afluencia de pasajeros, regresen rápidamente a su inicio sin servir el sentido de menor demanda, con lo cual se aumenta la frecuencia en la dirección de mayor afluencia de pasajeros. En el presente trabajo se formula modelos microeconómicos para el tratamiento de las estrategias deadheading y bucles en un corredor de transporte público, además de introducir una estrategia que integra las dos anteriores. No se considera trasbordos, es decir, los pasajeros cuyo origen y/o destino está fuera del bucle o de la zona de alta demanda, abordarán sólo aquellos vehículos que sirven el corredor completo. Para cada estrategia, se busca el valor óptimo de las frecuencias de operación, tanto de los vehículos que sirven el corredor completo como de aquellos que realizan servicio sólo en la zona de mayor demanda, y de los límites de la zona en la cual se aumenta la frecuencia. El objetivo es minimizar el costo del operador más el costo de los usuarios, el que incluye los tiempos de espera y en vehículo. Se calcula el tamaño de los vehículos como aquel que satisface la demanda esperada en el tramo más cargado. Con esto, para una situación dada se compara el valor de la función de costo total (operadores más usuarios) en operación normal, en que todos los vehículos circulan cíclicamente entre terminales con una frecuencia única, con el costo total de la situación con estrategia. En términos generales, esta tesis se compone de tres elementos principales. Primero, una revisión bibliográfica, en la cual se analiza la literatura relacionada con los modelos microeconómicos tradicionales de transporte público y la literatura específica sobre estrategias de asignación de flota en sistemas de transporte público. El segundo elemento y el más importante, es el desarrollo de modelos analíticos en los que se formula tanto la situación de operación normal como la implementación de las estrategias deadheading, bucles e integrada. Por último, el tercer elemento se compone de una serie de aplicaciones numéricas de los modelos desarrollados, que tienen por objeto cuantificar los beneficios de las estrategias en situaciones específicas, analizar el efecto de variables relevantes en los resultados e identificar situaciones propicias para la implementación de una u otra estrategia. Se concluye que, dada una situación de concentración de la demanda, las estrategias planteadas pueden reducir tanto el costo de los operadores a través de un menor tamaño de flota, como el de los usuarios, mediante menores tiempos de espera y/o en vehículo. Cuando un bucle es la estrategia óptima, se encuentran los mayores beneficios respecto a una operación normal, mientras que en situaciones en que el beneficio es maximizado por una estrategia que integra bucles y deadheading, los ahorros son menos cuantiosos, precisamente por el costo adicional de la circulación en deadheading, sin realizar servicio de pasajeros en el sector de menor demanda.

A mis padres, Luis y Elba,

los verdaderos autores de este trabajo.

ÍNDICE 1. INTRODUCCIÓN........................................................................................................1 2. MODELACIÓN DE LA CIRCULACIÓN DE UN CORREDOR DE

TRANSPORTE PÚBLICO.........................................................................................3

2.1 Introducción............................................................................................................3 2.2 Revisión de la Literatura: Modelos Microeconómicos de Transporte Público.......5

2.2.1 Introducción.................................................................................................5 2.2.2 Costo de los Operadores..............................................................................6 2.2.3 Costo de los Usuarios.................................................................................10 2.2.4 Valores Óptimos de las Variables..............................................................14

2.3 Formulación: Operación Normal...........................................................................19

2.3.1 Introducción y Supuestos............................................................................19 2.3.2 Modelo de Demanda Agregada ..................................................................21 2.3.3 Modelo de Demanda Desagregada.............................................................26

2.4 Resumen y Comentarios.......................................................................................30

3. ESTRATEGIAS DE ASIGNACIÓN DE FLOTA.................................................. 32

3.1 Introducción..........................................................................................................32 3.2 Revisión Bibliográfica: Estrategias Pre-planificadas de Asignación de Flota y Estrategias de control................................................................................34

3.2.1 Estrategias Pre-planificadas.......................................................................34 3.2.2 Estrategias de Control................................................................................39 3.2.3 Modelos Determinísticos y Modelos Estocásticos....................................42

3.3 Modelación de la Estrategia Deadheading...........................................................44

3.3.1 Introducción...............................................................................................44 3.3.2 Modelo de Demanda Agregada.................................................................46 3.3.3 Modelo de Demanda Desagregada............................................................63

3.4 Modelación de la Estrategia Bucles......................................................................78

3.4.1 Introducción...............................................................................................78 3.4.2 Requerimiento de información de la demanda..........................................78 3.4.3 Definiciones...............................................................................................82

3.4.4 Costo Asociado al Tiempo de Espera........................................................83 3.4.5 Costo Asociado al Tiempo en Vehículo....................................................84 3.4.6 Costo del Operador....................................................................................86 3.4.7 Valor Óptimo de la Frecuencia y el Tamaño de los Vehículos.................87

3.5 Modelación de la Estrategia Integrada Deadheading-Bucles...............................96

3.5.1 Introducción...............................................................................................96 3.5.2 Costo Asociado al Tiempo de Espera........................................................98 3.5.3 Costo Asociado al Tiempo en Vehículo....................................................98 3.5.4 Costo del Operador....................................................................................99 3.5.5 Valor Óptimo de la Frecuencia y el Tamaño de los Vehículos...............100

3.6 Resumen y Comentarios.....................................................................................106 4. APLICACIONES......................................................................................................107

4.1 Introducción......................................................................................................107 4.2 Estrategia deadheading ....................................................................................108

Ejemplo 1............................................................................................................108

4.3 Estrategia bucles................................................................................................123 Ejemplo 2.............................................................................................................123 Ejemplo 3.............................................................................................................125 Ejemplo 4.............................................................................................................141

4.4 Estrategia integrada...........................................................................................143

Ejemplo 5.............................................................................................................143 Ejemplo 6.............................................................................................................146

4.5 Requerimiento de Información de la Demanda.................................................148

4.5.1 Perfil de Carga.........................................................................................149 4.5.2 Diagrama de Carga y Demanda Total......................................................151 4.5.3 Perfiles de subida y bajada por estación..................................................152

4.6 Resumen y Comentarios.....................................................................................158

5. CONCLUSIONES....................................................................................................159 REFERENCIAS.............................................................................................................165

ANEXOS.........................................................................................................................169

A1. Método de Newton............................................................................................169 A2. Sobre los Métodos Utilizados para Generar Matrices Origen-Destino en Corredores de Transporte Público................................................................170 A3. Matrices Generadas en el Capítulo 4.................................................................173 A4. Variabilidad de las Matrices Generadas a Partir de un Perfil de Subidas y Bajadas...........................................................................................................178 A5. Programa en C++..............................................................................................182

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1. INTRODUCCIÓN Son las 7:30 de la mañana de un día laboral, una persona sale de su casa rumbo al trabajo. Camina una cuadra para llegar al terminal de taxis-colectivos donde hay una cola de personas esperando transporte. Después de unos minutos, logra abordar un vehículo que lo llevará a la estación de metro más cercana. Al bajarse del automóvil se percata de que no hay personas aguardando por el servicio en el sentido contrario y el chofer decide partir inmediatamente al terminal donde empezó su viaje, sin llevar pasajero alguno... allá una larga fila espera. Ya en el andén de la estación, se apresta a tomar el primer tren que llega, sin embargo, éste lleva en la parte frontal un aviso que dice “Servicio hasta Estación Cal y Canto”, lo que lo inhibe a subirse pues su destino está dos estaciones más allá de Cal y Canto. Debe esperar un segundo tren... éste sí llega hasta el terminal de la línea. Ya puede continuar su viaje. Situaciones como la descrita no son inusuales en una ciudad como Santiago, que en los períodos punta tiene una gran demanda por transporte público y el sistema en muchos puntos funciona a capacidad. Como la demanda de viajes no se distribuye uniformemente a lo largo del territorio, los proveedores de servicios de transporte público adaptan su comportamiento a las necesidades puntuales de cada momento y cada lugar. Así, el conductor del taxi-colectivo decide regresar al terminal donde empieza el servicio, previsiblemente ubicado en un área residencial, sin esperar a llevar pasajeros desde la estación de metro hacia aquel terminal, pues sabe que a esa hora la mayor parte de la demanda está orientada en el sentido contrario. En el caso del metro, la decisión de que algunos trenes no lleguen hasta el final de la línea se debe a que los operadores saben que más allá de cierta estación los trenes circularán semi vacíos, por lo cual no se justifica que la flota completa realice el recorrido completo, pudiendo algunos vehículos operar en ciclos más cortos, cubriendo sólo la zona de mayor demanda de la línea. Las acciones antes descritas, denominadas deadheading en el primer caso y bucles en el segundo, en general podrían ser llamadas estrategias de asignación de flota en sistemas de transporte público. Tales estrategias pueden ser implementadas con múltiples objetivos. En el caso del chofer de taxi-colectivo, su finalidad es estar donde están los pasajeros, es decir, ganar más dinero. En el caso del metro, posiblemente sea ahorrar en costos de operación, ya que no se impone que toda la flota haga el recorrido completo. Más allá de estas posturas, existen otros propósitos que también pueden ser planteados, en particular, se pueden trazar objetivos que no sólo consten de la visión del operador, sino que también tomen en cuenta el bienestar de los usuarios, a través, por ejemplo, de la búsqueda de operaciones que resulten en menores tiempos de viaje. En esta tesis se plantean modelos para tratar las estrategias bucles y deadheading tomando en consideración la visión de los dos principales actores involucrados en la provisión de un servicio de transporte público urbano: usuarios y operadores. Para esto, en primer término se revisa la bibliografía existente en el tema, analizando las virtudes y debilidades de los trabajos existentes en la literatura de estrategias de asignación de flota.

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Luego, se plantean modelos para la implementación eficiente de las estrategias mencionadas, a través de la búsqueda de valores óptimos para la frecuencia de operación, la capacidad de los vehículos y los límites de la zona en la cual se establece una estrategia, es decir, la zona de alta demanda. Se realiza un análisis teórico, en el cual se examina la forma que toman las expresiones encontradas para las variables del problema; complementariamente se identifican condiciones bajo las cuales la implementación de una estrategia de asignación de flota reportará beneficios. En la literatura, las estrategias deadheading y bucles han sido estudiadas principalmente como una herramienta para reducir el tamaño de flota necesario para servir una línea de transporte público (Ceder, 1989, 2003a, 2003b), o considerando conjuntamente la visión de operadores y usuarios, éstos últimos a través de los costos asociados a los tiempos de espera y/o en vehículo. Sin embargo, aún en los casos en que los usuarios son tomados en consideración, la mayor parte del esfuerzo de los modeladores se ha centrado en mostrar el potencial de las estrategias para reducir el tamaño de flota en circulación (Furth, 1985, 1987). Esta tesis se presenta como un acercamiento más comprensivo a la solución del problema de establecer estrategias óptimas, tratando a su vez de superar las debilidades observadas en la literatura. Otro aporte relevante es la formulación de una estrategia integrada deadheading-bucles, que toma elementos de las dos estrategias para adaptarse a perfiles de demanda con separaciones espaciales en sus concentraciones. Más adelante, se estudia numérica y analíticamente cuál es el nivel de detalle con que debe conocerse la demanda para poder estudiar los impactos de la implementación de una estrategia, problema de vital importancia si se considera el costo de obtener información desagregada de la demanda en sistemas reales de transporte público. Desde el punto de vista analítico, este trabajo se apoya en la modelación microeconómica de sistemas de transporte público, adaptando los modelos de circulación en un corredor de transporte público tradicional a la situación en que se implementa una estrategia de asignación de flota que aumenta la frecuencia de operación en los segmentos de mayor demanda de la red. Los resultados en algunos casos emulan a sus pares de los modelos microeconómicos clásicos, como la “fórmula de la raíz cuadrada” para la frecuencia óptima en corredores aislados de transporte público, que aparece aquí también como un elemento determinante de las frecuencias con estrategia. La tesis se organiza de la siguiente forma. En el Capítulo 2 se estudia la operación normal o tradicional de líneas de transporte público, en que todos los vehículos circulan cíclicamente de terminal a terminal; además se dan las bases sobre las que se sustenta la modelación de las estrategias. El Capítulo 3 es el núcleo del presente trabajo, pues en él se plantea y desarrolla los modelos para la operación de las estrategias deadheading, bucles e integrada. En el Capítulo 4 se presenta un conjunto de aplicaciones numéricas y ejemplos, cuyo objetivo es probar el funcionamiento de las estrategias en situaciones ficticias en su mayor parte, pero representativas de situaciones reales en sistemas de transporte público urbano. Finalmente, en el Capítulo 5 se sintetizan las conclusiones más importantes de este trabajo y se entregan líneas de investigación futura.

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2. MODELACIÓN DE LA CIRCULACIÓN DE UN CORREDOR DE TRANSPORTE PÚBLICO 2.1 Introducción La planificación de operaciones de transporte público es un problema en extremo complejo si se intenta resolver todos los elementos involucrados globalmente, por lo cual, en la literatura especializada se ha optado por subdividir el problema en distintos niveles (Desaulniers y Hickman, 2003). i. Planificación estratégica Se puede identificar un primer nivel estratégico en que las decisiones son de largo plazo, como el diseño de redes y líneas de transporte público. ii. Planificación táctica Un segundo nivel es el táctico, en que se toman decisiones de servicio como la frecuencia y el itinerario, las que pueden diferenciarse tanto temporal como espacialmente (por ejemplo, diferencias en la frecuencia de servicio entre las horas punta y fuera de punta, entre un día laboral y un fin de semana, entre la zona céntrica y la periferia) y que afectan directamente el nivel de servicio percibido por los usuarios. iii. Planificación operacional Su objetivo es poner en práctica las decisiones tácticas al menor costo, determinándose la asignación de vehículos, la asignación de conductores y la operación de terminales entre otras variables, que generalmente no afectan el nivel de servicio. Así, para analizar el funcionamiento de los sistemas de transporte público en cualquiera de los tres niveles identificados, se suele plantear modelos cuyo objetivo es representar una determinada situación bajo análisis y extraer de ellos valores óptimos de variables críticas para el funcionamiento del sistema y resultados esperados. En la literatura existe una amplia gama de modelos, diferenciándose en elementos tales como los descritos a continuación:

• El tipo de formulación: Para la modelación de sistemas de transporte público pueden desarrollarse distintos tipos de modelos que se diferencian, entre otros factores, según:

o La naturaleza de las variables: Modelos determinísticos o estocásticos en

la dinámica de los vehículos y en la demanda. o La caracterización de la demanda: Modelos de demanda paramétrica o

elástica.

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o La dimensión espacial en que se inscriben: Modelos que estudian una línea

aislada o un conjunto de líneas.

• Las variables consideradas: Entre las variables se cuentan los recursos que aportan al sistema los dos actores relevantes: operadores y usuarios. Así, los operadores incurren en un costo al proveer el servicio (adquisición y uso de vehículos, remuneraciones, mantenimiento, administración, etc.) mientras los usuarios aportan su tiempo. También se puede considerar otras variables determinantes en el nivel de servicio, como la comodidad y la regularidad.

• El objetivo perseguido por el modelador: Los objetivos pueden ser varios, entre

los que se cuentan:

o Maximización del beneficio total (considera a usuarios y operadores). o Maximización de las utilidades del operador. o Maximización de la afluencia de pasajeros al servicio.

o Minimización del costo de los usuarios.

o Minimización del costo del operador.

• Las restricciones presentes en el sistema modelado: Ejemplos son:

o Tamaño de flota fijo por parte del operador. o Cubrir costos de operación, o bien, establecer un margen de utilidad

mínimo si se requiere tener un beneficio privado, o un subsidio máximo si se permite tener pérdidas.

o Nivel de servicio mínimo para el usuario.

o Cumplir con un programa de operación, dado por la autoridad.

El presente trabajo se centra en las decisiones tácticas, en particular, la determinación de la frecuencia de operación y la capacidad de los vehículos en un corredor de transporte público, elementos cuyo valor óptimo depende de factores como los recién detallados. Subyacente en el análisis para la aplicación de estrategias de asignación de flota que aquí se presenta, está la modelación microeconómica de un sistema de transporte público (concepto que se explica en la Sección 2.2.1), extrapolándose elementos propios de este enfoque al estudio de diversas estrategias que permiten proveer distintas frecuencias de operación a lo largo de un corredor, en contraposición con la estrategia normal o tradicional, en que todos los vehículos circulan cíclicamente entre dos o más terminales.

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En primer lugar, en la Sección 2.2 se revisa la literatura microeconómica de transporte público, con especial atención en los elementos básicos necesarios para el desarrollo de este trabajo, mientras en 2.3 se establece un modelo de operación de un corredor de buses en régimen normal, que servirá de base de comparación para los modelos de las distintas estrategias a estudiar en el contexto de esta tesis. 2.2 Revisión de la Literatura: Modelos Microeconómicos de Transporte Público 2.2.1 Generalidades En la literatura es posible encontrar un gran número de trabajos enfocados a estudiar analíticamente la relación que existe entre los elementos presentes en un sistema de transporte público urbano. Se trata de los modelos microeconómicos del transporte público y su objetivo es determinar el valor óptimo de variables como la frecuencia, la capacidad de los vehículos, la tarifa, el espaciamiento entre líneas, la distancia entre paraderos, etc, a través de modelos que cuentan con objetivos, variables y restricciones como las identificadas en 2.1. En general, se formulan modelos determinísticos, donde variables, como el tiempo en movimiento de los buses, asumen valores fijos. La demanda puede ingresar al problema de dos formas: en forma paramétrica, en que se asume una demanda fija, que no se ve afectada por la modificación de variables de servicio o tarifa, o en forma variable o elástica en el costo generalizado de transporte. La siguiente revisión abarca los aspectos fundamentales de la literatura microeconómica del transporte público, centrándose en los elementos que están en la base del presente trabajo, como son la especificación de funciones de costos y la determinación de valores óptimos de la frecuencia y la capacidad de los vehículos, en un corredor aislado con demanda paramétrica. Un análisis más amplio de esta literatura se encuentra en Gschwender (2000) y Jara-Díaz y Gschwender (2003a). Los modelos microeconómicos se presentan como problemas de optimización, en que se maximiza o minimiza cierta función objetivo, sujeta a restricciones. El objetivo más común es la maximización del beneficio social, dado por la suma de los excedentes del consumidor y del operador. Cuando la demanda es un parámetro, la maximización del beneficio social se transforma en la minimización del gasto total Gt (Jara-Díaz, 1990), esto es, el gasto de los operadores Go más el gasto de los usuarios Gu, el que a su vez tiene tres componentes, gasto asociado al tiempo de acceso Ga, espera Ge y en vehículo Gv,

( ), ,t t o u o a e vG G f K y G G G G G G= = + = + + + (2.1) donde f es la frecuencia, K es la capacidad de los vehículos e y es la demanda. Al minimizar (2.1) con respecto a la variables que se quiere determinar (f y K) se obtiene la función de costo total Ct o mínimo gasto,

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( )t t o u o a e vC C y C C C C C C= = + = + + + (2.2)

donde Co, Ca, Ce y Cv son los valores de las funciones de gasto del operador, acceso espera y viaje, respectivamente, evaluadas en los valores óptimos encontrados. Como se verá más adelante en 2.2.4, distintos autores consideran distintas componentes de la función de gasto y variables de decisión, generando así diferentes funciones de costo. La optimización de la operación de una ruta aislada es abordada por Mohring (1972, 1976), Jansson (1980, 1984), Oldfield y Bly (1988) y Jara-Díaz y Gshwender (2003a) entre otros. En general los autores suponen una línea cíclica de largo L, sin principio ni fin (sin terminales). A continuación se describe el tratamiento que se da a las distintas componentes de la función de costo. 2.2.2 Costo de los Operadores La especificación del costo del operador aparece de variadas formas en la literatura. Se reconoce en primera instancia la existencia de costos fijos, como los costos de administración, y costos variables, que dependen del número de vehículos que se posea o se ponga en circulación. Sólo los costos variables son afectados al cambiar variables como el número de vehículos o la capacidad de éstos, por lo que para efectos prácticos se prescindirá de la componente de costos fijos en la función de costos (2.2). Para la especificación del costo variable, en la literatura de modelos microeconómicos de transporte público existen dos formas de tratar dicha componente, sin haber consenso en la elección de una por sobre la otra: Costo por vehículo-hora y costo por vehículo-kilómetro. i. Costo por vehículo-hora Si c es un parámetro que representa el costo de poner en circulación un vehículo más durante una hora [$/veh-h], y F es el tamaño de flota, el costo del operador se puede expresar como (Mohring, 1972; Jansson, 1980):

oC c F= (2.3)

ii. Costo por vehículo-kilómetro Utilizada por Oldfield y Bly (1988). Sea c’ el costo de poner en circulación un vehículo más por un kilómetro ($/veh-km). En este caso, para poder expresar el costo de manera equivalente a (2.3) y al costo de los usuarios, es decir, en unidades de [$/h], es necesario transformar el costo de unidades espaciales a unidades temporales a través de la velocidad media de circulación v (denominada “velocidad comercial” cuando se trata de vehículos de transporte público). Luego, bajo esta especificación,

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,

oC c v F= (2.4) Ahora bien, en términos generales el costo variable puede ser dividido en tres componentes (Delle Site y Filippi, 1998). i. Costo fijo de cada bus, que no depende de su uso: Costo de capital (pago de

intereses y depreciación), seguros, impuestos, etc. En general, esta componente está en [$/bus], pero puede ser llevado a una base horaria, [$/bus-h].

ii. Costo de movimiento: Consumo de insumos (combustible, lubricantes,

neumáticos y otros), mantenimiento, etc. Esta componente depende de la distancia recorrida, y lo usual es utilizar un costo unitario por kilómetro recorrido.

iii. Costo de personal. Depende del tiempo de operación o circulación, en caso de que

a los conductores y operadores se les pague por hora trabajada. También se podría agregar un factor para representar la rigidez laboral que potencialmente impide a los operadores efectuar la asignación de conductores que desean.

A la suma de (ii) y (iii) generalmente se le llama “costo operacional”. El costo de movimiento tiene dependencia directa de la distancia recorrida por cada vehículo, razón por la cual queda mejor representado mediante una especificación en base a los vehículos-kilómetro recorridos, es decir, con una expresión del tipo (2.4). Por otra parte, el costo de personal no depende de la distancia recorrida, sino del total de horas trabajadas (si los conductores no tienen un sueldo fijo y se les paga por hora), luego, queda mejor representado con una expresión como (2.3). De este simple análisis se desprende que una formulación más general de la función de costos del operador debiese considerar ambos tipos de especificaciones, en función de la distancia recorrida y del tiempo de operación, formulación que será utilizada más adelante en la Sección 2.3.

Por otra parte, como se observa en (2.3) y (2.4), el costo unitario debe ser multiplicado por el tamaño de flota para obtener el costo total del operador. El tamaño de flota F se deriva de la ecuación de sistemas cíclicos (ver Gálvez, 1978) y es igual al producto entre la frecuencia de operación f y el tiempo de ciclo tc.

cF f t= (2.5) luego,

o cC c F c f t= = o ,o cC c v f t= (2.6)

Así, para analizar el costo del operador es necesario examinar la forma de los costos unitarios de operación c y ,c y del tiempo de ciclo.

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Costos unitarios de operación En la especificación de c pueden encontrarse dos versiones: i. c constante, en que se asume que el costo unitario de poner en funcionamiento un

vehículo más es fijo, independiente del tipo de vehículo o de las condiciones de operación (Mohring 1972, 1976; Jansson, 1980, 1984)

ii. c como función lineal de la capacidad de los vehículos, K (Jansson, 1980)

( ) 0 1c K c c K= + (2.7)

En el caso de ,c , Oldfield y Bly (1988) también señalan que dicho parámetro debiera variar linealmente con K, de la forma

( ), , ,0 1c K c c K= + (2.8)

Pareciera ser que considerar c o ,c constantes o como función sólo de K es una simplificación gruesa, pues, en rigor, al menos el costo de movimiento depende también del número de paraderos y de la forma de operación de éstos, entre otras variables de operación y diseño. Por ejemplo, al detenerse un bus en un paradero, se incurre en un gasto de combustible por la detención misma, y mientras está detenido, el consumo de combustible (en ralentí) es distinto a que si estuviera en movimiento, por lo que el costo de operación de un bus se ve afectado por el número de detenciones. Por otra parte, si el flujo de buses es alto, se pueden producir problemas de congestión en el paradero que implica demoras adicionales y tiempos muertos, factores todos que inciden en el costo de operación pues cambian la proporción de tiempo en que el vehículo pasa detenido o moviéndose a pequeñas velocidades en relación al tiempo de ciclo total, y evidentemente, cambia el tiempo de ciclo mismo. Ahora bien, la pregunta relevante es ¿Incluir estos elementos es realmente relevante, mejora la modelación utilizada, ( )c c K= y

( ), ,c c K= ? La respuesta la entrega el propio Jansson, quien hace un análisis de la estructura de costos de un operador de buses, la que divide en costos de operación (CO) (aproximadamente un 80% del total): Combustible, limpieza, lubricación, mantenimiento, salarios (50% de CO), costo capital del bus (25% de CO); y gastos generales (20 % del total): administración, costos capitales sin contar los de los buses, etc. Así, si descontamos los costos asociados a salarios y costo capital del bus, sólo la cuarta parte de los costos de operación es debida al tráfico, es decir, un 25%*80%=20% de los costos del operador. Luego, una mejor especificación de c en función de variables operacionales está circunscrita a cambiar hasta la quinta parte del costo total1. Entonces, la respuesta está condicionada a si el modelador considera importante un posible cambio de esa magnitud, o sólo lo considera marginal. 1 Naturalmente, este resultado depende de la situación específica analizada por Jansson. El valor relativo de las distintas componentes del costo del operador es particular de cada caso.

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Tiempo de ciclo En cuanto a la especificación del tiempo de ciclo tc existen varias versiones i. Tiempo de ciclo constante (Mohring, 1972).

ii. Tiempo de ciclo como función de la cantidad de pasajeros que sube y baja en los

paraderos (Mohring, 1972; Jansson, 1980). El tiempo de ciclo se modela como la suma del tiempo que demora un bus en recorrer la ruta sin que suban ni bajen pasajeros (tiempo en movimiento, detenciones en intersecciones, tiempo de aceleración y frenado en paraderos, tiempo muerto en paraderos), más el tiempo de transferencia de pasajeros en paraderos, que es proporcional a la demanda de la línea e inversamente proporcional a la frecuencia. Si y es la demanda total de la línea [pax/h] y f es la frecuencia de operación [veh/h], entonces la cantidad de pasajeros que en promedio sube a cada vehículo está dada por y f y el tiempo de ciclo será

cyt Rf

β= + (2.9)

donde β es el tiempo marginal de subida y bajada de pasajeros [s/pax].

iii. Tiempo de ciclo como función del número de paraderos y la demora asociada a

cada uno de ellos, análisis hecho por Mohring (1972, 1976). Toma en cuenta que el bus no necesariamente se detiene en todos los paraderos, sino sólo en aquellos en que hay demanda de subida o bajada, haciéndose cargo de esta forma de la aleatoriedad de la demanda, inherente a un sistema de transporte público. El análisis parte de lo que Mohring define como evento “individual y colectivamente aleatorio”, caracterizado porque su probabilidad de ocurrencia no es afectada por la ocurrencia de otro evento ni por la ocurrencia del número total eventos (de la misma naturaleza), como por ejemplo, la probabilidad de que un cliente compre un periódico en un quiosco en un determinado día no se ve afectada porque otra persona lo haga ni por el número total de clientes que compra. En el caso del transporte público, podría decirse que la demanda cumple con estas características, si se supone que los pasajeros son independientes en sus decisiones de viaje (aleatoriedad individual), y que no se dan casos como que si un usuario ve mucha gente en un paradero esperando por su bus, o mucha gente a bordo del bus, se marcha y no lo toma (aleatoriedad colectiva). Un fenómeno que cumple con estas características es descrito por una variable aleatoria discreta Poisson, caso en el cual la probabilidad de que r personas quieran bajar o subir de un bus en algún paradero es

( )!

reP rr

μ μ−

= (2.10)

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donde el parámetro μ corresponde a la esperanza de la variable aleatoria r. Luego, la probabilidad de que se realice una detención se puede calcular como uno menos la probabilidad de que nadie quiera subir ni bajar en esa estación, es decir,

( )1 0 1P e μ−− = − , y finalmente el tiempo de ciclo se puede cuantificar como,

( )1c pyt R t p ef

μβ −= + + − (2.11)

en que p es el número de paraderos de la ruta, tp es el tiempo de aceleración y frenado en un paradero más el tiempo muerto que se produce en la detención (estas componentes salen de R) y el parámetro μ corresponde al número medio de pasajeros que sube o baja de un bus por paradero, es decir,

2yf p

μ = (2.12)

Así, Mohring sólo considera el número efectivo de detenciones de un bus en los paraderos de la línea, modelo aplicable a sistemas en que se permite que los vehículos no se detengan en todas las estaciones.

iv. Tiempo de ciclo considerando incidencia de la congestión. Jara-Díaz y

Gschwender (2003a) incorporan nuevos elementos en la especificación del tiempo de ciclo, en particular, el aumento del tiempo en circulación por efecto tanto de la congestión de pasajeros (alta demanda y), que incrementa el tiempo de subida y bajada a medida que un vehículo tiene una mayor tasa de ocupación, como de la congestión de los vehículos (alta frecuencia f) que genera interacción entre éstos, impidiéndose el desplazamiento fluido entre paraderos y dificultándose una operación eficiente de paraderos (vehículos se estorban).

2.2.3 Costo de los Usuarios En general los modelos microeconómicos expresan el costo de los usuarios, el costo asociado a los tiempos de acceso, espera y en vehículo, con la misma forma común a las tres componentes, cuál es:

i i iC P t y= (2.13) con i: a (acceso), e (espera) o v (en vehículo). (2.13) indica que el costo asociado a la componente del tiempo en estudio i es igual al tiempo promedio (ti) por la demanda total (y), cantidad que se debe multiplicar por el valor del tiempo Pi para ser transformada de unidades de tiempo a unidades monetarias.

11

2.2.3.1 Costo Asociado al Tiempo de Acceso Las etapas primera y última de un viaje en un modo de transporte público, en su conjunto, se denominan acceso, es decir, el desplazamiento desde el origen del viaje hasta el punto de transferencia a un vehículo de transporte público (paradero o estación) más cercano y el egreso o caminata desde la estación de descenso del vehículo hasta el destino final del viaje. Así, el costo asociado al tiempo de acceso, Ca, en general se hace cargo del tiempo dedicado a estas dos porciones del viaje. Por simplicidad, la mayoría de los modelos microeconómicos considera en su formulación sólo el acceso en el origen, el cual a su vez también consta de dos partes, la caminata desde el origen del viaje hacia la ruta o línea de transporte público, que se asume ortogonal a ésta, y la caminata sobre la misma ruta hasta la estación o paradero más cercano. La primera componente sólo es considerada por los modelos bidimensionales, en que se estudia un conjunto de líneas paralelas equiespaciadas (Kocur y Hendrickson,1982; Chang y Schonfeld, 1991). Si g es la distancia o espaciamiento entre las rutas y las personas están homogéneamente distribuidas en el área de estudio, la distancia máxima que caminará una persona hacia una ruta es 2g y la distancia mínima es 0 (si el origen del viaje está sobre la línea)2. Por lo tanto, la distancia media de acceso hacia la ruta es 4g , y si v es la velocidad de caminata de los peatones, entonces el tiempo medio de acceso hacia la ruta es

1

4agtv

= (2.14)

Para calcular el tiempo de caminata sobre la línea se hace un análisis análogo, resultando,

2

4aL pt

v= (2.15)

en que L es la longitud total de la línea, por lo tanto, L p es la distancia entre paraderos (si éstos son equidistantes). Luego, el tiempo de acceso total en el origen puede estimarse como:

4ag L pt

v+= (2.16)

Notar que (2.15) también es válida para el tiempo de acceso sobre la ruta en el destino. Luego, en los casos de modelos de ruta aislada (donde el espaciamiento entre líneas no juega rol alguno) el tiempo de acceso total puede ser modelado como

2 Éste análisis supone que todas las líneas son igualmente atractivas para los usuarios, supuesto plausible en un conjunto de líneas alimentadoras que llegan a la misma línea troncal, es decir, líneas que son igualmente útiles para alcanzar el destino.

12

2aL pt

v= (2.17)

Cualquiera sea la forma adoptada para el tiempo de acceso, su costo asociado tiene la forma (2.13). 2.2.3.2 Costo Asociado al Tiempo de Espera En la mayoría de los modelos, el tiempo de espera promedio se considera como una fracción a del intervalo h (inverso de la frecuencia). Si además se supone que la llegada de pasajeros a las estaciones es aleatoria y uniforme, y que los vehículos llegan a tasa regular y constante, entonces a=1/2 (Mohring, 1972, 1976; Jansson, 1980,1984; Kocur y Hendrickson,1982; Chang y Schonfeld, 1991), es decir, el tiempo de espera promedio es la mitad del intervalo.

1

2 2eht

f= = (2.18)

Ahora bien, suponer que el tiempo de espera de los pasajeros está determinado solamente por la frecuencia, implica que todos los pasajeros que esperan en una estación son capaces de subir al primer bus que arriba, supuesto razonable si la demanda baja y los vehículos circulan con pocos pasajeros. Sin embargo, si la tasa de ocupación de los vehículos es alta, al menos en los segmentos más cargados de la ruta puede suceder que no todos los pasajeros sean capaces de abordar el primer vehículo que llega a una estación pues éste ha copado su capacidad, aumentándose de esta forma el tiempo de espera. Luego, el tiempo de espera puede formularse como función tanto de la frecuencia f como del factor de carga φ (cuociente entre el tamaño de embarque medio y la capacidad de los vehículos), como postulan Bly y Oldfield (1986) y Oldfield y Bly (1988).

( ),e et t f φ= (2.19) Para (2.19) los autores analizan tres formas funcionales posibles, i. Forma constante

( ),eat ff

φ = (2.20)

en que a es mayor mientras más grande sea el valor de φ . ii. Forma multiplicativa

13

( )1

, 1eat ff s

γφφ−

⎡ ⎤⎛ ⎞= ⋅ −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

(2.21)

donde ( ]0,1s ∈ se define como el factor de carga de saturación, para el cual es tiempo de espera es intolerablemente grande. Con respecto a γ , Oldfield y Bly (1988) mediante simulación obtienen un valor de 2.5γ = para tasas de ocupación relativamente bajas, y

5γ = para casos en que muchos buses circulan a capacidad. iii. Forma aditiva

( ),eat f zf

γφ φ= + (2.22)

donde z es un parámetro y γ es mayor mientras mayor sea el peak de la demanda (tanto en el espacio como en el tiempo), con un exponente γ que no supera el valor 5. Si el sistema modelado presenta condiciones propicias para mantener regularidad en el servicio, como tiempos de viaje entre paraderos y tiempos de detención para transferencia de pasajeros (más o menos) constantes, considerar un tiempo de llegada de los buses determinístico a un paradero es una buena aproximación de la realidad (vías segregadas de buses, ausencia de congestión, demanda baja o estable, etc), apuntando la literatura microeconómica clásica a un sistema con estas características (ecuación 2.18). Sin embargo, en muchos casos estos supuestos no se cumplen, lo que lleva necesariamente a considerar que en general la llegada de los buses a un paradero también es aleatoria, siendo afectada principalmente por la congestión, tanto de los mismos vehículos de transporte público como de los automóviles particulares, y por las variaciones intrínsecas de la demanda, que hacen que un bus se atrase o adelante si transfiere más o menos pasajeros, etc. Por lo tanto, es imposible mantener un intervalo fijo si el servicio no es programado, produciéndose lo que se conoce como “paradoja del inspector”, en que aunque los buses tengan capacidad suficiente para satisfacer la demanda siempre, el tiempo de espera promedio es mayor que la mitad del intervalo esperado, pues es más probable que una persona llegue a un paradero durante un intervalo largo que en uno corto. Como demuestran Welding (1957) y Osuna y Newell (1972), cuando el intervalo es aleatorio la esperanza del tiempo de espera estará dada por:

[ ] [ ] [ ][ ]

[ ]21 112 2e

Var hE t E h E h

E h

⎛ ⎞⎜ ⎟= + ≥⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.23)

donde h es la variable aleatoria que representa el intervalo entre vehículos y [ ]E h ,

[ ]Var h son la esperanza y la varianza de h, respectivamente. Este resultado sólo es válido en sistemas donde los pasajeros llegan aleatoriamente a los paraderos, a tasa constante λ, supuesto plausible en servicios con altas frecuencias de operación, esto es,

14

intervalos menores de 10 minutos (Seddon y Day, 1974; Danas, 1980)3. De (2.23) se desprende que la esperanza del tiempo de espera es siempre mayor a la mitad del intervalo cuando éste presenta variabilidad, y es igual a la mitad del intervalo sólo si Var[h]=0, es decir, si los intervalos son uniformes. Luego, para minimizar el tiempo de espera se necesita proveer un servicio que opere con intervalos lo más uniformes posible. En casos en que esto no suceda, si se modela el tiempo de espera promedio como la mitad del intervalo se está subestimando el costo asociado a éste. 2.2.3.3 Costo Asociado al Tiempo en Vehículo En general, en la literatura se ha considerado al tiempo en vehículo vt como una fracción del tiempo de ciclo (ya discutido en 2.2.2), dada por el largo promedio de los viajes (Mohring, 1972,1976; Jansson, 1980, 1984, Chang y Schonfeld, 1991). Es decir, si l es la distancia que en promedio viajan los usuarios y L el largo de la ruta, entonces

v clt tL

= (2.24)

expresión con la que se formula el costo asociado al tiempo en vehículo, Cv, mediante (2.13). Con respecto al valor del tiempo en vehículo, existen algunos trabajos que no lo consideran constante como es usual, sino que dependiente de parámetros asociados a la calidad del viaje, en particular al hacinamiento, bajo la idea de que mientras mayor sea la incomodidad por una alta tasa de ocupación de los vehículos, los usuarios están dispuestos a pagar más por disminuir su tiempo en vehículo. Krauss (1991) especifica vP con un valor extra 0hP > una vez que todos los asientos están ocupados:

0

0

v ov

v h o

P si el pasajero aborda antes dela estacióniP

P P si el pasajero aborda después dela estacióni

⎧⎪= ⎨+⎪⎩

(2. 25)

donde 0i es la estación a partir del cual todos los asientos están ocupados. Por su parte, Jara-Díaz y Gschwender (2003a) entregan una formulación lineal para vP con respecto a la tasa de ocupación φ :

( ) 0 1v v vP P Pφ φ= + (2. 26) 2.2.4 Valores Óptimos de las Variables 3 Cuando hay grandes intervalos, generalmente existe un horario preestablecido de llegada de los vehículos a los paraderos y los pasajeros se acomodan a este horario.

15

2.2.4.1 Modelos que Estudian una Ruta, Demanda Paramétrica Si se toma en cuenta las distintas componentes de los costos de los usuarios y de los operadores presentadas, los modelos microeconómicos de transporte público han encontrado valores óptimos de variables relevantes de diseño, tales como la frecuencia, el espaciamiento entre paraderos y el tamaño de los vehículos, tanto para un corredor o línea de transporte público aislada, como para un conjunto de varias líneas paralelas, caso este último en que el espaciamiento entre líneas es también una variable. A continuación se presentan los principales resultados encontrados en la literatura en cuanto a la determinación de la frecuencia y el tamaño de los buses en modelos que consideran la demanda como un parámetro exógeno. Para un corredor aislado el problema consiste en minimizar la función de costo total (2.2). Recordando que el costo asociado al tiempo consumido en realizar el viaje (en sus tres componentes) se modela como el producto entre el tiempo consumido y el valor del tiempo correspondiente (ecuación 2.13), y que el costo del operador está dado por (2.6), entonces (2.2) puede escribirse como

t a a e e v vC c F P t y P t y P t y= + + + (2.27) Si se considera que el trazado de la línea está fijo, no pudiéndose variar el número ni la posición de los paraderos, entonces el tiempo de acceso es un valor fijo y no entra en la optimización. Si además se supone que el tiempo de ciclo es fijo, entonces el tiempo en vehículo promedio (2.24) no depende de la frecuencia y tampoco forma parte del proceso de optimización. Luego, el problema a resolver es

min2t c ef

yC c f t Pf

= + (2.28)

Al aplicar la condición de primer orden se obtiene (Mohring, 1972)

*

2e

c

Pf yt c

= (2.29)

primera versión de la “fórmula de la raíz cuadrada”, resultado clásico para la frecuencia óptima en un corredor aislado de transporte público, en el cual se observa claramente la contraposición que existe entre los intereses de usuarios y operadores a la hora de definir la frecuencia; mientras a los primeros les interesa tener una frecuencia mayor para disminuir su tiempo de espera (demanda y valor del tiempo de espera aparecen en el numerador), los segundos quieren disminuir la frecuencia cuánto puedan, pues mayor frecuencia significa más vehículos y por consiguiente un mayor costo (el costo unitario de operación aparece en el denominador). Como la segunda derivada de (2.28) es positiva para cualquier valor 0f > (función estrictamente convexa), en particular para (2.29), éste es un mínimo global de (2.28).

16

Si se considera ahora que el tiempo de ciclo depende de la frecuencia, como en (2.9), el tiempo en vehículo también es susceptible a cambios en f y debe ser considerado en la optimización. En este caso se tiene:

min2t e vf

y y l yC c f R P P R yf f L f

β β⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (2.30)

Aplicando condiciones de primer orden nuevamente es posible derivar la frecuencia óptima de operación (Jansson, 1980),

* 2e

vP lP y y

LfcR

β⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠= (2.31)

expresión que generaliza (2.29) tomando en cuenta además la influencia de la frecuencia en el tiempo en vehículo: mientras menor sea la frecuencia, más pasajeros se subirán y bajarán de un bus haciendo el viaje más lento. Luego, mientras mayor sea el costo asociado al tiempo en vehículo (expresado en 2.31 a través de Pv, l, β, o y) mayor es el valor de la frecuencia óptima. Un tercer paso es considerar que el costo unitario de operación c crece linealmente con el tamaño de los vehículos K, como en (2.7), ingresando explícitamente una nueva variable a la función objetivo (2.30). Jansson entrega una restricción de capacidad del sistema que relaciona la frecuencia con el tamaño de los buses, del tipo:

max

y l LfKφ

= (2.32)

en que y l L es el flujo promedio de pasajeros de la línea y φmax es el valor máximo de la tasa de ocupación, parámetro exógeno necesario si se conoce sólo la carga promedio y no la carga máxima (que es la que impone la restricción de capacidad). Jansson asume

max 1 3φ = . Luego, (2.32) permite expresar el costo del operador (2.7) en función de la frecuencia, resultado que se ingresa en (2.30) para obtener una forma más general de la función de costo total. Analíticamente,

0 1max

min2t e vf

y l L y y l yC c c R f P P R yf f f L f

β βφ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (2.33)

de donde es posible obtener una nueva expresión para la frecuencia óptima que también sigue una estructura de raíz cuadrada, tal como ocurre en las expresiones previas.

17

1max*

0

2e

vP l l LP y c y

Lf

c R

β βφ

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟

⎝ ⎠= (2.34)

Notar que mientras mayor sea el valor de c1, más caro es tener buses más grandes y el operador prefiere buses de menor capacidad, variable que se relaciona inversamente con la frecuencia según (2.32), explicándose así la aparición de 1c en el numerador del subradical. De aquella relación inversa es posible también deducir el tamaño óptimo de los vehículos, despejando K de (2.32) e insertando *f de (2.34), obteniendo

* 0

max1

max2e

v

c Ry l LKP l l LP y c y

L fφ

β βφ

=⎛ ⎞

+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.35)

Si el número de paraderos es también una variable, éste ingresa de dos formas a la función de costos, a través del tiempo de acceso con una expresión de la forma (2.16) y en el tiempo de ciclo, si es posible que los vehículos no se detengan en una parada si no hay demanda de subida y bajada (enfoque de Mohring, expresión 2.11). En este caso no es posible encontrar una forma cerrada para la frecuencia. Finalmente, considerando el valor del tiempo en vehículo como una función creciente del hacinamiento como en (2.26), Jara-Díaz y Gschwender (2003a) desarrollan un nuevo modelo que generaliza el de Jansson, cuya solución depende del valor relativo de 1c y

1vP :

( )

( )

1 1 0*

01 1

* *

22

11

ev v

v

P l y c P P yLf

c Rc P

PvK k fc

β⎧ ⎡ ⎤+ +⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ =⎪< ⇒ ⎨⎪⎪ =⎪⎩

(2.36)

( )

( )

1 0 1*

1 10

* *

2e

v v

v

P l y c P P yLfc P c R

K k f

β⎧ ⎡ ⎤+ + +⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ => ⇒ ⎨⎪⎪ =⎩

(2.37)

donde ( )*k f es el tamaño medio de embarque cuando la frecuencia es *f . Comparando las frecuencias óptimas de los modelos presentados (ecuaciones 2.29, 2.31, 2.34, 2.36 y 2.37), Jara-Díaz y Gschwender (2003a) concluyen que mientras mejor sea la

18

representación del costo de operadores y usuarios, mayor es el valor óptimo de la frecuencia. 2.2.4.2 Algunas Extensiones Cabe preguntarse si los resultados que se obtienen para una ruta aislada son extensivos a una red de transporte público, en que hay muchas líneas que se entrelazan e interactúan entre ellas. Una abstracción simplificada ha sido realizada por Kocur y Hendrickson (1982) y Chang y Schonfeld (1991), quienes consideran un conjunto de líneas paralelas equiespaciadas. En este caso se demuestra que la frecuencia óptima depende de la raíz cúbica de la demanda de pasajeros, mediante una expresión del tipo,

2* 3 e

c a

v P yfW t c P

= (2.38)

donde W es el ancho del área rectangular bajo estudio, v es la velocidad de caminata de los peatones y las demás variables son definidas como antes. Esta raíz cúbica representa una diferencia fundamental con respecto la “regla de la raíz cuadrada” de los modelos de ruta aislada, pues ante un cambio de la misma magnitud en la demanda, según (2.38) los operadores también aumentan la frecuencia pero en menor medida. La diferencia se explica por la componente espacial subyacente en (2.38). Si aumenta la demanda y se consideran muchas rutas, el operador puede responder no sólo incrementando la frecuencia, sino que también densificando tales rutas, disminuyendo su espaciamiento y por consiguiente el tiempo de acceso. Por otra parte, por el lado de la caracterización de la demanda, de manera paralela a los modelos de demanda paramétrica se han desarrollado modelos de demanda endógena o elástica. Si se supone que un cambio en el nivel de servicio de un sistema de transporte público afecta a la demanda (aumento en la frecuencia puede atraer usuarios desde otros modos), surge este segundo conjunto de modelos en que la demanda no es un parámetro exógeno, sino que un resultado dependiente del valor de las variables relevantes en la elección de modo (costo y tiempo, principalmente). Se establece una función G de costo generalizado del transporte público que considera la tarifa P y el tiempo total de viaje

a a e e v vG P P t Pt P t= + + + (2.39) Así, surge una nueva variable de decisión, cual es la tarifa. Los modelos de demanda elástica más importantes son Oldfield y Bly (1988) para una ruta aislada, y Kocur y Hendrickson (1982) y Chang y Schonfeld (1991) para varias rutas. Oldfield y Bly se trazan como objetivo la maximización del beneficio social BS, en que aparece el excedente de los consumidores, productores y externalidades.

1

0

G

G

BS y dG S e= − − −∫ (2.40)

19

donde el primer término corresponde al Excedente Marshalliano del Consumidor, el segundo tiene implícita una restricción financiera, pues establece un subsidio S fijo que se fija exógenamente (S será negativo si el objetivo es obtener utilidades), mientras el tercer término agrupa a las posibles externalidades presentes al atraer usuarios desde otros modos al transporte público, ante una disminución en el costo generalizado desde G0 a G1 4. Por su parte, Kocur y Hendrickson (1982) maximizan tres funciones objetivo: el ingreso de los operadores, la suma ponderada del ingreso de los operadores y el excedente de los consumidores, y el excedente de los consumidores sujeto a cumplir con una restricción de ingreso. Finalmente, Chang y Schonfeld (1991) maximizan las utilidades del operador y el beneficio social, tanto en un esquema de un solo período de operación como en uno multiperíodo. 2.3 Formulación: Operación Normal 2.3.1 Introducción y Supuestos Una vez identificados los fundamentos microeconómicos en la modelación de un sistema de transporte público, es necesario introducir un modelo de circulación en operación normal, el cual será utilizado para comparar la operación con estrategias de asignación de flota (Capítulo 3), bajo el principio de que una estrategia será ventajosa o conveniente de aplicar si provee un menor costo total que en operación normal. A continuación se define el marco de trabajo en que se inscriben los modelos, tanto los de esta sección como los desarrollados en el Capítulo 3.

1. Se considera un corredor aislado, lineal, con dos terminales en los extremos y dos sentidos opuestos de operación. A cada sentido se le otorga los índices 1 y 2.

2. La demanda es paramétrica, exógena, con lo cual no se pretende estudiar el efecto

que tienen las estrategias estudiadas en el aumento o disminución de la demanda en el corredor. El suponer la demanda paramétrica permite en muchos casos obtener formas algebraicas para la frecuencia y capacidad vehicular óptimas (como en las expresiones 2.29, 2.31, 2.34 y 2.35), expresiones de las que es posible interpretar el rol que juegan los distintos factores relevantes en la definición del problema (valores del tiempo, costos de operación, tiempos de viaje, etc.).

3. Se asume un servicio de alta frecuencia, en que los usuarios llegan aleatoriamente

a las estaciones a tasa uniforme, supuesto razonable para servicios con intervalos menores a 10 minutos (Seddon y Day, 1974; Danas, 1980).

4. Los vehículos tienen capacidad suficiente para acomodar el valor esperado de la

4 Oldfield y Bly identifican dos tipos de externalidad: un beneficio de red al atraer usuarios al transporte público desde el transporte privado, y un costo de aumentar la frecuencia de los buses, que causa congestión tanto en los mismos buses como en los demás modos.

20

demanda máxima. Bajo este supuesto, se asume que los pasajeros son siempre capaces de subir al primer vehículo que arriba a sus estaciones; por lo tanto, el tiempo de espera está determinado sólo por la frecuencia de circulación o el intervalo entre vehículos (expresión 2.23). De hecho, como se verá más adelante en los modelos presentados, la capacidad de los vehículos se calcula como aquella capaz de acomodar a la demanda esperada en el tramo más cargado, con un factor de seguridad impuesto para tener capacidad de reserva. Notar que, como se asume que la demanda tiene una distribución aleatoria, en estricto rigor esta capacidad (y cualquier otro valor finito de la capacidad) puede ser superada con una probabilidad distinta de cero, caso que no se considerará para la modelación del tiempo de espera.

5. La topología de la línea, su trazado y número de paraderos se asume fijo y

definido exógenamente, razón por la cual el costo asociado al tiempo de acceso no se considera en el problema de optimización. El fundamento subyacente en este supuesto está en el ámbito de acción del presente trabajo; los modelos presentados buscan apoyar la toma de decisiones tácticas (ver definición en Sección 2.1), suponiéndose que la definición de la red de transporte público, la cual es parte de la planificación estratégica, ya está hecha previamente.

6. El objetivo de los modelos desarrollados es encontrar el óptimo social, el cual en

los modelos de demanda paramétrica se alcanza minimizando la suma del costo de los operadores y de los usuarios.

Como muestra la ecuación (2.23), el régimen de llegadas de vehículos a las estaciones tiene influencia en el tiempo de espera de los pasajeros, quienes esperan menos mientras más regulares sean los intervalos de llegada. Se estudiará dos casos: i. Intervalos regulares

Característico de sistemas con escasa variabilidad, tanto en tiempos de viaje como por transferencia de pasajeros, por ejemplo, corredores segregados de transporte público con una operación eficiente en paraderos. En estos casos, es más fácil operar con intervalos regulares a lo largo de toda la vía, si fuese éste el objetivo, sin perjuicio de que como se mencionó en 2.2.3.2, es prácticamente imposible que los vehículos mantengan por sí solos intervalos regulares a lo largo de todo su recorrido y se deben tomar acciones de control para proveerlos (este tema se aborda en la Sección 3.3.2). En este caso, bajo el supuesto de que los usuarios llegan aleatoriamente a tasa constante a las estaciones, el tiempo de espera resulta ser, en promedio, igual a la mitad del intervalo, resultado refrendado por (2.23) si se asigna [ ] 0Var h = .

[ ]1( )2eE t E h= (2.41)

21

ii. Intervalos aleatorios bajo un proceso Poisson

Característico de sistemas con alta variabilidad en los tiempos en movimiento, como aquellos que comparten el derecho de vía con otros modos, los que pueden condicionar el movimiento de los vehículos de transporte público (en particular el automóvil en situaciones de alto tráfico), o sistemas sobre los cuales se ejerce escaso control en cuanto a sus tiempos de viaje y detenciones. El proceso Poisson tiene la propiedad de que el tiempo entre eventos tiene una distribución exponencial, es decir, una función de densidad:

( ) 00 0

he si hf h

si h

λλ −⎧ ≥= ⎨

<⎩ (2.42)

en que λ es la tasa de llegada de los vehículos, o sea, la frecuencia. En este caso, [ ] 1E h λ= y [ ] 21Var h λ= , valores que se introducen en (2.23) para obtener

[ ]( )eE t E h= (2.43)

es decir, si la llegada de vehículos a las estaciones se rige por un proceso Poisson, y bajo el supuesto de que los usuarios llegan aleatoriamente a tasa constante a las estaciones, el tiempo de espera resulta ser igual a la esperanza del intervalo. Notar que en el caso de distribuciones más complejas para la llegada de pasajeros a estaciones, por ejemplo, en pelotones, la expresión (2.23) no es válida y se debe analizar cada caso en específico. En primer término se formula un modelo de demanda agregada, en el cual sólo se supone conocida la demanda total de la línea y el largo promedio de los viajes, manteniendo la forma de los modelos microeconómicos clásicos de la literatura, pero aplicados a un corredor lineal con dos sentidos de operación (demandas y1 e y2 por sentido) y no a una línea circular sin fin (demanda y) como es tradicional. Además se considera una forma más general de la función de costos del operador, con componentes tanto por distancia recorrida como por tiempo transcurrido, la cual según la discusión hecha en la Sección 2.2.2. parece ser más completa que utilizar sólo una de las dos, como se ha hecho usualmente en la literatura microeconómica. En segundo término se desarrolla un modelo de demanda desagregada, cuya principal diferencia con el anterior está en que dispone de un conocimiento más acabado de la demanda, a través de la matriz origen-destino al nivel de paraderos o estaciones. Esto permite una especificación más detallada de las funciones de costo, en particular del costo asociado al tiempo en vehículo que en los modelos de demanda agregada se considera sólo como un valor promedio. La razón principal por la cual se opta por la inclusión de este modelo está en que, en principio, para la definición de los costos de los usuarios en la modelación de las estrategias de asignación de flota que se analizarán en el presente trabajo, se necesita conocer tanto el origen como el destino de cada viaje para

22

poder determinar exactamente la cantidad de usuarios favorecidos y perjudicados por una estrategia, y aplicar distintas frecuencias de servicio en distintos segmentos del corredor. 2.3.2. Modelo de Demanda Agregada 2.3.2.1 Costo Asociado al Tiempo de Espera Se considera el costo asociado al tiempo de espera (Ce) como el producto entre el tiempo total de espera y el valor del tiempo de espera (Pe). Recordando que el intervalo entre vehículos es el inverso de la frecuencia, Ce resulta ser:

1 212e e

y yxC Pf++= (2.44)

donde yi es la tasa de llegada (constante) de pasajeros en el sentido i, f es la frecuencia de operación en régimen normal y x es una variable binaria, definida para formular en una sola expresión los dos casos a estudiar, llegadas uniforme y Poisson (ecuaciones 2.41 y 2.43, respectivamente)

01

llegada devehículos uniformex

llegada devehículos Poisson⎧

= ⎨⎩

(2.45)

2.3.2.2 Costo asociado al tiempo en vehículo El costo asociado al tiempo en vehículo (Cv) se modela como el producto entre el tiempo total de viaje y el valor del tiempo en vehículo (Pv). El tiempo en vehículo puede ser expresado como una fracción del tiempo total de recorrido en ambos sentidos (Mohring, 1972; Jansson, 1980; Jara-Díaz y Gschwender, 2003a), y está dado por el cuociente entre el largo promedio del viaje en el sentido i (li) y el largo de la ruta (L). Por otra parte, el tiempo de recorrido es la suma de los tiempos de transferencia de pasajeros y en movimiento; el primero está dado por el producto entre la cantidad de pasajeros que suben a un bus, /iy f , y el tiempo marginal de subida y bajada de pasajeros, β , mientras que el tiempo en movimiento en el sentido i (no considera tiempo de transferencia de pasajeros) se define como Ri. Luego,

1 1 2 21 1 2 2v v

l y l yC P R y R yL f L f

β β⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(2.46)

23

2.3.2.3 Costo del Operador Como se señaló en la Sección 2.2.2, en la literatura microeconómica tradicional del transporte público se ha supuesto el costo del operador como el producto entre la flota total y un factor c de costo unitario, definido como el costo de poner un vehículo más en el sistema, por hora (base temporal) o por kilómetro (base espacial), utilizando algunos autores la primera forma y otros la segunda. En Delle Site y Filippi (1998) se realiza un análisis más amplio (ver Sección 2.2.2) el cual nos permite concluir que una formulación más general debe considerar ambas componentes espacial y temporal de la función de costos, pues algunos ítemes de ella quedan mejor representados en una base temporal (salarios) y otros en una base espacial (consumo de combustible y mantenimiento entre otros). Además, siguiendo a Jansson (1980) y Oldfield y Bly (1988) se utilizará una dependencia lineal en la capacidad de los vehículos para las funciones de costo unitario,

( )c K para el costo por vehículo-hora (expresado en [$/veh-h]) y ( ),c K para el costo por vehículo-kilómetro (expresado en [$/veh-km]), dadas por las expresiones (2.7) y (2.8), respectivamente. Luego, el costo del operador tiene la forma:

( ) ( )'oC c K F c K v F= + (2.47)

donde (2.8) fue llevada a una base temporal a través de la velocidad comercial v, para poder ser comparado con las demás componentes de la función de costo total.

El tamaño de flota se calcula como el producto entre la frecuencia de operación y el tiempo de ciclo (ecuación 2.5). El tiempo de ciclo ct puede ser expresado como el cuociente entre la distancia recorrida y la velocidad comercial,

2

cLtv

= (2.48)

lo cual elimina la dependencia de la velocidad y de la demanda en el segundo término de (2.47), es decir, en la componente espacial de la función de costos, obteniendo

( ) ( )2 'o cC c K f t c K f L= + (2.49)

o

( ) ( )1 21 2 2 'o

y yC f c K R R c K Lf

β⎡ ⎤⎛ ⎞+= + + +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦ (2.50)

24

2.3.2.4 Valor Óptimo de la Frecuencia y el Tamaño de los Vehículos El problema de minimización del costo social contempla la minimización conjunta de los costos de los operadores y de los usuarios, tal como se aprecia en ecuaciones (2.44), (2.46) y (2.50), las cuales en su conjunto conforman el costo total Ct [$/h]:

( ) ( ) ( )1 2 1 2

1 2

1 1 2 21 1 2 2

1, 2 '2t e

v

y y y yxC K f f c K R R c K L Pf f

l y l yP R y R yL f L f

β

β β

⎡ ⎤⎛ ⎞+ ++= + + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(2.51)

Con respecto a la capacidad de los buses cabe hacer ciertas consideraciones. Si se circula con buses muy pequeños se corre el riesgo de que éstos no sean capaces de acomodar toda la demanda, situación que en general no es deseable. Por otro lado, si los buses son muy grandes, se incrementa el costo del operador pues éste crece linealmente con K según las ecuaciones (2.7) y (2.8), mientras los usuarios no reciben ningún beneficio por utilizar buses más grandes, pues tanto el costo asociado al tiempo de espera como el costo asociado al tiempo en vehículo (ecuaciones 2.44 y 2.46) no se ven afectados por la capacidad de los vehículos5. Luego, no existe ningún incentivo para proveer una capacidad en los buses mayor a la mínima necesaria para acomodar toda la demanda. Así, el tamaño de los buses se obtiene imponiendo que éstos sean capaces de acomodar la demanda esperada en el tramo más cargado, valor que no se puede obtener directamente en un modelo de demanda agregada pues no existe conocimiento de su distribución espacial (a priori, sólo se sabe el valor de la demanda total a lo largo de la línea por sentido, desconociéndose los segmentos de baja y alta carga), pudiendo conocerse sólo el tamaño de embarque promedio en los buses, por sentido i:

i ii

l ykL f

= (2. 52)

luego, en general se expresará la carga máxima como una proporción ,1ii

lL

α ⎡ ⎤∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦ de la

demanda total del sentido i. Además es conveniente establecer un factor de seguridad ( )0,1η ∈ para el cálculo de la capacidad de los vehículos, el cual permite disponer de

capacidad de reserva, incluso en el tramo más cargado del corredor, para absorber las aleatoriedades inherentes a la demanda, como son las variaciones en torno a los valores promedio y1 e y2 utilizados, y las variaciones en la concentración espacial de la misma. Así,

5 Distinto es el caso en que se supone que los usuarios le dan valor a la comodidad de viajar con menos personas abordo del bus, efecto capturado por ejemplo con una expresión del valor del tiempo en vehículo que sea función del hacinamiento (Kraus, 1991, Jara-Díaz y Gschwender, 2003a).

25

ii

yKf

η α≥ { }1,2i∀ ∈ (2.53)

o, equivalentemente,

( )1 1 2 2 maxmax ,y yK

f fα α αη = ≡

(2.54)

Luego, reemplazando (2.54) en (2.51), la función de costo total queda dependiente sólo de la frecuencia:

( ) , ,max max1 20 1 1 2 0 1

1 2 1 1 2 21 1 2 2

1 2

2

12

t

e v

y yC f f c c R R L c cf f f

y y l y l yxP P R y R yf L f L f

α αβη η

β β

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+= + + + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+++ + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(2.55)

expresión que debe ser minimizada para encontrar la frecuencia óptima. La condición de primer orden (en adelante, CPO) es:

( ) ( ) ( ), 2 2 max1 20 1 2 0 1 2 1 2 1 1 22

1 12 02

te v

dC l lxc R R c L P y y P y y c y ydf f L L

αβ β βη

⎡ ⎤+ ⎛ ⎞= + + − + + + + + =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

de donde es posible despejar la frecuencia óptima directamente:

( ) ( )( )

2 2 max1 21 2 1 2 1 1 2

*,

0 1 2 0

12

2

e vl lxP y y P y y c y yL Lf

c R R c L

αβ βη

+ ⎛ ⎞+ + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠=

+ + (2.56)

expresión con la cual se evalúa (2.55) para obtener el costo mínimo. La forma de (2.56) recupera la tradicional “fórmula de la raíz cuadrada” para un corredor aislado, tal como se presenta en las expresiones (2.29), (2.31) y (2.34). Notar que la suma 1 2y y+ en los términos primero y tercero de (2.56) corresponde a la demanda total de la línea. Cabe detenerse en el impacto que tiene en el cálculo de la frecuencia óptima, la inclusión simultánea de las componentes espacial y temporal del costo del operador en el costo social. Al igual que en (2.34), los dos parámetros del costo temporal, c0 y c1 aparecen en (2.56). Sin embargo, del costo espacial sólo se observa ,

0c (y no ,1c ), resultado que se

hereda del hecho de que la componente espacial del costo del operador no depende del tiempo de ciclo (expresión 2.49), dependencia que se pierde al transformar tal costo de [$/veh-km] a [$/veh-h] multiplicando por la velocidad comercial. Analíticamente, el producto entre f y ,

1c K en (2.50) es constante (no depende de la frecuencia) cuando K tiene la forma (2.54), luego, ,

1c no aparece en la frecuencia óptima (2.56).

26

Reemplazando (2.56) en (2.54), se encuentra la capacidad de los vehículos:

* max*K

fαη

= (2.57)

Cabe señalar que ésta es una aproximación de la realidad, pues en la práctica la capacidad de los vehículos que se puede escoger para servir una red de transporte público es una variable discreta, existiendo sólo algunos de tamaños de vehículos para escoger. Si se considera que el costo del operador no depende de la capacidad de los vehículos, esto es, ( ) 0c K c= y ( ), ,

0c K c= , la frecuencia óptima se transforma en

( )( )

2 21 21 2 1 2

*,

1 2

12

2

e vl lxP y y P y yL Lf

c R R c L

β+ ⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟⎝ ⎠=

+ + (2.58)

Luego, en este caso la frecuencia óptima resulta menor que la obtenida tomando en consideración que el costo del operador crece con el tamaño de los vehículos, es decir, si se omite tal dependencia, el sistema funciona con menos buses de mayor capacidad en el óptimo. Este resultado muestra además que los usuarios también son sensibles a la forma de la función de costo de los operadores, pues una menor frecuencia significa mayores costos en tiempos de espera y de viaje. Jara-Díaz y Gschwender (2003a) concluyen que si se considera el tamaño de los buses en la función de costo total, ya sea en el costo de los operadores o en el costo de los usuarios (a través del hacinamiento en el valor del tiempo en vehículo), la frecuencia óptima es siempre mayor que cuando se omite la influencia de K. 2.3.3 Modelo de Demanda Desagregada 2.3.3.1 Introducción y definiciones En esta sección se considera una formulación desagregada en la demanda para la operación de un corredor de transporte público, la cual supone el conocimiento de la tasa de viajes entre cada par de estaciones que conforman la línea, es decir, una matriz Origen-Destino (en adelante, OD) al nivel de estaciones. Este modelo permitirá una especificación más precisa de las funciones de costo y será fundamental en la definición de las estrategias, donde se hace necesario tener información de la demanda estación a estación para poder plantear los costos asociados al tiempo de espera y viaje, como se verá en el Capítulo 3. Suponemos un sistema con N estaciones por sentido (lo que corresponde a N-1 tramos por sentido), tal como se muestra en la siguiente figura:

27

N

1N −

1

2

fN

1N −

1

2

f

Figura 2.1: Corredor de transporte público, operación normal

Se supondrá conocidos la matriz origen-destino de viajes entre estaciones y los tiempos de viaje en vehículo entre estaciones sucesivas. Así, se definen los siguientes parámetros y funciones:

• Rk: Tiempo en movimiento en servicio normal entre las estaciones k y k+1 [min] • b: tiempo marginal de subida de pasajeros [seg/pax] • klλ : Tasa de viajes entre estaciones k y l [pax/h]. Define una matriz de viajes del

tipo:

12 1

21

1

1 1

0

0

N

N N

N N N

λ λλ

λλ λ

−

−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A partir de la tasa de viajes entre estaciones se definen las siguientes funciones:

• ( )2

1

1 2,l

k kll l

l lλ λ+

=

=∑ : Tasa de subida de pasajeros en estación k [pax/h], cuyo viaje

tiene destino entre las estaciones l1 y l2 inclusive.

• ( )2

1

1 2,l

k lkl l

l lλ λ−

=

=∑ : Tasa de bajada de pasajeros en estación k [pax/h], cuyo viaje

tiene origen entre las estaciones l1 y l2 inclusive.

Con estas dos funciones puede definirse:

• Tasa de subida de pasajeros en estación k, sentido 1

( )1

1

1,N

k k kll k

k Nλ λ λ+ +

= +

≡ + = ∑

• Tasa de bajada de pasajeros en estación k, sentido 1

28

( )1

1

1

1, 1k

k k lkl

kλ λ λ−

− −

=

≡ − =∑

• Tasa de subida de pasajeros en estación k, sentido 2

( )1

2

1

1, 1k

k k kll

kλ λ λ−

+ +

=

≡ − =∑

• Tasa de bajada de pasajeros en estación k, sentido 2

( )2

1

1,N

k k lkl k

k Nλ λ λ− −

= +

= + = ∑

Rk incluye los tiempos de aceleración y frenado en paraderos, además de los tiempos muertos. Por simplicidad se asume que en la operación de transferencia de pasajeros en paraderos, el efecto dominante es la subida por sobre la bajada, por lo tanto en la modelación se considera sólo este primer fenómeno, a través de b6. Al igual que en el modelo de demanda agregada, las variables a determinar en este problema de optimización son la frecuencia de recorrido f y la capacidad de los vehículos K. 2.3.2.2 Costo Asociado al Tiempo de Espera Ce se define de igual forma que en el caso agregado (2.44), reconociendo que la demanda total es la suma de la afluencia de pasajeros a cada paradero, en cada sentido. Así,

1 21 2

1 1

1 12 2

N Nk k

e e ek k

y yx xC P Pf f f

λ λ+ +

= =

⎡ ⎤ ++ += + =⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑

(2.59)

cuya forma es igual al costo asociado al tiempo de espera en el modelo de demanda agregada (ecuación 2.44). 2.3.2.3 Costo Asociado al Tiempo en Vehículo En el costo asociado al tiempo en vehículo la formulación cambia con respecto al caso de demanda agregada (2.46), pues ahora se conoce la demanda para cada par OD. Luego, en cada par (k,l) se calcula el tiempo en vehículo tkl de la siguiente forma,

6 Este supuesto es plausible en vehículos que operan con subida y bajada simultánea de pasajeros, caso en el cual generalmente la operación más lenta es la subida, por ejemplo, si el pasajero debe subir peldaños y/o pagar la tarifa al ingresar al vehículo.

29

11

2

11

li

ii k

kl ki

ii l

R b si k lf

tR b si l k

f

λ

λ

+−

=

+

−= +

⎧ ⎛ ⎞+ <⎪ ⎜ ⎟

⎪ ⎝ ⎠= ⎨⎛ ⎞⎪ + <⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

∑

∑

(2.60)

expresiones que se multiplican por la demanda de viajes klλ para obtener el tiempo en vehículo total para ese par OD, y finalmente se suma sobre todos los pares en que hay viajes para obtener el tiempo en vehículo total.

1 21 1

11 1 1 1 1

N N l N k ki i

v v i kl i klk l k i k k l i l

C P R b R bf f

λ λλ λ+ +− −

−= = + = = = = +

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪= + + +⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪ ⎭⎩

∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑

(2.61)

Esta componente de la función de costos utiliza en detalle la riqueza de una matriz OD. Su disponibilidad evita utilizar el supuesto simplificatorio de los modelos de demanda agregada, en que sólo se utiliza el tiempo en vehículo promedio, considerado como una proporción del tiempo de ciclo (Mohring, 1972; Jansson, 1980; Jara-Díaz y Gschwender, 2003a). 2.3.2.4 Costo del Operador Al igual que en el modelo de demanda agregada, se considera que el costo del operador tiene dos componentes: Costo por vehículo-kilómetro y costo por vehículo-hora. Haciendo el mismo análisis que en el modelo agregado, el resultado obtenido es análogo a (2.50):

( ) ( )1 21

11 2

2 'N N

k ko k k

k kC f c K R b R b c K L

f fλ λ+ +−

−= =

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪= + + + +⎨ ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

∑ ∑ (2.62)

2.3.2.5 Valor Óptimo de la Frecuencia y el Tamaño de los Vehículos Sumando (2.59), (2.61) y (2.62) se obtiene el costo total Ct.

( ) ( )1 2 1 21

11 2 1 1

1 21 1

11 1 1 1 1

12 '2

N N N Nk k k k

t k k ek k k k

N N l N k ki i

v i kl i klk l k i k k l i l

xC f c K R b R b c K L Pf f f f

P R b R bf f

λ λ λ λ

λ λλ λ

+ + + +−

−= = = =

+ +− −

−= = + = = = = +

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤+⎪ ⎪= + + + + + + +⎨ ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∑ ∑ ∑ ∑

∑∑ ∑ ∑∑ ∑⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬

⎪⎪ ⎭⎩

(2.63)

30

donde las funciones de costo del operador ( )c K y ( ),c K están dadas por (2.7) y (2.8), respectivamente. La capacidad de los buses se obtiene imponiendo que éstos sean capaces de acomodar la demanda en el tramo más cargado, valor que se puede obtener directamente en este modelo, pues de las tasas de subida y bajada de pasajeros por estación se desprende la carga por tramo qk (flujo de pasajeros entre las estaciones k y k+1) a partir de las siguientes relaciones de recursividad por sentido (indicado en el superíndice):

1 1 1 11k k k kq q λ λ+ −

−= + − y 2 2 2 2

1k k k kq q λ λ+ −+= + − (2.64)

donde 1

0 0q = y 21 0Nq + = . Luego

( ) max

1,...,1,2

1 max iss N

i

qK qf f

η==

= ≡

(2.65)

expresión que se ingresa en (2.63), considerando (2.7) y (2.8), para dejar el costo total como función sólo de la frecuencia. Luego, es posible encontrar la frecuencia óptima a través de la CPO.

1

, 1 20 0 2

1 1 1

1 11 2 1 2max

11 1 1 1 1 1 1

1 122

0

N N Nt

k e k kk k k

N N l N k k N N

v kl i kl i k kk l k i k k l i l k k

dC xc R c L Pdf f

qPb c b

λ λ

λ λ λ λ λ λη

−+ +

= = =

− −+ + + +

= = + = = = = + = =

⎡ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + +⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣

⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + =⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑

de donde se despeja

1 11 2 1 2 1 2max

11 1 1 1 1 1 1 1 1*

1,

0 01

12

2

N N N N l N k k N N

e k k v kl i kl i k kk k k l k i k k l i l k k

N

kk

qxP P b c bf

c R c L

λ λ λ λ λ λ λ λη

− −+ + + + + +

= = = = + = = = = + = =−

=

+ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠=

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑

∑

(2.66) expresión similar a (2.56), pues tanto el denominador como el primer y tercer factor del

numerador son los mismos ( 1 21 2

1 1

N N

k kk k

y yλ λ+ +

= =

+ = +∑ ∑ , la demanda total), mientras el

factor asociado al tiempo en vehículo cambia, resultado heredado de las diferencias entre (2.46) y (2.61). La capacidad será:

* max*

qKfη

=

(2.67)

31

análogamente a (2.58) se puede encontrar la frecuencia óptima cuando el costo del operador no depende de la capacidad, es decir, ( ) 0c K c= y ( ), ,

0c K c= , obteniéndose

1 11 2 1 2

1 1 1 1 1 1 1*1

,

1

12

2

N N N N l N k k

e k k v kl i kl ik k k l k i k k l i l

N

kk

xP Pbf

c R c L

λ λ λ λ λ λ− −

+ + + +

= = = = + = = = = +−

=

+ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠=

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑

∑

(2.68)

2.4 Resumen y Comentarios En la operación de un sistema de transporte público urbano existen dos actores principales que aportan recursos: los usuarios, quienes ponen su tiempo y pagan una tarifa por el servicio (la cual desde la perspectiva de una evaluación social, es sólo una transferencia), y los operadores, quienes son los encargados de realizar el servicio, para lo cual incurren en un costo. Ambos actores tienen intereses en juego, los que deben ser sopesados para definir la oferta de transporte público, caracterizada por muchas variables entre las que destaca la frecuencia de operación, factor clave en el costo de los usuarios, en especial en los tiempos de espera y en vehículo (mayor frecuencia, más rápido el viaje), y en los costos de operación (mayor frecuencia, mayor costo de operación). Así, varios esfuerzos se han realizado en la literatura para definir niveles óptimos de la frecuencia de operación y otras variables como la capacidad de los vehículos en redes de transporte público ya definidas o por definir. En este capítulo se destaca la literatura microeconómica enfocada al análisis y modelación de sistemas de trasporte público, haciéndose una revisión con énfasis en los elementos relevantes para este trabajo y presentándose luego dos modelos de operación normal de una línea de transporte público, cuyos fundamentos coinciden, diferenciándose sólo en la información de la demanda disponible: agregada o desagregada. Desde el punto de vista de la modelación, el principal aporte hecho hasta aquí es la consideración de una función de costos del operador que depende conjuntamente de la distancia recorrida y del tiempo de servicio, encontrándose expresiones más generales para la frecuencia óptima, que tienen como caso particular a la situación en que sólo una de las dos componentes (basada en la distancia recorrida o en el tiempo transcurrido) se toma en cuenta en la definición del costo del operador. Al observar las expresiones de las frecuencias óptimas con demanda agregada y desagregada, destaca que se producen diferencias sólo en el costo asociado al tiempo en vehículo (si se conoce el valor de la carga máxima en el modelo agregado). Sin embargo, la introducción de la matriz OD cobra vital importancia en la modelación de las estrategias de asignación de flota, como se verá en el capítulo siguiente.

32

3. ESTRATEGIAS DE ASIGNACIÓN DE FLOTA 3.1 Introducción Para definir la planificación táctica en un sistema de transporte público urbano, en particular el itinerario y la frecuencia de operación, existe una serie de factores que deben tomarse en cuenta por el planificador que diseña los servicios. Día a día la demanda presenta peaks, tanto temporales como espaciales, que podrían hacer ineficiente operar con la misma oferta en toda la red y a lo largo del día. La provisión de una mayor frecuencia de servicio en las horas punta es la respuesta típica por parte de los operadores a las diferencias temporales en la afluencia de pasajeros, mientras que para la concentración espacial de la demanda, existe un conjunto de estrategias para asignar de mejor manera la flota disponible, es decir, aumentar la frecuencia en los sectores más cargados, ajustando la oferta a la demanda. Entre tales estrategias se destaca las siguientes (Furth y Day, 1984):

• Servicios expresos: Ciertos vehículos sirven sólo parte de la ruta, denominada zona local, y luego se mueven sin detenerse hasta el terminal o hasta otra zona local en que se reanuda el servicio. Es útil cuando existe una alta concentración de viajes desde un área hacia un punto específico. Si existe integración tarifaria entre servicios expresos y locales se facilita su uso por parte de pasajeros que necesitan trasbordar entre unos y otros.

• Deadheading: Estrategia aplicable en corredores con demanda desbalanceada, en

que la afluencia de pasajeros en un sentido de operación es muy superior a la afluencia en el otro sentido, y consiste en imponer que algunos vehículos, al llegar al terminal del sentido de mayor afluencia de pasajeros, regresen lo más rápido posible a su inicio sin servir el sentido de menor demanda, con lo cual se aumenta la frecuencia en la dirección de mayor afluencia de pasajeros.

• Bucles: Una porción de la flota hace ciclos cortos sirviendo sólo los segmentos

de mayor demanda o carga en el corredor. Útil cuando hay demanda concentrada en torno a una zona específica.

• Servicio zonal restringido: Similar a un servicio expreso, con la diferencia de que

fuera de la zona local se permite a los pasajeros bajar del vehículo en las estaciones antes de llegar al terminal o zona donde se reanuda el servicio normal (subidas y bajadas en todos los paraderos), pero no se permite la subida de pasajeros en tales estaciones.

• Servicio zonal semi-restringido: Similar a un servicio zonal restringido, pero en

este caso se autoriza la subida de pasajeros en una estación fuera de la zona local sólo si hay demanda de bajada en tal estación.

• Servicio zonal con detenciones limitadas: Similar a un servicio expreso, pero

autorizándose la detención fuera de la zona local en determinadas estaciones,

33

generalmente a distancias de 1 a 1.5 kilómetros. En tales estaciones se permite la subida y bajada de pasajeros sin restricciones.

Cuando la aplicación de estrategias como las descritas responde a patrones medidos de la demanda que se mantienen de manera más o menos constante a través del tiempo (períodos punta y fuera de punta, por ejemplo), se habla de estrategias pre-planificadas. Se trata de decisiones tácticas, en que se define qué estrategias aplicar y en qué zonas, las frecuencias de operación, el tamaño de los vehículos, etc.

Adicionalmente, la operación diaria de sistemas de transporte público está sujeta a aleatoriedades que le son propias y que dificultan el cumplimiento de una planificación diaria: Cambios inesperados en la demanda, incidentes e inestabilidad en tiempos de viaje (congestión) entre otras. En este contexto, las estrategias antes mencionadas también son aplicables pero con el objetivo de minimizar el impacto de tales perturbaciones en tiempo real, tanto en los costos de operación como en el nivel de servicio que experimentan los usuarios. En este caso se habla de estrategias de control, las cuales pueden dividirse en tres categorías (Eberlein, 1995):

i. Control en estaciones: Han sido muy utilizadas por operadores de transporte

público, principalmente en Estados Unidos, y tienden a ser las más efectivas. Tiene dos subcategorías:

• Retención: Es el retraso deliberado de un vehículo en una estación,

después del proceso de subida y bajada de pasajeros. • Salto de estaciones: Servicios expresos, deadheading, bucles, etc.

ii. Control interestaciones: Control de velocidad, programación preferente de

semáforos. iii. Otras: Adición de vehículos, separación de coches en el caso de trenes.

El presente trabajo se concentra en el estudio de las estrategias bucles y deadheading a un nivel táctico, es decir, que respondan a patrones más o menos estables en la demanda, además de la proposición de una estrategia integrada bucles-deadheading. La elección de las estrategias bucles y deadheading por sobre las demás se basa en que, junto con los servicios expresos, son las más fáciles de implementar en la práctica y de entender por parte de los usuarios (no provocan una percepción negativa, como sería darse cuenta de que algunos buses se detienen en un paradero sin permitir la subida de pasajeros), por lo mismo su uso es más común en diversos sistemas de transporte público en el mundo. Por otra parte, la estrategia de servicios expresos presenta un problema distinto, pues los pasajeros cuyo par origen-destino es servido tanto por una línea expresa como por una tradicional, pueden elegir entre una y otra en función de variables como el tiempo esperado de viaje y la tarifa, haciendo necesaria la aplicación de un modelo de

34

asignación a redes de transporte público para determinar las tasas de viajes en una y otra línea (ver, por ejemplo, Larraín y Muñoz, 2006), lo que deja a esta estrategia fuera de los alcances de esta tesis. A continuación en la Sección 3.2 se hace una revisión de la literatura que analiza bucles y deadheading como estrategias pre-planificadas. Luego, como complemento, se presenta una revisión de estrategias de control y una discusión sobre la elección de modelos estocásticos o determinísticos para la modelación de estrategias como las estudiadas en el contexto de esta tesis. Finalmente, en las secciones 3.3, 3.4 y 3.5, se modela y analiza las estrategias bucles, deadheading e integrada, respectivamente. 3.2 Revisión Bibliográfica: Estrategias Pre-planificadas de Asignación de Flota y Estrategias de control 3.2.1 Estrategias Pre-planificadas 3.2.1.1 Deadheading Una situación típica en los períodos punta en el entorno urbano, particularmente en corredores radiales de transporte público, es la disposición asimétrica de la demanda entre ambos sentidos de operación, con una gran afluencia de pasajeros en un sentido (por ejemplo, hacia la zona céntrica en la Punta de la Mañana) y baja en el otro. Así, podría mejorarse la calidad de servicio y/o disminuirse el costo de operación si se impone que ciertos vehículos, al llegar al terminal del sentido de mayor afluencia de pasajeros, regresen rápidamente a su inicio sin servir el sentido de menor demanda, con lo cual se aumenta la frecuencia en la dirección de mayor afluencia de pasajeros, se disminuye en el tramo menos cargado y por consiguiente, se obtiene un mejor ajuste de la oferta a la demanda. Deadheading como estrategia pre-planificada, ha sido abordada en el trabajo de Furth (1985), quien considera que la estrategia afecta tanto el costo de los operadores a través de un posible ahorro en el tamaño de flota debido a su implementación, así como el costo de los usuarios, específicamente el tiempo de espera. Se destaca el hecho de que si se aplica la estrategia en un esquema de operación a intervalos regulares, deben hacerse retenciones adicionales en los terminales para asegurar su regularidad, pues los vehículos llegan y salen de los terminales a intervalos distintos (intervalo menor en sentido de mayor demanda). El autor desarrolla un algoritmo para tratar este problema, encontrando que el tamaño de flota mínimo es mayor cuando se tiene la restricción de operar a intervalos regulares. Tres funciones objetivo son exploradas:

i. Minimización del tamaño de flota con una condición de intervalo máximo admisible (distinto en cada sentido, es menor en sentido de mayor demanda).

ii. Minimización del tiempo de espera para un tamaño de flota fijo.

35

iii. Minimización de la suma de los costos del operador y usuarios. Implícitamente, detrás del intervalo máximo admisible está la demanda, pues dicho intervalo debe ser tal que la capacidad de transporte no sea sobrepasada por la carga máxima del corredor. Una aplicación muestra ahorros de entre 7% y 10% en el tamaño de flota, dependiendo del intervalo máximo posible en el sentido menos cargado. Ceder y Stern (1981) señalan que en general la inserción de un viaje vacío entre dos terminales (“deadheading trip”) responde a alguna de las siguientes tres situaciones o necesidades:

i. Guardar en forma balanceada los vehículos en los terminales al finalizar el día. ii. Transferir un vehículo desde un terminal donde no es necesario en ese momento

para realizar un servicio hacia otro en que sí lo es.

iii. Para mantenimiento o carga de combustible. Los autores estudian el caso (ii) con el objetivo de reducir el tamaño de flota necesario para cumplir con una programación dada (salidas desde terminales, no necesariamente a intervalos regulares). Para cada terminal k se construye la función de déficit d(k,t), que recoge el número acumulado de salidas menos el número acumulado de llegadas en ese terminal hasta un instante o momento determinado t, es decir, representa el número de vehículos requeridos en el terminal para cumplir con la programación en ese instante. Si T es el conjunto de terminales, se muestra que el tamaño de flota mínimo N necesario para cumplir con la programación es

( )max ,tk T

N d k t∈

=∑ (3.1)

Se examinan las condiciones para las cuales si se insertan viajes vacíos desde un terminal a otro es posible reducir el valor de (3.1), y se entrega una cota inferior para el tamaño de flota mínimo alcanzable, insertando viajes que hacen deadheading. Este enfoque ha sido extendido posteriormente (Ceder 2003a, 2004), considerando la posibilidad de cambios ligeros en los tiempos de partida desde terminales, que en un principio se suponen inamovibles (es decir, en lugar de tener un tiempo fijo de partida, se considera una ventana de tiempo), con el fin de reducir aún más el tamaño de flota necesario. En la modelación de Ceder la información requerida sobre demanda es el perfil de carga, en particular el punto de carga máxima, el cual restringe la definición de la frecuencia. En resumen, la estrategia deadheading ha sido tratada en la literatura solamente bajo dos enfoques, estando el interés de los modeladores abocado principalmente a mostrar la capacidad de reducir el tamaño de flota que tiene la estrategia, mediante la inserción de viajes en deadheading en el sentido de menor carga de pasajeros. Únicamente Furth (1985) considera dos funciones objetivo que toman en cuenta el costo de los usuarios a

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través del tiempo de espera (el tiempo en vehículo se asume fijo); sin embargo se reportan resultados sólo sobre el ahorro de flota que produce la estrategia. En cuanto al requerimiento de información de la demanda, en ambos enfoques (Furth - Ceder y Stern) basta con conocer la carga máxima del corredor en los dos sentidos de operación. 3.2.1.2 Bucles En los corredores de transporte público de las ciudades de tamaño intermedio y grandes urbes no es inusual encontrar perfiles con una baja carga de pasajeros en el entorno de un terminal (o de ambos) y con una punta muy pronunciada cerca de un importante centro atractor y/o generador de viajes (conocido en la literatura como Central Business District o CBD). En casos como éste, puede ser útil hacer que algunos vehículos no sirvan la ruta completa sino que se concentren sólo en la zona más cargada, operando en ciclos cortos o bucles de forma de proveer más frecuencia precisamente en aquella zona con mayor demanda. El primer trabajo que aborda esta estrategia es Furth y Day (1984), en el que se describen diversas estrategias de asignación de flota. Para estudiar cuál estrategia es la más apropiada en un corredor radial, es decir, una línea con la demanda concentrada en uno de sus terminales, los autores proponen un factor denominado “degree of downtown orientation” (DDO), definido como el cuociente entre la carga máxima de la línea y el número total de subidas antes del punto de carga máxima (notar que ( ]0,1DDO ∈ ). Así, un DDO cercano a 1 indica que muy pocos pasajeros se bajan antes del punto de carga máxima, situación proclive para la implementación de un servicio zonal restringido o un servicio expreso (estrategias descritas en Sección 3.1), mientras en un DDO pequeño subyace un mayor número de viajes con destino antes del punto de carga máxima, pareciendo a priori más atractiva la creación de un bucle. Más tarde Furth (1987) desarrolla un trabajo que se enfoca únicamente en la estrategia de ciclos cortos o bucles. Supone un esquema de operación programado, en que la frecuencia de los vehículos que realizan un bucle (en adelante, vehículos B) es un múltiplo n de la frecuencia de los vehículos que sirven la ruta completa (en adelante, vehículos A), esto es,

B Af n f= (3.2) donde fA y fB son las frecuencias de los vehículos A y B, respectivamente (Furth llama “scheduling mode” al parámetro n). Se señala que el desfase entre los vehículos que sirven sólo el bucle y los vehículos que sirven la ruta completa debe ser determinado de manera de uniformizar la carga o número de pasajeros arriba de los buses, pues al comienzo de un bucle los vehículos B parten vacíos, mientras que los vehículos A están parcialmente cargados (a no ser que el bucle en un sentido comience en un terminal, situación en que ambos tipos de buses ingresan vacíos al bucle en ese sentido), razón por la cual si se establecen intervalos regulares, entre éstos se apreciará una mayor carga en vehículos A al interior del bucle. Además, una vez dentro del bucle, los vehículos A son abordados por todos los pasajeros que esperan en un paradero, mientras que a los

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vehículos B sólo se suben aquellos cuyo destino está al interior del bucle, amplificando el desbalance inicial (aunque para corredores con una demanda muy superior al interior del bucle relativa a la demanda externa, este efecto es de pequeña magnitud). A no ser que los buses A tengan mayor capacidad, podría requerirse que los buses A sigan a los B con un desfase menor al intervalo entre los buses B. Así, por ejemplo en el caso n=1 un bus A es siempre seguido por un bus B al interior de un bucle. Para uniformizar cargas, el desfase entre ambos debiese ser menor que la mitad del intervalo entre dos buses A (o B) consecutivos1, de manera que al interior del bucle la mayor parte de la demanda sea transportada por buses del tipo B. Esto trae consigo la posibilidad de apelotonamiento, pues los buses A tenderán a alcanzar a los buses B, dado que se detienen menos tiempo en las estaciones (ver Sección 2.3.1). Este problema es identificado por Furth, sin embargo, su impacto en el tiempo de espera de los usuarios no es tratado. Otro aspecto destacado de este enfoque es que considera explícitamente un factor de seguridad ( )0,1η ∈ que disminuye la capacidad real de los vehículos en la fijación de esta frecuencia mínima, de manera de tener capacidad de reserva para lidiar con la aleatoriedad que se produce en la práctica tanto en la operación del sistema de buses (apelotonamiento, ver Sección 2.3.1), como en la llegada de los pasajeros a una estación. El primer objetivo es minimizar el tamaño de flota, o equivalentemente, maximizar el intervalo entre salidas de buses. El segundo objetivo es minimizar el tiempo de espera para un tamaño de flota fijo (se supone que la estrategia no afecta el tiempo en vehículo). Furth señala que si se consideran ambos costos conjuntamente en la función objetivo, entonces se produce un trade-off entre los intereses de operadores y usuarios. Las variables a optimizar son el intervalo entre buses A y el desfase entre buses A y B, considerando como parámetros exógenos el número de bucles, la posición de los mismos y la capacidad de los buses. Ceder (1989, 2003b) mediante un modelo de demanda agregada busca, en una primera etapa, minimizar el tamaño de flota (3.1), a través de la inserción de viajes en deadheading y ciclos cortos para algunos vehículos, procurando proveer una frecuencia suficiente para satisfacer el perfil de carga en cada segmento de la línea. Luego, en una segunda etapa, se minimiza el número de viajes que realiza el bucle, conservando el tamaño de flota mínimo encontrado en la primera etapa, con el fin de disminuir el efecto de la estrategia en el tiempo de los usuarios, quienes se ven afectados por la reducción de la flota, es decir, se minimiza el intervalo máximo a obtener (criterio llamado “Minimax H”). En cuanto a la demanda, solamente se requiere conocer los perfiles de carga de la línea en estudio; no es necesaria la matriz de viajes pues el objetivo es minimizar el tamaño de flota, razón por la cual no se necesita una representación del costo de los usuarios a través del tiempo de espera o en vehículo, para los cuales sí se requeriría información más detallada de la demanda (como se analiza en las secciones 3.3, 3.4 y 3.5). Los usuarios ingresan a este enfoque implícitamente, sólo en la segunda etapa donde se trata de disminuir el impacto que tiene la reducción de la flota en el nivel de servicio.

1 Por ejemplo, si el intervalo promedio es 5 minutos, puede programarse que un bus A circule 3 minutos después que su bus B predecesor y 7 minutos antes que el bus B que lo sigue.

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Los demás datos de los que se alimenta el modelo son el intervalo máximo admisible o “policy headway” y el conjunto de puntos candidatos a ser terminales del bucle, deducibles del diagrama de cargas. Vijayaraghavan y Anantharmaiah (1995) también buscan reducir el número de buses necesario para el servicio en un corredor mediante la inserción de servicios expresos y bucles en algunos viajes, pero sin seguir necesariamente una regla sistemática como las propuestas por Furth (1987) y Ceder (1989, 2003b). Se reportan beneficios en la aplicación del enfoque en términos del uso de vehículos y personal, y menores tiempos de viaje. El trabajo más completo encontrado en la literatura es el de Delle Site y Filippi (1998), en el cual se considera la operación de un bucle en un esquema multiperíodo para los casos de demanda elástica (en función del costo generalizado) e inelástica. En el caso de demanda elástica se maximiza el beneficio social, definido como la diferencia entre el beneficio de los usuarios y el costo de los operadores no cubierto por las tarifas (subsidio), al igual que en el caso en Oldfield y Bly (1988), tratándose de la expresión (2.40) pero sin externalidades. Además se extiende el análisis de Furth al caso de arribo aleatorio de vehículos a las estaciones (distribución Poisson, ver 2.42), común en corredores que comparten el derecho de vía con vehículos menores, lo que les dificulta mantener intervalos constantes. Las variables son la posición de los puntos de retorno del bucle (dentro de un conjunto factible), la frecuencia, el tamaño de los vehículos de ambas líneas2 y la tarifa (en el caso de demanda elástica). Por la complejidad de los modelos desarrollados, no es posible obtener soluciones analíticas, por lo que éstos son resueltos numéricamente. Mediante una aplicación los autores comparan el funcionamiento óptimo de la estrategia bucles con una situación de operación normal dada (sin realizar optimización), cuyos resultados más importantes son que la estrategia bucles es beneficiosa sólo en períodos en que la demanda tiene picos pronunciados (períodos punta), que se reduce el costo fijo de los operadores (por operación con menor tamaño de flota) y que se incrementa el costo variable de operación. Tanto en Delle Site y Filippi (1998) como en Furth (1987), la frecuencia de operación (y por consiguiente el tamaño de flota) no está fija, es una variable del problema, cuyo intervalo factible queda definido por una cota superior, exógena y establecida por el planificador o autoridad de transporte (por ejemplo, 5 veh/h o equivalentemente, un intervalo máximo de 12 minutos), y una cota inferior, dada por ejemplo, por restricciones físicas o financieras. En resumen, se observa gran heterogeneidad en la literatura relativa a la estrategia bucles, donde algunos autores la usan principalmente para minimizar el tamaño de flota (y por consecuencia el costo del operador), y en que los usuarios son considerados sólo en casos puntuales, ya sea en la función objetivo del modelo o a posteriori, para reducir en ellos el impacto generado por la reducción del tamaño de flota (mayores tiempos de espera y en vehículo). Con respecto a los requerimientos de información de demanda, los modelos de Furth (1987) y de Delle Site y Filippi (1998) requieren conocer matrices OD al nivel de 2 Para encontrar el tamaño óptimo de los buses prueban entre tres valores dados: 40, 100 y 160 [pax/bus]

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paraderos o estaciones, mientras Ceder (2003b) señala que es deseable contar con metodologías que se alimenten sólo del perfil de carga del corredor de transporte público y no de la matriz de viajes, pues ésta generalmente es muy difícil de obtener. Sobre este punto se volverá en la Sección 3.5.2, en el marco de la modelación de la estrategia bucles, y en la Sección 4.5, donde mediante ejemplos numéricos se examina el comportamiento de las estrategias de asignación de flota para distintos niveles de información en la demanda. 3.2.2 Estrategias de Control El objetivo de las estrategias de control, en el ámbito de las operaciones de transporte público, es amortiguar los efectos que tienen incidentes o cambios inesperados en las condiciones del sistema, tanto en operadores como en usuarios. A modo de ejemplo, cuando por algún motivo un vehículo de atrasa en ruta, alargando su intervalo con el vehículo precedente y acortándolo con el vehículo que lo sigue, se pueden utilizar estrategias para tratar de uniformizar intervalos y cumplir con el programa establecido. Puede apurarse el vehículo atrasado, aumentando la velocidad de circulación si fuese posible, mediante el salto de estaciones aguas abajo o establecer prioridad en intersecciones y semáforos, entre otras. Por otra parte, si un vehículo se adelanta, alargando el intervalo con el vehículo que lo sigue, puede ser retenido, ya sea en estaciones, intersecciones o disminuyendo su velocidad de circulación, con el fin de retomar el intervalo programado. Problemas como éstos deben enfrentar los operadores día a día, y las estrategias que aplican están en el nivel operacional dentro del esquema de decisiones en un sistema de transporte público. A continuación se describen algunas estrategias de control, y se resume su tratamiento en la literatura. 3.2.2.1 Retención En los sistemas de transporte público que funcionan sin un horario preestablecido, es inevitable que los vehículos tiendan a apelotonarse o agruparse, a pesar de que partan a intervalos regulares desde un terminal, fenómeno conocido como “efecto pelotón” o bunching (ver detalles en Gschwender, 2000). Cuando esto ocurre, intervalos largos y cortos se alternan, fenómeno cuyo resultado es un aumento en el tiempo de espera promedio según (2.23), pues es más probable que un pasajero llegue a un paradero en un intervalo largo que en un intervalo corto, y además, hace que circulen vehículos con muchos pasajeros seguidos de vehículos semivacíos, lo que produce ineficiencia en la operación y empeora la calidad de servicio. De esta forma, si se quiere por parte de los usuarios disminuir el tiempo de espera, y por parte de los operadores mejorar la calidad de servicio y la eficiencia en el uso de la flota, podría ser útil retener ciertos vehículos en estaciones de control, para proveer intervalos regulares a lo largo de la ruta. Además, esta estrategia disminuye el tiempo de viaje de los

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vehículos que suceden a uno retenido, pues cargan menos pasajeros en los paraderos siguientes a la estación de control. Los perjudicados son los usuarios a bordo de un vehículo que es retenido, por el desagrado que el tiempo de detención adicional les causa y el eventual aumento en su tiempo en vehículo. La retención de vehículos o holding es la estrategia de control que más atención ha recibido en la literatura, probablemente por ser la más simple de implementar en la práctica y porque tiene menos impactos negativos que las estrategias de salto de estaciones, que pueden producir frustración en usuarios que esperan en un paradero que es saltado (Eberlein et al., 2001). El problema consiste en determinar qué vehículos deben ser retenidos, dónde y por cuánto tiempo. Desde la década de 1970 varios autores han estudiado, mediante modelos analíticos o simulación, las estrategias óptimas de retención de vehículos en estaciones de control. La retención puede ser de dos tipos: • Basada en la programación: Se utiliza cuando el sistema tiene una programación u

horario predefinido, teniendo sentido en servicios con intervalos largos. Si un vehículo llega antes de su horario a una estación de control, es retenido hasta que se alcanza su tiempo de partida; si llega atrasado se despacha inmediatamente.

• Basada en el intervalo: Se emplea cuando no hay una programación predefinida,

aplicándose generalmente bajo altas frecuencias de operación (intervalos menores a 10 minutos). Primero se estudió la retención utilizando un intervalo umbral o deseado, en que un vehículo es retenido si su intervalo3 es menor que el umbral, o es despachado inmediatamente si es mayor (Barnett, 1974; Turnquist y Blume, 1980). Últimamente, se ha estudiado un problema más complejo que es encontrar el tiempo de retención óptimo para cada vehículo, minimizando el tiempo total de espera o una combinación de éste con la demora de los usuarios a bordo de un vehículo retenido (Eberlein, 1995; Eberlein et al, 2001; Hickman, 2001; Sun y Hickman, 2004).

Para el análisis de las estrategias de retención, en la literatura se minimiza una función objetivo sujeta a restricciones de operación. Eberlein (1995) y Eberlein et al (2001) minimizan el tiempo total de espera de los usuarios aguas abajo de la estación de control, mientras Barnett (1974), Turquist y Blume (1980), Hickman (2001) y Sun y Hickman (2004) utilizan la suma ponderada del tiempo de espera de los usuarios aguas abajo de la estación de control y la demora adicional de los usuarios a bordo de un vehículo que es retenido. Se sugiere que esta función objetivo es más completa, pues internaliza dos efectos contrapuestos: por una parte, la retención de vehículos disminuye el tiempo de espera de los usuarios aguas abajo de la estación de control al hacer que los intervalos sean más uniformes, y por otra, provoca un aumento del tiempo en vehículo de los usuarios a bordo de un vehículo retenido. Las otras componentes de la función de costos (2.2) de un sistema de transporte público no han sido consideradas en la literatura, en ninguno de los trabajos que abordan la estrategia de retención (y estrategias de control en general) se considera el costo de los operadores en la formulación, a pesar de que se reconoce que el no apego a la programación óptima o intervalo deseado produce 3 A lo largo de este trabajo, “intervalo” se referirá al intervalo precedente de un vehículo.

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ineficiencia en la utilización del personal y de la flota disponible, lo que se traduce en mayores costos, por cuanto cualquier estrategia que mitigue o disminuya estas alteraciones puede disminuir el costo de los operadores. No obstante, este efecto podría ser despreciable debido a que parte importante de Co es el costo fijo asociado al trabajo (Jansson, 1980; Eberlein, 1995). Por su parte, Hickman (2001) señala que demoras en el servicio o alteraciones tienen un costo adicional para los operadores que representa entre 3% y 5% de los costos de operación y capital vehicular. Es más, algunas agencias han demostrado que con técnicas simples para mejorar el ruteo de vehículos, itinerario y monitoreo, se puede disminuir el costo de operación en más de un 10% (Goeddel, 1996). Es decir, el debate está abierto y el efecto de los incidentes e ineficiencias operacionales en el costo de los operadores depende en gran medida de las condiciones particulares de cada lugar. Con respecto al costo de los usuarios, si se supone que la ruta está fija, el tiempo de acceso no se ve modificado, por lo que no debe ser considerado en la función objetivo. Sobre la inclusión del tiempo en vehículo, Eberlein et al (2001) señala que podría hacer que el problema no tenga solución, por lo que finalmente opta por excluirlo de la formulación del problema de retención. 3.2.2.2 Salto de Estaciones Las estrategias de salto de estaciones generalmente son utilizadas con el objetivo de apurar un vehículo retrasado. Eberlein et al.(1998, 1999) y Fu et al.(2003) estudian el problema en que un vehículo circula vacío desde la partida hasta una estación a determinar, desde donde comienza el servicio hasta el final del recorrido (deadheading), ahorrando tiempo y reduciendo el intervalo que mantiene con el vehículo antecesor. Se formulan modelos de programación no lineal mixta, cuadráticos en las variables continuas (intervalos entre vehículos). Eberlein et al.(1998, 1999) considera sólo el tiempo de espera en la función objetivo, tanto de los pasajeros que llegan aleatoriamente a las estaciones como de aquellos que deben esperar otro intervalo cuando su estación ha sido saltada por el vehículo correspondiente. Por la complejidad del problema propuesto, se termina resolviendo una versión muy simplificada del problema general. Se señala que cuando las estaciones de alta demanda están en el inicio de la ruta, es improbable que la estrategia sea útil por el alto impacto en el tiempo de espera que tiene saltar estas estaciones4. Por su parte, Fu et al (2003) asume que si un vehículo salta estaciones, necesariamente el siguiente debe servir toda la ruta, lo que simplifica el problema y otorga un nivel de servicio mínimo a los pasajeros cuyas estaciones son saltadas. En este último caso se minimizan los costos asociados al tiempo de espera y tiempo en vehículo. Al igual que en Eberlein et al.(1998, 1999) se desarrolla un modelo determinístico en los tiempos de viaje y en las subidas y bajadas de pasajeros. No obstante, Fu et al.(2003) realiza un análisis de sensibilidad en la varianza de los tiempos de viaje, encontrando que en un principio, mientras mayor es la variabilidad de los tiempos de viaje, mayor es la dispersión de los intervalos y por consiguiente más beneficiosa es la estrategia de control,

4 Un tema relacionado con éste se trata en la Sección 4.2, cuando para la estrategia deadheading pre-planificada se analiza el caso en el que la estación de inicio de servicio de los vehículos que efectúan la estrategia está al interior del corredor y no en el terminal.

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sin embargo, cuando la variabilidad es muy alta, disminuye la eficacia del control debido a la gran magnitud de los errores que se cometen en la estimación de los tiempos de viaje, hasta un nivel sobre el cual la estrategia es impracticable. 3.2.2.3 Estrategias combinadas Existen algunos intentos en la literatura de estudiar la aplicación combinada de estrategias de control. Los primeros trabajos provienen de Eberlein (1995) y Eberlein et al. (1999) que analizan integradamente las estrategias de retención de vehículos, deadheading y servicios expresos (expressing). Los autores parten de la premisa de que como las estrategias de salto de estaciones (deadheading y servicios expresos) y retención tienen objetivos contrapuestos (acelerar y retener, respectivamente), no pueden ser aplicadas simultáneamente sobre un mismo vehículo. Tampoco pueden aplicarse deadheading y servicios expresos al mismo tiempo, pues su implementación sería engorrosa y difícil de entender para los pasajeros. Luego, la estrategia combinada consiste en establecer si es conveniente aplicar alguna de las estrategias mencionadas, de acuerdo con las condiciones operacionales del sistema. Los resultados muestran que la estrategia de retención es usada más frecuentemente que las de salto de estaciones, es decir, es más efectiva en la mayoría de los casos, debido que impone menos efectos negativos en los usuarios, algunos de los cuales ven fuertemente incrementado su tiempo de espera cuando su estación es saltada por un vehículo que realiza deadheading o un servicio expreso, lo cual además les produce frustración. Fu et al.(2003) encuentra, mediante simulación, que la aplicación combinada de las estrategias de retención y deadheading es más efectiva que el uso de cada una por sí sola, en términos de reducción de tiempos de espera y en vehículo. Existe otro grupo de trabajos que estudian la aplicación integrada, en tiempo real, de bucles y retención de vehículos en sistemas de trenes para minimizar el efecto de una interrupción en el servicio causada por algún incidente (O’Dell y Wilson, 1999; Shen y Wilson, 2001). El objetivo es minimizar el tiempo de espera de los pasajeros, o la suma ponderada de éste y la demora adicional en vehículo, tomando en cuenta la restricción de capacidad de los trenes, es decir, la posibilidad de que los pasajeros no puedan subir a los carros porque están llenos. En general los resultados muestran que la estrategia de retención de vehículos por sí sola, disminuye en forma importante el tiempo de espera de los usuarios (15%-40%), mientras que la implementación complementaria de bucles es útil si el tiempo de bloqueo es mayor que el tiempo del ciclo corto, y si las estaciones fuera del bucle son pocas. 3.2.3 Modelos Determinísticos y Modelos Estocásticos En la literatura se ha presentado una interesante discusión sobre el uso de modelos determinísticos o estocásticos para representar el funcionamiento de un sistema de transporte público y el impacto que tiene en él la aplicación de estrategias pre- planificadas de asignación de flota y estrategias de control.

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La operación de un sistema de transporte público, y en particular la de un sistema de buses, es de naturaleza intrínsicamente estocástica. Múltiples factores, tanto internos como externos, condicionan y dificultan la predicción de variables como el tiempo de viaje entre paraderos o el tiempo de transferencia de pasajeros, tales como el clima, incidentes en la vía, congestión, tanto de los propios vehículos de trasporte público como inducida por el tráfico de autos particulares, variaciones inesperadas de la demanda, falla de vehículos, etc. La pregunta es: ¿Es este motivo suficiente para utilizar modelos estocásticos y no simplemente determinísticos? Eberlein (1995) y Eberlein et al. (2001) señalan que un modelo estocástico implica algoritmos mucho más complejos que uno determinístico, además es menos eficiente si hay muchos tipos de aleatoriedad involucrados. Tomando en cuenta estos elementos, se puede estudiar el uso de modelos determinísticos que se aproximen al problema real, con pocos supuestos simplificatorios, es decir, es posible que el resultado de un modelo estocástico no sea significativamente mejor que el de un modelo determinístico. Si se tiene información en tiempo real, muchos elementos aleatorios, como la ubicación y la carga de los vehículos, son conocidos o leídos desde un dispositivo. Luego, es posible aproximar un problema estocástico por uno determinístico, considerando intervalos cortos de evaluación del modelo, esto es, la información en tiempo real puede ser empleada para hacer nuevas predicciones de las trayectorias de los vehículos en un futuro muy cercano. Cualquier error tiene un impacto local, pues será corregido con información real en el próximo intervalo. Por otra parte, argumentan que para tomar decisiones en tiempo real, la eficiencia de los algoritmos tiene un rol principal, es decir, el tiempo de solución debe ser del orden de segundos, lo que también puede marcar una diferencia a favor de usar modelos determinísticos sobre aleatorios, que típicamente toman un tiempo de resolución mayor. Notar que esta restricción de tiempo no se tiene en los modelos de planificación que se utilizan para apoyar decisiones tácticas o estratégicas, en los cuáles puede ser preferible contar con algoritmos más complejos si son más precisos, a pesar de que éstos tomen un tiempo potencialmente mayor de solución. Hickman (2001), por su parte, presenta un modelo aleatorio de retención, tanto para los tiempos de viaje de los buses como sus tiempos de detención en paradero, señalando que considerar estocasticidad “es muy importante, pues dado que la varianza de los intervalos es estrictamente creciente con el número de paraderos, pequeños cambios en los intervalos en la estación de control puede provocar cambios significativos en los intervalos aguas abajo. Como resultado, este modelo es más sensible a los efectos que tiene aguas abajo la decisión de retener un vehículo que uno determinístico”. Mediante simulación, muestra que la inclusión de elementos estocásticos en los intervalos y cargas de los vehículos puede reducir significativamente el número de retenciones cortas, comparado con estrategias determinísticas o de retención basadas en intervalo umbral (concepto explicado en Sección 3.2.2.1), concluyendo que un modelo determinístico aplicado en un sistema con alta aleatoriedad en su operación incluso podría ser perjudicial. Como puede verse, no hay acuerdo entre los autores sobre qué tipo de modelo utilizar, y la aplicación de uno u otro está supeditada a las condiciones de operación del sistema en

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estudio: baja o alta variabilidad en los tiempos de viaje, vías segregadas que aislen a los vehículos de transporte público del tráfico menor, demanda más o menos constante o con fluctuaciones inesperadas, etc. También hay que tomar en consideración el carácter del problema; si se quiere estudiar la aplicación de una estrategia pre-planificada y se cuenta con información histórica (valores promedio de demanda, tiempos de viaje, etc), lo más razonable parece ser emplear un modelo determinístico si los datos de entrada se han mantenido estables en el tiempo, para períodos dados (punta y fuera de punta, por ejemplo). Sin embargo, si los datos presentan una alta variabilidad o dispersión, sería útil explorar un enfoque estocástico, o bien tomar factores de seguridad en el diseño del sistema, con el fin de tener capacidad ociosa y absorber aumentos puntuales o inesperados en la demanda. 3.3 Modelación de la Estrategia Deadheading 3.3.1 Introducción En la operación de sistemas de transporte público urbano, existe una serie de condiciones que cambian a lo largo del día, tanto en los patrones de demanda como en el sistema físico de transporte. Dentro de tales condiciones, existen algunas que son recurrentes, por ejemplo, mayor demanda en horas punta, que podría hacer ineficiente mantener una oferta de transporte público constante a lo largo del día, y otras que son inesperadas (congestión local, incidentes, etc.) que impiden seguir con exactitud una planificación dada. Para el segundo caso, se puede considerar estrategias de control en tiempo real con el objeto de minimizar los impactos, tanto en los costos del operador como en el nivel de servicio, mientras que para el primer caso, se puede establecer estrategias pre-planificadas para ajustar de mejor forma la oferta a la demanda. Una de esas estrategias, es deadheading, la cual es atractiva en casos de corredores de transporte público con demanda desbalanceada, en que la afluencia de pasajeros en un sentido de operación es muy superior a la afluencia en el otro, escenario típico de la operación del transporte público urbano, donde los corredores que conectan la periferia con la zona céntrica tienen la demanda concentrada en el sentido periferia-centro en el período Punta de la Mañana y centro-periferia en el período Punta de la Tarde. Un ejemplo de esta situación se produce en la avenida Los Pajaritos en Santiago, que en la Punta de la Mañana tiene una alta afluencia de pasajeros en el sentido Poniente-Oriente (hacia el centro) relativa a la demanda en el sentido opuesto, como se observa en la Figura 3.1.

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Perfil de carga

02000400060008000

10000120001400016000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Estación

Car

ga [p

ax/h

]

Sentido O-PSentido P-O

Figura 3.1: Perfiles de carga por sentido eje Los Pajaritos, período Punta Mañana

(Fuente: MTT,1998) La estrategia consiste en imponer que algunos vehículos, al llegar al terminal del sentido de mayor afluencia de pasajeros, regresen lo más rápido posible a su inicio para realizar un nuevo servicio, sin servir el sentido de menor demanda. De esta forma, es posible aumentar la frecuencia en la dirección de mayor afluencia de pasajeros y disminuirla en el sentido de menor afluencia, para ofrecer un servicio más ajustado a la demanda. Como señala Furth (1985), esta estrategia puede ser utilizada con múltiples objetivos, entre ellos:

i. Minimización del tamaño de flota con una condición de intervalo máximo (distinto en cada sentido; menor en el sentido de mayor demanda). Este objetivo responde a una visión del operador, pues a través de reducir el tamaño de flota se reducen sus costos, aunque posiblemente esto traiga consigo mayores tiempos de espera y de viaje para los usuarios.

ii. Minimización del costo de los usuarios para un tamaño de flota fijo. Este

objetivo responde a la perspectiva de los usuarios, y resuelve el problema de cómo asignar de mejor forma una flota disponible con el fin que los usuarios (en promedio) estén mejor. Furth (1985) considera sólo el tiempo de espera en el costo de los usuarios.

iii. Minimización de la suma de los costos del operador y usuarios. Esta podría ser la

visión de un planificador central, y corresponde a la maximización del beneficio social cuando la demanda es inelástica (Mohring 1972, 1976; Jansson 1980, 1984; Jara-Díaz y Gshwender 2003a).

Cabe señalar que el objetivo (iii) puede estar en el marco de la planificación estratégica, si es que aún no se diseñan las redes o rutas de transporte público, o bien en el ámbito de las decisiones tácticas, en que se define la frecuencia óptima para una red o corredor dados. Por su parte, (i) y (ii) son aplicables sobre un sistema en operación, en el cual ya

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se ha adquirido una flota de vehículos, y por consiguiente son herramientas para apoyar la gestión en el nivel táctico u operacional, dependiendo de si su aplicación será sistemática o bien sujeta a revisión constante según las condiciones contractuales y los patrones de demanda. En este trabajo se formulan modelos de aplicación de la estrategia deadheading que respondan al objetivo (iii), por ser el más general de los tres. Se establece un primer modelo a nivel agregado, el cual conserva la forma de los modelos microeconómicos clásicos. En este modelo sólo se conocen las demandas totales por sentido, y se decide la frecuencia de los vehículos que hacen deadheading (saltándose el sentido de baja demanda en su totalidad) y de los que sirven la ruta completa, en ambos sentidos. Se establecen condiciones necesarias para que la estrategia sea beneficiosa. Adicionalmente, se formula un segundo modelo a nivel desagregado, el cual considera información paradero a paradero, tanto de la operación de los vehículos (tiempos en movimiento entre pares de estaciones) como de la demanda, y tiene la opción de que los vehículos que realizan deadheading salten un número de estaciones, que podría ser un subconjunto del sentido de baja demanda. Con esto, la estación de inicio de servicio para los vehículos que hacen deadheading es una nueva variable en el problema, pudiendo estar al interior del sentido de baja demanda. En ambos casos (salto de un subconjunto de estaciones o del sentido completo), los vehículos que hacen deadheading comienzan a aplicar la estrategia en el terminal de inicio del sentido de menor demanda. El criterio para establecer si la estrategia deadheading es beneficiosa o no (válido también para las demás estrategias), consiste en comparar su costo total mínimo con el caso de operación normal. Si la suma de los costos de los operadores y de los usuarios es menor con estrategia, entonces la estrategia reporta beneficios y su aplicación puede ser considerada. Al igual que en la modelación hecha para la operación normal, para estudiar las estrategias, tanto deadheading como bucles y la estrategia integrada, se considerarán dos tipos de regímenes, que se diferencian por el control que se ejerce sobre ellos: Intervalos regulares y aleatorios. i. Intervalos regulares Se trata de representar un sistema programado, en que se controla el cumplimiento de los intervalos fijos. En este caso, siguiendo a Furth (1987) y Delle Site y Filippi (1998), se impondrá que la frecuencia fB de los vehículos que ejecutan la estrategia (es decir, aquellos que hacen deadheading) sea un múltiplo n de la frecuencia fA de los vehículos que sirven el corredor completo en operación normal (ecuación 3.2). En adelante, a este régimen se le llamará “régimen programado”

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ii. Intervalos aleatorios bajo un proceso Poisson Se supondrá que tanto en el segmento en que opera la estrategia (frecuencia fA + fB) como donde sólo realiza servicio la flota A (frecuencia fA), la llegada de vehículos se rige por un proceso Poisson. El objetivo es representar un ambiente de operación con escaso control, en que los vehículos tienden a desordenarse a medida que progresan en la ruta. En adelante, a este régimen se le llamará “régimen Poisson”. 3.3.2 Modelo de Demanda Agregada 3.3.2.1 Costo Asociado al Tiempo de Espera Se considera el costo asociado al tiempo de espera operando con deadheading, dh

eC , como el producto entre el tiempo total de espera (de todos los usuarios) y el valor del tiempo de espera, Pe. Al aplicar la estrategia, la frecuencia de operación es distinta en ambos sentidos. Se define entonces: fA: Frecuencia de la porción de la flota que sirve la ruta completa (Flota A). fB: Frecuencia de la porción de la flota que realiza deadheading (Flota B)5. En adelante se supondrá que el sentido con mayor demanda es el sentido 1, el cual observa una frecuencia fA + fB , mientras en el sentido 2 los usuarios son servidos sólo con la frecuencia fA, pues los vehículos que hacen deadheading no transportan pasajeros en este sentido. Así, el costo asociado al tiempo de espera es:

1 212

dhe e

A B A

y yxC Pf f f

⎡ ⎤+= +⎢ ⎥+⎣ ⎦ (3.3)

donde yi es la tasa de llegada de pasajeros al sentido i y x es una variable binaria, igual a uno si la llegada de vehículos es Poisson y cero si la llegada es regular (ver ecuación 2.41), para formular en una sola expresión los dos casos a estudiar, regímenes programado y Poisson. 3.3.2.2 Costo Asociado al Tiempo en Vehículo Se considera el costo asociado al tiempo en vehículo operando con deadheading, dh

vC , como el producto entre el tiempo total de viaje y el valor del tiempo en vehículo, Pv. El tiempo en vehículo puede ser expresado como una fracción del tiempo total de recorrido en ambos sentidos (Mohring, 1972; Jansson, 1980; Jara Díaz y Gschwender, 2003a), dada por el cuociente entre el largo promedio del viaje en el sentido i, li, y el largo de la ruta, L.

5 Esto no significa que las flotas A y B sean distintas (excluyentes), es decir, si un vehículo hace deadheading en un ciclo no necesariamente lo hará en el próximo. Esto dependerá de la diferencia entre las frecuencias fA y fB, que se traducen en intervalos de salida desde los terminales.

48

Por otra parte, el tiempo de recorrido es la suma de los tiempos en paradero y en movimiento; el primero está dado por el producto entre la cantidad de pasajeros que suben a un bus, /iy f , y el tiempo marginal de subida y bajada de pasajeros, β , mientras el tiempo en movimiento en el sentido i (no considera tiempo de transferencia de pasajeros) se denota Ri De manera análoga a (2.42), el costo asociado al tiempo en vehículo con estrategia es:

1 1 2 21 1 2 2

dhv v

A B A

l y l yC P R y R yL f f L f

β β⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ (3.4)

3.3.2.3 Costo del Operador De acuerdo con (2.43) se considera que el costo del operador tiene dos componentes, un costo por vehículo-kilómetro y otro por vehículo-hora. En este caso, el costo del operador es la suma de los costos de utilización de ambas flotas. Como la flota A opera de forma tradicional, su función de costo dh

oAC es similar a (2.46), pero reconociendo la influencia de la flota B en su tiempo de ciclo a través del número de pasajeros que aborda un bus A en el sentido 1:

( ) ( )1 21 2 2 'dh

oA AA B A

y yC f c K R R c K Lf f f

β⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞⎪ ⎪= + + + +⎨ ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟+⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

(3.5)

Sin embargo, la flota B opera en servicio en el sentido 1 y en deadheading en el sentido 2, lo que en principio debiese tener distintos costos de operación. Se supondrá que el costo de operación por kilómetro (consumo de combustible, mantenimiento, etc.) tiene la misma forma funcional lineal, tanto para la operación en servicio como en deadheading, pero con distintos coeficientes, es decir6,

( ), , ,0 1c K c c K= + (3.6)

( ), , ,0 1dh dh dhc K c c K= + (3.7)

El costo de operación por hora (adquisición de flota y personal) no depende de si el vehículo se opera en servicio o haciendo deadheading, por lo que en ambos casos se utilizará la misma función:

( ) 0 1c K c c K= + (3.8)

6 Ahora bien, si se supone que las funciones de costo lineales en K calibradas en los referidos estudios (Jansson, 1980; Oldfield y Bly, 1988) arrojan coeficientes que son independientes de la carga con la que opera el vehículo, podría usarse la misma función tanto para la operación normal como para la operación en deadheading, es decir, ( ) ( ), ,

dhc K c K= , siendo éste un caso particular del análisis que aquí se hace.

49

Luego, el costo de operación de la flota B, dh

oBC , debe considerar diferenciadamente la operación por kilómetro en servicio y en deadheading, tomando en cuenta la fracción del tiempo de ciclo total cBt que un vehículo pasa en cada sentido:

( ) ( ) ( )1

1, ,

1 2dh dhA BoB B cB B cB dh B cB

cB cB

y RRf fC c K f t c K v f t c K v f t

t t

β ++= + + (3.9)

en que Rdh es el tiempo de recorrido en el sentido fuera de punta de vehículos que realizan deadheading, y v1 y v2 son las velocidades en los sentidos 1 y 2, respectivamente,

11

1A B

Lv y Rf f

β=

++

y 2dh

LvR

= (3.10)

introduciendo (3.10) en (3.9) y simplificando se obtiene

( ) ( ) ( ), ,11

dhoB B dh dh

A B

yC f c K R R c K c K Lf f

β⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎡ ⎤= + + + +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎣ ⎦+⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

(3.11)

Finalmente, el costo del operador total, dh

oC , es la suma de (3.5) y (3.11), es decir

( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 21 2

, ,11

2 'dho A

A B A

B dh dhA B

y yC f c K R R c K Lf f f

yf c K R R c K c K Lf f

β

β

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞⎪ ⎪= + + + + +⎨ ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟+⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎡ ⎤+ + + + +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎣ ⎦+⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

(3.12)

50

3.3.2.4 Valor Óptimo de la frecuencia y el Tamaño de los Vehículos Sumando (3.3), (3.4) y (3.12) se obtiene la función de costo total dh

tC .

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 21 2

, ,11

1 2 1 1 2 21 1 2 2

, , 2 '

12

dht A B A

A B A

B dh dhA B

e vA B A A B A

y yC K f f f c K R R c K Lf f f

yf c K R R c K c K Lf f

y y l y l yxP P R y R yf f f L f f L f

β

β

β β

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞⎪ ⎪= + + + + +⎨ ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟+⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎡ ⎤+ + + + + +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎣ ⎦+⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞++ + + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(3.13)

La capacidad de los buses se define imponiendo que éstos puedan acomodar la demanda en el tramo más cargado, valor que no se puede obtener directamente en este modelo por su carácter agregado en la demanda. Sólo se sabe que el tamaño de embarque promedio en los buses es en el sentido i es de la forma

i ii

i

l ykL f

= (3.14)

con 1 A Bf f f= + y 2 Af f= . Luego, en general se expresará la carga máxima como una

proporción ,1ii

lL

α ⎡ ⎤∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦ de la demanda total del sentido i. Si η es el factor de seguridad en

la capacidad de los vehículos,

1 1 2 2max ,A B A

y yKf f fα αη

⎧ ⎫= ⎨ ⎬+⎩ ⎭

(3.15)

A priori, no es posible saber si con la aplicación de la estrategia, la carga máxima se producirá ya sea en el sentido de mayor o menor demanda. A un mismo nivel de demanda agregada y, es posible relacionar diversos perfiles de carga con tal demanda, y por consiguiente, obtener valores distintos para la carga máxima en cada caso. Analicemos los dos casos extremos:

• Si toda la demanda se sube o se baja en un mismo paradero, la carga máxima será qmax=y (caso en el cual α=1) y se producirá inmediatamente aguas abajo o aguas arriba de dicho paradero, si ocurre que en tal punto todos suben o todos bajan, respectivamente.

• En el otro extremo está el caso hipotético en que igual número de pasajeros se

sube en todos los paraderos, y todos los pasajeros se bajan en la estación siguiente a su subida. En este caso si en el corredor existen N paraderos, qmax=y/N con

51

α=1/N, presentándose el mínimo valor de la carga máxima que se puede encontrar en una línea.

A modo de ilustración, supongamos un corredor con demanda desbalanceada, en que y1=5000 pax/h e y2=1000 pax/h. Si en el sentido 1 todos los pasajeros se suben o se bajan en el mismo punto, entonces q1max=5000 pax/h, sin embargo, si por ejemplo el corredor tiene 10 paraderos, puede darse que 500 pax ingresen al sistema en el primer paradero y se bajen en el segundo, en el cual se suben otros 500 pax que se bajan en el tercero, y así sucesivamente, completando una demanda total de 5000 pax/h pero con una carga máxima de 500 pax/h. Luego, el sentido 2 puede tener una carga máxima mayor a la del sentido 1, aún cuando su demanda total sea sólo la quinta parte. Todo depende de la relación entre los factores α1 y α2, cuyos valores se mueven entre 1/N y 1. Aún si se conocen los valores de α1 y α2, no es posible saber en qué sentido se producirá la carga máxima en los buses cuando se aplique la estrategia, pues esta decisión depende de las frecuencias resultantes en cada sentido fA y fA+fB según (3.15). Así, para empezar la búsqueda de las frecuencias óptimas, es necesario hacer un supuesto. Se asume que la carga máxima se produce en el sentido 1, luego, según (3.15), la capacidad de los vehículos queda determinada por7:

( )1 1

A B

yKf fα

η=

+ (3.16)

valor que se ingresa a (3.13) para dejar el costo total sólo en función de las frecuencias:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

, ,1 1 1 2 1 10 1 1 2 0 1

, , , ,1 1 1 1 1 1 10 1 1 0 1 0 1

, 2dht A B A

A B A B A A B

B dh dh dhA B A B A B A B

y y y yC f f f c c R R c c Lf f f f f f f

y y y yf c c R R c c c c Lf f f f f f f f

α αβη η

α α αβη η η

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞⎪ ⎪= + + + + + + +⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞⎪+ + + + + + + +⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩

1 2 1 1 2 21 1 2 2

12e v

A B A A B A

y y l y l yxP P R y R yf f f L f f L f

β β

⎪+⎪⎭

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞++ + + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦(3.17)

Como se señaló en 3.3.1, aplicar la estrategia deadheading sobre un corredor será beneficioso si su costo total es menor que el costo total en operación normal, sin estrategia. Observando la expresión (3.17), si se impone que no se haga deadheading, es decir, 0Bf = , se recupera la función de costo total en operación normal, Ct (expresión 2.55), como es razonable esperar. Analíticamente,

7 Este supuesto debe ser revisado una vez que se encuentran los valores óptimos de fA y fB. Si el resultado indica que la carga máxima está en el sentido 2, entonces se debe resolver el problema nuevamente considerando esta situación.

52

( ) ( ), 0dht A B t AC f f C f= ≡

(3.18)

Luego, si *

Af y *Bf son los valores que minimizan (3.17), para que la estrategia sea

beneficiosa basta que estas soluciones, *Af y *

Bf , sean positivas, pues como la optimización se está haciendo sobre dos variables, el resultado necesariamente va a ser mejor (menor valor de la función objetivo) que si se fija arbitrariamente el valor de una variable, como cuando se impone 0Bf = . A continuación se resolverá el problema propuesto para los dos casos bajo estudio, régimen programado y régimen Poisson. I. Régimen Poisson En este caso la esperanza del tiempo de espera es igual al la esperanza del intervalo y el valor de la variable auxiliar x es uno. Una manera de encontrar los valores extremos *

Af y *Bf es aplicar las CPO, que para una

función de varias variables establecen que las derivadas parciales de las distintas variables debe ser iguales a cero (si se trata de un problema sin restricciones). Aplicando CPO a (3.17) se obtiene:

( ) ( )( )

( ) ( )( )

, 2 22 1 1 10 1 2 0 2 2 1 1 2 1 1 22

, ,1 11 2 1 1 2

1 12

0

dht

e v e vA A A B

Bdh dh

A B

C l y lc R R Lc P y P y c y y P y P yf L f L f f

y fc R R L c cf f

αβ β βη

αη

∂ ⎡ ⎤⎛ ⎞= + + − + − + + + +⎜ ⎟ ⎢ ⎥∂ ⎝ ⎠ +⎣ ⎦

⎡ ⎤+ − + − =⎣ ⎦ +

(3.19)

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

, , 21 1 10 1 0 0 1 1 2 1 1 2

, ,1 11 2 1 1 2

1

0

dht

dh dh e vB A B

Adh dh

A B

C y lc R R L c c c y y P y P yf L f f

y fc R R L c cf f

α β βη

αη

∂ ⎡ ⎤= + + + − + + + +⎢ ⎥∂ +⎣ ⎦

⎡ ⎤− − + − =⎣ ⎦ +

(3.20)

Después de manipular algebraicamente las expresiones (3.18) y (3.19) se alcanza una ecuación de 5º grado para Af de la forma:

53

5

0

0ii A

ia f

=

=∑ (3.21)

donde los coeficientes ia son:

( )2

2 21 1 1 20 1 1 2 1 1 2 2e v e v

y l la c y y P y P y P y P yL L

α β β βη

⎡ ⎤ ⎛ ⎞= + + + +⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦

( ) ( )2

, , 21 1 21 1 2 1 1 2 2dh dh e v

y la c R R L c c P y P yL

α βη

⎛ ⎞⎡ ⎤= − + − +⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠

( ) ( ) ( )2 2 , ,1 1 1 22 1 1 2 1 1 2 2 0 2 0 02 e v e v dh dh

y l la c y y P y P y P y P y c R R L c cL L

α β β βη

⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤= − + + + + − + −⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( ), , 2 , ,1 1 23 1 2 1 1 2 2 0 2 0 02 dh dh e v dh dh

y la c R R L c c P y P y c R R L c cL

α βη

⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − + − + − + −⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2, , 21 1 14 0 2 0 0 1 1 2 1 1

22, , , ,1 1

0 1 0 0 1 2 1 1

dh dh e v

dh dh dh dh

y la c R R L c c c y y P y P yL

y c R R L c c c R R L c c

α β βη

αη

⎡ ⎤⎡ ⎤= − + − + + + −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + + + − + −⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠

( ) ( ) ( ) ( )2, , , ,1 15 0 2 0 0 1 2 1 1dh dh dh dh

ya c R R L c c c R R L c cαη

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + − − + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

ecuación de la que no es posible despejar una forma cerrada para fA y debe ser resuelta numéricamente. Ya que en este caso no es posible encontrar expresiones algebraicas para los valores óptimos de las frecuencias, un segundo camino consiste en obtener el mínimo de la función objetivo (3.17) directamente, mediante un método numérico de minimización de funciones de varias variables. Al respecto se han creado varios métodos o algoritmos que se diferencian por su complejidad, aplicabilidad y velocidad de convergencia. Dadas las condiciones de (3.17), en particular, el hecho de tener sólo dos variables y que sus primeras y segundas derivadas pueden ser obtenidas con relativa facilidad, se opta por utilizar el método de Newton para converger a los valores óptimos de fA y fB numéricamente, método caracterizado por converger rápidamente si se parte de un punto cercano al mínimo buscado, además de no ser complicado de implementar en cualquier lenguaje de programación. Una descripción de este método puede ser encontrada en el Anexo A1. No obstante, en el caso particular en que el costo del operador no depende de la capacidad K, esto es cuando ( )c K c= , ( ), ,

0c K c= y ( ), ,dh dhc K c= la función objetivo se

reduce a

54

( )

( )

,1 21 2

, ,11

1 2 1 1 2 21 1 2 2

, 2dht A B A

A B A

B dh dhA B

e vA B A A B A

y yC f f f c R R c Lf f f

yf c R R c c Lf f

y y l y l yP P R y R yf f f L f f L f

β

β

β β

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞⎪ ⎪= + + + + +⎨ ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟+⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪+ + + + + +⎨ ⎬⎜ ⎟+⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(3.22)

y en este caso sí es posible extraer expresiones algebraicas para las frecuencias óptimas. Como se verá en los siguientes modelos, la forma funcional (3.22) se repite en todas las estrategias analizadas, razón por la cual se analizará en general. Agrupando los términos semejantes, la forma general de (3.22) es

( ) 3 40 1 2,t A B A B

A A B

C f f f ff f fδ δδ δ δ= + + + +

+ (3. 23)

función que es estrictamente convexa ( ) 2,A Bf f +∀ ∈ (Hessiano definido positivo). Aplicando CPO se obtiene

( )3 4

1 22 0t

A A A B

Cf f f f

δ δδ∂ = − − =∂ +

(3.24)

( )4

2 2 0t

B A B

Cf f f

δδ∂ = − =∂ +

(3.25)

De donde se obtiene que las únicas soluciones positivas son:

* 3

1 2Af δ

δ δ=

−

(3.26)

* 34

2 1 2Bf

δδδ δ δ

= −−

(3.27)

las cuales, por la convexidad de la función, son mínimos globales en el espacio ( ) 2,A Bf f +∈ . En el caso particular de (3.22), (3.26) y (3.27) se transforman en:

( ) ( )22

2 2*

, ,2

e v

Adh dh

lP y P yLf

c R R c c L

β+=

− + −

(3.28)

55

( ) ( ) ( ) ( )

2221 2 21 1* 2

, , , ,1 2

e ve v

Bdh dh dh dh

ll P y P yP y P y LLfc R R c c L c R R c c L

ββ ++= −

+ + + − + −

(3.29)

valores que además pueden emplearse para evaluar (3.15) y obtener así el tamaño de los vehículos:

( )* 1 1

* *A B

yKf fα

η=

+ (3.30)

La frecuencia *

Af como en (3.28) existirá siempre y será positiva si se cumplen las condiciones 2dhR R< y , ,

dhc c< ; por otra parte, para que *Bf sea positiva, se debe imponer

una condición en el resultado (3.29), la cual de acuerdo al análisis hecho sobre la expresión (3.18), es una condición necesaria y suficiente para que la estrategia reporte beneficios, cuando los costos unitarios de operación son independientes de la capacidad de los vehículos:

* 0Bf > ⇔( ) ( )( ) ( )

21 , ,1 1 1

, ,22 2

2 2

e v dh dh

dh dhe v

lP y P y c R R c c LLl c R R c c LP y P yL

β

β

+ + + +>

− + −+

(3.31)

estableciéndose así una cota mínima en el desbalance en la demanda (y1 versus y2, representado por el término a la izquierda de la desigualdad), para que se disminuya el costo total al aplicar deadheading. Tal cota depende de los costos unitarios de operación, de los tiempos de viaje y del largo del corredor, concluyéndose que las condiciones más favorables para la estrategias son tener:

• Un alto valor del desbalance en la demanda, 1 2y y . • Un alto valor del largo promedio de los viajes en el sentido 1, l1, en relación con

su homólogo en el sentido 2, l2. • Un bajo valor del tiempo de circulación en deadheading y de su costo de

operación, dhR y ,dhc , respectivamente.

Todas ellas razonables e intuitivas. Al observar la forma de *

Af y *Bf en (3.28) y (3.29) es posible realizar una breve

discusión cualitativa. *Af es mayor mientras mayor es el valor de y2, lo que tiene sentido

pues esta frecuencia es la que observan los usuarios del lado 2, el de menor demanda. Por otra parte, el sustraendo en *

Bf es precisamente *Af , en particular *

Bf crece con y1 y decrece con y2, situación que también se explica teniendo en cuenta que *

Bf es la

56

frecuencia adicional que se da a los pasajeros y1 y que no observan los pasajeros y2. Luego, mientras mayor sea el desbalance en la demanda, se espera que mayor sea el desbalance de frecuencias que sirven a unos y otros, es decir, ( )* * *

A B Af f f+ . Al extraer dicho cuociente de (3.28) y (3.29) se ratifica tal conclusión,

( ) ( )( ) ( )

21 , ,* * 1 1 2* , ,

22 12 2

2

e v dh dhA B

A dh dhe v

lP y P y c R R c c Lf f Llf c R R c c LP y P yL

β

β

+ − + −+ =+ + ++

(3.32)

Además, por el lado de la operación, se puede establecer que el desbalance en las frecuencias se incrementa si decrece el valor de dhR y de ,

dhc . Esto se explica, en el primer caso, pues mientras más pequeño sea el tiempo que tardan los vehículos en hacer deadheading, menor será el tiempo de ciclo de la flota B y por consiguiente su costo de operación; y en el segundo, evidentemente, mientras menor sea el valor de ,

dhc , más conveniente será operar utilizando la estrategia, también por un menor costo de operación de la flota B. Por otro lado, (3.32) crece con 2R , la contraparte de dhR para la flota A. A priori, la influencia de 1R y ,c no es clara, pues son valores que se aplican a ambas flotas en el sentido 1. (3.32) indica que el desbalance de frecuencias decrece con R1, lo que se entiende pues mientras mayor sea el valor de R1, menor es la diferencia relativa entre los tiempos en movimiento de la flota A que hace el servicio completo, 1 2R R+ , y la flota B que hace deadheading, 1 dhR R+ . También de (3.28) y (3.29) es posible rescatar algunos casos particulares relevantes, en especial si se impone positividad al denominador de *

Af en (3.25), a saber:

• Si el tiempo en movimiento sirviendo en el sentido 2 es igual al tiempo haciendo deadheading, esto es, 2 dhR R= . En este caso,

( )22

2 2*

, ,

e v

Adh

lP y P yLf

c c L

β+=

−

(3.33)

y una condición necesaria para que la estrategia sea aplicable es , ,dhc c< , es decir,

que el costo por kilómetro de operar un vehículo sea menor en deadheading que en operación normal, situación posible de encontrar en la práctica. En general, el costo de operación de los vehículos de transporte público depende, entre otros factores, de la velocidad comercial (velocidad promedio de circulación) y del número de pasajeros que transporta, ambas variables que cambian al implementarse la estrategia deadheading, pues con este esquema de operación existe un segmento de la ruta en que los buses circulan vacíos y a mayor velocidad. Así, por ejemplo, si se analiza el caso de los buses urbanos en

57

Santiago, es posible encontrar curvas de interpolación que relacionan el consumo de combustible (cc) del vehículo – una de las componentes más importantes del costo operacional- con la velocidad de circulación, del tipo (Sectra, 2002)

( ) Bcc v A v−= ⋅ [g/km] (3.34)

donde v es la velocidad comercial (en km/h) y A y B son constantes positivas que dependen de la tecnología del vehículo. Por ejemplo, para el caso de buses diesel cuya fecha de inscripción en el registro Nacional de Vehículos Motorizados sea posterior a Septiembre del año 2002, las constantes son A=1645.9 y B=0.4318, cuya curva se observa en la Figura 3.2.

Consumo de combustible en buses

0100200300400500600700800900

0 10 20 30 40 50 60 70

Velocidad [km/h]

Cons

umo

[g/k

m]

Figura 3.2: Consumo de combustible en función de la velocidad comercial, buses

urbanos en Santiago. (Fuente: Sectra, 2002)

• Si el costo de operación por kilómetro es igual en circulación normal y haciendo deadheading, es decir, , ,

dhc c= , se tiene

( )

222 2

*

2

e v

Adh

lP y P yLf

c R R

β+=

−

(3.35)

y la estrategia será factible sólo si 2dhR R< , o sea, si el tiempo en movimiento (mientras existe servicio) en el sentido de menor demanda, es mayor que el tiempo al realizar deadheading.

• Si 2 dhR R= y , ,dhc c= , fA se indefine y la estrategia no es aplicable para minimizar

el costo total. Este resultado es independiente del desbalance que exista en la

58

demanda, asociado a la medida 1 2y y , es decir, no basta con que haya un desbalance importante de la demanda en el corredor, también es necesario que en éste se disponga de las condiciones propicias para la circulación de vehículos realizando deadheading.

Sobre el tamaño de los vehículos Si suponemos que el sentido 1, el de mayor demanda, es también el que presenta la carga máxima de pasajeros, el tamaño de los vehículos toma los valores

* 1 1*

yKf

αη

= y ( )* 1 1

* *dhA B

yKf fα

η=

+ (3.36)

para los casos de operación normal y con estrategia, respectivamente. Luego, si se aplica la estrategia, el resultado reporta que en el óptimo es suficiente operar con buses más chicos, pues

** * *

* *dhA B

fK K Kf f

= ≤+

(3.37)

Esta consecuencia es esperable ya que la estrategia aumenta la frecuencia precisamente en el sentido de mayor carga de pasajeros, donde se condiciona el tamaño de los vehículos bajo el régimen de operación normal. Ahora bien, este análisis está supeditado a lo que sucede en el corredor en los demás períodos del día, en los que no se aplica la estrategia, pues es posible que con otros patrones de demanda, observados en otros momentos, la capacidad *

dhK no sea suficiente para acomodar a los pasajeros, caso en el cual se debe optar por utilizar vehículos con capacidad *K también al aplicar la estrategia, bajo el supuesto de que la frecuencia *f que determina *K es la que satisface la máxima demanda a lo largo del día, es decir, se calculó para el período punta. II. Régimen programado En este caso el tiempo de espera promedio es igual a la mitad del intervalo y x=0. Además la frecuencia de la flota que hace deadheading, fB, se restringe a ser un múltiplo de la frecuencia fA, es decir, B Af n f= . Esta situación cambia la naturaleza del problema de optimización pues se incorpora una variable discreta a la función objetivo, n ∈ , en reemplazo de la variable continua Bf ∈ , lo que deja la función de costo total de la siguiente forma,

59

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 21 2

, ,11

1 2 1 1 2 21 1 2 2

, , 2 '1

1

2 1 2 1

dht A A

A A

A dh dhA

e vA A A A

y yC K f n f c K R R c K Ln f f

ynf c K R R c K c K Ln f

y y l y l yP P R y R yn f f L n f L f

β

β

β β

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞⎪ ⎪= + + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟+⎢ ⎥⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎡ ⎤+ + + + + +⎜ ⎟⎨ ⎬⎣ ⎦⎜ ⎟+⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(3.38) La restricción de capacidad en este caso es:

( )( )max1 1 2 2 1 1

2 21max , max ,

1 1A A A A

ny y yK yn f f f n f

αα α αη α⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ≡⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎝ ⎠

luego, la capacidad toma la forma

( )max

A

nK

fα

η=

(3.39)

con

( ) 1 1max 2 2max ,

1yn y

nαα α⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠

expresión que se reemplaza en la función objetivo, dejándola sólo como función de la frecuencia fA y del scheduling mode n.

( ) ( )( )

( )

( )( )

( ) ( )

max max, ,1 20 1 1 2 0 1

max max max, , , ,10 1 1 0 1 0 1

, 21

1

dht A A

A A A A

A dh dh dhA A A A

n ny yC f n f c c R R c c Lf n f f f

n n nynf c c R R c c c c Lf n f f f

α αβ

η η

α α αβ

η η η

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪= + + + + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟+⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭⎧ ⎫⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪+ + + + + + + + +⎜ ⎟⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟+⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎩ ⎭

( ) ( )1 2 1 1 2 2

1 1 2 22 1 2 1e vA A A A

y y l y l yP P R y R yn f f L n f L f

β β⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ + + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦ (3.40)

Al tener un problema de optimización mixto, con variables continuas y enteras, el método de solución puede ser dividido en dos etapas:

• Aplicar CPO a la variable continua Af , encontrando un valor óptimo ( )*Af n

60

• Reemplazar este valor en (3.40), de forma tal que la función objetivo quede sólo en función de n, ( )( ) ( )* ,dh dh

t A tC f n n C n≡ , y el óptimo global se encuentre

evaluando ( )dhtC n para todos los valores factibles de n y eligiendo aquel que

arroje su valor mínimo. En este caso, al reducirse el problema a sólo una variable continua, la CPO sí arroja una forma algebraica para la solución, en función de n, a saber:

( ) ( )

( )( ) ( )

, ,0 1 2 1 0 0

2max21 2 1 1 2

2 1 1 22

2

1 02 1 2 1

dht

dh dhA

e vA

C c R R n R R c L n c L nf

ny y l y lP P y c y yf n L n L

αβ β

η

∂ = + + + + + + −⎡ ⎤⎣ ⎦∂

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + + + + =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(3.41)

luego,

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

22 max1 2 1 1 22 1 1 2

*, ,

0 1 2 1 0 0

2 1 2 12

e v

Adh dh

ny y l y lP P y c y yn L n L

f nc R R n R R c L n c L n

αβ β

η⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎝ ⎠=+ + + + + +⎡ ⎤⎣ ⎦ (3.42)

Finalmente, el costo mínimo de aplicar la estrategia es ( )mindh dh

t tnC C n= y el scheduling

mode óptimo *n es aquel que minimiza ( )dhtC n , es decir:

( )* arg min dh

tn

n C n= (3.43)

Si se reemplaza (3.42) y (3.43) en (3.39) se obtiene la capacidad vehicular óptima.

( )( )

*max*

* *A

nK

f n

αη

=

(3.44)

En el caso particular en que el costo del operador no depende de la capacidad K, es decir, ( )c K c= , ( ), ,c K c= y ( ), ,

dh dhc K c= , la solución resulta ser,

( ) ( )( ) ( )

221 2 1 1 22

*, ,

1 2 1

2 1 2 12

e v

Adh dh

y y l y lP P yn L n L

f nc R R n R R c L n c L n

β⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎝ ⎠=+ + + + + +⎡ ⎤⎣ ⎦

(3.45)

61

Recordando que en este caso ( ) ( )* *B Af n n f n= , se observa que en el conjunto de

soluciones que se obtiene en (3.45), no existe el peligro de negatividad de fB o indefinición de las soluciones, como en el caso continuo (3.28) y (3.29). Luego, en este problema más restringido, siempre es posible encontrar soluciones óptimas positivas (incluso en corredores donde el modelo continuo entregaba una solución negativa para fB). Como era previsible, ( )*

Af n decrece con n. En este punto convendría tener una intuición, establecer condiciones o bien, tratar de encontrar una forma aproximada para el valor óptimo del scheduling mode, *n . Si se relaja la condición n ∈ y se supone n ∈ , se puede obtener una expresión explícita para *n , mediante las CPO:

( ) ( )( )

, , 211 1 1 2

1 1 02 1

dht

A dh dh e vA

C lxf c R R c c L P y P yn L f n

β∂ +⎛ ⎞⎡ ⎤= + + + − + =⎜ ⎟⎣ ⎦∂ ⎝ ⎠ +

(3.46)

fA se obtiene de (3.41) para el caso , ( )c K c= , ( ), ,c K c= y ( ), ,

dh dhc K c= , luego,

( ) ( )( ) ( )

21 1 , ,1 2*

, ,22 2 12

2 1

2

e v dh dh

dh dhe v

y lP P y c R R c c LLn y l c R R c c LP P yL

β

β

+ − + −= −

+ + ++

(3.47)

Notar que (3.47) es equivalente a optimizar con respecto a las variables Af y B Af f la función objetivo del caso continuo (3.22). Luego, como es lógico, (3.46) es igual al cuociente entre Bf y Af (expresiones 3.26 y 3.25 con x=0). Acorde a la intuición, *n crece con 1y y decrece con 2y . Notar además que aún en el caso 1 2y y= , el término asociado a la demanda en (3.47) se mantiene si los largos promedios de viaje son distintos, siendo mayor el valor de *n mientras mayor sea el largo promedio de los viajes en el sentido 1, en comparación con el sentido 2. 3.3.2.5 Condiciones para que la Estrategia sea Beneficiosa Se establecen condiciones necesarias para que la estrategia de deadheading reporte beneficios, en el sentido de cumplir con los objetivos específicos planteados a continuación: i. Disminuir el costo asociado al tiempo de espera Se obtiene de imponer que al aplicar la estrategia deadheading, el costo asociado al tiempo de espera dh

eC (expresión 3.3) sea menor que en operación normal, eC (expresión 2.44).

62

1

2

1 1

1 1A

A B

y f fy

f f f

−>

−+

(3.48)

Establece que para que haya beneficios en el costo asociado al tiempo de espera, el desbalance 1 2y y en la demanda debe superar una cota inferior dada por los inversos de las frecuencias en operación normal y con estrategia. El inverso de la frecuencia corresponde al intervalo promedio que perciben los usuarios. Luego, el numerador es la diferencia entre los intervalos con estrategia y en situación normal para los usuarios del sentido 2, mientras el denominador es la diferencia entre los intervalos en situación normal y con estrategia para los usuarios del sentido 1, es decir, habrá beneficios en el costo asociado al tiempo de espera si el desbalance en la demanda supera el cuociente entre el aumento en el tiempo de espera de los usuarios desfavorecidos (y2) y la disminución en el tiempo de espera de los usuarios favorecidos (y1). ii. Disminuir el costo asociado al tiempo en vehículo Se obtiene de imponer que al aplicar la estrategia deadheading, el costo asociado al tiempo en vehículo (expresión 3.4) sea menor que en operación normal (expresión 2.46).

2

1 2

2 1

1 1

1 1A

A B

y l f fy l

f f f

−⎛ ⎞

>⎜ ⎟⎝ ⎠ −

+

(3.49)

Si 1 2l l≈ , es decir, el largo promedio de los viajes en ambos sentidos es similar, (3.49) muestra que si hay beneficios en el costo asociado al tiempo de espera, necesariamente los habrá en el costo asociado al tiempo en vehículo, pues al estar el desbalance 1 2y y al cuadrado, (3.49) es menos restrictiva que (3.48). iii. Disminuir la suma de los costos asociados a los tiempos de espera y viaje Aparece al imponer que la suma de los costos asociados al tiempo de espera y de viaje sea menor con estrategia que en operación normal.

2

1 1 1 22

2 2

1 11

2 1 1e A A

v

A B A B

f fP f y l y l fx yf fP y L y L

f f f f

β

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞+ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− < −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(3.50)

63

Si hay desbeneficios en el costo asociado al tiempo de espera y beneficios en el costo asociado al tiempo en vehículo (ambos lados de la desigualdad serán positivos), mientras menor sea el valor del tiempo de espera relativo al valor del tiempo en vehículo, es más probable que disminuya el costo total. iv. Disminuir el costo del operador Al comparar el costo del operador entre las expresiones (2.51) y (3.12), se da que con la estrategia se disminuye el costo del operador si:

( ) ( )

( ) ( )

, , , ,0 0 0 0 0

, ,21 1 1 1 1 11 1 2 1 2 1 1

2 2

1 1

A B A dh B

A B dh Bdh

A B A B A B

c F F F L c f c c f c f

f R f Ry y y fc y y c R L c cf f f f f f f

α α αβη η η

⎡ ⎤+ − + + + − ≤⎣ ⎦⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+≤ + − + − + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(3.51)

Suponiendo que la estrategia aumenta la frecuencia del lado más cargado, es decir,

A Bf f f+ > , el término a la derecha de la desigualdad es siempre positivo. La expresión a la izquierda de la desigualdad se compone de dos términos. El primer paréntesis es la resta entre el tamaño de flota con estrategia y el tamaño de flota en operación normal. Luego, como es previsible, mientras menor sea el tamaño de flota con estrategia en relación con la situación normal, es más probable que se disminuya el costo del operador. El segundo término es la resta de las componentes espaciales del costo del operador y señala que, por ejemplo, disminuye el costo del operador mientras menor sea ,

0dhc en relación con ,

0c 8. 3.3.3 Modelo de Demanda Desagregada 3.3.3.1 Definiciones En esta sección se considera una formulación desagregada del modelo deadheading. Tal como se señaló en 3.3.1, este modelo desagregado permitirá escoger el bloque de estaciones sucesivas a saltarse por la flota que hace deadheading (flota B), desde el terminal de partida del sentido de menor demanda. Por lo tanto, para efectos de formulación, el objetivo será determinar las frecuencias para las flotas A y B, en conjunto con identificar la estación desde la cual la flota B retoma el servicio, s0 (ver Figura 3.3). Suponemos un sistema con N estaciones por sentido (lo que corresponde a N-1 tramos por sentido), numeradas desde la estación 1 hasta la estación N (ambas terminales), tal como se muestra en la Figura 3.3. Al igual que para el modelo de demanda agregada, se 8 Notar que en el caso , ,

0 0dhc c= esta componente del costo del operador siempre aumenta al aplicar la

estrategia si A Bf f f+ > , pues al hacer deadheading los vehículos recorren una distancia mayor que en el régimen normal de operación, para un mismo período de tiempo.

64

asume que el sentido 1 es el de mayor afluencia de pasajeros, razón por la cual los vehículos realizan deadheading en el sentido 2.

N

1N −

1

2

Bf

A Bf f+

Af

Af

A Bf f+0s

Sentido 2

Sentido 1

N

1N −

1

2

Bf

A Bf f+

Af

Af

A Bf f+0s

Sentido 2

Sentido 1

Figura 3.3: corredor de transporte público, estrategia deadheading.

Asumimos además que se conocen la matriz origen-destino de viajes (para un cierto período) entre estaciones y los tiempos de viaje en vehículo entre estaciones sucesivas, definidas en 2.3.3. Además de Rk, se define ,

kR como el tiempo en movimiento de los vehículos que hacen deadheading entre las estaciones k y k+1 [min]. Es conveniente notar que Rk incluye los tiempos de aceleración y frenado en paraderos además de los tiempos muertos, a diferencia de ,

kR que no los considera. Gracias al carácter desagregado de este modelo, con información de tiempos de viaje y demanda estación a estación, es posible determinar la estación óptima de reinicio de servicio para los vehículos que hacen deadheading, sin imponer a priori que tales vehículos salten el sentido de menor demanda en su totalidad. Las variables a determinar en este problema de optimización son las frecuencias de recorrido, tanto en operación normal (f) como con estrategia ( Af y Bf ), así como la estación desde la cual la flota B retoma el servicio en el sentido de menor demanda (que denotaremos 0s ). 3.3.3.2 Costo Asociado al Tiempo de Espera Se define de manera análoga a la ecuación 3.3, con la salvedad de que en este caso el servicio de la flota B se reanuda en la estación 0s , no determinada a priori.

0

0

1 2 2

1 1 1

12

sN Nk k k

e ek k k sA B A B A

xC Pf f f f f

λ λ λ+ + +

= = = +

⎛ ⎞+= + +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠∑ ∑ ∑

(3.52)

65

3.3.3.3 Costo Asociado al Tiempo en Vehículo Para calcular el costo asociado al tiempo en vehículo con exactitud cuando se tienen distintas frecuencias de operación a lo largo de un tramo, es necesario separar por casos, pues la tasa a la que se suben los pasajeros a los vehículos en una estación es inversamente proporcional a la frecuencia de servicio frente a esa estación. En el sentido 1 no hay diferencias pues en toda su extensión la frecuencia es la misma, fA+fB. Luego, el tiempo en vehículo tkl entre un origen k y un destino l>k tiene la forma

11li

kl ii k A B

t R bf f

λ +−

=

⎛ ⎞= +⎜ ⎟+⎝ ⎠∑ (3.53)

No obstante, en el sentido 2 en un segmento los usuarios observan una frecuencia fA y en el otro observan fA+fB. Así, en el sentido en que se realiza deadheading el tiempo en vehículo toma tres formas distintas:

• Si el origen k y el destino l del viaje están en el segmento donde la flota B realiza deadheading, esto es, entre 0s y N, a lo largo de todo el viaje el número de pasajeros que se sube al vehículo será de la forma 2

i Afλ + y el tiempo en vehículo puede ser expresado como

2

11

ki

kl ii l A

t R bf

λ +

−= +

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ (3.54)

• Si el origen k está entre 0s y N pero el destino l está entre las estaciones 1 y 0s , es

decir, donde la flota B ha reanudado el servicio, al vehículo se subirán pasajeros a tasa 2

i Afλ + antes de llegar a 0s , y luego a tasa ( )2i A Bf fλ + + en la zona en que

ambas flotas realizan servicio, por lo cual el tiempo en vehículo tiene la forma:

0

0

2 2

1 11 1

ski i

kl i ii s i lA B A

t R b R bf f f

λ λ+ +

− −= + = +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ (3.55)

• Si el origen k y el destino l del viaje están en el segmento donde sirven ambas

flotas, es decir, entre las estaciones 1 y 0s , a lo largo de todo el viaje el número de pasajeros que se sube al vehículo será de la forma ( )2

i A Bf fλ + + y el tiempo en vehículo puede ser expresado como

2

11

ki

kl ii l A B

t R bf f

λ +

−= +

⎛ ⎞= +⎜ ⎟+⎝ ⎠∑ (3.56)

66

Luego, a partir de las expresiones (3.53) a (3.56) se puede construir el costo asociado al tiempo en vehículo, multiplicando el tiempo en vehículo en cada par OD (k,l) por su respectiva demanda y sumando sobre todos los pares OD, tomando en cuenta los cuatro casos identificados, expresión que se multiplica por el valor del tiempo en vehículo para obtener el resultado final en (3.57):

0 0

0 0

0 0

1 21 1

11 1 1 1

1 2 2

1 1 11 1 1 1

N N l N k kdh i iv v i kl i kl

k l k i k k s l s i lA B A

s sN ki i

i i kl ik s l i s i lA B A

C P R b R bf f f

R b R b R bf f f

λ λλ λ

λ λ λ

+ +− −

−= = + = = + = = +

− + +

− − −= + = = + = +

⎧ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪= + + + +⎨ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑0 21

1 1 1

s k ki

klk l i l A Bf f

λ λ+−

= = = +

⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎪⎬⎢ ⎥⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎪⎣ ⎦ ⎭

∑∑ ∑

(3.57) 3.3.3.4 Costo del Operador El costo del operador es la suma de los costos de utilización de ambas flotas. Como la flota A opera de forma tradicional, su función de costo dh

oAC es similar a (2.58), pero reconociendo la influencia de la flota B en su tiempo de ciclo a través del número de pasajeros que aborda un bus A en el sentido 1 y entre las estaciones 0s y N en el sentido 2.

( ) ( )0

0

1 2 21

1 11 2 1

2 'sN N

dh k k koA A k k k

k k k sA B A B A

C f c K R b R b R b c K Lf f f f f

λ λ λ+ + +−

− −= = = +

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪= + + + + +⎢⎨ ⎬⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎢ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦⎪ ⎪⎣⎩ ⎭∑ ∑ ∑

(3.58)

Sin embargo, la flota B opera en deadheading entre las estaciones 0s y N en el sentido 2, y en servicio desde la estación 0s en adelante (desde 0s hacia el terminal 1), con los distintos costos de operación dados por (3.4) y (3.5). Luego, al igual que en el caso agregado, el costo de operación de la flota B, dh

oBC , debe considerar diferenciadamente la operación por kilómetro en servicio y en deadheading, tomando en cuenta la fracción del tiempo de ciclo total cBt que un vehículo recorre en cada sentido. El resultado es análogo a (3.9), pero considerando que el segmento saltado no es el sentido 2 completo, sino una fracción de éste. Si suponemos que las N estaciones están equiespaciadas, los segmentos en que la flota B hace deadheading y opera en servicio (en ambos sentidos) son, respectivamente,

0

1N s LN

−−

y 0 11

s L LN

− +−

(3.59)

luego, para el caso desagregado, (3.9) se transforma en:

67

( )

( ) ( )

0

0

1 21'

1 11 2 1

, ,0 01 11 1

sN Ndh k koB B k k k

k k k sA B A B

dh

C f c K R b R b Rf f f f

s N sL c K c KN N

λ λ+ +−

− −= = = +

⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪= + + + + +⎨ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎣ ⎦⎩⎫⎡ − − ⎤⎛ ⎞+ + + ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥− −⎝ ⎠⎣ ⎦⎭

∑ ∑ ∑ (3.60)

Finalmente, el costo del operador total es la suma de (3.58) y (3.60):

( ) ( )

( )

0

0

0

0

1 2 21

1 11 2 1

1 21'

1 11 2 1

2 'sN N

dh k k ko A k k k

k k k sA B A B A

sN Nk k

B k k kk k k sA B A B

C f c K R b R b R b c K Lf f f f f

f c K R b R b Rf f f f

L

λ λ λ

λ λ

+ + +−

− −= = = +

+ +−

− −= = = +

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪= + + + + + +⎢⎨ ⎬⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎢ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦⎪ ⎪⎣⎩ ⎭⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪+ + + + + +⎨ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎣ ⎦⎩

+

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

( ) ( ), ,0 01 11 1dh

s N sc K c KN N

⎫⎡ − − ⎤⎛ ⎞+ + ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥− −⎝ ⎠⎣ ⎦⎭ (3.61)

En resumen, el costo asociado al tiempo de espera y el costo del operador rescatan la forma que tiene cada cual en el modelo de deadheading con demanda agregada, mientras en el costo asociado al tiempo en vehículo, se observa la diferencia debido al uso del tiempo en vehículo promedio en el caso agregado y al empleo de la matriz OD en esta formulación con demanda desagregada. 3.3.3.5 Valor Óptimo de la Frecuencia y el Tamaño de los Vehículos Una vez derivadas las funciones de costo, se construye la función de coto total dh

tC como la suma de (3.52), (3.57) y (3.61).

( ) ( )

( )

0

0

0

0

1 2 21

1 11 2 1

1 21'

1 11 2 1

2 'sN N

dh k k kt A k k k

k k k sA B A B A

sN Nk k

B k k kk k k sA B A B

C f c K R b R b R b c K Lf f f f f

f c K R b R b Rf f f f

L

λ λ λ

λ λ

+ + +−

− −= = = +

+ +−

− −= = = +

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪= + + + + + +⎢⎨ ⎬⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎢ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦⎪ ⎪⎣⎩ ⎭⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪+ + + + + +⎨ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎣ ⎦⎩

+

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

( ) ( )0

0

0 0

1 2 2, ,0 0

1 1 1

1 21 1

11 1 1 1

1 111 1 2

sN Nk k k

dh ek k k sA B A B A

N N l N k ki i

v i kl i klk l k i k k s l s i lA B A

s N s xc K c K PN N f f f f f

P R b R bf f f

λ λ λ

λ λλ λ

+ + +

= = = +

+ +− −

−= = + = = + = = +

⎛ ⎞⎫⎡ − − ⎤ +⎛ ⎞+ + + + + +⎜ ⎟⎬⎜ ⎟⎢ ⎥− − + +⎝ ⎠⎣ ⎦⎭ ⎝ ⎠

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

0 0 0

0 0

1 2 2 21

1 1 11 1 1 1 1 1 1

s s sN k k ki i i

i i kl i klk s l i s i l k l i lA B A A B

R b R b R bf f f f f

λ λ λλ λ− + + +−

− − −= + = = + = + = = = +

⎧⎪ +⎨⎪⎩

⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪+ + + + + + ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎭∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑

(3.62)

68

Para facilitar el trabajo algebraico, (3.62) será escrita de forma sintética:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 0 2 0 ,0 0

1 0 , ,0 03 0

1 0 2 0 5 04

, , , 2

1 11 1

12

dh dhdh dht A B A

A B A

dhdh

B dhA B

dh dh dhdh

e vA B A A B

g s g sC f f s K f c K g b b c K L

f f f

g s s N sf c K g s b c K c K Lf f N N

g s g s g sxP P g bf f f f f

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪= + + + +⎜ ⎟⎨ ⎬+⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭⎧ ⎛ ⎞ ⎫⎡ − − ⎤⎪ ⎛ ⎞+ + + + +⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥+ − −⎝ ⎠⎣ ⎦⎪ ⎭⎝ ⎠⎩

⎛ ⎞++ + + + +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

( )6 0dh

A

g sb

f⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.63)

donde las funciones auxiliares ( )0

dhig s dependen sólo de la estación donde comienza el

servicio la flota B. A continuación se entrega la definición de las funciones ( )0dhig s , la

mayoría de las cuales tiene una interpretación física:

• 0dhg es el tiempo total en movimiento, en ambos sentidos:

1

01

2N

dhk

kg R

−

=

= ∑

• 1

dhg y 2dhg aparecen en el tiempo de espera y en el tiempo de ciclo de las flotas,

1dhg es la demanda favorecida por la implementación de la estrategia, es decir,

todos los pasajeros del sentido 1 y aquellos del sentido 2 cuyo viaje tiene origen entre las estaciones 1 y 0s (ambos segmentos con frecuencia A Bf f+ ), mientras

2dhg representa el flujo de pasajeros cuyo viaje tiene origen entre 0s y N en el

sentido 2 (frecuencia Af ).

( )01

1 21 0

1 2

sNdh

k kk k

g s λ λ−

+ +

= =

= +∑ ∑

( )0

22 0

1

Ndh

kk s

g s λ +

= +

= ∑

• 3

dhg es el tiempo en movimiento de los vehículos de la flota B

( )0

0

11'

3 0 11 1 1

sN Ndh

k k kk k k s

g s R R R−−

−= = = +

= + +∑ ∑ ∑

• 4

dhg es el tiempo en movimiento que experimentan los pasajeros

69

1

41 1

N N ldh

kl ik l i k

g Rλ−

= = =

=∑∑ ∑

• 5

dhg y 6dhg son los factores para calcular el tiempo total de transferencia de

pasajeros para la demanda favorecida por la estrategia y para la desfavorecida, respectivamente.

( )0 0

0 0

11 11 2 2

5 01 1 1 1 1 1 1 1

s sN N l N k k kdh

kl i kl i kl ik l k i k k s l i s k l i l

g s λ λ λ λ λ λ−− −

+ + +

= = + = = + = = + = = = +

= + +∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑

( )0 0

0 0 0

112 2

6 01 1 1 1 1

s sN k k Ndh

kl i kl ik s l s i l k s l i l

g s λ λ λ λ−−

+ +

= + = = + = + = = +

= +∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

A continuación se muestra la solución del problema propuesto, diferenciando los casos de régimen programado y Poisson por la distinta naturaleza de las variables involucradas en cada cual. I. Régimen Poisson En este caso, la esperanza del tiempo de espera es igual a la esperanza del intervalo y el valor de la variable auxiliar x es uno. Para establecer una relación entre la capacidad de los buses y la frecuencia de operación, como en (3.15) es necesario conocer la carga por sentido y en particular, el valor de la carga máxima. En el régimen Poisson, al intercalarse los vehículos de las flotas A y B, se reparten la carga en un proceso que puede ser complejo, por lo que se supondrá que los pasajeros se distribuyen proporcionalmente al intervalo promedio que los sirve, es decir,

( )1 A Bf f+ en el caso de quienes son servidos por la estrategia y 1 Af para el resto. A continuación se muestra la forma de la carga de los vehículos, tanto para la flota A como para la flota B. 1. Carga de vehículos flota A. Sea i

kπ la carga de los vehículos de la flota A en el tramo k (entre las estaciones k y k+1) en el sentido i. Para cada uno de los sentidos se tendrá: Sentido 1

1 11 1

1k k

k kA B A Bf f f fλ λπ π

+ −

−= + −+ +

70

Sentido 2

( ) ( )

2 22

1 02

20 02

1 0

1

1, 1,1

k kk

A Ak

k kkk

A B A A B

para s k Nf f

s N k spara k s

f f f f f

λ λππ

λ λλπ

+ −

+

− −+

+

⎧+ − + ≤ ≤⎪

⎪= ⎨+ +⎪ + − − ≤ ≤⎪ + +⎩

2. Carga vehículos flota B Sea i

kπ la carga de los vehículos de la flota B en el tramo k (entre las estaciones k y k+1) en el sentido i. En el sentido 1 los dos tipos de vehículo tienen la misma carga pues los dos sirven simultáneamente en todas las estaciones, mientras que en el sentido 2, si es que los vehículos de la flota B realizan servicio de pasajeros (caso 0 1s > ) tendrán una carga menor que los vehículos de la flota A, pues éstos ingresan a la zona en que sirven los buses B ya con pasajeros. Luego, la capacidad de los vehículos está determinada por aquellos que realiza servicio en toda la ruta, es decir, la flota A. Sentido 1

1 11 1

1k k

k kA B A Bf f f fλ λπ π

+ −

−= + −+ +

Sentido 2

( )0

2 202

1 0

0 1

1,1k kk

kA B A B

para s k Nk s

para k sf f f f

π λλπ−+

+

+ ≤ ≤⎧⎪= +⎨ + − ≤ ≤⎪ + +⎩

Al aplicar la estrategia, la carga máxima se producirá en algún punto desconocido, que puede estar en el lado 1 o en el lado 2. Sin embargo, por la forma recursiva de las ecuaciones de carga, se puede establecer que:

• Si la carga máxima está en el sentido 1, tiene la forma: 1 1max

A B

Kf f

ϕη π= =+

• Si la carga máxima está en el sentido 2, tiene la forma:

71

( ) ( )0 0 1 02max

A A B

s sK

f f fϕ ϕ

η π= = ++

Luego, se supondrá que la relación entre la capacidad de diseño de los vehículos y las frecuencias Af y Bf se puede formular como:

( ) ( )0 0 1 01

A A B

s sK

f f fψ ψ

η⎛ ⎞

= +⎜ ⎟+⎝ ⎠ (3.64)

donde si la carga máxima está en el lado 1, ( )0 0 0sψ = y ( )1 0 1sψ ϕ= , y si la carga

máxima está en el lado 2, ( ) ( )0 0 0 0s sψ ϕ= y ( ) ( )1 0 0 0s sψ ϕ= . Así, con la capacidad expresada como en (3.64), se elimina la dependencia de la capacidad de los vehículos en el costo del operador (3.61) y se obtiene una expresión para el costo total (3.63) de la estrategia deadheading en función solamente de las frecuencias

Af y Bf y de la estación 0s , ( )0, ,dht A BC f f s . Luego, en este caso se enfrenta un problema

de optimización mixto, con variables continuas y enteras, el cual en este caso, como se tiene un número reducido de posibles valores para la variable discreta, se puede enfrentar a través de un método de solución en dos etapas; primero se resuelve el problema para una estación 0s dada, encontrando los valores óptimos ( )*

0Af s y ( )*0Bf s , luego se repite

el proceso para todos los valores factibles de 0s y se selecciona finalmente aquella estación *

0s que minimiza el costo total, esto es,

( ) ( )( )0

* * *0 0 0 0arg min , ,dh

t A Bs

s C f s f s s= (3.65)

y las frecuencias óptimas de operación serán ( )* *

0Af s y ( )* *0Bf s . Como las estaciones 0s

factibles son a lo más N-1, el problema se resuelve como máximo N-1 veces (segunda parte del método de solución). Se optó por este método de enumeración que divide El primer intento de encontrar ( )*

0Af s y ( )*0Bf s proviene de las CPO. Para aplicar las

CPO a ( )0, ,dht A BC f f s , escribiremos la función de costo de forma más conveniente:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 0 0 1 2 0 3 0 4 0

5 0 6 0 7 0 8 0

1, ,

1

dh dh dh dh dh dhAt A B A B

A B A B

dh dh dh dhB B B

A A B A A B A

fC f f s s f s s s ff f f f

f f fs s s sf f f f f f f

κ κ κ κ κ

κ κ κ κ

= + + + + ++ +

+ + + ++ +

(3.66)

72

donde las funciones ( )0dhi sκ se definen como sigue:

( ) ( ) ,0 00 0 0 2 0 1 0 12dh dh dhs c b g s c g L cψ ψκ

η η= + +

,1 0 0 02dh dhc g L cκ = +

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )0 12 0 1 1 0 1 1 0 2 0 1 0 5 0dh dh dh dh dh dh

e vs c b g s c b g s g s P g s P b g sψ ψκη η

= + + + +

( ) ( ) ,1 13 0 0 1 0 1 0 12dh dhs c b g s c g c Lψ ψκ

η η= + +

( ) ( ) , ,0 04 0 0 3 0 0 0

111 1

dh dhdh

N s ss c g s c L c LN N

κ − −⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟− −⎝ ⎠

( ) ( ) , ,0 0 05 0 0 3 0 1 1

111 1

dh dhdh

N s ss c g s c L c LN N

ψκη

⎡ − − ⎤⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟⎢ ⎥− −⎝ ⎠⎣ ⎦

( ) ( ) ( ), ,0 016 0 0 1 0 1 1 1 3 0

111 1

dh dh dhdh

N s ss c b g s c L c L c g sN N

ψκη

⎡ − − ⎤⎛ ⎞= + + + +⎜ ⎟⎢ ⎥− −⎝ ⎠⎣ ⎦

( ) ( )07 0 1 1 0dh dhs c b g sψκ

η=

( ) ( ) ( ) ( )08 0 1 2 0 2 0 6 0dh dh dh dh

e vs c b g s P g s P b g sψκη

= + +

Luego, las derivadas parciales de (3.66) con respecto a las frecuencias son (se elimina la dependencia de s0 para simplificar la notación):

( )( )

( )( )

( )3 6 7 2 5 7 8 12 2 2 2

1 1dht B B

A A AA B A B

C f ff f ff f f f

κ κ κ κ κ κ κ κ∂ = − + − − − + +∂ + +

( )( )

( )( )6 3 7 2 5 42 2

1 1dht A

B AA B A B

C ff ff f f f

κ κ κ κ κ κ∂ = − + − − +∂ + +

expresiones que deben ser igualadas a cero. Lamentablemente, al igual que en el modelo de demanda agregada, no es posible encontrar expresiones algebraicas para los niveles óptimos de Af y Bf , por lo que el problema debe ser resuelto mediante un método numérico, como el método de Newton, el cuál será utilizado en las aplicaciones numéricas del Capítulo 4. No obstante, en el caso particular en que el costo del operador no depende de la capacidad K, esto es cuando ( )c K c= , ( ), ,

0c K c= y ( ), ,dh dhc K c= el problema sí permite

obtener formas algebraicas para las frecuencias óptimas de operación en función de s0,

73

resultados más atractivos por su interpretabilidad. En este caso la función objetivo se reduce a:

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 0 2 0 ,0 0

1 0 , ,0 03

1 0 2 0 5 0 6 04

, , 2

1 11 1

12

dh dhdh dht A B A

A B A

dhdh

B dhA B

dh dh dh dhd

e vA B A A B A

g s g sC f f s f c g b b c L

f f f

g s s N sf c g b c c Lf f N N

g s g s g s g sxP P g b bf f f f f f

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪= + + + +⎜ ⎟⎨ ⎬+⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭⎧ ⎛ ⎞ ⎫⎡ − − ⎤⎪ ⎛ ⎞+ + + + +⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥+ − −⎝ ⎠⎣ ⎦⎪ ⎭⎝ ⎠⎩

⎛ ⎞ ⎛++ + + + +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.67)

la cual tiene la forma general (3.23) si se agrupan los términos semejantes en las constantes iδ , cuyas soluciones son del tipo (3.26) y (3.27), resultados que en este caso resultan ser:

( ) ( ) ( )( )( )

2 0 6 0*0

, ,0 00 3 0

111 1

dh dhe v

Adh dh

dh

P g s P b g sf s

s N sc g g s c L c LN N

+=

− −⎛ ⎞− + − −⎜ ⎟− −⎝ ⎠

(3.68)

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )( )

1 0 5 0*0

, ,0 03 0

2 0 6 0

, ,0 00 3 0

1 11 1

111 1

dh dhe v

Bdh

dh

dh dhe v

dh dhdh

P g s P b g sf s

s N sc g s c L c LN N

P g s P b g ss N sc g g s c L c LN N

+= −

− −⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟− −⎝ ⎠

+−

− −⎛ ⎞− + − −⎜ ⎟− −⎝ ⎠

(3.69)

(3.68) y (3.69) tienen la misma forma que (3.28) y (3.29), pero con las variables definidas según la notación del modelo desagregado, y con la posibilidad de que la flota B inicie el servicio en una estación s0 al interior del sentido 2. Nuevamente, podemos establecer la condición para que la estrategia provea beneficios en términos de ahorro en el costo total:

74

( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

*0

, , , , 03 0

1 0 5 0

, , , , 02 0 6 00 3 0

0

111 1 1

111 1 1

B

dhdh dh dh dh

e vdh dh

dh dhe vdh dh

f s

sNc g s c L c L c c LP g s P b g s N N NsNP g s P b g s c g g s c L c L c c L

N N N

> ⇔

⎛ ⎞+ − + + −⎜ ⎟+ − − −⎝ ⎠>+ ⎛ ⎞− + + − − −⎜ ⎟− − −⎝ ⎠

(3.70)

de donde se puede estudiar la influencia de la estación 0s en la efectividad de la estrategia. Si se escoge 0s grande, cercano a N (lo que equivale a hacer reducido el segmento de deadheading, ver Figura 3.3), el término de la izquierda se hace grande, pues la demanda favorecida, representada por 1

dhg y 5dhg aumenta su valor relativo a la

demanda desfavorecida ( 2dhg y 6

dhg ); sin embargo, el término de la derecha también tiende a crecer, debido a que la circulación en deadheading permite un ahorro en costos de operación, luego, mientras más corto sea el segmento de deadheading, mayor será el costo de operación. Por otra parte, si la estación 0s es cercana a 1 (saltarse el sentido de menor demanda en su totalidad, como en el caso agregado), la cota de la derecha se hace más fácil de alcanzar, sin embargo el desbalance de la demanda a la izquierda también es menor. Luego, la elección de 0s no puede determinarse a priori, pues en ningún caso se resulta que el término a la izquierda en (3.70) aumente y el de la derecha disminuya al mismo tiempo. II. Régimen programado En este caso, el tiempo de espera promedio es igual a la mitad del intervalo y x=0. Además la frecuencia de la flota que hace deadheading, fB, se restringe a ser un múltiplo de la frecuencia fA, es decir, B Af n f= . Rescribiendo las ecuaciones de carga, tanto para los vehículos de la flota A como para los vehículos de la flota B, se tiene: 1. Carga de los vehículos de la flota A Sentido 1

( ) ( )1 1

1 11 1 1

k kk k

A An f n fλ λπ π

+ −

−= + −+ +

75

Sentido 2

( )( ) ( )

( )

2 22

1 02

20 02

1 0

1

1, 1,1

1 1

k kk

A Ak

k kkk

A A A

para s k Nf f

s N k spara k s

n f f n f

λ λππ

λ λλπ

+ −

+

− −+

+

⎧+ − + ≤ ≤⎪

⎪= ⎨ + +⎪ + − − ≤ ≤⎪ + +⎩ 2. Carga de los vehículos de la flota B Sentido 1

( ) ( )1 1

1 11 1 1

k kk k

A An f n fλ λπ π

+ −

−= + −+ +

Sentido 2

( )( )

( )

02 2

021 0

0 1

1,1

1 1k kk

kA A

para s k Nk s

para k sn f n f

π λλπ−+

+

+ ≤ ≤⎧⎪= +⎨ + − ≤ ≤⎪ + +⎩

Siguiendo la recursividad se obtiene:

• Si la carga máxima está en el sentido 1:

( )2 2max 1 A

Kn f

ϕη π= =+

• Si la carga máxima está en el sentido 2:

( )2 0 1 1max 0

11 1A A A

Kf n f f n

ϕ ϕ ϕη π ϕ⎛ ⎞= = + = +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

Luego, la restricción de capacidad se transforma en:

( ) ( ) ( )1 0 max 020 0

,1 max ,1 1A A

s n sK s

f n n fϕ ϕϕη ϕ

⎛ ⎞= + ≡⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

es decir,

76

( )max 0,

A

n sK

fϕ

η=

(3.71)

con

( ) ( ) ( )1 0 2max 0 0 0, max ,

1 1s

n s sn n

ϕ ϕϕ ϕ⎛ ⎞

= +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

(3.71) se ingresa en (3.63) para obtener el costo total sólo como función de fA, n y s0.

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( )

max 0 1 0 2 0 max 0, ,0 0 1 0 0 1

max 0 1 00 1 3

max 0, , 00 1 0

, ,, , 2

1

,1

,1

1

dht A A

A A A A

AA A

dA

n s g s g s n sC f n s f c c g b b c c L

f n f f f

n s g sn f c c g b

f n f

n s N sc c cf N

ϕ ϕη η

ϕη

ϕη

⎧ ⎫⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪= + + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟+⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎩ ⎭⎧ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎪+ + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎨ ⎜ ⎟+⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

⎛ ⎞ −⎛ ⎞+ + + +⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠

( )

( )( )

( ) ( )( )

( )

max 0, , 01

1 0 2 0 5 0 6 04

, 11

2 1 2 1

h dhA

e vA A A A

n s sc Lf N

g s g s g s g sP P g b b

n f f n f f

ϕη

⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ − ⎪+ +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎬−⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎪⎣ ⎦ ⎭⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(3.72) Al igual que en el modelo de demanda agregada (expresión 3.38), (3.72) presenta un problema de optimización entero mixto, en este caso con una variable continua y dos enteras pues se agrega la estación 0s como variable. Como antes, el método de solución se divide en dos partes:

• Aplicar CPO para la variable continua Af , encontrando un valor óptimo ( )*0,Af n s

• Reemplazar este valor en (3.72), de forma tal que la función objetivo queda sólo

en función de n y 0s , ( )( ) ( )*0 0, , ,dh dh

t A tC f n s n C n s≡ , y el óptimo global se

encuentra evaluando ( )0,dhtC n s para todos los valores factibles de n y 0s ,

quedándose con aquel par ( )* *0,n s que entregue el mínimo.

En este caso, al reducirse el problema a sólo una variable continua, la CPO sí arroja una forma algebraica para ( )*

0,Af n s ,

77

[ ]

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

, , ,0 00 0 3 0 0 0

1 0 2 0 5 0 max 06 0 1 1 0 2 02

12 11 1

,1 02 1 2 1

dht

dhA

e vA

C N s sc g n g c L n L c cf N N

g s g s g s n sP P b g s c b g s g s

f n nϕ

η

∂ ⎡ − − ⎤⎛ ⎞= + + + + + −⎜ ⎟⎢ ⎥∂ − −⎝ ⎠⎣ ⎦⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪− + + + + + =⎡ ⎤⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎜ ⎟+ +⎪ ⎪⎝ ⎠⎝ ⎠⎩ ⎭

(3.73) de donde se despeja ( )*

0,Af n s

( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

[ ]

1 0 2 0 5 0 max 06 0 1 1 0 2 0

*0

, , ,0 00 0 3 0 0 0

,2 1 2 1

,12 1

1 1

e v

A

dh

g s g s g s n sP P b g s c b g s g s

n nf n s

N s sc g n g c L nL c cN N

ϕη

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + +⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦+ +⎝ ⎠⎝ ⎠=

⎡ − − ⎤⎛ ⎞+ + + + +⎜ ⎟⎢ ⎥− −⎝ ⎠⎣ ⎦ (3.74)

con esta expresión la función objetivo queda sólo dependiente de n y 0s , ( )0,dh

tC n s , con

la cual se elige el par ( )* *0,n s que la minimice,

( )

( )( )

0

* *0 0

,, arg min ,dh

tn s

n s C n s=

(3.75)

Además, si se reemplaza (3.74) y (3.75) en (3.71) se obtiene la capacidad vehicular:

( )( )

* *max 0*

* * *0

,

,A

n sK

f n s

ϕη

=

(3.76)

En este problema desagregado, el conjunto de soluciones factibles crece. Si se tiene I valores posibles para el scheduling mode n, se tendrá un máximo de ( )1I N − soluciones factibles. Por ejemplo, si en un corredor de 20 estaciones por sentido se desea encontrar la solución óptima en el intervalo 1 5n≤ ≤ , dado ( )*

0,Af n s , se deben probar 5 19 95⋅ = soluciones factibles en la función objetivo. No obstante, tal como se mostró en el modelo de demanda agregada, una buena aproximación para el scheduling mode óptimo *n en el caso de un sistema programado es el cuociente ( ) ( )* *

0 0B Af s f s de la solución en el

régimen con llegadas Poisson, lo que limita la búsqueda de *n a sólo dos posibilidades, los enteros inferior y superior a ( ) ( )* *

0 0B Af s f s , acotando en el ejemplo el conjunto de soluciones factibles a 2 19 38⋅ = alternativas solamente.

78

En el caso particular en que el costo del operador no depende de la capacidad K, es decir, ( )c K c= , ( ), ,c K c= y ( ), ,

dh dhc K c= , la solución resulta ser,

( )

( )( )

( ) ( ) ( )

[ ]

1 0 2 0 5 06 0

*0

, , ,0 00 3

2 1 2 1,

12 11 1

e v

A

dh

g s g s g sP P b g s

n nf n s

N s sc g n g c L nL c cN N

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎝ ⎠=

⎡ − − ⎤⎛ ⎞+ + + + +⎜ ⎟⎢ ⎥− −⎝ ⎠⎣ ⎦

(3.77)

expresión que, al igual que en el caso agregado, puede ser comparada con los niveles óptimos de fA y fB cuando ambos están libres, es decir, con las expresiones (3.68) y (3.69). Análogamente al modelo agregado, en este caso desagregado también es posible encontrar soluciones óptimas positivas siempre (incluso en corredores donde el modelo continuo entregaba una solución negativa para fB), lo que, nuevamente, no significa que la estrategia sea beneficiosa pues para que esto suceda su costo deber ser menor al costo en operación normal. Igualmente, ( )*

0,Af n s decrece con n, resultado concordante con la intuición. 3.4 Estrategia Bucles 3.4.1 Introducción Diferencias importantes en la afluencia de pasajeros entre sentidos de operación no son el único tipo de desbalance espacial en la demanda que se puede encontrar en un corredor de transporte público urbano. Adicionalmente, es posible observar situaciones en que la demanda esté espacialmente concentrada en un segmento de la línea, en ambos sentidos, mientras a medida que aumenta la distancia a tal zona o punto, la carga de pasajeros baja ostensiblemente. Este escenario es común en las horas punta, en torno a zonas que son importantes generadoras y atractoras de viajes, por ejemplo, sectores en torno a los cuales está concentrada la actividad económica en una ciudad, serán un polo atractor de viajes con motivo trabajo en la punta de la mañana y generador en la punta de la tarde. En estos casos se observa un diagrama de carga con picos en ambos sentidos alrededor de tal centro o polo urbano (llamado en la literatura como Central Business District o CBD), el cual puede estar en un extremo de la ruta, en el caso de corredores que llegan a él, o en el interior, característico de corredores que cruzan el CBD como el que se muestra en la Figura 3.4. En situaciones como éstas, podría ser útil establecer un bucle o ciclo corto en la zona de alta demanda de viajes, el cual consiste en el establecimiento de un grupo de vehículos que sirve sólo esa zona, en ambos sentidos, recorriendo sólo un segmento de la ruta completa, sirviendo así un subconjunto del total de estaciones.

79

Línea 1, Poniente-Oriente, Período Punta Mañana, Año 2005

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

40000

45000

50000

San

Pab

lo-N

eptu

no

Nep

tuno

-Paj

arito

s

Paj

arito

s-La

s R

ejas

Las

Rej

as-E

cuad

or

Ecu

ador

-Pila

del

Gan

so

Pila

del

Gan

so-U

SA

CH

US

AC

H-E

.Cen

tral

Est

acio

n C

entra

l-ULA

ULA

-Rep

ublic

a

Rep

ublic

a-Lo

s H

eroe

s

Los

Hér

oes-

Mon

eda

Mon

eda-

U. D

e C

hile

U.d

e C

hile

-Sta

.Luc

ia

San

ta L

ucía

-U.C

atól

ica

U. C

atól

ica-

Baq

ueda

no

Baq

ueda

no-S

alva

dor

Sal

vado

r-M

.Mon

tt

Man

uel M

ontt-

P.d

e V

aldi

via

P.d

e V

aldi

via-

Los

Leon

es

Los

Leon

es-T

obal

aba

Toba

laba

-El G

olf

El G

olf-A

lcan

tara

Alc

ánta

ra-E

.Mili

tar

(pax

/hor

a)

Escenario11

Línea 1, Oriente-Poniente, Período Punta Mañana, Año 2005

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

40000

45000

50000

E.M

ilita

r-A

lcán

tara

Alc

ánta

ra-E

l Gol

f

El G

olf-T

obal

aba

Toba

laba

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Leo

nes

Los

Leon

es-P

.de

Val

divi

a

P.d

e V

aldi

via-

Man

uel M

ontt

Man

uel M

ontt-

Sal

vado

r

Sal

vado

r-B

aque

dano

Baq

ueda

no-U

.Cat

ólic

a

U.C

atól

ica-

Sta

.Luc

ía

Sta

.Luc

ía-U

.de

Chi

le

U.d

e C

hile

-Mon

eda

Mon

eda-

Los

Hér

oes

Los

Hér

oes-

Rep

úblic

a

Rep

úblic

a-U

LA

ULA

-Est

ació

n C

entra

l

Est

acio

n C

entra

l-US

AC

H

US

AC

H-P

ila d

el G

anso

Pila

del

Gan

so-E

cuad

or

Ecu

ador

-Las

Rej

as

Las

Rej

as-P

ajar

itos

Paj

arito

s-N

eptu

no

Nep

tuno

-San

Pab

lo

(pax

/hor

a)

Escenario11

Figura 3.4: Ejemplo de perfil de carga con concentración espacial de la demanda (en el interior del corredor), situación proclive al establecimiento de un bucle (Línea 1,

Metro de Santiago, Período Punta Mañana). (Fuente: www.transantiago.cl)

80

Se establecen nuevos terminales para tal ruta, 0s y 1s , entre los cuales se mueven los vehículos que realizan el bucle (flota B) sin necesidad de viajar hasta los terminales de la ruta completa, 1 y N. Así, esta flota complementa a la tradicional que sigue operando en la ruta completa (flota A), compartiendo ambas la demanda del segmento más cargado. El criterio para la implementación de un bucle es que el costo total de su uso sea menor que en operación normal. Las variables de decisión son las frecuencias de operación de la flota que realiza el bucle y la que sirve la ruta completa, la capacidad de los vehículos y las estaciones de inicio y término del ciclo corto. Es importante señalar que al implementar una estrategia como la descrita, los únicos pasajeros que se ven beneficiados por el funcionamiento de la flota B son aquellos cuyo viaje tiene origen y destino dentro del bucle, es decir, se supone que viajes con origen al interior del bucle y destino fuera de éste serán hechos necesariamente en un bus de la flota A, aún cuando se tiene la alternativa de tomar un bus de la flota B y realizar un trasbordo a un bus de la flota A al final del bucle. Aun cuando este comportamiento sea evitado por los usuarios cuyo destino está fuera del bucle, éstos pueden verse forzados a tomar un bus B si los vehículos de la flota A circulan a capacidad en un segmento del bucle (carga desbaleanceada), fenómeno denominado como “induced transfers” en Furth (1987). Sin embargo, en el presente modelo se define la capacidad de los vehículos como aquella que satisface la demanda en el tramo más cargado, razón por la cual el potencial problema de los trasbordos inducidos no se presenta. 3.4.2 Requerimiento de información de la demanda En este contexto, cabe preguntarse el nivel de detalle que se requiere de la información de la demanda, con el objeto de determinar el número de pasajeros cuyo viaje es hecho al interior de un segmento, o más generalmente, el grado de conocimiento de la demanda para tomar una resolución acerca de la conveniencia o no de la implementación de un bucle. En la práctica se pueden identificar al menos cuatro niveles de conocimiento de la demanda para un corredor o red de transporte público, los cuales varían según el grado de detalle con que cuentan y la complejidad de ser obtenidos i. Demanda agregada por sentido

Se conoce solamente el total de pasajeros que se transporta a lo largo del corredor. Es la información utilizada en el modelo de demanda agregada de deadheading. ii. Perfiles de carga En este caso se tiene además una estimación del flujo de pasajeros que se mueve entre cada par de estaciones o hitos importantes a lo largo de la ruta. El perfil de carga puede

81

ser estimado, por ejemplo, a través de una encuesta de tasa de ocupación de los vehículos en ruta, o bien a través de contadores automáticos de subidas y bajadas ubicados en las puertas de los buses, si es que los vehículos están equipados con tal tecnología. Su gran utilidad es que su representación gráfica entrega una buena aproximación de lo que sucede en la línea, pues permite identificar sectores de baja o alta demanda, hitos en los que se produce un salto abrupto en la carga, etc., como se aprecia en Figura 3.4. iii. Tasas de subidas y bajadas de pasajeros por estación Se conoce en base horaria la demanda de subida y bajada para las distintas estaciones que componen el corredor. Esta información puede obtenerse por medio de una encuesta en que en cada estación se cuente la cantidad de pasajeros que se suben y bajan de los buses, o bien a través de contadores automáticos de pasajeros ubicados al interior de los vehículos si es que éstos están equipados con tal tecnología. Con esta información se conoce la demanda con más detalle que en los dos casos anteriores, de hecho, con las tasas de subida y bajada es posible conocer la carga por tramo a través de una relación recursiva (como la utilizada para calcular la carga de los vehículos en el modelo de deadheading desagregado), y la demanda total sumando sobre todas las subidas o bajadas. En ecuaciones, si iλ + es la tasa de subida en la estación i y iλ − es la tasa de bajada en la estación i [pax/h], la carga entre las estaciones i e i+1, iq [pax/h], y la demanda total y se calculan de la siguiente forma.

1i i i iq q λ λ+ −−= + − (3.78)

i ii i

y λ λ+ −= =∑ ∑ (3.79)

en que (3.78) señala que el flujo de salida desde una estación es igual al flujo de entrada más la demanda que se agrega en esa estación menos la demanda que egresa del sistema (conservación de flujo). (3.78) muestra además que un perfil de carga puede ser generado con múltiples perfiles de subida y bajada de pasajeros (si es que iλ + y iλ − se escogen de forma tal que i iλ λ+ −− sea constante); sin embargo, para un perfil de subida y bajada hay un único perfil de carga. iv. Matriz Origen-Destino de viajes entre estaciones La demanda está caracterizada en un nivel aún más desagregado, pues se sabe la cantidad de pasajeros que viaja entre cada par de estaciones. Esta información en general es muy difícil de obtener en sistemas de transporte público reales. Furth y Navick (1992) y Navick y Furth (1994) describen varios métodos para medir o estimar la matriz de viajes en un corredor de transporte público, los que son comentados en el Anexo A.2. Conociendo ijλ , la cantidad de viajes que se realizan en un par origen destino (i,j), se derivan las tasas de subida y bajada directamente (y por consiguiente, la carga por tramo y la demanda total)

82

i ijj

λ λ+ =∑ y i jij

λ λ− =∑ (3.80)

En este contexto, como para la aplicación de la estrategia bucles se requiere conocer el número de viajes cuyo origen y destino está al interior de un segmento, en principio es necesario conocer la matriz de viajes para obtener dicha información. No basta con las tasas de subidas y bajadas, pues, por ejemplo, del total de pasajeros que se suben a un bus en una estación, no se conoce cuántos terminarán su viaje en una zona determinada, en la que se quiere estudiar la aplicación de la estrategia. Esto es consecuente con las formulaciones de Furth (1987) y de Delle Site y Filippi (1998) quienes utilizan matrices OD para estudiar la estrategia de ciclos cortos, no así con el enfoque de Ceder (1989, 2003b) quien a costa de no medir el impacto de la estrategia en los usuarios, prescinde de la matriz y sólo utiliza los perfiles de carga, a la vez que se refiere a la dificultad de obtener la matriz OD en situaciones reales para argumentar en favor de la utilidad de su modelación. En el Capítulo 4 se estudiarán casos numéricos para analizar si realmente la aplicación de estas estrategias depende de la matriz de viajes entre estaciones o no. Notar que el caso de la estrategia deadheading es distinto, pues si se decide saltar el sentido de menor demanda completo, basta con conocer la demanda agregada por sentido y el valor de la carga máxima para el diseño de los vehículos. Por otra parte, si solamente se quiere estudiar la posibilidad de saltarse un grupo de estaciones, se requiere el flujo de subida en las distintas estaciones para medir los costos asociados al tiempo de espera y de viaje (bajo el supuesto de que el tiempo de subida domina sobre el de bajada en el tiempo de transferencia de pasajeros, ver ecuación 3.83); sin embargo, por el lado del costo del operador, se necesita conocer la matriz de viajes para calcular la carga de los buses, la cual a su vez lleva a determinar el tamaño óptimo de los vehículos. Luego, si el punto de carga máxima (y el valor de ésta una vez aplicada la estrategia) puede conocerse sin necesidad de recurrir a la matriz OD, la estrategia deadheading puede aplicarse sólo conociendo los conteos totales de subida en las estaciones; si tal cosa no es posible, se requiere la matriz para diseñar óptimamente los vehículos. 3.4.3 Definiciones El objetivo del modelo propuesto es determinar la frecuencia para la flota que sirve todo el corredor (flota A, frecuencia Af ) y para la flota que sirve el bucle solamente (flota B, frecuencia Bf ), además de determinar las estaciones óptimas de inicio y término del bucle, 0s y 1s , respectivamente. Los supuestos y definiciones son los mismos de la Sección 2.3.3.1, es decir, se conocen la matriz OD de viajes entre estaciones, los tiempos de viaje entre estaciones sucesivas y el tiempo marginal de subida de pasajeros a los buses. El funcionamiento del corredor modelado se muestra en la Figura 3.5, donde 0s y

1s , son las estaciones que determinan el bucle, Af es la frecuencia fuera del bucle y

A Bf f+ es la frecuencia dentro de éste. A continuación se formulan las funciones de costo y se resuelve el problema.

83

N

1N −

1

20s

Bf

1sA Bf f+Af

Af

AfAf

Af

A Bf f+0s 1s

N

1N −

1

20s

Bf

1sA Bf f+Af

Af

AfAf

Af

A Bf f+0s 1s

Figura 3.5: Corredor de transporte público con un ciclo corto en operación

3.4.4 Costo Asociado al Tiempo de Espera La especificación del costo asociado al tiempo de espera, b

eC , no cambia en relación con la forma tradicional para aquellos pasajeros con viaje originado fuera del bucle (antes o después de éste), pues sólo les es posible tomar buses de la flota A. Sin embargo, aquellos viajes cuyo origen está en una estación k al interior del bucle, en cualquiera de los dos sentidos, tienen tiempo de espera distinto en función de su destino, reconociéndose dos casos:

• Viajes con destino dentro del bucle, que corresponden a ( )11,k k sλ+ + en el sentido

1 (tienen destino hasta la estación 1s inclusive) y a ( )0 , 1k s kλ+ − en el sentido 2 (tienen destino hasta la estación 0s inclusive). Ellos pueden tomar buses A o B indistintamente, por lo tanto su tiempo de espera es del tipo

( )11,1

2k

A B

k sxf f

λ + +++

y ( )01, 112

k

A

sxf

λ + −+

(3.81)

• Viajes con destino fuera del bucle, que corresponden a ( )1 1,k s Nλ+ + en el sentido

1 (tienen destino más allá de 1s ) y a ( )01, 1k sλ+ − en el sentido 2 (tienen destino entre las estaciones 1 y 0s ). Ellos sólo son servidos por los buses de la flota A y su tiempo de espera es del tipo

( )1 1,1

2k

A

s Nxf

λ + ++ y ( )01, 112

k

A

sxf

λ + −+

(3.82)

Luego, se suma sobre todas las estaciones del corredor para obtener el tiempo de espera total, cantidad que se multiplica por el valor del tiempo de espera para definir el costo b

eC

84

( ) ( )

( ) ( )

0 1

0 1 1

01

0

1 1 1 211 1

1 1

20 0

1 1

1, 1,12

1, 1 , 1

s s N Nk kb k k k

e ek k s k s k sA A B A A A

ssk k k

k s kA A B A

k s s NxC Pf f f f f f

s s kf f f f

λ λλ λ λ

λ λ λ

+ +− + + +−

= = = = +

+ + +

= + =

⎛ ⎞+ +⎧+= + + + + +⎜ ⎟⎨ +⎩ ⎝ ⎠⎛ ⎞− − ⎫

+ + +⎜ ⎟ ⎬+ ⎭⎝ ⎠

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑

(3.83)

3.4.5 Costo Asociado al Tiempo en Vehículo Tal como se explicó en el modelo de demanda desagregada de deadheading, para un viaje que cruza zonas en que hay distintas frecuencias de pasada de los buses, es necesario analizar cada zona por separado, pues al haber distintas frecuencias algunos pasajeros suben a los vehículos a razón k Afλ + y otros a razón ( )k A Bf fλ + + . En el primer caso están todos los pasajeros con origen y/o destino fuera del bucle, mientras que en el segundo caso, se considera sólo aquellos pasajeros cuyo viaje está cubierto completamente por el ciclo corto, es decir, por los buses de la flota B. Está situación complica la determinación en detalle del costo asociado al tiempo en vehículo, pues en cada sentido hay que considerar seis subcasos que se diferencian en la forma adoptada por el tiempo en vehículo entre un origen k y un destino l. Así para el sentido 1 se tiene:

85

Tabla 3.1: Tiempos de viaje según casos, estrategia bucles Ubicación origen k y destino l con

respecto a s0 y s1 Tiempo en vehículo

11li

ii k A

R bf

λ +−

=

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

( ) ( )

0

0

1 1

11 11, 1,

si

ii k A

li i

ii s A B A

R bf

i s s NR b

f f f

λ

λ λ

− +

=

+ +−

=

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞+ +

+ + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠⎝ ⎠

∑

∑

( ) ( )

0

1

0

1

1 1

11 1

11

1, 1,

si

ii k A

si i

ii s A B A

li

ii s A

R bf

i s s NR b

f f f

R bf

λ

λ λ

λ

− +

=

+ +−

=

+−

=

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞+ +

+ + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞

+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

∑

∑

11li

ii k A B

R bf f

λ +−

=

⎛ ⎞+⎜ ⎟+⎝ ⎠

∑

( ) ( )1

1

11 1

11

1, 1,si i

ii k A B A

li

ii s A

i s s NR b

f f f

R bf

λ λ

λ

+ +−

=

+−

=

⎛ ⎞⎛ ⎞+ ++ + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑

∑

11li

ii k A

R bf

λ +−

=

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

Luego, sumando sobre todos los pares OD posibles, se tiene el costo asociado al tiempo en vehículo para el sentido 1, 1b

vC

s0 s1k l

s0 s1k l

s0 s1k l

s0 s1k l

s0 s1k l

s0 s1 k l

86

( ) ( )

( )

0 0 0 01

0 0

1 1 11 11 11 11

1 1 1 1

11

1, 1,

1,

s s s ssl li ib i i

v v i kl i i klk l k i k k l s i k i sA A A B A

iii i

A A

i s s NC P R b R b R b

f f f f f

i sR b R b

f f

λ λλ λλ λ

λλ

+ +− − −+ +− −

= = + = = = + = =

++

⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎛ ⎞+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪= + + + + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎨ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎪ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎩

+⎛ ⎞+ + + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

( )

( ) ( )

0 0 1

1 0 1

1 1

0

1 1 11 11

1 1

11 11 1

1

1,

1, 1,

s s sN li i

i klk l s i k i s i sB A A

s s li ii

i kl i ik s l k i k A B A B A

s NR b

f f f

i s s NR b R b R

f f f f f

λ λ λ

λ λλ λ

+− − +− −

= = + = = =

+ ++− −

= = + =

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞+ ⎛ ⎞+ + + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎛ ⎞+ +⎛ ⎞+ + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎝ ⎠

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑1 1

0 1 1

1

11 1 1

1

11

1

s sN li

klk s l s i k i s A

N N li

i klk s l k i k A

bf

R bf

λ λ

λ λ

+− − −

= = + = =

+−

= = + =

⎡ ⎤⎛ ⎞+ +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎪+ + ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎪⎣ ⎦ ⎭

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

(3.84)

De manera análoga es posible derivar el costo asociado al tiempo en vehículo para el lado 2, 2b

vC

( ) ( )1 1

1 1 1 0 1

2 2110 02

1 1 11 1 1 1 1

2

1 1

1, 1 , 1k sN k k N ki ib i i

v v i kl i i klk s l s i l k s l s i s i lA A A A B

ii i

A

s s iC P R b R b R b

f f f f f

R b R bf

λ λλ λλ λ

λλ

+ ++ +−−

− − −= + = = + = + = = + = +

+

− −

⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎛ ⎞− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪= + + + + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎨ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎪ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎩

⎛ ⎞+ + + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

( ) ( )

( ) ( )

0 01

1 1 0

1

0 0

1 20 0

11 1 1 1 1

210 0

1 11 1

1, 1 , 1

1, 1 , 1

s ssN ki i i

i klk s l i s i s i lA A B A

s k ki ii

i kl ik s l s i l A B A A B

s s iR b

f f f f

s s iR b R b

f f f f f

λ λ λ

λ λλ λ

+ +− +

−= + = = + = + = +

+ ++−

− −= + = = +

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞− − ⎛ ⎞+ + + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎛ − −⎛ ⎞+ + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎣ ⎦

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑0 01

0 0

0

1 1

11 1 1 1

21

11 1 1

s ss ki

i klk s l i s i l A

s k ki

i klk l i l A

R bf

R bf

λ λ

λ λ

− +

−= + = = + = +

+−

−= = = +

⎡ ⎤⎛ ⎞⎞ ⎛ ⎞+ + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎪+ + ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎪⎣ ⎦ ⎭

∑ ∑ ∑ ∑

∑∑ ∑

(3.85)

y el costo asociado al tiempo en vehículo total será:

1 2b b bv v vC C C= + (3.86)

3.4.6 Costo del Operador El costo del operador es la suma de los costos de utilización de ambas flotas. Como la flota A opera de forma tradicional, su función de costo b

oAC es similar a (2.58), pero reconociendo la influencia de la flota B en su tiempo de ciclo a través del número de pasajeros que puede elegir entre abordar un bus A o un bus B:

87

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0 1

0

1 0

1 1 11 1

1

1 20 0

1 11

1, 1,

1, 1 , 1

s sk kb k

oA A k kk k sA A B A

Nk kk k

k k kk s k sA A A A B

k s s NC f c K R b R b

f f f f

s s kR b R b R b

f f f f f

λ λλ

λ λλ λ

+ +− + −

= =

+ ++ +

− −= = +

⎧ ⎡ ⎛ ⎞⎧ ⎫+ +⎛ ⎞⎪ ⎪ ⎪= + + + + +⎢ ⎜ ⎟⎨ ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎪ ⎪⎢ ⎝ ⎠ ⎩ ⎭⎪ ⎝ ⎠⎣⎩⎛ ⎞⎧ ⎫− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪ ⎪+ + + + + + +⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩ ⎭⎝ ⎠

∑ ∑

∑

( )

1

1

0

1

2

12

2 '

sN

k s

sk

kk A

R b c K Lf

λ

= +

+

−=

+

⎫⎤⎛ ⎞ ⎪+ + + ⎬⎥⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎪⎦ ⎭

∑ ∑

∑

(3.87) Sin embargo, la flota B opera sólo entre las estaciones 0s y 1s , resultando:

( ) ( ) ( ) ( )1 1

0 0

11 0 , 1 0

11

1, , 12

1

s sk kb

oB B k kk s k sA B A B

k s s k s sC f c K R b R b c K Lf f f f N

λ λ+ +−

−= = +

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − −⎪ ⎪= + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎨ ⎬+ + −⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭∑ ∑

(3.88)

Finalmente, el costo del operador total es la suma de (3.87) y (3.88),

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0 1

0

1 0

1 1 11 1

1

1 20 0

1 11

1, 1,

1, 1 , 1

s sk kb k

o A k kk k sA A B A

sNk kk k

k k kk s k sA A A A B

k s s NC f c K R b R b

f f f f

s s kR b R b R b

f f f f f

λ λλ

λ λλ λ

+ +− + −

= =

+ ++ +

− −= = +

⎧ ⎡ ⎛ ⎞⎧ ⎫+ +⎛ ⎞⎪ ⎪ ⎪= + + + + +⎢ ⎜ ⎟⎨ ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎪ ⎪⎢ ⎝ ⎠ ⎩ ⎭⎪ ⎝ ⎠⎣⎩⎛ ⎞⎧ ⎫− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪ ⎪+ + + + + + +⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩ ⎭⎝ ⎠

∑ ∑

∑

( )

( ) ( ) ( ) ( )

1

1

0

1 1

0 0

1

2

12

11 0 , 1 0

11

2 '

1, , 12

1

N

k s

sk

kk A

s sk k

B k kk s k sA B A B

R b c K Lf

k s s k s sf c K R b R b c K Lf f f f N

λ

λ λ

= +

+

−=

+ +−

−= = +

+

⎫⎤⎛ ⎞ ⎪+ + + +⎬⎥⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎪⎦ ⎭⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − −⎪ ⎪+ + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎨ ⎬+ + −⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

∑ ∑

∑

∑ ∑

(3.89)

3.4.7 Valor Óptimo de la Frecuencia y el Tamaño de los Vehículos Una vez derivadas las funciones de costo, se puede construir la función de costo total b

tC como la suma de (3.83), (3.85) y (3.89). Para facilitar el manejo algebraico de b

tC se introducen funciones ( )0 1,b

ig s s , tal como en el modelo de demanda desagregada de deadheading.

88

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 0 1 2 0 1 ,0 1 0

1 0 1 , 1 03 0 1

1 0 1 2 0 1 5 0 1 6 0 14

, ,, , , , 2

,, 2

1

, , , ,12

b bb bt A B A

A B A

bb

BA B

b b b bd

e vA B A A B A

g s s g s sC f f s s K f c K g b b c K L

f f f

g s s s sf c K g s s b c K Lf f N

g s s g s s g s s g s sxP P g b bf f f f f f

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪= + + + +⎜ ⎟⎨ ⎬+⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭⎧ ⎛ ⎞ −⎪ ⎫+ + +⎜ ⎟⎨ ⎬+ − ⎭⎪ ⎝ ⎠⎩

⎛ ⎞++ + + + +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ (3.90)

Las funciones big se definen e interpretan a continuación:

• 0

bg es el tiempo de viaje total en movimiento:

1

01

2N

bk

kg R

−

=

= ∑

• 1

bg y 2bg aparecen en el tiempo de espera y en el tiempo de ciclo, h1 es la

demanda favorecida por la implementación de la estrategia, es decir, cuyo origen y destino está entre las estaciones s0 y s1 (dentro del bucle), mientras g2 representa el flujo de pasajeros cuyo origen o destino está fuera del bucle.

( ) ( ) ( )1 1

0 0

1

1 0 1 1 01

, 1, , 1s s

bk k

k s k sg s s k s s kλ λ

−+ +

= = +

= + + −∑ ∑

( ) ( ) ( )0 01 1

0 1 1 0

1 11 1 2 2

2 0 1 1 01 1 1 1

, 1, 1, 1s ss sN N

bk k k k k k

k k s k s k s k s kg s s s N sλ λ λ λ λ λ

− −+ + + + + +

= = = = + = + =

= + + + + + − +∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

• 3

bg es el tiempo de viaje en movimiento de los vehículos de la flota B

( )1

0

1

3 0 1, 2s

bk

k sg s s R

−

=

= ∑

• 4

bg es el tiempo en movimiento que experimentan los pasajeros 1

41 1

N N lb

kl ik l i k

g Rλ−

= = =

=∑∑ ∑

• 5

bg y 6bg son los factores para calcular el tiempo total de transferencia de

pasajeros para la demanda favorecida por la estrategia y para los demás, respectivamente.

( ) ( ) ( )1 2

5 0 1 5 0 1 5 0 1, , ,b b bg s s g s s g s s= +

89

( ) ( ) ( )1 26 0 1 6 0 1 6 0 1, , ,b b bg s s g s s g s s= +

donde:

( ) ( ) ( )

( )

0 01 1

0 0 1 0

1 1 1 1

0 0 1

1 1 111

5 0 1 1 11 1 1 1

1 1 111

11 1

, 1, 1,

1,

s ss sl Nb

kl i kl ik l s i s k l s i s

s s s sl N

kl i kl ik s l k i k k s l s i k

g s s i s i s

i s

λ λ λ λ

λ λ λ λ

− − −−+ +

= = + = = = + =

− − −−+ +

= = + = = = + =

= + + + +

+ + +

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

( ) ( ) ( )

( )

01 1 1

1 0 1 0

01 1

0 0 0 0

112

5 0 1 0 01 1 1 1 1

112

01 1 1 1 1

, , 1 , 1

, 1

ss s sN Nb

kl i kl ik s l s i l k s l i s

ss sk k k

kl i kl ik s l s i l k s l i s

g s s s i s i

s i

λ λ λ λ

λ λ λ λ

−−+ +

= + = = + = + = = +

−−+ +

= + = = + = + = = +

= − + − +

+ + −

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

( ) ( )

( )

( )

0 0 0 01

0 0

0 0 1

1 0 1

1

1

1 1 11 11 1 1

6 0 1 11 1 1 1

1 1 1 11 1

11 1

11

1

, 1,

1,

1,

s s s ssl lb

kl i kl i ik l k i k k l s i k i s

s s sN l

kl i i ik l s i k i s i s

s l

kl i ii k i s

g s s s N

s N

s N

λ λ λ λ λ

λ λ λ λ

λ λ λ

− − −− −+ + +

= = + = = = + = =

− − − −+ + +

= = + = = =

−+ +

= =

⎡ ⎤= + + + +⎢ ⎥

⎣ ⎦⎡ ⎤

+ + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

+ + +

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑1

0 1 1

1 1 11

1 1

s N N N l

kl ik s l s k s l k i k

λ λ− − −

+

= = + = = + =

⎡ ⎤+⎢ ⎥

⎣ ⎦∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

( ) ( )

( )

( )

1 1

1 1 1 0 1

0 01

1 1 0

0

0

112 2 2

6 0 1 01 1 1 1 1

12 2

01 1 1 1 1

10

1

, 1, 1

1, 1

1, 1

s sN k k N kb

kl i kl i ik s l s i l k s l s i s i l

s ssN k

kl i i ik s l i s i s i l

s

kl i ii s i l

g s s s

s

s

λ λ λ λ λ

λ λ λ λ

λ λ λ

−−+ + +

= + = = + = + = = + = +

−+ + +

= + = = + = + = +

+ +

= + = +

⎡ ⎤= + + − +⎢ ⎥

⎣ ⎦⎡ ⎤

+ + − + +⎢ ⎥⎣ ⎦

+ − +

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑0 01

0

1 12

1 1 1 1 1 1

s ss k k k

kl ik s l k l i l

λ λ− −

+

= + = = = = +

⎡ ⎤+⎢ ⎥

⎣ ⎦∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑

Vista gráficamente para un bucle dado, b

tC luce de la siguiente forma:

90

Figura 3.6: función de costo total, estrategia bucles.

de donde es claro que la función se indefine cuando 0Af = , situación en la cual el costo de los usuarios no favorecidos por la estrategia se hace infinito (no hay vehículos que los sirvan). Además, se observa cómo para valores pequeños de las frecuencias, la función es decreciente, mientras que para valores cercanos a 3 veh/min, el costo total es creciente, deduciéndose que deben existir valores *

Af y *Bf en el rango graficado, para los cuáles la

estrategia alcanza su costo mínimo. A continuación se muestra la solución del problema propuesto, diferenciando los casos de régimen programado y Poisson por la naturaleza distinta de las variables involucradas en cada caso. I. Régimen Poisson Como siempre, en este caso la esperanza del tiempo de espera es igual a la esperanza del intervalo y el valor de la variable auxiliar x es uno. Para calcular la capacidad de los buses es necesario saber la carga por sentido y en particular, el valor de la carga máxima.

91

1. Carga vehículos flota A Sentido 1

( ) ( ) ( ) ( )

1 11

1 0

1 1 0 01 11 0 1

1 11

1 1

1 1

, 1, 1, 1 , 11

k kk

A A

k k k kk k

A B A A A B

k kk

A A

para k sf f

k s s N s s kpara s k s

f f f f f f

para s k Nf f

λ λπ

λ λ λ λπ π

λ λπ

+ −

−

+ + − −

−

+ −

−

⎧+ − ≤ ≤ −⎪

⎪⎪ + − −⎪= + + − − ≤ ≤ −⎨ + +⎪⎪⎪ + − ≤ ≤⎪⎩

Sentido 2

( ) ( ) ( ) ( )

2 22

1 1

0 0 1 12 21 0 1

2 22

1 0

1

, 1 1, 1 1, 1,1

1

k kk

A A

k k k kk k

A B A A A B

k kk

A A

para s k Nf f

s k s s N k spara s k s

f f f f f f

para k sf f

λ λπ

λ λ λ λπ π

λ λπ

+ −

+

+ + − −

+

+ −

+

⎧+ − + ≤ ≤⎪

⎪⎪ − − + +⎪= + + − − + ≤ ≤⎨ + +⎪⎪⎪ + − ≤ ≤⎪⎩

2. Carga vehículos flota B Sentido 1

( ) ( )0

1 01 11 0 1

1

0 1 1

, , 11

0

k kk k

A B A B

para k sk s s k

para s k sf f f f

para s k N

λ λπ π

+ −

−

≤ ≤ −⎧⎪ −⎪= + − ≤ ≤ −⎨ + +⎪⎪ ≤ ≤⎩

Sentido 2

( ) ( )1

0 12 21 0 1

0

0 1

, 1 1,1

0 1

k kk k

A B A B

para s k Ns k k s

para s k sf f f f

para k s

λ λπ π

+ −

+

+ ≤ ≤⎧⎪ − +⎪= + − + ≤ ≤⎨ + +⎪⎪ ≤ ≤⎩

92

La carga máxima estará en los vehículos de la flota A pues éstos ingresan al bucle ya con pasajeros (al menos en un sentido si el bucle está en un extremo del corredor, y en los dos sentidos si el bucle está en el interior). Siguiendo la recursividad se puede obtener una expresión para la carga máxima del tipo:

( ) ( )0 0 1 1 0 1, ,1

A A B

s s s sK

f f fϑ ϑ

η⎛ ⎞

= +⎜ ⎟+⎝ ⎠ (3.91)

cuya forma es idéntica a (3.64). Así, al introducir la ecuación (3.90) en (3.89) se obtiene una expresión para el costo total de la estrategia bucles en función solamente de Af , Bf ,

0s y 1s , ( )0 1, , ,bt A BC f f s s , que tiene exactamente la misma forma que el costo total de la

estrategia deadheading con respecto a las variables continuas, con diferencias sólo en los coeficientes que son función de las variables discretas. Luego, en este caso tampoco es posible encontrar formas cerradas para los niveles óptimos de las frecuencias ( )*

0 1,Af s s

y

( )*0 1,Bf s s se debe optar por un método numérico para minimizar la función

( )0 1, , ,bt A BC f f s s

como el método de Newton. Nuevamente, en el caso particular en que el costo del operador no depende de la capacidad K, es decir cuando ( )c K c= , ( ), ,

0c K c= y ( ), ,dh dhc K c= sí es posible

encontrar expresiones algebraicas para ( )*0 1,Af s s

y

( )*0 1,Bf s s . Aplicando CPO a la nueva

función objetivo (de forma general 3.23)

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 0 1 2 0 1 ,0 1 0

1 0 1 , 1 03 0 1

1 0 1 2 0 1 5 0 1 6 0 14

, ,, , , 2

,, 2

1

, , , ,

b bb bt A B A

A B A

bb

BA B

b b b bb

e vA B A A B A

g s s g s sC f f s s f c g b b c L

f f f

g s s s sf c g s s b c Lf f N

g s s g s s g s s g s sP P g b b

f f f f f f

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪= + + + +⎜ ⎟⎨ ⎬+⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭⎧ ⎫⎛ ⎞ −⎪ ⎪+ + + +⎜ ⎟⎨ ⎬+ − ⎪⎝ ⎠⎪ ⎭⎩⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(3.92)

resulta:

( ) ( ) ( )( )( )

2 0 1 6 0 1*0 1

, 1 00 3 0 1

, ,,

, 2 11

b be v

Ab b

P g s s P b g s sf s s

s sc g g s s c LN

+=

−⎛ ⎞− + −⎜ ⎟−⎝ ⎠

(3.93)

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )( )

1 0 1 5 0 1 2 0 1 6 0 1*0 1

, ,1 0 1 03 0 1 0 3 0 1

, , , ,,

, 2 , 2 11 1

b b b be v e v

Bb b b

P g s s P b g s s P g s s P b g s sf s s s s s sc g s s c L c g g s s c L

N N

+ += −− −⎛ ⎞+ − + −⎜ ⎟− −⎝ ⎠

(3.94)

93

Al igual que para la estrategia deadheading, en este caso se puede extraer una condición necesaria y suficiente para que la estrategia bucles reporte beneficios:

( )

( ) ( )( ) ( )

( )

( )( )

*0 1

, 1 03 0 1

1 0 1 5 0 1

, 1 02 0 1 6 0 10 3 0 1

, 0

, 2, , 1, , , 2 1

1

B

bb b

e vb b

b be v

f s ss sc g s s c LP g s s P b g s s N

s sP g s s P b g s s c g g s s c LN

> ⇔−++ −>

−+ ⎛ ⎞− + −⎜ ⎟−⎝ ⎠

(3.95)

de donde, nuevamente, se concluye que mientras mayor sea el desbalance de la demanda favorecida por la estrategia en comparación con el reto de demanda, mayor es la probabilidad de tener beneficios. Sobre el largo del bucle, 1 0s s− , se aprecia claramente que la cota a la derecha de (3.95) disminuye su valor mientras más pequeño sea el bucle, pues esto implica menores costos de operación, no obstante, el término de la izquierda también decrece cuando el bucle es pequeño, debido a que los usuarios favorecidos son menos (el análisis es el inverso si suponemos un bucle largo, más usuarios favorecidos pero mayores costos de operación). Luego, no puede definirse a priori el largo ideal del bucle ni su posición. Si se repara en la forma de las frecuencias óptimas, (3.93) es análoga a la frecuencia óptima en el caso de operación normal (expresión 2.66), pero considerando solamente las estaciones que están fuera del bucle (cuya demanda está representada por las funciones

2bg y 6

bg ). Por otro lado, el primer término de (3.94) corresponde exactamente a la frecuencia óptima para servir el bucle (forma idéntica a 2.66); luego, a tal frecuencia hay que restarle aquella que ya provee la flota A, fA (segundo término en 3.94) para obtener la frecuencia extra que debe aplicarse en el bucle, es decir, fB. Con estas expresiones puede obtenerse el cuociente entre las frecuencias al interior del bucle y fuera de éste (que corresponde a n+1 en el caso programado), dado por:

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )( )

, 1 0* * 0 3 0 1

0 1 0 1 1 0 1 5 0 1*

, 1 00 1 2 0 1 6 0 13 0 1

, 2 1, , , , 1, , , , 2

1

b bb b

A B e vb b

bA e v

s sc g g s s c Lf s s f s s P g s s P b g s s Ns sf s s P g s s P b g s s c g s s c LN

−⎛ ⎞− + −⎜ ⎟+ + −⎝ ⎠= −+ +−

(3.96) El subradical es el producto de dos términos, el primero representa el costo de los usuarios y señala que (3.96) crece con el desbalance de la demanda intra-extra bucle, mientras el segundo término representa el costo del operador e indica que (3.96) se relaciona inversamente con el largo del bucle. Esto se explica porque, ceteris paribus, mientras más pequeño sea el bucle, menor es el costo de operar la flota B, por lo que crece la frecuencia fB relativa a fA. Una vez encontradas las soluciones óptimas ( )*

0 1,Af s s

y

( )*0 1,Bf s s , éstas se ingresan a la

94

función objetivo dejándola sólo en dependencia de las estaciones de inicio y término del bucle, ( ) ( )( ) ( )* *

0 1 0 1 0 1 0 1, , , , , ,b bt A B tC f s s f s s s s C s s≡ . Luego, debe evaluarse ( )0 1,b

tC s s para todos los valores factibles o relevantes de s0 y s1 y elegirse aquellas estaciones que minimizan el costo total.

( ) ( )0 1

* *0 1 0 1

,, arg min ,b

ts s

s s C s s= (3.97)

El número de combinaciones factibles de estaciones s0 y s1 es ( )1 2N N − , lo que para el caso de un corredor de 24 estaciones como el de la Figura 3.4 representa 276 opciones. Sin embargo, la observación de los diagramas de carga siempre da una buena aproximación de la posición de las estaciones óptimas s0 y s1, lo que limita considerablemente el conjunto de búsqueda de soluciones. En el mismo ejemplo, la forma de los diagramas de carga indica que s0 debiese estar entre las estaciones Las Rejas y Los Héroes (8 estaciones) y s1 entre Baquedano y Tobalaba (6 estaciones), lo que resulta en un total de 48 opciones, sólo la sexta parte del conjunto factible inicial, con el consiguiente ahorro en tiempo computacional. Cabe señalar que la elección de las estaciones donde comienza y termina el ciclo corto no sólo depende de consideraciones de la demanda, sino que también de la factibilidad física de que los vehículos puedan cambiar el sentido de operación en tales estaciones, ubicadas (al menos una) en el interior del corredor, tema que no es tratado en este trabajo. Recordar que tanto Furth (1987) como Delle Site y Filippi (1998) consideran que las estaciones de inicio y término del bucle no son variables, sino que dadas por las condiciones físicas y demanda de cada corredor en particular, supuesto que de la observación de un diagrama de cargas real como el de la Figura 3.4 parece arriesgado. II. Régimen Programado En este caso, el tiempo de espera promedio es igual a la mitad del intervalo, es decir, en el modelo se toma x=0. Además, la frecuencia de la flota que sirve sólo el bucle, fB, se restringe a ser un múltiplo n de la frecuencia fA. Con esto, la capacidad (3.91) puede escribirse como sigue

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )0 0 1 1 0 1 1 0 1 max 0 1

0 0 1

, , , , ,1 1 ,1 1A A A A

s s s s s s n s sK s s

f n f f n fϑ ϑ ϑ ϑ

ϑη η η⎡ ⎤ ⎛ ⎞

= + = + ≡⎢ ⎥ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎣ ⎦ (3.98)

expresión que se ingresa en el costo total (3.90) dejándolo sólo en función de fA, n, s0 y s1. Al igual que en el caso de la estrategia deadheading, al aplicar la CPO a la función de costos se encuentra una expresión para la variable continua *

Af en función de las variables discretas n, s0 y s1, esto es ( )*

0 1, ,Af n s s ,

95

( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

, 1 00 0 3 0 1 0

1 0 1 2 0 1 5 0 1 max6 0 1 1 1 0 1 2 0 12

, 2 11

, , ,1 , , , 02 1 2 1

bb bt

A

b b bb b b

e vA

C s sc g n g s s c L nf N

g s s g s s g s sP P b g s s c b g s s g s s

f n nϑ

η

∂ −⎛ ⎞⎡ ⎤= + + + −⎜ ⎟⎣ ⎦∂ −⎝ ⎠

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪⎡ ⎤− + + + + + =⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦+ +⎪ ⎪⎣ ⎦⎣ ⎦⎩ ⎭

de donde se despeja

( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 0 1 2 0 1 5 0 1 max6 0 1 1 1 0 1 2 0 1

*0 1

, 1 00 0 3 0 1 0

, , ,, , ,

2 1 2 1, ,

, 2 11

b b bb b b

e v

Ab b

g s s g s s g s sP P b g s s c b g s s g s s

n nf n s s

s sc g n g s s c L nN

ϑη

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤+ + + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦+ +⎣ ⎦⎣ ⎦=

−⎛ ⎞⎡ ⎤+ + +⎜ ⎟⎣ ⎦ −⎝ ⎠

(3.99)

término que se evalúa en la función objetivo, ( )( ) ( )*0 1 0 1 0 1, , , , , , ,b b

t A tC f n s s n s s C n s s≡ .

Finalmente, el óptimo global ( )* * *0 1, ,n s s es aquel que minimiza ( )0 1, ,b

tC n s s .

( ) ( )0 1

* * *0 1 0 1

, ,, , arg min , ,b

tn s s

n s s C n s s=

Una vez determinados la frecuencia y el bucle óptimos, se procede a calcular la capacidad de los vehículos mediante la siguiente expresión

( )( )

* * *max 0 1*

* * * *0 1

, ,

, ,A

n s sK

f n s s

ϑη

=

(3.100)

Para el caso particular en que el costo del operador no depende de la capacidad K, es decir cuando ( )c K c= , ( ), ,c K c= y ( ), ,

dh dhc K c= , la solución resulta ser:

( )

( )( )

( ) ( ) ( )

( )

1 0 1 2 0 1 5 0 16 0 1

*0 1

, 1 00 3 0 1

, , ,,

2 1 2 1, ,

, 2 11

b b bb

e v

Ab b

g s s g s s g s sP P b g s s

n nf n s s

s sc g n g s s c L nN

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦⎣ ⎦=

−⎛ ⎞⎡ ⎤+ + +⎜ ⎟⎣ ⎦ −⎝ ⎠

(3.101)

96

3.5 Estrategia Integrada Deadheading-Bucles 3.5.1 Motivación Hasta ahora se han presentado dos estrategias que tienen por objetivo asignar de forma más eficiente la flota a un corredor de transporte público, cuya demanda se caracteriza por tener diferencias considerables en su distribución espacial, analizándose dos situaciones típicas: la concentración de la demanda en un sentido, a la cual se puede responder con la estrategia deadheading, y la concentración de los viajes en un segmento de la ruta, para el cual se examina la estrategia bucles. Sin embargo, en corredores de transporte público reales ocurren situaciones diversas, en que por ejemplo, en un sentido la demanda es superior a la del otro, pero además se observan concentraciones en zonas particulares, que podrían incluso no coincidir entre los dos sentidos de operación. Así, cuando se detectan situaciones “mixtas” como la antes descrita, no es clara la primacía de alguna de las dos estrategias estudiadas en su forma original o pura. Por ejemplo, en la Figura 3.4 utilizada para motivar la estrategia bucles, se observa que en el sentido Poniente-Oriente la carga está concentrada entre las estaciones Las Rejas y Pedro de Valdivia y en el sentido Oriente-Poniente los puntos de inflexión deberían ser las estaciones Tobalaba y Los Héroes. Luego, en este caso podría estudiarse la implementación de una estrategia como la siguiente: una flota sirve el corredor de punta a punta como es tradicional (flota A en nuestra notación) mientras otro grupo de vehículos inicia el servicio en Las Rejas y lo termina en Pedro de Valdivia en el sentido Poniente-Oriente, entre Pedro de Valdivia y Tobalaba viaja sin servicio de pasajeros y lo más rápido posible, es decir, haciendo deadheading, retoma el servicio en el sentido Oriente-Poniente entre Tobalaba y Los Héroes, y de ahí circula sin pasajeros y lo más rápido posible hasta Las Rejas para iniciar un nuevo ciclo. Una estrategia como ésta es una composición de las dos anteriores, un híbrido que trata de responder de mejor forma a situaciones reales como la descrita, y será denominada estrategia integrada. Para su implementación, es necesario definir cuatro estaciones relevantes, que serán los puntos de inicio y término de la flota que ejecuta la estrategia, denotada como flota B nuevamente, las cuales serán denominadas s0, s1, s2 y s3, donde las estaciones s0 y s1 marcan el inicio y el término del servicio en el sentido 1 por parte de la flota B, servicio que en el sentido 2 es reiniciado en la estación s3 y finalizado en s2 tal como se aprecia en la Figura 3.5 (en el ejemplo del párrafo anterior, s0 es Las Rejas, s1 es Pedro de Valdivia, s2 es Los Héroes y s3 es Tobalaba).

97

N

1N −

1

20s

Bf

1sA Bf f+Af

Af

AfAf

Af

3s2sA Bf f+

N

1N −

1

20s

Bf

1sA Bf f+Af

Af

AfAf

Af

3s2sA Bf f+

Figura 3.7: Esquema de operación de la estrategia integrada deadheading-bucles.

Ahora bien, la elección de estas estaciones no es trivial, observando un diagrama de carga como el de la Figura 3.4, no son claras a priori las estaciones óptimas para la definición de la estrategia (ver zona de la estación Los Héroes en sentido Oriente-Poniente, la diferencia en las cargas en sus alrededores es muy pequeña). Luego, tales estaciones deben ser variables en este problema, sin perjuicio de que, como ya se ha señalado, hay condicionantes físicas que podrían impedir que una estación en el interior de una ruta sea un punto de retorno para un vehículo (barreras físicas, restricciones de tránsito o de espacio que impiden cambiar de dirección, etc.). Por otra parte, se debe notar que las estrategias deadheading y bucles, planteadas en las secciones anteriores resultan ser casos particulares de la estrategia combinada, producto de la definición de cuatro estaciones posiblemente distintas. Analíticamente:

• Si 2 3s s= y 1s N= se recupera la estrategia deadheading. • Si 0 2s s= y 1 3s s= se recupera la estrategia bucles.

Luego, si se logra plantear un modelo general como el descrito, basta analizar su comportamiento en un corredor de transporte público para determinar la conveniencia de la implementación de alguna de las tres estrategias en estudio: deadheading, bucle o estrategia integrada. A continuación se plantea el problema. Notar que en la estrategia integrada la formulación de las funciones de costo asociadas al tiempo de espera ( db

eC ) y en vehículo ( db

vC ) tiene exactamente la misma forma que para la estrategia bucles, pero tomando en cuenta que en el sentido 2 las estaciones de inicio y término de servicio para la flota B son s3 y s2 respectivamente, no s1 y s0.

98

3.5.2 Costo Asociado al Tiempo de Espera

( ) ( )

( ) ( )

0 1

0 1 3

3 2

2

1 1 1 211 1

1 1

22 2

1 1

1, 1,12

1, 1 , 1

s s N Nk kdb k k k

e ek k s k s k sA A B A A A

s sk k k

k s kA A B A

k s s NxC Pf f f f f f

s s kf f f f

λ λλ λ λ

λ λ λ

+ +− + + +−

= = = = +

+ + +

= + =

⎛ ⎞+ +⎧+= + + + + +⎜ ⎟⎨ +⎩ ⎝ ⎠⎛ ⎞− − ⎫

+ + +⎜ ⎟ ⎬+ ⎭⎝ ⎠

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑(3.102)

3.5.3 Costo Asociado al Tiempo en Vehículo Los costos asociados al tiempo en vehículo en el sentido 1 y en el sentido 2 son:

( ) ( )

( )

0 0 0 01

0 0

1 1 11 11 11 11

1 1 1 1

11

1, 1,

1,

s s s ssl li idb i i

v v i kl i i klk l k i k k l s i k i sA A A B A

iii i

A

i s s NC P R b R b R b

f f f f f

i sR b R b

f f

λ λλ λλ λ

λλ

+ +− − −+ +− −

= = + = = = + = =

++

⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎛ ⎞+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪= + + + + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎨ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎪ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎩

+⎛ ⎞+ + + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

( )

( ) ( )

0 0 1

1 0 1

1 1

0

1 1 11 11

1 1

11 11 1

1

1,

1, 1,

s s sN li i

i klk l s i k i s i sA B A A

s s li ii

i kl ik s l k i k A B A B A

s NR b

f f f

i s s NR b R b R

f f f f f

λ λ λ

λ λλ λ

+− − +− −

= = + = = =

+ ++− −

= = + =

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞+ ⎛ ⎞+ + + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎛ ⎞+ +⎛ ⎞+ + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎝ ⎠

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑1 1

0 1 1

1

11 1 1

1

11

1

s sN li

i klk s l s i k i s A

N N li

i klk s l k i k A

bf

R bf

λ λ

λ λ

+− − −

= = + = =

+−

= = + =

⎡ ⎤⎛ ⎞+ +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎪+ + ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎪⎣ ⎦ ⎭

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

(3.103)

( ) ( )3 3

3 3 3 2 3

12 212 22

1 1 11 1 1 1 1

2

1 1

1, 1 , 1s sN k k N ki idb i i

v v i kl i i klk s l s i l k s l s i s i lA A A A B

ii i

A

s s iC P R b R b R b

f f f f f

R b R bf

λ λλ λλ λ

λ

+ +−+ +−

− − −= + = = + = + = = + = +

+

− −

⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎛ ⎞− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪= + + + + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎨ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎪ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎩

⎛ ⎞+ + + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

( ) ( )

( ) ( )

32 2

3 3 2

1

2 2

212 2

11 1 1 1 1

212 2

1 11 1

1, 1 , 1

1, 1 , 1

ss sN ki i i

i klk s l i s i s i lA A B A

s k ki ii

i kl ik s l s i l A B A A B

s s iR b

f f f f

s s iR b R b

f f f f f

λ λ λ λ

λ λλ λ

+ + +−

−= + = = + = + = +

+ ++−

− −= + = = +

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞− − ⎛ ⎞+ + + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤ − −⎛ ⎞+ + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎣ ⎦

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑3 2 2

2 2

2

11

11 1 1 1

21

11 1 1

s s ski

i klk s l i s i l A

s k ki

i klk l i l A

R bf

R bf

λ λ

λ λ

+−

−= + = = + = +

+−

−= = = +

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎪+ + ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎪⎣ ⎦ ⎭

∑ ∑ ∑ ∑

∑∑ ∑

(3.104)

y el costo asociado al tiempo en vehículo total será:

1 2db db dbv v vC C C= + (3.105)

99

3.5.4 Costo del Operador El costo de operación de la flota A es idéntico al utilizado en la estrategia bucles (ecuación 3.87), con la misma salvedad que para las componentes del costo de los usuarios, es decir, distinguiendo que en el sentido 2 las estaciones relevantes son s2 y s3.

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0 1

0

1

1 1 11 1

1

1 212 2

1 1

1, 1,

1, 1 , 1

s sk kdb k

oA A k kk k sA A B A

Nk kk k

k k kk s k sA A A A B

k s s NC f c K R b R b

f f f f

s s kR b R b R b

f f f f f

λ λλ

λ λλ λ

+ +− + −

= =

+ ++ +−

− −= =

⎧ ⎡ ⎛ ⎞⎧ ⎫+ +⎛ ⎞⎪ ⎪ ⎪= + + + + +⎢ ⎜ ⎟⎨ ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎪ ⎪⎢ ⎝ ⎠ ⎩ ⎭⎪ ⎝ ⎠⎣⎩⎛ ⎞⎧ ⎫− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪ ⎪+ + + + + + +⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩ ⎭⎝ ⎠

∑ ∑

∑

( )

3

3 2

2

1 1

2

12

2 '

sN

k s

sk

kk A

R b c K Lf

λ

= + +

+

−=

+

⎫⎤⎛ ⎞ ⎪+ + + ⎬⎥⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎪⎦ ⎭

∑ ∑

∑

(3.106) Sin embargo, la flota B opera en deadheading entre las estaciones 0s y 2s , y entre 1s y

3s , mientras opera en servicio desde 0s a 1s en el sentido 1, y desde 3s a 2s en el sentido 2, con los distintos costos de operación por vehículo-kilómetro que esto implica, dados por (3.6) y (3.7). Luego, al igual que en la estrategia deadheading, el costo de operación de la flota B, oBC , debe considerar diferenciadamente la operación por kilómetro en servicio y en deadheading, tomando en cuenta la fracción del tiempo de ciclo total cBt que un vehículo pasa en cada sentido. Si, adicionalmente, se asume que las N estaciones están equiespaciadas en ambos sentidos, las fracciones en que la flota B hace deadheading y sirve (en ambos sentidos) son, respectivamente:

2 0 3 1

1 1s s s s

L LN N

− −+

− − y 1 0 3 2

1 1s s s sL LN N

− −+− −

(3.107)

luego,

( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

0 2 1 3 31

0 2 0 1 3 2

max , 1 max , 111 0' '

1min , min , 1

2 0 3 1, ,1 0 3 2

1, , 1

1 1

s s s s ssk kdb

oB B k k k kk s s k s k s s k sA B A B

dh

k s s kC f c K R R b R R b

f f f f

s s s ss s s sc K c K LN N

λ λ+ +− −−

−= = = = +

⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎪= + + + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎨ + +⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎣ ⎦⎩⎫⎡ − + − ⎤− + − ⎪+ + ⎬⎢ ⎥− − ⎪⎣ ⎦ ⎭

∑ ∑ ∑ ∑

(3.108) y finalmente el costo total del operador es la suma de (3.106) y (3.108)

100

3.5.5 Valor Óptimo de la Frecuencia y el Tamaño de los Vehículos. Una vez derivadas las funciones de costo de los usuarios y del operador, se puede construir la función de costo total de la estrategia integrada, db

tC , como la suma de (3.102), (3.105), (3.106) y (3.108). Para facilitar el manejo algebraico de db

tC se introducen funciones ( )db

ig s , tal como en los anteriores modelos de deadheading y de bucles. Analíticamente,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2 ,0

2 0 3 11 , ,1 0 3 23

1 2 54

, , , 2

1 1

12

db dbdb dbt A B A

A B A

dbdb

B dhA B

db db dbdb

e vA B A

g s g sC f f K s f c K g b b c K L

f f f

s s s sg s s s s sf c K g s b c K c K Lf f N N

g s g s gxP P g bf f f

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪= + + + +⎜ ⎟⎨ ⎬+⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎡ − + − ⎤− + −⎪ ⎪+ + + +⎜ ⎟⎨ ⎬⎢ ⎥+ − − ⎪⎣ ⎦⎪ ⎝ ⎠ ⎭⎩

⎛ ⎞++ + + +⎜ ⎟+⎝ ⎠

( ) ( )6db

A B A

s g sb

f f f⎛ ⎞

+⎜ ⎟+⎝ ⎠(3.109)

con ( )0 1 2 3, , ,s s s s s= , introducido para simplificar la notación. Las funciones db

ig se definen a continuación:

• 0dbg es el tiempo de viaje total en movimiento:

1

01

2N

dbk

kg R

−

=

= ∑

• 1

dbg y 2dbg aparecen en el tiempo de espera y en el tiempo de ciclo. 1

dbg es la demanda favorecida por la implementación de la estrategia, es decir, cuyo origen y destino está entre las estaciones s0 y s1 en el sentido 1 y entre s2 y s3 en el sentido 2, mientras 2

dbg representa el flujo de pasajeros cuyo origen o destino no está entre las estaciones s0 y s1, ni en el sentido 1 ni entre s2 y s3 en el sentido 2.

( ) ( ) ( )31

0 2

1

1 1 21

1, , 1ss

dbk k

k s k sg s k s s kλ λ

−+ +

= = +

= + + −∑ ∑

( ) ( ) ( )0 31 2

0 1 3 2

1 11 1 2 2

2 1 21 1 1 1

1, 1, 1s ss sN N

dbk k k k k k

k k s k s k s k s kg s s N sλ λ λ λ λ λ

− −+ + + + + +

= = = = + = + =

= + + + + + − +∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

• 3dbg es el tiempo de viaje en movimiento de los vehículos de la flota B

101

( )( )

( )

( )

( )0 2 1 3 31

0 2 0 1 3 2

max , 1 max , 1 11' '

3min , min ,

s s s s ssdb

k k k kk s s k s k s s k s

g s R R R R− − −−

= = = =

= + + +∑ ∑ ∑ ∑

• 4

dbg es el tiempo en movimiento que experimentan los pasajeros 1

41 1

N N ldb

kl ik l i k

g Rλ−

= = =

=∑∑ ∑

• 5

dbg y 6dbg son los factores para calcular el tiempo total de transferencia de

pasajeros para la demanda favorecida por la estrategia y para el resto de los pasajeros, respectivamente.

( ) ( ) ( )1 2

5 5 1 2 5 2 3, ,db db dbg s g s s g s s= +

( ) ( ) ( )1 26 6 1 2 6 2 3, ,db db dbg s g s s g s s= +

donde:

( ) ( ) ( )

( )

0 01 1

0 0 1 0

1 1 1 1

0 0 1

1 1 111

5 1 2 1 11 1 1 1

1 1 111

11 1

, 1, 1,

1,

s ss sl Ndb

kl i kl ik l s i s k l s i s

s s s sl N

kl i kl ik s l k i k k s l s i k

g s s i s i s

i s

λ λ λ λ

λ λ λ λ

− − −−+ +

= = + = = = + =

− − −−+ +

= = + = = = + =

= + + + +

+ + +

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

( ) ( ) ( )

( )

3 3 32

3 2 3 2

31 2

2 2 2 2

1 12

5 2 3 2 21 1 1 1 1

112

21 1 1 1 1

, , 1 , 1

, 1

s s ssN Ndb

kl i kl ik s l s i l k s l i s

ss sk k k

kl i kl ik s l s i l k s l i s

g s s s i s i

s i

λ λ λ λ

λ λ λ λ

− −+ +

= + = = + = + = = +

−−+ +

= + = = + = + = = +

= − + − +

+ + −

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

( ) ( )

( )

( )

0 0 0 01

0 0

0 0 1

1 0 1

1

1 1 11 11 1 1

6 1 2 11 1 1 1

1 1 1 11 1

11 1

11

1

, 1,

1,

1,

s s s ssl ldb

kl i kl i ik l k i k k l s i k i s

s s sN l

kl i i ik l s i k i s i s

s l

kl i ii k i s

g s s s N

s N

s N

λ λ λ λ λ

λ λ λ λ

λ λ λ

− − −− −+ + +

= = + = = = + = =

− − − −+ + +

= = + = = =

−+ +

= =

⎡ ⎤= + + + +⎢ ⎥

⎣ ⎦⎡ ⎤

+ + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

+ + +

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑1 1

0 1 1

1 1 11

1 1

s N N N l

kl ik s l s k s l k i k

λ λ− − −

+

= = + = = + =

⎡ ⎤+⎢ ⎥

⎣ ⎦∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

102

( ) ( )

( )

( )

3 3

3 3 3 2 3

32 2

3 3 2

2

2

112 2 2

6 2 3 21 1 1 1 1

12 2

21 1 1 1 1

12

1

, 1, 1

1, 1

1, 1

s sN k k N kdb

kl i kl i ik s l s i l k s l s i s i l

ss sN k

kl i i ik s l i s i s i l

s

kl i ii s i l

g s s s

s

s

λ λ λ λ λ

λ λ λ λ

λ λ λ

−−+ + +

= + = = + = + = = + = +

−+ + +

= + = = + = + = +

+ +

= = +

⎡ ⎤= + + − +⎢ ⎥

⎣ ⎦⎡ ⎤

+ + − + +⎢ ⎥⎣ ⎦

+ − +

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑3 2 2

2

1 12

1 1 1 1 1 1

s s sk k k

kl ik s l k l i l

λ λ− −

+

= + = + = = = +

⎡ ⎤+⎢ ⎥

⎣ ⎦∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑

Como antes, para resolver el problema debe diferenciarse entre los casos de régimen programado y Poisson por la distinta naturaleza de las variables involucradas en cada cual. I. Régimen Poisson A continuación se entregan las ecuaciones de carga de los vehículos, necesarias para conocer la carga máxima que se produce al implementar la estrategia, elemento condicionante del tamaño de los vehículos. 1. Carga vehículos flota A Sentido 1

( ) ( ) ( ) ( )

1 11

1 0

1 1 0 01 11 0 1

1 11

1 1

1 1

, 1, 1, 1 , 11

k kk

A A

k k k kk k

A B A A A B

k kk

A A

para k sf f

k s s N s s kpara s k s

f f f f f f

para s k Nf f

λ λπ

λ λ λ λπ π

λ λπ

+ −

−

+ + − −

−

+ −

−

⎧+ − ≤ ≤ −⎪

⎪⎪ + − −⎪= + + + − − ≤ ≤ −⎨ + +⎪⎪⎪ + − ≤ ≤⎪⎩

Sentido 2

( ) ( ) ( ) ( )

2 22

1 3

2 2 3 32 21 2 3

2 22

1 2

1

, 1 1, 1 1, 1,1

1

k kk

A A

k k k kk k

A B A A A B

k kk

A A

para s k Nf f

s k s s N k spara s k s

f f f f f f

para k sf f

λ λπ

λ λ λ λπ π

λ λπ

+ −

+

+ + − −

+

+ −

+

⎧+ − + ≤ ≤⎪

⎪⎪ − − + +⎪= + + + − − + ≤ ≤⎨ + +⎪⎪⎪ + − ≤ ≤⎪⎩

103

2. Carga vehículos flota B Sentido 1

( ) ( )0

1 01 11 0 1

1

0 1 1

, , 11

0

k kk k

A B A B

para k sk s s k

para s k sf f f f

para s k N

λ λπ π

+ −

−

≤ ≤ −⎧⎪ −⎪= + − ≤ ≤ −⎨ + +⎪⎪ ≤ ≤⎩

Sentido 2

( ) ( )3

2 32 21 2 3

2

0 1

, 1 1,1

0 1

k kk k

A B A B

para s k Ns k k s

para s k sf f f f

para k s

λ λπ π

+ −

+

+ ≤ ≤⎧⎪ − +⎪= + − + ≤ ≤⎨ + +⎪⎪ ≤ ≤⎩

Siguiendo la recursividad, la carga máxima es de la forma

( ) ( )0 11

A A B

s sK

f f fσ σ

η⎛ ⎞

= +⎜ ⎟+⎝ ⎠ (3.110)

expresión que liga la capacidad de los vehículos con las frecuencias de operación y sirve para dejar el costo total de la estrategia integrada en función solamente de las frecuencias

Af y Bf y de las estaciones donde comienza y termina el servicio, ( )0 1 2 3, , ,s s s s s= ,

( ), ,dbt A BC f f s . Como ya se explicó en los desarrollos algebraicos de las estrategia bucles

y deadheading, en este caso general de la función de costo no hay solución analítica posible para las frecuencias óptimas, como sí la hay en el caso particular en que el costo del operador no depende de la capacidad K, esto es cuando ( )c K c= , ( ), ,

0c K c= y

( ), ,dh dhc K c= , obteniéndose la forma general (3.23), nuevamente. En este caso, las

soluciones (3.26) y (3.27) corresponden a (3.111) y (3.112), respectivamente:

( ) ( ) ( )

( )( )2 6*

, , 2 0 3 11 0 3 20 3 2

1 1

db dbe v

Adb db

dh

P g s P b g sf s

s s s ss s s sc g g s c L c LN N

+=

− + −− + −⎛ ⎞− + − −⎜ ⎟− −⎝ ⎠

(3.111)

104

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )( )

1 5*

, , 2 0 3 11 0 3 23

2 6

, , 2 0 3 11 0 3 20 3

1 1

21 1

db dbe v

Bdb

dh

db dbe v

db dbdh

P g s P b g sf s

s s s ss s s sc g s c L c LN N

P g s P b g ss s s ss s s sc g g s c L c L

N N

+= −

− + −− + −+ +− −

+−

− + −− + −⎛ ⎞− + − −⎜ ⎟− −⎝ ⎠

(3.112)

Una vez encontradas las frecuencias óptimas en función del conjunto de estaciones que determina la estrategia, ( )0 1 2 3, , ,s s s s s= , el segundo paso es, nuevamente, evaluar la

función objetivo ( ) ( )( ) ( )* *, ,db dbt A B tC f s f s s C s=

para todos las combinaciones posibles

de estaciones ( )0 1 2 3, , ,s s s s y seleccionar aquel conjunto ( )* * * * *0 1 2 3, , ,s s s s s= que minimiza

el costo total,

( )* arg min dbt

ss C s= (3.113)

Notar que para el caso particular 0 2s s= y 1 3s s= , (3.111) y (3.112) reproducen las frecuencias óptimas de la estrategia bucles, dadas por (3.93) y (3.94). Al igual que en las fórmulas derivadas para las estrategias deadheading y bucles, en ( )*

Bf s se observa que mientras menor sea la demanda favorecida (los viajes que tienen origen y destino entre s0 y s1 en el sentido 1 y entre s2 y s3 en el sentido 2), representada por 1

dbg y 1dbg , con

respecto al resto de los viajes, representados por 1dbg y 1

dbg , es menos probable que la estrategia sea aplicable, pues disminuye el valor de ( )*

Bf s , hasta el punto de incluso llegar a ser negativo si la elección de las estaciones s0, s1, s2 y s3 no es adecuada. Al ampliarse a cuatro el número de estaciones que son variable en el problema, el conjunto factible de soluciones tiene cardinal ( )22 1 4N N − . A modo de ejemplo se utilizará nuevamente la Línea 1 de Metro mostrada en la Figura 3.4, que con 24 estaciones tiene 76176 combinaciones posibles de s0, s1, s2 y s3. Sin embargo, tal como se indicó en el análisis hecho para la estrategia bucles, este conjunto puede ser considerablemente reducido si se observa el diagrama de carga para acotar el espacio de elección de las estaciones relevantes. Así, en el ejemplo mencionado se puede pronosticar que s0 está entre Las Rejas y Pila del Ganso9 (3 estaciones), s1 entre Salvador y Pedro de Valdivia (3), s2 entre Los Héroes y Universidad de Santiago (5) y s3 debiese ser Tobalaba pues en esa estación se produce un gran salto en la carga, totalizándose 45 opciones, lo que representa, nuevamente, un enorme ahorro de tiempo computacional. 9 Actualmente denominada estación “Alberto Hurtado”.

105

II. Régimen programado En este caso B Af n f= . Luego, la capacidad (3.108) puede escribirse como:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )0 1 1 max

0

,1 11 1A A A A

s s s n sK s

f n f f n fσ σ σ σ

ση η η⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= + = + ≡⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦⎣ ⎦ (3.114)

expresión que se ingresa en el costo total dejando éste sólo en función de fA, n, y las estaciones s0, s1, s2 y s3. La CPO es:

( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 0 3 1, , ,1 0 3 20 0 3 0 0 0

1 2 5 max6 1 1 22

21 1

,1 02 1 2 1

dbdb dbt

dhA

db db dbdb db db

e vA

s s s sC s s s sc g s n g s c L n L c cf N N

g s g s g s n sP P b g s c b g s g s

f n nσ

η

⎡ − + − ⎤∂ − + −⎡ ⎤= + + + + −⎢ ⎥⎣ ⎦∂ − −⎣ ⎦⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪⎡ ⎤− + + + + + =⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦+ +⎪ ⎪⎣ ⎦⎣ ⎦⎩ ⎭

(3.115) ecuación de la cual es posible extraer directamente la frecuencia óptima:

( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2 5 max6 1 1 2

*

, , , 2 0 3 11 0 3 20 0 3 0 0 0

,2 1 2 1

,2

1 1

db db dbdb db db

e v

Adb db

dh

g s g s g s n sP P b g s c b g s g s

n nf n s

s s s ss s s sc g s n g s c L n L c cN N

ση

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤+ + + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦+ +⎣ ⎦⎣ ⎦=

⎡ − + − ⎤− + −⎡ ⎤+ + + +⎢ ⎥⎣ ⎦ − −⎣ ⎦(3.116)

término que se evalúa en la función objetivo, ( )( ) ( )* , , , ,db db

t A tC f n s n s C n s≡ . Así, el

óptimo global ( )* *,n s es aquel que minimiza ( ),dbtC n s

( ) ( )* *

,, arg min ,db

tn s

n s C n s= (3.117)

Finalmente, con todos estos elementos es posible conocer la capacidad de los vehículos mediante:

( )( )

* *max*

* * *

,

,A

n sK

f n s

ση

=

(3.118)

En el caso particular en que el costo del operador no depende de la capacidad K, es decir, ( )c K c= , ( ), ,c K c= y ( ), ,

dh dhc K c= , la solución resulta ser,

106

( )

( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2 56

*

, , , 2 0 3 11 0 3 20 3

2 1 2 1,

21 1

db db dbdb

e v

Adb db

dh

g s g s g sP P b g s

n nf n s

s s s ss s s sc g s n g s c L n L c cN N

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦⎣ ⎦=

⎡ − + − ⎤− + −⎡ ⎤+ + + +⎢ ⎥⎣ ⎦ − −⎣ ⎦

(3.119)

3.6 Resumen y Comentarios En este capítulo se han introducido las estrategias de asignación de flota bajo análisis y se han desarrollado modelos para su estudio. En general, la literatura en esta materia es escasa y no presenta mayores conexiones, estando orientada en la mayoría de los casos a utilizar estrategias como las descritas para disminuir el tamaño de flota requerido para realizar el servicio de transporte público. En este trabajo se han formulado modelos que encuentran las frecuencias óptimas de operación si se implementan las estrategias bucles y/o deadheading, en un marco teórico consistente en una línea de transporte público aislada y con demanda paramétrica, considerando tanto la visión de los usuarios como la de los operadores. En sistemas en los cuales no se impone ninguna relación que ligue las frecuencias de los vehículos que ponen en práctica la estrategia y la frecuencia de los vehículos que sirven el corredor completo, sólo es posible encontrar formas cerradas para los valores óptimos de tales frecuencias si el costo del operador es un parámetro constante, mientras que si se asume que este costo depende del tamaño de los vehículos, el problema sólo puede ser resuelto numéricamente. Sin embargo, cuando se obliga a que ambas frecuencias tengan un factor común, se logran deducir expresiones algebraicas para estas variables, pero siempre en función de tal factor común denominado scheduling mode. En general, todas las expresiones encontradas para las frecuencias óptimas mantienen la forma de la “fórmula de la raíz cuadrada”, con radicales en los que en el denominador aparecen funciones que representan el costo de los usuarios, mientras en el denominador se observan los parámetros que definen el costo del operador.

107

4. APLICACIONES 4.1 Introducción En los capítulos 2 y 3 se ha entregado el marco teórico y desarrollado modelos analíticos para la aplicación de estrategias de asignación de flota en un corredor aislado de transporte público. En el presente capítulo se realizan aplicaciones numéricas de los modelos anteriores, con el fin de cuantificar los beneficios de las estrategias en casos específicos, que pueden ser producto de la observación de un corredor real o bien situaciones ficticias, pero representativas de corredores típicos en sistemas de transporte público urbano. Las tres estrategias modeladas se estudian por separado. En términos generales, se presentan y analizan los beneficios que producen la estrategias cuando se aplican a un caso específico, en términos de ahorro en los costos asociados a los tiempos de espera y de viaje, y al costo del operador. También se muestran variables críticas para la definición e implementación de una estrategia de asignación de flota, como las frecuencias de operación, los tamaños de flota requeridos y la capacidad óptima de los vehículos. Además se sensibiliza respecto a variables determinantes del problema, como son el valor del tiempo de los usuarios y el costo unitario de operación (normal y haciendo deadheading). Igualmente se analizan ciertos aspectos de relevancia en cada estrategia en específico. En el caso de la estrategia deadheading se examinan condiciones para que la estación de inicio de servicio de la Flota B esté al interior del lado de menor demanda. Para la estrategia bucles, se hace un análisis de cómo cambios en la demanda (locales o globales) afectan la utilidad de la estrategia. Por último, en cuanto a la estrategia integrada se estudia cómo su rendimiento o aplicabilidad se ven afectados por separación espacial de la concentración de la demanda (distancia entre los puntos de mayor carga) entre uno y otro sentido de operación. Para finalizar, se aborda el problema de los requerimientos de información en la demanda para aplicar las estrategias presentadas. A priori, en la modelación desarrollada se requiere conocer la matriz OD al nivel de paraderos o estaciones para poder pronunciarse sobre la conveniencia de aplicar alguna estrategia de asignación de flota en un corredor de transporte público. Sin embargo, ante la dificultad de contar con tal matriz en situaciones reales, sería importante saber si con menos información, o con información más agregada de la demanda, también es posible modelar el funcionamiento de las estrategias sin incurrir en errores significativos. En todos los ejemplos se generan matrices a partir de las tasas de subida y bajada de pasajeros en las estaciones. Para tal tarea, se utilizan los métodos de Tsygalnitsky y biproporcional (Furth y Navick, 1992), los cuales son explicados en el Anexo A2. Los modelos desarrollados para las distintas estrategias fueron programados en el lenguaje C++, donde se generó un programa que utiliza como entrada el valor de parámetros como el largo del corredor, el número de estaciones, los costos unitarios de operación, el valor del tiempo y la demanda, para entregar valores óptimos de las

108

variables relevantes como las frecuencias de operación, las estaciones de inicio y término de servicio en la situación con estrategia, los costos de usuarios y operadores, el tamaño de flota óptimo, la capacidad óptima de los vehículos y los beneficios que reporta la aplicación de la estrategia en un corredor dado. Cuando no existen formas algebraicas para el valor óptimo de las frecuencias fA y fB, es decir, en el régimen Poisson con el costo de operación como función de la capacidad de los vehículos, se opta por utilizar el método de Newton (ver Anexo A1) para el cálculo de tales frecuencias, tomando como punto de inicio del algoritmo de búsqueda las frecuencias *

Af y *Bf que resultan de

suponer los costos unitarios de operación constantes (expresiones 3.109 y 3.110 para el caso de la estrategia integrada). Desde este punto el algoritmo convergió siempre rápidamente a la solución (no más de tres iteraciones). El código completo de la rutina creada en la plataforma C++ se reproduce en el Anexo A5 4.2 Estrategia deadheading Ejemplo 1 a) Aplicación de la estrategia Para el estudio de la estrategia deadheading, se dispone de información de la demanda en un corredor de transporte público real, el eje Los Pajaritos ubicado en la zona poniente de Santiago, en un segmento de aproximadamente 7 km. para el que se conoce el perfil de carga en los 9 tramos que lo componen (10 paraderos), información recopilada del “Estudio de Demanda del Sistema de Transporte Público de Superficie de Santiago” (MTT, 1998). Como se aprecia en la Figura 4.1, este corredor presenta una alta demanda de transporte público en el período Punta de la Mañana en el sentido Poniente-Oriente (hacia el centro de la ciudad), muy superior al sentido inverso.

Perfil de carga

02000400060008000

10000120001400016000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Estación

Car

ga [p

ax/h

]

Sentido O-PSentido P-O

Figura 4.1: Perfiles de carga por sentido eje Los Pajaritos, período Punta Mañana

(Fuente: MTT,1998) Como se discutió en 3.5.2, este diagrama puede ser generado por múltiples perfiles de subida y bajada en las estaciones, cada uno de los cuales a su vez puede ser generado por

109

múltiples matrices OD. Arbitrariamente, se asignó el siguiente perfil de subidas y bajadas:

Tabla 4.1: Perfiles de carga y de subida y bajada por sentido, eje Los Pajaritos. Lado 1 Lado 2

Paradero

Sentido

Carga[pax/h]

1λ + [pax/h]

1λ − [pax/h]

Sentido

Carga [pax/h]

1λ + [pax/h]

1λ − [pax/h]

1 3131 3131 0 0 0 141192 2678 147 600 14119 3620 5003 2548 70 200 10999 828 5004 2383 15 180 10671 1742 4005 2396 83 70 9329 323 3506 2422 76 50 9356 222 2507 2055 33 400 9384 323 3008 1390 55 720 9361 3331 2509 557 67 900 6280 444 20010 0 0 557 6036 6036 0

Total

3677 3677

16869 16869 de donde resulta que la demanda total en el sentido 2 es 4.6 veces la demanda total en el sentido 1. Utilizando el método de Tsygalnitsky o biproporcional con matriz semilla homogénea (ver Anexo A2) se obtiene la siguiente matriz de viajes asociada:

600 189 165 64 44 342 605 726 395 3620 11 10 4 3 20 35 42 23 790 38 5 2 1 10 18 22 12 1585 75 82 0 0 2 4 5 3 281 13 14 14 2 13 24 29 16 186 9 10 9 8 13 22 27 15 264 13 14 13 12 9 12 14 8 2631 125 135 130 117 86 107 36 19 337 16 17 17 15 11 14 18 67 4425 211 228 218 197 144 180 232 200

Figura 4.2: Matriz OD, eje Los Pajaritos En este ejemplo (y en todos los desarrollados en este capítulo), se asume que el tiempo en movimiento entre estaciones es constante, es decir, kR R≡ y ' '

kR R≡ . Con esto, el valor asignado a los parámetros de entrada se muestra en la tabla siguiente:

110

Tabla 4.2: Valor parámetros de entrada, eje Los Pajaritos Parámetro Valor

n 10 R [min] 1.6 R’ [min] 0.9 L [km] 6.6 Pe [$/h] 2700 Pv [$/h] 900 c0 [$/h] 1800 c1 [$/h-cupo] 30

,0c [$/km] 400 ,1c [$/km-cupo] 1 ,0dhc [$/km] 300 ,1dhc [$/km-cupo] 0.5

b [s/pax] 5 η 0.9

Así, la estrategia es aplicada suponiendo estos valores de los parámetros y la matriz de la Figura 4.2. Caso 1: Régimen programado, operación a intervalos regulares Los resultados obtenidos, tanto para la operación normal como bajo la estrategia deadheading, se muestran en la Tabla 4.3. Recordar que Ce representa el costo asociado al tiempo de espera, Cv el costo asociado al tiempo de viaje, Co el costo del operador y Ct es el costo total, es decir, la suma de los tres anteriores. ΔCi corresponde al costo adicional porcentual que se obtiene en la componente i de la función de costos al aplicar la estrategia (negativo si la estrategia reduce costos), es decir,

1esti

i nori

CCC

Δ = − (4.1)

donde nor

iC y estiC son los costos en la componente i en situación normal y con estrategia,

respectivamente.

111

Tabla 4.3: Resultados estrategia deadheading, eje Los Pajaritos

Operación

n

Ce [$/min]

Cv [$/min]

Co [$/min]

Ct [$/min]

ΔCe

ΔCv

ΔCo

ΔCt

Normal - 2285 59363 29894 91542

1 2460 58890 29358 90709 7.7% -0.8% -1.8% -0.9%2 2687 58995 29630 91314 17.6% -0.6% -0.9% -0.2%

Estrategia 3 2917 59244 30082 92246 27.7% -0.2% 0.6% 0.8% Para la estrategia, en los tres casos reportados en la Tabla 4.3 el costo total mínimo se alcanza cuando los vehículos que realizan deadheading se saltan el lado de menor demanda en su totalidad. Sólo para los casos n=1 y n=2, la estrategia reporta beneficios en términos de ahorros en el costo total, siendo éstos modestos, menores al 1%. El óptimo se obtiene con n=1, caso en el cual el beneficio se obtiene sólo por ahorros en el costo asociado al tiempo de viaje y en el costo asociado al operador, pues el costo asociado al tiempo de espera aumenta en un 7.7%. Sin embargo, Ce es un orden de magnitud menor que las otras dos componentes y este efecto negativo es absorbido por los ahorros en Cv y Co.

La existencia de beneficios en los tiempos de viaje y desbeneficios en los tiempos de espera concuerda con las condiciones 3.48 y 3.49, donde se muestra que es más probable tener beneficios en Cv que en Ce. En este ejemplo, el desbalance en la demanda (82% de los usuarios se mueve en el sentido 2) no es suficiente para obtener beneficios en Ce, pero sí lo es para tener ahorros en Cv, pues esta componente de la función de costos depende cuadráticamente de la demanda, amplificando de esta forma el desbalance.

El valor óptimo de las frecuencias, tamaños de flota y de los vehículos es el siguiente:

Tabla 4.4: Variables relevantes estrategia deadheading, eje Los Pajaritos Operación

n

Frecuencias [veh/h]

Tamaños de flota [veh]

Capacidad[pax/veh]

f F K Normal - 202 126 78

fA fB fA+fB FA FB FA+FB K 1 111 111 222 70 54 124 71 2 78 156 234 51 74 125 68

Estrategia

3 61 183 244 41 86 127 65

Bajo las condiciones modeladas el servicio resulta ser de alta frecuencia, tanto en su régimen normal (intervalo de 18 s.) como en el caso óptimo con estrategia (16 s. en el

112

sentido de mayor demanda1), lo que explica el hecho que el costo asociado al tiempo de espera sea muy menor en relación a los demás. Este valor está dado principalmente por la condición de ser un corredor de alta demanda.

La frecuencia que experimentan los usuarios beneficiados (fA+fB) resulta ser mayor que la frecuencia en operación normal (f); sin embargo, los usuarios desfavorecidos reciben una severa reducción en la frecuencia que observan (fA), con un intervalo de 32 s., lo que finalmente determina el desbeneficio en el tiempo de espera. En otras palabras, el aumento en un 10% de la frecuencia para los usuarios del sentido 2 (que son un 82% del total) no logra compensar la disminución en un 55% de la frecuencia que sirve a los usuarios del sentido 1 (18%). Es decir, a pesar del severo desbalance en la demanda, no se producen ahorros en el consumo total de tiempo de total, luego, es muy difícil que en la práctica la estrategia reporte beneficios en este ítem.

El ahorro en un 0.8% en el costo del operador se ve reflejado físicamente en una disminución de 2 vehículos en la flota necesaria para servir al corredor. Además, y tal como se mostró teóricamente en el acápite 3.3.2.4, en el óptimo la estrategia permite operar con buses más pequeños (expresión 3.36), disminuyendo la capacidad óptima de 78 a 71 pax/veh. Caso 2: Régimen Poisson Los resultados obtenidos, tanto para la operación normal como bajo la estrategia, se muestran en la Tabla 4.5, mientras en la Tabla 4.6 aparece el valor de las variables relevantes: Frecuencias, capacidad de los vehículos y tamaños de flota.

Tabla 4.5: Resultados estrategia deadheading, eje Los Pajaritos

Operación

Ce [$/min]

Cv [$/min]

Co [$/min]

Ct [$/min]

ΔCe

ΔCv

ΔCo

ΔCt

Normal 4337 58480 30951 93768Estrategia 4487 58441 30261 93189

3.5% -0.1% -2.2% -0.6%

Tabla 4.6: Variables relevantes estrategia deadheading, eje Los Pajaritos Operación

Frecuencias [veh/h]

Tamaños de flota [veh]

Capacidad[pax/veh]

f F K Normal 214 131 74

fA fB fA+fB FA FB FA+FB K Estrategia 164 55 219 102 27 129 72

1 Con un intervalo entre buses tan pequeño pueden surgir problemas prácticos para mantener intervalos regulares además de la posibilidad cierta de congestión y fricción entre vehículos en los paraderos. Este fenómeno no es tratado en este trabajo.

113

Los beneficios reportados en la Tabla 4.5 se asemejan a los de la Tabla 4.3 para n=1. Los valores de fA y fB señalan que en el óptimo, la frecuencia de los vehículos que hacen deadheading es menor que la de los vehículos que realizan el servicio normal, resultado que sugiere que el óptimo en el caso programado se obtiene precisamente con n=1, tal como se observa en la Tabla 4.3. Análogamente al caso programado, se observa un ahorro en el número de vehículos en uso con la estrategia (se pasa de 131 a 129), además de un menor tamaño de éstos (74 a 72 pax/veh). En este caso se optimiza el valor de ambas frecuencias, fA y fB, siendo así un caso más general que el anterior en que se restringe el valor de fB, luego se espera que reporte más beneficios. Sin embargo el ahorro porcentual obtenido es ligeramente menor que en el caso programado, y se explica por el hecho de que en este caso además cambia la forma del tiempo de espera, al cual se le da una ponderación mayor para el cálculo de su costo asociado (1 en el caso de intervalos Poisson, ½ para intervalos regulares), costo que aumenta con la aplicación de la estrategia en ambos casos. Al comparar las Tablas 4.4 y 4.6 se pueden apreciar las diferencias en los valores óptimos de las variables entre los dos régimenes de llegadas de vehículos considerados. En operación normal, por la mayor ponderación que se da al costo de los usuarios en el régimen Poisson, la frecuencia que éste arroja es mayor, y consiguientemente, menor el tamaño o capacidad de los vehículos. Con estrategia, los dos regímenes no son comparables directamente pues en el caso programado se impuso una condición que liga las frecuencias óptimas. b) Análisis de sensibilidad Para analizar la influencia que tienen algunos factores en la definición del problema y el comportamiento de las estrategia, se procede a realizar un análisis de sensibilidad. En particular, se estudará la influencia de los valores del tiempo y aquellos parámetros que adoptan un valor distinto cuando los vehículos circulan en deadheading y en servicio. El análisis se restringe a la operación en régimen Poisson, por ser más general en la elección de las frecuencias óptimas fA y fB. A los distintos escenarios generados se les denominará con una letra mayúscula para facilitar su identificación en las tablas. Las variables sensibilizadas y los resultados obtenidos se reportan a continuación. i. Tiempo en movimiento haciendo deadheading, R’ Se sensibiliza con respecto al valor de R’ de manera tal que el cuociente R'/R sea 0.3, 0.4 y 0.56 (este último corresponde al caso ya reportado en la Tabla 4.5 - en adelante, caso base- es decir, 0.9/1.6). Cada caso se denota con los nombres A (base), B y C, como en la Tabla 4.7

114

Tabla 4.7: Resultados, análisis de sensibilidad R’, estrategia deadheading

Esc. R'/R Operación Ce

[$/min]Cv

[$/min]Co

[$/min]Ct

[$/min]ΔCe

ΔCv

ΔCo

ΔCt

Normal 4337 58480 30951 93768A

0.56

Estrategia 4487 58441 30261 93189 3.5% -0.1% -2.2% -0.6%Normal 4337 58480 30951 93768B

0.4

Estrategia 4492 58381 30123 92996 3.6% -0.2% -2.7% -0.8%Normal 4337 58480 30951 93768C

0.3

Estrategia 4494 58342 30030 92866 3.6% -0.2% -3.0% -1.0%

Diferencia relativa costos

-4%

-2%

0%

2%

4%

A B C

Caso

Dife

renc

ia

CeCvCoCt

Figura 4.3: Diferencia costos, análisis de sensibilidad R’, estrategia deadheading

Mientras más rápido circulan los vehículos cuando hacen deadheading en comparación con la operación en servicio, más beneficios reporta la estrategia. No obstante los beneficios son modestos, con un máximo de un 1% como ahorro en costos totales. Notar que en los tres casos el ahorro en costos se produce principalmente en el costo del operador, mientras el costo asociado al tiempo de viaje se mantiene prácticamente constante y el costo asociado al tiempo de espera aumenta si se aplica la estrategia. Por otra parte, los valores óptimos de las variables muestran que a medida que R’ decrece, aumenta la frecuencia de los vehículos que realizan deadheading y disminuye la frecuencia de los vehículos que sirven el corredor completo (Tabla 4.8). Tanto el número de vehículos necesario (FA+FB) como el tamaño de éstos (K) decrece, resultado que se traduce en un menor costo de operación como en la Tabla 4.7

115

Tabla 4.8: Variables relevantes, análisis de sensibilidad R’, estrategia deadheading Frecuencias Tamaños de flota Capacidad

Esc. Operación [veh/h] [veh] [pax/veh] f F K

A,B,C Normal 214 131 74

fA fB fA+fB FA FB FA+FB K A Estrategia 164 55 219 101 27 128 72 B 160 61 221 99 27 126 72 C 157 64 221 97 27 124 71

ii. Componente fija del costo de operación en deadheading, ,

0dhc Dejando fijo el valor de ,

0c en 400 $/km, se calcula el valor de ,0dhc de modo que el

cuociente , ,0 0dhc c sea 0.5, 0.75 y 0.9. (0.75 es el caso base, A).

Tabla 4.9: Resultados, análisis de sensibilidad ,0dhc , estrategia deadheading

Esc., ,0 0dhc c Operación

Ce [$/min]

Cv [$/min]

Co [$/min]

Ct [$/min]

ΔCe

ΔCv

ΔCo

ΔCt

Normal 4337 58480 30951 93768D

0.9 Estrategia 4441 58732 30509 93682 2.4% 0.4% -1.4% -0.1%

Normal 4337 58480 30951 93768A

0.75 Estrategia 4487 58441 30261 93189 3.5% -0.1% -2.2% -0.6%

Normal 4337 58480 30951 93768E

0.5 Estrategia 4495 57818 29673 91986 3.6% -1.1% -4.1% -1.9%

116

Diferencia relativa costos

-6%

-4%

-2%

0%

2%

4%

6%

D A E

Caso

Dife

renc

ia

CeCvCoCt

Figura 4.4: Diferencia costos, análisis de sensibilidad ,

0dhc , estrategia deadheading Tabla 4.10: Variables relevantes, análisis de sensibilidad ,

0dhc , estrategia deadheading

Frecuencias Tamaños de flota CapacidadEsc. Operación [veh/h] [veh] [pax/veh]

f F K A,D,E Normal 214 131 74

fA fB fA+fB FA FB FA+FB K D Estrategia 197 15 212 122 7 129 75 A 164 55 219 101 27 128 72 E 134 99 233 83 47 130 68

Nuevamente, mientras más atractivo resulte hacer deadheading, en este caso, a través de un menor costo de operación ,

0dhc , más beneficios reporta la estrategia en términos de ahorro en costos totales, llegando a un 1.9% de ahorro porcentual cuando la componente fija del costo del operador haciendo deadheading es la mitad que cuando se opera en servicio. A medida que decrece ,

0dhc , aumenta el número de vehículos que realiza deadheading y disminuye la flota que realiza el servicio en toda la ruta. iii. Parámetro que multiplica a K en el costo de operación en deadheading, ,

1dhc Dejando fijo el valor de ,

1c en 1 $/cupo-km, se calcula el valor de ,1dhc de modo que el

cuociente , ,1 1dhc c sea 0.1, 0.5 y 1 (0.5 es el caso base, A).

117

Tabla 4.11: Resultados, análisis de sensibilidad ,1dhc , estrategia deadheading

Esc., ,1 1dhc c Operación

Ce [$/min]

Cv [$/min]

Co [$/min]

Ct [$/min]

ΔCe

ΔCv

ΔCo

ΔCt

Normal 4337 58480 30951 93768F

1 Estrategia 4473 58482 30475 93430 3.1% 0.0% -1.5% -0.4%

Normal 4337 58480 30951 93768A

0.5 Estrategia 4487 58441 30261 93189 3.5% -0.1% -2.2% -0.6%

Normal 4337 58480 30951 93768G

0.1 Estrategia 4499 58407 30053 92959 3.7% -0.1% -2.9% -0.9%

Diferencia relativa costos

-4%

-2%

0%

2%

4%

6%

F A G

Caso

Dife

renc

ia

CeCvCoCt

Figura 4.5: Diferencia costos, análisis de sensibilidad ,

1dhc , estrategia deadheading Tabla 4.12: Variables relevantes, análisis de sensibilidad ,

1dhc , estrategia deadheading

Frecuencias Tamaños de flota CapacidadEsc. Operación [veh/h] [veh] [pax/veh]

f F K A,F,G Normal 214 131 74

fA fB fA+fB FA FB FA+FB K F Estrategia 170 48 218 105 23 128 73 A 164 55 219 101 27 128 72 G 159 61 220 99 29 128 72

La tendencia es similar que la observada cuando se sensibiliza sobre ,

0dhc , es decir, aumenta el atractivo de la estrategia cuando decrece su costo de operación, con resultados que resultan ser menos importantes en términos de ahorros porcentuales (0.9% como máximo).

118

iv. Valores del tiempo Para analizar la incidencia del valor del tiempo de espera y de viaje en los beneficios, se sensibiliza con respecto a Pe. Dejando fijo el valor de Pv en 900 $/h, se calcula el valor de Pe de modo que el cuociente Pe/Pv sea 1, 2 y 3 (3 es el caso base, A).

Tabla 4.13: Resultados, análisis de sensibilidad Pe, estrategia deadheading

Esc. Pe/Pv Operación Ce

[$/min]Cv

[$/min]Co

[$/min]Ct

[$/min]ΔCe

ΔCv

ΔCo

ΔCt

Normal 4337 58480 30951 93768A

3 Estrategia 4487 58441 30261 93189 3.5% -0.1% -2.2% -0.6%

Normal 2993 59056 30253 92302H

2 Estrategia 3109 59034 29511 91654 3.9% 0.0% -2.5% -0.7%

Normal 1552 59693 29532 90777I

1 Estrategia 1621 59698 28727 90046 4.4% 0.0% -2.7% -0.8%

Diferencia relativa costos

-2%-1%0%1%2%3%4%5%

A H I

Caso

Dife

renc

ia

CeCvCoCt

Figura 4.6: Diferencia costos, análisis de sensibilidad Pe, estrategia deadheading

Tabla 4.14: Variables relevantes, análisis de sensibilidad Pe, estrategia deadheading

Frecuencias Tamaños de flota CapacidadEsc. Operación [veh/h] [veh] [pax/veh]

f F K A Normal 214 131 74 H 206 127 76 I 199 124 79

fA fB fA+fB FA FB FA+FB K A Estrategia 164 55 219 101 27 128 72 H 155 56 211 97 27 124 75 I 146 58 204 92 29 121 77

119

El caso de los valores del tiempo no es tan intuitivo. Los beneficios aumentan muy ligeramente a medida que decrece el valor del tiempo de espera, es decir, a medida que se le da más importancia al costo asociado al tiempo de viaje en el costo de los usuarios. Este resultado está en concordancia con el comentario hecho en 3.3.2.5 cuando se analiza la condición para que se disminuya el costo de los usuarios en el modelo agregado de deadheading, donde se señala que mientras menor sea Pe relativo a Pv, es más probable obtener beneficios. Esto se explica numéricamente por el hecho que en todos los casos reportados, aún en las situaciones más favorables para la estrategia, ésta conlleva un aumento en el tiempo de espera total de los usuarios. Luego, mientras menor sea el factor que multiplica este valor, es decir, Pe, más beneficios totales se obtienen como resultado de su aplicación. En todos los casos reportados, tanto en la situación base como en los escenarios del análisis de sensibilidad, la componente de la función de costos que reporta más beneficios es el costo del operador, lo que muestra el potencial de esta estrategia como un reductor en el tamaño de flota necesario para servir un corredor con demanda desbalanceada, más que una herramienta para disminuir el tiempo que las personas consumen en viajar. c) Insuficiencia del perfil de cargas para la definición de la estrategia Como se señaló previamente, un diagrama de cargas puede ser generado por diversos perfiles de subidas y bajadas, y consiguientemente, por diversas demandas. Por ejemplo, el perfil de carga de la Figura 4.1 también se obtiene de tasas de ingreso y egreso como las siguientes:

Tabla 4.15: Segundo perfil de subidas y bajadas, Eje Los Pajaritos Total Lado 1 Lado 2

Paradero

Carga[pax/h]

1λ + [pax/h]

1λ − [pax/h]

Carga [pax/h]

1λ + [pax/h]

1λ − [pax/h]

1 3131 3131 0 0 0 141192 2678 2678 3131 14119 3120 03 2548 2548 2678 10999 328 04 2383 2383 2548 10671 1342 05 2396 2396 2383 9329 0 276 2422 2422 2396 9356 0 287 2055 2055 2422 9384 23 08 1390 1390 2055 9361 3081 09 557 557 1390 6280 244 010 0 0 557 6036 6036 0

Total 19560 19560 14174 14174

120

Perfil de carga, subidas y bajadas, Sentido 1

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Estación

pax/

h subidasbajadascarga

Perfil de carga, subidas y bajadas, Sentido 2

02000400060008000

10000120001400016000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Estación

pax/

h subidasbajadascarga

(a) Sentido 1 (b) Sentido 2

Figura 4.7: Perfil de carga, subidas y bajadas, Tabla 4.15

En este ejemplo deliberadamente se maximizó la demanda en el sentido 1, que presenta menos carga, y se minimizó la demanda del sentido 2, de mayor carga. El resultado da que incluso la demanda del sentido de menos carga supera a la demanda del sentido de más carga (posibilidad ya mencionada en el acápite 3.3.2.4), y al aplicar la estrategia se obtienen desbeneficios de 0.1%, tanto en la operación programada como en el régimen Poisson. El ejemplo de la Figura 4.7 es un caso extremo, difícil de encontrar en la práctica pues el comportamiento de los usuarios en un sentido es diametralmente opuesto a los del otro (en el sentido uno todos recorren solo un segmento, en el sentido 2 se maximiza la distancia recorrida), pero sirve para graficar que tener solamente el perfil de carga de un corredor de transporte público no es suficiente para pronunciarse sobre la conveniencia de aplicar la estrategia deadheading o no. Sobre este punto se volverá en la Sección 4.5, donde se analizan los requerimientos de información de la demanda para implementar las estrategias de asignación de flota. d) Estación de inicio del servicio al interior del lado de menor carga En todos los experimentos efectuados a partir del diagrama de cargas del eje Los Pajaritos, en el óptimo los vehículos que realizan deadheading se saltan el sentido de menor carga en su totalidad. La Figura 4.1, además de dejar en evidencia un significativo desbalance de las cargas entre uno y otro sentido, muestra que en el sentido Oriente-Poniente la carga es decreciente, es decir, a medida que los vehículos recorren el eje se bajan más usuarios de los que se suben, lo cual analíticamente explica el hecho de que la estación de inicio de servicio de los vehículos de la flota B no esté en su interior: el número de usuarios beneficiados en el lado 1 (aguas abajo o a la derecha de la hipotética estación s0 intermedia, es decir, entre s0 y N) es menor comparado al número de usuarios perjudicados (aguas arriba, a la izquierda de s0) y mucho menor relativo a los usuarios del lado 22. Luego, es esperable que un requisito para que s0 esté al interior del sentido de menos carga es que la demanda aguas debajo de tal estación sea alta, relativa a la demanda aguas arriba de ella. Cuando se aplica la estrategia deadheading para minimizar el costo de los usuarios (tiempos de espera y de viaje) sujeto a mantener un tamaño de

2 Resultado reportado también por Eberlein et al.(1998, 1999) en el estudio de deadheading como estrategia de control. Señala que cuando las estaciones de alta demanda están en el inicio de la ruta, es improbable que la estrategia sea útil por el alto impacto en el tiempo de espera que tiene saltar estas estaciones

121

flota fijo, Tirachini y Cortés (2006) demuestran analíticamente usando funciones continuas para aproximar tanto la carga como la tasa de subida por estación a lo largo del corredor, que una condición suficiente para que la estación de inicio del servicio esté al interior del sentido menos cargado es que tanto el diagrama de carga como la demanda sean crecientes en aquel sentido. Cuando se considera además el costo de los operadores en la función objetivo y una matriz OD para la caracterización de los viajes, el problema es analíticamente intratable. A continuación se muestra un ejemplo en el que la estación de inicio de servicio s0 está al interior del sentido 1. Para esto, se mantuvo el diagrama de carga de Los Pajaritos en el sentido 2, mientras en el sentido 1 se modificó de forma tal que sea creciente. A continuación se muestra el perfil de carga y de subidas y bajadas generados. Para aplicar el modelo la matriz OD supuesta se generó mediante el método de Tsygalnitsky.

Tabla 4.16: Nuevo perfil de subidas y bajadas, Eje Los Pajaritos Total Lado 1 Lado 2

Paradero

Carga[pax/h]

1λ + [pax/h]

1λ − [pax/h]

Carga [pax/h]

1λ + [pax/h]

1λ − [pax/h]

1 203 203 0 0 0 141192 548 395 50 14119 3620 5003 974 466 40 10999 828 5004 1035 111 50 10671 1742 4005 1238 273 70 9329 323 3506 1478 330 90 9356 222 2507 1517 169 130 9384 323 3008 3770 2653 400 9361 3331 2509 3942 872 700 6280 444 20010 0 0 3942 6036 6036 0

Total 5472 5472 16869 16869

Perfil de carga

02000400060008000

10000120001400016000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Estación

Car

ga [p

ax/h

]

Sentido 1Sentido 2

Figura 4.8: Perfil de cargas, Tabla 4.9

122

Tabla 4.17: Variables relevantes estrategia deadheading

Operación

Ce [$/min]

Cv [$/min]

Co [$/min]

Ct [$/min]

ΔCe

ΔCv

ΔCo

ΔCt

Normal 3187 89625 35987 128799Estrategia 3261 89484 35421 128166

2.3% -0.2% -1.6% -0.5%

En el óptimo resultó s0=8, es decir en el sentido de menor demanda los vehículos que realizan deadheading sirven los dos últimos tramos. e) Comentarios finales Los resultados de aplicar la estrategia a un caso real, con un importante desbalance en la carga observada entre uno y otro sentido, muestran beneficios modestos en todas las situaciones exploradas, incluso en las más favorables para la estrategia (costos bajos de operación en deadheading y tiempo bajo de recorrido haciendo deadheading). Los beneficios totales nunca superaron el 2%, lo que se explica por la naturaleza misma de la estrategia, que considera el salto de estaciones por parte de un subconjunto de la flota, instancia en la que no se realiza servicio de pasajeros y se circula lo más rápido posible hasta la estación de inicio del servicio. Mientras se circula vacío cierta distancia (en el caso de Los Pajaritos, 6.6 km) se incurre sólo en costos, sin beneficio alguno hasta que se reanuda el servicio. Este costo extra, al que se puede denominar pérdida de frecuencia efectiva, es el que a la postre trasunta en resultados mediocres. Notar que este costo no está presente en la estrategia bucles, pues en tal caso todos los vehículos realizan servicio de pasajeros siempre, en ningún momento circulan vacíos (salvo, posiblemente, cuando se cambian de sentido de operación en las estaciones de inicio y término del bucle). Luego, se espera que en condiciones similares de desbalance en la demanda intra-extra bucle, la aplicación de esta estrategia presente beneficios más significativos, lo que a su vez incentiva el estudio de la estrategia integrada en casos en que se mezclan diferencias espaciales en la demanda, tanto entre sentidos como entre segmentos en un mismo sentido de operación. Si se observa los resultados de las simulaciones hechas en el presente trabajo (tablas 4.3, 4.5, 4.7, 4.9, 4.11 y 4.13), en todos los casos la estrategia reporta beneficios para los operadores al aplicar la estrategia (en el óptimo, caso n=1 en la Tabla 4.3), lo que trae consigo una reducción en el tamaño de flota. Luego, si éste se impone fijo e igual al del caso sin estrategia, es esperable que la estrategia entregue frecuencias mayores y por consiguiente, más beneficios para los usuarios. En el mismo eje Los Pajaritos, si se aplica la estrategia deadheading con el objetivo de minimizar la suma de los costos asociados a los tiempos de espera y de viaje sujeto a mantener el tamaño de flota fijo e igual al de operación normal (sin estrategia), Tirachini y Cortés (2006) encuentran beneficios de la estrategia ligeramente mayores, que van entre el 1% y el 5% dependiendo de los valores de los parámetros de entrada.

123

4.3 Estrategia bucles Ejemplo 2: Delle Site y Filippi (1998) El siguiente ejemplo se toma de Delle Site y Filippi (1998), trabajo en el que se desarrolla un modelo para la estrategia bucles y se aplica a un corredor ficticio, pero “representativo de las condiciones de Roma” según los autores. Para la operación en el período Punta de la Mañana entregan la siguiente matriz, obtenida mediante el método biproporcional:

29 14 64 4 3 3 1 1 25 14 15 70 4 4 3 1 1 27 5 5 49 3 3 2 1 0 19 8 7 4 18 15 12 4 3 111 74 63 35 0 5 4 1 1 37 4 4 2 0 0 5 2 1 50 1 1 0 0 0 3 20 16 636 8 6 3 0 0 26 5 7 262 16 14 7 0 0 58 11 0 77 13 11 6 0 0 47 9 0 10

Figura 4.9: Matriz OD Punta de la Mañana (Fuente: Delle Site y Filippi, 1998)

Perfil de carga

0200400600800

100012001400

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Estación

Car

ga [p

ax/h

] Sentido 1Sentido 2

Figura 4.10: Perfil de carga, Punta de la Mañana (Fuente: Delle Site y Filippi, 1998) Los parámetros de entrada asumen los mismos valores de la Tabla 4.2, con excepción del largo del corredor y el tiempo en movimiento, valores que ahora son L=8 km. (largo del corredor en la referencia) y R=2.5 min3.

3 También se adaptaron a este modelo los parámetros utilizados por Delle Site y Filippi en su simulación, no encontrándose beneficios con el régimen Poisson para ningún bucle posible, en oposición a los resultados que se reportan en el trabajo citado, donde con esta matriz al implementar la estrategia se encuentran desbeneficios en los tiempos de espera y de viaje, y beneficios en el costo del operador, pero respecto a una situación de operación normal con una frecuencia dada exógenamente, no optimizada como en el modelo desarrollado en esta tesis. Luego, ambas situaciones no son comparables.

124

Tanto en régimen programado como en Poisson, la naturaleza de los resultados es similar, por lo cual se analizarán conjuntamente. Las estaciones terminales del bucle son s0=7 y s1=10. En el caso programado se reportan los resultados sólo para el scheduling mode óptimo, que resultó ser n=1. Caso 1: Régimen programado, operación a intervalos regulares

Tabla 4.18: Resultados estrategia bucles, Ejemplo 2

Operación

Ce [$/min]

Cv [$/min]

Co [$/min]

Ct [$/min]

ΔCe

ΔCv

ΔCo

ΔCt

Normal 1949 5320 4208 11477Estrategia 1989 5100 3966 11055

2.1% -4.1% -5.8% -3.7%

Tabla 4.19: Variables relevantes estrategia bucles, Ejemplo 2

Operación

Frecuencias [veh/h]

Tamaños de flota [veh]

Capacidad[pax/veh]

f F K Normal 25 22 57

fA fB fA+fB FA FB FA+FB K Estrategia 18 18 36 16 6 22 48

Caso 2: Régimen Poisson

Tabla 4.20: Resultados estrategia bucles, Ejemplo 2

Operación

Ce [$/min]

Cv [$/min]

Co [$/min]

Ct [$/min]

ΔCe

ΔCv

ΔCo

ΔCt

Normal 3064 5081 5048 13193Estrategia 3093 4885 4873 12851

0.9% -3.9% -3.5% -2.6%

Tabla 4.21: Variables relevantes estrategia bucles, Ejemplo 2

Operación

Frecuencias [veh/h]

Tamaños de flota [veh]

Capacidad[pax/veh]

f F K Normal 31 27 45

fA fB fA+fB FA FB FA+FB K Estrategia 23 26 49 20 7 27 36

Al igual que para el ejemplo de la estrategia deadheading, al establecer un bucle en este corredor se producen beneficios en el costo asociado el tiempo de viaje y en el costo del operador y desbeneficios en el costo asociado al tiempo de espera. El beneficio total es de un 3.7% y un 2.6%, superiores a todos los casos del Ejemplo 1 de deadheading, a pesar de que de acuerdo a la matriz de la Figura 4.9 sólo el 49.8% de los usuarios están

125

concentrados en el área beneficiada por la estrategia, en oposición al 82% beneficiado por la aplicación de la estrategia deadheading al eje Los Pajaritos. Este hecho muestra el poder de la estrategia bucles para reducir tanto el costo de los usuarios como el de los operadores, poder que no tiene la estrategia deadheading por sí sola. Como se señaló en los comentarios finales del Ejemplo 1, la diferencia se explica por la pérdida de eficiencia que en la estrategia deadheading se produce al operar sin servicio parte de la flota por largos intervalos, situación que en la estrategia bucles no tiene lugar pues los vehículos realizan servicio durante todo su recorrido. En cuanto a las frecuencias óptimas, la estrategia cumple con lo esperado, aumentando en un 36% la frecuencia en el bucle y disminuyéndola un 28% en la zona fuera de éste (caso programado), es decir, entre las estaciones 1 y 7. En el régimen Poisson las frecuencias óptimas fA y fB son muy parecidas, en concordancia con el resultado obtenido para el régimen programado (scheduling mode, óptimo n=1). El tamaño de flota se mantiene constante en ambos regímenes de operación. Luego, el ahorro en el costo de los operadores se produce porque si se implementa la estrategia los buses son más pequeños, y el mismo número de buses se utiliza menos tiempo y recorre menos kilómetros. Ejemplo 3 El Ejemplo 2 representa un corredor con la demanda concentrada en un extremo, el cual puede ser una ruta radial que tiene el CBD en las proximidades de la estación 10, o bien una ruta alimentadora que en la estación 10 conecta con una troncal. En este ejemplo se estudiará un caso también de 10 estaciones pero con la demanda concentrada (CBD) en el centro de la ruta y no en un extremo.

Perfil de carga

0

500

1000

1500

2000

2500

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Estación

Carg

a [p

ax/h

]

Sentido 1Sentido 2

Figura 4.11: Perfil de carga, Ejemplo 3

Las subidas y bajadas se generaron arbitrariamente y se muestran a continuación:

126

Tabla 4.22: Perfil de carga y de subidas y bajadas, Ejemplo 3 Total Lado 1 Lado 2

Paradero

Carga[pax/h]

1λ + [pax/h]

1λ − [pax/h]

Carga [pax/h]

1λ + [pax/h]

1λ − [pax/h]

1 110 110 0 0 0 1442 195 90 5 144 7 1203 310 130 15 257 75 1084 445 165 30 290 60 1505 1520 1140 65 380 85 14206 2320 1000 200 1715 420 2907 2315 615 620 1585 715 1558 405 80 1990 1025 860 79 145 5 265 172 132 310 0 0 145 43 43 0

Total 3335 3335 2397 2397 Con estos elementos se genera la matriz OD a través del método de Tsygalnitsky:

5 8 9 13 10 17 41 4 2 7 7 8 11 8 15 35 4 2 40 35 13 17 13 23 55 6 3 20 18 22 24 19 33 77 8 4 17 15 19 34 150 265 624 67 35 15 13 16 29 348 267 630 67 36 20 18 23 40 484 131 529 56 30 21 18 23 40 494 134 130 52 28 3 3 3 6 72 19 19 5 5 1 1 1 2 23 6 6 2 3

Figura 4.12: Matriz OD, Ejemplo 3 Los parámetros de entrada asumen los mismos valores de la Tabla 4.2, con excepción del largo del corredor y el tiempo en movimiento que ahora son L=4 km. y R=0.8 min, respectivamente. a) Aplicación de la estrategia Los resultados obtenidos tanto para la operación normal como bajo la estrategia bucles se muestran en las tablas 4.23 y 4.24 para el régimen programado, y 4.25 y 4.26 para el régimen Poisson. Las estaciones óptimas de inicio y término del bucle son la 5 y la 8, como es esperable de la observación del diagrama de cargas (Figura 4.11). En el régimen programado el beneficio total máximo se alcanza para n=2.

127

Caso 1: Régimen programado, operación a intervalos regulares

Tabla 4.23: Resultados estrategia bucles, Ejemplo 3

Operación

Ce [$/min]

Cv [$/min]

Co [$/min]

Ct [$/min]

ΔCe

ΔCv

ΔCo

ΔCt

Normal 1972 5378 5966 13317Estrategia 1945 4614 5178 11736

-1.4% -14.2% -13.2% -11.9%

Tabla 4.24: Variables relevantes estrategia bucles, Ejemplo 3

Operación

Frecuencias [veh/h]

Tamaños de flota [veh]

Capacidad[pax/veh]

f F K Normal 65 23 39

fA fB fA+fB FA FB FA+FB K Estrategia 34 68 102 12 9 21 37

Caso 2: Régimen Poisson

Tabla 4.25: Resultados estrategia bucles, Ejemplo 3

Operación

Ce [$/min]

Cv [$/min]

Co [$/min]

Ct [$/min]

ΔCe

ΔCv

ΔCo

ΔCt

Normal 3324 4953 6844 15121Estrategia 3222 4237 6081 13539

-3.1% -14.5% -11.1% -10.5%

Tabla 4.26: Variables relevantes estrategia bucles, Ejemplo 3

Operación

Frecuencias [veh/h]

Tamaños de flota [veh]

Capacidad[pax/veh]

f F K Normal 78 27 34

fA fB fA+fB FA FB FA+FB K Estrategia 40 89 129 14 11 25 31

En primer lugar, es remarcable que en este ejemplo se obtienen beneficios porcentuales muy superiores al ejemplo anterior, con valores sobre el 10%. La diferencia más importante entre ambas situaciones es que aquí existe una mayor concentración de la demanda en la zona favorecida, con un 73% de los viajes hechos entre las estaciones 5 y 8. Notar que este valor es aún menor al desbalance que se produce en el Ejemplo 1 de deadheading, con beneficios ampliamente mayores. Por primera vez se producen beneficios también en el tiempo de espera, es decir, con este desbalance espacial en la demanda, los beneficios por el menor tiempo de espera de los

128

usuarios favorecidos superan el mayor tiempo de espera que experimentan los usuarios desfavorecidos, a pesar de que la frecuencia para éstos cae de 65 a 34 veh/h y de 78 a 40 veh/h. En el tiempo de viaje se producen importantes ahorros, heredados también del alto número de viajes que se beneficia (aquellos con origen y destino al interior del bucle), mientras los operadores pueden operar con dos vehículos menos. Al observar las frecuencias óptimas de la estrategia en el régimen Poisson, se tiene que fB es poco más del doble de fA, en concordancia nuevamente con la optimalidad de n=2 si se obliga a que el cuociente entre ambas variables sea un número entero. b) Análisis de sensibilidad Se decide analizar la sensibilidad de los resultados obtenidos por la estrategia ante cambios en variables clave en la definición del problema, como los valores del tiempo y del costo de los operadores. Al igual que en análisi hecho en deadheading, se estudia sólo la operación en régimen Poisson, por ser más general en la elección de las frecuencias óptimas fA y fB. i. Valores del tiempo Se sensibiliza con respecto a Pe de la misma forma que en el caso de deadheading. Dejando fijo el valor de Pv en 900 $/h, se calcula el valor de Pe de modo que el cuociente Pe/Pv sea 1, 2 y 3 (3 es el caso base, A). Los resultados se muestran a continuación:

Tabla 4.27: Resultados, análisis de sensibilidad Pe, estrategia bucles

Esc. Pe/Pv Operación Ce

[$/min]Cv

[$/min]Co

[$/min]Ct

[$/min]ΔCe

ΔCv

ΔCo

ΔCt

Normal 3324 4953 6844 15121A

3 Estrategia 3222 4237 6081 13540 -3.1% -14.5% -11.1% -10.5%

Normal 2467 5211 6275 13953B

2 Estrategia 2454 4416 5516 12386 -0.5% -15.3% -12.1% -11.2%

Normal 1415 5583 5637 12635C

1 Estrategia 1483 4688 4870 11041 4.8% -16.0% -13.6% -12.6%

129

Diferencia relativa costos

-20%

-15%

-10%

-5%

0%

5%

A B C

Caso

Dife

renc

ia

CeCvCoCt

Figura 4.13: Diferencia costos, análisis de sensibilidad Pe, estrategia bucles

Tabla 4.28: Variables relevantes, análisis de sensibilidad Pe, estrategia bucles

Esc.

Operación

Frecuencias [veh/h]

Tamaños de flota [veh]

Capacidad [pax/veh]

f F K A 78 27 34 B 70 25 37 C

Normal

61 23 43

fA fB fA+fB FA FB FA+FB K

A 40 89 129 14 11 25 31 B 34 83 117 12 11 23 35 C

Estrategia

27 77 104 10 11 21 42

La Tabla 4.27 indica que los ahorro en costos beneficios aumentan a medida que decrece Pe, por la misma razón que la esgrimida en el análisis de sensibilidad hecho para la estrategia deadheading. Notar que el mayor beneficio porcentual se explica por los mayores ahorros en el costo de los operadores y tiempo de viaje, pues en el caso del costo costo asociado al tiempo de espera el porcentaje de ahorro decrece a medida que Pe pierde peso (relativo a Pv) en la función de costos, produciéndose incluso desbeneficios en Ce cuando se igualan los valores de Pe y Pv (caso C). Con el decrecimiento de Pe, ceteris paribus, se produce una disminución del peso del costo de los usuarios en la función de costos, situación que es rescatada por el modelo, asignando cada vez menores frecuencias y mayores capacidades (que no afectan el costo de los usuarios), luego es esperable que disminuya Co y aumente Cv. Ce decrece a pesar de la disminución en la frecuencia, debido al menor valor de Pe. En el caso de las frecuencias óptimas con estrategia, se aprecia que a medida que disminuye el valor de fA y fB, (debido a la disminución de Pe), aumenta el cuociente entre las dos frecuencias (n en

130

el caso programado), premiando de esta forma cada vez más a los usuarios del segmento más cargado del corredor en comparación con los usuarios desfavorecidos por la estrategia. ii. Componente fija de los costos de operación, 0c y ,

0c . Se presentan tres escenarios en que cambia el parámetro de la componente fija en el costo del operador, 0c (base temporal) y ,

0c (base espacial), el escenario base (A) más los escenarios D y F, donde los coeficientes disminuyen en un 50% y aumentan en un 100%, respectivamente, como se muestra en la Tabla 4.29.

Tabla 4.29: Definición de escenarios, análisis de sensibilidad 0c y ,0c

Escenario0c

[$/veh-h]

,0c

[$/cupo-h] D 15 200 A 30 400 E 60 800

Tabla 4.30: Resultados, análisis de sensibilidad 0c y ,

0c , estrategia bucles

Esc.

Operación

Ce [$/min]

Cv [$/min]

Co [$/min]

Ct [$/min]

ΔCe

ΔCv

ΔCo

ΔCt

Normal 2351 4286 5006 11643D Estrategia 2280 3778 4428 10486

-3.0% -11.9%

-11.5% -9.9%

Normal 3324 4953 6844 15121A Estrategia 3222 4237 6081 13539

-3.1% -14.5%

-11.1% -10.5%

Normal 4701 5896 9512 20109E Estrategia 4554 4885 8488 17927

-3.1% -17.1%

-10.8% -10.9%

Diferencia relativa costos

-20%

-16%

-12%

-8%

-4%

0%

D A E

Caso

Dife

renc

ia

CeCvCoCt

131

Figura 4.14: Diferencia costos, análisis de sensibilidad 0c y ,0c , estrategia bucles

Tabla 4.31: Variables relevantes, análisis de sensibilidad 0c y ,0c , estrategia bucles

Esc.

Operación

Frecuencias [veh/h]

Tamaños de flota [veh]

Capacidad [pax/veh]

f F K D 110 35 24 A 78 27 34 E

Normal

55 22 47

fA fB fA+fB FA FB FA+FB K

D 56 126 182 18 14 32 22 A 40 89 129 14 11 25 31 E

Estrategia

28 63 91 11 9 20 43

Se observa que a medida que el costo de operación aumenta, la estrategia se hace ligeramente más atractiva, pues se producen beneficios totales cada vez mayores. Con respecto a cada una de las tres componentes, se observa que en Ce y Cv el beneficio porcentual crece, mientras en Co decrece, sin embargo el beneficio absoluto es cada vez mayor en las tres componentes. Mientras mayor es el valor del costo del operador, disminuyen las frecuencias óptimas, tanto en operación normal como con estrategia, lo que redunda en un costo en consumo de tiempo cada vez más grande. Esto queda especialmente claro en el caso particular analizado en el cual sólo la componente fija del costo del operador es considerada en la modelación, en que las frecuencias óptimas fA y fB (expresiones 3.92 y 3.93) dependen inversamente de c (= 0c ) y ,c (= ,

0c ) (recordar que para el caso de operación normal se llega a una forma cerrada para la frecuencia óptima que depende inversamente de 0c y ,

0c sin necesidad de hacer tal supuesto - ecuación 2.62). A pesar de la menor frecuencia, el costo de los operadores también se incrementa debido precisamente al mayor valor del costo unitario de operación. La disminución de la frecuencia va aparejada con un aumento en la capacidad vehicular, pues, como en todos los casos, la capacidad se define imponiendo tener capacidad de transporte suficiente para satisfacer la demanda en el segmento más cargado. Luego, si se disminuye la frecuencia necesariamente debe incrementar el tamaño vehicular. iii. Parámetro que multiplica a la capacidad en los costos de operación, 1c y ,

1c . Se sensibiliza con respecto al parámetro de la componente variable de los costos del operador, es decir, aquella que crece linealmente con el tamaño de los vehículos. Junto

132

con el caso base (A), se consideran los casos F en que los costos variables son nulos y en G donde se han cuadruplicado.

Tabla 4.32: Definición de escenarios, análisis de sensibilidad 1c y ,1c

Escenario

1c [$/veh-h]

,1c

[$/cupo-h]F 0 0 A 0.5 1 G 2 4

Tabla 4.33: Resultados, análisis de sensibilidad 1c y ,

1c , estrategia bucles

Esc.

Operación

Ce [$/min]

Cv [$/min]

Co [$/min]

Ct [$/min]

ΔCe

ΔCv

ΔCo

ΔCt

Normal 3363 4980 5906 14249 F Estrategia 3258 4260 5290 12808

-3.1%

-14.5%

-10.4%

-10.1%

Normal 3324 4953 6844 15121 A Estrategia 3222 4237 6081 13539

-3.1%

-14.5%

-11.1%

-10.5%

Normal 3215 4878 9635 17728 G Estrategia 3117 4173 8435 15725

-3.0%

-14.5%

-12.5%

-11.3%

Diferencia relativa costos

-16%

-12%

-8%

-4%

0%

F A G

Caso

Dife

renc

ia

CeCvCoCt

Figura 4.15: Beneficio relativo, análisis de sensibilidad 1c y ,

1c , estrategia bucles El resultado muestra que Ce y Cv disminuyen ligeramente en los tres escenarios, tanto en la operación normal como con estrategia, indicativo de un aumento en las frecuencias óptimas, mientras el costo del operador crece a una tasa relativamente mayor debido al aumento de los valores 1c y ,

1c . Los ahorros en Ce y Cv no varían en los tres escenarios, a la vez que se observa un mayor beneficio para la estrategia mientras mayor es el costo variable, resultado hecho que la estrategia cuando es aplicable siempre va a resultar en

133

buses más pequeños que en la operación normal, pues aumenta la frecuencia de operación precisamente en aquel segmento de mayor carga, frecuencia que es inversamente proporcional a la capacidad vehicular. Luego, mientras más caro sea proveer más capacidad vehicular, mayor será el ahorro si se aplica la estrategia. Como corolario, si se considera el modelo de costo de los operadores independiente del tamaño de los vehículos (escenario G) se está subvalorando la utilidad de la estrategia (para costos fijos iguales). A continuación se reportan los resultados referentes a los valores óptimos de las frecuencias, tamaño de flota y capacidad de los vehículos, en que se advierte que las dos primeras variables incrementan su valor (notar la levedad en el aumento de las frecuencias, que se grafica en la casi nula variación en los tamaños de flota óptimos). Por su parte, el ahorro en capacidad es de 3 pax/h en los 2 primeros escenarios y de 2 pax/h en el escenario F, ahorro que si bien es menor, al estar multiplicado por factores 1c y ,

1c mayores (Tabla 4.32) resulta en un ahorro mayor en el costo del operador y por consecuencia en el costo total.

Tabla 4.34: Variables relevantes, análisis de sensibilidad 1c y ,1c , estrategia bucles

Esc.

Operación

Frecuencias [veh/h]

Tamaños de flota [veh]

Capacidad [pax/veh]

f F K F 77 27 34 A 78 27 34 G

Normal

81 28 32

fA fB fA+fB FA FB FA+FB K

F 40 87 127 14 11 25 31 A 40 89 129 14 11 25 31 G

Estrategia

41 94 135 14 12 26 30

Si operar buses más grandes es más caro, entonces resulta más atractivo operar con un mayor número de buses de menor tamaño, es decir, si se consideran las componentes 1c y ,

1c en el costo de operación, los usuarios terminan siendo beneficiados a través de más vehículos en operación y por consiguiente, menores tiempos de espera y de viaje (tanto en la operación normal como al implementar la estrategia). c) Sensibilidad de la demanda En este acápite se estudia, a través de ejemplos, de que forma los cambios en la demanda afectan la composición y utilidad de implementar la estrategia. Se analiza separadamente tres situaciones: Aumento de la demanda global en el corredor, aumento de la generación de viajes en una estación específica y aumento de la atracción de viajes en una estación

134

específica. En todos los casos se reportarán los resultados del régimen programado, con el fin de poner atención al efecto de los cambios en la demanda en el scheduling mode n óptimo. Todos los cambios se ejecutan sobre la matriz de la Figura 4.12, empleando los mismos datos de entrada del caso base. i. Crecimiento de la demanda total Se examina el caso en que cada par origen distinto tiene una tasa de crecimiento constante, es decir, cada celda de la matriz OD se amplifica por el mismo factor α. Así, la matriz de la Figura 4.12 se amplifica por 2, 4 y 8, resultados que se reportan a continuación:

Tabla 4.35: Resultados, crecimiento de la demanda total Operación normal Estrategia Beneficios α

n

Ce [$/min]

Cv [$/min]

Co [$/min]

Ct [$/min]

Ce [$/min]

Cv [$/min]

Co [$/min]

Ct [$/min]

ΔCe

ΔCv

ΔCo

ΔCt

1 2 1972 5378 5966 13317 1945 4614 5178 11736 -1.4% -14.2% -13.2% -11.9%2 3 2211 11409 10928 24548 2364 9576 9374 21314 6.9% -16.1% -14.2% -13.2%4 3 2368 23679 20763 46810 2595 19979 17517 40091 9.6% -15.6% -15.6% -14.4%

8 3 2460 48370 40378 91208 2740 40992 33717 77449 11.4% -15.3% -16.5% -15.1% Los perfiles de carga tienen todos la misma forma, igual a la forma del perfil original (Figura 4.11). El factor α sólo provoca un escalamiento en los valores de las cargas por tramo. Este ejemplo tiene una alta concentración de viajes en el bucle (73%), es decir, al interior del segmento entre las estaciones 5 y 8 en ambos sentidos. Luego, cuando la matriz crece en su totalidad a una tasa constante, aumenta la diferencia absoluta entre los viajes intra bucle y aquellos con origen o destino fuera de éste, lo que se traduce en más viajes favorecidos por la estrategia, mayor frecuencia sólo para estos viajes (crecimiento de n) y mayores beneficios totales. Interesante es analizar la evolución que tiene cada componente de la función de costos cuando la demanda crece. Las frecuencias de operación para los usuarios son f en operación normal (ecuación 2.62) y fA o fA+fB con estrategia (expresiones 3.92 y 3.93 cuando los costos unitarios de operación son constantes). Si la cantidad de viajes entre cada par OD tiene un factor común α, tanto f como fA y fA+fB tienen la forma

21 2k kα α+ 4, donde k1 y k2 son constantes, distintas en los tres casos. Si se observa

ahora la forma de las funciones de costo en situación normal y con estrategia, se deduce que en el óptimo, el costo asociado al tiempo de espera adopta la forma

23 1 2k k kα α α+ que tiende a una constante cuando α crece, mientras el costo asociado

4 Es decir, en esta formulación las frecuencias óptimas dependen de la demanda con un exponente 1, herencia de la dependencia cuadrática del tiempo de viaje en la demanda. Si el tiempo de detención en estaciones fuese fijo independiente de la demanda, las frecuencias óptimas serían proporcionales a la raíz cuadrada de la demanda.

135

al tiempo de viaje y el costo del operador tienen la forma 2 23 1 2k k kα α α+ que tiende a

α, razón por la cual cada vez que se duplica α en la Tabla 4.35, Ce crece en un factor que tiende a 1, mientras Cv y Co crecen en un factor que tiende a 2, tal como se muestra a continuación:

Tabla 4.36: cuociente entre los costos por duplicación de la demanda Operación normal Estrategia Factor

( ) ( )1 2C Cα α Ce Cv Co Ct Ce Cv Co Ct ( ) ( )2 1C C 1.12 2.12 1.83 1.84 1.22 2.08 1.81 1.82 ( ) ( )4 2C C 1.07 2.08 1.90 1.91 1.10 2.09 1.87 1.88 ( ) ( )8 4C C 1.04 2.04 1.94 1.95 1.06 2.05 1.92 1.93

Cuociente entre costos, Estrategia

0

1

2

3

C(2)/C(1) C(4)/C(2) C(8)/C(4)

Caso

Cuoc

ient

e CeCvCoCt

Cuociente entre costos, Operación normal

0

1

2

3

C(2)/C(1) C(4)/C(2) C(8)/C(4)

Caso

Cuoc

ient

e CeCvCoCt

(a) Operación normal (b) Estrategia Figura 4.16: Variación del cuociente entre componentes de costos

La interpretación para este hecho viene dada porque al aumentar la demanda el modelo responde aumentando la frecuencia, de manera que el tiempo de espera tiende a ser contanste, situación que no puede darse en el tiempo de viaje o en vehículo pues el tiempo de recorrido entre estaciones es constante y no depende de la frecuencia, luego, crecerá en proporción directa con la demanda, lo cual también secederá con el costo del operador. ii. Generación de viajes (amplificación de filas) Se procede a estudiar la amplificación por una tasa constante α de los viajes originados en una estación específica, en los dos sentidos de operación. En la práctica, consiste en multiplicar por α toda la fila correspondiente a la estación bajo análisis. Casos como éste suceden en la práctica, cuando se introduce una entidad generadora de viajes en el entorno a una estación, por ejemplo un conjunto habitacional que genera gran cantidad de viajes en el período Punta de la Mañana. Cuando en una estación se generan más viajes y éstos se reparten por todo el corredor, una parte específica de la matriz OD (una fila) y consecuentemente la forma del perfil de

136

cargas. Éste último adopta distintas formas en función del factor de amplificación y de la ubicación de la estación, como se aprecia en la Figura 4.17 (si la estación está en un extremo, los viajes se reparten sólo en un sentido; si la estación está al centro, nuevos viajes se realizan hacia ambos lados). Todos estos efectos modifican la configuración óptima de un bucle y los beneficios totales asociados. Se analizarán dos casos:

• Aumento de los viajes que se generan en una estación que originalmente no pertenece al bucle.

En este caso se buscará el factor mínimo α que hace que tal estación ingrese al bucle. En la situación inicial el bucle está entre las estaciones 5 y 8. Se procede a amplificar los viajes originados en las estaciones 1, 2, 3 y 4, cuyos resultados se reportan en la tabla siguiente: Tabla 4.37: Generación de viajes, estaciones que no pertenecen al bucle original

Ce Cv Co Ct Fila

α

n

s0

s1

Operación [$/min] [$/min] [$/min] [$/min]

ΔCe

ΔCv

ΔCo

ΔCt

Normal 2040 6058 6531 146294 4 2 4 8 Estrategia 2067 5338 5896 13301 1.3% -11.9% -9.7% -9.1%

Normal 2133 7068 7234 164353 8 1 3 8 Estrategia 2139 6626 6847 15612 0.3% -6.3% -5.3% -5.0%

Normal 2054 7645 7449 171482 17 2 2 8 Estrategia 2125 7054 7212 16391 3.5% -7.7% -3.2% -4.4%

Normal 2025 8844 7982 188511 19 1 1 8 Estrategia 1997 8498 7845 18340 1.4% -3.9% -1.7% -2.7%

Los valores de α evidencian que a medida que nos alejamos del bucle, es más difícil que una estación ingrese a éste, pues se necesita que la tasa de crecimiento de sus viajes sea cada vez mayor, hasta tener que amplificarse por 19 en el caso de la estación 1. En todos los casos el bucle va desde la estación analizada hasta la estación 8. Con respecto a los resultados, se extrae que los beneficios son cada vez menores, resultado esperable a partir de la observación de los diagramas de carga, cada vez más dispersos, y del hecho que mientras más estaciones considere un bucle, menos beneficios porcentuales reporta (sobre este punto se volverá en el Ejemplo 4).

137

Perfil de carga, fila 4, alfa=4

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Estación

Carg

a [p

ax/h

]

Sentido 1Sentido 2

Perfil de carga, fila 3, alfa=8

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Estación

Carg

a [p

ax/h

]

Sentido 1Sentido 2

Perfil de carga, fila 2, alfa=17

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Estación

Carg

a [p

ax/h

]

Sentido 1Sentido 2

Perfil de carga, fila 1, alfa=19

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Estación

Carg

a [p

ax/h

]

Sentido 1Sentido 2

Figura 4.17: Diagramas de carga, amplificación de la generación de viajes.

• Aumento de los viajes en una estación al interior del bucle Para una única estación, se aplican distintos factores de amplificación y se observan las variaciones en los beneficios. Arbitrariamente se escoge la estación 7 para el ejercicio, duplicando el factor α de amplificación hasta llegar a 8.

Tabla 4.38: Generación de viajes, estación al interior del bucle original Ce Cv Co Ct Fila

α

n

s0

s1

Operación [$/min] [$/min] [$/min] [$/min]

ΔCe

ΔCv

ΔCo

ΔCt

Normal 1972 5378 5966 133177 1 2 5 8 Estrategia 1945 4614 5178 11736 1.4% 14.2% 13.2% 11.9%

Normal 2042 6630 7183 158557 2 3 5 8 Estrategia 2085 5496 6143 13724 -2.1% 17.1% 14.5% 13.4%

Normal 2069 9474 9837 213807 4 3 5 8 Estrategia 2087 7736 8119 17942 -0.9% 18.3% 17.5% 16.1%

Normal 2036 15616 15483 331357 8 4 5 8 Estrategia 2131 12329 12382 26842 -4.7% 21.0% 20.0% 19.0%

Como es lógico, los beneficios totales crecen a medida que aumentan los viajes generados por una estación al interior del bucle (el cual resulta estar entre las estaciones 5 y 8 siempre), pues aumenta la concentración de viajes en el bucle. Al aumentar el número de viajes al interior del bucle respecto a los demás, el modelo responde incrementando el valor de la frecuencia fB relativa a fA, lo que se refleja en el aumento del scheduling mode óptimo de 2 a 3 y 4. Mientras mayor es el desbalance de las demandas, menor es el

138

beneficio porcentual (o mayor el desbeneficio) en el costo asociado al tiempo de espera, mientras el costo asociado al tiempo de viaje sigue la tendencia opuesta.

Perfil de carga original

0

500

1000

1500

2000

2500

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Estación

Car

ga [p

ax/h

] Sentido 1Sentido 2

Perfil de carga, fila 7, alfa=2

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Estación

Carg

a [p

ax/h

]

Sentido 1Sentido 2

Perfil de carga, fila 7, alfa=4

0500

10001500200025003000350040004500

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Estación

Car

ga [p

ax/h

]

Sentido 1Sentido 2

Perfil de carga, fila 7, alfa=8

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Estación

Car

ga [p

ax/h

]

Sentido 1Sentido 2

Figura 4.18: Diagramas de carga, amplificación de la generación de viajes

iii. Atracción de viajes (amplificación de columnas) El mismo ejercicio anterior se realiza con cambios en la atracción de viajes, tanto en estaciones externas al bucle como en una al interior de éste, siguiendo las mismas ideas que en la aplicación hecha para la generación de viajes y considerando las mismas estaciones para el análisis. Un aumento en la atracción de viajes de cierta estación se produce, por ejemplo, cuando se crea un nuevo complejo industrial o de servicios en los alrededores de la estación que atraiga viajes en la Punta de la Mañana, o el mismo conjunto habitacional reseñado anteriormente, al cual regresan los trabajadores y estudiantes al terminar la jornada laboral. Para efectos prácticos, se procede a aumentar la atracción de viajes de una estación a tasa constante, es decir, a amplificar por un factor α constante toda la columna perteneciente a dicha estación en la matriz OD. En la modelación, la cantidad total de viajes atraídos por una estación no aparece explícitamente en la función de costos, como sí lo hace la tasa de generación de viajes tanto en el tiempo de espera como en el tiempo de viaje (tiempo de transferencia de pasajeros determinado por la subida) y en el costo de los operadores (tiempo de ciclo), luego, a priori los resultados podrían diferir.

139

• Aumento de los viajes atraídos en una estación que originalmente no pertenece al bucle.

Tabla 4.39: Atracción de viajes, estaciones que no pertenecen al bucle original

Ce Cv Co Ct Col.

α

n

s0

s1

Operación [$/min] [$/min] [$/min] [$/min]

ΔCe

ΔCv

ΔCo

ΔCt

Normal 2060 6038 6382 144804 5 2 4 8 Estrategia 2064 5311 5772 13147 -0.2% 12.0% 9.6% 9.2%

Normal 2117 6573 6680 153703 11 2 3 8 Estrategia 2151 5925 6264 14340 -1.6% 9.9% 6.2% 6.7%

Normal 2167 7198 7030 163952 15 2 2 8 Estrategia 2197 6642 6783 15622 -1.4% 7.7% 3.5% 4.7%

Normal 2178 8097 7382 176571 16 2 1 8 Estrategia 2186 7661 7271 17118 5.4% 1.5% 3.1% 5.4%

La tendencia observada es la misma que en el ejemplo de aumento en la generación: La amplificación de los viajes debe ser mayor en las estaciones lejanas al bucle para que aquellas ingresen a éste, siendo los beneficios totales menores que en el caso de las estaciones cercanas que producen bucles de menor largo.

Perfil de carga, columna 4, alfa=5

0

500

1000

1500

2000

2500

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Estación

Carg

a [p

ax/h

]

Sentido 1Sentido 2

Perfil de carga, columna 3, alfa=11

0

500

1000

1500

2000

2500

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Estación

Carg

a [p

ax/h

]

Sentido 1Sentido 2

Perfil de carga, columna 2, alfa=15

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Estación

Carg

a [p

ax/h

]

Sentido 1Sentido 2

Perfil de carga, columna 1, alfa=16

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Estación

Carg

a [p

ax/h

]

Sentido 1Sentido 2

Figura 4.19: Diagramas de carga, amplificación de la atracción de viajes

Existe una diferencia fundamental entre los perfiles de carga de las figuras 4.17 y 4.19; en 4.19 el bucle se produce debido a un aumento de la demanda en el sentido 2, mientras en 4.16, al amplificar las filas crece la carga del sentido 1, situación causada porque las estaciones de la izquierda en los diagramas están en el inicio del sentido 1. Luego, si se amplifica su generación, estos viajes necesariamente se reparten en mayor número hacia

140

la derecha, es decir, en el sentido 1, y si se amplifica su atracción, estos viajes provienen en su mayoría desde la derecha, es decir, en el sentido 2.

• Aumento de los viajes en una estación al interior del bucle (estación 7) De la misma forma que en generación, se toma la estación 7 para realizar este ejercicio.

Tabla 4.40: Atracción de viajes, estación al interior del bucle original Ce Cv Co Ct Col.

α

n

s0

s1

Operación [$/min] [$/min] [$/min] [$/min]

ΔCe

ΔCv

ΔCo

ΔCt

Normal 1972 5378 5966 133177 1 2 5 8 Estrategia 1945 4614 5178 11736 -1.4% -14.2% -13.2% -11.9%

Normal 2007 6126 6800 149337 2 2 5 8 Estrategia 1966 5230 5815 13011 -2.0% -14.6% -14.5% -12.9%

Normal 2037 7734 8536 183077 4 3 5 8 Estrategia 2074 6365 7153 15592 1.8% -17.7% -16.2% -14.8%

Normal 2038 11165 12153 253567 8 3 5 8 Estrategia 2054 9071 9866 20991 0.8% -18.8% -18.8% -17.2%

Nuevamente, los resultados difieren levemente con respecto a los de la Tabla 4.38, pero la tendencia es la misma, un incremento en los beneficios de la estrategia a medida que aumenta la atracción de viajes en una estación que pertenece al bucle. Esto queda claro de la observación de los diagramas, donde se aprecia que a medida que crece el factor de amplificación, mayor se hace la concentración de carga entre las estaciones 5 y 8.

Perfil de carga original

0

500

1000

1500

2000

2500

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Estación

Car

ga [p

ax/h

] Sentido 1Sentido 2

Perfil de carga, columna 7, alfa=2

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Estación

Carg

a [p

ax/h

]

Sentido 1Sentido 2

Perfil de carga, columna 7, alfa=4

0500

10001500200025003000350040004500

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Estación

Carg

a [p

ax/h

]

Sentido 1Sentido 2

Perfil de carga, columna 7, alfa=8

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Estación

Carg

a [p

ax/h

]

Sentido 1Sentido 2

Figura 4.20: Diagramas de carga, amplificación de la atracción de viajes

141

Ejemplo 4: Ancho del bucle y su influencia en los resultados En la práctica, pueden encontrarse diversos tipos de perfiles de carga con altas concentraciones de viajes en un segmento específico de una ruta o de una red de transporte público. Lo anterior motiva analizar la inclusión de un bucle, pudiéndose hallar estos picos en un extremo o al interior de las rutas. Sin embargo, los picos o puntas también se diferencian en su dispersión o ancho, encontrándose concentraciones muy pronunciadas en torno a pocas estaciones, con cargas que decaen abruptamente al alejarse del pico, así como otras configuraciones más amplias, en que la zona cargada abarca varias estaciones. De esta forma surge la pregunta de cómo afecta el ancho de la concentración de carga, y por consiguiente el ancho del bucle, a la utilidad o beneficio de implementar la estrategia. El rendimiento de la estrategia bucles como una herramienta de eficiencia para ahorrar recursos aportados por usuarios y operadores depende de varios factores, como en este trabajo se ha señalado, entre ellos: demanda, tiempos de viaje, valor del tiempo, costos de operación, etc., por lo que es difícil aislar el efecto sólo del ancho del bucle. El siguiente ejemplo (Figura 4.21) consiste en la aplicación de la estrategia a tres diagramas de carga distintos, con la particularidad de tener carga concentrada de 1000 pax/h en 2, 3 y 4 segmentos consecutivos cada cual, mientras que en los extremos del corredor la carga baja abruptamente a 100 pax/h. El diagrama es el mismo en ambos sentidos. Las tasas de subida y bajada fueron generadas de forma tal que en los tres casos la demanda total fuese la misma (2520 pax/h), y el porcentaje de viajes al interior de la zona de alta carga también sea el mismo (81%) para matrices generadas con el método de Tsygalnitsky. De esta forma, se trata de construir ejemplos que sean comparables para analizar la implicancia del ancho de la concentración en el pico.

142

Lado 1 Lado 2

Paradero

Carga [pax/h]

1λ + [pax/h]

1λ − [pax/h]

Carga[pax/h]

1λ + [pax/h]

1λ − [pax/h]

1 100 100 0 0 0 1002 100 10 10 100 10 103 100 10 10 100 10 104 100 10 10 100 10 105 1000 910 10 100 10 9106 1000 190 190 1000 190 1907 100 10 910 1000 910 108 100 10 10 100 10 109 100 10 10 100 10 10

10 0 0 100 100 100 0Total 1260 1260 1260 1260

Carga concentrada entre estaciones 5 y 7

Lado 1 Lado 2

Paradero

Carga [pax/h]

1λ + [pax/h]

1λ − [pax/h]

Carga[pax/h]

1λ + [pax/h]

1λ − [pax/h]

1 100 100 0 0 0 1002 100 10 10 100 10 103 100 10 10 100 10 104 100 10 10 100 10 105 1000 910 10 100 10 9106 1000 100 100 1000 100 1007 1000 100 100 1000 100 1008 100 10 910 1000 910 109 100 10 10 100 10 10

10 0 0 100 100 100 0Total 1260 1260 1260 1260

Carga concentrada entre estaciones 5 y 8

Lado 1 Lado 2

Paradero

Carga [pax/h]

1λ + [pax/h]

1λ − [pax/h]

Carga[pax/h]

1λ + [pax/h]

1λ − [pax/h]

1 100 100 0 0 0 1002 100 10 10 100 10 103 100 10 10 100 10 104 100 10 10 100 10 105 1000 910 10 100 10 9106 1000 100 100 1000 100 1007 1000 100 100 1000 100 1008 100 10 910 1000 910 109 100 10 10 100 10 10

10 0 0 100 100 100 0Total 1260 1260 1260 1260

Carga concentrada entre estaciones 4 y 8

Figura 4.21: Perfiles de carga, subida y bajada, distintos anchos de concentración de carga

A continuación de muestran los beneficios que entrega la aplicación de la estrategia en los tres escenarios y las estaciones de inicio y término del bucle, s0 y s1 respectivamente.

Perfil de carga

0

200

400

600

800

1000

1200

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Estación

Car

ga [p

ax/h

]

Perfil de carga

0

200

400

600

800

1000

1200

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Estación

Car

ga [p

ax/h

]

Perfil de carga

0

200

400

600

800

1000

1200

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Estación

Car

ga [p

ax/h

]

143

Tabla 4.41: Resultados estrategia bucles, distintos anchos de concentración de carga Operación normal Estrategia Beneficios

s0

s1

Ce [$/min]

Cv [$/min]

Co [$/min]

Ct [$/min]

Ce [$/min]

Cv [$/min]

Co [$/min]

Ct [$/min]

ΔCe

ΔCv

ΔCo

ΔCt

5 7 2422 2087 3921 8430 2046 1600 3061 6707 -15.5% -23.3% -21.9% -20.4%5 8 2421 2441 3929 8791 2177 2070 3359 7606 -10.1% -15.2% -14.5% -13.5%4 8 2428 2801 3930 9159 2299 2518 3597 8414 -5.3% -10.1% -8.5% -8.1%

Del resultado se desprende que, como era previsible, los bucles en los tres casos siguen exactamente la zona de concentración de la carga, y que mientras más ancho es el bucle, menos beneficios se obtiene de su implementación, resultado que se da en las tres componentes de la función de costos por separado y por consiguiente en el costo total. Cuando el mismo nivel de demanda está más concentrado espacialmente, los operadores incurren en un costo menor al servirla (recorren menos distancia). Por otro lado, de las ecuaciones (3.92) y (3.93) se observa que cuando el bucle es más angosto, la frecuencia fB aumenta más de lo que disminuye la frecuencia fA, por lo cual disminuye también el costo de los usuarios favorecidos, reducción que a la vista de los resultados de la Tabla 4.41 supera la pérdida de bienestar de los usuarios que no son favorecidos por el bucle (quienes son servidos sólo por la frecuencia fA)

4.4 Estrategia integrada Ejemplo 5 Se introduce una ligera modificación al Ejemplo 3 de bucles, consistente en un desplazamiento de la carga entre las estaciones 5 y 8 al segmento entre las estaciones 4 y 7 en el sentido 2. El diagrama de cargas y las tasas de subida y bajada se muestran a continuación. La matriz OD se genera con el método de Tsygalnitsky.

Tabla 4.42: Perfiles de carga, subidas y bajadas, Ejemplo 5 Total Lado 1 Lado 2

Paradero

Carga[pax/h]

1λ + [pax/h]

1λ − [pax/h]

Carga [pax/h]

1λ + [pax/h]

1λ − [pax/h]

1 110 110 0 0 0 1442 195 90 5 144 7 1203 310 130 15 257 75 1084 445 165 30 290 5 14305 1520 1140 65 1715 420 2906 2320 1000 200 1585 715 1557 2315 615 620 1025 785 1408 405 80 1990 380 215 79 145 5 265 172 132 310 0 0 145 43 43 0

Total 3335 3335 2397 2397

144

Perfil de carga

0

500

1000

1500

2000

2500

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Estación

Car

ga [p

ax/h

]

Sentido 1Sentido 2

Figura 4.22: Perfil de carga, Ejemplo 5

De esta forma, se desplaza el pico en el sentido 2 una estación, dejando la zona de alta carga entre las estaciones 4 y 7 en este sentido. Con los parámetros de la Tabla 4.2 (recordando que en este caso L=4 km. y R=0.8 min), el resultado señala que en el óptimo, se debe operar con un bucle entre las estaciones 4 y 8, con ahorros en los costos totales de un 9.2% (n=2) y un 8.0% para los casos programado y Poisson, respectivamente (Tabla 4.43). Es decir, a pesar de existir una carga baja entre las estaciones 4 y 5 en el sentido 1 y entre las estaciones 7 y 8 en el sentido 2, la estrategia de todos modos considera tales segmentos y los beneficia con una frecuencia mayor. Ahora bien, cabe recordar que el resultado depende del valor adoptado de los parámetros que definen el problema (Tabla 4.2); posiblemente tomando otros valores cambie la configuración de los segmentos en los que realiza servicio la flota B, en particular, el valor de los parámetros que hacen la diferencia entre operar en servicio y operar haciendo deadheading. Así, se procede a estudiar la configuración de las estaciones óptimas s0, s1, s2 y s3 para distintos valores del costo de operación en deadheading y en operación tradicional, en particular, se entregan al modelo distintos valores de ,

0dhc dejando fijo todo lo demás y se observa cómo cambia la estrategia. El resultado, para régimen programado y Poisson, es el siguiente:

145

Tabla 4.43: Resultados Ejemplo 5, estrategia integrada, régimen programado

Ce Cv Co Ct ,0dhc

s0

s1

s2

s3

Operación [$/min] [$/min] [$/min] [$/min]

ΔCe

ΔCv

ΔCo

ΔCt

Normal 1975 5368 5959 13302300

4

8

4

8 Estrategia 1978 4705 5397 12080

0.2%

-12.4%

-9.4%

-9.2%

Normal 1975 5368 5959 13302200

4

8

4

7 Estrategia 2014 4693 5374 12081

2.0%

-12.6%

-9.8%

-9.2%

Normal 1975 5368 5959 13302190

5

8

4

7 Estrategia 2027 4678 5370 12075

2.6%

-12.9%

-9.9%

-9.2%

Normal 1975 5368 5959 13302180

5

8

4

7 Estrategia 2024 4675 5364 12063

2.5%

-12.9%

-10.0%

-9.3%

Tabla 4.44: Resultados Ejemplo 5, estrategia integrada, régimen Poisson

Ce Cv Co Ct ,0dhc

s0

s1

s2

s3

Operación [$/min] [$/min] [$/min] [$/min]

ΔCe

ΔCv

ΔCo

ΔCt

Normal 3327 4944 6838 15109300

4

8

4

8 Estrategia 3254 4349 6304 13907

-2.2%

-12.0%

-7.8%

-8.0%

Normal 3327 4944 6838 15109200

4

8

4

8 Estrategia 3254 4349 6304 13907

-2.2%

-12.0%

-7.8%

-8.0%

Normal 3327 4944 6838 15109190

4

8

4

8 Estrategia 3254 4349 6304 13907

-2.2%

-12.0%

-7.8%

-8.0%

Normal 3327 4944 6838 15109180

5

8

4

7 Estrategia 3294 4341 6263 13898

-1.0%

-12.2%

-8.4%

-8.0%

En la primera fila de ambas tablas se presenta el caso base, en el cual el costo fijo de operación es ,

0 300dhc = $/bus-km, es decir, un 75% del costo en servicio. Luego, si se toma ,

0 200dhc = $/bus-km cambia la configuración de la estrategia en el caso programado, haciendo que la flota B en el sentido 2 realice servicio sólo hasta la estación 7 y luego haga deadheading de la 7 a la 8 para retomar el servicio en el sentido inverso. Con

,0 190dhc = $/bus-km las estaciones que determinan la estrategia cambian nuevamente, esta

vez en el sentido 1, en el cual el servicio ahora empieza sólo en la estación 5, mientras que para el caso Poisson, esta forma se alcanza sólo con ,

0 180dhc = $/bus-km. Notar que s0=5, s1=8, s2=4 y s3=7 es la configuración final, la cual no va a cambiar, incluso si se sigue reduciendo el valor de ,

0dhc pues de acuerdo a la Figura 4.22 es en estos segmentos donde está concentrada la carga (de hecho, el ejemplo fue construido con este objetivo). Sin embargo, los resultados muestran que recién cuando el costo fijo de realizar deadheading es la mitad que su homólogo en operación normal, comienzan a verse situaciones con salto de estaciones en el óptimo, es decir, vehículos realizando deadheading. Cuando el costo de realizar deadheading es parecido al costo de operar normalmente, el modelo señala que en el óptimo es preferible operar con un bucle (más

146

ancho), pues el ahorro en costo operacional de saltarse las zonas de baja carga es superado por el costo que significa para estos usuarios ser servidos por una frecuencia menor, fA. Ejemplo 6 Se realiza el mismo ejercicio que en el Ejemplo 5, esta vez moviendo aún más la zona cargada en el sentido 2, dejándola entre las estaciones 3 y 6 (el lado 1 no se modifica). Notar que en los tres casos se intenta preservar la forma de las curvas, se trata sólo de traslaciones (Figuras 4.11, 4.22 y 4.23), y la cantidad total de viajes se mantiene constante en cada sentido (Tablas 4.22, 4.42 y 4.45). Los resultados se reportan en las Tablas 4.46 y 4.47

Tabla 4.45: Perfiles de carga, subidas y bajadas, Ejemplo 6 Lado 1 Lado 2

Paradero

Carga[pax/h]

1λ + [pax/h]

1λ − [pax/h]

Carga [pax/h]

1λ + [pax/h]

1λ − [pax/h]

1 110 110 0 0 0 1442 195 90 5 144 7 1203 310 130 15 257 12 14704 445 165 30 1715 420 2905 1520 1140 65 1585 715 1556 2320 1000 200 1025 785 1407 2315 615 620 380 158 688 405 80 1990 290 125 79 145 5 265 172 132 310 0 0 145 43 43 0

Total 3335 3335 2397 2397

Perfil de carga

0

500

1000

1500

2000

2500

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Estación

Car

ga [p

ax/h

]

Sentido 1Sentido 2

Figura 4.23: Perfil de carga, Ejemplo 6

147

Tabla 4.46: Resultados Ejemplo 6, estrategia integrada, régimen programado

Ce Cv Co Ct ,0dhc

s0

s1

s2

s3

Operación [$/min] [$/min] [$/min] [$/min]

ΔCe

ΔCv

ΔCo

ΔCt

Normal 1978 5395 5980 13353300

4

8

3

7 Estrategia 2069 4819 5639 12527

4.6%

-10.7%

-5.7%

-6.2%

Normal 1978 5395 5980 13353250

4

8

3

6 Estrategia 2086 4795 5587 12468

5.5%

-11.1%

-6.6%

-6.6%

Normal 1978 5395 5980 13353200

4

8

3

6 Estrategia 2065 4774 5544 12383

4.4%

-11.5%

-7.3%

-7.3%

Normal 1978 5395 5980 13353180

4

8

3

6 Estrategia 2057 4766 5530 12353

4.0%

-11.7%

-7.5%

-7.5%

Normal 1978 5395 5980 13353170

5

8

3

6 Estrategia 2066 4747 5517 12330

4.4%

-12.0%

-7.7%

-7.7%

Tabla 4.47: Resultados Ejemplo 6, estrategia integrada, régimen Poisson

Ce Cv Co Ct ,0dhc

s0

s1

s2

s3

Operación [$/min] [$/min] [$/min] [$/min]

ΔCe

ΔCv

ΔCo

ΔCt

Normal 3333 4968 6860 15161300

4

8

3

8 Estrategia 3308 4498 6543 14349

-0.8%

-9.5%

-4.6%

-5.4%

Normal 3333 4968 6860 15161250

4

8

3

6 Estrategia 3346 4483 6469 14298

0.4%

-9.8%

-5.7%

-5.7%

Normal 3333 4968 6860 15161200

4

8

3

6 Estrategia 3331 4454 6434 14219

-0.1%

-10.3%

-6.2%

-6.2%

Normal 3333 4968 6860 15161180

5

8

3

6 Estrategia 3331 4440 6410 14181

-0.1%

-10.6%

-6.6%

-6.5%

Normal 3333 4968 6860 15161170

5

8

3

6 Estrategia 3327 4432 6400 14159

-0.2%

-10.8%

-6.7%

-6.6%

Cuando ,

0 300dhc = $/bus-km el resultado es distinto, pues tanto en régimen programado como en Poisson ya no se observa un bucle puro como en el ejemplo anterior, sino que una estrategia integrada. Siguiendo el Ejemplo 5, en este caso el bucle puro debiese estar entre las estaciones 3 y 8, sin embargo tal composición abarcaría una zona mayor de baja demanda (entre estaciones 3 y 5 en el sentido 1, y entre 6 y 8 en el sentido 2), obteniendo estos pasajeros un beneficio menor que el costo de operar haciendo deadheading en algunas de estas estaciones (entre estaciones 3 y 4 en el sentido 1 y entre 7 y 8 en el sentido 2 con el régimen programado). Es decir, mientras más separados estén las zonas de alta demanda, más caro es proveer un bucle que las abarque y comienza a ser atractivo saltarse algunos segmentos, en particular, los más lejanos a la zona de alta carga en cada lado.

148

Por otra parte, al aumentar la diferencia relativa entre el costo de realizar deadheading y el costo de operar realizando servicio, se observa la misma tendencia que en el ejemplo anterior, o sea, la estrategia se va acomodando cada vez más al perfil de carga para finalmente, cuando ,

0 170dhc = $/bus-km las estaciones relevantes son exactamente aquellas que limitan las zonas de alta demanda en ambas sentidos, esto es, s0=5, s1=8, s2=3, s3=6. Con respecto a los beneficios observados, el ahorro en los costos totales aumenta a medida que baja el costo de operar en deadheading y la estrategia se acomoda mejor al perfil de carga. En este ejemplo, el crecimiento en los beneficios es más acentuado que en el Ejemplo 5, pues ahora la reducción del largo de los segmentos servidos por la flota B es mayor, lo que redunda en más beneficios, resultado que concuerda con el análisis hecho sobre la influencia del ancho de un bucle en los beneficios (Ejemplo 4). En el Ejemplo 5, este angostamiento es más leve, por lo que los beneficios no sufren mayor alteración. Otro resultado interesante que surge al comparar los Ejemplos 5 y 6 es que los beneficios de la estrategia disminuyen a medida que se alejan los segmentos cargados de ambos sentidos. Comparando las tablas de beneficios de los Ejemplos 3, 5 y 6 (Tablas 4.23, 4.25, 4.43, 4.44, 4.46 y 4.47), se observa que los beneficios decrecen de 12% a 9% y 7% en el caso de régimen programado, y de 10% a 8% y 6% en el régimen Poisson (redondeando), resultados cuya base está en el creciente costo de operar haciendo deadheading a medida que las zonas de alta demanda se alejan. 4.5 Requerimiento de Información de la Demanda Los modelos de demanda desagregada desarrollados en el presente trabajo requieren disponer de una matriz OD al nivel de paraderos o estaciones para poder ser evaluados. En la práctica, esta matriz es difícil de obtener, contando los operadores generalmente sólo con los perfiles de carga o con las tasas de subidas y bajadas en paraderos. En este contexto, surge la interrogante de si realmente es necesario contar con la matriz para pronunciarse sobre la conveniencia del establecimiento de una estrategia como las estudiadas en esta tesis, o bien con información más agregada es posible estudiar estas estrategias sin incurrir en errores significativos en la definición del nivel óptimo de variables como las estaciones determinantes de la estrategia, frecuencias fA y fB y distribución de flota FA y FB. A continuación se estudia la aplicación de la estrategia integrada para distintos niveles de información disponible:

• Perfil de carga • Perfil de carga y demanda total • Perfiles de subida y bajada en estaciones.

149

En cada caso se generan múltiples matrices que satisfacen las restricciones impuestas por el tipo de la información dada. Para la generación de matrices se utilizan los métodos descritos en la literatura como confiables (ver Anexo A.2), además de una generación arbitraria. Para facilitar el trabajo de creación de matrices o arbitraria o manualmente, la dimensión de los corredores bajo análisis se restringe a 6 estaciones, lo que implica tener 30 pares OD. 4.5.1 Perfil de Carga En una matriz OD de n estaciones existen ( )1n n − incógnitas o pares OD en los que potencialmente se realizan viajes (los elementos de la diagonal son nulos pues nadie realiza viajes de una estación a la misma estación). Si sólo se conoce el perfil de carga se cuenta con n-1 ecuaciones por sentido (las ecuaciones de carga, expresión 3.77). Luego, para determinar la matriz OD se cuenta con ( )( )1 2n n− − grados de libertad, indicador de la diversidad de formas que puede tener la matriz para un mismo diagrama o perfil de cargas. El perfil de carga utilizado para esta aplicación es el siguiente:

Tabla 4.48: Perfil de carga, corredor de seis estaciones Paradero

Carga 1[pax/h]

Carga 2[pax/h]

1 40 02 70 903 200 1104 570 2605 1080 5006 0 550

Perfil de carga

0

200

400

600

800

1000

1200

1 2 3 4 5 6Estación

Car

ga [p

ax/h

]

Sentido 1Sentido 2

Figura 4.24: Perfil de carga, corredor de seis estaciones

150

Se construyeron tres perfiles de subida y bajada, hechos de forma tal de producir tres niveles distintos de demanda total, 1945 pax/h, 2485 pax/h y 2885 pax/h5, para cada uno de los cuales se generó una matriz Tsygalnitsky o biproporcional de semilla homogénea y una matriz arbitraria, es decir, seis matrices en total, a las que se les asigna los números 1 a 6 (matrices 1, 3 y 5 creadas con método Tsygalnitsky, matrices 2, 4 6 creadas arbitrariamente). Las matrices pueden ser encontradas en el Anexo A3. El valor de los parámetros es el siguiente:

Tabla 4.49: Valor de los parámetros, corredor de seis estaciones Parámetro Valor

n 6 R [min] 0.8 R’ [min] 0.45 L [km] 2.5 Pe [$/h] 2700 Pv [$/h] 900 c0 [$/h] 1800 c1 [$/h-cupo] 0.5

,0c [$/km] 400 ,1c [$/km-cupo] 1 ,0dhc [$/km] 300 ,1dhc [$/km-cupo] 0.5

b [s/pax] 5 η 0.9

Los resultados para los casos Poisson y programado se muestran en las Tablas 4.50 y 4.51, respectivamente

Tabla 4.50: Resultados, perfil de carga, régimen Poisson Matriz

Demanda

total fA

[veh/h] fB

[veh/h] FA

[veh] FB

[veh] ΔCt

1 1925 34 49 6 4 6.2% 2 1925 34 49 6 4 6.3% 3 2425 36 56 7 5 8.4% 4 2425 36 54 7 5 8.4% 5 2885 39 63 8 6 7.3% 6 2885 38 63 8 6 7.6%

5 el mismo diagrama puede generarse con distintas demandas, aumentando o disminuyendo las subidas y bajadas en las estaciones interiores según sea el caso

151

Tabla 4.51: Resultados, perfil de carga, régimen programado Matriz

Demanda

total fA

[veh/h] n

FA [veh]

FB [veh]

ΔCt

1 1925 30 1 6 3 7.0% 2 1925 30 1 6 3 7.1% 3 2425 26 2 5 5 8.9% 4 2425 26 2 5 5 9.0% 5 2885 27 2 6 5 8.2% 6 2885 27 2 6 5 8.5%

En todos los casos se produce un bucle con estaciones terminales s0=4 y s1=6. Se observan importantes cambios en el valor de las frecuencias óptimas en ambos casos; en el régimen Poisson las frecuencias crecen junto con la demanda, en concordancia con los modelos y expresiones analíticas derivadas en este trabajo. Existen diferencias considerables en las frecuencias óptimas, especialmente fB que está entre 49 y 64 veh/h, diferencias que se reflejan en cambios en la configuración de la flota e incluso en la flota total necesaria. Por otra parte, en el caso programado no se mantiene el scheduling mode, ya que en las matrices 1 y 4, n es 1, mientras en las demás n es 2. Luego, sólo con información del diagrama de cargas no se puede diseñar la oferta de la estrategia de manera confiable, pues valores distintos de la demanda total de viajes generan diferencias importantes en la frecuencia óptima y en el tamaño de flota. 4.5.2 Diagrama de Carga y Demanda Total En las Tablas 4.50 y 4.51, es llamativo que para las matrices en que la cantidad total de viajes es la misma, los resultados son muy parecidos en términos de frecuencias e iguales en lo referente a distribución de flota, razón por la cual se estudia el caso en que se conoce el diagrama de carga y la demanda total del corredor (la cual puede ser extraída del sistema de cobro de tarifa o de un dispositivo de conteo de pasajeros en la entrada de los vehículos). Se crean dos nuevas matrices (7 y 8, Anexo A4) que reproducen el diagrama de carga de la Figura 4.24 para una demanda fija de 2425 pax/h, tal como en las matrices 3 y 4. En el óptimo, nuevamente las estaciones determinantes son s0=4 y s1=6 en todos los casos. Los demás resultados son los siguientes:

Tabla 4.52: Resultados, perfil de carga y demanda total, régimen Poisson Matriz

Demanda

total fA

[veh/h] fB

[veh/h] FA

[veh] FB

[veh] ΔCt

7 2425 35 59 7 5 7.5% 8 2425 32 65 6 6 9.4%

152

Tabla 4.53: Resultados, perfil de carga y demanda total, régimen programado Matriz

Demanda

total fA

[veh/h] n

FA [veh]

FB [veh]

ΔCt

7 2425 25 2 5 5 8.4% 8 2425 25 2 5 5 10.4%

Al compararse los valores obtenidos mediante las matrices 3, 4, 7 y 8, en el caso programado, se observa resultados muy parecidos en términos de las frecuencias óptimas, en los cuatro casos el scheduling mode óptimo es n=2 y fA es 25 ó 26 veh/h, existiendo, eso sí, variaciones en los beneficios de implementar la estrategia debido a las diferencias que producen las matrices en la cuantificación del costo, total en las situaciones normal y con estrategia, en los cuatro casos. No obstante, en el régimen Poisson persisten diferencias de consideración entre las frecuencias fA y fB en las cuatro matrices, estando fB en el rango de 54 a 65 veh/h, además de no ser idéntica la distribución de flotas: en tres casos FA =7 veh y FB=5 veh, mientras que con la Matriz 8 se obtiene FA=FB= 6 veh. En conclusión, conocer la demanda total tampoco es suficiente para diseñar óptimamente la estrategia, cuando las frecuencias fA y fB no se restringen a ser la segunda un múltiplo de la primera. En cambio, en el caso programado, disponer de la demanda total además del diagrama de cargas sí puede representar información relevante para la determinación del problema, pues el hecho que la frecuencia fB sea un múltiplo de la frecuencia fA acota considerablemente el conjunto de valores óptimos para las variables del problema, haciendo más difícil que éstas se diferencien, bajo este nivel de conocimiento de la demanda. 4.5.3 Perfiles de subida y bajada por estación Caso 1: Bucle Cuando se conocen los perfiles de subida y bajada por estación, se puede utilizar el método biproporcional para la generación de matrices OD, algoritmo que se alimenta de matrices semilla que tienen la finalidad de representar una situación observada o las preferencias de los viajeros (para más detalles, ver Anexo A2 en el cual se describe el método). Para este ejemplo se crean seis matrices OD con el método biproporcional (matrices 2, 9, 10, 11, 12 y 13, anexo A3) a partir de seis semillas distintas, más tres matrices generadas arbitrariamente(matrices 14, 15 y 16). Las seis semillas se entregan y justifican en el Anexo A2. Los perfiles de subida y bajada utilizados se presentan a continuación:

153

Tabla 4.54: Perfiles de subida y bajada, corredor de seis estaciones, Caso 1 Lado 1 Lado 2

Paradero

Carga[pax/h]

1λ + [pax/h]

1λ − [pax/h]

Carga [pax/h]

1λ + [pax/h]

1λ − [pax/h]

1 40 40 0 0 0 902 70 60 30 90 50 703 200 165 35 110 50 2004 570 470 100 260 10 2505 1080 780 270 500 250 3006 0 0 1080 550 550 0

Total 1515 1515 910 910 los cuales reproducen el mismo diagrama de carga de la Figura 4.24, para una demanda total de 1515+910=2425 pax/h, nuevamente. El valor resultante de las variables relevantes se despliega en las Tablas 4.55 y 4.56, para los casos Poisson y programado, respectivamente.

Tabla 4.55: Resultados, perfiles de subida y bajada, régimen Poisson, Caso 1 Matriz

fA

[veh/h] fB

[veh/h] FA

[veh] FB

[veh] ΔCt

2 36 56 7 5 8.47% 9 36 56 7 5 8.42% 10 36 56 7 5 8.41% 11 36 56 7 5 8.45% 12 36 56 7 5 8.44% 13 36 56 7 5 8.41% 14 36 56 7 5 8.43% 15 35 59 7 5 7.53% 16 35 60 7 5 7.61%

Tabla 4.56: Resultados, perfiles de subida y bajada, régimen programado, Caso 1 Matriz

fA

[veh/h] n

FA [veh]

FB [veh]

ΔCt

2 26 2 5 5 8.92% 9 26 2 5 5 8.90% 10 26 2 5 5 8.90% 11 26 2 5 5 8.91% 12 26 2 5 5 8.90% 13 26 2 5 5 8.96% 14 26 2 5 5 9.00% 15 26 2 5 5 8.58% 16 26 2 5 5 8.72%

154

En el caso de régimen programado no hay diferencia alguna en el cálculo de las frecuencias y flotas óptimas, sólo diferencias menores en los beneficios que produce la estrategia. En el régimen Poisson, esta vez la distribución de la flota se mantiene constante en todos los casos (FA=7 veh, FB=5 veh) mientras las frecuencias óptimas son idénticas en las seis matrices generadas con el método biproporcional (fA=36 veh/h, fB=56 veh/h), encontrándose variaciones en las matrices inventadas arbitrariamente (matrices 14, 15 y 166), donde fA es 35 ó 36 veh/h y fB está en el rango entre 56 y 60 veh/h (diferencia de un 7%). En suma, sobre la base de este ejemplo, se observa que la disponibilidad de un perfil de subida y bajada por estación basta para definir el problema en el caso programado, y es una muy buena aproximación en el caso de régimen Poisson, en el que los tamaños de flota quedan definidos y se aprecian pequeñas variaciones en las frecuencias determinantes de la estrategia. Además, en ambos casos los beneficios pueden ser estimados con un margen de error pequeño. Las diferencias están sólo en las matrices arbitrarias. Luego, si se confía más en las matrices generadas mediante el método biproporcional, entonces el problema queda completamente determinado con este nivel de información de la demanda. No obstante, este ejemplo no es suficiente para concluir que en general puede confiarse en los perfiles de subida y bajada para definir la estrategia. Para desestimar o descartar una hipótesis, basta con encontrar un contraejemplo en que tal hipótesis no se cumpla, como fue hecho en 4.5.1 y 4.5.2. Sin embargo, para aceptar una hipótesis es necesario demostrar que se cumple en la generalidad, no sólo en un caso particular. En el Anexo A4 se avanza en esta dirección, pues se demuestra que en una matriz que presenta la mayor parte de los viajes concentrados en una zona específica (proclive para la implementación de un bucle o estrategia integrada) y para la cual se conocen sus perfiles de subida y bajada de pasajeros en estaciones, no se pueden hacer grandes cambios a los valores de sus celdas, sólo permutaciones menores pues tienen como cota el valor de los viajes fuera del bucle, de poca magnitud en relación con los viajes al interior de la zona de alta demanda. Es decir, si se conoce las tasas de subidas y bajadas en un corredor con demanda concentrada, pueden existir múltiples matrices OD detrás, sin embargo, éstas no pueden ser muy distintas precisamente por estar compuestas de grandes números concentrados en una zona específica y números menores en el resto de la matriz. Luego, si las matrices son parecidas, también lo serán los resultados que arroja la implementación de una estrategia que las utiliza. Dicho lo anterior, se desarrolla otro ejemplo en el que la estrategia resultante integra también deadheading, con el fin de observar si en este caso también basta con disponer de la tasas de subida y bajada en estaciones.

6 Para este ejemplo se generaron varias matrices manualmente; sólo se reportan aquellas en que se observan diferencias en los resultados con respecto a los casos de las matrices del método biproporcional, como son las matrices 15 y 16.

155

A continuación, se muestra gráficamente el comportamiento de las variables analizadas en los 16 casos, de donde es claro que la variabilidad los resultados disminuye a medida que la demanda se conoce más detalladamente, hasta ser casi estable cuando el perfil de subidas y bajadas es un dato.

Frecuencias óptimas, Poisson

30

35

40

45

50

55

60

65

70

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Matriz

Frec

uenc

ia [v

eh/h

]

fAfB

Frecuencias óptimas, programado

20

25

30

35

40

45

50

55

60

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Matriz

Frec

uenc

ia [v

eh/h

]

fAfB

Flotas óptimas, Poisson

3

4

5

6

7

8

9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Matriz

Flot

a [v

eh]

Flota AFlota B

Flotas óptimas, programado

3

4

5

6

7

8

9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Matriz

Flot

a [v

eh]

Flota AFlota B

Diferencia relativa costos, Poisson

-10%

-9%

-8%

-7%

-6%1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Matriz

Dife

renc

ia

Diferencia relativa costos, programado

-12%

-11%

-10%

-9%

-8%

-7%

-6%1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Matriz

Dife

renc

ia

Figura 4.25: Resultados, análisis de requerimiento de información de demanda

Carga Subida y bajadaCarga Subida y bajada Carga Subida y bajadaCarga Subida y bajada

Carga Subida y bajadaCarga Subida y bajada Carga Subida y bajadaCarga Subida y bajada

Carga Subida y bajadaCarga Subida y bajada Carga Subida y bajadaCarga Subida y bajada

156

Caso 2: Estrategia Integrada En un corredor también de seis estaciones, se diespone de los siguientes perfiles de subida, bajada y de carga.

Tabla 4.57: Perfiles de subida y bajada, corredor de seis estaciones, Caso 2 Lado 1 Lado 2

Paradero

Carga[pax/h]

1λ + [pax/h]

1λ − [pax/h]

Carga [pax/h]

1λ + [pax/h]

1λ − [pax/h]

1 30 30 0 0 0 110 2 50 25 5 110 30 540 3 540 495 5 620 50 210 4 930 490 100 780 750 20 5 120 20 830 50 30 10 6 0 0 120 30 30 0

Total 1060 1060 890 890

Perfil de carga

0

200

400

600

800

1000

1200

1 2 3 4 5 6Estación

Car

ga [p

ax/h

]

Sentido 1Sentido 2

Figura 4.26: Perfil de carga, corredor de seis estaciones, Caso 2

Al igual que en el ejemplo anterior, se generan seis matrices con el método biproporcional (matrices 17 a 22) más tres matrices arbitrarias (23, 24 y 25). El valor de las variables relevantes, para los casos de régimen Poisson y programado se detalla a continuación.

157

Tabla 4.58: Resultados, perfiles de subida y bajada, régimen Poisson, Caso 2 Matriz

fA

[veh/h] fB

[veh/h] FA

[veh] FB

[veh] ΔCt

17 29 45 6 5 5.67% 18 29 45 6 5 5.60% 19 29 45 6 5 5.66% 20 29 45 6 5 5.64% 21 29 46 6 5 5.81% 22 29 45 6 5 5.63% 23 30 45 6 5 5.54% 24 29 46 6 5 5.81% 25 28 48 6 5 6.47%

Tabla 4.59: Resultados, perfiles de subida y bajada, régimen programado, Caso 2

Matriz

fA [veh/h]

n

FA [veh]

FB [veh]

ΔCt

17 20 2 4 5 6.37% 18 20 2 4 5 6.28% 19 20 2 4 5 6.37% 20 20 2 4 5 6.36% 21 20 2 4 5 6.53% 22 20 2 4 5 6.35% 23 20 2 4 5 6.22% 24 20 2 4 5 6.57% 25 20 2 4 5 7.33%

Las estaciones relevantes de la estrategia fueron siempre las mismas, s0=3, s1=5, s2=2 y s3=4. Las frecuencias y flotas siguen una tendencia semejante a la del ejemplo anterior: resultados idénticos con matrices generadas mediante el método biproporcional y algunas variaciones en frecuencias óptimas para el régimen Poisson en matrices arbitrarias. En conclusión, de los ejemplos anteriores se desprende que:

• Las estaciones determinantes de la estrategia son las variables más estables del problema; se mantuvieron constantes siempre.

• La disponibilidad del diagrama de carga no es suficiente por sí solo para definir la

estrategia a aplicar en un corredor, en particular los resultados son fuertemente afectados por el valor de la demanda total.

• La información adicional de la demanda total acota el problema, especialmente en

el caso del régimen programado. Sin embargo en el régimen Poisson persisten diferencias incluso en la distribución óptima de las flotas FA y FB.

158

• La disponibilidad de los perfiles de carga parece ser una excelente aproximación a

la solución del problema cuando no se conoce la matriz OD. Funciona muy bien para matrices creadas mediante el método biproporcional, el cual es avalado por la literatura como un método confiable para producir matrices OD en corredores de transporte público, a la vez que genera algunas discrepancias en las frecuencias óptimas y en la estimación de los beneficios de la estrategia cuando se prueba con ciertas matrices generadas arbitrariamente. Sin embargo, las diferencias son de escasa magnitud, debido a que se demostró que cuando una matriz tiene los viajes concentrados en una zona y se conocen sus tasas de subida y bajada de pasajeros, sus elementos están sujetos sólo a cambios menores.

4.6 Resumen y Comentarios En este capítulo se ha presentado una serie de ejemplos para estudiar el comportamiento de las estrategias tratadas en el presente trabajo, con el objetivo de cuantificar los beneficios que éstas producen en situaciones reales e hipotéticas, además de identificar el tol que juegan parámetros claves en la definición y aplicabilidad de la estrategias, como los valores del tiempo, los costos de operación, el tiempo de recorrido, el largo de los viajes, etc. Adicionalmente, aspectos específicos a cada estrategia fueron también explorados por separado. En el caso de la estrategia deadheading, se estudió la posibilidad de que la estación de inicio de servicio de los vehículos que realizan deadheading esté al interior del sentido de menor demanda de pasajeros. Para bucles, se examinó la influencia del ancho del bucle en los resultados, así como también el impacto que producen cambios posibles en la demanda, por ejemplo, un aumento en la atracción y generación de viajes de una estación en particular, tanto al interior del bucle como fuera de éste. Por último, en la estrategia integrada se analizó la influencia de la separación espacial de los peak o concentraciones de demanda entre ambos sentidos. Entre los resultados más importantes están que la estrategia deadheading produjo beneficios modestos en todos los casos (menores a 2%), en oposición a la estrategia bucles que puede producir ahorros en costos del orden de 10% ó 15 % (hasta 20% en el caso más favorable), mientras los beneficios de la estrategia integrada están en un nivel intermedio entre los resultados que entregan sus dos estrategias constituyentes en su forma pura. En la parte final del capítulo se aborda el problema de la disponibilidad de información, en particular, el grado de detalle con que debe conocerse la demanda para poder establecer sin ambigüedad si una estrategia se justifica o no. Para esta tarea se emplearon métodos de generación de matrices OD para sistemas de transporte público cuando se dispone de información incompleta. Tres niveles de información fueron estudiados: perfil de carga, perfil de carga más demanda total, perfiles de subida y bajada. En todos los casos explorados, conocer el perfil de subida y bajada por estación fue suficiente para definir la estrategia, en términos de estaciones relevantes, frecuencias y tamaños de flota.

159

5. SÍNTESIS Y CONCLUSIONES En esta tesis se han presentado modelos analíticos para el estudio de distintas estrategias de asignación de flota en sistemas de transporte público urbano, cuyo objetivo es distribuir la oferta de transporte de manera más eficiente a través de un aumento de la frecuencia de operación en las zonas de mayor demanda por viajes. En particular se incluye el análisis de dos estrategias: deadheading, orientada a corredores que presentan una alta demanda en un sentido de operación en comparación con la afluencia de pasajeros en el otro, y bucles, cuyo objetivo es aumentar la frecuencia en un segmento específico de una línea de transporte público a través de la provisión de ciclos cortos por parte de la flota. En el Capítulo 1 se introduce y motiva el tema de esta tesis. Luego, en el Capítulo 2 se analiza la circulación en una línea de transporte público en operación normal, en la cual los vehículos circulan cíclicamente de terminal a terminal. Primero se muestran los principales modelos encontrados en la literatura para definir el nivel óptimo de variables clave como la frecuencia, el tamaño de vehículos o la distancia entre estaciones. Sobre esta base se presenta y resuelve un modelo de operación normal, el cual se utilizará posteriormente para medir los (des)beneficios de las estrategias de asignación de flota. La teoría desarrollada se sustenta en la modelación microeconómica del transporte público. Se plantea una función objetivo que toma en consideración los costos de usuarios y operadores, para encontrar el valor óptimo de variables críticas en la definición de la oferta de transporte público, como son la frecuencia y la capacidad o tamaño de los vehículos, elementos que en su conjunto determinan la capacidad de transporte del sistema. En el Capítulo 3 se hace la modelación de las estrategias deadheading, bucles, más la propuesta de una estrategia integrada deadheading-bucles, modelo general que tiene como casos particulares a las estrategias deadheading y bucles en su forma pura. A la frecuencia y el tamaño de los vehículos, se suman como variable la zona en la cual se implementará la estrategia, cuyos usuarios se verán beneficiados con una mayor frecuencia de operación, lo que redunda en menores tiempos de espera y de viaje para ellos. Tal zona se define a través de sus estaciones de inicio y término (variables discretas), es decir aquellas estaciones entre las cuales se hace deadheading y/o se establece un bucle. Multiples aplicaciones son reportadas en el Capítulo 4, donde mediante el uso de datos (tomados de situaciones reales o simulados) se pretende, primero, cuantificar los beneficios que produce cada estrategia en situaciones proclives a éstas, y luego, identificar el rol de factores claves en la definición del problema y sus resultados, como los valores del tiempo, el costo del operador, el tiempo de recorrido de los vehículos, etc. Los modelos planteados son de demanda paramétrica, es decir, no sujeta a cambios por variaciones en el nivel de servicio. En este contexto, la maximización del beneficio social se transforma en la minimización del costo total, aquel que abarca el costo de los operadores (costo de provisión del servicio) y el costo de los usuarios (tiempo). Al

160

proyectar el problema de esta forma, implícitamente se está suponiendo que al menos en el corto plazo la estrategia no atrae nuevos viajes al sistema. Desde el punto de vista analítico, en esta tesis se reportan varios aportes a la teoría en esta área. Primero, se ha considerado una función de costos del operador que considera tanto una componente espacial como una componente temporal, para poder de esta forma representar más estrictamente los distintos elementos del costo de operación. Ya en el terreno de las estrategias, se muestra que en todos los casos en los que se pudo llegar a una forma cerrada para las frecuencias óptimas, sobrevive una expresión del tipo “fórmula de la raíz cuadrada”, pero donde los usuarios favorecidos y desfavorecidos por la estrategia aparecen representados en términos separados. Cabe señalar que las fórmulas encontradas para las frecuencias óptimas fA y fB son condicionales en la elección de las estaciones de inicio y término de las estrategias, herencia de la adición de variables discretas al problema de optimización. Si bien los modelos desarrollados has sido concebidos para su aplicación en sistemas de buses, su uso es extensible a sistemas de trenes, especialmente el modelo de bucles (de hecho, el metro de Santiago implementa esta estrategia)1. Algunos resguardos que hay que considerar en la aplicación de la metodología expuesta a un sistema de trenes son que en tal caso, si no hay congestión el tiempo de detención en las estaciones suele ser independiente de la demanda, y por consiguiente el tiempo de viaje es un valor fijo. Además hay que recordar que la relación del tipo 0 1c c K+ para el costo de los operadores ha sido calibrada en sistemas de buses, por lo que esta forma funcional no necesariamente se tiene con la utilización de otra tecnología de transporte. Tanto del análisis abstracto hecho sobre los resultados analíticos como a partir de la experimentación numérica, puede obtenerse una serie de conclusiones relevantes sobre la naturaleza de las estrategias, así como también recomendaciones sobre su consideración en corredores reales de transporte público, a saber:

• La estrategia deadheading en su versión pura, intuitivamente se manifiesta como una herramienta interesante al ajustar la frecuencia a la demanda en corredores con demanda desbalanceada, a través del envío rápido y sin realizar servicio de algunos vehículos por el sentido de menos afluencia de pasajeros en un corredor de transporte público. Sin embargo, este mismo hecho limita la utilidad de la estrategia como un instrumento para reducir el costo de los usuarios y operadores, pues los vehículos operan en parte del corredor sin realizar servicio de pasajeros, es decir, proyectan una frecuencia que los usuarios no observan, al tiempo que incurren en costos de operación. Esta pérdida de la frecuencia efectiva hizo que en el ejemplo analizado (Sección 4.2, Ejemplo 1), en el cual existía un severo desbalance en la demanda, la estrategia nunca produjo beneficios superiores al 2%, aún con las condiciones más favorables para su implementación.

1 Deadheading es más difícil pues requiere adelantamiento, en el caso de un sistema de metro es más común la inyección de vehículos en estaciones intermedias de la red, para aumentar la frecuencia en los tramos con más demanda.

161

• La estrategia bucles no presenta la debilidad anteriormente identificada en la estrategia deadheading, lo que redunda en mayores beneficios tanto para operadores como para usuarios. Los ejemplos analizados sugieren, entre otras cosas, que:

o La estrategia puede producir beneficios, tanto en situaciones en que la

demanda está concentrada en un extremo del corredor (línea radial) como en aquellas en las cuales la concentración de viajes se producen en su interior (línea cruza el CBD).

o Los beneficios dependen en gran medida del desbalance entre la demanda

de viajes al interior y exterior del bucle, no obstante, aún cuando la concentración de viajes no era tan pronunciada (Ejemplo 4.2, 49.8% de los viajes al interior del bucle) la estrategia produjo beneficios superiores a los de deadheading.

o Ante un crecimiento homogéneo de la demanda en el corredor, la

estrategia produce mayores beneficios, al igual que si aumentan la atracción o la generación de viajes en una estación al interior del bucle. Si el número de viajes atraídos o generados en una estación fuera del bucle aumenta, esta estación puede incluso ingresar al bucle, pero los beneficios son siempre menores que en el caso original (demanda base). Además, mientras más alejada esté una estación del bucle, más difícil es que ingrese a éste.

o El grado de concentración espacial de la demanda es un factor

fundamental. A mayor concentración espacial de los viajes (bucle angosto), más beneficios se obtienen.

• La estrategia integrada emerge como una buena alternativa cuando se presentan

perfiles de carga mixtos, en los cuales puede existir un desbalance en la demanda entre e intra sentidos. A la luz de los resultados se hacen las siguientes reflexiones:

o En general, al ser una estrategia que mezcla bucles y deadheading, los

beneficios que pueden obtenerse de ella están en un nivel intermedio: son mayores que en deadheading pues no se incurre en un costo tan alto de circulación de vehículos vacíos, y menores que en bucles, pues aunque sea en un segmento pequeño, existen vehículos que circulan sin realizar servicio de pasajeros.

o A medida que las concentraciones de demanda en cada sentido se separan

espacialmente, la estrategia pierde efectividad (mayores costos de deadheading).

162

o La configuración de las zonas en las que se aumenta la frecuencia está fuertemente influenciada por el valor de los costos de hacer deadheading relativos a los costos en operación normal. Así, mientras más reducido sea el valor de los costos de operación cuando se circula vacío, más se diferencian las estaciones que definen la estrategia en uno y otro sentido (s0 distinta de s2 y s1 distinta de s3); en contrapartida, mientras menos atractivo sea el corredor para realizar deadheading, en el óptimo la estrategia resulta más parecida a un bucle.

• A pesar de que en principio los modelos desarrollados se alimentan de una matriz

OD de viajes al nivel de estaciones o paraderos para su formulación, se muestra que en situaciones beneficiosas para la implementación de estrategias de asignación de flota, en la práctica el conocimiento sólo de las tasas de subida y bajada por estación parece ser suficiente para la definición de una estrategia óptima. Esta afirmación se basa en los ejemplos numéricos hechos en la Sección 4.5 y en la demostración sobre la poca varianza entre las matrices OD que satisfacen las restricciones impuestas por los perfiles de subida y bajada por estación (Anexo A4). Sin embargo, esto no descarta que pueda existir alguna situación especial en la cual se aprecien diferencias mayores en la configuración óptima de la estrategia a partir de distintas matrices, en particular, en aquellos casos donde la estrategia reporta pocos beneficios. Cabe señalar que en ninguno de los experimentos desarrollados en el marco de esta tesis (más allá de los dos reportados), tal situación se observó.

• En todos los ejemplos desarrollados, las estrategias tuvieron como resultado una

capacidad vehicular óptima menor que en el caso de operación normal, esto pues las estrategias de asignación de flota examinadas aumentan la frecuencia de operación precisamente en la zona de mayor carga del corredor, valor que se relaciona inversamente con la capacidad de los vehículos. Notar que este resultado se produjo a pesar de que los vehículos de la flota A circulan con una carga mayor que los de la flota B.

• El resultado del párrafo anterior implica que un modelo que considere el costo del

operador como una función creciente de la capacidad de los vehículos predice mayores beneficios para las estrategias que un modelo en el cual los costos unitarios de operación son valores constantes.

Finalmente, cabe señalar que la teoría desarrollada en este trabajo puede ser extendida de diversas maneras. A continuación se entregan algunas líneas de investigación futura:

• Considerar al hacinamiento como una variable que afecta el costo de los usuarios. Este elemento puede ser tomado en cuenta tanto en el tiempo de espera como en el tiempo en vehículo. En el primer caso, a través de la dificultad que tienen los usuarios de abordar los vehículos cuando éstos circulan a niveles de ocupación cercanos a su capacidad. En casos como éste, existe la posibilidad de que no todos

163

los usuarios que esperan en una estación sean capaces de subir al primer vehículo que llega y deban esperar un intervalo más, fenómeno que en modelos determinísticos como el aquí expuesto trata de ser prevenido a través de la imposición de un factor de seguridad que permite tener capacidad de reserva en los vehículos. En cuanto al costo asociado al tiempo en vehículo, en la práctica se observa que el hacinamiento es un factor crucial en la comodidad del viaje, situación que puede ser absorbida por un factor que aumente la disposición a pagar de los usuarios por disminuir su tiempo en vehículo, a medida que el vehículo está más cargado.

• Particularmente útil para el rendimiento de la estrategia deadheading es la

posibilidad de que, al inicio de su implementación, los vehículos estén dispuestos de manera asimétrica en los terminales, es decir, que haya más vehículos en el terminal de inicio del sentido de mayor demanda, lo cual reduce las necesidades de desplazamiento haciendo deadheading (esto lo que realmente hacen los operadores de transporte público al iniciar la jornada). Su consideración en modelos futuros podría hacer que la estrategia reporte más beneficios.

• El hecho que todo el análisis esté restringido a una línea aislada puede ser

extendido de múltiples formas. Por ejemplo, considerar la existencia de líneas paralelas competitivas, como en Chang y Schonfeld (1991). La aplicación de estrategias de asignación de flota también puede ser incluida en la etapa de diseño de una red de transporte público, por ejemplo, en el análisis comparativo entre establecer líneas directas o líneas con trasbordos hecho por Jara-Díaz y Gschwender (2003b). Por otra parte, resulta interesante estudiar un sistema en el cual dos o más líneas se intersectan en estaciones de trasbordo o tienen terminales en común, donde es posible cambiar a los vehículos de una línea a otra si las necesidades de un momento lo ameritan (técnica denominada interlineado). En tales sistemas, el objetivo es programar eficientemente los semi-ciclos de los vehículos, ya que no éstos no están restringidos a ir y volver en una misma línea o corredor.

• También se puede explorar la posibilidad de que los vehículos que operen de

acuerdo a una estrategia como bucles y aquellos que realicen servicio de pasajeros en todo el corredor tengan tamaños distintos, en particular, que los segundos sean más grandes que los primeros por el mayor requerimiento de carga al que se ven sometidos.

• Por otra parte, si se considera que el tamaño de los vehículos está fijo, es decir, no

es una variable de optimización, se puede dar que los vehículos no son capaces de acomodar toda la demanda en el tramo más cargado de la línea, aumentando el tiempo de espera de los pasajeros. Este problema se puede tratar con una formulación del tiempo de espera que, además de depender de la frecuencia, sea función del grado de ocupación de los vehículos y del número de personas esperando en la estación por un vehículo (Olfield y Bly, 1988; Cominetti y Correa, 2001).

164

• En cuanto al tratamiento analítico, la generalización a modelos de demanda

elástica o endógena parece ser el siguiente paso, además de considerar un enfoque multiperíodo para analizar si las decisiones tomadas cuando se implementan las estrategias, es decir, en las horas punta, son compatibles con los períodos de baja demanda, en particular, el tamaño de los vehículos y el tamaño de flota. Un enfoque multiperíodo es también interesante si se considera que en los distintos períodos los parámetros del problema pueden ser distintos, particularmente, los costos de operación: el costo de poner en circulación un vehículo más es generalmente mayor en el período punta que en fuera de punta, especialmente si tal vehículo debe ser adquirido o se deben contratar más conductores, situación que no sucede en los períodos valle donde hay flota sin utilizar y mayor disponibilidad de conductores y operarios.

• Sobre el análisis hecho de los requerimientos de información en la demanda, sería

útil contar con una base empírica, es decir, matrices observadas, y utilizar sus mismos perfiles de subida y bajada para crear matrices arbitrarias y mediante el método biproporcional, con el objetivo de validar con casos reales la veracidad de la presunción de suficiencia de los perfiles de subida y bajada para el estudio de las estrategias.

• Por último, es relevante comparar los resultados de los modelos desarrollados con

un sistema simulado, en el que se calculen valores como los tiempos de espera y en vehículo, pasajero a pasajero. De esta forma, es posible tener una estimación de cuán realista son la representación y cuantificación de los costos en los que incurren operadores y usuarios, que se hace en este trabajo.

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ANEXOS A1. MÉTODO DE NEWTON Sea 3f C∈ : n → , una función de varias variables que se quiere minimizar. Supongamos que xk es un punto para el cual pueden ser evaluados ( )kf x , ( )kf x∇ y

( )kH x , donde ( )f∇ ⋅ y ( )H ⋅ representan el gradiente y el Hessiano de f, respectivamente. La idea detrás del Método de Newton es que f puede ser aproximada localmente por una función cuadrática, de acuerdo a una serie de Taylor truncada:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )12

Tk k k k k kf x f x f x x x x x H x x x= + ∇ − + − − (A1.1)

El lado derecho de (A.1) se minimiza en el valor

( ) ( )11

Tk k k kx x H x f x

−+ = − ∇⎡ ⎤⎣ ⎦ (A1.2)

Luego, el método propone un algoritmo iterativo para converger a un mínimo local, en que partiendo de un punto xk se calcula el punto siguiente mediante (A1.2) hasta que

1k kx x+ ≈ . Se puede demostrar que si *x es un mínimo local de f y el Hessiano ( )*H x es definido

positivo, si se parte de un punto suficientemente cercano a *x entonces el Método de Newton converge a *x . Para más detalles, ver Luenberger (1984).

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A2. SOBRE LOS MÉTODOS UTILIZADOS PARA GENERAR MATRICES ORIGEN-DESTINO EN CORREDORES DE TRANSPORTE PÚBLICO 1. Antecedentes En la práctica, es difícil contar con matrices de viajes al nivel de paraderos o corredores, para líneas de transporte público. Es así como para modelar el funcionamiento del sistema, los planificadores tienen dos alternativas para obtenerla: medirla a través de encuestas, o estimarla a partir de información más agregada disponible (perfil de carga, tasas de subidas y bajadas) y/o utilizando alguna matriz conocida que se quiera actualizar. En el primer caso, Furth y Navick (1992) señalan que la encuesta tradicional en que a los pasajeros se les hace llenar un formulario preguntándose por el origen y el destino de su viaje tiene muchos sesgos, debido principalmente a la baja tasa de respuesta, problema que es superado por la “encuesta sin preguntas” en la cual a cada pasajero se le entrega una tarjeta con un código u otra identificación de la estación donde inició su viaje, tarjeta que debe ser entregada en la estación de destino. Este tipo de encuesta es más confiable, pero su uso no es común debido al costo de tener encuestadores en cada puerta en todas las estaciones o paraderos. Así, los autores señalan que es más confiable estimar una matriz a partir de los conteos de subida y bajada, que utilizar una matriz expandida a partir de una muestra o encuesta de pequeña escala. Para estimar matrices cuando se cuenta sólo con las tasas de subida y bajada por estación, el método recursivo de Tsygalnitsky ha demostrado ser superior a otros cuando se contrasta con matrices reales. Este método distribuye las bajadas en cada estación proporcionalmente a la cantidad de personas que es elegible para bajar desde cada estación de origen. Para ser elegible, los pasajeros deben haber viajado una distancia mínima (definida exógenamente, el mínimo es la distancia entre dos estaciones consecutivas) y no haber descendido del vehículo en una estación anterior. Para más detalles, ver Furth y Navick (1992). Si además se cuenta con una matriz encuestada de menor tamaño o una matriz observada en el pasado, Furth y Navick se inclinan por utilizar el método biproporcional, el cual ha sido utilizado en varios contextos con resultados aceptables. Este método es alimentado por una matriz semilla, la cual se hace cargo de la preferencia de los usuarios, es decir, si éstos utilizan el sistema de transporte público más frecuentemente para hacer viajes cortos, largos o de mediana longitud, o bien puede ser una matriz encuestada. Si vij son los elementos de la matriz semilla, Ai es el factor de balance de la fila i y Bj es el factor de balance de la columna j, entonces el número de viajes con origen en i y destino en j, Vij, es de la forma

ij i j ijV A B v= (A2.1) donde los factores de balance se calculan de forma tal que se cumpla con las restricciones impuestas por las tasas de subida y bajada. Furth y Navick demuestran que el método

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biproporcional con matriz semilla homogénea (todas las celdas tienen 1’s) colapsa al método de Tsygalnitsky. Navick y Furth (1994) señalan que en sistemas de buses urbanos prevalecen los viajes de mediana longitud, pues para viajes cortos la caminata es superior y los viajes largos se evitan debido a la desutilidad del tiempo de viaje. Calibran distribuciones gamma de la distancia de viaje para líneas de buses en Boston y Miami, valores que utilizan en la matriz semilla encontrando que las matrices O/D así generadas tienen gran similitud con las matrices reales. Esta hipótesis no se puede adoptar como cierta en otros sistemas de transporte público, en particular en aquellos en los que los usuarios no tienen sustitutos al transporte público para viajes extensos, utilizando éste a pesar de los largos tiempos de viaje. 2. Método empleado en el Capítulo 4 Para generar las matrices utilizadas en la Sección 4.5.3 a partir de perfiles de subida y bajada dados, se utiliza el método biproporcional. Como en principio no se conoce la propensión de los usuarios respecto al largo de los viajes, en este trabajo se exploran seis distintas matrices semilla. Se trata de abarcar una amplia gama de posibles preferencias de los usuarios e introducir varianza en las matrices que son estimadas. A continuación se entrega tales semillas, todas de 6x6 pues ésta es la dimensión de las matrices en la Sección 4.5.3. Semilla 1: Homogénea No se conoce propensión o preferencia hacia el largo de los viajes

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Semilla 2: Viajes cortos Da más peso a los viajes de corta longitud

10 8 6 4 2 10 10 8 6 4 8 10 10 8 6 6 8 10 10 8 4 6 8 10 10 2 4 6 8 10

172

Semilla 3: Viajes largos Da más peso a los viajes extensos

2 4 6 8 10 2 2 4 6 8 4 2 2 4 6 6 4 2 2 4 8 6 4 2 2 10 8 6 4 2

Semilla 4: Viajes en el extremo Da mayor preferencia a los viajes en los extremos del corredor, esto es entorno a las estaciones terminales 1 y 6.

16 8 4 2 1 16 4 2 1 2 8 4 1 2 4 4 2 1 4 8 2 1 2 4 16 1 2 4 8 16

Semilla 5: Viajes al interior Da mayor propensión a los viajes en el centro del corredor.

1 1 1 1 1 1 4 4 2 1 1 4 8 4 1 1 4 8 4 1 1 2 4 4 1 1 1 1 1 1

Semilla 6: Viajes de mediana longitud Sigue el supuesto de Navick y Furth (1994) dando más peso a los viajes de largo medio.

1 3 10 3 1 1 1 3 10 3 3 1 1 3 10 10 3 1 1 3 3 10 3 1 1 1 3 10 3 1

173

A3. MATRICES GENERADAS EN EL CAPÍTULO 4. A continuación se despliegan las distintas matrices empleadas en la Sección 4.5, numeradas del 1 al 26. Matriz 1

20 9 5 1 6 40 21 11 2 15 9 11 64 11 85 2 2 7 51 399 2 3 10 15 575 37 44 154 235 80

Matriz 2

20 10 0 3 7 40 20 0 2 28 0 20 80 30 50 0 5 5 30 420 10 5 10 5 575 40 30 155 245 80

Matriz 3

30 5 3 1 1 50 30 15 7 8 18 32 82 39 44 1 1 8 222 247 10 18 96 125 780 10 18 96 125 300

Matriz 4

30 1 1 1 7 50 34 1 24 1 30 20 98 65 2 2 1 7 180 290 3 43 180 24 780 5 6 13 226 300

Matriz 5

33 6 1 0 0 80 51 12 0 1 14 86 172 2 17 3 18 229 49 511 0 2 27 460 560 0 0 2 28 520

174

Matriz 6 35 2 1 1 1

80 58 3 2 2 3 97 186 2 2 3 1 246 45 515 2 1 2 485 560 2 1 2 5 540

Matriz 7

20 0 0 5 15 55 20 10 5 15 0 65 40 10 100 0 0 70 150 270 5 0 130 210 680 30 10 15 100 395

Matriz 8

0 0 0 10 30 0 0 0 0 30 30 0 0 30 100 35 10 65 220 150 20 10 65 300 770 5 0 50 50 445

Matriz 9

30 5 3 1 1 50 30 15 7 8 18 32 82 39 44 1 1 8 222 247 10 18 96 125 780 10 18 96 125 300

Matriz 10

30 6 3 1 1 50 29 16 8 7 20 30 81 41 43 1 2 7 221 249 11 20 97 121 780 8 18 96 129 300

Matriz 11

30 6 3 1 1 50 29 18 8 6 21 29 80 45 40 1 2 7 216 254 10 22 103 115 780 8 17 90 135 300

175

Matriz 12 0 30 3 1 1 5 50 0 32 12 5 11 11 39 0 87 38 41 0 1 9 0 226 244 6 11 101 132 0 780 22 19 90 118 300 0

Matriz 13

30 3 1 1 5 50 32 7 10 11 13 37 92 35 38 0 0 9 224 246 6 17 98 129 780 21 16 92 121 300

Matriz 14

30 6 5 0 0 50 29 19 11 1 31 19 76 39 50 4 2 4 219 250 5 45 85 115 780 1 4 111 135 300

Matriz 15

30 3 3 2 2 50 32 10 10 8 10 40 87 53 25 5 3 2 205 265 15 17 100 118 780 10 10 98 132 300

Matriz 16

30 5 5 0 0 50 30 30 0 0 10 40 65 0 100 3 7 0 270 200 2 18 30 200 780 25 5 170 50 300

Matriz 17

30 1 2 0 7 50 34 18 0 8 10 40 80 70 15 0 1 9 200 270 30 19 151 50 780 0 10 40 200 300

176

Matriz 18 5 3 4 16 2

30 2 4 16 2 6 44 92 360 43 71 477 202 437 53 2 11 5 12 20 1 8 3 8 10

Matriz 19

5 3 5 16 1 30 2 4 17 2 7 43 91 362 42 71 478 201 435 55 2 12 5 12 20 1 7 4 8 10

Matriz 20

5 3 6 15 1 30 2 5 16 1 8 42 89 368 38 70 481 200 431 59 1 11 6 11 20 1 6 4 9 10

Matriz 21

5 3 10 12 0 30 2 10 11 1 6 44 80 370 45 72 485 192 437 53 1 7 11 12 20 0 5 7 8 10

Matriz 22

5 2 1 15 7 30 3 1 19 2 6 44 98 357 41 67 475 208 440 50 2 14 1 13 20 4 8 1 7 10

Matriz 23

5 4 13 8 0 30 1 6 17 0 10 40 81 381 33 69 486 195 424 66 0 12 9 9 20 0 2 6 11 10

177

Matriz 24 5 5 10 10 0

30 0 5 20 0 30 20 85 400 10 50 500 200 400 90 0 10 10 10 20 0 10 0 10 10

Matriz 25

5 5 10 0 10 30 0 25 0 0 0 50 65 340 90 80 490 180 490 0 0 0 30 0 20 0 0 0 20 10

Matriz 26

5 1 2 2 20 30 4 3 3 15 10 40 95 385 15 60 490 200 440 50 5 10 5 10 20 5 0 5 10 10

178

A4. VARIABILIDAD DE LAS MATRICES GENERADAS A PARTIR DE UN PERFIL DE SUBIDAS Y BAJADAS Consideremos una línea de transporte público con demanda concentrada entre las estaciones s0 y s1, en la cual se plantea la posibilidad de implementar una estrategia de asignación de flota que aumenta la frecuencia en la zona de más carga, por ejemplo, un bucle. Sólo los viajes que tienen origen y destino entre s0 y s1 son favorecidos por la estrategia, es decir, las celdas que están en la zona achurada de la Figura A4.1

Figura A4.1: Matriz O/D con demanda concentrada entre s0 y s1. Supongamos que se produce un cambio en la distribución de los viajes que hace los viajes al interior del bucle aumenten su valor en Δ. Si las tasas de subidas y bajadas son fijas y conocidas, necesariamente ese aumento Δ debe ser compensado con una disminución en la misma cantidad fuera del bucle, tal como se muestra a continuación:

Figura A4.2:Cambio en la distribución de viajes.

s0 s1

s0

s1

s0 s1

s0

s1

+Δ

+Δ-Δ

-Δ

179

Como la demanda en la zona favorecida por la estrategia es superior a la demanda en el exterior de ésta, necesariamente las celdas fuera tal zona tienen un valor inferior a las del interior, luego, el aumento Δ está acotado por la disminución que sufren los viajes fuera de la zona de demanda concentrada, disminución que no puede tener un valor alto pues esos números son pequeños y al restarle Δ no pueden ser menores a cero. Luego, el cambio al interior de bucle sólo puede ser de pequeña magnitud en relación al valor original de esos viajes. Analíticamente: El análisis se restringe al sentido 1, por ser ambos sentidos de operación independientes. Por simplicidad, se elimina el superíndice 1 de la notación. Supongamos un cambio en la tasa de viajes klλ

'kl kl kl klλ λ λ→ = + Δ

Sabemos que como la cantidad de viajes generados en la estación k se mantiene constante, la suma de las variaciones que se producen en esta fila debe ser cero:

'

1 1 1 1 10

N N N N N

k kl kl kl kl kll k l k l k l k l k

λ λ λ λ+

= + = + = + = + = +

= = = + Δ ⇒ Δ =∑ ∑ ∑ ∑ ∑ (A4.1)

luego, las variaciones dentro y fuera del bucle deben cumplir con la condición:

1

11 1

s N

kl kll k l s= + = +

Δ = − Δ∑ ∑ (A4.2)

Se dividirá el análisis en los casos en que la variación adentro del bucle es positiva y negativa.

Caso 1: 1

10

s

kll k= +

Δ ≥∑

La variación total a lo largo de la fila k fuera del bucle es negativa:

1 1

0N

kll s= +

Δ ≤∑ (A4.3)

Pero la cantidad total de viajes en este segmento puede ser cero como mínimo:

180

1 1 1

'

1 1 1

0N N N

kl kl kll s l s l s

λ λ= + = + = +

= + Δ ≥∑ ∑ ∑ (A4.4)

luego,

1 1 11 1 1

N N N

kl kl kll s l s l s

λ= + = + = +

− Δ = Δ ≤∑ ∑ ∑ (A4.5)

es decir, las variaciones en la fila están acotadas por el valor de los viajes fuera del bucle antes del cambio. Luego, si estos viajes son menores en magnitud que los viajes al interior del bucle, es decir,

1

1 1 1

sN

kl kll s l k

λ λ= + = +∑ ∑ (A4.6)

los viajes al interior del bucle pueden experimentar un aumento sólo menor en relación a su valor primitivo.

Caso 2: 1

10

s

kll k= +

Δ <∑

Si disminuye la cantidad de viajes al interior del bucle en una fila k, de (A4.2), se obtiene que esta disminución debe ser compensada por un aumento de los viajes hacia estaciones fuera del bucle, es decir,

1 1

0N

kll s= +

Δ >∑ (A4.7)

sin embargo, este número no puede crecer arbitrariamente, pues el valor de sus elementos está acotado porque la atracción de viajes también se mantiene constante, es decir, la suma por columnas. Sea kmΔ es un elemento de la sumatoria (A4.7) ( 1 1s m N+ ≤ ≤ ). Si 0kmΔ < , necesariamente km kmλΔ < por lo que su valor está acotado inferiormente.

Si 0kmΔ ≥ se tendrá que 1

1

m

km imii k

−

=≠

Δ = − Δ∑

y por la condición de positividad de los viajes,

181

1 1

1 1

m m

im imi ii k i k

λ− −

= =≠ ≠

− Δ ≤∑ ∑ (A4.8)

cota esta última que representa un valor de baja magnitud, si las celdas fuera del bucle números pequeños. Luego, en cualquiera de los dos casos, sea un aumento o una disminución de los viajes al interior del bucle, el cambio no puede ser grande en magnitud, pues está condicionado por la cantidad de viajes fuera del bucle. El principio utilizado siempre es que el valor de las celdas al interior del bucle es superior en magnitud al valor de las celdas fuera del bucle, condición necesaria para que la estrategia sea beneficiosa.

182

A5. PROGRAMA EN C++ // PROGRAMA PARA ESTRATEGIA INTEGRADA DEADHEADING- BUCLES // por Alejando Tirachini Hernández // Versión Diciembre de 2006 #include <vector> #include <algorithm> #include <string> #include <iostream> #include <fstream> #include <iomanip> #include <stdlib.h> #include <time.h> #include <strstream> #include <sstream> #include <cmath> #include <deque> #include "nr.h" using namespace std; ofstream res("resultados.dat"); ofstream pru("pruebas.dat"); ofstream matout("matriz_out.dat"); ifstream param("parametros.dat"); ifstream costos("paramCostos.dat"); ifstream mat("matrizod.dat"); // Definición de variables double n_par,tpo_par,tpo_pardh,vte,vtv,b,n,aux1,aux2,aux3=0,aux4=0,largo,fa25,f14,etha,sigma; double g1=0, g2=0, g4=0, g5=0, g0=0, g3=0, g6=0, tc=0, bnor, tca=0, tcb=0, ba,bb,bbuc,qmax=0; double fb,fb25,f14poi,f14poi_c,cte_norpoi, ctv_norpoi, coppoi,ctot_norpoi,bnorpoi,ctepoi,ctot_nor2poi,ctot2poi,cte2poi,ce1,ce2,fa25poi,fb25poi,fa25poi_c,fb25poi_c,ctvpoi,cop_bucpoi,ctotpoi,bapoi,bbpoi,k2_op1,k2_op2,k3_op1,k3_op2; double c0,c1,c0p,c1p,c0dhp,c1dhp,cap,cappoi,cop_buca,cop_bucb, ctot_minmin=9999999,cop_bucapoi,cop_bucbpoi,ctot_minpoi=9999999; double sig0=0,sig1=0,sig0max=0,sig1max=0; double gg2,hh2,ii2,jj2,kk2,ll2,mm2,nn2; double dif_a,dif_b,dif2_a,dif2_b,dif2_ab,fa0,fa1,fb0,fb1,nopt,capestpoi2; double fa, fa39, qmax1=0, qmax2=0, k0,k1,k2,k3, cop, cop_buc, te=0, tv=0, tv2,tv3,tv4=0, dda=0, dda2=0, lam=0, tvi, cte, ctv, cte2, ctv2, ctot2, ctot,ctot_nor, ctot_nor2,ben,ben2, ctot_min2=99999999, ctot_min=99999999, k0_op1, k1_op1, k0_op2, k1_op2; double cte_nor, ctv_nor; int cont,iter; // Definición de vectores vector < vector <double> > matriz;

183

vector <double> a,b2,carga_a,carga_b,ge4,ge5,flota2,flotaest(2),result(2),result2,carga; // Lectura de parámetros desde archivos DAT void fill_extern1(ifstream& in) { in>>n_par>>tpo_par>>tpo_pardh>>largo>>vte>>vtv>>b>>etha; } void fill_extern2(ifstream& in) { in>>c0>>c1>>c0p>>c1p>>c0dhp>>c1dhp; } // Lectura de matriz O/D void leer_matriz(ifstream& in, int ds) { string line; matriz.resize(matriz.size()+ds); for(int i=0; i<ds; i++) matriz[i].assign(ds,0); int k=0; while(!in.eof()) { for(int j=0; j<ds; j++){ in >> matriz[k][j]; } getline(in,line,'\n'); k++; } } // Impresión de matriz en archivo de texto void print_matriz(ofstream& out) { for(int i=0; i<matriz.size(); i++) { for(int j=0; j<matriz[i].size(); j++) out << setw(5) << matriz[i][j]; out << endl; } } // ALGORITMO PARA ENCONTRAR TASA DE LLEGADA A ESTACIONES, LAMBDA double lambda (int k, int ini, int fin){ lam=0; if (k<=n_par){ for (int i=ini;i<=fin;i++) lam=lam+matriz[k-1][i-1]; return (lam); } else

184

return (lam); } // ALGORITMO PARA ENCONTRAR TIEMPO DE VIAJE ENTRE PARES DE ESTACIONES double tviaje (int ini2, int fin2, double frec){ // tiempo de viaje normal Sentido 1 tvi=0; for (int j=ini2; j<fin2;j++) tvi=tvi+tpo_par+b*lambda(j,j,n_par)/(60*frec); return (tvi); } double tviaje2 (int ini2, int fin2, double frec){ // tiempo de viaje normal Sentido 2 tvi=0; for (int j=ini2+1; j<=fin2;j++) tvi=tvi+tpo_par+b*lambda(j,1,j)/(60*frec); return (tvi); } double tviaje3 (int ini2, int fin2, double frec1, double frec2){ // tiempo de viaje compuesto, fa y fa+fb Sentido 1 tvi=0; for (int j=ini2; j<fin2;j++) tvi=tvi+tpo_par+b*(lambda(j,j,k1)/(60*frec2)+lambda(j,k1+1,n_par)/(60*frec1)); return (tvi); } double tviaje4 (int ini4, int fin4, double frec1, double frec2, int k00){ // tiempo de viaje compuesto, fa y fa+fb Sentido 2 tvi=0; for (int j=ini4+1; j<=fin4;j++) tvi=tvi+tpo_par+b*(lambda(j,1,k00-1)/(60*frec1)+lambda(j,k00,j-1)/(60*frec2)); return (tvi); } // Algoritmo auxiliar para funciones g en tpo de viaje double laux; double lac (int ini4, int fin4){ // Sentido 1 laux=0; for (int i=ini4; i<=fin4;i++) laux=laux+lambda(i,i,n_par); laux=b*laux; return (laux); } double lac3 (int ini4, int fin4, int a, int b){ // Senido 1 compuesto laux=0; if (a!=-2){ for (int i=ini4; i<=fin4;i++) laux=laux+lambda(i,a,b); return (laux); } else{ for (int i=ini4; i<=fin4;i++)

185

laux=laux+lambda(i,i,b); return (laux); } } double lac2 (int ini4, int fin4){ // Sentido 2 laux=0; for (int i=ini4; i<=fin4;i++) laux=laux+lambda(i,1,i); laux=b*laux; return (laux); } double lac4 (int ini4, int fin4, int a, int b){ // Sentido 2 compuesto laux=0; if (b==-1){ for (int i=ini4; i<=fin4;i++) laux=laux+lambda(i,a,i-1); return (laux); } else { for (int i=ini4; i<=fin4;i++) laux=laux+lambda(i,a,b); return (laux); } } double carga1(int k, int k1){ // subida hasta bucle aux3=0; for (int j=k; j<=k1;j++) aux3=aux3+matriz[k-1][j-1]; return(aux3); } double carga2(int k, int k1){ // subida después de bucle aux3=0; for (int j=k1+1; j<=n_par;j++) aux3=aux3+matriz[k-1][j-1]; return(aux3); } double carga3(int k, int k0){ // bajada desde antes de bucle aux3=0; for (int j=1; j<=k0-1;j++) aux3=aux3+matriz[j-1][k-1]; return(aux3); } double carga4(int k, int k0){ //bajada desde bucle aux3=0; for (int j=k0; j<=k;j++) aux3=aux3+matriz[j-1][k-1]; return(aux3); }

186

double carga5(int k, int k2){ // subida hasta bucle, S2 aux3=0; for (int j=k2; j<=k;j++) aux3=aux3+matriz[k-1][j-1]; return(aux3); } double carga6(int k, int k2){ // subida después de bucle S2 aux3=0; for (int j=1; j<=k2-1;j++) aux3=aux3+matriz[k-1][j-1]; return(aux3); } double carga7(int k, int k3){ // bajada desde antes de bucle S2 aux3=0; for (int j=k3+1; j<=n_par;j++) aux3=aux3+matriz[j-1][k-1]; return(aux3); } double carga8(int k, int k3){ // bajada desde bucle S2 aux3=0; for (int j=k; j<=k3;j++) aux3=aux3+matriz[j-1][k-1]; return(aux3); } // FUNCIÓN QUE ENTREGA TIEMPO DE ESPERA SITUACIÓN NORMAL double tiempoespera (double frec, int equis) { te=0; for (int a2=1;a2<=n_par;a2++) te=te+lambda(a2,a2,n_par)*(1+equis)/(120*frec); for (int a4=1;a4<=n_par;a4++) te=te+lambda(a4,1,a4)*(1+equis)/(120*frec); return (vte*te); } // FUNCIÓN QUE ENTREGA TIEMPO DE VIAJE SITUACIÓN NORMAL double tiempoviaje (double frec) { tv4=0; for (int a1=1;a1<=n_par;a1++){ for (int a2=a1;a2<=n_par;a2++){ tv=tviaje(a1,a2,frec)*matriz[a1-1][a2-1]/60; tv4=tv4+tv; } } for (int a3=1;a3<=n_par;a3++){ for (int a4=1;a4<=a3;a4++){ tv=tviaje2(a4,a3,frec)*matriz[a3-1][a4-1]/60;

187

tv4=tv4+tv; } } return (vtv*tv4); } // FUNCIÓN QUE ENTREGA TIEMPO DE ESPERA CON ESTRATEGIA double tiempoesperab (int k0,int k1,int k2, int k3, double fa2,double fb2, int equis) { te=0; for (int a3=1; a3<=k0-1; a3++) te=te+lambda(a3,a3,n_par)*(1+equis)/(120*fa2); for (int a4=k0; a4<=k1-1; a4++) te=te+lambda(a4,a4,k1)*(1+equis)/(120*(fa2+fb2))+lambda(a4,k1+1,n_par)*(1+equis)/(120*fa2); for (int a5=k1; a5<=n_par; a5++) te=te+lambda(a5,a5,n_par)*(1+equis)/(120*fa2); for (int a6=1; a6<=k2; a6++) te=te+lambda(a6,1,a6)*(1+equis)/(120*fa2); for (int a7=k2+1; a7<=k3; a7++) te=te+lambda(a7,k2,a7)*(1+equis)/(120*(fa2+fb2))+lambda(a7,1,k2-1)*(1+equis)/(120*fa2); for (int a8=k3+1; a8<=n_par; a8++) te=te+lambda(a8,1,a8)*(1+equis)/(120*fa2); return (vte*te); } // FUNCIÓN QUE ENTREGA TIEMPO DE VIAJE CON ESTRATEGIA double tiempoviajeb (int k0,int k1,int k2, int k3, double fa2,double fb2) { tv2=0; // primer sentido for (int k=1; k<=k0-1; k++){ for(int l=k+1;l<=k0;l++){ tv=tviaje(k,l,fa2)*matriz[k-1][l-1]/60; tv2=tv2+tv; } for(int l2=k0+1; l2<=k1;l2++){ tv=(tviaje(k,k0,fa2)+tviaje3(k0,l2,fa2,fa2+fb2))*matriz[k-1][l2-1]/60; tv2=tv2+tv; } for(int l3=k1+1; l3<=n_par;l3++){ tv=(tviaje(k,k0,fa2)+tviaje3(k0,k1,fa2,fa2+fb2)+tviaje(k1,l3,fa2))*matriz[k-1][l3-1]/60; tv2=tv2+tv; } } for (int k20=k0; k20<=k1-1; k20++){ for(int l=k20+1;l<=k1;l++){ tv=tviaje(k20,l,fa2+fb2)*matriz[k20-1][l-1]/60;

188

tv2=tv2+tv; } for(int l2=k1+1; l2<=n_par;l2++){ tv=(tviaje3(k20,k1,fa2,fa2+fb2)+tviaje(k1,l2,fa2))*matriz[k20-1][l2-1]/60; tv2=tv2+tv; } } for (int k30=k1; k30<=n_par; k30++){ for(int l=k30+1;l<=n_par;l++){ tv=tviaje(k30,l,fa2)*matriz[k30-1][l-1]/60; tv2=tv2+tv; } } // segundo sentido for (int k4=k3+1; k4<=n_par; k4++){ for(int l=k3;l<=k4-1;l++){ tv=tviaje2(l,k4,fa2)*matriz[k4-1][l-1]/60; tv2=tv2+tv; } for(int l2=k2; l2<=k3-1;l2++){ tv=(tviaje2(k3,k4,fa2)+tviaje4(l2,k3,fa2,fa2+fb2,k2))*matriz[k4-1][l2-1]/60; tv2=tv2+tv; } for(int l3=1; l3<=k2-1;l3++){ tv=(tviaje2(k3,k4,fa2)+tviaje4(k2,k3,fa2,fa2+fb2,k2)+tviaje2(l3,k2,fa2))*matriz[k4-1][l3-1]/60; tv2=tv2+tv; } } for (int k05=k2+1; k05<=k3; k05++){ for(int l=k2;l<=k05-1;l++){ tv=tviaje2(l,k05,fa2+fb2)*matriz[k05-1][l-1]/60; tv2=tv2+tv; } for(int l2=1; l2<=k2-1;l2++){ tv=(tviaje4(k2,k05,fa2,fa2+fb2,k2)+tviaje2(l2,k2,fa2))*matriz[k05-1][l2-1]/60; tv2=tv2+tv; } } for (int k6=1; k6<=k2; k6++){ for(int l=1;l<=k6-1;l++){ tv=tviaje2(l,k6,fa2)*matriz[k6-1][l-1]/60; tv2=tv2+tv; } } return (tv2*vtv); } // TAMAÑO DE FLOTA EN OPERACIÓN NORMAL double flota (double frec) { tc=0; for (int k16=1; k16<n_par; k16++) tc=tc+tpo_par+b*lambda(k16,k16,n_par)/60/frec;

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for (int k17=2; k17<=n_par; k17++) tc=tc+tpo_par+b*lambda(k17,1,k17)/60/frec; return (frec*tc); } // TAMAÑO DE FLOTA CON ESTRATEGIA vector <double> flota_est (int k0, int k1, int k2, int k3, double fa, double fb,vector <double>& flota2){ tca=0, tcb=0; for (int a31=1; a31<=k0-1; a31++) tca=tca+tpo_par+b*lambda(a31,a31,n_par)/60/fa; for (int a41=k0; a41<=k1-1; a41++){ tca=tca+tpo_par+b*(lambda(a41,a41,k1)/(60*(fa+fb))+lambda(a41,k1+1,n_par)/(60*fa)); tcb=tcb+tpo_par+b*lambda(a41,a41,k1)/(60*(fa+fb)); } for (int a51=k1; a51<n_par; a51++) tca=tca+tpo_par+b*lambda(a51,a51,n_par)/(60*fa); for (int a61=2; a61<=k2; a61++) tca=tca+tpo_par+b*lambda(a61,1,a61)/(60*fa); for (int a71=k2+1; a71<=k3; a71++){ tca=tca+tpo_par+b*(lambda(a71,k2,a71)/(60*(fa+fb))+lambda(a71,1,k2-1)/(60*fa)); tcb=tcb+tpo_par+b*lambda(a71,k2,a71)/(60*(fa+fb)); } for (int a81=k3+1; a81<=n_par; a81++) tca=tca+tpo_par+b*lambda(a81,1,a81)/(60*fa); tcb=tcb+(abs(k2-k0)+abs(k3-k1))*tpo_pardh;; flota2[0]=tca*fa; flota2[1]=tcb*fb; return (flota2); } // MÉTODO DE NEWTON vector <double> newton(double gg,double hh,double ii,double jj, double kk,double ll,double mm,double nn,double fa,double fb) { fa0=fa; fb0=fb; iter=0; while(iter<=30){ iter++; dif_a=(ii-ll)*fb0/pow(fa0+fb0,2.0)+(mm-hh)/pow(fa0+fb0,2.0)-kk*fb0/fa0/fa0-(mm+nn)/fa0/fa0+gg; dif_b=-(ii-ll)*fa0/pow(fa0+fb0,2.0)+(-hh+mm)/pow(fa0+fb0,2.0)+kk/fa0+jj; dif2_a=-2*(ii-ll)*fb0/pow(fa0+fb0,3.0)-2*(mm-hh)/pow(fa0+fb0,3.0)+2*kk*fb0/pow(fa0,3.0)+2*(mm+nn)/pow(fa0,3.0); dif2_b=2*(ii-ll)*fa0/pow(fa0+fb0,3.0)+2*(hh-mm)/pow(fa0+fb0,3.0); dif2_ab=(ii-ll)*(fa0-fb0)/pow(fa0+fb0,3.0)+2*(hh-mm)/pow(fa0+fb0,3.0)-kk/pow(fa0,2.0); fa1=fa0-1/(dif2_a*dif2_b-dif2_ab*dif2_ab)*(dif2_b*dif_a-dif2_ab*dif_b); fb1=fb0-1/(dif2_a*dif2_b-dif2_ab*dif2_ab)*(-dif2_ab*dif_a+dif2_a*dif_b); if ((fa0-fa1)<=0.005 && (fa0-fa1)>=-0.005 && (fb0-fb1)<=0.005 && (fb0-fb1)>=-0.005)

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break; fa0=fa1; fb0=fb1; } result[0]=fa1; result[1]=fb1; return (result); } // Amplificación de matrices void amplificar_matriz(double alfa2) { for(int i=0; i<matriz.size(); i++) { for(int j=0; j<matriz[i].size(); j++) matriz[i][j]=alfa2*matriz[i][j]; } } // Amplificación de filas void amplificar_fila(double fila, double alfa2) { for(int j=0; j<matriz.size(); j++) matriz[fila-1][j]=alfa2*matriz[fila-1][j]; } // Amplificación de columnas void amplificar_columna(double col, double alfa2) { for(int i=0; i<matriz.size(); i++) matriz[i][col-1]=alfa2*matriz[i][col-1]; } // PROGRAMA PRINCIPAL // &&&&&&& MAIN &&&&&&& void main(void){ fill_extern1(param); fill_extern2(costos); //parámetros funciones de costos de los operadores leer_matriz(mat,n_par); amplificar_matriz(1); amplificar_fila(1,1); amplificar_columna(1,1); print_matriz(matout); // Cálculo de la carga por tramo //llenado vectores a y b2 para carga, situación normal for (int i5=0; i5<matriz.size();i5++){ //S1 for (int j=i5; j<matriz.size();j++)

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aux3=aux3+matriz[i5][j]; a.push_back(aux3); aux3=0; } for (int i0=matriz.size()-1; i0>0;i0--){ //S2 for (int j=0; j<i0;j++) aux3=aux3+matriz[i0][j]; a.push_back(aux3); aux3=0; } for(int k4=0; k4<matriz.size();k4++){ //S1 for (int l=0; l<k4;l++) aux3=aux3+matriz[l][k4]; b2.push_back(aux3); aux3=0; } for(int k21=matriz.size()-1; k21>0;k21--){ //S2 for (int l=k21; l<matriz.size();l++) aux3=aux3+matriz[l][k21]; b2.push_back(aux3); aux3=0; } carga.push_back(a[0]); qmax=carga[0]; for (int i2=1;i2<2*n_par;i2++){ carga.push_back(carga[i2-1]+a[i2]-b2[i2]); if (carga[i2]>=qmax) qmax=carga[i2]; } for(int k5=0; k5<2*n_par;k5++) pru<<"carga"<<k5+1<<" "<<carga[k5]<<endl; pru<<qmax<<endl; // OPERACIÓN NORMAL double lamx=0, lamx2=0; for (int y=1; y<=n_par;y++) // demanda para tiempo de espera lamx=lamx+lambda(y,y,n_par)+lambda(y,1,y); for (int y2=1; y2<=n_par; y2++){ // demanda para tiempo de viaje for (int y3=y2+1;y3<=n_par;y3++) lamx2=lamx2+matriz[y2-1][y3-1]*lac(y2,y3-1); for(int y4=1; y4<=y2-1;y4++) lamx2=lamx2+matriz[y2-1][y4-1]*lac2(y4+1,y2); } f14=pow(((0.5*vte+c1*qmax/60*b/etha)*lamx/60+vtv*lamx2/3600)/(2*(c0*(n_par-1)*tpo_par+c0p*largo)),0.5); // Frecuencia óptima sin estrategia, M1 f14poi=pow(((vte+c1*qmax/60*b/etha)*lamx/60+vtv*lamx2/3600)/(2*(c0*(n_par-1)*tpo_par+c0p*largo)),0.5); // Frecuencia óptima sin estrategia, M1

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cap=qmax/etha/f14/60; cappoi=qmax/etha/f14poi/60; lamx=0, lamx2=0; // Modelo 1 intervalos regulares bnor=flota(f14); cte_nor=tiempoespera(f14,0); ctv_nor=tiempoviaje(f14); cop=(c0+c1*cap)*bnor+2*largo*(c0p+c1p*cap)*f14; ctot_nor=cte_nor+ctv_nor+cop; // Modelo 1 Poisson bnorpoi=flota(f14poi); cte_norpoi=tiempoespera(f14poi,1); ctv_norpoi=tiempoviaje(f14poi); coppoi=(c0+c1*cappoi)*bnorpoi+2*largo*(c0p+c1p*cappoi)*f14poi; ctot_norpoi=cte_norpoi+ctv_norpoi+coppoi; res<<"RESULTADOS ESTRATEGIA INTEGRADA"<<endl; res<<""<<endl; res<<" Cte Ctv Cop Ctot Flota"<<endl; res<<"Normal "<<cte_nor<<" "<<ctv_nor<<" "<<cop<<" "<<ctot_nor<<" "<<60*f14<<" "<<bnor<<" "<<cap<<endl; res<<""<<endl; res<<"Estrategia Bucles-Deadheading"<<endl; res<<"s0 s1 s2 s3 "<<endl; // ESTRATEGIA INTEGRADA // RÉGIMEN PROGRAMADO, fB=nfA for (n=1;n<=5; n++){ res<<""<<endl; res<<" n="<<n<<endl; res<<""<<endl; for (int k=2;k<=n_par;k++){ k1=k; for (int k0=1;k0<=k1-1;k0++){ for (int k3=2;k3<=n_par;k3++){ for (int k2=1;k2<=k3-1;k2++){ res<<k0<<" "<<k1<<" "<<k2<<" "<<k3<<endl; if(k0>=2){ //carga_a: FLUJO buses A, carga_b: FLUJO buses B cont=0; for (int a3=1; a3<=k0-1; a3++){ carga_a.push_back(carga[a3-1]/60); if (carga_a[a3-1]>=qmax1) qmax1=carga_a[a3-1]; carga_b.push_back(0); cont++;

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} for (int a4=k0; a4<=k1; a4++){ carga_a.push_back(carga_a[cont-1]+carga1(a4,k1)/(60*(n+1))+carga2(a4,k1)/(60)-carga3(a4,k0)/(60)-carga4(a4,k0)/(60*(n+1))); if (carga_a[cont]>=qmax1) qmax1=carga_a[cont]; carga_b.push_back(carga_b[cont-1]+carga1(a4,k1)/(60*(n+1))-carga4(a4,k0)/(60*(n+1))); if(a4==k1) carga_b[cont]=0; if (carga_b[cont]>=qmax2) qmax2=carga_b[cont]; cont++; } for (int a5=k1+1; a5<=n_par; a5++){ carga_a.push_back(carga_a[cont-1]+carga2(a5,a5)/(60)-carga3(a5,a5)/(60)); if (carga_a[cont]>=qmax1) qmax1=carga_a[cont]; carga_b.push_back(0); cont++; } for (int a6=k3+1; a6<=n_par; a6++){ carga_a.push_back(carga[a6]/(60)); if (carga_a[cont]>=qmax1) qmax1=carga_a[cont]; carga_b.push_back(0); cont++; } for (int a7=k3; a7>=k2; a7--){ carga_a.push_back(carga_a[cont-1]+carga5(a7,k2)/(60*(n+1))+carga6(a7,k2)/(60)-carga7(a7,k3)/(60)-carga8(a7,k3)/(60*(n+1))); if (carga_a[cont]>=qmax1) qmax1=carga_a[cont]; carga_b.push_back(carga_b[cont-1]+carga5(a7,k2)/(60*(n+1))-carga8(a7,k3)/(60*(n+1))); if(a7==k2) carga_b[cont]=0; if (carga_b[cont]>=qmax2) qmax2=carga_b[cont]; cont++; } for (int a8=k2-1; a8>=1; a8--){ carga_a.push_back(carga_a[cont-1]+carga6(a8,a8)/(60)-carga7(a8,a8)/(60)); if (carga_a[cont]>=qmax1) qmax1=carga_a[cont]; carga_b.push_back(0); cont++; }

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carga_b.clear(); carga_a.clear(); } else { // caso en que k0=1 carga_a.push_back(carga1(1,k1)/(60*(n+1))+carga2(1,k1)/(60)-carga4(1,k0)/(60*(n+1))); carga_b.push_back(carga1(1,k1)/(60*(n+1))); if (carga_a[0]>=qmax1) qmax1=carga_a[0]; if (carga_b[0]>=qmax2) qmax2=carga_b[0]; cont=1; for (int a4=k0+1; a4<=k1; a4++){ carga_a.push_back(carga_a[cont-1]+carga1(a4,k1)/(60*(n+1))+carga2(a4,k1)/(60)-carga4(a4,k0)/(60*(n+1))); if (carga_a[cont]>=qmax1) qmax1=carga_a[cont]; carga_b.push_back(carga_b[cont-1]+carga1(a4,k1)/(60*(n+1))-carga4(a4,k0)/(60*(n+1))); if(a4==k1) carga_b[cont]=0; if (carga_b[cont]>=qmax2) qmax2=carga_b[cont]; cont++; } for (int a5=k1+1; a5<=n_par; a5++){ carga_a.push_back(carga_a[cont-1]+carga2(a5,a5)/(60)-carga3(a5,a5)/(60)); if (carga_a[cont]>=qmax1) qmax1=carga_a[cont]; carga_b.push_back(0); cont++; } for (int a6=k3+1; a6<=n_par; a6++){ carga_a.push_back(carga[cont]/(60)); if (carga_a[cont]>=qmax1) qmax1=carga_a[cont]; carga_b.push_back(0); cont++; } for (int a7=k3; a7>=k2; a7--){ carga_a.push_back(carga_a[cont-1]+carga5(a7,k2)/(60*(n+1))+carga6(a7,k2)/(60)-carga7(a7,k3)/(60)-carga8(a7,k3)/(60*(n+1))); if (carga_a[cont]>=qmax1) qmax1=carga_a[cont]; carga_b.push_back(carga_b[cont-1]+carga5(a7,k2)/(60*(n+1))-carga8(a7,k3)/(60*(n+1))); if(a7==k2) carga_b[cont]=0; if (carga_b[cont]>=qmax2)

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qmax2=carga_b[cont]; cont++; } for (int a8=k2-1; a8>=1; a8--){ carga_a.push_back(carga_a[cont-1]+carga6(a8,a8)/(60)-carga7(a8,a8)/(60)); if (carga_a[cont]>=qmax1) qmax1=carga_a[cont]; carga_b.push_back(0); cont++; } carga_a.clear(); carga_b.clear(); } // cálculo de funciones g de la función de costos for (int a3=1; a3<=k0-1; a3++) g1=g1+lambda(a3,a3,n_par); for (int a4=k0; a4<=k1-1; a4++){ g1=g1+lambda(a4,k1+1,n_par); g2=g2+lambda(a4,a4,k1); } for (int a5=k1; a5<=n_par; a5++) g1=g1+lambda(a5,a5,n_par); for (int a6=1; a6<=k2; a6++) g1=g1+lambda(a6,1,a6); for (int a7=k2+1; a7<=k3; a7++){ g1=g1+lambda(a7,1,k2-1); g2=g2+lambda(a7,k2,a7); } for (int a8=k3+1; a8<=n_par; a8++) g1=g1+lambda(a8,1,a8); g0=2*(n_par-1)*tpo_par; g3=(abs(k2-k0)+abs(k3-k1))*tpo_pardh; // primer sentido for (int k=1; k<=k0-1; k++){ for(int l=k+1;l<=k0;l++) g5=g5+lac(k,l-1)*matriz[k-1][l-1]; for(int l2=k0+1; l2<=k1;l2++){ g5=g5+(lac(k,k0-1)+b*lac3(k0,l2-1,k1+1,n_par))*matriz[k-1][l2-1]; g6=g6+b*lac3(k0,l2-1,-2,k1)*matriz[k-1][l2-1]; } for(int l3=k1+1; l3<=n_par;l3++){ g5=g5+(lac(k,k0-1)+b*lac3(k0,k1-1,k1+1,n_par)+lac(k1,l3-1))*matriz[k-1][l3-1]; g6=g6+b*lac3(k0,k1-1,-2,k1)*matriz[k-1][l3-1]; }

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} for (int k20=k0; k20<=k1-1; k20++){ for(int l=k20+1;l<=k1;l++) g6=g6+lac(k20,l-1)*matriz[k20-1][l-1]; for(int l2=k1+1; l2<=n_par;l2++){ g5=g5+(lac(k1,l2-1)+b*lac3(k20,k1-1,k1+1,n_par))*matriz[k20-1][l2-1]; g6=g6+b*lac3(k20,k1-1,-2,k1)*matriz[k20-1][l2-1]; } } for (int k30=k1; k30<=n_par; k30++){ for(int l=k30+1;l<=n_par;l++) g5=g5+lac(k30,l-1)*matriz[k30-1][l-1]; } // segundo sentido for (int k4=k3+1; k4<=n_par; k4++){ for(int l=k3;l<=k4-1;l++) g5=g5+lac2(l+1,k4)*matriz[k4-1][l-1]; for(int l2=k2; l2<=k3-1;l2++){ g5=g5+(lac2(k3+1,k4)+b*lac4(l2+1,k3,1,k2-1))*matriz[k4-1][l2-1]; g6=g6+b*lac4(l2+1,k3,k2,-1)*matriz[k4-1][l2-1]; } for(int l3=1; l3<=k2-1;l3++){ g5=g5+(lac2(k3+1,k4)+lac2(l3+1,k2)+b*lac4(k2+1,k3,1,k2-1))*matriz[k4-1][l3-1]; g6=g6+b*lac4(k2+1,k3,k2,-1)*matriz[k4-1][l3-1]; } } for (int k5=k2+1; k5<=k3; k5++){ for(int l=k2;l<=k5-1;l++) g6=g6+lac2(l+1,k5)*matriz[k5-1][l-1]; for(int l2=1; l2<=k2-1;l2++){ g5=g5+(lac2(l2+1,k2)+b*lac4(k2+1,k5,1,k2-1))*matriz[k5-1][l2-1]; g6=g6+b*lac4(k2+1,k5,k2,-1)*matriz[k5-1][l2-1]; } } for (int k6=1; k6<=k2; k6++){ for(int l=1;l<=k6-1;l++) g5=g5+lac2(l+1,k6)*matriz[k6-1][l-1]; } // definición de constantes para costo de operadores. sigma=qmax1; ce2=2*largo*c0p+n*largo*(c0p*(k1-k0+k3-k2)+c0dhp*(abs(k3-k1)+abs(k2-k0)))/(n_par-1);

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// frecuencias óptimas fA y fB fa25=pow((0.5*vte*(g1+g2/(n+1))/60+vtv*(g5+g6/(n+1))/3600+c1*b*sigma/etha*(g1+g2)/60)/(c0*(g0+n*g3)+ce2),0.5); // fa modelo 1 fb25=n*fa25; g1=0, g2=0, g5=0, g6=0; cte=tiempoesperab(k0,k1,k2,k3,fa25,fb25,0); ctv=tiempoviajeb(k0,k1,k2,k3,fa25,fb25); flotaest=flota_est(k0,k1,k2,k3,fa25,fb25,flotaest); ba=flotaest[0]; bb=flotaest[1]; cop_buca=(c0+c1*qmax1/etha/fa25)*ba+2*largo*fa25*(c0p+c1p*qmax1/etha/fa25); cop_bucb=(c0+c1*qmax1/etha/fa25)*bb+n*largo*fa25*((c0p+c1p*qmax1/etha/fa25)*(k1-k0+k3-k2)+(c0dhp+c1dhp*qmax1/etha/fa25)*(abs(k3-k1)+abs(k2-k0)))/(n_par-1); cop_buc=cop_buca+cop_bucb; ctot=cte+ctv+cop_buc; // verificación de si estaciones k escogidas producen costo mínimo if (ctot<ctot_min){ ctot_min=ctot; k0_op1=k0; k1_op1=k1; k2_op1=k2; k3_op1=k3; } res<<cte<<" "<<ctv<<" "<<cop_buc<<" "<<ctot<<" "<<60*fa25<<" "<<60*fb25<<" "<<ba<<" "<<bb<<" "<<qmax1/etha/fa25<<endl; qmax1=0, qmax2=0; } } } } // todos los for de los k0,k1,k2,k3 ben=100*(1-ctot_min/ctot_nor); res<<" "<<endl; res<<"M1 El costo mínimo es "<<ctot_min<<" y el beneficio es "<<ben<<"%"<<". Las estaciones terminales son k0="<<k0_op1<<", k1="<<k1_op1<<", k2="<<k2_op1<<" y k3="<<k3_op1<<endl; if (ctot_min<ctot_minmin) nopt=n; ctot_min=99999999; ctot_min2=99999999; qmax=0;

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} // fin for de los "n" res<<""<<endl; // ESTRATEGIA RÉGIMEN POISSON res<<"RÉGIMEN POISSON"<<endl; res<<"Normal "<<cte_norpoi<<" "<<ctv_norpoi<<" "<<coppoi<<" "<<ctot_norpoi<<" "<<60*f14poi<<" "<<bnorpoi<<" "<<cappoi<<endl; res<<"s0 s1 s2 s3"<<endl; res<<""<<endl; for (int k=2;k<=n_par;k++){ k1=k; for (int k0=1;k0<=k1-1;k0++){ for (int k3=2;k3<=n_par;k3++){ for (int k2=1;k2<=k3-1;k2++){ // cálculo de funciones g for (int a3=1; a3<=k0-1; a3++) g1=g1+lambda(a3,a3,n_par); for (int a4=k0; a4<=k1-1; a4++){ g1=g1+lambda(a4,k1+1,n_par); g2=g2+lambda(a4,a4,k1); } for (int a5=k1; a5<=n_par; a5++) g1=g1+lambda(a5,a5,n_par); for (int a6=1; a6<=k2; a6++) g1=g1+lambda(a6,1,a6); for (int a7=k2+1; a7<=k3; a7++){ g1=g1+lambda(a7,1,k2-1); g2=g2+lambda(a7,k2,a7); } for (int a8=k3+1; a8<=n_par; a8++) g1=g1+lambda(a8,1,a8); g0=2*(n_par-1)*tpo_par; g3=(abs(k2-k0)+abs(k3-k1))*tpo_pardh; // primer sentido for (int k=1; k<=k0-1; k++){ for(int l=k+1;l<=k0;l++) g5=g5+lac(k,l-1)*matriz[k-1][l-1]; for(int l2=k0+1; l2<=k1;l2++){ g5=g5+(lac(k,k0-1)+b*lac3(k0,l2-1,k1+1,n_par))*matriz[k-1][l2-1]; g6=g6+b*lac3(k0,l2-1,-2,k1)*matriz[k-1][l2-1]; } for(int l3=k1+1; l3<=n_par;l3++){

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g5=g5+(lac(k,k0-1)+b*lac3(k0,k1-1,k1+1,n_par)+lac(k1,l3-1))*matriz[k-1][l3-1]; g6=g6+b*lac3(k0,k1-1,-2,k1)*matriz[k-1][l3-1]; } } for (int k20=k0; k20<=k1-1; k20++){ for(int l=k20+1;l<=k1;l++) g6=g6+lac(k20,l-1)*matriz[k20-1][l-1]; for(int l2=k1+1; l2<=n_par;l2++){ g5=g5+(lac(k1,l2-1)+b*lac3(k20,k1-1,k1+1,n_par))*matriz[k20-1][l2-1]; g6=g6+b*lac3(k20,k1-1,-2,k1)*matriz[k20-1][l2-1]; } } for (int k30=k1; k30<=n_par; k30++){ for(int l=k30+1;l<=n_par;l++) g5=g5+lac(k30,l-1)*matriz[k30-1][l-1]; } // segundo sentido for (int k40=k3+1; k40<=n_par; k40++){ for(int l=k3;l<=k40-1;l++) g5=g5+lac2(l+1,k40)*matriz[k40-1][l-1]; for(int l2=k2; l2<=k3-1;l2++){ g5=g5+(lac2(k3+1,k40)+b*lac4(l2+1,k3,1,k2-1))*matriz[k40-1][l2-1]; g6=g6+b*lac4(l2+1,k3,k2,-1)*matriz[k40-1][l2-1]; } for(int l3=1; l3<=k2-1;l3++){ g5=g5+(lac2(k3+1,k40)+lac2(l3+1,k2)+b*lac4(k2+1,k3,1,k2-1))*matriz[k40-1][l3-1]; g6=g6+b*lac4(k2+1,k3,k2,-1)*matriz[k40-1][l3-1]; } } for (int k50=k2+1; k50<=k3; k50++){ for(int l=k2;l<=k50-1;l++) g6=g6+lac2(l+1,k50)*matriz[k50-1][l-1]; for(int l2=1; l2<=k2-1;l2++){ g5=g5+(lac2(l2+1,k2)+b*lac4(k2+1,k50,1,k2-1))*matriz[k50-1][l2-1]; g6=g6+b*lac4(k2+1,k50,k2,-1)*matriz[k50-1][l2-1]; } } for (int k6=1; k6<=k2; k6++){ for(int l=1;l<=k6-1;l++) g5=g5+lac2(l+1,k6)*matriz[k6-1][l-1]; } double nopt2;

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res<<k0<<" "<<k1<<" "<<k2<<" "<<k3<<endl; if(k0>=2){ //carga_a: FLUJO buses A, carga_b: FLUJO buses B cont=0; for (int a3=1; a3<=k0-1; a3++){ carga_a.push_back(carga[a3-1]/60); sig0=carga[a3-1]/60; if (carga_a[a3-1]>=qmax1){ qmax1=carga_a[a3-1]; sig0max=sig0; sig1max=0; } carga_b.push_back(0); cont++; } for (int a4=k0; a4<=k1; a4++){ carga_a.push_back(carga_a[cont-1]+carga1(a4,k1)/(60*(nopt+1))+carga2(a4,k1)/(60)-carga3(a4,k0)/(60)-carga4(a4,k0)/(60*(nopt+1))); sig0=sig0+carga2(a4,k1)/(60)-carga3(a4,k0)/(60); sig1=sig1+carga1(a4,k1)/(60)-carga4(a4,k0)/(60); if (carga_a[cont]>=qmax1){ qmax1=carga_a[cont]; sig0max=sig0; sig1max=sig1; } carga_b.push_back(carga_b[cont-1]+carga1(a4,k1)/(60*(nopt+1))-carga4(a4,k0)/(60*(nopt+1))); if(a4==k1) carga_b[cont]=0; if (carga_b[cont]>=qmax2) qmax2=carga_b[cont]; cont++; } for (int a5=k1+1; a5<=n_par; a5++){ carga_a.push_back(carga_a[cont-1]+carga2(a5,a5)/(60)-carga3(a5,a5)/(60)); sig0=sig0+carga2(a4,k1)/(60)-carga3(a4,k0)/(60); if (carga_a[cont]>=qmax1){ qmax1=carga_a[cont]; sig1max=sig1; sig0max=sig0; } carga_b.push_back(0); cont++; } sig1=0, sig0=0; for (int a6=k3+1; a6<=n_par; a6++){ carga_a.push_back(carga[a6]/(60)); sig0=carga[a6]/(60); if (carga_a[cont]>=qmax1){

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qmax1=carga_a[cont]; sig0max=sig0; sig1max=0; } carga_b.push_back(0); cont++; } for (int a7=k3; a7>=k2; a7--){ carga_a.push_back(carga_a[cont-1]+carga5(a7,k2)/(60*(nopt+1))+carga6(a7,k2)/(60)-carga7(a7,k3)/(60)-carga8(a7,k3)/(60*(nopt+1))); sig1=sig1+carga5(a7,k2)/(60)-carga8(a7,k3)/(60); sig0=sig0+carga6(a7,k2)/(60)-carga7(a7,k3)/(60); if (carga_a[cont]>=qmax1){ qmax1=carga_a[cont]; sig1max=sig1; sig0max=sig0; } carga_b.push_back(carga_b[cont-1]+carga5(a7,k2)/(60*(nopt+1))-carga8(a7,k3)/(60*(nopt+1))); if(a7==k2) carga_b[cont]=0; if (carga_b[cont]>=qmax2) qmax2=carga_b[cont]; cont++; } for (int a8=k2-1; a8>=1; a8--){ carga_a.push_back(carga_a[cont-1]+carga6(a8,a8)/(60)-carga7(a8,a8)/(60)); sig0=sig0+carga6(a7,k2)/(60)-carga7(a7,k3)/(60); if (carga_a[cont]>=qmax1){ qmax1=carga_a[cont]; sig1max=sig1; sig0max=sig0; } carga_b.push_back(0); cont++; } carga_b.clear(); carga_a.clear(); } else { // caso en que k0=1 carga_a.push_back(carga1(1,k1)/(60*(nopt+1))+carga2(1,k1)/(60)-carga4(1,k0)/(60*(nopt+1))); carga_b.push_back(carga1(1,k1)/(60*(nopt+1))); sig0=carga2(1,k1)/(60); sig1=carga1(1,k1)/(60)-carga4(1,k0)/(60); if (carga_a[0]>=qmax1){ qmax1=carga_a[0]; sig1max=sig1; sig0max=sig0;

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} if (carga_b[0]>=qmax2) qmax2=carga_b[0]; cont=1; for (int a4=k0+1; a4<=k1; a4++){ carga_a.push_back(carga_a[cont-1]+carga1(a4,k1)/(60*(nopt+1))+carga2(a4,k1)/(60)-carga4(a4,k0)/(60*(nopt+1))); sig0=sig0+carga2(a4,k1)/(60); sig1=sig1+carga1(a4,k1)/(60)-carga4(a4,k0)/(60); if (carga_a[cont]>=qmax1){ qmax1=carga_a[cont]; sig1max=sig1; sig0max=sig0; } carga_b.push_back(carga_b[cont-1]+carga1(a4,k1)/(60*(nopt+1))-carga4(a4,k0)/(60*(nopt+1))); if(a4==k1) carga_b[cont]=0; if (carga_b[cont]>=qmax2) qmax2=carga_b[cont]; cont++; } for (int a5=k1+1; a5<=n_par; a5++){ carga_a.push_back(carga_a[cont-1]+carga2(a5,a5)/(60)-carga3(a5,a5)/(60)); sig0=sig0+carga2(a5,a5)/(60)-carga3(a5,a5)/(60); if (carga_a[cont]>=qmax1){ qmax1=carga_a[cont]; sig1max=sig1; sig0max=sig0; } carga_b.push_back(0); cont++; } sig0=0,sig1=0; for (int a6=k3+1; a6<=n_par; a6++){ carga_a.push_back(carga[cont]/(60)); sig0=carga[cont]/(60); if (carga_a[cont]>=qmax1){ qmax1=carga_a[cont]; sig0max=sig0; sig1max=0; } carga_b.push_back(0); cont++; } for (int a7=k3; a7>=k2; a7--){ carga_a.push_back(carga_a[cont-1]+carga5(a7,k2)/(60*(nopt+1))+carga6(a7,k2)/(60)-carga7(a7,k3)/(60)-carga8(a7,k3)/(60*(nopt+1))); sig0=sig0+carga6(a7,k2)/(60)-carga7(a7,k3)/(60); sig1=sig1+carga5(a7,k2)/(60)-carga8(a7,k3)/(60);

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if (carga_a[cont]>=qmax1){ qmax1=carga_a[cont]; sig0max=sig0; sig1max=sig1; } carga_b.push_back(carga_b[cont-1]+carga5(a7,k2)/(60*(nopt+1))-carga8(a7,k3)/(60*(nopt+1))); if(a7==k2) carga_b[cont]=0; if (carga_b[cont]>=qmax2) qmax2=carga_b[cont]; cont++; } for (int a8=k2-1; a8>=1; a8--){ carga_a.push_back(carga_a[cont-1]+carga6(a8,a8)/(60)-carga7(a8,a8)/(60)); sig0=sig0+carga6(a8,a8)/(60)-carga7(a8,a8)/(60); if (carga_a[cont]>=qmax1){ qmax1=carga_a[cont]; sig0max=sig0; sig1max=sig1; } carga_b.push_back(0); cont++; } carga_a.clear(); carga_b.clear(); } f14poi_c=pow((vte*lamx/60+vtv*lamx2/3600)/(2*(c0*(n_par-1)*tpo_par+c0p*largo)),0.5); // Frecuencia óptima sin estrategia C(K)=c, M1 // cálculo de frecuencias óptimas con c constanste fa25poi_c=pow((vte*g1/60+vtv*g5/3600)/(c0*(g0-g3)+c0p*largo*(2-(k1-k0+k3-k2)/(n_par-1))-c0dhp*largo*(abs(k0-k2)+abs(k3-k1))/(n_par-1)),0.5); fb25poi_c=pow((vte*g2/60+vtv*g6/3600)/(c0*g3+c0p*largo*(k1-k0+k3-k2)/(n_par-1)+c0dhp*largo*(abs(k0-k2)+abs(k3-k1))/(n_par-1)),0.5)-fa25poi_c; // cálculo de factores necesarios para Newton gg2=c0*g0+2*c0p*largo; hh2=c1*b/etha/60*(sig0max*g2+sig1max*(g1+g2))+vte*g2/60+vtv*g6/3600; ii2=c0*b*g2/60+c1*sig1max*g0/etha+2*c1p*sig1max*largo/etha; jj2=c0*g3+c0p*largo*(k1-k0+k3-k2)/(n_par-1)+c0dhp*largo*(abs(k2-k0)+abs(k3-k1))/(n_par-1); kk2=c1*b/etha*sig0max*g3+sig0max/etha*largo*(c1p*(k1-k0+k3-k2)/(n_par-1)+c1dhp*(abs(k0-k2)+abs(k3-k1))/(n_par-1)); ll2=c0*b*g2/60+sig1max/etha*largo*(c1p*(k1-k0+k3-k2)/(n_par-1)+c1dhp*(abs(k0-k2)+abs(k3-k1))/(n_par-1))+c1/etha*sig1max*g3; mm2=c1*b/etha/60*sig0max*g2; nn2=c1*b/etha/60*sig0max*g1+vte*g1/60+vtv*g5/3600;

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g1=0, g2=0; // método de Newton result2=newton(gg2,hh2,ii2,jj2,kk2,ll2,mm2,nn2,fa25poi_c,fb25poi_c); fa25poi=result2[0]; fb25poi=result2[1]; nopt2=fb25poi/fa25poi; ctepoi=tiempoesperab(k0,k1,k2,k3,fa25poi,fb25poi,1); ctvpoi=tiempoviajeb(k0,k1,k2,k3,fa25poi,fb25poi); flotaest=flota_est(k0,k1,k2,k3,fa25poi,fb25poi,flotaest); //tamaño de flota Poisson bapoi=flotaest[0]; bbpoi=flotaest[1]; capestpoi2=(sig0max/fa25poi+sig1max/(fa25poi+fb25poi))/etha; cop_bucapoi=(c0+c1*capestpoi2)*bapoi+2*largo*fa25poi*(c0p+c1p*capestpoi2); cop_bucbpoi=(c0+c1*capestpoi2)*bbpoi+largo*fb25poi*((c0p+c1p*capestpoi2)*(k1-k0+k3-k2)/(n_par-1)+(c0dhp+c1dhp*capestpoi2)*(abs(k3-k1)+abs(k2-k0))/(n_par-1)); cop_bucpoi=cop_bucapoi+cop_bucbpoi; ctotpoi=ctepoi+ctvpoi+cop_bucpoi; sig1=0,sig0=0,sig0max=0,sig1max=0; if (fb25poi<=0) // estrategia no es aplicable ctotpoi=9999999; if (ctotpoi<ctot_minpoi){ ctot_minpoi=ctotpoi; k0_op1=k0; k1_op1=k1; k2_op1=k2; k3_op1=k3; } res<<ctepoi<<" "<<ctvpoi<<" "<<cop_bucpoi<<" "<<ctotpoi<<" "<<60*fa25poi<<" "<<60*fb25poi<<" "<<bapoi<<" "<<bbpoi<<" "<<capestpoi2<<" g "<<g5<<" "<<g6<<endl; g5=0, g6=0; qmax1=0, qmax2=0; } } } } // todos los for de los k0,k1,k2,k3 ben=100*(1-ctot_minpoi/ctot_norpoi); res<<" "<<endl; res<<"El costo mínimo es "<<ctot_minpoi<<" y el beneficio es "<<ben<<"%"<<". Las estaciones terminales son k0="<<k0_op1<<", k1="<<k1_op1<<", k2="<<k2_op1<<" y k3="<<k3_op1<<endl; ctot_minpoi=99999999; qmax=0; } // fin main