Universidad Complutense de MadridGrado en Ciencias Fısicas

Aleatoriedad sin probabilidad: ¿Que es la luz noclasica y para que sirve?

Complementariedad como estadıstica de loimposible

’Todo lo que llamamos real esta hecho de cosas que no pueden considerarse reales’

Niels Bohr

Irene Bartolome Martınez

Tutor: Alfredo Luis Aina

Madrid, 2017

Indice

1. Introduccion teorica y objetivos 2

2. Calculos 5

3. Apendice 12

3.1. Metodo general para escribir la estadıstica conjunta tras eliminar el

ruido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2. Entrelazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3. Estadıstica imposible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4. Conclusiones 20

Abstract

The complementarity in the form of wave-corpuscle duality in a Young’s

interferometer is investigated by the simultaneous and noisy measurement of

two incompatible observables: crossed slit and interference. This strategy in-

volves two quantum phenomena: (i) the quantum entanglement, necessary to

know the path traveled by the particle, and (ii) the uncertainty, since the two

observables are incompatible so they can not be measured with absolute pre-

cision, due to the relations of uncertainty of Heisenberg. It is shown that by

removing the excess uncertainty caused by the noisy measurement an impos-

sible joint statistic results, which is interpreted as a symbol of the quantum

nature of the observed phenomenon.

1

1. Introduccion teorica y objetivos

Los estados de luz no clasicos son aquellos que necesitan de la teorıa cuantica

para poder ser descritos, es decir, la luz no clasica presenta una serie de propieda-

des paradojicas tıpicas del mundo cuantico. En el fondo, todo comportamiento no

clasico se resume en la existencia de variables aleatorias que no admiten una distri-

bucion de probabilidad conjunta, este sera el tema de estudio, mas concretamente

la complementariedad como ejemplo fundamental de propiedad cuantica.

El objetivo de la complementariedad es explicar algunos fenomenos aparente-

mente contradictorios que presenta la mecanica cuantica. Niehls Bohr establecio

la idea de complementariedad para entender las implicaciones de las relaciones de

Heisenberg, o mas conocidas como relaciones de incertidumbre.

Este principio establece que los fenomenos atomicos no pueden describirse con

la completitud exigida por la dinamica clasica. Algunos de los elementos que se

complementan entre sı para formar una descripcion clasica completa son en reali-

dad mutuamente excluyentes y los elementos complementarios son necesarios para

la descripcion de diversos aspectos de los fenomenos. Es decir, dos propiedades com-

plementarias no se pueden medir simultaneamente con igual precision, de manera

que cuanta mas precision se obtiene de una de ellas, menos se obtiene de la comple-

mentaria.

El experimento de la doble rendija, tambien conocido como experimento de

Young, es el mas importante de la mecanica cuantica. Repetido de mil formas dis-

tintas, es donde mas claramente se aprecian los efectos cuanticos. Posee dicha idea

de complementariedad y ademas, pone de manifiesto que, a escala microscopica, los

objetos fısicos tienen una naturaleza dual: segun las circunstancias, pueden com-

portarse como un conjunto de partıculas o como una onda. Este experimento, sera

estudiado en mas detalle posteriormente para el caso de fotones.

2

El interferometro de Young, fue disenado para demostrar el caracter ondulatorio

de la luz, ya que un frente de onda es capaz de pasar simultaneamente por los dos

orificios mientras que una partıcula indivisible como el foton solo es capaz de pasar

por uno de los orificios. Esta constituido, tal y como se muestra en la figura (1), por

una pantalla S con dos rendijas muy estrechas separadas una cierta distancia d. Si

a una distancia L se coloca otra pantalla B y se hace incidir sobre las rendijas de

la primera pantalla (S) un frente de ondas, este se divide en dos nuevos frentes de

onda, los cuales se superponen dando lugar a un patron de interferencia de lıneas

claras y oscuras. Los electrones que inciden en la pantalla S pueden pasar bien a

traves de la rendija 1 o 2. Cada partıcula transmitida golpea la pantalla B en una

cierta posicion z. Sin embargo, si la intensidad de la fuente se controla de forma

que emita los electrones de uno en uno con separacion temporal suficiente, y en

la pantalla se situa un sistema de deteccion que tambien detecte la llegada de un

electron individual, se obtiene que cada electron individual produce un unico impacto

puntual en la pantalla en posiciones aparentemente aleatorias, comportandose como

partıculas.

Figura 1: Experimento de la doble rendija

3

A medida que el numero de impactos va creciendo, la distribucion de los mismos

ya no parece aleatoria y despues de muchos impactos, se observa la distribucion

de intensidad continua correspondiente a las franjas de Young. En consecuencia, los

electrones se han comportado como onda (en la propagacion a traves de los orificios)

y como partıcula (en la interaccion con el detector).

La intensidad del haz en la posicion z viene determinada por la probabilidad p(z)

de que un electron golpee la pantalla B en la posicion z. Es imposible predecir con

certeza la posicion en la que una partıcula individual incidira sobre B, ya que como

es sabido, el formalismo cuantico solo produce la probabilidad de que una partıcula

se encuentre con la coordenada z:

p(z) = |ψ(z)|2. (1)

Esta probabilidad es calculada por la funcion de onda, formada por las dos aporta-

ciones ψ1(z) y ψ2(z) procedentes de las rendijas 1 y 2 ψ(z) = ψ1(z) + ψ2(z).

|ψ(z)|2 = |ψ1(z)|2 + |ψ2(z)|2 + ψ1(z)∗ψ2(z) + ψ1(z)ψ2(z)∗. (2)

Obteniendose de esta forma, una probabilidad en la que se aprecia una aportacion

extra pint, la cual representa la llamada interferencia o el termino cruzado.

p(z) = p1(z) + p2(z) + pint(z), (3)

donde pint(z) = ψ1(z)∗ψ2(z) + ψ1(z)ψ2(z)∗.

La idea de complementariedad surge al notar que la observacion exacta del camino

destruye completamente la interferencia. Efectivamente, si se conoce con certeza que

la partıcula pasa por la rendija 1 entonces la funcion de ondas ψ(z) se reduce a

ψ(z) = ψ1(z) + ψ2(z) → ψ1(z), deja de tener dos aportaciones y la interferencia

desaparece.

La clave para este trabajo reside en la posibilidad de observar de forma inexacta

la trayectoria sin que la interferencia desaparezca por completo. Como se conocen

4

los detalles del proceso de observacion se podran eliminar las inexactitudes y per-

turbaciones debidas a la observacion y contemplar directamente en que consiste la

complementariedad.

2. Calculos

Como ya se ha comentado, dos variables complementarias se pueden observar

simultaneamente, admitiendo que la observacion tendra cierta incertidumbre ya que

ninguna de las dos variables se mide con precision absoluta.

Despues de obtener la estadıstica se supondra que esta contiene la informacion

completa de la estadıstica exacta de los dos observables y que para las dos variables

es posible hacer un tratamiento de datos que elimine la incertidumbre y recuperar

la estadıstica exacta de cada observable por separado. Sin embargo, al aplicar dicha

recuperacion a la estadıstica conjunta el resultado es paradojico, ya que como se

vera mas adelante, se adquieren valores negativos, lo cual no puede ser fruto de una

estadıstica convencional, es una estadıstica imposible. Por tanto no hay una distri-

bucion de probabilidad para las variables del sistema que explique la aleatoriedad

observada en los resultados de las medidas, lo que evidencia el comportamiento no

clasico del experimento que no puede ser descrito dentro de los lımites de la fısica

clasica.

Se va a demostrar que la observacion conjunta del comportamiento ondulatorio

y corpuscular, dualidad onda corpusculo, en un interferometro de Young conduce a

estadısticas imposibles. El comportamiento ondulatorio vendra representado por el

observable interferencia, mientras que el comportamiento corpuscular vendra des-

crito por el observable rendija representando la observacion del paso del foton por

una rendija u otra.

Considerando el estado puro mas general posible para un foton.

|ψ〉 = α |1, 0〉+ β |0, 1〉 , (4)

5

teniendose en cuenta que α y β ∈ C y cumpliendose |α|2 + |β|2 = 1. Los vectores

|1, 0〉 y |0, 1〉 representan la presencia del foton en la rendija superior o en la inferior.

Estos estados se corresponderan respectivamente con los dos valores posibles z = 1

y z = −1 de la variable z, que representara el observable rendija en la forma:

|z = 1〉 = |1, 0〉 = a+1 |0, 0〉 =

1

0

,

|z = −1〉 = |0, 1〉 = a+2 |0, 0〉 =

0

1

,

(5)

lo que equivale a decir que el observable rendija viene representado por la matriz de

Pauli σZ =

1 0

0 −1

y siendo respectivamente a1 y a2 los operadores de amplitud

compleja, los cuales representan las amplitudes de las ondas que van a interferir, es

decir, las que surgen de cada rendija, y |n1, n2〉 estados numero de fotones en cada

rendija, 0 o 1 en nuestro caso.

La matriz densidad, ρ, de un estado puro se define ρ = |ψ〉 〈ψ|, particularizando

para el estado puro descrito en la ecuacion (4) se obtiene:

ρ =

αβ

(α∗ β∗) =

|α|2 β∗αα∗β |β|2

Dicha matriz densidad ρ, permite obtener la probabilidad de localizar el foton

en una rendija u otra de la forma:

P (z = ±1) = 〈z = ±1|ρ|z = ±1〉 ,

obteniendose para cada una de las posibilidades:

P (z = 1) =(

1, 0)|α|2 β∗α

α∗β |β|2

1

0

= |α|2 (6)

P (z = −1) =(

0, 1)|α|2 β∗α

α∗β |β|2

0

1

= |β|2. (7)

6

A continuacion, se estudiara la interferencia. Esta puede ser descrita con un

termino interferencial tıpico de las dos ondas, que para el caso del foton coincide

con la matriz de Pauli σX .

σx =

0 1

1 0

.

Dicho observable tiene dos autovalores y autovectores:

|x = ±1〉 =1√2

(|1, 0〉 ± |0, 1〉)→ |x = ±1〉 =1√2

1

±1

,

los cuales permiten obtener la probabilidad de observacion de los dos posibles valores

del observable interferencia.

P (x = 1) =1

2

(1, 1

)|α|2 β∗αα∗β |β|2

1

1

=1

2(1 + βα∗ + αβ∗), (8)

P (x = −1) =1

2

(1, −1

)|α|2 β∗αα∗β |β|2

1

−1

=1

2(1− βα∗ − αβ∗). (9)

Para poder llevar a cabo una observacion simultanea de σx y σz, es decir onda

y corpusculo, se marca la presencia del foton en una u otra rendija mediante su

polarizacion, ofreciendo de esta forma una observacion indirecta del observable ren-

dija σz. Por sencillez se describira la polarizacion con un espacio de Hilbert extra

de dimension dos, usando la base de polarizacion vertical |↑〉 y horizontal |→〉, que

para este caso pueden ser escritas como:

|↑〉 =

1

0

∗

,

|→〉 =

0

1

∗

.

7

Donde el asterısco como subındice distingue dichos vectores de los vectores (1,0)

y (0,1) presentados en la ecuacion (5).

El foton tendra inicialmente polarizacion horizontal |→〉. Sobre la rendija supe-

rior se pone una lamina retardadora de media onda orientada de modo que cambie

el estado de polarizacion rotandolo un angulo θ, es decir, |→〉 se transforma en

cos θ |→〉 + sin θ |↑〉 y dejando el estado de polarizacion del foton que pase por la

rendija inferior tal y como estaba |→〉.

La inferencia del camino seguido se hara en el espacio de polarizacion observando

si la polarizacion del foton es horizontal z = 1 o vertical z = −1. Si θ = π/2

la polarizacion proporciona una observacion perfecta de la rendija atravesada, lo

que elimina completamente la interferencia al tener las dos ondas polarizaciones

ortogonales. Es interesante por tanto el caso θ 6= π/2, ofreciendo una observacion

imperfecta o ruidosa de la rendija atravesada. Si la polarizacion es vertical se sabra

con certeza que paso por la rendija superior, pero si es horizontal no se puede saber

por que rendija paso, lo que da margen para que haya interferencia.

Si el estado del foton es el estado puro en (4), el vector tras pasar por las rendijas

incluyendo polarizacion se escribe:

|ψ〉 = α |1, 0〉 (cos θ |→〉+ sin θ |↑〉) + β |0, 1〉 |→〉 , (10)

tratandose de un estado entrelazado entre rendijas y polarizacion. 1

La observacion de la interferencia seguira siendo en el mismo espacio de los

calculos previos, con el observable σx.

Se puede obtener la estadıstica conjunta en la observacion simultanea P (x, z) a

partir de la expresion:

P (x, z) = | 〈x, z|ψ〉 |2. (11)

1El entrelazamiento, como se mostrara posteriormente en el apendice (seccion 3.2), esta en el

corazon de la medicion cuantica, pues cuando dos sistemas estan en un estado entrelazado, cada uno

de ellos puede revelar informacion sobre el otro, comportandose de esta forma como un dispositivo

de medicion.

8

Teniendo en cuenta que z = +1 =→, z = −1 =↑ y conociendo que|x = ±1, z = 1〉 = 1√

2(|1, 0〉 ± |0, 1〉) |→〉 ,

|x = ±1, z = −1〉 = 1√2

(|1, 0〉 ± |0, 1〉) |↑〉 ,

se obtiene:

P (x = ±1, z = 1) =1

2

(|α|2 cos2 θ + |β|2 ± αβ∗ cos θ ± α∗β cos θ

), (12)

P (x = ±1, z = −1) =1

2|α|2 sin2 θ. (13)

A partir de esta estadıstica conjunta, se pueden obtener las estadısticas observa-

das de interferencia σx en el estado descrito por la ecuacion (10):

P (x = ±1) = P (x = ±1, z = 1) + P (x = ±1, z = −1) =

=1

2(1± α∗β cos θ ± αβ∗ cos θ) , (14)

y operando de forma analoga, se obtiene la estadıstica para el observable rendija σz,

el comportamiento corpuscular:

P (z = 1) = P (x = 1, z = 1) + P (x = −1, z = 1) =

= |α|2 cos2 θ + |β|2, (15)

P (z = −1) = P (x = 1, z = −1) + P (x = −1, z = −1) =

= |α|2 sin2 θ. (16)

A continuacion se buscara una relacion entre la estadıstica exacta de cada obser-

vable P (x) y P (z) y la obtenida en la observacion simultanea P (x) y P (z), mediante

la obtencion de los elementos de las matrices µx y µz aplicando las relaciones (35) y

(36)2, es decir:

P (x) =∑x′=±1

µx(x, x′)P (x′), (17)

2En la seccion 3.1 del apendice sera explicado con mas detalle.

9

P (z) =∑z′=±1

µz(z, z′)P (z′). (18)

Es decir, µx y µz eliminan la indeterminacion causada por la observacion conjunta

de interferencia y rendija atravesada y proporcionan las estadısticas exactas P (x) y

P (z) a partir de sus versiones ruidosas P (x) y P (z).

Primero se trabajara con la observacion de la interferencia para obtener µx(x, x′),

es decir, con la ecuacion (17). Teniendo en cuenta los valores obtenidos anteriormente

para la probabilidad P (x = 1), expresion (8) y la probabilidad P (x′ = ±1), expresion

(14):

P (x = 1) = µx(1, 1)1

2(1 + α∗β cos θ + αβ∗ cos θ) + µx(1,−1)

1

2(1− α∗β − αβ∗) =

=1

2(1 + βα∗ + αβ∗) . (19)

Igualando terminos en α∗β y αβ∗ que son variables independientes se obtiene respec-

tivamente los valores de µx(1, 1) y µx(1,−1), cuyo valor se mostrara posteriormente

en una tabla.

De forma analoga, se obtienen los valores de µx(−1, 1) y µx(−1,−1):

P (x = −1) = µx(−1, 1)1

2(1 + α∗β cos θ + αβ∗ cos θ) + µx(−1,−1)

1

2(1− α∗β − αβ∗) =

=1

2(1− βα∗ − αβ∗) . (20)

µx(1, 1) 12

(1 + 1

cos θ

)µx(1,−1) 1

2

(1− 1

cos θ

)µx(−1, 1) 1

2

(1− 1

cos θ

)µx(−1,−1) 1

2

(1 + 1

cos θ

)Tabla 1: Elementos de matriz para la componente x.

A continuacion se calculara de forma analoga los elementos de matriz µz(z, z′) a

partir de la relacion (18) y sus respectivas probabilidades P (z = ±1) y P (z′ = ±1):

P (z = 1) = µz(1, 1)(|α|2 cos2 θ + |β|2

)+ µz(1,−1)|α|2 sin2 θ = |α|2. (21)

10

P (z = −1) = µZ(−1, 1)(|α|2 cos2 θ + |β|2

)+ µz(−1,−1)|α|2 sin2 θ = |β|2. (22)

µz(1, 1) 0 µz(1,−1) csc2 θ

µz(−1, 1) 1 µz(−1,−1) − cot2 θ

Tabla 2: Elementos de matriz para la componente z.

Finalmente se calcula la posible estadıstica conjunta exacta aplicando la inversion

del calculo anterior que elimina la incertidumbre anadida a la estadıstica conjunta

observada P (x, z), a partir de la expresion (23) para comprobar si se obtiene una

estadıstica legıtima a partir de (12), (13):

P (x, z) =∑x′=±1

∑z′=±1

µx(x, x′)µz(z, z

′)P (x′, z′). (23)

Teniendo en cuenta los datos expresados en las tablas de los elementos de las matrices

µx y µz se obtiene finalmente la probabilidad de la observacion simultanea:

Para el caso x = 1 y z = 1.

P (+1,+1) =|α|2

2. (24)

Para el caso x = 1 y z = −1:

P (+1,−1) =1

2

(|β|2 + αβ∗ + α∗β

). (25)

Para el caso x = −1 y z = 1:

P (−1,+1) =|α|2

2. (26)

Para el caso x = −1 y z = −1:

P (−1,−1) =1

2

(|β|2 − αβ∗ − α∗β

). (27)

11

Se puede comprobar facilmente que la suma de las probabilidades (24), (25), (26)

y (27) da el valor correcto:

∑z=±1

∑x=±1 P (x, z) = 1. (28)

Sin embargo, tal y como se puede observar en las relaciones (25) y (27) se han

obtenido valores negativos para P (1,−1) si |α| > |β|/2 hecho que no ocurre en la

teorıa clasica, que desconcierta y evidencia el caracter fundamentalmente cuantico

del fenomeno analizado.

Es habitual suponer que, puesto que las probabilidades de los sucesos deben

de ser positivas, que una teorıa que de cantidades negativas debe ser erronea. Sin

embargo, tal y como se expondra en el apendice (seccion 3.3) en mayor detalle, se

puede hacer una analogıa con las matematicas basicas en las que el uso de numeros

negativos como calculo abstracto facilite y simplifique el analisis, permitiendo de

esta forma despreciar detalles no esenciales 3. Por tanto, se podrıan entender las

probabilidades negativas como probabilidades que su uso simplifican los calculos y

el pensamiento en una serie de aplicaciones en fısica.

3. Apendice

3.1. Metodo general para escribir la estadıstica conjunta

tras eliminar el ruido

En la teorıa de la medicion cuantica, una medida significa una correspondencia

entre estados del sistema y distribuciones de probabilidad. Esta teorıa proporciona

una regla que describe las estadısticas de medicion, es decir, las respectivas pro-

babilidades de los diferentes resultados de medicion posibles y ademas ofrece una

3Un claro ejemplo serıa el calculo del numero de manzanas, que a pesar de que un numero de

manzanas negativo no tenga sentido alguno, si este numero negativo solo es obtenido en calculos

intermedios y el resultado final es estrictamente positivo la respuesta serıa valida.

12

regla que describe el estado post-medida del sistema. Sin embargo, para algunas

aplicaciones el estado posterior a la medicion del sistema es de poco interes, siendo

el principal interes las probabilidades de los respectivos resultados de medicion. Este

es el caso, por ejemplo, en un experimento en el que el sistema se mide una sola

vez. En tales casos existe una herramienta matematica conocida como el formalismo

POVM que esta especialmente bien adaptada al analisis de las mediciones.

La probabilidad pm de que al realizar el experimento se obtenga el valor m de la

variable, se calcula mediante la siguiente expresion:

pm = Tr(ρMm), (29)

donde ρ se refiere a la matriz densidad y Mm toma valores sobre operadores po-

sitivos (positive operator valued measure o POVM), es decir Mm son operadores

auto-adjuntos no negativos en el espacio de Hilbert y cuya integral, o suma si se

trata de un conjunto discreto, es el operador identidad.

Mm = M †m ≥ 0,

∑m

Mm = 1. (30)

En general Mm no son proyectores ortogonales, [Mm,M`] 6= 0 para m 6= `, es decir no

son proyectores sobre los autoestados de un operador Hermıtico (projection valued

measures o PVM’s), que es el caso normalmente considerado en las formulaciones

mas sencillas de la estadıstica cuantica. Por ello, las POVM ′s permiten describir

cualquier medida, incluyendo la de observables que no pueden ser descritos simple-

mente por operadores Hermıticos, como la fase, la amplitud compleja o el tiempo

por ejemplo. No obstante el teorema de Neumark establece que toda POVM puede

describirse como la restriccion de una PVM en un espacio mas grande.

Esto encaja perfectamente con el problema ya descrito, en el sentido de que la

estadıstica P (x, z) viene dada por una POVM en el espacio del foton sin polarizacion

que proviene de una PVM en el espacio mayor que sı incluye la polarizacion. Es

conveniente recordar que la polarizacion fue introducida de forma auxiliar como

13

aparato de medida para observar la trayectoria del foton. Por ello, al ser una POVM

en lugar de PVM , la estadıstica P (x, z) puede contener informacion completa de

los dos observables y pueden plantearse los problemas tratados en este trabajo.

Una POVM {Nm} representa una medida no ideal de un observable descrito por

la POVM {Nl} si existe una matriz (λml) estocastica que satisfaga las siguientes

relaciones:

Nm =∑l

λmlNl, λml ≥ 0,∑m

λml = 1. (31)

Dicha POVM {Nl} no tiene que ser necesariamente una PVM . Ademas, cada

uno de los ındices m y l puede ser reemplezado por otro continuo, estando por tanto

obligado a sustituir los sumatorios por integrales respectivamente.

De forma analoga a (31), para una POVM {Ml} que represente una medida no

ideal del observable descrito por la POVM {Mm} se tendra:

Ml =∑m

µlmMm, µlm ≥ 0,∑l

µlm = 1. (32)

Donde µlm sera su matriz estocastica.

Considerando la medicion conjunta no ideal de dos observables incompatibles,

{Mk} y {Nl}, de acuerdo con el requisito de que la medicion es representada por un

POVM bivariante {Rmn} se satisface:

∑n

Rmn =∑k

λmkMk,∑m

Rmn =∑l

µnlNl, (33)

Donde sus marginales, {∑

nRmn} y {∑

mRmn} representan medidas no ideales

de {Mk} y {Nl}, respectivamente.

Desde el punto de vista de la medicion conjunta, la deteccion conjunta de ’trayec-

toria’ e ’interferencia’ solo puede realizarse con una calidad limitada, confirmando

de esta forma la idea de complementariedad de Bohr, ya que es imposible observar

la interferencia y el camino simultaneamente con total precision .

Las medidas conjuntas requieren que tras la medicion se realice algun tipo de analisis

14

de datos o procedimientos de inversion para extraer la informacion de las variables

del sistema de las estadısticas observadas.

Esta inversion solo obtiene siempre una distribucion conjunta de las variables del

sistema legıtima, es decir bien definida (real positiva y normalizada) para el caso de

la fısica clasica, ya que en la fısica cuantica, esta inversion puede ser incompatible

con las estadısticas clasicas como ya se explicara mas adelante.

Al abordar cuanticamente estadısticas conjuntas de multiples observables y en espe-

cial si son incompatibles se observan efectos no clasicos, entendidos como estadısticas

imposibles en fısica clasica, bien sea por no existir, por tomar valores negativos o

por ser mas singulares que la funcion delta de Dirac.

En la medicion simultanea de dos observables necesariamente compatibles X y

Y , se tiene su probabilidad conjunta pX,Y (x, y), con sus respectivas distribuciones

marginales:

pX(x) =∑y

pX,Y (x, y), pY (y) =∑x

pX,Y (x, y), (34)

suponiendo un rango discreto para x e y sin perdida de generalidad y que estas

marginales proporcionan la informacion de los observables del sistema X e Y , los

cuales no tienen que ser necesariamente compatibles. Lo que supondra la existencia

de las funciones µx(x, x′) y µy(y, y

′) que permitiran la inversion:

P (x) =∑x′=±1

µx(x, x′)P (x′), (35)

P (y) =∑y′=±1

µy(y, y′)P (y′), (36)

donde P (x) y P (y) son las estadısticas exactas de los observables X e Y , respecti-

vamente. Esta inversion puede ser generalizada para la probabilidad conjunta de la

forma:

pX,Y (x, y) =∑x′,y′

µX(x, x′)µY (y, y′)pX,Y (x′, y′). (37)

15

3.2. Entrelazamiento

El concepto de entrelazamiento desempena un papel esencial en la fısica cuantica.

Las partıculas cuanticas se comportan como un unico sistema no separable entrela-

zado tras haber interactuado. Es decir, cualquier medicion realizada en la primera

partıcula proporciona informacion sobre el resultado de la medicion de la segun-

da partıcula, los resultados de la medicion de cada partıcula estan profundamente

interrelacionados.

Estas fuertes correlaciones hacen que las medidas realizadas sobre un sistema pa-

rezcan estar influyendo instantaneamente otros sistemas que estan enlazados con el,

y sugieren que alguna influencia se tendrıa que estar propagando instantaneamente

entre los sistemas, a pesar de la separacion entre ellos.

Recientemente se ha puesto de manifiesto que tambien existe entrelazamiento

en fısica clasica. No obstante las propiedades e implicaciones del entrelazamiento

clasico son diferentes de los que se derivan del cuantico. Pues principalmente, el

entrelazamiento clasico implica diferentes grados de libertad de la misma partıcula

en lugar del entrelazamiento entre diferentes partıculas, como ocurre en su analogo

cuantico.

En la fısica clasica, despues de que dos sistemas interactuen, cada uno debe per-

tenecer a un estado individual bien definido. Mientras que en su analogo cuantico

tras interactuar dos partıculas no pueden ser descritas de forma independiente. El

estado entrelazado cuantico, no es un producto tensorial de los estados propios de

observables pertenecientes a las dos partıculas, que describirıan sistemas indepen-

dientes. Es en cambio una superposicion de productos. El estado de una partıcula

esta determinado por una medida realizada en el otro. El entrelazamiento cuanti-

co, es esencial para comprender la decoherencia cuantica, proceso que explica como

un estado cuantico entrelazado puede desembocar en un estado clasico, no entre-

lazado, es decir, el sistema fısico deja de mostrar efectos cuanticos para exhibir un

comportamiento tıpicamente clasico. Una superposicion de los estados se entrela-

16

za rapidamente con su entorno, perdiendo coherencia. Por tanto, el estudio de la

decoherencia permite vislumbrar el lımite cuantico / clasico.

Tambien es estudiado el entrelazamiento cuantico como un recurso para el pro-

cesamiento de la informacion cuantica.

3.3. Estadıstica imposible

La teorıa de campos cuanticos auna los principios de la mecanica cuantica y

los de la relatividad. Esta en sus orıgenes ofrecıa resultados infinitos, aunque con

los procesos de renormalizacion se han conseguido obtener valores finitos. Feynamn

en un intento de obtener una teorıa que diera una respuesta finita desde el inicio,

estudia los ’supuestos tacitos’.

Como ya se adelanto en la seccion de calculos, las probabilidades negativas pue-

den estar justificadas como un calculo abstracto que permite simplificar los calculos

y el pensamiento de una serie de aplicaciones fısicas.

Se estudiara un problema de probabilidad simple para su mejor compresion. Se

considera una rueda de ruleta con solo tres numeros: 1, 2, 3; con un control se

puede poner la rueda en una de dos condiciones: A, B; en cada una de las cuales la

probabilidad de 1, 2, 3 son diferentes.

Para ello, es imprescindible introducir el concepto de probabilidad condicional.

Si α son condiciones y piα es una probabilidad condicional, es decir, la probabilidad

de obtener el resultado i si la condicion α es valida:

Pi =∑α

piα · Pα; i = 1, 2, 3; α = A,B. (38)

Donde Pα son las probabilidades que las condiciones α obtienen, y Pi es la probabili-

dad consiguiente del resultado i. De forma clara, se puede ver que las probabilidades

deben cumplir: ∑i

piα = 1,∑α

Pα = 1,∑i

Pi = 1. (39)

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De esta forma, imponiendo que para una de las condiciones α exista una pro-

babilidad condicional negativa, por ejemplo para la condicion B la probabilidad de

obtener 1 (p1B), no presenta ningun problema, ya que como ya se ha repetido en

varias ocasiones, el uso matematico de los numeros negativos permite una eficiencia

en el razonamiento, asegurandose de que pasos intermedios que no son interpretados

facilmente (debido a la posible presencia de probabilidades negativas o mayores de

la unidad) no conduciran a resultados absurdos, siempre y cuando esta probabilidad

negativa combinada con el resto de probabilidades cumpla las relaciones impuestas

por la expresion (39), como se muestra en la siguiente tabla, siguiendo el ejemplo

proporcionado en [9].

p1A 0.3 p1B -0.4

p2A 0.6 p2B 1.2

p3A 0.1 p3B 0.2

Tabla 3: Probabilidades de la ruleta para las distintas condiciones (A,B).

Una probabilidad mayor que la unidad no presenta ningun problema diferente

del de las probabilidades negativas, ya que representa una probabilidad negativa de

que el evento no ocurra.

Dependiendo de los valores dados a las probabilidades Pα, se obtienen proba-

bilidades finales positivas o negativas. Si se supone que la condicion A tenga una

probabilidad 0,7 y la B 0,3, se obtiene:

P1 = 0,7(0,3) + 0,3(−0,4) = 0,09,

P2 = 0,7(0,6) + 0,3(1,3) = 0,78,

P3 = 0,7(0,1) + 0,3(0,2) = 0,13.

Donde se puede observar que a pesar de que la probilidad condicional P1B sea ne-

gativa, se cumplen las relaciones (39) y se han obtenido probabilidades Pi positivas,

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y por tanto una estadıstica legıtima.

Sin embargo, el verdadero problema se tendrıa si una de las posibles combina-

ciones de Pα conducen a probabilidades Pi negativas, ya que no se puede obtener

una probabilidad negativa de obtener un resultado. Para poder explicar este hecho,

existen dos posibles interpretaciones fısicas.

La primera consiste en suponer que la naturaleza esta construida de tal manera

que nunca se puede estar seguro de que el sistema esta en una condicion α, se puede

suponer que siempre ha de existir un lımite para el conocimiento de la situacion

que se puede alcanzar, pero nunca se puede saber con certeza si la condicion α se

produce.

La otra posibilidad consiste en suponer que los resultados i no son directamente

observables, solo se puede verificar por una observacion final que el resultado habıa

sido uno de los posibles i con ciertas probabilidades. Es decir, los posibles i no son

resultados finalmente observados, son solo intermediarios en un calculo.

Esto puede ser entendido de mejor manera volviendo al ejemplo de la ruleta. No

siempre puede existir una eleccion para la que Pα simultaneamente haga que todos

los Pi sean positivos a la vez. De esta forma, a pesar de que ciertas restricciones

puedan hacer que la probabilidad del resultado 1 sea positiva, el resultado 3 bajo

estas circunstancias tendrıa una probabilidad negativa. Igualmente, las condiciones

que aseguran que P3 es positivo pueden dejar P1 o P2 negativos. Cualquier metodo

para determinar que el resultado ha sido 3 excluye de forma automatica que se

pueda determinar simultaneamente que el resultado fue 1. Esto evoca al principio

de incertidumbre ya mencionado en otras secciones.

Para que el evento o estado fısico sea directamente verificable, las probabilidades

condicionales y de calculos intermedios imaginados pueden ser negativas, mientras

que la probabilidad siempre ha de ser positiva.

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4. Conclusiones

Un estudio detallado de la relacion entre la teorıa clasica y la cuantica puede

implicar una estadıstica conjunta imposible, es decir, que ofrezca probabilidades ne-

gativas, como en nuestro caso, donde tras un estudio de la dualidad onda-corpusculo

en el interferometro de Young se ha demostrado como la estadıstica conjunta exacta

de dos observables rendija e interferencia (corpusculo y onda respectivamente) lleva

a una estadıstica imposible, pues, tras eliminar la incertidumbre de la observacion

simultanea de ambos observables, se obtiene que una de las probabilidades puede

tomar valores negativos. Este hecho, es inconcebible desde el punto de la optica

clasica, sin embargo, como ya se discutio en el apendice (seccion 3.3) el hecho de

que existan probabilidades negativas no implica que sea una teorıa erronea, simple-

mente no es un proceso verificable directamente. O bien una de las condiciones (por

ejemplo, condiciones iniciales) puede no realizarse en el mundo fısico o la situacion

para la cual la probabilidad parece ser negativa no es una que pueda ser verificada

directamente. Una combinacion de estos dos, limitacion de verificabilidad y libertad

en condiciones iniciales, tambien puede ser una explicacion del problema aparente.

Referencias

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[2] P. Busch and C. Shilladay, Complementarity and uncertainty in

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Muynck, Kluwer Academics Publishers, 2002.

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