Universidad Complutense de MadridGrado en Ciencias Fısicas
Aleatoriedad sin probabilidad: ¿Que es la luz noclasica y para que sirve?
Complementariedad como estadıstica de loimposible
’Todo lo que llamamos real esta hecho de cosas que no pueden considerarse reales’
Niels Bohr
Irene Bartolome Martınez
Tutor: Alfredo Luis Aina
Madrid, 2017
Indice
1. Introduccion teorica y objetivos 2
2. Calculos 5
3. Apendice 12
3.1. Metodo general para escribir la estadıstica conjunta tras eliminar el
ruido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2. Entrelazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3. Estadıstica imposible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4. Conclusiones 20
Abstract
The complementarity in the form of wave-corpuscle duality in a Young’s
interferometer is investigated by the simultaneous and noisy measurement of
two incompatible observables: crossed slit and interference. This strategy in-
volves two quantum phenomena: (i) the quantum entanglement, necessary to
know the path traveled by the particle, and (ii) the uncertainty, since the two
observables are incompatible so they can not be measured with absolute pre-
cision, due to the relations of uncertainty of Heisenberg. It is shown that by
removing the excess uncertainty caused by the noisy measurement an impos-
sible joint statistic results, which is interpreted as a symbol of the quantum
nature of the observed phenomenon.
1
1. Introduccion teorica y objetivos
Los estados de luz no clasicos son aquellos que necesitan de la teorıa cuantica
para poder ser descritos, es decir, la luz no clasica presenta una serie de propieda-
des paradojicas tıpicas del mundo cuantico. En el fondo, todo comportamiento no
clasico se resume en la existencia de variables aleatorias que no admiten una distri-
bucion de probabilidad conjunta, este sera el tema de estudio, mas concretamente
la complementariedad como ejemplo fundamental de propiedad cuantica.
El objetivo de la complementariedad es explicar algunos fenomenos aparente-
mente contradictorios que presenta la mecanica cuantica. Niehls Bohr establecio
la idea de complementariedad para entender las implicaciones de las relaciones de
Heisenberg, o mas conocidas como relaciones de incertidumbre.
Este principio establece que los fenomenos atomicos no pueden describirse con
la completitud exigida por la dinamica clasica. Algunos de los elementos que se
complementan entre sı para formar una descripcion clasica completa son en reali-
dad mutuamente excluyentes y los elementos complementarios son necesarios para
la descripcion de diversos aspectos de los fenomenos. Es decir, dos propiedades com-
plementarias no se pueden medir simultaneamente con igual precision, de manera
que cuanta mas precision se obtiene de una de ellas, menos se obtiene de la comple-
mentaria.
El experimento de la doble rendija, tambien conocido como experimento de
Young, es el mas importante de la mecanica cuantica. Repetido de mil formas dis-
tintas, es donde mas claramente se aprecian los efectos cuanticos. Posee dicha idea
de complementariedad y ademas, pone de manifiesto que, a escala microscopica, los
objetos fısicos tienen una naturaleza dual: segun las circunstancias, pueden com-
portarse como un conjunto de partıculas o como una onda. Este experimento, sera
estudiado en mas detalle posteriormente para el caso de fotones.
2
El interferometro de Young, fue disenado para demostrar el caracter ondulatorio
de la luz, ya que un frente de onda es capaz de pasar simultaneamente por los dos
orificios mientras que una partıcula indivisible como el foton solo es capaz de pasar
por uno de los orificios. Esta constituido, tal y como se muestra en la figura (1), por
una pantalla S con dos rendijas muy estrechas separadas una cierta distancia d. Si
a una distancia L se coloca otra pantalla B y se hace incidir sobre las rendijas de
la primera pantalla (S) un frente de ondas, este se divide en dos nuevos frentes de
onda, los cuales se superponen dando lugar a un patron de interferencia de lıneas
claras y oscuras. Los electrones que inciden en la pantalla S pueden pasar bien a
traves de la rendija 1 o 2. Cada partıcula transmitida golpea la pantalla B en una
cierta posicion z. Sin embargo, si la intensidad de la fuente se controla de forma
que emita los electrones de uno en uno con separacion temporal suficiente, y en
la pantalla se situa un sistema de deteccion que tambien detecte la llegada de un
electron individual, se obtiene que cada electron individual produce un unico impacto
puntual en la pantalla en posiciones aparentemente aleatorias, comportandose como
partıculas.
Figura 1: Experimento de la doble rendija
3
A medida que el numero de impactos va creciendo, la distribucion de los mismos
ya no parece aleatoria y despues de muchos impactos, se observa la distribucion
de intensidad continua correspondiente a las franjas de Young. En consecuencia, los
electrones se han comportado como onda (en la propagacion a traves de los orificios)
y como partıcula (en la interaccion con el detector).
La intensidad del haz en la posicion z viene determinada por la probabilidad p(z)
de que un electron golpee la pantalla B en la posicion z. Es imposible predecir con
certeza la posicion en la que una partıcula individual incidira sobre B, ya que como
es sabido, el formalismo cuantico solo produce la probabilidad de que una partıcula
se encuentre con la coordenada z:
p(z) = |ψ(z)|2. (1)
Esta probabilidad es calculada por la funcion de onda, formada por las dos aporta-
ciones ψ1(z) y ψ2(z) procedentes de las rendijas 1 y 2 ψ(z) = ψ1(z) + ψ2(z).
|ψ(z)|2 = |ψ1(z)|2 + |ψ2(z)|2 + ψ1(z)∗ψ2(z) + ψ1(z)ψ2(z)∗. (2)
Obteniendose de esta forma, una probabilidad en la que se aprecia una aportacion
extra pint, la cual representa la llamada interferencia o el termino cruzado.
p(z) = p1(z) + p2(z) + pint(z), (3)
donde pint(z) = ψ1(z)∗ψ2(z) + ψ1(z)ψ2(z)∗.
La idea de complementariedad surge al notar que la observacion exacta del camino
destruye completamente la interferencia. Efectivamente, si se conoce con certeza que
la partıcula pasa por la rendija 1 entonces la funcion de ondas ψ(z) se reduce a
ψ(z) = ψ1(z) + ψ2(z) → ψ1(z), deja de tener dos aportaciones y la interferencia
desaparece.
La clave para este trabajo reside en la posibilidad de observar de forma inexacta
la trayectoria sin que la interferencia desaparezca por completo. Como se conocen
4
los detalles del proceso de observacion se podran eliminar las inexactitudes y per-
turbaciones debidas a la observacion y contemplar directamente en que consiste la
complementariedad.
2. Calculos
Como ya se ha comentado, dos variables complementarias se pueden observar
simultaneamente, admitiendo que la observacion tendra cierta incertidumbre ya que
ninguna de las dos variables se mide con precision absoluta.
Despues de obtener la estadıstica se supondra que esta contiene la informacion
completa de la estadıstica exacta de los dos observables y que para las dos variables
es posible hacer un tratamiento de datos que elimine la incertidumbre y recuperar
la estadıstica exacta de cada observable por separado. Sin embargo, al aplicar dicha
recuperacion a la estadıstica conjunta el resultado es paradojico, ya que como se
vera mas adelante, se adquieren valores negativos, lo cual no puede ser fruto de una
estadıstica convencional, es una estadıstica imposible. Por tanto no hay una distri-
bucion de probabilidad para las variables del sistema que explique la aleatoriedad
observada en los resultados de las medidas, lo que evidencia el comportamiento no
clasico del experimento que no puede ser descrito dentro de los lımites de la fısica
clasica.
Se va a demostrar que la observacion conjunta del comportamiento ondulatorio
y corpuscular, dualidad onda corpusculo, en un interferometro de Young conduce a
estadısticas imposibles. El comportamiento ondulatorio vendra representado por el
observable interferencia, mientras que el comportamiento corpuscular vendra des-
crito por el observable rendija representando la observacion del paso del foton por
una rendija u otra.
Considerando el estado puro mas general posible para un foton.
|ψ〉 = α |1, 0〉+ β |0, 1〉 , (4)
5
teniendose en cuenta que α y β ∈ C y cumpliendose |α|2 + |β|2 = 1. Los vectores
|1, 0〉 y |0, 1〉 representan la presencia del foton en la rendija superior o en la inferior.
Estos estados se corresponderan respectivamente con los dos valores posibles z = 1
y z = −1 de la variable z, que representara el observable rendija en la forma:
|z = 1〉 = |1, 0〉 = a+1 |0, 0〉 =
1
0
,
|z = −1〉 = |0, 1〉 = a+2 |0, 0〉 =
0
1
,
(5)
lo que equivale a decir que el observable rendija viene representado por la matriz de
Pauli σZ =
1 0
0 −1
y siendo respectivamente a1 y a2 los operadores de amplitud
compleja, los cuales representan las amplitudes de las ondas que van a interferir, es
decir, las que surgen de cada rendija, y |n1, n2〉 estados numero de fotones en cada
rendija, 0 o 1 en nuestro caso.
La matriz densidad, ρ, de un estado puro se define ρ = |ψ〉 〈ψ|, particularizando
para el estado puro descrito en la ecuacion (4) se obtiene:
ρ =
αβ
(α∗ β∗) =
|α|2 β∗αα∗β |β|2
Dicha matriz densidad ρ, permite obtener la probabilidad de localizar el foton
en una rendija u otra de la forma:
P (z = ±1) = 〈z = ±1|ρ|z = ±1〉 ,
obteniendose para cada una de las posibilidades:
P (z = 1) =(
1, 0)|α|2 β∗α
α∗β |β|2
1
0
= |α|2 (6)
P (z = −1) =(
0, 1)|α|2 β∗α
α∗β |β|2
0
1
= |β|2. (7)
6
A continuacion, se estudiara la interferencia. Esta puede ser descrita con un
termino interferencial tıpico de las dos ondas, que para el caso del foton coincide
con la matriz de Pauli σX .
σx =
0 1
1 0
.
Dicho observable tiene dos autovalores y autovectores:
|x = ±1〉 =1√2
(|1, 0〉 ± |0, 1〉)→ |x = ±1〉 =1√2
1
±1
,
los cuales permiten obtener la probabilidad de observacion de los dos posibles valores
del observable interferencia.
P (x = 1) =1
2
(1, 1
)|α|2 β∗αα∗β |β|2
1
1
=1
2(1 + βα∗ + αβ∗), (8)
P (x = −1) =1
2
(1, −1
)|α|2 β∗αα∗β |β|2
1
−1
=1
2(1− βα∗ − αβ∗). (9)
Para poder llevar a cabo una observacion simultanea de σx y σz, es decir onda
y corpusculo, se marca la presencia del foton en una u otra rendija mediante su
polarizacion, ofreciendo de esta forma una observacion indirecta del observable ren-
dija σz. Por sencillez se describira la polarizacion con un espacio de Hilbert extra
de dimension dos, usando la base de polarizacion vertical |↑〉 y horizontal |→〉, que
para este caso pueden ser escritas como:
|↑〉 =
1
0
∗
,
|→〉 =
0
1
∗
.
7
Donde el asterısco como subındice distingue dichos vectores de los vectores (1,0)
y (0,1) presentados en la ecuacion (5).
El foton tendra inicialmente polarizacion horizontal |→〉. Sobre la rendija supe-
rior se pone una lamina retardadora de media onda orientada de modo que cambie
el estado de polarizacion rotandolo un angulo θ, es decir, |→〉 se transforma en
cos θ |→〉 + sin θ |↑〉 y dejando el estado de polarizacion del foton que pase por la
rendija inferior tal y como estaba |→〉.
La inferencia del camino seguido se hara en el espacio de polarizacion observando
si la polarizacion del foton es horizontal z = 1 o vertical z = −1. Si θ = π/2
la polarizacion proporciona una observacion perfecta de la rendija atravesada, lo
que elimina completamente la interferencia al tener las dos ondas polarizaciones
ortogonales. Es interesante por tanto el caso θ 6= π/2, ofreciendo una observacion
imperfecta o ruidosa de la rendija atravesada. Si la polarizacion es vertical se sabra
con certeza que paso por la rendija superior, pero si es horizontal no se puede saber
por que rendija paso, lo que da margen para que haya interferencia.
Si el estado del foton es el estado puro en (4), el vector tras pasar por las rendijas
incluyendo polarizacion se escribe:
|ψ〉 = α |1, 0〉 (cos θ |→〉+ sin θ |↑〉) + β |0, 1〉 |→〉 , (10)
tratandose de un estado entrelazado entre rendijas y polarizacion. 1
La observacion de la interferencia seguira siendo en el mismo espacio de los
calculos previos, con el observable σx.
Se puede obtener la estadıstica conjunta en la observacion simultanea P (x, z) a
partir de la expresion:
P (x, z) = | 〈x, z|ψ〉 |2. (11)
1El entrelazamiento, como se mostrara posteriormente en el apendice (seccion 3.2), esta en el
corazon de la medicion cuantica, pues cuando dos sistemas estan en un estado entrelazado, cada uno
de ellos puede revelar informacion sobre el otro, comportandose de esta forma como un dispositivo
de medicion.
8
Teniendo en cuenta que z = +1 =→, z = −1 =↑ y conociendo que|x = ±1, z = 1〉 = 1√
2(|1, 0〉 ± |0, 1〉) |→〉 ,
|x = ±1, z = −1〉 = 1√2
(|1, 0〉 ± |0, 1〉) |↑〉 ,
se obtiene:
P (x = ±1, z = 1) =1
2
(|α|2 cos2 θ + |β|2 ± αβ∗ cos θ ± α∗β cos θ
), (12)
P (x = ±1, z = −1) =1
2|α|2 sin2 θ. (13)
A partir de esta estadıstica conjunta, se pueden obtener las estadısticas observa-
das de interferencia σx en el estado descrito por la ecuacion (10):
P (x = ±1) = P (x = ±1, z = 1) + P (x = ±1, z = −1) =
=1
2(1± α∗β cos θ ± αβ∗ cos θ) , (14)
y operando de forma analoga, se obtiene la estadıstica para el observable rendija σz,
el comportamiento corpuscular:
P (z = 1) = P (x = 1, z = 1) + P (x = −1, z = 1) =
= |α|2 cos2 θ + |β|2, (15)
P (z = −1) = P (x = 1, z = −1) + P (x = −1, z = −1) =
= |α|2 sin2 θ. (16)
A continuacion se buscara una relacion entre la estadıstica exacta de cada obser-
vable P (x) y P (z) y la obtenida en la observacion simultanea P (x) y P (z), mediante
la obtencion de los elementos de las matrices µx y µz aplicando las relaciones (35) y
(36)2, es decir:
P (x) =∑x′=±1
µx(x, x′)P (x′), (17)
2En la seccion 3.1 del apendice sera explicado con mas detalle.
9
P (z) =∑z′=±1
µz(z, z′)P (z′). (18)
Es decir, µx y µz eliminan la indeterminacion causada por la observacion conjunta
de interferencia y rendija atravesada y proporcionan las estadısticas exactas P (x) y
P (z) a partir de sus versiones ruidosas P (x) y P (z).
Primero se trabajara con la observacion de la interferencia para obtener µx(x, x′),
es decir, con la ecuacion (17). Teniendo en cuenta los valores obtenidos anteriormente
para la probabilidad P (x = 1), expresion (8) y la probabilidad P (x′ = ±1), expresion
(14):
P (x = 1) = µx(1, 1)1
2(1 + α∗β cos θ + αβ∗ cos θ) + µx(1,−1)
1
2(1− α∗β − αβ∗) =
=1
2(1 + βα∗ + αβ∗) . (19)
Igualando terminos en α∗β y αβ∗ que son variables independientes se obtiene respec-
tivamente los valores de µx(1, 1) y µx(1,−1), cuyo valor se mostrara posteriormente
en una tabla.
De forma analoga, se obtienen los valores de µx(−1, 1) y µx(−1,−1):
P (x = −1) = µx(−1, 1)1
2(1 + α∗β cos θ + αβ∗ cos θ) + µx(−1,−1)
1
2(1− α∗β − αβ∗) =
=1
2(1− βα∗ − αβ∗) . (20)
µx(1, 1) 12
(1 + 1
cos θ
)µx(1,−1) 1
2
(1− 1
cos θ
)µx(−1, 1) 1
2
(1− 1
cos θ
)µx(−1,−1) 1
2
(1 + 1
cos θ
)Tabla 1: Elementos de matriz para la componente x.
A continuacion se calculara de forma analoga los elementos de matriz µz(z, z′) a
partir de la relacion (18) y sus respectivas probabilidades P (z = ±1) y P (z′ = ±1):
P (z = 1) = µz(1, 1)(|α|2 cos2 θ + |β|2
)+ µz(1,−1)|α|2 sin2 θ = |α|2. (21)
10
P (z = −1) = µZ(−1, 1)(|α|2 cos2 θ + |β|2
)+ µz(−1,−1)|α|2 sin2 θ = |β|2. (22)
µz(1, 1) 0 µz(1,−1) csc2 θ
µz(−1, 1) 1 µz(−1,−1) − cot2 θ
Tabla 2: Elementos de matriz para la componente z.
Finalmente se calcula la posible estadıstica conjunta exacta aplicando la inversion
del calculo anterior que elimina la incertidumbre anadida a la estadıstica conjunta
observada P (x, z), a partir de la expresion (23) para comprobar si se obtiene una
estadıstica legıtima a partir de (12), (13):
P (x, z) =∑x′=±1
∑z′=±1
µx(x, x′)µz(z, z
′)P (x′, z′). (23)
Teniendo en cuenta los datos expresados en las tablas de los elementos de las matrices
µx y µz se obtiene finalmente la probabilidad de la observacion simultanea:
Para el caso x = 1 y z = 1.
P (+1,+1) =|α|2
2. (24)
Para el caso x = 1 y z = −1:
P (+1,−1) =1
2
(|β|2 + αβ∗ + α∗β
). (25)
Para el caso x = −1 y z = 1:
P (−1,+1) =|α|2
2. (26)
Para el caso x = −1 y z = −1:
P (−1,−1) =1
2
(|β|2 − αβ∗ − α∗β
). (27)
11
Se puede comprobar facilmente que la suma de las probabilidades (24), (25), (26)
y (27) da el valor correcto:
∑z=±1
∑x=±1 P (x, z) = 1. (28)
Sin embargo, tal y como se puede observar en las relaciones (25) y (27) se han
obtenido valores negativos para P (1,−1) si |α| > |β|/2 hecho que no ocurre en la
teorıa clasica, que desconcierta y evidencia el caracter fundamentalmente cuantico
del fenomeno analizado.
Es habitual suponer que, puesto que las probabilidades de los sucesos deben
de ser positivas, que una teorıa que de cantidades negativas debe ser erronea. Sin
embargo, tal y como se expondra en el apendice (seccion 3.3) en mayor detalle, se
puede hacer una analogıa con las matematicas basicas en las que el uso de numeros
negativos como calculo abstracto facilite y simplifique el analisis, permitiendo de
esta forma despreciar detalles no esenciales 3. Por tanto, se podrıan entender las
probabilidades negativas como probabilidades que su uso simplifican los calculos y
el pensamiento en una serie de aplicaciones en fısica.
3. Apendice
3.1. Metodo general para escribir la estadıstica conjunta
tras eliminar el ruido
En la teorıa de la medicion cuantica, una medida significa una correspondencia
entre estados del sistema y distribuciones de probabilidad. Esta teorıa proporciona
una regla que describe las estadısticas de medicion, es decir, las respectivas pro-
babilidades de los diferentes resultados de medicion posibles y ademas ofrece una
3Un claro ejemplo serıa el calculo del numero de manzanas, que a pesar de que un numero de
manzanas negativo no tenga sentido alguno, si este numero negativo solo es obtenido en calculos
intermedios y el resultado final es estrictamente positivo la respuesta serıa valida.
12
regla que describe el estado post-medida del sistema. Sin embargo, para algunas
aplicaciones el estado posterior a la medicion del sistema es de poco interes, siendo
el principal interes las probabilidades de los respectivos resultados de medicion. Este
es el caso, por ejemplo, en un experimento en el que el sistema se mide una sola
vez. En tales casos existe una herramienta matematica conocida como el formalismo
POVM que esta especialmente bien adaptada al analisis de las mediciones.
La probabilidad pm de que al realizar el experimento se obtenga el valor m de la
variable, se calcula mediante la siguiente expresion:
pm = Tr(ρMm), (29)
donde ρ se refiere a la matriz densidad y Mm toma valores sobre operadores po-
sitivos (positive operator valued measure o POVM), es decir Mm son operadores
auto-adjuntos no negativos en el espacio de Hilbert y cuya integral, o suma si se
trata de un conjunto discreto, es el operador identidad.
Mm = M †m ≥ 0,
∑m
Mm = 1. (30)
En general Mm no son proyectores ortogonales, [Mm,M`] 6= 0 para m 6= `, es decir no
son proyectores sobre los autoestados de un operador Hermıtico (projection valued
measures o PVM’s), que es el caso normalmente considerado en las formulaciones
mas sencillas de la estadıstica cuantica. Por ello, las POVM ′s permiten describir
cualquier medida, incluyendo la de observables que no pueden ser descritos simple-
mente por operadores Hermıticos, como la fase, la amplitud compleja o el tiempo
por ejemplo. No obstante el teorema de Neumark establece que toda POVM puede
describirse como la restriccion de una PVM en un espacio mas grande.
Esto encaja perfectamente con el problema ya descrito, en el sentido de que la
estadıstica P (x, z) viene dada por una POVM en el espacio del foton sin polarizacion
que proviene de una PVM en el espacio mayor que sı incluye la polarizacion. Es
conveniente recordar que la polarizacion fue introducida de forma auxiliar como
13
aparato de medida para observar la trayectoria del foton. Por ello, al ser una POVM
en lugar de PVM , la estadıstica P (x, z) puede contener informacion completa de
los dos observables y pueden plantearse los problemas tratados en este trabajo.
Una POVM {Nm} representa una medida no ideal de un observable descrito por
la POVM {Nl} si existe una matriz (λml) estocastica que satisfaga las siguientes
relaciones:
Nm =∑l
λmlNl, λml ≥ 0,∑m
λml = 1. (31)
Dicha POVM {Nl} no tiene que ser necesariamente una PVM . Ademas, cada
uno de los ındices m y l puede ser reemplezado por otro continuo, estando por tanto
obligado a sustituir los sumatorios por integrales respectivamente.
De forma analoga a (31), para una POVM {Ml} que represente una medida no
ideal del observable descrito por la POVM {Mm} se tendra:
Ml =∑m
µlmMm, µlm ≥ 0,∑l
µlm = 1. (32)
Donde µlm sera su matriz estocastica.
Considerando la medicion conjunta no ideal de dos observables incompatibles,
{Mk} y {Nl}, de acuerdo con el requisito de que la medicion es representada por un
POVM bivariante {Rmn} se satisface:
∑n
Rmn =∑k
λmkMk,∑m
Rmn =∑l
µnlNl, (33)
Donde sus marginales, {∑
nRmn} y {∑
mRmn} representan medidas no ideales
de {Mk} y {Nl}, respectivamente.
Desde el punto de vista de la medicion conjunta, la deteccion conjunta de ’trayec-
toria’ e ’interferencia’ solo puede realizarse con una calidad limitada, confirmando
de esta forma la idea de complementariedad de Bohr, ya que es imposible observar
la interferencia y el camino simultaneamente con total precision .
Las medidas conjuntas requieren que tras la medicion se realice algun tipo de analisis
14
de datos o procedimientos de inversion para extraer la informacion de las variables
del sistema de las estadısticas observadas.
Esta inversion solo obtiene siempre una distribucion conjunta de las variables del
sistema legıtima, es decir bien definida (real positiva y normalizada) para el caso de
la fısica clasica, ya que en la fısica cuantica, esta inversion puede ser incompatible
con las estadısticas clasicas como ya se explicara mas adelante.
Al abordar cuanticamente estadısticas conjuntas de multiples observables y en espe-
cial si son incompatibles se observan efectos no clasicos, entendidos como estadısticas
imposibles en fısica clasica, bien sea por no existir, por tomar valores negativos o
por ser mas singulares que la funcion delta de Dirac.
En la medicion simultanea de dos observables necesariamente compatibles X y
Y , se tiene su probabilidad conjunta pX,Y (x, y), con sus respectivas distribuciones
marginales:
pX(x) =∑y
pX,Y (x, y), pY (y) =∑x
pX,Y (x, y), (34)
suponiendo un rango discreto para x e y sin perdida de generalidad y que estas
marginales proporcionan la informacion de los observables del sistema X e Y , los
cuales no tienen que ser necesariamente compatibles. Lo que supondra la existencia
de las funciones µx(x, x′) y µy(y, y
′) que permitiran la inversion:
P (x) =∑x′=±1
µx(x, x′)P (x′), (35)
P (y) =∑y′=±1
µy(y, y′)P (y′), (36)
donde P (x) y P (y) son las estadısticas exactas de los observables X e Y , respecti-
vamente. Esta inversion puede ser generalizada para la probabilidad conjunta de la
forma:
pX,Y (x, y) =∑x′,y′
µX(x, x′)µY (y, y′)pX,Y (x′, y′). (37)
15
3.2. Entrelazamiento
El concepto de entrelazamiento desempena un papel esencial en la fısica cuantica.
Las partıculas cuanticas se comportan como un unico sistema no separable entrela-
zado tras haber interactuado. Es decir, cualquier medicion realizada en la primera
partıcula proporciona informacion sobre el resultado de la medicion de la segun-
da partıcula, los resultados de la medicion de cada partıcula estan profundamente
interrelacionados.
Estas fuertes correlaciones hacen que las medidas realizadas sobre un sistema pa-
rezcan estar influyendo instantaneamente otros sistemas que estan enlazados con el,
y sugieren que alguna influencia se tendrıa que estar propagando instantaneamente
entre los sistemas, a pesar de la separacion entre ellos.
Recientemente se ha puesto de manifiesto que tambien existe entrelazamiento
en fısica clasica. No obstante las propiedades e implicaciones del entrelazamiento
clasico son diferentes de los que se derivan del cuantico. Pues principalmente, el
entrelazamiento clasico implica diferentes grados de libertad de la misma partıcula
en lugar del entrelazamiento entre diferentes partıculas, como ocurre en su analogo
cuantico.
En la fısica clasica, despues de que dos sistemas interactuen, cada uno debe per-
tenecer a un estado individual bien definido. Mientras que en su analogo cuantico
tras interactuar dos partıculas no pueden ser descritas de forma independiente. El
estado entrelazado cuantico, no es un producto tensorial de los estados propios de
observables pertenecientes a las dos partıculas, que describirıan sistemas indepen-
dientes. Es en cambio una superposicion de productos. El estado de una partıcula
esta determinado por una medida realizada en el otro. El entrelazamiento cuanti-
co, es esencial para comprender la decoherencia cuantica, proceso que explica como
un estado cuantico entrelazado puede desembocar en un estado clasico, no entre-
lazado, es decir, el sistema fısico deja de mostrar efectos cuanticos para exhibir un
comportamiento tıpicamente clasico. Una superposicion de los estados se entrela-
16
za rapidamente con su entorno, perdiendo coherencia. Por tanto, el estudio de la
decoherencia permite vislumbrar el lımite cuantico / clasico.
Tambien es estudiado el entrelazamiento cuantico como un recurso para el pro-
cesamiento de la informacion cuantica.
3.3. Estadıstica imposible
La teorıa de campos cuanticos auna los principios de la mecanica cuantica y
los de la relatividad. Esta en sus orıgenes ofrecıa resultados infinitos, aunque con
los procesos de renormalizacion se han conseguido obtener valores finitos. Feynamn
en un intento de obtener una teorıa que diera una respuesta finita desde el inicio,
estudia los ’supuestos tacitos’.
Como ya se adelanto en la seccion de calculos, las probabilidades negativas pue-
den estar justificadas como un calculo abstracto que permite simplificar los calculos
y el pensamiento de una serie de aplicaciones fısicas.
Se estudiara un problema de probabilidad simple para su mejor compresion. Se
considera una rueda de ruleta con solo tres numeros: 1, 2, 3; con un control se
puede poner la rueda en una de dos condiciones: A, B; en cada una de las cuales la
probabilidad de 1, 2, 3 son diferentes.
Para ello, es imprescindible introducir el concepto de probabilidad condicional.
Si α son condiciones y piα es una probabilidad condicional, es decir, la probabilidad
de obtener el resultado i si la condicion α es valida:
Pi =∑α
piα · Pα; i = 1, 2, 3; α = A,B. (38)
Donde Pα son las probabilidades que las condiciones α obtienen, y Pi es la probabili-
dad consiguiente del resultado i. De forma clara, se puede ver que las probabilidades
deben cumplir: ∑i
piα = 1,∑α
Pα = 1,∑i
Pi = 1. (39)
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De esta forma, imponiendo que para una de las condiciones α exista una pro-
babilidad condicional negativa, por ejemplo para la condicion B la probabilidad de
obtener 1 (p1B), no presenta ningun problema, ya que como ya se ha repetido en
varias ocasiones, el uso matematico de los numeros negativos permite una eficiencia
en el razonamiento, asegurandose de que pasos intermedios que no son interpretados
facilmente (debido a la posible presencia de probabilidades negativas o mayores de
la unidad) no conduciran a resultados absurdos, siempre y cuando esta probabilidad
negativa combinada con el resto de probabilidades cumpla las relaciones impuestas
por la expresion (39), como se muestra en la siguiente tabla, siguiendo el ejemplo
proporcionado en [9].
p1A 0.3 p1B -0.4
p2A 0.6 p2B 1.2
p3A 0.1 p3B 0.2
Tabla 3: Probabilidades de la ruleta para las distintas condiciones (A,B).
Una probabilidad mayor que la unidad no presenta ningun problema diferente
del de las probabilidades negativas, ya que representa una probabilidad negativa de
que el evento no ocurra.
Dependiendo de los valores dados a las probabilidades Pα, se obtienen proba-
bilidades finales positivas o negativas. Si se supone que la condicion A tenga una
probabilidad 0,7 y la B 0,3, se obtiene:
P1 = 0,7(0,3) + 0,3(−0,4) = 0,09,
P2 = 0,7(0,6) + 0,3(1,3) = 0,78,
P3 = 0,7(0,1) + 0,3(0,2) = 0,13.
Donde se puede observar que a pesar de que la probilidad condicional P1B sea ne-
gativa, se cumplen las relaciones (39) y se han obtenido probabilidades Pi positivas,
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y por tanto una estadıstica legıtima.
Sin embargo, el verdadero problema se tendrıa si una de las posibles combina-
ciones de Pα conducen a probabilidades Pi negativas, ya que no se puede obtener
una probabilidad negativa de obtener un resultado. Para poder explicar este hecho,
existen dos posibles interpretaciones fısicas.
La primera consiste en suponer que la naturaleza esta construida de tal manera
que nunca se puede estar seguro de que el sistema esta en una condicion α, se puede
suponer que siempre ha de existir un lımite para el conocimiento de la situacion
que se puede alcanzar, pero nunca se puede saber con certeza si la condicion α se
produce.
La otra posibilidad consiste en suponer que los resultados i no son directamente
observables, solo se puede verificar por una observacion final que el resultado habıa
sido uno de los posibles i con ciertas probabilidades. Es decir, los posibles i no son
resultados finalmente observados, son solo intermediarios en un calculo.
Esto puede ser entendido de mejor manera volviendo al ejemplo de la ruleta. No
siempre puede existir una eleccion para la que Pα simultaneamente haga que todos
los Pi sean positivos a la vez. De esta forma, a pesar de que ciertas restricciones
puedan hacer que la probabilidad del resultado 1 sea positiva, el resultado 3 bajo
estas circunstancias tendrıa una probabilidad negativa. Igualmente, las condiciones
que aseguran que P3 es positivo pueden dejar P1 o P2 negativos. Cualquier metodo
para determinar que el resultado ha sido 3 excluye de forma automatica que se
pueda determinar simultaneamente que el resultado fue 1. Esto evoca al principio
de incertidumbre ya mencionado en otras secciones.
Para que el evento o estado fısico sea directamente verificable, las probabilidades
condicionales y de calculos intermedios imaginados pueden ser negativas, mientras
que la probabilidad siempre ha de ser positiva.
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4. Conclusiones
Un estudio detallado de la relacion entre la teorıa clasica y la cuantica puede
implicar una estadıstica conjunta imposible, es decir, que ofrezca probabilidades ne-
gativas, como en nuestro caso, donde tras un estudio de la dualidad onda-corpusculo
en el interferometro de Young se ha demostrado como la estadıstica conjunta exacta
de dos observables rendija e interferencia (corpusculo y onda respectivamente) lleva
a una estadıstica imposible, pues, tras eliminar la incertidumbre de la observacion
simultanea de ambos observables, se obtiene que una de las probabilidades puede
tomar valores negativos. Este hecho, es inconcebible desde el punto de la optica
clasica, sin embargo, como ya se discutio en el apendice (seccion 3.3) el hecho de
que existan probabilidades negativas no implica que sea una teorıa erronea, simple-
mente no es un proceso verificable directamente. O bien una de las condiciones (por
ejemplo, condiciones iniciales) puede no realizarse en el mundo fısico o la situacion
para la cual la probabilidad parece ser negativa no es una que pueda ser verificada
directamente. Una combinacion de estos dos, limitacion de verificabilidad y libertad
en condiciones iniciales, tambien puede ser una explicacion del problema aparente.
Referencias
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