unidad i tramsformaciones lineales

8/6/2019 UNIDAD I Tramsformaciones Lineales

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UNIDAD I. TRANSFO RMACIONES LINEALES UPEL-IPB

1

RANSFORMACIONES INEALESDEFINICIN 1.1Sean , , ,V K y , , ,W K dos espacios vectoriales. La funcin :T V Wp es una

Transformacin Lineal (T.L) si y slo si:

a. , : ( ) ( ) ( )x y V T x y T x T y ! ..(Aditividad)b. : ( ) ( )x V K T x T xE E E ! ..(Homogeneidad)

OBSERVACIN 1.2Las dos condiciones establecidas en la definicin anterior se pueden reducir a slo una de la siguiente

forma: :T V Wp es una transformacin lineal s y slo si , : ( ) ( ) ( )x y V K T x y T x T yE E E !

TEOREMA1.3Sean , , ,V K y , , ,W K dos espacios vectoriales. Si :T V Wp es una Transformacin Lineal

(T.L.), entonces:

a. (0 ) 0V WT ! b. ( ) ( )T x T x ! c.

1 1

( ) ( )n n

i i

i i

T x T xE E! !

!

DEMOSTRACIN

a. En efecto:(0 ) (0 0 )V V VT T! .....Por qu

( 0 0 )V V

T E F! Por qu

(0 ) (0 )V VT TE F! ...Por qu

Resultando (0 ) (0 ) (0 )V V VT T TE F! la cual es cierta para cualquier valor de , VE F , en

particular si 1E F! ! , por lo que:

(0 ) 1. (0 ) 1. (0 ) (0 ) (0 ) (0 )V V V V V V

T T T T T T ! ! por ser W un e.v.

(0 ) 0V WT ! ... por ser W un e.v.

Verificndose el cumplimiento del inciso.

b. En efecto:( ) (( 1). )T x T x ! por qu( 1). ( )T x! . por qu

( )T x! ..por qu

Verificndose as el cumplimiento del inciso

c. En efecto:i) Por induccin se tiene para n=2


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3

1 2 3, 2a a aE E! Por qu

1 2 3, 2a a aE! ..Por qu

1 2 3, ,T a a aE! Por qu

T xE! ...Por qu

De los pasos i) y ii) se tiene que T es una T.L. por definicin 1.1.

2. Sean V C! el espacio vectorial de las funciones continuas reales de variable real. Sean,a b tal que a b , se define :T V p una funcin dada por ( ) ( )

b

aT f f t dt f V !

verifique T es una T.L.

Veamos si se cumplen las condiciones de la definicin 1.1

En efecto: sean , f g V C !

iii) ( ) ( )ba

T f g f g t dt ! ...Por qu

( ) ( )b

a f t g t dt ! Por qu

( ) ( )b b

a a f t dt g t dt ! ........Por qu

( ) ( )T f T g! ....Por qu

iv) ( ) ( )ba

T f f t dt E E! .Por qu

( )b

a

f t dtE! ....Por qu

( )

b

a f t dt E! ...Por qu( )T fE! ..Por qu

De los pasos i) y ii) se tiene que T es una T.L. por definicin 1.1.

DEFINICIN 1.4

Sean V un e.v. sobre K y 1W Vw . Una funcin :T V Vp se denomina proyeccin en 1W o sobre

1W si:

i. 2W V w tal que 1 2V W W! ii. Para 1 2 x x x! con 1 1 2 2yx W x W se tiene que 1( )T x x! .

Nota: el smbolo w lo usaremos parareferirnos a subespacio


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4

EJERCICIO RESUELTO II

La funcin 2 2T ! p dada por 1 2 1( , ) ( ,0)T a a a! es una T.L. y se denomina proyeccin en el eje

x, en la cual: _ a 21 1 1( , 0) /W a a V! w ! y _ a2

2 2 2(0, ) /W a a V! w !

Estudiemos las condiciones i) y ii) de la definicin 1.4

Probemos i)

Para que 1 2V W W! implica a) 1 2V W W! y b) _ a1 2 0W W !I por definicin de suma directa.

En efecto:

Sea 21 2

( , )a a se cumple 1 2 1 2 1 2( , ) ( 0, 0) ( ,0) (0, )a a a a a a! ! indicando 1 2 1 2( , )a a W W por

tanto se tiene 21 2

W W y como 21 2

W W se concluye que 21 2

V W W! ! .

Estudiemos ahora s _ a1 2 0W W !I .

1 2 1 2 1 2 1 1 2 2( , ) ( , ) ( , )a a W W a a W a a W I ......por qu

1 20 0a a ! ! ......por qu

1 2, 0, 0a a ! .....por qu

_ a1 2 0W W !I ....por qu

Luego de a) y b) se cumple 1 2V W W! .

Probemos ii)

Con 1 2 1 2 1 2( , ) ( 0, 0) ( ,0) (0, )a a a a a a! ! se cumple por definicin de T que

1 2 1 1( , ) ( ,0)T a a a W! .

NCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIN LINEAL

DEFINICIN 1.5Sean , , ,V K y , , ,W K dos espacios vectoriales, y sea :T V Wp una Transformacin Lineal.

Se define como ncleo de T , espacio imagen de T, o KerT , al conjunto no vaco de los vectores del

dominio cuyas imgenes por T es el vector nulo del codominio.

_ a( ) / ( ) 0WN T x V T x! !

DEFINICIN 1.6Sean , , ,V K y , , ,W K dos espacios vectoriales, y sea :T V Wp una Transformacin Lineal

se define como conjunto imagen deT

, al subconjunto no vaco deW

formado por todas lasimgenes a travs de T de los elementos de V .

_ a( ) Im( ) / ( ) para algnR T T y W y T x x V! ! !

V WTV WT

0W

Ncleo de T Imagen de T


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6

Implicando que 2 2 20 0 0 ( ) 2 0 0 0a b

T x x a b d x bx x xc d

! !

.por qu

0 0

2 0 0

0

a b a

d d

b

! !

! ! !

..por qu

As ( )N T est formado por: 2 20 0

( ) /0

N T M cc

v

!

Estudiemos ahora ( )R T . Por definicin 1.6 se tiene:

? A 2 20 1 2 2 0 1 2 2 2( ) / para algnb c b c

R T a a x a x P a a x a x T Md e d e

v

! !

Con lo cual2 2 2

0 1 2 0 1 2( ) 2

b ca a x a x T a a x a x b c ex cx

d e

! !

por qu

0

1

2

2

a b c

a e

a c

!

! !

..por qu

De lo anterior resulta que 0 1 2, ,a a a son cualquier nmero real, por tanto 2( )R T P! .

2. La transformacin lineal 3 2:T p definida por 1 2 3 1 2 3( , , ) , 2T a a a a a a! , la cual fueestudiada en el ejemplo 1. de los ejercicios resueltos Iposeen como ( )N T y ( )R T los siguientes

conjuntos.

En relacin al ( )N T . Se tiene: _ a31 2 3 1 2 3( ) , , / , , 0,0N T a a a T a a a! !

As: 1 2 3 1 2 3, , 0, 0 , 2 0,0T a a a a a a! ! ..por qu

1 2 1 2

3 3

0

2 0 0

a a a a

a a

! !

! !....por qu

Resultado que: _ a3( ) , ,0 / N T a a a!

Con respecto al ( )R T se cumple _ a2 31 2 1 2 1 2 3 1 2 3( ) , / , , , para algn , ,R T b b b b T a a a a a a! !

Con lo cual 1 2 1 2 3 1 2 1 2 3, , , , , 2b b T a a a b b a a a! ! por qu

1 1 2

2 32

b a a

b a

!

!....por qu

De lo anterior resulta que 1 2,b b son cualquier nmero real, por tanto2( )R T !


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EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Dadas las siguientes funciones, verifique si son o no Transformaciones Lineales (T.L)a. 3 3:T p definida por ( , , ) ( , , 2 )T a b c b c a b c a b! .

b. 3 3:T p definida por ( , , ) (2 3 , 4 2 6 , 6 3 4 )T x y z x y z x y z x y z! .c. 3 2:T p definida por ( , , ) (2 , 3 )T x y z x y z y z! .d. 2 2:T p definida por ( , ) (4 ,3 2 )T x y x y x y! .e. 2 2:T p definida por ( , ) ( , )T x y a x by cx dy! .f. 2 2:T p definida por ( , ) ( , )x yT x y senx e ! .g. 2 2:T p definida por ( , ) (2 3 , )T x y x y o! .h. 2 2:T p definida por ( , ) (2 ,3 )T x y y x y! .i. 2 2:T p definida por ( , ) ( , 4 )T a b a b a b! .

j. : nT Pp definida por 1( ) n nT p px px px p! L .k. 3 2:T P Pp definida por 2 3 20 1 2 3 1 2( )T a a x a x a x a a x ! .l. ? A: 0,1T C p definida por 1

0( ( )) ( )T f x f x dx! .

m. ? A ? A: 0,1 0,1T C Cp definida por ( ( )) '( )T f x xf x! .n.

:

n nT M Mp definida por ( ) tT A A A! .

o. 2 3 2 2:T M Mv vp definida por 11 12 13 11 12 13 1221 22 23

2 2

0 0

a a a a a a aT

a a a

!

.

p. 2 3:T P Pp definida por ( ( )) ( ) ( )T f x xf x f x! 2. Determine el ( )N T y ( )R T en aquellas Transformaciones Lineales obtenidas en la pregunta

Nmero 1

3. Determine el ( )N T y ( )R T de la transformacin identidad y la transformacin Nula definidas:

T V V

p tal que ( )T

x x! y :T V W

p tal que ( ) 0WT

x ! , respectivamente.


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TEOREMA 1.7Sean V un e.v. sobre K y 1W Vw . Sea :T V Vp una proyeccin en 1W y 2W como en la definicin

1.4, entonces 1 ( )W R T! y 2 ( )W N T! .

DEMOSTRACIN:

Probemos que:En efecto, sea ( )y R T entonces : ( )x V y T x ! , luego 1 1( )y T x x W! ! pues por hiptesis es

una proyeccin (condicin ii) de la definicin 1.4) indicando as que 1 1y x W! por ende 1( )R T W .

Por otra parte, sea _ a _ a _ a1 / ( ) ( ) / ( ) ( ) / ( )W x T x x T x x T x T x x V R T! ! ! ! ! , por tanto

1 ( )W R T .

En conclusin se cumple que: 1

( )W R T!

Queda propuesto demostrar que 2 ( )W N T! .

TEOREMA 1.8Sean , , ,V K y , , ,W K dos espacios vectoriales, y sea :T V Wp una Transformacin Lineal,

entonces ( )N T y ( )R T son subespacios de V y W respectivamente, esto es:

( )R T Ww y ( ) N T V w .

DEMOSTRACIN:Inicialmente demostremos que ( )N T Vw . En efecto:

i. 0 ( )V

N T por (TMA 1.3 y Def. 1.5) indicando que ( )N T J{ .

ii. Sean , ( )x y N T con lo cual se cumple ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0W W

T x T y T x T y! ! ! es decir,

( ) 0W

T x y ! por ser T una T.L indicando as que ( ) x y N T (Def. 1.5).

iii. Sean ( ) yx N T KE se tiene: ( ) ( ) .0 0W W

T x T xE E E! ! ! por ser T una T.L por lo cual se

cumple que ( )x N TE (Def. 1.5).

En conclusin de i), ii) y iii) resulta que ( )N T Vw .

Probemos ahora que ( )R T Ww . En efecto:

i. 0 ( )W

R T ya que 0V

V por ser e.v. y (0 ) 0 ( )V W

T R T! por (TMA 1.3 y Def. 1.6) indicando

que ( )R T J{ .

ii. Sean ( ), ( ) ( )T x T y R T W con lo cual se cumple ( ) ( )T x T y W x y V por ser W y Ve.v. ms aun ( ) ( ) ( ) para algnT x T y T x y W x y V ! por ser T una T.L indicando as que

( ) ( ) ( ) ( )T x T y T x y R T ! (Def. 1.6).

iii. Sean ( ) ( ) yT x R T KE se tiene: ( ) ( )T x T x W x VE E E! por ser W y V e.v. y T unaT.L implicando que ( ) ( ) para algnT x T x W x VE E E! de all ( ) ( ) ( )T x T x R TE E! (Def. 1.6).

En conclusin de i), ii) y iii) resulta que ( )R T Ww .


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9

TEOREMA 1.9Sean , , ,V K y , , ,W K dos espacios vectoriales, y sea :T V Wp una Transformacin Lineal.

T es inyectiva s y slo si _ a( ) 0VN T ! .

DEMOSTRACIN

Supongamos que T es inyectiva ( , : ( ) ( )x y V x y T x T y { { o equivalentemente ( ) ( )T x T y x y! ! ) probemos que _ a( ) 0VN T ! . En efecto dado que _ a0 ( )V N T pues (0 ) 0V WT ! (TMA 1.1)

demostremos que _ a( ) 0VN T . Sea ( )x N T entonces ( ) 0

WT x ! (Def. 1.5), asimismo como

(0 ) 0V W

T ! por (TMA 1.1) se cumple ( ) (0 ) 0V WT x T! ! indicando 0Vx ! , esto es _ a0Vx , por

tanto _ a( ) 0VN T , verificndose _ a( ) 0VN T ! .

Recprocamente, supongamos que _ a( ) 0VN T ! , estudiemos si T es inyectiva.

En efecto:Sean ( ) ( ) ( ) ( ) 0

WT x T y T x T y! ! W es un e.v.

( ) 0W

T x y ! .. T es una T.L.

( )x y N T Def. 1.50

Vx y ! .Hip _ a( ) 0VN T ! .

x y ! .V es un e.v.

Cumplindose as que T es inyectiva.

TEOREMA 1.10Sean , , ,V K y , , ,W K dos espacios vectoriales, y sea :T V Wp una Transformacin Lineal.

Si _ a1 2, , , n x x xF ! L es una base de V , entonces _ a _ a 1 2( ) ( ) ( ), ( ), ( )nR T SPAN T SPAN T x T x T xF! ! L.

DEMOSTRACINSupongamos que F es una base de V , probemos que _ a ( ) ( )R T SPAN T F! es decir

_ a ( ) ( )R T SPAN T F y _ a ( ) ( )SPAN T R TF . En efectoProbemos que ( ) ( ( ))R T SPAN T F . Sea ( ) / ( )y R T x V T x y ! (Def. 1.6) *, as como x V implica

1 1 2 2 n n x x x xE E E! L con 1 2, ,..., n KE E E puesto que F es una base de V **, se cumple que:

1 1 2 2( ) ( )n nT x y T x x x yE E E! !L .. de * y **

1 1 2 2( ) ( ) ( )n nT x T x T x yE E E !L T es una T.L (TMA 1.1).Lo anterior indica que cualquier ( )y R T se puede escribir como combinacin lineal de los

elementos de _ a( )T F , esto es _ a ( )y SPAN T F , en consecuencia _ a ( ) ( )R T SPAN T F .

Estudiemos ahora s _ a ( ) ( )SPAN T R TF .

Sea _ a ( )b SPAN T F , implicando 1 1 2 2( ) ( ) ( )n nb T x T x T xE E E! L con i KE y ix F . Luego

puesto que ( )R T Ww , se tiene ( ) ( )i iT x R TE y

1

( ) ( )n

i i

i

T x R TE!

, esto es

1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )n nb T x T x T x R TE E E! L , probando que _ a ( ) ( )SPAN T R TF .

En conclusin _ a ( ) ( )R T SPAN T F! .


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10

TEOREMA 1.11Sean , , ,V K y , , ,W K dos espacios vectoriales y sea :T V Wp una Transformacin Lineal.

T es inyectiva s y slo si T enva un subconjunto linealmente independiente de V a un subconjunto

linealmente independiente de W .

DEMOSTRACIN PROPUESTA

RELACIN ENTRE NULIDAD Y RANGO

DEFINICIN 1.12Sean , , ,V K y , , ,W K dos espacios vectoriales y sea :T V Wp una Transformacin Lineal,

si ( )N T y ( )R T son de dimensin finita, entonces se define la nulidad de T , denotada por ( )null T y

el rango de T , denotada por ( )Rgo T a la dimensin del ( )N T y ( )R T respectivamente, esto es:

dim ( ) ( )N T null T!

dim ( ) ( )R T Rgo T!

TEOREMA 1.13Sean , , ,V K y , , ,W K dos espacios vectoriales y sea :T V Wp una Transformacin Lineal,

si V es de dimensin finita, entonces dim ( ) dim ( ) dim( )N T R T V ! .

DEMOSTRACINSupongamos que _ a1 2, , ,k k x x xF ! L

es una base de ( )N T y adems que la dim V n! .

completemos kF para obtener una base de V , digamos _ a1 2 1, , , , , ,n k k n x x x x xF ! L L . Probemos que

_ a1 , ,k nT x T xQ ! L es una base de ( )R T .i. Iniciemos probando que Q genera a ( )R T , esto es ( ) ( )SPAN R TQ ! . Recuerda en este caso

debemos demostrar ( ) ( )R T SPANQ y ( ) ( )SPAN R TQ . En efectoEstudiemos que ( ) ( )R T SPAN Q . Sea ( ) / ( )y R T x V T x y ! (Def. 1.6) *, as como x V implica

1 1 2 2 n n x x x xE E E! L con 1 2, ,..., n KE E E puesto que F es una base de V **, se cumple que:

1 1 2 2 1 1( ) ( )

k k k k n nT x y T x x x x x yE E E E E ! !L L .. de * y **

1 1 2 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )k k k k n nT x T x T x T x T x yE E E E E !L L T es una T.L (TMA 1.1).

1 10 ( ) ( )W k k n nT x T x yE E !L kF es base de ( )N T .

1 1( ) ( )

k k n nT x T x yE E !L Wes un e.v.

Lo anterior indica que cualquier ( )y R T se puede escribir como combinacin lineal de los

elementos de Q , esto es y SPAN Q , en consecuencia ( ) ( )R T SPAN Q . La demostracin de

( ) ( )SPAN R TQ , es similar a la desarrollada en el TMA 1.10, en consecuencia ( ) ( )SPAN R TQ ! .

ii. Probemos ahora que Q es linealmente independiente.Supongamos que 1 1( ) ( ) 0k k n n WT x T xE E !L para 1, ,k n KE E L .

Como 1 1 1 1( ) ( ) 0 ( ) 0k k n n W k k n n WT x T x T x xE E E E ! !L L . T es una T.L.

1 1 ( )k k n nx x N TE E L . Def. 1.5.

1 1 1 1 2 2k k n n k k x x x x xE E E E E ! L L .. Un vector de

( )N T , se puede expresar como combinacin lineal de los

elementos de su base kF .


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11

Luego 1 1 1 1 1 1( ) ( ) 0 0k k n n W k k k k n n VT x T x x x x xE E E E E E ! !L L L pues V es

un e.v. por lo anterior se tiene que 1 2 1 0k k nE E E E E! ! ! ! ! ! !L L pues nF es una base de V , en

particular 1 0k nE E ! ! !L por tanto Q es linealmente independiente.

Y as de i y ii resulta Q es una base de ( )R T .

Finalmente, como dim ( )N T k! y dim ( )R T n k! se tiene dim ( ) dim ( ) ( ) dim( )N T R T k n k n V ! ! !

OBSERVACIN 1.14

1. Sean , , ,V K y , , ,W K dos espacios vectoriales. Sea dim( )V n! y :T V Wp unaTransformacin Lineal. si T es inyectiva se cumple dim ( ) ( ) dim( )R T Rgo T n V! ! ! .

2. Sea :T V Wp una Transformacin Lineal, es claro que T es sobreyectiva s y slo si( )W R T! .

3. Sea :T V Wp una Transformacin Lineal, si T es inyectiva es equivalente a decir que T es no singular.

TEOREMA 1.15Sean , , ,V K y , , ,W K dos espacios vectoriales de igual dimensin finita, y sea :T V Wp

una Transformacin Lineal. T es inyectiva s y slo si T es sobreyectiva.

DEMOSTRACIN PROPUESTA.

TEOREMA 1.16Sean , , ,V K y , , ,W K dos espacios vectoriales de dimensin finita yn m respectivamente y

sea :T V Wp una Transformacin Lineal demuestre:

a) Si n m , entonces T no puede ser inyectiva.

DEMOSTRACIN

a) Por el absurdo supongamos que T es sobreyectiva es decir ( )W R T! implicandodim( ) dim( ( ))W R T! (TMA de dimensiones). Luego por el TMA 1.13

dim ( ) dim ( ) dim( )N T R T V ! , con lo cual dim ( ) dim dim( )N T W V ! y as por

definicin de "mayor que" se cumple dim( ) dim( )V W" , lo cual contradice la hiptesis (


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12

TEOREMA 1.17 (TMA Fundamental de las T.L)Sean , , ,V K y , , ,W K dos espacios vectoriales con V de dimensin finita n . Dada una base

_ a1 2, ,..., nv v v de V y vectores cualesquiera 1 2, ,..., nw w w W , existe una nica transformacin lineal

:T V Wp tal que ( )i i

T v w! para cada 1,...,i n! .

DEMOSTRACIN PROPUESTA.

EJERCICIO RESUELTO IV

1. Sea 2 2:T p una T.L tal que (1,0) (1,4)T ! y (1,1) (2,5)T ! . Hallar (2,3)T ; determineadems como est definida la T.L.

SOLUCINDado que_ a(1,0),(1,1) es una base de 2 se cumple que:

(2,3) (1,0) (1,1)E F!

( , )E

F F!

leyes en el esp vect.

2

(*)Con lo cual

2 1

3

E F E

F

! !

!.

Luego (2,3) (1,0) (1,1)T T E F! aplicando T .

(1,0) (1,1)T TE F! .T es una T.L.

1 (1, 0) 3 (1,1)T T! 1; 3E F! ! .

1(1,4) 3(2,5)! .Hiptesis

( 1, 4) (6,15) (5,11)! !

Por otra parte, de (*) se tiene que: ( , ) ( , ) x x y

x yy

E F EE F F

F

! ! !

!.

Implicando ( , ) (1,0) (1,1)T x y T TE F!

( )(1, 4) (2,5) x y y!

( , 4 4 ) (2 ,5 ) ( , 4 )x y x y y y x y x y! ! ..

As T est definido por ( , ) ( , 4 )T x y x y x y! .

2. Sea2 2

: ( ) ( )T P Mp una T.L definida por(1) (2) 0

( ( ))0 (0)

f fT f x

f

!

.

Hallar a) ( )N T y ( )R T , b) ( )null T y ( )Rgo T , c) es T inyectiva, d) es T sobreyectiva.

SOLUCINEstudiemos el ( )N T .

20 1 10 0( ) ( ) ( )0 0

f x a a x a x N T T f x ! !

.def de ( )N T

(1) (2) 0 0 0

0 (0) 0 0

f f

f

!

..def. de T

0 1 0 1 110

0 02 4 0

0 00

a a a a a a

a

!

def.


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13

Luego 1 120 1 1

0

3 0 0 0( ) ( )

0 0 0

a af x a a x a x N T

a

! !

..Prop. en

1 1 1 1

0

3 0 3

0

a a a a

a

! !

!Igualdad de Matrices

As _ a2

( ) 3 /N T ax ax a! , esto es _ a2

( ) 3N TSPA N x x! .

Estudiemos ahora ( )R T .

2( ) ( ) para algn ( ) ( )a b a b

R T T f x f x Pc d c d

!

.Def. ( )R T .

2

0 1 1( )

a bT a a x a x

c d

!

....Def. de ( )f x .

1 1

0

3 0

0

a a a b

a c d

!

-.Def. de T .

1 1 0

3 ; 0; 0 ya a a b c c a ! ! ! ! Igualdad de Matrices

En consecuencia2 2

0( ) ( ) / 0 ( ) / ,

0

a b aR T M b c M a d

c d d

! ! ! !

.

OTRA FORMA: por TMA 1.10, tomemos base _ a21, ,x xF ! de 2 y hallemos

_ a _ a2( ) (1), ( ), ( )T T T x T xF ! . En efecto:1 1 0 0 0

(1)0 1 0 1

T

! !

1 2 0 1 0

( )0 0 0 0

T x

! !

21 4 0 3 0

( )0 0 0 0

T x

! !

Luego _ a 0 0 1 0 3 0 0 0 1 0

( ) ( ) , , ,0 1 0 0 0 0 0 1 0 0

R T SPAN T SPAN SPAN F

! ! !

.

Es decir 20

( ) ( ) / ,0

aR T M a d

d

!

.

Finalmente determinemos si es inyectiva y/o sobreyectiva

Dado que _ a _ a2 2( ) 3 / 0 0 0N T ax ax a x x! { . Se tiene que T no es inyectiva TMA 1.9.En relacin ( )R T , se tiene que dado ( )R T Ww (TMA 1.8) y 2 dim ( ) dim( ) 4R T W! { ! se

verifica ( )R T W{ con lo cual T no es sobreyectiva.

Visualiza adems el cumplimiento del TMA 1.13 2dim ( ) dim ( ) 1 2 3 dim( ( ))NT R T P ! ! ! .


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14


1. Decidir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. En dada una de lasproposiciones :T V Wp .

Si T es lineal entonces T conserva las suma y producto por escalares. Si T es lineal e inyectiva, entonces _ a( ) 0VN T ! . Si T es lineal, entonces dim ( ) dim ( ) dim( )N T R T W ! . Si T es lineal e inyectiva, entonces T enva un subconjunto linealmente dependiente de V

a un subconjunto linealmente dependiente de W .

La Transformacin Identidad es inyectiva y sobreyectiva La TransformacinNula es inyectiva. Si 2 2:T p es lineal y ( ) ( )null T Rgo T! , entonces el ncleo y el conjunto imagen de

T son iguales.

Si T es la Transformacin Lineal Identidad ( ) N T V ! .2. Demostraciones:Realice la demostracin del teorema 1.15Realice la demostracin del teorema 1.17Si :T V Wp es una Transformacin Lineal inyectiva y dim( )V n! para algn entero 1n u ,

entonces dim( )W nu .

Sean los espacios vectoriales , , ,V K ; , , ,W K y 1V Vw ; 1W Ww . Sea :T V Wp T.L. probar que 1T V Ww y _ a1/ ( )x V T x W V w .

3. Encontrar una Transformacin Lineal. 2 3:T p Tal que (1,0) (3,0,1) y (0,1) (2,1,0)T T! ! . 3 3:T p Tal que (1,0,0) (1,2,1); (0,1,0) (2,0,1) y (0,0,1) (0,1, 2)T T T! ! ! .

4. Sea _ a1 2 3, ,v v vF ! una base para 3 donde 1 2 3(1, 2,1), (2,9, 0) y (3,3, 4)v v v! ! ! y sea2 3:T p una Transformacin Lineal tal que 1 2 3( ) (1,0), T( ) ( 1,1) y T( ) (0,1)T v v v! ! ! .

Determine la regla de formacin para ( , , )T x y z y usarla para obtener (4, 5, 7)T .

5. Sean1 2 3, yv v v vectores en el espacio vectorial y 3:T V p una Transformacin Lineal tal

que1 2 3

( ) (1, 1, 2), T( ) (0,3, 2) y T( ) ( 3,1, 2)T v v v! ! ! . Encontrar1 2 3

(2 -3 4 )T v v v .

6. Sea :T V Wp una Transformacin lineal definida por ( , ) (2 , 8 4 )T x y x y x y! . Hallar ( )N T y ( )R T . Cules de los siguientes vectores estn en el ( )N T .

(3, 2); (5,10); (1,1)

Cules de los siguientes vectores estn en el ( )R T .(1, 4); (5,0); ( 3,12)


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15

DEFINICIN 1.18Sean , :T U V W p funciones cualesquiera donde yV W son e.v. sobre K y sea KE se define:

:

( ) ( ) ( )

:

( ) ( )

T U V W

x T U x T x U x

T V W

x T x T x

EE E

p

p !

pp !

TEOREMA 1.19Sean , , ,V K y , , ,W K dos espacios vectoriales y sean , :T U V W p Transformaciones

Lineales, entonces KE se cumple:

a) T UE es una Transformacin Lineal.b) El conjunto de todas las Transformaciones Lineales de V en W

denotado por ( , ) L V W es un espacio vectorial sobre K.

DEMOSTRACINa) Sean ,x y V y KE se tiene: ( ) ( ) ( )T U x y T x y U x yE F E F F ! .... Def 1.18

( ( )) ( )T x y U x yE F F! .... T es una T.L.

( ) ( )T x y U x yEF E F! .... V es un e.v.

( ) ( ) ( ) ( )T x T y U x U yEF E F! ..por qu

( ) ( ) ( ) ( )T x T y U x U yF E E F! .por qu

( ) ( ) ( ) ( )T x U x T y U y F E F E! ...Por qu

( ) ( ) ( ) ( )T x U x T y U y F E E! W es un e.v. ( ) ( ) ( ) ( )T x U x T y U y F E E! .Por qu

( ) ( )T U x T U y F E E! .Def. 1.18

Con lo cual T UE es una Transformacin Lineal.

b) Queda PROPUESTA.

COMPOSICIN DE UNA TRANSFORMACIN LINEAL

DEFINICIN 1.20Sean , y ZV W son e.v. sobre K y sean :T V Wp y :U W Zp Transformaciones, se define

:UT V Z p como ( ) ( ( ))UT x U T x x V! .

x T(x) H T x

T UV W Z

HT


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16

TEOREMA 1.21Sean , y ZV W son e.v. sobre K y sean :T V Wp y :U W Zp Transformaciones Lineales,

entonces :UT V Z p es una Transformacin Lineal.

DEMOSTRACIN:Sean ,x y V y KE se tiene:

( ) ( )UT x y U T x yE E ! .... Def 1.20

( ( ) ( ))U T x T yE! ... T es una T.L.

( ( )) ( )U T x U T yE! .... U es una T.L

( ( )) ( )U T x U T yE! ..por qu

( ) ( )UT x UT yE! .por qu

Con lo cual UT es una Transformacin Lineal.

TEOREMA 1.22Sea V un e.v. sobre K y sean 1 2, , ( )T U U L V (conjunto de todas las Transformaciones Lineales de

enV V

) entonces:

a) 1 2 1 2T U U TU TU ! .b) 1 2 1 2T U U TU U ! .c) TI IT T! ! siendo I la Transformacin Identidad.d) 1 2 1 2 1 2 conU U U U U U KE E E E! ! .

DEMOSTRACIN:a) Sea x V se tiene:

1 2 1 2( ) ( )T U U x T U U x ! .. Def 1.20

1 2( ) ( )T U x U x! .... Def. 1.18.

1 2( ) ( )T U x T U x! ... T es una T.L

1 2( ) ( )TU x TU x! ....por qu

1 2 ( )TU TU x! ..por qu

En consecuencia 1 2 1 2T U U TU TU ! .

b) Sea x V se tiene: 1 2 1 2( ) ( )T U U x T U U x! .. Def 1.20

1 2 ( )T U U x! .... Def. 1.20.

1 2 ( )TU U x! ..... Def. 1.20 1 2 ( )TU U x! ......por qu

En consecuencia 1 2 1 2T U U TU U ! .

c) En efecto: como ( ) ( ) ( )TI x T I x T x! ! y ( ) ( ) ( )IT x I T x T x! ! definicin deTransformacin Identidad.Se cumple TI T IT! ! o lo que es igual TI IT T! ! .

d) PROPUESTA.


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17

INVERTIBILIDAD E ISOMORFISMOS LINEALES

DEFINICIN 1.23Sean , , ,V K y , , ,W K dos espacios vectoriales y sea :T V Wp una Transformacin (no

necesariamente lineal) diremos que T es invertible s y slo si existe una aplicacin T tal que

VT T I! y '

WTT I! .

OBSERVACIN 1.241. La Transformacin

T que satisface ' y '

V WT T I TT I! ! es llamada "Transformacin

Inversa de T y se denota por 1T .2. No siempre entre dos espacios vectoriales cualesquiera existe una transformacin lineal

invertible, ms adelante estudiaremos que para que una transformacin lineal sea invertible

necesariamente debe ser biyectiva.

3. A continuacin diremos que T es invertible si Tposee una inversa.EJERCICIOS RESUELTOS V:

1. Dada la Transformacin Identidad :VI V Vp se cumple: Si VT I! y VT I! es evidente que' y 'V VT T I TT I! ! , con lo cual VI es invertible.

2. Dada Transformacin Nula 0 :T V Vp se cumple para cualquier Transformacin Lineal:T V Wp que

0 0 0 0yTT T T T T ! ! , en consecuencia la transformacin Nula 0T es noinvertible.

3. Dada la transformacin Lineal 2 2:T p definida por ( , ) ( , )T a b a b a b! . estudiemos siexiste una Transformacin Lineal 2 2:T p tal que 2T T I TT! ! .

Para comenzar notemos que 2 2:T p de all2 2( , ) ( , )T a b a b por tanto

podemos escribir '( , ) ( ( , ), ( , ))T a b f a b g a b! para todo 2( , )a b , donde ,f g son

aplicaciones de 2 en .Ahora para 2( , )a b se tiene entonces que:

'( , ) '( , ) ( , ), ( , )TT a b T T a b T f a b g a b! ! ..

( , ) ( , ), ( , ) ( , )f a b g a b f a b g a b! .. def. de T , (*)

Adems por definicin 22( , ) : ( , ) ( , )TT I a b TT a b a b! !

(**) implicando de (*) y

(**) que: 2( , ) ( , )

( , ) : ( , ) ( , )( , ) ( , )

f a b g a b aa b TT a b a b

f a b g a b b

! !

!

Este sistema de ecuaciones tiene solucin nica a saber:1

( , ) ( )

2

f a b a b! y1

( , ) ( )

2

g a b a b!

Al tomar: 1 1

( , ) ,2 2

T a b a b a b

!

.

Se comprueba fcilmente que 2TT I! y tambin que 2T T I! , as hemos probado que la

aplicacin es T invertible.


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18

TEOREMA 1.25Sean , , ,V K y , , ,W K dos espacios vectoriales y sea :T V Wp una Transformacin Lineal,

entonces se cumple:

a) Si T tiene inversa, entonces tal inversa es nica.b) Si T tiene inversa, entonces tal inversa es lineal.

DEMOSTRACIN

a) Supongamos que existen las transformaciones: , :T T W V p que satisfacen' ''

VT T I T T! ! y ' ''

WTT I TT! ! (*), entonces para todo elemento w W se cumple:

''( ) '' ( )VT w I T w! .TMA 1.22 c)

' '' ( )T T T w! de (*)

( )T TT w! .TMA 1.22 b)

' ( )WT

Iw! ... de (*)

'( )T w! TMA 1.22 c)

Probando as que ' ''T T! , es decir, que 1T T! es nica.

b) Supongamos que T lineal tiene inversa 1T , esto es 1 1yV W

T T I TT I ! ! . En efecto, si

, 'w w Wentonces al aplicarle obtenemos elementos , 'v v V

tales que:

1 1( ) y ' ( ')v T w v T w ! ! (I)Con lo cual resulta:

1 1( ) ( ) ( ) ( )WT v T T w TT w I w w ! ! ! !

y 1 1( ) ( ) ( ) ( )WT v T T w TT w I w w ! ! ! ! .(II)

De all que:1 1

( ') ( ( ) ( '))T w w T T v T v

! . De (II)1( ( ))T T v v

! T es T.L.

1 ( )T T v v! ....Def. 1.20( )

VI v v! ...Hiptesis

v v! ..Def. Transf. Identidad1 1( ) ( )T w T w ! De (I)

As 1T preserva la adicin.

Por otra parte, para KE y w W tenemos:1 1( ) ( ( ))T w T T vE E ! . De (II)

1 ( )T T vE! .T es T.L.

1 ( )T T vE! . Def. 1.20( )

VI vE! .Hiptesis

vE! ... Def. Transf. Identidad1( )T wE ! ...De (II)

Mostrando as, que 1T preserva la multiplicacin de un escalar.

En conclusin 1T es lineal.


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19

TEOREMA 1.26Sean , , ,U K ; , , ,V K y , , ,W K espacios vectoriales y sean ,T L U V y ,H L V W ,

entonces se cumple:

a) T es invertible, s y slo si T es biyectiva.b) Si T tiene inversa, entonces su inversa 1T tambin es invertible.c) Si yT H son invertibles, entonces HT tambin es invertible

DEMOSTRACIN:a) Supngase que T es invertible, es decir, existe 1 :T V U p tal que 1 1y

U VT T I TT I ! ! .

estudiemos si T es biyectiva. En efecto:Veamos si T es inyectiva

Sean ,x y U tales que ( ) ( )T x T y V! , aplicando 1T , nos queda 1 1( ) ( )T T x T T y ! ,

implicando ( ) ( )U U

I x I y x y! ! en consecuencia T es inyectiva.

Probemos si T es sobreyectiva

Sea y V consideremos1( )x T y U! , luego aplicando T se tiene 1( ) ( )T x T T y! , pero

como 1T es la inversa de T se sigue 1( ) ( ) ( ) ( )VT x T T y T x I y y! ! ! , as ( )T x y! ,

indicando que T es sobreyectiva.

Recprocamente supngase que es biyectiva, probemos que es invertible. En efecto:Decir que T es biyectiva implica ! : ( )y V x U T x y ! , definimos 1 :T V U p por

1( ) ( )T y x T x y ! ! . Se puede observar fcilmente que 1 1yU V

T T I TT I ! ! , dado que,

1 1( ) ( ) ( ) ( )VTT y T T y T x y I y ! ! ! ! y 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )UT T x T T x T y x I x

! ! ! ! verificando

as que T es invertible.

b) Supngase que es invertible, esto es, existe 1 :T V U p tal que 1 1yU V

T T I TT I ! !de

all para 1T tomamos T y se cumple 1 1yV UTT I T T I ! ! , as 1T es invertible y

1

1T T

! .

c) Supngase que yT H son transformaciones invertibles, con lo cual existen:1 :T V U p tal que 1 1y

U VT T I TT I ! ! .

1 :H W V p tal que 1 -1yV W

H H I HH I ! !

Consideremos la transformacin 1 1T H y estudiemos 1 1T H HT . En efecto

1 1 1 1T H HT T H H T

! TMA 1.22 b)

1 VT I T! hiptesis

1T T! ....TMA 1.22 c)

UI! hiptesis

Anlogamente se prueba que 1 1 W HT T H I ! , en consecuencia HT es invertible y

adems 1 1 1

HT T H ! .


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20

TEOREMA 1.27Sean , , ,V K y , , ,W K dos espacios vectoriales de dimensin finita, con dim dimV W! y sea

:T V Wp una Transformacin Lineal, las siguientes proposiciones son equivalentes:

i. T es invertibleii. T es inyectiva.

iii. T es sobreyectivaiv. Para toda base _ a1 2, , , n x x xL de V se cumple

que_ a1 2( ), ( ), ( )nT x T x T xL es una base de W .

DEMOSTRACIN) )i ii T es invertible T es biyectiva . TMA 1.26

T es inyectiva . Def. de funcin biyectiva

) )ii iii T es inyectiva T es sobreyectiva .. TMA 1.15

) )iii iv T es sobreyectiva T es inyectiva .... TMA 1.15

Sea _ a1 2, , , n x x xL una base de V , de all _ a1 2( ), ( ), ( )nT x T x T xL es

l.i (TMA 1.11) y adems _ a ( ) ( )R T SPAN T F! (TMA 1.10), en

consecuencia_ a1 2( ), ( ), ( )nT x T x T xL es una base de W .

) )iv i Si para toda base _ a1 2, , , n x x xL de V se cumple que _ a1 2( ), ( ), ( )nT x T x T xL es una base de W . T es inyectiva (TMA 1.11) adems T es sobreyectiva (TMA 1.15), en

consecuencia T es biyectiva y as por (TMA 1.26) T es invertible.

EJERCICIOS RESUELTOS VI1

1) La Transformacin Lineal que surge de la asignacin de las imgenes(1,0,0) (1,2,1); (0,1,0) ( 2,0,2) y (0,0,1) (0,4,4)T T T! ! ! no es invertible ya que

transforma la base cannica _ a(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) de 3 en un conjunto

_ a(1,2,1),( 2,0,2),(0,4,4) el cual es l.d dado que (0,4,4) 2(1,2,1) 1( 2,0,2)! ,incumpliendo as el TMA 1.27.

2) No existe transformacin lineal invertible de 3 4en , pues si 3 4:T p lineal esinvertible entonces por TMA 1.26 en inyectiva y sobreyectiva por lo que

_ a( ) 0,0,0N T ! y

4( )R T ! de all ( ) 0null T ! y ( ) 4Rgo T ! cumplindose adems que

33 dim( ) dim ( ) dim ( ) 0 4 4V N T R T! ! ! ! ! lo cual es un absurdo.

DEFINICIN 1.28Sean , , ,V K y , , ,W K dos espacios vectoriales. Se dice V es isomorfo a W (V W$ ) si

existe una Transformacin Lineal invertible :T V Wp .


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21

TEOREMA 1.29La relacin "es isomorfo a" ( $ ) descrita en la definicin 1.28 es de equivalencia.

DEMOSTRACIN PROPUESTA

NOTALa simetra en la relacin de equivalencia ( $ ) descrita en el teorema anterior presenta que siV es isomorfo a W entonces W es isomorfo a , esto nos lleva a cambiar nuestra manera de

referirnos a la existencia del isomorfismo lineal. De ahora en adelante, diremos V y W son

isomorfos en lugar de V es isomorfo a W .

TEOREMA 1.30Sean , , ,V K y , , ,W K dos espacios vectoriales de dimensin finita, entonces V y W son

isomorfos, s y slo si dim dimV W! .

DEMOSTRACINSupngase que V y W son isomorfos se tiene por Def. 1.28 que existe una Transformacin Lineal

invertible :T V Wp , luego por TMA 1.26 es biyectiva, esto es, T es inyectiva y sobreyectiva, conlo cual ( ( )) 0Dim N T ! (*). Asimismo, ( ) ( ( )) ( )R T W dim R T dim W! ! (**) dado que ( )R T Ww .

En consecuencia de (*) y (**) resulta por TMA 1.13:

( ) ( ) ( ) 0 ( )dim V dim N T dim R T dim W! ! , es decir,

( ) ( )dim V dim W!

Recprocamente, si yV W son espacios vectoriales sobre Kque tienen la misma dimensin finita,

entonces existe al memos una transformacin lineal invertible de enV W . Para demostrarlos

escogemos una base ordenada _ a1 2, , ..., n x x x de V y una base ordenada de W digamos_ a1 2, ,..., n y y y

La correspondencia1 1 2 2

; ; ;n n

x y x y x yp p pL produce una nica transformacin lineal tal

como lo establece el TMA 1.17

EJERCICIO RESUELTO VIII

Sea 3: : , ,0

a a bT V a b c

c

! p

definido por , ,

0

a a bT a a b c

c

!

, Probemos que T

es un isomorfismos. En efecto estudiemos inicialmente si T es Lineal.

Sean ;0 0

a a b d d ex y

c f

! !

(I) se cumple:

i. Aditividad( ) 0 0

a a b d d e

T x y T c f

! ..de I

0

a d a b d eT

c f

!

....Ley int. en V .

, ,a d a b d e c f! ........Def. de T .

, , , ,a a b c d d e f! .Ley int. en 3 .


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22

0 0

a a b d d eT T

c f

!

Def. de T .

( ) ( )T x T y! ..de I

ii.Homogeneidad.( )

0a a bT x T

cE E !

de I

0

a a bT

c

E E

E E

!

. Ley Ext. en V .

, ,a a b cE E E! . Def. de T .

, ,a a b cE! .. Ley Ext. en 3 .

0

a a bT

cE

!

Def. de T .

( )T xE! de I

Indicando que T es lineal

Verifiquemos ahora si T es biyectiva

i. InyectivaComo ( ) / (0,0,0)

0 0

a a b a a b N T V T

c c

! !

, es decir, ( , , ) (0,0,0)a a b c ! cumpliendo

0a b c! ! ! , por lo que0 0

( )0 0

N T

!

, luego por TMA 1.9 es inyectiva.

ii.Adems es sobreyectiva, ya que 3( )R T ! , pues 3 33 ( ) 0 ( ) ( ) 3 ( )dim V dim R T dim R T dim R T! ! ! ! ! .

En consecuencia T es biyectiva y por TMA 1.26 es invertible, implicando as que T es unisomorfismo.


1) Sean yV W espacios vectoriales y S Vw definimos _ a0 ( , ) / ( ) 0S T L V W T x x S! ! probar que:

2) Sean , y ZV W son e.v. sobre K y sean :T V Wp y :U W Zp TransformacionesLineales, pruebe que:

a) Si UT es inyectiva, probar que T es inyectiva. tambin U es inyectiva?b) Si UT es sobreyectiva, probar que U es sobreyectiva. tambin T es sobreyectiva?c) Si U y T son biyectiva probar que UT tambin lo es.

3) Sean :T V Vp una operador lineal, probar que: 2 0T T! s y slo si ( ) ( )R T N T 4) Sea

nB M invertible sea : ( ) ( )

n nM MJ p definida por 1( )A B ABJ ! probar que J es

un isomorfismo.


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23

MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIN LINEAL

DEFINICIN 1.31Sea V un espacio vectorial sobre Kde dimensin finita. Una base ordenada de V , es una base con

un orden especifico, es decir, una base ordenada de V es una sucesin finita de elementos linealmente

independientes de V que generan a V .

DEFINICIN 1.32Sea _ a1 2, , ..., nv v vF ! una base ordenada del espacio vectorial V . Para v V se define el vector

coordenada de v relativo a F denotado por ? AvF

a la matriz:

? A

1

2

n

vF

E

E

E

!

Mdonde

1 1 2 2

1

n

n n i i

i

v v v v vE E E E!

! ! L .

Anlogamente si , , ,V K y , , ,W K dos espacios vectoriales y sea :T V Wp una

Transformacin Lineal tal que ( )T v w W! y _ a1 2' , , ..., mw w wF ! es una base ordenada de W secumple que w se puede escribir como combinacin lineal de los elementos de F , as

1

( )m

i i

i

w T v wP!

! ! con lo cual, el vector coordenada de w en la base F , esta dado por:

? A

1

2

( )

m

T vF

P

P

P

!

M

Ahora, sera interesante conocer cada una de las combinaciones lineales con las cuales se pueden

expresar las imgenes de los elementos de la base F de V .

1 11 1 21 2 31 3 1

2 12 1 22 2 32 3 2

3 13 1 23 2 33 3 3

1 1 2 2 3 3

( )

( )

( )

( )

m m

m m

m m

n n n n mn m

T v a w a w a w a w

T v a w a w a w a w

T v a w a w a w a w

T v a w a w a w a w

!

!

!

!

L

L

L

M M M M M

L

Sea la matriz cuyas columnas son los vectores coordenadas de ( )j

T v .

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

n

n

n

m m m mn

a a a a

a a a a

A a a a a

a a a a

!

L

L

L

M M M M M

L

. (I)


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24

Es importante destacar que al tener espacios vectoriales yV W de dimensin finita con bases

ordenadas _ a1 2, ,..., nv v vF ! y _ a1 2' , , ..., mw w wF ! respectivamente, entonces existen nicos

escalares 1, 2,..., 1, 2,...,ija i m j n! ! tales que1

( ) 1, 2,...,m

j ij i

i

T v a w para j n!

! ! .

DEFINICIN 1.33Denominaremos matriz asociada a la Transformacin Lineal :T V Wp en las bases ordenadas

yF F de yV W respectivamente, denotada por? A'

TF

F, a la matriz obtenida en (I), esto es:

EJERCICIOS RESUELTOS IX

1) Sea 3 2: ( ) ( )T P Pp una transformacin lineal definida por ( ( )) '( )T f x f x! . y sean _ a _ a2 3 21, , , y 1, , x x x x xE F! ! bases de 3 2( ) ( )P y P respectivamente. Determine ? AT

F

E.

SOLUCINEstudiemos los vectores coordenados formados por las imgenes de los vectores de la base E , as:

? A

? A

2

2

2 2 2 2

3 3 2 2 3

0

(1) (1) 0 0.1 0. 0. (1) 0

0

1

( ) ( ) 1 1.1 0. 0. ( ) 0

0

0

( ) ( ) 2 0.1 2. 0. ( ) 2

0

0

( ) ( ) 3 0.1 0. 3. ( ) 0

3

T x x T

T x x x x T x

T x x x x x T x

T x x x x x T x

F

F

F

F

! ! ! !

! ! ! !

! ! ! !

! ! ! !

En consecuencia la matriz asociada

? A

0 1 0 0

0 0 2 0

0 0 0 3

TF

E

!

? A

11 12 13 1

21 22 23 2'

31 32 33 3

1 2 3

n

n

n

m m m mn

a a a a

a a a a

A T a a a a

a a a a

F

F

! !

L

L

L

M M M M M

L


25/32


25

2) Sea 2 2 2: ( ) ( )T M Pv p una transformacin lineal definida por2( ) 2

a bT a b d x bx

c d

!

. y sean _ a2

1 0 0 1 0 0 0 0, , , y 1, ,

0 0 0 0 1 0 0 1x xE F

! !

bases de 2 2 2( ) ( )M y Pv respectivamente. Determine ? ATF

E.

SOLUCINEstudiemos los vectores coordenados formados por las imgenes de los vectores de la base E , as:

2 2

2 2

2 2

11 0 1 0

(1 0) 2(0) 0. 1 0. 0. 00 0 0 0

0

10 1 0 1

(0 1) 2(0) 1. 1 0. 1. 00 0 0 0

1

0 0 0 0(0 0) 2(0) 0. 0 0. 0.

1 0 1 0

T x x x x T

T x x x x T

T x x x x T

F

F

! ! !

! ! !

! !

2 2

0

0

0

00 0 0 0

(0 0) 2(1) 0. 0 2. 0. 20 1 0 1

0

T x x x x T

F

F

!

! ! !

En consecuencia la matriz asociada

? A

1 1 0 0

0 0 0 2

0 1 0 0

TF

E

!

OBSERVACIN 1.34

1) Uno de los propsitos fundamentales de las representaciones matriciales de unaTransformaciones Lineales :T V Wp siendo yV W de dimensiones finitas yn m

respectivamente, es identificar ( , ) L V W con ( )m nM Kv . Con lo cual a travs de clculos

matriciales, obtener informacin sobre los ncleos, imgenes, composicin de

Transformaciones Lineales, entre otros, sin necesidad de conocer la expresin que las definen.

2) La correspondencia : ( , ) ( )m n L V W M KJ vp que asocia a cada ( , )T L V W su representacinmatricial en las bases F de V y F de W , definida por ? A

'( )T T

F

FJ ! , es una aplicacin.

Dicha aplicacin, tal como se demostrar en el TMA 1.35 es un isomorfismo, en

consecuencia dim , dim ( ) .m nL V W M K m nv! ! .3) Si :T V Wp es una Transformacin Lineal y dim ; dimV n W m! ! , entonces la matriz

asociada a T respecto a cualquier par de bases, ser de orden m nv , es decir

? A

m n A T M F

F v! .

4) Si :T V Vp es un endomorfismo cuya dim V m! , entonces ser cuadrada de orden m , sedenotar ? A ? A m A T T M

F

F F! ! .


26/32


26

TEOREMA 1.35Sean V ,W ,F ,F y Jcomo en la proposicin definida en la observacin 1.34, la aplicacin J es

lineal y biyectiva.

DEMOSTRACIN

Para probar que J es lineal se debe cumplir que siendo , :T U V W p resulta:

i. ? A ? A ? A' ' 'T U T U F F F F F F

! .

Como _ a1 2, ,..., nv v vF ! y _ a1 2' , , ..., mw w wF ! son bases ordenadas de yV W respectivamente se

tiene: , :T U V W p 1 1

( ) ( )m m

j ij i j ij i

i i

T v a w v b w! !

! ! con 1, 2,..., 1, 2,...,i m j n! ! .

Con lo cual 1

( ) ( )m

j ij ij i

i

T U v a b w!

! .por qu

1 1

m m

ij i ij i

i i

a w b w! !

! Prop. de .

( ) ( )j jT v U v! ..por qu

Verificando as que ? A ? A ? A' ' '

T U T U F F F

F F F ! .

ii. ? A ? A' 'T TF FF F

E E! .

Estudiemos ahora las imgenes de 1

( )m

j ij i

i

T v a wE E!

! por qu

1

m

ij i

i

a wE!

! .. Prop. de .

( )j

T vE! ..por qu

Verificando as que ? A ? A

T T

F F

F FE E! .En consecuencia de i) y ii) se cumple que Jes lineal

Queda propuesto demostrar que Jes biyectiva.

DEFINICIN 1.35Sean , y ZV W son espacios vectoriales sobre K de dimensin finita con bases ordenadas , yE F K

respectivamente. Sean :T V Wp y :U W Zp Transformaciones Lineales, se cumple

? A ? A ? AUT U T K K F

E F E! .

TEOREMA 1.36Sean yV W son espacios vectoriales sobre K de dimensin finita con bases ordenadas yE F

respectivamente y sea :T V Wp una transformacin Lineal, entonces v V se cumple:

? A ? A ? A( )T v T vF

F E E! .

DEMOSTRACINSean _ a1 2, ,..., nv v vF ! y _ a1 2, , ..., mw w wF ! bases ordenadas de yV W respectivamente, se

cumple:


27/32


27

? A

1

2

1

:n

j j

j

n

v V v v vF

E

EE

E

!

! !

M y 1( )

m

j ij i

i

T v a w!

! . Con lo cual

1 1 1 1 1 1

( ) ( )n n n m m n

j i j i j ij i j ij i

j j j i i j

T v T v T v a w a wE E E E! ! ! ! ! !

! ! ! !

(*)

Implicando de (*) que el vector coordenado de esta dado por

? A

1

1

2

1'

1

( )

n

j j

j

n

j j

j

n

j mjj

a

aT v

a

F

E

E

E

!

!

!

!

M

(I)

Por otra parte,

? A ? A

11 12 13 1 1

21 22 23 2 2

31 32 33 3 3

1 2 3

n

n

n

m m m mn n

a a a a

a a a a

T v a a a a

a a a a

F

E E

E

E

E

E

!

L

L

L

M M M M M M

L

.

1

1

2

1

1

n

j j

j

n

j j

j

n

j mj

j

a

a

a

E

E

E

!

!

!

!

M

.(II)

Finalmente de (i) y (II) se verifica la proposicin.

EJERCICIOS RESUELTOS X

1) Sea 2 3:T p una transformacin lineal definida por ( , ) ( , , )T x y x y y y x! y sean _ a _ a(1,1),(1,0) y (1,2,0), (0,3,1), (0,0,1)E F! ! bases de

2 3y

respectivamente. Sea

2(2,3)v ! verifique ? A ? A ? A( )T v T v

F

F E E! .

SOLUCINComo 1 2 3( , ) (1,2,0) (0,3,1) (0,0,1)T x y E E E! , dado que F es base de

3 .


28/32


28

Se tiene que: 1 2 3 1 1 2 2 3(1,1) (2,1,0) (1,2,0) (0,3,1) (0,0,1) ( ,2 3 , )T E E E E E E E E! ! ! .

1 2 3 1 1 2 2 3(1,0) (1,0, 1) (1,2,0) (0,3,1) (0,0,1) ( , 2 3 , )T F F F F F F F F! ! ! .

1 2 3 1 1 2 2 3(2,3) (5,3,1) (1,2,0) (0,3,1) (0,0,1) ( , 2 3 , )T K K K K K K K K ! ! ! .

Dando solucin a cada uno de los sistemas de manera conjunto a travs del mtodo de Gauss-Jordan

resulta:

As: 2 1

2

21 0 0 2 1 5 1 0 0 2 1 5

2 3 0 1 0 3 0 3 0 3 2 7

0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1

f f

f

p

2 3

1 0 0 2 1 5

0 1 1 0 1 1

0 3 0 3 2 7

f f

m

3 2

3

31 0 0 2 1 5

0 1 1 0 1 1

0 0 3 3 1 10

f f

f

p

3

1 0 0 2 1 51

0 1 1 0 1 13

0 0 1 1 101

3 3

f

2 3

2

2 1 51 0 0

720 1 0 13 3

0 0 11011 3 3

f f

f

p

..

Luego ? A

12

213

1 13

TF

E

!

y ? A

5

7( )3

103

T vF

!

..

Por otro lado1 2 1 2 1 1 2

(2,3) (1,1) (1,0) ( , ) 3 1P P P P P P P! ! ! !

Indicando que ? A3

1v

E

!

Finalmente ? A ? A ? A

51 6 123

72 21 . 3 ( )3 3 31

1 1 1 1033 3 3

T v T vF

E E F

! ! ! !

..


29/32


29

TRANSFORMACIN ESTNDAR POR LA IZQUIERDA

DEFINICIN 1.37Sea n mA M v llamaremos "Transformacin Estndar por la Izquierda" o "Transformacin

Multiplicacin por la Izquierda" en relacin a la matriz A , a la aplicacin : m nT p definida por

( )

m

T x Ax x!

Nota: como T depende de A usaremos la notacinA

T L! , esto nos indica que ( ) ( )AT x L x Ax! ! .

EJERCICIO RESUELTO XI

Si 3 2

1 2

3 4

5 6

A M v

!

entonces la Transformacin Estndar por la Izquierda relacionada con A

esta definida en 2 3:A

L p por 21 2

( ) 3 4

5 6

AL x A x x x

! !

, pero como 2( , )x a b! se

tiene

1 2

( , ) 3 4 ( 2 ,3 4 ,5 6 )

5 6

A

a aL a b A a b a b a b

b b

! ! !

.

TEOREMA 1.38Sean ,

n mA B M v y sea :

m n

AL p definida por ( ) m

AL x Ax x! se cumple que:

a)A

L es una Transformacin Lineal.

b) ? AAL AFE ! donde yE F son las bases cannicas dey

m n respectivamente.

c)A B

L L A B! ! .

d) y A B A B A A L L L L LE E ! ! ,m,e) Si : m nT p es una Transformacin Lineal, entonces

existe una nica matriz n mC M v tal que CT L! .

f) Si m pE M v , entonces AE A E L L L! .

EJERCICIO RESUELTO XII

1) Sea 2 3:A

L p definida por

1 2

3 4 ( 2 ,3 4 ,5 6 )

5 6

A

x xL x y x y x y

y y

! !

. Hallar ? AALF

E,

siendo _ a(1,1),(1,0)E ! y _ a(1,0,1), (1,1,0), (0,1,1)F ! bases de2 3y .

SOLUCIN


30/32


30

1 2 3 1 2 2 3 1 3

31

7 (1,0,1) (1,1,0) (0,1,1) ( , , )1

11

AL E E E E E E E E E

! ! !

.

1 2 3 1 2 2 3 1 3

11

3 (1,0,1) (1,1,0) (0,1,1) ( , , )05

AL F F F F F F F F F

! ! !

Dando solucin a cada uno de los sistemas de manera conjunto a travs del mtodo de Gauss-Jordan

resulta:

As: 3 1

3

1 1 0 3 1 1 1 0 3 1

0 1 1 7 3 0 1 1 7 3

1 0 1 11 5 0 1 1 8 4

f f

f

p

de

3 2

3

1 1 0 3 1

0 1 1 7 3

0 0 2 15 7

f f

f

p

3

1 1 0 3 11

0 1 1 7 32

0 0 1 15 72 2

f

..

2 3

2

3 11 1 0

1 10 1 02 2

0 0 1 15 72 2

f f

f

p

..

1 2

1

7 32 21 0 0

1 10 1 02 2

0 0 1 15 72 2

f f

f

p

En consecuencia ? A

7 32 2

1 12 2

15 72 2

AL

F

E

!

.

2) Sea 2 3:T p una Transformacin Lineal definida por ( , ) ( , ,0)T x y x y y! . determine lamatriz estndar ( )

n mA M v de T .

SOLUCIN

Por TMA 1.38 parte b) se cumple ? AAL AF

E! donde _ a(1,0), (0,1) yE ! _ a(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)F !

de all:

1 2 3 1(1,0) (1,0,0) (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) 1T E E E E! ! ! .

1 2 3 1 2(0,1) (1,1,0) (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) 1T F F F F F! ! ! ! .


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31

En consecuencia ? A

1 1

0 1

0 0

AA L

F

E

! !

TEOREMA 1.39

Si : m nT p una Transformacin Lineal y ( )n mA M v la matriz estndar de T entonces:

a) Rgo T Rgo A! .b) dim( ( )) dim( ) ( )mN T Rdo A! .c) T es invertible s y slo si A es invertible.d) Si : n nT p es invertible, entonces ? A 1 1T T EE

!

OBSERVACIN 1.40a) Si ( )

n mA M

v , entonces la dimensin del espacio solucin del sistema homogneo de m

ecuaciones con n incgnitas Ax o! es igual ( )m Rgo A .

b) Gracias al TMA 1.39 es posible determinar el ( ) y ( )null T Rgo T de una transformacinlineal sin necesidad de conocer su regla de formacin.

EJERCICIO RESUELTO XIII1) Sea 2 3:T p una Transformacin lineal definida por ( , ) ( , ,0)T x y x y y! . Verifique

Rgo T Rgo A! .

SOLUCINPor el ejercicio resuelto XII se tiene

2) Pruebe que 3 3:T p Transformacin Lineal definida por( , , ) ( , , )T x y z x y z x z y z! , es invertible y determine la regla de formacin de su

inversa.

SOLUCIN


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unidad i tramsformaciones lineales

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