unidad vii: prediccion en modelos no lineales

UNIDAD VII Prediccioacuten En Modelos No Lineales

UNIDAD VII

ldquoLa Ciencia es necesaria cuando se planifica el futuro Si el futuro depende del azar la ciencia no tiene sentidordquo Victor Garcia Gonzales 1991

bull iquestCuaacuteles son las aplicaciones de un modelo no lineal bull iquestQueacute clases de modelos no lineales hay bull iquestCuales son los modelos no lineales maacutes comunes bull iquestQueacute pasos se siguen para estimar un modelo no lineal bull iquestCoacutemo se interpretan los paraacutemetros

PREDICCION EN MODELOS NO LINEALES

ESQUEMA CONCEPTUAL

Aplicaciones de los modelos no lineales

Clasificacioacuten de los modelos

Decisioacuten de la forma

Modelo Doblemente y

Semi Logariacutetmico

Modelo Reciproco

Polinomial y Logiacutestico

Transformaciones lineales

Modelos no lineales maacutes comunes

MODELOS NO LINEALES

COMPETENCIAS A LOGRAR

CONCEPTUAL PROCEDIMENTAL ACTITUDINAL Explica los diferentes modelos no lineales que se presentan en casos reales como en la econoacutemica

Realiza el anaacutelisis previo para evaluar el tipo de regresioacuten y la respectiva transformacioacuten

Analiza las relaciones entre variables para encontrar el mejor modelo de estimacioacuten

CONCEPTOS ndashCLAVE

Graacuteficos de funciones no lineales potencia exponencial reciproco Polinomial Curva de Phillips Costo marginal

316

LECCIOacuteN 1

APLICACIONES MODELO NO LINEAL

1 MODELO NO LINEAL Son modelos cuya estructura matemaacutetica no es la del Modelo Lineal General La teoriacutea econoacutemica propone modelos de relacioacuten entre variables econoacutemicas pero generalmente no determina la forma funcional de dichas relaciones lo que sugiere que estas puedan ser en ocasiones no lineales En tales casos el modelo es del tipo Yt = f(Xt β)+μt t= 12T Donde f(Xtβ) es una funcioacuten no lineal de las componentes de los vectores Xt y β Vector de observaciones de la variable Xt

T21t

X

XX

X

tn

2t

1t

t =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=M

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

β

ββ

=β

k

2

1

M

Vector de coeficientes a ser estimados

k nuacutemero de coeficientes

Una especificacioacuten no lineal de un modelo estadiacutestico puede estar indicando la incertidumbre del investigador acerca de la verdadera relacioacuten entre las variables del modelo Por ejemplo supongamos que para relacionar los gastos en bienes del consumo Ct con la renta disponible Yt se especifica el modelo

Ct =β1+β2Ytβ3+μt

En dicho modelo la estimacioacuten del paraacutemetro β2 permitiriacutea contrastar la hipoacutetesis de dependencia lineal o propensioacuten marginal al consumo constante (β3=1) frente a otras alternativas como la de una menor sensibilidad del gasto en consumo a variaciones en la renta disponible (β3lt1) Este modelo seria claramente menos restrictivo que una especificacioacuten lineal tambieacuten puede interpretarse como una primera especificacioacuten para pasar a estimar un modelo lineal si la hipoacutetesis β3=1 no se rechaza en una primera estimacioacuten del modelo

317

Sin embargo conviene distinguir entre varios tipos de no linealidades que pueden presentarse en la practica Consideraremos los modelos

tt21t

tt21t

tt221t

tt2t1t

tt4t33X

21t

3

3

t2

XY )e

X)(lnY )dXeY )c

XYln Y )bXXeY )a

μ+β+β=

μ+β+β=μ+β+β=

μ+β=β+μ+β+β+β=

β

β

Estos cinco modelos tienen en comuacuten proponer relaciones no lineales entre la variable endoacutegena por un lado y las variables explicativas y los coeficientes por otro Del modelo a) la no linealidad afecta uacutenicamente a sus variables pero no a los paraacutemetros En tal caso basta definir unas nuevas variables Z2t=exp(X2t) Z3t=X3tX4t para obtener el modelo lineal

tt33t221t ZZY μ+β+β+β= En definitiva siempre que la no linealidad del modelo afecte uacutenicamente a sus variables explicativas entonces dicho problema queda resuelto mediante una transformacioacuten de datos La uacutenica excepcioacuten a esta afirmacioacuten la constituyen los modelos en que la no linealidad afecte tambieacuten a la variable endoacutegena y de alguacuten modo haga imposible expresarla de modo expliacutecito como funcioacuten de los vectores Xt y β Del modelo b) la forma funcional es una funcioacuten impliacutecita

g (Yt Xt β)=μt t=12T Del modelo c) la no linealidad afecta tan soacutelo a sus coeficientes pero no a sus variables Del modelo d) la no linealidad es en los coeficientes sin que ello presente dificultades serias de estimacioacuten En dicho modelo se estima un teacutermino independiente y un coeficiente de la variable Xt y a continuacioacuten puede recuperarse el valor del paraacutemetro β2 mediante = exp(coeficiente de Xt) sin embargo el valor de β2 asiacute obtenido no heredariacutea las propiedades estadiacutesticas que pudiera tener el estimador de eβ2

2β

El modelo e) es otro ejemplo de modelo no lineal que no puede tratarse por meacutetodos lineales Finalmente es importante observar que a diferencia de los modelos lineales en modelos no lineales el nuacutemero de paraacutemetros no coincide necesariamente con el nuacutemero de variables explicativas como ocurre en los modelos b) c) y e) anteriores

318

2

a Modelos no lineales en la variables

i3

i32

i2i1i XXX μ++β+β+β+α=

b Modelos no lineales en los paraacutemetros

ue se pueden distinguir en dos sub grupos

Modelos intriacutensicamente no lineales Que no hay posibilidad de linealizarlos

Ejm

CLASIFICACIOacuteN DE MODELOS NO LINEALES

Y

Q i

iiX μ+21Y β+β=

ii s intriacutensicamente lineales Que pueden linealizarse mediante

Ejm

Aplicando logaritmo

i3i32i21i )X(LnLnX)(Ln)Y(Ln

i

Modelotransformaciones apropiadas

i32 eXXY 3i2i1iμβββ=

+ β + β + μβ=

l modelo puede expresarse de forma lineal

Donde

)( 1β

)X(LnX 3i3i

Luego e

i3i32i2

1i XXY μ+β+β+β=

Ln

1 =β)X(LnX 2i2i =

=

DECISIOacuteN DE LA FORMA FUNCIONAL

arte de la economiacutea puede sugerir a veces la forma funcional de 2 oacute maacutes variables

or ejemplo la teoriacutea microeconoacutemica postula una curva de costo medio de corto plazo

or otro lado la observacioacuten del diagrama de dispersioacuten entre las 2 variables puede

Intentar ajustar los datos a una relacioacuten no lineal adecuada

3 P Pde forma de U y una curva de costo medio fijo que decrece constante y tiende asintoacuteticamente a cero a medida que los costos fijos totales se reparten sobre maacutes unidades producidas Psugerir la forma de la relacioacuten funcional en tal caso cabe dos posibilidades bull

319

bull Buscar una transformacioacuten inicial de los datos de tal manera que los datos

4 TRANSFORMACIONES LINEALES MAacuteS UTILIZADAS

UNCION TRANSFORMACION FORMA

= βo X 1 ε Y = βo + β1 X + μ Doble logaritmo

n Y = βo + β1 X + μ Y = βo + β1 X + μ Semi Logaritmo

= βo +

transformados aparezcan como aproximacioacuten lineal aplicaacutendose a las teacutecnicas expuestas

F

β μY L

X1

βY + μ Y = βo + β1 Z + μ Reciacuteproca

= βo + β1 X + β2 X2 + μ Y = βo + β1 X + β2 W + μ Polinomial

onde Y βo = Ln βo X = Ln X

Y DY = Ln Z = 1X W = X2

320

LECCIOacuteN 2

MODELO DOBLEMENTE LOGARITMICO Y SEMILOGARITMICO

1 MODELO DOBLEMENTE LOGARITMICO Consideacuterese el siguiente modelo conocido como el modelo de regresioacuten potencia

i2 eXY i1iμββ=

El cual puede se expresado alternativamente como ii21i XlnlnYln μ+β+β=

Donde Ln es el logaritmo natural Si escribimos el modelo anterior como ii20i LnXLnY μ+β+α=

Donde este modelo es lineal en los paraacutemetros 10 Lnβ=α 0α y 2β y lineal en los logaritmos de las variables Y y X Excluyendo el teacutermino de perturbacioacuten iμ del modelo la relacioacuten entre X e Y se expresa como (1) β= XAY 0

Donde 00LnA α=

Ejemplo En el modelo (1) si 1minus=β la ecuacioacuten 00LnA α= resulta

0AXY = queacute es una hipeacuterbola equilaacutetera Si Y representa la cantidad comprada de un bien y X el precio unitario de dicho bien entonces seriacutea una curva de demanda con elasticidad constante de valor ndash1 y con un gasto total en ese bien constante independiente del precio

0AXY =

Como podemos notar en las siguientes graacuteficas

321

A

1

Y β Negativo

-1ltβlt0

β= -1

βlt -1

A

0ltβlt1βgt1

1

X

Y= A0Xβ

β positivo

Y

X Graacutefica 1 Graacutefica 2

2 MODELO SEMILOGARITMICO Veamos un caso especial del Modelo Semilogariacutetmico cuando el regresor X representa al tiempo Ejemplo 1 iquestCoacutemo medir la tasa de crecimiento Yt = Yo (1 + r)t (1) Donde r es tasa de crecimiento compuesta de Y (es decir a traveacutes del tiempo) Tomando el logaritmo natural del modelo anterior podemos escribir Ln Yt = Ln Yo + t Ln (1 + r) (2) Sea β1 = Ln Yo β2 = Ln (1 + r) Se puede escribir (2) de la siguiente manera Ln Yt = β1 + β2 t Agregando el teacutermino de perturbacioacuten se obtiene Ln Yt = β1 + β2 t + ut (3) Ejemplo 2 Sea el modelo semi logariacutetmico

Ln Y = + βX + α μ

Si calculamos la pendiente

β=dXdY

Y1

322

Como la funcioacuten esta solamente definida para valores positivos de Y Podemos escribir la funcioacuten de la siguiente forma Y = e Xβminusα

La ordenada en el origen viene dada por y la pendiente seraacute positiva o negativa dependiendo del signo de β

αe

La funcioacuten describe en ese caso a una variable Y que muestra una tasa proporcional constante de crecimiento (β gt 0) o decrecimiento (β lt 0) Graacuteficas del modelo semilogariacutetmico

Y= e(α +βx)

e

Y= e(α +βx)

e

X

Y Y

X

Graacutefica 3 Graacutefica 4

323

LECCIOacuteN 3

MODELO RECIPROCO POLINOMIAL Y LOGIacuteSTICO

1 MODELO RECIPROCO

Los modelos del siguiente tipo se conocen como modelos reciacuteprocos

ii21 XY μ+β+β=

Donde i

i X

1X =

A pesar que este modelo es no lineal en la variable X si es lineal en los paraacutemetros

y por consiguiente es un modelo de regresioacuten lineal ( 21 y ββ ) Este modelo tiene las siguientes caracteriacutesticas

bull A medida que X aumenta indefinidamente el teacutermino ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛β

X1

2 se acerca a cero ( 2β

es una constante) y Y se aproxima al valor liacutemite o asintoacutetico 1β Por consiguiente este tipo de modelos han construido en ellos un valor asintoacutetico o liacutemite que tomaraacute la variable dependiente cuando el valor de la variable X aumente indefinidamente

bull La pendiente del modelo mostrado es ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛βminus= 22 X

1dXdY

lo que implica que si es positivo la pendiente siempre es negativa y si es negativo la pendiente es positiva

2β 2β

bull Algunas formas probables de la curva correspondiente al modelo planteado son las

siguientes

Graacutefica 1

Costo Fijo

1β

Promedio

Nivel de Produccioacuten

00

2

1

gtβgtβ

324

En la graacutefica 1 se relaciona el Costo Fijo Promedio (CFP) de produccioacuten (eje Y) con el nivel de produccioacuten (eje X) Como se muestra el CFP desciende continuamente a medida que aumenta la produccioacuten (porque el costo fijo se distribuye entre un gran nuacutemero de unidades) y en este caso se vuelve asintoacutetico en el eje de la produccioacuten al nivel de β 1

0

0

1

2

ltβ

gtβ

1βminus Un

Tasa natural de desempleo

00

1

2

ltβgtβ

0

Tasa

de

varia

cioacuten

de

los s

alar

ios

X Graacutefica 2

Otra de las aplicaciones es la conocida Curva de Phillips de macroeconomiacutea la cual se obtuvo con base de datos de la tasa de cambio porcentual de los salarios nominales (Y) y la tasa porcentual de desempleo Como se muestra en la graacutefica 2 existe una asimetriacutea en la respuesta de los cambios salariales al nivel de desempleo si la tasa de desempleo estaacute por debajo de Un (tasa natural de desempleo) por cada unidad de cambio en el desempleo los salarios aumentan con mayor rapidez de lo que caen debido a un cambio equivalente cuando la tasa de desempleo estaacute por encima del nivel natural 1β indicando la base asintoacutetica para el cambio salarial

38490rX12743842821Y 2

tt =+minus=)

399F)84782()06752( 151 =

431minus

00

1

2

ltβgtβ

Tasa

de

varia

cioacuten

de

los s

alar

ios

Un

)X1(7243842821Y ti +minus=)

0

Graacutefica 3

02 gtβ

325

Esta graacutefica nos muestra que la base salarial es de ndash143 es decir a medida que X aumenta indefinidamente la disminucioacuten porcentual en los salarios no seraacute superior al 143 al antildeo Ademaacutes obseacutervese que el valor de r2 es bajo (384) aunque el coeficiente de pendiente es estadiacutesticamente diferente de cero y tiene el signo correcto lo que es una razoacuten para no enfatizar indebidamente el valor de r2

1

2

ββ

minus

Gas

t

Ingreso

Gas

to

Graacutefica 4

Como aplicacioacuten importante tambieacuten podemos mencionar a la Curva de Gasto de Engel que relaciona el gasto del consumidor en un bien frente a su ingreso total Sea Y el gasto de un bien y X el ingreso entonces para algunos bienes se presentan las siguientes caracteriacutesticas bull Existe un umbral o nivel criacutetico de ingreso por debajo del cual el bien no es

comprado en la figura este umbral se encuentra a nivel de ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

β

βminus

1

2

bull Existe un nivel de satisfaccioacuten de consumo que el consumidor no traspasa sin

importar que tan alto sea el ingreso Este nivel no es otra cosa que la asiacutentota 1β

2 MODELO LOGISTICO Una curva similar a la reciacuteproca es la logiacutestica que tambieacuten tiene una asiacutentota superior para un valor finito y una asiacutentota inferior para el valor cero pero que tiene una forma maacutes simeacutetrica respecto a las dos asiacutentotas

atbe1KY minus+

=

Donde a b y k son paraacutemetros que deben determinarse Se ha escrito Y para la funcioacuten del tiempo t dado que eacutesta es la praacutectica maacutes comuacuten pero en determinados casos es posible sustituir t por alguna variable independiente X Queda claro que Yrarr K cuando t infinrarr e Y 0 cuando t rarr minusinfinrarr

326

De forma que K es asiacutentota superior y cero la inferior La primera derivada es

dtdY =

Ka Y (K - Y)

Asiacute pues la tasa de cambio de Y con respecto a t es proporcional al nivel corriente de Y y tambieacuten a la distancia que queda por recorrer entre el valor y el nivel de saturacioacuten K La primera derivada es positiva para todos los valores de t La segunda derivada se puede escribir como

( )dtdYY2K

KdtYd2

2

minusα

=

Igualaacutendola a cero el siguiente punto de inflexioacuten

t = a1 Ln b Y =

2K

Por lo tanto cuando Y lt K2 el valor ldquogranderdquo de K-Y domina al valor ldquopequentildeordquo de Y y hace que dYdt aumente Cuando Y se aproxima a K2 las dos fuerzas empiezan a compensarse de forma que dYdt alcanza su valor maacuteximo cuando Y= K2 y a partir de aquiacute disminuye suavemente a medida que Y tiende a su nivel de saturacioacuten K la forma tiacutepica de una curva logiacutestica aparece en la graacutefica 5

Y

0135 e X

e

Graacutefica 5

3 MODELO POLINOMIAL Para ordenar las ideas consideacuterese la graacutefica que relaciona el costo marginal del corto plazo (CM) de la produccioacuten de un bien (Y) con el nivel de su producto (X) La curva de CM dibujada en la graacutefica 6 la curva con forma de U de los textos muestra que la relacioacuten entre CM y producto es no lineal Si se fuera a cuantificar esta relacioacuten a partir de los puntos dispersos dados iquestcoacutemo se hariacutea En otras palabras iquestqueacute tipo de modelo economeacutetrico recogeraacute la naturaleza primero decreciente y luego creciente del costo marginal

327

Y CM

bull

Produccioacuten

Cos

to M

argi

nal

X

Graacutefica 6 Geomeacutetricamente la curva CM de la graacutefica mencionada anteriormente representa una paraacutebola Matemaacuteticamente la paraacutebola estaacute representada por la siguiente ecuacioacuten Y = βo + β1X + β2X2 (1) La versioacuten estocaacutestica de (1) puede escribirse asiacute Yi = βo + β1 Xi + β2X2

i + ui (2) Que se denomina una regresioacuten polinomial de segundo grado La regresioacuten polinomial de grado k general puede escribirse asiacute Yi = βo + β1Xi + β2X2

i + + βkXki + ui (3)

Ejemplo Ilustrativo Impacto del Empleo en la Produccioacuten Funcioacuten de Produccioacuten Cobb Douglas La funcioacuten de produccioacuten de Cobb Duoglas es a menudo usada para estudiar la produccioacuten en base a los insumos capital y trabajo de una economiacutea El objetivo principal es determinar el impacto que tiene el empleo en la productividad es por ello que se usaraacute este modelo para determinar dicho impacto tomando como supuesto que el factor capital (inversioacuten) se mantiene constante La funcioacuten de Cobb Douglas en su forma estocaacutestica se expresa seguacuten

ieLKYiμβδα=

Donde Y = Producto Bruto Interno K = Insumo capital L = Insumo Trabajo

328

μ = Teacutermino de perturbacioacuten estocaacutestico e = Base del Logaritmo Natural El modelo a utilizar determina que hay dos factores centrales que determinan la produccioacuten eacutestos son el insumo capital y el insumo trabajo Sin embargo esta ecuacioacuten es de caraacutecter no lineal Mediante transformaciones apropiadas se transformaraacute a una relacioacuten lineal Asiacute se obtiene Ln Y = Ln α + δ Ln K + β Ln L + μ

y = c + δk + βl + μ Obtenemos entonces un modelo linealizado el cual tiene las siguientes propiedades

bull El paraacutemetro δ es la elasticidad del producto con respecto al insumo capital mantenieacutendose constante el insumo trabajo

bull En el corto plazo β es el paraacutemetro que nos es de mayor intereacutes ya que eacuteste mide el cambio porcentual en la produccioacuten debido a una variacioacuten porcentual en el trabajo ello bajo el supuesto de que el insumo capital se mantiene constante

bull La suma entre los paraacutemetros δ y β nos da informacioacuten acerca de los rendimientos a escala es decir la respuesta de la produccioacuten ante un cambio proporcional en los insumos Si la suma es 1 entonces existe rendimientos constantes a escala por ejemplo si se duplican los insumos entonces la produccioacuten se duplicaraacute Si la suma es inferior a 1 existe rendimientos decrecientes a escala por ejemplo si se duplican los insumos entonces la produccioacuten creceraacute en menos del doble Por uacuteltimo si la suma es superior a 1 existe rendimientos crecientes a escala por ejemplo si se duplican los insumos la produccioacuten creceraacute en maacutes del doble

329

LABORATORIO

Ejercicio Aplicativo 11 Con la informacioacuten proveniente de la Encuesta Nacional del Hogares realizada por el INEI en el IV trimestre de 1997 (Enaho 97-IV) se modeloacute la siguiente funcioacuten de consumo que es la presentada por Robles (1996) es de tipo exponencial y consiste en

330

prod=

=

αααααααααnj

1j

O jk0k ePANMEIPP=C 8765432j1

donde Ck = Consumo familiar per caacutepita en el bien k k = 1 n n = Nuacutemero de bienes y servicios en el mercado αi = Coeficientes que muestran la influencia de cada variable independiente

sobre el consumo Pk = Precio del bien k Pj = Precio del bien j (diferente a k) I = Ingreso familiar per caacutepita E = Antildeos de estudios de la madre M = Nuacutemero de miembros en el hogar N = Nuacutemero de nintildeos en el hogar A = Antildeos de constituido el hogar P = Nuacutemero de perceptores en el hogar O = Ocupacioacuten del jefe de hogar = Productoria Π e = 2718281828 Cada una de las variables independientes del modelo tiene alguna influencia en el consumo pues (a excepcioacuten de los precios) estariacutean enmarcando los gustos y preferencias de las familias Las elasticidades precio e ingreso por estrato econoacutemico calculadas a partir del modelo se muestras en los cuadros adjuntos Asiacute observamos que en el primer cuadro nos muestra la disminucioacuten (incremento) porcentual de la cantidad consumida de una variedad ante el aumento (reduccioacuten) del 1 en su nivel de precios Por ejemplo si el kilogramo de bistek de res aumentara en 10 los hogares del estrato medio reduciraacuten el consumo en 52 En el cuadro 2 cada nuacutemero indica el incremento (disminucioacuten) porcentual de la cantidad consumida de una variedad ante el aumento (caiacuteda) de 1 en el ingreso familiar percaacutepita Por ejemplo si este ingreso se incrementara en 10 el consumo de zanahoria de los hogares del estrato bajo se elevaraacute en 427

1 Del documento Elasticidad de la Demanda de los Principales Bienes y Servicios Consumidos por las Familias en Lima Metropolitana elaborado por el INEI

Cuadro 1 CLASIFICACION DE LAS VARIEDADES DE CONSUMO SEGUN SUS ELASTICIDADES PRECIO POR ESTRATO sup3 sup3 Estrato Bajo sup3 Estrato Medio sup3 Estrato Alto sup3 Corte de Cabello Mujer -012 Corte de Cabello Hombre -013 Pje en Oacutemnibus Interpr -001 Maacutes Corte de Cabello Hombre -015 Jaboacuten de Tocador -015 Jaboacuten de Tocador -018 de Jaboacuten de Tocador -016 Desodorantes -021 Pje en Taxi (auto) -022 -04 Hiacutegado de Res -021 Corte Unico de Res -021 Helados -024 Perioacutedico -042 Pje en Omnibus y Micro -040 Leche en Polvo -040 -040 Res Churrasco -042 Res Churrasco -040 Tomate Italiano -041 a Pje en Colectivo -044 Jurel Fresco -043 Menuacute (en restaurantes) -042 -049 Lenteja -047 Gasolina -044 Papa Amarilla -042 Pje en Oacutemnibus y Micro -050 Fideos Tallariacuten (Envasado) -050 Papaya -051 -050 Jabcentn para lavar ropa -053 Res Sancochado -052 Pan Francsbquos -051 a Zapallo Macre -056 Res Bisteck -052 Menudencia de Pollo -056 -060 Margarina Envasada -057 Perioacutedico -052 Arveja Verde -056 Zanahoria -063 Menpound (en restaurantes) -062 Pl tano de Seda -063 -060 Limoacuten -063 Arroz Corriente -062 Pollo Eviscerado -066 a Mandarina -064 Menudencia de Pollo -065 Jabcentn para lavar ropa -067 -069 Papel Higieacutenico -065 Jaboacuten para lavar ropa -066 Toallas Sanitarias -067 Arveja Verde -065 Gallina Eviscerada -066 Zanahoria -069 Toallas Sanitarias -071 Toallas Sanitarias -071 Arroz Corriente -070 -070 Tomate Italiano -071 Limcentn -076 Limcentn -073 a Res Bisteck -071 Cebolla de Cabeza (Roja) -077 Bonito Fresco -075 -079 Papaya -072 Jamonada -079 Choclo Criollo -076 Detergente -082 Champuacute -081 Jamonada -082 -08 Cafeacute instant neo en lata -084 Ajo Entero -081 Detergente -083 a Pan Tolete (Labranza) -087 Plaacutetano de Seda -084 Champuacute -083 -099 Azuacutecar Blanca -090 Choclo Criollo -085 Gas Propano -085 Huevos a Granel -094 Arroz Superior -086 Manzana Delicia -086 Gallina Eviscerada -095 Gas Propano -086 Bebidas Gaseosas -091 Carne Molida de Res -102 Margarina a Granel -105 Leche Evaporada -104 Menos Gas Propano -103 Huevos a Granel -106 Pje en Omnibus y Micro -105 de Manzana Delicia -112 Leche Evaporada -117 Margarina a Granel -105 -100 Bebidas Gaseosas -121 Bebidas Gaseosas -119 Margarina Envasada -107

331

332

Cuadro 2 CLASIFICACIOacuteN DE LAS VARIEDADES DE CONSUMO SEGUacuteN SUS ELASTICIDADES INGRESO POR ESTRATO DE INGRESO sup3 sup3 Estrato Bajo sup3 Estrato Medio sup3 Estrato Alto sup3 Menos Lenteja 0200 Corte de Cabello Hombre 0183 Menuacute (en restaurantes) -0191 de Gas Propano 0209 Gas Propano 0214 Pje en Oacutemnibus y Micro -0189 03 Kerosene 0210 Jurel Fresco 0243 Gas Propano 0146 Toallas Sanitarias 0227 Desodorantes 0268 Corte de Cabello Hombre 0147 Frejol Canario 0235 Papa Blanca 0276 Desodorantes 0156 Margarina Envasada 0305 Jabones para Lavar Ropa 0301 Detergente 0304 030 Menudencia de Pollo 0310 Tomate Italiano 0302 Cebolla de Cabeza (Roja) 0305 a Arroz Corriente 0321 Pje en Oacutemnibus y Micro 0318 Pje en Colectivo 0312 040 Bonito Fresco 0334 Arroz Corriente 0338 Zapallo Macre 0314 Choclo Criollo 0340 Arveja Verde 0352 Zanahorias 0326 Ajo Entero 0410 Aceite Vegetal 0401 Huevos a Granel 0404 040 Pje en Oacutemnibus y M 0424 Menuacute (en restaurantes) 0409 Tomate Italiano 0421 a Zanahorias 0427 Cebolla de Cabeza (Roja) 0417 Choclo Criollo 0421 050 Jaboacuten de Tocador 0431 Detergente 0428 Leche Evaporada 0426 Zapallo Macre 0445 Margarina a Granel 0443 Arroz Superior 0450 Aceite Vegetal 0447 Champuacute 0448 Azuacutecar Blanca 0451 Pan Franceacutes 0506 Manzana Delicia 0504 Helados 0506 050 Papa Blanca 0522 Limoacuten 0532 Perioacutedico 0514 a Menuacute (en restaurantes) 0528 Papa Amarilla 0557 Margarina a Granel 0535 070 Res Bisteck 0536 Azuacutecar Blanca 0561 0540 Huevos a Granel 0538 Plaacutetano de Seda 0566 Manzana Delicia 0553 Azuacutecar Blanca 0557 Textos Esc Educ Prim 0586 Carne Carnero 0560 Leche Evaporada 0769 Res Bisteck 0757 Papel Higieacutenico 0710 070 Arroz Superior 0775 Res Sancochado 0770 Gasolina 0717 a Manzana Delicia 0783 Pasaje en Taxi (auto) 0782 Pasaje en Taxi (auto) 0733 100 Corte Uacutenico de Res 0794 Bebidas Gaseosas 0840 Ajo Entero 0789 Pollo Eviscerado 0795 Res Churrasco 0915 Res Sancochado 0906 Maacutes Carne Carnero 1053 Cerveza Blanca (Botella) 1526 Fideos Env Popular 1204 de Bebidas Gaseosas 1065 Gasolina 1733 100 Res Churrasco 1261 Cerveza Blanca (Botella) 1676

Ejercicio aplicativo 2 Caso Hipoteacutetico En el siguiente cuadro se muestran los datos baacutesicos de un estudio de la demanda de carros nuevos en Peruacute durante los antildeos 1986 y 2003 Las variables consideradas para el anaacutelisis fueron las siguientes X1 = Iacutendice del Precio Real de Automoacuteviles Nuevos X2 = Ingreso Disponible Real (en millones de nuevos soles a precios de 1994) X3 = Automoacuteviles en Circulacioacuten al principio de cada antildeo (miles de unidades) Y = Ventas de Automoacuteviles Nuevos (miles de unidades) Demanda de Automoacuteviles Nuevos y Variables Relacionadas 1986-2003

Obs X1 X2 X3 Y 1986 1265 834 187 110 1987 1285 826 179 153 1988 1285 909 189 193 1989 1205 993 194 287 1990 1170 1116 201 351 1991 1210 1156 215 351 1992 1338 1090 223 196 1993 1310 1185 227 272 1994 1343 1270 232 346 1995 1449 1479 245 376 1996 1866 1849 306 487 1997 1866 2005 331 637 1998 1815 2037 357 509 1999 1957 2092 376 419 2000 1882 2187 393 578 2001 1902 2216 416 547 2002 1966 2363 430 720 2003 1934 2472 470 590

Con estos datos podemos estimar la siguiente regresioacuten doble-log

log(Y) = b0 + b1log(X1) + b2log(X2) + b3log(X3) Puesto que todas las variables se expresan en teacuterminos de logaritmos los coeficientes de regresioacuten estimados representan las elasticidades de Y respecto de las variables independientes La regresioacuten estimada utilizando el Eviews es la siguiente

333

Dependent Variable Log(Y) Method Least Squares Sample 1 18 Included observations 18

Variable Coefficient Std Error t-Statistic ProbLog(X1) -1422016 0543972 -2614136 00204Log(X2) 3215935 0454285 7079112 00000Log(X3) -1478869 0584988 -2528034 00241

C -2720747 1732413 -1570496 01386R-squared 0942267 Mean dependent var 1260016Adjusted R-squared 0929896 SD dependent var 0526174SE of regression 0139316 Akaike info criterion -0911017Sum squared resid 0271724 Schwarz criterion -0713157Log likelihood 1219916 F-statistic 7616576Durban-Watson stat 1715898 Prob(F-statistic) 0000000

log(Y) = ndash 2721 ndash 1422 log(X1) + 3216 log(X2) ndash 1479 log(X3)

2R = 0942 Es decir la ecuacioacuten ajusta los datos en un 942 se puede apreciar que tanto la prueba global de los coeficientes como las pruebas individuales resultan significativas (a excepcioacuten del teacutermino independiente) En base a estos resultados podemos concluir que la elasticidad-precio de la demanda de automoacuteviles nuevos en este periacuteodo era de aproximadamente ndash14 con una elasticidad-ingreso de aproximadamente 32 Ejercicio Aplicativo 3 Suponga que quiere plantear un modelo de regresioacuten lineal para explicar a partir de una muestra de 1500 individuos de una regioacuten la relacioacuten entre el nivel de ingresos y el nivel de estudios y la edad Suponga que quiere probar la sospecha de que el ingreso si bien crece con el nivel de estudios y la edad tiende a incrementarse menos raacutepidamente en los uacuteltimos antildeos de vida que en los primeros iquestCoacutemo planteariacutea el modelo La especificacioacuten maacutes simple para probar esta idea seriacutea

i2i3i2i1i EdadbEdadbEducacioacutenbaIngreso ε++++=

En esta regresioacuten la hipoacutetesis formalizada en el enunciado implicariacutea ldquob1rdquo positivo y ldquob2rdquo negativo Para comprender intuitivamente la razoacuten del signo imaginemos la regresioacuten con soacutelo 2 variables (educacioacuten y edad) En esta regresioacuten es claro que los errores seriacutean crecientes con la edad es decir el modelo se equivocariacutea maacutes para el caso de las personas mayores dado que para eacutestas la relacioacuten entre edad y el Ingreso no seriacutea la misma que para el resto de la muestra En concreto el paraacutemetro que relaciona edad e Ingreso tenderiacutea a sobrestimar el Ingreso de las personas mayores generando residuos negativos para ellos En definitiva la serie de residuos seriacutea decreciente con la edad (edades mayores residuos maacutes grandes y negativos)

334

Si ahora hacemos depender esa serie de residuos con la edad al cuadrado la relacioacuten seriacutea necesariamente negativa Ejercicio Aplicativo 4 Los siguientes datos corresponden a los precios de venta (z) de un modelo de automoacuteviles usados durante w antildeos

w (antildeos) z (doacutelares)1 2 2 3 5 5

6350 5695 5750 5395 4985 4895

bull Determinar una curva de la forma cdZ w= bull Calcule el precio de venta de un vehiacuteculo que tiene cuatro antildeos de uso

Linealizamos el modelo Z= cdw

Ln (Z) = Ln(c) + Ln(d)W

Agregando el teacutermino de perturbacioacuten el modelo puede expresarse linealmente como

Y = βo + β1W + e Utilizando el software Eviews con las variables transformadas obtenemos

Dependent Variable Y Method Least Squares Date 081704 Time 1014 Simple 1 6 Included observations 6

Variable Coefficient Std Error t-Statistic Prob C 8781307 0020783 4225318 00000W -0056886 0006173 -9214754 00008

R-squared 0955012 Mean dependent var 8610649Adjusted R-squared 0943764 SD dependent var 0097405SE of regression 0023099 Akaike info criterion -4436891Sum squared resid 0002134 Schwarz criterion -4506305Log likelihood 1531067 F-statistic 8491168Durban-Watson stat 2052046 Prob(F-statistic) 0000771

Podemos observar que los coeficientes han resultado significativos (Problt005) Ademaacutes se obtiene un R2 de 955 por lo cual el modelo se ajusta adecuadamente a los datos Para determinar el valor de los coeficientes iniciales del modelo se realiza la siguiente transformacioacuten

335

βo = Ln(c) c = exp(βo) β1 = Ln(d) d = exp(β1) Luego c = exp(8781307) = 651138199 d = exp(-0056886) = 094470176 La ecuacioacuten de regresioacuten final queda determinada por W)9450(46511Z times= Por lo tanto la estimacioacuten del precio de venta para un auto que tiene 4 antildeos de uso seriacutea

4)4w( )9450(46511Z times==

and

85192Z )4w( ==

and

doacutelares Ejercicio Aplicativo 5 Con los siguientes datos estimar las funciones de costo total medio y marginal

Y X X2 X3 193 1 1 1 226 2 4 8 240 3 9 27 244 4 16 64 260 6 36 216 274 7 49 343 297 8 64 512 350 9 81 729 420 10 100 1000

La curva de costo total (CT = Y) planteada es la siguiente

CT = a0 + a1 X + a2 X2 + a3 X3 Para que las curvas de CM y CMg tengan forma de U se debe cumplir a0 ge 0 a2 lt 0 a1 gt 0 a3 gt 0 a2sup2 lt 3 a3a1 a0 Costo fijo = costo de produccioacuten-cero En el corto plazo a0 gt 0 CM = YX CMg = dYdX Utilizando el Eviews obtenemos las siguientes salidas

336

Dependent Variable Y Method Least Squares Date 082604 Time 1310 Sample 1901 1909 Included observations 9

Variable Coefficient Std Error t-Statistic Prob C 1441040 5557702 2592870 00000

X1 6150263 4195559 1465899 00000X2 -1264826 0853580 -1481790 00000X3 0925967 0050693 1826626 00000

R-squared 0998993 Mean dependent var 2782222Adjusted R-squared 0998390 SD dependent var 6944202SE of regression 2786708 Akaike info criterion 5188701Sum squared resid 3882870 Schwarz criterion 5276356Log likelihood -1934915 F-statistic 1654220Durbin-Watson stat 2927062 Prob(F-statistic) 0000000

Entonces se tiene CT = 1441040+ 6150263X - 1264826X2 + 0925967X3 Observamos que el R2 es alto (99) todas las variables son significativas (la probabilidad asociada al t es menor a 05) y el F calculado es alto Se concluye que el modelo explica al costo total El costo medio asociado con la curva de costo cuacutebica total planteada es la siguiente

CM = YX = a0X + a1 + a2X + a3X2 Usando el Eviews y calculando las variable 1X y YX obtenemos las siguientes salidas

Dependent Variable YTANSP Method Least Squares Date 082604 Time 1311 Sample 1901 1909 Included observations 9


XTRASNP 1408717 2418462 5824846 00000X1 -1340488 0741900 -1806831 00000X2 0974348 0053162 1832783 00000


Entonces se tiene que CM = 1408717X + 6472605 -1340488X + 0974348X2 El costo marginal asociado con la curva de costo cuacutebica total planteada es la siguiente

Cmg = Yt ndash Yt-1= a1 + 2a2X + 3 a3 X2

337

Las salidas obtenidas en el e-views luego de la transformacioacuten de la variable Yt ndash Yt-1 son las siguientes

Dependent Variable YMG Method Least Squares Date 082604 Time 1325 Sample(adjusted) 1902 1909 Included observations 8 after adjusting endpoints


X1 -2711448 4268257 -6352588 00014X2 2692362 0353220 7622330 00006

R-squared 0952344 Mean dependent var 2837500Adjusted R-squared 0933282 SD dependent var 2251944SE of regresioacuten 5816722 Akaike info criterion 6639347Sum squared resid 1691713 Schwarz criterion 6669138Log likelihood -2355739 F-statistic 4995978Durbin-Watson stat 2832280 Prob(F-statistic) 0000496

La curva de costo marginal seriacutea Cmg = 7363144 - 2711448X + 2692362X2

338

Ejercicio de autoconocimiento iquestPorqueacute hacer una prediccioacuten en Modelos No lineales SI

NO NO SEacute

1 Considero uacutetil porque en ciertas ocasiones se deben considerar modelos que no son lineales en los paraacutemetros

2 Porque permitiraacute hacer un anaacutelisis de regresioacuten en un Modelo no lineal

3 Porque permitiraacute tambieacuten interpretar y estimar estos modelos

4 Porque en ocasiones un modelo de regresioacuten no lineal en los paraacutemetros resultan de utilidad

5 Porque por razones praacutecticas o teoacutericas imponen su utilizacioacuten

6 Porque es un reto estimar estos modelos

7 Porque se puede construir un modelo usando alguacuten programa de computadora

8 Para utilizar los modelos no lineales y representar las relaciones entre variables

9 Para linealizar modelos mediante transformaciones apropiadas

10 Para reconocer modelos no necesariamente lineales

CALIFICACION Puntuar con un punto cada respuesta ldquoSIrdquo Si obtienes de 1 - 3 puntos tienes pocas expectativas de hacer una buena prediccioacuten en Modelos no lineales Si tienes entre 4 ndash 7 tienes buenas expectativas de hacer una buena prediccioacuten en Modelos no lineales Y si tienes entre 8 ndash 10 denotas excelentes expectativas de hacer una buena prediccioacuten en Modelos no lineales

339

RESUMEN

Modelos no lineales son modelos cuya estructura matemaacutetica no es la del Modelo Lineal General La clasificacioacuten de modelos no lineales es Modelos no lineales en las variables i

3i3

2i2i1i XXXY μ++β+β+β+α=

Modelos no lineales en los paraacutemetros Que se pueden distinguir en dos sub grupos - Modelos intriacutensicamente no lineales Que no hay posibilidad de linealizarlos

Ejm ii21i XY μ+β+β= - Modelos intriacutensicamente lineales Que pueden linealizarse mediante

transformaciones apropiadas Ejm i21 eXXY 2i1ii

μββα= Las transformaciones lineales maacutes utilizadas son Funcioacuten Transformacioacuten Forma Y = βo Xβ

1 εμ Y = βo + β1 X + μ Doble logaritmo Ln Y = βo + β1 X + μ Y = βo + β1 X + μ Semi Logaritmo

Y = βo + X1

β + μ Y = βo + β1 Z + μ Reciacuteproca

Y = βo + β1 X + β2 X2 + μ Y = βo + β1 X + β2 W + μ Polinomial Donde Y = Ln Y βo = Ln βo X = Ln X Z = 1X W = X2

EXPLORACIOacuteN ON LINE

Limitaciones del modelo de intervencioacuten frente al modelo no lineal wwwbanrepgovcodocumborrasemintro065htm - 5k Estimacioacuten general no lineal wwwsoftwarecientificocompaginasstaestadhtm

340

LECTURA

iquestPuede explicarse el precio externo del cafeacute con un modelo economeacutetrico no lineal

El precio internacional del cafeacute como el de la mayoriacutea de los productos primarios se ha caracterizado por la inestabilidad y las grandes fluctuaciones La formacioacuten del precio del cafeacute verde es un proceso complejo que depende de una multiplicidad de variables como la calidad y disponibilidad del producto el lugar de origen el sitio de compra las expectativas de precios y las caracteriacutesticas del grano (1) Adicionalmente el mercado internacional del cafeacute esta autorizado por la existencia de pactos y acuerdos entre los paiacuteses productores y consumidores del grano que buscan fundamentalmente atacar la inestabilidad del mercado En general las investigaciones tradicionales han intentado modelar el proceso de formacioacuten de los precios internacionales del grano mediante sistemas de ecuaciones lineales de comportamiento que describen las relaciones entre oferta y demanda Adicionalmente en otro tipo de estudios en los que se emplean modelos de anaacutelisis de series de tiempo se presenta el problema que el modelaje de las series se fundamenta en el supuesto impliacutecito de la linealidad del sistema que genera la trayectoria de las variables Esta hipoacutetesis conocida como paradigma de Frisch Slutsky no estaacute basada en ninguacuten conocimiento a-priori de la linealidad del sistema econoacutemico (2) Este trabajo busca en primer lugar encontrar evidencia de la presencia de no linealidades en la serie de tiempo del precio externo del cafeacute y segundo determinar si es conveniente describir la dinaacutemica de los precios mediante un modelo no lineal Para cumplir con este objetivo el artiacuteculo se ha dividido en cinco partes En la primera se exponen algunas caracteriacutesticas generales del comportamiento de los precios del grano a lo largo del presente siglo En la segunda se realiza el proceso de deteccioacuten de no-linealidades en la serie de precios externos del cafeacute colombiano mediante el caacutelculo de un estadiacutestico disentildeado por Brock Dechert y Scheinkman (1994) En la exposicioacuten del procedimiento de caacutelculo del estadiacutestico se plantea el comportamiento del precio externo del grano como descrito por un modelo economeacutetrico lineal de intervencioacuten El objetivo es comparar los alcances y limitaciones del modelo de intervencioacuten frente al modelo no lineal el cual se expone en la tercera seccioacuten para escoger el que mejor describe el precio externo del cafeacute Esto se realiza en la cuarta seccioacuten en la cual se evaluacutean los modelos en teacuterminos del ajuste la significancia de los paraacutemetros y prediccioacuten Por uacuteltimo se extraen conclusiones de los resultados encontrados (1) Para una exposicioacuten maacutes clara de los determinantes del precio internacional del cafeacute ver Junguito y Pizano (1993) El comercio exterior y la poliacutetica internacional del cafeacute Cap4 (2) Ver Pesaran y Potter (1993) en Nonlinear dynamics chaos and econometricsan introduction

Anoacutenimo 2004

341

ACTIVIDADES

1 La siguiente tabla presenta informacioacuten relacionada con la produccioacuten y el costo total de produccioacuten de un bien en el corto plazo

Produccioacuten Costo total (nuevos

soles) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

193 226 240 244 257 260 274 297 350 420

Para verificar si la informacioacuten anterior comprueba que las curvas de costo

marginal y costo medio tienen la forma de U tiacutepicas en el corto plazo se puede usar el siguiente modelo

μββββ ii

34i

23i21i + X + X + X + = Y

donde Y = costo total y X= produccioacuten (a) Estime el modelo (b) Estime la matriz var-cov para szlig (c) Obtenga el 2R y 2R (d) A partir de la funcioacuten de costo total dada anteriormente obtenga

expresiones para las funciones de costo medio y costo marginal (e) Ajuste las funciones de costo medio y costo marginal a las cifras

comentando el ajuste 2 Dados los datos de la tabla ajuacutestese el siguiente modelo a esa informacioacuten y

obteacutenganse las estadiacutesticas usuales de regresioacuten

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

minus ii XY1

100100

21 ββ

Y 86 79 76 69 65 62 52 51 51 48

X 3 7 12 17 25 35 45 55 70 120

342

3 De la siguiente tabla

Industria VL W

Harina de trigo 4034 1933 Azuacutecar 3244 1734 Pinturas y barnices 5462 2255 Cemento 3890 2084 Vidrio y manufacturas 2533 1768 Ceraacutemica 2827 1958 Triplex 3090 1692 Textiles de algodoacuten 2754 2026 textiles de yute 2541 1945 Textiles de lana 3332 2026 Quiacutemicos 4854 2200 Aluminio 4172 2194 Hierro y Acero 4345 2517 Bicicletas 3887 2225 Maquinas de coser 4275 2300

Estimar el siguiente modelo

μ+β+β=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ LogWLog

LVLog 21

Donde

⎟⎠⎞

⎝ LV

⎜⎛ = Valor agregado por unidad de trabajo

L = Insumo trabajo W = Tasa de salario real

El coeficiente mide la elasticidad de sustitucioacuten entre trabajo y capital (es decir el cambio proporcional en las proporciones de los factores el cambio proporcional en los precios relativos de los factores) Verifique que la elasticidad estimada es 13338 y que esta no es estadiacutesticamente diferente a 1

2β

4 Se obtuvieron datos sobre los gastos en alimentos y el gasto total (nuevos soles)

de una muestra de 20 familias Los datos se muestran a continuacioacuten

Gasto en Alimentos 500 450 500 520 550 610 605 615 584 620

Gasto Total 650 655 665 645 675 710 710 715 718 760


Gasto Total 795 801 821 834 835 850 865 845 880 875

a) Con los datos estime el siguiente modelo )X(Ln i2Y 1i β +β= b) Interprete los paraacutemetros c) Realice una prueba de significancia para el paraacutemetro 2β d) Halle el coeficiente de determinacioacuten 2R

343

AUTOEVALUACION 1 El siguiente anaacutelisis de regresioacuten se realizo con la informacioacuten de los depoacutesitos por

persona y el ingreso per caacutepita en el antildeo 2002 El siguiente cuadro muestra la informacioacuten

Departamento Deposito por Persona (Y)

Ingreso per capita (X) )Y(LnY = XY 2X

Amazonas 587 19537 407 79563 3816944 Ancash 3223 30727 578 177463 9441485 Apuriacutemac 801 13749 438 60266 1890350 Arequipa 9494 33133 686 227154 10977957 Ayacucho 1415 16791 495 83154 2819377 Cajamarca 171 19844 514 102031 3937843 Cusco 3551 25975 587 152536 6747006 Huancavelica 28 14206 333 47337 2018104 Huaacutenuco 119 19182 478 91673 3679491 Ica 4532 35779 612 218836 12801368 Juniacuten 3221 25306 577 146139 6403936 La Libertad 4664 33824 615 207850 11440630 Lambayeque 3838 3432 595 204208 11778624 Lima 45494 5568 842 468979 31002624 Loreto 2328 26528 545 144582 7037348 Madre de Dios 2002 32747 530 173537 10723660 Moquegua 1027 41272 693 286196 17033780 Pasco 2395 23375 548 128061 5463906 Piura 2702 20918 560 117123 4375627 Puno 1788 17972 519 93208 3229928 San Martiacuten 1313 22057 488 107583 4865112 Tacna 9236 42045 683 287095 17677820 Tumbes 2226 31184 541 168561 9724419 Ucayali 2754 25743 562 144630 6627020 Nacional 16975 35293 744 262471 12455958

Totales 137989 697187 14169 4180237 217970320

El mejor modelo de regresioacuten que se ajusta a los datos es el modelo de regresioacuten exponencial X

21bbY =

Linealizandolo donde XbbY 2

1

+=

)b(Lnb

)b(Lnb)Y(LnY

22

11

=

=

=

Con los siguientes datos halle el modelo no lineal

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

minus=minus

500000424760800118456220800118456220337034456850

)XX( 1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

374180269141

YX

a X)0097 1(2319Y =b X)0127 8(6740Y =

c X) 124510(1245Y =

d X)1 1(1245Y =

344

2 Los siguientes datos relacionan las comisiones administrativas que un fondo mutualista liacuteder en Peruacute paga a sus consultores de inversioacuten por el manejo de sus bienes (valor neto del activo en miles de millones de soles)

COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) 052 05 041 30 051 5 040 35 048 10 039 40 046 15 039 45 044 20 038 55 042 25 037 60

Halle el modelo exponencial por el meacutetodo matricial con los siguientes datos (Utilice 6 decimales)

12n = sum sum = 50340X = 2513750X2 sum minus= 1310Y sum minus= 76310XY

Donde Y )Y(Ln =

)5050Y =

)4570Y =

a X455 100e1245Y =

b X990(

c X )4562(4570Y =

d X2( 3 Un ingeniero esta investigando el uso de un molino de viento para generar

electricidad El ha recolectado 25 datos sobre la produccioacuten de corriente de este molino y la correspondiente velocidad del viento Estos datos se muestra en la siguiente tabla

Produccioacuten (Y) 1582 1822 1057 05 2236 2386 2294 231 1194

Velocidad Viento (X) 5 6 34 27 10 97 955 102 41

Produccioacuten (Y) 0558 2166 1866 0633 193 1562 1737 1144 0123 Velocidad Viento (X) 305 815 62 29 635 46 58 395 245

Produccioacuten (Y) 2088 1137 2179 2112 18 1501 2303 Velocidad Viento (X) 74 36 785 88 7 545 91

Halle el modelo cuadraacutetico con los siguientes datos

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminusminus

minus=minus

001529001932300516080019323025072006921720

051608069217200268962)XX( 1

sumsumsum

=

=

=

2240Y

132203YX

72283XY2

a 2 X030X720161Y minus+minus=

345

b 2X423 X554160Y minus+=c 2 X320X780171Y minusminusminus=

4 Analice el siguiente grafico y proponga un modelo

X

3002001000

Y

350

340

330

320

310

a Modelo Exponencial b Modelo Logiacutestico c Modelo Cuadraacutetico d Modelo Parameacutetrico

5 Dado el siguiente modelo no lineal X

21ˆˆ iquestCual es el verdadero contraste para

determinar la significancia del paraacutemetro 2

Y ββ=β

a 0

Ha

0Hp

2

2

neβ=β

b 1)(LnHa1)(LnHp

2

2

neβ=β

c 0)(LnHa0)(LnHp

2

2

neβ=β

d 0)(LnHa0)(LnHp

1

1

neβ=β

RESPUESTAS DE CONTROL 1a 2b 3a 4c 5c

346

Donde

UNIDAD VII

ldquoLa Ciencia es necesaria cuando se planifica el futuro Si el futuro depende del azar la ciencia no tiene sentidordquo Victor Garcia Gonzales 1991

bull iquestCuaacuteles son las aplicaciones de un modelo no lineal bull iquestQueacute clases de modelos no lineales hay bull iquestCuales son los modelos no lineales maacutes comunes bull iquestQueacute pasos se siguen para estimar un modelo no lineal bull iquestCoacutemo se interpretan los paraacutemetros


ESQUEMA CONCEPTUAL




Modelo Doblemente y


Modelo Reciproco




MODELOS NO LINEALES







316

LECCIOacuteN 1



T21t

X

XX

X

tn

2t

1t

t =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=M

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

β

ββ

=β

k

2

1

M






317


tt21t

tt21t

tt221t

tt2t1t

tt4t33X

21t

3

3

t2

XY )e

X)(lnY )dXeY )c

XYln Y )bXXeY )a

μ+β+β=

μ+β+β=μ+β+β=


β

β




2β


318

2


i3

i32





Ejm


Y

Q i

iiX μ+21Y β+β=


Ejm

Aplicando logaritmo


i



+ β + β + μβ=


Donde

)( 1β

)X(LnX 3i3i

Luego e

i3i32i2

1i XXY μ+β+β+β=

Ln

1 =β)X(LnX 2i2i =

=







319






= βo +


F

β μY L

X1




Y DY = Ln Z = 1X W = X2

320

LECCIOacuteN 2



i2 eXY i1iμββ=




Donde 00LnA α=



0AXY =


321

A

1

Y β Negativo

-1ltβlt0

β= -1

βlt -1

A

0ltβlt1βgt1

1

X

Y= A0Xβ

β positivo

Y





β=dXdY

Y1

322



αe


Y= e(α +βx)

e

Y= e(α +βx)

e

X

Y Y

X


323

LECCIOacuteN 3


1 MODELO RECIPROCO


ii21 XY μ+β+β=

Donde i

i X

1X =




⎜⎝⎛β

X1





1dXdY


2β 2β


siguientes

Graacutefica 1

Costo Fijo

1β

Promedio


00

2

1

gtβgtβ

324


0

0

1

2

ltβ

gtβ

1βminus Un


00

1

2

ltβgtβ

0

Tasa

de

varia

cioacuten

de

los s

alar

ios

X Graacutefica 2


38490rX12743842821Y 2

tt =+minus=)

399F)84782()06752( 151 =

431minus

00

1

2

ltβgtβ

Tasa

de

varia

cioacuten

de

los s

alar

ios

Un

)X1(7243842821Y ti +minus=)

0

Graacutefica 3

02 gtβ

325


1

2

ββ

minus

Gas

t

Ingreso

Gas

to

Graacutefica 4



⎞⎜⎜⎝

⎛

β

βminus

1

2




atbe1KY minus+

=


326


dtdY =

Ka Y (K - Y)


( )dtdYY2K

KdtYd2

2

minusα

=


t = a1 Ln b Y =

2K


Y

0135 e X

e

Graacutefica 5


327

Y CM

bull

Produccioacuten

Cos

to M

argi

nal

X





ieLKYiμβδα=


328






329

LABORATORIO


330

prod=

=


1j






331

332



Obs X1 X2 X3 Y 1986 1265 834 187 110 1987 1285 826 179 153 1988 1285 909 189 193 1989 1205 993 194 287 1990 1170 1116 201 351 1991 1210 1156 215 351 1992 1338 1090 223 196 1993 1310 1185 227 272 1994 1343 1270 232 346 1995 1449 1479 245 376 1996 1866 1849 306 487 1997 1866 2005 331 637 1998 1815 2037 357 509 1999 1957 2092 376 419 2000 1882 2187 393 578 2001 1902 2216 416 547 2002 1966 2363 430 720 2003 1934 2472 470 590



333








334



6350 5695 5750 5395 4985 4895










335


4)4w( )9450(46511Z times==

and

85192Z )4w( ==

and


Y X X2 X3 193 1 1 1 226 2 4 8 240 3 9 27 244 4 16 64 260 6 36 216 274 7 49 343 297 8 64 512 350 9 81 729 420 10 100 1000



336



X1 6150263 4195559 1465899 00000X2 -1264826 0853580 -1481790 00000X3 0925967 0050693 1826626 00000






XTRASNP 1408717 2418462 5824846 00000X1 -1340488 0741900 -1806831 00000X2 0974348 0053162 1832783 00000




337




X1 -2711448 4268257 -6352588 00014X2 2692362 0353220 7622330 00006



338


NO NO SEacute












339

RESUMEN


3i3







Y = βo + X1





340

LECTURA



Anoacutenimo 2004

341

ACTIVIDADES



soles) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

193 226 240 244 257 260 274 297 350 420



μββββ ii

34i

23i21i + X + X + X + = Y





⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

minus ii XY1

100100

21 ββ

Y 86 79 76 69 65 62 52 51 51 48

X 3 7 12 17 25 35 45 55 70 120

342


Industria VL W



μ+β+β=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ LogWLog

LVLog 21

Donde

⎟⎠⎞

⎝ LV




2β




Gasto Total 650 655 665 645 675 710 710 715 718 760


Gasto Total 795 801 821 834 835 850 865 845 880 875


343






Totales 137989 697187 14169 4180237 217970320


21bbY =


1

+=

)b(Lnb

)b(Lnb)Y(LnY

22

11

=

=

=


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

minus=minus

500000424760800118456220800118456220337034456850

)XX( 1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

374180269141

YX

a X)0097 1(2319Y =b X)0127 8(6740Y =

c X) 124510(1245Y =

d X)1 1(1245Y =

344


COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) 052 05 041 30 051 5 040 35 048 10 039 40 046 15 039 45 044 20 038 55 042 25 037 60



Donde Y )Y(Ln =

)5050Y =

)4570Y =

a X455 100e1245Y =

b X990(

c X )4562(4570Y =








⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminusminus

minus=minus

001529001932300516080019323025072006921720

051608069217200268962)XX( 1

sumsumsum

=

=

=

2240Y

132203YX

72283XY2


345



X

3002001000

Y

350

340

330

320

310





Y ββ=β

a 0

Ha

0Hp

2

2

neβ=β

b 1)(LnHa1)(LnHp

2

2

neβ=β

c 0)(LnHa0)(LnHp

2

2

neβ=β

d 0)(LnHa0)(LnHp

1

1

neβ=β


346

Donde


ESQUEMA CONCEPTUAL




Modelo Doblemente y


Modelo Reciproco




MODELOS NO LINEALES







316

LECCIOacuteN 1



T21t

X

XX

X

tn

2t

1t

t =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=M

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

β

ββ

=β

k

2

1

M






317


tt21t

tt21t

tt221t

tt2t1t

tt4t33X

21t

3

3

t2

XY )e

X)(lnY )dXeY )c

XYln Y )bXXeY )a

μ+β+β=

μ+β+β=μ+β+β=


β

β




2β


318

2


i3

i32





Ejm


Y

Q i

iiX μ+21Y β+β=


Ejm

Aplicando logaritmo


i



+ β + β + μβ=


Donde

)( 1β

)X(LnX 3i3i

Luego e

i3i32i2

1i XXY μ+β+β+β=

Ln

1 =β)X(LnX 2i2i =

=







319






= βo +


F

β μY L

X1




Y DY = Ln Z = 1X W = X2

320

LECCIOacuteN 2



i2 eXY i1iμββ=




Donde 00LnA α=



0AXY =


321

A

1

Y β Negativo

-1ltβlt0

β= -1

βlt -1

A

0ltβlt1βgt1

1

X

Y= A0Xβ

β positivo

Y





β=dXdY

Y1

322



αe


Y= e(α +βx)

e

Y= e(α +βx)

e

X

Y Y

X


323

LECCIOacuteN 3


1 MODELO RECIPROCO


ii21 XY μ+β+β=

Donde i

i X

1X =




⎜⎝⎛β

X1





1dXdY


2β 2β


siguientes

Graacutefica 1

Costo Fijo

1β

Promedio


00

2

1

gtβgtβ

324


0

0

1

2

ltβ

gtβ

1βminus Un


00

1

2

ltβgtβ

0

Tasa

de

varia

cioacuten

de

los s

alar

ios

X Graacutefica 2


38490rX12743842821Y 2

tt =+minus=)

399F)84782()06752( 151 =

431minus

00

1

2

ltβgtβ

Tasa

de

varia

cioacuten

de

los s

alar

ios

Un

)X1(7243842821Y ti +minus=)

0

Graacutefica 3

02 gtβ

325


1

2

ββ

minus

Gas

t

Ingreso

Gas

to

Graacutefica 4



⎞⎜⎜⎝

⎛

β

βminus

1

2




atbe1KY minus+

=


326


dtdY =

Ka Y (K - Y)


( )dtdYY2K

KdtYd2

2

minusα

=


t = a1 Ln b Y =

2K


Y

0135 e X

e

Graacutefica 5


327

Y CM

bull

Produccioacuten

Cos

to M

argi

nal

X





ieLKYiμβδα=


328






329

LABORATORIO


330

prod=

=


1j






331

332



Obs X1 X2 X3 Y 1986 1265 834 187 110 1987 1285 826 179 153 1988 1285 909 189 193 1989 1205 993 194 287 1990 1170 1116 201 351 1991 1210 1156 215 351 1992 1338 1090 223 196 1993 1310 1185 227 272 1994 1343 1270 232 346 1995 1449 1479 245 376 1996 1866 1849 306 487 1997 1866 2005 331 637 1998 1815 2037 357 509 1999 1957 2092 376 419 2000 1882 2187 393 578 2001 1902 2216 416 547 2002 1966 2363 430 720 2003 1934 2472 470 590



333








334



6350 5695 5750 5395 4985 4895










335


4)4w( )9450(46511Z times==

and

85192Z )4w( ==

and


Y X X2 X3 193 1 1 1 226 2 4 8 240 3 9 27 244 4 16 64 260 6 36 216 274 7 49 343 297 8 64 512 350 9 81 729 420 10 100 1000



336



X1 6150263 4195559 1465899 00000X2 -1264826 0853580 -1481790 00000X3 0925967 0050693 1826626 00000






XTRASNP 1408717 2418462 5824846 00000X1 -1340488 0741900 -1806831 00000X2 0974348 0053162 1832783 00000




337




X1 -2711448 4268257 -6352588 00014X2 2692362 0353220 7622330 00006



338


NO NO SEacute












339

RESUMEN


3i3







Y = βo + X1





340

LECTURA



Anoacutenimo 2004

341

ACTIVIDADES



soles) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

193 226 240 244 257 260 274 297 350 420



μββββ ii

34i

23i21i + X + X + X + = Y





⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

minus ii XY1

100100

21 ββ

Y 86 79 76 69 65 62 52 51 51 48

X 3 7 12 17 25 35 45 55 70 120

342


Industria VL W



μ+β+β=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ LogWLog

LVLog 21

Donde

⎟⎠⎞

⎝ LV




2β




Gasto Total 650 655 665 645 675 710 710 715 718 760


Gasto Total 795 801 821 834 835 850 865 845 880 875


343






Totales 137989 697187 14169 4180237 217970320


21bbY =


1

+=

)b(Lnb

)b(Lnb)Y(LnY

22

11

=

=

=


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

minus=minus

500000424760800118456220800118456220337034456850

)XX( 1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

374180269141

YX

a X)0097 1(2319Y =b X)0127 8(6740Y =

c X) 124510(1245Y =

d X)1 1(1245Y =

344


COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) 052 05 041 30 051 5 040 35 048 10 039 40 046 15 039 45 044 20 038 55 042 25 037 60



Donde Y )Y(Ln =

)5050Y =

)4570Y =

a X455 100e1245Y =

b X990(

c X )4562(4570Y =








⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminusminus

minus=minus

001529001932300516080019323025072006921720

051608069217200268962)XX( 1

sumsumsum

=

=

=

2240Y

132203YX

72283XY2


345



X

3002001000

Y

350

340

330

320

310





Y ββ=β

a 0

Ha

0Hp

2

2

neβ=β

b 1)(LnHa1)(LnHp

2

2

neβ=β

c 0)(LnHa0)(LnHp

2

2

neβ=β

d 0)(LnHa0)(LnHp

1

1

neβ=β


346

Donde

LECCIOacuteN 1



T21t

X

XX

X

tn

2t

1t

t =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=M

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

β

ββ

=β

k

2

1

M






317


tt21t

tt21t

tt221t

tt2t1t

tt4t33X

21t

3

3

t2

XY )e

X)(lnY )dXeY )c

XYln Y )bXXeY )a

μ+β+β=

μ+β+β=μ+β+β=


β

β




2β


318

2


i3

i32





Ejm


Y

Q i

iiX μ+21Y β+β=


Ejm

Aplicando logaritmo


i



+ β + β + μβ=


Donde

)( 1β

)X(LnX 3i3i

Luego e

i3i32i2

1i XXY μ+β+β+β=

Ln

1 =β)X(LnX 2i2i =

=







319






= βo +


F

β μY L

X1




Y DY = Ln Z = 1X W = X2

320

LECCIOacuteN 2



i2 eXY i1iμββ=




Donde 00LnA α=



0AXY =


321

A

1

Y β Negativo

-1ltβlt0

β= -1

βlt -1

A

0ltβlt1βgt1

1

X

Y= A0Xβ

β positivo

Y





β=dXdY

Y1

322



αe


Y= e(α +βx)

e

Y= e(α +βx)

e

X

Y Y

X


323

LECCIOacuteN 3


1 MODELO RECIPROCO


ii21 XY μ+β+β=

Donde i

i X

1X =




⎜⎝⎛β

X1





1dXdY


2β 2β


siguientes

Graacutefica 1

Costo Fijo

1β

Promedio


00

2

1

gtβgtβ

324


0

0

1

2

ltβ

gtβ

1βminus Un


00

1

2

ltβgtβ

0

Tasa

de

varia

cioacuten

de

los s

alar

ios

X Graacutefica 2


38490rX12743842821Y 2

tt =+minus=)

399F)84782()06752( 151 =

431minus

00

1

2

ltβgtβ

Tasa

de

varia

cioacuten

de

los s

alar

ios

Un

)X1(7243842821Y ti +minus=)

0

Graacutefica 3

02 gtβ

325


1

2

ββ

minus

Gas

t

Ingreso

Gas

to

Graacutefica 4



⎞⎜⎜⎝

⎛

β

βminus

1

2




atbe1KY minus+

=


326


dtdY =

Ka Y (K - Y)


( )dtdYY2K

KdtYd2

2

minusα

=


t = a1 Ln b Y =

2K


Y

0135 e X

e

Graacutefica 5


327

Y CM

bull

Produccioacuten

Cos

to M

argi

nal

X





ieLKYiμβδα=


328






329

LABORATORIO


330

prod=

=


1j






331

332



Obs X1 X2 X3 Y 1986 1265 834 187 110 1987 1285 826 179 153 1988 1285 909 189 193 1989 1205 993 194 287 1990 1170 1116 201 351 1991 1210 1156 215 351 1992 1338 1090 223 196 1993 1310 1185 227 272 1994 1343 1270 232 346 1995 1449 1479 245 376 1996 1866 1849 306 487 1997 1866 2005 331 637 1998 1815 2037 357 509 1999 1957 2092 376 419 2000 1882 2187 393 578 2001 1902 2216 416 547 2002 1966 2363 430 720 2003 1934 2472 470 590



333








334



6350 5695 5750 5395 4985 4895










335


4)4w( )9450(46511Z times==

and

85192Z )4w( ==

and


Y X X2 X3 193 1 1 1 226 2 4 8 240 3 9 27 244 4 16 64 260 6 36 216 274 7 49 343 297 8 64 512 350 9 81 729 420 10 100 1000



336



X1 6150263 4195559 1465899 00000X2 -1264826 0853580 -1481790 00000X3 0925967 0050693 1826626 00000






XTRASNP 1408717 2418462 5824846 00000X1 -1340488 0741900 -1806831 00000X2 0974348 0053162 1832783 00000




337




X1 -2711448 4268257 -6352588 00014X2 2692362 0353220 7622330 00006



338


NO NO SEacute












339

RESUMEN


3i3







Y = βo + X1





340

LECTURA



Anoacutenimo 2004

341

ACTIVIDADES



soles) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

193 226 240 244 257 260 274 297 350 420



μββββ ii

34i

23i21i + X + X + X + = Y





⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

minus ii XY1

100100

21 ββ

Y 86 79 76 69 65 62 52 51 51 48

X 3 7 12 17 25 35 45 55 70 120

342


Industria VL W



μ+β+β=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ LogWLog

LVLog 21

Donde

⎟⎠⎞

⎝ LV




2β




Gasto Total 650 655 665 645 675 710 710 715 718 760


Gasto Total 795 801 821 834 835 850 865 845 880 875


343






Totales 137989 697187 14169 4180237 217970320


21bbY =


1

+=

)b(Lnb

)b(Lnb)Y(LnY

22

11

=

=

=


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

minus=minus

500000424760800118456220800118456220337034456850

)XX( 1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

374180269141

YX

a X)0097 1(2319Y =b X)0127 8(6740Y =

c X) 124510(1245Y =

d X)1 1(1245Y =

344


COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) 052 05 041 30 051 5 040 35 048 10 039 40 046 15 039 45 044 20 038 55 042 25 037 60



Donde Y )Y(Ln =

)5050Y =

)4570Y =

a X455 100e1245Y =

b X990(

c X )4562(4570Y =








⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminusminus

minus=minus

001529001932300516080019323025072006921720

051608069217200268962)XX( 1

sumsumsum

=

=

=

2240Y

132203YX

72283XY2


345



X

3002001000

Y

350

340

330

320

310





Y ββ=β

a 0

Ha

0Hp

2

2

neβ=β

b 1)(LnHa1)(LnHp

2

2

neβ=β

c 0)(LnHa0)(LnHp

2

2

neβ=β

d 0)(LnHa0)(LnHp

1

1

neβ=β


346

Donde


tt21t

tt21t

tt221t

tt2t1t

tt4t33X

21t

3

3

t2

XY )e

X)(lnY )dXeY )c

XYln Y )bXXeY )a

μ+β+β=

μ+β+β=μ+β+β=


β

β




2β


318

2


i3

i32





Ejm


Y

Q i

iiX μ+21Y β+β=


Ejm

Aplicando logaritmo


i



+ β + β + μβ=


Donde

)( 1β

)X(LnX 3i3i

Luego e

i3i32i2

1i XXY μ+β+β+β=

Ln

1 =β)X(LnX 2i2i =

=







319






= βo +


F

β μY L

X1




Y DY = Ln Z = 1X W = X2

320

LECCIOacuteN 2



i2 eXY i1iμββ=




Donde 00LnA α=



0AXY =


321

A

1

Y β Negativo

-1ltβlt0

β= -1

βlt -1

A

0ltβlt1βgt1

1

X

Y= A0Xβ

β positivo

Y





β=dXdY

Y1

322



αe


Y= e(α +βx)

e

Y= e(α +βx)

e

X

Y Y

X


323

LECCIOacuteN 3


1 MODELO RECIPROCO


ii21 XY μ+β+β=

Donde i

i X

1X =




⎜⎝⎛β

X1





1dXdY


2β 2β


siguientes

Graacutefica 1

Costo Fijo

1β

Promedio


00

2

1

gtβgtβ

324


0

0

1

2

ltβ

gtβ

1βminus Un


00

1

2

ltβgtβ

0

Tasa

de

varia

cioacuten

de

los s

alar

ios

X Graacutefica 2


38490rX12743842821Y 2

tt =+minus=)

399F)84782()06752( 151 =

431minus

00

1

2

ltβgtβ

Tasa

de

varia

cioacuten

de

los s

alar

ios

Un

)X1(7243842821Y ti +minus=)

0

Graacutefica 3

02 gtβ

325


1

2

ββ

minus

Gas

t

Ingreso

Gas

to

Graacutefica 4



⎞⎜⎜⎝

⎛

β

βminus

1

2




atbe1KY minus+

=


326


dtdY =

Ka Y (K - Y)


( )dtdYY2K

KdtYd2

2

minusα

=


t = a1 Ln b Y =

2K


Y

0135 e X

e

Graacutefica 5


327

Y CM

bull

Produccioacuten

Cos

to M

argi

nal

X





ieLKYiμβδα=


328






329

LABORATORIO


330

prod=

=


1j






331

332



Obs X1 X2 X3 Y 1986 1265 834 187 110 1987 1285 826 179 153 1988 1285 909 189 193 1989 1205 993 194 287 1990 1170 1116 201 351 1991 1210 1156 215 351 1992 1338 1090 223 196 1993 1310 1185 227 272 1994 1343 1270 232 346 1995 1449 1479 245 376 1996 1866 1849 306 487 1997 1866 2005 331 637 1998 1815 2037 357 509 1999 1957 2092 376 419 2000 1882 2187 393 578 2001 1902 2216 416 547 2002 1966 2363 430 720 2003 1934 2472 470 590



333








334



6350 5695 5750 5395 4985 4895










335


4)4w( )9450(46511Z times==

and

85192Z )4w( ==

and


Y X X2 X3 193 1 1 1 226 2 4 8 240 3 9 27 244 4 16 64 260 6 36 216 274 7 49 343 297 8 64 512 350 9 81 729 420 10 100 1000



336



X1 6150263 4195559 1465899 00000X2 -1264826 0853580 -1481790 00000X3 0925967 0050693 1826626 00000






XTRASNP 1408717 2418462 5824846 00000X1 -1340488 0741900 -1806831 00000X2 0974348 0053162 1832783 00000




337




X1 -2711448 4268257 -6352588 00014X2 2692362 0353220 7622330 00006



338


NO NO SEacute












339

RESUMEN


3i3







Y = βo + X1





340

LECTURA



Anoacutenimo 2004

341

ACTIVIDADES



soles) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

193 226 240 244 257 260 274 297 350 420



μββββ ii

34i

23i21i + X + X + X + = Y





⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

minus ii XY1

100100

21 ββ

Y 86 79 76 69 65 62 52 51 51 48

X 3 7 12 17 25 35 45 55 70 120

342


Industria VL W



μ+β+β=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ LogWLog

LVLog 21

Donde

⎟⎠⎞

⎝ LV




2β




Gasto Total 650 655 665 645 675 710 710 715 718 760


Gasto Total 795 801 821 834 835 850 865 845 880 875


343






Totales 137989 697187 14169 4180237 217970320


21bbY =


1

+=

)b(Lnb

)b(Lnb)Y(LnY

22

11

=

=

=


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

minus=minus

500000424760800118456220800118456220337034456850

)XX( 1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

374180269141

YX

a X)0097 1(2319Y =b X)0127 8(6740Y =

c X) 124510(1245Y =

d X)1 1(1245Y =

344


COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) 052 05 041 30 051 5 040 35 048 10 039 40 046 15 039 45 044 20 038 55 042 25 037 60



Donde Y )Y(Ln =

)5050Y =

)4570Y =

a X455 100e1245Y =

b X990(

c X )4562(4570Y =








⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminusminus

minus=minus

001529001932300516080019323025072006921720

051608069217200268962)XX( 1

sumsumsum

=

=

=

2240Y

132203YX

72283XY2


345



X

3002001000

Y

350

340

330

320

310





Y ββ=β

a 0

Ha

0Hp

2

2

neβ=β

b 1)(LnHa1)(LnHp

2

2

neβ=β

c 0)(LnHa0)(LnHp

2

2

neβ=β

d 0)(LnHa0)(LnHp

1

1

neβ=β


346

Donde

2


i3

i32





Ejm


Y

Q i

iiX μ+21Y β+β=


Ejm

Aplicando logaritmo


i



+ β + β + μβ=


Donde

)( 1β

)X(LnX 3i3i

Luego e

i3i32i2

1i XXY μ+β+β+β=

Ln

1 =β)X(LnX 2i2i =

=







319






= βo +


F

β μY L

X1




Y DY = Ln Z = 1X W = X2

320

LECCIOacuteN 2



i2 eXY i1iμββ=




Donde 00LnA α=



0AXY =


321

A

1

Y β Negativo

-1ltβlt0

β= -1

βlt -1

A

0ltβlt1βgt1

1

X

Y= A0Xβ

β positivo

Y





β=dXdY

Y1

322



αe


Y= e(α +βx)

e

Y= e(α +βx)

e

X

Y Y

X


323

LECCIOacuteN 3


1 MODELO RECIPROCO


ii21 XY μ+β+β=

Donde i

i X

1X =




⎜⎝⎛β

X1





1dXdY


2β 2β


siguientes

Graacutefica 1

Costo Fijo

1β

Promedio


00

2

1

gtβgtβ

324


0

0

1

2

ltβ

gtβ

1βminus Un


00

1

2

ltβgtβ

0

Tasa

de

varia

cioacuten

de

los s

alar

ios

X Graacutefica 2


38490rX12743842821Y 2

tt =+minus=)

399F)84782()06752( 151 =

431minus

00

1

2

ltβgtβ

Tasa

de

varia

cioacuten

de

los s

alar

ios

Un

)X1(7243842821Y ti +minus=)

0

Graacutefica 3

02 gtβ

325


1

2

ββ

minus

Gas

t

Ingreso

Gas

to

Graacutefica 4



⎞⎜⎜⎝

⎛

β

βminus

1

2




atbe1KY minus+

=


326


dtdY =

Ka Y (K - Y)


( )dtdYY2K

KdtYd2

2

minusα

=


t = a1 Ln b Y =

2K


Y

0135 e X

e

Graacutefica 5


327

Y CM

bull

Produccioacuten

Cos

to M

argi

nal

X





ieLKYiμβδα=


328






329

LABORATORIO


330

prod=

=


1j






331

332



Obs X1 X2 X3 Y 1986 1265 834 187 110 1987 1285 826 179 153 1988 1285 909 189 193 1989 1205 993 194 287 1990 1170 1116 201 351 1991 1210 1156 215 351 1992 1338 1090 223 196 1993 1310 1185 227 272 1994 1343 1270 232 346 1995 1449 1479 245 376 1996 1866 1849 306 487 1997 1866 2005 331 637 1998 1815 2037 357 509 1999 1957 2092 376 419 2000 1882 2187 393 578 2001 1902 2216 416 547 2002 1966 2363 430 720 2003 1934 2472 470 590



333








334



6350 5695 5750 5395 4985 4895










335


4)4w( )9450(46511Z times==

and

85192Z )4w( ==

and


Y X X2 X3 193 1 1 1 226 2 4 8 240 3 9 27 244 4 16 64 260 6 36 216 274 7 49 343 297 8 64 512 350 9 81 729 420 10 100 1000



336



X1 6150263 4195559 1465899 00000X2 -1264826 0853580 -1481790 00000X3 0925967 0050693 1826626 00000






XTRASNP 1408717 2418462 5824846 00000X1 -1340488 0741900 -1806831 00000X2 0974348 0053162 1832783 00000




337




X1 -2711448 4268257 -6352588 00014X2 2692362 0353220 7622330 00006



338


NO NO SEacute












339

RESUMEN


3i3







Y = βo + X1





340

LECTURA



Anoacutenimo 2004

341

ACTIVIDADES



soles) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

193 226 240 244 257 260 274 297 350 420



μββββ ii

34i

23i21i + X + X + X + = Y





⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

minus ii XY1

100100

21 ββ

Y 86 79 76 69 65 62 52 51 51 48

X 3 7 12 17 25 35 45 55 70 120

342


Industria VL W



μ+β+β=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ LogWLog

LVLog 21

Donde

⎟⎠⎞

⎝ LV




2β




Gasto Total 650 655 665 645 675 710 710 715 718 760


Gasto Total 795 801 821 834 835 850 865 845 880 875


343






Totales 137989 697187 14169 4180237 217970320


21bbY =


1

+=

)b(Lnb

)b(Lnb)Y(LnY

22

11

=

=

=


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

minus=minus

500000424760800118456220800118456220337034456850

)XX( 1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

374180269141

YX

a X)0097 1(2319Y =b X)0127 8(6740Y =

c X) 124510(1245Y =

d X)1 1(1245Y =

344


COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) 052 05 041 30 051 5 040 35 048 10 039 40 046 15 039 45 044 20 038 55 042 25 037 60



Donde Y )Y(Ln =

)5050Y =

)4570Y =

a X455 100e1245Y =

b X990(

c X )4562(4570Y =








⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminusminus

minus=minus

001529001932300516080019323025072006921720

051608069217200268962)XX( 1

sumsumsum

=

=

=

2240Y

132203YX

72283XY2


345



X

3002001000

Y

350

340

330

320

310





Y ββ=β

a 0

Ha

0Hp

2

2

neβ=β

b 1)(LnHa1)(LnHp

2

2

neβ=β

c 0)(LnHa0)(LnHp

2

2

neβ=β

d 0)(LnHa0)(LnHp

1

1

neβ=β


346

Donde






= βo +


F

β μY L

X1




Y DY = Ln Z = 1X W = X2

320

LECCIOacuteN 2



i2 eXY i1iμββ=




Donde 00LnA α=



0AXY =


321

A

1

Y β Negativo

-1ltβlt0

β= -1

βlt -1

A

0ltβlt1βgt1

1

X

Y= A0Xβ

β positivo

Y





β=dXdY

Y1

322



αe


Y= e(α +βx)

e

Y= e(α +βx)

e

X

Y Y

X


323

LECCIOacuteN 3


1 MODELO RECIPROCO


ii21 XY μ+β+β=

Donde i

i X

1X =




⎜⎝⎛β

X1





1dXdY


2β 2β


siguientes

Graacutefica 1

Costo Fijo

1β

Promedio


00

2

1

gtβgtβ

324


0

0

1

2

ltβ

gtβ

1βminus Un


00

1

2

ltβgtβ

0

Tasa

de

varia

cioacuten

de

los s

alar

ios

X Graacutefica 2


38490rX12743842821Y 2

tt =+minus=)

399F)84782()06752( 151 =

431minus

00

1

2

ltβgtβ

Tasa

de

varia

cioacuten

de

los s

alar

ios

Un

)X1(7243842821Y ti +minus=)

0

Graacutefica 3

02 gtβ

325


1

2

ββ

minus

Gas

t

Ingreso

Gas

to

Graacutefica 4



⎞⎜⎜⎝

⎛

β

βminus

1

2




atbe1KY minus+

=


326


dtdY =

Ka Y (K - Y)


( )dtdYY2K

KdtYd2

2

minusα

=


t = a1 Ln b Y =

2K


Y

0135 e X

e

Graacutefica 5


327

Y CM

bull

Produccioacuten

Cos

to M

argi

nal

X





ieLKYiμβδα=


328






329

LABORATORIO


330

prod=

=


1j






331

332



Obs X1 X2 X3 Y 1986 1265 834 187 110 1987 1285 826 179 153 1988 1285 909 189 193 1989 1205 993 194 287 1990 1170 1116 201 351 1991 1210 1156 215 351 1992 1338 1090 223 196 1993 1310 1185 227 272 1994 1343 1270 232 346 1995 1449 1479 245 376 1996 1866 1849 306 487 1997 1866 2005 331 637 1998 1815 2037 357 509 1999 1957 2092 376 419 2000 1882 2187 393 578 2001 1902 2216 416 547 2002 1966 2363 430 720 2003 1934 2472 470 590



333








334



6350 5695 5750 5395 4985 4895










335


4)4w( )9450(46511Z times==

and

85192Z )4w( ==

and


Y X X2 X3 193 1 1 1 226 2 4 8 240 3 9 27 244 4 16 64 260 6 36 216 274 7 49 343 297 8 64 512 350 9 81 729 420 10 100 1000



336



X1 6150263 4195559 1465899 00000X2 -1264826 0853580 -1481790 00000X3 0925967 0050693 1826626 00000






XTRASNP 1408717 2418462 5824846 00000X1 -1340488 0741900 -1806831 00000X2 0974348 0053162 1832783 00000




337




X1 -2711448 4268257 -6352588 00014X2 2692362 0353220 7622330 00006



338


NO NO SEacute












339

RESUMEN


3i3







Y = βo + X1





340

LECTURA



Anoacutenimo 2004

341

ACTIVIDADES



soles) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

193 226 240 244 257 260 274 297 350 420



μββββ ii

34i

23i21i + X + X + X + = Y





⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

minus ii XY1

100100

21 ββ

Y 86 79 76 69 65 62 52 51 51 48

X 3 7 12 17 25 35 45 55 70 120

342


Industria VL W



μ+β+β=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ LogWLog

LVLog 21

Donde

⎟⎠⎞

⎝ LV




2β




Gasto Total 650 655 665 645 675 710 710 715 718 760


Gasto Total 795 801 821 834 835 850 865 845 880 875


343






Totales 137989 697187 14169 4180237 217970320


21bbY =


1

+=

)b(Lnb

)b(Lnb)Y(LnY

22

11

=

=

=


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

minus=minus

500000424760800118456220800118456220337034456850

)XX( 1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

374180269141

YX

a X)0097 1(2319Y =b X)0127 8(6740Y =

c X) 124510(1245Y =

d X)1 1(1245Y =

344


COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) 052 05 041 30 051 5 040 35 048 10 039 40 046 15 039 45 044 20 038 55 042 25 037 60



Donde Y )Y(Ln =

)5050Y =

)4570Y =

a X455 100e1245Y =

b X990(

c X )4562(4570Y =








⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminusminus

minus=minus

001529001932300516080019323025072006921720

051608069217200268962)XX( 1

sumsumsum

=

=

=

2240Y

132203YX

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345



X

3002001000

Y

350

340

330

320

310





Y ββ=β

a 0

Ha

0Hp

2

2

neβ=β

b 1)(LnHa1)(LnHp

2

2

neβ=β

c 0)(LnHa0)(LnHp

2

2

neβ=β

d 0)(LnHa0)(LnHp

1

1

neβ=β


346

Donde

LECCIOacuteN 2



i2 eXY i1iμββ=




Donde 00LnA α=



0AXY =


321

A

1

Y β Negativo

-1ltβlt0

β= -1

βlt -1

A

0ltβlt1βgt1

1

X

Y= A0Xβ

β positivo

Y





β=dXdY

Y1

322



αe


Y= e(α +βx)

e

Y= e(α +βx)

e

X

Y Y

X


323

LECCIOacuteN 3


1 MODELO RECIPROCO


ii21 XY μ+β+β=

Donde i

i X

1X =




⎜⎝⎛β

X1





1dXdY


2β 2β


siguientes

Graacutefica 1

Costo Fijo

1β

Promedio


00

2

1

gtβgtβ

324


0

0

1

2

ltβ

gtβ

1βminus Un


00

1

2

ltβgtβ

0

Tasa

de

varia

cioacuten

de

los s

alar

ios

X Graacutefica 2


38490rX12743842821Y 2

tt =+minus=)

399F)84782()06752( 151 =

431minus

00

1

2

ltβgtβ

Tasa

de

varia

cioacuten

de

los s

alar

ios

Un

)X1(7243842821Y ti +minus=)

0

Graacutefica 3

02 gtβ

325


1

2

ββ

minus

Gas

t

Ingreso

Gas

to

Graacutefica 4



⎞⎜⎜⎝

⎛

β

βminus

1

2




atbe1KY minus+

=


326


dtdY =

Ka Y (K - Y)


( )dtdYY2K

KdtYd2

2

minusα

=


t = a1 Ln b Y =

2K


Y

0135 e X

e

Graacutefica 5


327

Y CM

bull

Produccioacuten

Cos

to M

argi

nal

X





ieLKYiμβδα=


328






329

LABORATORIO


330

prod=

=


1j






331

332



Obs X1 X2 X3 Y 1986 1265 834 187 110 1987 1285 826 179 153 1988 1285 909 189 193 1989 1205 993 194 287 1990 1170 1116 201 351 1991 1210 1156 215 351 1992 1338 1090 223 196 1993 1310 1185 227 272 1994 1343 1270 232 346 1995 1449 1479 245 376 1996 1866 1849 306 487 1997 1866 2005 331 637 1998 1815 2037 357 509 1999 1957 2092 376 419 2000 1882 2187 393 578 2001 1902 2216 416 547 2002 1966 2363 430 720 2003 1934 2472 470 590



333








334



6350 5695 5750 5395 4985 4895










335


4)4w( )9450(46511Z times==

and

85192Z )4w( ==

and


Y X X2 X3 193 1 1 1 226 2 4 8 240 3 9 27 244 4 16 64 260 6 36 216 274 7 49 343 297 8 64 512 350 9 81 729 420 10 100 1000



336



X1 6150263 4195559 1465899 00000X2 -1264826 0853580 -1481790 00000X3 0925967 0050693 1826626 00000






XTRASNP 1408717 2418462 5824846 00000X1 -1340488 0741900 -1806831 00000X2 0974348 0053162 1832783 00000




337




X1 -2711448 4268257 -6352588 00014X2 2692362 0353220 7622330 00006



338


NO NO SEacute












339

RESUMEN


3i3







Y = βo + X1





340

LECTURA



Anoacutenimo 2004

341

ACTIVIDADES



soles) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

193 226 240 244 257 260 274 297 350 420



μββββ ii

34i

23i21i + X + X + X + = Y





⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

minus ii XY1

100100

21 ββ

Y 86 79 76 69 65 62 52 51 51 48

X 3 7 12 17 25 35 45 55 70 120

342


Industria VL W



μ+β+β=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ LogWLog

LVLog 21

Donde

⎟⎠⎞

⎝ LV




2β




Gasto Total 650 655 665 645 675 710 710 715 718 760


Gasto Total 795 801 821 834 835 850 865 845 880 875


343






Totales 137989 697187 14169 4180237 217970320


21bbY =


1

+=

)b(Lnb

)b(Lnb)Y(LnY

22

11

=

=

=


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

minus=minus

500000424760800118456220800118456220337034456850

)XX( 1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

374180269141

YX

a X)0097 1(2319Y =b X)0127 8(6740Y =

c X) 124510(1245Y =

d X)1 1(1245Y =

344


COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) 052 05 041 30 051 5 040 35 048 10 039 40 046 15 039 45 044 20 038 55 042 25 037 60



Donde Y )Y(Ln =

)5050Y =

)4570Y =

a X455 100e1245Y =

b X990(

c X )4562(4570Y =








⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminusminus

minus=minus

001529001932300516080019323025072006921720

051608069217200268962)XX( 1

sumsumsum

=

=

=

2240Y

132203YX

72283XY2


345



X

3002001000

Y

350

340

330

320

310





Y ββ=β

a 0

Ha

0Hp

2

2

neβ=β

b 1)(LnHa1)(LnHp

2

2

neβ=β

c 0)(LnHa0)(LnHp

2

2

neβ=β

d 0)(LnHa0)(LnHp

1

1

neβ=β


346

Donde

A

1

Y β Negativo

-1ltβlt0

β= -1

βlt -1

A

0ltβlt1βgt1

1

X

Y= A0Xβ

β positivo

Y





β=dXdY

Y1

322



αe


Y= e(α +βx)

e

Y= e(α +βx)

e

X

Y Y

X


323

LECCIOacuteN 3


1 MODELO RECIPROCO


ii21 XY μ+β+β=

Donde i

i X

1X =




⎜⎝⎛β

X1





1dXdY


2β 2β


siguientes

Graacutefica 1

Costo Fijo

1β

Promedio


00

2

1

gtβgtβ

324


0

0

1

2

ltβ

gtβ

1βminus Un


00

1

2

ltβgtβ

0

Tasa

de

varia

cioacuten

de

los s

alar

ios

X Graacutefica 2


38490rX12743842821Y 2

tt =+minus=)

399F)84782()06752( 151 =

431minus

00

1

2

ltβgtβ

Tasa

de

varia

cioacuten

de

los s

alar

ios

Un

)X1(7243842821Y ti +minus=)

0

Graacutefica 3

02 gtβ

325


1

2

ββ

minus

Gas

t

Ingreso

Gas

to

Graacutefica 4



⎞⎜⎜⎝

⎛

β

βminus

1

2




atbe1KY minus+

=


326


dtdY =

Ka Y (K - Y)


( )dtdYY2K

KdtYd2

2

minusα

=


t = a1 Ln b Y =

2K


Y

0135 e X

e

Graacutefica 5


327

Y CM

bull

Produccioacuten

Cos

to M

argi

nal

X





ieLKYiμβδα=


328






329

LABORATORIO


330

prod=

=


1j






331

332



Obs X1 X2 X3 Y 1986 1265 834 187 110 1987 1285 826 179 153 1988 1285 909 189 193 1989 1205 993 194 287 1990 1170 1116 201 351 1991 1210 1156 215 351 1992 1338 1090 223 196 1993 1310 1185 227 272 1994 1343 1270 232 346 1995 1449 1479 245 376 1996 1866 1849 306 487 1997 1866 2005 331 637 1998 1815 2037 357 509 1999 1957 2092 376 419 2000 1882 2187 393 578 2001 1902 2216 416 547 2002 1966 2363 430 720 2003 1934 2472 470 590



333








334



6350 5695 5750 5395 4985 4895










335


4)4w( )9450(46511Z times==

and

85192Z )4w( ==

and


Y X X2 X3 193 1 1 1 226 2 4 8 240 3 9 27 244 4 16 64 260 6 36 216 274 7 49 343 297 8 64 512 350 9 81 729 420 10 100 1000



336



X1 6150263 4195559 1465899 00000X2 -1264826 0853580 -1481790 00000X3 0925967 0050693 1826626 00000






XTRASNP 1408717 2418462 5824846 00000X1 -1340488 0741900 -1806831 00000X2 0974348 0053162 1832783 00000




337




X1 -2711448 4268257 -6352588 00014X2 2692362 0353220 7622330 00006



338


NO NO SEacute












339

RESUMEN


3i3







Y = βo + X1





340

LECTURA



Anoacutenimo 2004

341

ACTIVIDADES



soles) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

193 226 240 244 257 260 274 297 350 420



μββββ ii

34i

23i21i + X + X + X + = Y





⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

minus ii XY1

100100

21 ββ

Y 86 79 76 69 65 62 52 51 51 48

X 3 7 12 17 25 35 45 55 70 120

342


Industria VL W



μ+β+β=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ LogWLog

LVLog 21

Donde

⎟⎠⎞

⎝ LV




2β




Gasto Total 650 655 665 645 675 710 710 715 718 760


Gasto Total 795 801 821 834 835 850 865 845 880 875


343






Totales 137989 697187 14169 4180237 217970320


21bbY =


1

+=

)b(Lnb

)b(Lnb)Y(LnY

22

11

=

=

=


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

minus=minus

500000424760800118456220800118456220337034456850

)XX( 1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

374180269141

YX

a X)0097 1(2319Y =b X)0127 8(6740Y =

c X) 124510(1245Y =

d X)1 1(1245Y =

344


COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) 052 05 041 30 051 5 040 35 048 10 039 40 046 15 039 45 044 20 038 55 042 25 037 60



Donde Y )Y(Ln =

)5050Y =

)4570Y =

a X455 100e1245Y =

b X990(

c X )4562(4570Y =








⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminusminus

minus=minus

001529001932300516080019323025072006921720

051608069217200268962)XX( 1

sumsumsum

=

=

=

2240Y

132203YX

72283XY2


345



X

3002001000

Y

350

340

330

320

310





Y ββ=β

a 0

Ha

0Hp

2

2

neβ=β

b 1)(LnHa1)(LnHp

2

2

neβ=β

c 0)(LnHa0)(LnHp

2

2

neβ=β

d 0)(LnHa0)(LnHp

1

1

neβ=β


346

Donde



αe


Y= e(α +βx)

e

Y= e(α +βx)

e

X

Y Y

X


323

LECCIOacuteN 3


1 MODELO RECIPROCO


ii21 XY μ+β+β=

Donde i

i X

1X =




⎜⎝⎛β

X1





1dXdY


2β 2β


siguientes

Graacutefica 1

Costo Fijo

1β

Promedio


00

2

1

gtβgtβ

324


0

0

1

2

ltβ

gtβ

1βminus Un


00

1

2

ltβgtβ

0

Tasa

de

varia

cioacuten

de

los s

alar

ios

X Graacutefica 2


38490rX12743842821Y 2

tt =+minus=)

399F)84782()06752( 151 =

431minus

00

1

2

ltβgtβ

Tasa

de

varia

cioacuten

de

los s

alar

ios

Un

)X1(7243842821Y ti +minus=)

0

Graacutefica 3

02 gtβ

325


1

2

ββ

minus

Gas

t

Ingreso

Gas

to

Graacutefica 4



⎞⎜⎜⎝

⎛

β

βminus

1

2




atbe1KY minus+

=


326


dtdY =

Ka Y (K - Y)


( )dtdYY2K

KdtYd2

2

minusα

=


t = a1 Ln b Y =

2K


Y

0135 e X

e

Graacutefica 5


327

Y CM

bull

Produccioacuten

Cos

to M

argi

nal

X





ieLKYiμβδα=


328






329

LABORATORIO


330

prod=

=


1j






331

332



Obs X1 X2 X3 Y 1986 1265 834 187 110 1987 1285 826 179 153 1988 1285 909 189 193 1989 1205 993 194 287 1990 1170 1116 201 351 1991 1210 1156 215 351 1992 1338 1090 223 196 1993 1310 1185 227 272 1994 1343 1270 232 346 1995 1449 1479 245 376 1996 1866 1849 306 487 1997 1866 2005 331 637 1998 1815 2037 357 509 1999 1957 2092 376 419 2000 1882 2187 393 578 2001 1902 2216 416 547 2002 1966 2363 430 720 2003 1934 2472 470 590



333








334



6350 5695 5750 5395 4985 4895










335


4)4w( )9450(46511Z times==

and

85192Z )4w( ==

and


Y X X2 X3 193 1 1 1 226 2 4 8 240 3 9 27 244 4 16 64 260 6 36 216 274 7 49 343 297 8 64 512 350 9 81 729 420 10 100 1000



336



X1 6150263 4195559 1465899 00000X2 -1264826 0853580 -1481790 00000X3 0925967 0050693 1826626 00000






XTRASNP 1408717 2418462 5824846 00000X1 -1340488 0741900 -1806831 00000X2 0974348 0053162 1832783 00000




337




X1 -2711448 4268257 -6352588 00014X2 2692362 0353220 7622330 00006



338


NO NO SEacute












339

RESUMEN


3i3







Y = βo + X1





340

LECTURA



Anoacutenimo 2004

341

ACTIVIDADES



soles) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

193 226 240 244 257 260 274 297 350 420



μββββ ii

34i

23i21i + X + X + X + = Y





⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

minus ii XY1

100100

21 ββ

Y 86 79 76 69 65 62 52 51 51 48

X 3 7 12 17 25 35 45 55 70 120

342


Industria VL W



μ+β+β=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ LogWLog

LVLog 21

Donde

⎟⎠⎞

⎝ LV




2β




Gasto Total 650 655 665 645 675 710 710 715 718 760


Gasto Total 795 801 821 834 835 850 865 845 880 875


343






Totales 137989 697187 14169 4180237 217970320


21bbY =


1

+=

)b(Lnb

)b(Lnb)Y(LnY

22

11

=

=

=


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

minus=minus

500000424760800118456220800118456220337034456850

)XX( 1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

374180269141

YX

a X)0097 1(2319Y =b X)0127 8(6740Y =

c X) 124510(1245Y =

d X)1 1(1245Y =

344


COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) 052 05 041 30 051 5 040 35 048 10 039 40 046 15 039 45 044 20 038 55 042 25 037 60



Donde Y )Y(Ln =

)5050Y =

)4570Y =

a X455 100e1245Y =

b X990(

c X )4562(4570Y =








⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminusminus

minus=minus

001529001932300516080019323025072006921720

051608069217200268962)XX( 1

sumsumsum

=

=

=

2240Y

132203YX

72283XY2


345



X

3002001000

Y

350

340

330

320

310





Y ββ=β

a 0

Ha

0Hp

2

2

neβ=β

b 1)(LnHa1)(LnHp

2

2

neβ=β

c 0)(LnHa0)(LnHp

2

2

neβ=β

d 0)(LnHa0)(LnHp

1

1

neβ=β


346

Donde

LECCIOacuteN 3


1 MODELO RECIPROCO


ii21 XY μ+β+β=

Donde i

i X

1X =




⎜⎝⎛β

X1





1dXdY


2β 2β


siguientes

Graacutefica 1

Costo Fijo

1β

Promedio


00

2

1

gtβgtβ

324


0

0

1

2

ltβ

gtβ

1βminus Un


00

1

2

ltβgtβ

0

Tasa

de

varia

cioacuten

de

los s

alar

ios

X Graacutefica 2


38490rX12743842821Y 2

tt =+minus=)

399F)84782()06752( 151 =

431minus

00

1

2

ltβgtβ

Tasa

de

varia

cioacuten

de

los s

alar

ios

Un

)X1(7243842821Y ti +minus=)

0

Graacutefica 3

02 gtβ

325


1

2

ββ

minus

Gas

t

Ingreso

Gas

to

Graacutefica 4



⎞⎜⎜⎝

⎛

β

βminus

1

2




atbe1KY minus+

=


326


dtdY =

Ka Y (K - Y)


( )dtdYY2K

KdtYd2

2

minusα

=


t = a1 Ln b Y =

2K


Y

0135 e X

e

Graacutefica 5


327

Y CM

bull

Produccioacuten

Cos

to M

argi

nal

X





ieLKYiμβδα=


328






329

LABORATORIO


330

prod=

=


1j






331

332



Obs X1 X2 X3 Y 1986 1265 834 187 110 1987 1285 826 179 153 1988 1285 909 189 193 1989 1205 993 194 287 1990 1170 1116 201 351 1991 1210 1156 215 351 1992 1338 1090 223 196 1993 1310 1185 227 272 1994 1343 1270 232 346 1995 1449 1479 245 376 1996 1866 1849 306 487 1997 1866 2005 331 637 1998 1815 2037 357 509 1999 1957 2092 376 419 2000 1882 2187 393 578 2001 1902 2216 416 547 2002 1966 2363 430 720 2003 1934 2472 470 590



333








334



6350 5695 5750 5395 4985 4895










335


4)4w( )9450(46511Z times==

and

85192Z )4w( ==

and


Y X X2 X3 193 1 1 1 226 2 4 8 240 3 9 27 244 4 16 64 260 6 36 216 274 7 49 343 297 8 64 512 350 9 81 729 420 10 100 1000



336



X1 6150263 4195559 1465899 00000X2 -1264826 0853580 -1481790 00000X3 0925967 0050693 1826626 00000






XTRASNP 1408717 2418462 5824846 00000X1 -1340488 0741900 -1806831 00000X2 0974348 0053162 1832783 00000




337




X1 -2711448 4268257 -6352588 00014X2 2692362 0353220 7622330 00006



338


NO NO SEacute












339

RESUMEN


3i3







Y = βo + X1





340

LECTURA



Anoacutenimo 2004

341

ACTIVIDADES



soles) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

193 226 240 244 257 260 274 297 350 420



μββββ ii

34i

23i21i + X + X + X + = Y





⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

minus ii XY1

100100

21 ββ

Y 86 79 76 69 65 62 52 51 51 48

X 3 7 12 17 25 35 45 55 70 120

342


Industria VL W



μ+β+β=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ LogWLog

LVLog 21

Donde

⎟⎠⎞

⎝ LV




2β




Gasto Total 650 655 665 645 675 710 710 715 718 760


Gasto Total 795 801 821 834 835 850 865 845 880 875


343






Totales 137989 697187 14169 4180237 217970320


21bbY =


1

+=

)b(Lnb

)b(Lnb)Y(LnY

22

11

=

=

=


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

minus=minus

500000424760800118456220800118456220337034456850

)XX( 1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

374180269141

YX

a X)0097 1(2319Y =b X)0127 8(6740Y =

c X) 124510(1245Y =

d X)1 1(1245Y =

344


COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) 052 05 041 30 051 5 040 35 048 10 039 40 046 15 039 45 044 20 038 55 042 25 037 60



Donde Y )Y(Ln =

)5050Y =

)4570Y =

a X455 100e1245Y =

b X990(

c X )4562(4570Y =








⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminusminus

minus=minus

001529001932300516080019323025072006921720

051608069217200268962)XX( 1

sumsumsum

=

=

=

2240Y

132203YX

72283XY2


345



X

3002001000

Y

350

340

330

320

310





Y ββ=β

a 0

Ha

0Hp

2

2

neβ=β

b 1)(LnHa1)(LnHp

2

2

neβ=β

c 0)(LnHa0)(LnHp

2

2

neβ=β

d 0)(LnHa0)(LnHp

1

1

neβ=β


346

Donde


0

0

1

2

ltβ

gtβ

1βminus Un


00

1

2

ltβgtβ

0

Tasa

de

varia

cioacuten

de

los s

alar

ios

X Graacutefica 2


38490rX12743842821Y 2

tt =+minus=)

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431minus

00

1

2

ltβgtβ

Tasa

de

varia

cioacuten

de

los s

alar

ios

Un

)X1(7243842821Y ti +minus=)

0

Graacutefica 3

02 gtβ

325


1

2

ββ

minus

Gas

t

Ingreso

Gas

to

Graacutefica 4



⎞⎜⎜⎝

⎛

β

βminus

1

2




atbe1KY minus+

=


326


dtdY =

Ka Y (K - Y)


( )dtdYY2K

KdtYd2

2

minusα

=


t = a1 Ln b Y =

2K


Y

0135 e X

e

Graacutefica 5


327

Y CM

bull

Produccioacuten

Cos

to M

argi

nal

X





ieLKYiμβδα=


328






329

LABORATORIO


330

prod=

=


1j






331

332



Obs X1 X2 X3 Y 1986 1265 834 187 110 1987 1285 826 179 153 1988 1285 909 189 193 1989 1205 993 194 287 1990 1170 1116 201 351 1991 1210 1156 215 351 1992 1338 1090 223 196 1993 1310 1185 227 272 1994 1343 1270 232 346 1995 1449 1479 245 376 1996 1866 1849 306 487 1997 1866 2005 331 637 1998 1815 2037 357 509 1999 1957 2092 376 419 2000 1882 2187 393 578 2001 1902 2216 416 547 2002 1966 2363 430 720 2003 1934 2472 470 590



333








334



6350 5695 5750 5395 4985 4895










335


4)4w( )9450(46511Z times==

and

85192Z )4w( ==

and


Y X X2 X3 193 1 1 1 226 2 4 8 240 3 9 27 244 4 16 64 260 6 36 216 274 7 49 343 297 8 64 512 350 9 81 729 420 10 100 1000



336



X1 6150263 4195559 1465899 00000X2 -1264826 0853580 -1481790 00000X3 0925967 0050693 1826626 00000






XTRASNP 1408717 2418462 5824846 00000X1 -1340488 0741900 -1806831 00000X2 0974348 0053162 1832783 00000




337




X1 -2711448 4268257 -6352588 00014X2 2692362 0353220 7622330 00006



338


NO NO SEacute












339

RESUMEN


3i3







Y = βo + X1





340

LECTURA



Anoacutenimo 2004

341

ACTIVIDADES



soles) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

193 226 240 244 257 260 274 297 350 420



μββββ ii

34i

23i21i + X + X + X + = Y





⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

minus ii XY1

100100

21 ββ

Y 86 79 76 69 65 62 52 51 51 48

X 3 7 12 17 25 35 45 55 70 120

342


Industria VL W



μ+β+β=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ LogWLog

LVLog 21

Donde

⎟⎠⎞

⎝ LV




2β




Gasto Total 650 655 665 645 675 710 710 715 718 760


Gasto Total 795 801 821 834 835 850 865 845 880 875


343






Totales 137989 697187 14169 4180237 217970320


21bbY =


1

+=

)b(Lnb

)b(Lnb)Y(LnY

22

11

=

=

=


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

minus=minus

500000424760800118456220800118456220337034456850

)XX( 1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

374180269141

YX

a X)0097 1(2319Y =b X)0127 8(6740Y =

c X) 124510(1245Y =

d X)1 1(1245Y =

344


COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) 052 05 041 30 051 5 040 35 048 10 039 40 046 15 039 45 044 20 038 55 042 25 037 60



Donde Y )Y(Ln =

)5050Y =

)4570Y =

a X455 100e1245Y =

b X990(

c X )4562(4570Y =








⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminusminus

minus=minus

001529001932300516080019323025072006921720

051608069217200268962)XX( 1

sumsumsum

=

=

=

2240Y

132203YX

72283XY2


345



X

3002001000

Y

350

340

330

320

310





Y ββ=β

a 0

Ha

0Hp

2

2

neβ=β

b 1)(LnHa1)(LnHp

2

2

neβ=β

c 0)(LnHa0)(LnHp

2

2

neβ=β

d 0)(LnHa0)(LnHp

1

1

neβ=β


346

Donde


1

2

ββ

minus

Gas

t

Ingreso

Gas

to

Graacutefica 4



⎞⎜⎜⎝

⎛

β

βminus

1

2




atbe1KY minus+

=


326


dtdY =

Ka Y (K - Y)


( )dtdYY2K

KdtYd2

2

minusα

=


t = a1 Ln b Y =

2K


Y

0135 e X

e

Graacutefica 5


327

Y CM

bull

Produccioacuten

Cos

to M

argi

nal

X





ieLKYiμβδα=


328






329

LABORATORIO


330

prod=

=


1j






331

332



Obs X1 X2 X3 Y 1986 1265 834 187 110 1987 1285 826 179 153 1988 1285 909 189 193 1989 1205 993 194 287 1990 1170 1116 201 351 1991 1210 1156 215 351 1992 1338 1090 223 196 1993 1310 1185 227 272 1994 1343 1270 232 346 1995 1449 1479 245 376 1996 1866 1849 306 487 1997 1866 2005 331 637 1998 1815 2037 357 509 1999 1957 2092 376 419 2000 1882 2187 393 578 2001 1902 2216 416 547 2002 1966 2363 430 720 2003 1934 2472 470 590



333








334



6350 5695 5750 5395 4985 4895










335


4)4w( )9450(46511Z times==

and

85192Z )4w( ==

and


Y X X2 X3 193 1 1 1 226 2 4 8 240 3 9 27 244 4 16 64 260 6 36 216 274 7 49 343 297 8 64 512 350 9 81 729 420 10 100 1000



336



X1 6150263 4195559 1465899 00000X2 -1264826 0853580 -1481790 00000X3 0925967 0050693 1826626 00000






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337




X1 -2711448 4268257 -6352588 00014X2 2692362 0353220 7622330 00006



338


NO NO SEacute












339

RESUMEN


3i3







Y = βo + X1





340

LECTURA



Anoacutenimo 2004

341

ACTIVIDADES



soles) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

193 226 240 244 257 260 274 297 350 420



μββββ ii

34i

23i21i + X + X + X + = Y





⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

minus ii XY1

100100

21 ββ

Y 86 79 76 69 65 62 52 51 51 48

X 3 7 12 17 25 35 45 55 70 120

342


Industria VL W



μ+β+β=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ LogWLog

LVLog 21

Donde

⎟⎠⎞

⎝ LV




2β




Gasto Total 650 655 665 645 675 710 710 715 718 760


Gasto Total 795 801 821 834 835 850 865 845 880 875


343






Totales 137989 697187 14169 4180237 217970320


21bbY =


1

+=

)b(Lnb

)b(Lnb)Y(LnY

22

11

=

=

=


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

minus=minus

500000424760800118456220800118456220337034456850

)XX( 1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

374180269141

YX

a X)0097 1(2319Y =b X)0127 8(6740Y =

c X) 124510(1245Y =

d X)1 1(1245Y =

344


COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) 052 05 041 30 051 5 040 35 048 10 039 40 046 15 039 45 044 20 038 55 042 25 037 60



Donde Y )Y(Ln =

)5050Y =

)4570Y =

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b X990(

c X )4562(4570Y =








⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminusminus

minus=minus

001529001932300516080019323025072006921720

051608069217200268962)XX( 1

sumsumsum

=

=

=

2240Y

132203YX

72283XY2


345



X

3002001000

Y

350

340

330

320

310





Y ββ=β

a 0

Ha

0Hp

2

2

neβ=β

b 1)(LnHa1)(LnHp

2

2

neβ=β

c 0)(LnHa0)(LnHp

2

2

neβ=β

d 0)(LnHa0)(LnHp

1

1

neβ=β


346

Donde


dtdY =

Ka Y (K - Y)


( )dtdYY2K

KdtYd2

2

minusα

=


t = a1 Ln b Y =

2K


Y

0135 e X

e

Graacutefica 5


327

Y CM

bull

Produccioacuten

Cos

to M

argi

nal

X





ieLKYiμβδα=


328






329

LABORATORIO


330

prod=

=


1j






331

332



Obs X1 X2 X3 Y 1986 1265 834 187 110 1987 1285 826 179 153 1988 1285 909 189 193 1989 1205 993 194 287 1990 1170 1116 201 351 1991 1210 1156 215 351 1992 1338 1090 223 196 1993 1310 1185 227 272 1994 1343 1270 232 346 1995 1449 1479 245 376 1996 1866 1849 306 487 1997 1866 2005 331 637 1998 1815 2037 357 509 1999 1957 2092 376 419 2000 1882 2187 393 578 2001 1902 2216 416 547 2002 1966 2363 430 720 2003 1934 2472 470 590



333








334



6350 5695 5750 5395 4985 4895










335


4)4w( )9450(46511Z times==

and

85192Z )4w( ==

and


Y X X2 X3 193 1 1 1 226 2 4 8 240 3 9 27 244 4 16 64 260 6 36 216 274 7 49 343 297 8 64 512 350 9 81 729 420 10 100 1000



336



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XTRASNP 1408717 2418462 5824846 00000X1 -1340488 0741900 -1806831 00000X2 0974348 0053162 1832783 00000




337




X1 -2711448 4268257 -6352588 00014X2 2692362 0353220 7622330 00006



338


NO NO SEacute












339

RESUMEN


3i3







Y = βo + X1





340

LECTURA



Anoacutenimo 2004

341

ACTIVIDADES



soles) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

193 226 240 244 257 260 274 297 350 420



μββββ ii

34i

23i21i + X + X + X + = Y





⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

minus ii XY1

100100

21 ββ

Y 86 79 76 69 65 62 52 51 51 48

X 3 7 12 17 25 35 45 55 70 120

342


Industria VL W



μ+β+β=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ LogWLog

LVLog 21

Donde

⎟⎠⎞

⎝ LV




2β




Gasto Total 650 655 665 645 675 710 710 715 718 760


Gasto Total 795 801 821 834 835 850 865 845 880 875


343






Totales 137989 697187 14169 4180237 217970320


21bbY =


1

+=

)b(Lnb

)b(Lnb)Y(LnY

22

11

=

=

=


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

minus=minus

500000424760800118456220800118456220337034456850

)XX( 1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

374180269141

YX

a X)0097 1(2319Y =b X)0127 8(6740Y =

c X) 124510(1245Y =

d X)1 1(1245Y =

344


COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) 052 05 041 30 051 5 040 35 048 10 039 40 046 15 039 45 044 20 038 55 042 25 037 60



Donde Y )Y(Ln =

)5050Y =

)4570Y =

a X455 100e1245Y =

b X990(

c X )4562(4570Y =








⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminusminus

minus=minus

001529001932300516080019323025072006921720

051608069217200268962)XX( 1

sumsumsum

=

=

=

2240Y

132203YX

72283XY2


345



X

3002001000

Y

350

340

330

320

310





Y ββ=β

a 0

Ha

0Hp

2

2

neβ=β

b 1)(LnHa1)(LnHp

2

2

neβ=β

c 0)(LnHa0)(LnHp

2

2

neβ=β

d 0)(LnHa0)(LnHp

1

1

neβ=β


346

Donde

Y CM

bull

Produccioacuten

Cos

to M

argi

nal

X





ieLKYiμβδα=


328






329

LABORATORIO


330

prod=

=


1j






331

332



Obs X1 X2 X3 Y 1986 1265 834 187 110 1987 1285 826 179 153 1988 1285 909 189 193 1989 1205 993 194 287 1990 1170 1116 201 351 1991 1210 1156 215 351 1992 1338 1090 223 196 1993 1310 1185 227 272 1994 1343 1270 232 346 1995 1449 1479 245 376 1996 1866 1849 306 487 1997 1866 2005 331 637 1998 1815 2037 357 509 1999 1957 2092 376 419 2000 1882 2187 393 578 2001 1902 2216 416 547 2002 1966 2363 430 720 2003 1934 2472 470 590



333








334



6350 5695 5750 5395 4985 4895










335


4)4w( )9450(46511Z times==

and

85192Z )4w( ==

and


Y X X2 X3 193 1 1 1 226 2 4 8 240 3 9 27 244 4 16 64 260 6 36 216 274 7 49 343 297 8 64 512 350 9 81 729 420 10 100 1000



336



X1 6150263 4195559 1465899 00000X2 -1264826 0853580 -1481790 00000X3 0925967 0050693 1826626 00000






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337




X1 -2711448 4268257 -6352588 00014X2 2692362 0353220 7622330 00006



338


NO NO SEacute












339

RESUMEN


3i3







Y = βo + X1





340

LECTURA



Anoacutenimo 2004

341

ACTIVIDADES



soles) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

193 226 240 244 257 260 274 297 350 420



μββββ ii

34i

23i21i + X + X + X + = Y





⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

minus ii XY1

100100

21 ββ

Y 86 79 76 69 65 62 52 51 51 48

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342


Industria VL W



μ+β+β=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ LogWLog

LVLog 21

Donde

⎟⎠⎞

⎝ LV




2β




Gasto Total 650 655 665 645 675 710 710 715 718 760


Gasto Total 795 801 821 834 835 850 865 845 880 875


343






Totales 137989 697187 14169 4180237 217970320


21bbY =


1

+=

)b(Lnb

)b(Lnb)Y(LnY

22

11

=

=

=


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

minus=minus

500000424760800118456220800118456220337034456850

)XX( 1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

374180269141

YX

a X)0097 1(2319Y =b X)0127 8(6740Y =

c X) 124510(1245Y =

d X)1 1(1245Y =

344


COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) 052 05 041 30 051 5 040 35 048 10 039 40 046 15 039 45 044 20 038 55 042 25 037 60



Donde Y )Y(Ln =

)5050Y =

)4570Y =

a X455 100e1245Y =

b X990(

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⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminusminus

minus=minus

001529001932300516080019323025072006921720

051608069217200268962)XX( 1

sumsumsum

=

=

=

2240Y

132203YX

72283XY2


345



X

3002001000

Y

350

340

330

320

310





Y ββ=β

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Ha

0Hp

2

2

neβ=β

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2

2

neβ=β

c 0)(LnHa0)(LnHp

2

2

neβ=β

d 0)(LnHa0)(LnHp

1

1

neβ=β


346

Donde






329

LABORATORIO


330

prod=

=


1j






331

332



Obs X1 X2 X3 Y 1986 1265 834 187 110 1987 1285 826 179 153 1988 1285 909 189 193 1989 1205 993 194 287 1990 1170 1116 201 351 1991 1210 1156 215 351 1992 1338 1090 223 196 1993 1310 1185 227 272 1994 1343 1270 232 346 1995 1449 1479 245 376 1996 1866 1849 306 487 1997 1866 2005 331 637 1998 1815 2037 357 509 1999 1957 2092 376 419 2000 1882 2187 393 578 2001 1902 2216 416 547 2002 1966 2363 430 720 2003 1934 2472 470 590



333








334



6350 5695 5750 5395 4985 4895










335


4)4w( )9450(46511Z times==

and

85192Z )4w( ==

and


Y X X2 X3 193 1 1 1 226 2 4 8 240 3 9 27 244 4 16 64 260 6 36 216 274 7 49 343 297 8 64 512 350 9 81 729 420 10 100 1000



336



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337




X1 -2711448 4268257 -6352588 00014X2 2692362 0353220 7622330 00006



338


NO NO SEacute












339

RESUMEN


3i3







Y = βo + X1





340

LECTURA



Anoacutenimo 2004

341

ACTIVIDADES



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193 226 240 244 257 260 274 297 350 420



μββββ ii

34i

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⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

minus ii XY1

100100

21 ββ

Y 86 79 76 69 65 62 52 51 51 48

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342


Industria VL W



μ+β+β=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ LogWLog

LVLog 21

Donde

⎟⎠⎞

⎝ LV




2β




Gasto Total 650 655 665 645 675 710 710 715 718 760


Gasto Total 795 801 821 834 835 850 865 845 880 875


343






Totales 137989 697187 14169 4180237 217970320


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1

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)b(Lnb

)b(Lnb)Y(LnY

22

11

=

=

=


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

minus=minus

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)XX( 1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

374180269141

YX

a X)0097 1(2319Y =b X)0127 8(6740Y =

c X) 124510(1245Y =

d X)1 1(1245Y =

344


COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) 052 05 041 30 051 5 040 35 048 10 039 40 046 15 039 45 044 20 038 55 042 25 037 60



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b X990(

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⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminusminus

minus=minus

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=

=

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132203YX

72283XY2


345



X

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Y

350

340

330

320

310





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2

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2

neβ=β

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2

2

neβ=β

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1

1

neβ=β


346

Donde

LABORATORIO


330

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=


1j






331

332



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333








334



6350 5695 5750 5395 4985 4895










335


4)4w( )9450(46511Z times==

and

85192Z )4w( ==

and


Y X X2 X3 193 1 1 1 226 2 4 8 240 3 9 27 244 4 16 64 260 6 36 216 274 7 49 343 297 8 64 512 350 9 81 729 420 10 100 1000



336



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337




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338


NO NO SEacute












339

RESUMEN


3i3







Y = βo + X1





340

LECTURA



Anoacutenimo 2004

341

ACTIVIDADES



soles) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

193 226 240 244 257 260 274 297 350 420



μββββ ii

34i

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⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

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342


Industria VL W



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LVLog 21

Donde

⎟⎠⎞

⎝ LV




2β




Gasto Total 650 655 665 645 675 710 710 715 718 760


Gasto Total 795 801 821 834 835 850 865 845 880 875


343






Totales 137989 697187 14169 4180237 217970320


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1

+=

)b(Lnb

)b(Lnb)Y(LnY

22

11

=

=

=


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

minus=minus

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⎤⎢⎣

⎡=

374180269141

YX

a X)0097 1(2319Y =b X)0127 8(6740Y =

c X) 124510(1245Y =

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344


COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) COMISIOacuteN

(Y) BIENES

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⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminusminus

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=

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345



X

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350

340

330

320

310





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2

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2

2

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2

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1

neβ=β


346

Donde


331

332



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333








334



6350 5695 5750 5395 4985 4895










335


4)4w( )9450(46511Z times==

and

85192Z )4w( ==

and


Y X X2 X3 193 1 1 1 226 2 4 8 240 3 9 27 244 4 16 64 260 6 36 216 274 7 49 343 297 8 64 512 350 9 81 729 420 10 100 1000



336



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337




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338


NO NO SEacute












339

RESUMEN


3i3







Y = βo + X1





340

LECTURA



Anoacutenimo 2004

341

ACTIVIDADES



soles) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

193 226 240 244 257 260 274 297 350 420



μββββ ii

34i

23i21i + X + X + X + = Y





⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

minus ii XY1

100100

21 ββ

Y 86 79 76 69 65 62 52 51 51 48

X 3 7 12 17 25 35 45 55 70 120

342


Industria VL W



μ+β+β=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ LogWLog

LVLog 21

Donde

⎟⎠⎞

⎝ LV




2β




Gasto Total 650 655 665 645 675 710 710 715 718 760


Gasto Total 795 801 821 834 835 850 865 845 880 875


343






Totales 137989 697187 14169 4180237 217970320


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=

=

=


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⎤⎢⎣

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344


COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) COMISIOacuteN

(Y) BIENES

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⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminusminus

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Y

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2

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1

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Donde

332



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333








334



6350 5695 5750 5395 4985 4895










335


4)4w( )9450(46511Z times==

and

85192Z )4w( ==

and


Y X X2 X3 193 1 1 1 226 2 4 8 240 3 9 27 244 4 16 64 260 6 36 216 274 7 49 343 297 8 64 512 350 9 81 729 420 10 100 1000



336



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XTRASNP 1408717 2418462 5824846 00000X1 -1340488 0741900 -1806831 00000X2 0974348 0053162 1832783 00000




337




X1 -2711448 4268257 -6352588 00014X2 2692362 0353220 7622330 00006



338


NO NO SEacute












339

RESUMEN


3i3







Y = βo + X1





340

LECTURA



Anoacutenimo 2004

341

ACTIVIDADES



soles) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

193 226 240 244 257 260 274 297 350 420



μββββ ii

34i

23i21i + X + X + X + = Y





⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

minus ii XY1

100100

21 ββ

Y 86 79 76 69 65 62 52 51 51 48

X 3 7 12 17 25 35 45 55 70 120

342


Industria VL W



μ+β+β=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ LogWLog

LVLog 21

Donde

⎟⎠⎞

⎝ LV




2β




Gasto Total 650 655 665 645 675 710 710 715 718 760


Gasto Total 795 801 821 834 835 850 865 845 880 875


343






Totales 137989 697187 14169 4180237 217970320


21bbY =


1

+=

)b(Lnb

)b(Lnb)Y(LnY

22

11

=

=

=


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

minus=minus

500000424760800118456220800118456220337034456850

)XX( 1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

374180269141

YX

a X)0097 1(2319Y =b X)0127 8(6740Y =

c X) 124510(1245Y =

d X)1 1(1245Y =

344


COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) 052 05 041 30 051 5 040 35 048 10 039 40 046 15 039 45 044 20 038 55 042 25 037 60



Donde Y )Y(Ln =

)5050Y =

)4570Y =

a X455 100e1245Y =

b X990(

c X )4562(4570Y =








⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminusminus

minus=minus

001529001932300516080019323025072006921720

051608069217200268962)XX( 1

sumsumsum

=

=

=

2240Y

132203YX

72283XY2


345



X

3002001000

Y

350

340

330

320

310





Y ββ=β

a 0

Ha

0Hp

2

2

neβ=β

b 1)(LnHa1)(LnHp

2

2

neβ=β

c 0)(LnHa0)(LnHp

2

2

neβ=β

d 0)(LnHa0)(LnHp

1

1

neβ=β


346

Donde


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333








334



6350 5695 5750 5395 4985 4895










335


4)4w( )9450(46511Z times==

and

85192Z )4w( ==

and


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336



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337




X1 -2711448 4268257 -6352588 00014X2 2692362 0353220 7622330 00006



338


NO NO SEacute












339

RESUMEN


3i3







Y = βo + X1





340

LECTURA



Anoacutenimo 2004

341

ACTIVIDADES



soles) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

193 226 240 244 257 260 274 297 350 420



μββββ ii

34i

23i21i + X + X + X + = Y





⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

minus ii XY1

100100

21 ββ

Y 86 79 76 69 65 62 52 51 51 48

X 3 7 12 17 25 35 45 55 70 120

342


Industria VL W



μ+β+β=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ LogWLog

LVLog 21

Donde

⎟⎠⎞

⎝ LV




2β




Gasto Total 650 655 665 645 675 710 710 715 718 760


Gasto Total 795 801 821 834 835 850 865 845 880 875


343






Totales 137989 697187 14169 4180237 217970320


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1

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)b(Lnb

)b(Lnb)Y(LnY

22

11

=

=

=


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

minus=minus

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)XX( 1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

374180269141

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344


COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) COMISIOacuteN

(Y) BIENES

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Donde Y )Y(Ln =

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)4570Y =

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⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminusminus

minus=minus

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=

=

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132203YX

72283XY2


345



X

3002001000

Y

350

340

330

320

310





Y ββ=β

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Ha

0Hp

2

2

neβ=β

b 1)(LnHa1)(LnHp

2

2

neβ=β

c 0)(LnHa0)(LnHp

2

2

neβ=β

d 0)(LnHa0)(LnHp

1

1

neβ=β


346

Donde








334



6350 5695 5750 5395 4985 4895










335


4)4w( )9450(46511Z times==

and

85192Z )4w( ==

and


Y X X2 X3 193 1 1 1 226 2 4 8 240 3 9 27 244 4 16 64 260 6 36 216 274 7 49 343 297 8 64 512 350 9 81 729 420 10 100 1000



336



X1 6150263 4195559 1465899 00000X2 -1264826 0853580 -1481790 00000X3 0925967 0050693 1826626 00000






XTRASNP 1408717 2418462 5824846 00000X1 -1340488 0741900 -1806831 00000X2 0974348 0053162 1832783 00000




337




X1 -2711448 4268257 -6352588 00014X2 2692362 0353220 7622330 00006



338


NO NO SEacute












339

RESUMEN


3i3







Y = βo + X1





340

LECTURA



Anoacutenimo 2004

341

ACTIVIDADES



soles) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

193 226 240 244 257 260 274 297 350 420



μββββ ii

34i

23i21i + X + X + X + = Y





⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

minus ii XY1

100100

21 ββ

Y 86 79 76 69 65 62 52 51 51 48

X 3 7 12 17 25 35 45 55 70 120

342


Industria VL W



μ+β+β=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ LogWLog

LVLog 21

Donde

⎟⎠⎞

⎝ LV




2β




Gasto Total 650 655 665 645 675 710 710 715 718 760


Gasto Total 795 801 821 834 835 850 865 845 880 875


343






Totales 137989 697187 14169 4180237 217970320


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1

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11

=

=

=


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⎤⎢⎣

⎡minus

minus=minus

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⎤⎢⎣

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374180269141

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344


COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) COMISIOacuteN

(Y) BIENES

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⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminusminus

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345



X

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Y

350

340

330

320

310





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2

neβ=β

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2

neβ=β

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2

neβ=β

d 0)(LnHa0)(LnHp

1

1

neβ=β


346

Donde



6350 5695 5750 5395 4985 4895










335


4)4w( )9450(46511Z times==

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85192Z )4w( ==

and


Y X X2 X3 193 1 1 1 226 2 4 8 240 3 9 27 244 4 16 64 260 6 36 216 274 7 49 343 297 8 64 512 350 9 81 729 420 10 100 1000



336



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337




X1 -2711448 4268257 -6352588 00014X2 2692362 0353220 7622330 00006



338


NO NO SEacute












339

RESUMEN


3i3







Y = βo + X1





340

LECTURA



Anoacutenimo 2004

341

ACTIVIDADES



soles) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

193 226 240 244 257 260 274 297 350 420



μββββ ii

34i

23i21i + X + X + X + = Y





⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

minus ii XY1

100100

21 ββ

Y 86 79 76 69 65 62 52 51 51 48

X 3 7 12 17 25 35 45 55 70 120

342


Industria VL W



μ+β+β=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ LogWLog

LVLog 21

Donde

⎟⎠⎞

⎝ LV




2β




Gasto Total 650 655 665 645 675 710 710 715 718 760


Gasto Total 795 801 821 834 835 850 865 845 880 875


343






Totales 137989 697187 14169 4180237 217970320


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1

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=

=

=


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⎤⎢⎣

⎡minus

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⎤⎢⎣

⎡=

374180269141

YX

a X)0097 1(2319Y =b X)0127 8(6740Y =

c X) 124510(1245Y =

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344


COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) 052 05 041 30 051 5 040 35 048 10 039 40 046 15 039 45 044 20 038 55 042 25 037 60



Donde Y )Y(Ln =

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⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminusminus

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345



X

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340

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310





Y ββ=β

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2

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2

2

neβ=β

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2

2

neβ=β

d 0)(LnHa0)(LnHp

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1

neβ=β


346

Donde


4)4w( )9450(46511Z times==

and

85192Z )4w( ==

and


Y X X2 X3 193 1 1 1 226 2 4 8 240 3 9 27 244 4 16 64 260 6 36 216 274 7 49 343 297 8 64 512 350 9 81 729 420 10 100 1000



336



X1 6150263 4195559 1465899 00000X2 -1264826 0853580 -1481790 00000X3 0925967 0050693 1826626 00000






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337




X1 -2711448 4268257 -6352588 00014X2 2692362 0353220 7622330 00006



338


NO NO SEacute












339

RESUMEN


3i3







Y = βo + X1





340

LECTURA



Anoacutenimo 2004

341

ACTIVIDADES



soles) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

193 226 240 244 257 260 274 297 350 420



μββββ ii

34i

23i21i + X + X + X + = Y





⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

minus ii XY1

100100

21 ββ

Y 86 79 76 69 65 62 52 51 51 48

X 3 7 12 17 25 35 45 55 70 120

342


Industria VL W



μ+β+β=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ LogWLog

LVLog 21

Donde

⎟⎠⎞

⎝ LV




2β




Gasto Total 650 655 665 645 675 710 710 715 718 760


Gasto Total 795 801 821 834 835 850 865 845 880 875


343






Totales 137989 697187 14169 4180237 217970320


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1

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)b(Lnb)Y(LnY

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11

=

=

=


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

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⎤⎢⎣

⎡=

374180269141

YX

a X)0097 1(2319Y =b X)0127 8(6740Y =

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344


COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) 052 05 041 30 051 5 040 35 048 10 039 40 046 15 039 45 044 20 038 55 042 25 037 60



Donde Y )Y(Ln =

)5050Y =

)4570Y =

a X455 100e1245Y =

b X990(

c X )4562(4570Y =








⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminusminus

minus=minus

001529001932300516080019323025072006921720

051608069217200268962)XX( 1

sumsumsum

=

=

=

2240Y

132203YX

72283XY2


345



X

3002001000

Y

350

340

330

320

310





Y ββ=β

a 0

Ha

0Hp

2

2

neβ=β

b 1)(LnHa1)(LnHp

2

2

neβ=β

c 0)(LnHa0)(LnHp

2

2

neβ=β

d 0)(LnHa0)(LnHp

1

1

neβ=β


346

Donde



X1 6150263 4195559 1465899 00000X2 -1264826 0853580 -1481790 00000X3 0925967 0050693 1826626 00000






XTRASNP 1408717 2418462 5824846 00000X1 -1340488 0741900 -1806831 00000X2 0974348 0053162 1832783 00000




337




X1 -2711448 4268257 -6352588 00014X2 2692362 0353220 7622330 00006



338


NO NO SEacute












339

RESUMEN


3i3







Y = βo + X1





340

LECTURA



Anoacutenimo 2004

341

ACTIVIDADES



soles) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

193 226 240 244 257 260 274 297 350 420



μββββ ii

34i

23i21i + X + X + X + = Y





⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

minus ii XY1

100100

21 ββ

Y 86 79 76 69 65 62 52 51 51 48

X 3 7 12 17 25 35 45 55 70 120

342


Industria VL W



μ+β+β=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ LogWLog

LVLog 21

Donde

⎟⎠⎞

⎝ LV




2β




Gasto Total 650 655 665 645 675 710 710 715 718 760


Gasto Total 795 801 821 834 835 850 865 845 880 875


343






Totales 137989 697187 14169 4180237 217970320


21bbY =


1

+=

)b(Lnb

)b(Lnb)Y(LnY

22

11

=

=

=


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

minus=minus

500000424760800118456220800118456220337034456850

)XX( 1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

374180269141

YX

a X)0097 1(2319Y =b X)0127 8(6740Y =

c X) 124510(1245Y =

d X)1 1(1245Y =

344


COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) 052 05 041 30 051 5 040 35 048 10 039 40 046 15 039 45 044 20 038 55 042 25 037 60



Donde Y )Y(Ln =

)5050Y =

)4570Y =

a X455 100e1245Y =

b X990(

c X )4562(4570Y =








⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminusminus

minus=minus

001529001932300516080019323025072006921720

051608069217200268962)XX( 1

sumsumsum

=

=

=

2240Y

132203YX

72283XY2


345



X

3002001000

Y

350

340

330

320

310





Y ββ=β

a 0

Ha

0Hp

2

2

neβ=β

b 1)(LnHa1)(LnHp

2

2

neβ=β

c 0)(LnHa0)(LnHp

2

2

neβ=β

d 0)(LnHa0)(LnHp

1

1

neβ=β


346

Donde




X1 -2711448 4268257 -6352588 00014X2 2692362 0353220 7622330 00006



338


NO NO SEacute












339

RESUMEN


3i3







Y = βo + X1





340

LECTURA



Anoacutenimo 2004

341

ACTIVIDADES



soles) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

193 226 240 244 257 260 274 297 350 420



μββββ ii

34i

23i21i + X + X + X + = Y





⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

minus ii XY1

100100

21 ββ

Y 86 79 76 69 65 62 52 51 51 48

X 3 7 12 17 25 35 45 55 70 120

342


Industria VL W



μ+β+β=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ LogWLog

LVLog 21

Donde

⎟⎠⎞

⎝ LV




2β




Gasto Total 650 655 665 645 675 710 710 715 718 760


Gasto Total 795 801 821 834 835 850 865 845 880 875


343






Totales 137989 697187 14169 4180237 217970320


21bbY =


1

+=

)b(Lnb

)b(Lnb)Y(LnY

22

11

=

=

=


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

minus=minus

500000424760800118456220800118456220337034456850

)XX( 1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

374180269141

YX

a X)0097 1(2319Y =b X)0127 8(6740Y =

c X) 124510(1245Y =

d X)1 1(1245Y =

344


COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) 052 05 041 30 051 5 040 35 048 10 039 40 046 15 039 45 044 20 038 55 042 25 037 60



Donde Y )Y(Ln =

)5050Y =

)4570Y =

a X455 100e1245Y =

b X990(

c X )4562(4570Y =








⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminusminus

minus=minus

001529001932300516080019323025072006921720

051608069217200268962)XX( 1

sumsumsum

=

=

=

2240Y

132203YX

72283XY2


345



X

3002001000

Y

350

340

330

320

310





Y ββ=β

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Ha

0Hp

2

2

neβ=β

b 1)(LnHa1)(LnHp

2

2

neβ=β

c 0)(LnHa0)(LnHp

2

2

neβ=β

d 0)(LnHa0)(LnHp

1

1

neβ=β


346

Donde


NO NO SEacute












339

RESUMEN


3i3







Y = βo + X1





340

LECTURA



Anoacutenimo 2004

341

ACTIVIDADES



soles) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

193 226 240 244 257 260 274 297 350 420



μββββ ii

34i

23i21i + X + X + X + = Y





⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

minus ii XY1

100100

21 ββ

Y 86 79 76 69 65 62 52 51 51 48

X 3 7 12 17 25 35 45 55 70 120

342


Industria VL W



μ+β+β=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ LogWLog

LVLog 21

Donde

⎟⎠⎞

⎝ LV




2β




Gasto Total 650 655 665 645 675 710 710 715 718 760


Gasto Total 795 801 821 834 835 850 865 845 880 875


343






Totales 137989 697187 14169 4180237 217970320


21bbY =


1

+=

)b(Lnb

)b(Lnb)Y(LnY

22

11

=

=

=


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

minus=minus

500000424760800118456220800118456220337034456850

)XX( 1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

374180269141

YX

a X)0097 1(2319Y =b X)0127 8(6740Y =

c X) 124510(1245Y =

d X)1 1(1245Y =

344


COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) 052 05 041 30 051 5 040 35 048 10 039 40 046 15 039 45 044 20 038 55 042 25 037 60



Donde Y )Y(Ln =

)5050Y =

)4570Y =

a X455 100e1245Y =

b X990(

c X )4562(4570Y =








⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminusminus

minus=minus

001529001932300516080019323025072006921720

051608069217200268962)XX( 1

sumsumsum

=

=

=

2240Y

132203YX

72283XY2


345



X

3002001000

Y

350

340

330

320

310





Y ββ=β

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2

2

neβ=β

b 1)(LnHa1)(LnHp

2

2

neβ=β

c 0)(LnHa0)(LnHp

2

2

neβ=β

d 0)(LnHa0)(LnHp

1

1

neβ=β


346

Donde

RESUMEN


3i3







Y = βo + X1





340

LECTURA



Anoacutenimo 2004

341

ACTIVIDADES



soles) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

193 226 240 244 257 260 274 297 350 420



μββββ ii

34i

23i21i + X + X + X + = Y





⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

minus ii XY1

100100

21 ββ

Y 86 79 76 69 65 62 52 51 51 48

X 3 7 12 17 25 35 45 55 70 120

342


Industria VL W



μ+β+β=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ LogWLog

LVLog 21

Donde

⎟⎠⎞

⎝ LV




2β




Gasto Total 650 655 665 645 675 710 710 715 718 760


Gasto Total 795 801 821 834 835 850 865 845 880 875


343






Totales 137989 697187 14169 4180237 217970320


21bbY =


1

+=

)b(Lnb

)b(Lnb)Y(LnY

22

11

=

=

=


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

minus=minus

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)XX( 1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

374180269141

YX

a X)0097 1(2319Y =b X)0127 8(6740Y =

c X) 124510(1245Y =

d X)1 1(1245Y =

344


COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) 052 05 041 30 051 5 040 35 048 10 039 40 046 15 039 45 044 20 038 55 042 25 037 60



Donde Y )Y(Ln =

)5050Y =

)4570Y =

a X455 100e1245Y =

b X990(

c X )4562(4570Y =








⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminusminus

minus=minus

001529001932300516080019323025072006921720

051608069217200268962)XX( 1

sumsumsum

=

=

=

2240Y

132203YX

72283XY2


345



X

3002001000

Y

350

340

330

320

310





Y ββ=β

a 0

Ha

0Hp

2

2

neβ=β

b 1)(LnHa1)(LnHp

2

2

neβ=β

c 0)(LnHa0)(LnHp

2

2

neβ=β

d 0)(LnHa0)(LnHp

1

1

neβ=β


346

Donde

LECTURA



Anoacutenimo 2004

341

ACTIVIDADES



soles) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

193 226 240 244 257 260 274 297 350 420



μββββ ii

34i

23i21i + X + X + X + = Y





⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

minus ii XY1

100100

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Y 86 79 76 69 65 62 52 51 51 48

X 3 7 12 17 25 35 45 55 70 120

342


Industria VL W



μ+β+β=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ LogWLog

LVLog 21

Donde

⎟⎠⎞

⎝ LV




2β




Gasto Total 650 655 665 645 675 710 710 715 718 760


Gasto Total 795 801 821 834 835 850 865 845 880 875


343






Totales 137989 697187 14169 4180237 217970320


21bbY =


1

+=

)b(Lnb

)b(Lnb)Y(LnY

22

11

=

=

=


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

minus=minus

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)XX( 1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

374180269141

YX

a X)0097 1(2319Y =b X)0127 8(6740Y =

c X) 124510(1245Y =

d X)1 1(1245Y =

344


COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) 052 05 041 30 051 5 040 35 048 10 039 40 046 15 039 45 044 20 038 55 042 25 037 60



Donde Y )Y(Ln =

)5050Y =

)4570Y =

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c X )4562(4570Y =








⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminusminus

minus=minus

001529001932300516080019323025072006921720

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=

=

=

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132203YX

72283XY2


345



X

3002001000

Y

350

340

330

320

310





Y ββ=β

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0Hp

2

2

neβ=β

b 1)(LnHa1)(LnHp

2

2

neβ=β

c 0)(LnHa0)(LnHp

2

2

neβ=β

d 0)(LnHa0)(LnHp

1

1

neβ=β


346

Donde

ACTIVIDADES



soles) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

193 226 240 244 257 260 274 297 350 420



μββββ ii

34i

23i21i + X + X + X + = Y





⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

minus ii XY1

100100

21 ββ

Y 86 79 76 69 65 62 52 51 51 48

X 3 7 12 17 25 35 45 55 70 120

342


Industria VL W



μ+β+β=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ LogWLog

LVLog 21

Donde

⎟⎠⎞

⎝ LV




2β




Gasto Total 650 655 665 645 675 710 710 715 718 760


Gasto Total 795 801 821 834 835 850 865 845 880 875


343






Totales 137989 697187 14169 4180237 217970320


21bbY =


1

+=

)b(Lnb

)b(Lnb)Y(LnY

22

11

=

=

=


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

minus=minus

500000424760800118456220800118456220337034456850

)XX( 1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

374180269141

YX

a X)0097 1(2319Y =b X)0127 8(6740Y =

c X) 124510(1245Y =

d X)1 1(1245Y =

344


COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) 052 05 041 30 051 5 040 35 048 10 039 40 046 15 039 45 044 20 038 55 042 25 037 60



Donde Y )Y(Ln =

)5050Y =

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b X990(

c X )4562(4570Y =








⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminusminus

minus=minus

001529001932300516080019323025072006921720

051608069217200268962)XX( 1

sumsumsum

=

=

=

2240Y

132203YX

72283XY2


345



X

3002001000

Y

350

340

330

320

310





Y ββ=β

a 0

Ha

0Hp

2

2

neβ=β

b 1)(LnHa1)(LnHp

2

2

neβ=β

c 0)(LnHa0)(LnHp

2

2

neβ=β

d 0)(LnHa0)(LnHp

1

1

neβ=β


346

Donde


Industria VL W



μ+β+β=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ LogWLog

LVLog 21

Donde

⎟⎠⎞

⎝ LV




2β




Gasto Total 650 655 665 645 675 710 710 715 718 760


Gasto Total 795 801 821 834 835 850 865 845 880 875


343






Totales 137989 697187 14169 4180237 217970320


21bbY =


1

+=

)b(Lnb

)b(Lnb)Y(LnY

22

11

=

=

=


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

minus=minus

500000424760800118456220800118456220337034456850

)XX( 1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

374180269141

YX

a X)0097 1(2319Y =b X)0127 8(6740Y =

c X) 124510(1245Y =

d X)1 1(1245Y =

344


COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) 052 05 041 30 051 5 040 35 048 10 039 40 046 15 039 45 044 20 038 55 042 25 037 60



Donde Y )Y(Ln =

)5050Y =

)4570Y =

a X455 100e1245Y =

b X990(

c X )4562(4570Y =








⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminusminus

minus=minus

001529001932300516080019323025072006921720

051608069217200268962)XX( 1

sumsumsum

=

=

=

2240Y

132203YX

72283XY2


345



X

3002001000

Y

350

340

330

320

310





Y ββ=β

a 0

Ha

0Hp

2

2

neβ=β

b 1)(LnHa1)(LnHp

2

2

neβ=β

c 0)(LnHa0)(LnHp

2

2

neβ=β

d 0)(LnHa0)(LnHp

1

1

neβ=β


346

Donde






Totales 137989 697187 14169 4180237 217970320


21bbY =


1

+=

)b(Lnb

)b(Lnb)Y(LnY

22

11

=

=

=


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

minus=minus

500000424760800118456220800118456220337034456850

)XX( 1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

374180269141

YX

a X)0097 1(2319Y =b X)0127 8(6740Y =

c X) 124510(1245Y =

d X)1 1(1245Y =

344


COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) 052 05 041 30 051 5 040 35 048 10 039 40 046 15 039 45 044 20 038 55 042 25 037 60



Donde Y )Y(Ln =

)5050Y =

)4570Y =

a X455 100e1245Y =

b X990(

c X )4562(4570Y =








⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminusminus

minus=minus

001529001932300516080019323025072006921720

051608069217200268962)XX( 1

sumsumsum

=

=

=

2240Y

132203YX

72283XY2


345



X

3002001000

Y

350

340

330

320

310





Y ββ=β

a 0

Ha

0Hp

2

2

neβ=β

b 1)(LnHa1)(LnHp

2

2

neβ=β

c 0)(LnHa0)(LnHp

2

2

neβ=β

d 0)(LnHa0)(LnHp

1

1

neβ=β


346

Donde


COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) COMISIOacuteN

(Y) BIENES

(X) 052 05 041 30 051 5 040 35 048 10 039 40 046 15 039 45 044 20 038 55 042 25 037 60



Donde Y )Y(Ln =

)5050Y =

)4570Y =

a X455 100e1245Y =

b X990(

c X )4562(4570Y =








⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

minusminusminus

minus=minus

001529001932300516080019323025072006921720

051608069217200268962)XX( 1

sumsumsum

=

=

=

2240Y

132203YX

72283XY2


345



X

3002001000

Y

350

340

330

320

310





Y ββ=β

a 0

Ha

0Hp

2

2

neβ=β

b 1)(LnHa1)(LnHp

2

2

neβ=β

c 0)(LnHa0)(LnHp

2

2

neβ=β

d 0)(LnHa0)(LnHp

1

1

neβ=β


346

Donde



X

3002001000

Y

350

340

330

320

310





Y ββ=β

a 0

Ha

0Hp

2

2

neβ=β

b 1)(LnHa1)(LnHp

2

2

neβ=β

c 0)(LnHa0)(LnHp

2

2

neβ=β

d 0)(LnHa0)(LnHp

1

1

neβ=β


346

Donde

unidad vii: prediccion en modelos no lineales

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