5/24/2012

1

BESARAN STATISTIK

(UKURAN TENGAH DAN UKURAN

DISPERSI)

UKURAN TENGAH

Ukuran tengah → nilai tunggal yang

representatif untuk keseluruhan nilai

data.

Ukuran tendensi sentral → nilainya

cenderung terletak di urutan paling

tengah atau pusat.

Ukuran tengah yang umum digunakan

→ mean, median, modus, kuartil dan

percentil.

5/24/2012

2

MEAN

→ jumlah semua data dibagi banyak data.

Untuk data yang tidak berkelompok:

dengan n adalah banyak data, x adalah

data.

Untuk data yang berkelompok

n: banyak data

xi : titik tengah

interval kelas i

fi : frekuensi titik

kelas i

n

xxxx n

...21

n

i

i

n

i

ii

f

xf

x

1

1

MEDIAN

→ nilai yang berada di tengah dari sekumpulan

data itu setelah diurutkan menurut besarnya.

Untuk data yang tidak berkelompok

→ diurutkan menurut besarnya, kemudian dicari

data yang berada di tengah.

5/24/2012

3

Untuk data yang berkelompok :

md : Median

Lmd : batas bawah interval median

n : banyak data

F : jumlah frekuensi interval-interval

sebelum median

fmd : frekuensi interval median

c : lebar interval

cf

Fn

Lmdmd

md

2

.

MODUS

→ nilai yang paling sering muncul

Untuk data yang tidak berkelompok →dicari

yang paling banyak muncul.

Untuk data yang berkelompok:

Lmo : batas bawah interval modus

a : beda frek. Antara interval modus dgn interval

sebelumnya.

b : beda frek. antara intr. modus dgn intr. Sesudahnya

cba

aLmoModus mo

:

5/24/2012

4

PEMANFAATAN TENDENSI

SENTRAL

Mean : memiliki stabilitas yang besar, dapat

digunakan untuk perhitungan statistik

sselanjutnya. Digunakan pada data distribusi

mendekati normal.

Median : digunakan pada data yang berdistribusi

istimewa, mis: sangat juling atau ada data yang

tidak lengkap.

Modus : alat taksir paling sederhana dalam

keterbatasan waktu, mencari keadaan yang

istimewa, misal: barang yang paling laris, model

yang lagi trend.

QUARTIL

Data diurutkan, dibagi menjadi 4 bagian

→ Q1, Q2, dan Q3.

Pertengahan antara data pertama dengan

data terakhir adalah Q2 (quartil kedua)

atau disebut juga dengan median.

Pertengahan antara data pertama dengan

Q2 adalah Q1 (quartil pertama).

Pertengahan antara Q3 dengan data

terakhir adalah Q3 (quartil ketiga).

5/24/2012

5

Rumus:

x : quartil ke-x

n : banyak data

LQ : batas bawah interval quartil

F : jumlah frekuensi interval-interval sebelum

interval quartil

fQ: frekuensi interval quartil

c : lebar interval

cf

Fxn

LQQ

Qx

4

.

DESIL

→Desil dibentuk dari sekumpulan data

yang telah diurutkan yang dibagi menjadi

10 bagian, sehingga terdapat sembilan

buah desil yaitu D1, D2, D3, …, D9.

D3 = Q1 ; D5 = Q2 ; D7 = Q3

5/24/2012

6

x : desil ke –x

n : banyak data

LD : batas bawah interval desil

F : jumlah frekuensi interval sebelum interval desil

fD : frekuensi interval desil.

c : lebar interval

cf

Fxn

LDD

Dx

10

.

PERSENTIL

→ dibentuk dari sekumpilan data yang telah diurutkan yang dibagi menjadi 100 bagian, sehingga terdapat 99 buah persentil yaitu P1, P2, P3, …, P99.

P25 = Q1 ; P50 = Q2 ; P75 = Q3

5/24/2012

7

x : persentil ke-x

n : banyak data

LP: batas bawah interval persentil

F : jumlah frekuensi interval-interval sebelum interval

persentil

fP : frekuensi interval persentil

c : lebar interval

cf

Fxn

LPP

Px

100

.

147 149 155 157 159 161 164 168 170 173

147 150 155 157 160 162 164 168 170 173

148 150 156 158 160 163 165 169 171 174

149 152 156 158 161 163 165 170 171 174

149 154 156 159 161 163 166 170 172 175

Contoh:

Dari contoh data pada Bab 2:

Hitunglah Mean, Median, Modus, Quartil, Desil dan

persentil data berikut

5/24/2012

8

TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI

Interval

Kelas

Batas Kelas Nilai

Tengah

Frekuensi Frekuensi

Kumulatif

147 – 151 146,5 – 151,5 149 8 8

152 – 156 151,5 – 156,5 154 7 15

157 – 161 156,5 – 161,5 159 11 26

162 – 166 161,5 – 166,5 164 9 35

167 – 171 166,5 – 171,5 169 9 44

172 – 176 171,5 – 176,5 174 6 50

PENEYELESAIAN:

Mean :

Median :

Modus :

2,16150

8060

6991178

6.1749.1699.16411.1597.1548.149

x

05.16111

505.1565.

11

152

50

5.156

md

5.16045.1565.24

45.156

mo

5/24/2012

9

UKURAN PENYEBARAN (DISPERSI)

Perserakan data individual terhadap nilai rata-rata

Data homogen →dispersi kecil

Data heterogen → dispersi besar

Ukuran penyebaran :

Range, variansi dan standar deviasi.

Kegunaan :

• Untuk menentukan apakah suatu nilairata-rata dapat mewakili suatu rangkaiandata.

• Perbandingan terhadap variabilitas data.

• Membantu penggunaan ukuran statistik.

RANGE

beda antara pengamatan terbesar dan terkecildalam kumpulan data.

Kurang baik terutama jika populasi atau sampelbesar.

Range = L – S

L : nilai data terbesar

S : nilai data terkecil

Contoh data:

44 56 60 67 70 80 85 90 99

Range = 99 – 44 = 55.

5/24/2012

10

KERAGAMAN (VARIANSI) DAN SIMPANGAN

(STANDAR DEVIASI)

→ keragaman adalah nilai kuadrat simpangan

setiap data terhadap rataannya dibagi

banyaknya data dikurang 1

→ Simpangan adalah akar positif dari variansi

→ Memperhatikan posisi relatif setiap pengamatan

terhadap nilai tengah gugus data dengan cara

memeriksa simpangan dari nilai tengahnya.

Untuk data yang tidak berkelompok :

data ke-I

rata-rata

: banyak datan

x

x

n

xx

sx

i

n

i

i

:

:

1

)(

)var( 1

2

2

5/24/2012

11

Untuk data berkelompok:

data ke-i

rata-rata

banyak data

frekuensi titik kelas i:

:

:

:

1

)(

)var( 1

2

2

f

n

x

x

n

xxf

sx

i

n

i

i

5/24/2012

12

SOAL:

Carilah mean, median, modus dan simpangan

baku (standar deviasi) data pada tabel distribusi

berikut:

Interval Batas

kelas

Nilai

Tengah

Frek. Frek.

Kumula

tif

119 – 128 118,5-128,5 123,5 4 4

129 – 138 128,5-138,5 133,5 7 11

139 – 148 138,5-148,5 143,5 13 24

149 – 158 148,5-158,5 153,5 9 33

159 – 168 158,5-168,5 163,5 5 38

169 - 178 168,5-178,5 173,5 2 40