Układy cząstek

Środek masy

Środek masy ciała lub układu ciał to punkt, który porusza się tak, jak gdyby była w nim skupiona cała masa układu, a wszystkie siły zewnętrzne były przyłożone w tym punkcie.

Środek masy – dwie cząstki

xSM m1x1 m2x2

m1 m2

m1x1 m2x2

mu

mu – masa układu

Środek masy – n cząstek

xSM m1x1 m2x2 m3x3 ... mn xn

mu

1

mu

mix ii

W 3D:

xSM 1

mu

mix ii

ySM 1

mu

miy ii

zSM 1

mu

mizii

Środek masy – ciała rozciągłe

W 3D:

xSM 1

mu

xdm

ySM 1

mu

ydm

zSM 1

mu

zdm

mu – masa całego ciała

Środek masy nie musi leżeć w obrębie tego układu.

Środek masy a równowaga

Chwiejna

(nietrwała)

Stabilna

(trwała)

Środek masy:

Równowaga:

Lewitacja na krześle

Lewitacja na krześle

Ciało jest w równowadze, gdy jego środek ciężkości (masy) znajduje się nad jego podstawą.

Skok wzwyż

Skok wzwyż techniką Fosbury flop - środek masy przechodzi pod porzeczką

Pęd

Pęd cząstki:

p = mv

II zasada dynamiki:

Szybkość zmian pędu cząstki jest równa wypadkowej sił działających na cząstkę i ma kierunek tej siły.

W jęz. francuskim Quantité de mouvement - ilość ruchu

dt

pdFwyp

Pęd

amdt

vdmvm

dt

d

dt

pdFwyp

)(

Wyrażenia Fwyp = dp/dt i Fwyp = ma są równoważnymi postaciami II zasady dynamiki.

Pęd i popęd

F = p/t

F t = p

zmiana pędu

popęd siły

„Siła pomnożona przez czas jej działania jest równa zmianie pędu”

Zmiana pędu

F t F t

Pęd układu cząstek

Fwyp – wypadkowa sił zewnętrznych działających na układ. Siły działające między składnikami układu cząstek (siły wewnętrzne) nie występują w równaniu.

P = muvŚM

Fwyp = dP/dt = muaŚM II zasady dynamiki:

Pęd układu cząstek:

Zachowanie pędu

Jeżeli układ jest izolowany (nie działają siły zewnętrzne) i zamknięty (cząstki nie przybywają i nie ubywają):

Fwyp = dP/dt = 0 pęd układu się nie zmienia!

P = constInny zapis:

Zasada zachowania pędu:

Ppocz = Pkońc

Jeżeli na układ cząstek nie działają siły zewnętrzne lub ich wypadkowa jest równa zeru, to całkowity pęd P układu nie ulega zmianie.

lub

Zasada zachowania pędu - przykłady

Zderzenia

Zderzenie zachodzi, gdy dwa lub więcej ciał działa na siebie stosunkowo dużymi siłami w stosunkowo krótkim czasie.

Zderzenia sprężyste i niesprężyste

Zderzenie, w którym całkowita energia kinetyczna układu nie zmienia się w wyniku zderzenia, nazywane jest zderzeniem sprężystym.

Zderzenia sprężyste i niesprężyste

Zderzenie, w którym całkowita energia kinetyczna układu nie jest zachowana (zmienia się) w wyniku zderzenia, nazywane jest zderzeniem niesprężystym.

Crash at Crush, 15.09.1896

Zamiana energii kinetycznej na energię termiczną w zderzeniu

niesprężystym

Zderzenia - zachowanie pędu

Jeśli zderzenie zachodzi w układzie zamkniętym (masa nie ulega zmianie) i izolowanym (wypadkowa sił zewnętrznych działająca na ciała w układzie jest równa zeru), to pędy zderzających się ciał mogą się zmieniać, lecz całkowity pęd układu P nie może ulec zmianie, niezależnie czy zderzenie jest sprężyste, czy niesprężyste.

Zderzenia niesprężyste

p1pocz + p2pocz = p1końc + p1końc

m1v1pocz+ m2v2pocz= m1v1końc+ m2v2końc

m1v1pocz = (m1 + m2)V

Zasada zachowania pędu:

Niech przed zderzeniem m2 pozostaje w spoczynku tzn. v2pocz= 0. Wspólną prędkość przylegających do siebie ciał po zderzeniu oznaczmy V.

Wniosek: V < v1poczpoczvmm

mV 1

21

1

Zderzenia sprężyste

p1pocz + p2pocz = p1końc + p2końc

m1v1pocz+ m2v2pocz= m1v1końc+ m2v2końc

Zasada zachowania pędu:

Zachowanie energii kinetycznej:

m1v21pocz+ m2v2

2pocz= m1v21końc+ m2v2

2końc

Zderzenia sprężyste

m1v1pocz= m1v1końc+ m2v2końc

Niech przed zderzeniem m2 pozostaje w spoczynku tzn. v2pocz= 0:

m1v21pocz= m1v2

1końc+ m2v22końc

Rozwiązanie:

poczkońo

poczkońo

vmm

mv

vmm

mmv

121

12

121

211

2

Zderzenia sprężyste

I. Ciała o jednakowych masach:

poczkońo

końo

vv

v

12

1 0

Wniosek: ciała ‘wymieniają’ się prędkościami

II. Ciało m2 ma bardzo dużą masę

poczkońo

poczkońo

vmm

mv

vmm

mmv

121

12

121

211

2

v1konc v1pocz

v2konc 2m1

m2

v1pocz

Wniosek: ciało 1 odbija się, ciało 2 ma małą prędkość

Zderzenia sprężyste

III. Ciało m1 ma bardzo dużą masępoczkońo

poczkońo

vmm

mv

vmm

mmv

121

12

121

211

2

v1konc v1pocz

v2konc 2v1pocz

Wniosek: ciało 1 porusza się do przodu, bez zmiany prędkości, ciało 2 ma 2 razy większą prędkość niż ciało 1