układy równań

www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIR ZADAN Z MATEMATYKI

UKADY RWNANJak sama nazwa wskazuje, ukad rwnan to kilka rwnan wypisanych pod soba. Rozwiaza-nie ukadu rwnan polega na znalezieniu liczb, ktre jednoczesnie speniaja wszystkie danerwnania.

Rozwiazmy ukad rwnan z2 + x y = 6x = y+ 5x3 = 1.

Zauwazmy, ze z ostatniego rwnania wynika, ze x = 1. Podstawiajac te wartoscdo drugiego rwnania mamy y = 4. Na koniec podstawiamy obie wyliczonewartosci do pierwszego rwnania i mamy z2 = 1, czyli z = 1 lub z = 1. Ukadrwnan ma wiec dwa rozwiazania: (x, y, z) = (1,4,1) lub (x, y, z) = (1,4, 1).

Jezeli ukad rwnan nie ma rozwiazan to mwimy, ze jest on sprzeczny, a jezeli ma nieskon-czenie wiele rozwiazan to mwimy, ze ukad jest nieoznaczony.

Kazde z rwnan ukadu {y = x2 + 1y = x2 1

ma oczywiscie rozwiazanie, ale nie ma pary liczb (x, y) speniajacej oba rwnaniajednoczesnie; y nie moze byc jednoczesnie rwne x2 + 1 i x2 1, bo takie zaozenieprowadzi do rwnosci

x2 + 1 = x2 1 2 = 0.Powyzszy ukad jest wiec sprzeczny.

Rozwazmy ukad {x+ z3 = 9y 2z2 = 4

Jezeli z jest dowolna liczba rzeczywista to z rwnan ukadu wyliczamy:{x = 9 z3y = 4+ 2z2.

To oznacza, ze dla dowolnego z R liczby (x, y, z) = (9 z3, 4 + 2z2, z) speniajaten ukad rwnan. Ukad ma wiec nieskonczenie wiele rozwiazan (jest nieoznaczo-ny).

Materia pobrany z serwisu www.zadania.info1


Ukady liniowe dwch rwnan z dwiema niewiadomymi

Najprostszy (nietrywialny) ukad rwnan to ukad dwch rwnan liniowych z dwiemaniewiadomymi. {

a1x+ b1y = c1a2x+ b2y = c2.

Geometrycznie kazde z rwnan jest rwnaniem prostej na paszczyznie, wiec rozwiazaniaukadu rwnan to punkty wsplne dwch prostych opisanych przez rwnania ukadu. Tooznacza, ze taki ukad rwnan moze byc sprzeczny (gdy proste sa rwnolege i rozaczne),moze miec jedno rozwiazanie (gdy proste nie sa rwnolege) lub moze miec nieskonczeniewiele rozwiazan (gdy proste pokrywaja sie).

Rozwiazanie ukadu rwnan {y x = 3y+ x = 1

sprowadza sie do znalezienia punktw wsplnych prostych y = x+ 3 i y = x+ 1.Bardzo atwo jest dosc dokadnie naszkicowac te proste.

-5 -1 +1 +5 x

-5

-1

+1

+5

y

y=x+3 y=-x+1Z obrazka widac, ze proste te przecinaja sie w punkcie (x, y) = (1, 2).

Jezeli naszkicujemy proste odpowiadajace rwnaniom ukadu{2x 4y = 36y 3x = 2

to okaze sie, ze proste te sa rwnolege.

-5 -1 +3 +5 x

-5

-1

+1

+5y 6y-3x=2

2x-4y=3To oznacza, ze ukad rwnan nie ma rozwiazan.



Jest kilka metod rozwiazywania ukadw rwnan liniowych i tym sie teraz zajmiemy.

Metoda podstawiania

W skrcie (dla ukadu dwch rwnan z dwiema niewiadomymi): wyliczamy x lub y z jed-nego z rwnan ukadu i podstawiamy do drugiego rwnania.

Rozwiazmy ukad rwnan {3x+ y = 92y 5x = 7.

Z pierwszego rwnania wyliczamy y = 9 3x i podstawiamy to wyrazenie dodrugiego rwnania.

2(9 3x) 5x = 718 6x 5x = 711 = 11x x = 1.

Mamy zatem y = 9 3x = 6.

Te sama metode mozemy rwniez stosowac w przypadku bardziej skomplikowanych uka-dw: z jednego rwnania ukadu wyliczamy niewiadoma (w zaleznosci od pozostaych nie-wiadomych) i wyliczone wyrazenie podstawiamy do pozostaych rwnan ukadu. W tensposb otrzymujemy do rozwiazania prostszy ukad rwnan (ktry ma jedno rwnanie ijedna niewiadoma mniej).

Rozwiazmy ukad rwnan x+ y+ z = 2x y+ z = 4x+ y z = 2.

Z pierwszego rwnania wyliczamy z = 2 x y i podstawiamy to wyrazenie dodwch pozostaych rwnan.{

x y+ 2 x y = 4x+ y (2 x y) = 2

{2y = 22x+ 2y = 0.

Otrzymujemy stad y = 1 oraz x = y = 1. Liczymy jeszcze z: z = 2 x y = 2.

Metoda przeciwnych wspczynnikw

W przypadku liniowego ukadu dwch rwnan z dwiema niewiadomymi: sprowadzamy(mnozac rwnania ukadu przez liczby) ukad do postaci, w ktrej wspczynniki przy x(lub przy y) rznia sie tylko znakiem. Nastepnie dodajemy rwnania ukadu stronami iotrzymujemy rwnanie z jedna niewiadoma.



Rozwiazmy ukad rwnan {2x+ 3y = 53x+ 4y = 6

Mnozymy pierwsze rwnanie ukadu przez 3, a drugie przez (2) i otrzymujemy{6x+ 9y = 156x 8y = 12

Dodajemy teraz oba rwnania stronami i dostajemy y = 3. Zatem

x =5 3y

2=42

= 2.

Metoda eliminacji Gaussa

Wspomniane wczesniej metody podstawiania i przeciwnych wspczynnikw sa tak na-prawde szkolnym wynalazkiem majacym uatwic uczniom pierwszy kontakt z ukadamirwnan. W praktyce ukady rwnan rozwiazuje sie odejmujac rwnania ukadu stronami.Sposb ten (przy odrobinie wprawy) jest szybszy od wspomnianych wczesniej metod.

Rozwiazmy ukad rwnan {3x+ y = 92y 5x = 7

Aby pozbyc sie y-ka w drugim rwnaniu, od drugiego rwnania odejmujemypierwsze pomnozone przez 2. Otrzymujemy

2y 5x 6x 2y = 7 18 11x = 11 x = 1.

Jezeli porwnacie ten rachunek z tym, ktry wykonalismy (rozwiazujac dokadnieten sam przykad) przy metodzie podstawiania, to nie widac duzej oszczednosci.Oszczednosc jednak jest, bo przy odrobinie wprawy powyzszy rachunek wykonujesie w pamieci, tzn. od razu piszemy, ze wynikiem odejmowania rwnan jest rw-nanie

11x = 11(sprbujcie sprawdzic, ze to rzeczywiscie mozna atwo obliczyc w pamieci!). Wprzypadku metody podstawiania bardzo trudno jest wykonac taki skrt (trudnojest podstawiac w pamieci).

Podobnie postepujemy w przypadku rwnan z wieksza liczba niewiadomych/rwnan: odej-mujac jedno rwnanie (byc moze pomnozone przez liczbe) od wszystkich pozostaych rw-nan ukadu pozbywamy sie w tych rwnaniach jednej niewiadomej. Otrzymujemy w tensposb prostszy ukad, do ktrego stosujemy te sama metode. Konsekwentne stosowanietego algorytmu (ktry nosi nazwe metody eliminacji Gaussa) pozwala rozwiazac kazdyliniowy ukad rwnan.



Rozwiazmy ukad x+ 2y+ z = 32x+ 3y z = 14x+ 4y 2z = 4

Uzywamy pierwszego rwnania do wyeliminowania z-et z dwch pozostaychrwnan: do drugiego rwnania dodajemy pierwsze, a do trzeciego dodajemypierwsze pomnozone przez 2. Otrzymamy wtedy prostszy ukad rwnan{

3x+ 5y = 46x+ 8y = 10.

Teraz, aby pozbyc sie x-a, dodajemy do drugiego rwnania pierwsze pomnozoneprzez (2). Mamy zatem

2y = 2 y = 1.Na koniec obliczamy wartosci pozostaych niewiadomych

3x = 4 5y = 9 x = 3z = 3 x 2y = 3+ 3 2 = 2.

Metoda wyznacznikowa

Wyznacznikowa metoda rozwiazywania ukadw rwnan zostaa usunieta ze szkolnychprogramw nauczania, ale czasem bywa uzyteczna wiec warto wiedziec o jej istnieniu. Wodrznieniu od wczesniej opisanych metod, nie jest to algorytm rozwiazywania ukadurwnan, ale sa to gotowe wzory na rozwiazania.

Wzory sa nastepujace: rozwiazaniem ukadu rwnan{a1x+ b1y = c1a2x+ b2y = c2.

jest para liczb: {x = c1b2c2b1a1b2a2b1y = a1c2a2c1a1b2a2b1 .

Dobrym cwiczeniem jest wyprowadzenie tych wzorw wystarczy rozwiazac powyzszyukad rwnan (z literkami) uzywajac jednej z wczesniej opisanych metod.

Podane wzory maja wady:

sa skomplikowane, wiec trudno je zapamietac; pojawiaja sie mianowniki, wiec czasem nie dziaaja (gdy w mianowniku jest 0).

Aby uporac sie powyzszymi problemami wprowadza sie specjalna notacje.



Liczbe a bc d = ad cb

nazywamy wyznacznikiem stopnia 2 z liczb (a, b, c, d).

Powyzsza definicje nalezy rozumiec nastepujaco: z lewej strony rwnosci jest symbol, ktrydefiniujemy (i nazywamy wyznacznikiem), a z prawej jest przepis jak wyznacznik obliczac.

Np.1 23 4

= 1 4 3 2 = 4 6 = 2.Uzywajac symbolu wyznacznika wzory na rozwiazanie ukadu rwnan mozemy zapisactroche estetyczniej:

x =

c1 b1c2 b2a1 b1a2 b2 , y =

a1 c1a2 c2a1 b1a2 b2 .

Nadal nie jest idealnie, wiec dodatkowo oznaczamy

W =a1 b1a2 b2

, Wx = c1 b1c2 b2 , Wy = a1 c1a2 c2

.Przy tych oznaczeniach wzory na rozwiazania ukadu rwnan pamietamy w postaci:

x =WxW

, y =WyW

.

Oczywiscie powyzsze wzory maja sens tylko dla W 6= 0, a dokadniej

Jezeli W 6= 0 to ukad ma dokadnie jedno rozwiazanie (x, y) =(WxW ,

WyW

).

Jezeli W = 0 oraz Wx =Wy = 0 to ukad ma nieskonczenie wiele rozwiazan. Jezeli W = 0, ale Wx 6= 0 lub Wy 6= 0 to ukad jest sprzeczny.

Rozwiazmy ukad rwnan {2x+ 3y = 53x+ 4y = 6

Liczymy wyznaczniki

W =2 33 4

= 8 9 = 1,Wx =

5 36 4 = 20 18 = 2, Wy = 2 53 6

= 12 15 = 3.Zatem (x, y) =

(WxW ,

WyW

)= (2, 3).



Rozwiazmy ukad rwnan {2x 4y = 33x 6y = 2.

Liczymy wyznaczniki

W =2 43 6

= 12+ 12 = 0,Wx =

3 42 6 = 18+ 8 = 10, Wy = 2 33 2

= 4 9 = 5.Ukad rwnan jest wiec sprzeczny.

Ukady rwnan wielomianowych stopnia 2Ukady stopnia 2 pojawiaja sie dosc naturalnie w zadaniach szkolnych, np. przy szukaniupunktw wsplnych okregw, w zadaniach z ciagiem geometrycznym, czy tez w zadaniachz trescia. Generalna strategia w tego typu rwnaniach to stosowanie podstawiania tak, abyuzyskac rwnanie z jedna niewiadoma.

Rozwiazmy ukad rwnan{(x 3)2 + (y+ 11)2 = 403x+ y+ 2 = 0.

Podstawiamy y = 3x 2 z drugiego rwnania do pierwszego.(x 3)2 + (3x+ 9)2 = 40(x 3)2 + 32(x 3)2 = 4010(x 3)2 = 40x 3 = 2 x 3 = 2.

atwo stad wyznaczyc dwa rozwiazania ukadu: (x, y) = (1,5) lub (x, y) =(5,17).Rozwiazmy ukad rwnan{

(x+ 5)2 + (y 3)2 = 164(x+ 6)2 + (6 2y)2 = 36.

Na pierwszy rzut oka nie widac w jaki sposb podstawic z jednego rwnania dodrugiego, ale sytuacja sie uprosci, gdy podniesiemy wszystkie wyrazenia do kwa-dratu. {

x2 + 10x+ 25+ y2 6y+ 9 = 164x2 + 48x+ 144+ 36 24y+ 4y2 = 36.

Jezeli teraz podzielimy drugie rwnanie przez 4 i odejmiemy pierwsze, to skrcimykwadraty i otrzymamy

2x+ 11 = 7 x = 9.Podstawiamy te wartosc do pierwszego rwnania wyjsciowego ukadu i mamy

16+ (y 3)2 = 16 y = 3.



Ukady symetryczne

Na koniec wspomnimy o bardzo specjalnym typie ukadw rwnan, w ktrych rwna-nia sa wielomianami symetrycznymi, tzn. rwnania nie ulegaja zmianie, gdy zamieniamyniewiadome rolami. Przy rozwiazywaniu tego typu ukadw wygodnie jest korzystac zewzorw Vitea.

Ukad rwnan {x1 + x2 = 7x1x2 = 6

mozemy rozwiazac nastepujaco: na mocy wzorw Vitea rozwiazania tego ukadusa pierwiastkami rwnania x2 7x 6 = 0. Daje nam to dwie pary rozwiazan:(x1, x2) = (1,6) i (x1, x2) = (6, 1).

Opisana metoda moze byc zastosowana do dowolnego ukadu rwnan z dwiema niewia-domymi x1 i x2, w ktrym rwnania sa symetryczne podstawiamy s = x1 + x2, t = x1x2 irozwiazujemy ukad (w jakikolwiek sposb), a na koniec wyliczamy x1 i x2, tak jak to opisa-lismy wyzej.

W ukadzie {x21 + x

22 = 15

x1x2 = 5

podstawiamy s = x1 + x2, t = x1x2 i mamy ukad rwnan{s2 2t = 15t = 5

atwo z tego ukadu wyznaczyc (s, t) = (5, 5) lub (s, t) = (5, 5). Zatem x1 i x2sa pierwiastkami rwnania x2 + 5x+ 5 lub x2 5x+ 5. Daje to nam 4 rozwiazaniawyjsciowego ukadu.

Te sama metode mozemy stosowac w przypadki wiekszej liczby zmiennych, ale potrzebu-jemy wtedy wzorw Vitea dla wielomianw wyzszych stopni.

Na mocy wzorw Vitea liczby speniajace ukad rwnanx+ y+ z = 3xy+ yz+ zx = 2xyz = 6

sa pierwiastkami rwnania

0 = t3 3t2 2t+ 6 = (t 3)(t2 2) = (t 3)(t

2)(t+

2).

Otrzymujemy stad 6 rozwiazan ukadu: (x, y, z) = (2,2, 3) oraz permutacje.



Zadania.info Podoba Ci si ten poradnik?Poka go koleankom i kolegom ze szkoy!TIPS & TRICKS

1

Nalezy pamietac, ze rozwiazaniem ukadu rwnan jest zawsze ukad liczb, a nie same liczby.

Rozwiazaniem ukadu rwnan {x+ y = 2x y = 4

jest para liczb (x, y) = (3,1), a nie liczby {3,1}.

Ukad rwnan {x+ y = 5xy = 6

ma dwa rozwiazania: (x, y) = (2, 3) i (x, y) = (3, 2).

2

Stosujac podstawianie w ukadzie rwnan nie musimy podstawiac za niewiadoma, czasemwygodniej jest podstawiac za bardziej skomplikowane wyrazenie.

Aby rozwiazac ukad rwnan {1+ q+ q2 = 79a

2

a+ aq+ aq2 = 21

podstawiamy za 1+ q+ q2 z pierwszego rwnania do drugiego.

a(1+ q+ q2) = 21

a 79a2 = 21 / 9

7a3 = 27 a = 3.

Teraz z pierwszego rwnania atwo obliczyc, ze q = 2 lub q = 3.



3Odejmowanie rwnan stronami wymaga czasem pewnej gimnastyki (szczeglnie gdy niechcemy otrzymac uamkw).

Rozwiazujac ukad rwnan {2x+ 3y = 53x+ 4y = 6.

mozemy pozbyc sie x-sa z pierwszego rwnia odejmujac drugie rwnanie pomno-zone przez 23 . W ten sposb otrzymamy jednak uamki, co nie jest zbyt przyjem-ne. Zamiast tego zapiszmy rwnosc, ktra otrzymamy mnozac pierwsze rwnanieprzez 3 i odejmujac drugie rwnanie pomnozone przez 2. Oczywiscie x sie wyre-dukuje i zostanie

9y 8y = 15 12,czyli y = 3. Z pierwszego rwnania mamy x = 53y2 = 2.

4Ukad rwnan {

a1x+ b1y = c1a2x+ b2y = c2

ma nieskonczenie wiele rozwiazan dokadnie w jednej sytuacji: gdy jedno rwnanie jestwielokrotnoscia drugiego. Tak jest dokadnie wtedy, gdy odpowiednie wspczynniki w oburwnaniach sa proporcjonalne.

Aby ukad rwnan {2x 3y = 63x+ ()y = 9

mia nieskonczenie wiele rozwiazan, musimy miec.

()3 =

32

() = 92

.

W przypadku wiekszej liczby niewiadomych sytuacja jest bardziej skomplikowana i nie jestatwo goym okiem stwierdzic, ze ukad ma nieskonczenie wiele rozwiazan.

Mozna sprawdzic, ze ukad x+ 2y+ z = 12x+ y+ z = 23x+ 3y+ 2z = 3

ma nieskonczenie wiele rozwiazan, ale zadne z rwnan nie jest wielokrotnosciainnego rwnania.



Jezeli ktos jest spostrzegawczy, to moze zauwazyc, ze w powyzszym przykadzie trzecierwnanie jest suma dwch poprzednich. To wasnie jest przyczyna tego, ze ukad ma nie-skonczenie wiele rozwiazan (trzecie rwnanie jest konsekwencja dwch poprzednich, wiecjest zbedne). Dokadniejsza analiza tego typu sytuacji prowadzi do pojecia liniowej nieza-leznosci rwnan ukadu, ale temat ten wykracza poza ramy tego poradnika.

5Jezeli rozwiazujac ukad rwnan nie korzystalismy ze wszystkich rwnan to musimy nakoniec sprawdzic, czy otrzymane rozwiazanie spenia pozostae rwnania nie zawsze takmusi byc!

Dodajac dwa pierwsze rwnania ukadux+ y = 4x y = 22x y = 2

otrzymujemy 2x = 6, czyli x = 3. Odejmujac te rwnania stronami otrzymujemy2y = 2, czyli y = 1. Liczby te jednak nie speniaja trzeciego rwnania ukadu, wiecukad jest sprzeczny.

6Nalezy pamietac o tym, ze nawet gdy ukad rwnan ma nieskonczenie wiele rozwiazan tonadal wymaga on rozwiazania odpowiedz: ukad ma nieskonczenie wiele rozwiazannie jest kompletna, bo nadal nie wiadomo jakie to sa rozwiazania.

Drugie rwnanie ukadu {2x 3y = 56y 4x = 10

jest wielokrotnoscia pierwszego (ze wspczynnikiem2), wiec ukad ma nieskon-czenie wiele rozwiazan. Aby wyznaczyc te rozwiazania przyjmijmy, ze np. y jestparametrem i wtedy z pierwszego rwnania x = 5+3y2 . Rozwiazaniem ukadu sa

wiec pary (x, y) =(

5+3y2 , y

), gdzie y R.

Ukad rwnan {x y+ 6z w = 3x+ y+ 2z 3w = 5

ma 4 niewiadome, a tylko 2 rwnania. Widac, ze jezeli ustalimy, ze z i w sa parame-trami (czyli maja dowolna wartosc), to x i y mozemy juz jednoznacznie wyliczyc.Aby to zrobic dodajemy rwnania stronami i mamy x = 4 4z + 2w. Gdy odej-miemy od drugiego rwnania pierwsze otrzymamy y = 1 + 2z+ w. Rozwiazaniaukadu rwnan sa wiec postaci

(x, y, z,w) = (4 4z+ 2w, 1+ 2z+ w, z,w), gdzie z,w R.



7

Zwrcmy uwage na to, ze jezeli ukad rwnan ma nieskonczenie wiele rozwiazan, to roz-wiazanie ukadu moze byc zapisane na wiele rznych sposobw.

Rozwiazujac ukad rwnan {x+ 2y = 12x+ 4y = 2

mozemy za parametr przyjac x i wtedy mamy rozwiazanie (x, y) =(x, 1x2

), gdzie

x R. Jezeli natomiast za parametr przyjmiemy y, to mamy (x, y) = (1 2y, y),gdzie y R. Pomimo, ze rozwiazania zdaja sie wygladac inaczej, opisuja dokadnieten sam zbir (prosta x+ 2y = 1).

8

Ukady rwnan to czesty temat zadan konkursowych, czasem potrzeba sporo pomysowo-sci, zeby uporac sie z takimi zadaniami.

Ukad rwnan {x2 + y2 + z2 = 2xy2x+ 3y = 5.

wyglada groznie, ale jest atwy do rozwiazania pierwsze rwnanie mozemy prze-ksztacic do postaci

(x y)2 + z2 = 0.Stad z = 0 oraz x = y. Z drugiego rwnania obliczamy, ze x = y = 1.

Aby rozwiazac ukad rwnanx23 + 3x3x1 + x

21 = 5x1x2

x21 + 3x1x2 + x22 = 5x2x3

x22 + 3x2x3 + x23 = 5x3x1.

dodajemy rwnania ukadu stronami. Otrzymamy wtedy (po przeksztaceniu)

(x1 x2)2 + (x2 x3)2 + (x3 x1)2 = 0.Rozwiazaniem ukadu jest wiec dowolna trjka liczb postaci (x1, x2, x3) = (x, x, x)gdzie x R.

9

Problem rozwiazywania ukadw rwnan przestaje byc schematyczny, gdy mamy pewnedodatkowe zaozenia o niewiadomych.



Wyznaczmy wszystkie liczby naturalne speniajace ukad rwnan{xy = 220

y3 x2 = 222 31.

Szukamy rozwiazan naturalnych, wiec z pierwszego rwnania wiemy, ze x = 2a iy = 2b dla pewnych liczb naturalnych a, b. Podstawiamy te wyrazenia do drugiegorwnania.

23b 22a = 222 3122a(

23b2a 1)= 222 (25 1).

Poniewaz potegi 2-ki dzielace kazda ze stron musza byc takie same, otrzymujemystad a = 11, co kolei daje b = 9.

10

Posugujac sie wyznacznikami nalezy pamietac, ze wazna jest kolejnosc w jakiej wpisujemyliczby do wyznacznika.1 23 4

= 4 6 = 2, ale 2 14 3 = 6 4 = 2.

Wyznaczniki odpowiadajace ukadowi rwnan{3x+ y = 92y 5x = 7

sa rwne

W = 3 15 2

, Wx = 9 17 2 , Wy = 3 95 7

.11

Wzory na wyznaczniki

W =a1 b1a2 b2

, Wx = c1 b1c2 b2 , Wy = a1 c1a2 c2

odpowiadajace ukadowi {

a1x+ b1y = c1a2x+ b2y = c2

pamietamy nastepujaco:

wyznacznik W otrzymujemy przepisujac wspczynniki przy niewiadomych;



wyznaczniki Wx i Wy otrzymujemy zamieniajac w wyznaczniku W wspczynnikiprzy odpowiedniej niewiadomej na wyrazy wolne c1, c2.

Jak zobaczymy w dalszej czesci poradnika, w bardzo podobny sposb stowarzysza sie wy-znaczniki z wiekszymi ukadami rwnan linowych (z wieksza liczba niewiadomych i rw-nan).

12Czytajac poradnik nie nalezy dac sie zwiesc mnogoscia metod rozwiazywania liniowegoukadu dwch rwnan z dwiema niewiadomymi. Tak naprawde sa dwie metody:

odejmowanie rwnan stronami (metoda eliminacji Gaussa); gotowe wzory na rozwiazania (metoda wyznacznikowa).

Jak juz pisaem wczesniej, metody podstawiania i przeciwnych wspczynnikw sa szkol-nym pomysem na agodne wprowadzenie do metody eliminacji Gaussa. Gdy juz nauczymysie odejmowac rwnania stronami, w zasadzie nic wiecej nie jest nam potrzebne.

Zaleta gotowych wzorw na rozwiazania ukadu (metoda wyznacznikowa) jest to, zesa to gotowe wzory na rozwiazania:) podstawiamy do nich liczby i mamy odpowiedz.Wada tych wzorw jest to, ze zazwyczaj atwiej jest rozwiazac ukad rwnan (odejmujacrwnania) niz obliczyc rozwiazania uzywajac tych wzorw.

Aby rozwiazac ukad rwnan {2x+ y = 4x y = 2

dodajemy rwnania stronami i mamy 3x = 6, czyli x = 2. Z drugiego rwnania y =x 2 = 0. Uzycie wyznacznikw w tym przykadzie nie skrcioby rozwiazania.

13Pisalismy juz o wadach metody wyznacznikowej, wiec napiszmy tez o jej zaletach: jest onabardzo wygodna w przypadku ukadw rwnan z parametrem. Przeksztacanie ukadurwnan, w ktrym sa literki jest bardzo niewygodne, a wyznaczniki (nawet z literkami)oblicza sie dosc prosto.

Sprawdzmy dla jakiej wartosci parametru m ukad rwnan{mx+ (m+ 1)y = m2 32x+ (m+ 2)y = 2m

ma dokadnie jedno rozwiazanie.Ukad ma dokadnie jedno rozwiazanie, gdy

0 6=W =m m+ 12 m+ 2

= m2 + 2m 2m 2 = (m2)(m+2),Czyli dla m R \ {2,2}.



14

Przy pierwszym kontakcie z metoda wyznacznikowa rodza sie naturalne watpliwosci o sensdefiniowania symbolu wyznacznika w ogle nie wyjasnilismy skad sie wzia taki pomys.Powd jest taki, ze odpowiedz na to pytanie jest dosc skomplikowana i ma sens dopiero wkontekscie oglnych rwnan liniowych (bez ograniczenia do dwch rwnan i dwch nie-wiadomych). Metoda wyznacznikowa jest szczeglnym przypadkiem wzorw Cramera:

x1 =Wx1W

, x2 =Wx2W

, . . . , xn =WxnW

na rozwiazania ukadu rwnan linowycha11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2. . .an1x1 + an2x2 + + annxn = bn.

Wystepujace w tych wzorach symbole W,Wx1 , . . . ,Wxn sa wyznacznikami stowarzyszonymiz ukadem rwnan w podobny sposb, jak ma to miejsce w przypadku n = 2.

W przypadku n = 3, czyli dla ukadua11x1 + a12x2 + a13x3 = b1a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3.

mamy

W =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33.

,Wx1 =

b1 a12 a13b2 a22 a23b3 a32 a33.

, Wx2 =a11 b1 a13a21 b2 a23a31 b3 a33.

, Wx3 =a11 a12 b1a21 a22 b2a31 a32 b3.

15

Wyznaczniki wymiaru 3 3 obliczamy korzystajac ze wzorua11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33.

=a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 a31a22a13 a21a12a33 a32a23a11.



Np. 1 2 32 3 43 4 5

= 15+ 24+ 24 27 20 16 = 0Obliczanie wyznacznikw wiekszych niz 3 3 jest dosc skomplikowane, wiec nie bedziemyo tym pisac.

16Rozwiazujac zadania z ukadami rwnan warto nauczyc sie sprawnie rysowac proste odpo-wiadajace rwnaniom ukadu. Przypomnijmy, ze prosta postaci

Ax+ By+ C = 0

jest prostopada do wektora [A, B]. Aby narysowac te prosta wystarczy wiec zgadnac jedenpunkt na prostej, a potem przez ten punkt poprowadzic prosta prostopada do wektora[A, B].

Naszkicujmy proste opisane rwnaniami ukadu{3x 2y = 52x+ 5y = 3.

Zgadujemy po jednym punkcie na kazdej z prostych, np.(1,1) na pierwszej i(1, 1) na drugiej. Ponadto pierwsza prosta jest prostopada do wektora [3,2],a druga do [2, 5]. Teraz bez problemu szkicujemy obrazek.

-5 -1 +3 +5 x

-5

-1

+1

+5

y

[2,5]

[3,-2]

2x+5y=3

3x-2y=5

17Dobrze rozumiemy jaka jest interpretacja geometryczna ukadu dwch rwnan liniowych zdwiema niewiadomymi, wiec sprbujmy pjsc krok dalej i wyobrazic sobie jaka jest inter-pretacja geometryczna ukadu trzech rwnan liniowych z trzema niewiadomymi.

Okazuje sie, ze rwnanieAx+ By+ Cz+ D = 0



jest rwnaniem paszczyzny w przestrzeni (prostopadej do wektora [A, B,C]). W takim ra-zie rozwiazania ukadu rwnan

a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3.

opisuja punkty wsplne trzech paszczyzn w przestrzeni. atwo teraz sobie wyobrazic jakiemoga byc zbiory rozwiazan takiego ukadu rwnan.

Jezeli trzy paszczyzny ukadu pokrywaja sie to ukad ma nieskonczenie wiele rozwia-zan (zbir rozwiazan jest paszczyzna).

Jezeli trzy paszczyzny ukadu przecinaja sie wzduz prostej to ukad rwniez ma nie-skonczenie wiele rozwiazan, ale tym razem zbir rozwiazan jest prosta.

Jezeli przynajmniej dwie paszczyzny ukadu sa rwnolege i rozaczne to ukad jestsprzeczny.

Jezeli dwie paszczyzny ukadu przecinaja sie wzduz prostej, a trzecia paszczyznajest rwnolega do tej prostej i z nia rozaczna to ukad jest sprzeczny.

W pozostaych sytuacjach paszczyzny ukadu przecinaja sie w jednym punkcie, wiecukad ma dokadnie jedno rozwiazanie.

Interpretacja geometryczna ma wiele zalet, np. jest z niej jasne, ze jezeli omawia-ny ukad rwnan ma rozwiazanie, to albo jest ono dokadnie jedno, albo jest ichnieskonczenie wiele. W szczeglnosci nie moze miec np. dokadnie 2 rozwiazan.



Paszczyzny odpowiadajace pierwszemu i trzeciemu rwnaniu ukadu3x 2y+ 5z = 42x y+ 2z = 76x+ 4y 10z = 4

sa rwnolege, bo sa prostopade do wektora [3,2, 5] = 12 [6, 4,10]. Nie sa tojednak dwa rwnania tej samej paszczyzny (bo wyrazy wolne sie nie zgadzaja).Ukad jest wiec sprzeczny.

18

Widzielismy przed chwila na przykadzie ukadu trzech rwnan liniowych, ze bardzo wy-godnie jest miec interpretacje geometryczna ukadu rwnan. Jak w takim razie wymyslicinterpretacje geometryczna ukadu n rwnan liniowych?

a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2. . .an1x1 + an2x2 + + annxn = bn

Aby to zrobic definiuje sie przestrzen nwymiarowa Rn. Jak to zrobic? przez analogie:o paszczyznieR2 mozemy myslec jak o zbiorze par (x, y) liczb rzeczywistych, o przestrzenitrjwymiarowej R3 myslimy jak o zbiorze trjek (x, y, z), wiec przestrzen Rn definiujemyjako zbir wszystkich ciagw (x1, x2, . . . , xn) dugosci n. Okazuje sie, ze przy takiej definicji,rwnania powyzszego ukadu opisuja pewne podzbiory przestrzeni Rn (tzw. hiperpasz-czyzny) i mozna myslec o ukadzie w sposb geometryczny (choc oczywiscie wszystko jestbardziej skomplikowane, niz w przypadku n = 2 i n = 3).

Zastanwmy sie jaki zbir w przestrzeni R4 opisuje rwnanie

x+ y+ z+ w = 1.

Zauwazmy, ze za x, y, z mozemy wstawic dowolne liczby, a wtedy w jest jedno-znacznie wyznaczone:

w = 1 x y z.w takim razie o interesujacym nas zbiorze mozemy myslec jak o przestrzeni trjwy-miarowej R3 (czyli zbiorze wszystkich mozliwych trjek (x, y, z)) zawartej w R4.Jezeli na poczatku trudno to wam sobie wyobrazic, to sprbujcie najpierw rozwia-zac to samo cwiczenie dla rwnania x+ y+ z = 1 w przestrzeni R3.



19Nie chcielismy niepotrzebnie formalizowac tresci poradnika, wiec nie zajmowalismy sie de-finicja ukadu rwnan, ale zrobimy to teraz. Przez ukad m rwnan z n niewiadomymirozumiemy ukad postaci

w1(x1, x2, . . . , xn) = 0w2(x1, x2, . . . , xn) = 0. . .wm(x1, x2, . . . , xn) = 0.

gdzie w1,w2, . . . ,wm sa pewnymi wyrazeniami (funkcjami) zaleznymi od zmiennych (nie-wiadomych) x1, x2, . . . , xn. Zeby uniknac niepotrzebnych wyjatkw zakadamy, ze funkcjew1, . . . ,wm nie sa stae, czyli ze w kazdym z rwnan ukadu pojawia sie chociaz jedna nie-wiadoma. Przez rozwiazanie ukadu rwnan rozumiemy ukad liczb (a1, a2, . . . , an), kt-re po podstawieniu do ukadu w miejsce niewiadomych (x1, x2, . . . , xn) zamieniaja rwna-nia ukadu w rwnosci (pomiedzy liczbami), ktre sa prawdziwe. Problem rozwiazywaniaukadu rwnan polega na znalezieniu wszystkich jego rozwiazan.

Powyzsze definicje sa bardzo oglne i szanse na poradzenie sobie z takim ukadem saznikome. Dlatego zazwyczaj ograniczamy sie do bardzo prostych ukadw, czyli do sytuacji,gdy liczby m i n sa mae lub wyrazenia wi bardzo proste.

Jezeli kazda z funkcji wi jest wielomianem liniowym (stopnia 1) to mamy do czynie-nia z liniowym ukadem rwnan. Badaniem tego typu ukadw zajmuje sie dziamatematyki zwany algebra liniowa.

Jezeli kazda z funkcji wi jest wielomianem, to zbir rozwiazan ukadu nazywa siezbiorem algebraicznym. Tego typu ukadami zajmuje sie geometria algebraiczna.

20Ciekawostka: kazdy ukad rwnan mozemy zamienic na jedno rwnanie! Ukad

w1(x1, x2, . . . , xn) = 0w2(x1, x2, . . . , xn) = 0. . .wm(x1, x2, . . . , xn) = 0

jest rwnowazny rwnaniu:

[w1(x1, x2, . . . , xn)]2 + [w2(x1, x2, . . . , xn)]2 + + [wm(x1, x2, . . . , xn)]2 = 0.21

Sprbujmy zrozumiec jak to sie dzieje, ze niektre liniowe ukady rwnan sa sprzeczne, innemaja dokadnie jedno rozwiazanie, a jeszcze inne maja nieskonczenie wiele rozwiazan.

Najprosciej chyba zrozumiec dlaczego ukad rwnan moze byc sprzeczny: tak jest, gdyjedno z rwnan jest sprzeczne z pozostaymi rwnaniami.



Jest jasne, ze dwa pierwsze rwnania ukadu sa sprzeczne.2x 5y+ 2z = 32x 5y+ 2z = 6x y+ 2z = 3.

Poprzedni przykad by bardzo tendencyjny na og sprzecznosc nie jest tak pro-sta do zauwazenia. Patrzac na ukad rwnan

x 2y+ 3z = 22x y+ 2z = 4x+ y z = 3

wcale nie jest atwo zobaczyc, ze jest on sprzeczny. Tak jednak jest, bo dodajacpierwsze i trzecie rwnanie otrzymamy rwnosc

2x y+ 2z = 5,ktra jest sprzeczna z drugim rwnaniem.

Skoro wiemy juz dlaczego ukad moze byc sprzeczny, zajmijmy sie dalej ukadami, ktre ma-ja rozwiazania. Myslac o rozwiazaniach liniowych ukadw rwnan bardzo wygodnie jestmyslec o stopniach swobody. Nie wchodzac w formalne definicje, chodzi o to, ile swobodymaja niewiadome zwiazane rwnaniami ukadu. Przesledzmy to na przykadzie. Zacznijmyod jednego rwnania postaci

3x+ 2y z+ w t = 5.Rwnanie to ma oczywiscie nieskonczenie wiele rozwiazan, ktre beda zalezec od 4 para-metrw, np. rozwiazania mozemy zapisac w postaci

(x, y, z,w, t) = (x, y, z,w, 3x+ 2y z+ w 5), x, y, z,w R.Myslimy o tym w ten sposb: na poczatku mamy 5 niezaleznych zmiennych: x, y, z,w, t (czy-li zmienne maja 5 stopni swobody). Dokadajac jedno rwnanie (napisane powyzej) zmniej-szylismy liczbe stopni swobody do 4 (bo zmienne nie moga juz sie zmieniac niezaleznie sazwiazane rwnaniem).

Zastanwmy sie teraz, co sie dzieje, gdy doozymy kolejne rwnanie, np.{3x+ 2y z+ w t = 53x 5y+ z 2w+ 2t = 6.

Mozliwe sa teraz trzy sytuacje.

a) Doozone rwnanie jest sprzeczne z poprzednim (lub z poprzednimi, jezeli byoby ichwiecej). W takiej sytuacji otrzymujemy sprzeczny ukad rwnan.



b) Doozone rwnanie jest konsekwencja poprzedniego rwnania (rwnan), np. jest iden-tyczne z poprzednim rwnaniem, albo jest suma (ze wspczynnikami) kilku poprzed-nich rwnan. W takiej sytuacji doozone rwnanie jest kompletnie zbedne w oglenie zmienia zbioru rozwiazan.

c) Jezeli nie zachodzi zaden z poprzednich przypadkw to doozone rwnanie ponow-nie zmniejsza liczbe stopni swobody niewiadomych o 1. Myslac o naszym konkretnymprzykadzie: po doozeniu drugiego rwnania zmienne x, y, z,w nie zmieniaja sie juzniezaleznie, mozna (uzywajac tego rwnania) wyliczyc np. w w zaleznosci od x, y, z(podstawiamy t wyliczone w poprzednim kroku i wyznaczmy z rwnania w w zalez-nosci od x, y, z).

Warto dobrze przetrawic te uwage bo jest to jedna z najwazniejszych obserwacji dotycza-cych ukadw rwnan liniowych:

doozenie jednego rwnania (na og) zmniejsza liczbe stopni swobody niewia-domych o 1.

Piszac na og mamy na mysli dwa wspomniane wczesniej wyjatki (gdy dopisane rw-nanie jest sprzeczne, lub zalezne z poprzednimi). Kontynuujac nasz przykad spodziewamysie, ze po doozeniu kolejnego rwnania zmniejszymy liczbe stopni swobody do 2, potemdo 1, i wreszcie, gdy bedzie 5 rwnan do 0. Zero stopni swobody oznacza, ze ukad madokadnie jedno rozwiazanie (w rozwiazaniu nie ma parametrw).

Bogatsi o powyzszy wywd, zastanwmy sie jak moze wygladac rozwiazanie uka-du rwnan

3x+ 2y z+ w t = 53x 5y+ z 2w+ 2t = 6x+ 2y z+ 3w t = 12x 2y+ 2z+ w t = 2x y+ z 2w+ 2t = 3.

Sa trzy mozliwosci.Jezeli jedno z rwnan jest sprzeczne z pozostaymi to ukad jest sprzeczny.Jezeli zadne z rwnan nie jest zalezne od pozostaych (nie jest ich konsekwencja) toukad ma dokadnie jedno rozwiazanie.Jezeli wreszcie niektre rwnania sa zbedne to ukad bedzie mia nieskonczeniewiele rozwiazan. Od ilu parametrw beda zalezay te rozwiazania? to zalezy odtego, ile rwnan jest zbednych. Jezeli mozna usunac jedno rwnanie, to w rozwia-zaniu bedzie jeden parametr, jezeli dwa, to rozwiazaniu beda dwa parametry itd.

Dokadniejsza analiza opisanej sytuacji prowadzi do waznego twierdzenia algebry liniowej,tw. Kroneckera-Cappellego.

Jezeli ukad rwnan liniowych z n niewiadomymi ma rozwiazanie, to zalezy onood n k parametrw, gdzie k oznacza liczbe niezaleznych rwnan ukadu.


układy równań

Documents