IL NII()V~) ( ' IMENT() V¢)L. XV, N. 5 1" .~larz,) 191;o

Uber die Mannigfaltigkeit der interpolierenden Felder zu einer kausalen S-Matrix.

t t . - J . BORCHEaS

Insiilut ]fir Theoreiische PJlysik der Universit(~t - Hamburg

(ricevuto il 21 Dicembre 1959)

Summary . - - Local commutat ivi ty of different fields is shown to be a transitive property of fields. A criterion is derived which permits to decide whether two local fields are interpolating fields to the same S-Matrix or not. I t is shown that there exist more than one interpolating field to a given causal S-Matrix.

1. - E i n l e i t u n g .

Man n e n n t eine S - ~ a t r i x kausa l (1), w e n n zu den f re ien Fe lde rn A,n(x)

u n d Ao,t(x ) ein lokales, in te rpo l ie rendes :Feld A ( x ) exis t ie r t , welches a s y m p t o - t i sch in Ain(x ) bzw. in Ao~t(x ) f ibergeht (2). D a die F r a g e nach der E x i s t e n z einer n i ch t t r iv ia len S - ~ a t r i x bis j e t z t n o c h u n g e k l g r t ist~ wi rd es y o n I n t e r e s s e

sein, sich fiber die ~Sannigfal t igkei t der i n t e rpo l i e renden Fe lde r einer S - ~ a t r i x K la rhe i t zu verschaffen. D a b e i wi rd die E x i s t e n z einer k a u s a l e n S -Mat r ix u n d

d a m i t auch die E x i s t e n z m i n d e n s t e n s eines lokalen, i n t e rpo l i e renden Fe ldes

vo rausgese t z t . Es wi rd zun~chs t ein K r i t e r i a m daft ir angegeben, w a n n zwei lokale F e l d e r

zm" gleichen S - ~ a t r i x gehSren. D a n n wi rd cine K las sene in t e i l ung der m5g l i chen

in te rpo l ie renden Fe lder vorgenommen~ w o z u m a n die T r a n s i t i v i t ~ t der L o k a - l i te r beweisen muB. Es wi rd gezeigt~ dai~ jede Klasse aus u n t e r e i n a n d e r loka l

v e r t a u s c h b a r e n Fe lde rn bes teh t , u n d d u r c h explizi te K o n s t r u k t i o n beweis t m a n

(1) Siehe hierzu H. LEHMANN, K. SYMANrZIK und W. ZIMMERMANN: Nuovo Cimento, 6, 319 (1957).

(~) Zur Formulierung der Asymptotenbedingung vergl. H. L~HM*NS, K. SYMA~Z~K und W. ZIMMERMANN: NUOVO Cimento, 1, 425 (1955), zum Beweis derselben 1. c. (8).

()BEI¢ DIE MANNIGFALTIGKEIT I)ER INTF~RPOLIEREN1)EN FELI)EI~ US~V. ' 7 ~

welter, dab jede Klasse mehrere Felder als E lemente enthi~lt. Ungekl~rt bleibt dagegen, ob wirklich mehrere Kl~ssen zu einer kaus~len S-1Vfutrix existieren, oder ob schon eine Kl~sse die Ges~mthei t aller loknlen, in terpol ierenden Felder erseh6pft.

Zur Vereinfachung des Problems be t rach ten wir den Fal l neutraler , selbst- weehselwirkender Felder ohne gebundene Zust~nde, die dureh hermit isehe Ope- rutoren A ( x ) , .B(x), ... besehrieben werden. Wei ter wird angenommen, dab die Felder bei inhomogenen Loren tz t ransform~t ionen invar ian t sind:

V(L)A(x) U-'(L) = A(Lx) .

Die unitfixen Opera toren U(L) sollen ffir slle Felder A ( x ) , B ( x ) , ... die glei- chen sein. Dus Energie- und ~¢Iassenspektrum soU nicht negat iv sein, letzteres soil abgesehen yore Vakuumzus tand den diskreten Eigenwer t m u n d konti- nuierliche Eigenwerte von 2m bis c~ besitzen. Wei ter sollen die Felder loknl

sein

[A(x) , A(y)] : 0 fiir x - - y raumurt ig ,

(1) [B(x), B(y)] : 0

und asymptot ische Felder besitzen (s)

(2)

mit

A,.(x) A(x) + f /l~(x -- x')j~(x') dx'

Bin(X ) = B(x) -~JAr(Z- xr)jB(X ') d x ' ?

jA(x) = ( 5 ~ - - m ~ ) A ( x ) •

Die uuslaufenden Felder werden entsprechend mi t der uvancier ten Funkt.ion definiert. Schliei31ich wird angenommen, dai~ die einlaufenden Felder voll- st~ndig sind.

2 . - T r a n s i t i v i t ~ t d e r L o k a l i t i t t .

Wir beginnen zun~ehst mi t eigenen Vorbemerkungen zum TCP-Opera tor O Sei O ~ ein ~ntiunit~rer Operator mi t der :Eigenseh~ft

(3) O ' A ( x ) 0 r-~ = A ( - - x) ,

(a) Die Gleichungen (2) sind in Sinne schwacher Konvergenz zu verstehen.

- ]86 ] I . J . B O R C I I E R S

wobei A(x) ein vollstgndiges hermitisches Fe ld is~ so folgt dttrch ~terat ion yon (3):

O ' O ' = ;t mi t l ~ l = 1.

Aus

0 ' 0 ' 0 ' = ( 0 ' 0 ' ) O ' = a O '

0 ' ( 0 ' 0 ' ) = ~*0 '

folgt ~ = ± 1. l%rder t man, da~ O' den Vakuumzus t and in ein Vielfaches des Vakuumzustandes iiberffihrt~ und dab der Vakuumzus t and nicht e n t a r t e t ist, so erkennt man, dal~ ~ = 1 als einzige ~Sgl ichkei t naehbleibt~ also:

(4) 0 ' 0 ' = 1 .

Sind nun 0 ' 1 und 0 ' 2 zwei ant iuni t~re Opera toren mi t der Eigenschaf t (3), so folgt in analoger Schlul~weise:

0 ; 0 ; = 2 , 0 : 0 ; = 2" mi t l a [ = 1.

Dm'ch die Forderung (3) ist der Opera tor O' also bis auf einen Phasen- fak tor eindeutig du tch das l%ld A(x) bestimmt~ den TCP-Opera tor O erh~lt man du tch Wahl der Phase~ und zwar derart~ dab O den V a k u u m z u s t a n d

reproduzier t :

(5) O ~ = ~ .

O ist also durch A(x) eindeutig bes t immt . Transformier t man Gleichung (2) mi t O, so erhglt man wegen A , ( x - x ' ) =

= 3 ~ ( x ' - - x)

(6) OA,=(x) 0 = Ao,,(-- x) .

Analog den obigen ?Sberlegungen folgt aus der Vollst~ndigkeit der ein- laufenden bzw. auslaufenden Felder~ dal~ der TCP-Opera tor auch eindeut ig durch die asymptot i schen Felder Ai~(x ) und Aout(x) festgelegt ist.

~-otwendig und hinreichend fiir die Exis tenz eines TCP-Opera tors O ist nach 1~. J o s e (4) die schwache Lokaliti~t. Unte r e inem schwach lokalen Fe ld ver- stehen wir ein Feld~ dessert zugehSrige W i g h t m a n - F u n k t i o n e n (5) in re : l ien

(4) R. JosT: Helv. Phys. Acta, 30, 409 (1957). (5) l~ber die analytischen Eigenschaften dieser Funktionen siehe A. S. WIGHTMAN:

Phys. Rev., 101, 860 (1956).

UBER D i E M A N N I G F A L T I G K E I T DER I N T E R P O L I E R E N D E N FIELDER USW. 787

Regular i t~tspunkten (5 die Symmetrie

(7) ( ~ , _4(x,) A(x~) ... a ( x , ) ~9) = (~ , A ( x , ) ... _4(x~) A fx , ) ~ )

besitzen. Sin4 mehrere Felder vorhunden, so ist notwendig und hinreichen4 fiir die Existenz eines gemeins~men TCP-Oper~tors such wieder die schwache Lokaliti~t aller Felder unterein~nder, d.h.

(7") (tg, n (x l )B(x~) . . . ¢ (x~)Q) = (~ , ¢(x~) ... B(x, )z t (xJ~9)

gilt ffir die reellen l~egul~rit~tspunkte der Wightm~n-Funkt ionen. Je t z t untersuchen wir die Tr~nsitivit~tseigensch~ften der Lokali t~t , und

zwar zeigen wir:

I. I s t A(x) schwach lokal und vollstgndig, und gilt

(~2, A(xl) ... A(x,_:)B(x~)A(x~+:) .. A(x.)a9) =

= (f2, A(x.) ... A(x,+:)B(x~)A(x,_l) ... A(x~)~2)

I I .

I I I .

ffir alle i und n, (i ~ n ) in den reellen l~egulari t~tspunkten, so ist

a) B(x) ein schw~ch lokules Feld, und

b) A(x) und B(x) sind untereinunder schwach lok~l.

Sind A(x), B(x), C(x) schwach lokal, ist A(x) vollsti~ndig und A(x) mit B(x), sowie A(x) mit C(x) schwach lokul, so ist such B(x) mit C(x) schwach lok~l.

I s t A(x) lokal (im Sinne yon G1. (1)) und vollst~ndig, und gilt

[~t(x), B(y)] = 0 fiir x - - y r~umurtig,

so ist B(x) ein loknles Feld.

IV. Is t A(x) lokul und vollst~ndig, sind B(x), C(x) lokal und gilt

so gilt auch

[A(x), B(y)] = [A(x), C(y)] = 0

[B(x), ¢(x)] = 0

fiir x - - y ruumart ig,

ffir x - - y raumurt ig.

(4) Reelle Regularit~tspunkte sind immer total raumurtige Punkte. Die Umkehrung gilt ffir lokale Felder. Siehe D. RUELLE: Helv. Phys. Acta, 32, 135 (1959).

7 8 8 l l , J . BORCHERS

Zum Beweise yon I. gehen wir aus yon der Gleichung

(8) ( o T , o ~ , ( ~ ) o o ~ ) = (~, B(x)q~)* = (¢ , ~ ( x ) T )

wobei 0 der zum Felde A(x ) geh6rige TCP-Operutor ist Mit

T = y . f d x ~ ... dx~/~(x~ ... x~) A (x~) ... A ( x ~ ) t 2 ) k d

(I) = ~ f dx~ ... dx~gt(xl ... xt) A (x l ) ... A (xt)Y2) z d

x , O ~ = dxt ... d kJk (xt ... x k ) A ( - - x l ) ... A ( - - x k ) D )

O q 5 - ~ . f a x ~ . . . * x ... dx~g~( t . . . x ~ ) A ( - - x J A . ( - - x t )D) ~ d

folgt andererseits aus dem TCP-Theorem a n d den Voraussetzungen yon I . :

(9) £

(¢, B ( z ) T ) - ~ J h ( x l ... * x~)g, (Yl ... yz)"

• (f2, A ( y , ) ... A ( y J B ( z ) A (x~) ... A(xD.(2) dx~ ... dxk dy~ ... dy~,

~k l / ] 2 ,,. = ~ (x~ . . . , ~)g~*(y~ Y 3 "

• (.(2, A ( - - x k ) ... A ( - - x J B ( - - z ) A ( - - y ~ ) ... A ( - - y z ) [2 ) dx~ ... dxkdy~ ... d y e ,

(¢, B(z)~) = ( 0 ~ , B(--z) 0 ~ ) .

Ein Vergleich yon (8) mi t (9) l iefert

(10) O B ( x ) O = B ( - - x) ,

d.h., zum Felde B(x) exist iert ein TCP-Oper~tor , und dieser ist mi t dem TCP-Opera tor des Yeldes A ( x ) identisch. Auf Grand des TCP-Theorem is t diese Aussage zur Behaup tung I. ~quivalent.

I I . ist sehr einfach~ d~ auf Grund des TCP-Theorems aus den Voraussetz- ungen folgt~ daI~ sowohl A ( x ) und B(x) als auch A ( x ) und C(x) einen gemein- samen TCP-Opera tor besitzen. D~ nan A(x) vollsti~ndig ist, ist dieser Ope- ra to r eindeutig~ also haben auch B(x) und C(x) einen gemeinsamen TCP-Ope- rator . Eine erneute Anwendung des TCP-Theorems l iefert I I .

Um I I I . zu beweisen~ stellen wir zun~chst fest~ d~l~ die Felder A ( x ) und B(x) die Vor~ussetzungen yon I. erfiillen und somit schwach lokal sind. D~

U B E R D I E M A N N I G F A L T I G K E I T D E R I N T E R P O L I E R E N D E N F E I , I ) E R U S ~ V . 789

nun A(x ) lokul ist und A ( x ) mit B(y) fiir r aumar t ige Abst~nde ver tauscht , gilt ffir die reellen l~eguluriti~tspunkte der Wigh tman-Funk t ionen :

(11) ([2, A (xd . . . A ( x d B ( y d B(y.,) A (x~+J... A(xn) 12) =

= (12, A(x~) ... A ( x , + ~ ) B ( y ~ ) B ( y J A ( x J ... A(xd12} =

= (12, A ( x J ... A ( x J B ( y ~ ) B ( y J A ( x ~ ~) ... A ( x , ) 12).

Hieraus l~13t sich die Lokah t~ t yon B(x) erschliel~en. Wir ffihren den Be- weis jedoch gemeinsam mi t dem analogen Beweis y o n IV.

Zun~chst folgt aus den Voraussetzungen yon IV., dal3 nach I L A(x) , B(x ) und C(x) unte re inander schwach lokal sind. Da nun A ( x ) lokal ist u n d mi t B(y) u n d C(y) ffir raumar t ige Abst~nde ver~auscht, gfl~ ffir die reellen l~egu- l a r i t ~ s p u n k t e der Wigh tman-Funk t ionen :

(12) (12, A(x~) ... A ( x J B(y~) C(y~)A(x~+~) ... A ( x , ) ~ ) =

= (12, (Ax , ) ... A(x~+J C(y~)B(y~)A(x,) ... A ( x J ~ ) =

= (12, A ( x 0 ... A(x~) C(y~)B(y~)A(x,+~) ... A ( x , ) ~ ) .

Die Gleichung (11) erhulten wir aus (12), indem wir C(y~)= B(y~) setzen. Ebenso erh~lt man den zweiten Tell des Beweises yon I~I. aus dem Folgenden du tch die gleiche Ersetzung.

Bek~nnt l ich sind die ~¥ightman-Funkt ionen (~)

(13) W(~)(x~--x2, ..., x~ - - y l , y~--y~, y~--x~+~, ..., x , _ ~ - - x . )

= (12, A(x l ) ... A(x~)B(yO C(y:)A(x,e~) ... A ( x , ) ~ ) :

ICandwerte an~lytischer Funk t ionen

• ! . . !

IV<1)(~1, ..., ~ , V, ~+1, ..., ~n) = lim W(1)(~÷,~t , ..., ~ + ~ ' , ..., ~ . + ~ . ) .

In an~loger Weise ist auch

(13')

= (12, A ( x , ) . . . C(y~)B(yl) . . . A ( x . ) 1 2 ) .

l ~ n d w e r t einer an~lyt isehen Funk t ion . D~raus folgt, dal3

F(~; ~ ... ~,) = W,~,(~ ... ~ , ~, ~+~ ... ~.) - - W ( ~ ( ~ , ..., ~ , ÷ ~ , - - v , ~ + ~ + ~ , ..., ~ )

790 n . J . BORCtIERS

bei festem ~ auch Randwer t einer analyt ischen F u n k t i o n

. . . , r +

~ e L

ist. W~hlen wir nun ~ raumartig~ so gilt fiir die to ta l r aumar t igen P u n k t e (6) aUer x und y:

also:

w ( , ( $ , ... $~, v , ~÷~ ... $~) = w(~)($, ... ~ , + v , - - v , $ , + , + v , ...7 $~) ,

F(v ; ~ . . . $,~) = 0 .

Ebenso verschwindet such der Randwer t yon /~*(~; ~--i~ '~, ..., ~--i~¼) in in den gleichen Punk ten . ~ c h dem ~ Edge of the Wedge ~)-Theorem (7) folgt, dab F(V; ~1 ... $~) in diesen P u n k t e n regular ist~ und also dor t verschwindet . Daraus folgt, da~ die ganze analyt ische ~unk t ion versehwindet~ a n d somi~ auch ihre Randwert% d.h.:

W(1)(~1 ... ~ , ~, ~+~ ... $~) = W(2)($1--., ~ + ~ , - - ~ , $~+1-~, ... ~,) ffir ,t raumar t ig .

Wegen der Volisti~ndigkeit des Feldes A ( x ) folgt daraus nach (13) u n d (13')

[B(y,), C(y2)] = 0 fttr Yl--Y2 raumar t ig ,

und mi t der Erse tzung C, (y2 ) : B(y~)

[B(yl), B(y2)] = 0 ffir Y l - Y2 ruumar t ig .

Dami t ist IV. bzw. I I I . bewiesen.

3. - ~)ber die Mannigfaltigkeit der interpolierenden Felder einer SMatr ix .

Wir wollen je tz t die interpolierender Felder zu einer vorgegebenen kausa len S-~¢Iatrix untersuchen. Da die S-~Vfatrix kausal ist~ exist ier t also mindes tens

ein lokales interpolierendes Feld. Zun~chst fragen wir nach einem Kriterium~ welches zu entscheiden ge-

stattet~ ob ein weiteres vorgelegtes Fe ld die gleiche S-~¢[atrix in terpol ier t oder

nicht. Dazu zeigen wir:

(7) F. J. DYsoN: Phys. Rev., 110. 579 (1958), siehe dort auch weitere Hinweise.

UBER DIE MANNIGFALTIGKI~IT DE]~ INT]~RPOLIEI~]~NDEN FELl)E14 -tJS~V. 7 9 I

V. Sind A(x) und B(x) zwei lokale Felder, nnd ist

&,, (x ) = B A x ) ,

so ist die schwache Lokal i t~ t yon A(x) mit B(x) notwendig u n d hin- re ichend d~fiir~ dat~ beide Felder interpol ierende Felder zt~r gleichen S - ~ a t r i x sind.

Zum Beweise yon V. nehmen wir zun~chst an, da$ A(x) und B(x) schwach lokal sind; dann besitzen nach dem TCP-Theorem beide Felder den gleichen TCP-Opera tor O. Da nun OA~.(x) 0 = Ao.~(--x) und OBi.(x) O= Bo~(-- x) ist~ folgt aus A~=(x)= B~.(x) auch

Ao:,~ (x) = Bo~JX) ,

und somit die Gleichheit der S -~a t r i zen . Sind nun andererseits A(x) und B(x) interpol ierende Felder zur gleichen

S-Matrix, so ist mi t Ain(x ) = Bin(x ) auch Aout(x)= Bo.t(x ). D~ A(x) und B(x) lokale Felder sind, exist ieren die TCP-Oper~toren O~ u n d 0 B, Diese sind aber eindeutig durch die ein- und auslaufenden Felder bes t immt. Da diese aber fibereinstimmen, sind auch die beiden TCP-Opera toren O~ und 0 B identisch. ~ach dem TCP-Theorem folgt daraus, dad A(x) und B(x) schw~ch ~¢ertausch-

bar sind. Auf Grund der in IV. bewiesenen Tr~nsi t iv i t~t der Lokal i t~ t bilden jeweils

die mi te inander s tark ver tauschbaren Felder in der ~ e n g e der lokalen~ inter- polierenden Felder einer S-Matrix eine Klasse. Wie sich zeigen l~13t~ sind alle mi te inander s tark ver tauschbaren Felder ~[itglieder einer Klasse, ohne dab man d~bei die ]~dentit~t der ~symptot ischen Felder voraussetzen mu~. Dabei ist allerdings eine Einschr~nkung zu machen, ist A(x) mit B(x) lokal ver tausch- bar, so ist entweder B(x) oder - - B(x) mit A(x) in einer K]asse. Zum Beweise

zeigen wit :

VI. Sind A(x), B(x) lokal, A(x) vollst~ndig, gilt

[A(x), B(y)] ~- 0 iiir x - - y raumartig~

und haben A(x) und B(x) asymptot i sche Felder zur gleichen ~¢[asse~

so ist Bin(x)= ± A~.(x).

Den Beweis yon VI. f i ihren wir nach der )/[ethode von W. Z I ~ E R ~ A ~ (s).

(s) W . Z I M M E R M A N N : NUOVO Cimento, 10, 597 (1958).

~!):~ 11, J . I~()I~( ' I II~R: ~

l )azu gchcn wit "ms yon der ]:dentit~t (9~0):

Dabe i ist ]~(x) ein vollst~ndiges Or thogona [ sys t em m i t pos i t iven F requenzen der LSsungen ( O ~ - - m ) / ( x ) ~ - O . Fi ihren wir eine Tntegra t ion auf der l inken Seite yon (14) aus, so erhul ten wir mi t t t i l fe des Green ' schen Satzes:

- - i y /~ (y )K~T A ( x ) B ( y ) - - - - ~ , ],(y) : , /

-- A ( x ) B , ~ - - B£t ~A(x) m i t

@(x) ~](x) / ( x ) g ( x ) = .

Fiihren wir die In t eg ra t i on fiber x in gleicher Weise ~us, so erh~l ten wir:

(" ~ f * _ + ~ - J d. dy ].(x) ]~(y) K~ K~ T A ( x ) B(y) = Bo-.L~Ao+t , , -- Bo.t ~A~,,.--Aou~. B~,,~ + A~+.. B,-.t~.

Fiir das In t eg ra l auf der rech ten Seite yon (14) e rha l ten wir en t sprechend:

f,,f - - A + B - A + i ~ - ~ ) - + - + d dx ]*(x) ]e(Y)K~K~ T A ( x ) B(y) -- o,t . . . . ,,~--~o°, ~ ~,~,~--,,out~ A,o~, + B~nz A,n :,.

Ein Vergleich der beiden In tegra le l iefert :

Mit den entsprechenden Gleichungen zwischen Bo+~ und Ao+.~ usw. folgt i~ in

wegen der Vollst~ndigkeit des Sys tems ~(x)

(15) [A,~(x), B,~(y)] = [Ao~(x) , Bo~(y)].

(9) Zum Beweis der Identitiiten (14) und (16) siehe W. ZIMMEI~MANN. Order of integrations in reduetio~ formulae, unverSffentlichtes 5lanuskript.

(lo) Die Gleichungen (14) und (16) sind im Sinne schwacher Konvergenz zu lesen.

U B E R D I E M A N N I G F A L T I G K E I T D E R I N T E R P O L I E R E N D E : N " F E L D E R U S W ,

Zum weiteren Beweis gehen wir aus yon tier Iden t i t~ t

X * (16) f d f dy]~(x) /z(y)K~K~ TA(x)B(y)A(z) ~-

die mit Hilfe des Green'schen Satzes

ergibt.

793

= f dy f dx ]*(x) ]~(y ) K~ h~ TA (x) B(y) A (z) ,

A + ~ A + ,

Zusammen mit (15) erhi~lt man:

A +

1Vfit den entsprechenden Gleichungen ffir A ±~ und B ~ finder man:

(17) [[A,.(x), Bi~(y)] , A(z)] ---- 0 .

Wegen der Vollstgndigkeit des Feldes A(z) erh~tlt man, dab der K o m m u t a t o r der beiden einl~ufenden Felder eine c-Zahl ist:

[A~n(x), Bin(y)] = (/2, lAin(x), Bin(y)]/2 ) -~ F ( y - x) .

Da nun A(x) und B(x) einen gemeinsamen TCP-Operator haben, folgt zu- sammen mit (16):

- - F ( x - y) = (K2, [(BIo(Y), A~(x)]f2) : (K2, [At.(x), B~(y)] 2 )* =

---- ( 0 ~ , 0 [A,~(x), Bi .(y)]~ ) : ( 2 , [Ao~t(--x), Bo.t(--y)].Q ) =

= (f2, [A~n(--x), B,~(--y)]f2) - - - - F ( - - x + y ) ;

d.h., F(x--y) mut] ffir raumart ige (x--y) verschwinden, und somit ist:

(lAb.(x), B~dy)]f2) : ) 1 ~(x - - y) .

Aus der t termit iz i t~t der Felder folgt 2" = 2 al-:o ~-~ 4-1. .&us

lAin(x), Bin(y)] : ::~ :1~ A(x- -y ) .

51 - I I Nuovo Cimento.

794 ]i. J. I~OffCIIERS

folgt nun aber BAx) =±AAx).

Z u m AbschluB wollen wit an e inem Beispiel zoigen, dal3 jede Klasse mehre re Felder enthi~lt. ]:st die S-Matr ix gleich der Einhei t sm~tr ix , so ist m i t dem freien Feld auch d~s Feld (~)

A(x) = A~(x) + :A~o(x) :

ein interpol ierendes Feld. A(x) auch

I s t S ¢ 1 , so ist K~A(x)=/=O.

B(x) ~ A(x) + K~:A(x)

D e m n a c h ist m i t

ein interpol ierendes Fe ld zur gleichen S - ~ t r i x . Aus der Ex i s t enz des ~symp- tot ischen Feldes und der Forderung, d~i~ A~.(x) vol ls tgndig ist, folgt, d~it auch B(x) volls tgndig ist. Allgemein gehSren

B(x) ~-- A(x) ~- P(5~)K~A(x)

zur gleichen Klasse wie A(x). P ist d~bei ein reelles Po lynom. Die Anzahl der E l emen te einer Klasse ist ~lso mindes tens yon der ~[fich-

t igkei t der re llen Po lynome in einer Variablen.

$ $ $

Die Arbei t geh t zuriick auf Untersuchungen~ die dem Verfasser durch ein 8bipendinm der Deutschen Forschungsgemeinschuf t ermSgl icht wurden. Der Verf~sser m5chte bier der Deu tschen Forschungsgemeinschaf t seinen D a n k

uussprechen.

(11) Vergl. M. A. WZGHTMAN: Probl~mes Mathdmatiques de la Thdorie Quantique des Champs (Paris, 1958).

R I A S S U ~ T O (*)

Si dimostra che l a propriet~ commutativa locale di campi diversi 6 una proprietY, transitiva dei campi. Si deduce un criterio che permette di decidere se due campi locali sono campi interpolanti nella stessa matriee S o no. Si dimostra che esiste pifi di un campo interpolant~ per ogni data m~trice S causale.

(*) T r a d u z i o n e a c u r a de l la R e d a z l o n e .