UČENJE OTKRIVANJEM

prof.dr.sc. Sanja Varošanec,PMF-Matematički odjelSveučilište u Zagrebu

Opatija, siječanj 2006.

1

U obrazovnom procesu nastavnik se služi različitim strategijama, metodama i oblicima rada. Postoje razne sistematizacije strategija i metoda, pa navedimo ovdje podjelu danu u knjizi Bognar,Matijević: Didaktika, Školska knjiga, Zagreb, 2002.

Strategije MetodePoučavanje Problemsko poučavanje

Heurističko poučavanjeProgramirano poučavanje

Učenje otkrivanjem IstraživanjeSimulacijaProjekt

Doživljavanje Recepcija umjetničkog djelaIzražavanje I stvaranje Interpretacija

EvaluacijaKreacija

Vježbanje Učenje učenjaUčenje jezikaPraktični radoviTjelesno vježbanje

Stvaranje Znanstveno stvaranjeUmjetničko stvaranjeRadno-tehničko stvaranje

Nemaju sve strategije isti značenje u različitim područjima obrazovanja. U znanstvenom obrazovanju, kamo smještavamo i matematiku, dominantna je strategija poučavanja, ali i ostale stragtegije imaju svoju ulogu. U umjetničkom obrazovanju dominantno je doživljavanje i izražavanje, a u tehnološkom obrazovanju dominantna je strategija vježbanja, no u veliko mjeri koriste se i poučavanje i doživljavanje. Stvaranje se kao strategija podjednako pojavljuje u sva tri područja obrazovanja. Ovdje ćemo podrobnije proučiti strategiju učenja otkrivanjem u matematici. Naime, promjene koje se dešavaju u obrazovanju uvode naglasak na razumijevanju matematičkih koncepata, aktivnog i u nekoj mjeri samostalnog otkrivanja matematičkih zakonitosti i svojstava promatranih objekata. U takvom procesu obrazovanja, učenje otkrivanjem postaje jedna od češće korištenih metoda.

Za strategiju učenja otkrivanjem karakteristično je da se radi o iskustvenom učenju, pri čemu se to iskustvo stječe ili u stvarnosti ili u zamišljenoj stvarnosti. Obično govorimo o tri metode učenja otkrivanjem: o istraživanju, o simulaciji i o projektnoj metodi.

Istraživanjem učenici proučavaju stvarnu situaciju, ali kad je nemoguće proučavati stvarnost koristimo metodu simulacije koja može biti realizirana igrom, pokusom ili kompjutorskom simulacijom. Istraživanjem učenici proučavaju i rješavaju probleme pokušavajući otkriti matematičke pravilnosti, zakonitosti i svojstva promatranih objekata s kojima do tada nisu bili upoznati. Učeničko istraživanje ima iste korake kao i znanstveno istraživanje, a to su:

uočavanje i definiranje problema određivanje plana i metoda istraživanja prikupljanje podataka, postavljanje pretpostavke (hipoteze)

2

analiziranje podataka, opovrgavanje ili potvrđivanje hipoteza primjena rezultata.

Najsloženija metoda iskustvenog učenja je projektna metoda. Pod tim nazivom podrazumijevamo rad nekoliko grupa učenika na složenijem matematičkom problemu, često bliskom realnom svijetu. Kao i svaka metoda i ove imaju svoje prednosti i nedostatke. Kao prednosti učenja otkrivanjem istaknimo sljedeće: ovim se metodama na zanimljiv i dinamičan način mogu postaviti hipoteze o odnosima matematičkih objekata, izvršenje uspješnog istraživanja ili simulacije povećava motivaciju i interes za predmet, razvija se sposobnost apstrahiranja, poopćavanja i induktivnog zaključivanja, razvija se zor, učenik aktivno, a često i samostalno sudjeluje u iskustvenom učenju, integrira se znanje horizontalno i vertikalno unutar matematike i drugih područja. No, ova strategija ima i neke nedostatke. Istaknimo da je za obradu nastavne teme kroz učenje otkrivanjem potrebno više vremena nego nekom drugom metodom, priprema sata zahtijeva od nastavnika opsežnije pripremne radnje (izrada modela ili komjutorske simulacije, izrada nastavnog listića, suradnja s nastavnicima fizike, kemije, tehničkog odgoja i dr, uvježbavanje pokusa). Dobiveno pravilo vrijedi u konkretnoj situaciji, pa se postavlja pitanje vrijedi li to pravilo promijenimo li promatrane objekte, promatrača ili mjerne instrumente. Uz to, ako izostavimo strogi matematički dokaz postavljene hipoteze (a što se često dešava u OŠ), učenik stječe dojam da se na osnovi nekoliko konkretnih primjera može iskazati tvrdnja i da je to korektno.

U nastavku teksta slijedi niz primjera iz osnovnoškolske i srednješkolske matematike gdje se do otkrića matematičke zakonitosti može doći kroz iskustveno učenje.

Primjer 1. Teorem o obodnom i središnjem kutu

Cilj istraživanja: Istražiti vezu obodnog i središnjeg kuta nad istim lukom.

U istraživanju možemo koristiti crteže, modele, kompjutorske simulacije. Ovdje nudimo istraživanje za koje ne trebamo dodatna materijalna sredstva osim onoga što učenik već ima-pribora za pisanje i crtanje, te bilježnice. Potrebna predznanja za ovakvo istraživanje su poznavanje pojma kružnice, kružnog luka, središnjeg i obodnog kuta, te vještina mjerenja kutova pomoću kutomjera. Upute:

1. Nacrtaj kružnicu k(S,r), njezin luk AB i središnji kut ASB. 2. Izmjeri kut ASB.3. Nacrtaj nekoliko (bar 5) obodnih kutova nad lukom AB.4. Izmjeri ih i podatke upiši u tablicu.

ASB Kut_1 Kut_2 Kut_3 Kut_4 Kut_5

5. Promijeni luk AB i ponovi postupak.6. Promijeni kružnicu k i ponovi. 7. Analiziraj dobivene podatke i zapiši što primjećuješ.

Nakon izvršenih mjerenja možemo očekivati među ostalima i ove hipoteze:

3

Središnji je kut jednak dvostrukom obodnom kutu nad istim lukom. Svi obodni kutovi nad istim lukom su jednaki.

Dokaz: Prvu hipotezu dokazujemo metodom razlikovanja slučajeva. Razlikujemo tri slučaja: kad je središte kružnice na kraku obodnog kuta, kad je središte unutar obodnog, odnosno van obodnog kuta.

Slučajevi:

Po završetku istraživanja treba navesti postoje li neke specijalne situacije i gdje se rezultati ovog istraživanja mogu primijeniti. Specijalni slučaj: Talesov teorem o obodnom kutu nad promjerom kružnice.

Primjene: tetivni četverokuti, planimetrijski zadaci.

Primjer 2. Poučak o kutovima uz presječnicu.

Cilj : Istražiti međusobni odnos kutova koji su određeni s parom paralelnih pravaca i njihovom presječnicom.

Istraživanje ćemo, kao i u prethodnom primjeru provesti mjerenjem niza konkretnih situacija i poopćavanjem rezultata. Za ovu temu predviđen je grupni rad učenika (max 8 grupa). Slijedi nastavni listić grupe A.

1. Nacrtaj dva paralelna pravca i presječnicu. Označi kutove kao na slici.

4

2. Izmjeri kutove i . Unesi njihove mjere u donju tabelu.

3. Ponovi korake 1. i 2. pet puta. Što primjećuješ?

Svaka od grupa mjeri kutove dane u sljedećim položajima:

(A)

(B)

(C)

(D)

5

(E)

(F)

(G)

(H)

Primjer 3. U dokumentu istrazivanja.gsp nalazi se niz stranica na kojima su napravljeni radni listići za istraživanja vezana uz: Talesov poučak, težište trokuta, homotetiju, pravac, parabolu, sinusoidu i sinusov poučak.

Primjer 4. Cilj simulacije: Primijeniti znanje o elipsi u konkretnoj situaciji.

Uvod: Tesari pri postavljanju drvenog pokrova na krovu trebaju ostaviti rupu kroz koju će prolaziti dimnjak okruglog presjeka.

Grupa A: Promjer presjeka dimnjaka je 48 cm. Omjer visine i polovične širine krova je 1.26:1.

Pitanja: Kojeg je oblika rupa na krovu? Odredi joj dimenzije. Napravi model krova i provjeri rezultat.

Primjer 5. Demonstracijski pokus kojim «bez riječi» pokazujemo Pitagorin teorem.

6

Ovakve slagalice - dokazi bez riječi, mogu dovesti i do krivih zaključaka ili očitih neistina. Karakteristični je primjer demonstracija “dokaza” da je 64=65.

d35

13

IV.II.

I.III.

Kvadrat stranice 8 podijelimo na dva sukladna trokuta i dva sukladna trapeza kao na prvoj slici. Površina tog kvadrata je 64. Presložimo dobivene dijelove tako da dobijemo figuru na drugoj slici. Naizgled se radi o pravokutniku stranica 5 i 13, tj. površine 65. Dakle, 64=65. Gdje je greška?

7

d2

d1

IV.III.

II.I.

35

8

5

3

Primjenom Pitagorina poučka lako dobijemo da je , i . Nadalje, > . Dakle, stranice , čine u sredini pravokutnika jedan

tanki paralelogram površine 1.

Jedna vrsta simulacije su i razne igre. Evo nekoliko primjera igara koje možemo provesti u razredu.

Primjer 6. Bingo

Cilj je igre uvježbati pretvaranje razlomaka u decimalne brojeve ili u postotke i obratno.

Potrebno je (minimalno) 15 karata na kojima se nalazi zapisan po jedan broj, te onoliko bingo kartica koliko ima igrača. Bingo kartice su, u stvari, tabele s 5 stupaca i 3 retka, s upisanih 9 brojeva koji se nalaze na onih 15 karata.

Izvlači se karta po karta, a igrači nakon objave broja na karti križaju broj na svojoj bingo kartici koji je jednak izvučenom broju. Igra se dok netko ne prekriži sve svoje brojeve na kartici. To je Bingo i pobjednika nagrađujemo, napr. čokoladicom. Ali i popunjavanje jednog ili dva retka donosi neku malu nagradu - bonbon.

Primjer jedne bingo kartice:

23% 2/5 2.30.43 3/15 28%

7/20 66% 3/20

Brojevi na kartama su: 0.23, 0.2, 1.3, 2.7, 6.66, 4/5, 9/10, 43/100, 33/50, 7/25, 12%, 45%, 270%, 15%, 35%. Primjer 7. Slagalica

Cilj igre je uvježbati računske operacije i rad sa zagradama.

U kompletu se nalazi 30 karata na kojima se nalaze 3 broja, 2 znaka računskih operacija, te krajnji rezultat.

6 2 24 + : 15

Svaki igrač dobiva kartu i njegov je zadatak pomoću proizvoljnog broja zagrada, uz pomoć samo danih dviju računskih operacija i tri dana broja složiti izraz čija je vrijednost jednaka zadanom rezultatu. Pobjeđuje onaj koji prije sastavi izraz. Igra se u parovima ili manjim grupama.

Primjer 8. Igra “Jednaki razlomci”

Igra se u grupama po 3 ili 4 učenika. Svaki igrač pri prvom dijeljenju dobija 5 karata, a ostatak se ostavlja na stolu i s njega se kasnije redom dižu jedna po jedna karta.

8

Pobjeđuje onaj igrač koji prvi skupi 2 “kompleta”, pri čemu pod “kompletom” podrazumijevamo jednu kartu s do kraja skraćenim razlomkom i dvije karte na kojima se nalaze razlomci jednaki razlomku na prvoj karti.

Karte:

9