tugas kuis proses stokastik

Nama : Heri Septianus Tarigan (1313105026)

Advendos D.C. Sigalingging (1314105020)

Sigit Budiantono (1314105056)

Proses Stokastik

Proses Stokastik (Stochastic Process) adalah himpunan variabel random yang merupakan fungsi dari waktu (time). Parameter waktu diartikan dalam arti luas. Proses stokastik sering juga disebut Proses random (Random Process). Oxford Dictionary (1993) menafsirkan proses stokastik sebagai suatu barisan kejadian yang memenuhi hukum-hukum peluang. Hull (1989, hlm.62) menyatakan bahwa setiap nilai yang berubah terhadap waktu dengan cara yang tidak tertentu (dalam ketidakpastian) dikatakan mengikuti proses stokastik. Dengan demikian, jika dari pengalaman yang lalu keadaan yang akan datang suatu barisan kejadian dapat diramalkan secara pasti, maka barisan kejadian itu dinamakan deterministik. Sebaliknya jika pengalaman yang lalu hanya dapat menyajikan struktur peluang keadaan yang akan datang, maka barisan kejadian yang demikian disebut stokastik.

Proses stokastik banyak digunakan untuk memodelkan evolusi suatu sistem yang mengandung suatu ketidakpastian atau sistem yang dijalankan pada suatu lingkungan yang tak dapat diduga, dimana model deterministik tidak lagi cocok dipakai untuk menelisik (menganalisis) sistem.Contoh:

1. Variabel random

menyatakan hasil lemparan ke-n, n>1. Maka merupakan himpunan variabel random, untuk n yang berbeda akan didapat variabel random yang berbeda . Ini membentuk proses stokastik.2. Seandainya Yn =banyaknya enam yang tampak dalam n lemparan pertama. Tiap nilai n akan menghasilkan variabel random Yn yang berbeda yaitu Y1 = {0,1}, Y2 = {0,1,2}, Y3 = {0,1,2,3} dan seterusnya. Jadi, {Yn , n>1} merupakan himpunan variabel random. Ini juga merupakan proses stokastik.

3. Terdapat r buah kotak, tersedia bola sebanyak tak terhingga. Bola dimasukkan ke dalam kotak secara acak. Jika Xn menyatakan banyaknya kotak yang terisi bolas setelah lemparan ke-n. Maka {Xn,n1} merupakan proses stokastik. Atau seandainya Yn menyatakan banyaknya bola yang masuk pada kotak no. 4 setelah lemparan ke-n. Disini, {Yn, n1} juga merupakan proses stokastik.Contoh:

Diskrit-Diskrit

Xn : Banyak mobil yang masuk jembatan Suramadu pada hari ke-n.

State space : Banyak mobil { Xn , n > 0}

Parameter space : waktu ( diskrit )

Xn : Banyak HP yang dimiliki pada suatu keluarga pada tahun ke-n.

State space : Banyak HP { Xn , n > 0}


Xn : Jumlah mahasiswa yang tinggal di asrama ITS pada tahun ke-n.

State space : Banyak mahasiswa { Xn , n > 0}


Xn : Banyak laptop yang terjual di toko elektronik pada hari ke-n.

State space : Banyak laptop { Xn , n > 0}


Xn : Banyak buku yang ada di perpustakaan ITS pada tahun ke-n.

State space : Banyak buku { Xn , n > 0}

Parameter space : waktu ( diskrit )Diskrit-kontinu

Xt : Banyak nasabah bank BNI yang dilayani pada waktu ke -t .

State space : Banyak nasabah { Xt , t > 0}

Parameter space : waktu (kontinu )

Xt : Banyak pengunjung WBL yang menggunakan wahana jet couster pada waktu ke t.

State space : Banyak pengunjung WBL { Xt , t > 0}


Xt : Banyak motor yang masuk parkir hi-tech mall pada waktu ke-t.

State space : Banyak motor { Xt , t > 0}


Xt : Banyak kendaraan yang dilayani pada SPBU Kertajaya pada waktu ke t.

State space : Banyak motor { Xt , t > 0}


Xt : Ukuran sepatu anak SD saat waktu ke-t.

State space : ukuran sepatu { Xt , t > 0}


Kontinu-Diskrit

Xt : Getaran ( skala richter ) Gunung Merapi saat meletus pada menit ke-n.

State space : Getaran ( skala richter ) { Xt , t > 0}


Xt : Tinggi ombak air laut di selat Madura pada hari ke n.

State space : Tinggi ombak air laut { Xt , t > 0}


Xt : Kecepatan pembalap F1 pada lab ke-n.

State space : Kecepatan { Xt , t > 0}


Xt : Besar tagihan listrik suatu rumah pada bulan ke-n.

State space : Besar tagihan listrik { Xt , t > 0}


Xt : Ketinggian air pada waduk sidoarjo pada hari ke n.

State space : Ketinggian air { Xt , t > 0}

Parameter space : waktu ( diskrit )Kontinu-Kontinu

Xt : Besar tegangan listrik PLN pada waktu ke-t.

State space : tegangan listrik { Xt , t > 0}

Parameter space : waktu ( kontinu )

Xt : Kecepatan angin di pantai kenjeran pada waktu ke-t.

State space : Kecepatan angin { Xt , t > 0}


Xt : Intensitas cahaya matahari di Surabaya pada waktu ke-t.

State space : Intensitas cahaya { Xt , t > 0}


Xt : Kadar polusi udara di Surabaya pada waktu ke-t.

State space : Kadar polusi { Xt , t > 0}


Xt : Debit air pada sungai berantas pada waktu ke-t.

State space : Debit air { Xt , t > 0}


RANTAI MARKOV DISKRIT

Rantai Markov diskrit adalah suatu proses stokastik dengan state space diskrit dan parameter space (waktu proses) disktit. Dalam rantai Markov (sifat Markov) probabilitas suatu state pada waktu ke (n+1) hany tergantung pada kondisi stete pada waktu ke-n dan tidak tergantung pada kondisi-kondisi dari waktu-waktu sebelumnya. Suatu proses stokastik { Xn , n > 0} dengan state space S = {0, 1, 2, 3,} disebut Rantai Markov Diskrit (RMD) jika untuk semua I dan j dalam s.

(1.1)

Suatu RMD disebut homogeny terhadap waktu jika untuk semua n = 0, 1, 2,

(1.2)

Perhatikan bahwa persamaan 1.1 memiliki arti bahwa probabilitas suatu kejadian pada langkah ke (n+1) hanya tergantung pada kejadian ke-n atau satu langkah sebelumnya dan tidak tergantung pada langkah-langkah sebelumnya. disebut probabilitas transisi satu langkah dari RMD pada waktu n. Persamaan 1.2 mempunyai arti bahwa probabilitas satu langkah tergantung pada state I dan j dan tidak tergantung pada waktu dimana proses terjadi (waktu yang homogen). Dalam tugas ini hanya dibahas RMD yang homogen dengan statet space S berhingga, S = {1, 2, , N). Untuk probabilitas transisi satu langkah yang bersifat homogeny dapat di tulis :

(1.3)

Matriks Stokastiknya ditulis sebagai:

(1.4)

Selanjutnya akan dib erikan dua karakteristik penting dari matriks stokastik dengan teorema berikut:

Teorema 1 (Sifat-sifat Matriks Stokastik)

Misal adalah matriks stokastik berukuran N x N dari suatu RMD { Xn , n > 0} dengan state space S = {0, 1, 2, 3,, N}, maka:

1.

2.

Bukti: non negatif merupakan akibat langsung dari probabilitas bersyarat. Untuk membuktikan yang kedua sebagai berikut:

(1.5)

Karena pasti mengambil nilai tertentu dalam S, tidak tergantung pada nilai Xn. Maka, nilai probabilitasnya adalah 1 (satu).

Contoh:1. Diketahui sebuah matriks P dimana {Xn, n0} yang merupaka RMD dengan state space {1,2,3} sebagai berikut.

a. Apakah matriks P mempunyai distribusi limit? Tentukan & intepretasikan.

b. Jika pada awalnya prsoes berada di state 1, hitung probabilitas proses di state 3 pada periode keempat.

Jawaban

a.

Berdasarkan gambar di atas diketahui bahwa setiap state terhubung dengan dirinya sendiri dan state yang lain sehingga dapat di simpulkan bahwa matriks P memilki distribusi limit dan tunggal.

b. Bermula proses berada di state 1, mencari peluang di state 3 periode 4.

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Sehingga peluang P4 = P (Xn+1=4|Xn=3) = 0.2253002. Tiga Perusahaan detergen terkenal di suatu daerah ingin melakukan pengamata terhadap perpindahan pelanggan dari waktu ke waktu. Pengamat melakukan penelitian setiap 1 bulan sekali diketahui jumlah pelangga yang masuk dan keluar dalam 2 bulan terakhir.PerusahaanBanyak Pelanggan

1 Januari1 Februari

1200240

2250235

3300275

Perusahaan1 JanuariPerpindahan Pelanggan1 Februari

MasukKeluar

12005010240

22501025235

3300530275

Perusahaan1 JanuariMasukKeluar1 Februari

123123

120002525055240

22505052500235

33005002550275

a. Jelaskan State Space & Parameter Space dari data perpindahan pelanggan tersebut!

b. Apakah sifat markov berlaku pada proses ini dan susun matriks probabilitas pada bulan januari!

c. Jika pada bulan januari pelanggan memakai detergen dari perusahaan 1 maka hitung probabilitas pelanggan memakai detergen dari perusahaan 3 pada bulan maret!

Jawaban

a. State space adalah perusahaan detergen dimana setiap perusahaan diberi indeks 1 sampai indeks 3. Parameter space space adalah setiap bulan karena data perpindahan pelanggan di hitung setiap bulan.

b. Sifat markov berlaku karena di asumsikan pelanggan menggunakan detergen dari perusahaan tertentu dipengaruhi oleh bulan ke (n+1).

Melihat dari table perpindahan pelanggan dapat di cari probabilitas setiap pelanggan berpindah detergen.

Misal pelanggan untuk perusahaan 1 pada awal bulan januari probabilitas yang masih bertahan samapai bulan februari adalah

Untuk pelanggan perusahaan 1 pada awal januari probabilitas yang berpindah ke perusahaan 2 pada bulan februari adalah dst.

Menggunakan cara yang sama sehingga di peroleh probabilitas sebagai berikut.

ProbabilitasNilai

P110.95

P120.025

P130.025

P210.1

P220.9

P230.0

P310.084

P320.016

P330.9

Sehingga apabila dibentuk matriks sebagai berikut

c. Menghitung probabilitas pelanggan yang berpindah dari perusahaan 1 ke perusahaan 3 pada bulan maret.

Dimana P2 = P (Xn+1=2|Xn=3)

Sehingga dari hasil perhitungan probabilitas di atas diketahui bahwa probabilitas pelanggan berpindah ke perusahaan 3 pada bulan maret adalah 0.04625

3. Sebuah toko menjual handycam dimana took tersebut memesan di agen resmi penjualan merk tersebut. Toko tersebut menerapkan system inventori (s,S) yaitu jika pada suatu minggu tertentu jumlah handycam di toko kurang dari 1 (s

tugas kuis proses stokastik

Documents