NAMA ANGGOTA KELOMPOK : 1. Gerian Dwiki Sakti Sanusi Putra2. Rafiz Arma Fashia3. Susandi

III

INTEGRASI

Pada dasarnya , integrasi adalah proses membalikkan hasil diferensiasi .Dalam Bagian III Anda akan bekerja dengan rumus integrasi untuk dasar tertentujenis fungsi , bersama dengan berlatih berbagai teknik integrasi.ituBahan dimulai dengan fokus pada integral tak tentu , dan kemudian pindah ke yang pastiintegral dan kemenangan penobatan kalkulus integral, Fundamental PertamaTeorema kalkulus . Teorema Fundamental Kedua sangat berguna Kalkulusdan Berarti Nilai Teorema untuk Integral juga disajikan .

Integral tak tentu danintegrasi dasar

rumus dan aturan

Antiturunan dan terbatas terpisahkan

Sebuah antiturunan dari fungsi f pada interval I adalah fungsi F sehingga

F’(x) = ddx

[F( x)] A=F ( x )untuk semuax di I .

Dengan demikian, sebuah antiturunan merupakan hasil membalikkan proses diferensiasi,boleh dikatakan. Contoh berikut menggambarkan konsep ini.

5 x3adalah anti turunan dari15 x2 karenaddx

(5 x3 )=15 x2 .

5 x3−20adalah anti turunandari15 x2 karenaddx

(5 x3−20 )=15x2−0=15 x2 .

5 x3+100 adalahanti turunan dari15 x2 karenaddx

(5 x3+100 )=15 x2+0=15 x2 .

tan x adalah anti turunandari sec 2 x karenaddx

( tan x )=sec 2 x .

tan x+4adalah anti turunandari sec2 x karenaddx

( tan x+4 )=sec 2 x+0=sec2 x .

tan x−30adalahanti turunan dari sec2 xkarenaddx

( tan x−30 )=sec2 x−0=sec2 x .

Dari contoh-contoh ini, Anda dapat melihat bahwa, meskipun fungsi memiliki paling banyak satu derivatif, mereka mungkin memiliki banyak (pada kenyataannya,tak terhingga banyaknya) antiturunan. Jadi, jika F adalah antiturunan dari fungsi f pada interval I,Maka f ( x )+cmerupakan set antiturunan dari f, di mana C adalah konstanta sembarang.Integral tak tentu dari f adalah himpunan semua antiturunan dari f dan dinotasikanOleh ∫f (x)dx. Dengan demikian,∫f ( x )dx=f (x)+c ,

di mana F adalah antiturunan dari f pada interval I dan C adalah konstanta sembarang.Proses penentuan integral tak tentu disebut integrasi. Itu ekspresi f ( x )dxdibaca "integral dari f dari x terhadap x"; f (x) adalah disebut integran, dx disebut diferensial, dan C disebut konstan integrasi. Catatan: diferensial dx menunjukkan bahwa integrasi berlangsung sehubungan dengan variabel x . Akhir , akan dimengerti bahwa dalam ekspresi f ( x )dx=f (x)+c , F adalah antiturunan dari f pada interval .Anda mungkin telah menduga bahwa integrasi " Membatalkan " proses diferensiasi ke dalam nilai konstan . Dengan cara seperti , diferensiasi " Membatalkan " proses integrasi . mengikuti contoh menggambarkan terbalik ini ( " kehancuran " ) hubungan antara integrasi dan diferensiasi .

Masalah Pastikan ∫15 x2dx=15x3+c dengan membedakan anggota yang tepat .

Solusi ddx

¿) = 15 x2+0=15 x2

Masalah Pastikan ∫sec x2dx=tan x+c dengan membedakan anggota yang tepat .

Solusi ddx

¿) = sec2 x+0=sec x2

7 · 1

LATIHAN

Verifikasi pernyataan berikut dengan membedakan anggota yang tepat .

1. ∫100dx=100x+c

2. ∫6 x dx=3 x2+c

3. ∫ ( 3x2+4 x−5 )dx=x3+2 x−5x+c

4. ∫ (x2+1 )√ xdx=27x2

1+ 23x2

3+c

5. ∫ (xe+ex )dx= xe+1

e+1+ex+c

6. ∫(10 x+30)3 10dx=(10 x+30)4

4+c

7. ∫(x2−3)4 2x dx=(x2−3)5

5+c

8. ∫¿¿¿

9. ∫ x2−sin x3dx=−cos x3

3+c

10. ∫¿ x dx=x∈x=x∈x−x+c

penyelesaian :

1. ¿ ddx

(100 x+c )=100 x+c = 100

2. ¿ ddx

(3 x2+c )=6 x+0

3. ¿ ddx

(x¿¿3+2 x2−5 x+c)=3x2+4 x−5+0=3x2 ¿+4x-5

4. ¿ ddx

¿ + c)= 2x−1

2

14+

6 x12

6+0=

1x−1

2

7+x

12

5. ¿ ddx

( xe+1

e+1+ex+c)= e+1.xe+1−1

1e1−1+0+ xex−1+c= e+x

e

1+xe x−1+0=e+xe+xex−1

6. ¿ ddx

(10 x+30)4

4+c=10 x4

4+304

4+c=40 x3

4+0=10 x3

7. =ddx

¿¿¿+ c = x10

5−35

5+c=10 x9

5+0=2 x9

8. = ddx ( sin3

3x+c)= sin2 x

3.sin x

3+0=

(1−cos2 x ) .3

sin x3

9. ¿ ddx

(−cos x3

3+c) = −3 sin x2

3+ 0 =−sin x2

10. ¿ ddx

( x∈x−x+c )=x . dxx

−1= x−1dxx

Integrasi fungsi konstan

Jika k adalah setiap konstan, maka ∫ k dx= k x + c, di mana C adalah konstanta sembarang . ∫ 3 dx = 3x + c ∫ √7 dx = √7 + c ∫ dx = ∫ 1dx = 1x + c = x + c

Catatan : Solusi ini biasanya ditulis ∫ dx = x + c

7 · 2

LATIHAN

Cari integral tak tentu yang paling umum .

1. ∫8 dx

2. ∫ 34dx

3. ∫ 9.75dx

4. ∫√3dx

5. ∫(3√40

√10+15)dx

6. ∫16 √2dt

7. ∫ e2dx

8. ∫2 π dr

9. ∫−21du

10.∫ 6edx

Penyelesaian :1. = 8x+c

2. ¿ 34x+c

3. ¿9 x .75 x+c4. ¿√3x+c

5. = 40x

23

10x12 +15 x

+c

6. ¿16 t .√2t + c7. = ex2+¿ c8. ¿2 r . πr+ c9. = -21 u + c

10.¿6 xex + c

Integrasi fungsi kekuasaan

Rumus terpisahkan berikut untuk fungsi daya dapat diperoleh dari rumus untuk membedakanfungsi listrik ( lihat Bab 4 ) dan fungsi logaritma natural ( lihat Bab 6 ) :

∫xndx= xn+1

n+1+c ,untuk semuan≠−1;

Dan

∫x−1dx= ∫ 1

xdx=¿|x|+c ,

di mana C adalah konstanta sembarang .

∫ x2dx= x3

3+c

∫√ xdx=∫ x12dx=

x32

32

+c=2 x

32

3+c

∫1x5 dx= ∫ x

−5dx= x−4

−4+c= −1

4 x 4 +c

∫xπ dx= xπ+1

π+1+c

∫1du

=¿|u|+c

7 · 3

LATIHAN

Cari integral tak tentu yang paling umum .

1. ∫ x5dx

2. ∫ 4√x3dx

3. ∫ x√2dx

4. ∫ 1

x2dx

5. ∫ t 100dt

6. ∫u2πdu

7. ∫ 1

√ xdx

8. ∫ x5

x2 dx

9. ∫r−1dr

10.∫ 1tdt

Penyelesaian :

1. ¿ x6

6+c

2. ¿∫ x34 dx=

x74

74

+ c = 4 x74

7+c

3. = x√2+ 1

√2+1+c

4. =∫ x−2dx= x−1

−1+c=−1

x+c

5. ¿ t101

101+c

6. = 42π+1

2π+1+c

7. ¿∫ x−12 dx=

x12

12

+c=2 x

12

1+c

8. ¿ x6

x3 +c

9. ¿ r−1+1

−1+1+c=∞

10.∫ t−1dt= t−1+1

−1+1+c=∞

Integrasi fungsi eksponensial

Rumus terpisahkan berikut untuk fungsi eksponensial dapat diturunkan dari aturan untukmembedakan fungsi eksponensial ( lihat Bab 6 ) dan aturan rantai ( lihat Bab 5 ) :

∫ex dx=e x+c ;

∫ekx dx=1

kekx+c ,untuk semuak≠0 ;

∫bx dx= 1

Inbbx+c ,untuk semuab>0 ,b≠1 ;dan

∫bkx dx= 1

kInbbkx+c ,untuk semuab>0 , b≠1 , k ≠0 ,

di mana C adalah konstanta sembarang .

∫eudx=eu+c

∫ e5 xdx=15e5 x+c=e

5x

5+c

∫ 2xdx= 1¿2

2x+c= 2x

¿2+c

∫ 25 xdx= 15∈2

25 x+c= 25 x

5∈2+c

7 · 4

LATIHAN

Cari integral tak tentu yang paling umum .

1. ∫ etdt

2. ∫ e20 x dx

3. ∫ eπxdx

4. ∫ e0,25 xdx

5. ∫ ex5 dx

6. ∫ e√3x dx

7. ∫ 4x dx

8. ∫23 xdx

9. ∫1000,25x dx

10.∫ πx5 dx

Penyelesaian :

1. ¿e t+c

2. ¿ 120e20 x+c= e

20 x

5+c

3. ¿ 1πeπx+c= e

πx

π+c

4. ¿ 10,25

e0,25x+c= e0,25x

0,25+c

5.¿ 1x5

ex5+c=5

xex5+c

6. ¿ 1

√3e√3 x+c= e

√3 x

√3+ c

7. ¿ 1¿4

4x+c= 4 x

¿4+c

8. ¿ 13∈2

23x+c= 23x

3∈2+c

9. ¿ 10,25∈100

1000,25 x+c= 1000,25x

0,25∈100+c

10.¿ 1x5

πx5 +c=5

xπx5 +¿

Integrasi turunan fungsi trigonometri

Rumus terpisahkan berikut dapat diturunkan dari aturan untuk membedakan enam trigonometri fungsi (lihat Bab 6) dan aturan rantai (lihat Bab 5):

∫ sin x dx=−cos x+c ;

∫ sin (kx)dx = −1k

cos ( kx )+c ,untuk semuak ≠0 ;

∫ cos x dx=sin x+c ;

∫ cos (kx)dx = 1k

sin (kx )+c ,untuk semuak ≠0 ;

∫sec2 x dx=tan x+c ;

∫ sec2 (kx)dx = 1k

tan (kx)+c ,untuk semuak≠0 ;

∫csc2 x dx=−cot x+c ;

∫ csc2 (kx)dx = −1k

cot (kx )+c ,untuk semuak ≠0 ;

∫sec x tan x dx=sec x+c ;∫sec(kx ) tan ¿¿∫csc x cot x dx=−csc x+c ;dan∫csc(kx)cot ¿¿

di mana C adalah konstanta sembarang.

sinudu=−cosu+c ;

∫ cos (10x)dx = 1

10sin (10 x)+c

∫sec2 (0.5 x )dx 10.5

tan (0.5 x )+c= tan (0.5 x )0.5

+c

∫ csc2t dt=−cot t+c ;

∫sec ¿) tan( 3 x4 )dx=∫ sec( 3

4x) tan ( 3

4x)dx= 1

34

sec( 34x)+c=4

3sec( 3 x

4 )+c

Catatan: teknik khusus diperlukan untuk menentukan integral berikut: ∫ tan xdx ,∫ cot xdx , ∫ sec x dx ,∧¿ ∫ csc x dx .¿ Integral ini dapat ditentukan dengan

menggunakan teknik yang disajikan dalam Bab 8.

7 · 5

LATIHAN

Cari integral tak tentu yang paling umum .

1. ∫cos v dv

2. ∫sin (¿ 12πx )dx¿

3. ∫cos (18)dx

4. ∫ sec2 (√3 x )dx

5. ∫ csc2(2,5)dx

6. ∫ sec( 56x ) tan( 5

6¿x)dx ¿

7. ∫ csc x3 cotx3dx

8. ∫ csc (ex )cot (ex)dx

9. ∫sin 3θdθ

10.∫cos (25πx )dx

Penyelesaian :1. = Sin v + c

2. ¿− 11

2πcos (

12πx¿+c=−2π cos ( 1

2πx)+c

3. ¿ 18

sin (18 x )+c

4. ¿ 1√3

tan (√3 x )+c= tan (√3 x )√3

+c

5. ¿− 12,5

cot (2,5 x )+c=−cot (2,5 x )2,5

+c

6. ¿ 156

sec( 56x )+c=6

5sec( 5

6x)+c

7. ¿ 113

csc ( x3 ) + c = 3 csc (x3

¿+c

8. ¿−1ecsc (ex) + c =

−csc (ex )e

+c

9. ¿−13

cos (3θ )+c=−cos (3θ)3

+ c

10.= 1

25πsin (25πx )+c= sin (25πx )

25 π + c

Integrasi turunan dari terbalik

fungsi trigonometriRumus terpisahkan berikut dapat diturunkan dari aturan untuk membedakan enam terbalikfungsi trigonometri (lihat Bab 6) dan aturan rantai (lihat Bab 5):

∫1

√1−x2dx=sin−1 x+c=−cos−1 x+c ;

∫1

√a2−a2dx=sin−1( xa )+c=−cos−1( xa )+c ,untuk semuaa>0;

∫1

1+x2dx=tan−1 x+c=−cot−1 x+c ;

∫1

a2−x2 dx=1a

tan−1( xa )+c=−1a

cot−1

( xa )+c ,untuk semuaa>0 ;

∫1

|x|√ x2−1dx =sec−1 x+c=−csc−1 x+c ;dan

∫1

|x|√ x2−a2 dx =1asec−1( xa )+c=−1

acsc−1( xa )+c,untuk semuaa>0 ;

di mana C adalah konstanta sembarang.Seperti yang dapat Anda lihat dari rumus di atas, untuk setiap integran yang

merupakan turunan dari salah satu dari enam fungsi trigonometri invers, Anda memiliki sepasang antiturunan sesuai dari yang untuk memilih. Kondisi ini terjadi karena turunan dari enam trigonometri invers fungsi jatuh ke tiga pasang. Di masing-masing pasangan, derivatif

hanya berbeda dalam tanda. Untuk Misalnya,ddx

(sin−1 x )= 1

√1−x2dan

ddx (cos−1 x= −1

√1−x2. .

Ketika Anda mengintegrasikan integral yang merupakan turunan dari fungsi trigonometri invers, Anda memilih hanya satu anggota dari yang sesuai sepasang antiturunan. Meskipun secara matematis anggota baik benar,Integral tak tentu dan dasar formula integrasi dan aturan 49 adalah kebiasaan untuk memilih sinus terbalik, tangen terbalik, dan fungsi garis potong terbalik atas negative dari cosinus invers, kotangens terbalik, dan fungsi kosekans terbalik, masing-masing.

∫du

√1−u2dx= ∫ du

√1−u2du=sin−1u+c

∫1

√9−x2dx=∫ 1

√32−x2dx=sin−1( x3 )+c

∫1

5+x2dx= ∫ 1

¿¿¿

∫

1

√ x2(x2−3625 )

dx= ∫ 1

|x|√ x2−(6 )2

5

dx= 165

sec−1

( x65 )+c=56sec−1( 5 x

6 )+c

7 · 6

LATIHAN

Cari integral tak tentu yang paling umum .

1. ∫ 1

1+θ2dθ

2. ∫ dx

√16−x2

3. ∫ 1

49+ x2dx

4. ∫ dt

0,25+t 2

5. ∫ du

√u2(u2−1)

6. ∫ 1

¿ x∨√ x2−41dx

7.∫ 1

√ 81100

−x2

dx

8. ∫ ❑π2+ x2 dx

9.∫ dt

√ t2(t 2−14)

10.∫ 1

¿ x∨√ x2−7dx

Penyelesaian :

1. ¿ tan−1θ+c=−cot−1θ+c

2. ¿∫ 1

√42−¿√x2dx=sin−1( x4 )+c ¿

3. ¿∫ 1

√492+x2dx= 1

√49tan−1( x

√49 )+c4. ¿∫ 1

√0,252+ t2dt= 1

√0,25tan−1( t

√0,25 )+c

5.¿∫ 1

¿u∨√u2−¿√12du=11sec−1(

u1)+c

=sec−1 (u )+c¿

6. ¿ sec−1¿) + c = -csc−1( x

41) + c

7.¿∫ 1

√(9)2

10−x2

dx=sin−1( x910 )+c =sin−1( 10 x9 )+c=−cos−1( 10 x

9 )+c

8.1π

tan−1 xπ

+c=−1π

cot−1 ¿)+c

9.¿∫ 1

|t|√ t 2− (1 )2

2dx= 1

12

sec−1( t12 )+c=2 sec−1 (2 t )+c

10.sec−1( x7 )+c=−csc−1( x7 )+c