f:(a,b)==>R fonksiyonu

i)x1,x2(a,b)

ve x1x2 içi

f(x1)f(x2) ise f fonksiyonu (a,b) aralığında artandır.

y

a

x1==>x2

b

ii) x1,x2(a,b)

ve x1x2 için, f(x1)f(x2) ise f fonksiyonu (a,b) aralığında azalandır.

x

y

a x1===> x2 b

f(x1)

f(x2)

f:(a,b)==>R tanımı ve türevlenebilen bir fonksiyon ve x(a,b) olmak üzere;

i)f’(x)>0 isen fonksiyon artandır.

ii)f’(x)<0 ise fonksiyon azalandır.

Yani bir fonksiyon verilen aralıkta türevinin işaretini incelediğimizde,türevinin pozitif olduğu aralıkta fonksiyon artan,negatif olduğu aralıkta azalandır.

f:(a,b) aralığında artan ise

x,x1(a,b) için xx1 ==> f(x) f(x1) olduğundan f(x)-f(x1)/x-x10 olur.

Buradan lım f(x)-f(x1)x x+

1 x-x1 =f’(x1+)0

xx1==>f(x)f(x1) olduğundan f(x)-f(x1)

x-x1

0 ve

x x-1 x-x1

=f’(x1-)0f(x)-f(x1)lım

Olduğundan türev mevcut olup f’(x1) 0 dır.

Bu teoremi başka bir şekilde açıklamak gerekirse

i)gerçekten şekildeki f fonksiyonu (a,b) aralığında artan olup bu aralığı her noktasında çizilen teğetlerin ox ekseniyle yaptığı açılar dar açılardır.Dar açıların tanjantı pozitif olduğundan (a,b) aralığında her noktasındaki türevi de pozitiftir.

f(x)

ba

ii)f fonksiyonu(a,b) aralığında azalan olup bu aralığın her noktasında çizilen teğetlerin ox ekseni ile yaptığı açılar geniş açılardır.Geniş açıların tanjantı negatif olduğundan (a,b) aralığının her noktasındaki türevi de negatiftir.

abx

y

Bir fonksiyon belli aralıklarda değil de daima artansa buna monoton aratan daima azalansa buna monoton azalan denir.

f(x)=x2-3x+2 fonksiyonunun artan ve azalan olduğu aralıkları bulunuz.

Fonksiyonun türevinin işaretini inceleyelim.

f’(x)=2x-3

f’(x)=2x-3=0

x:3/2

o halde fonksiyon (-,3/2) aralığında azalan (3/2,+) aralığında artandır.

+-

- 3/2 +x

f’(x)

f(x)

F:(a,b)==>R fonksiyonu sürekli ve (a,b) aralığında birinci ve ikinci türevleri mevcut olsun.

i)(a,b) aralığında f’’(x)>0 ise eğri yukarıya doğru konkav veya eğrinin çukurluğu yukarı doğrudur.

ii)(a,b) aralığında f’’(x)<0 ise eğri aşağıya doğru konkav veya eğrinin çukurluğu aşağıya doğrudur.

Gerçekten ;

i)şekilde görüldüğü gibi yukarıya doğru konkav olan bir eğri üzerinde apsisi daha büyük olan bir noktada ki eğim açısı daha büyüktür.

x

y

a bx1 x2

1

2> 1 olup tan 2> tan1 bunu f’(x2)> f’(x1) şeklinde de yazabiliriz,bu durumda f’(x) fonksiyonu değişkeni ile aynı yönde değiştiğinden artan fonksiyondur.Dolayısıyla bunu türevi de pozitiftir,yani f’’(x) >0 dır.O halde ikinci türevi pozitif yapan x değerleri için eğri yukarıya doğrum konkav olacaktır.

a x1 x2 b02 1 x

yii)Şekilde görüldüğü gibi aşağıya doğru konkav olan bir eğri üzerinde apsisi daha büyük olan bir noktada ki eğim açısı daha küçüktür.

2< 1 olup tan 2< tan1 bunu f’(x2)< f’(x1) şeklinde de yazabiliriz,bu durumda f’(x) fonksiyonu değişkeni ile ters yönde değiştiğinden azalan fonksiyondur.Dolayısıyla bunu türevi de negatiftir,yani f’’(x) <0 dır.O halde ikinci türevi yapan negatif x değerleri için eğri aşağıya doğru konkav olacaktır.

1)f(x) fonksiyonu bir A(x0,y0) noktasındaki teğetinin üst tarafında kalıyorsa yukarı doğru konkav ; teğetinin alt tarafında kalıyorsa aşağıya doğru konkav veya (kısaca konveks) adını alır.

2)Sürekli bir f(x) fonksiyonunun çukurluğunun yön değiştirdiği noktaya fonksiyonun dönüm noktası denir.

y= f(x) denklemi ile verilen bir eğri üzerindeki bir (a,f(a)) noktasının büküm noktası olması için f’’(a)=0 ve f’’’(a)a0 olmalıdır.

3) f’(a)=0 ,f’’(a)=0,f’’’(a)=0 olaması hallerinde x=a için 0 olmayan ilk türev bulununcaya kadar türev almaya devam edilir.Bu takdirde (a,f(a)) noktası;0 olamayan ilk türevin derecesi tek ise bir büküm noktası çift ise ekstremum noktasıdır.

f(x)=1/4.x4-6x2+8x-15 eğrisinin aşağı ve yukarı doğru konkav olduğu aralıları belirtiniz.

f(x) fonksiyonunu ikinci türevinin işaretini inceleyelim.

f’(x)=x3-12x+8

f’’(x)=3x2-12=3(x2-4)=0

x2=4 ==> x1=2 x2=-2

x - -2 2 +

+ - +f’’(x)

f(x)=x2+1/x fonksiyonun dönüm noktasını bulunuz.

f’(x)=2x-1/x2,f’’(x)=2+2/x3=0

ise 2/x3=-2 ise x3=-1 ise x=-1 dir.

f’’’(x)=-6/x4 ise f’’’(-1) 0 olduğundan x=-1 apsisli nokta f(x) in dönüm noktasıdır.

a -2 2 3 4 b

p q k l m n t u

Mutlak max

Yerel max

Yerel min

Mutlak min

Yukarıda bir f(x) fonksiyonun (a,b) aralığında grafiği verilmiştir,

-2 noktasını içine alan (p,q) açık aralığındaki bütün x ler için ;

f(x)f(-2)=5 ve aynı şekilde 3(m.n) ve x(m,n) için;

f(x)f(3)=4 ise f(x) fonksiyonunun x=-2 ve x=3 apsisli noktaları yerel maksimum vardır ve bu maksimum noktalar A=(-2,5),C(3,4) noktalarıdır.

Benzer şekilde

2(k.l) ve x(k,l) için; f(x)f(2)=3

4(t.u) ve x(t,u) için; f(x)f(4)=2

olduğundan f(x) fonksiyonunun x=2 ve x=4 apsisli noktalarda yerel minumumu vardır ve bu noktalar B(2,3),D(4,2) noktalarıdır.

Bir fonksiyonun birden fazla max ve min noktaları olabilir.

Yerel max ların en büyüğüne mutlak max veya fonksiyonun en büyük değeri,

yerel minumumların en küçüğüne de mutlak min veya fonksiyonun en küçük değeri denir.

Minımum ve maksimum değerlere kısaca fonkasiyonun ekstremumları denir.

F:(a,b)=>Rye tanımlı ve türevlenebilen bir fonksiyon verilmiş olsun.

İ)f(x) fonksiyonu bir x=c noktasının solunda artan sağında azalan ise x=c f(x) in bir maksimum noktadsıdır.

C

X - c +

+ -Y’

y f(c)

(c,f(c) maksimum noktadır.

ii) F(x) fonksiyonu bir x=c noktasının solunda azalan , sağında artan ise x=c noktası f(x) in bir minimum noktasıdır

y

- +

- + c x - +

x - c +

f ’(x) - +

f(x) f(c)

(c, f(c) ) minimum noktadır.

NOT: Türevlenebilen bir fonksiyonunun birinci türevinin kökleri yerel maksimum veya yerel minimum noktalarının apsisleridir.Bu noktalar esas fonksiyonda yerine yazılarak ordinatları da bulunabilir.

x - x1 x2 +

f ‘(x) + - +

f (x) f(x1) f(x2)

(x1 , f (x1) ) noktası yerel maksimum noktadır.(x2 , f(x2) ) noktası yerel minimum noktadır.

UYARI: Türevlenebilen bir fonksiyonun yerel ekstremum noktasının Olabilmesi için türevinin bu noktada işaret değiştirmesi gerekir.

ÖRNEK: 18

f : R R f(x) = x3 – 3x2 +5 fonksiyonunun yerel ekstremum (max , min) noktalarını bulunuz?

x - 0 2 +y’ + - +y 5 1

ÇÖZÜM:f ‘(x) = 3x2 – 6x3x2 –6x = 03x (x –2 ) = 0x1 = 0 x2 = 2f(0) = 5 , ( 0 , 5) max noktadır.f(2)= 1 , (2 , 1) min noktadır.

f : [ a , b ] R fonksiyonun c ( a , b) noktasında bir yerel minimumu veya yerel maksimumu varsa ve f fonksiyonu c noktasında türevli ise

f ‘ (c) = 0 dır.

Bu teoremin karşıtı doğru değildir, yani f fonksiyonunun f ‘ (c) = 0 olduğu halde fonksiyonun c noktasında yerel ekstremumu olmayabilir. ÖRNEK : 22

f(x) = x3 – mx2 + nx + 5 fonksiyonunun x = 1 apsisli noktadaki yerel ekstremum değeri 7 olduğuna göre m + n = ? ÇÖZÜM :

f(x) ‘in x = 1 de bir yerel ekstremumu olduğuna göre f ‘ (1) = 0 dır.Buna göre, f ’(x) =3x2 - 2mx +n f ‘(1) = 3 -2m +n=0 -2m +n = -3 ayrıca x =1 de f (1) =7 olduğundan f(1) = 1-m+n+5 =7 -m+n =1 dir. Bu iki denklemi ortak çözdüğümüzde 2m-n =3 m =4 ise m +n =9 bulunur. -m +n =1 n =5

İKİNCİ TÜREVDEN YARARLANARAK YEREL EKSTREMUM VE DÖNÜM (BÜKÜM) NOKTALARININ BULUNMASI

f(x) fonksiyonu (a , b) aralığında türevli ve f ‘ (x) ve f “ (x) türevleri mevcut olsun. f ‘(x) = 0 denkleminin x1, x2 ,x3 kökleri bulunsun.Bu kökleri ikinci türevde yazdığımızda sonuç negatifse maksimum, pozitifse minimum, sıfır ise dönüm ( büküm ) noktası vardır. f ‘(x) = 0 denkleminin x1, x2 ,x3 kökleri bulunsun.

i) f “ (x1) > 0 ise (x1 , f(x1) ) noktası minimum noktadır.

ii) f “ (x2) < 0 ise (x2 , f(x2) ) noktası maksimum noktadır.

iii) f “ (x3) = 0 ise (x3 , f(x3) ) noktası dönüm ( büküm) noktasıdır. y C (x2 , f (x2 )

B(x3, f(x3) )

x1 x3 x2

A (x1 ,f(x1))

ÖRNEK: 25

f (x) = x3 -3x2 +12 eğrisinin minimum noktasının ordinatı nedir?

ÇÖZÜM:

Fonksiyonun birinci türevinin kökleri maksimum ve minimum noktalarının apsisleridir. Buna göre

f ‘ (x) = 3x2 -6x ise 3x2-6x = 0

3x ( x-2) = 0

x1 = 0 ve x2 = 2

Bu kökleri ikinci türevde yerine yazalım.

f “(x) = 6x -6

x1 = 0 ise f “ ( 0) = 6 .0 -6 = -6 < 0

MAKSİMUM VE MİNİMUM PROBLEMLERİ

Değişken bir ifadenin maksimum ve minimum değerleri, uygulama alanı çok olan değerlerdir.Bir merminin ulaşabileceği en büyük yüksekliğin bulunması, verilen bir hacimde depo yapılabilmesi için minimum miktarda malzemeye ihtiyaç duyulması, bir küre içine yerleştirilecek en büyük hacimli silindirin boyutlarının bulunması gibi sorulara verilecek cevaplar bu gibi problemlerin çözümü ile elde edilecektir.

Maksimum ve minimum problemleri çözebilmek için evvela maksimum ve minimum olması istenilen büyüklüğün yalnız bir değişken cinsinden ifade edilip, sonra bunun türevi sıfıra eşitlenerek elde edilen denklem çözülür.Bu denklemin kökleri esas fonksiyonda yerlerine yazılarak maksimum ve minimum değerleri bulunur.

Toplamları 10 olan iki pozitif sayının kareleri toplamı enfazla kaç olur?

Bu sayılardan birine x dersek diğeri 10-x olur. Kareleri toplamı bir fonksiyon şeklinde ifade edecek olursak;

f(x) = x2 + (10-x)2 = x2 + 102 - 20x + x2 = 2x2 - 20x + 100

f : [ 1 , 9 ] R şeklinde tanımlanan f(x) fonksiyonunun maksimum u bulmak istiyoruz, fonksiyon bir parabol belirtir.

f '(x) = 4x - 20 = 0 x = 5

x

y'

y

-... 5 +...

- +

min

f(1) = 12 + 92 = 82

f(5) = 52 + 52 = 50

f(9) = 92 +12 = 82

O halde sayıların toplamı en fazla 82 olur.

f fonksiyonu [a , b aralığında sürekli ve bu aralığın iç kısmında yani (a , b) de türevlenebilir olsun ,eğer f(a) = f(b) ise en az öyle bir c (a,b) vardır ki F fonksiyonunun bu c noktasında türevi 0 dır. Yani f, (c) = 0 dır.

yukardaki şekilde rolle teoremi geometrik olarak anlatılmaktadır. Yani f fonksiyonu .

- [a , b] aralığında sürekli

- (a , b) aralığında türevlenebilir.

- f(a) = f(b) dir.

grafik rolle teoreminin üç şartını da gerçekler ve (a , b) aralığında x0 , x‘0 , x'‘

0 olmak üzere üç noktada türev sıfırdır. Yani bu noktalarda grafiğin yatay teğetleri vardır.

f(x) fonksiyonuna [2 , ] aralığında Rolle teoremini

uygulayınız.

f(x) fonksiyonu [2 , 4] aralığında sürekli ve (2,4) aralığında türevlenebilir.

f(2) = f(4) = e olduğundan rolle teoreminin şartlarını sağlar. O halde [2 , 4]aralığını en az bir c noktasında türev sıfırdır.

f ‘(x) = 2 (x-3) . e(x-3)2 ise

f ‘(c) = 2 (c-3) . e(c-3)2 = 0 dır .

. e(x-3)2 0 olduğundan c-3 = 0 olmalı.burdan c=3 bulunur

3 [2 , 4] ve f ‘(3) = 0 dır