bÖlÜm 2 tÜrevİn uygulamalari - iˆrev.pdftÜrev alma kurallari değişim oranı, ortalama ve...

TÜREV ALMA KURALLARI

Değişim Oranı, Ortalama ve Anlık Hız ..................................................................................................7Türev Alma Kuralları ........................................................................................................................... 11Parçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonların Türevi ..................................................................................29Türev ve Süreklilik ..............................................................................................................................33Uygulama Testleri .............................................................................................................................37

BÖLÜM 1BÖLÜM 1BÖLÜM 1

TÜREVİN UYGULAMALARI - I

Artan ve Azalan Fonksiyonlar .............................................................................................................61Ekstremum Noktalar ...........................................................................................................................65Birinci Türevin Grafi k Yorumu .............................................................................................................71Polinom Fonksiyonların Grafi kleri .......................................................................................................75Uygulama Testleri .............................................................................................................................79


TÜREVİN UYGULAMALARI - II

Teğet ve Normalin Eğimi.....................................................................................................................97Teğet ve Normal Denklemleri .............................................................................................................99Maksimum ve Minimum Problemleri .................................................................................................108Uygulama Testleri ...........................................................................................................................117


ANALİZ TESTLERİ

Analiz Testleri .................................................................................................................................141


Kuvvet Fonksiyonun TüreviKONU KAVRAMA

13 TÜREV ek tremum

BİLGİ KUTUSUÖRNEKLER

EKSTREMUM

YAYINLARI

EKSTREMUM

YAYINLARI

Kuvvet Fonksiyonun TüreviTanımlı olduğu aralıkta

( ) xf x mn= fonksiyonun türevi bulunurken

f(x) önce üslü ifade biçimine getirilir. Sonra kuvvet fonksiyonun türevi alınır. Yani

( ) xf x mn= fonksiyonunu üstel fonksiyon bi-

çiminde yazarsak

( )f x x nm

= olur. O hâlde

( )f x nm

x nm

1= -l olur.

: { }f R R0 ",+ ve :f R R"+l olmak üzere,

( ) ( ) f x x f xx

ise2

1= =l

Kuvvet Fonksiyonun Türevi

ÖRNEK 1

( )f x xx

xx

1 113

23= + + + +

olduğuna göre, ( )f 1l kaçtır?

ÖRNEK 2

( ).

f xx

x x3 3

=


ÖRNEK 3

( ) . .f x x x x3=


ÖRNEK 4

( )f x x4 1= + olmak üzere,

( ) ( )f x f x 10+ =l

olduğuna göre, x in alabileceği değerler toplamı kaçtır?

1) 31

- 2) 617

3) 83

4) 1665

GİRİŞ SEVİYE TEMEL SEVİYE ORTA SEVİYE

EKSTREMUM

YAYINLARI

EKSTREMUM

YAYINLARI

KAVRAMA TESTİ Polinom Fonksiyonların Türevi

Polinom Fonksiyonların Türevi

14 TÜREVek tremum

5. A 6. B3. D 4. E1. C 2. A

1. ( )f x x2=


A) 2 B) 1 C) 21

D) 41

E) 81

2. ( )f xx

33

=


A) 161

- B) 81- C)

41-

D) 21- E) –1

3. ( )f x x x2 22= + +


A) 7 B) 2

15 C) 8

D) 2

17 E) 9

4. ( )f x x xx

x1

22 3= + + + +


A) 31

B) 32

C) 34

D) 35

E) 37

5. ( ) . .f x x x x=3


A) 43

B) 65

C) 87

D) 1211

E) 1165

6. ( ).

f xx

x x3

=


A) 32

B) 65

C) 34

D) 87

E) 163

Bir Fonksiyonun Kuvvetinin TüreviKONU KAVRAMA

23 TÜREV ek tremum


EKSTREMUM

YAYINLARI

EKSTREMUM

YAYINLARI

Bir Fonksiyonun Kuvvetinin Türevin R! ve f(x) türevlenebilir bir fonksiyon ise

[ ( )]f x n fonksiyonu da türevlenebilir bir fonksi-

yondur.

( )y f xn

= 7 A ise . ( ) . ( )y n f x f xn 1

=-

l l7 A

Bu kural kareköklü ifadeye uygulanırsa

( )( )

( )f x

f x

f x

2=l

l_ i

elde edilir.

Bir Fonksiyonun Kuvvetinin Türevi

ÖRNEK 1

( ) ( )f x x x3 5 42 3= - +


ÖRNEK 2

( )f x x x3 32 23= - + -


ÖRNEK 3

( )f x x x4 2 3= + + +


ÖRNEK 4Türevlenebilir f ve g fonksiyonları için,

( ) ( )

( ) ( )

f x g x

g g

1 2 1

5 5 2

2 3+ = +

= =l


1) 12 2) 310

3) 141

4) 12


EKSTREMUM

YAYINLARI

EKSTREMUM

YAYINLARI

KAVRAMA TESTİ Bir Fonksiyonun Kuvvetinin Türevi

Bir Fonksiyonun Kuvvetinin Türevi

24 TÜREVek tremum

5. D 6. B3. E 4. B1. C 2. C

1. f(x) = (2x – 5)4


A) 1 B) 4 C) 8

D) 12 E) 16

2. ( )f x x x2 3 1= + - +


A) 161

B) 151

C) 121

D) 61

E) 31

3. f(x) = (x2 – 3x)3


A) 4 B) 6 C) 8

D) 10 E) 12

4. ( )( )

f xx x2

12 2

=-


A) –1 B) 0 C) 1

D) 2 E) 3

5. ( )f x x x 223= + +


A) 61

B) 41

C) 31

D) 125

E) 247

6. f(x) = (x3 + 1) . (x – 1)3


A) 24 B) 39 C) 54

D) 72 E) 108

Yüksek Mertebeden TürevKONU KAVRAMA

27 TÜREV ek tremum


EKSTREMUM

YAYINLARI

EKSTREMUM

YAYINLARI

Yüksek Mertebeden Türev( )y f x= n defa türevlenebilir bir fonksiyon ol-

mak üzere,

( )y f x= fonksiyonunun;

I. türevi ( )

( )ydx

dy

dx

df xf x= = =l l

II. türevi ( )

( )ydxd

dx

dy

dx

d y

dx

d f xf x

2

2

2

2

= = = =m mf p

III. türevi ( )ydx

d yf x

3

3

= =n n ve benzer man-

tıkla

n. türevi ( )

( )ydx

d y

dx

d f xf x( ) ( )n

n

n nn= = =

biçiminde gösterilir.

Uyarı: dx

d y

dx

dyn

n n

! f p olduğuna dikkat ediniz.

Yüksek Mertebeden Türev

ÖRNEK 1

y x 15= +

olduğuna göre, dx

d y5

5

ifadesinin eşitini bu-

lunuz.

ÖRNEK 2

( )( )

f xdx

d x x x3 12

2 5 2

=- + +


ÖRNEK 3

...y x x x 117 16 15= + + + +

olduğuna göre, dx

d y16

16


lunuz.

ÖRNEK 4

yx2 1

1=

-

olduğuna göre, dx

d y10

10


lunuz.

3) ! !x17 16+ 4) ( )

. !

x2 1

2 1011

10

-1) 120 2) 60


EKSTREMUM

YAYINLARI

EKSTREMUM

YAYINLARI

KAVRAMA TESTİ Yüksek Mertebeden Türev

Yüksek Mertebeden Türev

28 TÜREVek tremum

5. A 6. D3. B 4. E1. C 2. E

1. ( )f x x x x 13 2= - + -

olduğuna göre, x 1= için ( )

dx

d f x2

2

değe-

ri kaçtır?

A) 2 B) 3 C) 4

D) 5 E) 6

2. ( )f x x x x x2 4 24 3 2= + - + -

olduğuna göre, ( )

dx

d f x3

3

aşağıdakiler-

den hangisine eşittir?

A) –1 B) 0 C) x + 2D) 12x + 6 E) 24x + 6

3. ( )f x xx 1

=+

olduğuna göre, ( )f x( )13 aşağıdakilerden

hangisine eşittir?

A) !

x

1314

B) !

x

1314

- C) !

x

1213

D) !

x

1212

- E) !

x

1413

-

4. ( )f xx

x

1

12

=-

+


hangisine eşittir?

A) ( )

!

x1

99101-

B) ( )

!

x1

101100

--

C) ( )

!

x1

101100-

D) ( )

!

x1

99100

--

E) ( )

!

x1

99100-

5. ( ) .xdx

dx

x2

24

3

3

++

d n

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangi-sidir?

A) 12 B) x 2

12+

C) ( )x 2

122+

D) ( )x12 2+

E) ( )x12 2 2+

6. ( )f x x=


hangisine eşittir?

A) .. . .....

x2

3 5 7 13 113 13

B) .. . ... ..

x2

3 5 7 21 113 25

C) .. . . ... .

x2

3 5 7 23 113 25

-

D) .. . . ... .

x2

3 5 7 23 113 25

E) .. . . ... .

x2

3 5 7 25 115 25

-

Türev - Süreklilik İlişkisiKONU KAVRAMA

33 TÜREV ek tremum


EKSTREMUM

YAYINLARI

EKSTREMUM

YAYINLARI

3) 7 4) – 51) 6 2) {–3, 3}

Türev - Süreklilik İlişkisi

ÖRNEK 1: { }f R R5 "- tanımlı f(x) fonksiyonunun gra-

fiği verilmiştir.y

x

f(x)

1

1

2 3 4 5–1–2–3– 4

34

2

Buna göre, f(x) fonksiyonu tanımlı olduğu aralıkta kaç farklı noktada türevsizdir?

ÖRNEK 2: [ , ]f R3 3 "- olmak üzere, tanımlı olduğu

aralıkta

( )f x x9 2= -

fonksiyonunu türevsiz yapan x değerlerini bulunuz.

ÖRNEK 3

( ),

,f x

x

ax b

x

x

3 2 1

1

≥

<

2

=+

+*

fonksiyonu x 1= apsisli noktasında türev-li olduğuna göre, a b- farkı kaçtır?

ÖRNEK 4

( ) .f x x x x x xx5 5 3 12 23= - + + - - +

fonksiyonunun türevsiz olduğu farklı x de-ğerlerinin çarpımı kaçtır?

Türev - Süreklilik İlişkisi: f A R"

A R1 ve a A! olmak üzere, ( )y f x= fonksi-

yonu x a= apsisli noktasında türevli ise bu

noktada kesinlikle

I. Süreklidir.

II. Sağdan ve soldan türevleri birbirine eşittir.

f(x) fonksiyonu x a= apsisli noktasında

I. Sürekli değilse bu noktada türevli de de-ğildir.

II. Sürekli olduğu hâlde türevli olmayabilir.y

f(x)

xa b c d e f g

Örnek olarak yukarıda grafiği verilen f(x) fonk-siyonunun x a= ve x g= apsisli noktalarda

türevi vardır.

, , , , x b c d e f= apsisli noktalarda ise türevi

yoktur.

GİRİŞ SEVİYE - 1

EKSTREMUM

YAYINLARI

EKSTREMUM

YAYINLARI

UYGULAMA TESTİ - 1 Türev Alma Kuralları

37 TÜREV ek tremum

1. E 2. A 3. B 4. C 5. C 6. B

1. a reel sayı olmak üzere,

f(x) = a3

fonksiyonunun türevi aşağıdakilerden hangisidir?

A) 3a2 B) 3a C) 3

D)1 E) 0

2. f(x) = 2x3 –x + 1

olduğuna göre, f 2l_ i kaçtır?

A) 11 B) 10 C) 9

D) 8 E) 7

3. f(x) = (x2 – 1) . (x – 2)

olduğuna göre, ( )

dx

df x aşağıdakilerden

hangisine eşittir?

A) 3x2 – 2x + 1 B) 3x2 – 4x – 1

C) 3x2 + 4x – 1 D) 3x2 – 4x + 1

E) 3x2 – 2x – 1

4. ( )f xxx

112

=+

+


A) 4 B) 2 C) 12

D) 41

E) 81

5. ( )f x x3 4= +

olduğuna göre, f ′(4) kaçtır?

A) 81

B) 41

C) 83

D) 21

E) 1

6. Bir P(x) polinomu için,

( ) ( )P x P x x x4 62+ = - +l

olduğuna göre, P(2) kaçtır?

A) 3 B) 4 C) 5

D) 6 E) 7

Türev Alma KurallarıGİRİŞ SEVİYE - 1UYGULAMA TESTİ - 1

TEMEL SEVİYE - 1

EKSTREMUM

YAYINLARI

EKSTREMUM

YAYINLARI

UYGULAMA TESTİ - 2

UYGULAMA TESTİ - 2TEMEL SEVİYE - 1

Türev Alma Kuralları


40 TÜREVek tremum

7. D 8. C 9. E 10. A 11. B 12. D

11. ( )f x x mx 62= + +

fonksiyonunun x 2=- için türevi ol-madığına göre, ( )f 1l kaçtır?

A) 6 B) 7 C) 8

D) 9 E) 10

12. ( ),

,f x

x x

x

x

x

3

1

1

1≥

<2

=- +Z

[

\

]]]]]]]]]]

olduğuna göre, ( ) ( )f fo 2l değeri kaçtır?

A) –1 B) 0 C) 1

D) 2 E) 3

9. ( )| |

,

,f x

x

x

x

x

3 2

4

1

1

≤

>=

-

-*

fonksiyonunun türevli olduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?

A) R B) R – {1}

C) R – {4} D) (1, 4)

E) R – {1, 4}

10. ( )f x x x x x

1 122

= - + -

olduğuna göre, x 1=- için ( )

dx

d f x2

2

de-

ğeri kaçtır?

A) – 6 B) –5 C) – 4

D) –3 E) –2

7. ( )≥

,

,f x

x x

ax b

x

x

1 0

0

<3

=- +

+*

fonksiyonu her x reel sayısı için türevli olduğuna göre, a.b çarpımı kaçtır?

A) – 4 B) – 3 C) – 2

D) – 1 E) 1

8. f(x) = |x2 – 3x| + |6 – x|

olduğuna göre, fl(1) + fl(4) + fl(7) top-lamı kaçtır?

A) 14 B) 15 C) 16

D) 17 E) 18

ORTA SEVİYE - 5

EKSTREMUM

YAYINLARI

EKSTREMUM

YAYINLARI

UYGULAMA TESTİ - 9

UYGULAMA TESTİ - 9ORTA SEVİYE - 5



54 TÜREVek tremum

7. E 8. D 9. E 10. E 11. B 12. A

11. Derecesi 10 dan büyük olan P(x) polino-mu tek fonksiyondur.

Buna göre,

( )

( )

( )

( )

( )

( )...

( )

(. )

P

P

P

P

P

P

P

P

1

1

2

2 2

3

3 3

10

10 10( )

( )

10

10

-+

-+

-+ +

-'

'

''

''

işleminin sonucu kaçtır?

A) 0 B) 5 C) 10

D) 55 D) 110

12. ( )| |

,

,

,

,

≤f x

x

x

x x

x

x

x

x

3

1

1

1

1

1 1

1

1

<

<

>2

=

-

-

+ +

-

-

=

Z

[

\

]]]

]]]

olmak üzere,

I. fl(1+) = 3

II. fl(–1) = –1

III. fl(1) = 1

ifadelerinden hangileri doğrudur?

A) Yalnız I B) Yalnız II

C) I ve II D) I ve III

E) II ve III

9. ( )

,

,

,

f x

x x

x

x

x

x

1

3

4 1

1

1

1

<

>

2

2

=

+ +

-

=

Z

[

\

]]

]]

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangi-si yanlıştır?

A) f′(1–) = 3 B) f ′(1+) = 8

C) f′(0) = 1 D) f ′(2) = 16

E) f ′(1) = 0

10. y

x–1 1

1

–1

2 3 4

f(x)

5–4

Yukarıda f(x) fonksiyonunun grafiği veril-miştir.

[– 4, 5] aralığında f(x) in kaç farklı nok-tada türevi yoktur?

A) 3 B) 4 C) 5

D) 6 E) 7

7. f(x) = x2 – |4x – a|

fonksiyonu veriliyor.

fl(x) = 6 denklemini sağlayan iki farklı x değeri olduğuna göre, a kaç farklı tam sayı değeri alır?

A) 8 B) 10 C) 12

D) 13 E) 15

8. ( )u f x

x t

t v3 1

2

=

=

= -

olmak üzere, ddu

v ifadesinin v 1= için de-

ğeri 60 dır.

Buna göre, ( )f 4l kaçtır?

A) 2 B) 3 C) 4

D) 5 E) 6

İLERİ SEVİYE - 1

EKSTREMUM

YAYINLARI

EKSTREMUM

YAYINLARI

UYGULAMA TESTİ - 10



55 TÜREV ek tremum

1. C 2. E 3. D 4. B 5. D 6. A

1. n!N+ olmak üzere, f(x) = (x + 1)n fonksi-yonu veriliyor.

Buna göre,

( ) ( )!

( )...

!

( )f f

f

n

f0 0

2

0 0( ) ( )n2

+ + + +'

işleminin sonucu aşağıdakilerden han-gisidir?

A) 2n – 2 B) 2n – 1 C) 2n

D) 1 E) 0

2. ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )f x x x x x x x1 1 2 10 11= + + + + + + + +

( )f a 209=l

olduğuna göre, a kaçtır?

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4

3. f(x) = ax4 + bx2 + cx + d

fonksiyonunun x e göre türevi tek fonksiyon olduğuna göre, aşağıdaki-lerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A) a + b = 0 B) a + c = 0

C) c + d = 0 D) c = 0

E) d = 0

4. Türevlenebilir f fonksiyonu için

f(x2) + f(2x) = x2 + 2x + 3

olduğuna göre, f′(4) kaçtır?

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4

5. ( ) xf x 3 22= -l

olduğuna göre, x = 1 için ( )df x

dx

2

kaç-tır?

A) 21

B) 1 C) 23

D) 2 E) 4

6. ( )f x x x x2 2 1 12= + - - +


A) 41

B) 31

C) 21

D) 1 E) 23

UYGULAMA TESTİ - 10İLERİ SEVİYE - 1

KONU KAVRAMA

69 TÜREV ek tremum


EKSTREMUM

YAYINLARI

EKSTREMUM

YAYINLARI

2) 4 3) 3

ÖRNEK 1y

x

f(x)

– 4 –3 –2 2 3 4 6

Yukarıda f(x) fonksiyonunun [– 4, 6] aralığın-da grafiği verilmiştir.

Buna göre,

a) f(x) in artan olduğu aralıkları

b) f(x) in azalan olduğu aralıkları

c) f(x) in ekstremum noktalarının apsislerini

d) ( ) . ( )f x f x 0>l eşitsizliğinin çözüm kümesini

bulunuz.

ÖRNEK 2

f(x)

y

x–5 6

Yukarıda (–5, 6 ] aralığındaki grafiği verilen f(x) fonksiyonunun kaç tane ekstremum noktası vardır?

ÖRNEK 3

f(x)

y

x32–2

2

3

Yukarıda f(x) fonksiyonunun (–2, 3) aralığın-daki grafiği verilmiştir.

Buna göre,

I. f(x) in mutlak minimumu vardır.

II. f(x) in mutlak maksimumu vardır.

III. ( )f 0 0=l

IV. ( ).f f125

0<l ld n

V. ( )f f125

>-l ld n

ifadelerinden kaçı doğrudur?

Grafi ği Verilen Fonksiyonu Yorumlamak

y

xe

dx3 x4cbx1 x2a

f(x) fonksiyonunun [a, b] aralığındaki grafiği yukarıdaki gibi olsun.

Buna göre,

1) f(x), [a, b] ve [c, d] aralığında artandır. Bu nedenle

( ) , ( )f x f x0 0> >1 3l l olur.

2) f(x), [b, c] ve [d, e] aralığında azalandır. Bu nedenle

( ) , ( )f x f x0 0< <2 4l l olur.

3) f(x) in x b= ve x d= apsisli noktalarda

yerel maksimumu vardır.

( ) ( )f b f d 0= =l l

4) f(x) in x c= apsisli noktasında yerel mini-

mumu vardır. Bu nedenle

( )f c 0=l olur.

5) f(x) in x a= apsisli noktasında yerel mini-

mumu vardır.

6) f(x) in x b= apsisli noktasında mutlak

maksimumu vardır ama f(x), x e= apsisli

noktada tanımlı olmadığından f(x) in mut-lak minimumu yoktur.

7) f(x) in x a= , x b= , x c= ve x d= ap-

sisli noktalarında ekstremum değerleri vardır.

Grafiği Verilen Fonksiyonu Yorumlamak


1) a) [ , ]3 6

b) [ , ]4 3-

c) , , ,4 2 3 6- -

d) ( , ) ( , ) ( , )3 2 2 3 4 6, ,- -


EKSTREMUM

YAYINLARI

EKSTREMUM

YAYINLARI

KAVRAMA TESTİ

70 TÜREVek tremum


5. D 6. B3. D 4. A1. C 2. C


5.

–11

f(x)

32 54–2

y

x


Buna göre, f(x) fonksiyonunun ekst-remum noktalarının apsisler toplamı kaçtır?

A) 7 B) 9 C) 11

D) 13 E) 14

6.

1

f(x)

32

–3–4 –1

–2

y

x


Buna göre, f(x) fonksiyonunun yerel maksimum noktalarının apsisler topla-mı kaçtır?

A) – 6 B) – 2 C) 0

D) 1 E) 5

3.

–2

f(x)y

x2 4–4


Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) fl(–6) . fl(3) < 0

B) fl(–3) . fl(5) > 0

B) fl(–5) . fl(6) > 0

D) fl(–1) . fl(1) > 0

E) fl(0) . fl(3) = 0

4. f(x)y

bx

a

Yukarıda f(x) fonksiyonunun [a,b] aralı-ğındaki grafiği verilmiştir.

Buna göre, f(x) in kaç tane ekstremum noktası vardır?

A) 6 B) 5 C) 4

D) 3 E) 2

1.

–1–2

f(x)

1 2–3

y

x

Yukarıda f(x) fonksiyonunun grafiği çizil-miştir.

Buna göre, f(x) fonksiyonunundaima artan olduğu aralık aşağıdakiler-den hangisidir?

A) (–3, –3] B) [–3, –1]

C) [–2, 1] D) [–1, 2]

E) [2, 3)

2.

–1

f(x)

1 2x

y


Buna göre,

I. (–1, 1) aralığında f ′(x) > 0

II. (1, 3) aralığında f ′(x) < 0

III. f(4) < f(5)ifadelerinden hangileri doğrudur?

A) Yalnız I B) I ve II

C) I ve III D) II ve III

E) I, II ve III

TEMEL SEVİYE - 1

EKSTREMUM

YAYINLARI

EKSTREMUM

YAYINLARI

UYGULAMA TESTİ - 2

UYGULAMA TESTİ - 2TEMEL SEVİYE - 1

Türevin Uygulamaları - I


82 TÜREVek tremum

7. A 8. C 9. E 10. B 11. C 12. D

11. ( )f xx

mx mx3

2 13

2= + + +

fonksiyonunun ekstremum noktası olmadığına göre, m aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) 3- B) 1- C) 1

D) 3 E) 5

12.

2 x

y

1–1–2–3

fl(x)

Yukarıda türevinin grafiği verilen f(x) fonksiyonun dönüm noktalarının ap-sisler toplamı kaçtır?

A) – 4 B) – 3 C) – 2

D) 1 E) 2

9. f(x) = x3 – x

fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

1–1 1

1–1

1–1

1–1

A) B)

C) D)

E)

10. t saniye olmak üzere konum - zaman fonksiyonu x(t) = (t3 – 2t2 – t – 1) metre olan bir hareketlinin 2. saniyedeki anlık hızı kaç m/sn dir?

A) 2 B) 3 C) 4

D) 5 E) 6

7. ( ) lnf x ex x4 12

= - +

fonksiyonunun azalan olduğu en ge-niş aralık aşağıdakilerden hangisidir?

A) ( , ]23- B) ( , ]03-

C) ( , )1 0- D) ( , ]0 2

E) ( , )1 2-

8. ( )f xx

x3 3

832= - +

fonksiyonunun dönüm noktasının ordinatı kaçtır?

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4

ORTA SEVİYE - 2

EKSTREMUM

YAYINLARI

EKSTREMUM

YAYINLARI

UYGULAMA TESTİ - 5 Türevin Uygulamaları - I


87 TÜREV ek tremum

1. C 2. B 3. D 4. C 5. A 6. B

1. f(x) fonksiyonu (a, b) aralığında pozitif değerli ve azalan olduğuna göre, aşa-ğıdaki fonksiyonlardan hangisi aynı aralıkta daima artandır?

A) f(x) B) f 2(x) C) ( )f x

13

D) f 3(x) E) f(x) + fl(x)

2.

f(x)

–1 2

y

x3

Yukarıda f(x) fonksiyonunun grafiği veril-miştir.Buna göre,

I. (–3, –1] aralığında f(x) artandır.

II. fl(2) = 0

III. x = 3 te fl(x) in yerel maksimumu vardır.



C) Yalnız III D) I ve II

E) II ve III

3.

fl(x)

y

x–1 21

3 4

Yukarıda f(x) fonksiyonunun birinci türevi-nin grafiği verilmiştir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) x = 1 de f(x) in yerel ekstremumu var-dır.

B) x = 3 te f(x) in yerel maksimumu var-dır.

C) x = –1 de f(x) in yerel minimumu var-dır.

D) x = 4 te f(x) in yerel maksimumu var-dır.

E) f(x) in 5 tane yerel ekstremum noktası vardır.

4. : [ , ]f R0 1 " olmak üzere,

( )f x x x x2 3 6 13 2= + + +

fonksiyonunun görüntü kümesinde kaç farkı tam sayı değeri vardır?

A) 10 B) 11 C) 12

D) 13 E) 14

5. ( )f xx

x

x

xk

3 1

1≥

<2

=-

+*

fonksiyonunun x 1= apsisli noktasın-da yerel minimumu olduğuna göre, k nin en geniş tanım aralığı aşağıdaki-lerden hangisidir?

A) ( . ]13- B) [ , ]2 2-

C) [ , ]1 1- D) ( , )0 1

E) [ , ]1 3

6. ( )f x x x x2 5 10 35 4 3= - - +

fonksiyonunun yerel ekstremum nok-talarının apsisler toplamı kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5


İLERİ SEVİYE - 2

EKSTREMUM

YAYINLARI

EKSTREMUM

YAYINLARI

UYGULAMA TESTİ - 8



93 TÜREV ek tremum

1. C 2. A 3. A 4. E 5. C 6. C

İLERİ SEVİYE - 2UYGULAMA TESTİ - 8

1. x!R+ olmak üzere,

( )| |

f xx

x 22

=-

fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?

A) (0, 2] B) (0, 4] C) [2, 4]

D) (0, 3) E) [4, 3)

2. f(x) = |x| + |x2 – 1|

fonksiyonunun kaç tane ekstremum noktası vardır?

A) 5 B) 4 C) 3

D) 2 E) 1

3. ( )f xa x

x

x

x

2

2 3

1

1

≤

>=

-

+

-

-*

fonksiyonunun x = –1 apsisli noktasın-da yerel minimumu olduğuna göre, a aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) – 1 B) 0 C) 1

D) 2 E) 3

4.

1

1

–3 3

f(x)

x

y

Yukarıdaki şekilde f(x) eğrisinin grafiği ve-rilmiştir.

( )

( )≤

f x

f x 10

-

'

eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdaki-lerden hangisidir?A) (–3, –3) B) (–3, 1)

C) (1, 3] D) [3, 4)

E) (–3, –3) , (1, 3]

5. f(x) = x3 – 2x2 + ax – 3

fonksiyonunun birbirinden farklı iki tane yerel ekstremumu olduğuna göre, a nın alabileceği en büyük tam sayı de-ğeri kaçtır?

A) 3 B) 2 C) 1

D) 0 E) – 1

6.

1

1

f(x)

x

y

32

Yukarıdaki f(x) fonksiyonunun grafiği ve-rilmiştir.

Buna göre, f(x) fonksiyonunun birinci türevinin grafiği aşağıdakilerden han-gisi olabilir?

–1

1A) B)

3

21

C) D)

–1

1

21

–1

121

–1

1

21

–1

1E)

Maksimum - Minimum ProblemleriKAVRAMA TESTİ

110 TÜREVek tremum

Maksimum - Minimum Problemleri

EKSTREMUM

YAYINLARI

EKSTREMUM

YAYINLARI

2) 27 3 3) 72 4) 3101) 18

BİLGİ KUTUSU

ÖRNEKLER

ÖRNEK 2

A B12 cm

CD

Şekildeki [AB] çaplı yarım çember,

AB cm12=

Yukarıdaki verilere göre, ABCD yamuğu-nun alanı en çok kaç cm2 dir?

ÖRNEK 3

B

DAO

C

O merkezli çeyrek dairede OD cm12=

olduğuna göre, OABC dikdörtgeninin alanı en çok kaç cm2 dir?

ÖRNEK 4Toplamları 12 olan iki doğal sayının birinin küpü ile diğerinin çarpımı en çok kaçtır?

ÖRNEK 1

B D

A

EH C

FG

ABC üçgeninde, AH BC=7 7A A, BC cm12= ,

AH cm6=

olduğuna göre, DEFG dikdörtgeninin alanı en çok kaç cm2 dir?

Aşağıdaki durumlarda türev almak yerine il-gili pratikler kullanılabilir.

1) A

B E F C

GD

Bir üçgenin içine çizilebilecek dikdörtge-nin alanının maksimum değeri, üçgenin alanının yarısıdır.

2) Köşeleri daire üzerinde olmak şartıyla bir dairenin içine çizilen çokgen, düzgün çok-gen olduğunda alanı maksimum olur.

Bu nedenle

a) A

CB

ABC, eşkenar üçgen olduğunda alanı mak-simum olur.

b)

C

O

B

DA ABCD, kare olduğunda alanı maksimum olur. (Dört eş kare olmalı)

c)

COB

DA

BO

CA

Benzer mantık, yarım daire ve çeyrek da-ire için de geçerlidir.

d)

B C

A D

060° 60°

ABCD yamuğu, taban açıları 60° olan ikizkenar bir yamuk olduğunda alanı mak-simum olur. Üç tane eşkenar üçgen olu-şur.

3) y

xO

Py = x

y = kx

y xk

= eğrisinin orijine en yakın olduğu

nokta, y xk

= eğrisi ile y x= doğrusunun

kesim noktasıdır.

4) , , , , x y m n c R! + ve x y c+ = (sabit)

olmak üzere, .x ym n çarpımının maksi-

mum olması için yx

nm

= olmalıdır.


EKSTREMUM

YAYINLARI

EKSTREMUM

YAYINLARI

KAVRAMA TESTİ Maksimum - Minimum Problemleri


111 TÜREV ek tremum

5. D 6. E3. E 4. B1. A 2. B

5.

F

CB

G

O D E A

O merkezli çeyrek daire üzerinde bir B noktası alınıp, OAB üçgeni ve DEFG dik-dörtgeni çiziliyor.

|OA| = 4 cm olduğuna göre, DEFG dik-dörtgeninin alanı en çok kaç cm2 olur?

A) 8 B) 2r C) 6

D) 4 E) r

6.

A Cx

y

BD

6

O

Yukarıdaki şekilde O merkezli çeyrek dai-re ve OAB dik üçgeni verilmiştir.

[OA] ⊥ [AB] ve |OD| = 6 cm olduğuna göre, OAB dik üçgeninin alanı maksi-mum olduğunda A noktasının apsisi kaçtır?

A) 2 B) 3 C) 2 3

D) 4 E) 3 2

3. 16x

y

x

P

O

y =

y x16

= eğrisinin başlangıç noktası-na en yakın olduğu nokta P olduğuna göre, |OP| kaç birimdir?

A) 2 5 B) 2 6 C) 5

D) 2 7 E) 4 2

4. y

x

C B

O A3x + 4y = 48

Analitik düzlemde 3x + 4y = 48 doğrusu ve OABC dikdörtgeni verilmiştir.

Buna göre, OABC dikdörtgeninin alanı-nın en büyük değeri kaç br2 dir?

A) 54 B) 48 C) 45

D) 40 E) 36

1. A

D H E

G F

B C

ABC bir üçgen,

[AH] ⊥ [BC], |BC| = 10 br, |AH| = 8 br

Buna göre, DEFG dikdörtgeninin alanı en çok kaç br2 dir?

A) 20 B) 24 C) 30

D) 32 E) 40

2.

C O BD

F E

A

Şekilde O merkezli yarım daire ve CDEF dikdörtgeni verilmiştir.

|OB| = 2 2 cm olduğuna göre, CDEF dikdörtgeninin alanı en çok kaç cm2 olabilir?

A) 8 2 B) 8 C) 4 2

D) 4 E) 2 2

KAVRAMA TESTİ

112 TÜREVek tremum


EKSTREMUM

YAYINLARI

EKSTREMUM

YAYINLARI

Grafik Üzerindeki Maksimum Minimum Problemleri


Grafi k Üzerindeki Maksimum Minimum Problemleri

Grafik sorularında maksimum - minimum he-saplanırken önce, eğri üzerinde bir nokta se-çilir. Bu noktanın koordinatları eğri denklemi kullanılarak yazılır ve maksimum - minimum olması istenilen ifade bu noktanın koordinat-ları cinsinden yazılır.

y = f(x)

x = a

BO C

AD

y

x

Bir f(x) fonksiyonu, ABCD dikdörtgeni ve x a= doğrusu verilmiş olsun.

f(x)

x = a14444444244444443

B C

D

y

x

A(x1, f(x1))

f(x1)

x1

a

O

Önce ABCD dikdörtgeninin eğri üzerindeki A köşesini isimlendirelim. ( , ( ))A x f x1 1 olsun.

Bu durumda

OB x1= , ( )AB f x1= ve

BC OC OB a x1= - = - olur.

( ) .

( ) ( ) .

Alan ABCD AB BC

f x a x olur1 1

=

= -

Artık bu ifadenin türevi alınıp, ekstremum de-ğerleri bulunur.

ÖRNEK 1

y

x

B

A O

C

Şekilde y x x12 362= + + eğrisi ile AOBC

dikdörtgeni verilmiştir.

Dikdörtgenin C köşesi grafiğin sağ kolu üzerinde olduğuna göre, dikdörtgenin ala-nı en fazla kaç birimkare olur?

ÖRNEK 2

y

CD

B

y = 3

y = x2 – 9

A

x

Şekilde y x 92= - eğrisi ile ABCD dikdörtge-

ni verilmiştir.

Dikdörtgenin A ve B köşeleri eğri üzerin-de, C ve D köşeleri y = 3 doğrusu üzerinde olduğuna göre, dikdörtgenin alanı en çok kaç birimkaredir?

ÖRNEK 3

y

xH

C

A(– 4, 0)

y x4= -

Şekilde C noktası y x4= - eğrisinin

I. bölgesinde kalan parçasının üzerinde herhangi bir nokta olduğuna göre, AHC dik üçgeninin alanı en büyük olduğunda C noktasının apsisi kaç olur?

ÖRNEK 4

y

d

A(4, 10)

x

A(4, 10) noktasından geçen bir d doğrusu ve-riliyor.

Doğru ile koordinat eksenleri arasında ka-lan alanın en küçük olması için doğrunun eğimi kaç olmalıdır?

3) 34

4) 25

-1) 32 2) 32


EKSTREMUM

YAYINLARI

EKSTREMUM

YAYINLARI

KAVRAMA TESTİ


5. B 6. A3. E 4. D1. C 2. B

5. y = 2x doğrusunun A(10, 0) noktasına en yakın olduğu noktanın koordinatları toplamı kaçtır?

A) 4 B) 6 C) 8

D) 9 E) 10

6.

A D

B C

x

y

y = –1

y = x2 – 7

Yukarıda y = x2 – 7 parabolünün vey = –1 doğrusunun grafikleri verilmiştir.

Buna göre, ABCD dikdörtgeninin alanı en çok kaç br2 dir?

A) 8 2 B) 10 2

C) 12 2 D) 14 2

E) 16 2

3. y

xA B

CD

y = – x + 12

y = x

Şekilde y = x ve y = – x + 12 doğruları ile ABCD dikdörtgeni verilmiştir.

Buna göre, ABCD dikdörtgeninin alanı en büyük olduğunda A noktasının ap-sisi kaçtır?

A) 1 B) 23

C) 2

D) 25

E) 3

4.

x = 6

C

x

y

A

D

B

y = x

Analitik düzlemde y x= eğrisi, x = 6 doğ-rusu ve ABCD dikdörtgeni verilmiştir.

Buna göre, ABCD dikdörtgeninin ala-nının maksimum olması için A noktası-nın apsisi kaç olmalıdır?

A) 21

B) 1 C) 23

D) 2 E) 25

1. y

x

B

AO

C

y = 3 – x2

Yukarıdaki y x3 2= - parabolü ve OABC dikdörtgeninin B köşesi parabol üzerinde I. bölgede bir noktadır.

Buna göre, OABC dikdörtgeninin alanı en çok kaç br2 dir?

A) 1 B) 23

C) 2

D) 25

E) 3

2. y

xB

A

y = 4xy = x2

Analitik düzlemde y = x2 parabolü, y = 4x doğrusu, A(x1 ,y1) noktası ve y eksenine paralel [AB] doğru parçası veriliyor.

Buna göre, |AB| doğru parçasının uzunluğu en fazla kaç br olabilir?

(0 ≤ x1 ≤ 4 olmak şartıyla)

A) 2 B) 4 C) 6

D) 8 E) 10




EKSTREMUM

YAYINLARI

EKSTREMUM

YAYINLARI

KAVRAMA TESTİ Maksimum - Minimum Problemleri

114 TÜREVek tremum

5. A 6. E3. C 4. C1. C 2. B

1. A

B C

A

B C

Şekildeki gibi, dik üçgen biçiminde bir bahçenin bir kenarında duvar vardır. Bu bahçenin dik kenarları bir sıra tel ile çev-rilecektir.

Telin uzunluğu 16 m olduğuna göre bu bahçenin alanı en fazla kaç m2 olabilir?

A) 64 B) 8 C) 32

D) 24 E) 16

2. A

B CD

A

B CD

B′

Bir ABC dik üçgeni ve AD doğrusu çizili-yor. ABD dik üçgeni AD doğrusu boyunca katlandığında B noktası [AC] kenarı üze-rindeki B′ noktasına geliyor.

|BC| = 12 cm olduğuna göre, DBlC üç-geninin alanı en büyük değerini aldı-ğında |BD| kaç cm olur?

A) 2 B) 4 C) 6

D) 8 E) 10

3.

r

O

Şekildeki O merkezli r yarıçaplı daire dili-minin alanı 36 br2 dir.

Buna göre, daire diliminin çevresinin en küçük olması için r kaç br olmalıdır?

A) 3 B) 3 2 C) 6

D) 6 2 E) 12

4. D C

F

A BE

ABCD bir dikdörtgen

[DF] ⊥ [EF]

|AB| = 16 cm

|BC| = 8 cm

olduğuna göre, |EB| uzunluğunun ala-bileceği en büyük değer kaç cm dir?

A) 41

B) 21

C) 1

D) 23

E) 2

5. Alanı 48 cm2 olan dikdörtgen şeklindeki bir levhanın tamamı kullanılarak tabanı kare olacak şekilde en büyük hacimli üstü açık bir kare dik prizma yapılıyor.

Buna göre, bu prizmanın yüksekliği kaç cm olur?

A) 2 B) 3 C) 4

D) 6 E) 8

6. Uzunluğu a br olan bir ip iki parçaya bölü-nüyor ve her parçanın uçları birleştirilerek birisinden kare, diğerinden bir daire yapı-lıyor.

Kare ile dairenin alanları toplamının en küçük olması için karenin bir kenarı ne olmalıdır?

A) a

2r B)

ar

C) a

2r + D)

a3r +

E) a

4r +


UYGULAMA TESTLERİ

ORTA SEVİYE - 4

EKSTREMUM

YAYINLARI

EKSTREMUM

YAYINLARI

UYGULAMA TESTİ - 7


130 TÜREVek tremum

7. B 8. E 9. C 10. A 11. E 12. D

11. Bir dairenin yarıçapı saniyede 0,2 cm hızla artmaktadır.

Buna göre, dairenin yarıçapı 20 cm olduğunda, dairenin alanının değişim hızı kaç cm2/sn olur?

A) 3r B) 4r C) 5r

D) 6r E) 8r

12. Analitik düzlemde P(1, 2) noktasından çizilen doğrunun I. bölgede eksenlerle oluşturduğu üçgenin alanının en kü-çük değeri kaç br2 dir?

A) 10 B) 8 C) 6

D) 4 E) 2

9. ( )f xx

x

1

12

2

=+

-

fonksiyonunun alabileceği en küçük değer kaçtır?

A) –3 B) –2 C) –1

D) 0 E) 1

10. Yüzey alanı sabit olan bir dik silindirin hacmi maksimum olduğunda, silindi-rin yüksekliğinin, silindirin taban çapı-na oranı kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3

D) 2 E) 3

7. f(x) = ax3 + bx2 + cx

fonksiyonunun x = 1 apsisli noktasın-da dönüm noktası ve x = –1 apsisli noktasında da yerel ekstremumu oldu-

ğuna göre, ab c+ oranı kaçtır?

A) – 13 B) – 12 C) – 10

D) – 8 E) – 6

8. a ≠ 0 olmak üzere,

x2 – (a3 – 6a2)x + a = 0

denkleminin kökleri x1 ve x2 olduğuna

göre, x x1 1

1 2+ toplamı en küçük değe-

rini aldığında a kaçtır?

A) – 2 B) – 1 C) 1

D) 2 E) 3

Türevin Uygulamaları - II


İLERİ SEVİYE - 1

EKSTREMUM

YAYINLARI

EKSTREMUM

YAYINLARI

UYGULAMA TESTİ - 8


1. D 2. E 3. C 4. E 5. D 6. B



1.

1 a

P

y

x

f(x)

Yukarıda f(x) parabolünün grafiği verilmiş-tir.

f(x) parabolünün P(2, y) noktasındaki teğeti orijinden geçtiğine göre, a kaç-tır?

A) 25

B) 3 C) 27

D) 4 E) 29

2. yd1d2

x1 x2

y = –x2 + a

x

y x a2= - + parabolünün x eksenini kes-

tiği x1 ve x2 apsisli noktalarındaki teğetleri sırasıyla d1 ve d2 doğrularıdır.

d d1 2= olduğuna göre, a kaçtır?

A) 2 B) 1 C) 21

D) 31

E) 41

3. f(x)d

A(1, 3)

B(5, 7)

x

y

Şekildeki d doğrusu f(x) eğrisine sırasıyla A(1, 3) ve B(5, 7) noktalarında teğettir.

g(x) = f(x2) + f 2(x +4)

olduğuna göre, g ′(1) kaçtır?

A) 14 B) 15 C) 16

D) 17 E) 18

4. f(x) = x2 + 4x + 5

fonksiyonunun y = 6x + 2 doğrusuna en yakın noktasının ordinatı kaçtır?

A) 2 B) 4 C) 6

D) 8 E) 10

5. y = x2 + a

B

A(x1, y1)

Cd

x

y

a > 0 olmak üzere y = x2 + a eğrisinin A(x1, y1) noktasındaki teğeti çizilmiştir.

|AB| = |BC|

olduğuna göre, y

x

1

12

oranı kaçtır?

A) 2 B) 3 C) 2 3

D) 4 E) 5

6. ( )f xx

x3

2 103

= - +

g(x) = x2 + x + 1

eğrileri I. bölgede birbirine teğettir.

Buna göre, bu eğrilerin teğet oldukları noktanın apsisi kaçtır?

A) 2 B) 3 C) 4

D) 5 E) 6


İLERİ SEVİYE - 1

EKSTREMUM

YAYINLARI

EKSTREMUM

YAYINLARI

UYGULAMA TESTİ - 8


132 TÜREVek tremum

7. A 8. C 9. E 10. A 11. A 12. B



11.

6 km

Asfalt yol

Toprak yol

A

B C D

Bir bisikletlinin hızı toprak yolda saatte 9 km asfalt yolda ise 18 km'dir.

Evi asfalt yola 6 km uzaktaki A noktasında olan bu bisikletli D noktasındaki köyüne en kısa sürede gitmek için asfalt yola C noktasından giriyor.

|AB| = 6 km olduğuna göre, |BC| kaç km'dir?

A) 2 3 B) 15 C) 4

D) 3 2 E) 2 5

12. y

3 km/sa

y

AB

x2

2

=

x

Analitik düzlemde A ve B hareketlileri baş-langıç noktasında bulunmaktadır. Aynı anda harekete başlayan bu iki hareketli-den A, pozitif y ekseni boyunca 3 km/sa

hızla B hareketlisi de yx2

2

= eğrisi üze-

rinde gitmektedir.

3 saat sonra bu iki hareketli arasında-ki mesafe minimum olduğuna göre, bu andaki B hareketlisinin koordinatları toplamı kaç olur?

A) 16 B) 12 C) 10

D) 8 E) 8

9. C

A 50 km B

3 km/sa4 km/sa

Şekildeki A noktasında bulunan hare-ketli 4 km/sa hızla B noktasına doğ-ru, B noktasında bulunan hareketli de3 km/sa hızla C noktasına doğru aynı anda harekete başlıyor.

[AB] ⊥ [BC] ve |AB| = 50 km olduğu-na göre, harekete başladıktan kaç saat sonra iki hareketli arasındaki uzaklık minimum olur?

A) 4 B) 5 C) 6

D) 7 E) 8

10. F C4

9

E

BA

D

a

ABCD bir dikdörtgen, [AF] ⊥ [EF],

( )m DAF a=%

, |AF| = 9 cm, |FC| = 4 cm

Cosa nın hangi değeri için |AD| + |EF| toplamı en küçük olur?

A) 32

B) 21

C) 94

D) 31

E) 41

7. f(x) = x3 + 9x2 + 1

eğrisinin hangi apsisli noktasındaki te-ğetinin eğimi en küçüktür?

A) – 3 B) – 2 C) – 1

D) 0 E) 1

8. 30 cm uzunluğundaki bir telin tamamı kul-lanılarak bir düzgün altıgen ve bir eşkenar üçgen yapılmak isteniyor.

Bu çokgenlerin alanları toplamının en küçük olması için düzgün altıgenin bir kenar uzunluğu kaç cm olmalıdır?

A) 1 B) 3 C) 2

D) 5 E) 6

İLERİ SEVİYE - 3

EKSTREMUM

YAYINLARI

EKSTREMUM

YAYINLARI

UYGULAMA TESTİ - 10



1. D 2. C 3. E 4. D 5. A 6. E


1. f(x) = x3 – 3x2 + 4

eğrisinin yerel maksimum noktasından çizilen teğetinin eğriyi kestiği diğer noktanın koordinatları toplamı kaçtır?

A) 4 B) 5 C) 6

D) 7 E) 8

2. f(x) = x2 ve g(x) = x6 6

52

+

parabollerinin kesim noktalarından bi-rinden her iki parabole çizilen teğetler arasındaki dar açı kaç derecedir?

A) 75 B) 60 C) 45

D) 30 E) 15

3. y = mx + n doğrusu x . y = 1 eğrisinin bir normali olduğuna göre aşağıdaki-lerden hangisi daima doğrudur?

A) m = – n B) m . n = 1

C) m . n = – 1 D) m < 0

E) m > 0

4.

y = x2 + 7

x = 4

d

CA

y

x

B

Yukarıdaki grafikte y = x2 + 7 parabolü-ne A noktasında teğet olan d doğrusu ile x = 4 doğrusu verilmiştir.

|AB| = |AC| olduğuna göre, B noktası-nın ordinatı kaçtır?

A) 6 B) 5 C) 4

D) 3 E) 2

5. "İki eğrinin kesim noktalarındaki teğetle-ri birbirine dik ise bu eğrilere dik kesişen eğriler denir."

x = y2 ve x . y = c eğrileri dik kesiştiğine göre, c2 kaçtır?

A) 81

B) 41

C) 21

D) 1 E) 2

6. f(x) = x2 eğrisine dışındaki A(2, 0) nokta-sından çizilen teğetlerden birinin denkle-mi aşağıdakilerden hangisidir?

A) y = 2x – 4 B) y = 3x – 6

C) y = 4x – 8 D) y = 6x – 12

E) y = 8x – 16


Türev Genel Tekrar

ORTA SEVİYE - 5

EKSTREMUM

YAYINLARI

EKSTREMUM

YAYINLARI

ANALİZ TESTİ - 9

Türev Genel Tekrar


1. D 2. D 3. C 4. E 5. C 6. B

5. y = x3 eğrisi üzerinde koordinatları sıfır-dan farklı olan bir P(x1, y1) noktası alını-yor.

Eğrinin P noktasındaki teğetinin eğimi, bu noktadaki değerine eşit olduğuna göre, x1 + y1 toplamı kaçtır?

A) 2 B) 10 C) 30

D) 68 E) 130

6. "İki eğrinin kesim noktalarındaki teğetleri birbirine dik ise bu eğrilere dik kesişen eğ-riler denir."

f(x) = 1 – x2 ile g(x) = ax2 parabolleri dik kesiştiğine göre, a kaçtır?

A) 41

B) 31

C) 21

D) 2 E) 25

3. f(x) = |x3 – x2 – 2x|

fonksiyonu kaç noktada türevsizdir?

A) 5 B) 4 C) 3

D) 2 E) 1

4. f(x) = –x2 + k

parabolüne başlangıç noktasından çi-zilen teğetler birbirine dik olduğuna göre, k kaçtır?

A) -45

B) –1 C) -43

D) -21

E) -41

1. ( ) ...f x x x x x x

1 1 1 12 3 9

= + + + + +

olduğuna göre f ′(1) kaçtır?

A) – 32 B) – 33 C) – 40

D) – 44 E) – 45

2. Türevlenebilir f, g ve F fonksiyonları için

F(x) = (fog)(x)

f(x) . g(x) = x

g(2) = 1, fl(1) = 3 ve fl(2) = – 5

olduğuna göre, F′(2) kaçtır?

A) 1 B) 3 C) 6

D) 9 E) 12

Türev Genel TekrarORTA SEVİYE - 5ANALİZ TESTİ - 9

Türev Genel Tekrar

ORTA SEVİYE - 5

EKSTREMUM

YAYINLARI

EKSTREMUM

YAYINLARI

ANALİZ TESTİ - 9

ANALİZ TESTİ - 9ORTA SEVİYE - 5 Türev Genel Tekrar

158 TÜREVek tremum

7. C 8. B 9. B 10. C 11. A 12. B

11. y2 = ax

parabolüne dışındaki A(2, 1) noktasın-dan çizilen teğetler birbirine dik oldu-ğuna göre, a kaçtır?

A) –8 B) –6 C) 4

D) 6 E) 9

12. f(x) = x3 – 3x2 + 4

fonksiyonunun [– 3,3] aralığında kaç farklı kökü vardır?

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

9. Bir hareketlinin t saatte aldığı yol

( ) ( )lns t e tt t6 22

= +- km denklemi ile veri-

liyor.

Buna göre, bu hareketlinin 3. saatteki anlık hızı kaç km/sa olur?

A) 2e B) 6 C) 7

D) 8 E) e

10.

2O

f(x)

– 4

y

x

f(x) = mx3 + nx2 + kx + p

fonksiyonunun dönüm noktasının ap-sisi kaçtır?

A) – 2 B) – 1 C) 0

D) 1 E) 2

7.

54B C

A

D

a

ABC bir dik üçgen

[AB]=[BC]

|BD| = 4 cm

|DC| = 5 cm

( )m DAC a=%

olduğuna göre tana değeri maksimum olduğunda |AB| kaç cm olur?

A) 4 B) 5 C) 6

D) 9 E) 12

8.

O

D C

BA

y = x2 + 4

y = x

y

x

Yukarıdaki şekilde y = x2 + 4 parabolü, y = x doğrusu ve [AB] kenarı x eksenine paralel olan ABCD karesi verilmiştir.

Buna göre, ABCD karesinin alanı mi-nimum olduğunda A noktasının apsisi kaç olur?

A) 85

B) 21

C) 83

D) 41

E) 81

İLERİ SEVİYE - 1

EKSTREMUM

YAYINLARI

EKSTREMUM

YAYINLARI

ANALİZ TESTİ - 10

ANALİZ TESTİ - 10İLERİ SEVİYE - 1 Türev Genel Tekrar

Türev Genel Tekrar

160 TÜREVek tremum

7. D 8. B 9. B 10. C 11. D 12. A

11. y

O–145°

3

P(x)

x

Yukarıda üçüncü dereceden bir polinom olan P(x) fonksiyonu ve P(x) in x = 0 ap-sisli noktasındaki teğeti verilmiştir.Teğet x ekseniyle pozitif yönde 45° yaptığına göre, P(x) polinomunun baş katsayısı kaçtır?

A) 61

B) 51

C) 41

D) 31

E) 21

12. y

O–1

1 f′(x)

x

Yukarıda tüm reel sayılarda sürekli olan bir f fonksiyonunun birinci türevinin grafiği verilmiştir.

Buna göre,

I. f(x), [–1, 3) aralığında artandır.

II. f(x) in yerel maksimum noktası vardır.

III. f(0) = 0

ifadelerinden hangileri kesinlikle doğ-rudur?



E) I ve III

9.

x

y

O

–2f″(x)

Şekilde f(x) fonksiyonunun 2. türevinin grafiği verilmiştir.

Buna göre, I. f fonksiyonunun yerel minimumu var-

dır. II. f fonksiyonu daima konkavdır. III. f fonksiyonu daima azalandır.


A) Yalnız I B) Yalnız IIC) I ve II D) I ve III

E) I, II ve III

10. y

O A

x = 4

B

P

y = x2 + 5

Cx

Yukarıdaki şekilde y = x2 + 5 para-bolü x = 4 doğrusu ve P noktasınday = x2 + 5 parabolüne teğet olan OABC dik yamuğu verilmiştir.

Buna göre OABC dik yamuğunun ala-nı maksimum olduğunda P noktasının apsisi kaç olur?

A) 1 B) 23

C) 2

D) 25

E) 3

7. ( ) ( )

( )lim x af x f a

f ax a -

-=

"'

olduğuna göre,

( ) ( )

limx

f x f

1

1

x 1 -

-

"

2 2

limiti aşağıdakilerden hangisidir?

A) 1 B) 2 . fl(1)

C) f(1) . fl(1) D) 2 . f(1) . fl(1)

E) f(1) + fl(1)

8. Tabanı kare olan, bir dik kare prizma şek-lindeki bir odanın tüm yüzeyleri boyana-caktır. Her bir yüzeyin boya maliyeti, met-re kare başına şu şekildedir:

Taban için 20 TL, tavan için 5 TL ve yan duvarlar için 25 TL dir.

Odanın hacmi 500 m3 olduğuna göre, boya maliyetinin minimum olması için odanın yüksekliği kaç m olmalıdır?

A) 2 B) 5 C) 6 D) 8 E) 10

İLERİ SEVİYE - 3

EKSTREMUM

YAYINLARI

EKSTREMUM

YAYINLARI

ANALİZ TESTİ - 12 Türev Genel Tekrar


1. B 2. B 3. C 4. D 5. C 6. E

5.

x

y

–11

–2

–1

fl(x)

4

Yukarıda gerçel sayılarda tanımlı ve sü-rekli bir f(x) fonksiyonunun türevinin gra-fiği verilmiştir.

Buna göre,

I. f(2) < f(3)

II. f(x) fonksiyonunun x = 4 apsisli nok-tasında yerel maksimumu vardır.

III. f(x) fonksiyonu ( , ]13- - aralığın-

da azalandır.

ifadelerinden hangileri daima doğru-dur?


C) I ve II D) I ve III

E) I, II ve III

6. ( )f xx

x x3

2 243

2= - + +

eğrisinin y = x doğrusuna paralel teğet-lerinin f(x) eğrisiyle kesim noktalarının apsisleri toplamı kaçtır?

A) –1 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4

3. y

OD A

BC

y = 1 + 1x2

x

Yukarıdaki grafikte yx

112

= + eğrisi ve

ABCD dikdörtgeni verilmiştir.

Buna göre ABCD dikdörtgeninin alanı en az kaç br2 dir?

A) 8 B) 6 C) 4

D) 2 E) 1

4.

O

2 f ′(x)

–1

y

x

Şekilde gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir f fonksiyonunun 1. türevinin grafiği verilmiştir.Buna göre,

I. f(3) – f(1) = 4

II. f fonksiyonu (0, 8) aralığında artandır.

III. f fonksiyonunun x = 0 da yerel mini-mumu vardır.

IV. x = 0 için f ′′ tanımlıdır.

ifadelerinden kaç tanesi doğrudur?

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4

1. f(x) = mx3 – 3x2 + x + 1

fonksiyonunun x eksenine paralel iki teğeti olduğuna göre, m nin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

2.

O

A

B

y = 4x2

y = xy

x

Yukarıda y x= ve y = 4x2 eğrileri ve y

eksenine paralel olan [AB] doğru parçası verilmiştir.

AOB üçgeninin alanı maksimum oldu-ğunda B noktasının apsisi kaç olur?

A) 61

B)41

C) 31

D) 21

E) 32

Türev Genel TekrarİLERİ SEVİYE - 3ANALİZ TESTİ - 12

İLERİ SEVİYE - 3

EKSTREMUM

YAYINLARI

EKSTREMUM

YAYINLARI

ANALİZ TESTİ - 12

ANALİZ TESTİ - 12İLERİ SEVİYE - 3 Türev Genel Tekrar

Türev Genel Tekrar

164 TÜREVek tremum

7. C 8. E 9. C 10. D 11. E 12. C

11. ( )≠

f x xx

x

x24

4

2

2

2

= -

-

=

*fonksiyonu için

I. x = 2 de süreklidir.

II. x = 2 de tanımsızdır.

III. x = 2 de türevi vardır.




E) I ve III

12. y

B

A y = – x2 + 4

y = x2 + 1

O

x

Yukarıdaki şekilde

y = x2 + 1

y = – x2 + 4

parabolleri ve bu parabollere sırasıyla A(x1, y1) ve B(x1, y2) noktalarında teğet olan O merkezli yarım çember verilmiştir.

Buna göre, çemberin yarıçapı kaç br dir?

A) 3

2 B) 1 C)

2

5

D) 6

2 E) 2

9. f(x) = min {x – 1, |x| – 1}

olarak tanımlanıyor.

Buna göre;

I. x R6 ! - için f(x) ≥ –1

II. f(x) in x = 0 da türevi yoktur.

III. f(x) tüm reel sayılarda türevlidir.




E) I ve III

10. Reel sayılarda tanımlı

( )f x x x3 2= -

fonksiyonuyla ilgili,

I. (– 3, 0] aralığında azalandır.

II. x = 0 noktasında türevi vardır.

III. x = 1 noktasında türevi vardır.




E) I ve III

7. A

C

EF

2

4B D

ABC bir dik üçgen BDEF bir dikdörtgen

[AB] ! [BC], |BD| = 4 cm, |DE| = 2 cm

olduğuna göre, ABC dik üçgeninin ala-nının en küçük değeri kaç cm2 dir?

A) 12 B) 15 C) 16

D) 18 E) 24

8. A

a

b

D

B C

ABCD bir dikdörtgen

|AB| = a br

|BC| = b br

kenarları A, B, C ve D noktalarından ge-çen en büyük alanlı dikdörtgenin alanı aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2ab B) 4ab

C) 2(a + b)2 D) (a + b)2

E) ( )a b

2

2+

bÖlÜm 2 tÜrevİn uygulamalari - iˆrev.pdftÜrev alma kurallari değişim oranı, ortalama ve...

Documents