Vilniaus Gedimino technikos universitetas

Eugedijus Dulinskas, Gintaris Kaklauskas, Antanas Latakas

Trikampių gelžbetoninių plokščių skaičiavimas

Mokomoji knyga

Vilnius "Technika" 2001

2

E. Dulinskas, G. Kaklauskas, A. Latakas. Trikampių gelž betoninių plokščių skaičiavimas. Mokomoji knyga. Vilnius: Technika, 2001. 34 p.

Leidinyje glaustai išdėstyta trikampių gelžbetoninių perdangos plokščių skaičiavimo metodika, taikant analitinius ir skaitinius optimizavimo bei iteracinius metodus. Nagrinėjama trikampių gelžbetoninių plokščių konstrukcija, armavimas, atrėmimo sąlygos, statinės suirimo schemos. Pateikti trikampių plokščių stiprumo, deformacijų, pleišėjimo ir plyšių skaičiavimo metodai, atitinkantys galiojančių normų kriterijus ir reikalavimus. Aptariamos trikampių gelžbetoninių plokščių, armuotų įtemptąja ir neįtemptąja armatūra, kokybės rodiklių skaičiavimo programos, aptariami pradinių duomenų masyvai ir skaičiavimo rezultatai, pateiktas skaičiavimo pavyzdys. Programos taikomos projektavimo praktikoje.

Leidinys skirtas statybinių specialybių pagrindinių studijų dieninio ir neakivaizdinio skyrių studentams, atliekantiems kursinius ir baigiamuosius darbus bei projektus. Pateikta medžiaga bus naudinga doktorantams, magistrantams ir inžinieriams, tiriant ir projektuojant gelžbetonines perdangų plokštes. Leidinį rekomendavo Vilniaus Gedimino technikos universiteto Statybos fakulteto studijų komitetas Recenzavo: doc.dr. V. Jokūbaitis doc.dr. A. Notkus VGTU leidyklos “Technika” 478 mokomosios metodinės literatūros knyga

E. Dulinskas, G. Kaklauskas, A. Latakas, 2001 VGTU leidykla “Technika”, 2001

3

Turinys Įvadas ................................................................................................................................................................. 4 1. Gelžbetoninės besijės perdangos trikampių plokščių analitinis skaičiavimas .............................................. 5

1.1. Trikampių plokščių laikomosios galios skaičiavimas ........................................................................... 5 1.1.1. Plokštės konstrukcija ir darbas, veikiant apkrovai...................................................................... 5 1.1.2. Galimos suirimo schemos ........................................................................................................... 6 1.1.3. Plokščių, atremtų kampais, stiprumas......................................................................................... 8 1.1.4. Plokščių, atremtų kampu ir kraštine, stiprumas ........................................................................ 11

1.2. Trikampių plokščių pleišėtumo skaičiavimas...................................................................................... 12 1.2.1. Plokščių, atremtų kampais, atsparumas supleišėjimui.............................................................. 12 1.2.2. Plokščių, atremtų kampu ir kraštine, atsparumas supleišėjimui ............................................... 16 1.2.3. Normalinių plyšių pločio skaičiavimas..................................................................................... 18

1.3. Trikampių plokščių įlinkių skaičiavimas............................................................................................. 20 1.3.1. Skaičiavimo principai ............................................................................................................... 20 1.3.2. Tampriojo įlinkio skaičiavimas ................................................................................................ 20 1.3.3. Ribinio įlinkio skaičiavimas ..................................................................................................... 24 1.3.4. Plokščių, atremtų kampu ir kraštine, įlinkiai ............................................................................ 26

2. Gelžbetoninės besijės perdangos trikampės plokštės skaičiavimas asmeniniu kompiuteriu (programa TRIKPLO)...................................................................................................................................... 28

2.1. Bendros žinios apie programą TRIKPLO ........................................................................................... 28 2.2. Pradiniai duomenys ir rezultatai .......................................................................................................... 28 2.3. Darbo asmeniniu kompiuteriu eiga...................................................................................................... 28 2.4. Pradinių duomenų paruošimo bei skaičiavimo rezultatų pavyzdys..................................................... 29

Literatūra ......................................................................................................................................................... 33

4

Įvadas

Gelžbetoninės besijės perdangos trikampę plokštę galima skaičiuoti analitiniais arba skaitiniais metodais. Skaitinių metodų, tarp kurių pastaruoju metu ypač paplito baigtinių elementų metodas, pranašumas yra jų universalumas. Jie dažniausiai taikomi tuomet, kai konstrukcijos forma, armavimo, atrėmimo bei apkrovimo sąlygos yra sudėtingos. Taikant baigtinių elementų metodą, gaunamos įrąžos baigtiniuose elementuose bei jų sujungimo mazguose [11]. Yra nemažai sukurta programų baigtinių elementų skaičiavimo, kurios padeda įvertinti geometrinį ir fizinį netiesiškumą [11]. Optimizavimo taikymas konstrukcijoms skaičiuoti baigtinių elementų metodu atvėrė dideles galimybes įvairių konstrukcijų ir jų sistemų suirimo schemų analizei [4]. Ši analizė remiasi tampraus, tampriai plastiško ir plastiško kūno fizinėmis mechaninėmis savybėmis [4].

Analitiniai metodai plačiai taikomi įvairių konstrukcijų skaičiavimams atlikti. Pagrindinis šių metodų privalumas yra sprendimo užbaigtumas priimtų kriterijų ribose, galima teorinė sprendimą nulemiančių reikšmių analizė. Kai kuriais atvejais analitiniai sprendimai duoda paprastus ir vaizdingus rezultatus. Įvairūs analitiniai metodai taikomi sprendžiant optimizavimo uždavinius. Trikampės gelžbetoninės plokštės yra kintamo skerspjūvio elementai, todėl jų įtempimų ir deformacijų būvis, veikiant išorės apkrovai, yra pakankamai sudėtingas. Remdamiesi baigtiniais elementais [11] arba taikydami analitinius metodus dažniausiai randame tik įrąžas arba įtempimus tamprioje arba tampriai plastinėje stadijoje [9].

Statomų konstrukcijų, tarp jų ir trikampių plokščių, kokybės rodiklius nustato taikomos normos [8]. Normų kriterijai ir reikalavimai įvertina projektavimo, statybos ir eksploatavimo praktiką. Kokybės kriterijai, kuriais jos remiasi, skiriasi nuo tų, kurie priimti teoriniuose sprendimuose, pasirenkant tampraus, tampriai-plastinio arba plastinio kūno modelius. Todėl, atlikus skaičiavimus baigtinių elementų metodu ir nustačius įrąžas, būtina dar apskaičiuoti baigtinius elementus arba visą konstrukciją pagal galiojančių normų kriterijus [8]. Tačiau skaičiavimo kriterijai, taikomi baigtiniams elementams ir esantys normose, skiriasi, todėl gaunamos paklaidos. Šios paklaidos gali tiek pagerinti, tiek ir pabloginti kokybės rodiklius.

Skaičiuojant konkretų konstrukcijų tipą, tikslinga taikyti analitinius metodus, kurie įvertina galiojančių normų kriterijus, tuomet apskaičiuoti kokybės rodikliai jau tiesiogiai atitinka normų reikalavimus.

Tokia skaičiavimo metodika, įvertinanti normų kriterijus ir reikalavimus, buvo sukurta projektuojant besijų perdangų trikampes gelžbetonines plokštes. Knygoje yra [7] detaliai aprašyta skaičiavimo metodika išdėstymas bei pagamintų plokščių natūriniai tyrimai. O šiame leidinyje glaustai pateikti tik analitiniai skaičiavimai, pagal kuriuos sudarytos kompiuterinės programos.

5

1. Gelžbetoninės besijės perdangos trikampių plokščių analitinis skaičiavimas 1.1. Trikampių plokščių laikomosios galios skaičiavimas 1.1.1. Plokštės konstrukcija ir darbas, veikiant apkrovai

Bendras besijės perdangos trikampių plokščių vaizdas yra pateiktas 1 pav., esant 6x6 m kolonų tinklui ir 2 pav., esant 4,25x4,25 m kolonų tinklui. Plokštė yra stataus lygiašonio trikampio formos ir kampais remiasi ant kolonų konsolių.

1 pav. Besijės perdangos trikampė plokštė, esant 6x6 m kolonų tinklui

2 pav. Besijės perdangos trikampė plokštė, esant 4,25x4,25 m kolonų tinklui

Vertikalioji išorės apkrova eksploatuojant plokštę sukelia tik teigiamus momentus, t. y. visa plokštės

apačia yra tempiama, o viršus yra gniuždomas. Darbinę armatūrą, kuri dedama plokštės apačioje, sudaro

1

2 - 2

120

4 - 4

2 - 2

20

3 - 3

120

3

4

3

4

1

3

3

4050

8135

6

vadinamoji kontūrinė armatūra, koncentruota trikampės plokštės kraštuose, ir tinklai, kuriais armuojama visa plokštė tarp kraštų (3 pav.).

3 pav. Besijės perdangos trikampės plokštės armavimo schema

Ilgasis kraštas paprastai armuojamas iš anksto įtemptąja armatūra. Trumpieji kraštai gali būti armuojami

tiek įtemptąja, tiek paprastąja armatūra. Plokštės darbą, veikiant apkrovai, lemia konstrukciniai ypatumai. 1.1.2. Galimos suirimo schemos

Koncentruotos kontūrinės armatūros santykis su tinklo armatūra nulemia plokštės suirimo pobūdį. Esant labai didelei kontūrinės armatūros koncentracijai ir nepakankamam plokštės vidurinės dalies armavimui, plokštė suyra kaip laisvai kontūru atremta trikampė plokštė.

4 pav. Trikampės plokštės suirimo schema kaip kontūru atremtos plokštės; 1 – teigiami plastiniai šarnyrai (lūžio linijos), 2 – neigiami plastiniai šarnyrai

B

A C

O 2

1

8135

7

Ši suirimo schema pateikta 4 pav. Ištisinėmis linijomis parodyti teigiami plastiniai šarnyrai, atitinkantys plyšius apatiniame plokštės paviršiuje. Punktyrinėmis linijomis parodyti neigiami plastiniai šarnyrai, atitinkantys plyšius viršutiniame plokštės paviršiuje. Plastiniai šarnyrai plokštėse dar vadinami lūžio linijomis. Atlikti eksperimentiniai tyrimai ir skaičiavimai parodė, kad standartinių matmenų plokštėse, esant vos minimaliam tinklo armavimui, minėta suirimo schema nepasireiškia.

Kita galima suirimo schema, vadinama sijine suirimo schema, pateikta 5 pav.

5 pav. Trikampės plokštės sijinė suirimo schema:

a – kai lūžio linija ef atkerta smailųjį plokštės kampą; b – kai lūžio linija gh atkerta statųjį plokštės kampą.

Toks suirimas įvyksta pakankamai įdėjus kontūrinės ir tinklo armatūros. Šiuo atveju pagrindiniai laikantieji elementai yra plokštės kraštai, o plokštė suyra, kai kontūrinės armatūros įtempimai ilgajame ir trumpajame kraštuose tiesinio plastinio šarnyro vietoje pasiekia takumo ribą. Esant sijiniam plokštės darbo pobūdžiui, pakanka vieno tiesinio plastinio šarnyro, kad plokštė taptų mechanizmu, t. y. suirtų. Tuomet tiesinis plastinis šarnyras ef padalija plokštę į dvi dalis: trikampę dalį Aef bei likusią plokštės dalį (5 pav.,

B

B

A

g

C

h

Θ

A

Θ

z

C

′e

z3

f

b

′f z2 z2

z1 z1

a

e

8

a). Lūžio linijos ef padėtį lemia armavimo santykis ilgajame ir trumpajame kraštuose bei kontūrinės armatūros santykis su tinklo armatūra. Lūžio linijos ef padėtį apibūdina du geometriniai dydžiai – 1z ir 2z , atitinkantys ilgį atkarpų, atkertamų lūžio linijos ef atitinkamai trumpojoje ir ilgojoje plokštės kraštinėse. Dydžis Θ apibūdina kampą tarp lūžio linijos bei plokštės ilgosios kraštinės. Eksperimentiniai ir teoriniai tyrimai parodė, kad, didėjant armatūros koncentracijai ilgojoje kraštinėje, kampas Θ mažėja ir priešingai, didėjant armatūros koncentracijai trumpojoje kraštinėje, kampas Θ didėja. Tokio tipo suirimas dažniausiai sutinkamas praktikoje.

Dar viena galima suirimo schema, kai lūžio linija kerta trumpuosius plokštės kraštus ir atkerta statųjį kampą, pateikta 5 pav., b. Suirimas pagal šią schemą gali įvykti tuomet, kai ilgajame krašte įdedama netikslingai daug armatūros, palyginti su trumpaisiais kraštais. Ši suirimo schema taikoma ir tuo atveju, kai skaičiuojama plokštės, atremtos ilguoju kraštu AC bei kampu B (5 pav., b), laikymo galia. Esant simetriškam trumpųjų kraštų armavimui bei simetriniai apkrovimai z ašies atžvilgiu, lūžio linija gh atkerta plokštės kraštuose AB ir BC lygias atkarpas gB ir hB. Šiuo atveju lūžio linijos padėtis nusakoma vienu parametru 3z .

1.1.3. Plokščių, atremtų kampais, stiprumas

Ankščiau minėtos suirimo schemos (4–5 pav.) numatytos tolygiai išskirstytos apkrovos atveju. Kaip minėta, konkrečios suirimo schemos pasireiškimą lemia plokštės armavimas. Iš galimų suirimo schemų skaičiuojamoji yra ta, kurią atitinka minimali apkrova. Trikampių plokščių skaičiavimai parodė, kad minimalios armatūros sąnaudos pasiekiamos tuomet, kai užtikrinama sijinė suirimo schema, parodyta 5 pav., a. Todėl ir armavimą plokštėje reikia parinkti tokį, kad minėtoji suirimo schema taptų skaičiuojamąja. Toliau nagrinėsime trikampės plokštės stiprumą ir skaičiuosime plokštę pagal sijinę suirimo schemą (5 pav., a). Nagrinėdami trikampę plokštės dalį Aef, kuri įvardijama kaip kintamo pločio sijinis elementas, užrašoma pjūvio ef stiprumo sąlyga: ),z,z(M)z,z(M R 2121 ≤ (1.1) čia )z,z(M 21 – išorės jėgų momento normaliniame pjūvyje ef funkcija;

)z,z(M R 21 – atlaikomo momento normaliniame pjūvyje funkcija. Skaičiuojamosios plokštės dalies (trikampio elemento) schema pateikta 6 pav., a. Išorės apkrovos

momento normaliniame pjūvyje ef funkcija

),blll(p)z,z(M hh21

221 6

−⋅= (1.2)

čia p – tolygiai išskirstyta apkrova;

l – trikampės plokštės trumpojo krašto ilgis. Geometriniai dydžiai, sudarantys (1.2) lygtį:

;sinzlh Θ21 = chh lll −= 1 ir

,sin

a

)cos(

asinz

bΘ

∆Θ∆

Θ2

011

452−

−−= (1.3)

kur ).z/z.(arctg 1411 12 −=Θ Čia cl – atstumas tarp kolonos ašies ir plokštės atraminės reakcijos;

21 a,a ∆∆ – išimos plotis atitinkamai plokštės trumpajame ir ilgajame kraštuose. Kadangi trikampės gelžbetoninės perdangos plokštės yra silpnai armuoti elementai, joms visada tinka

sąlyga ,Rξξ < t. y. irimo metu tempiamoji armatūra pasiekia takumo įtempimus.

9

6 pav. Skaičiuojamoji schema trikampės plokštės laikomajai galiai nustatyti:

a – kai lūžio linija atkerta smailųjį plokštės kampą; b – kai linija atkerta statųjį plokštės kampą

Trikampio elemento Aef atlaikomojo momento normaliniame pjūvyje ef funkcija užrašoma pagal skaičiuojamąją schemą, pateiktą 6 pav., a:

),bR

N.h(N)z,z(M

b

snsn

50021 −= (1.4)

1

Ns1

As1+Asp2 z1

lh

sy sx

e

b

a

lc

A RA z2

1

Ns2 Θ

f As2+Asp2

ΣAsn b

zb

1 - 1

B

z1

g

RA

lc

Ns1 Ns1

b

h

lh lh1

b

Ns1n

Ns3n

Ns2n

Ns1n Ns3n Ns1n

10

čia ∑=

=3

1isinsn NN – tempiamosios armatūros įrąžų normalinių komponenčių atstojamoji, skaičiuojama ef

pjūvyje; 0h – naudingasis skerspjūvio aukštis; bR – skaičiuojamasis prizminis betono stiprumas.

Kontūrinės armatūros įrąžų normalinės komponentės atitinkamai trumpajame ir ilgajame kraštuose yra tokios: ),cos()RARA(N spspssns

011111 45−⋅+= Θ (1.5)

,sin)RARA(N spspssns Θ22222 += (1.6) čia 11 sps A,A – trumpajame krašte esančios atitinkamai paprastosios ir įtemptosios kontūrinės armatūros skerspjūvio plotas;

22 sps A,A – tas pats ilgajam plokštės kraštui;

11 sps R,R – trumpajame krašte esančios atitinkamai paprastosios ir įtemptosios kontūrinės armatūros skaičiuojamasis stiprumas tempiant;

22 sps R,R – tas pats ilgajam kraštui. Tinklo armatūros strypų įrąžų normalinė atstojamoji apskaičiuojama pagal šią formulę:

,bs

cosRAs

sinRAN

y

y,sy,s

x

x,sx,sns

+=

ΘΘ 233

233

3 (1.7)

čia y,sx,s A,A 33 – armatūros tinklo strypo atitinkamai x ir y kryptimis skerspjūvio plotas;

y,sx,s R,R 33 – armatūros tinklo strypų atitinkamai x ir y kryptimis skaičiuojamasis stiprumas tempiant;

yx s,s – armatūros tinklo strypų atitinkamai x ir y kryptimis žingsnis. Esant tolygiam armavimui, kai y,sx,sy,sx,s RR,AA 3333 == ir ,sss yx == išraiška (1.7) supaprastėja:

.s/bRAN ssns ⋅= 333 (1.8)

Sulyginus (1.2) ir (1.4) formulių dešiniąsias puses, plokštės laikomosios galios funkcija išreiškiama tolygiai išskirstytos apkrovos intensyvumo funkcija:

.blll

bRN.hN

)z,z(phh

b

snsn

21

2

0

21

506

−

−

= (1.9)

Pavojingojo pjūvio padėtis, aprašoma dviem geometriniais dydžiais, ir plokštės laikomoji galia

nustatoma minimizuojant funkciją )z,z(p 21 :

{ } .blll

bRN.hN

min)z,z(pminpah

b

snsn

u

−

−

== 21

2

0

21

506 (1.10)

11

Pavojingojo pjūvio (lūžio linijos) padėtis, t. y. parametrų 1z ir 2z reikšmės, atitinkančios minimalią funkcijos )z,z(p 21 reikšmę, nustatoma taikant ESM iteracinius metodus arba optimizacines programas. 1.1.4. Plokštės, atremtos kampu ir kraštine, stiprumas

Kai plokštė atremta smailiuoju kampu ir trumpuoju kraštu, skaičiuojama pagal formules (1.2) – (1.10) kaip plokštei, atremtai kampais.

Kai plokštė ilguoju kraštu atremta į laikančiąją sieną, skaičiavimas paprastėja. Skaičiuojamojo trikampio elemento schema šiam atvejui pateikta 6 pav., b. Kaip minėta, trumpieji kraštai armuoti vienodai, todėl pavojingojo pjūvio koordinatės 1z ir 2z yra lygios ir pavojingasis pjūvis yra lygiagretus ilgajam plokštės kraštui.

Išorės apkrovos momento normaliniame pjūvyje gh funkcija yra analogiška (1.2) išraiškai:

),blll(p)z(M hh21

21 6

−=

čia p – tolygiai išskirstyta apkrova;

l – plokštės trumpojo krašto ilgis; b – skaičiuojamojo pjūvio ilgis. Geometriniai dydžiai b, l lh h1 , yra lygūs:

)az(b 11 22 ∆−= ; (1.11) 211 zlh = ; (1.12) chh lll −= 1 ; (1.13) čia cl – atstumas tarp kolonos ašies ir plokštės kampo atraminės reakcijos pridėties taško:

1a∆ – išimos plotis plokštės trumpajame krašte. Trikampio elemento Bgh (6 pav., b) atlaikomojo momento normaliniame pjūvyje gh funkcija

užrašoma analogiška (1.4) išraiškai:

( )

−=

bRN.hNzMb

snsnu

5001 ,

čia ∑=

=2

1isinsn NN – tempiamosios armatūros įrąžų normalinių komponenčių atstojamoji skaičiuojamajame

pjūvyje gh. Atstojamosios snN komponenčių išraiškos yra:

[ ] 2111121 spspssnsns RARANN +== , (1.14) .s/bRAN ssns 333 =

Pavojingojo pjūvio padėtis ir plokštės laikomoji galia nustatoma iš sąlygos:

{ } .blll

bRN.hN

min)z(pminphh

b

snsn

u

−

−

== 21

2

0

1

506 (1.15)

12

1.2. Trikampių plokščių pleišėtumo skaičiavimas 1.2.1. Plokščių, atremtų kampais, atsparumas supleišėjimui

Trikampės plokštės pleišėtumas skaičiuojamas pagal galiojančias normas [1], kaip sijinio elemento. Trikampių plokščių eksperimentiniai tyrimai parodė, kad plokštės ilgajame krašte plyšiai atsiranda anksčiau nei trumpajame krašte. Trikampių plokščių skaičiavimo asmeniniu kompiuteriu programose įvertina nevienodą plokštės kraštinių pleišėjimą, tačiau šioje knygelėje nustatysime tik vidutinę pirmojo plyšio atsiradimo plokštėje apkrovą. Pirmojo plyšio atsiradimo normaliniame pjūvyje sąlyga kintamo pločio sijiniuose gelžbetoniniuose elementuose yra užrašoma taip: ),z,z(M)z,z(M crccrccrccrccrcser 2121 ≤ (2.1) čia )z,z(M crccrcser 21 – išorės jėgų normaliniame pjūvyje momento funkcija;

)z,z(M crccrccrc 21 – gelžbetoninio elemento atsparumo pleišėjimui momento funkcija.

7 pav. Skaičiuojamoji schema trikampės plokštės supleišėjimo apkrovai nustatyti:

a – kai pirmasis plyšys atsiranda prie smailiojo plokštės kampo; b – kai pirmasis plyšys atsiranda prie stačiojo plokštės kampo

Trikampis skaičiuojamasis elementas trikampės plokštės supleišėjimo apkrovai skaičiuoti yra

analogiškas skaičiuojamajam elementui skaičiuojant stiprumą ir parodytas 7 pav., a. Normalinio

e

z1crc

bcrc

45°

RA z2crc

A

lc f

lh,crc

Θcrc

B

lc RA zcrc

g h

bcrc

lh,crc

a

b

13

skaičiuojamojo pjūvio ef padėtį apibūdina du geometriniai dydžiai – crcz1 ir crcz2 . Išorinių jėgų momentas apie skerspjūvio branduolio tašką, labiausiai nutolusį nuo elemento tempiamo paviršiaus, nustatomas iš išraiškos analogiškos (1.2) formulei:

[ ],lbllp)z,z(M crc,hcrccrc,hcrc

crccrc21

221 6

−= (2.2)

čia crcp – apkrova, atsirandant pirmajam plyšiui.

Geometriniai dydžiai, esantys formulėje (2.2), nustatomi analogiškai kaip ir 1.1.3 skyriuje. Plyšio atsiradimo normų skaičiavimo metodika atsparumo pleišėjimui momentą M išreiškia kaip dviejų

momentų sumą: ,MM)z,z(M crccrccrc 2121 += (2.3) kur ,WRM plser,bt=1 (2.4) ).re(PMM ,

opnrp +==2

Momentas 1M atitinka ekvivalentinio skerspjūvio (įvertinant plastines tempiamojo betono deformacijas) atlaikomąjį momentą, o momentas 2M – išankstinės armatūros įtempimo jėgos momentą apie labiausiai nutolusio nuo plokštės tempiamo paviršiaus branduolio tašką.

Momentų 1M ir 2M išraiškose yra šie dydžiai: ser,btR – projektinis betono stiprumas tempiant antrajai ribinių būvių grupei;

plW – ekvivalentinio skerspjūvio atsparumo momentas, kuris įvertina plastines tempiamo betono deformacijas;

nP – išankstinio apgniuždymo jėgos, įvertinus įtempimų nuostolius iki plyšio atsiradimo, normalinė dedamoji skaičiuojamo pjūvio atžvilgiu;

ope – išankstinio apgniuždymo jėgos Pn ekscentricitetas ekvivalentinio skerspjūvio svorio centro atžvilgiu;

,r – ekvivalentinio skerspjūvio svorio centro atstumas iki viršutinio skerspjūvio branduolio taško. Ekvivalentinio skerspjūvio atsparumo momentas

,WW redpl γ= čia γ – koeficientas, kuris įvertina plastines tempiamojo betono deformacijas;

redW – ekvivalentinio skerspjūvio pavojingajame pjūvyje atsparumo momentas, neįvertinant plastinių deformacijų.

8 pav. Skaičiuojamasis plokštės skerspjūvis skaičiuojant supleišėjimą: a – faktinio skerspjūvio fragmentas; b – ekvivalentinio skerspjūvio schema

t2

t t1

b1

bcrc as ΣAsn

h1

a b

14

Faktinio skerspjūvio fragmentas ir ekvivalentinio skerspjūvio schema pateikta 8 pav. Pagal 8 pav., a taikomi žymėjimai: ,c)tb(tb crc 111 −+= .t/tc 2= (2.5)

Kai yra nedidelė paklaida į atsargos pusę galima laikyti, kad ekvivalentinio skerspjūvio svorio centro

atstumas iki tempiamo plokštės paviršiaus y=0,5h, kur h – plokštės storis. Tuomet ekvivalentinio skerspjūvio atsparumo momentas

,h

IW redcrc,red

2= (2.6)

čia redI – ekvivalentinio skerspjūvio inercijos momentas pavojingajame pjūvyje

∑ −+−

−= ,)ah.(Ah)bb(hbI isinicrccrc

red2

311

350

1212α (2.7)

čia iα – i-osios armatūros ir betono tamprumo modulių santykis;

ia – apsauginio betono sluoksnio storis i-ajai armatūrai; sinA – i-osios armatūros skerspjūvio ploto dedamoji.

Skaičiavimai parodė, kad trikampių plokščių skerspjūviui pavojingojo pjūvio vietoje koeficientas γ kinta nuo 1,65 iki 1,70. Tolesniuose skaičiavimuose priimame γ=1,65.

Geometriniai dydžiai ope ir ,r , esantys formulėje (2.4), nustatomi taip: ,a/he sop −= 2 (2.8) čia sa – vidutinis apsauginio betono sluoksnio storis. ,A/W.r redred

, 80= (2.9) kur redukuoto skerspjūvio plotas ∑+−−= .Ah)bb(hbA siicrccrcred α11 (2.10)

Apspaudimo jėgos normalinė dedamoji skaičiuojamajame pjūvyje ,PPP nnn 21 += (2.11) kur ),cos(PP crcn

011 45−= Θ (2.12)

.sinPP crcn Θ22 = (2.13) Čia nn P,P 21 – apspaudimo jėgų atitinkamai trumpajame ir ilgajame kraštuose normalinės dedamosios skaičiuojamajame pjūvyje.

Išankstinio apspaudimo jėgos, įvertinus visus įtempimų nuostolius, atitinkamai trumpajame ir ilgajame plokštės kraštuose ,AAP sssp)(sp 111121 σσ −= (2.14)

15

,AAP sssp)(sp 222222 σσ −= (2.15) čia )(sp)(sp , 2211 σσ – išankstiniai armatūros įtempimai, įvertinus visus įtempimų nuostolius, atitinkamai trumpajame ir ilgajame plokštės kraštuose;

21 spsp A,A – įtemptosios armatūros skerspjūvio plotas atitinkamai trumpajame ir ilgajame kraštuose;

scσ – įtempimai paprastojoje (neįtemptoje) armatūroje; 21 ss A,A – paprastosios armatūros skerspjūvio plotas atitinkamai trumpajame ir ilgajame kraštuose.

)i()i(,,)i(,)i(sp)i(sp)i(sp 796512 σσσγσσ −−−⋅= − ; )i(,,)i()i(s 968 σσσ += , i=1, 2 (2.16) čia )i(spσ – įtemptosios armatūros išankstiniai įtempimai, neįvertinant nuostolių;

)i()i()i()i()i()i()i( ,,,,,, 8754321 σσσσσσσ – atitinkamo krašto išankstinių įtempimų nuostoliai [1], nepriklausantys nuo skaičiuojamojo pjūvio dydžio;

)i(,,96σ – atitinkamo krašto išankstinių įtempimų nuostoliai, priklausantys nuo skaičiuojamojo pjūvio padėties, apibrėžiamos geometriniais dydžiais crcz1 ir crcz2 .

Armatūros išankstinio įtempimo tikslumo koeficientas [1] .spsp γ∆γ ±=1 (2.17)

Išankstinio įtempimo nuokrypos parametras spγ∆ , naudojant mechaninį įtempimo būdą, lygus 0,1, o naudojant elektroterminį įtempimo būdą,

101150 ,n

p,psp

≥

+=

σγ∆ , (2.18)

kur p=30+360/l [MPa]. Čia pn – iš anksto įtemptosios armatūros strypų skaičius nagrinėjamajame skerspjūvyje;

p – išankstinio įtempimo paklaida; l – įtempiamo strypo tarp atsparų ilgis, m. Išankstinių įtempimų nuostoliai, priklausantys nuo skaičiuojamojo pjūvio padėties,

,R

)(bp

bp,

σασ 1504096 += (2.19)

čia bpσ – betono įtempimai tempiamosios armatūros atstojamosios lygyje, įvertinus išankstinius nuostolius

;... 51 σσ pbp BR = – betono klasė armatūros atleidimo metu;

α – koeficientas, kuris įvertina betono kietėjimo sąlygas: 1,0 – kai betonas kietėja natūraliomis sąlygomis, 0,85 – kai betonas šildomas atmosferiniame slėgyje. ,SSP nbp 216 −⋅=σ (2.20) kur n,n,n PPP 26166 += ; (2.21)

16

[ ] )cos(AP crcsp)(,)(sp,0

1151116 45−−= − Θσσ ; (2.22) [ ] crcsp)(,)(sp, sinAP Θσσ 2251226 −−= ; (2.23)

red

op

red Iye

AS 0

11 += ; (2.24)

[ ]21

22 6 crc,hcrccrc,h

red

gc lbllIgy

S −⋅= , (2.25)

čia spaH,y −= 500 – atstumas nuo ekvivalentinio skerspjūvio svorio centro iki įtemptosios armatūros atstojamosios;

gg – plokštės savojo svorio apkrova. Iš (2.2) ir (2.3) formulių dešiniųjų pusių lygybės gauname trikampės plokštės pirmojo plyšio atsiradimo

bet kuriame skaičiuojamajame pjūvyje (pjūvio koordinatės, crccrc z,z 21 ) apkrovos funkciją:

.lbll

))re(PWR()z,z(p

crc,hcrccrc,h

,opnplser,bt

crccrccrc 21

2216

−

++= (2.26)

Minimali supleišėjimo apkrova ir ją atitinkantis pavojingasis pjūvis nustatomas iš sąlygos:

[ ] .lbll

))re(PWR(minz,zp

crc,hcrccrc,h

,opnplser,bt

crccrccrc

−

++= 2

1221

6 (2.27)

1.2.2. Plokščių, atremtų kampu ir kraštu, atsparumas supleišėjimui

Kai trikampė plokštė atremiama vienu trumpuoju kraštu, pleišėtumas skaičiuojamas taip pat kaip ir plokštei, atremtai trimis kampais. Šios plokštės skaičiavimo formulės pateiktos 1.2.1 skirsnyje.

Jeigu plokštė atremta ilguoju kraštu, skaičiuojama kiek kitaip. Skaičiuojamojo trikampio elemento schema plokštės supleišėjimo apkrovai nustatyti šiam atrėmimo atvejui yra pateikta 7 pav., b. Kadangi plokštės trumpųjų kraštų armavimas ir apspaudimo jėgos yra vienodi, tai pavojingojo pjūvio koordinatės

crcz1 ir crcz2 yra lygios, o pavojingasis pjūvis yra lygiagretus ilgajam plokštės kraštui. Plokštės pleišėtumo sąlyga užrašoma analogiška (2.1) sąlygai: ).z(M)z(M crccrccrcser 11 ≤

Išorinės apkrovos momentas užrašomas analogiškas (2.2) formulei: [ ],lbllp)z(M crc,hcrccrc,hcrccrcser

21

21 ⋅−=

kur [ ],azb crccrc 11 22 ∆−= ,/zl crch 211 = .lll chh −= 1

Atsparumo pleišėjimui momento išraiška analogiška (2.3) ir (2.4) formulėms: .MWR)z(M rpplser,btcrccrc +=1

Dydžiai, esantys pastarojoje formulėje, išreiškiami (2.4)–(2.20) formulėmis. Besijės perdangos tipinės trikampės plokštės, taikomos 6x6 m kolonų ašių tinkle, skaičiuojamasis ekvivalentinis skerspjūvis pateiktas

17

9 pav. Šiame skerspjūvyje nėra sienelės, nes trikampė plokštė turi tuštumas, einančias nuo vieno trumpojo krašto iki kito lygiagrečiai ilgajam kraštui (1 pav.). Ekvivalentinio skerspjūvio (9 pav.) inercijos momentas, laikant, kad y=h/2, [ ] ∑+−= .A/hhbI sinicrcred α123

13 (2.7')

Ekvivalentinio skerspjūvio plotas

∑+′+= .A)hh(bA siniffcrcred α (2.10')

Išankstinio apspaudimo jėgos normalinė dedamoji .)AA(P ssspn 2111 σσ −= (2.14')

Išankstinio apspaudimo jėgos normalinė dedamoji, įvertinus pirmuosius įtempimų nuostolius )...( 51 σσ , .A)(P spsp,n 215116 ⋅−= −σσ (2.22')

9 pav. Ekvivalentinio skerspjūvio schema skaičiuojant supleišėjimą, kai plokštė atremta kampu ir ilguoju kraštu

Tipinės trikampės plokštės, esant 4,25x4,25 kolonų ašių tinklui, skaičiuojamasis pjūvis pateiktas 8 pav.

Ekvivalentinio skerspjūvio inercijos momentas ir skerspjūvio plotas skaičiuojami pagal (2.7) ir (2.10) formules.

Iš (2.2) ir (2.3) formulių lygybės gauname analogišką (2.26) supleišėjimo apkrovos funkciją:

[ ]

.lbll

)re(PWR)z(p

crc,hcrccrc,h

,opnplser,bt

crccrc 21

216

−

++=

Nesant įtemptosios armatūros, 0=nP . Tuomet pastaroji išraiška supaprastėja:

.lbll

WR)z(p

crc,hcrccrc,h

plser,btcrccrc 2

121

6

−=

′hf

hf ΣAsn

bcrc

as

h1 h

18

1.2.3. Normalinių plyšių pločio skaičiavimas

Eksperimentiniai trikampių plokščių tyrimai parodė, kad veikiant eksploatacinei apkrovai, didžiausias plyšys atsiveria pjūvyje e–f, kurio koordinatės 1z ir 2z (10 pav.), atitinkančiame pavojingąjį pjūvį skaičiuojant stiprumą. Todėl plokštės plyšio maksimalus plotis skaičiuojamas šiame pjūvyje.

10 pav. Plyšio pločio skaičiuojamoji schema

Pagal normų [1] metodiką, normalinio plyšio plotis

,d).(E

as

slcrc

31 1005320 µσηϕδ −⋅= (2.28)

čia 1δ – koeficientas ( 11 =δ lenkiamųjų elementų atveju);

lϕ – koeficientas, kuriuo įvertinama apkrovos trukmė ( 1=lϕ , kai veikia trumpalaikė apkrova, 311561 ,,l >−= µϕ , kai ilgalaikė ir nuolatinė apkrova veikia sunkiojo betono konstrukciją, esant natūralaus

drėgnumo aplinkai; 0221 ,,l −=ϕ – kitais atvejais); η – koeficientas, kuris įvertina armatūros sukibimą su betonu (η=1, kai yra rumbuoti strypai; η=1,3 –

lygūs strypai, η=1,2 – rumbuota viela ir lynai; η=1,4 – lygi viela); sσ – įtempimai tempiamoje armatūroje arba įtempimų prieaugis įtemptojoje armatūroje;

µ – išilginio armavimo koeficientas; d – išilginės tempiamos armatūros skersmuo milimetrais;

sE – armatūros tamprumo modulis, nustatomas pagal formulę: ∑ ∑= .A/AEE sinsinsis (2.29)

Išilginio armavimo koeficientas

,,bh

Asn 0200

≤= ∑µ (2.30)

kur ∑ ⋅+++−+= .s/bAsin)AA()cos()AA(A sspsspsisn 322

01 45 ΘΘ (2.31)

B

e

b

l

z1

A C z2

45° Θ

f

19

Čia ∑ snA – tempiamos armatūros suminio skerspjūvio ploto pavojingajame pjūvyje normalinė dedamoji; b – pavojingojo pjūvio ilgis, nustatomas pagal (1.1.3) formulę;

oh – naudingasis skerspjūvio aukštis; s – tinklo armatūros strypų žingsnis. Išilginės tempiamosios armatūros skersmuo

,dn

dn

d

iii

iii

∑∑

=

2

(2.32)

čia id – i-ojo armatūros strypo skersmuo;

ii dn − skersmens armatūros strypų skaičius. Įtempimai armatūroje

,zA

)ez(PM

sn

spns ∑

−−=σ (2.33)

čia nP – išankstinės apspaudimo įrąžos (įvertinus visus nuostolius) normalinė dedamoji pavojingojo pjūvio atžvilgiu. Ji nustatoma pagal (2.11) formulę.

Koeficientas spγ , kuris įvertina armatūros įtempimo tikslumą, priimamas lygus vienetui;

spe – išankstinio apspaudimo įrąžos nP atstumas iki tempiamosios armatūros skerspjūvio svorio centro (trikampių plokščių atveju priimama 0=spe );

M – išorinės apkrovos serp pavojingajame pjūvyje sukeliamas lenkimo momentas

).blll(pMM hhser

ser21

26

−== (2.34)

Vidinių jėgų poros petys

),,(hz ξ5010 −= (2.35) kur santykinis skerspjūvio gniuždomosios zonos aukštis:

15511

51

105181

1

0

≤−

+++=

he

,

,

, tot,sµα

δξ ; (2.36)

ser,b

serRbh

M20

=δ ; (2.37)

,bh

sbAsin)AA()cos()AA( ssppspsps

0

3322220

1111 45 αΘααΘααµα

+++−+= (2.38)

nsertot,s P/Me = .

20

Į (2.33) formulę įstatę (2.35) z išraišką, gauname

.P),(h

MA n

ser

sns

−

−=∑ ξ

σ501

1

0 (2.39)

Į (2.28) įstatę (2.39) formulę, gauname tokią formulę normalinio plyšio pločiui skaičiuoti:

.d),(P),(h

MAE

a nser

sns

lcrc

3

0

1 10053501

20 µξ

ηϕδ −

−

−=

∑ (2.40)

Atsivėrusio plyšio plotis skaičiuojamas atskirai trumpųjų ir ilgojo kraštų bei tinklo armatūrai.

Apskaičiuoti plyšio pločiai neturi viršyti ribinių leistinų plyšių pločių [1]. Kai plokštė atremta vienu iš trumpųjų kraštų, plyšio pločio skaičiavimas yra analogiškas anksčiau

pateiktajam. Jeigu plokštė atremta ilguoju kraštu, tai (2.31) formulė įgyja tokią išraišką:

∑ ⋅++= ,s/bA)AA(A nsnspnssn 311 2 (2.31') o (2.38) formulė –

.bh

sbA)AA( nspnspns

0

3311112 αααµα

++= (2.38')

Reikia nepamiršti, jog skaičiuojant gniuždomosios zonos aukštį turi galioti sąlyga .hx f′≤ Pavojingojo

pjūvio ilgis nustatomas iš (1.15) formulės. Paskutinis skaičiavimas analogiškas anksčiau pateiktajam ir atliekamas pagal (2.28)–(2.40) formules. 1.3. Trikampių plokščių įlinkių skaičiavimas 1.3.1. Skaičiavimo principai

Statiškai neišsprendžiamų gelžbetoninių perdangos plokščių, turinčių dviejų krypčių lenkimo momentus, įlinkiai skaičiuojami pagal šias tiesines išraiškas:

crccrc

ser fppf ⋅= ),pp( crcser ≤ (3.1)

crcu

crcsercrcucrc pp

pp)ff(ff−−⋅−+= );pp( sercrc < (3.2)

kur crccrc p,f – įlinkis ir apkrova pirmojo plyšio atsivėrimo metu;

uu p,f – ribinis įlinkis ir ribinė apkrova, atitinkantys plokštės suirimo stadiją, skaičiavimui naudojant betono ir armatūros stiprumo reikšmes .R,R ser,sser,b

Trikampės plokštės pleišėjimo apkrova crcp nustatoma pagal 2.1 ir 2.2 skirsniuose pateiktas formules. 1.3.2. Tampriojo įlinkio skaičiavimas

Trikampių plokščių tyrimai parodė, kad padaroma nedidelė paklaida, įlinkius fcrc skaičiuojant taip pat kaip tampriai plokštei. Tamprios plokštės bet kurio taško įlinkiai gali būti nustatyti skaitiniais metodais. Šioje knygelėje tampriojo įlinkio crcf skaičiavimas paremtas apytikre inžinerine metodika. Eksperimentinių

21

plokščių darbo analizė parodė, kad visose plokštės apkrovimo stadijose vidurinės plokštės dalies eff'e'B, apribotos lūžio linijomis ef ir e′f′ (11 pav., a), ir toliau vadinamos standžiuoju disku, įlinkiai yra nedideli, palyginti su bendru plokštės įlinkiu. Todėl tamprus plokštės lūžio linijos ef įlinkis nustatomas kaip trikampės plokštės Aef (11 pav., b) standžiai įtvirtinta kraštu ef ir apkrauta koncentruota jėga (atraminė reakcija AR ) bei tolygiai išskirstyta apkrova crcp .

11 pav. Trikampės plokštės, atremtos kampais, tampriojo įlinkio skaičiuojamoji schema:

a – deformuotos plokštės schema; b – skaičiuojamasis trikampis elementas

Remiantis Maksvelo-Moro teorija, kintamojo skerspjūvio gembinio elemento tamprusis įlinkis

,dz)z()z(Mfhl

el ρ∫=0

(3.3)

a B

fcrc1 e 90°

fcrc

fcrc

fcrc2 f fcrc2 ′f

fcrc

C A

fcrc1

′e

b

z1crc

fcrc1 z

fcrc

PF

fcrc2

90° e

lh

A

fcrc

RA f z2crc

22

čia M(z) – vienetinės apkrovos, pridėtos taške A (11 pav., b), lenkimo momento pjūvyje z funkcija. Ašis z yra statmena pavojingajam pjūviui ef ir sutampa su aukštine hl ;

)z(ρ – elemento kreivis z pjūvyje. Vienetinės jėgos momentas

.zz)z(M =⋅=1 (3.4)

Pagal projektavimo normas [1] nesupleišėjusių iš anksto įtemptų gelžbetoninių elementų kreivis 4321 ρρρρρ −−+=tot (3.5) čia 21 ρρ , – kreivis, sukeltas trumpalaikės ir nuolatinės bei ilgalaikės išorės apkrovos;

3ρ – kreivis, atitinkantis elemento išlinkį dėl trumpalaikio apspaudimo jėgos nP poveikio; 4ρ – kreivis, atitinkantis elemento išlinkio padidėjimą dėl betono susitraukimo ir valkšnumo

deformacijų, sąlygotų išankstinio apspaudimo jėgos.

,IE

Mredbb

,1ϕ

ρ =21 (3.6)

kur lenkimo momentas

),bzl(gzM −= 26

(3.7)

,)cos(sin

sinzb 0

0

4545

−=

ΘΘ (3.8)

.ggg b2lsh ϕ+= (3.9) Čia 8501 ,b =ϕ – koeficientas, kuris įvertina plastines betono deformacijas, atsiradusias dėl trumpalaikės apkrovos;

2bϕ – koeficientas, kuris apibūdina elemento kreivumo padidėjimą dėl betono valkšnumo deformacijų, kurios atsiranda veikiant nuolatinei ir ilgalaikei apkrovoms ( =2bϕ 2 ir 3, kai santykinis oro drėgnumas yra atitinkamai 40–75% ir <40%);

bE – betono tamprumo modulis; lsh g,g – atitinkamai trumpalaikė ir ilgalaikė tolygiai išskirstyta apkrovos;

redI – ekvivalentinio skerspjūvio inercijos momentas. Ekvivalentinio skerspjūvio inercijos momentas (8 pav.)

,TbTIred 21 += (3.10) kur

,hbbhhT

1213

113

13

1

+−= (3.11)

∑ −= ).ah.(AT isini 502 α (3.12)

;IE

eP

redbb

bopn,

1

243 ϕ

ϕρ = (3.13)

23

čia nP – suminės apspaudimo jėgos (įvertinus visus įtempimų nuostolius) normalinė dedamoji, skaičiuojama pagal (2.11) formulę. Išankstinio įtempimo tikslumo koeficientas spγ priimamas lygus 1;

sop a/he −= 2 – apspaudimo jėgos nP ekscentricitetas ekvivalentinio skerspjūvio svorio centro atžvilgiu.

Pagal pateiktas formules tampriosios trikampės plokštės kreivis

,IE

ePM

redbb

bopntot

1

2

ϕϕ

ρ−

= (3.14)

o tamprusis įlinkis apskaičiuojamas pagal šią formulę:

∫

−

−⋅−=

z

redbb

bopn

redbbredbbcrc IE

lzP

)cos(sinIEsingz

IElgzf

0 1

20

1

04

1

20

2

45645

6 ϕϕ

ΘΘϕϕ, (3.15)

čia 0l – skaičiuojamasis trumposios kraštinės ilgis.

12 pav. Deformuotos trikampės plokštės skaičiuojamoji schema tampriesiems įlinkiams charakteringuose plokštės

taškuose nustatyti

Naudojami žymėjimai

,E

glKbb1

20

1 6ϕ= (3.16)

,)cos(sinE

singKbb

01

0

2456

45−

⋅=ΘΘϕ

(3.17)

,E

ePK

bb

bopn

1

23 ϕ

ϕ= (3.18)

B

e e fcrc1

90° t

fcrc

fcrc

laz la1

la

f

C A

45°

lh

f

fcrc2 fcrc2

24

.T)cos(sin

sinK 10

0

445

45−

=ΘΘ

(3.19)

Tuomet ekvivalentinis skerspjūvio inercijos momentas ,TzKIred += 4 o įlinkio formulė (3.15) parašoma taip:

∫

+−

+−

+=

hl

crc .dzTzK

zKTzK

KzTzK

Kzf0 24

3

24

24

24

12

(3.20)

Integralas (3.20) išsprendžiamas taikant skaitinį stačiakampių metodą:

[ ],y.........yynlf /)n(//h

crc 2122321 −+++= (3.21)

kur 2122321 /)n(// y...........yy −+++ – pointegralinės funkcijos reikšmės atkarpų 2110 zz,zz ir t. t. viduryje.

Pagal formules (3.20) ir (3.21) apskaičiuojamas tamprusis įlinkis plokštės lūžio linijos ef (12 pav.) t taške. Bet kurio kito plokštės taško įlinkį galima apskaičiuoti, remiantis deformuotos plokštės schema (12 pav.). Maksimalus įlinkis trumpajame krašte (taške e)

,llllfffa

aacrcecrc

2

11 −

−== (3.22)

ir ilgajame krašte (taške f)

,ll

lfffaa

acrcfcrc

22 −

== (3.23)

kur geometriniai dydžiai 21 aaa l,l,l (11 pav.) nustatomi pagal formules: ,/lla 2= ,/zla 211 = ).sin(ll ha Θ−⋅= 0

2 90 1.3.3. Ribinio įlinkio skaičiavimas

Yra žinoma [4], kad dviem kryptimis dirbančių statiškai neišsprendžiamų gelžbetoninių plokščių ribinius įlinkius (įlinkius plokštės irimo stadijoje) lemia plokščių intensyvaus supleišėjimo zonos plotis. Kaip tik šiose zonose įvyksta plokščių suirimas. Intensyvaus supleišėjimo zonos pločiui nustatyti nėra bendros metodikos, todėl jis nustatomas tiek eksperimentais, tiek atliekant teorinius skaičiavimus. Plokštės skaičiuojamąją schemą sudaro standūs diskai (nesupleišėjusios plokštės dalys), tarpusavyje sujungtos lanksčiaisiais ryšiais (intensyvaus supleišėjimo zonos).

Ribiniai įlinkiai trikampėje perdangos plokštėje nustatomi atskirai trumpajam ir ilgajam kraštams: ,zf uu ρ∆ 111 = (3.24)

25

.zf uu ρ∆ 222 = (3.25) čia 21 ∆∆ , – intensyvaus supleišėjimo zonos plotis atitinkamai trumpajame ir ilgajame kraštuose;

uρ – ribinis kreivis plokštės pjūvyje ef, kurio koordinatės 1z ir 2z . Atlikus teorinius tyrimus bei palyginus teorinius ir eksperimentinius rezultatus, nustatyti tokie

intensyvaus supleišėjimo zonos pločiai atitinkamai trumpajam ir ilgajam plokštės kraštui: ,l, 01 150=∆ ,l, 02 220=∆ čia 0l – skaičiuojamasis trumpojo krašto ilgis.

Ribinis kreivis nustatomas pagal normų [1] metodiką:

,)AEAE(h

PEbhAEAEzh

M

snsspnsp

sn

b

b

snsspnsp

su +

−

+

+=

000

ψυξ

ψψρ (3.26)

čia M – suminis momentas (išorinių jėgų ir išankstinio apspaudimo jėgų tempiamos armatūros atstojamosios atžvilgiu).

[ ].blllpM hhu 2

12

6−= (3.27)

Čia sψ – koeficientas, kuris įvertina tempiamojo betono darbą supleišėjusiame ruože. Irimo stadijoje, kai armatūros įtempimai pasiekia takumo ribą, ψs = 1, t. y. tempiamo betono darbas neįvertinamas.

bψ =0,9 – koeficientas, kuris įvertina netolygų gniuždomo betono išorinio sluoksnio deformacijų netolygumą supleišėjusiame elemento ruože;

υ – koeficientas, kuris įvertina tampriosios ir plastinės gniuždomos zonos betono deformacijas: υ =0,45, kai veikia trumpalaikė apkrova; veikiant ilgalaikei apkrovai υ =0,15, kai santykinis oro drėgnis ne mažesnis kaip 40%, ir υ =0,10, kai santykinis oro drėgnis mažesnis kaip 40%.

Vidaus jėgų poros petis z ir santykinis gniuždomosios zonos aukštis ξ nustatomi iš plyšio pločio skaičiavimo (1.2.3 skirsnis) pagal (2.35)–(2.39) formules.

Plokštės ribinė atlaikoma apkrova, remiantis medžiagų stiprumo charakteristikomis ser,sR , ser,bR nustatoma pagal formulę:

,blll

bRN.hN

phh

ser,b

snsn

u 21

2

0506

−

−

= (3.28)

kur [ ] +−+= )cos(RARAN ser,spspser,sssn

01111 45Θ

(3.29)

[ ] .sbRAsinRARA ser,ssser,spspser,ss 332222 +++ Θ

Geometriniai dydžiai Θ,l,l,b hh 1 , įeinantys į formules (3.27)...(3.29), skaičiuojami kaip 1.1.3 skirsnyje.

26

1.3.4. Plokščių, atremtų kampu ir kraštu, įlinkių skaičiavimas

Trikampė plokštė, atremta vienu trumpuoju kraštu ir kampu, skaičiuojama kaip trimis kampais atremta plokštė (1.3.1–1.3.3 skirsniai).

Jei plokštė atremta ilguoju kraštu ir kampu, įlinkis skaičiuojamas kiek kitaip. Skaičiuojamoji plokštės schema pateikta 13 paveiksle. Ekvivalentinio skerspjūvio inercijos momentas

,TzTIred 212 += (3.10') kur

[ ],hhT 31

31 12

1 −= (3.30)

[ ][ ]211112 502 snspps ah.·AAT −+= αα . (3.31) .zb 2= (3.8′)

13 pav. Trikampės plokštės, atremtos kampu ir ilguoju kraštu, tampriojo įlinkio skaičiuojamoji schema: a – deformuotos plokštės schema, b – skaičiuojamasis trikampis elementas

B

b

h

zcrc

g

fcrc

fcrc

e

fcrc

B

lh

fcrc

b

fcrc

z

RA

A

zcrc

C

pF

a

z

∂

27

Tamprusis įlinkis crcel ff = skaičiuojamas pagal 13 pav., b statinę schemą, taikant formulę:

∫

−−=

hl

redbb

opn

redbbredbbcrc .dz

IEezP

IEgz

IEzglf

0 11

4

1

220

62

6 ϕϕϕ (3.15')

Naudodami žymėjimus

,E

glKbb1

20

1 6ϕ= (3.32)

,E

gKbb1

2 3ϕ= (3.33)

,E

ePK

bb

bopn

1

23 ϕ

ϕ= (3.34)

(3.15') formulę užrašome taip:

∫

+−

+−

+=

hl

crc .dzTzT

zKTzT

KzTzT

Kzf0 21

3

21

24

21

12

222 (3.20')

Toliau įlinkis crcf skaičiuojamas pagal (3.21) formulę. Ribinis įlinkis apskaičiuojamas pagal (3.24)

formulę, kur ,zz 01 = o .l, 01 10=∆ Plokštės ribinė atlaikoma apkrova up , imant medžiagų charakteristikas ser,bser,s R,R , apskaičiuojama

pagal (3.28) formulę, o į ją įeinantis dydis snN apskaičiuojamas pagal formulę:

[ ] .sbRARARAN ser,ssser,spspser,sssn 3311112 ++= (3.29')

Dydžiai 1hh l,l,b skaičiuojami kaip 1.1.4 skirsnyje. Plokštės įlinkiai, veikiant apkrovai ,pser apskaičiuojami pagal (3.1) arba (3.2) formulę.

28

2. Gelžbetoninės besijės perdangos trikampės plokštės skaičiavimas asmeniniu kompiuteriu (programa TRIKPLO) 2.1. Bendros žinios apie programą TRIKPLO Programa TRIKPLO skirta gelžbetoninės besijės perdangos trikampių plokščių, atremtų kampais, laikomosios galios, pleišėtumui ir įlinkiams skaičiuoti. Programa parašyta algoritmine kalba FORTRAN-77 ir skirta automatizuotai skaičiuoti trikampes plokštes IBM tipo asmeniniu kompiuteriu. Programa sudaryta laikantis galiojančių projektavimo normų [1]. 2.2. Pradinių duomenų paruošimas ir rezultatai

Pradiniai duomenys surašomi "TRIKPLO.dat" faile. Duomenys suskirstyti į septynias grupes: • armatūros charakteristikos; • betono charakteristikos; • skerspjūvio charakteristikos; • apkrovos; • pradinės pavojingojo pjūvio koordinatės; • koeficientai; • armatūros įtempimų nuostoliai. Atlikus skaičiavimus, gaunami rezultatai, iš kurių svarbiausieji yra šie: • P – plokštės laikomoji galia [kPa]; • Z1, Z2 – plokštės irimo pjūvio koordinatės [m]; • P11CR – apkrova, atitinkanti pirmojo plyšio atsiradimą trumpajame krašte [kPa]; • P21CR – tas pats ilgajam kraštui [kPa]; • Z1CR, Z2CR – pirmojo plyšio koordinatės [m]. PLYŠIO PLOČIAI [mm]: • ACR12 – trumpalaikis trumpajame krašte; • ACR11 – ilgalaikis trumpajame krašte; • ACR22 – trumpalaikis ilgajame krašte; • ACR21 – ilgalaikis trumpajame krašte; • ACR32 – trumpalaikis tarp plokštės kraštų; • ACR31 – ilgalaikis tarp plokštės kraštų. ĮLINKIAI, ATITINKANTYS ESTETINIUS REIKALAVIMUS [cm]: • F1E – trumpajame krašte; • F2E – ilgajame krašte. ĮLINKIAI, ATITINKANTYS KONSTRUKTYVIUS REIKALAVIMUS [cm]: • F1K – trumpajame krašte; • F2K – ilgajame krašte. 2.3. Darbo asmeniniu kompiuteriu eiga Pirmiausia turi būti paruoštas pradinių duomenų failas "TRIKPLO.dat". Programa paleidžiama, komandinėje eilutėje surinkus komandą TRIKPLO arba iš katalogo pasirinkus failą TRIKPLO.exe. Skaičiavimo rezultatai saugomi TRIKPLO.rez faile.

29

2.4. Pradinių duomenų paruošimo bei skaičiavimo rezultatų pavyzdys Pradinių duomenų failo TRIKPLO.dat pavyzdys:

PRADINIAI DUOMENYS PROGRAMAI **TRIKPLO**

ARMATŪROS CHARAKTERISTIKOS: AS1 – NEĮTEMPTOSIOS ARMATŪROS SKERSPJŪVIO PLOTAS TRUMPAJAME KRAŠTE [CM2]: .................................................................................................................................2.01 RS1 – ARMATŪROS AS1 SKAIČIUOJAMASIS STIPRUMAS [MPA]: ................................................ 365. RS1SE – ARMATŪROS AS1 NORMINIS STIPRUMAS [MPA]: ........................................................... 390. ES1 – ARMATŪROS AS1 TAMPRUMO MODULIS [MPA]: ........................................................... 200000. N1 – ARMATŪROS AS1 STRYPŲ SKAIČIUS [VNT]: ............................................................................... 1. D1 – ARMATŪROS AS1 STRYPŲ SKERSMUO [MM]: .......................................................................... 16. ASP1 – ĮTEMPTOSIOS ARMATŪROS SKERSPJŪVIO PLOTAS TRUMPAJAME KRAŠTE [CM2].: ................................................................................................................................. 2.26 RSP1 – ARMATŪROS ASP1 SKAIČIUOJAMASIS STIPRUMAS [MPA] : .......................................... 680. RSP1SE – ARMATŪROS ASP1 NORMINIS STIPRUMAS [MPA]: ...................................................... 785. ESP1 – ARMATŪROS ASP1 TAMPRUMO MODULIS [MPA]: ...................................................... 190000. N2 – ARMATŪROS ASP1 STRYPŲ SKAIČIUS [VNT]: ............................................................................ 2. D2 – ARMATŪROS ASP1 STRYPŲ SKERSMUO [MM]: ........................................................................ 12. AS2 – NEĮTEMPTOSIOS ARMATŪROS SKERSPJŪVIO PLOTAS ILGAJAME KRAŠTE [CM2]: ....... 0. RS2 – ARMATŪROS AS2 SKAIČIUOJAMASIS STIPRUMAS [MPA]: .................................................... 0. RS2SE – ARMATŪROS AS2 NORMINIS STIPRUMAS [MPA]: ............................................................... 0. ES2 – ARMATŪROS AS2 TAMPRUMO MODULIS [MPA]: ..................................................................... 0. N3 – ARMATŪROS AS2 STRYPŲ SKAIČIUS [VNT]: ............................................................................... 0. D3 – ARMATŪROS AS2 STRYPŲ SKERSMUO [MM]: ............................................................................ 0. ASP2 – ĮTEMPTOSIOS ARMATŪROS SKERSPJŪVIO PLOTAS ILGAJAME KRAŠTE [CM2]: .....6.28 RSP2 – ARMATŪROS ASP2 SKAIČIUOJAMASIS STIPRUMAS [MPA]: ........................................... 490. RSP2SE – ARMATŪROS ASP2 NORMINIS STIPRUMAS [MPA]: ...................................................... 540. ESP2 – ARMATŪROS ASP2 TAMPRUMO MODULIS [MPA]: ...................................................... 180000. N4 – ARMATŪROS ASP2 STRYPŲ SKAIČIUS [VNT]: ............................................................................ 2. D4 – ARMATŪROS ASP2 STRYPŲ SKERSMUO [MM]: ........................................................................ 20. AS3 – TINKLO ARMATŪROS STRYPO SKERSPJŪVIO PLOTAS [CM2]: ....................................... 0.126 RS3 – ARMATŪROS AS3 SKAIČIUOJAMASIS STIPRUMAS [MPA]: ................................................ 365. RS3SE – ARMATŪROS AS3 NORMINIS STIPRUMAS [MPA]: ........................................................... 405. ES3 – ARMATŪROS AS3 TAMPRUMO MODULIS [MPA]: ........................................................... 170000. DELTA – TINKLO STRYPŲ ŽINGSNIS [M]: ......................................................................................... 0.15 D5 – TINKLO STRYPŲ SKERSMUO [MM]: ............................................................................................... 4.

BETONO CHARAKTERISTIKOS: RB – SKAIČIUOJAMASIS STIPRUMAS GNIUŽDANT [MPA]: ........................................................... 14.5 RBSER – NORMINIS STIPRUMAS GNIUŽDANT [MPA].: .................................................................. 18.5 RBT – SKAIČIUOJAMASIS STIPRUMAS TEMPIANT [MPA]: ............................................................ 1.05 RBTSER – NORMINIS STIPRUMAS TEMPIANT [MPA]: ...................................................................... 1.6 RBP – STIPRUMAS APSPAUDIMO METU [MPA]: ................................................................................ 15. EB – TAMPRUMO MODULIS [MPA]: ................................................................................................ 27000.

SKERSPJŪVIO CHARAKTERISTIKOS: L0 – PLOKŠTES SKAIČIUOJAMASIS ILGIS [M]: ................................................................................... 5.5

30

L – PLOKŠTĖS KRAŠTO ILGIS [M]: .......................................................................................................... 6. H0 – NAUDINGAS SKERSPJŪVIO AUKŠTIS [M]: ............................................................................... 0.21 H – SKERSPJŪVIO AUKŠTIS [M]: .......................................................................................................... 0.25 H1 – REDUKUOTO SKERSPJŪVIO SIENUTES AUKŠTIS [M]: ........................................................ 0.159 HF – APATINĖS LENTYNOS AUKŠTIS [M]: ...................................................................................... 0.055 HF1 – VIRŠUTINĖS LENTYNOS AUKŠTIS [M]: ................................................................................ 0.036 AS – ATSTUMAS TARP ARMATŪROS ATSTOJAMOSIOS IR PLOKŠTĖS APAČIOS [M]: ............ 0.04 DEL1 – ATSTUMAS TARP TUŠTUMŲ [M]: ........................................................................................ 0.051 T – ATSTUMAS TARP GRETIMŲ TUŠTUMŲ CENTRŲ [M]: ............................................................. 0.21 T1 – ATSTUMAS NUO ILGOJO KRAŠTO IKI PIRMOS TUŠTUMOS [M]: .......................................... 0.4 HC – ATSTUMAS TARP KOLONOS AŠIES IR PLOKŠTES ATRAMINĖS REAKCIJOS PRIDĖTIES TAŠKO [M]: .................................................................................................................... 0.32 DA1 – IŠIMOS PLOTIS TRUMPAJAME KRAŠTE: ................................................................................ 0.12 DA2 – IŠIMOS PLOTIS ILGAJAME KRAŠTE: ......................................................................................... 0.0

APKROVOS: Q – TOLYGIAI IŠSKIRSTYTA PASTOVIOJI [KPA]: ............................................................................ 5.58 V1 – TOLYGIAI IŠSKIRSTYTA ILGALAIKĖ [KPA]: ................................................................................ 0. V2 – TOLYGIAI IŠSKIRSTYTA TRUMPALAIKĖ [KPA]: ....................................................................... 0.7 PK – TOLYGIAI IŠSKIRSTYTA, ATITINKANTI KONSTRUKTYVIUS REIKALAVIMUS [KPA]: 6.28

PRADINĖS PJŪVIO KOORDINATĖS: Z10 – TRUMPAJAME KRAŠTE [M]: ......................................................................................................... 2.0 Z20 – ILGAJAME KRAŠTE [M]: ................................................................................................................ 2.0

KOEFICIENTAI: BETA – PRIKLAUSANTIS NUO BETONO TIPO: .................................................................................... 1.8 1.8 – SUNKUSIS IR LENGVASIS 1.6 – PORĖTAGRŪDIS 1.4 – AKYTASIS IR PORĖTASIS ETA1 – PRIKLAUSANTIS NUO ARMATUROS TIPO TRUMPAJAME KRAŠTE: ................................. 1. ETA2 – TAS PATS ILGAJAME KRAŠTE: .................................................................................................. 1. ETA3 – TAS PATS TINKLO: ...................................................................................................................... 1.2 1.0 – STRYPINĖ RUMBUOTA 1.3 – STRYPINĖ LYGI 1.2 – RUMBUOTA VIELA ARBA LYNAI 1.4 – LYGI ALF – PRIKLAUSANTIS NUO BETONO KIETĖJIMO SĄLYGŲ: ....................................................... 0.85 1.0 – KIETĖJĘS NATŪRALIOJE APLINKOJE .85 – ŠILDYTAS ATMOSFERINIAME SLĖGYJE FIS – KURIS ĮVERTINA TEMPIAMOSIOS ZONOS BETONO POVEIKĮ ARMATŪROS

DEFORMACIJOMS: ...............................................................................................................................1. FIB – KURIS APIBŪDINA GNIUŽDOMO KRAŠTINIO SLUOKSNIO BETONO DEFORMACIJŲ NETOLYGŲ PASISKIRSTYMĄ: ......................................................................................................... 0.9 FI1 – KURIS ĮVERTINA BETONO PLASTINIŲ DEFORMACIJŲ ĮTAKA ELEMENTO STANDUMUI: .....................................................................................................................................0.85 0.85 – SUNKUSIS, PORĖTAGRŪDIS BETONAI 0.7 – PORĖTASIS BETONAS FI2 – KURIS ĮVERTINA BETONO VALKŠNUMO ĮTAKA ELEMENTO STANDUMUI.: ....................2. 1. – ESANT TRUMPALAIKEI APKROVAI

31

2. – ESANT ILGALAIKEI APKROVAI, KAI ORO DRĖGNIS 40-75% 3. – ESANT ILGALAIKEI APKROVAI, KAI ORO DRĖGNIS <40% KOEF1 – NURODANTIS, KOKIU BŪDU TEMPIAMA TRUMPOJO KRAŠTO ARMATŪRA..: ...........1 0 – MECHANINIU 1 – ELEKTROTERMINIU ARBA ELEKTROTERMOMECHANINIU KOEF2 – NURODANTIS, KOKIU BŪDU TEMPIAMA ILGOJO KRAŠTO ARMATŪRA.: ...................0 0 – MECHANINIU 1 – ELEKTROTERMINIU ARBA ELEKTROTERMOMECHANINIU

ARMATŪROS ĮTEMPIMŲ NUOSTOLIAI: SIG11 – NUOSTOLIAI DĖL ARMATŪROS ĮTEMPIMŲ RELAKSACIJOS, KAI ARMATŪRA

TEMPIAMA Į ATSPARAS TRUMPAJAME KRAŠTE [MPA]: .......................................................13.5 SIG21 – TAS PATS ILGAJAME KRAŠTE [MPA]: ................................................................................. 19.5 SIG12 – NUOSTOLIAI DĖL TEMPERATŪRŲ SKIRTUMO TRUMPAJAME KRAŠTE [MPA]: ..........0. SIG22 – TAS PATS ILGAJAME KRAŠTE [MPA]: ..................................................................................... 0. SIG13 – NUOSTOLIAI DĖL INKARŲ DEFORMACIJŲ TRUMPAJAME KRAŠTE [MPA]: .............. 63.3 SIG23 – TAS PATS ILGAJAME KRAŠTE [MPA]: ................................................................................. 42.3 SIG14 – NUOSTOLIAI DĖL ARMATŪROS TRINTIES TRUMPAJAME KRAŠTE [MPA]: ................... 0. SIG24 – TAS PATS ILGAJAME KRAŠTE [MPA]: ..................................................................................... 0. SIG15 – NUOSTOLIAI DĖL PLIENINĖS FORMOS DEFORMACIJŲ TRUMPAJAME KRAŠTE [MPA]: ...................................................................................................................................30. SIG25 – TAS PATS ILGAJAME KRAŠTE [MPA]: ................................................................................... 30. SIG17 – NUOSTOLIAI DĖL ARMATŪROS ĮTEMPIMŲ RELAKSACIJOS, KAI ARMATŪRA

TEMPIAMA Į BETONĄ TRUMPAJAME KRAŠTE [MPA]: ...............................................................0. SIG27 – TAS PATS ILGAJAME KRAŠTE [MPA]: ................................................................................... 35. SIG8 – NUOSTOLIAI DĖL BETONO SUSITRAUKIMO [MPA]: ............................................................ 35. SIG1SP – IŠANKSTINIAI ARMATŪROS ĮTEMPIMAI (BE NUOSTOLIŲ) TRUMPAJAME KRAŠTE [MPA]: .................................................................................................................................450. SIG2SP – TAS PATS ILGAJAME KRAŠTE [MPA]: .............................................................................. 394.

Skaičiavimo rezultatų failo TRIKPLO.rez pavyzdys:

* SKAICIAVIMO REZULTATAI * PLOKŠTĖS LAIKOMOJI GALIA [KPA]: P= 8.721 IRIMO PJŪVIO KOORDINATĖS [M]: Z1= 3.520 Z2= 3.676 IŠORINIŲ JĖGŲ SUKIMO MOMENTAS [KNM]: TQ= -4.922 ARMATŪROS ATSPARUMAS SUKIMUI [KNM]: TRS= 11.474 GNIUŽDOMOS ZONOS BETONO ATSPARUMAS SUKIMUI [KNM]: TRB= 12.807 BETONO ATSPARUMAS SUKIMUI [KNM]: TS= 61.521 TRUMPOJO KRAŠTO PLEIŠĖJIMO APKROVA [KPA]: P11CR= 5.863 ILGOJO KRAŠTO PLEIŠĖJIMO APKROVA [KPA]: P21CR= 5.985 PIRMOJO PLYŠIO KOORDINATĖS [M]: Z1CR= 2.585 Z2CR= 2.612

32

P0N= 192.167 TRUMPOJO KRAŠTO TRUMPALAIKIO PLYŠIO PLOTIS [MM]: ACR12= .245 TRUMPOJO KRAŠTO ILGALAIKIO PLYŠIO PLOTIS [MM]: ACR11= .196 ILGOJO KRAŠTO TRUMPALAIKIO PLYŠIO PLOTIS [MM] : ACR22= .301 ILGOJO KRAŠTO ILGALAIKIO PLYŠIO PLOTIS [MM]: ACR21= .263 TRUMPALAIKIO PLYŠIO PLOTIS PLOKŠTĖJE TARP KRAŠTŲ [MM]: ACR32= .224 ILGALAIKIO PLYŠIO PLOTIS PLOKŠTĖJE TARP KRAŠTŲ [MM]: ACR31= .195

ĮLINKIAI, ATITINKANTYS ESTETINIUS REIKALAVIMUS:

-TRUMPAJAME KRAŠTE [CM]: F1E= .597 -ILGAJAME KRAŠTE [CM]: F2E= 1.438

ĮLINKIAI, ATITINKANTYS KONSTRUKTYVIUS REIKALAVIMUS:

-TRUMPAJAME KRAŠTE [CM]: F1K= 1.063 -ILGAJAME KRAŠTE [CM]: F2K= 2.144

33

Literatūra 1. СНиП 2.03.01-84*. Бетонные и железобетонные конструкции / Госстрой СССР. М.: ЦИТП Госстроя СССР,

1989. 80 с. 2. А.с. 773221. Перекрытия зданий и сооружений / В. Ражайтис (СССР). 1979. 3. Дулинскас Е. Ю. О расчете и оптимизации железобетонных элементов переменного поперечного сечения //

Железобетонные конструкции (Научные труды вузов Литовской ССР). Вильнюс, 1981. № 11. 4. Крылов С. М. Перераспределение усилий в статически неопределимых железобетонных конструкциях. М.:

Госстройиздат, 1964. 168 с. 5. Руководство по расчету статически неопределимых железобетонных конструкций. М.: Стройиздат, 1975.

192 с. 6. II-04 karkaso trikampių perdangos plokš č ių tyrimai. Mokslinė ataskaita / "Orgtechstatybos" trestas. Vilnius. 1978. 7. Дулинскас Е., Каклаускас Г., Латакас А. Расчет треугольных плит безригельных перекрытий. Пособие по

расчету. Вильнюс: Техника, 1993. 103 с. 8. СНиП 2.01.07-85. Нагрузки и воздействия / Госстрой СССР. М.: ЦИТП Госстроя СССР, 1986. 36 с. 9. Zienkiewicz O. Z. The Finite Element Method. Third edition, McGraw-Hill, London, 1977. 10. STAAD-III. Reference Manual. Research Engineers (Europe), Ltd., 1994. 584 p. 11. Kač ianauskas R. Computer Methods in Multilevel Modelling of Beams and Shells. Vilnius: Technika, 1995, 395 p. 12. CEB-FIP MODEL CODE 1990, Thomas Telfard, 1991. 438 p. 13. G. I. N. Rozvany. Optimal design of flexural sistems: beams, grillages, slabs, plates and shells. Oxford, New York,

Toronto, Sidney, Paris, Frankfurt. Pergamon press. 1976. 316 p. 14. A. J. Morris. Foundations of structural optimisation: A unified approach, John Willey, Chichister, 1982. 310 ń. 15. Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Физматгиз, 1963. 635 с. 16. K. I. Majid. Optimum design of structures/London, 1974. 17. Nielsen M. P. Limit analysis and concrete plasticity. CRC press, London, New Yourk, Washington DC. 1999. 907

p. 18. Kaklauskas G. Integral Constitutive Model for Deformational Analysis of Reinforced Concrete Members. Habil. Dr.

thesis, Vilnius Gediminas Technical University, Lithuania, 2000, 113 p. 19. Kaklauskas G. and Ghaboussi J. Stress-Strain Relations for Cracked Tensile Concrete from RC Beam Tests //

ASCE Journal of Structural Engineering, January 2001, Vol. 127, Issue 1, p. 64-73.