Trigonométrie

Résolution de triangles.

Applications

5,05 m

3,2 m

6,4 m

Voici la vue de côté d’un abri pour le bois de chauffage.

Quelle est la mesure de l’angle d’inclinaison du toit ?

6,4 m

1,85 m

5,05 m – 3,2 m

Rapport : Tangente

Tan-1 ( 1,85 ÷ 6,4 ) ≈ 16,10

Quelle est la pente de ce toit ?

1,85

6,4

distance verticale

distance horizontale= ≈ 0,3

Dans le losange ci-contre, la petite diagonale forme avec le côté AB un angle de 700 .

A

B

C

D

Sachant que la diagonale BD mesure 32 cm, calcule l’aire et le périmètre de ce losange.

Deux propriétés des diagonales d’un losange vont nous aider à résoudre ce problème :

« Les diagonales d’un losange se coupent en leur milieu. »

E

« Les diagonales d’un losange se coupent perpendiculairement. »

Le triangle AEB est donc rectangle;

Nous pouvons alors utiliser les relations existantes dans un triangle rectangle.

donc le segment BE mesure 16 cm.16

A

B

C

D

E

16

700

1) Déterminons les mesures des segments AB et AE.

m AB : Sin 700 = 16x xx = 16 ÷ Sin 700 ≈ 17 cm

m AE : Tan 700 = 16x

x = 16 ÷ Tan 700 ≈ 5,8 cm

17

xdonc le segment AC mesure 11,6 cm

Formule du périmètre d’un losange : 4 C

4 X m AB

≈ 68 cm

Formule de l’aire d’un losange : D X d

2

m BD X m AC

2

32 X 11,6

2≈ 185,6 cm2

5,8

4 X 17

4 m

7 m

600

x

370

A

B C D

Dans le triangle ci-contre, que vaut la mesure du segment CD ?

1) Déterminons la mesure du segment BC :

Tan 600 =7

m BC

m BC = 7 ÷ Tan 600 ≈ 4 m

2) Déterminons la mesure du segment BD :

Tan 370 =7

m BD

≈ 9,3 mm BD = 7 ÷ Tan 370

3) m CD = m BD - m BC

9,3 - 4 ≈ 5,3 m CD ≈ 5,3 m

Dans le triangle ci-contre, quelle est la mesure du segment DC ?

280

284 m

A B

C

D

30

x

1) Déterminons, en premier, la mesure du segment BC :

≈ 133,3 m

2) Déterminons la mesure du segment AB :

133,3

≈ 250,7

3) Déterminons la mesure du segment CD :

Tan 310 =250,7

( 133,3 + x )250,7 Tan 310 = 133,3 + x

x = 250,7 Tan 310 – 133,3 ≈ 17,3 m

m BCSin 280 =

284m BC = 284 sin 280

Tan 280 =133,3

m AB m AB = 133,3 ÷ Tan 280

m CD ≈ 17,3 m

250,7

430

670

700

A

B

C

100

mm

Quelle est l’aire de ce triangle ?

1) m C = 1800 – ( 670 + 700 ) = 430

2) Construisons une hauteur relative à la base AC .

H

3) m BH : Sin 670 = x

100

x = 100 Sin 670 ≈ 92,1 mm

m AH : Tan 670 = 92,1

x

x = 92,1 ÷ Tan 670

92,1

≈ 39,1 mm

m CH : Tan 430 = 92,1

x

x = 92,1 ÷ Tan 430 ≈ 98,8 mm

4) m AC : m AH + m HC

39,1 + 98,8 ≈ 137,9 mm

5) =137,9 X 92,1

2≈ 6350,3 mm2

Remarque: Tracer une hauteur dans un triangle peut s’avérer très utile.

m AC :

A2

B X H=

650

730 420170

Pour connaître la hauteur de cette falaise, on prend une visée du point B selon un angle d’élévation de 420 ; par la suite, on se déplace de 253 m en direction du point A et, à ce point, on reprend une nouvelle visée selon un angle d’élévation de 170 .

Posons les mesures.

Quelle est la hauteur de la falaise ?

253 mA B

C

H

Méthode 1 :

Traçons la hauteur BD.

250

D

m DB : m DB

253

sin 170 =

m CB : 74sin 250 =

m CB

253 sin 170 = m DB ≈ 74 mm DB

74 ÷ sin 250m CB = m CB ≈ 175,1 m

m CH : m CH

175,1

sin 420 = 175,1 sin 420m CH = m CH ≈ 117,2 m

420170

Pour connaître la hauteur de cette falaise, on prend une visée du point B selon un angle d’élévation de 420 ; par la suite, on se déplace de 253 m en direction du point A et, à ce point, on reprend une nouvelle visée selon un angle d’élévation de 170 .

Posons les mesures :

Quelle est la hauteur de la falaise ?

253 m xA B

C

H

Dans le triangle AHC, on peut poser le rapport Tangente 170 =m CH

( 253 + x )

Dans le triangle BHC, on peut poser le rapport Tangente 420 = m CH

x

Tan 170 ( 253 + x ) = m CH

Tan 420 x = m CH

Les deux équations sont égales à m CH .

Méthode 2 :

Tan 170 ( 253 + x ) = Tan 420 x

420170

253 m xA B

C

H

0,3057 ( 253 + x ) ≈ 0,9004 x

77,34 + 0,3057 x ≈ 0,9004 x

77,34 ≈ 0,5947 x0, 5947 0, 5947

130 ≈ x

donc

130

420170

253 mA B

C

H130 m

Tan 420 = m CH

130m CH = 130 Tan 420 ≈ 117,1 m

Remarque: Tu aurais pu aussi utiliser le rapport : Tan 170 = m CH

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Conclusion

Les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle sont très utiles pour déterminer des mesures dans plusieurs situations.

La perpendicularité de segments crée des angles de 900 donc des triangles rectangles.

Il faut bien distinguer les différents rapports Sinus, Cosinus et Tangente et

toujours prendre le temps d’écrire la proportion.