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Module II: Rappels de trigonométrie.
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Rappels sur les (tri)angles
Angles
Les angles opposés par le sommet sont égaux
Deux angles dont les cotés sont parallèles sont égaux
Deux angles dont les cotés sont perpendiculaires sont égaux
θθ θ θθ
θθ
θ
1
1
2
23
3
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Rappels sur les (tri)angles
Triangles
La somme des angles d’un triangle vaut 180°
Deux triangles dont les 3 angles sont égaux sont dits semblables
Pythagore: dans un triangle rectangle, la somme des carrés des longueurs des cotés formant l’angle droit est égale au carré de la longueur de l’hypoténuse
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Rappels sur les (tri)angles
Triangles (suite)
Thales: dans deux triangles semblables, les rapports des longueurs des cotés correspondants sont égaux
A’
B’
C’
A
B
C
'''''' CB
BC
CA
AC
BA
AB ==
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Le cercle trigonométrique
(1,0)
θ
(1,tg(θ))
(0,sin(θ))
(cos(θ),0)
(cotg(θ),1)
IVIII
II
I
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Le cercle trigonométrique
(1,0)
θ
(1,tg(θ))
(0,sin(θ))
(cos(θ),0)
(cotg(θ),1)
IVIII
III
Conséquences (I): -1 ≤ sin(θ) ≤ 1
-1 ≤ cos(θ) ≤ 1
fonctions (de θ) périodiques, de période 2π (radians)
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Le cercle trigonométrique
(1,0)
θ
(1,tg(θ))
(0,sin(θ))
(cos(θ),0)
(cotg(θ),1)
IVIII
III
Conséquences (II):
θ
0
0 −> π/2
π/2
π/2 −> π
π
π −>3π/2
3π/2
3π/2 −> 2π
2π
cos(θ)
1
1 −> 0
0
0 −> −1
−1
−1 −> 0
0
0 −> 1
1
sin(θ)
0
0 −> 1
1
1 −> 0
0
0 −> −1
−1
−1 −> 0
0
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Le cercle trigonométrique
(1,0)
θ
(1,tg(θ))
(0,sin(θ))
(cos(θ),0)
(cotg(θ),1)
IVIII
III
Conséquences (III): Pythagore sur :
Thales sur et
Thales sur et
( ) ( ) 1sincos 22 =+ θθ
( )( )( ) ( ) ( )
( )θθθ
θθ
θ cos
sin
sincos
1 == tgtg
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )θθθθ
θθθ
tgg
g
1
sin
coscot
cot
cos
1
sin ===
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Le cercle trigonométrique
(1,0)
θ
(1,tg(θ))
(0,sin(θ))
(cos(θ),0)
(cotg(θ),1)
IVIII
III
Conséquences (IV):
θ
0
0 −> π/2
π/2
π/2 −> π
π
π −>3π/2
3π/2
3π/2 −> 2π
2π
tg(θ)
0
0 −> +∞
∞
− ∞ −> 0
0
0 −> +∞
∞
-∞ −> 0
0
cotg(θ)
∞
+∞ −> 0
0
0 −> -∞
∞
+∞ −> 0
0
0 −> -∞
∞
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Le cercle trigonométrique
(1,0)
θ
(1,tg(θ))
(0,sin(θ))
(cos(θ),0)
(cotg(θ),1)
Conséquences (V):relations dans les triangles rectangles Thalès:
=> a = h*sin(θ)b = h*cos(θ)a/b = tg(θ)
= =a
b
h
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Le cercle trigonométrique
(1,0)θ
(1,tg(θ))
(0,sin(θ))
(cos(θ),0)
(cotg(θ),1)
IVIII
III
Conséquences (VI):angles opposés cos(-θ) = cos(θ)
sin(-θ) = -sin(θ)
=> tg(-θ) = -tg(θ)
−θ
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Le cercle trigonométrique
(1,0)θ
(1,tg(θ))
(cos(θ),0)
(cotg(θ),1)
IVIII
III
Conséquences (VII):angles supplémentaires cos(π-θ) = -cos(θ)
sin(π-θ) = sin(θ)
=> tg(π-θ) = -tg(θ)
θ
(0,sin(θ))
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Le cercle trigonométrique
(1,0)θ
(1,tg(θ))
(cos(θ),0)
(cotg(θ),1)
IVIII
III
Conséquences (VIII):angles anti-supplémentaires cos(π+θ) = -cos(θ)
sin(π+θ) = -sin(θ)
=> tg(π+θ) = tg(θ)
θ
(0,sin(θ))
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Le cercle trigonométrique
(1,0)θ
(1,tg(θ))
(cos(θ),0)
(cotg(θ),1)
IVIII
III
Conséquences (IX):angles complémentaires(par symétrie) cos(π/2-θ) = sin(θ)
sin(π/2-θ) = cos(θ)
=> tg(π/2-θ) = cotg(θ)
(0,sin(θ))
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Quelques valeurs…
θ
0
π/6
π/4
π/3
π/2
cos(θ)
4
3
2
1
0
sin(θ)
0
1
2
3
4
tg(θ) cotg(θ)
Un petit truc pour les retenir… On commence comme ceci:
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Quelques valeurs…
θ
0
π/6
π/4
π/3
π/2
cos(θ)
√4
√3
√2
√1
√0
sin(θ)
√0
√1
√2
√3
√4
tg(θ) cotg(θ)
Un petit truc pour les retenir… On continue en prenant les racines:
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Quelques valeurs…
θ
0
π/6
π/4
π/3
π/2
cos(θ)
√4/2=1
√3/2
√2/2
√1/2=1/2
√0/2=0
sin(θ)
√0/2=0
√1/2=1/2
√2/2
√3/2
√4/2=1
tg(θ) cotg(θ)
Un petit truc pour les retenir… Puis on divise par 2:
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Quelques valeurs…
θ
0
π/6
π/4
π/3
π/2
cos(θ)
1
√3/2
√2/2
1/2
0
sin(θ)
0
1/2
√2/2
√3/2
1
tg(θ)
0
√3/3
1
√3
∞
cotg(θ)
∞
√3
1
√3/3
0
Un petit truc pour les retenir… On obtient les 2 dernières colonnes par divisions:
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Un exemple…
Calculez successivement…
|OC|
|OD|
|OA|
|OB|
|AP|
|AB|
= cos (α+β)
= cos (α)
= cos (α+β)/cos(α)
= cos (β)
= sin (β)/cos(α)
= sin(α) sin(β)/cos(α)
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Un exemple…
|OC|
|OD|
|OA|
|OB|
|AP|
|AB|
= cos (α+β)
= cos (α)
= cos (α+β)/cos(α)
= cos (β)
= sin (β)/cos(α)
= sin(α) sin(β)/cos(α)
Utilisez ces résultats dans: |OB| = |OA| + |AB|pour calculer: cos (α+β)
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Autres formules…
Somme ou différences d’angles:
sin (α+β) = sin (α)∗cos (β) + sin (β)∗cos (α)sin (α-β) = sin (α)∗cos (β) – sin (β)∗cos (α)cos (α+β) = cos (α)∗cos (β) – sin (α)∗sin (β)cos (α−β) = cos (α)∗cos (β) + sin (α)∗sin (β)tg (α+β) = (tg (α) + tg (β)) / (1 – tg (α)∗tg(β))tg (α−β) = (tg (α) - tg (β)) / (1 + tg (α)∗tg(β))
Ex: utilisez sin²(α+β)=1-cos²(α+β) pour montrer *
*
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Autres formules…
Exemple d’application de ces formules: On utilise: α = (α+β)/2 + (α−β)/2
β = (α+β)/2 - (α−β)/2
On obtient alors, par exemple:
sin (α) +sin (β) = sin ((α+β)/2 + (α−β)/2)+ sin ((α+β)/2 - (α−β)/2) = 2∗sin ((α+β)/2) ∗ cos ((α−β)/2)
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Autres formules…
De manière similaire:
sin (α) + sin (β) = 2*sin ((α+β)/2) * cos ((α−β)/2)sin (α) – sin (β) = 2*sin ((α−β)/2) * cos ((α+β)/2)cos (α) + cos (β) = 2*cos ((α+β)/2) * cos ((α−β)/2)cos (α) – cos (β) = -2*sin ((α−β)/2) * sin ((α+β)/2)
Ces formules sont connues sous le nom de
Formules de Simpson
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Exemple (interro 2009...)
Montrez que: sin (4x)+sin (2x) = 2*sin(3x)*cos(x)
Solution: utiliser 4x = 3x + x et 2x = 3x - x (ce qui revient à utiliser Simpson) !
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Exemple
Montrez que: sin (15°) = sin(π/12) = 2*sin(3x)*cos(x)
��� 15° = ����
=
��
∗ �
Truc:
réaliser que �
=
��
��
� et utiliser Simpson
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Un autre exemple
(1,0)
θ
(1,tg(θ))
(0,sin(θ))
(cos(θ),0)
(cotg(θ),1)
IVIII
II
I Combien vaut la longueur de:
• ?
• ?
• https://www.socrative.com/• Student login• Room name: FARNIR => JOIN• Entrez: Nom, Prénom => DONE• Choisissez une réponse A, B, C, D ou E => SUBMIT
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Autres formules…
Double d’angles:sin (2α) = sin (α+α) = 2∗sin (α)∗cos (α) cos (2α) = cos (α+α) = cos² (α) – sin² (α) tg (2α) = tg (α+α) = (2tg (α)) / (1 – tg²(α))
Exemple:sin(π/3) = 2*sin (π/6)*cos (π/6)
= 2*cos (π/2-π/6) * sin (π/2-π/6)= 2*cos (π/3) * sin (π/3)
=> cos (π/3) = 0.5=> sin (π/3) = √(1-0.5²) = √3/2
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Rappels sur les (tri)angles
Triangles quelconques
Généralisation de Pythagore:
Relation aux sinus:
A
B
C
( )Acbcba ˆcos***2222 −+=
c b
a
( )Bcacab ˆcos***2222 −+=
( )Cbabac ˆcos***2222 −+=
( ) ( ) ( )C
c
B
b
A
aˆsinˆsinˆsin
==
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Rappels sur les (tri)angles
Exemple:A
B
C
c b
aD
|AC|²=|AD|² + |DC|²
|AD|=|AB|*sin(b)
|DC|=|BC|-|BD|
|BD|=|AB|*cos(b)
|AC|²=|AB|² + |BC|² - 2*|AB|*|BC|*cos(b)
c*sin(B) = b*sin(C) => c/sin(C) = b/sin(B)
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Module II’: Bases du calcul vectoriel.
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Grandeurs vectorielles
Grandeurs « scalaires » Définies par leur grandeur uniquement
Exemples: temps, masse, résistance
Représentées par un seul nombre
Grandeurs « vectorielles » Définies par leur grandeur et leur direction
Exemples: vitesse, accélération, force, …
Représentées par un « vecteur »
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Notion de vecteur
Etre mathématique utilisé pour représenter une grandeur possédant: un point d’application ex: A
une direction ex: droite dAB
un sens ex: A -> B
une mesure ex: F ou |F|
A
B
d
F
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Notion de vecteur: exemple
Poids d’un solide ( ≠ masse !) un point d’application: centre de gravité c
une direction: verticale
un sens: vers le « bas »
une mesure P = m*g
P
c
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Composantes d’un vecteur
Coordonnées du vecteur si on déplace l’origine o des axes au point d’application du vecteur
X
Y
X
Y
A
o
o’ AX
AY
Remarque: d’autres systèmes de coord. existent
Exemple: (A,θ) où A est la longueur du vecteur et θ est l’angle entre A et l’axe des X(et AX=A*cos(θ),
AY=A*sin(θ) )
A = (AX,AY)
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Norme d’un vecteur
Norme = module = longueur = A = |A|
X
Y
A
o’ AX
AY
Coordonnées euclidiennes (Pyth.)
Coordonnées polaires (A, θ)A = (AX,AY)
22YX AAAA +==
AA =
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Opérations sur les vecteurs (1)
Multiplication par un scalaire Géométriquement:
Algébriquement: Remarque: si k<0, inversion du sens
X
Y
A
o’ AX
AY
kA = (k*AX,k*AY)
kA
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Opérations sur les vecteurs (2)
Addition de deux vecteurs Géométriquement (règle du parallélogramme):
Algébriquement:
X
Y
A
o’ AX
AY
A + B = C = (AX+BX,AY+BY)
A+B=CB
BY
BX
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Opérations sur les vecteurs (3)
Soustraction de deux vecteurs Géométriquement (règle du parallélogramme):
Algébriquement:
ou encore:
X
Y
A
o’ AX
AY
A = C - B = (AX,AY) = (CX-BX,CY-BY)
A+B=CB
BY
BX
C+(- B) = (CX+(-BX),CY+(-BY))
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Exercice: énoncé
Quelle force F, parallèle au plan incliné π, faut-il exercer sur la bille, de masse m, pour qu’elle reste immobile ?
πF
θ
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Exercice: solution
La somme des forces agissant sur la bille doit être nulle (un vecteur nul):
πF
P= mg
R
( ) ( )θθ sin**0*sin* gmFgmF ==+�
�
�
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Opérations sur les vecteurs (4)
Produit scalaire de deux vecteurs Définition:
Géométriquement:
Algébriquement:
A. B = AX*BX + AY*BY + AZ*BZ
c = A . B = A*B*cos(θ)
A
B
θ
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Opérations sur les vecteurs (4)
Propriétés du produit scalaire de deux vecteurs Commutatif: A.B = B.A Nul si et seulement si (une condition suffit):
A = 0 B = 0 A perpendiculaire B
A.A = A²
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Opérations sur les vecteurs (5)
Produit vectoriel de deux vecteurs Définition:
où v est un vecteur unitaire perp. au plan de A et B
Géométriquement:
C = A ^ B = A*B*sin(θ)*v
A
B
θ
X
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Γ⃗ = �⃗ ∧ �⃗
Opérations sur les vecteurs (5)
Produit vectoriel de deux vecteurs Algébriquement:
Exemple: couple mécanique
A^ B = ( AY*BZ - AZ*BY) ex +( AZ*BX - AX*BZ) ey +( AX*BY - AY*BX) ez
�⃗ = 30,20,0
�⃗ = 5, �15,0
⇒ Γ⃗ = 0,0, �350
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Opérations sur les vecteurs (5)
Produit vectoriel de deux vecteurs Algébriquement:
Exemple: particule électrique se déplaçant dans un champ d’induction magnétique B
A^ B = ( AY*BZ - AZ*BY) ex +( AZ*BX - AX*BZ) ey +( AX*BY - AY*BX) ez
N
S
Bv
q
.FBvqF�
�
�
∧= *