angles orientÉs – trigonomÉtrie – 1 partie – 1Èrelycee.lagrave.free.fr/img/pdf/1ieres....
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ANGLES ORIENTÉS – TRIGONOMÉTRIE – 1ÈRE PARTIE – 1ÈRE S
1. Cercle trigonométrique
Le plan est rapporté à un repère orthonormal O; i!; j!
( ) . On considère le cercle de centre O et de rayon 1 ainsi que la droite d'équation x = 1 que l'on gradue avec la même unité et la même orientation que l'axe
O, j!
( ) .
On "enroule" ensuite cette droite autour du cercle, la partie positive dans le sens direct (inverse des aiguilles d'une montre) et la partie négative dans le sens indirect (sens des aiguilles d'une montre). Voir Figure 1.
Ainsi, chaque réel sur la droite se place sur le cercle :
Sur le point I viennent se placés les nombres : .........................................................................................................................................
Sur le point J viennent se placés les nombres : .........................................................................................................................................
Sur le point K viennent se placés les nombres : ........................................................................................................................................
Sur le point L viennent se placés les nombres : ........................................................................................................................................
Lorsque l'on parcourt ainsi la droite "enroulée" autour du cercle, on passe au même
point du cercle tous les ...............................................................................................................................................................................
On dit que le mouvement est ………………… de ……………………
2. Angles orientés et mesures en radians
Définition : Dans le même plan, on considère deux vecteurs non nuls u!
et v!
et deux points M et M' du plan tels que u
!est colinéaire et de même sens que OI
! "!, OM! "!!!
= v
" et M'
est l'intersection du cercle avec OM[ ) . Voir Figure 2.
On appelle angle orienté u
!, v!
( ) l'angle de rotation de centre O qui à I donne l'image M'. Une mesure en radians de cet angle est donnée par un des nombres de la droite réelle enroulée correspondant au point M' sur le cercle. Ainsi, l'angle orienté
u
!, v!
( ) possède une infinité de mesures en radians :
Si l'on parcourt le cercle dans le sens direct alors u
!, v!
( )> 0 ;
Si l'on parcourt le cercle dans le sens indirect alors u
!, v!
( )< 0.
Premières propriétés : Pour tous vecteurs u
! et v!
du plan : Schéma a Schéma b Schéma c a.
u
!;v!
( ) = ..................
b. Si k > 0, ku
!, v!
( ) = …………
c. Si k < 0, ku
!, v!
( ) = …………
Premières mesures : On considère le cercle trigonométrique de la Figure 3 :
Angle orienté
OI
! "!,OI! "!
( )
OI
! "!,OA! "!!
( )
OI
! "!,OB! "!!
( )
OI
! "!,OC! "!!
( )
OI
! "!,OJ! "!!
( )
OI
! "!,OD! "!!
( )
OI
! "!,OE! "!!
( )
OI
! "!,OF! "!!
( )
OI
! "!,OK! "!!
( )
OI
! "!,OG! "!!
( )
OI
! "!,OH! "!!
( )
OI
! "!,OM! "!!!
( )
Mesures en
degrés
Mesures en
radians
Angle orienté
OI
! "!,OL! "!!
( )
OI
! "!,ON! "!!
( )
OI
! "!,OP! "!!
( )
OI! "!,OQ! "!!
( )
OA
! "!!,OD! "!!
( )
OB
! "!!,OD! "!!
( )
OK
! "!!,OA! "!!
( )
OF
! "!!,OB! "!!
( )
OB
! "!!,ON! "!!
( )
OL
! "!!,OA! "!!
( )
OK
! "!!,OJ! "!!
( )
Mesures en
degrés
Mesures en
radians
3. Sinus et cosinus d'un angle orienté
Soit une mesure d'angle
! "! en radians et soit le point M du cercle tel que OI
! "!,OM! "!!!
( ) = ! . Voir Figure 5.
On définit le cosinus et le sinus de ! respectivement par l'abscisse et l'ordonnée de M dans le repère O; i!; j!
( ) .
Ici, M cos!; sin!( ) .
Exercice : Sur la Figure 4, placer les différentes mesures d'angles du tableau ci-dessous sur le cercle et compléter le cercle et le tableau avec leurs cosinus et leurs sinus.
Mesure en
radian 0
!
6 !
4 !
3 !
2 2!
3 3!
4 5!
6 ! – !
6 – !
4 – !
3 – !
2 – 2!
3 – 3!
4 – !
cosinus
sinus
ANGLES ORIENTÉS – TRIGONOMÉTRIE – 2NDE PARTIE – 1ÈRE S
1. Mesure d'un angle orienté
On rappelle qu'un angle orienté est un angle formé par deux vecteurs non nuls. Sa mesure sur le cercle trigonométrique peut être positive (dans le sens inverse des aiguilles d'une montre ou sens ………) ou négative (dans le sens des aiguilles d'une montre ou sens …………). Soient deux vecteurs non nuls u
!et v!
. Si ! est une mesure de u
!, v!
( ) en radians, alors pour tout k !! , ! + k2" est une
autre mesure possible de u
!, v!
( ) .
Définition : On note u
!, v!
( ) = ! + k2" ,!!!k #" ou encore u
!, v!
( ) = ! ! 2"( ) qui se lit "à 2π près".
Propriété : il existe une unique mesure de u
!, v!
( ) appartenant à l'intervalle !";"] ] . On l'appelle la ………. …………….
De l'angle u
!, v!
( ) .
Exercice : Donner la mesure principale de chaque mesure d'angle suivante : 9!
2 ; ! 5"
4 ; 26!
7 ; ! 11"
12 ; 41!
6
2. Angles orientés et opérations
Propriétés : Soient u!
, v!
et w!"
trois vecteurs non nuls, k, k '!! . On a alors :
v
!,u!
( ) = ........................
u
!, v!
( ) + v
!,w"!
( ) = ..................
(Relation de Chasles)
!u
!, v!
( ) = .................. !u
!,!v!
( ) = ..................
ku
!, v!
( ) =.................. si .........
.................. si .........
!
"#
$#
Si u!
et v!
sont colinéaires de même sens alors u
!, v!
( ) = ........................ Si u!
et v!
sont colinéaires de sens opposés alors u
!, v!
( ) = ........................ Conséquences :
u
!,!v!
( ) = ..................
ku
!, k 'v!
( ) =.................. si .........
.................. si .........
!
"#
$#
Si A, B, C sont trois points non aliognés, alors :
AB
! "!!,AC! "!!
( ) + CA
! "!!,CB! "!!
( ) + BC
! "!!,BA! "!!
( ) = ............... Théorème de l'angle inscrit Si A, B et M sont trois points distincts d'un cercle de centre O, alors :
OA
! "!!,OB! "!!
( ) = 2 MA
! "!!,MB! "!!
( )!!! 2!( )
3. Sinus et cosinus d'un angle orienté Définition : Soit une mesure d'angle
! "! . On définit le cosinus et le sinus de ! comme l'abscisse et l'ordonnée du point du cercle trigonométrique correspondant à la mesure ! (voir sinus et cosinus : angles orientés, trigonométrie : 1ère partie). Le dessin ci-contre résume les valeurs de sinus et cosinus des mesures des angles particuliers : Premières propriétés : Par définition : pour tout
x !! et k !",!!cos x + 2k"( ) = cos x et sin x + 2k"( ) = sin x
Par Pythagore, on a : pour tout x !!,!!cos
2x + sin
2x = 1
Par symétrie, on obtient les résultats suivants : Pour tout x !! :
cos !x( ) = ............
sin !x( ) = ............
cos!2" x#
$%&'(= ............
sin!2" x#
$%&'(= ............
cos x +
!2
"#$
%&'= ............
sin x +!2
"#$
%&'= ............
cos x + !( ) = ............
sin x + !( ) = ............
cos ! " x( ) = ............
sin ! " x( ) = ............
4. Représentation graphiques des fonctions sinus et cosinus
Les fonctions x! cos x et x! sin x sont définies sur ! . Elles sont périodiques de période 2π. Leurs représentations
graphiques sont données dans le graphique suivant :
5. Formules d'addition et de duplication Théorème : Soit
a,b !! . Alors :
cos a + b( ) = cosa cosb ! sin a sinb
cos a ! b( ) = cosa cosb + sin a sinb
sin a + b( ) = sin a cosb + cosa sinb
sin a ! b( ) = sin a cosb ! cosa sinb
cos 2a = cos2a ! sin
2a = 2 cos
2a !1 = 1! 2 sin
2a
sin 2a = 2 sin a cosa
cos2a =
1
21+ cos 2a( ) sin
2a =
1
21! cos 2a( )
Démonstration : Soit
a,b !! . Dans un repère orthonormal, on construit deux vecteurs u
! et v
!de norme 1
tels que : i!,u!
( ) = b 2!( ) et i!, v!
( ) = a 2!( ) . Ainsi
u
! .........
.........
!"#
$%&
et v
! .........
..........
!"#
$%&
.
u
!! v
!= .....................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................................
D'autre part, cos a + b( ) = cos a ! !b( )( ) = .........................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................................
De plus, sin a + b( ) = cos!2" a + b( )
#$%
&'(= cos
!2" a " b#
$%&'(= .............................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................................
Enfin, sin a ! b( ) = sin a + !b( )( ) = ......................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................................
6. Coordonnées polaires Définition : La plan est rapporté à un repère
O; i!; j!
( ) orthonormal.
Tout point M du plan est défini de manière unique par un couple de réels r,![ ] tels que : r = OM et
i
!,OM" !"""
( ) = ! !! 2"( ) en radians.
On dit que r,![ ] sont des coordonnées pola ires de M relativement au pôle O et à
l'axe pôlaire O; i!
( ) . Le rayon polaire r est toujours positif et l'angle polaire ! est défini à 2π près. Remarques : - Pour tout point M du plan distinct de O, il existe un unique couple de coordonnées polaires r,![ ] avec ! " #$;$] ] (mesure principale). - Pour le point O, on considère que r = 0 et que ! est quelconque. Propriétés :
Soit un point M du plan de coordonnées polaires r;![ ] . Alors les coordonnées cartésiennes de M sont :x = ...............
y = ...............
!"#
Soit un point M de coordonnées
x; y( ) dans O; i
!; j!
( ) , alors le rayon polaire de M est r = ............
Exercice : Déterminer les coordonnées polaires de M 4;!4( ) et les coordonnées cartésiennes de N 2 3!;!2!
3
"
#$%
&'.
.................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................................