trİgonmetrİk fonksİyonlar: dİk ÜÇgen yaklaŞimikisi.deu.edu.tr/serkan.aras/bölüm 6_1 -...
TRANSCRIPT
1
TRİGONMETRİK FONKSİYONLAR: DİK ÜÇGEN YAKLAŞIMI
Diyelim ki yeryüzünden güneşe olan mesafeyi bulmak istiyoruz. Şerit metre kullanmak
açıkçası pratik değildir. Bu nedenle bu sorunun üstesinden gelmek için basit ölçümlerden
başka bir şeye ihtiyacımız var. Açıları ölçmek, uzaklıkları ölçmekten daha kolaydır. Örneğin,
güneş, yeryüzü ve ayın oluşturduğu açıyı, yalnızca bir kolla güneşi, diğeriyle ayı işaret ederek
aralarındaki açıyı tahmin ederek bulabiliriz. Buradaki anahtar nokta, açılar ve mesafeler
arasındaki ilişkileri bulmaktır. Mesafeleri açılardan belirlemenin bir yolu olsaydı, güneşe olan
mesafeyi oraya gitmek zorunda olmadan bulabilirdik. Trigonometrik fonksiyonlar bize
ihtiyacımız olan araçları sağlar.
, dik üçgenin bir açısı ise, o zaman trigonometrik oran sin, 'nin karşı tarafının
uzunluğunun hipotenüsün uzunluğuna bölünmesi olarak tanımlanır. Bu oran, güneş, dünya ve
ayın oluşturduğu büyük üçgen dahil olmak üzere, herhangi bir benzer dik üçgen içinde
aynıdır. (bkz. Bölüm 6.2, Örnek 61.).
Trigonometrik fonksiyonlar iki farklı fakat eşdeğer yolla tanımlanabilir: gerçek sayıların
fonksiyonları (Bölüm 5) veya açıların fonksiyonları (Bölüm 6). İki yaklaşım birbirinden
bağımsızdır, bu nedenle Bölüm 5 veya Bölüm 6 ilk önce incelenebilir. Farklı uygulamalar için
farklı yaklaşımlar gerektiğinden burada her iki yaklaşımı da inceliyoruz
6.1 AÇI HESAPLAMASI
Bir AOB açısı, ortak bir tepe noktası O olan iki ışın R1 ve R2'den oluşur (bkz. Şekil 1).
Genellikle, bir açı; R1 ışınının R2 üzerine dönüşü olarak yorumlanır. Bu durumda, R1
başlangıç kenar olarak adlandırılır ve R2 açının bitiş kenarı olarak adlandırılır. Eğer dönüş
saat yönünün tersine olursa, açı pozitif olarak kabul edilir. Eğer saat yönünde döndürülürse
açı negatif kabul edilir.
2
Açı Hesaplaması
Bir açının ölçüsü, R1'in R2'ye taşınması için gereken tepe noktasındaki dönme miktarıdır.
Sezgisel olarak, bu açının ne kadar açık olduğunu gösterir. Açılar için ölçü birimi, derecedir.
1 derece açı ölçüsü, başlangıç kenarının tam devirin 1/360'ını döndürerek oluşturulmuştur.
Kalkülüs ve diğer matematik dallarında açıları ölçmek için kullanılan doğal yöntem, radyan
ölçüsüdür. Bir açının açıklık miktarı, merkezi açının tepe noktası olan ve yarıçapı 1 olan bir
çemberin yay uzunluğu ile ölçülür.
RADYAN ÖLÇÜMÜNÜN TANIMI:
Yarıçapı 1 olan çember, merkezi açının tepe noktasından çizilirse, bu açının radyan (kısaca
rad) cinsinden ölçümü, açıya karşılık gelen yay uzunluğudur. (Bkz. Şekil 2)
Yarıçapı 1 olan çemberin çevresi 2'dir, dolayısıyla tam bir dönüm 2 rad ölçüsüne sahiptir.
düz bir açı rad ve dik açı / 2 rad ölçüsüne sahiptir. Birim çemberi boyunca 2 uzunluğunda
bir yaya karşılık gelen bir açı, 2 birimlik radyan ölçüsüne sahiptir. (Bkz. Şekil 3).
3
Derece olarak ölçülen tam devir 360 ve radyan cinsinden 2 rad olduğu için, bu iki açı
ölçüm yöntemi arasında aşağıdaki basit ilişkiyi elde ederiz.
DERECE VE RADYAN ARASINDAKI İLİŞKİ
1. Dereceyi radyana dönüştürmek için
ile çarpılır.
2. Radyanı dereceye dönüştürmek için
ile çarpılır.
Bir radyanın boyutu hakkında fikir edinmek için, şuna dikkat edin:
1 rad 57.296 ve 1 0.01745 rad
açısının 1 radyan ölçümü Şekil 4'te gösterilmiştir.
ÖRNEK 1: Radyan ve Derece Arasında Dönüştürme
(a) 60 i radyan cinsinden ifade ediniz. (b) 6
rad’ı derece cinsinden ifade ediniz.
ÇÖZÜM:
Terminoloji ile ilgili bir not: Ölçüsü 30 olan bir açı demek için genellikle 30 ‘lik açı
cümleciğini kullanırız. Ayrıca, bir açısı için, ‘nın ölçüsü veya rad demek için
veya yazarız. Açının birimi verilmediği zaman, açının radyan cinsinden
ölçüldüğü varsayılır.
4
STANDART POZİSYONDAKİ AÇILAR
Eğer bir açı xy-düzleminde tepe noktası orijin ve başlangıç kenarı ise pozitif x-ekseni
üzerinde çizilirse, bu açı standart konumdadır. Şekil 5 standart pozisyonlardaki açıları
örneklemektedir.
Standart konumdaki iki açı, kenarları aynı ise koterminaldir (Koterminal: Başlangıç ve bitim
kenarları aynı olan açılar). Şekil 5’de (a) ve (c) koterminaldir. .
ÖRNEK 2: Koterminal Açılar
(a) Standart pozisyonda =30 açısı ile koterminal olan açıları bulunuz.
(b) Standart pozisyonda 3
açısı ile koterminal olan açıları bulunuz.
ÇÖZÜM:
(a) ile koterminal olan pozitif açıları bulmak için, 360 'ın herhangi bir katını ekleriz.
Böylece:
30 + 360 = 390 ve 30 + 720 = 750
= 30 ile koterminaldir. ile koterminal olan negatif açıları bulmak için, 360'ın herhangi bir
katını çıkarırız.
30 - 360 = - 330 ve 30 - 720 = - 690
= 30 ile koterminaldir. (Bkz. Şekil 6)
ŞEKİL 6
5
(b) ile koterminal olan pozitif açıları bulmak için, 2 'nin herhangi bir katını ekleriz.
Böylece:
7
23 3
ve
134
3 3
ile koterminaldir. ile koterminal olan negatif açıları bulmak için, 2 'nin herhangi
bir katını çıkarırız. Böylece:
52
3 3
ve
114
3 3
ile koterminaldir. (Bkz. Şekil 7).
ŞEKİL 7
ÖRNEK 3: Koterminal Açılar
0 ve 360 derece arasında ve standart pozisyonda, 1290 açı ölçüsü ile koterminal olan açıyı
bulunuz.
ÇÖZÜM: 360'ı, 1290'den istediğimiz kadar çıkarabiliriz ve elde edilen açı 1290 ile
koterminal olacaktır. Sonuçta 1290 - 360 = 930 ve 1290 - 2(360) = 570 gibi.
0 ile 360 arasındaki istediğimiz açıyı bulmak için, 360'ı 1290'dan gerektiği kadar
çıkarırız. Bunu yapmanın etkili bir yolu, 360'nin 1290'e kaç kez girdiğini, yani 1290'i
360'a bölüp, kalanını da aranan açı olarak belirlemektir. Görüldüğü üzere 1290, 360’e
bölündüğünde kalan kısmı 210'dur (Şekil 8). 210 istenilen açıdır.
ŞEKİL 8
6
ÇEMBERSEL YAY UZUNLUĞU
Radyan ölçüsü olan bir açı, bir çemberin çevresinin kadarlık parçasına eşit olan bir
yaya karşılık gelmektedir. Böylece, yarıçapı r olan çemberde, yay uzunluğu s; açısına
karşılık gelmektedir (Şekil 9).
ŞEKİL 9
ÇEMBERSEL YAY UZUNLUĞU
r yarıçaplı bir çemberde yay uzunluğu s, radyan merkez açısına karşılık gelmektedir:
s = r
için çözüm yapıldığında aşağıdaki önemli formül elde edilir:
Bu formül herhangi bir yarıçapı r olan bir çemberi kullanılarak radyan ölçüsünü
tanımlamamızı sağlar. açısının radyan ölçüsü s / r dir. Burada s, r yarıçaplı bir çemberde
‘a karşılık gelen çembersel yay uzunluğudur. (Bkz. Şekil 10).
ŞEKİL 10
7
ÖRNEK 4: Yay Uzunluğu ve Açı Ölçüsü
(a) Yarıçapı 10 m olan ve merkez açısı 30 olan bir çemberin yay uzunluğunu bulun.
(b) 4 m yarıçaplı bir çemberdeki merkezi açı ‘a 6 m uzunluğunda bir yay karşılık
gelmektedir. 'nın radyan cinsinden ölçüsünü bulunuz.
ÇÖZÜM:
(a) Örnek 1(b) ‘den rad ‘dır. Buna göre yayın uzunluğu:
(b) s r formülünden
6 3
4 2
s
r rad.
Daire Diliminin Alanı
r yarıçaplı dairenin alanı A = r2 dir. Merkezi açısı olan dairenin bir diliminin alanı, tüm
dairenin alanının / 2 kadarlık parçası olan alana sahiptir.
2 2
dairenin alanı2
1 =
2 2
A
r r
ŞEKİL 11
DAİRE DİLİMİNİN ALANI
Yarıçapı r olan dairenin, merkezi açısı radyan olan bir diliminin alanı
21
2A r
ÖRNEK 5: Daire Diliminin Alanı
Dairenin yarıçapı 3 m ise, merkez açısı 60 olan bir dairenin diliminin alanını bulunuz.
ÇÖZÜM:
Daire diliminin alanı formülünü kullanabilmek için radyan cinsinden dilimin merkez açısını
bulmalıyız: 60 60 180 3rad rad . Böylece, daire diliminin alanı
22 21 1 3
32 2 3 2
A r m
NOT: 21
2A r formülünün geçerli olabilmesi için açısının radyan cinsinden olması
gerekmektedir.
8
Dairesel Hareket
Bir noktanın Şekil 12'de gösterildiği gibi bir daire boyunca hareket ettiğini varsayalım.
Noktanın hareketini tanımlamanın iki yolu vardır: doğrusal hız ve açısal hız. Doğrusal hız,
kat edilen mesafedeki değişim hızıdır. Bu nedenle doğrusal hız, kat edilen mesafenin geçen
zamana bölümüdür. Açısal hız, merkez açısı ’nın değişim hızıdır. Bu nedenle açısal hız, bu
açısal değişimin geçen zamana bölünmesiyle elde edilen radyan sayısıdır.
ŞEKİL 12
DOĞRUSAL HIZ VE AÇISAL HIZ
Bir noktanın yarıçapı r olan bir daire boyunca hareket ettiğini ve dairenin merkezinden
noktaya kadar olan ışının t zamanında radyanından geçtiğini varsayalım. t zamanında,
noktanın kat ettiği mesafe s = r olsun. Bu durumda, cismin hızı
Açısal Hız r
Doğrusal Hız s
vt
; Yunaca “omega” harfidir.
ÖRNEK 6: Doğrusal ve Açısal Hızın Bulunması
Bir çocuk, her 10 saniyede 15 devir hızıyla, 3 fit uzunluğunda bir askıda bir taşı
döndürmektedir. Taşın açısal ve doğrusal hızlarını bulunuz.
ÇÖZÜM:
10 saniye içinde, açısı 15 x 2 = 30 radyan ile değişir. Yani taşın açısal hızı
9
Taşın 10 saniye içinde seyahat ettiği mesafe 15 2 15 2 3 90s r ft. Böylece taşın
doğrusal hızı:
Açısal hızın daire yarıçapına değil, yalnıza açısına bağlı olduğuna dikkat ediniz. Bununla
birlikte, açısal hız ve r yarıçapı biliyorsak, doğrusal hızı aşağıdaki gibi bulabiliriz:
s rv r r
t t t
DOĞRUDAL VE AÇISAL HIZ ARASINDAKİ İLİŞKİ
Bir nokta yarıçapı r olan dairede açısal hız ile hareket ediyor ise, doğrusal hızı v şu şekilde
verilir:
v r
ÖRNEK 7: Açısal Hızdan Doğrusal Hızın Bulunması
Bir kadın, tekerlekleri 26 inç çapında olan bir bisiklet sürüyor. Tekerlekler dakika başına 125
devirde dönerse, seyahat ettiği hızı mi/h olarak bulun.
ÇÖZÜM: Tekerleklerin açısal hızı 2 125 250 rad min Tekerleklerin yarıçapı 13 inç
olduğu için (çapın yarısı); doğrusal hız:
13 250 10 210 2 v r , . in. min
Ayak başına 12 inç, mil başına 5280 feet ve saat de 60 dakika olduğundan, saatte mil hızı;
10 210 2 60 612 612 9 7
12 5280 63 360
, . in. min min h , in . h. mi h
in. fit ft mi , in . mi
10
6.2 DİK ÜÇGENLERİN TRİGONOMETRİSİ
Trigonometrik Oranlar, Özel Üçgenler, Dik Üçgenlerin Trigonometri Uygulamaları
Bu bölümde, dik üçgenlerin kenarlarının belirli oranları, trigonometrik oranlar olarak
adlandırılan, incelenecek ve bazı uygulamaları verilecektir.
Trigonometrik Oranlar
Dar açılarından biri olan dik üçgeni düşünün. Trigonometrik oranlar aşağıdaki gibi
tanımlanmıştır (bkz. Şekil 1)
TRİGONOMETRİK ORANLAR
karşısin
hipotenüs
komşucos
hipotenüs
karşıtan
komşu
hipotenüscsc
karşı
hipotenüssec
komşu
komşucot
karşı
Bu oranlar için kullandığımız kısaltmaların tam adları: sinüs, kosinüs, tanjant, kosekant,
sekant, kotanjant ‘dır. açısına sahip herhangi bir iki dik üçgen benzer olduğu için, bu
oranlar üçgenin boyutuna bakılmaksızın aynıdır. Trigonometrik oranlar sadece açısına
bağlıdır (bkz Şekil 2).
Şekil-2
Hipotenüs
Karşı
Komşu
ŞEKİL 1
11
ÖRNEK 1: Trigonometrik Oranların Bulunması
Şekil 3'teki açısının altı trigonometrik oranları bulunuz.
ÇÖZÜM:
2
3sin
5
3cos
2
5tan
3
2csc
5
2cot
ÖRNEK 2: Trigonometrik Oranların Bulunması
3
4cos ise, dar açısına sahip dik üçgeni çiziniz ve için geri kalan 5 trigonometrik oranı
bulunuz.
ÇÖZÜM:
cos, komşu kenarın hipotenüse oranı olarak tanımlandığından dolayı,
hipotenüsün uzunluğu 4 ve komşu kenarın uzunluğu 3 olan bir dik
üçgen çizebiliriz. Karşı kenara x dersek, Pisagor teoreminden
‘dir. Böylece: ‘dir. Ardından Şekil 4 ‘deki üçgeni
oranları bulmak için kullanırız.
7
4sin
3
4cos
7
3tan
4
7csc
4
3sec
3
7cot
Özel Üçgenler
Bazı dik üçgenler, Pisagor teoreminden kolayca hesaplanabilen oranlara sahiptir. Sıkça
kullanıldığından, bu kısımda bahsedilecektir.
İlk üçgen, 1 birim uzunluğa sahip kare içersine köşegen çizilmesiyle elde edilir. (bkz Şekil 5).
Pisagor teoremine göre köşegen uzunluğu 2 dir. Ortaya çıkan üçgen 45, 45 ve 90
açılarına sahiptir (ya da 4 , 4 ve 2 ). Şekil 6’daki gibi ikinci üçgeni elde etmek için, 2
kenar uzunluğuna sahip ABC eşkenar üçgeninin tabanına dik açıortay DB çizebiliriz. Pisagor
12
teoremine göre DB kenarının uzunluğu 3 dür. ABC üçgeninin DB açıortayı olduğu için
30, 60 ve 90 açılarına sahip üçgeni elde ederiz (ya da 6 , 3 ve 2 ).
Şimdi Şekil 5 ve 6 'daki özel üçgenleri 30, 45 ve 60 ölçülerindeki açılar için trigonometrik
oranları hesaplamak için kullanabiliriz (yada 6 , 4 ve 3 ). Tabloda listelenmiştir.
Bu özel trigonometrik oranlar sık kullanıldığı için bilinmesinde fayda vardır. Tabii ki, elde
edildiği üçgenleri hatırlarsak, daha kolayca hatırlanabilirler.
Diğer açıların trigonometrik oran değerlerini bulmak için hesap makinesi kullanırız.
Trigonometrik oranlarda kullanılan matematiksel yöntemler (nümerik yöntemler) doğrudan
bilimsel hesap makinelerine kodlanmıştır. Örneğin, SIN tuşuna basıldığında, hesap makinesi
verilen açının sinüs değerini bir yaklaşımla hesaplar. Hesap makineleri sinüs, kosinüs ve
tanjant değerlerini verir; diğer oranlar aşağıdaki çarpamaya göre ters ilişkileri kullanarak
bunlardan kolaylıkla hesaplanabilir:
13
Bu ilişkilerin trigonometrik oranların tanımından kolayca ortaya çıktığını kontrol
edebilirsiniz.
sin t yazdığımızda, radyan ölçüsü t olan açının sinüsü demek isteriz. Örneğin, sin1,
radyan ölçüsü 1 olan açının sinüsü anlamına gelir. Bu sayının yaklaşık değerini bulmak için
hesap makinesi kullanırken, hesap makinesi radyan moduna ayarlanır ve aşağıdaki değer
bulunur:
sin1 0.841471
Ölçüsü 1 olan açının sinüsünü bulmak istersek, hesap makinesi derece moduna ayarlanır ve
aşağıdaki değer bulunur:
sin1 0.0174524o
Dik Üçgenlerin Trigonometriye Uygulamaları
Üçgen altı parçaya sahiptir: üç açı ve kenar. Bir üçgeni çözmek demek, üçgen hakkında
bilinen bilgilerin hepsini belirlemek demektir; bir başka ifadeyle, üç kenarın uzunluklarını ve
üç açının ölçülerini belirlemektir.
ÖRNEK 3: Dik Üçgenin Çözümü
Şekil 7 'de gösterilen ABC üçgeni için a ve b değerlerini bulunuz.
ÇÖZÜM: Görüldüğü üzere geriye kalan açı 60 dir. a 'yı bulmak için, a 'yı önceden
bildiğimiz uzunluklar ve açılara ilişkilendiren bir eşitlik ararız.
ŞEKİL 7
sin 30 12ao olduğu bilindiğine göre:
1
12sin 30 12 62
a
o
Benzer şekilde, cos30 12bo olduğu bilindiğine göre:
3
12cos30 12 6 32
b
o
14
Şekil 8, dik üçgende hipotenüs r ve dar açı bilgisini biliyorsak; a ve b uzunlukları
sina r cosb r
ŞEKİL 8
Trigonometrik oranları kullanarak dik üçgenleri çözebilme özelliği, rota bulma,
haritacılık, astronomi ve mesafelerin ölçülmesindeki birçok problemin temelinde yer
almaktadır. Bu bölümde yapılan uygulamalar daima dik üçgenleri içermektedir, ancak sonraki
üç bölümde görebileceğimiz gibi, trigonometri dik üçgen olmayan üçgenlerin çözümünde de
faydalıdır.
Bir sonraki örneği tartışmak için bazı terminolojiye ihtiyacımız var. Bir gözlemci bir
nesneye bakıyorsa, o zaman gözlemcinin gözünden nesneye doğru olan çizgiye “görüş hattı”
denir (Bkz. Şekil 9). Gözlemlenen nesne yatayın üstündeyse, görüş hattıyla yatay arasındaki
açıya “yükseliş açısı” denir. Nesne yataydan aşağıda ise, görüş hattı ile yatay arasındaki
açıya, “alçalış açısı” denir. Bu bölümdeki örnek ve alıştırmalardan birçoğunda, zemin
seviyesinde varsayımsal bir gözlemci için yükseliş ve alçalış açısı verilecektir. Görüş hattı,
eğimli bir düzlem veya bir yamaca benzer fiziksel bir nesneyi izliyorsa, “eğim açısı” terimini
kullanırız.
Bir sonraki örnek, trigonometrinin ölçüm problemine yönelik önemli bir uygulamasıdır: Uzun
bir ağacın yüksekliğini tırmanmak zorunda kalmadan ölçüyoruz! Örnek basit olmasına
15
rağmen sonuç, trigonometrik oranların bu tür problemlere nasıl uygulandığını anlamada temel
önem taşır.
ÖRNEK 4: Ağacın Yüksekliğinin Bulunması
Dev bir çınar ağacı, 532 ft uzunluğunda bir gölge oluşturuyor. Güneşin yükseliş açısı 25.7
ise ağacın yüksekliğini bulun.
ÇÖZÜM: Ağacın yüksekliği h olsun. Şekil 10'dan şunu görüyoruz:
tan 25.7532
h o Tanjantın tanımından
532 tan 25.7h o 532 ile çarp
532 0.48127 256h Hesap makinesi kullan
Sonuç olarak, ağacın yüksekliği yaklaşık 256 ft'dir.
ŞEKİL 10
ÖRNEK 5: Dik Üçgenleri İçeren Bir Problem
Bir binanın tabanından 500 fit uzaktaki bir noktadan bir gözlemci, binanın en üstünün
yükseliş açısının 24 olduğunu ve binanın üzerindeki bir bayrak direğinin tepesinin yükseliş
açısının 27 olduğunu bulmuştur. Binanın yüksekliğini ve bayrak direğinin uzunluğunu bulun.
ÇÖZÜM: Şekil 11, durumu göstermektedir. Binanın yüksekliği, Örnek 4 'te ağacın
yüksekliğini bulduğumuz şekilde bulunur.
ŞEKİL 11
tan 24500
h o Tanjantın tanımından
16
500 tan 24h o 500 ile çarp
500 0.4452 223h Hesap makinesi kullan
Binanın yüksekliği yaklaşık olarak 223 ft dir.
Bayrak direğinin uzunluğunu bulmak için önce yerden direğin tepesine kadar olan yüksekliği
bulalım.
tan 27500
k o
500 tan 27h o
500 0.5095 255h
Bayrak direğinin uzunluğunu bulmak için, h 'yi k 'dan çıkarıyoruz. Sonuç olarak, bayrak
direğinin uzunluğu yaklaşık olarak 255 – 223 = 32 ft dir.
6.3 AÇILARIN TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARI
Açıların Trigonometrik Fonksiyonları, Herhangi Bir Açıda Trigonometrik
Fonksiyonların Değerlendirilmesi, Trigonometrik Belirleyiciler, Üçgen Alanları
Önceki bölümde, dar açılar için trigonometrik oranlar tanımlandı. Bu kısımda tüm açılar için
trigonometrik oranları açılardaki trigonometrik fonksiyonları tanımlayarak genişletilecektir.
Bu fonksiyonlarla mutlaka dar açı olması gerekmeden pratik problemler de çözülebilecektir.
Açıların Trigonmetrik Fonksiyonu
POQ, dar açılı dik üçgen olmak üzere Şekil 1(a)’da gösterilmektedir. ’nın standart
pozisyondaki konumu Şekil 1(b)’de gösterilmektedir.
ŞEKİL 1
P = P (x, y); ’nın uç noktasıdır. POQ üçgeninde karşı kenarın uzunluğu y ve komşu kenarın
uzunluğu x’dir. Pisagor Teoremimini kullanarak hipotenüsün değerinin r x y 2 2 dir.
Sonuç olarak;
Hipotenüs Karşı
komşu
17
y
sinr
x
cosr
y
tanx
Diğer trigonometrik fonksiyonlar için benzer şekilde hesaplanabilmektedir. Açıların
trigonometrik fonksiyonlarını aşağıdaki gibi tanımlıyoruz (Bkz. Şekil 2).
ŞEKİL 2
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TANIMI
standart pozisyonda bir açı ve P(x,y) uç kenarda nokta olmak üzere, eğer r x y 2 2
orijinden P(x,y) noktası arasındaki uzaklık ise
ysin
r
xcos
r
ytan , x
x 0
r
csc , yy
0 r
sec , xx
0 x
cot , yy
0
0'a bölme tanımlanmamış bir işlem olduğundan belirli trigonometrik fonksiyonlar
belirli açılar için tanımlanmamıştır. Örneğin tan y x90o x = 0 olduğu için tanımsızdır.
Trigonometrik fonksiyonların tanımlanamayacağı açılar, 0 açısının uç nokta tarafındaki bir
noktanın x veya y koordinatının 0 olduğu açılardır. Bunlar kadran (çeyrek) açılardır;
koordinat eksenleri ile sınırları olan açılardır.
Önemli nokta; trigonometrik fonksiyonların değerlerinin P(x,y) noktasının seçimine
bağlı olmadığıdır. Bunun nedeni eğer P x ,y Şekil ^’deki gibi uç nokta üzerinde başka bir
nokta ise POQ ve P’OQ
’ üçgenleri benzerdir.
Trigonometrik Fonksiyonların Herhangi Bir Açıyla Değerlendirilmesi
Tanım gereği, açısı I. Bölgenin ’in uç tarafında ise bütün trigonometrik fonksiyonların
değerlerinin hepsinin pozitif olduğunu görülmektedir. [ r her zaman pozitiftir çünkü başlangıç
noktasından P(x,y) noktasına olan uzaklıktır.] ’nın uç kenarı II. Bölgede ise x negatif ya
18
pozitiftir. Sonuç olarak sin ve csc pozitif, diğer trigonometrik fonksiyonlar negatif
değerlere sahiptir. Aşağıdaki tabloda diğer bilgileri kontrol edebilirsiniz.
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN İŞARETLERİ
Bölge Pozitif Fonksiyonlar Negatif Fonksiyonlar
I Hepsi Hiçbiri
II sin,csc cos, sec, tan, cot
III tan, cot sin, csc, cos, sec
**********Gerçel Sayıların Trigonometrik Fonksiyonlar ile İlişkisi******
Birim çemberini kullanarak tanımlanmış trigonometrik fonksiyonlar daha önce incelemişti
(Bölüm 5). Bir açının trigonometrik fonksiyonlarıyla nasıl ilişkili olduklarını görmek için,
koordinat düzlemindeki birim çember ile başlayalım.
P(x,y) birim çemberde uzunluğu t olan bir yay tarafından belirlenen uç nokta olsun. Sonra t,
çemberin merkezinde bir açısının karşısına yer almaktadır. P noktasından x ekseni üzerinde
Q noktasına dikey çizgi çizersek, OPQ üçgeninin şekli gösterildiği gibi uzunlukları x ve y
olan bir dik üçgen çizilir.
19
Şimdi, gerçek sayı t'nin trigonometrik fonksiyonlarının tanımına göre;
sin
cos
t y
t x
açısının trigonometrik fonksiyonlarının tanımına göre;
sin1
cos1
komşu yy
hipotenüs
karşı xx
hipotenüs
Eğer radyan cinsinden ölçülürse = t olur. (Aşağıdaki şekle bakınız.) Trigonometrik
fonksiyonları tanımlamanın iki yolunu karşılaştırdığımızda, bunların aynı olduğunu görürüz.
Başka bir deyişle, fonksiyonlar olarak, verilen bir reel sayıya özdeş değerler atarlar. (Gerçel
sayı bir durumda 'nin radyan ölçüsüdür ya da diğerinin yay uzunluğu t'dir.)
Neden trigonometriyi iki farklı yoldan inceliyoruz? Çünkü farklı uygulamalar trigonometrik
fonksiyonları farklı şekilde görmemizi gerektirir.
ÖRNEK 1: Açıların Trigonometrik Fonksiyonlarını Bulma
(a) cos 135 (b) tan 390 değerlerini bulunuz.
ÇÖZÜM:
(a) Şekil 4’den cos 135 = -x / r dir. Fakat cos 45 = x / r ve cos 45 = ise
20
2
cos1352
o
(b) 390 ve 30 açılar koterminal (eş bitim noktasına sahip açılar) olduklarından Şekil’den
görüldüğü üzere tan390 tan30o o dir ve tan30 3 2oise
3tan 390
3o
Örnek 1'den, dar olmayan açılardaki trigonometrik fonksiyonların dar bir açıya karşılık gelen
trigonometrik fonksiyonlarla aynı değere (işaretleri hariç) sahip olduğunu görüyoruz. Bu dar
açıya referans açısı denir.
REFERANS AÇI
standart konumda bir açı olsun. ile ilişkili referans açısı , 'nin uç tarafı ve x-ekseni
tarafından oluşturulan dar açıdır.
Şekil 6, bir referans açı ı bulmak için, açısının uç tarafının bulunduğu bölgenin bilinmesi
faydalı olduğunu göstermektedir.
ŞEKİL 6: açısı için referans açı
ÖRNEK 2: REFERANS AÇININ BULUNMASI
21
Verilen açıları için referans açılarını bulunuz.
(a) 5
3
(b) 870 o
ÇÖZÜM:
(a) Referans açısı, 5 3 açısının uç tarafı ve x-ekseni tarafından oluşturulan dar açıdır.
(Bkz. Şekil7). Bu açının uç tarafı IV. bölgede olduğu için, referans açısı
5
23 3
(b) 870 ve 150 koterminaldir ( çünkü 870 – 2(360) = 150). Sonuç olarak bu açının uç
tarafı II. Bölgede olduğu için
180 150 30 o o o
VERİLEN BİR AÇI İÇİN TRİGONOMETRİK FONKSİYONUN DEĞERİNİNİ
HESAPLANMASI
Herhangi bir açısı için trigonometrik fonksiyonların değerlerini bulmak için aşağıdaki
adımları gerçekleştiririz.
1. açısı ile ilişkili bulunur.
2. 'nin trigonometrik fonksiyonunun işaretini, nin bulunduğu bölgeye göre belirleyin.
3. 'nin trigonometrik fonksiyonunun değeri, işaretin haricinde 'nin trigonometrik
fonksiyonunun değeri olarak aynıdır.
ÖRNEK 3: Referans Açıtı Kullanarak Trigonometrik Fonksiyonların Değerinin
Bulunması
Verilen açıların değerlerini hesaplayınız.
22
(a) sin 240o ve (b) cot 495o
ÇÖZÜM:
(a) Bu açı uç tarafını Şekil 9'da gösterildiği gibi III Bölgededir. Referans açısı bu nedenle
240- 180 = 60'dır ve sin 240'un değeri negatiftir. Böylece
(b) 495° , 135° ile koterminaldir. Bu açının uç tarafı Şekil 10’da gösterildiği gibi II.
bölgededir. Sonuç olarak referans açı 180 - 135 = 45 ve cot 495 nin değeri
23
ÖRNEK 4: Referans Açıtı Kullanarak Trigonometrik Fonksiyonların Değerinin
Bulunması
Verilen açıların değerlerini hesaplayınız.
(a) 16
sin3
ve (b) sec
4
ÇÖZÜM:
(a) 16 3 açısı 4 3 açısı ile koterminaldir ve bu açılar III. bölgede yer almaktadır. (Bkz.
Şekil 11). Sonuç olarak referans açı 4 3 3 dir. sin fonksiyonu III.bölgede
negatif işarete sahip olduğu için
(b) 4 açısı IV.bölgededir ve referans açısı 4 dir. (Bkz. Şekil 12). Bu bölgede sekant
fonksiyonu pozitif olduğu için
Açıların trigonometrik fonksiyonları, trigonometrik özdeşlikler olarak adlandırılan
birkaç önemli denklem aracılığıyla birbirleriyle ilişkilidir. Ters özdeşlikler ile önceden
çalışılmıştı. Bu özdeşlikler herhangi bir açıyla için denklemin her iki tarafında tanımlıdır.
Pisagor özdeşlikleri Pisagor teoreminin bir sonucudur.
24
İSPAT: İlk Pisagor özdeşliğini ispatlayalım. Şekil 13’deki 2 2 2x y r (Pisagor teoremi)
kullanarak
2 2 2 22 2
2sin cos 1
y x x y
r r r
Sonuç olarak 2 2sin cos 1 dir. (Her ne kadar şekilde dar açı gösterilse de, bütün
açıları için ispatın geçerli olup olmadığını kontrol etmelisiniz).
ÖRNEK 5: Bir Trigonometrik Fonksiyonların Bir Diğeri Tarafından İfade Edilmesi
(a) sin ’ı cos ile ifade ediniz.
(b) açısı II.bölgede ise tan ’ı sin ile ifade ediniz.
ÇÖZÜM:
(a) İlk Pisagor özdeşliğini kullanarak
2sin 1 cos
25
Sonucun işareti bulunduğu bölgeye bağlıdır. Eğer açısı I. yada II. bölgede ise sin ’nın
işareti pozitiftir ve
2sin 1 cos
Eğer açısı III. yada IV. bölgede ise sin ’nın işareti negatiftir ve
2sin 1 cos
(b) tan sin cos olduğu için cos ’ı sin ile ifade etmeliyiz.
2cos 1 sin
II.bölgede cos negatif olduğu için,
2cos 1 sin
2
sin sintan
cos 1 sin
ÖRNEK 6: Trigonometrik Fonksiyonun Hesaplanması
Eğer tan 2 3 ve III.bölgede ise cos bulunuz.
ÇÖZÜM 1: tan ’nın cos ile ifadesine ihtiyacımız var. 2 2tan 1 sec özdeşliğinden
2sec tan 1 . III.bölgede sec negatif olduğu için;
2sec tan 1
Sonuç olarak,
2
2
1 1cos
sec tan 1
1 1 3 =
13 1321 93
ÇÖZÜM 2: Bu sorun, Bölüm 6.2'deki Örnek 2'nin yöntemi kullanılarak daha kolay
çözülebilir. İşaretin haricinde, herhangi bir açının trigonometrik fonksiyonlarının değerleri dar
açıdan (referans açısı) olanlarla aynı olduğunu hatırlayın. Dolayısıyla, bir anlığına işareti
görmezden gelelim, dar açı ile tan 2 3 ü sağlayan bir dik üçgeni çizelim. (Bkz. Şekil
14). Pisagor teoremi ile bu üçgenin hipotenüsünün uzunluğu 13 olacaktır. Şekil 14’deki
üçgenden cos 3 13 olduğunu hemen fark edebiliriz. III.bölgede negatif olduğu için
26
3
cos13
ÖRNEK 7: Trigonometrik Fonksiyonun Hesaplanması
Eğer sec 2 ve IV.bölgede ise diğer beş trigonometrik fonksiyonu hesaplayınız
ÇÖZÜM: sec 2 ile Şekil 15’deki gibi bir dik üçgen çizebiliriz. ’nın IV:bölgede
olduğuna dikkat ederek,
3sin
2
1cos
2 tan 3
2csc
3 sec 2
1cot
3
Bu bölümü, trigonometrik fonksiyonların bir uygulamasıyla sonuçlandırıyoruz. Uygulamada
dar açı olması gerekmemektedir.
Üçgenin alanı A; 1 2A taban yükseklik olarak hesaplanır. Eğer iki kenarı ve
aradaki bir açısını biliyorsak, trigonometrik fonksiyonları kullanarak yüksekliği bulabiliriz ve
bundan da alanı bulabiliriz.
Eğer dar açısı ise; Şekil 16(a) daki gibi üçgenin yüksekliği sinh b dır. Alan
27
1 1
sin2 2
A taban yükseklik ab
ŞEKİL 16
Eğer dar açısı değilse; Şekil 16(b) de görüldüğü üzere üçgenin yüksekliği
sin 180 sinh b b o
Bunun nedeni, 'nin referans açısının 180° - açısı olmasıdır. Buna göre üçgenin alanı;
1 1
sin2 2
A taban yükseklik ab
ÜÇGENİN ALANI
Üçgenin alanı A a ve b kenarları ile açısı ile
1sin
2A ab
ÖRNEK 8: Üçgenin Alanını Bulmak
Şekil 17’deki üçgenin alanını bulunuz.
ÇÖZÜM: Verilen üçgende 10 cm ve 3 cm olan kenarların arasındaki açı 120dir. Buna göre
28
2
1sin
2
1 10 3 sin120
2
=15sin 60
3 15 13
2
A ab
cm
o
o