transporto maŠinŲ transmisijŲ...

Marijonas Bogdevičius

TRANSPORTO MAŠINŲ TRANSMISIJŲ DINAMIKA

vilnius „Technika“ 2012

Studijų programų atnaujinimas pagal ES reikalavimus, gerinant

studijų kokybę ir taikant inovatyvius studijų metodus

Projekto kodas VP1-2.2-ŠMM 07-K-01-023

Marijonas Bogdevičius

TRANSPORTO MAŠINŲ TRANSMISIJŲ DINAMIKA

VilniAUS GEDiMinO TECHniKOS UniVERSiTETAS

vilnius „Technika“ 2012

Mokomoji knyga

M. Bogdevičius. Transporto mašinų transmisijų dinamika: mokomoji knyga. Vilnius: Technika, 2012, 127 p. [3,0 aut. l. 2012 09 28]

Mokomojoje knygoje dėstomi transporto mašinų transmisijos bei jos elementų dinaminių procesų tyrimo pagrindai. Knygoje pateikti transporto mašinų transmisijos dinaminių procesų tyrimo metodai, transmisijos dinaminių ir matematinių modelių sudarymo metodai, judėjimo lygčių užrašymo metodai, netiesinių algebrinių ir diferencialinių lygčių sistemų sprendimo metodai, harmoninės analizės metodai.

Nagrinėjami pagrindiniai transporto mašinų transmisijų elementai bei jų matematiniai modeliai: rotorius ir rotorių sistema, mechaninė mova, cilindrinių krumpliaračių sistema, planetinis reduktorius, riedėjimo guolių kaip daugiamasė sistema bei elektros varikliai.

Mokomojoje knygoje pateikiamą medžiagą autorius stengėsi išdėstyti kuo nuosekliau ir paprasčiau bei suprantamiau. Kai kurie nagrinėjami klausimai iliustruojami pavyzdžiais.

Knyga skirta transporto inžinerijos specialistams, bakalaurantams, magistrantams bei doktorantams. Ji gali būti naudinga ir kitų mokslo sričių ir krypčių studentams bei specialistams.

Leidinį rekomendavo VGTU Transporto inžinerijos fakulteto studijų komitetas

Recenzavo: doc. Dr. Jolanta Janutėnienė, Klaipėdos universitetas doc. dr. Olegas Prentkovskis, Vilniaus Gedimino technikos univer

sitetas

Leidinys parengtas ir išleistas už Europos struktūrinių fondų lėšas, jomis finansuojant VGTU Transporto inžinerijos, Biomechanikos ir Aviacinės mechanikos inžinerijos projektą „Studijų programų atnaujinimas pagal ES reikalavimus, gerinant studijų kokybę ir taikant inovatyvius studijų metodus“ pagal Lietuvos 2007–2013 m. Žmogiškųjų išteklių veiksmų programos 2 prioriteto „Mokymasis visą gyvenimą“ VP1-2.2-ŠMM-07-K priemonę „Studijų kokybės gerinimas, tarptautiškumo didinimas“. Projekto kodas Nr. VP1-2.2-ŠMM 07-K-01-023, finansavimo ir administravimo sutartis Nr. VP1-2.2-ŠMM-07-K-01-023.

VGTU leidyklos TECHNIKA 1395-S mokomosios metodinės literatūros knygahttp://leidykla.vgtu.lt

Redaktorė Stasė SimutytėMaketuotoja Daiva Šepetauskaitė

eISBN 978-609-457-299-9 doi:10.3846/1395-S

© M. Bogdevičius, 2012© Vilniaus Gedimino technikos universitetas, 2012

3

Turinys

1. Pagrindiniai matematikos elementai ........................................................ 41.1. Matricos ir vektoriai ....................................................................... 41.2. Posūkio matrica ............................................................................ 231.3. Matricos tikrinės reikšmės ir vektoriai ......................................... 331.4. Funkcijos skleidimas Furjė ir Teiloro eilutėmis ........................... 44

2. Lygčių sprendimo ir dinaminių sistemų analizės metodai ..................... 472.1. Netiesinių algebrinių lygčių sprendimo metodai .......................... 47

2.1.1. Niutono ir Rafsono metodas ................................................ 472.1.2 Integravimas pagal parametrą .............................................. 48

2.2. Paprastųjų diferencialinių lygčių artutiniai sprendimo metodai ........................................................................ 53

2.3. Netiesinių dinamikos lygčių sprendimo metodai ......................... 632.3.1. Niumarko metodas .............................................................. 632.3.2. Hobolto metodas ................................................................. 65

2.4. Harmoninės linearizacijos metodas .............................................. 652.5 Harmoninio balanso metodas ........................................................ 722.6. Pokyčių harmoninio balanso metodas .......................................... 742.7. Amplitudinė ir fazinė dažninė charakteristikos ............................ 802.8. Harmoninė analizė ........................................................................ 84

3. Riedėjimo guolių dinamika .................................................................... 863.1. Guolių pažeidimai ir jų priežastys ............................................... 863.2. Riedėjimo guolio apkrovos nustatymas ........................................ 943.3. Guolių tyrimo stendomatematinis modelis ................................. 1003.4. Radialinio riedėjimo guolio matematinis modelis ...................... 106

Literatūra .................................................................................................. 125

4

1. Pagrindiniai MaTeMaTikos eleMenTai

1.1. Matricos ir vektoriai

Matrica vadinama lentelė, kuri sudaryta iš tam tikro skaičiaus eilučių ir stulpelių. Tarkime, turime stačiakampę lentelę, sudarytą iš n eilučių ir m stulpelių. Dažniausiai matricos žymimos didžiosiomis raidėmis, pavyzdžiui,

A

a a aa a a

a a a

m

m

n n nm

=

11 12 1

21 22 2

1 2

arba

A

a a aa a a

a a a

m

m

n n nm

[ ] =

11 12 1

21 22 2

1 2

.

Šioje mokomojoje knygoje matricas žymėsime A[ ], t. y. laužtiniuose skliaustuose rašysime didžiąją raidę. Skaičiai aij vadinami matricos A[ ] elementais; i – eilutės numeris; j – stulpelio numeris. Matricas galima žymėti A anxm ij nxm

[ ] = ( ) .Matricos elementai gali būti ne tik realieji ar kompleksiniai skai

čiai, bet ir funkcijos, funkcijų išvestinės, integralai, lygtys, vektoriai ir matricos simboliai bei kiti matematiniai objektai.

Matricos gali būti stačiakampės, kai eilučių skaičius nelygus stulpelių skaičiui n m≠( ); kvadratinės, kai eilučių skaičius lygus stulpelių skaičiui n m=( ). Matrica, kurioje kai kurie pagrindinės įstrižainės elementai nelygūs nuliui, t. y. aii ≠ 0 , i n=1,... , o kiti elementai yra lygūs nuliui, vadinama diagonaline, arba įstrižaine, matrica:

A diag A[ ] = ( ) =

10 0 0 00 2 0 00 0 4 00 0 0 7

.

5

Jeigu visi diagonalinės matricos pagrindinės įstrižainės elementai lygūs vienetui, tai tokia matrica vadinama vienetine matrica:

E[ ] =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

.

Matrica, kurioje visi elementai lygūs nuliui, vadinama nuline matrica ir dažniausiai žymima 0[ ] .

Matrica, kurioje yra tik vienas stulpelis, vadinama matrica-stulpeliu arba vektoriumi-stulpeliu:

A

aa

an

[ ] =

11

21

1

.

Matrica, kurioje yra tik viena eilutė, vadinama matrica-eilute:

A a a a m[ ] = [ ]11 12 1 .

Matrica, gauta iš turimos matricos A[ ], pakeitus eilutes stulpeliais arba stulpelius – eilutėmis, vadinama transponuotąja matrica ir žymima A T[ ] :

A[ ] =

1 5 0 60 2 7 01 0 3 20 1 0 4

;

A T[ ] =

1 0 1 05 2 0 10 7 3 06 0 2 4

.

Dvi matricos A[ ] ir B[ ] , turinčios vienodą eilučių ir stulpelių skaičių, vadinamos vienodo tipo matricomis. Dvi matricos Anxm[ ] ir Bnxm[ ] yra lygios, jeigu jos yra vienodo tipo ir visi matricų elementai

yra tarpusavyje lygūs, a bij ij= , i n=1,... , j m=1,... .

6

Dvi matricas A[ ] ir B[ ] galima sudėti tik tada, kai jų tipai yra vienodi C A Bnxm nxm nxm[ ] = [ ] + [ ] . Dviejų matricų Anxm[ ] ir Bsxp sandauga galima tik tada, kai kairėje esančios matricos stulpelių skaičius lygus dešinėje esančios matricos eilučių skaičiui, t. y. m s= . Dviejų matricų Anxm[ ] ir Bmxp sandaugos matricos Cnxp elementai apskaičiuojami pagal formulę:

a a b a b a b a bij ik kjk

ii j i j im mj= = + + +

=∑

11 1 2 2 ... , i n=1 2, ,..., ; j p=1 2, ,... ,

A B C[ ][ ] = [ ] ,

1 0 12 1 00 3 7

0 3 0 11 1 5 02 9 7 2

2 12 7 31 7 5 2

17 66 64 1

=

44

.

Kelių matricų daugyba yra įmanoma, jeigu visoms matricoms galioja dviejų matricų daugybos taisyklė, t. y. kairėje esančios matricos stulpelių skaičius yra lygus dešinėje esančios matricos eilučių skaičiui.

Kelių matricų sandaugų matrica turės kairėje esančios pirmos matricos eilučių skaičių ir dešinėje esančios matricos paskutinės matricos stulpelių skaičių:

V A B C Sn xmk n xm n xm n xm nkxmk1 1 1 2 2 3 3[ ] = [ ][ ][ ] [ ]

1 0 12 1 0

0 3 7

0 3 0 11 1 5 02 0 7 2

2 3 7 31 7 5 2

17 3 64 14−

=

1 20 51 81 0

12 758 7795 561

;

A B C D[ ][ ][ ][ ] =

=

+

+ −

x zx yy z x

zc x zcy x

y zc z x

00

0

0 11 00 2

=

ba2

0

7

=+ +( )

+

+( ) + +

zcb zc a x zxyb y ax

y zc b y cz axz

22

2 22 2

.

Matricų daugybos pagrindiniai veiksmai: A[ ][ ] = [ ]0 0 ;

E A A E A[ ][ ] = [ ][ ] = [ ];

A B B AT T T[ ][ ]( ) = [ ] [ ] ;

A B C A C B C[ ] + [ ]( )[ ] = [ ][ ] + [ ][ ];

C A B C A C B[ ] [ ] + [ ]( ) = [ ][ ] + [ ][ ];

A B C A B C[ ] [ ][ ]( ) = [ ][ ][ ];

α α αA B A B A B[ ]( )[ ] = [ ] [ ]( ) = [ ][ ]( ),

čia α – skaliaras.

Kvadratinės matricos vadinamos atitinkamai apatine trikampe ir viršutine trikampe matricomis.

aa a

a a an n n

11

21 22

1 2 3

0 0 00 0

0

ir

a a a aa a a

a

nn

n

nn

11 12 13

22 23 20

0 0 0

.

Kvadratinė matrica A[ ] vadinama simetrine, kai A A T[ ] = [ ] arba a aij ji= .

Tarkime, yra matrica A[ ] :

8

A[ ] =

−− −

− −−

2 1 0 01 4 1 0

0 1 4 10 0 1 3

;

A T[ ] =

−− −

− −−

2 1 0 01 4 1 0

0 1 4 10 0 1 3

,

kadangi A A T[ ] = [ ] , tai matrica A[ ] – simetrinė.Kvadratinė matrica A[ ] vadinama antisimetrine matrica, kai

A AT[ ] = −[ ] . Antisimetrinę matricą žymėsime A .Tarkime, yra matrica A :

Ac b

c ab a

=−

−−

00

0; A

c bc ab a

T =

−−

−

00

0,

kadangi A AT

= − , tai matrica A – antisimetrinė. Sprendžiant taikomuosius mechatronikos uždavinius, daž

niau taikoma antisimetrinė matrica A , kuri sudaryta iš vektoriaus a x y z = [ ], , elementų:

Az y

z xy x

=−

−−

00

0.

Tokia antisimetrinė matrica A turi šias savybes:1. α α A A = , α – skaliaras.

2. Dviejų vektorių a ir b vektorinė sandauga

a b A b B a × = = − .

3. A a = 0 , kai vektorius axyz

=

.

4. A b = 0 , kai a b = α .

9

5. A a a a a a a En T n T T n

= − ( ) + − ( ) [ ] =−2 1

= − ( ) ( − ( )[ ]−

a a a a a a ET n T T1, kai n – skaliaras, n ≥1 .

6. A A A a a a a ET T = = − ( )[ ]2, A

2 – antisi

metrinė matrica.

7. A a a An T n

= − ( ) +2 1

, kai n – sveikasis skaičius, n ≥ 0 .

8. A a a AT = − ( ) 3

.

9. det , ,a b c a B c b C a c AT T T ( ) = = =

b .

10. a B aT = 0, visiems a ir b vektoriams.

11. A B b a b a ET T = − ( )[ ] .12. A B c a c b a b cT T = ( ) − ( ) .

13. B a B B A BT

= [ ]( )[ ] [ ]− −det 1 .

14. ~A b

TA B A B[ ]

− −

= [ ][ ] [ ]

1 .

15. B A b a B A b B A B aT[ ] = − = −

2 2==

= + + [ ] = A B B a a b B a b a A bT T T

= = A B B a A B a A B B

2. aa A B a =

2.

Tarkime, yra du vektoriai a ir b :

axyz

=

;

bbbb

=

1

2

3

.

Iš vektoriaus a sudarysime antisimetrinę matricą A[ ] ir ją padauginsime iš vektoriaus b

10

Az y

z xy x

=−

−−

00

0,

A bz y

z xy x

bbb

zb ybz =

−−

−

=

− +00

0

1

2

3

2 3

bb xbyb xb

1 3

1 2

−− +

.

Iš vektoriaus b sudarysime antisimetrinę matricą B ir ją padauginsime iš vektoriaus −( ) 1 a :

Bb b

b bb b

=−

−−

00

0

3 2

3 1

2 1

;

B ab b

b bb b

xyz

−( ) =−

−−

−−−

10

00

3 2

3 1

3 1

==− +

−− +

zb ybzb xbyb xb

2 3

1 3

1 2

.

Iš gautų rezultatų matyti, kad antisimetrinė matrica turi savybę (2), t. y. A b B a = − . Patikrinsime, ar matrica A

2 yra si

metrinė:

Az y

z xy x

z yz xy x

=−

−−

−−

−

=

20

00

00

0

=

− −

− −

− −

y z xy xz

yx x z yz

zx zy x y

2 2

2 2

2 2

.

Iš gauto rezultato matome, kad A 2

– simetrinė matrica. Kvadratinė matrica Anxn[ ] , susidedanti iš realiųjų skaičių, vadi

nama ortogonaliąja, kai vektoriai Xi , sudaryti iš matricos A[ ] atitinkamų stulpelių, yra ortonormuotieji, t. y.

11

X X a akai i jkai i ji

Tj ki kj

k~

n = =

=≠

∑1

10,,

,

čia A X X Xn[ ] = 1 2, ,..., .

Matrica yra ortogonalioji, kai A AT[ ] = [ ]−1 , čia A[ ]−1 – matricos atvirkštinė matrica.

Pateiksime ortogonaliosios matricos pavyzdį: A E V V[ ] = [ ] + ( ) + − ( )( )

sin cosα α12 ,

čia α – kampas; V – antisimetrinė matrica, sudaryta iš vienetinio vektoriaus

v v v vT = [ ]1 2 3, , :

Vv v

v vv v

=−

−−

00

0

3 2

3 1

2 1

.

Transportuota matrica A[ ] lygi:

A E V VT[ ] = [ ] − ( ) + − ( )( ) sin cosα α1

2.

Tada A A ET[ ] = [ ] [ ] .Kiti ortogonaliosios matricos pavyzdžiai:

A3

3 3

3 3

00

0 0 1[ ] =

( ) − ( )( ) ( )

cos sinsin cos

α αα α ;

A2

2 2

2 2

00 1 0

0[ ] =

( ) ( )

− ( ) ( )

cos sin

sin cos

α α

α α;

12

A1 1 1

1 1

1 0 000

[ ] = ( ) − ( )( ) ( )

cos sinsin cos

α αα α

,

čia αi i, , ,=1 2 3 – kampai.Patikrinsime, ar matrica A1[ ] yra ortogonalioji:

A A T1 1 1 1

1 1

1 0 000

1 0 00[ ][ ] = ( ) − ( )

( ) ( )

cos sinsin cos

α αα α

ccos sinsin cos

α αα α1 1

1 10( ) ( )

− ( ) ( )

=

=

1 0 00 1 00 0 1

.

Iš gauto rezultato matyti, kad A A T1 1[ ][ ] – vienetinė matrica, todėl

matrica A1[ ] – ortogonalioji matrica. Kvadratinės matricos A[ ] determinantas žymimas

det A A

a a aa a a

a a a

n

n n nn

[ ] = [ ] =

11 12 1

21 22 22

2 2

.

Antros ir trečios eilės determinantai apskaičiuojami pagal šias formules:

a aa a

a a a a11 12

21 2211 22 12 21

= −

a a aa a aa a a

a a a a a a a a a11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 22 33 12 23 31 13 21 32= + + − aa a a13 22 31 −

− −a a a a a a11 23 32 12 21 33 .

13

Trikampės ir diagonalinės matricų determinantai yra lygūs pagrindinės įstrižainės elementų sandaugai.

Matricos elemento aij minoru Mij vadinamas determinantas, kuris gaunamas iš turimojo, išbraukus i-tąją eilutę ir j-tąjį stulpelį. Minoro eilė yra vienetu mažesnė negu turimojo determinanto.

Matricos elemento aij adjunktu Aij vadinamas to elemento minoras, padaugintas iš −( ) +1 i j , t. y. A Mij

i jij= −( ) +1 . Matricos Anxn[ ]

rangu vadinama didžiausios eilės minoro, nelygaus nuliui, eilė. Matricos A[ ] rangas žymimas rang A( ). Be to, matricos Anxn[ ] rangas lygus 0 ≤ ( ) ≤ ( )rang A n mmin , . Matricos A[ ] atsitiktinė matrica žymima A[ ]−1

. Galioja šios savybės:

A A A A E[ ][ ] = [ ] [ ] = [ ]− −1 1 ,

A B B A[ ][ ]( ) = [ ] [ ]− − −1 1 1.

Matricos A[ ] atvirkštinė matrica žymima A[ ]−1 ir skaičiuojama pagal formulę:

AA

A[ ] =( ) [ ]−1 1

det,

čia A[ ] – matricos A[ ] prijungtinė matrica, kurios elementai yra matricos A[ ] adjunktai, t. y.

A

A A AA A A

A A A

n

n

n n nm

[ ] =

11 21 1

12 22 2

1 2

,

čia Aij – matrica – elemento aij adjunktas. Matrica A[ ] vadinama neišsigimusia, jeigu det A( ) ≠ 0 . Vadinasi, kvadratinė matrica A[ ] turi atvirkštinę matricą A[ ]−1 , kai matrica A[ ] yra neišsigimusi.

PavyzdysRaskime matricos A[ ] atvirkštinę matricą.

14

A[ ] =

1 0 02 1 01 0 1

.

sprendimas. Matricos determinantas lygus: det A[ ]( ) =1 .

AAA

11

21

31

100

===

;;;

AAA

12

22

32

210

= −==

;;;

AAA

12

23

33

101

= −==

;;.

Matricos A[ ] atvirkštinė matrica lygi:

AA

A[ ] =[ ]( ) [ ] = −

−1 11 0 02 1 0

1 0 1det

.

Patikrinimas:

A A[ ][ ] =

−−

=−1

1 0 02 1 01 0 1

1 0 02 1 01 0 1

1 0 00 1 00 0 11

.

Tarkime, matrica A[ ] yra kvadratinė, neišsigimusi, ir matricos elementai yra kompleksiniai skaičiai:

a a i akj kj kj= ( ) + ( )Re Im ,

čia i – kompleksinis menamas skaičius i = −1; Re,Im – operatoriai, išskiriantys iš kompleksinio skaičiaus realiąją ir menamąją dalis, atitinkamai Re a ib a+( ) = ; Im a ib b+( ) = .

Tada kompleksinę matricą A[ ] galima suskaidyti į dvi dalis, atskiriant realiąją ir menamąją dalis:

A A i A A i A[ ] = [ ]( ) + [ ]( ) = [ ] + [ ]Re Im Re Im .

Tarkime, kompleksinės matricos A[ ] atvirkštinė matrica yra lygi:

15

A H H i H H i H[ ] = [ ] = [ ]( ) + [ ]( ) = [ ] + [ ]−1 Re Im Re Im .

Pasinaudojus matricos ir jos atvirkštinės matricos sandaugos savybe, t. y. A H E[ ][ ] = [ ] ,

ir atskyrus šios sandaugos realiąsias ir menamąsias dalis, gauname tokią lygčių sistemą:

H AA A

HH

ERe Im

Im Re

Re

Im

[ ] −[ ][ ] [ ]

[ ]

=

[ ][ ]

0

.

Šios lygčių sistemos sprendinys yra:

H A A A ARe Re Im Re Im[ ] = [ ] + [ ][ ] [ ]( )− −1 1

;

H A A HIm Re Im Re[ ] = −[ ] [ ][ ]−1.

Matrica vadinama blokine, kai elementai yra atitinkamos matricos, pavyzdžiui:

A

a a a aa a a aa a a a

a a a

[ ] =

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43

aa

A AA A

44

11 12

21 22

=[ ] [ ][ ] [ ]

;

Aa a aa a aa a a

11

11 12 13

21 22 23

31 32 33

[ ] =

;

Aaaa

12

14

24

34

[ ] =

;

16

A a a a21 41 42 43[ ] = [ ] ;

A a22 44[ ] = [ ] ;

B

B B BB B B[ ] = [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

11 12 13

21 22 23.

Blokinių matricų daugyba atliekama pagal bendrąsias matricų daugybos taisykles, pavyzdžiui:

A B

A AA A

B B BB B B[ ][ ] =

=

11 12

21 22

11 12 13

21 22 23

=++

++

A B A BA B A B

A B A BA B A B

A11 11 12 21

21 11 22 21

11 11 12 22

21 12 22 22

111 13 12 23

21 13 22 23

B A BA B A B

++

.

Tarkime, blokinė matrica A[ ] yra kvadratinė ir neišsigimusi:

A

A AA A[ ] = [ ] [ ][ ] [ ]

11 12

21 32.

Kai matrica A11[ ] yra kvadratinė ir neišsigimusi, tai matricos A[ ] atvirkštinė matrica lygi:

AA B C B B C

C B C[ ] =

[ ] + [ ][ ] [ ] −[ ][ ]−[ ] [ ] [ ]

−− − −

− −1 11

11

12 1

1

12

1

,

čia

B A A1 111

12[ ] = [ ] [ ]−

;

B A A2 21 111[ ] = [ ][ ]− ;

C A B A A A B A A A A[ ] = [ ] − [ ][ ] = [ ] − [ ][ ] = [ ] − [ ][ ] [−22 2 12 22 21 1 22 21 11

112 ]] .

17

Kai matrica A22[ ] yra kvadratinė ir neišsigimusi, tai matricos A[ ] atvirkštinė matrica lygi:

AC C A A

A A C A E[ ] =

[ ] −[ ] [ ][ ]−[ ] [ ][ ] [ ] [ ] +

−− − −

− − −1

1 112 22

1

221

211

211 AA C A A21

121 22

1[ ][ ] [ ][ ]( )

− − ,

čia C A A A A[ ] = [ ] − [ ][ ] [ ]−11 12 22 1 21 .

Kryptinė atkarpa vadinama vektoriumi. Dažniausiai vektoriai žymimi X X X x x x , , , , ,

.Vektorius, turintis n elementų, vadinamas n-tosios eilės vektoriumi:

X X

XX

X

X X X

n

nT= =

= [ ]1

21 2

, ,..., .

Skaičiai Xi , i n=1 2, ,... vadinami vektoriaus X elementais. Bendruoju atveju vektoriaus elementais gali būti visi realieji arba kompleksiniai skaičiai, funkcijos, lygtys, integralai, simboliai ir kiti matematiniai objektai.

Pagrindiniai veiksmai su vektoriais yra:

X Y X Y Y X + = + = + ;X X + − = 0 ;

α α αX Y X Y + ( ) = + ;

1⋅ + X X ;

0 0⋅ = X .Vektoriaus norma, arba vektoriaus ilgiu, vadinamas dydis:

X X X X X X Xi ii

n= = ⟨ ⟩ = ⟨ ⟩

=∑

1, , .

Skaičius X Y X Y X Y− = ⟨ − − ⟩, yra atstumas tarp vektorių X ir Y .

18

Vektorius a , kurio ilgis lygus vienetui, vadinamas vienetiniu vektoriumi, t. y.

a a a a a a a aTn = ⟨ ⟩ = = + + + =, ...1

222 2 1.

Dviejų vektorių X Y , skaliarinė sandauga lygi:

X Y X Y X Y X Y X YTi

i

ni ⋅ = = ⟨ ⟩ = = ⋅ ( )

=∑, cos

1α ,

čia α – kampas tarp dviejų vektorių X Y , .

Kai X YT > 0 , tai vektoriai X Y , sudaro smailųjį kampą

0 2≤ ≤α π ; kai X YT < 0 , tai vektoriai X Y , sudaro bukąjį

kampą π α π2 < ≤ .

Du vektoriai X Y , yra ortogonalieji (kampas tarp jų lygus 90o), kai jų skaliarinė sandauga lygi nuliui:

X Y X Y X YT ⋅ = = ⟨ ⟩ =, 0 .

Nenulinio vektoriaus a vienetiniu vektoriumi, arba ortu, vadi

namas vektorius eaa

=

.

Vektorius e yra kolinearus (lygiagretus) vektoriui a .

Vektoriaus b projekcija į vektoriaus e kryptį yra lygib b ee

T= ,o vektorius, kurio ilgis yra be ir kryptis sutampa su vienetiniu vektoriumi e , yra lygus:

c b e b e eeT = = ( ) .

Tarkime, koordinačių sistemoje XYZ yra žinomi vektoriai a ir b :

a a e a e a e = + + 1 1 2 2 3 3 ;b b e b e b e = + + 1 1 2 2 3 3 ,

19

čia ei , i =1 2 3, , – vienetiniai vektoriai (ortai) išilgai X , Y ir Z ašių.

Vektorių a ir b vektorine sandauga vadinamas vektorius:

c a b a be e ea a ab b b

A b = × = ⋅ ( ) =

= sin α1 2 3

1 2 3

1 2 3

= − B a ,

čia α – kampas tarp a ir b vektorių.

Vektorius c yra statmenas vektorių a ir b plokštumai. Vektoriaus c ilgis (modulis) lygus lygiagretainio, kurio dvi gretimos kraštinės sutampa su vektoriais a ir b , plotui:

c a b a b = × = ⋅ ( )sin α .

Vektorius c nukreiptas taip, kad žiūrint iš vektoriaus galo vektorių a reikia pasukti mažiausiu kampu α prieš laikrodžio rodyklės sukimosi kryptį, kol vektorius a sutaps su vektoriumi b .

Vektorių c galima užrašyti ir taip: c a ba b a ba b a ba b a b

= × =−−−

2 3 3 2

3 1 1 3

1 2 2 1

.

Dviejų lygiagrečių vektorių a ir b vektorinė sandauga lygi nuliui, nes kampas tarp jų lygus nuliui α =( )0 ,

c a b a b a b = × = ⋅ = ⋅ =( ) = sin α 0 0 .

PavyzdysTarkime, koordinačių sistemoje XYZ kūno taške P vei

kia jėga F F F FTx y z = , , . Taško P padėtį apibrėžia vektorius

r r r rpT

px py pz = , , . Jėgos F jėgų momentas M yra lygus:

M r F r Fp p = × = ,

20

čia r

r r

r r

r rp

pz py

pz px

py px

=

−

−

−

0

0

0.

Tarkime, yra n-mačių vektorių sistema:X X X m 1 2, ,..., .

Sistemos vektoriai tiesiškai nepriklausomi, kai visiems α α α1 2 0, ,..., m = galioja tokia lygybė:

α α α11

22 0X X Xm

m + + + =... .Tarkime, žinoma funkcija f t q q qn, , ,...1 2( ), kuri priklauso nuo

funkcijų q ti ( ) , i n=1 2, ,..., .

Pilnoji funkcijos f išvestinė pagal parametrą t lygi:

dfdt

fqdqdt

fqdqdt

fqdqdt

ftn

n=∂∂

+∂∂

+ +∂∂

+∂∂

=1

1

2

2

=∂∂+

∂∂

∂∂

ft

fqdqdt

fqdqdt

dqdtdqdt

dqdt

n

n

n

1

1

1

2

=∂∂+

∂∂

ft

fq

dqdt

,

čia q q q qTn = [ ]1 2, ,... ;

∂∂

=∂∂

∂∂

∂∂

fq

fq

fq

fqn1 1

.

PavyzdysTarkime, yra funkcija f t q q q q q q q t, , , sin1 2 3 1

21 2

223( ) = + + + ( )ω ,

kai q q ti i= ( ), i =1 2 3, , .Pilnoji funkcijos f išvestinė pagal parametrą t lygi

21

dfdt

ft

fq

qt

fq

qt

fq

qt

=∂∂+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂1

1

2

2

3

3 ;

∂∂

= +fq

q q1

1 222 ; ∂

∂=

fq

q q2

1 22 ; ∂∂

=fq

q3

323 ;

∂∂

= ( )fq

t1

ω ωcos .

Tarkime, turime sistemą: f q q q ti n1 2, ,..., ,( ) i m=( )1 2, ,..., :

f f q q tf f q q t

f f q q

n

n

m m n

1 1 1

2 2 1

1

= ( )= ( )

=

,..., ,,..., ,

,...,

,,t( )

,

kai funkcijos q j nj =( )1,..., priklauso nuo parametro t, t. y. q q tj j= ( ) .Pilnoji funkcijos f q q q tj n1 2, ,..., ,( ) išvestinė pagal parametrą t lygi

dfdt

ft

fq

qt

j j j=∂

∂+∂

∂ ∂∂

, i m=1 2, ,..., ,

čia ∂

∂ =

∂

∂

∂

∂

∂

∂

fq

fq

fq

fq

j j j j

n1 2

.

Tada pilnoji funkcijos f q q q ti n1 2, ,..., ,( ) išvestinė pagal parametrą t lygi:

d fdt

dfdtdfdt

dfdt

fq

fq

m

=

=

∂∂

∂∂

1

2

1

1

1

2

…

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

fq

fq

fq

fq

fq

fq

fq

n

n

m m m

n

1

2

1

2

2

2

1 2

+

∂∂∂∂

∂∂

d qdt

ftft

ftm

1

2

,

arba sutrumpinta forma

22

dfdt

ft

fq

dqdt

=

∂∂

+

∂ ∂

,

čia

∂∂

=∂∂

∂∂

∂∂

ft

ftft

ft

Tm1 2

;

dqdt

dqdtdqdt

dqdt

Tn

=

1 2 .

∂ ∂

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂

fq

fq

fq

fq

fq

fq

fq

fq

n

n

m

1

1

1

2

1

2

1

2

2

2

1

… ffq

fq

m m

n∂∂∂

2

.

Pavyzdys. Rasti vektoriaus ffff

q q tq q =

=

( ) ( ) + ( )( ) ( ) −

1

2

3

1 2

2 3

sin cos sincos sin

ωccos

sinωt

q t( )

( ) +

3

pilnąją išvestinę pagal parametrą t.

dfdt

dfdtdfdtdfdt

=

=

1

2

3

=( ) − ( ) ( )

− ( ) ( ) ( )cos cos sin sin

sin sin cos cosq q q q

q q q q1 2 1 2

2 3 2 3

000 00 13cos

cossin

q

tt

( )

+

( )( )

ω ωω ω .

23

Nagrinėjant mechatroninių sistemų dinaminius procesus, sistemos kinetinę ir potencinę energijas galima užrašyti tokiu pavidalu:

f q K qT= [ ] 12

.

Šios funkcijos f q ( ) išvestinė pagal vektorių q lygi:

dfd q

q K KT T

= [ ] + [ ]( )1

2,

kai matrica K[ ] – simetrinė, t. y. K K T[ ] = [ ] , tai pilnoji funkcijos f išvestinė pagal parametrą t lygi:

dfd q

q KT

= [ ] .

Matricos A[ ] išvestinė pagal parametrą t vadinama matrica

Bd Adt

dadt

dadt

dadt

dadt

dadt

dadt

dadt

da

m

m

n n

[ ] = [ ]=

11 12 1

21 22 2

1

22dt

dadtnm

,

kurios elementai yra matricos A[ ] elementų išvestinės pagal paramet-

rą t , bdadtijij= , i n j m= =( )1 1,..., ; ,... .

1.2. Posūkio matrica

Posūkio matrica A[ ] yra kvadratinė, jos elementai yra realieji skaičiai. Be to, posūkio matrica yra ortogonalioji matrica, ir jos determinantas lygus vienetui, todėl A AT[ ] = [ ]−1 , det A[ ]( ) =1.

Įvesime nejudančią (inercinę) koordinačių sistemą OXYZ, su nagrinėjamu kūnu sujungtą judančia koordinačių sistema O X Y Z1 1 1 1 . Nagrinėjant kūno sukimąsi erdvėje labai svarbu, kokia eilės tvarka vyksta sukimasis apie ašis. Priminsime, kad teigiama sukimosi kryptis

24

apie atitinkamą ašį yra prieš laikrodžio rodyklės sukimosi kryptį, jeigu žiūrėsime iš šios ašies galo. Atliksime kūno sukimą apie ašis X1 ir Y1

π2

kampu. Pirmiausia pasuksime apie X1 ašį, o paskui apie Y1 (1.1 pav. a). Dabar pakartosime tą patį kūno sukimą, bet pirmiausia suksime kūną apie Y1 ašį, o paskui – apie X1 ašį (1.1 pav. b). Palyginę sukimo rezultatus, matome, kad kūno orientacijos erdvėje yra skirtingos.

1.1 pav. Kūno sukimas apie X1 ir Y1 ašis π 2 kampu

Įvesime pagal X , Y ir Z ašis vienetinius vektorius (ortus): i , j , k , o išilgai kūno koordinačių – pagal sistemos ašis X1 , Y1 ir

Z1 – vienetinius vektorius: i1 , j1 , k1 . Tada bet kokį vektorių r galima užrašyti XYZ ir X1 , Y1 , Z1 koordinačių sistemose (1.2 pav.):

r r i r j r kx y z = + + ; (1.1)

r r i r j r kx y z = + + 1 1 1 1 1 , (1.2)

čia r r i

r r i

xT

xT

= =

;

;1 1 1

r r j

r r j

yT

yT

= =

;

;1 1 1

r r k

r r k

zT

zT

= =

;

,1 1

25

arba r r r rTx y z = , , ; r r r rT

x y z1 1 1 1 = , , .

1.2 pav. Dvi koordinačių sistemos:OXYZ – nejudanti (inercinė); O X Y Z1 1 1 1 – judanti

Užrašysime koordinačių sistemos O X Y Z1 1 1 1 ortus i1 , j1 , k1 per koordinačių sistemos OXYZ ortus i , j , k :

i a i a j a kj a i a j a kk a

1 11 21 31

1 12 22 32

1

= + + = + + =

;;

113 23 33i a j a k + + , (1.3)

čia a n mnm = =( )1 2 3 1 2 3, , ; , , – krypties kosinusai,

a e enm nT

m= ,

kai e i1 = ; e j2 = ; e k3 = ; e i1 1 = ; e j2 1 = ; e k3 1 = .

Įstatę ortus iš (1.3) į (1.2), gausime

r a r a r a r i

a r a r a r j

x y z

x y z

= + +( ) ++ + +( ) ++

11 1 12 1 13 1

21 1 22 1 23 1

aa r a r a r k

r i r j r kx y z

x y z

31 1 32 1 33 1+ +( ) == + + ,

(1.4)

arba matricine forma

r A r = [ ] 1 , (1.5)

26

čia r ir r1 – tas pats vektorius, užrašytas OXYZ ir O X Y Z1 1 1 1 koor-dinačių sistemose atitinkamai; A[ ] – krypties kosinusų matrica, arba koordinačių transformacijos matrica:

Aa a aa a aa a a

[ ] =

11 12 13

21 22 23

31 32 33

. (1.6)

Koordinačių transformacijos matrica yra posūkio matrica, kadangi ji yra kvadratinė, ir ortogonalioji matrica, ir jai galioja sąlygos: A AT[ ] = [ ]−1 , det A[ ]( ) =1, A A ET[ ] [ ] = [ ] .

Koordinačių sistemoje OXYZ ortai i , j , k lygūs:

i T = [ ]1 0 0, , ; j T = [ ]0 1 0, , ; k T = [ ]0 0 1, , . (1.7)

Tada pagal (1.3) išraiškas OXYZ koordinačių sistemoje užrašyti i1 , j1 , k1 yra lygūs:

i a a aT1 11 21 31 = [ ] ; j a a aT

1 21 22 32 = [ ] ;

k a a aT1 13 23 33 = [ ] . (1.8)

Iš (1.8) išraiškų matome, kad matricos A[ ] stulpeliai yra ortų i1 , j1 , k1 , užrašytų OXYZ koordinačių sistemoje, elementai, t. y.

A j k[ ] = i1 , ,1 1 . (1.9)

Taikant (1.5) išraišką, galima išreikšti vektorių r1 per vektorių r :

r A r A rT1

1 = [ ] = [ ] − . (1.10)

Tarkime, turime du vektorius r ir b , užrašytus OXYZ koor-dinačių sistemoje, ir du vektorius r1 ir b1 , užrašytus O X Y Z1 1 1 1 koordinačių sistemoje. Tada vektorių r ir b vektorinę sandaugą galima užrašyti tokiu pavidalu:

r b A r b[ ] = [ ] ( )1 1 . (1.11)

27

Bet b A b = [ ] 1 , (1.12)

tada iš (1.11) išraiškos gauname:

r A b A r b[ ][ ]( ) = [ ][ ]( ) 1 1 1 . (1.13)

Sulyginę matricas prie vektoriaus b1 (1.13) lygybės kairėje ir dešinėje pusėse, gauname:

r A A r[ ][ ] = [ ][ ]1 . (1.14)

Iš dešinės pusės padauginę (1.14) lygybę iš A T[ ] , gauname:

A r r A r A T[ ]

= [ ] = [ ][ ][ ]1 1

~ . (1.15)

Analogiškai galima gauti ir kitą išraišką:

A r r A r AT T[ ]

= [ ] = [ ] [ ][ ]

~

1 . (1.16)

Tarkime, du kūnai i ir j sukasi apie bendrą ašį, kuri sutampa su kūnų X i1 ir X j1 ašimis (1.3 pav.).

1.3 pav. Dviejų kūnų sukimasis apie bendrą ašį

Pasinaudojus dviejų vektorių skaliarine ir vektorine sandaugomis, nagrinėjamu atveju galima gauti tokias išraiškas: j ji

Tj = ( )cos α , (1.17)

28

j j iiT

j i = ( )sin α . (1.18)

Padauginę iš kairės pusės išraišką (1.18) iš vektoriaus iiT , gau

name:

i j jiT

i j

= ( )

~sin α . (1.19)

Užrašius kūnų i ir j ortus šių kūnų koordinačių sistemoje X Y Zi i i iš jjj ZYX , (1.17) ir (1.19) galima perrašyti tokiu pavidalu:

j A A j

k A A j

iT

iT

j j

iT

iT

j j

1 1

1 1

[ ] = ( )

− [ ] = (

cos

sin

α

α)). (1.20)

Žinodami sin α( ) ir cos α( ) reikšmes, galime rasti kampą α :

α

π

π

π=

( ) > >> =

− ( ) > <

arctg kaikai

arctg kai

s c s cs c

s c s c

, ,, ,

, ,

0 02 0 0

0 0

++ ( ) < <

< =

− ( ) < >

arctg kai

kai

arctg kai

s c s c

s c

s c s c

, ,

, ,

, ,

0 0

32

0 0

2 0

π

π 00

, (1.21)

čia s k A A jiT

iT

j j= − [ ] 1 1 ; c j A A jiT

iT

j j= [ ] 1 1 .

Nagrinėjant kūno sukimąsi, reikia žinoti posūkio (koordinačių transformacijos) matricą. Posūkio matricą galima apskaičiuoti naudojant Kardano, Oilerio kampus, Oilerio parametrus [32].

Naudojant Kardano kampus θ θ θ1 2 3, ,( ) posūkio matrica lygi:

Ac c c s s

s s c c s s s s c c s cs s c s s

θ( ) =−

+ − + −−

2 3 2 3 2

1 2 3 1 3 1 2 3 1 3 1 2

1 3 1 2 33 1 2 3 1 3 1 2c s s s c c c+

, (1.22)

čia si i= ( )sin θ ; ci i= ( )cos θ , i =1 2 3, , .

29

Ryšys tarp kūno kampinio greičio ω , užrašyto OXYZ koordinačių sistemoje, ir Kardano kampų vektoriaus laiko išvestinės θ yra lygus:

ω θ θ = ( ) G1 , (1.23)

čia ω ω ω ω = T

x y z ; θ – Kardano kampų išvestinių pagal laiką vektorius,

θθ θ θ =

T ddtddtddt

1 2 3 ; (1.24)

Gs

c c ss c c

1

2

1 2 1

1 2 1

1 000

θ( ) = −

. (1.25)

Kampinio greičio vektorių ω galima užrašyti taip:

ωϕ ϕ ϕ ϕ =

=

TT

x x zddt

ddtddtddt

, (1.26)

čia ϕ – posūkio kampų vektorius; ϕ ϕ ϕx y z, , – posūkio kampai apie X Y Z, , ašis atitinkamai.

Posūkio kampų vektoriaus ϕ variacija (variacija – be galo mažas pokytis) lygi:

δ ϕ θ θ = ( ) G1 . (1.27)

Kampinio greičio vektoriaus ω , užrašyto kūno koordinačių sistemoje O X Y Z1 1 1 1 , ryšys su Kardano kampų vektoriumi θ yra:

ω θ θ = ( ) G2 , (1.28)

čia

Gc c sc s cs

2

2 3 3

2 3 3

2

00

0 1θ( ) = −

, (1.29)

30

kampinio greičio vektorių ω galima užrašyti taip:

ωϕ ϕ ϕ ϕ

=

=

TT

x y zddt

d

dt

d

dtddt

, (1.30)

čia ϕ – posūkio kampai apie X Y Z1 1 1 ašisatitinkamai.

Posūkio kampų vektoriaus ϕ variacija lygi:

δ ϕ θ δ θ = ( ) G2 . (1.31)

Kampinių pagreičių vektoriai OXYZ ir O X Y Z1 1 1 1 koordinačių sistemose yra lygūs:

ddt

G Gωω θ θ θ θ

= = ( ) + ( )

1 1 , (1.32)

ddt

G Gωω θ θ θ θ

= = ( ) + ( )

2 2 . (1.33)

Ryšys tarp kampinių greičių vektorių ω ir ω yra lygus:

ω ω[ ] = [ ][ ][ ]A A T ; (1.34)

ω ω[ ] = [ ] [ ][ ]A AT , (1.35)

čia ω

ω ω

ω ωω ω

[ ] =−

−−

0

00

z y

z x

y x

; ω

ω ω

ω ωω ω

[ ] =−

−−

0

00

z y

z x

y x

.

Posūkio matricos A θ( ) išvestinės pagal laiką yra lygios:

A A Aθ ω θ θ ω( ) = [ ] ( ) = ( ) [ ] , (1.36)

A A A A Aθ ω ω ω ω( ) = [ ] + [ ] [ ] = [ ] + [ ][ ]2 2 . (1.37)

Kūno taško P koordinačių vektorius Rp OXYZ koordinačių sistemoje yra lygus:

R R R R A rp c cp c cp = + = + ( ) θ 1 , (1.38)

31

čia Rc – kūno masių centro vektorius OXYZ koordinačių sistemoje; R A rcp cp = ( ) θ 1 – vektorius tarp kūno taškų c ir P O X Y Z1 1 1 1 koordinačių sistemoje.

Kūno taško P greičių vektorius Vp OXYZ koordinačių sistemoje yra lygus:

V R R A r R Rp p c cp c cp = = + = + [ ] = 1 ω

= + [ ][ ] == + [ ][ ]

R A r

R A r

c cp

c cp

ω

ω

1

1 .

(1.39)

Kūno taško P pagreičių vektorius Vp OXYZ koordinačių sistemoje yra lygus:

V R A r R A r

A

p c cp c cp = + = + [ ] ++[ ][

1 1ω

ω]] 21r cp .

(1.40)

Virtualūs poslinkiai ir posūkiai:

δ δ ϕ δ ϕA A A[ ] = [ ][ ] = [ ] ; δ ϕ δ = [ ] [ ]A AT ;

δ δ δ δ δ ϕR R A r R Rp c cp c cp = + [ ] = + [ ] =1

= + [ ] δ ϕR A rc cp 1 ; (1.41)

δ δ δ ϕ δ ϕR A r A A rp cp cp = [ ] = [ ] = −[ ]

1 1 .

Kūną sukant kampais ϕ ϕ ϕx y z, , apie X,Y, Z ašis, posūkio matricos turi tokias išraiškas:

A x x x

x x

ϕ ϕ ϕϕ ϕ

( ) = ( ) − ( )( ) ( )

1 0 000

cos sinsin cos

;

32

A y

y y

y y

ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

( )

=

( ) ( )

− ( ) ( )

cos sin

sin cos

0

0 1 0

0 0

;

A z

z z

z zϕϕ ϕϕ ϕ( ) =( ) − ( )( ) ( )

cos sinsin cos

00

0 0 1

. (1.42)

Nagrinėjant kūno judėjimą, kai kūnas pasisuka mažais kampais, t. y. ϕ → 0 , posūkio matrica yra lygi:

A Eϕ ϕ( ) = [ ] + [ ] , (1.43)arba

A E Eϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ( ) = [ ] + [ ] + [ ][ ] = [ ] + [ ] + [ ]

12

12

2 . (1.44)

Pavyzdys. Diferencijuoti matricą A

t t

t t[ ] =[ ]

−

1

1 00 2 1

2

sin ω

pagal

parametrą t Bd Adt

tt[ ] = [ ]

=( )

−

0 12 1 00 0 0

ω ωcos.

Tarkime, žinomi du n-tosios eilės vektoriai a q( ) ir b q( ) , kurie priklauso nuo kintamųjų vektoriaus q q q qT

n = [ ]1 2, ,..., ,

a q a q a a a qTn( ) = ( ) ( ) ( ) 1 2, ,..., ;

b q b q b a b qTn( ) = ( ) ( ) ( ) 1 2, ,..., .

Diferencijuosime dviejų vektorių a q( ) ir b q( ) skaliarinę sandaugą pagal kintamąjį vektorių q :

33

∂∂ ( ) = ∂

∂

+ ∂

∂

=

qa b b

aq

abq

bT T Tjj

j

ii

nj

j

jj

naq

abq

∂

∂

+

∂

∂

= =

∑ ∑1 1

.

Tarkime, žinoma pastovioji matrica Cnxm[ ] bei vektoriai a a a aT

n = [ ]1 2, ,..., ir q q q qTm = [ ]1 2, ,..., .

Tada yra naudingos tokios išvestinės:

∂∂ [ ] ( ) = [ ]q

C q C ;

∂∂ [ ] ( ) = [ ]a

a C q q CT T T ;

ddt

a C q q Cd adt

a Cd qdt

T T T T [ ] ( ) = [ ] + [ ]

.

Matricos A[ ] integralas pagal parametrą t vadinamas matrica

B A dt

a dt a dt a dt

a dt a dt a dt

t t

m

t

t t

m[ ] = [ ] =

∫ ∫ ∫

∫ ∫

110

120

10

210

220

20

tt

n

t

n

t

nm

t

t

a dt a dt a dt

∫

∫ ∫ ∫

∫

10

10 0

0

,

kurios elementai yra matricos A[ ] elementų integralai pagal parametrą t , b a dtij ij

t= ∫

0, i n j m= =( )1 1,..., ; ,..., .

1.3. Matricos tikrinės reikšmės ir vektoriai

Tarkime, turime tiesinę lygčių sistemą:

r A r B = [ ] + . (1.45)

34

Homogeninės lygčių sistemos

r A r = [ ] (1.46)

sprendinį užrašysime tokiu pavidalu:

r e Xt = λ . (1.47)

Įstatę sprendinį (1.47) į (1.46) lygtį, gausime:

A X X[ ] = λ , (1.48)

čia A[ ] – kvadratinė matrica; X – nežinomasis vektorius; λ – nežinomasis daugiklis.

Lygčių sistemą (1.45) galima užrašyti tokiu pavidalu:

A E X[ ] − [ ]( ) =λ 0, (1.49)

čia E[ ] – vienetinė matrica.Homogeninė tiesinių lygčių sistema (1.45) turi nenulinį sprendinį

tik tada, kai jos determinantas lygus nuliui:

det A E

a a aa a a

a a a

n n n

n

n n n n

[ ] − [ ]( ) =−

−

−

λ

λλ

λ

12

21 22 22

2 1 2 2 2 2

= 0. (1.50)

Gauta lygtis yra 2n-tojo laipsnio algebrinė lygtis, kurios kairioji pusė yra 2n-tojo laipsnio daugianaris nežinomojo parametro λ atžvilgiu:

D C C C C Cii

i

nnnλ λ λ λ λ( ) = = + + +

=∑

0

20 1 2

2

čn. (1.51)

Daugianaris D λ( ) vadinamas matricos A[ ] charakteringuoju daugianariu, o lygtis

D λ( ) = 0 (1.52)

– matricos A[ ] charakteringąja lygtimi. Bendruoju atveju 2ntojo laipsnio daugianaris turi n šaknų. Parametras λ vadinamas matri

35

cos A[ ] tikrine reikšme. Charakteringojo daugianario šaknys λi , i n=1 2 2, ,... , gali būti realiosios, kompleksinės ir kartotinės. Lygties (1.49) sprendinys X vadinamas tikriniu matricos A[ ] vektoriumi. Vektoriai X nustatomi konstantos tikslumu. Tikrinės reikšmės λi , o X i – tikriniai vektoriai, i n=1 2 2, ,... .

Kai A[ ] – simetrinė matrica, tai X i – ortogonalieji vektoriai.Nagrinėsime du sprendinius: λi , X i ir λ j , X j . Lygčių sis

temą (1.48) galima užrašyti:

A X Xi i i[ ] = λ ; (1.53)

A X Xj j j[ ] = λ . (1.54)

Lygtį (1.53) iš kairės pusės padauginsime iš vektoriaus X jT , o

lygtį (1.54) – iš vektoriaus X iT :

X A X X XjT

i i jT

i [ ] = λ ; (1.55)

X A X X XiT

j j iT

j [ ] = λ . (1.56)

Iš lygties (1.55) atimsime lygtį (1.56); kadangi matrica A[ ] yra simetrinė, tai gausime:

λ λi j jT

iX X−( ) = 0 . (1.57)

Iš (1.57) lygties matyti, kad dviejų vektorių X i ir X j skaliarinė sandauga yra lygi:

X Xkai i jkai i jj

Ti = ≠≠ =

00,,

,

čia X i , X j – ortogonalieji vektoriai.

Sunormavus vektorius X i ir X j , t. y.

XX

Xii

i

=

; XXXj

i

j

=

, (1.58)

čia Xi , X

j – vienetiniai vektoriai, galima gauti tokią išraišką:

36

X A Xkai i jkai i ji

T

ji [ ] =

=≠

λ ,,0

. (1.59)

Iš ortonormuotųjų vektorių Xi i n=1 2 2, ,..., , galima sudaryti

ortogonaliąją matricą:

X X X Xn[ ] =

1 2 2

, ,..., . (1.60)

Tada (1.59) išraišką galima užrašyti tokiu pavidalu:

X A XT

n

[ ] [ ][ ] =

λλ

λ

1

2

2

0 00 0

0 0

. (1.61)

Lygčių sistemos (1.46) sprendinį galima užrašyti taip:

r t X e C X e Cii

n ti

ti( ) = = [ ] =∑

1

2 λ Λ , (1.62)

čia e diag e

e

e

e

t t

t

t

t

i

n

Λ = ( ) =

λ

λ

λ

λ

1

2

2

0 0

0 0

0 0 0

. (1.63)

Įrašykime naują vektorių:

r t X u t( ) = [ ] ( ) , (1.64)

čia u t( ) – modalinių koordinačių vektorius.

Tada lygčių sistemą (1.45) galima užrašyti taip:

u X A X u X B = [ ] [ ][ ] + [ ] − −1 1 , (1.65)

ir lygčių sistema, įvertinus (1.59) išraišką, susiskaido į 2n nepriklausomų pirmosios eilės lygčių:

37

u u g ti i i i− = ( )λ , i n=1 2 2, ,... , (1.66)

čia g ti ( ) – vektoriaus g X B t = [ ] ( ) −1 itasis elementas.

Tarkime, dinaminės sistemos judėjimo lygčių sistema yra

M q C q K q F t[ ] + [ ] + [ ] = ( ) , (1.67)

čia M C K[ ] [ ] [ ], , – masių, slopinimo ir standumo matricos atitinkamai; q q q , , – pagreičių, greičių ir poslinkių vektoriai atitinkamai; F t( ) – išorinių jėgų vektorius.

Tarkime, šioje lygčių sistemoje yra n nežinomųjų.Įrašykime naują vektorių:

r q t q tT T T = ( ) ( )

, . (1.68)

Lygčių sistemą (1.66) užrašysime kaip pirmosios eilės diferencia-linių lygčių sistemą, kurioje bendras lygčių skaičius bus lygus 2n :

EE

qq

E

M K M C[ ] [ ][ ] [ ]

−

[ ] [ ]−[ ] [ ] −[ ] [ ]

− −

00

01 1

=

[ ] ( )

−

qq M F t

01

(1.69)arba B r A r f t[ ] − [ ] = ( ) , (1.70)čia

AE

M K M C[ ] =

[ ] [ ]−[ ] [ ] −[ ] [ ]

− −

01 1 ;

BE

E[ ] = [ ] [ ][ ] [ ]

00

;

f tM F t

( ) =

[ ] ( )

−

01 . (1.71)

38

Kiti tikrinių reikšmių uždavinio užrašymo variantai pateikti 1 lentelėje.

Norint rasti sistemos (1.69) tikrines reikšmes ir vektorius, vektorių f t( ) prilyginsime nuliui, t. y.

B r A r[ ] − [ ] = 0 . (1.72)

Tarkime, lygčių sistemos (1.73) sprendinys turi tokį pavidalą:

r r e t = λ , (1.74)

čia λ – tikrinė reikšmė; r – dešinysis tikrinis vektorius.

Įstatę sprendinį (1.74) į lygčių sistemą (1.73), gausime:

A B r[ ] − [ ]( ) = λ 0 . (1.75)

Išsprendę tikrinių reikšmių uždavinį (1.75), gauname 2n tikrinių reikšmių ir tikrinių vektorių, t. y. λ j jr, , j N=1 2 2, ,..., . Be to, bendruoju atveju tikrinės reikšmės ir vektoriai yra kompleksiniai skaičiai

λ α ωj j ji= + ; r r i rj j j = + Re Im , (1.76)

čia Re , Im( ) ( ) – funkcijos, išskiriančios kompleksinio skaičiaus realiąją ir kintamąją dalis.

Įvesime naują vektorių

r r u r r r R ui ii

nn = = = [ ]

=∑

1

21 2 2... , (1.77)

čia R[ ] – dešiniųjų tikrinių vektorių matrica:

R r r r n[ ] = 1 2 2... ;

u – modalinių koordinačių vektorius.

Įstatę vektorių iš (1.77) į lygčių sistemą (1.70), gausime:

B R u A R u f t[ ][ ] − [ ][ ] = ( ) . (1.78)

39

1.1 lentelė. Tikrinių reikšmių uždavinių tipai

Diferencialinių lygčių sistema

Tikrinių reikšmių uždavinys

(1 variantas)A k B r[ ] − [ ] = 0

Tikrinių reikšmių uždavinys

(2 variantas)D k E r[ ] − [ ] = 0

1

M q K q[ ] + [ ] = 0

q u ei t = ω

− [ ] + [ ]( ) = ω2 0M K u

K M u[ ] − [ ]( ) = ω2 0

A A B BT T[ ] = [ ] [ ] = [ ];

k = ω2

K M u[ ] − [ ]( ) = ω2 0

D M K D T[ ] = [ ] [ ] = [ ]−1 ;

k = ω2

2[ ] [ ] [ ] 0=++ qKqCqM

q u e t = λ

− [ ] + [ ] + [ ]( ) = λ λ2 0M C K u

AC KK[ ] = [ ] [ ][ ]

0

A AT[ ] = [ ]

BM

K[ ] = −[ ][ ]

00

B BT[ ] = [ ]

A Buu[ ] − [ ]( )

= λ

λ0

k = λ

D E r[ ] − [ ]( ) = λ 0

D M C M KE

[ ] = −[ ] [ ] −[ ] [ ][ ] [ ]

− −1 1

0

3

M q C q K q[ ] + [ ] + [ ] = 0

K K C CT T[ ] ≠ [ ] [ ] ≠ [ ];

q u e t = λ

λ λ2 0M C K u[ ] + [ ] + [ ]( ) =

AC KK[ ] = [ ] [ ][ ]

0

A AT[ ] ≠ [ ]

BM

K[ ] = −[ ][ ]

00

B BT[ ] ≠ [ ]

A Buu[ ] − [ ]( )

= λ

λ0

k = λ

D E r[ ] − [ ]( ) = λ 0

D M C M KE

[ ] = −[ ] [ ] −[ ] [ ][ ] [ ]

− −1 1

0

k = λ

4

M q C q K q[ ] + [ ] + [ ] = 0C C T[ ] = −[ ]q u ei t = ω

− [ ] − [ ] + [ ]( ) = ω ω2 0M i C K u

AC KK[ ] = [ ] [ ][ ]

0

BM

K[ ] = [ ][ ]

00

A Buu[ ] − [ ]( )

= ω

ω0

A AT[ ] = [ ]B BT[ ] = [ ]

k = ω

40

Kairieji tikriniai vektoriai nustatomi išsprendus tikrinių reikšmių uždavinį:

l A BT T [ ] − [ ]( ) = ν 0 , (1.79)

čia l – kairysis tikrinis vektorius; ν – tikrinė reikšmė.

Transponavę lygčių sistemą (1.79), gausime:

A B lT T[ ] − [ ]( ) = ν 0 . (1.80)

Tikrinės reikšmės, apskaičiuotos išsprendus (1.75) ir (1.79) tikrinių reikšmių uždavinius, yra:λ νj j= , j n=1 2 2, ,..., , tada galioja tokia

sąlyga:

det detA B A B T[ ] − [ ]( ) = [ ] − [ ]( )λ λ . (1.81)

Sudarykime kairiųjų tikrinių vektorių modalinę matricą:

L l l l n[ ] = ⋅ 1 2 2, , ..., . (1.82)

Tada sudarykime tokią lygčių sistemą:

A B r

A B l

j j

Tk

Tk

[ ] − [ ]( ) =

[ ] − [ ]( ) =

λ

ν

0

0

;

. (1.83)

Lygčių sistemos (1.83) pirmosios lygties kairiąją pusę padauginkime iš vektoriaus lk

T , o antrąją lygtį – iš vektoriaus rjT ; iš pir

mosios lygties atėmę antrąją lygtį gausime:

l A r r A l l B r

r B l

kT

j jT T

k kT

j j

jT

kT

k

[ ] − [ ] − [ ] ++ ∂ [ ]

λ

== 0 (1.84)

arba ∂ −( ) [ ] =k j j

Tkr B lλ 0 , (1.85)

41

kai matricos A[ ] ir B[ ] – simetrinės.

Ortogonalumo sąlyga yra:

r B l l B rkai j kkai j kj

T Tk k

Tj [ ] = [ ] = ≠

=

01,,

,

arba, panaudojus kairiųjų ir dešiniųjų tikrinių vektorių modalines matricas L[ ] ir R[ ] , ortogonalumo sąlyga bus lygi:

L B R ET[ ] [ ][ ] = [ ] (1.86)

ir kitokia forma:

R B L ET T[ ] [ ]( )[ ] = [ ] ; (1.87)

L R BT[ ] = [ ] [ ]( )−1. (1.88)

Tada lygtis:

l A B rkT

j j [ ] − [ ]( ) =λ 0 , (1.89)

nes bus lygi l A rk

Tj j [ ] = λ ,

kadangi l B rk jk jk

Tj j [ ] = ≠

=

λ01,,

. (1.90)

Todėl gauname

L A RT[ ] [ ][ ] = [ ]λ , (1.91)

čia λ γ[ ] ≡ ( )diag j – diagonalinė matrica.

Tada lygčių sistemą (1.78) galima užrašyti:

L B R u L A R u L fT T T[ ] [ ][ ] − [ ] [ ][ ] = [ ] . (1.92)

Įvertinę (1.70) ir (1.69) išraiškas, gausime:

42

E u u L fT[ ] − [ ] = [ ] λ . (1.93)

Gavome nepriklausomų lygčių sistemą:

u u hj j j j− =λ , (1.94)čia

h L fj kjk

nk=

=∑

1

2j n=1 2,..., . (1.95)

Iš (1.87) išraiškų matome, kad B E[ ] = [ ] – vienetinė matrica.

Tada, taikydami (1.86) išraišką, gauname:

L B R L R ET T[ ] [ ][ ] = [ ] [ ] = [ ] (1.96)

arba L RT[ ] = [ ]−1 . (1.97)

Ortogonalumo sąlyga (1.76) bus lygi:

R A R[ ] [ ][ ] = [ ]−1 λ . (1.98)

Taikant (1.76), (1.95) išraiškas, lygčių sistemą (1.93) galima užrašyti tokiu pavidalu:

u u R f − [ ] = [ ] −λ 1 . (1.99)

Lygčių sistemą (1.67) galima užrašyti taip:

0 0

0[ ] [ ][ ] [ ]

−[ ] [ ][ ] −[ ]

KK C

qq

KM

qq

== ( )

0

F t (1.100)

arba

A r B r f[ ] − [ ] = , (1.101)

čia

AK

KB

KM[ ] = [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] = [ ] [ ]

[ ] −[ ]

00

00

; ;

43

f tOF t( ) = ( )

. (1.102)

Matricos A[ ] ir B[ ] – simetrinės matricos.

Modalinė matrica R[ ] lygi:

R r r r n[ ] = =1 2 2, ,...,

=

u u u

u u un

n n

1 2 2

1 1 2 2 2 2

...

...λ λ λ. (1.103)

Tarkime, tikrinė reikšmė λk , ji yra kompleksinė, tada

λ α ωk k ki= + . (1.104)

Funkcija e e e et t i t i tλ α ω α ω= = +( ) .

Tarkime, dešiniųjų ir kairiųjų tikrinių reikšmių vektoriai yra lygūs:

rX

Xj

j

j j =

λ; l

y

yj

j

j j =

λ. (1.105)

Tada ortogonalumo sąlyga yra lygi:

l B rkai j k

kai kkT

j [ ] = ≠

=

0

1

, ;

, . (1.106)

Panagrinėsime du matricos B[ ] išraiškos variantus.

1 variantas: BE

E[ ] = [ ] [ ][ ] [ ]

00

.

Tada ortogonalumo sąlyga lygi

y X y Xkai j k

kai j kkT

j k j kT

j + = ≠

=

λ λ

0

1

,

,,

44

arba matricine forma:

Y X Y X ET T[ ] [ ] + [ ][ ] [ ] = [ ]χ , (1.107)

čia λ λ λ λ λ2 212

22

22

= ( ) = ( )diag diagj n, ,... .

2 variantas: BK

M[ ] = [ ] [ ][ ] −[ ]

00

;

A r B r f[ ] − [ ] = . (1.108)

Ortogonalumo sąlyga lygi:

λ λ λk kT

j j k kT

jy K X y M Xkai j k

kai j k [ ] − [ ] = ≠

=

0

1

,

,,

arba matricine forma:

−[ ] [ ][ ] + [ ] [ ][ ] = [ ]λ2 Y M X Y K X ET T , (1.109)

čia Y y y y n[ ] = 1 2 2, , .

Įstatę r R u = [ ] į (1.108) ir iš kairės padauginus iš L T[ ] , gausime:

L A R u L B R u L fT T T[ ] [ ][ ] − [ ] [ ][ ] = [ ] (1.110)

arba λ j j j ju u h− = , (1.111)

čia h L fj kjk

nk=

=∑

1

2.

1.4. Funkcijos skleidimas Furjė ir Teiloro eilutėmis

Kiekvieną periodinę funkciją f t( ) galima išskleisti Furjė eilute:

f t A A kt T B kt Tkk

kk

( ) = + ( ) + ( )=

∞

=

∞∑ ∑0

1 12 2sin / cos /π π , (1.112)

45

čia

AT

f t kt T dtkT

T

= ( ) ( )−

∫2 2

2

2sin /π ,

BT

f t kt T dtkT

T

= ( ) ( )−

∫2 2

2

2cos /π ,

AT

f t dtT

T

0

2

21= ( )

−

∫ ;

T – funkcijos f t( ) periodas; A0 – funkcijos vidutinė reikšmė per T periodą, arba

f A A k B kkk

kk

ϕ ϕ ϕ( ) = + ( ) + ( )=

∞

=

∞∑ ∑0

1 1sin cos

A f k dk = ( ) ( )∫1

0

2

πϕ ϕ ϕ

πsin ; B f k dk = ( ) ( )∫

1

0

2

πϕ ϕ ϕ

πcos ;

A f d00

212

= ( )∫πϕ ϕ

π; ϕ ω= t .

Furjė eilutę galima užrašyti kompleksine forma:

f t c eki k t

T

k( ) =

=−∞

∞∑

2π, (1.113)

čia c A iBk k k= −( )12

, 2π

ωkT k= .

Kompleksinė amplitudė lygi:

cT

f t e dtki k t

TT

T

= ( )−

−

∫1 2

2

2 π.

Dažnių ωk rinkinys vadinamas funkcijos f t( ) spektru. Šiuo atveju spektras yra diskretinis.

46

Įstatę ck išraišką į (1.113), gausime:

f tT

e f t e dti k t

Tk

i k tT

T

T

( ) = ( )−

=−∞

∞ −

−

∑ ∫1 2 2

2

2π π. (1.114)

Diferencijuojamą funkciją f q( ) taško q0 aplinkoje galima išskleisti Teiloro eilute:

f q f qdf qdq

q qd qdq

q q( ) = ( ) + ( )− +

( )− + +0

00

20

2 021

112!

( )!

( ) ....

+( )

− + ( )1 00n

d qdq

q q R qn

nn

n!( ) , (1.115)

čia R qn ( ) – liekamasis narys.Tarkime, turime n kintamųjų diferencijuojamą funkciją

f q q qn1 2, ,...,( ) . Diferencijuojamą funkciją f q q qn1 2, ,...,( ) taško q0 aplinkoje išskleisime Teiloro eilute:

f q f qf qq

q q q ( ) = ( ) +∂ ( )∂ − + −0

00

11

12!

( )!(

− ∂ ( )∂

− + + ( )q

f q

qq q R qT

n0

202 0) ( ) .... , (1.116)

arba f q f q ( ) = ( ) +0

+[ ] − + − [ ] − + + ( )J q q q q H q q R qTn( )

!( ) ( ) ...0 0 0

12

čia Hf q

q[ ] =

∂ ( )∂

202 – vadinamoji Hesės matrica;

Jf qq

[ ] =∂ ( )∂

0 – Jakobio matrica.

47

2. lygčių sPrendiMo ir dinaMinių sisTeMų analizės MeTodai

2.1. netiesinių algebrinių lygčių sprendimo metodai

2.1.1. niutono ir rafsono metodas

Niutono ir Rafsono metodas yra vienas iš geriausių netiesinių algebrinių lygčių sprendimo būdų. Tarkime, turime netiesinę lygčių sistemą

Φ q q qn1 2 0, ,...( ) = . (2.1)

Pradinis šios lygčių sistemos artinys yra q i . Pradinio artinio q i aplinkoje išskleisime kiekvieną netiesinę algebrinę lygtį Φ j q j n=( )1,..., Teiloro eilute ir paliksime tik du pirmuosius

Teiloro eilutės narius:

Φ ΦΦ

q qqq

q qii

i( ) ≈ ( ) +∂ ( ) ∂

− ( ) = 0

arba

J q qi i[ ] = − ( ) ∆ Φ , (2.2)

čia J qi( ) – Jakobio matrica:

J q

qqii( ) =

∂ ( ) ∂

Φ, (2.3)

∆q – nežinomojo vektoriaus pokyčių vektorius:

∆q q qi i i = − +1 . (2.4)

Jeigu Jakobio matrica J qi( ) yra neišsigimusi, tai tiesinės lygties (2.2) sprendinys yra lygus

∆ Φq J q qi i i = − ( ) ( ) −1, (2.5)

48

o patikslintas lygčių sistemos artinys

q q qi i i = + +1 ∆ . (2.6)

Netiesinių algebrinių lygčių sistemai spręsti taikant Niutono ir Rafsono metodą, naudojamas toks sprendimo algoritmas:

1. Pasirenkame lygčių sistemos (2.1) pradinį artinį q 0.

2. Su visais i = 0 1 2, , ,... skaičiuojami:

Φ qi( ) , J qi( ) .

Jeigu kiekviena lygtis Φk iq( ) ir nežinomųjų skirtumas tenkina sąlygas:

Φk iq ( ) ≤ ς1 , q qk k i, ,1 1 2− ≤− ς ,

tai spręsti baigiama. Jeigu Jakobio matrica J q( ) yra išsigimusi, tada grįžtame į pirmą etapą. Priešingu atveju atliekame trečią sprendimo etapą.

3. Sprendžiame tiesinę algebrinę lygčių sistemą

J q q qi i i( ) = − ( ) ∆ Φ .

4. Patiksliname sprendimo artinį

q q qi i i = + +1 ∆ .

Padidiname iteracijos skaitiklį j i= +1 ir grįžtame į antrąjį etapą.

2.1.2 integravimas pagal parametrą

Tarkime, turime netiesinę algebrinių lygčių sistemą:

F X( ) = 0 arba F X X X pi m1 2 0, ,... ,( ) = , (2.7)

čia p – uždavinio parametras.

Vektorių X papildysime vienu elementu, X pm+ =1 , tada vektorius X lygus X X X XT

m = [ ]+1 2 1, ,... .

49

Įvesime neapibrėžtą λ parametrą. Tarkime, vektoriaus X elementai – parametro atžvilgiu tolydžios funkcijos ir daug kartų diferencijuojamos funkcijos

X Xi i= ( )λ , i m= +( )1 1,..., . (2.8)

Keičiant λ parametrą, keičiasi (2.8) lygčių sistemos sprendinys. Diferencijuosime (2.8) lygčių sistemą pagal λ parametrą. Gausime

m lygčių sistemą su m +1 nežinomųjų dXdiλ

, būtent

∂∂

⋅ ==

+∑

FX

dXd

i

jj

mi

1

10

λ, i m=( )1 2, ,..., , (2.9)

arba matricine forma

JdXd

[ ] =

λ0 , (2.10)

čia J[ ] – Jakobio matrica:

J

FX

FXi

j[ ] = ∂

∂

=

∂∂

i m j m=( ) = +( )1 2 1 2 1, ,... , , ,..., . (2.11)

Tarkime, vektoriai Ti yra sudaryti iš Jakobio matricos eilučių i m=( )1 2, ,..., :

T J J Ji i i imT = [ ]+1 2 1, ,..., . (2.12)

Panaudojus Gramo ir Šmito ortogonalizacijos algoritmą, Jakobio matricą J[ ] galima suskaidyti kaip dviejų matricų, būtent kairiojo trikampio Q[ ] ir ortogonaliosios matricos V[ ] , sandaugą:

J Q V[ ] = [ ][ ] , (2.13)čia

Q

QQ Q

Q Q Q Qm m m mm

[ ] =

11

21 22

1 2 3

0 0 00 0

...

...... ... ... ... ...

...

, (2.14)

50

Q U Uii iT

i= , Q T Vij

jT

i=

0,,kaikai

j i mj i< ≤>

.

Matricos V[ ] eilutės yra sudarytos iš vektorių Vi , i m=1,..., . Kadangi matrica V[ ] yra ortogonalioji, tai galioja tokia sąlyga:

V V ET[ ][ ] = [ ] , (2.15)

čia E[ ] – vienetinė matrica.

Todėl matricą Q[ ] galima gauti išraišką (2.13) iš dešinės pusės padauginus iš matricos V T[ ] , būtent:

Q J V T[ ] = [ ][ ] . (2.16)

Lygčių sistemą (2.10) galima užrašyti kaip dviejų vektorių skaliarinę sandaugą:

T dX

diT

=

λ0 , i m=1,..., . (2.17)

Įvesime tam tikrą vektorių Y , pavyzdžiui, Y T

m

=

0 0 0 1, ,... , .

Tarkime, vektorius Um+ 1 yra nenulinis, todėl tiesiškai nepriklausomas nuo vektoriaus Vi , i m=1,..., . Tada, naudojant Gramo ir Šmito ortogonalizacijos algoritmą, vektorius Um+ 1 bus lygus:

U Y Y V V

VU

U U

mT

i ii

m

mm

mT

m

+=

++

+ +

= − ( )

=

∑11

11

1 1

,

. (2.18)

Tada gauname, kad lygčių sistemos (2.17) sprendinys lygus:

dXd

Vmλ

= +1 . (2.19)

Radę vektorių Vm+ 1 pagal žinomus Jakobio matricos eilučių vektorius Ti ir vektorių Y , įvesime vektorių Z J Y,( ) . Tada

51

(2.10) ir (2.17) lygčių sistemos sprendinį galima užrašyti tokiu pavidalu:

dXd

ort Z J Yλ

= ( ) , . (2.20)

Ši lygčių sistema, kurios pradinės sąlygos

X t X=( ) = 0 0 , (2.21)

sudaro pagal parametrą Koši uždavinį. Integruojant (2.20) lygčių sistemą, galima gauti aibę (2.7) netiesinės lygčių sistemos sprendinių, pradedant nuo taško X0 ir judant išilgai sprendinių aibės L kreive.

Prieš spręsdami Koši uždavinį (2.19), (2.20) paaiškinsime λ parametro fizikinę prasmę (2.1 pav.).

Įvesime X vektoriaus pokyčių vektorių ∆X . Judant išilgai sprendinių aibės L kreive iš taško A į tašką B , vektoriaus ∆X ilgis bus lygus:

∆ ∆ ∆λ = X XT. (2.22)

Tada

∆∆

∆

∆ ∆

X X

X XT

=

λ

(2.23)

bus vienetinis vektorius, kurio kryptis sutaps su vektoriaus ∆X kryptimi. Kai ∆X → 0 , tai taškas B artėja prie taško A B A→( ) ,

vektorius ∆∆

X λ

artėja prie L kreivės liestinės (tangentės) taške A .

Todėl dXd

Xλ λλ

=

→∆

∆∆0

lim yra vienetinis vektorius ir tangentinis L

kreivei. Pokytis ∆λ yra lanko AB stygos ilgis, todėl, kai taškas Bartėja prie taško A, dλ yra lanko AB ilgio diferencialas.

52

2.1 pav. Parametro λ fizikinė prasmė

Koši uždavinį (2.20), (2.21) galima spręsti įvairiais paprastųjų diferencialinių lygčių sprendimo metodais. Pavyzdžiui, sprendžiant (2.20) lygčių sistemą Rungės ir Kuto ketvirtosios eilės metodu, atliekami tokie veiksmai:

γ0 0= ; X t X=( ) = 0 0 ; Y T

m0 0 0 0 1 =

, ,... , ;

λ λ λk k k,1 = + ∆ ;

X ort J X Yk k k, ,1 = ( )( ) ;

X ort J X X Xk k k k k, , ,,2 1 1

12 = +

∆λ ;

X ort J X X Xk k k k k, , ,,3 2 2

12 = +

∆λ ;

X ort J X X Xk k k k k, , ,,4 3 3 = +( )( )∆λ ;

X X X X X Xk k k k k k+ = + + + + ( )1 1 2 3 416

2 2, , , , . (2.24)

Y Xk k+ = 1 4, k = 0 1 2, , ,...

53

2.2. Paprastųjų diferencialinių lygčių artutiniai sprendimo metodai

Lygtys, kurių išraiškoje yra viena arba kelios išvestinės, vadinamos diferencialinėmis. Pagal kintamųjų skaičių ir išvestinių tipą diferencialinės lygtys skirstomos į paprastąsias diferencialines (turinčias vieną kintamąjį ir išvestines šio kintamojo atžvilgiu) ir diferencialines lygtis su dalinėmis išvestinėmis (turinčias keletą kintamųjų ir dalines išvestines tų kintamųjų atžvilgiu). Norint skaitiniu būdu išspręsti diferencialinę lygtį, reikia žinoti ieškomos funkcijos ir jos išvestinės reikšmes. Tos reikšmės, nusakytos viename taške, vadinamos pradinėmis sąlygomis, o pati lygtis su pradinėmis sąlygomis – Koši uždaviniu.

Ieškomosios funkcijos ir jos išvestinės reikšmės, nusakytos skirtinguose taškuose, vadinamos kraštinėmis sąlygomis, o pati lygtis – diferencialine lygtimi su kraštinėmis sąlygomis.

Nagrinėsime Koši uždavinį, spręsdami diferencialinę lygtį:

dydt

f t y= ( ), , kai y t y=( ) =0 0 . (2.25)

Taigi reikia rasti lygties sprendinį, t. y. funkciją y y t= ( ) , atitinkančią tiek pačią lygtį, tiek pradines sąlygas.

Pateiktos diferencialinės lygties sprendimo metodus nesunku apibendrinti taikant diferencialinių lygčių sistemai:

dydt

f t y y yn11 1 2= ( ), , , , ;

dydt

f t y y yn22 1 2= ( ), , , , ;

dydt

f t y y ynn n= ( ), , , ,1 2 ,

kai y t t yi i=( ) =0 0 ; i n=1, , (2.26)arba

dydt

f t y y yn

= ( ) , , , ,1 2 , kai y t t y=( ) = 0 0 . (2.27)

54

Kintamojo t žingsnį h laikysime pastoviu ir žymėsime:

t t h1 0= + , kai y t y1 1 1( ) = ;

t t h2 0 2= + , kai y t y2 2 2( ) = ;

t t khk = +0 , kai y t yk k k( ) = . (2.28)

Pagrindinės savybės, nusakančios diferencialinių lygčių skaitmeninio sprendimo metodų kokybę ir efektyvumą, yra jų pateikimo forma, tikslumo eilė ir stabilumas.

Pateikimo forma gali būti išreikštinė ir neišreikštinė.Išreikštiniu (explicit) vadinamas metodas, kurio formulėje funk

cijos reikšmės yk+1 taške k +1 išreiškiamos tiesiogiai per funkcijos ir jos išvestinės reikšmes yk, f t yk k,( ), taške k . Tada kiekviename sprendimo žingsnyje reikšmė y k+1 gaunama skaičiuojant pagal formulę, ir nereikia spręsti netiesinės algebrinės lygties atžvilgiu y k+1.

Neišreikštiniu (implicit) vadinamas metodas, kurio formulėje funkcijos reikšmė y k+1 taške k +1 išreiškiama per funkcijos ir jos išvestinės reikšmes yk , f t yk k,( ), f t yk k+ +( )1 1, taškuose k ir k +1. Tai reiškia, kad kiekviename sprendimo žingsnyje reikšmei y k+1 gauti reikia spręsti netiesinę algebrinę lygtį vienu iš žinomų metodų.

Metodo tikslumo eilė nustatoma lyginant tikslaus diferencialinės lygties sprendinio skleidinį Teiloro eilute vieno integravimo žingsnio aplinkoje su sprendiniu, gautu pasitelkus metodo formulę. Tikslumo eile laikomas daugiklio h laipsnis paskutiniame sutampančiame skleidimo naryje.

Stabilumas nusakomas tiriant metodo tendenciją kaupti paklaidas eilės nuoseklių žingsnių metu.

Skaičiuojant dėl metodo ir apvalinimo paklaidų susidaro lokalioji ir globalioji paklaida.

Lokaliąja vadinama paklaida, kuri susidaro dėl metodo ir apvalinimo paklaidų apskaičiuojant tašką t yk k+ +( )1 1, ir laikant, kad taškas t yk k,( ) yra tikslus, t. y. neturi paklaidos. Globalioji paklaida – tai

taško t yk k+ +( )1 1, suminė paklaida, susikaupusi nuo sprendimo pra

55

džios, t. y. sprendimo reikšmės ykt+1 ir apytikslės reikšmės y k+1 skir

tumas.Diferencialinės lygties (2.24) sprendimo metodus galima suskirs

tyti į vienažingsnius ir daugiažingsnius. Sprendžiant skaitiniu būdu diferencialinę lygtį (2.24), apskaičiuojama sprendinio y y t= ( ) reikšmių lentelė, kai t t t0 ≤ ≤ max.

Tarkime, žinome y y t= ( ) reikšmes t yi i,( ) , čia i k=1, , . Reikia rasti tašką t yk k+ +( )1 1, , čia t t hk k+ = +1 .

Vienažingsniams metodams būdinga tai, kad norint apskaičiuoti y k+1 reikšmę reikia žinoti tik tk ir yk reikšmes. Daugiažingsniams

metodams būdinga tai, kad norint apskaičiuoti y k+1 reikšmę, reikia žinoti taškus t yk j k j− −( ), , čia j k= 0, , . Paprastai jie būna poriniai. Remiantis taškais t yk j k j− −( ), , čia j k= 0, ,

, pirmiausia prognozuojama y k+1 reikšmė, paskui, taikant iteracinę procedūrą, ta reikšmė tikslinama. Todėl daugiažingsniai metodai vadinami prognozės ir korekcijos metodais.

Dažniausiai naudojami paprastųjų diferencialinių lygčių skaitiniai sprendimo metodai pateikti 2.1 lentelėje.

2.1 lentelė. Paprastųjų diferencialinių lygčių skaitiniai sprendimo metodai

Metodas Formulė

Globa-lioji

paklaida

Stadijų skaičius

Oilerio metodas (išreikštinis)

y y hf t yk k k k+ = + ( )1 , 0 h( ) 1

Modifikuotas Oilerio metodas (išreikštinis)

y y hf t yk k k k+( ) = + ( )11 , ;

y y h f t y f t yk k k k k k+( )

+( )= + ( ) + ( )

1

21

1

2, , ;


+( )= + ( ) + ( )

1

31

2

2, , ;

y y h f t y f t ykn

k k k k kn

+( )

+−( )= + ( ) + ( )

1 1

1

2, ,

0 2h( ) 2

56

Patikslintas Oilerio metodas (išreikštinis)

y y hf t yk k k k+ −= + ( )1 1 2 ,0 2h( ) 1

Atgalinis Oilerio metodas (neišreikštinis)

y y hf t yk k k k+ + += + ( )1 1 1, 0 h( ) 1

Trapecijų metodas (neišreikštinis)

y y h f t y f t yk k k k k k+ + += + ( ) + ( )( )1 1 12, , 0 2h( ) 1

Ričardsono metodas (išreikštinis)

y y hf t yk k k k+( ) = + ( )11 , ;

y y h f t yk k k k+( ) = + ( )1 22

2, ;

y y h f t h yk k k+( )

+( )

+( )= + +

1

31 2

21 2

2

2 2, ;

y y yk k k+ +( )

+( )= −1 1

21

12

0 2h( ) 3

Heno (2-osios eilės RungėsirKuto) metodas (išreikštinis)

y y hf t yk k k k+( ) = + ( )11 , ;

y y h f t y f t yk k k k k k+ + +( )= + ( ) + ( )

1 1 1

1

2, , 0 2h( ) 2

4-osios eilės RungėsirKuto metodas (išreikštinis)

y y h f t yk k k k+( ) = + ( )1 21

2, ;

y y h f t h yk k k k+( )

+( )= + +

1 2

21 2

1

2 2, ;

y y hf t h yk k k k+( )

+( )= + +

1

31 2

2

2, ;

y y h f t yk k k k+ = + ( )( +1 6,

+ +

+

+

( )22 1

2

1f t h ykk

,

+ +

+ ( )

+

( )+ +

( )22 1

2

21 1

3f t h y f t ykk

k k, ,

0 4h( ) 4

2.1 lentelės tęsinys

57

Kutoir Mersono metodas (išreikštinis)

1. y f t yk k k1( ) = ( ), ;

2. y f t h y h yk k k k2 1

3 3( ) ( )= + +

, ;

3. y f t h y h y h yk k k k k3 1 2

3 6 6( ) ( ) ( )= + + +

, ;

4. y f t h y h y h yk k k k k4 1 2

2 838

( ) ( ) ( )= + + +

, ;

5. y f t y h y h y hyk k k k k k5

11 3 4

232

2( )+

( ) ( ) ( )= + − +

, .

y y h y y yk k k k k+( ) ( ) ( )= + − +( )11 3 4

23 4 ;

y y h y y yk k k k k+( ) ( ) ( )= + + +( )11 4 5

64 ;

R y yk k= −+ +0 2 1 1, , kai R > ε , tai h h

=2

ir grįžti prie 1 punkto

0 4h( ) 5

2-osios eilės Adamso ir Bašforto metodas (neišreikštinis)


− −= + ( ) − ( )( )11

1 133 , , ;

y y h f t y f t yk k k k k k+ + +( )= + ( ) + ( )

1 1 1

1

2, ,

0 2h( ) 2

3-iosios eilės Adamso ir Bašforto metodas (neišreikštinis)

y y h f t yk k k k+( ) = + ( ) −(11

1223 ,

− ( ) +− −16 1 1f t yk k,

+ ( ))− −5 2 2f t yk k, ;

y y h f t yk k k k+ + +( )= + ( ) +

1 1 1

1

125 ,

+ ( ) − ( ))− −8 1 1f t y f t yk k k k, ,

0 3h( ) 2

h-tosios eilės Adamso ir Bašforto metodas (neišreikštinis)

y y h f t yk k k k+( ) = + ( ) −(11

2455 ,

− ( ) +− −59 1 1f t yk k,

+ ( ) − ( ))− − − −37 92 2 3 3f t y f t yk k k k, ,

y y h f t yk k k k+ + +( )= + ( ) +

1 1 1

1

249 ,

+ ( ) −19 f t yk k,

− ( ) + ( ))− − − −5 1 1 2 2f t y f t yk k k k, ,

0 4h( ) 2


58

h-tosios eilės Milono metodas (išreikštinis)

y y h f t yk k k k+( )

−= + ( ) −(11

343

2 ,

− ( ) +− −f t yk k1 1,

+ ( ))− −2 2 2f t yk k, ;

y y h f t yk k k k+ + +( )= + ( ) +

1 1 1

1

2,

+ ( ) +4 f t yk k,

+ ( ))− −f t yk k1 1,

0 4h( ) 2

Hemingo metodas (išreikštinis)


− − −= + ( ) − ( ) +(11

3 1 143

2 , ,

+ ( ))− −2 2 2f t yk k, ;

y y y yk k k k+ − −= + − +(1 1 218

9

+ ( ) + ( ) − ( )

+ +

( )− −3 21 1

11 1h f t y f t y f t yk k k k k k, , ,

0 4h( ) 2

ModifikuotasHemingo metodas (neišreikštinis)


−= + ( ) −(11

343

2 ,

− ( ) +− −f t yk k1 1,

+ ( ))− −2 2 2f t yk k, ;

y y y yk k k k+( )

+( ) ( ) ( )= + −( )1

21

1 3 1112121

;

y y yk k k+( )

−= −( ) +13

218

9

+ ( ) + ( ) − ( )

+ +

( )− −

38

21 12

1 1h f t y f t y f t yk k k k k k, , , ;

y y y yk k k k+ +( )

+( )

+( )= − −( )1 1

31

31

19121

0 4h( ) 4

2-osios eilės RungėsirKuto metodas (neišreikštinis)

y f t yk k k+( )

+ += ( )11

1 1, ;

y f t y hyk k k k2

1 11( )

+ +( )= −( ), ;

y y h y yk k k k+ +( ) ( )= + +( )1 11 2

2

0 2h( ) 2

3-iosios eilės RungėsirKuto metodas (neišreikštinis)

y f t yk k k+( )

+ += ( )11

1 1,

y f t h y h yk k k k+( )

+ + +( )= − −

1

21 1 1

1

3 3, ;


+ + +( )= − −

1

31 1 1

223

23

, ;

y y h y yk k k k+ +( )

+( )= + +( )1 1

11

3

33

0 3h( ) 3


59

4-osios eilės Rungės ir Kuto metodas (neišreikštinis)

y f t yk k k+( )

+ += ( )11

1 1, ;


+ + +( )= − −

1

21 1 1

1

2 2, ;


+ + +( )= − −

1

31 1 1

2

2 2, ;

y f t y hyk k k k+( )

+ +( )= −( )1

41 1

3, ;

y y h y y y yk k k k k k+ +( )

+( )

+( )

+( )= + + + +( )1 1

11

21

31

4

62 2

4

ModifikuotasAdamso ir Bašforto metodas (išreikštinis)

y y h f t yk k k k+( ) = + ( ) −(11

2455 ,

− ( ) +− −59 1 1f t yk k,

+ ( ) − ( ))− − − −37 92 2 3 3f t y f t yk k k k, , ;

y y y yk k k k+ +( ) ( ) ( )= + −( )1

21

1 3 1251270

;


+ +( )= + ( ) +

1

31 1

2

249 ,

+ ( ) −19 f t yk k,

− ( ) + ( ))− − − −5 1 1 2 2f t y f t yk k k k, , ;

y y y yk k k k+ +( )

+( )

+( )= − −( )1 1

31

31

119270

0 4h( ) 4

ModifikuotasMilano metodas (išreikštinis)

y yk k+( )

−= +11

3

+ ( ) − ( ) + ( )( )− − − −43

2 21 1 2 2h f t y f t y f t yk k k k k k, , , ;

y y y yk k k k+( )

+( ) ( ) ( )= + −( )1

21

1 3 12829

;

y y y yk k k k+( )

+( )

+( )

+( )= − −( )1

31

31

31

1129

0 4h( ) 4

Fehlbergo 5-osios ir 6-osios eilės Rungės ir Kuto metodas

y y h kk k+ = + ⋅ +(1 15600210

+ + +896 12153 4k k

+ + )2695 5845 6k k

k f x yk k1 = ( ),

k x h y hkk k2 118 18= + +( ),

k f x h y h k kk k3 1 26 12 3= + + ( ) − +( )( ),

k f x h y h k k kk k4 1 2 32 9 81 2 12 8= + + ( ) − + +( )( ),


60

k f x h y h kk k5 12 3 33 40= + + ( )( ( −,

− − + ))12 168 1622 3 4k k k

k f x h y h k kk k6 1 21752 8856 1728= + +( −( + +,

+ − + ))43040 36855 26953 4 5k k k

k f x h y h k kk k7 1 28 91 891 8716 1968= ( + + −( + +,

+ − + ))39520 33696 17163 4 5k k k

k f x h y h k kk k8 1 29984 117585 22464= + +( ( − −,

− + − + ))540032 466830 14014 20793 4 5 7k k k k

Fehlbergo 7-osios ir 8-osios eilės Rungės ir Kuto metodas

y y h k k kk k+ = + + +( +1 1 6 741 840 34 105 9 35+ +9 35 8k

+ + +9 280 9 280 41 8409 10 11k k k

k f x yk k1 = ( ),

k f x h y hkk k2 12 27 2 27= + +( ),

k f x h y h k kk k3 1 29 36 3= + + +( )( ),

k f x h y h k kk k4 1 36 24 3= + + +( )( ),

k f x h y h k k kk k5 1 3 45 12 48 20 73 75= +( + − +( )),

k f x h y h k k kk k6 1 4 52 20 5 4= +( + + +( )),

k f x h y h k kk k7 1 45 6 108 25 125= + + − + −(( ,

− + ))260 2505 6k k

k f x h y h k kk k8 1 56 31 300 61 225= + + +(( −,

− + ))2 9 13 9006 7k k

k f x h yk k9 2 3= +( +,

+ −( + −h k k k2 53 6 704 451 4 5

− + + ))107 9 67 90 36 7 8k k k

k f x h yk k10 3= +( +,

+ − +( −h k k91 108 23 1081 4

− + − + − ))976 135 311 54 6 19 60 17 6 1 125 7 8 9k k k k k

k f x h y h k kk11 1 1 42383 4100 341 164= + + − +(( ,

94496 1025 301 82 2133 41005 6 7k k k− + ++ + + ))45 82 45 164 18 418 9 10k k k


61

k f x y h k k kk12 1 1 6 73 205 6 41 3 205= + − −(( −,

− + + ))3 41 3 41 6 418 9 10k k k

k f x h yk13 1= + +( ,

+ − − +(h k k1777 4100 341 164 41

+ − +4496 1025 289 825 6k k

+2193 4100 7k +

+ + + + ))51 82 33 164 12 418 9 10 12k k k k

x x hk k+ = +1

6-osios ir 7-osios eilės Rungės, Kuto ir Vernerio metodas

y y h k k k k kk k+ = + ( + + + +1 1 4 5 7 890 7 32 32 12 7

k f x yk k1 = ( ),

k f x h y hkk k2 112 27 12= + +( ),

k f x h y h kk k3 26 6= + + ( )( ),

k f x h y h k kk k4 1 34 16 3= + + +( )( ),

k f x h y h k k kk k5 1 3 43 4 16 21 81 72= +( + + +( )),

k f x h y h kk k6 116 17 250563 1344688= + + (( −,

− + − ))5127552 4096896 782083 4 5k k k

k f x h y h kk k7 12 234624 341549= + + − +(( ,

+ − + − ))1407744 1018368 84224 147393 4 5 6k k k k

k f x h y h kk k8 1136864 381875= + +( −( +,

+ − + + +1642368 1327872 72192 14739 1173123 4 5 6 7k k k k k ))

k f x h y h kk k9 12 3 16755336 2070757= +( + −, / (

+ + + −9929088 584064 30234883 4 5k k k

− + ))447083 1514246 7k k

k f x h y h kk k10 110743824 130521209= +( + ( −,

− − +499279872 3912679683 4k k

+ −13012608 5k

− + − ))3522621 9033024 302884926 7 9k k k

x x hk k+ = +1


62

7-osios ir 8-osios eilės Rungės, KutoirVernerio me-todas

y y h k kk k+ = + + +(1 1 613 288 32 125+ + +31213 144000 2401 123757 8k k

+ +1701 14080 9k

+ + )2401 19200 19 45010 11k kk f x yk k1 = ( ),

k f x h y hkk k2 14 4= + +( ),

k f x h y h k kk k3 1 212 72 5= + + +( )( ),k f x h y h k kk k4 1 38 32 3= + + +( )( ),

k f x h y h k k kk k5 1 3 42 5 125 106 408 352= +( + − +( )),

k f x h y h k k kk k6 1 4 52 48 8 33 125 528= +( + + +( )),

k f x h y h kk k7 16 7 26411 13893= + + − +(( ,+ − + ))39936 64125 607204 5 6k k k

k f x h y h k kk k8 1 57 37 392 1625 9408= + +(( −,− + ))2 15 61 67206 7k k

k f x h y h kk k9 12 3 17176 25515= +( + −(,− + −47104 25515 1325 504 41792 255154 5 6k k k/

+ +20237 145800 4312 60757 8k k/ ))

k f x h y h kk k10 12 7 23834 180075= +( + −( −,− −77824 1980825 4k

− + −636635 633864 254048 3001255 6/ /k k− + −183 7000 8 11 324 37737 8 9/ / / ))k k k

k f x h y h kk11 1 112733 7600= + + −(( ,− + −20032 5225 456485 802564 5k k− + −42599 7125 339227 9120006 7k k

− +1029 4108 8k + + ))1701 1408 5145 24329 10k kk f x h y h kk12 1 13 27061 204120= + + − +(( ,+ − +40448 280665 1353775 11975044 5k k

+ − +17662 25515 71687 1166400 98 2256 7 8k k k+ + ))1 16 37736 116649 10k k

k f x h y h kk13 1 111203 8680= + + −(( ,− + −38144 11935 2354425 453044 5k k− + +84046 16275 673309 16368006 7k k

+ + −4704 8525 9477 109128 9k k− +1029 992 10k

+ ))19 341 12kx x hk k+ = +1

2.1 lentelės pabaiga

63

2.3. netiesinių dinamikos lygčių sprendimo metodai

2.3.1. niumarko metodas

Integruojant netiesines dinamikos lygtis greitis ir pagreitis patikslinami taikant Niumarko metodą. Tarkime, dinaminė sistema aprašoma tokia diferencialinių lygčių sistema:

M q C q f q F t tt 5 t 5[ ] [ ] + ( ) = +( ) + +

∆ ∆ ∆ , (2.29)

čia f q( ) – netiesinių funkcijų vektorius.

Vektorių f q( ) skleisime taško q t t k +∆ , aplinkoje Teiloro eilute:

f q f q K qt t k T t t k( ) = ( ) + [ ] + +∆ ∆∆, , , (2.30)

čia Kf q

qTt t k[ ] =

∂ ( ) ∂

+∆ , .

Pagal Niumarko metodą poslinkių ir greičių vektoriai aproksimuojami tokiu pavidalu:

q q t q t a q a qt t t t t t t = + + + ( )+ +∆ ∆∆

∆

2

12,

q q t b q b qt t t t t t = + + ( )+ +∆ ∆∆ 1 2 , (2.31)

čia a1 1 2= − β ; a2 2= β ; b1 1= − γ ; b2 = γ ; (2.32)

β ir γ – parametrai, nuo kurių priklauso sprendimo tikslumas ir stabilumas,

γ ≥1 2 ; β γ≥ +

14

12

2

. (2.33)

Iš (2.30) nustatysime greičių ir pagreičių vektorius q t t +∆ :

q e q q e q e qt t t t t t t = − ( ) − − + +∆ ∆1 2 3 ; (2.34)

64

q d q q d q d qt t t t t t t = − ( ) − − + +∆ ∆1 2 3 , (2.35)

čia e di1, i =( )1 2 3, , – koeficientai,

e

t1 =γβ∆

; e2 1= −γβ

; e t3 21= − −( )

γβ

γ ∆ ;

d

t1 21

=∆ β

; dt21

=∆ β

; d31 2

2=

− ββ

. (2.36)

Poslinkių vektorių q t t +∆ k +1 iteracijoje užrašysime:

q q qt t k t t k t t k = + + + + +∆ ∆ ∆∆, , ,1 . (2.37)

Įstatę (2.30) ir (2.34), (2.35) išraiškas į (2.1) lygtį, gauname tiesinę algebrinių lygčių sistemą vektoriaus q t t k +∆ , atžvilgiu:

K q Ft t k t t k t t k[ ] = + + ∑ +∆ ∆ ∆

∆, , , , (2.38)

čia K d M e C Kt t k Tt t k

[ ] = [ ] + [ ] + [ ]( )+ +∆ ∆, ,1 1 ,

F F t t f q M q C qt t k

t t k t t k t t∑ + + + = +( ) − ( ) − [ ] − [ ] +∆

∆ ∆ ∆ ∆,, ,

,,k , (2.39)

q e q q e q e qt t k t t k t t t = − ( ) − − + +∆ ∆, ,1 2 3 ,

q d q q d q d qt t k t t k t t t = − ( ) − − + +∆ ∆, ,1 2 3 . (2.40)

Išsprendus (2.38) lygčių sistemą, poslinkių vektoriaus artinys skaičiuojamas pagal (2.37) išraišką, o greičių ir pagreičių vektorių artiniai k +1 iteracijoje skaičiuojami pagal (2.40) išraiškas.

Pasirinkę Niumarko metodo parametrus γ =1 2 ir β =1 2 , gauname trapecijų metodą.

65

2.3.2. Hobolto metodas

Tarkime, dinaminė sistema aprašoma netiesine diferencialinių lygčių sistema (2.29). Ją linearizavus, gaunama tokia lygčių sistema:

M q C q K q B t q[ ] + [ ] + [ ] = ( ) , , (2.41)

čia B t q F t K qT, ( ) = ( ) + [ ] . (2.42)

Taikant Hobolto metodą, pagreičių ir greičių vektorius laiko momentu t t+ ∆ galima aproksimuoti tokiu pavidalu:

q

tq q q qt t t t t t t t t = − + − ( )+ + − −∆ ∆ ∆ ∆∆

1 2 5 4 22 2 , (2.43)

q

tq q q qt t t t t t t t t = − + − ( )+ + − −∆ ∆ ∆ ∆∆

18

11 18 9 2 2 . (2.44)

Įstatę (2.42) ir (2.43) į (2.40), gausime netiesinę algebrinių lygčių sistemą:

2 1182∆ ∆ ∆t

MtC K q t t[ ] + [ ] + [ ]

=+

= ( ) − [ ] − + − ( ) −+ − −B t q M q q qt t t t t t t, ∆ ∆ ∆5 4 2

−[ ] − + − ( )− −C q q qt t t t t18 9 2 2∆ ∆ . (2.45)

Netiesinį narį B t q, ( ) galima ekstrapoliuoti tokiais būdais:

B t q B t q B t qt t t t t, , , ( ) = ( ) − ( ) + −∆ ∆2 (2.46)

arba

B t q B t q B t q B t qt t t t t t t, , , , ( ) = ( ) − ( ) + ( ) + − −∆ ∆ ∆3 2 .

(2.47)

2.4. Harmoninės linearizacijos metodas

Harmoninės linearizacijos metodas (HLM) yra apytikslis metodas netiesinėms dinamikos sistemoms nagrinėti [38]. HLM plačiai tai

66

komas, kadangi pasižymi geromis savybėmis: paprastas, universalus, galimas taikyti įvairioms dinaminėms sistemoms.

Nagrinėjama dinaminė sistema, kuri aprašoma antrojo laipsnio diferencialine lygtimi:

x f x x F t+ ( ) = ( ), , (2.48)

čia f x x, ( ) – netiesinė funkcija (pavyzdžiui, sausosios trinties jėga), kurią reikia linearizuoti pritaikius HLM.

Netiesinę funkciją pažymėsime

y f x px= ( ), , (2.49)

čia pddt

= – diferencijavimo operatorius.

Tarkime, šios lygties sprendinys yra harmoninė funkcija:

x A t A= ( ) = ( )sin sinω ϕ ; px A= ( )ω ϕcos , (2.50)

čia A – amplitudė; ω – kampinis dažnis;

Netiesinė funkcija f x x, ( ) skleidžiama Furjė eilute:

y f x px f A f A f As c= ( ) = ( ) + ( ) + ( ) +, , , , ...0 ω ω ω , (2.51)

čia

f f A A d0

0

212

= ( ) ( )( )∫πϕ ω ϕ ϕ

πsin ; cos ,

f f A A ds = ( ) ( )( ) ( )∫

1

0

2

πϕ ω ϕ ϕ ϕ

πsin ; cos sin ,

f f A A dc = ( ) ( )( ) ( )∫

1

0

2

πϕ ω ϕ ϕ ϕ

πsin ; cos cos . (2.52)

Kai svyravimai yra simetriniai, t. y. mojaus vidurys sutampa su sistemos stabilia padėtimi, tai pastovusis narys f0 0= . Iš (2.50) išraiškos galima gauti:

sin ϕ( ) = x

A ; cos ϕ

ω( ) = px

A. (2.53)

67

Įvertinus (2.53) išraiškas ir atmetus aukštesniųjų harmonikų narius, apytiksliai netiesinę funkciją galima užrašyti tokiu pavidalu:

y qx rpx= + , (2.54)

čia q r, – harmoninės linearizacijos koeficientai:

qA

f A A d

rA

f A A

= ( ) ( )( ) ( )

= ( ) (

∫1

10

2

πϕ ω ϕ ϕ ϕ

π ωϕ ω ϕ

πsin ; cos sin

sin ; cos ))( ) ( )

∫ cos ϕ ϕ

πd

0

2 . (2.55)

Harmoninės linearizacijos koeficientai q r, yra pastovūs esant pastoviajai amplitudei A ir kampiniam dažniui ω. Bendru atveju šie koeficientai yra amplitudės ir kampinio dažnio funkcijos q A r A, , ,ω ω( ) ( ). Tokia ypatybė iš esmės skiria harmoninę linearizaciją nuo funkcijos skleidimo Makloreno eilute. Veiksmų seka, kai netiesinė funkcija y f x px= ( ), , atmetus aukštesnės eilės harmonikas, pakeičiama tiesine funkcija (2.54), vadinama harmonine linearizacija.

Pateiksime keletą harmoninės linearizacijos metodo taikymo pavyzdžių.

1 pavyzdysKietasis kūnas, kurio masė m, pakabintas ant spyruoklės, kurios

standumo koeficientas k. Kūną veikia jėgos: standumo jėga F kxs = , pasipriešinimo jėga, proporcinga kūno judėjimo greičiui F xp = c, harmoninė jėga F t F t( ) = ( )0 sin ω bei trinties jėga f x F sign xtr ( ) = ( )0 (2.4 pav.).

Nagrinėjamo kūno judėjimo lygtis užrašoma pagal antrąjį Niutono dėsnį:

mx F F f x F ts p = − − − ( ) + ( ) , (2.56)

arba

mx cx kx F sign x F ttr + + + ( ) = ( )0 0 sin ω . (2.57)

68

Atliekame netiesinės funkcijos f x( ) harmoninę linearizaciją, t. y. f px qx rpx( ) = + , kai harmoninės linearizacijos koeficientai lygūs:

q F

Ad dtr= ( ) − ( )

=∫ ∫0

0

20

πϕ ϕ ϕ ϕ

π

π

πsin sin ;

r FA

d d dtr= ( ) − ( ) + ( )

∫ ∫ ∫0

0

2

2

3 2

3 2

2

π ωϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

π

π

π

π

πcos cos cos

/

/

/

/

=

4 0FAtr

π ω.

(2.58)

2.2 pav. Dinaminė sistema su sausąja trinties jėga

Po harmoninės linearizacijos netiesinė funkcija f x( ) yra lygi:

F sign x F

Atrtr

004

( ) =π ω

. (2.59)

Įstačius gautą išraišką į kūno judėjimo lygtį ir ją padalijus iš kūno masės, gaunama tokia lygtis:

x x h

Ax x g t+ + + = ( )2 0

2δω

ω ωsin , (2.60)

čia δ =cm2

; ω02 =

km

; hFmtr=

4 0π

; gFm

= 0 .

Lygties (2.60) bendrasis sprendinys charakterizuoja pereinamąjį procesą, o atskirasis sprendinys – kūno priverstinius svyravimus. Atskirąjį sprendinį užrašysime tokiu pavidalu:

69

x A t= −( )sin ω ϕ . (2.61)

Tada x A t= −( )ω ω ϕcos , x A t= − −( )ω ω ϕ2 sin , (2.62)

čia A – nežinoma amplitudė; ϕ – nežinoma pradinė fazė.

Įstačius (2.61) ir (2.62) išraiškas į (2.60) lygtį, gaunama tokia lygtis:

ω ω ω ϕ ω ϕ δ ω ω ϕ02 2 2−( ) −( ) + −( ) + −( ) =A t h t A tsin cos cos

= ( ) −( ) + ( ) −( )g t g tcos sin sin cos .ϕ ω ϕ ϕ ω ϕ (2.63)

Sulyginus koeficientus prie sinuso ir kosinuso, gaunama dviejų algebrinių lygčių sistema:

g Acos ϕ ω ω( ) = −( )02 2 ;

g h Asin ϕ δ ω( ) = + 2 . (2.64)

Išsprendus (2.64) lygčių sistemą ϕ A atžvilgiu, gaunamas toks sprendinys:

ϕδ ω

ω ω=

+

−( )

arctg h AA

2

02 2 ;

A

h g h g=− ± −( ) −( ) +

−( ) +

2 4

4

2 202 2 2 2 2 2

02 2 2 2 2

δω ω ω δ ω

ω ω δ ω. (2.65)

Kai sistemoje nėra slopinimo δ = 0 , tai kūno svyravimo amplitudė lygi:

Ag h

=−

−

2 2

02 2ω ω

. (2.66)

Kai nagrinėjamoje sistemoje trinties jėga didesnė už veikiančią

išorinę jėgą ( g h< arba FFtr

004

<π

), tada svyravimų amplitudės A reikšmė yra kompleksinis skaičius. Tai reiškia, kad sistemoje nevyksta

70

kūno svyravimai, t. y. trinties jėga užblokuoja kūno judesį. Jeigu trinties jėga lygi nuliui ( Ftr0 0= arba h = 0 ), tai sistemoje vyksta harmoniniai kūno svyravimai su amplitude

A g=

−( ) +ω ω δ ω02 2 2 2 24

. (2.67)

2 pavyzdysKietasis kūnas, kurio masė m , pakabintas ant spyruoklės. Kūną

veikia jėgos: harmoninė jėga F t F t( ) = ( )0 cos ω , standumo jėga f x k x x( ) = +( )µ 3 , pasipriešinimo jėga, proporcinga kūno judėjimo

greičiui F cxp = . Kūno judėjimo lygtis:

mx cx k x x F t + + +( ) = ( )µ ω30 cos . (2.68)

Padaliję gautą lygtį iš kūno masės, gausime Diufingo lygtį:

x x x x g t+ + +( ) = ( )α α µ ω11 103 cos , (2.69)

čia

α11 =

cm

; α10 =km

; g Fm

= 0 .

Tarkime, lygties (2.69) sprendinys yra tokio pavidalo:

x A t= −( )cos ω ϕ0 . (2.70)

Atliekame netiesinės funkcijos f x x x( ) = + µ 3 harmoninę linearizaciją. Harmoninės linearizacijos koeficientai lygūs:

q

Af x d A

= ( )

= +∫

1 1 340

2 2

πϕ ϕ

µπ( )sin ;

rA

f x d= ( )

=∫

1 00

2

πϕ ϕ

π( )cos . (2.71)

Po harmoninės linearizacijos netiesinė funkcija f x x x( ) = +α µ10

3( ) yra lygi

71

f x x x A( ) ( )= + = +

α µ α

µ10

310

21 3

4. (2.72)

Tada kūno judėjimo lygtis yra

x x A x g t+ + +

= ( )α α

µω11 10

21 3

4cos . (2.73)

Kūno svyravimų dažnis

ω α α µ0

210 10

21 34

= ( ) = +

q a a

(2.74)

priklauso nuo svyravimo amplitudės. Priklausomybė (2.74) vadinama skeletine kreive. Kai koeficientas µ > 0 , tai didėjant dažniui amplitudė didėja (2.3 pav.).

Įstatę (2.74) į (2.67) išrašką, gausime:

A g

a

=

+

−

+α µ ω δ ω10

2 22

2 21 34

4

. (2.75)

Iš (2.85) išraiškos galima gauti amplitudinę-dažninę charakteristiką (rezonansinę kreivę), t. y. svyravimo amplitudės priklausomybę nuo dažnio (2.4 pav.).

2.3 pav. Trys skeletinės kreivės atvejai (µ µ µ< = >0 0 0, , )

72

2.4 pav. Amplitudinės-dažninės charakteristikos: a) µ > 0 ; b) µ < 0

Iš (2.75) galima išreikšti dažnį ω:

ω ω δ δ ω δ= − ± − −( )0

2 22

22

02 22 4g

A. (2.76)

2.5 Harmoninio balanso metodas

Tarkime, mechatroninės sistemos judėjimo lygčių sistema yra tokio pavidalo:

M q F q q Q[ ] + ( ) = , , (2.77)čia M[ ] – masių matrica:

M

mm

mn

[ ] =

1

2

0 00 0

0 0

...

...... ... ... ...

...

;

, F q q( ) – netiesinis jėgų (standumo, slopinimo) vektorius; Q – apibendrintų jėgų vektorius.

73

Kiekviena apibendrinta koordinatė q i ni , ,...,=1 , su periodu T, skleidžiama Teiloro eilute:

q t a a k t b k ti i i k

k

nqi k( ) = + ( ) + ( )

=∑

12 0

1, , ,cos sinω ω ,

ω

π=

2T

, ( i n=1 ... ), (2.78)

čia ai,0 ai k, , bi k, – nežinomi koeficientai, k nq=1,..., .

Įstatę (2.78) išraiškas į judėjimo lygčių sistemą (2.77), gausime netiesinę algebrinių lygčių sistemą ai,0 ai k, , bi k, atžvilgiu:

Φ a b,( ) = 0 . (2.79)

Kiekvieną i-tąją lygtį skleidžiame Furjė eilute:

Φi i i k i k

k

nqt z zc k t zs k t( ) = + ( ) + ( )( )

=∑

12 0

1, , ,cos sinω ω , (2.80)

čia

z

Tdti i

T

T

,0

2

22=

−∫ Φ ,

zcT

k t dti k iT

T

, cos=−∫

2

2

2Φ ω ,

zsT

k t dti k iT

T

, sin=−∫

2

2

2Φ ω . (2.81)

Tada judėjimo lygčių sistemą (2.79) galima užrašyti:

z a b z znT, , ...,( ) = [ ] =1 0 , (2.82)

čia

z z zc zs zc zsiT

i i i i nq i nq = , , , , ,...0 1 1 .

Lygčių sistema (2.82) yra netiesinė algebrinių lygčių sistema, kurią galima spręsti Niutono ir Rafsono metodu. Kiekvienos itosios

74

apibendrintos koordinatės k-tosios harmonikos amplitudės ir fazės skaičiuojamos pagal tokias išraiškas:

A a bi k i k i k, , ,= +2 2 ; ϕi k

i k

i karctg

ba,

,

,( )= . (2.83)

2.6. Pokyčių harmoninio balanso metodas

Nagrinėjama dinaminė sistema, kurios lygčių sistema:

M q C q K q F t q q[ ] + [ ] + [ ] = ( ) , , ,λ . (2.84)

Įvedame parametrą τ ω= t , tada d dtτ ω= ir dt d= τ ω. Įstatome įvestą parametrą į (2.84) lygčių sistemą [40]:

ω ω

τω

ω λ2 M q C q K q F q q[ ] ′′ + [ ] ′ + [ ] = ′

, , , , (2.85)

čia ′ ≡

q dqdτ

; ′′ ≡

q d q

d

2

2τ.

Skleidžiame vektorių q , dažnį ω ir parametrą λ pradinių taškų aplinkoje:

q q q = + 0 ∆ ; ω ω ω= +0 ∆ ; λ λ λ= +0 ∆ . (2.86)

Vektorius F q qτω

ω λ, , ,′

skleidžiamas Teiloro eilute:

F q q F

Fq

qFτ

ωω λ

ωω, , ,′

= + ∂

∂

+ ∂

∂0 ∆ ∆ ++

+∂ ∂

+∂ ∂ ′

′ + ∂ ∂

F Fq

q qF

qT

λλ∆ ∆ ∆

12

2

2 ∆∆q +

+ ′ ∂

∂ ′

+ ∂

∂ ∂

12

12

2

2

2∆ ∆ ∆q

F

qq q

Fq

T T

ω+∆ω

+ ∂

∂ ∂

+ ′ ∂ ∂ ′ ∂

12

12

2 2∆ ∆ ∆q

Fq

qF

qT T

λλ

ω∆∆ω+

75

+ ′ ∂ ∂ ′ ∂

+∂ ∂

+12

12

2 2

2∆ ∆ ∆ ∆qF

qFT

λλ λ

λλ

+

∂ ∂

+12

2

2∆ ∆ωω

ωF

12

12

2 2∆ ∆ ∆ ∆λ

λ ωω

∂ ∂ ∂

+ ∂ ∂ ∂ ′

′ Fq

Fq q

qT . (2.87)

Įstačius (2.96) išraiškas ir jų išvestines bei vektoriaus

F q qτω

ω λ, , ,′

išraišką (2.87) į (2.85) lygčių sistemą, gaunama

tokia lygčių sistema:

ω ω ω2 20M q C q K q M q[ ] ′′ + [ ] ′ + [ ] = − [ ] ′′ −∆ ∆ ∆

− [ ] ′ − [ ] + + ∂

∂

+ ∂

∂

ω

ωC q K q F

Fq

qF

0 0 00

∆ +0

∆ω

+∂ ∂

+

∂ ∂ ′

′ + ∂ ∂

F Fq

q qF

qT

λλ

0 0

212

∆ ∆ ∆

+2

0

∆q

+ ′ ∂

∂ ′

′ + ∂ ∂ ∂

12

12

2

0

2∆ ∆ ∆q

Fq

q qF

qT T

ω

+0

∆ω

+ ∂

∂ ∂

+ ′ ∂ ∂ ′ ∂

12

12

2

0

2∆ ∆ ∆q

Fq

qF

qT T

λλ

λ +

0

∆λ

+ ′ ∂

∂ ′ ∂

+∂ ∂

+12

12

2

0

2

20

∆ ∆ ∆ ∆qF

qFT

ωω ω

ωω

+

∂ ∂ ∂

+∂ ∂

+12

12

2

0

2

2∆ ∆ ∆ ∆ωω λ

λ λλ

λF F

76

+ ∂

∂ ∂ ′

′ 12

2∆ ∆q

Fq q

qT . (2.88)

Kiekvieną vektorių q ir ∆q elementą užrašome kaip harmoninę funkciją:

q a k b ji ik k k

ijj j jk0

1 2 1 2

= ( ) + ( ) == =∑ ∑cos sin, ,... , ,...

τ τ

= ( ) ( ) ( ) ( ) = [ ]cos ,cos ,...,sin ,sin ,...k k j j a CSi1 2 1 2 0τ τ τ τ aai0 , (2.89)

∆ ∆ ∆q a k b ji i

k k kij

j j jk01 2 1 2

= ( ) + ( ) == =∑ ∑cos sin, ,... , ,...

τ τ

= ( ) ( ) ( ) ( ) = [ ]cos ,cos ,...,sin ,sin ,...k k j j a CSi1 2 1 2τ τ τ τ ∆ ∆∆ai , (2.90)

čia

CS k k j jT[ ] = ( ) ( ) ( ) ( ) cos ,cos ,...,sin ,sin ,...1 2 1 2τ τ τ τ ;

a a a b bi

Tik ik ij ij0 1 0 2 0 1 0 2 0 = , , , ,, ,..., , ,... ; (2.91)

∆a a a b bi

Tik ik ij ij = 1 2 1 2, ,..., , ,... . (2.92)

Pagal (2.91) ir (2.91) išraiškas, vektorius q0 ir ∆q galima pateikti tokiu pavidalu:

q S A0 0 = [ ] , ∆ ∆q CS A = [ ] , (2.93)

čia

S

CSCS

CS

[ ] =

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

0 00 0

0 0

...

... ... ... ......

= [ ]( )diag CS ;

A a a aT T T

nT

0 10 20 0 =

, ,.. ;

∆ ∆ ∆ ∆A a a aT T T

nT =

1 2, ,... . (2.94)

77

Vektoriaus q0 išvestinės pagal parametrą τ yra lygios:

′ = ′[ ] q S A0 0 ; ′′ = ′′[ ] q S A0 0 . (2.95)

Taikome Galiorkino metodą, t. y.

δ

π∆q T ∫

0

2(lygtis (5)) dτ = 0 , (2.96)

čia δ ∆q – vektoriaus ∆q variacija, kuri pagal (2.93) išraišką lygi:

δ δ∆ ∆q S A = [ ] . (2.97)

Tada naudojant (2.106) išraišką ir įvertinant, kad δ ∆A ≠ 0 , gaunama lygčių sistema:

S T[ ]∫

0

2π(lygtis (2.88)) dτ = 0 , (2.98)

arba

S M S A S C P A S PT T T T[ ] [ ] ′′[ ] + [ ] [ ] − [ ] − [ ] [ ] −

ω ω2

4 60

12

12

∆ ∆22

9

πω∫ [ ] −∆ P

− [ ] [ ] − [ ]

′[ ] +1

21214 10∆ ∆ ∆A S P P S AT T λ

+[ ] [ ] − [ ] −

[ ] [ ] −S K P A S PT T T

1 512∆

− [ ]− [ ]

[ ] − [ ] [ ]( +

12

128 7 0∆ ∆ ∆λ ωP P S A S PT

+ + + +P P P2 3 11

12

∆ ∆ ∆ ∆ω λ ω ω

+ + ) =

12

12

012 13∆ ∆ ∆ ∆λ λ ω ω τP P d , (2.99)

čia

PF

q1

2

20

[ ] = ∂ ∂ ′

; P

F2

0 = ∂

∂

ω

; PF

30

= ∂ ∂

λ

;

78

P

Fq4

0

[ ] = ∂ ∂ ′

; PF

q5

2

20

[ ] = ∂ ∂

; PF

q6

2

20

[ ] = ∂ ∂ ′

;

[ ]

0

27

∂∂∂

=ωq

FP ; PFq8

2

0

[ ] = ∂ ∂ ∂

λ

; PF

q9

2

0

[ ] = ∂ ∂ ′ ∂

ω

;

PF

q10

2

0

[ ] = ∂ ∂ ′ ∂

λ

; PF

11

2

20

[ ] = ∂ ∂

ω

; PF

12

2

20

= ∂ ∂

λ

;

PF

13

2

0

= ∂ ∂ ∂

ω λ

; PF

q q14

2

0

[ ] = ∂ ∂ ∂ ′

. (2.100)

Sutrumpinta forma lygčių sistema (2.99) yra tokio pavidalo:

G A A B∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆, , ,ω λ ω λ( ) = ( ) , (2.101)

čia G S M S S C PT T[ ] = [ ] [ ]( ′′[ ] + [ ] [ ] − [ ]( −∫ ω ω

π2

0

2

4

− [ ] [ ] − [ ] [ ] −12

126 14∆ ∆A S P A S PT T T T

− [ ]− [ ] ′[ ] +1

2126 10∆ ∆ω λP P S

+[ ] [ ] − [ ]( − [ ] [ ] −S K P A S PT T T

1 512∆

− [ ] − [ ])[ ])1

2128 7∆ ∆λ ω τP P S d . (2.102)

B S P P P PT = [ ] + ( + + +∫ 0 20

2

3 1112

πω λ ω ω∆ ∆ ∆ ∆

+ + )1

21212 13∆ ∆ ∆ ∆λ λ ω λ τP P d . (2.103)

79

Bendruoju atveju algebrinė lygčių sistema (2.101) yra netiesinė.Tarkime, λ = 0 ir ∆λ = 0 .

Pažymėsime X A = ∆ ir

F G X B = [ ] − = 0 (2.104)

arba F X X X X i mi m m1 2 1 0 1, ,..., , , ,...,+ =( ) = =( )∆ω .

Įvesime parametrą p , kai X X p i mi = ( ) = +, ,..., 1 1 . Lygčių sis

temą (2.104) diferencijuojame pagal parametrą p ir gauname

J dXdp

[ ]

= 0 (2.105)

arba

∂∂

∂

∂=

=

+∑

FX

Xp

i

jj

m j

1

10 i m= +1 1,..., , (2.106)

čia

J

FX

FX

FX

FX

FX

FX

FX m

Fm m

[ ] =

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂+

1

1

1

2

1 1

1

2

1

2

2

2

1

2

...

...∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

+X

FX

FX

FX

FX

m

m m m

m

m

m

1

1 2

... ... ... ... ...

.

Lygčių sistemos (2.105) sprendimas pagal parametrą p gali būti atliekamas įvairiais paprastųjų diferencialinių lygčių sprendimo metodais.

80

2.7. amplitudinė ir fazinė dažninė charakteristikos


M q C q K q F t[ ] + [ ] + [ ] = ( ) . (2.107)

Žadinimo jėgų vektorius

F t F t F tc s( ) = ( ) + ( )cos sinΩ Ω , (2.108)

čia Ω – žadinimo jėgų kampinis dažnis.

Jėgų vektorių F t( ) užrašysime kompleksine forma:

F t F e F ecpi t

smi t( ) = + −Ω Ω , (2.109)

čia

F F i Fcp c s = − ( )1

2; F F i Fsm c s = + ( )1

2. (2.110)

Užrašant (2.119) išraišką, buvo naudota gerai žinoma formulė

e t i ti t± = ( ) ± ( )Ω Ω Ωcos sin .

Įvesime naują kintamųjų vektorių:

r

qq

r r r u R un =

= = [ ]

1 2 2, ,... , (2.111)

čia rj − jtasis sistemos A r B r[ ] − [ ] = 0 tikrinių reikšmių vektorius,

A B r[ ] − [ ]( ) = λ 0 . (2.112)

A

KK C[ ] = [ ] [ ][ ] [ ]

0 ; BK

M[ ] = [ ] [ ][ ] −[ ]

00

.

Pagal (1.114) lygtį gauname:

81

λ j j j ju u h− = , (2.113)

čia

h l f lF t

lFj j

TjT

jT

cp= =

( )

=

0 0

+

+

= + −

e

lF

e h e h e

i t

jT

sm

i tjpi t

jmi t

Ω

Ω Ω Ω0;

(2.114)

h l

F tjp jT

cp=

( )

0; h l

Fjm jT

sm=

0. (2.115)

Tarkime, lygties (2.123) sprendinys yra tokio pavidalo:

u u e u e u ej jpi t

jmi t

jpi t= + = ( )−Ω Ω Ω2Re . (2.116)

Įstatę (2.114) ir (2.116) išraiškas į (2.113) lygtį, gausime:

λ λj jp j jm jpi t

jmi tu e u e i u e i u ei t i tΩ Ω Ω ΩΩ Ω+ − + =− −

= + −h e h ejpi t

jmi tΩ Ω . (2.117)

Sulyginę koeficientus, esančius prie ei tΩ ir e i t− Ω , gauname dviejų lygčių sistemą:

e i u h

e i u h

i tj jp jp

i tj jm jm

Ω

Ω

Ω

Ω

:

:

λ

λ

−( ) =

+( ) =

−

. (2.118)

Išsprendę lygčių sistemą (2.128), gausime:

uhijpjp

j=

−λ Ω; u

hijm

jm

j=

+λ Ω. (2.119)

Tada lygties (2.113) sprendinys

u

hie

hiejp

jp

j

i t jm

j

i t=−

++

−

λ λΩ ΩΩ Ω . (2.120)

82

Vektorius r (2.83) bus lygus:

r R ur

il

Fj

jj

njT

cp = [ ] =

−

⋅

=∑

λ Ω1

2 0ee

r

il

Fe r

i t

j

jjT

sm

i tp

Ω

Ω

Ω

+

+ +

=−

λ

0 + −e r ei tm

i tΩ Ω

(2.121)

čia

rr l

i Fpj j

T

j cpj

n =

−

=∑

λ Ω

0

1

2;

rr

il

Fmj

jjT

j

n

sm =

+

=∑

λ Ω1

2 0. (2.122)

Sistemos perdavimo matrica:

H ii

r ljj

nj j

TΩ

Ω( ) = −

=

∑1

1

2

λ. (2.123)

Tarkime, kompleksinės tikrinės reikšmės λ α ωj j ji= + jungtinis kompleksinis dydis yra λ α ωj j ji= − , j = 1,2,...,2n.

Tada vektorius rp lygus:

ru

i u

r l

i

r l

ipp

p

j jT

jj

n j jT

j =

=

−( )

+

−=∑

Ω Ω Ωλ λ1 (( )

=

0

Fcp

= ( )

H i

Fpcp

Ω0

, (2.124)

čia H ip Ω( ) – sistemos perdavimo matrica:

83

H i

i r l i r l

i ipj j j

Tj j j

T

j jΩ

Ω Ω

Ω Ω( ) =

−( ) + −( ) −( ) −( )

λ λ

λ λjj

n

=∑

1. (2.125)

Tarkime, tikrinė reikšmė λ j ir jos jungtinė tikrinė reikšmė yra lygios:

λ α ωj j ji= + , λ α ωj j ji= − . (2.126)

Įvesime dydį Fjp :

Fi i i

jpj j j j j

=−( ) −( )

=+( ) − −

1 122 2 2λ λ α ω αΩ Ω Ω Ω

. (2.127)

Savasis dažnis be slopinimo lygus:

ω α ωoj j j= +2 2

ir ξωjoj

=Ω

– bedimensis dažnis. (2.128)

Ωα ω ξj oj j jD= − 2 , (2.129)

čia Dj – slopinimo koeficientas.

Tada dydis Fjp yra lygus

F

iDjp

oj j j

=− +( )

11 22 2ω ξ ξ

. (2.130)

Išraiškoje (2.124) vektorius rp bus lygus:

r

u

i uF i W i V

Fpp

pjp

j

nj j

cp =

= ( ) − ( )

=∑

ΩΩ Ω

1

0

, (2.131)

čia W Vj j , – matricos, kurių išraiškos yra lygios:

W r l r l r lj j j jT

j j jT

j j jT

= +

=

λ λ λ2Re ;

84

V r l r l r lj j j

Tj j j j

T = +

=

2Re . (2.132)

2.8. Harmoninė analizė


M q C q K q F t[ ] + [ ] + [ ] = ( ) . (2.133)

Žadinimo vektorių suskaidysime:

F t F t F tc s( ) = ( ) + ( )cos sinΩ Ω , (2.134)

arba kompleksine forma:

F t F e F ecpi t

smi t( ) = + −Ω Ω , (2.135)

čia

F F i Fcp c s = − ( )12

; F F i Fsm c s = + ( )12

. (2.136)

1 atvejis: harmoninė formaSistemos (2.133) sprendinio ieškosime tokiu pavidalu:

q q t q tc s = ( ) + ( )cos sinΩ Ω . (2.137)

Įstatę (2.134) ir (2.137) išraiškas į (2.133) lygčių sistemą, gausime lygčių sistemą vektorių qc ir qs atžvilgiu:

− [ ] + [ ] − [ ]− [ ] − [ ] + [ ]

=

Ω Ω

Ω Ω

2

2

M K C

C M K

qq

Fc

s

cc

sF

, (2.138)

arba sutrumpinta forma:

H q Fcs cs[ ] = , (2.139)

čia

H

M K C

C M K[ ] =

− [ ] + [ ] − [ ]− [ ] − [ ] + [ ]

Ω Ω

Ω Ω

2

2 ;

85

FFFcsc

s =

q

qqcsc

s =

. (2.140)

Virpesių amplitudės ir fazės nustatomos pagal tokias išraiškas:

q q t q t A tc s = ( ) + ( ) = −( )cos sin cosΩ Ω Ω ϕ ; (2.141)

A q qj cj sj= +2 2 ; ϕ j

sj

cjarctg

qq

=

. (2.142)

2 atvejis: kompleksinė formaŽadinimo jėgų vektorių užrašome (2.135) pavidalu. Lygčių siste

mos (2.133) sprendinį užrašysime taip:

q q e q ecpi t

smi t = + −Ω Ω . (2.143)

Įstatę (2.135) ir (2.143) išraiškas į (2.133) lygčių sistemą, gausime lygčių sistemą vektorių qcp ir qsm atžvilgiu:

− [ ] + [ ] + [ ]( ) = − [ ] − [ ] + [ ]( ) =Ω Ω

Ω Ω

2

2

M i C K q F

M i C K q F

cp cp

sm sm

,

. (2.144)

Sistemos (2.144) sprendiniai yra lygūs:

q H i F

q H i F

cp p cp

sm m sm

= ( ) = ( )

Ω

Ω

;

. (2.145)

čia

H i M i C Kp Ω Ω Ω( ) = − [ ] + [ ] + [ ]( )−2 1 ;

H i M i C Km Ω Ω Ω( ) = − [ ] − [ ] + [ ]( )−2 1. (2.146)

Lygčių sistemos (2.143) sprendinys tada bus lygus:

q q e q ecp

i tsm

i t = + −Ω Ω . (2.147)

86

3. riedėjiMo guolių dinaMika

Rotorinėse mašinose riedėjimo guoliai yra vieni iš atsakingiausių mazgų, užtikrinančių visos mašinos patikimą darbą ir ilgaamžiškumą. „Kai kurių rotorinių mašinų darbo patikimumo analizės rezultatai rodo, kad didelė dalis (40–50%) gedimų priežastimi tampa riedėjimo guoliųdefektai, dėl to mašina vidutiniškai išdirba 50% garantinio ir 18,2% tarpremontinio resurso“ [10].

Skaičiavimai rodo, kad apkrovai veikiant guolį, 50% tenka riedėjimo elementams, esantiems tuo metu apkrovos veikimo linijoje. Toks staigus ir netolygus apkrovų pasiskirstymas didina kontaktinius įtempimus. Riedėjimo guolių ilgaamžiškumui įtakos turi guolio darbinių elementų įtrūkimai ir ištrupėjimai, kurie atsiranda padidėjus metalo nuovargiui, sukeltam kontaktinių įtempimų. Ankstyvoje riedėjimo guolių defektų atsiradimo stadijoje šie įtrūkimai pasireiškia medžiagos viduje po kontaktiniu paviršiumi. „Remiantis eksperimentiniais tyrimais ir praktika nustatyta, kad apie 90% visų riedėjimo guolių defektų yra susiję su išoriniu ir vidiniu žiedu, o tik apie 10% – riedėjimo elementu ir separatoriumi“ [10].

3.1. guolių pažeidimai ir jų priežastys

Kiekvienas charakteringas guolio pažeidimas turi savo priežastį. Tokie pažeidimai, vadinami pirminiais, priveda prie antrinių guolio pažeidimų – ištrupėjimų ir įtrūkimų, kurie tiesiogiai yra guolio gedimo priežastimis. Kai kuriais atvejais jau pirminiai guolio pažeidimai gali tapti guolio gedimo priežastimi. Pavyzdžiui, nusidėvėjimas, kuris priveda prie padidėjusio radialinio tarpelio guolyje, gali sukelti neleistinai aukštą vibracijos ir triukšmo lygį. Defektiniame guolyje dažnai aptinkami kartu pirminiai ir antriniai pažeidimai. SKF literatūroje guolių pažeidimai yra klasifikuojami taip [11]:

Pirminiai: antriniai: Nusidėvėjimas Ištrupėjimai dėl nuovargio Įspaudai Įtrūkimai Paviršių aptrupėjimai Korozija Elektros srovės tekėjimo žymės

87

Nusidėvėjimas normaliomis guolio darbo sąlygomis beveik nepastebimas. Jis pasireiškia tada, kai į guolį patenka svetimkūniai arba guolis nepakankamai sutepamas. Taip pat nusidėvėjimas gali pasireikšti tada, kai nesisukantis guolis yra veikiamas vibracijos.

3.1 pav. Sferinio rutulinio guolio išorinis žiedas su aiškiai matomomis nusidėvėjimo dėl abrazyvinių dalėlių žymėmis [11]

Įspaudai gali atsirasti ant riedėjimo takelių ir riedėjimo kūnų paviršių, kai montuojant guolį buvo apkrautas ne tas žiedas, t. y. slėgis persiduoda per riedėjimo kūnus, taip pat jeigu nesisukantis guolis paveiktas per didelės apkrovos. Svetimkūniai guolyje taip pat gali privesti prie įspaudų atsiradimo.

3.2 pav. a) dvieilio rutulinio guolio išorinis žiedas su įspaudais, paveiktas per didelės apkrovos guoliui nesisukant, b) įspaudas dėl svetimkūnio

riedėjimo takelyje (padidinta 50 kartų) [11]

88

Paviršių aptrupėjimai pasireiškia, kai tepalo sluoksnis kontakto vietoje yra per plonas, kas leidžia šiurkščių paviršių viršūnėms trumpą laiką tarpusavyje kontaktuoti. Dėl to paviršiuose atsiranda mikroįtrūkimų. Šių mikroįtrūkimų nereikia painioti su dėl metalo nuovargio atsirandančiais įtrūkimais, kurie atsiranda popaviršiniame metalo sluoksnyje ir sukelia metalo nuovarginius ištrupėjimus. Nagrinėjami aptrupėjimai iš pradžių yra mikroskopiniai, po to greitai vystosi ir galų gale trukdo guolio „tyliam“ sukimuisi. Tokie mikroįtrūkimai gali pagreitinti nuovarginių įtrūkimų atsiradimą ir gerokai sumažina guolio darbo resursą.

3.3 pav. Ritinėlio paviršiaus aptrupėjimas: a) bendras vaizdas, b) padidinta 100 kartų [11]

Korozija pasireiškia, kai į guolį patenka tiek vandens arba agresyviųjų terpių, kad tepimo medžiagos negali nuo jų apsaugoti metalinių paviršių. Gilios (plyšinės) korozijos procesas greitai priveda prie pastebimų korozijos žymių – korozinių išėsdinimų. Kita korozijos rūšis, vadinama fretting korozija, atsiranda kontakto vietose.

89

3.4 pav. Guolių žiedai paveikti korozijos: a) pastebimi gilūs koroziniai išėsdinimai ritininio guolio išoriniame žiede;

b) fretting korozijos paveiktas vidinis ritininio guolio žiedas [11]

3.5 pav. Vidinio žiedo a) ir ritinėlio b) pažeidimas,sukeltas elektros srovės tekėjimo per nesisukantį guolį [11]

90

Elektros srovės tekėjimo žymės atsiranda, kai elektros srovė teka iš vieno guolio žiedo per riedėjimo kūnus į kitą žiedą. Tekėjimo vietose vyksta panašus į elektrolankinį suvirinimą procesas. Guolio medžiagos įkaista iki temperatūros, artimos lydymosi temperatūrai.

Skirtingo dydžio plotai pakeičia spalvą, o metalas jose yra atkaitintas ir vėl užgrūdintas, o kartais netgi aplydytas. Vietose, kur metalas buvo aplydytas, galimas nedidelių pažeidų atsiradimas.

3.6 pav. Vidinio žiedo a) ir ritinėlio b) pažeidimas, atsiradęs dėl elektros srovės tekėjimo per nesisukantį guolį [11]

Nuovarginiai ištrupėjimai yra normalaus metalo nuovargio pasekmė ir atsiranda guolio tarnavimo resursui pasibaigus ar artėjant prie pabaigos. Tačiau tai nėra dažniausia guolių gedimo priežastis. Daugeliu atvejų ištrupėjimų atsiradimas turi tam tikrą priežastį, skirtingą nei normalaus nuovarginio irimo. Prie tokių priežasčių priskiriamos: leistinos apkrovos viršijimas, per didelis išankstinis įtempimas, sukeltas dėl per standžiai sumontuoto vidinio arba išorinio guolio žiedo ant veleno arba į guoliavietę, deformacijos dėl guoliavietės necilindriškumo, papildamos ašinės apkrovos (pvz., atsirandantis dėl temperatūrinių deformacijų). Be to, ištrupėjimai gali atsirasti dėl kitų pažeidimų, tokių kaip įspaudai, korozija arba elektros srovės tekėjimo vietose atsirandantys krateriukai.

91

3.7 pav. Skirtingos nuovarginio ištrupėjimo fazės rutulinio guolio vidiniame žiede [11]

Įtrūkimai guoliuose atsiranda dėl įvairių priežasčių. Viena labiausiai paplitusių priežasčių yra neteisingas guolio sumontavimas ar demontavimas. Smūgiai plaktuku tiesiogiai per žiedus gali tapti smulkių įtrūkimų priežastimi, o darbo proceso metu dėl šios priežasties nutrupa mažiukai metalo gabaliukai. Dar viena žiedų įtrūkimų priežastis – per standus sodinimas ant kūginio veleno kakliuko. Dėl atsirandančių didelių įtempimųdarbo metu atsiranda įtrūkimų. Tokie pat įtempimai atsiranda sodinant karštą guolio žiedą ant veleno, jeigu buvo viršyta maksimali leistina temperatūra. Nuovarginiai ištrupėjimai ir fretting korozija taip pat laikui bėgant sukelia žiedų sutrūkinėjimą.

92

3.8 pav. Guolių išorinių žiedų įtrūkimai: a) sutrukęs savaime nusistatančio rutulinio riedėjimo guolio išorinis žiedas. Įtrūkimas atsirado dėl žiedo

apačioje matomo įspaudo; b) išilginis įtrūkimas radialinio guolio išoriniame žiede atsirado dėl fretting korozijos. Dėl padidėjusio žiedo tūrio

žiede atsirado gniuždymo įtempimai [11]

Separatoriaus pažeidimai. Jeigu tiriant defektinį guolį išaiškėja, kad separatorius yra pažeistas, tai daugeliu atvejų yra sunku vienareikšmiškai nustatyti pažeidimo priežastį. Priežasties nustatymą dar labiau apsunkina tai, kad paprastai būna pažeistos ir kitos detalės. Tačiau galima išskirti pagrindines pažeidimų priežastis: vibracija, per didelis sukimosi dažnis, nusidėvėjimas ir užstrigimas.

Literatūroje [12] skiriami trys nuovarginių paviršių pažeidimų tipai: paviršių aptrupėjimai, nuovarginės taškinės ištrupos ir nuovarginiai atskilimai. Skirtumas tarp taškinių ištrupų ir atskilimų yra pavaizduotas 3.9 pav. Taškinės ištrupos pasireiškia apytiksliai iki 10 µm gylio krateriukais, o atskilimų gylis gali siekti nuo 20 iki 100 µm gylio ir jų forma gali būti įvairesnė.

93

3.9 pav. Nuovarginės takšinės ištrupos ir nuovarginio atskilimo palyginimas

Taip pat [12] šaltinyje yra pateikiamas guolio gedimo kriterijus pagal ABMA (American Bearing Manufacturers Association – Amerikos Guolių Gamintojų Asociacija) nustatytus standartus. Guolio defektas siejamas su pirmuoju nuovarginių pažeidimų atsiradimu. Kompanijos Timken Company laboratorijų nustatyta, kad guolis laikomas defektiniu, jeigu jo nuovarginio pažeidimo plotas pasiekė 0,01 in2

(≈ 6,45 mm2). Taip pat Timken nustatė, kad guolis gali dar išlikti tinkamas eksploatuoti ir peržengus šią ribą.

Defektų dydžiaiDažnai atliekant įvairius eksperimentus, pavyzdžiui, matematinio

modeliavimo rezultatų palyginimą su realiais eksperimentiškai gautais, guolių defektai yra padaromi dirbtinai. Realūs guolių defektai taip pat išmatuojami, pavyzdžiui, siekiant nustatyti guolio riedėjimo paviršiaus irimo plitimą priklausomai nuo darbo valandų skaičiaus. Kai kurie šių defektų dydžiai pateikti 3.1 lentelėje.

94

3.1 lentelė. Guolio elementų defektų dydžių lentelė

Guolio tipas

Defektuotas paviršius

Defekto matmenys, mm(plotis× ilgis arba

skersmuo)

Adaptuotas defekto tipas

Literatūros nuoroda

Rutulinis radialinis

guolis

Išorinis žiedas

1 06 1 61 33 4 81 46 2 8

, ,, ,, ,

×××

Lokalinis ištrupėjimas

[n]

1 12 2 8 1 67 1 41 01 1 8 1 70 2 21 46 2 8 0 9 0 8

, , , ,, , , ,, , , ,

× ×× ×× ×

iririr

2 ištrupėjimai, kampas tarp jų 180°

Vidinis žiedas

1 06 2 01 08 2 60 66 0 4

, ,, ,, ,

×××


1 59 3 2 0 68 0 61 19 1 6 1 01 1 61 06 1 4 1 33 1 8

, , , ,, , , ,, , , ,

× ×× ×× ×

iririr

2 ištrupėjimai, kampas tarp jų 180°

Rutulinis radialinis

guolisSKF 6305

Išorinis žiedas

0 51 52 5

,,,


[nn]

Vidinis žiedas – Įtrūkimas

Dvieilis savaime

nusistatantis rutulinis

guolisKoyo 1205

Išorinis žiedas 5 0 0 8, ,×

Lokalinis ištrupėjimas [nnn]

Vidinis žiedas 7 12 0 8, ,×

Rutuliukas 3 73 0 5, ,×

3.2. riedėjimo guolio apkrovos nustatymas

Siekiant nustatyti guolio apkrovą reikalinga žinoti diržo įtempimo jėgą. Ji nustatoma pagal formulė:

95

F E A= ⋅ ⋅ε ; (3.1)

čia F − diržo įtempimo jėga, N; ε − santykinis diržo pailgėjimas; E − diržo tamprumo modulis, Pa; A− diržo skerspjūvio plotas, mm.

Diržo tamprumo modulis ir skerspjūvio plotas nustatomas iš žinyno. Santykinis diržo pailgėjimas nustatomas taip:

ε =−( )L LL

0

0; (3.2)

čia L − įtempto diržo ilgis, mm; L0 − neįtempto diržo ilgis, mm.

Neįtempto diržo ilgis L0 nustatomas iš žinyno, o įtempto L −apskaičiuojamas pagal formulę, kuri įvertina daugelį geometrinių diržinės pavaros parametrų. Šie parametrai pateikti 3.10 pav.

3.10 pav. Guolių tyrimų stendo diržinės pavaros geometriniai parametrai:

H1; H2; H3 – atstumai tarp stendo stalo iki skriemulių ir įtempėjo ašių(aukščiai); R1; R2; R3 – skriemulių ir įtempėjo spinduliai; L1; L2; L3 – atstumai tarp skriemulių ir įtempėjo ašių; L12; L34; L56 – diržo ilgiai tarp kontakto su skriemuliais ir įtempėju taškų;

96

β β β β β β12 21 23 32 31 13= = = −; ; kampai tarp diržo kontakto su skriemuliais ir įtempėjo taškų ir z ašies;

Įtempto diržo ilgis nustatomas pagal formulę:

L R R

R L L L

= + +( ) + +( ) +− +( ) + + +1 13 12 2 12 23

3 13 23 12 34 56

π β β β β

π β β . (3.3)

Dydžiai R R R1 2 3; ; , H H H1 2 3; ; , ir L L L1 2 3; ; yra žinomi, visi kiti dydžiai yra apskaičiuojami. Norint apskaičiuoti kampą β12sudaroma ir sprendžiama lygčių sistema:

R R L LH R L H R

1 12 2 12 1 12 12

1 1 12 12 12 2 2

sin sin cos ,cos sin

β β ββ β

+ = −− + = + ccos ;β12

(3.4)

R R L L

R R L H H2 1 12 12 12 1

1 2 12 12 12 2 1

+( ) + =

− +( ) + = −

sin cos

cos sin

β β

β β

(3.5)

L L R R1212

1 2 1 121

= − +( ) cossin

ββ (3.6)

− +( ) + − +( ) = − ×R R L R R H H1 2 1212

121 1 2 12 2 1cos sin

cossin cosβ

ββ

β β112; (3.7)

− +( ) − +( ) + =

−( )R R R R L

H H1 2

212 1 2

212 1 12

2 1 12

cos sin sin

cos ;

β β β

β (3.8) (8)

L H H R R1 12 2 1 12 1 2sin cos ;β β− −( ) = + (3.9)

Priimta, kad: H H a R R a x2 1 1 1 2 0 12− = + = =; ; sin ;β

L x a a x1 0 121 2− = − ^ ; (3.10)

L x a L x a a a x12 2

0 1 02

12

12 22− + = − ; (3.11)

Paskutinė lygtis sutvarkoma ir užrašoma kvadratinės lygties ax bx c2 0+ + = pavidalu:

97

x L a a L x a a212

12

0 1 02

122 0+( ) − ( ) + −( ) = . (3.12)

Jos sprendinys yra:

x b Da

b b aca1 2

2

24

2, =− ±

=− ± − ; (3.13)

xa L a L L a a a

L a1 2

0 1 0 12 2

12

02

12

12

121

, =( ) ± ( ) − +( ) −( )

+( );

D b ac= −2 4 . (3.14)

Kampas β12 nustatomas taip:

β12 1 2= arcsin ,x . (3.15)

Lygiai taip pat apskaičiuojamas kampas β23. Sudaroma lygčių sistema ir sprendžiama analogiškai (4-14) žingsniams:

R L R LH R L R

2 23 23 23 3 23 2

2 2 23 23 23 3

sin cos sin ,cos sin cos

β β β

β β

+ + =

+ − + ββ23 3= H .

(3.16)

Priimta, kad: R R b H H b y2 3 0 3 2 1 23+ = − = =; ; sinβ .

Kvadratinė lygtis šio atveju atrodo taip:

L b y b L y b b22

12 2

0 2 02

122 0+( ) − ( ) + −( ) = . (6.17)

Lygties (6.17) sprendimai yra:

yb L b L L b b b

L b1 2

0 2 0 22

22

12

02

12

22

12, .=

( ) ± ( ) − +( ) −( )+( )

(3.18)

Kampas β23 nustatomas analogiškai (3.15) žingsniui:

β23 1 2= arcsin ,y . (3.19)

98

Analogiškai apskaičiuojamas kampas β13. Sudaroma ir išsprendžiama lygčių sistema:

R L R LH R L R

1 13 13 13 3 13 3

1 1 13 13 13 3

sin cos sin ;cos sin cos

β β β

β β

+ − =

+ − − ββ13 3= H .

(3.20)

Priimta, kad: R R c H H c z1 3 0 3 1 1 13− = − = =; ; sin .β

Kvadratinė lygtis šio atveju atrodys taip:

L c z c L z c c32

12 2

0 3 02

122 0+( ) − ( ) + −( ) = . (3.21)

Lyties (6.21) sprendimas yra:

zc L c L L c c c

L c1 2

0 3 0 32

32

12

02

12

32

12, =

( ) ± ( ) − +( ) −( )+( )

. (3.22)

Kampasβ13 nustatomas taip:

β13 1 2= arcsin ,z . (3.23)

Nustatomi diržo ilgiai tarp taškų 1–2, 3–4 ir 5–6:

L L R R1212

1 2 1 121

= − +( ) cossin

ββ ; (3.24)

L L R R3423

2 2 3 231

= − +( ) cossin ;

ββ (3.25)

L L R R5613

3 1 3 131

= − −( ) cossin .

ββ (3.26)

3.2 lentelė. Guolių tyrimo stendo geometriniai parametrai

Dydis Dimen-sija Reikšmė Dydis Dimen-

sija Reikšmė Dydis Dimen-sija Reikšmė

R1 mm 62,5 L1 mm 140 H1 mm 115

R2 mm 17,5 L2 mm 140 H2 mm 88,5

R3 mm 31,5 L3 mm 280 H3 mm 115

99

Skaičiavimų rezultatai pateikti 3.3 lentelėje.

3.3 lentelė. Skaičiavimų rezultatai

L, mm L12 , mm L23, mm L56, mm β12, ° β23, ° β13, °917,15 117,80 133,70 278,28 44,70 30,65 6,36

Nustatoma diržo įtempimo jėga:

F L LL

E A50

0

0 91715 0 9120 912

=−

⋅ ⋅ =−

⋅, ,

, (3.27)

Siekiant nustatyti į tiriamojo guolio veleną horizontalia ir vertikalia kryptimis veikiančias jėgas, į z ir y ašis nuleidžiamos jėgų F F4 5; (3.11 pav.) projekcijos. Sudaroma lygčių sistema:

F F F

F F Fy

z

3 4 32 5 31

3 4 32 5 31

= +

= − −

cos cos ,

sin sin .

β β

β β (3.28)

Naudojant Oilerio lygtį diržinei pavarai (3.28) lygčių sistema užrašoma taip: F F e f

5 4= ⋅β (3.29)čia: β − diržo apgaubimo kampas;

β π β β= − +31 32 ; f − trinties koeficientas.

F F

eF

F F

e

y f

z

35 32

5 31

35 32

31 32

31 32

= +

= −

− +( )

− +

cos cos ,

sin

ββ

β

π β β

π β β(( ) −

f

F5 31sin .β

(3.30)

100

3.11 pav. Jėgos, veikiančios į tiriamojo guolio veleną

3.3. guolių tyrimo stendomatematinis modelis

Siekiant sudaryti guolių tyrimo stendo matematinį modelį braižoma jo schema. Schema pateikta 3.12 pav.

3.12 pav. Guolio tyrimo stendo schema: 1 – elektros variklis; 2 – diržinė perdava; 3 – rotorinė sistema; 4 – tiriamasis riedėjimo guolis

101

Sudarant GTS matematinį modelį reikalinga sujungti keturis pagrindinius stendo mazgus: elektros variklį, diržinę pavarą, rotorinę sistemą ir tiriamąjį guolį. Siekiant sudaryti elektros variklio matematinį modelį naudojamas asinchroninio variklio su nepriklausomu žadinimu matematinis modelis, diržinės pavaros matematiniam modeliui sudaryti naudojama skriemulių judėjimo lygčių sistema, dviatramės rotorinės sistemos modeliavimui naudojamas baigtinių elementų metodas, kai baigtinis elementas susideda iš dviejų mazgų ir turi penkis laisvės laipsnius. Guolio matematiniam modeliui sudaryti kiekvienas guolio elementas modeliuojamas atskirai: išorinis žiedas, vidinis žiedas, riedėjimo kūnai ir separatorius. Papildomai nustatomas tiriamojo guolio įtempimas.

asinchroninio variklio matematinis modelisAsinchroninio elektros variklio matematinis modelis užrašomas

taip:

M d M cV V V V V+ = −( )ω ϕ0 1 ; (nn)čia MV − asinchroninio variklio momentas, Nm; d cV V, − elektros variklio charakteringi parametrai; ωV 0 − asinchroninio variklio tuščios eigos idealus kampinis

greitis, rad/s; ϕ1 − pirmojo (variklio) skriemulio kampinis greitis, rad/s.

c MV

Vk t

V=

⋅2

0

ωω

; d SV Vk t= ω ,

čia M SVk Vk, − sukimosi momentas ir slydimas; ωt − elektros kampinis greitis: ω πt tf= 2 ft − elektros tinklo dažnis.

diržinės pavaros matematinis modelis

Diržinės pavaros judėjimo lygčių sistema pagal antrąjį Niutono dėsnį užrašoma taip:

102

I M R k R R R c R R R k R Rv1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 3 1 1 3 3 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= − −( ) − −( ) − −( )) − −( )= − −( ) − −

R c R R

I R k R R R c R R1 3 1 1 3 3

2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ11 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 3 3

3 3 3 2 3 3 2

( ) − −( ) − −( )= − −

R k R R R c R R

I R k R R

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

22 3 2 3 3 2 2 1 3 3 3 1 1 3 3 3 3 1 1( ) − −( ) − −( ) − −( ) −R c R R R k R R R c R R M ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ppas3

Pritaikius antros eilės Lagranžo diferencialines lygtis pavaros judėjimo lygčių sistema užrašoma taip:

M q C q K q F q tp p p p p p p p + + = ( ) , ;

čia M p − masių matrica;

Cp − slopinimo matrica;

Kp − standumo matrica;

qp − poslinkių vektorius;

F q tp p ,( ) – jėgų vektorius.

Masių, slopinimo ir standumo matricos užrašomos taip:

MI

II

p =1

2

3

0 00 00 0

;

c

c R c R c R R c R R

c R R c R c R c R Rp =

+ − −

− + −

−

1 12

3 12

1 1 2 3 1 3

1 1 2 1 22

2 22

2 2 3

cc R R c R R c R c R3 1 3 2 2 3 3 32

2 32− +

;

K

k R k R k R R k R R

k R R k R k R k R Rp =

+ − −

− + −

−

1 12

3 12

1 1 2 3 1 3

1 1 2 1 22

2 22

2 2 3

kk R R k R R k R k R3 1 3 2 2 3 3 32

2 32− +

.

Poslinkių ir jėgų vektoriai:

qp

T = ϕ ϕ ϕ1 2 3, , ;

103

F q tM t

p p

V

,( ) =( )

00

.

Rotorinės sistemos matematinis modelisRotorinė sistema modeliuojama baigtinių elementų metodu.

3.13 pav. Rotoriaus baigtinis elementas

Dviatramės rotorinės sistemos, susidedančios iš septynių mazgų (žr. 3.13 pav.), turinčių penkis laisvės laipsnius, judėjimo lygčių sistema, pritaikius jai antros eilės Lagranžo diferencialinių lygčių sistemą, užrašoma taip:

M q C G q K q F q tR R R R R R R R[ ] + +( ) + [ ] = ( ) , ;

čia MR[ ] − masių matrica; CR[ ] − slopinimo matrica; GR[ ] − giroskopinių momentų matrica; KR[ ] − standumo matrica; q q qR R R −, , rotoriaus poslinkių, greičio ir pagreičio vektoriai; F q tR R ,( ) – apibendrintas jėgų vektorius.

Poslinkių ir jėgų vektoriai:

Linijiniai poslinkiai: q

q

N

Nq t N qRy

Rz

y

zR R

=

( )( )

( ) = [ ] ξ

ξ

104

Kampiniai poslinkiai:

θϕϕ

ϕ

ξξξ

θ

θ

θ

=

=

( )( )( )

( )Rx

Ry

Rz

R

NNN

q t1

2

3

= [ ] N qRθ

čia N[ ] ir Nθ[ ] – tamprumo funkcijų matricos.

N[ ] =N N N N

N N N N1 2 3 4

1 2 3 4

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0− −

;

čia: N12 31

11 3 2

21=

+− + + −( )

Φ

Φξ ξ ξ ;

N L2

2 3

12

21=

+− + + −( )

Φ

Φξ ξ ξ ξ ξ ;

N32 31

13 2=

+− +( )Φ

Φξ ξ ξ ;

N L4

2 3

1 21=

+− + + −( )

Φ

Φξ ξ ξ ξ ;

N5 1= − ξ ; N6 = ξ ;

NL7

61

1=−+( )

−( )ξξ

Φ; N8

211

1 4 3 1=+

− + + −( )( )ΦΦξ ξ ξ ;

NL9

61

1=+( )

−( )ξξ

Φ;

N1021

12 3=

+− + +( )Φ

Φξ ξ ξ ;

N

dNd

dNd

dNd

dNd

dNd

dNd

dNd

θ

ξ ξ

ξ ξ ξ ξ

ξ

[ ] = − −

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0

5 6

7 8 9 10

7 00 0 0 0 08 9 10dNd

dNd

dNdξ ξ ξ

;

105

čia Φ – tamprios deformacijos parametras, Φ =12

2EJ

kGALd ;

E , G – elastingumo ir tamprumo moduliai; A – skerspjūvioplotas; Jd – antrasis skerspjūvio momentas; k – tamprumo korekcijos faktorius, priklausantis nuo skerspjūvio formos;ξ – bedimensinėkoordinatė, ξ =

xL

.Masių, slopinimo, giroskopinių momentų ir standumo matricos

užrašomos taip:

Apibendrinta standumo matrica – K K K K K KR[ ] = [ ] + [ ] + [ ] + [ ] + [ ]11 12 21 22 3 ;

čia KdNdx

EJdNdx

dxL T

d111

0

1[ ] =

∫

β β ;

KdNdx

EJdNdx

dxL T

d122

0

2[ ] =

∫

β β ;

K dNdx

N kGA dNdx

NvL T

v21 2

02[ ] =

−

−

∫ β β

dx ;

K dNdx

N kGA dNdx

NwL T

w22 2

02[ ] =

+

+

∫ β β

dx ;

K N GJ N dxL T

p3 10

1[ ] = [ ] [ ]∫ θ θ .

Apibendrinta masių matrica – M M M M qR[ ] = [ ] + [ ] − ( ) 1 2 3 ,

čia M L N N dT1

0

1[ ] = [ ] [ ]∫ρ ξ ; M L N D N dT

2 10

12[ ] = [ ] [ ][ ]∫ θ θ ξ ;

M q N L J N dTp y3 1 3

0

1( ) = [ ] ( )[ ]∫ θ θρ θ ξ ,

D diag J J Jp d d1[ ] = ρ ρ ρ ,

106

čia A – skerspjūvio plotas; ρ – baigtinio elemento tankis; J Jp d, – polinis ir skersinis inercijos momentai;

Ω – pastovus rotoriaus kampinis greitis.Giroskopinių momentų matrica užrašoma taip –

G P P T[ ] = [ ] − [ ]( )Ω 2 2 ;

čia: P LJ N dp1 10

1[ ] = [ ]∫ρ ξθ ; P LJ N N dp

T2 2 3

0

1[ ] = [ ] [ ]∫ρ ξθ θ .

3.4. radialinio riedėjimo guolio matematinis modelis

Guolio matematiniam modeliui sudaryti reikalinga nustatyti visus įmanomus guolio elementų judesius ir poslinkius. Atskirai braižomi visi keturi guolio elementai (3.14 pav.):

3.14 pav. Riedėjimo guolio elementai: a – išorinis žiedas; b – vidinis žiedas; c , d –separatorius su rutuliukais

107

Išorinio žiedo poslinkiai: q qy z x y z1 1 1 1 1, , , ,ϕ ϕ ϕ ;Vidinio žiedo poslinkiai (lygūs rotoriaus 4 mazgo poslinkiams):

q y2 , q z2 , ϕ2x , ϕ ϕ2 2y z, ;

Rutuliukų poslinkiai: qR i i i3 3 3, ,ψ ϕ ;Separatoriaus poslinkiai: ψ4i , q y4 , q z4 .

išorinio žiedo matematinis modelis

Siekiant sudaryti išorinio žiedo matematinį modelį dėmėsys atkreipiamas į tai, kad išorinis žiedas guoliavietėje sodinamas su padidintu radialiniu tarpeliu, kaip parodyta 3.15 pav.

3.15 pav. Guoliavėtėje išorinio guolio žiedo dinaminis modelis

Pagal antrąjį Niutono dėsnį išorinio guolio žiedo matematinis modelis užrašomas taip:

m q F q q F F

m q F q q m gy y y y y Ty

z z z z

1 1 1 1 1 13 13

1 1 1 1 1 1

= ( ) + +

= ( )−, ,

, ++ +

=− − +

=−

F FI c K M

I c

z Tz

x x x x x x Tx

y y

13 13

1 1 1 1 1 1 13

1 1 1

,,

ϕ ϕ ϕ

ϕφ φ

φφ φ

φ φ

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕy y y y Ty

z z z z z z Tz

K M

I c K M

1 1 1 13

1 1 1 1 1 1 13

− +

=− − +

,

.

108

čia m1, I I Ix y z1 1 1, , − išorinio guolio žiedo masė ir inercija; q qy z1 1, − išorinio guolio žiedo poslinkiai; ϕ ϕ ϕ1 1 1x y z, , − išorinio guolio žiedo pasisukimo kampas apie koor dinačių ašis;

F Fy z1 1, − jėgos, atsirandančios dėl išorinio guolio žiedo poslinkių guoliavietės atžvilgiu;

F y13 , F z13 – kontaktinės jėgos, atsirandančios dėl riedėjimo takelio ir rutuliukų kontakto;

F Ty13 , F Tz13 – trinties jėgos kontakto vietose; m g1 − svorio jėga;M M MTx Ty Tz13 13 13, , − sukimo momentai dėl trinties tarp riedėji

mo takelio ir rutuliukų;K K Kx y z1 1 1ϕ ϕ ϕ, , ir c c cx y z1 1 1ϕ ϕ ϕ, , − standumo koeficientai ir slo

pinimas.Jėgos, atsirandančios dėl išorinio guolio žiedo poslinkių guolia

vietės atžvilgiu, užrašomos taip:

F q q q K q q c

F q qy y y y y y y y y y

z z

1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1

1 1

, , , ,

,

( ) = − ( ) − ( )η η∆ ∆

11 1 1 1 1 2 1 1 1 1z z z z z z z zq K q q c( ) = − ( ) − ( )

η η, , ,∆ ∆

;

čia η δ η δ δ1 2, , , ,∆ ∆( ) ( ) − funkcijos, priklausančios nuo tarpelio ∆ tarp išorinio žiedo ir guoliavietės ir žiedo poslinkio q1 :

η δ δδ

δδδ

1

0,

,,,

,,.

∆ ∆∆

∆ ∆∆∆

( ) = −+

− ≤ ≤>< −

;

η δ δ δδ

δδδ

2

0, ,

,,,

,,.

∆∆ ∆

∆∆

( ) =− ≤ ≤

>< −

;

δ δ1 1 1 1y y z zq q= =; ;

109

3.16 pav. Funkcijų η δ1 ,∆( ) , η δ δ2 , , ∆( ) grafikai

Kontaktinės jėgos tarp riedėjimo takelio ir rutuliukų:

F F

F F

y ii

NZi i

z ii

NZi i

13 11

3 3

13 11

3 3

= +( )

= +( )

=

=

∑

∑

cos ,

sin ;

α ψ

α ψ

čia α ψ3 3i i+( ) − kampas, aprašantis rutuliuko padėtį guolyje;F i1 − rutuliuko prispaudimo prie išorinio žiedo jėga;F Ki i i1 1 13

3 23 13= ( )δ η δ/ ;

čia δ13i − rutuliuko penetracija į išorinį žiedą;

δ α ϕ α ψ α ψπ

13 1 1 1 1 3 3 1 3 3 3 3i i x y i i z i i i iR q q R r= − +( ) + +( ) + +( ) + +cos cos22 3−

ϕ i ;

η δ3 ( ) − funkcija, priklausanti nuo išorinio žiedo poslinkio q1 :

η δδδ3

1 00 0

( ) = >≤

, ;, .

Trinties jėgų tarp riedėjimo kūnų ir išorinio žiedo lygtis užrašomos taip:

F F f v

F F f

Ty i tr i i in

NZ

Ty i tr

13 1 13 13 3 31

13 1 13

= [ ] +( )

= −

=∑ sign sin ,α ψ

ssign v i i in

NZ13 3 3

1[ ] +( )

=

∑ cos ;α ψ

čia v i13 − rutuliuko linijinis sukimosi greitis.

110

Rutuliuko linijinis sukimosi greitis lygus:

v R q qi i i x y i i z i i13 1 3 3 1 1 3 3 1 3 3= +( ) − +( ) + +( ) α ψ φ α ψ α ψ

sin cos −−

+ −

q rR i i i i i3 3 3 3 32

ψπ

φ φ .

Sukimo momentų dėl trinties tarp išorinio žiedo riedėjimo takelio ir rutuliukų lygčių sistema užrašoma taip:

M F f v R

M

M

Tx i tr i i ii

NZ

Ty

Tz

13 1 13 13 1 3 31

13

13

0

= − [ ]( ) +( )

==∑ sign α ψ ,

,

==

0.

Pasinaudojus antros eilės Lagranžo diferencialinių lygčių sistema judėjimo lygtys užrašomos taip:

M q F q q t1 1 1 1 1[ ] = ( ) , , ;

čia M1[ ] −masių matrica;

M

mm

II

I

x

y

z

1

1

1

1

1

1

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

0 0 0 0

[ ] =

q1 − apibendrintų poslinkių vektorius; q q qT

y z x y z1 1 1 1 1 1 = , , , ,ϕ ϕ ϕ ;F q q t1 1 1, ,( ) − apibendrintas jėgų vektorius

F q q t

F q q F F

F q q m g Fy y y y Ty

z z z

1 1 1

1 1 1 13 13

1 1 1 1

, ,

,

,

( ) =

( ) + +

( )− + 113 13

1 1 1 1 13 13

1 1 1 1 1

z Tz

x x x x x Tx

y y y y

Fc K M M

c K M

+

− − + +

− − +ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

33 13

1 1 1 1 13 13

y Ty

z z z z z Tz

M

c K M M

+

− − + +

ϕ ϕϕ ϕ

.

111

Vidinio žiedo matematinis modelisPagal antrąjį Niutono dėsnį išorinio guolio žiedo matematinis

modelis užrašomas taip:

m q F F

m q m g F FI M M

y y Ty

z z Tz

x x x

2 2 23 23

2 2 2 23 23

2 2 23

= +

=− + +

= +

,

,ϕ 223

2 2 23 23

2 2 23 23

Tx

y y y Ty

z z z Tz

I M M

I M M

,,

.

ϕ

ϕ

= +

= +

Kontaktinės jėgos tarp riedėjimo takelio ir rutuliukų:

F F

F F

y ii

NZi i

z ii

NZi i

23 21

3 3

23 21

3 3

= − +( )

= − +( )

=

=

∑

∑

cos ,

sin ;

α ψ

α ψ

čia α ψ3 3i i+( ) − kampas, aprašantis rutuliuko padėtį guolyje;F i2 − rutuliuko prispaudimo prie vidinio žiedo jėga;F Ki i i2 23 23

3 23 23= ( )δ η δ/ ;

čia δ23i − rutuliuko penetracija į vidinį žiedą;

δ α φ α ψ

α ψπ

23 2 2 2 2 3 3

2 3 3 3 33

i i x y i i

z i i i i

R q

q R r

= +( ) + +( ) +

+( ) − +

cos

cos22 3−

φ i ;

η δ3 ( ) − funkcija, priklausanti nuo žiedo poslinkio q2 :

η δδδ3

1 00 0

( ) = >≤

, ;, .

Trinties jėgų tarp riedėjimo kūnų ir žiedo lygtis užrašomos taip:

F F f v

F F f

Ty i tr i i in

NZ

Ty i tr

23 2 23 23 3 31

23 2 23

= [ ] +( )

= −

=∑ sign sin ,α ψ

ssign v i i in

NZ23 3 3

1[ ] +( )

=

∑ cos ;α ψ

čia v i23 − rutuliuko linijinis sukimosi greitis.

112

Rutuliuko linijinis sukimosi greitis lygus:

vR q

qii i x y i i

z i i23

2 3 3 2 2 3 3

2 3 3=

+( ) − +( ) ++( )

α ψ ϕ α ψ

α ψ

sin

cos

−

+ −

q rR i i i i i3 3 3 3 3

32

ψπ

ϕ ϕ .

Sukimo momentų dėl trinties tarp vidinio žiedo riedėjimo takelio ir rutuliukų:

M F f v R

M

M

Tx i tr i i ii

NZ

Ty

Tz

23 2 23 23 2 3 31

23

23

0

= − [ ]( ) +( )

=

=

=∑ sign α ψ

;

00.


M q F q q t2 2 2 2 2[ ] = ( ) , , ;čia M2[ ] − masių matrica;

M

mm

II

I

x

y

z

2

2

2

2

2

2

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

0 0 0 0

[ ] =

q2 − apibendrintų poslinkių vektorius;

q q qy z x y zT

2 2 2 2 2 2 = , , , ,ϕ ϕ ϕ ;

F q q t2 2 2, ,( ) − apibendrintas jėgų vektorius

F q q t

F F

m g F FM MM M

y Ty

z Tz

x Tx

y

2 2 2

23 23

2 23 23

23 23

23 23

, ,( ) =

+

− + +

+

+ TTy

z TzM M23 23+

.

113

riedėjimo rutuliukų matematinis modelis

Rutuliuko apibendrinta koordinatė yra tokia: q qi

TRi i i3 3 3 3 = , ,ψ ϕ .

Kinetinė rutuliuko judėjimo energija aprašoma taip:

T m q q Ii i R i R i i R i i= + ( )( ) +12

123 3

23 3

23 3

2 ψ ϕ .

Taikoma antros eilės Lagranžo diferencialinė lygtis. Suintegravus gaunama:

ddt

Tq

ddt

m q m qi

R ii R i i R i

∂∂

=

=

33 3 3 3

12

2 ;

ddt

T ddt

m q m qi

ii R i i i R i i

∂∂

=

= +

ψψ ψ

33 3

23 3 3

23

12

2 2qq qR i R i i3 3 3 ψ( );

ddt

T ddt

I Ii

iR i i Ri i i

∂∂

=

=

ϕϕ ϕ

33 3 3 3

12

2 ;

∂∂

=Tq

m qi

R ii R i i

33 3 3

2ψ ;

∂∂

=Tiiψ3

0;

∂∂

=Tiiϕ3

0

ddt

Tq

Tq

m q m q

mi

R i

i

R i

i R i i R i i

i∂∂

−

∂∂

=

−

3 3

3 3 3 3 32

3

ψ

qq m q qI

R i i i i i i

R i i

32

3 3 3 3

3 3

2 ψ ψ

ϕ

+ ( )

.

Linearizavus rutuliuko matematinis modelis gali būti užrašytas taip:

M q F q q ti i i i3 3 3 3 3[ ] = ( ) , , ;

čia M i3[ ] − apibendrinta masių matrica;q i3 − apibendrintas pagreičių vektorius;F i3 − apibendrintas jėgų vektorius;

114

M

m

m qI

i

i

i R i

R i

3

3

3 32

3

0 0

0 00 0

[ ] = ;

qq

i

R i

i

i

3

3

3

3

=

ψ

ϕ;

F q q t F F F Fi i i i iK i aero i3 3 3 3 0 3 3 34, , ;( ) = + + + čia F i3 0 − apibendrintas jėgų, atsirandančių dėl rutuliukų judėjimo, vektorius;

Fm qm q qi

i R i i

i R i R i i3 0

3 3 32

3 3 3 320

= − ( )

ψ

ψ ;

F iK3 − apibendrintas jėgų, atsirandančių dėl kontakto tarp rutuliukų ir žiedų riedėjimo takelių, vektorius;

F

F F

F q r F q riK

i i

Ti R i i i Ti R i3

1 2

13 3 3 3 23 32 =

− +

+ −

+ −

πϕ 33 3

13 3 3 23 3 3

32

232

i i

Ti i i Ti i iF r F r

πϕ

πϕ

πϕ

−

−

− −

;

čia F F f vTi i tr i13 1 13 13= [ ]sign ; F F f vTi i tr i23 2 23 23= [ ]sign – trinties jėgos;

F i aero3 − apibendrintas jėgų, atsirandančių dėl aerodinaminio pasipriešinimo rutuliukų judėjimui, vektorius;

F

C S q q

C S qi aero

oro Ri R i R i

oro Ri R i i3

32

3

3 3

1212 =

− ( )

− (

ρ

ρ ψ

sign

)) ( )

2 sign ψ3 3

0

i R iq ;

115

čia C − aerodinaminis formos koeficientas;C = 0 5, rutuliukui;ρoro − oro tankis;

ρorokgm

=1 23 3, ;

SRi − rutuliuko skerspjūvio plotas;

S rRi i= ( )∫12 3

2

0

2ϕ

π

;

F i34 − apibendrintas jėgų dėl trinties tarp rutuliukų ir separatoriaus vektorius;

FF FF F q

F r Fi

iLT iRT

iR iL R i

iLT i i

34

34 34

34 34 3

34 3 3

=−

−( )− −( )( ) +π ϕ 334 3 3iRT i ir −( )( )

ϕ

;

čia F F f v

F F f viRT iR tr iR

iLT iL tr iL

34 34 34 34

34 34 34 34

= ( )= ( )

sign

sign

− trinties jėgos tarp rutuliukų ir

separatoriaus;

F K

F KiR iR R

iL iL L

34 34 33 2

3 3

34 34 33 2

3 3

= ( )= ( )

−

δ η δ

δ η δ

/

/

kontaktinės jėgos tarp rutuliukų ir

separatoriaus;čiav r q q qiR i i i R i y i i z i i34 3 3 3 3 4 3 3 4 3 3= −( ) + − +( ) + +(ϕ ϕ α ψ α ψ cos sin ))( );

v r q

q qiL i i i R i

y i i z i

34 3 3 3 3

4 3 3 4 3 3

= − −( ) + −

+( ) + +

π ϕ ϕ

α ψ α ψ

cos sin ii( )( ).separatoriaus matematinis modelis

Siekiant sudaryti separatoriaus matematinį modelį būtina atkreipti dėmesį į daugelį faktorių: rutuliukų ir separatorių paviršiai turi nelygumų, todėl būtina įvertinti rutuliuko spindulio kitimą r i3 centro

116

c i3 atžvilgiu; rutuliukai sukasi apie savo ašį daug greičiau negu apie guolio centrinę ašį kartu su separatoriumi, todėl būtina atsekti pradinės padėties taško ( p i3 ) padėtį separatoriaus taško ( p i4 ) atžvilgiu, velenui pasisukus; rutuliukai gali kontaktuoti su separatoriumi kaip iš dešinės (R), taip ir iš kairės (L). Rutuliuko padėčiai nusakyti braižomi rutuliuko bei separatoriaus padėtis rodantys brėžiniai (3.17 pav.).

3.17 pav. Guolio elementų padėtis: a – rutuliuko; b – seperatoriaus

Kampai γ γ γ3 3 4i ip i; ; lygūs:

γ α ψπ

3 3 3 2i i i= +( ) − ; γ βπ

3 3 3 2ip i p= −, ; γ α ψπ

4 4 4 2i i i= +( ) − .

Rutuliuko ir separatoriaus kontakto variantai parodyti 3,18 paveiksle.

3.18 pav. Rutuliuko ir separatoriaus kontakto variantai: a) kontakto nėra; b) kontaktas dešinėje; c) kontaktas kairėje

117

Rutuliuko pradinio taško padėtis rutuliuko centro atžvilgiu apibendrintai užrašoma taip:

R A r A rc p i c i i ip c i p3 3 3 3 3 3 3 3 3 = ( ) + ( )

( )γ γ

, ;

čia A i3 3γ( ) , A ip3 3γ( )

– koordinačių matricos:

A i i i

i i

3 3 3 3

3 3

1 0 000

γ γ γγ γ

( ) = −cos sinsin cos

;

A i ip ip ip

ip ip

3 3 3 3

3 3

1 0 00

0

γ γ γ

γ γ( )

= −cos sin

sin cos

;

rc i3 , rc i p3 3, – apibendrinti poslinkių vektoriai:

r

qc i

R i

3

3

00=

; r

rc i p

i

3 3

3

00, =

.

Rutuliuko pradinio taško padėtis separatoriaus centro atžvilgiu apibendrintai užrašoma taip:

R q A r rc p i c i c i p4 3 4 4 4 4 4 3 = + ( ) +( )

γ , ;

čia A i4 4γ( ) – koordinačių matrica;

A i i i

i i

4 4 4 4

4 4

1 0 000

γ γ γγ γ

( ) = −cos sinsin cos

;

q4 , rc i4 ,

rc i p4 3, – apibendrinti poslinkių vektoriai:

q q

qy

z

4 4

4

0=

;

r q

qc i y

z

4 4

4

0=

;

118

Siekiant nustatyti vektorių rc i p4 3, sudaroma lygybė

R Rc p c p3 3 4 3= ir iš jos išreiškiamas ieškomas dydis:

R Rc p c p3 3 4 3=

A r A r q A ri c i i ip c i p i3 3 3 3 3 3 3 4 4 4γ γ γ( ) + ( )

( ) = + ( )

, cc i c i pr4 4 3+( )

, ;

Vektorius rc i p4 3, aprašo rutuliuko taško p i3 padėtį separatoriaus

koordinatėse:

r AA r A r

c i p iT i i c i i ip c i

4 3 4 43 3 3 3 3 3

,,

= ( ) ( ) + ( )

γ

γ γ pp

i c iq A r

3

4 4 4 4

( ) −− ( )

γ;

Jėgos, atsirandančios dėl kontakto tarp rutuliukų ir separatoriaus, užrašomos taip:

F KKR iR iR43 43 3 3 3= ( )δ η δ ; – kontaktas dešinėje;F KKL iL iL43 43 3 3 3= ( )δ η δ ; – kontaktas kairėje.Rutuliuko penetracija į separatoriaus žiedą užrašoma taip: (nu

braukti po formulių, kur pažymėta, kabliataškį)

δ34 3 4 4

4 3 4 4 4 3 4 4

0iR

c i p i p

c i p i p c i p i p

y r

r r y r=

≤

− >

,

,, ,

, , , ,

kai

kai

– penetracija deši

nėje;

δ34 3 4 4

4 3 4 4 4 3 4

0iL

c i p i p

c i p i p c i p i p

y r

r r y r=

≥ −

− − − −

,

,, ,

, , , ,

kai

kai 44 0>

– penetracija

kairėje.Apibendrintai kontaktinių jėgų vektorius gali būti užrašytas taip:

F FK Kii

NZ43 43

1=

=∑ ;

F F F

FKi iKR i iKL i

iKR i

43 4 4 4 4 4 4

4 4 4

0= +( ) − +( )

− +( )sin sin

cos

α ψ α ψ

α ψ ++ +( )

F iKL i4 4 4cos α ψ

;

čia

F Ki43 − i-tojo rutuliuko kontaktinių jėgų vektorius itajame separatoriaus žiede;

119

F FiKR iKL4 4; − i-tojo rutuliuko kontaktinės jėgos itajame separatoriaus žiede, esant kontaktui iš dešinės ir iš kairės atitinkamai;

F F F FiKR iR iKL iL4 34 4 34= =; .Trinties jėgos tarp rutuliuko ir separatoriaus užrašomos taip: F F f viRT iKR tr i iR43 4 34 34= − ⋅ ⋅ ( ) sign ;

F F f viLT iKL tr i iL43 4 34 34= − ⋅ ⋅ ( ) sign ; (pataisytikabliataškį į tašką)Trinties jėgų vektorius apibendrintai užrašomas taip:

F F F

F F

T iRT iLT ii

NZ

iRT iLT

43 43 43 4 41

43 43

0

= − +( ) +( )( )

− +( )=∑ cos α ψ

ssin α ψ4 41

ii

NZ+( )( )

=∑

.

Jėgų momentų, atsirandančių dėl kontaktinių jėgų, vektorius apibendrintai atrodo taip:

M

R F F

K

iKL iKRi

NZ

43

4 4 41

00

=

−( )( )

=∑

.

Jėgų momentų, atsirandančių dėl trinties jėgų, vektorius apibendrintai atrodo taip:

M

F r F r

T

iRT i p iLT i pi

NZ

43

43 4 4 43 4 41

0

00

=

⋅ =( ) − ⋅ =( )( )

=∑ , ,ϕ ϕ π

.

Pasinaudojus antruoju Niutono dėsniu separatoriaus matematinis modelis užrašomas taip:

120

m q F F F

m

y iKR i iKL ii

NZTy4 4 4 4 4 4 4 4

143

4

= +( ) − +( )( ) +=∑ sin sin ;α ψ α ψ

q F F F

I

z iKR i iKL ii

NZTz4 4 4 4 4 4 4

143

4

= − +( ) + +( )( ) +=∑ cos cos ;α ψ α ψ

ψ4 43 43= +

M MK T .


M q F q q ti i i i i4 4 4 4 4[ ] = ( ) , , ;

čia M i4[ ] − apibendrinta masių matrica;q i4 − apibendrintas pagreičių vektorius;

F q q ti i i4 4 4, ,( ) − apibendrintas jėgų vektorius;

MI

mm

i4

4

4

4

0 00 00 0

[ ] = ;

q q

qi y

z

4

4

4

4

=

ψ;

F q q t

M M

F Fi i i

K T

iKR i iKL i4 4 4

43 43

4 4 4 4 4, ,

.

sin sin( ) =+

+( ) − +α ψ α ψ441

43

4 4 4 4 4 41

( )( ) +

− +( ) + +( )( )=

=

∑i

NZTy

iKR i iKL ii

N

F

F Fcos cosα ψ α ψZZ

TzF∑ +

43

.

Riedėjimo guolio atskirų elementų virpesiai, priklausomai nuo guolio pažaidų ir apkrovos, parodyti 3.19–3.22 pav.

Riedėjimo guolio horizontalių ir vertikalių greičių spektrai pateikti 3.19–3.20 pav.

121

3.19 pav. Riedėjimo elemento poslinkiai be riedėjimo guolio pažaidų, F=0: a) veleno radialiniai poslinkiai; b) riedėjimo elementų poslinkiai;

c) 1-ojo riedėjimo elemento poslinkiai

122

3.20 pav. Poslinkiai riedėjimo elementui sukantis ir nesant žiedo pažaidų, F=100 N: a) veleno radialiniai poslinkiai; b) riedėjimo elementų poslinkiai;

c) 1-ojo riedėjimo elemento poslinkiai

123

3.21 pav. Poslinkiai riedėjimo elementui sukantis ir esant vidinio žiedo pažaidų 100μm, F=0 N: a) veleno radialiniai poslinkiai;

b) riedėjimo elementų poslinkiai; c) 1-ojo riedėjimo elemento poslinkiai

124

3.22 pav. Poslinkiai riedėjimo elementui sukantis ir esant iššorinio žiedo pažaidų 100μm, F=0 N: a) veleno radialiniai poslinkiai;

b) riedėjimo elementų poslinkiai; c) 1-ojo riedėjimo elemento poslinkiai

125

3.23. pav. Greičių amplitudžių spektras horizontalia kryptimi

3.24 pav. Greičių vertikalia kryptimiamplitudžių spektras

liTeraTūraAugustaitis, V. 2000. Mechaninių virpesių pagrindai: vadovėlis aukštosioms

mokykloms. Vilnius: Žiburio leidykla.Barzdaitis, V.; Činikas, G. 1998. Rotorinių mašinų monitoringas ir diagnos-

tika: monografija. Kaunas: Technologija. Barzdaitis, V.; Didžiokas, R.; Mažeika, P.; Žebelys, K.; Žemaitis, V.

Riedėjimo guolių diagnostika: metodų vertinimas ir rezultatai. Jūra ir aplinka. 2003, 2(9).

Bearing failures and their causes. 1994. Prieiga per internetą: http://www.skf.com/files/099926.pdf.

http://www.skf.com/files/099926.pdf

http://www.skf.com/files/099926.pdf

126

Changqing, B.; Qingyu, X. 2006. Dynamic model of ball bearings with internal clearance and waviness. Journal of Sound and Vibration. 294: 23–48.

Chen, C. H.; Wang, K. W. 1994. An integrated approach toward the dynamic analysis of high-speed spindles. II: dynamics under moving end load. Journal of Vibration and Acoustics Transactions of the American Society of Mechanical Engineers. 116 (4): 514–522.

Čermelj, P.; Boltemar, M. 2004. An indirect approach to investigating the dynamics of a structure containing ball bearings. Journal of Sound and Vibration. 276: 401–417.

El Saeidy, F. M. A. 1998. Finite element modeling of a rotor shaft rolling bearings system with consideration of bearing nonlinearities. Journal of Vibration and Control. 4 (5): 541–602.

Harsha, S. P.; Sandeep, K.; Prakash, R. 2003. The effect of speed of balanced rotor on nonlinear vibrations associated with ball bearings. International Journal of Mechanical Science. 45: 725–740.

Jang, G. H.; Jeong, S. W. 2002. Nonlinear excitation model of ball bearing waviness in a rigid rotor supported by two or more ball bearings considering five degrees of freedom, American Society of Mechanical Engineers, Journal of Tribology. 124: 82–90.

Jang, G.; Jeong, S. W. 2004. Vibration analysis of a rotating system due to the effect of ball bearing waviness. Journal of Sound and Vibration. 269: 709–726.

Kim, Y. H.; Lim, B. D.; Cheong, W. S. 1991. Fault detection in a ball bearing system using a moving window. Mechanical systems and signal process-ing. 5(6): 461–473.

Kiškienė, D.; Janutėnienė, J.; Marcinkevičiūtė, V.; Mažeika, P. Defektų įtakos riedėjimo guoliams tyrimas. Technologijos mokslo darbai Vakarų Lietuvoje. 2006, V t. 44–49 p.

Lim, T. C.; Singh, R. 1990. Vibration transmission through rolling element bearings, part I: Bearing stiffness formulation. Journal of Sound and Vibration. 139(2): 179–199.

Marčenko, R. 2009. Riedėjimo guolių diagnostikos įrenginio tyrimas ir val-dymas: magistro darbas. Klaipėdos universitetas.

Nataraj, C. S.; Harsha, P. The effect of bearing cage run-out on the nonlinear dynamics of a rotating shaft. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. Vol. 13, Issue 4.

Nataraj, C.; Nelson, H. D. 1989. Periodic oscillations in rotor dynamic systems with nonlinear supports. ASME, J Vib Acoust Stress Reliab Design. 11: 187–93.

127

Patil, M. S.; Mathew, J.; Kumar, P. K. R. Experimental investigations on the influence or defect size on ball bearing vibration using wavelet transform. Proceedings of the International Conference on Aerospace Science and Technology. 26–28 June, 2008, Bangaloire, India.

Performance or REBAM® during ball bearing failures. Research test results. 1992. Part 1. Orbit: Bently Nevada, September. Vol. 13, No 3. 31–34 p.

Performance or REBAM® during ball bearing failures. Research test results. 1992. Part 2. Orbit: Bently Nevada, December. Vol. 13, No 4. 22–26 p.

Rafsanjania, A.; Abbasiona, S.; Farshidianfarb, A.; Moeenfard, H. 2009. Nonlinear dynamic modeling of surface defects in rolling element bearing systems. Journal of Sound and Vibration. 319: 1150–1174.

Sawalhi, N. 2007. Diagnostics, prognostics and fault simulation for rolling element bearings: PhD thesis. University of New South Wales. School of Mechanical and Manufacturing Engineering.

Tiwari, M.; Gupta, K.; Prakash, O. 2000. Dynamic Response Of An Unbalanced Rotor Supported On Ball Bearings. Journal of Sound and Vibration. 238(5): 757–779.

Wensing, J. A. 1998. On the dynamics of ball bearings: PhD thesis. University of Twente, Enschede, The Netherlands.

Wijnanty, H.; Wensing, J. A.; Van Nijen, G. C. 1999. The Influence Of Lubrication On The Dynamic Behaviour Of Ball Bearings. Journal of Sound and Vibration. 222(4): 579–596.

Žiliukas, P.; Barauskas, R. 2001. Mechaniniai virpesiai: vadovėlis. Kaunas: Technologija.

Бейзельман, Р. Д.; Цыпкин, Б. В.; Перель, Л. Я. 1975. Подшипники каче-ния: cправочник. 6-е изд., испр. и доп. М.: Машиностроение.

Леонтьев, М. К.; Карасев, В. А.; Потапова, О. Ю.; Дегтярев, С. А. 2007. Динамика ротора в подшипниках качения. УДК 621.822.

Ткачев, Д. А. Один подход к исследованию вибраций подшипника каче-ния. УДК 621.4.

http://unsworks.unsw.edu.au/vital/access/manager/Repository?expert=publisher%3a%22Awarded+by%3aUniversity+of+New+South+Wales.+School+of+Mechanical+and+Manufacturing+Engineering%22

http://unsworks.unsw.edu.au/vital/access/manager/Repository?expert=publisher%3a%22Awarded+by%3aUniversity+of+New+South+Wales.+School+of+Mechanical+and+Manufacturing+Engineering%22

transporto maŠinŲ transmisijŲ...

Documents