TRANSPORTNE POJAVE U METALIMA

• Danas ćemo pokazati da model slobodnih elektrona može objasniti električnu vodljivost tj. Ohmov zakon (Drude-ov i Sommerfeldov model), toplotnu vodljivost (Drude-ov i Sommerfeldov model) i Hall-ov efekat. Sve ove pojave jednim imenom zovemo transportne pojave.

• Do transportnih pojava dolazi u prostorno nehomogenim sistemima:tamo gdje postoji temperaturni gradijent, i/ili nehomogena gustoća čestica u prostoru i/ili vanjsko polje.

• Mi ćemo razmotriti slijedeće transportne pojave u metalima:

• Električna vodljivost• Toplotna vodljivost• Hall efekat

Uvod

• Električna vodljivost- jedna od najvažnijih osobina metala- dobri vodiči struje

• Drude 1900. godine modelom slobodnih elektrona izveo Ohmov zakon

j Eσ=

Gustoća el. strujestruje Električno poljeElektrična provodnost

• Gdje je faktor proporcionalnosti (električna provodnost):

2n e

m

τσ =

n-koncentracija elektrona (broj elektrona u jedinici volumena) τ- vrijeme relaksacije (prosječno vrijeme izmeñu dva meñusobna sudara)

• Analogna ovoj relaciji je i relecija koja opisuje proticanje toplotne struje. Ukoliko u metalu postoji temperaturni gradijent ∇T, gustoća struje biće:

gdje je koeficijent proporcionalnosti κ toplotna provodnost metala

qj Tκ= − ∇

Smjer struje je suprotan smjeru temperaturnog gradijenta

• Wiedeman i Franz su 1853. godine zaključili da je u metalima električna vodljivost proporcionalna toplinskoj vodljivosti. Dobri vodiči električne struje su ujedno i dobri vodiči toplotne struje.

• Lorentz je 1881. godine zaključio da je omjer približno konstantan za niz metala i zove se Lorentzov broj

• Sommerfeld je 1928. godine na električnu i toplotnu vodljivost primijenio F-D statistiku.

• Dalji korak u razvoju električne vodljivosti zahvaljujemo Blochu. Proučavajući meñudjelovanje elektrona sa fononima 1928. godine je izveo formulu koja opisuje zavisnost el. otpora metala od temeprature

Metali imaju veliku električnu i toplinsku vodljivost

Wiedeman-Franz-ov zakon κ/σ∼TLorentzov broj L= κ/σT= const.Ne zavisi od vrste metala

• Električna vodljivost

• Razmotrićemo Drudeov i Sommerfeldov model slobodnog elektronskog gasa. Oba

daju Ohmov zakon

Pretpostavke Drude-ove teorije

Elektroni se tretiraju kao klasične čestice- kreću se po pravim linijama i zanemaruju se elektron-elektron i elektron-jon interakcije

Elektroni se kreću slobodno izmeñu sudara sa centrima raspršenja (jezgrama) isudari elektrona sa jezgrama su kao u molekularno-kinetičkoj teoriji- momentalnipri čemu se mijenja brzina elektrona

Prosječno vrijeme τ izmeñu dva uzastopna sudara se zove vrijeme relaksacije.

Elektroni nakon sudara brzina elektrona je proizvoljna i nije povezana sa brzinom prijesudara

Ohmov zakon

Otpor žice R zavisi od dimenzija žiceZgodnije je izraziti Ohmov zakon preko veličina koje ne zavise od dimenzijauzorka.Zato ćemo definisati provodnost σ

j Eσ=

• Gustoća struje je vektor paralelan kretanju naboja, a njen intenzitet je jednak naboju koji u jedinici vremena prolazi kroz jediničnu površinu okomitu na kretanje naboja.

• Sa slike vidimo da je

• Pad potencijala duž žice je:

• Pa imamo

• Prema tome je

• Veličina zove se specifični otpor ili otpornost. Za razliku od otpora R, ρ je svojstvo materijala jer ne zavisi od oblika i veličine

materijala (uzorka).

• Sad ćemo koristeći Drude-ov model izraziti σ preko mikroskopskih svojstava. U tom klasičnom modelu za opisivanje voljdivosti bitni su sudari elektrona sa jonima.

Drudeova teorija vodljivosti

• Razmotrimo primjenu Drude-ovog modela na električnu vodljivost (dobićemo izraz za Ohmov zakon)

• Električna vodljivost• Kretanje elektrona dok na njih ne djeluje polje

• Pretpostavljamo da su im kinetičke energije (brzine) iste. Brzine su nasumično orjentisane u svim smjerovima.

• Dok ne djeluju vanjske sile svi smjerovi kretanja su ravnopravni pa je vektorski zbir brzina elektronskog mnoštva jednak n uli .

• Kad metal stavimo u konstantno vanjsko elektri čno polje mijenjaju se brzine elektrona i dolazi do usmjeravanja elektrona. Promjena brzine elektrona odreñena je jednačinom kretanja:

dvm eE

dt= −

• Integriranjem od t1 do t2 dobivamo:

• gdje smo uveli oznake:

( ) ( ) ( )2 1 2 1m v t v t eE t t

eu E t

m

− = − −

= − ∆

( ) ( )2 1

2 1

u v t v t

t t t

= −∆ = −

• Ukupna brzina elektrona jednaka je zbiru brzine kojom se elektron kreće izvan vanjskog polja i dodatne brzine proizvedene poljem:

'v v u= +

Brzina je nasumična, a brzina proizvedena poljem je usmjerena. Nazivamoje brzina zanošenja (brzina drifta). Smjer joj je odreñen smjerom električnog polja.

v u

Kad bi na elektrone djelovala samo električna sila, oni bi sve više ubrzavali pa bielektrična vodljivost neograničeno rasla.Ovo se ne dešava jer po Drudeovoj klasičnoj teoriji dolazi do sudara elektrona sa jonima. Joni tj. kristalna rešetka zaustavljaju elektrone (javlja se el. otpor). U kvantnoj teoriji objašnjenje otpora je malo drugačije- otpor nastaje usljed raspršenja elektrona na fononima i defektima kristalne rešetke pri čemu oni gube dodatak brzine koji je nastao uticajem vanjskog polja.

• Nakon sudara, električno polje ubrzava elektron sve dok se on ne sudari ponovo. Pretpostavićemo da je vrijeme proteklo od posljednejg sudara t. Kad se sudari, elektron odlazi u proizvoljnom smjeru i prosječna brzina drifta elektrona će biti

eu E

mτ= −

eEt

m−

Pošto je prosječno vrijeme izmeñu dva sudara τ prosječna brzina drifta će biti

• Definisaćemo pokretljivost (mobilnost) elektrona µ kao iznos prosječne vrijednosti brzine drifta u jediničnom polju:

• Uvrštavanjem izraza za prosječnu brzinu dobivamo:

u

Eµ =

e

m

τµ =

• Pošto izvan električnog polja nema usmjerenog kretanja elektrona, gustoću struje odreñuje srednja vrijednost brzine drifta. Gustoća električne struje je jednaka proizvodu prosječne brzine drifta sa gustoćom elektronskog naboja (-en):

• Uvrštavajući srednju brzinu drifta dobivamo Ohmov zakon :

j enu= −

2e nej en E E E

m m

ττ σ= = =

2ne

m

τσ =

neσ µ=Izraz za električnu provodnost možemo izraziti i preko pokretljivosti elektrona:

Pogledajmo sad koje vrijednosti za nasumi čne brzine elektrona (dakle kad nemamoelektričnog polja). se dobiju po klasičnoj teoriji slobodnog elektronskog gasa.

Tada bi nasumična brzina elektrona bila jednaka prosječnoj termičkoj brzini.

3 Bk Tv

m=

Za T=300 K dobiva se v=105 m/s

• Ova procjena daje premalu vrijednost. Proučavajući Sommerfeldov

model dobili smo v reda veličine 106 m/s jer za elektrone vrijedi F-D statistika, a ne M-B kao u Drude-ovoj teoriji. Iako se temelji na klasičnoj statistici Drude-ov model uspio je objasniti Ohmov zakon

• Sad ćemo procijeniti brzinu drifta elektrona. Neka se metal nalazi u polju E= 1V/m. Uzećemo n=5*1028 m-3 i σ=107 Ω-1m-1 kao tipične vrijednosti za metale. Odatle dobivamo:

• Brzina zanošenja elektrona u metalu je puno manja od nasumične brzine izvan djelovanja polja.

• U svim procesima gdje ne razmatramo transport električnog naboja približno možemo napisati da je iznos elektronske brzine jednak iznosu nasumične brzine:

v’ ≈v

310 /u E m sen

σ −= ≈

• Srednji slobodni put definišemo kao udaljenost koju elektron preñe izmeñu dva uzastopna raspršenja:

l=τv

• On je prema Drude-ovom modelu jednak za sve elektrone

• Izračunajmo vrijeme relaksacije i srednji slobodni put metala uzimajući kao i ranije tipične vrijednosti n=5*1028 m-3 i σ=107 Ω-1m-1

• v≈105 m/s – po Drudeovoj teoriji => l=10 A- reda veličine meñuatomskih udaljenosti, ali to je netačno (l je puno veće)

• v≈106 m/s – po Sommerfeldovoj teoriji pa dobivamo

• l≈10-8 m- što je OK, a sa sniženjem temperature se još može povećati

142

10m

sne

στ −= ≈

• Srednji slobodni put na sobnim temperaturama je za red (ili dva reda) veličine veći od meñuatomskog rastojanja u kristalu. Na niskim temperaturama može postati još znatno veći jer se otpor metala smanjuje sa temperaturom.

• Klasična fizika ne može objasniti zašto je srednji slobodni put puno veći od meñuatomskih rastojanja. To je objasnila kvantna teorija

• Pogledajmo kako bi prema Drude-ovoj teoriji električna otpornost metala zavisila od temperature. Izrazimo električnu provodnost preko srednjeg slobodnog puta:

2 2ne ne l

m mv

τσ = =

• Pošto, prema klasičnoj fizici srednji slobodni put zavisi samo od geometrijskih osobina kristalne rešetke, temperaturna zavisnost električne provodnosti bila bi odreñena elektronskom brzinom:

1

v T

Tσ

∼

∼

Dakle prema Drude-ovoj teoriji:

1Tρ

σ= ∼ exp Tρ ∼

Nije u skladu sa eksperimentom, dakle Drude-ova teorija ne može da objasnizavisnost el. otpornosti od T u metalu

Sommerfeld-ova teorija električne vodljivosti

• Pogledajmo sad da ćemo dobiti isti rezultat uvažavajući kvantnu statistiku (Sommerfeldov model)

Fermi sfera u ravnoteži ( odsustvu polaj) Pomjeranje Fermi sfere u prisustvu polja

eu E

mτ= −

Pod djelovanjem polja elektroni dobivaju

brzinu drifta i Fermi sfera

se pomjera ulijevo. Poništava se većinaelektronskih parova, osim onih uosjenčenom području

Nema struje jer za svaki elektronSa brzinom v postoji elektron sa brzinom-v tako da se svi parovi poništavaju

• Elektroni u osjenčenom području uzrokuju brzinu drifta. Malo pomjeranje Fermi sfere nastaje zbog malih brzina drifta koja je kako smo ranije pokazali puno manja od nasumične brzine elektrona.

• Možemo procijeniti gustoću struje:• Impuls slobodnog elektrona je:

• Kad djelujemo el. poljem sila koja djeluje na elektron je:

p k=ℏ

dp dkF eE

dt dt= = = −

ℏ

• U trenutku t=0, primjenimo polje na elektronski gas unutar Fermi sfere. U kasnijem trenutku ∆t sfera i njen centar će biti pomjereni za:

• Zbog sudara elektrona sa fononima, primjesama i nesavršenostima rešetke sfera može da se održava u stacionarnom stanju u el. polju. Ako je prosječno vrijeme izmeñu sudara τ, pomjeranje Fermijeve sfere u stacionarnom stanju je:

tk F

∆∆ =

ℏ

k Fτ∆ =

ℏ

• To pomjeranje daje svakom elektronu dodatni impuls i dodatnu brzinu (brzinu drifta):

• Ukoliko imamo n elektrona po jedinici zapremine, svaki sa naelektrisanjem q=-e, tada je gustoća električne struje jednaka:

p k m v F

F ev E

m m

ττ τ

= ∆ = ∆ =

∆ = = −

ℏ

2nej nq v E E

m

τ σ= ∆ = =

Ohmov zakon

• Dobili smo isti rezultat i u Drude-ovom i u Sommerfeldovom modelu

• Iako je formula ista, ovdje je slika vodljivosti potpuno drugačija

• U klasi čnoj teoriji, pretpostavili smo da da struji doprino se jednako svi elektroni, od kojih se svaki kre će malom brzinom drifta. U kvantno-mehani čkoj slici, struji doprinosi samo mali broj elektron a koji se kreću približno fermijevom brzinom. Samo elektroni u bl izini Fermijeve površine doprinose transportnim osobinama.

• Pošto samo elektroni sa Fermi površine doprinose vodljivosti,možemo definisati srednji slobodni put elektrona kao

l=vFτ• Na sobnoj temperaturi ovaj broj je jednak 10-8 m.

Procesi raspršenja elektrona

• Ukoliko bismo imali idealnu kristalnu rešetku, dobili bismo beskonačno veliku vodljivost, ali znamo da to nije slučaj

• Konačna vodljivost mora dolaziti zbog odstupanja rešetke od idealne periodičnosti. To se javlja usljed postojanja

a) termičkih vibracija rešetkeb) prisustva defekata ili primjesa

• Da bismo ispitali njihov uticaj pogledaćemo temperaturnu zavisnost električne otpornosti ρ=1/σ

Normalizirana otpornost Na na niskim (a) i visokim b) temperaturama

Na 0 K otpornost ima malu konstantnu vrijednost zatim počinje da se povećava, u početku lagano, a zatim linearno raste sa T. Linearan rast otpornosti sa temperaturom nastavlja se do tačke topljenja.Ovo ponašanje slijedi većina metala i područje sobne temperature je u tomlinearnom dijeli ρ ∼ρ ∼ρ ∼ρ ∼T

• Pretpostavićemo da su vjerovatnosti raspršenja na fononima i na rezidualnim primjesama kristalne rešetke nezavisne. Ukupna vjerovatnost raspršenja je:

f rw w w= +Vjerovatnost raspršenja na fononima

Vjerovatnost raspršenja na rezidualnim nepravilnostima

Vrijeme relaksacije obrnuto je proporcionalno sa ovom vjerovatnošću pa slijedi:

1 1 1

f rτ τ τ= +

• Ranije smo dobili da je:

• Pa slijedi:

2ne

m

τσ =

2 2

1 1 1

f r

f rf r

m m

ne ne

σ σ σ

ρ ρ ρτ τ

= +

= + = + Matthiessen-ovo pravilo

Postoje dva različita uzroka raspršenja

• ρr koje predstavlja otpornost usljed raspršenja na primjesama ne zavisi od temperature, a ρf usljed raspršenja na fononima zavisi od temperature

• Dakle, otpornost metala jednaka je sumi temperaturno zavisnog člana ρf i člana ρr koji ne zavisi od T.

• Na jako niskim temperaturama raspršenje na fononima je zanemarivo jer su amplitude oscilovanja jako male (što smo ranije pokazali). Tada član ρrpostaje dominantan i on je jednak otpornosti na apsolutnoj nuli. Zovemo ga rezidualni otpor .

• Na sobnim temperaturama otpornost uglavnom nastaje zbog termičkih pobuñenja kristalne rešetke tj. raspršenja elektrona na fononima. Nekad se ova otpornost zove otpornost rešetke.

• Smanjenjem temperature smanjuje se broj elektronskih raspršenja pa se srednji slobodni put povećava. U nekim metalim može postati približno 106

puta veći od srednjeg meñuatomskog rastojanja.

Toplotna vodljivost metala

• Izvedeno na tabli!

• Pri izvoñenju nismo razlikovali vremena relaksacije za električnu i toplotnu vodljivost. Ta pretpostavka je opravdana na visokim i ekstremno niskim temperaturama.

2

82

31,11 10

2Bk W

LT e K

κσ

− Ω = = = ×

Drude

Sommerfeld

• Drude je dobio izuzetno slaganje sa eksperimentom. Meñutim, bilo je nejasno zašto je to tako jer doprinos elektrona Cv=3/2nkB na sobnoj temperaturi nije nikad zapažen. Drude-ov uspjeh je posljedica grešaka koje se poništavaju