Cambio de 1D a 3D

En clases se estableció el flujo de aceite en un yacimiento no fracturado, originalmente la malla propuestaera como la mostrada en la figura (Aqui va el número de la figura ), sin embargo una vez que se consideraflujo en dirección y para un sistema coordenado x, y y z la malla es ahora como la mostrada en la figura , laecuación diferencial esta dada por:

~r · (⇢o

~µ

o

)± ˜qm,o

= �@(�So

⇢

o

)

@t

(1)

considerando un esquema implícito, donde el medio esta saturado totalmente por aceite y en las tresdirecciones la expresión (Aquí va el número de la expresión anterior) la ecuación puede escribirsecomo:

~r ·✓kb

o

µ

o

⇣~rp

o

� �

o

~rD

⌘◆± q

o,cs

V

b

= �@(�bo

)

@t

(2)

@

@x

�

o

@p

o

@x

� �

o

@D

@x

��+1

i

+@

@y

�

o

@p

o

@y

� �

o

@D

@y

��+1

j

+

@

@z

�

o

@p

o

@z

� �

o

@D

@z

��+1

k

+q

o,cs

V

b

|�+1i,j,k

=@(�b

o

)�+1i

@t

donde�

o

= kb

o

µ

o

para todo i, j, k

Utilizando diferencias centrales para espacio y diferencias regresivas para el tiempo se tiene:Para el flujo en x:

@

@x

�

o

@p

o

@x

� �

o

@D

@x

��+1

i

t

�

�+1o,i+ 1

2

✓p

�+1o,i+1�p

�+1o,i

�x

i+12

� �

o,i+ 12

D

i+1�D

i

�x

i+12

◆��✓

�

�+1o,i� 1

2

✓p

�+1o,i

�p

�+1o,i�1

�x

i� 12

� �

o,i� 12

D

i

�D

i�1

�x

i� 12

◆�◆�

�x

i

y simplificando se tiene:

@

@x

�

o

@p

o

@x

� �

o

@D

@x

��+1

i

t

1

�x

i

(✓�

o

�x

◆�+1

i+ 12

hp

o,i+1 � p

o,i

� (�o

�D)i+ 1

2

i�+1�✓

�

o

�x

◆�+1

i� 12

hp

o,i

� p

o,i�1 � (�o

�D)i� 1

2

i�+1)

sin embargo cuando se tiene flujo horizontal se puede simplificar como:

1

@

@x

�

o

@p

o

@x

� �

o

@D

@x

��+1

i

t

1

�x

i

(✓�

o

�x

◆�+1

i+ 12

[po,i+1 � p

o,i

]�+1 �✓

�

o

�x

◆�+1

i� 12

[po,i

� p

o,i�1]�+1

)

De manera similar para el flujo en y se tiene:

@

@y

�

o

@p

o

@y

� �

o

@D

@y

��+1

j

t

1

�y

j

(✓�

o

�y

◆�+1

j+ 12

[po,j+1 � p

o,j

]�+1 �✓

�

o

�y

◆�+1

j� 12

[po,j

� p

o,j�1]�+1

)

Para el flujo en z el componente gravitacional no puede ser despreciado, por lo que la expresión resultanteesta dada por:

@

@z

�

o

@p

o

@z

� �

o

@D

@z

��+1

i

t

1

�z

k

(✓�

o

�z

◆�+1

k+ 12

hp

o,k+1 � p

o,k

� (�o

�D)k+ 1

2

i�+1�✓

�

o

�k

◆�+1

k� 12

hp

o,k

� p

o,k�1 � (�o

�D)k� 1

2

i�+1)

La aproximación al término de acumulación mediante diferencias regresivas es:

@

@t

(�bo

) =

⇢@

@t

(�bo

)

��+1

i

t 1�t

h(�b

o

)�+1i

� (�bo

)�i

i

Haciendo uso de la definición de transmisibilidad, donde la variable ↵ puede ser x, y, z

T

o,↵+ 12=

✓A

↵

�↵

◆

↵+ 12

�

o,↵+ 12

y

T

o,↵� 12=

✓A

↵

�↵

◆

↵� 12

�

o,↵� 12

y multiplicando por el volumen de roca se obtiene la siguiente ecuación⇣T

�+1o,i+ 1

2[p

o,i+1 � p

o,i

]�+1 � T

�+1o,i� 1

2[p

o,i

� p

o,i�1]�+1⌘+

⇣T

�+1o,j+ 1

2[p

o,j+1 � p

o,j

]�+1 � T

�+1o,j� 1

2[p

o,j

� p

o,j�1]�+1⌘+

2

✓T

�+1o,j+ 1

2

hp

o,j+1 � p

o,j

� (�o

�D)k+ 1

2

i�+1� T

�+1o,j� 1

2

hp

o,j

� p

o,j�1 � (�o

�D)k� 1

2

i�+1◆+

q

�+1o,sc

=V

r,i,j,k

�t

h(�b

o

)�+1i,j,k

� (�bo

)�i

i(3)

donde:i = 1, 2, 3, ..., Imax

j = 1, 2, 3, ..., Y max

k = 1, 2, 3, ...,Kmax

(Ecuaciones de fronteras)

Algoritmo de solución

El sistema no lineal puede resolverse de manera matricial de la forma Ax = b, para un modelo de 3⇥3⇥3nodos se tendría una matriz de 27⇥27 elementos, estos elementos corresponden a todas las interacciones quehay de nodo a nodo como es mostrado en la figura (Aquí va el número de figura), el nodo central será el quetenga mayor número de interacciones.

Figura 1: Interacciones entre los nodos

Para determinar los elementos de la matriz jacobiana se requiere evaluar el término de flujo representadopor la ecuación 3 y obtener las derivadas correspondientes a cada dirección, esto es:

@ (FT )

@p

�+1i

=

8<

:T

�+1o,i+ 1

2

@

�p

�+1i+1 � p

�+1i

�

@p

�+1i

+�p

�+1i+1 � p

�+1i

� @T�+1o,i+ 1

2

@p

�+1i

9=

;�

3

8<

:T

�+1o,i� 1

2

@

�p

�+1i

� p

�+1i�1

�

@p

�+1i

+�p

�+1i

� p

�+1i�1

� @T�+1o,i� 1

2

@p

�+1i

9=

;+

8<

:T

�+1o,j+ 1

2

@

�p

�+1j+1 � p

�+1j

�

@p

�+1j

+�p

�+1j+1 � p

�+1j

� @T�+1o,j+ 1

2

@p

�+1j

9=

;�

8<

:T

�+1o,j� 1

2

@

�p

�+1j

� p

�+1j�1

�

@p

�+1j

+�p

�+1j

� p

�+1j�1

� @T�+1o,j� 1

2

@p

�+1j

9=

;+

8<

:T

�+1o,k+ 1

2

@

�p

�+1k+1 � p

�+1k

� �

�+1k+1 [D

k+1 �D

k

]�

@p

�+1k

+�p

�+1k+1 � p

�+1k

� �

�+1k+1 [D

k+1 �D

k

]� @T�+1

o,k+ 12

@p

�+1k

9=

;�

8<

:T

�+1o,k� 1

2

@

�p

�+1k

� p

�+1k�1 � �

�+1k

[Dk

�D

k�1]�

@p

�+1k

+�p

�+1k

� p

�+1k�1 � �

�+1k

[Dk

�D

k�1]� @T�+1

o,k� 12

@p

�+1k

9=

;

Derivadas de potencial

Para x y y se tiene:

@

�p

�+1i+1 � p

�+1i

�

@p

�+1i

=@

�p

�+1j+1 � p

�+1j

�

@p

�+1j

= �1

@

�p

�+1i

� p

�+1i�1

�

@p

�+1i

=@

�p

�+1j

� p

�+1j�1

�

@p

�+1j

= 1

Para z se tiene:

@

�p

�+1k+1 � p

�+1k

� �

�+1k+1 [D

k+1 �D

k

]�

@p

�+1k

= �1� 1

2[D

k+1 �D

k

]@�

�+1k

@p

�+1i

donde:

�

�+1k+ 1

2=

�

�+1k+1 + �

�+1k

2

@

�p

�+1k

� p

�+1k�1 � �

�+1k

[Dk

�D

k�1]�

@p

�+1k

= 1� 1

2[D

k

�D

k�1]@�

�+1k

@p

�+1i

donde:

�

�+1k� 1

2=

�

�+1k

+ �

�+1k�1

2

4

Derivada de transmisibilidad

La derivada general de transmisibilidad esta dada por:

@T

@p

= (Fg ⇥ k)@

@p

✓1

µB

o

◆

@T

@p

= �(Fg ⇥ k)

µB

0

o

+B

o

µ

0

(µBo

)2

!

@T

@p

=�T

µB

o

⇣µB

0

o

+B

o

µ

0⌘

@T

@p

= �T

✓1

B

o

B

0

o

+1

µ

µ

0◆

Para evaluar las propiedades de la transmisibilidad se tiene que aplicar el concepto de corriente arriba, esdecir, evaluar el potencial y seleccionar las propiedades de la celda en cuestión como es mostrado en la figura2

Figura 2: Concepto de corriente arriba

5