5.65. Encontrar la ecuación del plano que pasa por los puntos (2,-1,-2), (-1,2,-3), (4,1,0).

Solución:

Sabemos que la ecuación del plano esta dado por:

Π: ax + by + cz + d = 0

Donde: (a, b, c); es el vector normal al plano

Sea el plano el siguiente

     

 

= 0P = (x,y,z)-p0 . = d

Y sea p = (4,1, 0); p0 = (2, -1,-2); p2 = (-1,2,-3)

Sea = (2, 2, 2); = (-3, 3, -1)

= 0 ^ = 0

(a,b,c)(2, 2, 2) = 0 ^ (a,b,c)(-3, 3, -1) = 0

2a + 2b +2c = 0 ^ -3a + 3b – c = 0

a + b + c = 0 ^ 3b – 3a = c ………(1)

a + b + 3b – 3a = 0

2b = a

Reemplazando en (1)

3b – 3(2b) = c3b – 6b = c -3b = c

El vector normal quedaría de la siguiente manera

= (2b, b, -3b) = (2, 1, -3)

Hallamos el valor de “d”-p0 . = d

(2, -1,-2)(2,1,-3) = 4 – 1 + 6 = d

d = 9

La ecuación de plano seria, Π: 2x + y - 3z + 9 = 0

5.67. Demostrar que (AxB). (CxD) + (BxC). (AxD) + (CxA). (BxD) = 0

Solución:

Sea: A = (a1,a2,a3) B = (b1,b2,b3) C = (c1,c2,c3)D = (d1,d2,d3)

Paso 1: Hallamos el producto cruz de lo requerido

AxB = = [(a2.b3 – a3.b2),(a3.b1 – a1.b3),(a1.b2 –

a2.b1)]

CxD = = [(c2.d3 – c3.d2),(c3.d1 – c1.d3),(c1.d2 –

c2.d1)]

BxC = = [(b2.c3 – b3.c2),(b3.c1 – b1.c3),(b1.c2 –

b2.c1)]

AxD = = [(a2.d3 – a3.d2),(a3.d1 – a1.d3),(a1.d2 –

a2.d1)]

CxA = = [(c2.a3 – c3.a2),(c3.a1 – c1.a3),(c1.a2 –

c2.a1)]

BxD = = [(b2.d3 – b3.d2),(b3.d1 – b1.d3),(b1.d2 –

b2.d1)]

Paso 2: Hallamos los productos

(AxB).(CxD) = [ (a2.b3 – a3.b2). (c2.d3 – c3.d2) + (a3.b1 – a1.b3). (c3.d1 – c1.d3) + (a1.b2 – a2.b1). (c1.d2 – c2.d1) ]

= [ (a2.b3.c2.d3 - a2.b3.c3.d2 – a3.b2.c2.d3 + a3.b2.c3.d2 + a3.b1.c3.d1 -

- a3.b1.c1.d3 – a1.b3.c3.d1 + a1.b3.c1.d3 + a1.b2.c1.d2 – a1.b2.c2.d1 -

- a2.b1.c1.d2 + a2.b1.c2.d1) ] (BxC).(AxD) = [ (b2.c3 – b3.c2). (a2.d3 – a3.d2) + (b3.c1 – b1.c3). (a3.d1 – a1.d3) +

(b1.c2 – b2.c1). (a1.d2 – a2.d1) ]

= [ (a2.b2.c3.d3 – a3.b2.c3.d2 - a2.b3.c2.d3 + a3.b3.c2.d2 + a3.b3.c1.d1 -

- a1.b3.c1.d3 – a3.b1.c3.d1 + a1.b1.c3.d3 + a1.b1.c2.d2 - a2.b1.c2.d1 -

- a1.b2.c1.d2 + a2.b2.c1.d1) ]

(CxA).(BxD) = [(c2.a3 – c3.a2). (b2.d3 – b3.d2) + (c3.a1 – c1.a3). (b3.d1 – b1.d3) + (c1.a2 – c2.a1). (b1.d2 – b2.d1) ]

= [ (a3.b2.c2.d3 – a3.b3.c2.d2 - a2.b2.c3.d3 + a2.b3.c3.d2 + a1.b3.c3.d1 -

- a1.b1.c3.d3 – a3.b3.c1.d1 + a3.b1.c1.d3 + a2.b1.c1.d2 - a2.b2.c1.d1 -

- a1.b1.c2.d2 + a1.b2.c2.d1) ]

Sumando todo Nos que queda

(AxB).(CxD) + (BxC).(AxD) + (CxA).(BxD) = 0

5.69. Demostrar que (AxB) = A x + x B, Donde A y B Son

Funciones derivables de u.

Solución:

Sea: A = (a1,a2,a3) ^ B = (b1,b2,b3)

AxB = = [(a2.b3 – a3.b2),(a3.b1 – a1.b3),(a1.b2 –

a2.b1)]

A x = = ( ), ( ), ( )

x B = = ( ), ( ), ( )

(AxB) = [( ), ( ) ,

  ( )].

= [(( ) + ( )), (( ) +

( )),(( ) + ( ))]

(AxB) = A x + x B …………………………….L.q.q.d.

5.71. Si r = acoswt + bsenwt donde ay b son vectores no colineales

cualquiera y w es una constante escalar, demostrar que (a) r x =

w(axb), (b) + w2r = 0.

Sea los vectores:

a = (a1,a2,a3) ^ b = (b1,b2,b3)

r = (a1coswt, a2coswt, a3coswt) + (b1senwt, b2senwt, b3senwt)

= (-a1wsenwt, -a2wsenwt, -a3wsenwt) + (b1wcoswt, b2wcoswt,

b3wcoswt)

= (b1wcoswt - a1wsenw, b2wcoswt - a2wsenwt, b3wcoswt - a3wsenwt)

Hacemos un pequeño cambio coswt = P, senwt = M; M2 + P2 = 1

= (b1wP - a1wM), (b2wP - a2wM), (b3wP - a3wM)

r = (a1P + b1M), (a2P + b2M), (a3P + b3M)

r x =

=[( )( ) – ( )( )], [()( ) – ( )( )], [( )( ) – (

)( )]

Desarrollando adecuadamente Obtenemos

r x = w[(a2.b3 – a3.b2),(a3.b1 – a1.b3),(a1.b2 – a2.b1)]

r x = w(axb)………………………………. Lqqd

Para (b); Hallamos la segunda derivada de r

r = (a1coswt + b1senwt, a2coswt + b2senwt, a3coswt + b3senwt)

= (b1wcoswt - a1wsenwt, b2wcoswt - a2wsenwt, b3wcoswt - a3wsenwt)

= (-b1w2senwt - a1w2coswt, - b2w2senwt – a2w2coswt, - b3w2senwt –

a3w2coswt)

Demostrar que:

+ w2r = 0

(-b1w2senwt - a1w2coswt, - b2w2senwt – a2w2coswt, - b3w2senwt – a3w2coswt) + w2(a1coswt + b1senwt, a2coswt + b2senwt, a3coswt + b3senwt)

= 0

(-b1w2senwt - a1w2coswt, - b2w2senwt – a2w2coswt, - b3w2senwt – a3w2coswt) + (b1w2senwt + a1w2coswt, b2w2senwt + a2w2coswt, b3w2senwt + a3w2coswt)

= 0

0 = 0…………………………………………lqqd

5.73. Si R = encontrar en el punto (2, 1, -2)

Solución:

Si R = R = Hallamos las derivadas respectivas R =

= (3xy,0,y2z2)

= (2y,0,0) (2,1,-2) = (2,0,0)

= (x2,4yz,2xyz2)

= (0,4z,2xz2) (2,1,-2) = ( 0,-8,16)

= = (0,-32,16)

=

=

= 16

5.75. Sean T y N, respectivamente, el vector unitario tangente y el vector unitario normal principal a una curva alabeada r =r(u) es derivable. Definimos un vector B = T x N llamado vector unitario binormal. Demostrar que

= kN, = -rN = rB - kT

Solución

De la ecuaciónB = T x N

= x N + T x

Además sabemos que es la dirección de N x N = 0

= T x

De aquí observamos que es ortogonal a T pues un producto cruz es

ortogonal a sus factores

Como también es ortogonal a B (puesto que este es constante en todo su

trayecto). Asumimos que es ortogonal al plano T y B en otras palabras

es paralela a N y en todo caso es múltiplo de N

= -rN………………………lqqd

Ahora demostramos el otro = kN

De T = B x N

= x N + B x

= rN x N + B x

= B x

Por el mismo enunciado del anterior

= kN……………………lqqd

Para, = rB - kT

N = T x B

= x B + T x

= kN x B + T x –rN

= -kT + rB……………………lqqd

5.77. Si φ =xy +yz +zx y A = encontrar:a) A.b) Ф Ac) ( )x A,

en el punto (3,-1,2)

Solución

a) A.

= (y + z)i + (x + z)j + (y + x)k

A. = ( ).((y + z)i + (x + z)j + (y + x)k)A. = (

Reemplazando valoresA. = -9 + 10 + 24 = 25

b) Ф A

c) ( )x A,

= (y + z)i + (x + z)j + (y + x)k= (1,5,2)

A = A = (-9,2,12)

( )x A, = = (56i - 30j + 47k)

5.79 Demostrar que:a)b)

5.81. Encontrar un vector normal a la superficie S = = 10 en el punto (2,1,-1)

Solución

Lo hallamos mediante el gradiente de la Superficie y evaluamos en el punto P0

S = (2xy – 2z)i + (x2 + 4yz4)j + (-2x + 8y2z3)k

Reemplazando datos

= (6,8,-12)

Vector Unitario es v/|v|

=

=

= (3i + 4j -6k)/

Falta la 5.79 ayúdame ps…. Tare haciendo a ver si me prende el foko a y la 5.77 b) a ver k se puede hacer ahí no tengo la mas mínima idea