MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION UNIVERSITARIA INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO SANTIAGO MARIO EXTENSION MARACAY ESCUELA DE INGENIERIA ELECTRICA TEORIA ELECTROMAGNETICA Integrante: Prof.: Ing.Leonardo Guillen Vctor Olivero 16.552471 Amlcar Ramones 18.692.687 Leomar Jimenez C.I 16.929.300 Maracay, 06 de Enero de 2012. 2IUPSM ndice General INTRODUCCION ............................................................................................ 4 1. GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALAR ................................................. 6 1.1 El gradiente de un campo escalar (definicin fsica) ................................. 7 1.2 Propiedades del Gradiente ....................................................................... 9 1.3 Aplicacin del Gradiente........................................................................ 10 2. DIVERGENCIA. ........................................................................................ 11 2.1 Divergencia de un campo vectorial........................................................ 12 2.2 Divergencia de un campo vectorial A (definicin Fsica). ........................ 13 2.3 Divergencia de un campo vectorial A (Definicin Matemtica).............. 13 2.4 Aplicacin de Divergencia. ...................................................................... 17 3 TEOREMA DE LA DIVERGENCIA.......................................................... 19 3.1 Aplicacin del teorema de la divergencia............................................... 21 4. ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL .......................................... 23 4.1 Integral de Circulacin........................................................................... 23 4.2 Aplicacin de Rotacional ......................................................................... 24 5. TEOREMADE GREEN.......................................................................... 25 5.1 Ejemplos Teorema de Green................................................................. 27 5.2 Demostracin del Teorema ..................................................................... 28 6. TEOREMADE STOKE........................................................................... 34 7. OPERADOR LAPLACIANO.................................................................... 40 7.1 Problemas relacionados con el operador Laplaciano. ............................ 40 7.2 Motivacin de la ubcuidad del operador Laplaciano. .............................41 7.3 Propiedades del Operador Laplaciano ...................................................42 3Teora Electromagntica.7.4 Operador Laplaciano en diversos sistemas de coordenadas .................42 7.5 Funcin Armnica ..................................................................................43 7.5 Generalizaciones del Laplaciano..........................................................44 8. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS ........................................................ 45 4IUPSM INTRODUCCION Elelectromagnetismoesunodelostemasprincipalesencualquierplan deestudiosdeingenieraelctricayelectrnica.Elconocimientodelas leyesquerigenloscamposelctricosymagnticosesindispensablepara comprenderlosprincipiosdefuncionamientodelasmaquinasylos instrumentoselctricosymagnticos;yparaexplicarlosfenmenosde accinadistanciaylossistemaselectromagnticoesindispensable dominarciertasteoraquesonbsicasdentrodelascualespodemos destacar algunostemasdeestudio quesonobjetode investigacinenel presente informe : teorema de la Divergencia, teorema Stokes, teorema de Green, conceptos, y esquemasetc. Losprincipiosdelelectromagnetismoseconocendesdehacealgn buentiempo,paraestudiardemaneraorganizadaylgicauntemacientfico tanimportante como los teoremas de Green, Stokes, Divergencia, Laplaciano,esnecesarioestablecerunmodelotericovalido,,quenormalmenteconsisteenunascantidadesbsicasyelalgunospostuladosfundamentales (hiptesis). Tenemosquetenerdemaneraclarayprecisa,queparaelestudiodel electromagnetismoesnecesariodefinirmscantidadesyusarms manipulacionesmatemticas,probablementealcomienzodeldesarrollodel trabajotengamoslaimpresindequelateoraelectromagnticaes abstracta; pero esta al igual que otras ramas cientficas tiene la ventaja que se puede verificar con resultados medidos experimentalmente, simplemente hay que trabajar ms para desarrollar un resultado completo y lgico el cual sea capaz de explicaruna variedad de fenmenos ms amplio; el retono sepresentanenloabstractodeltemaquesedesarrollasinoelprocesode dominarelmodeloelectromagnticoylospasosdefuncionamientos 5Teora Electromagntica.asociados.Porellohemosdecididoincorporartambinaltrabajode investigacionesejerciciosquesonposteriormentedesarrolladascuya finalidadesilustrarmtodosderesolucin,esimportantedestacarquees recomendablerealizarejerciciosadicionalesparapoderascomprobarsi dominamoslashabilidadescuantitativasbsicasquesepresentan.Estos ejemplosaqudescritossirvenparaampliarloquesepuedeaprender durantelaelaboracindeltrabajoyasprobarciertashabilidadesenel manejo de situaciones nuevas. Elaprendizajedelelectromagnetismoespecficamenteenelestudiode losteoremasantesmencionadosesunarutaintelectual;estetrabajode investigacinnosservircomogua,delcualdebemosaportarms conocimientoconelfindeotorgarquelaexploracindelmismoparala ingenierasea una experiencia estimulante y gratificante. 6IUPSM 1) Gradiente de un Campo Escalar:Consideramos una funcin escalar de coordenadas espaciales V (u1, u2, u3 ), quepuederepresentar,porejemplo,ladistribucindetemperaturaenun edificio,laaltituddeunterrenomontaosooelpotencialelctricoenuna regin. [1] LamagnituddeVdependeengeneraldelaposicindelpuntoenel espacio,peropuedeserconstantesobreciertaslneasosuperficies.Enla figura1semuestrandossuperficiesenlascualeslamagnituddeVes constante y tiene los valores V1 y V1+ dV, respectivamente, donde dV indica uncambiopequeoenV.DebemossealarquelassuperficiesdeV constantenotienenporqucoincidirconcualquierotradelassuperficies que define el sistema de coordenadas. El punto P1 est en la superficie V1; P2 eselpuntocorrespondientesobrelasuperficieV1+dVdeterminadoporel vector normal dn; y P3es un punto cercano a P2 determinado por otro vector dl dn. Para el mismo cambio dV en V, la razn de cambio espacial, dV/dl, es obviamente ms grande a lo largo de dn porque dn es la distancia ms corta entrelassuperficies.PuestoquelamagnituddedV/dldependedela direccin de dl, dV/dl es una derivada direccional. [1] Fig. 1: Relativo al gradiente de un escalar 7Teora Electromagntica.1.1) Elgradientedeuncampoescalar(definicinfsica):Definimosel vectorquerepresentalamagnitudyladireccinde laraznde incremento espacial mximo de un escalar como el gradiente de dicho escalar. [1] Escribimos entonces: Gradiente de un escalar en forma matemtica

(1.1) Representada de otra forma la formula anterior se tiene:

(1.2) Se ha supuesto que dV es positivo (un incremento en V); si dV fuera negativo (unadisminucinenVdep1ap2 ),serianegativoen ladireccinan. La derivada direccional a lo largo de dl es:

(1.3)

La ecuacin (1.3) establece que la razn de incremento espacial de V en la direccinalesiguala laproyeccin(lacomponente)delgradientedeVen esa direccin. Tambin podemos escribir la ecuacin 1.3 como: (1.4) 8IUPSM Donde dl= al x dl. Ahora, dV en la ecuacin (1.4) es el diferencial total de V como resultado de un cambio en posicin (de P1 a P3) en la figura 1, y puede expresarse como:

Dondedl1,dl2,dl3 sonlascomponentesdeldesplazamientodiferencial vectorialdlenunsistemadecoordenadasdeterminado.Enelcasode coordenadascartesianas,(u1,u2,u3)(x,y,z,)ydl1,dl2,dl3,son, respectivamente, dx, dy, dz, podemos escribir dV en la ecuacin (1.5) como elproductodedosvectores,delasiguientemaneraexpresadaenla ecuacin (1.6): (

) (

) Al comparar la ecuacin (1.6) con la ecuacin (1.4) se tiene la ecuacin (1.7) y (1.8) respectivamente:

O sea:(

) 9Teora Electromagntica.Con base en la ecuacin (1.9), es conveniente consideraren coordenadas cartesianas como un operador diferencial vectorial. (

) En coordenadas ortogonales generales (u1, u2, u3)con coeficiente mtricos (h1, h2, h3) como se puede definircomo la ecuacin (1.10) (

) 1.2)Propiedades de Gradiente:Deformageomtricaelgradienteesunvectorqueseencuentranormala unasuperficieocurvaenelespacioalacualseleestaestudiando,enun punto cualquiera, llmese (x, y), (x, y, z). [2] El gradiente verifica que: Es ortogonal a las superficies equiescalares, definidas por =cte. Apunta en la direccin en que la derivada direccional es mxima. Su mdulo es igual a esta derivada direccional mxima. Seanulaenlospuntosestacionarios(mximos, mnimos y puntosde silla). El campo formado por el gradiente en cada punto es siempre irrotacional, esto es 10IUPSM Fig. 1: El Gradienteexpresado en diferentes sistemas de coordenadas 1.3) Aplicacin del Gradiente: Ejemplo:LaintensidaddecampoelctricoEpuedederivarsecomoel gradientenegativodeunpotencialelctricoescalarV;esdecir.E=V. Determinar E en el punto (1,1) si: a)V=

b)V Solucin: a) usandolaecuacin(1.7)paraevaluarE=encoordenadas cartesianas. E= [

]

E= (

)

Por lo tanto, E (1, 1,0) = (ax

)

11Teora Electromagntica.Donde: E=

(

) aE=

(

)(

) b) Aqu, V aparece como funcin de la coordenada esfrica . En el caso de coordenadas esfrica tenemos (u1, u2, u3 ) = (R, ,) y (h1, h2, h3 )= ( 1,R, R sin ). Se tiene entonces, a partir de la ecuacin (1.10) E= [

] E= Conbaseenlaecuacin

R

, laecuacinanteriorse conviertedemaneramuysencillaenE= z

o, encoordenadas cartesianas.Estotienesentido,yaqueunexamencuidadosodeVrevela que o es, de hecho, igual a Eo Z. En coordenadas cartesianas,

2) Divergencia (Definicin). La divergencia deun campovectorial mideladiferenciaentreelflujo entranteyelflujosalientedeuncampovectorialsobrelasuperficieque rodeaaunvolumendecontrol,portanto,sielcampotiene"fuentes"o "sumideros" la divergencia de dicho campo ser diferente de cero. [2] 12IUPSM 2.1) Divergencia de un campo vectorial. Enelestudiodecamposvectorialesesconvenienterepresentar grficamentelasvariacionesdeloscamposmedianteslneasdecampos dirigidas, llamadas lneas de flujo. Son lneas o curvas dirigidas que indican en cada punto la direccin del campo vectorial, como se observa en la figura 2. (a, b, c). Figura 2: lneas de flujo de campos vectoriales. La magnitud del campo en un punto se representa o bien con la densidad o bienconlalongituddelaslneasdirigidasenlavecindaddelpunto.Enla figura 2(a) se muestra que el campo en la regin A es ms fuerte que en la regin B, ya que hay mayor densidad de lneas dirigidas de igual longitud en lareginA.Enlafigura2(b),lareduccinenlalongituddelasflechasal alejarsedelpuntoqindicauncamporadialqueesmsfuerteenlaregin cercana a q. En la figura 2(c) se ilustra un campo uniforme. Elflujodeuncampovectorialesanlogoalflujodeunfluido incomprensible, como el agua. En el caso de un volumen con una superficie cerrada,habrunexcesodeflujoquesaleoentranporlasuperficiesiel volumencontieneunafuenteosumidero,respectivamente.Esdecir,una divergencianetapositivaindicalapresenciadeunafuentedefluidoenel interiordelvolumen,mientrasqueunadivergencianetanegativaindicala 13Teora Electromagntica.presenciadeunsumidero.Elflujodesalidanetodelfluidoporunidadde volumenesentoncesunamedidadelafuerzaencerrada.Enelcampo uniforme ilustrado en la figura 2(c) hay cantidades iguales de flujo de entrada y salida que pasan por cualquier volumen cerrado que no contiene fuentes ni sumideros, produciendo una divergencia nula. 2.2) Divergencia de un campo vectorial A (definicin Fsica). Definimos la divergencia de un campo vectorial A en un punto, abreviada div A, como el flujo neto de salida de A por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero. [1]. 2.3) Divergencia de un campo vectorial A (Definicin Matemtica).

Elnumeradordelaecuacin2.11esunaintegraldesuperficie.En realidadsetratadeuna integraldoble en dosdimensiones, peroseescribe conelsignodeunaintegralsencillaporcuestionesdesencillez.Elcrculo pequeo en el signo de la integral indica que la integral debe aplicarse a toda lasuperficieSqueencierraunvolumen.Enelintegrando,elelemento diferencialdesuperficievectorial,ds=an ds,tieneunamagnituddsyuna direccin indicada por el vector unitario normal an que a punta hacia afuera del volumen encerrado. La integral de superficie encerrada representa el flujo de salida neto del campo vectorial. Considere un volumen diferencial con lados centrado alrededor de un punto P (Xo, Yo, Zo) en el campo de un vector A, como se ilustra en la figura2.1.Encoordenadascartesianas,A=axAx+ayAy+azAz,queremos encontrardivAenelpunto(Xo,Yo,Zo ).Dadoqueelvolumendiferencial 14IUPSM tieneseiscaras,lasuperficieintegraldelnumeradordelaecuacin2.11 puede descomponerse en 6 partes: Figura 2.1: Volumen Diferencial en coordenadas Cartesianas.

[

]ds (2.12) En la Cara anterior:

(

)

(

) Lacantidad

o o puededesarrollarseenseriesdeTaylor alrededor de su valor en (Xo, Yo, Zo), de la siguiente manera: 15Teora Electromagntica. (

)

Dondelostrminosdegradosuperior(T.G.S)contienenlosfactores , etc. De forma similar, para la cara posterior.

=

(

) El desarrollo en serie de Taylor de (

) es: (

)

Sustituyendo la ecuacin (2.14) en la ecuacin (2.13) y la ecuacin (2.16) en la ecuacin (2.15), para luego sumar las contribuciones, tenemos: [

](

)

Enestecasosehaeliminadoporfactorizacinuna delostrminosde grado superior de las ecuaciones (2.14) y (2.16), pero todos los trminos de grado superior de la ecuacin (2.17) an contiene potencias de . Seguimoselmismoprocedimientoparalascarasderechaseizquierda, donde los cambios en coordenadas son+ y , respectivamente, y ; de esta manera tenemos. 16IUPSM [

](

)

Enestecasolostrminosdegradosuperior(T.G.S)contienenlosfactores ( etc. Para las caras superior e inferior se tiene: [

](

)

Dondelostrminosdegradosuperior(T.G.S)contienenlosfactores ( etc.Despussecombinalosresultadosdelasecuaciones(2.17), (2.18), (2.19) en la ecuacin (2.12) para obtener:

(

)

Puesto que , la sustitucin de la ecuacin (2.20) en la ecuacin (2.12) produce la expresin de div A en coordenadas cartesianas. (

) Los trminos de grado superior desaparecen conforme el volumen diferencial

seaproximaacero.ElvalordedivAgeneralmentedependedela posicindelpuntodondesecalcula.Enlaecuacin(2.21)seeliminala notacin (Xo, Yo, Zo ) por que se plica a cualquier punto donde esta definidos A y sus derivadas parciales. 17Teora Electromagntica.Coneloperadordiferencialdel,,definidoporlaecuacin(1.9),sepuede escribir de otra manera la ecuacin (2.21) como, (lase del punto A ); es decir: En un sistema general de coordenadas ortogonales (u1, u2, u3 ), la ecuacin (2.12) nos lleva:

[

] 2.4) Aplicacin de Divergencia: Ejemplo 1: La densidad de flujomagntico B alrededor de un alambre muy largoquetransportaunacorrienteescircunferencialeinversamente proporcional a la distancia al eje del alambre. Calcule .[1] Sea el alambre largo coincide con el eje Z en un sistema de coordenadas cilndricas. El problema establece que:

Dondekesunaconstante.Ladivergenciadeuncampovectorialen coordenadas cilndricas (r,) puede determinarse con la ecuacin (2.23)

Ahora B"

. La ecuacin (2.24) nos indica que 18IUPSM En este caso se tiene un vector que no es constante pero cuya divergencia es cero. Un campo cuya divergencia es nula se denomina campo senoidal . Ejemplo2:calcularladivergenciadelvectordeposicindeunpunto arbitrario.[1] Solucin: Calculando en coordenadas cartesianas y esfricas. a) Coordenadas cartesianas. La expresin del vector de posicin de un punto arbitrario (x, y, z) es:

Si usamos la ecuacin (2.21) tenemos:

(

) b) Coordenadasesfricas.Enestecaso,elvectordeposicines simplemente.

Su divergencia en coordenadas esfricas ( R, , ) puede obtenerse usando la ecuacin (2.23) de la siguiente manera:

19Teora Electromagntica.Sustituyendolaecuacin(2.25)enlaecuacin(2.26),tambinobtenemos

3. 3) Teorema de la Divergencia. La integral de volumen de la divergencia de un campo vectorial es igual al flujodesalidatotaldelvectoratravsdelasuperficiequelimitael volumen.[1] Estaidentidad,seconocecomoteoremadeladivergencia,tambin conocidocomoelteoremadegauss.SeaplicaacualquiervolumenV limitado por una superficie S. La direccin de ds es siempre la de la normal haciaelexterior,perpendicularalasuperficiedsydirigidahaciafueradel volumen. Enelcasodeunelementodevolumendiferencialmuypequeo limitadoporunasuperficiesj, ladefinicindeen laecuacin(2.11)da directamente:

EncasodeunvolumenarbitrarioV,podemossubdividirloenmuchos, digamosNvolmenesdiferencialespequeo,deloscuales estpico. Este procedimiento se ilustra en la figura 4. 20IUPSM Figura 4: Volumen subdividido para la demostracin del teorema de la divergencia. Combinamos ahora las contribuciones de estos volmenes diferenciales en ambos lado de la ecuacin (2.28) para obtener:

[

]

[(

)

] El lado izquierdo de la ecuacin (3.30) es, por definicin, la integral de volumen de

[

]

Lasintegralesdesuperficieenelladoderechodelaecuacin(3.30)se sumanparatodaslascarasdeloselementosdevolumendiferencial.Sin embargo,lascontribucionesdelassuperficiesinternasdeelementos adyacentessecancelan,yaqueenunasuperficieinternacomnlas normalesdesalidadeloselementosadyacentesapuntanendirecciones opuestas. Por lo tanto, la contribucin neta del lado derecho de laecuacin (3.30)se debe nicamente a la superficie exterior S que encierra el volumen V; es decir: 21Teora Electromagntica.

[(

)

]

Sustituyendo las ecuaciones (3.31) y (3.32) en la ecuacin (3.30) se obtiene el teorema de divergencia de la ecuacin (3.27). Elteoremadeladivergenciaesunaidentidadimportanteenelanlisis vectorial.Convierteunaintegraldevolumendeladivergenciadeunvector enunaintegraldesuperficiecerradadelvector,yviceversa.Seusacon frecuenciaparaestablecerotrosteoremasyrelacionesenel electromagnetismo.Sequieredestacarque,aunqueporcuestionesde sencillez se usa un signo de integral simple en ambos lados de la ecuacin (3.27),lasintegralesdevolumenysuperficierepresentanenrealidad integraciones dobles y triples respectivamente [1]. 3.1) Aplicacin del teorema de la divergencia. Ejemplo: Dado A= axX+ayxy+azyz, verifique el teorema de divergencia para un cubo de lado unidad. El cubo est situado en el primer octante del sistema de coordenadas cartesianas. Solucin: Primero se calcula la integral de superficie en la seis caras del cubo 1) Cara Anterior: X=1, ds=ax dydz

2) Cara Posterior: X=0, ds=-ax dydz 22IUPSM

3) Cara Izquierda: y=0, ds=-ay dxdz

4) Cara derecha: y=1, ds= ay dxdz

5) Cara Superior: z=1, ds= az dxdy

6) Cara Inferior: z=0, ds= -az dxdy

Al sumar los seis valores anteriores se tiene:

La divergencia de A es entonces

23Teora Electromagntica.Por lo tanto,

Loqueesigualalresultadodelaintegraldesuperficiecerradadela ecuacin(2.33),porconsiguiente,elteoremadeladivergenciahasido verificado 4) Rotacional de un Campo vectorial. La densidad de fuentes vectoriales por unidad de supercie transversal de un campovectorialsedenominarotacionaldelcampo.Comolacantidadde fuentesvectorialesdeuncampoqueatraviesanciertasupercieabiertase mide mediante una integral de circulacin, la circulacin y el rotacional estn estrechamenterelacionados,siendolaprimeraunacantidadglobalyla segunda una cantidad puntual. [3]. 4.1) Integral de Circulacin. Se conviene en admitir que la circulacin de un campo a travs de un camino cerradomidelacantidaddefuentesvectorialesdeestecampo,enla direccin transversal del camino, enlazadas por el contorno [3]. Dado un campo vectorial AA(r), se dene: fuentes vectoriales de A enlasadas por(4.33) Dondeladondelaintegral

seleecomolacirculacindel campoAalolargode.Establecidounsentidoderecorridoparalacurva cerrada,si

,entendemosquelaslneasdefuerzadeAse 24IUPSM proyectan en promedio positivamente sobre la tangente de la curva , como circulandoenelmismosentidoderecorridoprejadodelacurva,y decimos queenlaza fuentes vectoriales del campo A, cuya orientacin en el espacio forma un sistema derechocon el sentido de recorrido de la curva . Si

,laslneasdefuerzadeAseproyectanenpromedio negativamentesobrelatangentede lacurva,comocirculandoensentido contrarioalsentidoderecorridoprejadodelacurva,ydecimosque enlaza fuentes vectoriales del campo A, cuya orientacin en el espacio forma un sistema izquierdo con el sentido de recorrido de la curva . Y si

interpretaremos que las lneas de fuerza de A no circulan a lo largo de , y decimos queno enlaza ninguna fuente vectorial de A. 4.2) Aplicacin: Ejemplo 1: Se desea calcular la circulacin del campo Fs=

a travs de los caminosy

que se muestra en la Fig 8. Figura 5: Caminos cerrados con sus sentidos de recorrido para el calculo de la circulacin del campo Fs=

Solucin: Fcilmente se comprueba que

y

, lo cual quiere decir que el camino cerrado 1 enlaza 2fuentes vectoriales en 25Teora Electromagntica.la direccin de az del campo Fs, mientras que el camino 2 no enlaza fuentes vectoriales de dicho campo en la direccin az .[3] 5) teoremade Green. Este teoremarelacionala integraldeun campovectorialsobreunacurvaplanaconunaintegral doblesobreel recintoqueencierra la curva. [1] Estetipodeteoremasresultamuytilporque,dadosuncampo vectorialyuna curva cerrada simplesobrelacualhayqueintegrarlo, podemoselegirlaposibilidadmssimpleentreintegrarelcampodirecta-mentesobrelacurvaobienintegrarladiferenciadesus derivadasparcialescruzadas sobre enrecinto quedelimitalacurva.Por otrolado,larelacinasestablecidaentrelaintegral delneasobre unacurvaylaintegral doblesobrelaregininterioraestapermite a vecesobtener informacin sobre unafuncinosuintegralenunrecintoapartirdelcomportamientodelafuncinsobrelafronteradedicho recinto. [4] AntesdeenunciarelteoremadeGreenconvendraprecisarque entendemosporunacurvacerradasimpleorientadapositivamente.Sabemosyaquetodacurvasimpletiene dosposiblesorientaciones,y queestassonin-variantesporreparametrizacionescuyasfuncionesdecambiodevariablestienederivadapositiva.Ahorabien,como distinguirentreunayotraorientacin?? Qu hacerparaprivilegiary reconocerunadelasdos?Hayvariosprocedimientosparaconseguir esto.Quizselmsintuitivoseaelsiguiente,quepresenta elconceptode normalunitariaexterioraunacurva. [4] SiCesunacurvacerradasimpleregularatrozosenR2, parametrizada por (t) =(x (t), y (t)), elvectornormalunitarioexterioraCse define por: 26IUPSM N (t)=

(

) (5.34) Nteseque Nes ortogonalal vectortangenteo velocidadde la curva,V (t) = (x0(t), y0 (t)). ConsideremosestosvectoressumergidosenR3(con coordenadaz= 0).DiremosqueCestorientadapositivamentesiel productovectorialN V(quetieneladireccindelejezenestecaso)tiene coordenada z positiva (esdecir,N Vapuntahaciaarriba)paracadat.Estadefi ni ci ncorrespondeintuitivamenteadecirqueCse recorreenelsentidocontrarioaldelasagujasdelreloj,obienquesi recorremosCconlaorientacin positivaentoncesNapunta haciaafuera dela regin interioraC ,yquedichar egi ninteriorquedasiemprea manoizquierda segn se varecorriendoC. [4] Diremosqueunacurvacerrada simpleC R2 es regularatrozos si sepuedeparametrizarmedianteuncaminoqueasuvezpuede escribirsecomoconcatenacin1 ...k deunacantidadfinitade caminosj : [aj , bj ] R2 cadaunodeloscualesesdeclaseC 1y satisfaceque0 (t)=0paratodot [aj , bj ](enparticular,podr dejardeserdiferenciableenunacantidadfinitadepuntos,peroincluso enestostendrderivadaslaterales).ParaestaclasedecurvascerradassimplesenunciaremosydemostraremoselteoremadeGreen. SeaCunacurvacerradasimpleregularat r ozos,positivamenteorientada,enelplanoR2,yseaDlaunindelaregininteriora CconlapropiacurvaC. SeaF= (P, Q): DR2 uncampovectorialde claseC 1. Entonces setieneque: 27Teora Electromagntica.

(

)

(5.35) Antesdedarunademostracindeesteimportanteteorema, veamos al gunos ejemplosyaplicacionesdelmismo. 5.1)Ejemplo(1):IntegrarelcampoF(x,y)=(x,xy)sobrela circunferencia. x2+ y2= 1 recorridaensentidopositivo. Ejemplo (2): Calcularel trabajo realizadopor el campo de fuerzas F (x, y) = (y + 3x, 2y x)almoverunapartcula alo largodelaelipse4x2+ y2= 4. Ejemplo (3): Hallarel valordelaintegral

(5. 36)

DondeCes el bordedelcuadrado [0, 1] [0, 1]. Unaaplicacin muyimportantedelteorema deGreen eselcalculo dereasderecintos delimitados porcurvascerradas simplesmedianteunaintegral de lnea sobreelborde dedichas curvas. Sitenemos unrecinto D enelplanocuyafrontera esuna curvacerrada simpleC = D yqueremoscalcular surea, nosbasta hallar uncampovectorial(P, Q)tal que Q/x P /y= 1 y aplicarentonceslaformuladeGreen paraexpresarelreadeDcomolaintegralde lneade(P,Q)sobresu 28IUPSM bordeC .Porejemplo,podemostomarP=y/2,Q=x/2,demodo que: a(D)= (

)

(5.37) Frmulasanlogas pueden deducirse poniendo (P,Q) =(y, 0), obien (P, Q)= (0, x).Obtenemos as el siguienteresultado. Ejemplo (4): SeaCunacurvacerrada simpleregular atrozos,yseaD la regin interior aC. Entonces su rea es: a (D)=

(5.38) Ejemplo(5):Hallarelreadelareginencerradaporlahipocicloide (Astroide)deecuacin x2/3 + y2/3= a2/3. 5.2) Demostracindel teoremadeGreen Tenemosqueprobarlasiguienteigualdad:

(5.39) A tal fin, observemosquelavalidezde(*)paratodoslos camposF= (P, Q) DeclaseC 1sobreDequivalealadelasdosformulas siguientes 29Teora Electromagntica.

(5.40)

(5.41) TambinparatodosloscamposF=(P,Q)declaseC 1 enD.En efecto,siestasformulassonvalidas,obtenemos(*)sinmsque sumarlas.Rec pr ocament e,si (*)esciertapodemosobtener(5.40) tomando Q= 0en(*),y anlogamente (5.41), tomando P= 0 en(*). Paso1:LaprimerapartedelademostracindelteoremadeGreen consisteen probar(5.40)paraunaclaseespecialderecinto D,que denominaremosrecinto detipoI;untal recinto ser ellimitado porlasgraficasdedosfuncionesy=f (x),y=g(x),conf g.Esdecir, supondremosenprimerlugarque: D= {(x, y) R2: a x b, f (x) y g(x)}, DondefygsonfuncionesrealesdeclaseC 1 atrozos.EsterecintoD est limitadopor una curva cerrada simpleC =D regular atrozosquepuedeexpresarsecomoconcatenacindecuatro caminosregularesatrozos: C= C1 + C2 C3 C4 (comoescostumbre,lossignosnegativos quepreceden aun caminode-notanqueserecorreelcaminoensentidoopuestoal especificado);aqu, C1 estparametrizadopor1 (t)=(t,f (t)),a tb;C2 lo est por2(t) =(b, t), conf (b)tg(b);C3 es 30IUPSM 3(t) =(t,g(t)),a t b;y C4 vienedadopor4 (t) =(a, t),f (a)tg(a).Nteseque,alolargodeC2 ydeC4,x=x(t)es constante,luegodx= 0sobreestoscaminos, Ylascorrespondientesintegralesdelneaseanularan,mientrasque sobrelos restantes caminoses dx= 1. Entonces se tieneque

( ) ( )

Yporotraparte,aplicandoelteoremadeFubiniyelteoremafundamental del clculo,

[

]

[( ) ( )] ( )

( )

Paso2:AhoraprobaremosparaotraclaseespecialderecintoD, que denominaremos recinto detipoII,ellimitado por las grficasdedos funcionesl as x= (y), x= (y),con .Esdecir,ahora tenemos que: D= {(x, y) R2: c y d, (y) x (y)}, 31Teora Electromagntica.Con,funcionesrealesdeclaseC 1 atrozos.Comoantes,Dest limitadopor una curvacerradasimpleC= Dregulara trozosque puede expresarsecomo concatenacindecuatrocaminosregularesatrozos: C= C1+ C2 + C3 C4 dondeC1 estparametrizadopor1(t) =((t), t),c t d;C2es2 (t) = (t, c),con(c) t (c);C3 es3 (t)=((t), t),c t d; yC4 es 4 (t) = (t, d),con(d) t (d).Alo largodeC2 ydeC4, y=y(t)esconstante,luegody=0sobreestoscaminos,ylas correspondientes integrales de lnea soncero;paraC1y C3se tienedy = 1.Entonces,

Y por otro lado,

[

]

[ ]

Luego,juntando estasigualdades,obtenemos(1.23) Paso3:Deacuerdo conlaobservacinquehemoshechoantes y conloprobadoenlospasos1y2,laformuladeGreen (*)esvalidapara todareginDqueseaalavezdetipoIydetipoII.Todoslos 32IUPSM crculos,losrectngulosylostringulosconstituyenejemplosderegionesquesonde tipoIyIIsimultneamente.Portanto, elteoremadeGreenesvalidoparatodosestostiposdecurvas.Tambinpodra probarse, utilizando elteoremadelcambiodevariables,quelaigualdad(*)escierta para cualquier reginDqueseadifeomorfaconuncrculo, unrectnguloo untriangulo(ejercicio 1). Paso4.Elsiguientepasoconsisteenestablecerlavalidezde(*) para todaregin D quepueda descomponerse comounin finita deregionessimultaneamentedetipoIyII.Masprecisamente,seprueba(*)paratodo recinto D R2de laforma. (5.42) DondetodoslosDi sonregionesdetipoIyIIsimultneamente,con interioresdisjuntosdosados,ycuyosbordes,Ci =Di,estnpositivamente orientados,y deformaquese cumplen: SiunacurvaCi tieneunaparteencomnconotrocaminoCjentoncesesa partenoes comn aningn otroCk conk i, j; SiCitieneuntrozo encomnconCj entonces Ci recorre ese trozo comn ensentidocontrario alquelo haceCj ; y SiCi tieneuntrozoencomnconC= Dentoncesamboscaminos recorrendichotrozoenel mismosentido. Podemosaplicarlaformula(*)acadareginDi ysumartodaslas igualdades correspondientes paraobtenerque: 33Teora Electromagntica.

(5.43) Pero enesta suma deintegrales delnea,lasintegralessobreCi=Di puedendescomponerseasuvezensumasfinitas deintegrales sobrecurvassimplesdedostipos:obiensontrozosdelcaminoCicomunesaalgnotrodelosCj , o biensonpartes deC= D.Lasuma totalde todaslas integrales sobrecaminosdelprimerodeestostiposes igualaceroyaque,alintegrarysumar, cadaunadeestascurvasse recorreexactamentedosveces,ycon orientaciones opuestas, demodo quelasumadelasdosintegrales quese hacensobrecadacaminodel primertipoescero.Porotrolado,lasumade todaslasintegralessobre loscaminosdelsegundotipoesigualalaintegraldelcampo(P,Q) sobreC,yaqueCpuedeexpresarsecomoconcatenacin [5]. Detodoslos caminosdelsegundotipo.Porconsiguiente,

(5.44) Loquecombinadoconlasigualdadesanterioresnospermiteconcluir que:

(5.45) Paratodorecintoquepuedaromperseenunacantidadfinitade recintosdetipoIyIIsimultneamente.Enparticularseobtieneque(*) 34IUPSM esvalidaparatodacurvacerradasimpleEqueseapoligonal(asaber, concatenacinfinitadesegmentosderecta),yaqueunatalcurva siemprepuedetriangularse, es decirexpresarsecomo unauninfinita. DondelosTisontringulos(yportantoregionesdetipoIyII simultneamente)OrientadosdemodoquesiTiyTjtienenunladocomn entonces Ti recorre este lado en sentido contrario a como lo hace Tj. Paso5:Laultimapartede la pruebadelteoremadeGreenconsisteen aproximar la curva dada C por una curva cerrada simple poligonal P de modo que la regin D interior a P queda dentro del dominio del campo F = (P,Q) y cuyorea,a(D),estambinunabuenaaproximacindelreadelaregin interioraC,esdecira(D).SeaplicaentonceselteoremadeGreen establecido en el paso anterior para curvas cerradas simples poligonales y se concluye que (*) es aproximadamente valida para D, ms omenosunciertoerror 6) El teorema de Stokes PuedeconsiderarsecomounaversindelteoremadeGreenparauna dimensinmsalta.ElteoremadeStokesrelacionaunaintegralde superficiesobreunasuperficieSconunaintegraldelneaalrededordela curvafronteradeS(queesunacurvaenelespacio).LaorientacindeS induce la orientacin positiva de la curva frontera C. Esto significa que si uno caminaalrededordeCensentidopositivoentonceslasuperficiesiempre estar a la izquierda de uno [6]. SeaSunasuperficieorientadaysuaveasegmentos,queestacotada porunacurvafronteraCsuaveasegmentos,cerradaysimple,cuya orientacin es positiva. Sea F un campo vectorial cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas sobre una regin abierta en IR3 que contiene a S. Entonces la circulacin del campo F alrededor de la frontera C, est dada por. 35Teora Electromagntica.Ejemplo 1: (5.46) Calcular? Donde C es la curva interseccin de Solucin: De acuerdo con el teorema de Stokes, (5.47) Calculemos el rotacional de F:

Figura 7: Ejemplificacin curva de interseccin del teorema Stokes

}} }- = -SCdS rot d n F r F}+ +C2xzdz xydy dx yz y , y 2 y x2 2= = +}} }- = + +SC2ndS rotF xzdz xydy dx y 36IUPSM Ejemplo 1: Tomando S como la parte del plano z = y=g(x,y) acotada por C, entonces : En el caso de un rea diferencial muy pequea j limitada por un contornoCj la definicinde

Paraobtenerlaecuacinhemosrealizadoelproductopuntoenambos ladosde la ecuacina sj o sj. En el caso de una superficiearbitraria S, podemos subdividirla en varias, digamosN, reas diferenciales pequeas en lasiguientefigurasemuestraesteesquemaconsjcomoelemento diferencial tpico [6]. ( ) y , z , 0xz xy yz y xk j iF F Rot2 =cccccc= V =( )( )21 , 1 , 01 g g1 , g , gggn2y2xy x =+ + =VV=( ) ( ) 02y z21 , 1 , 0y , z , 0 n rotF ==- = -0 ndS rotF xzdz xydy dx y SC2= - = + + }} } 37Teora Electromagntica. Figura 8: Esquema de unelemento diferencial tpico. El lado izquierdo de la ecuacin es el flujodetodas las reas diferenciales tenemos

(6.48) Al combinar las ecuacionesobtenemos el teoremade Stokes

(20) (6.49) Elcualestablecequelaintegraldesuperficiedelrotacionaldeun campo vectorialsobre una superficie abiertaes igual a la integralde lnea cerradadel vectora lo largo del contornoque limita la superficie. El teoremade Stokes convierteuna integralde superficiedel rotacionalde un vectorcon un integral de la lneadel vector, y viceversa. El teoremade Stokes al igual que el teorema de la divergencia, es una identidad importante enelanlisisvectorialylousaremosconfrecuenciaparaestablecerotros teoremas y relaciones del electromagnetismo. 38IUPSM Siaplicamoslaintegraldesuperficiedeaunasuperficiecerrada,no habruncontornoexternoquelmitelasuperficie,laecuacinnosindicaque:

0(21)(6.50) Para cualquier superficiecerrada S. La geometraarbitraria de lafigura 8,se ha elegido a propsito para destacarde que el hecho una aplicacinno trivial del teoremade Stokessiempreimplica una superficie abierta con un borde.Lasuperficieabiertamssencillaseriaunplanobidimensionaloun discodeunacircunferenciacomocontorno.Debemosrecordarquelas direccionesrelativasdedlyds(sudireccindenotadaporan)siguenla regla de la mano derecha; es decir si los dedosde la manoderecha siguen la direccinde dl, el pulgar apuntaren direccin de an. DadoF- axxy- ay2X, verifiqueel teorema de Stokessobre un cuarto disco circular con radio 3en el primer cuadrantese ilustra en la figura 9. Figura 9: Trayectoria para la integral de lneas. Usamoslasiguienteecuacinparaencontrar encoordenadas cartesianas. 39Teora Electromagntica. Para la geometra indicaday la direccin designadade dl, ds = azdx dy. Tenemos entonces

a2dx dy) [

]

[

]

[

]

= 9 (

Esimportanteusarloslmitesapropiadosparalasdosvariablesde integracin. Podemosintercambiarel orden de la integracin

[

]

(6.51) Y obtener el mismo resultado; sin embargo, sera un error emplear0 a 3como intervalo de integracinde xyy. 7) Operador Laplaciano. En clculovectorial,el operadorlaplaciano o laplaciano esun operador diferencial elpticodesegundoorden,denotadocomo,relacionadocon ciertosproblemasdeminimizacindeciertasmagnitudessobreuncierto 40IUPSM dominio.Eloperadortieneesenombreenreconocimientoa Pierre-Simn Laplace queestudisolucionesde ecuacionesdiferenciales enderivadas parciales en las que apareca dicho operador [7]. Expresadoencoordenadascartesianasesigualalasumadetodaslas segundas derivadasparciales nomixtas dependientesdeunavariable. Correspondea div (grad ),dedondeelusodelsmbolo delta () nabla cuadrado ( ) para representarlo. Si , son un campo escalar y un campo vectorial respectivamente, el laplaciano de ambos puede escribirse en trminos del operador nabla como.[7]. (7.52) 7.1) Problemas relacionados con el operador Laplaciano. En fsica, el laplaciano apareceenmltiplescontextoscomola teoradel potencial,la propagacindeondas,la conduccindelcalor,ladistribucin de tensiones enunslidodeformable,etc.Perodetodasestassituaciones ocupa un lugar destacado en la electrosttica y en la mecnica cuntica. En la electrosttica, el operador laplaciano aparece en la ecuacin de Laplace y enla ecuacindePoisson.Mientrasqueenlamecnicacuntica el laplaciano de la funcin de onda de una partcula da la energa cintica de la misma. En matemticas, las funciones tales que su laplaciano se anula en un determinado dominio, se llaman funciones armnicas sobre el dominio. Estas funcionestienenunaexcepcionalimportanciaenlateorade funcionesde variable compleja. Adems el operador laplaciano es el ingrediente bsico de la teora de Hodge y los resultados de la cohomologa de Rham. [7]. 41Teora Electromagntica.7.2)Motivacin de la ubcuidad del operador laplaciano. UnadelasmotivacionesporlascualeselLaplacianoapareceen numerosas reas de la fsica es que las soluciones de la ecuacin f = 0 en una regin U son funciones que minimizan el funcional de energa.[7]. (7.53) Paraverestosupngaseque esunafuncin,y es una funcin que se anula sobre la frontera de U. Entonces. (7.54) Donde la ltima igualdad se sigue usando la primera identidad de Green. Esteclculomuestraquesi f =0,entonceselfuncionaldeenerga E es estacionarioalrededorde f.Recprocamente,si E esestacionarioalrededor de f, entonces f = 0 por el teorema fundamental del clculo integral. Otrarazndesuubicuidadesquecuandounoescribelaecuacinde Laplace en forma diferencias finitas se aprecia que el Laplaciano en un punto es la diferencia entre el valor de la funcin en el punto y el valor de la funcin alrededor.Esdecir,cualquiermagnitudquepuedeexpresarsecomouna magnitud flujo que se conserva satisface la ecuacin de Laplace [7]. 7.3) Propiedades del Operador Laplaciano. El laplaciano es lineal: (7.55) La siguiente afirmacin tambin es cierta: (7.56) 42IUPSM 7.4) Operador laplaciano en diversos sistemas de coordenadas. Coordenadas cartesianas: En coordenadascartesianas (plano)bidimensionales,ellaplacianodeuna funcin f es: (7.57) En coordenadas cartesianas tridimensionales: (7.58) En coordenadas cartesianas en : (7.59) Coordenadas cilndricas: En coordenadas cilndricas: (7.60) Coordenadas esfricas: En coordenadas esfricas: (7.61) Coordenadas curvilneas ortogonales: En coordenadas ortogonales generales : (7.62) 43Teora Electromagntica.Donde sonlos factoresdeescala delsistemadecoordenadas, queengeneralserntresfuncionesdependientesdelastrescoordenadas curvilneas. 7.5) Funcin Armnica. Una funcin se dice que es armnica en E si: Ejemplos de funciones armnicas: sobre el plano eucldeo. El potencial gravitatorio dado por es armnico sobre el espacio eucldeo tridimensional. los armnicosesfricos sonfuncionesarmnicassobreundominiofinitoo infinito, que aparecen en la resolucin de problemas con simetra esfrica. 7.6) Generalizaciones del Laplaciano. El Laplaciano puede ser extendido a funciones definidas sobre superficies, o enformamsgeneral,en variedadesdeRiemann y variedades(seudo) riemannianas [7]. Operador de Laplace-Beltrami: UnaextensindelLaplacianoafuncionesrealesdefinidassobreuna variedad es el operador de Laplace-Beltrami (denotado ). Se lo define, en formasimilaralLaplaciano,comoladivergenciadelgradiente,dondeel gradienteunafuncin f definidaenunavariedad(seudo)riemanianayla divergenciadeuncampovectorial X sobrelamismavienendadosen componentes por: 44IUPSM Donde: gij, es tensor 2-contravariante asociado al tensor mtrico., es la razcuadradadelvalorabsolutodel determinante deltensormtrico.El operadordeLaplace-Beltramideunafuncinescalar,seobtienecomola divergencia y el gradiente definidos como anteriormente es decir: Operador de Laplace-deRham Envariedadesriemannianasy(seudo)riemanninasexisteotra generalizacindel laplacianoque loextiendea k-formas,quees labasede la cohomologadeHodge-deRham.Estaextensinllamada operadorde Laplace-deRham,ydenotadocomo,sedefineentrminosdela diferencialexterior(d)ylacodiferencialeterior()de k-formaso alternativamenteentrminosde ladiferencialexterioryeloperador dual de Hodge.[7]. Este operador de Laplace-deRham se define como: Donde se ha usado que la codiferencial puederescribirse en trminos de la diferencial exterior y el operador dual de Hodge: Donde n es la dimensin de la variedad (seudo )riemanniana y k es el orden de la k-forma . 45Teora Electromagntica.REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS [1]. David k. Cheng.,Fundamentos De Electromagnetismo Para Ingeniera 1 era edicinEditorial. Addison Wesley Iberoamericana, S.A. 1.997. [2].Reitz/Milford/Christy.Fundamentosdelateora electromagntica.Editorial. Addison Wesley Iberoamericana, S.A 1984, USA. [3].WilliamH.Hayt.Teoraelectromagntica.Editorial.McGraw-Hill.1991, Mxico. [4].RichmondB.McQuistan.CAMPOSESCALARESYVECTORIALES. Interpretacin fsica. Editorial Limusa-Wiley. Mxico 1969. [5].SyedA.Nasar.2000solvedproblemsinelectromagnetism.Editorial McGraw Hill. 1992, USA. [6].JosephA.Edminister.TheoryandProblemsofElectromagnetics. Schaum's Outlines. Editorial McGraw Hill. 1993, USA. [7]. ] Informacin disponible en el artculo de la pgina web, (2011). Operador Laplaciano.http://es.wikipedia.org/wiki/Operador_laplacianoUltima consulta 05/01/2012.