TEORIA ELECTROMAGNTICA. CAPITULO I...Algebra Vectorial. CAPITULO II..Anlisis Vectorial. CAPITULO III.Ley de Coulomb CAPITULO IVCampo elctrico e intensidad de campo CAPIT ULO V....Ley de Gauss CAPITULO VITeora de la divergencia CAPITULO VIITrabajo y energa potencial CA PITULO VIII.Capacitores.

CAPTULO I: ALGEBRA VECTORIAL. En este tema comprendern la importancia que tienen el concepto del algebra vectorial para el sistema de comunicaciones mviles, por lo tanto es necesario definir dos conceptos importantes llamados vector y escalar. Vector: Se le conoce asi a aquel que tienen un punto de inicio y un punto final, donde tendr presencia de una magnitud y direccin o sentido tal y como se muestra en la siguiente figura: Pi = punto inicialPi Pf

Pf = punto final

Escalar: A diferencia de un vector, este solamente tiene un punto de inicio y carece de punto final, por lo tanto, solamente tiene presencia de magnitud. Pi

Ejemplo de esto en un sistema de comunicacin: El ejemplo mas comn es a travs de una antena donde la estructura metlica ser el escalar y la radiacin ser el vector, tal y como se muestra.

Vector

Escalar

MAGNITUD DE UN VECTOR. Para obtener la magnitud de un vector, es necesario tomar en cuenta la siguiente expresin: | |

REPRESENTACIN DE UN VECTOR. Un vector existe tres formas de representarlos segn sean el sistema de coordenadas que se este analizando, dichos sistemas son: Cartesiano: Cilndrico: Esfrico: DIRECCIN DE UN VECTOR. Se puede obtener la direccin de un vector, y se debe tener mucho cuidado en diferenciar quien va a ser el punto inicial, y quien va a ser el punto final, pues para obtener dicha direccin siempre va a ser una diferencia entre el punto final menos el punto inicial: A B

(x1 , y1 , z1)

(x2 , y2, z2)

VECTOR UNITARIO: Para obtener el vector unitario siempre se va a hacer una relacin entre la direccin sobre la magnitud y esto se puede obtener de la siguiente manera:

PROPIEDADES DE UN VERCTOR: Referente a la propiedad de un vector al igual que en algebra elemental, tambin podemos hacer uso de dichas propiedades llamadas distributivas, asociativas y conmutativas quedando esto de la siguiente manera:

A+B= B+A

Distributiva Asociativa Conmutativa.

A + B + C = (A + B) + C K (A + B) = KA + KB

GRFICA DE UN VECTOR: Para poder graficar de una manera sencilla y sin complicaciones trate de ubicar muy bien sus planos de referencia de X y de Y la cual ser su primera interseccin y desde ese punto muvase hacia arriba o hacia abajo segn la condicin del eje z, un ejemplo de esto se muestra en la siguiente grfica:

EJERCICIO: Una vez que ha comprendido el significado de los vectores y escalares podemos hacer algunos ejemplos: Dados los siguientes puntos A) (1,2,3) Encuentre: A) La grafica del punto A, B y C: B) (4,5,6) y C) (-2,-4,-1)

B) La direccin del vector A, B, C: Direccion de un vector = Entonces; direccin de A = B = C=

C) Magnitud del vector A, B, C. Magnitud de un vector: | | Entonces, magnitud de: | | | | | |

D) Vector unitario de A, B, C. Vector Unitario

Entonces, vector unitario de:

E) Vector unitario de AB, BC, CA Vector unitario:

Entonces, vector unitario de:

BC

CA

F) Vector unitario de BA

PRODUCTO PUNTO Se le conoce asi cuando analizamos dos vectores y su resultado final siempre ser un escalar. Para tal efecto, haremos uso de la siguiente expresin: | || | | |

Con dicha expresin y haciendo uso de las siguientes condiciones:

Utilizando las propiedades del producto punto demuestre que se cumplen satisfactoriamente. A= B=

Dados los siguientes puntos (0.5, -0.3, 0.1) , (-1, -2, -3) y (-0.56, 0.25, -0.3) encuentre lo siguiente: a) La grfica de los puntos A, B, C

b) Direccin de A, B, C Direccion de un vector = Entonces; direccin de A= B= C=

c) Magnitud de vector A, B, C Magnitud de un vector: | | Entonces, magnitud de: | | | | | |

d) Vector unitario de A, B, C Vector Unitario

Entonces, vector unitario de:

e) Vector unitario de AB, BC y CA Vector unitario:

Entonces, vector unitario de : AB: |

=

|

BC |

=

|

CA | |

=

f) Vector unitario de BA, CB y AC El resultado es el mismo pero con direccin contraria ya que se toma como X2 al punto que anteriormente se tomaba como X1: BA = CB =AC =

g) 2A-3B+C 2A= 2( -3B= C= 2A-3B+C= 2A-3B+C= h) (A-B)+2C A= B= 2C=

)=

)

(A-B)+2C=

(A-B)+2C=

i) 5A-2C+4C+D=0 5A+2C+D=0 D= - 5A - 2C - 5A= - 2C=

D= D=

j) C-B=B-C C+C - B - B = 2C - 2B 2C= - 2B= 2C 2B = 2C 2B = PRODUCTO CRUZ: Cuando se hace una relacin con dos vectores, su resultado siempre ser otro vector con otra direccin, por lo tanto, es necesario tomar en cuenta las siguientes condiciones: | || | | |

Asi mismo, es necesario entender cmo podemos obtener esto matemticamente, por lo tanto, es necesario entender la siguiente expresin: | |

[

]

[

]

[

]

Dados los siguientes puntos (1,-1,3) , (3,-4,6) encuentre: a) Producto punto y producto cruz.

Producto punto: Producto cruz: | [ | ] [

]

[

]

Dados los siguientes puntos (1,3,4) y el punto (-2, -6, -10) encuentre el ngulo en forma vectorial y escalar. | | Entonces, magnitud de: | | | | | || | | | | || | | |

Forma escalar:

|

|

Forma vectorial: | || |

|

|

| [

|

[

]

[

]

[

]

]

[

]

[

]

|

|

| | | || |

Dado los siguientes puntos (3,4,6) y el punto (-7,-2,-6) y el punto (0.5,-20,40) encuentre el ngulo tanto escalar y vectorial de AB, BC, CA | |

Entonces, magnitud de: | | | | | | AB | || | | | | || | | |

Forma escalar:

|

|

Forma vectorial: | || | | [ |

|

|

[

]

[

]

[

]

]

[

]

[

]

| |

| | | || | BC

|

|

Forma escalar: | || | | | | || | | | | |

Forma vectorial: | || | | [ |

|

|

[

]

[

]

[

]

]

[

]

[

]

| | | || | CA

Forma escalar: | || | | |

| | | || |

|

|

Forma vectorial: | || | | [ |

|

|

[

]

[

]

[

]

]

[

]

[

]

| |

| | | || |

Dados los puntos a(1, 0, 4) b(2, 0, 3) y c(-4, 2, 1) encuentre los ngulos en forma escalar y vectorial de ab, bc, ac y diga si es un tringulo rectngulo:

| |

Entonces, magnitud de:

| | | | | |

AB Forma escalar: | || | | | | | | || |

|

|

Forma vectorial: | || | | [ |

|

|

[

]

[

]

[

]

]

[

]

[

]

| |

| | | || |

|

|

BC Forma escalar: | || | | | | | | || | | |

Forma vectorial: | || | | [ |

|

|

[

]

[

]

[

]

]

[

]

[

]

| | | || |

AC Forma escalar: | || | | |

Son ortogonales puesto que el producto punto es igual a 0 Forma vectorial: | || | | [ |

|

|

[

]

[

]

[

]

]

[

]

[

]

| |

| | | || |

Trasformacin de Coordenadas Para poder llevar a cabo dicha trasformacin es necesario ubicarnos desde que sistema queremos empezar y hacia que sistemas queremos terminar por lo tanto si queremos transformar de coordenadas cartesianas a coordenadas cilndricas es necesario utilizar la siguiente expresin. ( )

Dados los siguientes puntos (1, 2, 3) transfrmelos a coordenadas cilndricas. ( ) ()

Trasformacin de coordenadas cilndricas a cartesianas. Para poder llevar a cabo dicha trasformacin es necesario tomar las siguientes expresiones.

Dados los siguientes puntos (2.23, 63.43, 3) transformarlos a coordenadas cartesianas.

Trasformacin de coordenadas cartesianas a esfricas. Para llevar a cabo dicha transformacin es necesario tomar en cuenta las siguientes expresiones. . ( ) Dados los siguientes puntos (1, 2, 3) transfrmelos a coordenadas esfricas. (

/

) (

)

( )

( )

Transformacin de coordenadas esfricas a cartesianas Para llevar a cabo dicha trasformacin es necesario tomar en cuenta las siguientes expresiones.

Dados los siguientes puntos coordenadas cartesianas.

(3.74,

36.69,

63.43)

transfrmelos

a

Dados los siguientes puntos: A (5, 3, 7), B (4, 1, 6) y C (8, 27, 5) Encuentre el ngulo de AB, BC y CA, diga qu tipo de tringulo es y encuentre su rea. A)

B)

C)

ngulos de AB, BC y CA: | | | | | | | | | | | | . / | || | | | | | | | . / | || | | | | | . | | || | | / . | | || | | /

| | . / | || | rea:

.

| | ||

| |

/

|

|

{[ [ [ {

] ] ]} }

|

|

,

-

{

}

|

|

Este es un tringulo rectngulo.

Gradiente (Grad A o A) = Operador Nabla = A= ( A= )

Escalar Vector

A= Campo escalar

Dado el siguiente campo escalar gradiente en el punto (1, 2, 3). A= A= A=

encuentre el

A= [ [ A= A=

] ]

[

]

Un mosquito se encuentra en un auditorio cuya temperatura est en funcin del siguiente campo escalar: , de tal forma si el mosquito sabe que el calefactor est en el punto dentro del recinto, en qu direccin debe volar el mosquito para llegar al calefactor. A= A= A= [ A= ] [ ] [ ]

Divergencia (Div A o A)

Vector Escalar

Con respecto a este tema el criterio consiste en que partiendo de un vector al final como resultado se obtendr un escalar, para tal efecto es necesario tomar en cuenta la siguiente expresin. (A=

) (

)

Dado el siguiente vector divergencia en el punto (1, 2, 3). A=

encuentre la

A= A= A= A=

Rotacional (Rot A o x A) x A= [ ]

Vector Vector

Ejemplo. x A= [ ]

x A=* + x A= [ ]

+

*

+

*

[

]

[

]

Laplaciano 2A , xx A o x A x A= [ ]

Vector VectorVector

[ x A= [

]

[

]

[ ]

]

x A=0* x A= [ [

+

*

+

* ]

+ 1

]

[

]

Ley de Coulomb La Ley de Coulomb establece que es posible obtener el valor de la magnitud de la fuerza en funcin de la carga que la afecte, de tal forma que podemos mencionar el siguiente teorema: La fuerza elctrica es igual al producto de la constante de cargas involucradas por una constante de Balzman e inversamente proporcional a la distancia del cuadrado que lo separa por la direccin de un vector unitario en cualquier punto quedando esto expresado matemticamente como:

= Cte. de permitividad =

Dadas 2 cargas puntuales las cuales estn situadas estratgicamente en las coordenadas respectivamente. Con estas condiciones encuentre la fuerza resultante de

(

)

(

)

( )

[

]

[

]

Dos

puntuales se encuentran situadas en las coordenadas respectivamente. Si ambas cargas estn afectadas por una carga de prueba centrada en el origen, con estas condiciones utilizando la Ley de Coulomb encuentre la relacin de y diga si se encuentra en equilibrio, si, no, porque. Nota: considere que todas las cargas son del mismo signo.

cargas

( ) ( ( ( ) ) ) ( )

( )

A travs de una varilla dielctrica se encuentran 2 esferas donde una de ellas est mvil y la otra fija. Si la mvil tiene una masa de 3 g. con un valor de carga de 5 nanocoulombs y la fija tiene un valor de 3 nanocoulombs, con estas condiciones, qu tan lejos flotar la esfera mvil de la fija. Aplicando Coulomb.

Considere 4 cargas puntuales que estn situadas estratgicamente de la siguiente manera, 2 de ellas estn situadas en la abscisa 4, y las otras 2 en la ordenada 4, si todas ellas estn afectadas por una carga de prueba, la cual est situada en las coordenadas . Con estas condiciones cual ser la carga total sobre dicha carga de prueba, si la carga de prueba tiene un valor de 200 atocoulombs y las 4 cargas tienen un valor de 500 femtocoulombs.

[

[

]

]

[

]

[

]

Campo Elctrico ( )

Dos cargas puntuales de -2.5 mC que se encuentran en la ordenada 8 y otra carga de 4.5 mC que se encuentra en la abscisa -3. Encuentre el campo total con respecto al punto

[

[

]

] ]

[ ]

[

Considere 2 placas infinitas donde una de ellas est posicionada en y=2 y es paralela al eje xz de tal forma que existe otra placa que est posicionada en x=1 de tal forma que es paralela al eje yz. Si la primera placa tiene un valor de y la segunda de a) b) c) d) . . Encuentre el campo vectorial en los puntos

a) b) c) d)

De la siguiente figura considerando que todas las cargas tienen valor de 10 nanocoulombs. Encuentre: a) El campo elctrico total en el centro del cubo b) El campo elctrico total en el centro de la cara frontal del cubo. c) El campo elctrico total en el centro de la cara superior. d) El campo elctrico total en una cara lateral del cubo. e) La Ft sobre una carga positiva. f) La Ft sobre una carga negativa

a) El campo elctrico total en el centro del cubo

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

b) El campo elctrico total en el centro de la cara frontal del cubo.

[

]

[

]

[

]

[

]

c) El campo elctrico total en el centro de la cara superior.

[

]

[

]

[

]

[

]

d) El campo elctrico total en una cara lateral del cubo.

[

]

[

]

[

]

[

]

Ley de Gauss En este tema comprender la importancia de la ley de Gauss para entender el comportamiento de las cargas elctricas a travs de cualquier superficie equipotencial, de tal forma es necesario entender la ley de Gauss. Teorema de Gauss Dicha ley o teorema establece que el flujo elctrico a travs de cualquier superficie esfrica imaginaria es igual a la carga total que encierra a dicha superficie de tal forma esto lo podemos ver de la siguiente manera.

Otra condicin de la Ley de Gauss es que tiene que haber un flujo continuo entre cargas positivas y negativas tal como se muestra en la siguiente figura.

En ausencia de cargas negativas el flujo tiende a irse al infinito tal y como se muestra en la siguiente figura.

As mismo necesitamos entender dicho comportamiento a travs de un plano o una superficie cerrada, tal y como se muestra en la siguiente figura.

En base a lo anterior y tomando como ejemplo la siguiente figura, que demuestre que efectivamente existe una relacin entre la densidad de flujo elctrico y el campo elctrico.

Considere el siguiente diferencial de flujo: Que pasa a travs de un plano situado en X=3 y est limitado para y de (-1 a 2) y para z de (0 a 4), con estas condiciones encuentre el flujo elctrico que pasa a travs de este plano. ( )

0 0 [ ][ ] 1[ ] 1[ ] [ ][ ]

A travs de un cubo centrado en el origen, considerando que la densidad del flujo elctrico es igual a: encuentre el flujo total a travs del cubo.

[ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ]

A travs de un cubo centrado en el origen, considerando que la densidad del flujo elctrico es igual a: cubo. ( ) encuentre el flujo total a travs del

( ) ( ( ( [ ][ ] [ ][ ] ) ) ) ( ) ( ) ( ) ( )

Una vez que ha entendido el comportamiento de la ley de Gauss ahora pasaremos a entender el teorema de la divergencia la cual se representa de la siguiente manera:

Dicho teorema indica que no importa por cual sistema se resuelva un determinado problema el resultado siempre ser el mismo. Ejemplo.- Evalu por ambos lados del teorema de la divergencia a travs de un cubo centrado en el origen cuyas aristas miden 2 metros por lado y si la densidad del flujo elctrico es igual a:

[ ][ ][ ] [ ][

][

]

Evale por ambos lados del teorema de la divergencia a travs de un cubo centrado en el origen cuyas aristas miden 2 metros por lado y si la densidad del flujo elctrico es igual a: ( )

( )

0 0 ( ) 1 [ ][ ] 1[

][

]

Considere que la densidad de flujo elctrico es 10/4 r3 en direccin ar c/m2 en coordenadas cilndricas, de tal forma, evale ambos lados del teorema de la divergencia para el volumen encerrado por r=1 y r=2, z=0 y z=10

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA:

(

)

(

)

De la siguiente figura, considere que la densidad del flujo elctrico es igual a 5/4r2 direccin ar c/m2 en coordenadas esfricas. De tal forma, evale por ambos lados del teorema de divergencia para el volumen encerrado por r=4 y = /4 TEOREMA DE LA DIVERGENCIA:

(

)

( )

(

)

(

)

Considere ahora que la densidad de flujo es igual a la anterior con la condicin de que r va de 1 a 2, de tal forma, evaluando por el teorema de divergencia, encuentre el valor del flujo. TEOREMA DE LA DIVERGENCIA:

(

)

(

)

Considere que la densidad de flujo elctrico, es igual a 10/4r3 ar en coordenadas cilndricas, de tal forma, evale por ambos lados del teorema de divergencia para el volumen encerrado por r=2 y z=0 a 10. TEOREMA DE LA DIVERGENCIA:

(

)

(

)

Trabajo Ejemplo 1 Halle el trabajo realizado al mover una carga de 2 C desde hasta a lo largo de la lnea recta que une a los dos puntos si el campo elctrico es:

La ecuacin de la trayectoria es la trayectoria. Por consiguiente:

, por lo tanto,

a lo largo de

[ ]

0

1

Ejemplo 1 Otra forma de resolverlo Halle el trabajo realizado al mover una carga de 2 C desde hasta a lo largo de la lnea recta que une a los dos puntos si el campo elctrico es:

[

]

0

1

0 [

]

1

0

.

/1

0

1

Ejemplo 2 Halle el trabajo realizado en el campo del ejemplo 1 si la carga de 2 C es movida desde hasta a lo largo del eje x. Luego desde hasta a lo largo del eje y.

[ ]

0

1

Potencial Elctrico entre dos puntos Ejemplo 3 Encuentre el potencial de con respecto a en coordenadas cilndricas, donde el campo elctrico es producido por una carga lineal sobre el eje z, est dado por: ( )

( )

Ejemplo 4 Un condensador de placas paralelas, tal que , tiene un voltaje constante ( ) entre las

V aplicado entre las placas. Encuentre la energa almacenada en el campo elctrico. Despreciando el efecto de bordes, el campo es placas y en cualquier otro lugar.

( )

Otro mtodo: | | ( )

Tomando en cuenta la siguiente expresin, demuestre que efectivamente se cumple la siguiente relacin.

Considere que un capacitor tiene una carga total de 16 C para un voltaje de 16 V. Si el rea del capacitor es de .16 m 2 y el valor de la capacitancia es de 16 pF. Qu separacin debe haber entre las placas para que se cumpla esta condicin? Cul sera la nueva distancia si ahora la permitividad relativa tiene un valor de 16?

Considere ahora que la permitividad relativa es igual a 4 para un rea de .20 m2 y una separacin de 10 mm. con estas condiciones encuentre el valor de la capacitancia si el voltaje almacenado es de 5 V. y asi mismo encuentre la densidad de flujo elctrico y el campo elctrico.

Encuentre la energa total e individual, campo elctrico total e individual, los voltajes individuales, densidad de flujo elctrico totales e individuales, y cargas.

200V

4mm 6mm

En serie las cargas son iguales, asi que

De la siguiente figura encuentre la energa total e individual, el campo elctrico total e individual, los voltajes individuales, la densidad de flujo elctrico total e individual, las cargas totales e individuales.

) ) )

( ( (