topografia para tromenes

7/23/2019 topografia para tromenes

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Lección 23. MODELO DE CARTERA

Un modelo de cartera apropiado para un levantamiento por radiación se presenta en la Tabla 7, aunque no es

obligatorio conservar esta distribución, es importante que el modelo que se lleve a campo sea lo más simpleposible de tal forma que los datos se consignen con la mayor claridad, evitando complicaciones innecesarias.

La cartera de campo está compuesta por columnas de la siguiente manera:

5. Estación. sta corresponde al punto donde se estaciona el teodolito, corresponde al punto central deradiación de todos los ángulos.

!. Punto observado. s el punto "acia el cual se mide el ángulo "ori#ontal, partiendo desde cero $%& %' %() ymidiendo siempre en sentido de las agu*as del relo*.

7. Azimut. n esta columna se consigna el valor del a#imut medido al punto de referencia. +or facilidad secoloca una columna para cada parte del ángulo, es decir una para los grados, otra para los minutos y otra paralos segundos.



n la figura anterior se observa que en particular este teodolito digital, permite tomar lecturas cada %'' $%segundos), se ve que en este caso en particular la medida del ángulo "ori#ontal es de -%& %%' %%''.

. Distancia horizonta. s el valor de la distancia medida en forma "ori#ontal, del punto de origen de laradiación, "asta los v/rtices. 0ay que "acer la claridad que para evitar movimientos bruscos o golpes sobre el

teodolito, que pueden descalibarlo y da1ar todas las mediciones, se acostumbra marcar el punto de radiacióncon una estaca, medir los a#imut y despu/s de confirmadas las lecturas, medir las distancias "ori#ontales.

Luego de tomar los datos en campo y de "acer el croquis del levantamiento, que debe ser a mano al#ada ytener la forma de lo mostrado en la 2igura 5!, se procede a reali#ar los cálculos de las coordenadas y del áreaen la oficina.

Lección 2!. C"LC#LO DE LA$

COORDE%ADA$.

l caso más general es aquel en el que se toma un v/rtice del pol3gono, en forma arbitraria como meridiano delas demás mediciones, es decir el teodolito se pone en ceros al mirar ese punto $lan#ar la visual). n este casose debe determinar el a#imut real de ese punto para "acer las correcciones en la oficina. 4uando se escogeun meridiano arbitrario para tomar las mediciones, no se "abla de a#imut sino de ángulo derec"o.

upongamos que el a#imut del punto mostrado en la 2igura 6, fue 8!& 8' %(, entonces el procedimientoque se aplica es sumar este valor a cada uno de los

ángulos derec"os obtenidos, teniendo la precaución de no sobrepasar el valor de 8!%&, si esto ocurre se leresta 8!%& al resultado. +or e*emplo, si la suma da 8& 5', en este caso el valor del a#imut será:

9#imut 8& 5' ; 8!%& & 5'

La cartera de traba*o, inicialmente quedará de la siguiente forma, es decir tal y como se toma en campo.

Luego de reali#ar las correcciones del a#imut queda:



9"ora calculamos los valores de las proyecciones tanto en el e*e < $;=), como en el e*e > $?;). @ecordarque todo ángulo se puede descomponer en sus proyecciones, las cuales están dadas por las funcionestrigonom/tricas eno y 4oseno, tal como muestra la 2igura 5.

Las proyecciones ;=, se calculan multiplicando el valor de la distancia "ori#ontal por el eno del a#imut,mientras que las proyecciones $?;), se calculan multiplicando el valor de la distancia "ori#ontal por el 4osenodel a#imut, de acuerdo a la siguiente fórmula.

+roy$;=)LAeno$a#imut)

+roy$?;)LA4oseno$a#imut)

Las proyecciones ;= de los v/rtices serán:



Be forma análoga, las proyecciones ?; de los v/rtices serán:

Un resumen de los cálculos anteriores se presenta en la siguiente Tabla.

l siguiente paso es calcular las coordenadas de cada uno de los v/rtices. +ara esto se escoge un valor decoordenadas que se aplicarán al punto central desde el que se "i#o la radiación. s decir, para calcular lascoordenadas de cada v/rtice a las proyecciones encontradas, se le suman las coordenadas definidas para elpunto central. Lo importante es que todas las coordenadas queden positivas, por tanto se debe sumar un valor positivo que sea mayor que el menor negativo.

n este caso podemos escoger un valor de coordenadas iniciales de $%%C%%). Las coordenadas ;= de losv/rtices serán:



4oord;.8D%%7.!

4oord;%.!ED%%7-.8!

4oord8%.ED%%%%.E

4oordE8-.%5D%%8-.%5

4oord5E.%ED%%E.%E

4oord!;5.55D%%-E.E5

Las coordenadas ?;, de los v/rtices serán:

n la siguiente Tabla se presenta un resumen de los cálculos reali#ados.

La siguiente Fráfica presenta un esquema del pol3gono anali#ado.



Lección 2&. C"LC#LO DEL "REA

9unque el área del pol3gono puede ser determinada directamente mediante el uso del plan3metro, se presentael m/todo del cálculo del área a partir de las coordenadas.

l área de un pol3gono a trav/s de sus coordenadas se determina gracias a la siguiente ecuación:

G tambi/n con:

4omo se ve, el área del pol3gono se define como la semisuma de los productos de la ordenada $?; o >) porla resta de las abscisas $;= o <) anterior y posterior al v/rtice evaluado.

@etomando los valores de la Tabla <E, calculemos el área del pol3gono, usando la segunda ecuación del área:



Lo que sigue es sumar las áreas parciales, lo que nos da: 9T 9 D 9 D 98 D 9E D 95 D 9! 9T 8%E.!E D 8-!5.! ; -.%5 ; !%5.8% ; E!8. ; !88.7!

9T ;E.%8 m

4omo el área se calcula como la semisuma de las áreas parciales, el área del pol3gono es:

9T;E.%8H

9T%!%.5m

Bebemos tener en cuenta que como para el cálculo del área no se tiene en cuenta el signo, por eso siemprese toma positiva, dado que no "ay áreas negativas. l valor del área no cambia, sin importar cual de las dos

ecuaciones de área se esco*a, por lo tanto vamos a determinar el área usando la primer ecuación:

umamos las áreas parciales, lo que nos da: 9T 9 D 9 D 98 D 9E D 95 D 9! 9T ;-5.E7 D 5%. D %5.-% D !%E.58 ; E7. ; !77. 9T E%.75 m

4omo el área se calcula como la semisuma de las áreas parciales, el área del pol3gono es: 9T E%.75 H 9T %!%.8 m



Iemos que la diferencia entre las dos ecuaciones es muy ba*a y se debe a las apro6imaciones que se "icieroncon los decimales.

Lección 2'. C"LC#LO DE LA$COORDE%ADA$ ( AREA.

Luego de verificar los datos en campo y de contar con un croquis a mano al#ada del levantamiento, seprocede en la oficina a calcular las coordenadas de los v/rtices.

C"LC#LO DE LA$ COORDE%ADA$ ( AREA.

4omo se comentó anteriormente, en campo se toman valores del ángulo derec"o para cada v/rtice, dela#imut y de la distancia entre cada v/rtice. Be esta forma la cartera tomada en campo queda de la siguienteforma, se presentan los valores correspondientes para el pol3gono de la 2igura !%.

n la columna punto observado, se observa que la mira del teodolito gira entre las dos estacionesconsecutivas sobre la que está estacionado el teodolito, midiendo el ángulo derec"o entre ellas. n la estaciónE por e*emplo, el ángulo derec"o corresponde al ángulo generado por las estaciones 8 y 5.

n este momento se verifica el error angular de cierre, de acuerdo a la Tabla , el error má6imo para estelevantamiento $asumiendo precisión alta para traba*o en ciudad) está dado por:

La suma teórica está dada por $teniendo en cuenta que se está traba*ando con ángulos e6ternos, si setraba*ara con los internos la suma seria %A$n;)):Jteórica %$nD)

n este caso se cuenta con una poligonal de 5 lados, luego la suma teórica da:

Jteórica %$nD)Jteórica %$5D)Jteórica !%&



La suma real para este caso es:Jreal 77& ' D 8& 8!' D !!& 85' 8%'' D 5& 8!' D E%& 5E'Jreal 5-& 5-' 8%''

n este caso el error de cierre ser3a:

rror de cierre Jteórica ; Jrealrror de cierre !%& ; 5-& 5-' 8%''rror de cierre %%& %%' 8%''

l error de cierre, está por deba*o de lo recomendado, luego se puede proceder con los demás cálculos dellevantamiento. ste error de cierre se reparte entre los v/rtices, luego a cada v/rtice se le suman ! segundos$%%& %%' %!'').

La cartera queda como sigue:

+ara el cálculo de los a#imut, se sigue la siguiente regla:

9 cada punto se le suma el ángulo derec"o medido en ese v/rtice, si el a#imut anterior es mayor a %K, seprocede a restarle este valor $;%K), si es menor, se le suma $D%K). e muestra a continuación el cálculo dela#imut para los v/rtices y 8.

)*rtice 2.

l a#imut del punto anterior es 8K , como es menor que %K, se le suma este valor y el ángulo derec"o enel v/rtice . Lo anterior queda:

9#imut $) 8K D %K D 8K 8! %!(

9#imut $) E!K E %!(

4omo el a#imut no puede ser mayor que 8!%K, se le resta este valor, con lo que el

a#imut queda:

9#imut $) E!K E %!( ; 8!%K

9#imut $) !!K E %!(

I/rtice 8.

l a#imut del punto anterior es !!K E7 5E(, como nuevamente es menor que %K, se le suma este valor y elángulo derec"o en el v/rtice 8. Lo anterior queda:

9#imut$8)!!KE%!(D%KD!!K858!( 9#imut$8)58K8E(



4omo el a#imut no puede ser mayor que 8!%K, se le resta este valor, con lo que el a#imut queda:

9#imut$8)58K8E(;8!%K 9#imut$8)58K8E(

Luego de reali#ar las correcciones del a#imut queda:

e invita al lector a calcular el a#imut del v/rtice , siguiendo la misma metodolog3a y comprobar queefectivamente da el mismo resultado planteado inicialmente $8K %%(). 9"ora de manera análoga a loe6presado en el levantamiento por radiación, calculamos los valores de las proyecciones tanto en el e*e < $;=), como en el e*e > $?;). Las proyecciones ;=, se calculan multiplicando el valor de la distancia "ori#ontalpor el eno del a#imut, mientras que las proyecciones $?;), se calculan multiplicando el valor de la distancia"ori#ontal por el 4oseno del a#imut, de acuerdo a la siguiente fórmula.

Las proyecciones ;= de los v/rtices serán:



Be forma análoga, las proyecciones ?; de los v/rtices serán:



Un resumen de los cálculos anteriores se presenta en la siguiente Tabla.

s necesario revisar de igual forma el error lineal de cierre, esto asegura que en la poligonal una ve# dibu*adase parta del v/rtice y se vuelva a el. in embargo, por errores al tomar la medida de los linderos, esto puedeno ser as3 y es necesario reali#ar a*ustes para asegurar el cierre de la poligonal. n una poligonal cerrada

debe cumplirse que:

J+royecciones?;%

J+royecciones;=%

+ara a*ustar las proyecciones de los v/rtices e6isten varios m/todos matemáticos y geom/tricos. n este casose presentará uno de los más comunes llamado m/todo de la brM*ula, el cual relaciona el error de cierre con lamedida de los lados del pol3gono y su per3metro, tal como lo muestra la siguiente e6presión:

Bonde 4, representa la corrección que debe aplicársele a la proyección. +ara a*ustar la proyección se procedede la siguiente manera:

+royeccion$corregida) +royeccion ; 4

+ara mayor ilustración, se presentan a continuación los cálculos para la poligonal que se viene traba*ando.Tenemos que:



J+royecciones ;= %

J+royecciones ;= -.-!7 D 7%.% D 8%.%E5 ; 5-.-!! ;7%.%78

J+royecciones ;= ;%.%%!

J+royecciones ?; %

J+royecciones ?; !-.-- D 8%.%% ; 5-.-! ; 5-.-78 D -.-5-

J+royecciones ?; ;%.%78

Gbserve que para asegurar mayor precisión en las correcciones se traba*ó con tres $8) decimales). lper3metro de la poligonal corresponde a la suma de los lados de los v/rtices:

+er3metro7!.%7D7!.D!7.%-DE.D7.!

+er3metro877.%m.

+ara las proyecciones ;=, la corrección queda:



Be acuerdo a esto, las +royecciones ;=, quedan:

Proyeccion{corregida) = Proyeccion, - C

+royeccion$corregida) -.-!7 D %.%% -.-!

+royeccion$corregida) 7%.%D %.%% 7%.%

+royeccion$corregida)8 8%.%E5 D %.%% 8%.%E!

+royeccion$corregida)E ;5-.-!! D %.%% ;5-.-!E

+royeccion$corregida)5 ;7%.%78 D %.%% ;7%.%7

Tenemos que:

J+royecciones ;= -.-! D 7%.% D 8%.%E! N 5-.-!E ;7%.%7

J+royecciones ;= %

+ara las proyecciones ?;, la corrección queda:



+ara las proyecciones ?;, la corrección queda:

+royeccion$corregida) +royeccioni ; 4

+royeccion$corregida) !-.-- D %.%E7 !-.-887

+royeccion$corregida) 8%.%% D %.%E 8%.%

+royeccion$corregida)8 ;5-.-! D %.%8% ;5-.-78%

+royeccion$corregida)E ;5-.-78 D %.%!E ;5-.-5!!

+royeccion$corregida)5 -.-5- D %.%E -.-78

Tenemos que:

J+royecciones ?; !-.-887 D 8%.% ; 5-.-78% ; 5-.-5!! D -.-78



J+royecciones ?; %

Bespu/s de calcular las proyecciones de los v/rtices de la poligonal, el siguiente paso es calcular lascoordenadas de cada uno de los v/rtices. +ara esto se escoge un valor de coordenadas que se aplicarán alpunto inicial del levantamiento, en este caso llamado stación . +ara calcular las coordenadas de cada

v/rtice a las proyecciones encontradas, se van sumando las proyecciones en forma consecutiva, es decir, alvalor inicial seleccionado, se le suman las proyecciones de la estación , a este resultado se le suman lasproyecciones de la estación y as3 sucesivamente "asta completar el pol3gono. Lo importante es que todaslas coordenadas queden positivas, por tanto se debe sumar un valor positivo que sea mayor que el menornegativo.

n este caso podemos escoger un valor de coordenadas iniciales de $%%C%%). Las coordenadas ;= de losv/rtices serán:

4oord -.-! D%% -.-!

4oord 7%.% D-.-! --.--%E

4oord8 8%.%E! D--.--%E 8%.%8!!

4oordE ;5-.-!E D 8%.%8!! 7%.%7

4oord5 ;7%.%7 D7%.%7 %%

Las coordenadas ?;, de los v/rtices serán:

4oord !-.-887 D%% !-.-887

4oord 8%.% D!-.-887 --.-5!5

4oord8 ;5-.-78% D--.-5!5 8-.-85

4oordE ;5-.-5!! D8-.-85 %.%!-

4oord5 -.-78D %.%!- %%

n la siguiente Tabla se presenta un resumen de los cálculos reali#ados.

l error lineal de cierre de la poligonal, se define como la "ipotenusa del triángulo definido por los errores tanto

en longitud como en latitud. s decir al partir del punto y regresar a /l, el punto ', no necesariamentecoincide con el punto , esto genera un error que se calcula de la siguiente forma:



+ara el caso particular que "emos venido traba*ando el error lineal de cierre es:

n la siguiente 2igura se muestra en forma e6agerada lo e6presado anteriormente.

sto quiere decir que en realidad el punto ' está ubicado a %.%78 m, o 7.8 cm, del verdadero punto . snecesario aclarar que al corregir las proyecciones, este error se eliminó.

La precisión lineal de cierre, se e6presa como el nMmero de unidades medidas para cometer un error de

unidad. sta se define como la relación entre el per3metro de la poligonal y el error lineal de cierre, tal comosigue:



+ara el caso en particular de la poligonal que se "a venido traba*ando tenemos:

Lo anterior e6presa que para cometer un error de metro es necesario medir 55% m en la poligonal. Beacuerdo a la Tabla , una precisión aceptable para un levantamiento de alta precisión para traba*o en ciudad,debe estar por encima de : 5%%%, por lo que este levantamiento cumple con esta condición y se puedecontinuar con el mismo.

La siguiente Fráfica presenta un esquema del pol3gono anali#ado.

@ecordemos que el área de un pol3gono a trav/s de sus coordenadas se determina gracias a la siguienteecuación:



o tambien:

4omo se ve, el área del pol3gono se define como la semisuma de los productos de la ordenada $?; o >) porla resta de las abscisas $;= o <) anterior y posterior al v/rtice evaluado.

@etomando los valores de la Tabla <E, calculemos el área del pol3gono, usando la segunda ecuación del área:

A -.-!A $--.-5!5;%%)

A --.7

A2 --.--%EA $8-.-85;!-.-887)

A2 = ;5--.75

A3 8%.%8!!A $%.%!-;--.-5!5)

A3 = ;75.%

A4 7%.%7A$%%;8-.-!5)

A4 = ;!%%.%!

A5 %%A $!-.-887;%.%!-)

A5 = --%.!

Lo que sigue es sumar las áreas parciales, lo que nos da:

9T 9 D 9 D 98 D 9E D 95

9T --.7 ; 5--.75 ; 75.% ;!%%.%! D --%.!

9T ;8-!.! m


9T ;8-!.! H

9T --.% m



Bebemos tener en cuenta que como para el cálculo del área no se tiene en cuenta el signo, por eso siemprese toma positiva, dado que no "ay áreas negativas. l valor del área no cambia, sin importar cual de las dosecuaciones de área se esco*a, por lo tanto vamos a determinar el área usando la primer ecuación:

umamos las áreas parciales, lo que nos da:

9T 9 D 9 D 98 D 9E D 95

9T !--.7E D %%%-.8 ; E. ; %E%!.E8 ; E%%.8!

9T 8-!.! m


9T 8-!.! H

9T --.% m

Iemos que el área calculada por los dos m/todos es e6actamente la misma, con lo que se confirma que estaes el área correcta.

0asta a"ora se traba*ó con una poligonal que coincid3a e6actamente con el terreno a evaluar. in embargo, enla mayor3a de los casos esto no es posible, o poco práctico, por esto es más fácil usar un poligonal interna,e6terna o mi6ta, tal como se presentó al inicio de este 4ap3tulo.



+ara e*emplificar esta situación se plantea una situación real, que se muestra en la siguiente figura, donde secuenta con un lote en el cual sus propietarios "an instalado una peque1a e6plotación pisc3cola, por esto el loteesta dotado de E estanques, una bodega, la casa de los propietarios y un camino de acceso.

n este caso por facilidad, se decidió traba*ar con una poligonal mi6ta, la cual se muestra en la siguiente

2igura, presentando la numeración asignada a cada uno de los detalles que se traba*arán en el levantamiento.



ste lote está compuesto por ! lados $denominado con letras, de la 9 a la 2) y una poligonal mi6ta de 5 lados$denominada con nMmeros del al 5), con la cual se va a medir el área del lote. l procedimiento para tomardatos es el mismo que para una poligonal cerrada, salvo en el caso de los detalles, los cuales se toman desde

cada estación como si se tratara de una radiación, es decir se mide el ángulo "ori#ontal y la distancia conrespecto a la estación. n la Tabla , se presenta la cartera con los datos tomados en campo.

Lo que se busca con los detalles, es definir dentro del lote las coordenadas de los detalles más

representativos y por tanto poder en un caso dado, obtener el área ocupada por cada uno de ellos. n estecaso, como ya se comentó, se toman valores del ángulo derec"o para cada v/rtice, del a#imut y de ladistancia entre cada v/rtice. 9demás de lo anterior se toman los detalles amarrándolos a una estación. stosse traba*an como una radiación. n estos casos, cobra más importancia la construcción de un gráfico a mano



al#ada donde se presente e6pl3citamente la ubicación de cada uno de los detalles, dado que durante el traba*oen oficina y al dibu*ar el plano puede ser necesario verificar la correcta ubicación de los mismos.

Onicialmente se traba*a con la poligonal base y se sigue el mismo derrotero mostrado para un levantamientopor poligonación, no se mostraran en detalle los cálculos, dado que se "i#o para el e*emplo anterior. Los datos

son:

n este caso el error de cierre es:

rror de cierre Jteorica ; Jreal

rror de cierre !%o ; 5-o 5-'

rror de cierre %%o %' %%''

ste valor está dentro de lo recomendado, la compensación para cada lado es de segundos $(), en lasiguiente Tabla se muestran los ángulos derec"os corregidos y el a#imut calculado para cada uno de ellos.

l siguiente paso es calcular las proyecciones de cada uno de los v/rtices de la poligonal base:



La corrección para las +royecciones ;= es de ;%.%85 y para las proyecciones ?; de %.%E. 9 continuaciónse presentan las +royecciones y las coordenadas de los v/rtices de la poligonal base.

+ara este caso, la precisión lineal de cierre es de :!55, la cual es muy aceptable por estar por encima de:5%%%.

n este momento, luego de tener la poligonal base con sus coordenadas listas, calculamos los datos delpol3gono que se está midiendo. +rimero se calcula el a#imut de cada detalle, siguiendo el procedimientoe6plicado anteriormente.

9 continuación se muestra el proceso detallado para la estación .

La fórmula es:

9#imut $+unto) 9#imut anterior DH; %K D ángulo derec"o.

9#imut $7) 9#imut anterior DH; %K D ángulo derec"o.

9#imut $7) %K E7 E( ; %K D K 5E

9#imut $7) K E+E,

9#imut $!) 9#imut anterior DH; %K D ángulo derec"o.

9#imut $!) %K E7 E( ; %K D EK +

9#imut $!) EK 5-E(

9#imut $9) 9#imut anterior DH; %K D ángulo derec"o.

9#imut $9) %K E7 E( ; %K D 7EK 8!



9#imut $9) 75K 8 E(

9#imut $) 9#imut anterior DH; %K D ángulo derec"o.

9#imut $) %K E7 E( ; %K D 8%7K (

9#imut $) E%K %% %%( ; 8!%K $?o puede ser mayor que 8!%K)

9#imut $) EK %% %%(

9#imut $-) 9#imut anterior DH; %K D ángulo derec"o.

9#imut $-) %K E7 E( ; %K D 8%-K E

9#imut $) E%K - E( ; 8!%K $?o puede ser mayor que 8!%K)

9#imut $-) 5%K - E(


9#imut $) %K E7 E( ; %K D 8-o 5E

9#imut $) E%K E+ E( ; 8!%K $?o puede ser mayor que 8!%K)

9#imut $) !%K E+E,


9#imut $) %K E7 E( ; %K D 88K 8!

9#imut $) E88K 8 E( ; 8!%K $?o puede ser mayor que 8!%K)

9#imut $) 78K 8E(

e continMa de la misma forma "asta obtener el a#imut de todos los detalles de la poligonal. n la siguienteTabla se presentan estos datos.



e resaltan los datos de la poligonal base.

Las +royecciones se calculan de igual forma que para la poligonal base, solo que no se corrigen dado que

esto ya se "i#o para la poligonal base, lo que se muestra a continuación.



Las coordenadas de los detalles, se calculan como coordenadas de radiación, es decir no dependen una de laotra sino que se va sumando el valor de la proyección de cada una, al valor de la coordenada de la estaciónde la poligonal base. +or e*emplo para el punto y 5 de la estación E, tenemos.

Las coordenadas ;= de los v/rtices serán:

4oord .%5 D E.-% .--!

4oord5 ;8.8% D E.-% 8.5%

Las coordenadas, ?; de los v/rtices serán:

Coord 8.%E D -.--! 5.%%

Coord 5 7.--- D -.--! 7.--5

s importante aclarar que al dar unas coordenadas iniciales, estas se asumen para la estación , entonces lascoordenadas $E-.-!- C EE.-77), aunque están en la fila de la estación , corresponden al punto $estación )



y as3 sucesivamente. +or esto en el calculo de las coordenadas de los puntos y 5, se buscan lascoordenadas de la estación E, en la fila de la estación 8. Ierificar que en la fila de la estación 5, al observar elpunto $estación) , llegamos a las mismas coordenadas planteadas inicialmente $%% C %%).

l área de este terreno es de -E-7.-- m, se invita al estudiante a verificarlo.

Lección 2-. LE)A%TAME%TO DE

POL/O%ALE$ A0ERTA$.

4uando se reali#a el levantamiento de una poligonal abierta, normalmente se trata de obras de tipo lineal,

tales como caminos, carreteras, canales de drena*e y similares, en este caso lo que se "ace es dividir la obraen tramos rectos y definir la alineación de cada uno, es decir se mide el a#imut de cada uno y su distanciapara ir construyendo la poligonal abierta. Be acuerdo a lo anterior este m/todo es muy similar al levantamientopor poligonación, solo que el ob*etivo no es determinar el área, sino definir la ruta de la obra.

+ara el traba*o con estas poligonales se tienen las mismas indicaciones y recomendaciones vistas para losdos levantamientos descritos con anterioridad. 9l inicio del levantamiento se coloca el teodolito en el punto deinicio, se nivela, se lleva a ceros $se "ace coincidir con el norte magn/tico o con uno arbitrario) y se mide elángulo comprendido entre este e*e y el punto siguiente $), luego de lo anterior se mide la distancia "ori#ontalentre los dos puntos.

9 continuación se lleva el teodolito al punto , se visuali#a el punto y se lleva a ceros, en este momento se

mide el ángulo "ori#ontal entre y 8, recordando que se "ace en sentido de las manecillas del relo*, esteproceso es similar a la medición del ángulo e6terno en el levantamiento por poligonación. ste proceso serepite tantas veces como puntos "aya, cuidando de tomar siempre la distancia "ori#ontal entre dos puntosconsecutivos.

Un modelo de cartera apropiado para este levantamiento puede ser:

Los cálculos necesarios para determinar la poligonal abierta ya fueron e6plicados anteriormente, en estesentido, con los datos de campo, se calcula el a#imut de cada punto, con este se determinan las proyeccionesy finalmente las coordenadas.

n la siguiente Tabla se presenta un e*emplo de datos tomados en campo para una poligonal abierta



l a#imut para este caso queda:

Las proyecciones y coordenadas para los cinco puntos se muestran en la siguiente Tabla, se obvia lae6plicación, dado que el procedimiento es e6actamente igual a lo e6plicado para radiación y poligonación.

La gráfica de esta poligonal se muestra a continuación.



in embargo, en muc"os casos, no solo se busca definir el e*e de la obra, sino que es necesario enla#arla apuntos o sitios de inter/s, en este caso se traba*a igual que en el caso de la poligonal mi6ta, es decir losdetalles se toman como una radiación. l proceso es el mismo que para la poligonal mi6ta, la Mnica diferenciaen este caso es que no se busca medir un área, sino ubicar el e*e, espacialmente, relacionándolo con losdetalles más importantes, tales como casas, carreteras, caminos árboles, etc.

Lección 31. #$O DE ECEL E%

TOPO/RA4A.n este momento se va a presentar una descripción el uso del programa Picrosoft 6cel, para el cálculo delevantamientos topográficos. s importante aclarar que el uso de esta "erramienta solo simplifica los cálculosy evita errores operacionales, pero en ningMn momento puede (arreglar( datos mal tomados o con erroresgraves.

l uso de esta "erramienta supone un dominio más profundo de los cálculos en forma manual, para poderdeterminar cuando "ay un resultado que no parece correcto, lo cual puede deberse a un error al ingresar losdatos, por e*emplo.

+ara e*emplificar el uso de esta "erramienta se tomará un levantamiento por radiación, dado que para los

demás levantamientos el procedimiento y comandos usados son los mismos.

l modelo de cartera que se debe llenar debe tener el orden mostrado en la Tabla - $aunque no es obligatoriotomarla igual, se recomienda por la facilidad de mane*o en campo y en oficina). +ara facilitar los cálculos, en elmercado e6isten paquetes topográficos los cuales reali#an los cálculos necesarios. +or facilidad de uso yconsecución, en esta unidad vamos a ver la forma de aplicar una "erramienta de cálculo, que en este caso vaa ser la "o*a de cálculo de Picrosoft 6cel. ste programa se compone de una "o*a dividida en una cuadr3cula,en la cual se pueden e*ecutar operaciones diversas.



6cel, se compone de un espacio con forma matricial compuesto por una serie de columnas y de filas. Lascolumnas se nombran con una letra mayMscula, mientras que las filas con un nMmero. +ara nombrar unacelda, o un espacio de la matri#, se coloca primero el nombre de la columna y luego el de la fila. s decir lacelda 9!, corresponde a la columna 9 y la fila !.

+ara comen#ar con el levantamiento lo primero que se "ace es conformar la cartera, de forma análoga a lapresentada anteriormente. n este caso, cada valor se coloca en una columna, por lo que tendremos !columnas, tal como se muestra en la 2igura !!.

Iemos que en la gráfica anterior, el cursor está ubicado en la celda Q5 $Ier en la 2igura !!, que tanto elnombre de la columna como de la fila donde se encuentra el cursor se iluminan en color naran*a), lo cual semuestra en la ventana i#quierda *usto sobre el nombre de la columna 9 $@esaltada por la elipse ro*a en la2igura !!). 9 la derec"a de esta ventana, se muestra otra donde se presenta el valor de la celda, que en estecaso es , "aciendo referencia a uno de los v/rtices del pol3gono $@esaltada por la elipse a#ul en la 2igura!!).

upongamos por e*emplo que los datos tomados en campo para un levantamiento por radiación fueron lossiguientes:



+ara llenar la cartera de campo en 6cel, se debe tener la precaución de colocar un solo dato por celda. lproceso es análogo al llenado de una Tabla en =ord por e*emplo. 4olocando estos datos en la "o*a de 6celnos queda:

Onicialmente no se deben preocupar por no colocar los bordes a la cartera tal como se muestra en la 2igura !7.sta operación se consigue usando la "erramienta Qordes, resaltada en la 2igura !7 por el c3rculo, estopermite darle est/tica al traba*o, lo que se aprenderá con la práctica. Una ve# conformada la cartera, se

procede al cálculo de las proyecciones y de las coordenadas de cada uno de los v/rtices.

+ara el cálculo de las proyecciones en sentido ste ; Geste $;=), se multiplica el seno del a#imut por ladistancia "ori#ontal. +ara el primer v/rtice ser3a:

+r oyE-W = Seno(0°0') * 423!

ProyE-W = 0!

+ara las proyecciones ?orte ; ur $?;), se multiplica el coseno del a#imut por la distancia "ori#ontal. +ore*emplo, para el primer v/rtice tenemos:

+r oy" - S = Co#eno(0°0') * 423!

ProyE-W = 423!



+ara el cálculo en 6cel "ay que reali#ar un paso previo al cálculo de las proyecciones. n 6cel, los ángulosdeben darse en radianes, por lo que se "ace la conversión de sistema se6agesimal a radianes, al calcular lasfunciones seno y coseno.

+ara introducir una ecuación en una celda, se debe colocar primero el signo igual $), esto le indica alprograma que se va a traba*ar una ecuación. i no se coloca este signo, el programa asume como te6to todolo que coloquemos. +or facilidad, se puede reempla#ar el signo igual $) por el signo más $D), al ingresar lafórmula.

4omo sabemos un ángulo e6presado en grados minutos y segundos, puede transformarse a decimal,convirtiendo todo en t/rminos de grados y sumando luego los tres componentes. s decir los grados darán laparte entera y los minutos y segundos la decimal. +ara reali#ar la conversión de los minutos a grados, sedividen por !% y para convertir los segundos en grados se dividen por 8!%%.

+or e*emplo, convertir 5& 8!' 5( a decimal.

4onvertimos los minutos a grados: 8!'H!% %.!%&.

4onvertimos los segundos a grados: 5(H8!%% %.%EEEE&

9"ora sumamos todo: 5& D %.!%& D %.%EEEE& 5.!EEEE&

+ara reali#ar la conversión de los ángulos a radianes, se utili#a la función radianes. La mayor3a de lasfunciones en 6cel, se componen del nombre de la función, seguidas por un par/ntesis dentro del cual secoloca el rango de datos a transformar.

ntonces, la secuencia para calcular la proyección ;=, del v/rtice es la función seno del a#imut $convertidoa radianes) multiplicado por la distancia "ori#ontal. n 6cel la fórmula se introducir3a tal como sigue:

$?G$@9BO9?$4EDBEH!%DEH8!%%)))A2E

6pliquemos por partes la fórmula anterior:

R e convierte el ángulo de sistema se6agesimal a decimal, tal como se e6plicó anteriormente. ste paso es loresaltado en a#ul.

R 4onvertimos el ángulo de sistema decimal a radianes, usando la función radianes. ste paso está resaltadoen ro*o, verificar que el ángulo a convertir se encierra entre par/ntesis.

R Gbtenemos el seno del ángulo en radianes. ste paso está resaltado en verde. Ierificar nuevamente que elángulo está encerrado entre par/ntesis.

R 2inalmente se multiplica todo por la distancia "ori#ontal. sto, está resaltado en negro.

4on base en la 2igura !7 confirmar que los valores de las celdas dadas son los correctos. s decir para elpunto estamos traba*ando con la fila E y las columnas 4, B, y 2.

+ara la proyección ?;, del v/rtice tenemos:

$4G$@9BO9?$4EDBEH!%DEH8!%%)))A2E



stas fórmulas se colocan igual para cada v/rtice. Lo Mnico que cambia son los nombres de las celdas y másconcretamente, el nMmero de las filas. s decir, para el v/rtice 5, las fórmulas de las proyecciones ;= y ?;,quedarán respectivamente $Ier 2igura !-):

$?G$@9BO9?$4DBH!%DH8!%%)))A2

$4G$@9BO9?$4DBH!%DH8!%%)))A2

n la 2igura <8, se presenta la cartera tal como queda "asta el momento. @ecordar que el m/todo porradiación no permite el cálculo de error de cierre ni de precisión, por tanto calculamos directamente lascoordenadas de los v/rtices, asumiendo una cota inicial de $5%%C5%%) para el punto central. +ara la elección deeste valor, recordar que lo que se busca es que todas las coordenadas sean positivas, por tanto, el valor inicialescogido debe ser mayor que el menor valor negativo.

+ara el cálculo de las coordenadas, se suma el valor inicial escogido a cada una de las proyecciones. uponer que la coordenada inicial está ubicada en la celda F8, para sumar este valor a cada una de las proyeccionesse utili#a el siguiente comando SFS8. sto le indica ala "o*a de cálculo que el valor de la celda F8 es

constante, es decir no cambia al aplicar la fórmula a las demás celdas.

ntonces para el v/rtice la fórmula para el cálculo de la coordenada ;= queda: SOS8DFE, y para lacoordenada ?;: SS8D0E $Ier 2igura !-)



+ara el cálculo del área vamos a usar el m/todo de las coordenadas, "aciendo la diferencia de ordenadas$Ialores ?;). 9 4ontinuación se presenta la cartera total con el cálculo del área.

e observa en la 2igura 7%, que por facilidad construimos otra Tabla para el cálculo del área, donde lasegunda columna corresponde al valor de las coordenadas ;=.

La tercera columna corresponde a las coordenadas ?; anteriores >$?;)V, es decir por e*emplo para el

v/rtice , el valor de la proyección ?; anterior, corresponde a la del punto , o sea 5E.8%.



La cuarta columna, corresponde a las proyecciones ?; posteriores >$?D)V, de forma análoga a lo e6plicadoanteriormente. s decir para el v/rtice E, el valor de la proyección ?; posterior, corresponde a la del punto 5,o sea 5%.!5.

La quinta columna corresponde a la resta de las proyecciones anteriores y posteriores para cada v/rtice, para

el v/rtice la fórmula para calcular esto queda: 48;B8. @ecordar que se inicia con el signo , verificar enla 2igura 7% que las celdas corresponden a las proyecciones para el v/rtice .

La se6ta columna corresponde al valor del área, lo que se calcula como el producto entre la resta de lasproyecciones ?; por la proyección ;=. +ara el v/rtice 8, la fórmula queda: EAQE

La suma de los valores de las áreas se calcula con la siguiente fórmula: UP9$2:2!). Ier que se iniciacon el signo , luego la función que en este caso es UP9, colocando entre par/ntesis los valores quequeremos sumar. 4omo en este caso es un rango de celdas, se coloca la primer celda, seguido de dos puntos$:) y luego la Mltima celda del rango.

2inalmente el área del pol3gono corresponde a la semisuma $mitad) de las áreas calculadas. La fórmula para

obtener esto queda: 27H. Ierificar los nombres de las celdas en la 2igura 7%.

topografia para tromenes

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