topografia para ingenieria

UNIVERSIDAD DE LA SERENA DEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para Ingeniería

Waldo Valencia Cuevas – Académico 1

TOPOGRAFÍA PARA INGENIERÍA

Marzo 2008



Capítulo 1 Conceptos y generalidades.

1.1. Definición de topografía. Tradicionalmente se ha definido a la topografía como una ciencia aplicada, encargada de determinar la posición relativa de puntos sobre la Tierra y la representación en un plano de una porción de la superficie terrestre. En un sentido mas general, se puede definir como la disciplina que abarca todos los métodos, para reunir información de partes físicas de la Tierra y sus alrededores, usando para ello los métodos clásicos de medición en terreno, la topografía aérea (Anexo A) y la topografía por satélite (Anexo B). 1.1.1. Representación de un punto en topografía. Un punto en el espacio puede representarse en 3D o en 2D, a través de los sistemas cartesianos tri y bidimensionales respectivamente. En 3D o sistema cartesiano tridimensional. Figura 1: Sistema cartesiano tridimensional. P(X;Y;Z): coordenadas tridimensionales del punto P, expresadas en metros. P'(X;Y) : coordenadas bidimensionales del punto P, expresadas en metros. Ejemplo: P(X;Y;Z) = P(5000; 5000; 500) Este trío de puntos nos indica que las coordenadas respectivas del punto P son: XP = 5000 m (coordenada este de P). YP = 5000 m (coordenada norte de P). ZP = 500 m (cota o altitud de P).

P(X;Y;Z

P'(X;Y)

X (Este)

Z (Cota o Altitud )

Y(Norte)

XP

YP

ZP

XP : Proyección Este de P. YP : Proyección Norte de P. ZP : Cota o altitud de P.



La diferencia entre cota y altitud, radica en que la primera está referida a un plano de referencia cualquiera, mientras que la altitud lo está al nivel medio del mar. En 2D o sistema cartesiano bidimensional. Figura 2: Sistema cartesiano bidimensional. 1.1.2. Operaciones topográficas. En los métodos topográficos corrientes de medición en terreno, no se considera la verdadera forma de la Tierra, solo se utilizan modelos aproximados a la realidad, entre las prescindencias esta se considera plana, la dirección de la plomada entre dos puntos sería paralela y los trabajos se desarrollan en extensiones relativamente pequeñas, hechas estas consideraciones, cabe destacar que se distinguirían tres operaciones topográficas importantes, el levantamiento, el replanteo y el control. 1.1.2.1. Levantamiento topográfico. Conjunto de operaciones que tienen por objeto determinar la posición de puntos en el espacio y su representación en un plano, el conjunto de operaciones incluye: • Selección del método de levantamiento (poligonación, radiación, triangulación,

intersección inversa, perfiles, contorno, etc.) • Elección del instrumental a utilizar (estación total con jalón y prisma, teodolito

con mira, teodolito con cinta, teodolito-distanciómetro con jalón y prisma, nivel de ingeniero con mira, etc.)

• Identificar y ubicar posibles vértices de apoyo (red geodésica nacional, red geodésica de nivelación nacional, red G.P.S., red local, etc.)

• Realizaciones de mediciones en terreno (distancia horizontal, vertical, direcciones de líneas, ángulos) en forma directa o indirectamente.

• Registro de datos en forma manual (tiende a desaparecer), o automatizada (tendencia actual).

Y(Norte)

X(Este)

P(X,Y) YP

YP: Proyección Norte de P.

XP: Proyección Este de P.

XP



• Cálculo y procesamiento de datos por procedimientos manuales (tiende a desaparecer), o automatizada ( a través de software topográfico).

• Elaboración de planos por medios manuales (tiende a desaparecer) y automatizados ( a través de software topográfico y plotter).

1.1.2.2. Replanteo. Una vez realizado el levantamiento y teniendo como resultado un plano topográfico, los ingenieros o planificadores realizan proyectos sobre ellos, que hay que materializar en el terreno, por lo tanto, la operación de replanteo consiste en volver a terreno a ubicar cada uno de los elementos geométricos previamente definidos en el proyecto. Esta operación contempla un replanteo planimétrico (consistente en ubicar en el terreno en 2D la posición de un punto, al medir la distancia horizontal y el ángulo horizontal horario entre la estación de ubicación del instrumento, la estación de calaje y el punto a replantear) y un replanteo altimétrico ( consistente además en ubicar en el terreno la diferencia de nivel sobre o bajo la cota de terreno, para completar la posición en 3D del punto a materializar). Esta operación de replanteo general incluye la colocación de hitos, monolitos, marcas, crucetas, etc. para delinear, delimitar y guiar trabajos de ingeniería. 1.1.2.3. Control. Conjunto de operaciones cuya finalidad es constatar o fiscalizar en el terreno la materialización de las obras de ingeniería, en el caso de una obra vial no solo se fiscaliza las dimensiones y componentes de la loza o carpeta de asfalto, con sus respectivos testigos y especificaciones técnicas, sino también los radios de curvatura, desarrollos, las posiciones de los principios y fin de curvas, el peralte, el bombeo, y demás elementos geométricos de las curvas verticales y horizontales. Por otro lado en la propiedad minera, el inspector debe chequear la posición o amarre del hito de mensura a la red geodésica nacional, o a la red G.P.S, las correctas dimensiones de los hitos, y el método topográfico o geodésico utilizado. En general es según la actividad desarrollada y el organismo estatal con facultades de georreferenciación, lo que el inspector debe realizar. 1.2. Relación de la topografía con otras disciplinas y ciencias. La topografía (clásica de medición en terreno, aérea y satelital) se relaciona con diversas ciencias tales como, las ciencias exactas, las ciencias naturales, las ciencias de la tierra y un sin número de disciplinas, esta relación tiene que ver desde los fundamentos matemáticos, ópticos, teóricos, de proyecciones cartográficas, hasta con los elementos y soluciones químicas que se requieren para rebelar las imágenes fotográficas de los levantamientos aerofotogramétricos, como también la tecnología aplicada en la topografía clásica, en los sistemas de posicionamiento global por satélite y la que se usa en las imágenes satelitales.



En este texto abordaremos la estrecha relación de la topografía con la geodesia y la cartografía. 1.2.1. Definición de geodesia. La geodesia es la ciencia que trata de las investigaciones de la forma y dimensiones de la superficie terrestre, incluyendo su campo gravitacional exterior y el posicionamiento de puntos sobre la superficie de la Tierra.

Figura 3: El geoide y un elipsoide geocéntrico. La superficie de la Tierra, tal como la conocemos, dista mucho de ser uniforme, sin embargo los océanos son bastante mas uniforme (aún cuando imágenes satelitales indican que también en el mar se observan valles y montañas), pero la superficie o topografía de las masas de tierra muestran grandes variaciones verticales entre montañas y valles, lo cual hace imposible expresar la forma sobre un área de gran tamaño, mediante un modelo razonablemente simple; esto se puede simplificar al remover la masa continental sobre el nivel medio del mar, resultando una superficie con algo de realidad física, que se denomina geoide, figura que no posee una expresión matemática, pero que corresponde a una superficie equipotencial del campo de gravedad de la Tierra que mejor se aproxima al nivel medio del mar (nmm).

Si la Tierra tuviera una densidad uniforme, la topografía terrestre no existiría, y el geoide tendría la forma de un elipsoide achatado, centrado sobre el centro de masa de la Tierra; sin embargo donde exista una deficiencia de masa, el geoide se undirá por debajo del elipsoide promedio, y al revés donde exista un exceso de masa, el geoide se levantará por sobre el elipsoide medio, a esta desviación se le conoce como ondulación o altura geoidal que alcanza en algunas zonas mas o menos 100 m. Estas variaciones han sido determinadas utilizando datos de satélites ópticos y dópler, mediciones gravimétricas, redes geodésicas, poligonales de alta precisión, mediciones astronómicas y adoptando previamente un elipsoide con parámetros establecidos.

Elipsoide

Geoide

Ondulación geoidal



Para realizar cálculos de posición, distancia, direcciones, etc. sobre la superficie terrestre, es necesario tener algún marco de referencia matemático, en nuestro caso el elipsoide achatado es el mejor modelo matemático, dado que es una figura geométrica relativamente simple y que se ajusta al geoide. Las naciones o grupos de naciones han escogido diferentes elipsoides de referencia, los cuales calzan en forma adecuada con un área particular del geoide, y al punto donde la altura geoidal es mínima o cero, es decir, donde coincide el elipsoide de referencia con el geoide se le denomina datum, y para su identificación, se le agrega el nombre del lugar geográfico y el país donde se origina. La expresión del elipsoide como modelo matemático de la Tierra es:

1/// 222222 =++ czbyax si ⇒= 0z 1// 2222 =+ byax , correspondiendo a la ecuación de la elipse, donde a representa el semieje mayor o ecuatorial y b el semieje menor o polar. Los parámetros utilizados para definir un elipsoide de revolución son ( ba, )

o ( fa, ) y e , donde abaf /)( −= “achatamiento” y e = 2)/(1 ab− = 22 ff − excentricidad”. 1.2.1.1. Representación de un punto en geodesia. Un punto en geodesia se representa en el sistema de coordenadas geográficas, cuyos orígenes son el paralelo del Ecuador y el meridiano de Greenwich, que permiten fijar la posición de un punto sobre el elipsoide, por medio de la latitud (ϕ) y longitud (λ).

Figura 4: Coordenadas geográficas de un punto P.

Polo Norte

Polo Sur

Meridiano Greenwich

Ecuador

P(ϕ ,λ)

Hemisferio Norte

Hemisferio Sur

ϕ

λ

Paralelo del punto P Meridiano del punto P



La latitud ϕ de un punto, es el ángulo que se genera entre la normal al elipsoide a través del punto y el plano ecuatorial, toma el valor cero grado sexagesimal en el Ecuador y aumenta hacia los polos hasta un valor máximo de 90 grados sexagesimales en el Polo Norte y 90 grados sexagesimales en el Polo sur. La longitud λ de un punto, es el ángulo que se forma entre la elipse meridiana que pasa a través de Greenwich y la elipse meridiana que contiene al punto; se mide a lo largo del Ecuador desde el meridiano de Greenwich 180 grados sexagesimales en dirección Este y 180 grados en dirección Oeste.

Figura 5: Las tres superficies, Topografía superficie terrestre, Geoide y Elipsoide. 1.2.2. Definición de cartografía. La cartografía es la disciplina que estudia la representación de la superficie terrestre en cartas o mapas topográficos, a través de proyecciones cartográficas. 1.2.2.1. Proyección cartográfica U.T.M. (Universal Transversal de Mercator)

Figura 6: Elipsoide girando en su eje polar en un cilindro secante da origen a 60 Husos.

Normal al elipsoide Normal al geoide (Dirección de plomada)

Elipsoide

Superficie terrestre Superficie del mar ≈ geoide

Desviación de la vertical



Acuerdos cartográficos internacionales que se iniciaron a partir de la conferencia en Bélgica 1951 por la I.U.G.G. (International Union of Geodesy and Geophysics, Unión Internacional de Geodesia y Geofísica), recomendaron el uso de la proyección Universal Transversal de Mercator, por ser esta una proyección conforme, donde las deformaciones se hacen mínimas. Esta proyección puede ser visualizada como la Tierra encerrada en un cilindro secante, cuyo eje forma un ángulo de 90 grados sexagesimales con el eje polar de la tierra. El cilindro tiene generalmente un radio menor que el de la Tierra, de tal manera que las líneas de contacto entre la superficie cilíndrica y la superficie elipsoidal serán líneas paralelas a los meridianos. Girando el elipsoide dentro del cilindro, la secancia podría hacerse frente a cualquier meridiano central y los puntos situados a 3 grados sexagesimales de el, se pueden considerar casi libres de distorsión, donde los paralelos y meridianos terrestres quedarán representados en una superficie plana, por líneas rectas y paralelas que se cortan en ángulo recto; todo esto gracias a que la superficie del cilindro puede extenderse como un plano, lo que da origen al sistema de cuadriculado U.T.M.

Si se gira el cilindro en torno al eje polar terrestre se forman 60 zonas de 6 grados sexagesimales de longitud cada una, cada zona se denomina Huso y están numerados desde el 1 al 60, partiendo del meridiano 180º y siguiendo la dirección Este. Nuestro país está comprendido en los Husos 18 y 19, cuyos meridianos centrales son 75º y 69º de longitud Weste respectivamente. Por otro la extensión en latitud de cada zona es de 84º y 80º hacia el Norte y Sur del Ecuador correspondientemente.

Figura 7: Tres zonas o Husos de 6° de longitud cada una, con sus respectivos meridianos centrales.



La proyección UTM toma como origen de las ordenadas al Ecuador, para el Hemisferio Norte se le asigna el valor 0 m, ascendiendo en la dirección del Polo Norte, al Hemisferio Sur se le asignan 10.000.000 m, descendiendo en la dirección del polo Sur, el origen de las abscisas es el Meridiano Central de cada Huso, asignando a cada uno de ellos un valor de 500.000 m. Las ordenadas se conocen como coordenadas Norte UTM y las abscisas como coordenadas Este UTM. El valor de las abscisas en la proyección UTM (EUTM) aumentan en la dirección Este del Meridiano Central y disminuyen en la dirección Weste. Por otro lado si se trazaran paralelas al Paralelo del Ecuador en la dirección Sur, y paralelas a ambos lados del Meridiano Central, se generaría el sistema de cuadriculado UTM, consistente en una red de líneas perpendiculares entre si, que forman una serie de sectores cuadrados del mismo tamaño, con datos marginales que dan valor a cada una de las líneas que los forman. 1.2.2.2. Cartografía nacional y sistemas de datum utilizados. En nuestro país trabajamos con tres sistemas de datum, dos locales y uno global: Datum Provisorio Sudamericano La Canoa, Venezuela 1956 (PSAD-56). Elipsoide: elipsoide internacional de 1924. a : 6.378.388,000 m “semieje ecuatorial” b : 6.356.911,946 m “semieje ecuatorial” f : ( ba − ) / a = 1 ≈ 1 “achatamiento”

296,999998231 297

2222 /)(: abae − = 0,00672267006118 “primera excentricidad cuadrada del meridiano de la elipse”

2'e : 222 /)( bba − = 0,0067681702366 “segunda excentricidad cuadrada del meridiano de la elipse” Obs. 1 : La cartografía nacional escala 1:50.000 y 1:250.000 está referida al PSAD-56. Obs. 2 : La Constitución de la Propiedad Minera nacional al norte de la latitud Sur 43º30’ está referida al PSAD-56. Obs. 3: El centro geométrico del elipsoide PSAD-56 no coincide con el centro de masa de la tierra (es no geocéntrico).



Datum Sudamericano Chua, Brasil 1969 (SAD-69). Elipsoide: elipsoide sudamericano de referencia 1969. a : 6.378.160,000 m “semieje ecuatorial” b : 6.356.774,720 m “semieje ecuatorial” f : (a- b) / a = 1 ≈ 1 “achatamiento” 298,250011223 298,25 e2 : (a2 – b2) /a2 = 0,00669454160387 “primera excentricidad cuadrada del meridiano de la elipse” e’2 : (a2 – b2)/b2 = 0,0067396605417 “segunda excentricidad cuadrada del meridiano de la elipse” Obs. 1: La cartografía Nacional escala 1:25.000, 1:100.000, 1:500.000 y la ortofotografía 1:10.000 y 1:20.000 está referida al SAD-69. Obs. 2: La Constitución de la Propiedad Minera nacional al sur de la latitud Sur 43º30’ está referida al SAD-69. Obs. 3: El centro geométrico del elipsoide SAD-69 no coincide con el centro de masa de la tierra (es no geocéntrico). Sistema Geodésico Mundial Misuri, EE.UU. 1984 (WGS-84). Elipsoide: Elipsoide mundial de referencia de 1984. a : 6.378.137,0000 m “semieje ecuatorial” b : 6.356.752,3142 m “semieje ecuatorial” f : (a- b) / a = 1 “achatamiento” 298,257222933 e2 : (a2 – b2) /a2 = 0,0066943800047 “primera excentricidad cuadrada del meridiano de la elipse” e’2 : (a2 – b2)/b2 = 0,00673949675703 “segunda excentricidad cuadrada del meridiano de la elipse”



C2,0 : -484,16685 x 10-6 “Coeficiente normalizado de armónico zonal de segundo grado de potencial de gravitación”. W : 7292115 x 10-11 Rad/S “Velocidad angular de la tierra”. GM : 3986005 x 108 m3/S2 “Constante de gravitación de la tierra” (masa de la atmósfera de la tierra incluida). Obs. 1: El Instituto Geográfico Militar (IGM) ha comenzado a partir de 1996, la edición conjunta en PSAD-56 y WGS-84 de la cartografía nacional 1:50.000, existiendo en las cartas parámetros para convertir coordenadas desde PSAD-56 a WGS-84 y viceversa. Ejemplo : para la carta de Santiago E-58 escala 1:50.000 NUTM PSAD-56 = NUTM WGS-84 + 414 m. EUTM PSAD-56 = EUTM WGS-84 + 192 m. Obs. 2: Los GPS tipo navegadores, profesionales y geodésicos vienen configurados en el sistema WGS-84, en el caso de los navegadores cuando se le agotan las baterías y se está trabajando en algún sistema geodésico local (PSAD-56 o SAD-69), debe revisarse el datum de configuración del equipo, dado que, cuando pasan varias horas del reemplazo de las baterías, automáticamente vuelve la configuración al datum WGS-84. Obs. 3: El centro geométrico del elipsoide WGS-84 coincide con el centro de masa de la tierra (es geocéntrico). 1.3. Tipos de levantamientos. Existen diversas variantes de levantamientos, tanto es así que un especialista en una disciplina topográfica a lo largo de su trayectoria, puede tener escaso contacto con las otras áreas de desarrollo de la topografía. Los levantamientos actualmente se utilizan para confeccionar cartas topográficas de la superficie terrestre, de los fondos marinos, deslindes de propiedades públicas, privadas, mineras, agrícolas, para la navegación aérea, terrestre y marítima, para conocer el relieve del suelo y el comportamiento del subsuelo, también se usan en los estudios catastrales, peritajes judiciales y proyectos de ingeniería. Además se emplean en la evaluación de datos sobre el tamaño, forma, gravedad y campo magnético terrestre, y aún se ha logrado confeccionar planos de la Luna y de los Planetas.



Dado que la topografía es demasiado importante para muchas ramas de la ingeniería, en este texto trataremos los levantamientos que tienen mayor aplicabilidad en ella. • Levantamiento geodésico o de control: son levantamientos de grandes

extensiones de terrenos, de alta precisión u orden geodésico, generalmente abarcan la totalidad o gran parte de los territorios de los países, consideran la verdadera forma y dimensiones de la Tierra, conforman redes longitudinales y transversales de puntos con coordenadas horizontales y verticales, que sirven como marco de referencia para otros levantamientos de menor rango geodésico. Comúnmente los ejecutan organismos del Estado, en nuestro país el IGM (Instituto Geográfico Militar), el SHOA (Servicio Hidrográfico y Oceánico de la Armada).

• Levantamientos topográficos: determinan la posición y características de

los accidentes naturales y artificiales, incluyendo las elevaciones de los puntos que permitan la representación en un plano. No consideran la verdadera forma de la Tierra , ésta se considera plana, la dirección de la plomada entre puntos sería paralela en la obtención de los rumbos y azimutes de las líneas que se forman, los trabajos se desarrollan en extensiones relativamente pequeñas.

• Levantamientos aerofotogramétricos: forman parte de la topografía aérea

(ver Anexo A), utiliza la percepción remota a través de una cámara fotográfica ubicada en la parte posterior de un avión para tomar los datos de terreno (fotogramas), siguiendo rigurosamente la planificación del vuelo y a partir de las fotografías aéreas obtenidas, se hace uso de la fotogrametría, de los procesos de restitución, fotointerpretación, clasificación de terreno, proceso cartográficos y de los vértices de apoyo terrestre para obtener las cartas, mapas o planos topográficos. Estos levantamientos se usan para terrenos de difícil acceso, pueden abarcar grandes extensiones del territorio y se pueden lograr gran precisión en ellos. La cartografía nacional del territorio continental, insular y Antártico se ha obtenido usando esta metodología. El SAF (Servicio Aerofotogramétrico) de la Fuerza Aérea de Chile, el IGM (Instituto Geográfico Militar) son los principales organismos del estado que realizan este tipo de levantamientos en nuestro país.

• Levantamientos catastrales: normalmente se trata de levantamientos

urbanos o rurales, con el propósito de localizar los linderos de las propiedades (agrícolas, mineras, acuicultura, derechos de agua, etc.), las construcciones que contienen, para conocer sus detalles, su extensión, su valor o tasación, los derechos de propiedad y transmisión, con la finalidad principal de que el estado pueda recaudar los impuestos respectivos.



• Levantamientos hidrográficos: corresponden a los levantamientos relacionados con la definición de deslindes de playas de mar, ríos, lagos, embalses, y otros cuerpos de agua, así como con la configuración e irregularidades de sus profundidades (batimetría), utilizando instrumental topográfico clásico en la determinación planimétrica y sofisticados instrumentos electrónicos para determinar sus profundidades. Las finalidades pueden ir desde la delimitación de sus playas para uso público, pasando por la navegación, estudio de sedimentos y el dragado de sus fondos. El organismo oficial, técnico y permanente del estado en nuestro país facultado para dirimir diferendos en los trabajos en las costas, lagos y ríos es el SHOA.

• Levantamientos de ingeniería: incluye los trabajos topográficos requeridos

antes, durante y después del término o cierre de los proyectos de ingeniería, un plano topográfico resultante de un levantamiento que entregue la configuración del terreno, mas la incipiente concepción mental de algún proyecto de ingeniería, son las materias primas mas elementales y suficientes para que un ingeniero comience a plasmar en el plano su proyecto. Posteriormente necesitará materializar cada uno de sus elementos en el terreno (operación de replanteo), y alguna institución de fiscalización tendrá la facultad para verificar si lo materializado efectivamente corresponde a lo proyectado (control topográfico), de ahí la importancia que tiene la topografía para los estudiantes de ingeniería en el desarrollo u orientación de sus potencialidades ingenieriles.

• Levantamientos satelitales: corresponden a los levantamientos obtenidos

con tecnología satelital (ver Anexo B), por una parte se puede utilizar la percepción remota a través de un sensor electro-óptico ubicado en la parte posterior de una plataforma satelital, que captan las diversas bandas electromagnéticas correspondiente a luz solar reflejada por los cuerpos terrestres, que luego es clasificada en formatos digitales, que permiten obtener productos computacionales llamadas imágenes satelitales, que con apoyos de redes de puntos coordenados, permiten obtener productos cartográficos de amplio uso civil y militar. Por otro lado, el uso de posicionadores satelitales (GPS, GPS + GLONASS, y en el futuro GALILEO) en conexión con sus respectivas constelaciones de satélites artificiales, permiten obtener la posición tridimensional de puntos en la superficie terrestre, y por ende de los planos topográficos que requiere la ingeniería, así como también el monitoreo y posicionamiento de móviles terrestres, marinos y aéreos, con el apoyo de otras tecnología electrónicas.



1.4. Teoría de errores.

Todas las mediciones realizadas con fines topográficos o geodésicos están afectadas por errores de diferentes clases, es imposible determinar la verdadera magnitud de una serie de mediciones que podrían representar distancias, ángulos, superficies, cubicación de movimiento de tierra y coordenadas. En la práctica solo es posible obtener los valores más probables de dichas mediciones acompañados por una cierta incerteza, es decir: l dl±

nliln

i

/1∑=

= “valor mas probable de la serie de mediciones ”

∑=

−−=n

innllidl

1

2 ))1(/()( = E2M l “incerteza ” o “error medio de la media o

desviación estándar del valor mas probable de la serie de mediciones” 1.4.1. Clasificación de los errores. Errores accidentales o aleatorios (se compensan). Errores sistemáticos (se corrigen). Errores personales o faltas (se eliminan). 1.4.1.1. Errores accidentales o aleatorios, pueden ser provocados por la imperfección de nuestros sentidos (dislexia, miopía, estrabismo, etc.) por la irregularidad de la atmósfera y del terreno a medir, actúan de un modo completamente irregular sobre los resultados de las mediciones y se presentan con signo positivo (+) y negativo (-), ejemplos de esto último, serían los cambios de temperatura por sobre y bajo de la de inicio de un trabajo de medición con una cinta de acero, o con un teodolito de círculos metálicos, también sucede lo mismo cuando se están midiendo ángulos con un teodolito y el viento que incide sobre la señal de puntería, cambia constantemente en un sentido y en otro contrario; algunas veces movimientos sísmicos imperceptibles para nuestros sentidos, desnivelan los equipos topográficos, afectando aleatoreamente las mediciones, por ello es que el tratamiento de la serie de mediciones se hace a través de las leyes de las estadísticas y probabilidades, utilizando en algunos casos los Test de distribución Normal (para n ≥30) o la T- Student (para n < 30). 1.4.1.2. Errores sistemáticos, pueden ser originados por mala calibración instrumental, por la acción unilateral de la atmósfera sobre la línea de puntería, por mediciones no conformes, tales como la mala alineación de las miras o de las cintas durante la medición de distancias. En igualdad de condiciones son siempre constantes en magnitud y con el mismo signo, obedecen siempre a una ley matemática o física. Ejemplos de estos errores serían, cuando falla el control de calidad y se pasan equipos de medición angular electrónica con círculos en graduación sexagesimal y centesimal, originándose errores instrumentales constantes. Cuando se utiliza un



teodolito o un taquímetro mecánico desconocido para un operador, es recomendable realizar previamente mediciones angulares por reiteración (mediciones en directo y directo-tránsito), para descubrir posibles errores instrumentales tanto en el origen del limbo horizontal como en el círculo o limbo vertical (error de índice), para posteriormente realizar las correcciones pertinentes. Si se conocen antecedentes de fabricación de una cinta de acero tales como, la temperatura, tensión de calibración, y dichos datos durante la medición, también es posible corregir las mediciones por corrección por temperatura, por tensión incorrecta y por pandeo o flecha. 1.4.1.3. Errores personales o faltas, son producto de la inhabilidad, descuido o cansancio del operador de un instrumento, pueden generarse por la mala anotación de las mediciones, se descubren repitiendo las observaciones. 1.4.2. Cuantificación de los errores accidentales o aleatorios. 1.4.2.1. Método matemático. 1.4.2.1.1. Principales parámetros estadísticos. Sea l una serie de mediciones de distancias, ángulos, superficies, volúmenes o de posición topográfica, entonces:

nliln

i/

1∑=

= “valor más probable de la serie de mediciones”

E l = ∑=

−n

inlli

1

2/)( “desviación estándar de la serie de mediciones”

E2 l ∑=

−−=n

inlli

1

2)1/()( σ= “error medio cuadrático de la serie de

mediciones”

E2M l ))1(/()(1

2

∑=

−−=n

i

nnlli “error medio de la media” o

“desviación estándar del valor más probable de la serie de mediciones” E2M l = E2 l / n “error medio de la media en función del error medio cuadrático y del número de observaciones realizadas”. Cuando se conoce MSE (Root Mean square error) para medir distancias electrónicas con Estaciones Totales o Distanciómetros, que es una característica propia del instrumental topográfico utilizado, entonces se debe usar:



E2M l = M.S.E l / n “Error medio de la media para instrumental electrónico de distancia” Ejemplo. Si el error medio cuadrático (M.S.E) para una Estación Total es M.S.E = ï (3 mm + 3ppm) y se ha medido 5 veces una distancia electrónica inclinada resultando un valor mas probable de 4.589,325 m. Determine la incerteza con que se midió dicha distancia. Solución: l = 4.589,325 m n = 5 M.S.E l = ï (0,003 + 3/106 l ) m = ï (0,003 + 3/106 4.589,325) m M.S.E l =4.589,325 = ï 0,016767975 m E2M l = M.S.E l / 5 = ï 0,007498866389 m ≈ 0,0075 m 1.4.2.1.2. Error relativo o exactitud relativa. 1.4.2.1.2.1. Error relativo al medir una base topográfica, geodésica o GPS. E.R. = E2 l / l = 1/ ( l /E2 l ) = 1/ Denominador “cuantifica la precisión con que se ha medido una base topográfica con cinta o con taquímetro y mira” E.R. = M.S.E l / l = 1 / ( l / M.S.E l ) = 1/ Denominador “ cuantifica la precisión con que se ha medido una base geodésica con estación total o distanciómetro” E.R. = M.S.EL / L = 1 / ( L/ M.S.EL) = 1/ Denominador “cuantifica la precisión con que se ha medido un vector GPS” ( ver ejercicio en página 66 y grados de precisión en página 64 del texto Topografía en Minería Cielo Abierto) Observación: a manera de relacionar trabajos según precisiones alcanzadas, al medir sus bases se dan las siguientes referencias. i) 1/1.000 ≤ E.Rl Bases en Trabajos de Laboratorio de Topografía ≤ 1/500 ii) 1/10.000 ≤ E.Rl Bases en Trabajos Topográficos corrientes ≤ 1/1.000 iii) E.Rl Bases en Trabajos Geodésicos ≤ 1 /100.000



1.4.2.1.2.2. Error relativo al medir un polígono topográfico, geodésico o GPS.

E.R.Polígono = ε/∑=

n

k

k

jiDH

1 , = 1/(∑

=

n

K

k

jiDH

1 ,/ε ) = 1/Denominador “cuantifica la precisión

con que se ha medido un polígono taquimétrico o electrónico” ε = (εN

2 + εE2 )(1/2) “error de cierre lineal “ o “ error de posición al medir un

polígono taquimétrico o electrónico” εN : “ error de cierre lineal o de posición en la proyección Norte” εE : “ error de cierre lineal o de posición en la proyección Este”

∑=

n

k

k

jiDH

1 ,: “lados o distancias horizontales más probables del polígono” o “ perímetro

del polígono” Y(Norte) B YA A εN ε YA

′ A′ C D εE

X (Este) XA

′ XA

Figura 8: Error de cierre lineal en un polígono cerrado de 4 lados. n

E.R.Polígono GPS = 1/ ( ∑i=1 Di3D / d3D) “cuantifica la precisión con que se ha medido un polígono GPS” (ver páginas 65,66, 162-171 del texto Topografía en Minería Cielo Abierto de los autores). Observación: a manera de relacionar trabajos según precisiones alcanzadas, al medir polígonos taquimétricos y electrónicos se dan las siguientes referencias.



i) 1/1.000 ≤ E.R.P/ Polígonos en Trabajos de Laboratorio de Topografía ≤ 1/500 ii) 1/10.000 ≤ E.R.P/ Polígonos en Trabajos Topográficos corrientes ≤ 1/1.000 iii) E.R.P/Polígonos Trabajos Geodésicos ≤ 1 /20.000 1.4.2.2. Método diferencial. 1.4.2.2.1. A partir de la ley general de propagación de errores accidentales o aleatorios, es posible cuantificar la incerteza (dF) al calcular indirectamente por medio de una función F conocida, que a la vez contiene variables con errores. Sea F una función que depende de n variables ( F= f(a, b, c,...., n) ), entonces la incerteza dF , puede calcularse de acuerdo a la ley de propagación de errores aleatoreos por: dF = [ (δF/δa)2 (da)2 + (δF/δb)2 (db)2 +..........+(δF/δn)2 (dn)2 ](1/2)

donde : (δF/δa) , (δF/δb),.........(δF/δn) “representan las derivadas parciales de la función F con respecto a sus variables a, b, c,....., n. (da), (db),........,(dn) “representan las incertezas al medir las variables a, b, c,....,n ,es decir: E2Ma = da E2Mb = db E2Mc = dc E2Mn = dn Ejemplo: las funciones para calcular la DHA-B por medio de una estación total o con distanciómetro son: DHA-B = Di A-B Cos α A-B = Di A-B Sin Z A-B = Di A-B Sin N A-B

Si escogemos la primera expresión : dDHA-B = [ (δDHA-B/δDi A-B)2 (d Di A-B)2 + (δDHA-B/δα A-B)2 (dα )2 ](1/2) 1.4.2.3 Errores de 50, 90, 95 y 99.7 %, de los datos de la gráfica de relación entre el error y el porcentaje del área bajo la curva de distribución normal, puede determinarse la probabilidad de un error de cualquier porcentaje de probabilidad, donde la ecuación general es: EP = CP σ , donde CP: factor numérico tomado desde la curva.



E50 = ± 0.6745 σ “Error del 50%, fija los límites dentro de los cuales han de permanecer las mediciones un 50% de las veces”. E90 = ± 1.6449 σ “Error del 90%”. E95 = ± 1.9559 σ “Error del 95 %, llamado también error dos sigma (2σ ) “. E99.7 = ± 2.567 σ “Error del 99.7 % o error tres sigma (3σ ).

Figura 9: Relación entre el error y el porcentaje de área bajo la curva de distribución normal. 1.5. Unidades de medición. 1.5.1. Unidades angulares. Los círculos horizontales y verticales en los teodolitos, taquímetros, estaciones totales, o los limbos horizontales en los niveles de ingeniero y brújulas, vienen generalmente graduados en los sistemas angulares sexagesimales y centesimales, sin embargo la últimas pueden también venir graduadas en el sistema de 6400- milésimas. 1. Sistema sexagesimal (MODE DEG). 1 Círculo horizontal o vertical graduado = 360° grados sexagesimales. 1° = 60′ (minutos sexagesimales) 1′ = 60″ (segundos sexagesimales)



Observación 1: Las cantidades expresadas en este sistema deben sumarse o restarse por separado, los grados, los minutos y segundos. Observación 2: Es importante que los usuarios de calculadoras aprendan a usarlas, seleccionando apropiadamente el sistema de medición de ángulos, en este caso Mode DEG, así como también conocer el proceso de conversión de mediciones angulares expresadas en formato de fracciones de grados sexagesimales, a formatos de (grados, minutos, segundos) sexagesimales. Ejemplo: 270° 45′ 52″ - 120° 37′ 13″ 150° 8′ 39″ 2. Sistema centesimal (MODE GRA). 1 Círculo horizontal o vertical = 400 g

1g = 100 c (minutos centesimales) 1c = 100 cc (segundos centesimales) Observación 1: Las operaciones aritméticas se efectúan exactamente igual que el común de las operaciones usadas en el sistema decimal. Ejemplo: 215 g 30c 40cc = 215,3040 g (grados centesimales) 215,3040 g + 28,7227 g 244,0267 g 3. Sistema en radianes (MODE RAD) En este sistema de unidades angulares trabajan los computadores, luego al usar algún lenguaje de programación debe conocerse la equivalencia entre los sistemas hasta aquí tratados. 2 π radianes = 360 ° (Sistema sexagesimal). 2 π radianes = 400 g (Sistema centesimal). 4. Sistema en milésimas. En este sistema de graduación han sido fabricadas algunas brújulas geológicas e instrumentales de artillería. 1 Círculo horizontal = 6400- (milésimas) 1/4 Círculo horizontal = 1600- (milésimas) 1/64 Círculo horizontal = 100- (milésimas) 5. Relación entre sistemas sexagesimal y centesimal.



X° = 0,9 X g X g = 1/0,9 x° 6. Relación entre sistemas en radianes, sistema sexagesimal y centesimal. x (radianes) = π/180 ° x° x (radianes) = π/200 g xg 7. Relación entre sistemas en milésimas, sexagesimal y centesimal. x- (milésimas) = 1/0,05625 x° x° = 0,05625 x- (milésimas) x- (milésimas) = 16 x g x g = 1/16 x– (milésimas) 1.5.2. Unidades de longitud. Los múltiplos y divisores del metro aumentan o disminuyen de diez en diez según la siguiente tabla: 10-6 10-3 10-2 10-1 1 101 102 103 106

micro mili centi deci metro deca hecto kilo mega μ m mm cm dm m da hm km Mm Abreviatura 1.5.3. Unidades de superficie. Los múltiplos y divisores del metro cuadrado aumentan y disminuyen de cien en cien, según la siguiente tabla: 10-6 10-4 10-2 12 102 104 106

mili2 centi2 dici2 metro2 área hectárea bilom2

mm2 cm2 dcm2 m2 a ha Abreviatura 1 acres (ac) = 4.046,873 m2 1 hectárea = 2,47104 acres 1.5.4. Unidades de volumen. Los múltiplos y divisores del metro cúbico aumentan o disminuyen de mil en mil, según la tabla: 10-9 10-6 10-3 1 103 106 109

mili3 centi3 deci3 m3 --- --- Kilo3



Observación: en las cubicaciones de movimiento de tierra se sugiere trabajar solo a la décima del metro cúbico, dado que los modelos utilizados para cubicar solo son aproximaciones a la realidad. Ejemplo: Volumen Terraplén = 702,3 m3 Volumen Corte = 975,9 m3 1.6. Escalas. 1.6.1. Escala numérica. Es la relación entre una distancia medida en el plano y la correspondiente distancia medida en el terreno, ambas expresadas en una misma unidad de longitud. E = Dibujo/Terreno = 1/Denominador Ejemplo: ¿Cuál sería la escala numérica de un plano si 10 cm de dibujo representan 200 m de terreno?

E = 10 cm/200 m = (10 cm 1m/100 cm)/200 m = 1/2000

1.6.2. Escala gráfica. Es una barra graduada sobre el plano, subdividida en distancias que corresponden a determinado número de unidades en terreno.

0,8 cm

Figura 10: Escala gráfica. ¿ A que escala numérica se encuentra la escala gráfica? E = Dibujo/Terreno = 0,8 cm/1 km = 1/125000



Capítulo 2 Medición de ángulos. 2.1. Medición de ángulos horizontales. Los ángulos horizontales proporcionan la posición horizontal de un punto, respecto a una alineación o a una base topográfica, pueden medirse en el sentido horario (+) (HR) o antihorario (-) (HL), son medidos en un plano horizontal entre dos planos verticales. HR = Horizontal Right HL = Horizontal Left P.V = Plano Vertical P.H = Plano Horizontal

Figura 11: Medición de ángulos horizontales en el Plano Horizontal P.H. A : Estación topográfica o vértice de instalación del teodolito. B : Vértice de calaje u orientación cero – cero grados ( 0,00 g ). C : Vértice de medición angular horizontal y/o vertical. θ : Angulo horizontal (+) medido en el círculo horizontal del teodolito. α : Angulo horizontal (-) medido en el círculo horizontal del teodolito. La medición de ángulos horizontales puede realizarse en dos posiciones del anteojo topográfico, una en directo y la otra en directo-tránsito, con lo cual es posible detectar eventuales errores en el calaje, en el instrumento, los generados por la irregularidad de la atmósfera o por los movimientos terrestres durante las mediciones. Dichos errores cuando están dentro de las tolerancias admisibles pueden ser corregidos, compensados o simplemente rechazados.



2.1.1. Medición de ángulos horizontales en directo. El círculo vertical del teodolito debe encontrarse al lado izquierdo del anteojo topográfico si se está observando de frente el lente ocular. 2.1.2. Medición de ángulos horizontales en directo-tránsito. El círculo vertical del teodolito debe encontrarse al lado derecho del anteojo topográfico si se está observando de frente el lente ocular. En general la condición que debe cumplir la medición de un ángulo Horizontal en Tránsito y ángulo Horizontal en Directo debe ser la siguiente: Teoría: Angulo HorizontalT – Angulo HorizontalD ≈ R2

Práctica: Angulo HorizontalT – Angulo HorizontalD ≈ R2 + ∠ε

R = 1 Recto (100 g grados centesimales o 90° grados sexagesimales). ∠ε : Error de cierre angular obtenido en el origen.

Si el ∠ε ≤ ∠ε Admisible ⇒ Ajuste de Angulo HorizontalD ∠ε Admisible ≤ ± 0,01g “si el instrumento tiene una precisión de 1 minuto

centesimal” ∠ε Admisible ≤ ± 0,0017g “si el instrumento tiene una precisión de 1 segundo

centesimal” 2.1.3. Toma de datos de terreno, cálculo de registro y ajuste angular. Est. Pto. Obs. Ang. Horiz. (+) Ang. Horiz. Ajustado A BD 0,00g CD 74,81g 74,81g

CT 274,80g BT 199,99g Toma de datos de terreno. A : Punto Estación o de instalación instrumental. BD : Punto Observado o de Orientación en Directo. BT : Punto Observado o de Orientación en Tránsito. CD : Punto de Medición angular en Directo. CT : Punto de Medición angular en Tránsito. Cálculo de registro y ajuste angular. i) Origen: (0,00g + 199,99g – 200g)/2= -0,005g = 399,995g



ii) .HorizAngulo = (74,81g +274,80g – 200g )/2 = 74,805g iii) .HorizAngulo AJUSTADO = .HorizAngulo + 500,0− g = 74,81g

.HorizAngulo : Representa el ángulo horizontal promedio.

2.2. Medición de ángulos verticales. Los ángulos verticales proporcionan la posición vertical de un punto respecto: 1. Zenit (Z) 2. Nadir (N) 3. Horizonte (α)

Figura 12: Las tres referencias de la medición de ángulos verticales. Zenit (cenit) (Z): es el punto celeste que se genera al prolongar el eje vertical del teodolito o estación total con la semiesfera celeste aparente, el cero del círculo vertical del instrumento topográfico coincidiría con el punto zenit. Horizonte (α): es el punto celeste que se genera al prolongar una línea perpendicular al eje vertical del teodolito o estación total en la dirección de la línea aparente que separa la tierra de la esfera celeste, el cero del círculo vertical del instrumento topográfico coincidiría con el punto horizonte.



Nadir (N): es el punto celeste que se genera al prolongar el eje vertical del teodolito o estación total atravesando diametralmente a la tierra e intersectando a la semiesfera celeste aparente, el cero del círculo vertical del instrumento topográfico coincidiría con el punto nadir. La medición de ángulos verticales al igual que los horizontales puede realizarse en dos posiciones del anteojo topográfico, una en directo y la otra en directo-tránsito (dando vuelta de campana el anteojo topográfico), con lo cual es posible detectar eventuales errores en el calaje, en el instrumento, los generados por la irregularidad de la atmósfera o por los movimientos terrestres durante las mediciones. Dichos errores cuando están dentro de las tolerancias admisibles pueden ser corregidos, compensados o simplemente rechazados. Las recomendaciones para medir ángulos verticales en directo y en directo-tránsito, son las mismas dadas en los ángulos horizontales referente al círculo vertical, en lo concerniente a las condiciones angulares que deben cumplir los ángulos verticales en ambas posiciones del anteojo serían: Teoría : ZD + ZT = 4 R ND + NT= 4 R αD + αT = 2 R (Para ángulos de elevación) αD + αT = 6 R (Para ángulos en depresión) Práctica: ZD + ZT = 4 R + ε∠ ND + NT = 4 R + ε∠ αD + αT = 2 R + ε∠ (Para ángulos de elevación) αD + αT = 6 R + ε∠ (Para ángulos en depresión) ε∠ : Error angular obtenido o error de índice obtenido, puede producirse por desajuste del instrumento, por turbulencias atmosférica, imprecisión en el visado o calaje. Si el ∠ε ≤ ∠ε Admisible ⇒ Ajuste de Angulo VerticalD (εi = ± ε∠ /2 )

εi : Factor de ajuste o compensación. εi > 0 si ∠ε < 0 εi < 0 si ∠ε > 0 ∠ε Admisible ≤ ± 0,03g “si el instrumento tiene una precisión de 1 minuto centesimal

y se trata de trabajos topográficos corrientes” ∠ε Admisible ≤ 0,0050g “si el instrumento tiene una precisión de 1 segundo

centesimal y el trabajo es de 3er orden geodésico”



2.2.1. Toma de datos de terreno, cálculo de registro y ajuste angular. Estac. Pto. Obs. Ang. Vert. (N) Ang. Vert. Ajustado A BD 89,14g 89,13g

BT 310,88g Toma de datos de terreno. A : Punto Estación o de instalación instrumental. BD : Punto Observado en Directo. BT : Punto Observado en Tránsito. Cálculo de registro y ajuste angular. i) ND + NT = 400g + ε∠ 400,02g – 400g = ε∠ ε∠ = 0,02g ⇒ εi = - 0,02g/2 = - 0,01g

ND AJUSTADO = ND + εi = 89,13g



Capítulo 3 Medición de distancia. 3.1. Procedimiento taquimétrico. Este método utiliza el anteojo topográfico del teodolito o taquímetro y la lectura en una mira graduada, para determinar distancias horizontales, inclinadas y verticales.

Figura 13: Medición de distancia con teodolito y mira. I : Punto Estación o de instalación instrumental. II : Punto Observado o de ubicación de mira verticalmente nivelada. LiII : Lectura de hilo inferior en la mira en el Punto II. LsII : Lectura de hilo superior en la mira en el punto II. hmII : Lectura de hilo medio en la mira en el punto II, hmII = (LsII + LiII )/2. G : Generador, G= LsII - LiII. hiI : Altura instrumental en el punto estación o de instalación I. Z : Angulo vertical de referencia zenital. N : Angulo vertical de referencia nadiral. α : Angulo vertical de referencia al horizonte. DHI-II : Distancia horizontal desde estación I a punto observado II. DiI-II : Distancia inclinada desde estación I a punto observado II. DNI-II : Diferencia de nivel entre estación I y el punto II. K : Constante estadimétrica (K= 100 m).



Las siguientes expresiones según la referencia del ángulo vertical con que los teodolitos sean fabricados, nos permiten determinar los parámetros necesarios para obtener la coordenada conocida como cota de un punto observado. DHI-II = KG Cos α2 = KG Sin Z2 = KG Sin N2 DiI-II = KG Cos α = KG Sin Z = KG Sin N HI-II = DHI-II tg α = DHI-II / tg Z = - DHI-II / tg N DNI-II = hiI + HI-II - hmII TI-II = HI-II - hmII

CotaII = CotaI + DNI-II “para registro por diferencias de nivel entre estaciones” CotaII = CotaI + hiI +HI-II – hmII

CotaII = CotaINSTRUMENTAL I + TI-II “para registro por cota instrumental” 3.1.1. Toma de datos de terreno y cálculo de cota por diferencia de nivel.

Angulo Estac. hi Pto. Obs. Horiz.(+) Vert.(Z)

Estadía Ls Li

hm D.H. D.N. Cota

I 1,32 500,25

II 0,00g 100,32g 3,240 1,000 2,120 223,99 -1,93 498,32

1 102,39g 98,25g 3,080 1,000 2,040 207,84 4,99 505,24

2 223,84g 102,78g 2,272 1,000 1,636 126,96 -5,86 494,39

3 77,20g 99,24g 2,950 1,000 1,975 194,97 1,67 501,92

Los datos mas ennegrecidos son los antecedentes tomados en terreno o que se han asignados, el cálculo manual del registro debiera iniciarse en el siguiente orden: i) Seleccionar el MODE Gra en calculadora, dado que los ángulos vienen referidos al sistema centesimal. ii) Identificar las expresiones en función del ángulo vertical zenital para calcular las distancia horizontales (D.H.), diferencias de nivel (D.N.) y Cotas. iii) Si se cuenta con calculadora de programación Basic, las expresiones para completar el registro serían: DH= 100 * (Ls – Li) * Sin Z2 : DN= 1.32 + DH/Tan Z – hm: Cota= 500.25 + DN Observación: En Basic Sin Z2 = Sin Z * Sin Z



3.1.2. Toma de datos de terreno y cálculo de cota por cota instrumental.

Angulo Cota

Est. hi Pto Obs

Horiz.(+) Vert.(Z)

Estadía Ls Li

hm D.H. T

INST. PTO.

I 1,32 501, 57 500,25 II 0,00g 100,32g 3,240 1,000 2,120 223,99 -3,25

498,32 1 102,39g 98,25g 3,080 1,000 2,040 207,84 3,67

505,24 2 223,84g 102,78g 2,272 1,000 1,636 126,96 -7,18

494,39 3 77,20g 99,24g 2,950 1,000 1,975 194,97 0,35

501,92 El registro de datos es el mismo que en el caso anterior y el cálculo manual también es muy similar, salvo las expresiones propias de este registro: i) Seleccionar el MODE Gra en calculadora. ii) Identificar las expresiones en función del ángulo vertical zenital para calcular las distancia horizontales (D.H.), el valor de T, la cota instrumental (500.25+1.32= 501.75) y las cotas de los puntos. iii) Si se cuenta con calculadora de programación Basic, las expresiones para completar el registro de datos serían: DH= 100 * (Ls – Li) * Sin Z^2 : T= DH/Tan Z – hm: Cota= 501.57 + T Observación: En Basic Sin Z^2 = Sin Z * Sin Z 3.1.3. Condiciones y requisitos operacionales del teodolito. El teodolito o taquímetro es uno de los instrumentos topográficos mas completos y de gran utilidad en la ingeniería. Su adecuado uso, cuidado y manejo, permiten disponer de una valiosa herramienta para medir ángulos horizontales y verticales, obtener distancias horizontales, inclinadas y verticales, todos parámetros fundamentales para representar la superficie terrestre. Los elementos geométricos del teodolito deben cumplir las siguientes condiciones y requisitos de operación: 1. E.V.R. ⊥ L.F. (P.S.) “se cumple con instalación del equipo”. 2. E.H. (A.T.) ⊥ E.C. (A. T.) “se logra con calibración del equipo”

3. E.H. (A. T.) ⊥ E.V.R. “se logra con calibración del equipo” E.V.R.: Eje Vertical de Rotación del instrumento. L.F. (P.S.) : Línea de Fe (Plato Superior).



E.H. (A.T.) : Eje Horizontal (Anteojo Topográfico) E.C. (A.T.) : Eje Colimación (Anteojo Topográfico).

Figura 14: Teodolito en corte. 3.1.4. Elementos mecánicos del teodolito. • Movimiento general (plato inferior). 1. Base nivelante. 2. Plato inferior. 3. Sistema de tornillos de fijación y tangencial. 4. Eje vertical del movimiento general (E.V.). 6. Círculo o limbo horizontal. 8. Plomada óptica. • Movimiento de alidada (plato superior). 5. Sistema de tornillos de fijación y tangencial. 7. Eje vertical de movimiento de alidada. 9. Plato superior o alidada. 10. Eje horizontal del anteojo topográfico (E.H.) 11. Círculo o limbo vertical. 12. Sistema de tornillos del anteojo topográfico. 13. Ampolleta tubular del plato superior. 14. Anteojo topográfico.

3.1.5. Operaciones de terreno con el teodolito. El buen uso y manejo del teodolito en la ingeniería requiere tener presente tres operaciones básicas, por un lado está la correcta instalación sobre una estaca, clavo, o estación; el calar cero-cero, y el orientar el teodolito, estas dos últimas en algunos equipos pueden fusionarse en una sola operación.



1. Instalar el teodolito: es la operación que consiste en el hacer coincidir el Eje Vertical del instrumento con la cabeza de la estaca, a través de la plomada (óptica, mecánica, o vástago), accionando los tornillos nivelantes, nivelando el nivel circular con las patas de trípode, y finalmente nivelando la burbuja tubular con los tornillos nivelantes. 2. Calar cero-cero: una vez instalado se hace coincidir el cero del limbo o círculo horizontal con el cero del plato superior e inferior. 3. Orientar el teodolito: consiste en dirigir la visual cero-cero hacia un punto de coordenadas o dirección conocida.

Figura 15: Teodolito en sistema modular para la instrucción. Para la instrucción de sus estudiantes de ingeniería algunas universidades europeas utilizan los teodolitos en el sistema modular, lo cual les permite didácticamente observar el funcionamiento de los círculos horizontal y vertical descubiertos, así como también el suministro de accesorios modulares les permite convertir el teodolito en un nivel de ingeniero, o en una alidada (alidada: todo elemento óptico o mecánico que sirve para trazar visuales).



3.2. Procedimiento electrónico. Este método a diferencia del taquimétrico que utiliza principios de la física óptica, aquí se utiliza los elementos de la física cuántica para medir distancias, es decir, se determina el tiempo en que tarda una onda luminosa o electromagnética en hacer el recorrido de ida y regreso, entre el aparato emisor de la onda y el prisma reflectante, de modo que en función del tiempo de recorrido, es posible determinar la distancia inclinada, horizontal o vertical entre dos puntos, previa corrección por presión, temperatura y humedad atmosférica. El distanciómetro montado sobre el teodolito, o integrado al teodolito, fue uno de los primeros instrumentos que incorporó la tecnología de medición de distancia electrónica, llegando algunas generaciones de estos equipos, a contar con tarjetas electrónicas y memorias incorporadas para la recolección de datos en terreno. Una variante de tecnología mas avanzada lo constituyen las Estaciones Totales, conformando un solo equipo, con mayor alcance en las mediciones, así como también con la toma automatizada de datos de terreno, también en el último tiempo han salido las Estaciones Totales GPS, que en forma alternativa puede usar la metodología convencional del posicionamiento de puntos o el uso de la tecnología satelital, todo lo anterior ha contribuido a la agilización y eficiencia en el trabajo de campo, y a la vez, velocidad en el procesamiento de la información a través de software de topografía y calidad en el trazado de los planos con el uso del plotter.

Figura 16: Medición de distancia usando Estación total con jalón y prisma.



I : Punto Estación o de instalación instrumental. II : Punto Observado o de ubicación de mira verticalmente nivelada. hmII : Lectura de hilo medio en el punto II, (hmII= hpII = hjII). hpII : Lectura de prisma en el punto II, (hmII= hpII = hjII). hjII : Lectura de jalón en el punto II, (hmII= hpII = hjII). hiI : Altura instrumental en el punto estación o de instalación I. Z : Angulo vertical de referencia zenital. N : Angulo vertical de referencia nadiral. α : Angulo vertical de referencia al horizonte. DHI-II : Distancia horizontal desde estación I a punto observado II. DiI-II : Distancia inclinada desde estación I a punto observado II. DNI-II : Diferencia de nivel entre estación I y el punto II. 6.66/108 DiI-II2 : Factor combinado de curvatura terrestre y refracción atmosférica. Las siguientes expresiones según la referencia del ángulo vertical con que las Estaciones totales hayan sido fabricadas, nos permiten determinar los parámetros necesarios para obtener la coordenada conocida como cota de un punto observado. DHI-II = DiI-II Cos α = DiI-II Sin Z = DiI-II Sin N HI-II = DiI-II Sin α = DiI-II Cos Z = - DiI-II Cos N HI-II = DHI-II Tg α = DHI-II /Tg Z = - DHI-II /Tg N Para trabajos topográficos de precisión: DNI-II = hiI + HI-II + 6.66/108 DiI-II2 – hmII TI-II = HI-II + 6.66/108 DiI-II2 – hmII CotaII = CotaI + DNI-II “para registro por diferencia de nivel entre estaciones” CotaII = CotaINSTRUMENTAL I + TI-II “para registro por cota instrumental”



3.2.1. Toma de datos de terreno y cálculo de cota por diferencia de nivel.

Angulo Est. hi Pto. Obs. Horiz (+) Vert (N)

Di hj DH DN Cota

I 1.30 782,32

II 0,0000g 100,0425g 1502,87 1,45 1502,87 1,00 783,32

1 55,2981g 101,9872g 2891,32 2,60 2889,91 89,49 871,81

2 189,7532g 99,3741g 1125,60 2,60 1125,55 -12,28 770,04

3 202,2734g 98,7890g 525,37 0,05 525,27 -8,72 773,60

Los datos mas ennegrecidos son los antecedentes tomados en terreno o que se han asignados, el cálculo manual del registro debiera iniciarse en el siguiente orden: i) Seleccionar el MODE Gra en calculadora, dado que los ángulos vienen referidos al sistema centesimal. ii) Identificar las expresiones en función del ángulo vertical nadiral para calcular las distancia horizontales (D.H.), diferencias de nivel (D.N.) y Cotas. iii) Si se cuenta con calculadora de programación Basic, las expresiones para completar el registro serían: DH= Di * Sin N : DN= 1.30 - DH/Tan N + 6.66/10^8 * Di^2 – hm : Cota= 782.32 + DN Observación: En Basic 108 = 10^8 ; Di2 = Di^2 3.2.2. Toma de datos de terreno y cálculo de cota por cota instrumental.

Angulo Cota

Est. hi Pto Obs

Horiz. (+) Vert.(Z)

Di

hj D.H. T

INST. PTO.

I 1,30 783,62 782,32 II 0,0000g 100,0425g 1502,87 1,45 1502,87 -0,30

783,32 1 55,2981g 101,9872g 2891,32 2,60 2889,91 88,19

871,81 2 189,7532g 99,3741g 1125,60 2,60 1125,55 -13,58

770,04 3 202,2734g 98,7890g 525,37 0,05 525,27 -10,02

773,60

El registro de datos es el mismo que en el caso anterior y el cálculo manual también es muy similar, salvo las expresiones propias de este registro: i) Seleccionar el MODE Gra en calculadora.



ii) Identificar las expresiones en función del ángulo vertical nadiral para calcular las distancia horizontales (D.H.), el valor de T, la cota instrumental (782.32+1.30= 783,62) y las cotas de los puntos. iii) Si se cuenta con calculadora de programación Basic, las expresiones para completar el registro de datos serían: DH= 100 * Sin N : T= - DH/Tan N + 6.66/10^8 * Di^2 - hm: Cota= 783.62 + T Observación: En Basic 108 = 10^8 ; Di2 = Di^2 3.2.3. Mediciones de distancia electrónica en forma automatizada. Las últimas generaciones de estaciones totales permiten la toma de información de terreno en forma automática, reemplazando a la recolección manual de la información. Estos instrumentos tienen tres componentes en uno, el Instrumento Electrónico de Medición de Distancia (IEMD), un teodolito digital electrónico y un microprocesador.

Figura 17: Estación Total Geodimeter con característica de toma automatizada de datos en terreno.

La memoria del microprocesador en el caso del Geodimeter está dividida en dos archivos separados, los Job (archivos de trabajo o de terreno) y los Area (archivos de coordenadas conocidas). El número total de archivos está limitado



solo por la capacidad total de la memoria, en cuanto mas información sin procesar exista almacenada en los archivos Job, menos información se podrá almacenar en los archivos de coordenadas conocidas o de Area y viceversa. La capacidad de memoria de las Estaciones Geodimeter 600 alcanzarían a la toma de alrededor de 4000 puntos de terreno, a lo cual habría que descontar la memoria utilizada al cargar las UDS (Secuencias Definidas por el Usuario), que corresponden a los diversos Programas que eventualmente el usuario podría utilizar entre los que se encuentran: PRG : PROGRAMAS. PRG 20 : Establecimiento de la Estación. PRG 23 : Replanteo por coordenadas. PRG 24 : Línea de Referencia. PRG 25 : Cálculo de superficie. PRG 26 : Distancia entre dos objetivos. PRG 40 : Creación de UDS (desde PRG 1 a PRG 19). PRG 41 : Definición de Etiquetas. PRG 43 : Creación de archivos de tipo Area. PRG 54 : Transferencia de archivos. 3.2.4. Procedimiento para trabajar con los PRG más elementales que posee la Estación Total Geodimeter 600, para realizar levantamientos topográficos. Para mas detalles sobre uso y manejo de este instrumental (vea Anexo C), a continuación veremos como utilizar los PRG 20, PRG 1 y PRG 2 para realizar levantamientos topográficos en forma automatizada. Una vez instalada la estación total siguiendo procedimiento semejante a la instalación del teodolito, se sigue el siguiente protocolo: 1. Presionar la tecla PWR tanto para el encendido como para el apagado del sistema, si no se pulsa ninguna tecla después de 60 segundos desde que se ha activado, el instrumento automáticamente se desactivará. Si se desea conectar el instrumento antes de las primeras 2 horas, en la pantalla aparecerá la siguiente leyenda: Interrupción por el operador ¿Continuar (S/N)? Si responde “S”, la estación total conserva sus parámetros de instalación. Si responde “N”, la estación total se restablece perdiendo sus parámetros de instalación.



2. Calibración del compensador para obtener la precisión máxima de la inteligencia inherente al sistema, esta operación se logra en forma semejante a la nivelación de la burbuja tubular del teodolito, es decir, se perfila la pantalla en la dirección de dos tornillos nivelantes, se accionan dichos tornillos hasta lograr la nivelación del compensador, luego accionando el tercer tornillo nivelante se logra la nivelación electrónica del equipo. Posteriormente se presiona la tecla A/M o ENT, se oirá un pito, se debe esperar entre 6 a 8 segundos por un segundo pito, y por el cambio en la pantalla: INIC Comp Girar: 200 Girar el instrumento en 200 g (grados centesimales) y la pantalla cambiará: INIC Comp Presionar A/M Un nuevo pito se oirá y la pantalla ahora indicará: INIC Comp Esperar Se espera por un pito doble entre 6 a 8 segundos hasta que la pantalla vuelva a cambiar automáticamente. 3. Aparece en la pantalla el PΦ, indicador de que el compensador está activado lo cual permite introducir las siguientes variables: Temp = 15 ºC (Temperatura promedio anual en La Serena, o se mide con termómetro). Presión = 760 mm de Hg (al nivel medio del mar o en el Patio de Topografía, o se mide con barómetro) Se introducen o aceptan los valores presionando la tecla ENT, apareciendo en la pantalla la constante del prisma: Const = 0.000 Se acepta el valor previa verificación del prisma en el Jalón y se presiona ENT, solicitándose ahora en la pantalla el ángulo azimutal de referencia: AHZ : 128.3845 AHZ Ref = ---------------



Se teclea el nuevo azimut de referencia, o el valor cero, o se acepta el valor que aparece en la pantalla; se dirige la visual hacia el objetivo de referencia y se presiona la tecla ENT, el instrumento automáticamente quedará en el modo de medición STD y con orientación en el sistema de coordenadas locales. En esta fase se debe seleccionar la forma en que se desea realizar las mediciones de distancia, modo Tracking (al cabo de 2 a 3 segundos se obtiene la medición de distancia con precisión centimétrica), modo Estándar STD ( se demora un poco más pero se logra precisión milimétrica). 4. Para lograr “Alta resolución de nivelación” en la estación total, se presiona la tecla del nivel electrónico ( figura ampolleta de nivel) y se procede a afinar la nivelación electrónica del equipo, para salir de este proceso se presiona nuevamente la tecla del nivel electrónico. En esta etapa la estación total se encuentra habilitado para trabajar como teodolito y como Instrumento Electrónico de Medición de Distancia, es decir, se puede medir ángulos verticales, horizontales azimutales, distancias inclinadas, distancias horizontales y diferencias de nivel, que junto con la altura instrumental, la altura de jalón en el punto observado, el azimut magnético de la línea base que se quiere determinar, más la asignación de coordenadas arbitrarias al punto de instalación, o la determinación de coordenadas aproximadas a través de un navegador GPS, permiten calcular las coordenadas del punto observado usando las siguientes expresiones: YB = YA + DiA-B * Sin ZA-B * Cos AzA-B

XB = XA + DiA-B * Sin ZA-B * Sin AzA-B

ZB = ZA + hiA + DiA-B Cos ZA-B + 6.66/10^8 * DiA-B^2 - hjB

Con la obtención de la base topográfica (Ver Figura 18 A), o si eventualmente se conocieran las coordenadas de un par de puntos (Ver Figura 18 B), se estaría en condiciones de comenzar a utilizar el PRG 20: Teclear PRG 20, ENT, aparece ¿Medir Cota? Se puede responder con un Si o un No, si es con Si presione ENT. 10:21 Esta sería la cota de la última Estación de instalación, por lo tanto Cota = X.XXX se puede teclear Si o No, si es Si presione ENT. Sustituir Z?



10:21 Introducir la altura instrumental de su equipo, ENT. A1

Figura 18 A Datos requeridos cuando no se conoce una base topográfica. Figura 18 B Datos

necesarios para ingresar a Estación Total Geodimeter, después de seleccionar Programa UDS 20.



4. Tipo de direcciones. En topografía se puede trabajar con cuatro tipos de direcciones, la geográfica o verdadera que se obtiene por medio del giróscopo, o realizando observaciones estelares, amarrándose a la Red Geodésica Nacional o a la Red GPS, la UTM (Universal Transversal de Mercator) corresponde a una dirección cartográfica que se puede obtener amarrándose a Red Geodésica Nacional o a la Red GPS, la dirección magnética se obtiene por medio de brújula, y la arbitraria se logra por simple arbitrio y se corrige posteriormente.

Figura 19. Origen de los cuatro puntos cardinales o sistema de referencia de direcciones. 4.1. Rumbo de una línea topográfica. Corresponde a la dirección de una línea respecto al meridiano escogido, se indica por el ángulo agudo que la línea forma con el meridiano, se mide a partir del Norte o Sur, el rumbo puede ser geográfico, UTM, magnético o arbitrario.

RumboA-B = N θ E “Rumbo directo A-B” RumboB-A = S β W “Rumbo directo B-A” “Rumbo inverso A-B” θ = β Convención: N,E (+); S,W (-).

Figura 20. Dirección A-B del rumbo directo, dirección B-A del rumbo inverso.



4.2. Azimut de una línea topográfica. Representa la dirección de una línea respecto al meridiano escogido, se indica por el ángulo entre la línea y un extremo del meridiano (para trabajos topográficos extremo Norte y para trabajos geodésicos extremo Sur), el ángulo se mide en sentido horario y el azimut puede ser geográfico, UTM, magnético o arbitrario.

AzimutA-B = θ “Azimut directo A-B” AzimutB-A = 2R + θ “Azimut directo B-A” “Azimut inverso A-B”

R = 90 sistema sexagesimal. R = 100g sistema centesimal.

Figura 21. Dirección A-B del azimut directo, dirección B-A del azimut inverso.

4.3. Determinación de distancia horizontal (DH), rumbo (Rbo) o azimut (Az) de una línea o base topográfica. Si se conocen las coordenadas bidimensionales de una base topográfica, además los cuadrantes topográficos de las funciones trigonométricas y la convención de los signos de los cuatro puntos cardinales, entonces podemos obtener los siguientes parámetros:

Δ : Estación topográfica de coordenadas conocidas.

Figura 21A. Base topográfica en el primer cuadrante (IC). Figura 21B. Cuadrantes topográficos y sus funciones trigonométricas S: Seno, C: Coseno.

DHA-B = 22BABA XY −− Δ+Δ = 22 )()( ABAB XXYY −+− Distancia HorizontalA-B.



Tg BA−θ = BAX −Δ / BAY −Δ = Sen BA−θ /Cos BA−θ ⇒ )/()(()/( ABABBABABA YYXXArctgYXArctg −−=ΔΔ= −−−θ “Interpretar el cuadrante topográfico” Cuadrante I. ))/()(( ABABBA YYXXArctg −−=−θ = )/()( ++ = (+) ⇒ RboA-B = N BA−θ E; 0 R1≤≤ θ ⇒ AzA-B = BA−θ ; 0 RAz BA 1≤≤ −

Cuadrante II. ))/()(( ABABBA YYXXArctg −−=−θ = )/()( −+ = (-) ⇒ RboA-B = S BA−θ E; 0 R1≤≤ θ ⇒ AzA-B = +R2 BA−θ ; R1 RAz BA 2≤≤ −

Cuadrante III. ))/()(( ABABBA YYXXArctg −−=−θ = (-)/(-) = (+)

⇒ RboA-B = S BA−θ W 0 R1≤≤ θ ⇒ AzA-B = +R2 BA−θ ; 2 R RAz BA 3≤≤ −

Cuadrante IV. ))/()(( ABABBA YYXXArctg −−=−θ = (-)/(+)= (-) ⇒ RboA-B = N BA−θ W; 0 R1≤≤ θ ⇒ AzA-B = +R4 BA−θ ; 3 R RAz BA 4≤≤ − Ejemplo: Determine la DHA-B, RboA-B, AzA-B, RboB-A, AzB-A, de la base topográfica siguiente: YA = 4500,830 m XA = 3820,370 m YB = 3973,980 m XB = 3572,250 m Solución DHA-B = 22 )830,450098,3973()370,3820250,3572( −+− = 582,353 m

))830,4500980,3973/()370,3820250,3572(( −−=− ArctgBAθ = (-)/(-)=(+) 28,0201g



⇒ III Cuadrante; RboA-B = S 28,0201g W; AzA-B = 2R + BA−θ = 228,0201g

=−−=− ))980,3973830,4500/()250,3572370,3820((ArctgABθ (+) 28,0201g

⇒ I Cuadrante; RboB-A = N 28,0201g E; AzB-A= AB−θ = 28,0201g 4.4. Relación entre Norte Astronómico y Norte Magnético de una base topográfica. Para fines topográficos se considera que las direcciones astronómicas de una base topográfica no cambian en el espacio ni en el tiempo, por el contrario si lo hacen las direcciones magnéticas, por lo cual es de suma importancia conocer las expresión que nos permita calcular las direcciones astronómicas y magnéticas de una base topográfica. AzA-B Astronómico Año = AzA-B Magnético Año+ ∂ M Año ∂ M Año: declinación magnética de la base para un año determinado. ∂ M > 0 ⇒ Norte Magnético está al Este del Norte Astronómico. ∂M < 0 ⇒ Norte Magnético está al Weste del Norte Astronómico.

Figura 22.La declinación magnética M∂ entre los meridianos magnético (en rojo) y astronómico (en negro) en el Hemisferio Norte, se repite en el Hemisferio Sur.

La declinación magnética es el ángulo comprendido entre los meridianos magnético (en rojo) y astronómico (en negro), en las cartas IGM 1:50000 se encuentra impresa en el extremo derecho de la carta, entregándose su valor para el lugar y año del levantamiento, así como también su variación anual expresada en minutos sexagesimales y su dirección de cambio, lo que permite evaluar la declinación correspondiente a unos cuantos años antes o después del año de la carta topográfica; la declinación magnética como se dijo varía en el tiempo en cualquier parte del planeta, clasificándose sus variaciones como seculares, diarias, anuales e irregulares.



Ejemplo: El azimut magnético de una base topográfica A-B para el año 1970 era de 137,82g , si la declinación magnética en el lugar para el mismo año era 5 33,8 E , con una variación anual de 5.4 W. Determine AzA-B Magnético 2004 , AZA-B

Astronómico 2006 , ¿a partir de qué año la M∂ estará al Weste del Norte Astronómico ?. Datos: AzA-B Magnético 1970 = 137,82 g M∂ 1970 = 5 33,8 E = 6,18 g E Δ Anual = 5,4 W = - 0,1 g Δ 34 años = 34 * 0,1 g = 3,4 g W Solución 1 (análisis gráfico).

M∂ 2004 = M∂ 1970 - Δ 34 años = 6,18 g – 3,4 g = 2,78 g AzA-B Magnético 2004 = AzA-B Magnético 1970 + Δ 34 años = 137,82 g + 3,4 g = 141,22 g Solución 2 (uso de expresión). AzA-B Astronómico 1970 = AzA-B Magnético 1970+ ∂ M 1970 = 137,82g + 6,18 g AzA-B Astronómico 1970 = 144,00 g AzA-B Magnético 2004 = AzA-B Astronómico 1970 - M∂ 2004

= 144,00 g – 2,78 g AzA-B Magnético 2004 = 141,22 g 4.5. Relación entre el Norte Astronómico y Norte UTM. En el Hemisferio Sur y para nuestro país, en los meridianos centrales 69 y 75 , podemos encontrar bases topográficas ubicadas al Este y Weste de dichos meridianos, en tal caso, es necesario considerar el ángulo de convergencia (c), comprendido entre el meridiano verdadero o astronómico, y el meridiano UTM, para determinar la dirección astronómica o UTM de la base topográfica.

Figura 23: Base topográfica A-B al Este y Weste de un Meridiano Central en el Hemisferio Sur. 4.5.1. Obtención de c ángulo de convergencia entre los meridianos UTM y Astronómico, a partir de coordenadas geográficas.



C= ((XII) p + (XIII) p3 + C5)/3600 XII = Sin ϕ 104 XIII = (Sin2 1 Sin ϕ Cos2 ϕ )/3 (1+3 e 2 Cos 2 ϕ +2 e 4 Cos4 ϕ ) 1012 C5 = p5 (Sin4 1 Sinϕ Cos4 ϕ )/15 (2 – tg2 ϕ ) 1020 P = 0,0001 λΔ

λΔ = λ−MC *3600 ; MC : Meridiano Central.

λΔ = λλ −0 ; 0λ = 69 ∨ 75

Observación: Si λΔ < 0 ⇒ que el punto o base topográfica está al Weste del MC. Si λΔ > 0 ⇒ que el punto o base topográfica está al Este del MC. Ejemplo: Determinar el ángulo de convergencia entre meridianos para el punto que tiene las siguientes coordenadas geográficas, para PSAD-56.

=Pϕ S 29 30 14,32 Pλ = W 70 27 54,25 e 2 = 0,0067681702366 0λ = 69 Solución. Reemplazando el valor de ϕ y λ en XII, XIII y C5 se obtiene: XII = 4924.839836 XIII = 2.96777548 λΔ = 5274.25

P = 0.527425 C5 = 7.134764737E-05 C = 0.8018268972 g = 0 43 17.92

4.5.2. Obtención de c ángulo de convergencia entre los meridianos UTM y Astronómico, a partir de coordenadas UTM. C = (XV) q + (XVI) q3 + F5 XV = (tg ϕ )/ (r sin 1 K0 ) 106 XVI = tg ϕ /(3 r3 Sin 1 ) (1 + tg2 ϕ - e 2 Cos2 ϕ -2 e 4 Cos4 ϕ ) (1/K0

3 ) 1018

F5 = q5 tg ϕ /(15 r5 Sin 1 ) (2 +5 tg2 ϕ + 3 tg4 ϕ ) (1/K05 ) 1030

q = 0.000001 |E | E = 500000 – E 4.6. Cálculo de direcciones por rumbos.

Angulo comprendido entre alineaciones.

Agregar Primera letra

0 – 1 R 0 Cambia 1 R – 3 R -2 R No cambia

> 3 R - 4 R Cambia



4.7. Cálculo de direcciones por azimutes.

Angulo comprendido entre alineaciones.

Agregar

> 2 R - 2 R > 6 R - 6 R < 2 R + 2 R

4.8. Cálculo de azimutes al radiar puntos desde una base topográfica.

Angulo resultante Agregar > 4 R - 4 R < 4 R 0



4.9. Cálculo de coordenadas. En topografía para determinar las coordenadas rectangulares bi o tridimensionales de un punto observado, es suficiente con conocer la posición de un punto estación, desde el cual se debe determinar directa o indirectamente la DH Pto. Estación- Pto. Observado (directamente con cinta, indirectamente con teodolito y mira, teodolito con cinta, Estación Total con jalón y prismas, Distanciómetro con Jalón y prismas) y además debe medirse la dirección entre el punto estación y el punto observado, es decir, el Azimut Pto. Estación- Pto. Observado o el rumbo Pto. Estación- Pto.

Observado. Luego deben aplicarse las siguientes expresiones para obtener la posición del punto observado B:

Δ : Estación topográfica de coordenadas conocidas.

Ο : Punto observado o a determinar sus coordenadas.

ΘA-B : RumboA-B, en el primer cuadrante topográfico también representa al AzimutA-B.

Figura 24: parámetros requeridos para determinar posición del Punto observado B. XB = XA + ΔXA-B = XA + DHA-B * Sin AzA-B = XA + DHA-B * Sin RboA-B YB = YA + ΔYA-B = YA + DHA-B * Cos AzA-B = YA + DHA-B * Cos RboA-B

ZB = ZA + DNA-B = ZA + hiA + HA-B + 6.66/10^8 * DiA-B^2 - hjB

(XB, YB, ZB): Coordenadas Totales del Punto Observado B. (ΔXA-B, ΔYA-B, DNA-B) : Coordenadas Parciales A-B Observación: cuando se utiliza el RboA-B en el cálculo de las coordenadas, debe recordarse la convención 4.1 N,E (+) , S,W (-), es decir, debe anteponerse el signo de la primera letra del RboA-B en el caso ΔYA-B , y el signo de la segunda letra del RboA-B en el caso ΔXA-B. Todo esto se debe a que el Rumbo siempre es un ángulo agudo, luego las funciones coseno y seno siempre serían positivas, por lo que los signos de las primeras letras antes indicadas le dan la característica de la dirección de la línea, tema tratado cuando se analizó el cuadrante donde se ubica el rumbo de la línea.



4.9.1. Aplicaciones de las coordenadas. 4.9.1.1. Determinación de superficies utilizando coordenadas. Cuando se conocen las coordenadas bidimensionales del perímetro de un predio, es posible determinar la superficie del terreno encerrada por dicho perímetro, para ello se utiliza la expresión del determinante alterado, es decir, siguiendo la dirección en el sentido horario (+) o antihorario (-) de los puntos que representan el perímetro del predio, se tabulan los datos ordenándolos en forma secuencial, y cuando se llega al último punto del contorno del predio, se repite el primero, luego se multiplican desde arriba y cruzado obteniendo los productos Xi Yi+1 y después se calcula también desde arriba y cruzado los productos Xi Yi+1 , aplicando la expresión en valor absoluto se obtiene lo requerido:

Superficie = 1/2 )111

1(1

21 YnXiY

n

iiXX

n

inYiYiX ++∑

−

=−∑

=+−

Para el caso de un predio de cuatro puntos el determinante alterado quedaría tabulado de la siguiente manera:

Y1 X1

Y2 X2 Superficie=1/2 Y3 X3 = ½(Y1X2 + Y2X3 + Y3X4 +Y4X1) – (X1Y2 + X2Y3 + X3Y4 + X4Y1) Y4 X4 Y1 X1

Observaciones: 1. El valor absoluto del determinante alterado es para preservar el valor positivo del cálculo de la superficie, dado que, cuando se ordena o tabula el determinante



en la dirección contraria a los punteros del reloj, las superficies dan valores negativos. 2. El cálculo de superficie se realiza en la proyección horizontal del plano (Y,X) o (X,Y), sin embargo en el caso de la ingeniería agrícola generalmente se requiere obtener el cálculo de la superficie de laderas de cerros, es decir, la superficie del plano inclinado, para ello se sugiere obtenerlo de la siguiente manera:

PV: Plano Vertical.

PH: Plano Horizontal.

PI: Plano inclinado.

α : ángulo de pendiente del terreno, el cual puede medirse con el eclímetro de una brújula.

Superficie PI ≈ Superficie PH/ Cosα

Superficie PH =1/2 )14114

1(1

4

241 YXiY

iiXX

n

iYiYiX ++∑

−

=−∑

=

=+−

Es evidente que la expresión propuesta se cumple para planos inclinados perfectos, y para ángulos de pendientes uniformes, situaciones que en la realidad no suelen ocurrir, pero que pueden aproximarse a ella. 4.9.1.2. Replanteo de puntos, ejes, y arcos a través de coordenadas. Una vez realizado el levantamiento y obtenido el plano topográfico, viene generalmente la etapa del diseño de algún proyecto, el cual involucra una serie de elementos geométricos coordenados tales como puntos, ejes, curvas y arcos que pueden representar diversos diseños de ingeniería, entre ellos ejes de galerías, caminos, canales, principios o fin de curvas, esquinas de edificios, centro de piques, etc. Los cuales deben materializarse en el terreno, para ello se recurre a las coordenadas de los puntos estaciones desde los cuales se realizó el levantamiento, o a la creación de nuevos puntos coordenados. En rigor es necesario, tener una base topográfica desde la cual se pueda instalar el instrumento en uno de los extremos de la base y se cala u orienta el



instrumento hacia el otro extremo de la base, se mide el ángulo horizontal horario Ω Estación- Pto. Replanteo y la distancia DH Estación- Pto. Replanteo , se demarca en el terreno a través de estacas los puntos en terreno, se unen los puntos y se originan los ejes; las curvas en superficie se replantean con ángulos de deflexiones y cuerdas que a la vez van generando los respectivos arcos, los cuales a través de estacas también se van materializando. La situación se complica un poco en el subsuelo donde hay que realizar apertura del subsuelo por medio de la perforación y tronadura, para mayores detalles se sugiere revisar los ejercicios resueltos del apunte La Topografía y sus Aplicaciones en los Laboreos subterráneos del suscrito, el cual se encuentra disponible en la plataforma moodle del Departamento de Ingeniería de Minas: www.depminasuls.cl/moodle Obtención de elementos de replanteo: DH Estación- Pto. Replanteo = ((XPto Replanteo – X Estación)2 + (YPto Replanteo – Y Estación)2)(1/2) Si el Az Estación- Pto. Replanteo < AzBase ⇒ Ω (+) “ángulo horario sería”: Ω Estación- Pto. Replanteo = 4R- (AzBase - Az Estación- Pto. Replanteo) Si el Az Estación- Pto. Replanteo > AzBase ⇒ Ω (+) “ángulo horario sería”: Ω Estación- Pto. Replanteo = Az Estación- Pto. Replanteo - AzBase

http://www.depminasuls.cl/moodle



5. Métodos de levantamientos topográficos. Con el avance de la tecnología han surgido también nuevas metodologías para realizar levantamientos topográficos, como es el caso de la topografía satelital, en este capítulo se expondrán principalmente los métodos mas clásicos de medición en terreno, los cuales son aplicables a un sinnúmero de áreas y actividades de la ingeniería. 5.1. La radiación. Es un método topográfico que consiste en instalarse en uno de los puntos de coordenadas conocidas de una base topográfica, o sobre un punto de coordenadas conocidas (A), y orientándose por el otro punto de la base (B) o de un punto de dirección conocida (B), se mide la distancia horizontal DHA-P, entre el punto estación (A) y el punto observado (P) y además se mide el ángulo horizontal horario θA-P entre las líneas. Para la medición de distancia se puede utilizar teodolito con mira, teodolito con cinta de acero, distanciómetro o estación total con jalón y prismas. 5.1.1. Radiación a partir de una base topográfica.

XP = XA + ΔXA-P YP = YA + ΔYA-P ZP = ZA + DNA-P (XP, YP, ZP): coordenadas totales de P. ΔXA-P = DH A-P Sin AZA-P

ΔYA-P = DH A-P Cos AZA-P

DNA-P = hi A + H A-P + 6.66 108 DiA-P2 - hjP

(ΔXA-P,ΔYA-P, DNA-P): coord. parciales A-P.

Figura 25 a: Radiación desde una base topográfica. Δ : símbolo que representa los puntos trigonométricos de la base topográfica, cuyas coordenadas son conocidas, en este caso el trío de puntos coordenados de A(X,Y,Z) y B(X,Y,Z). Ο : símbolo que representa el vértice al cual se desea conocer las coordenadas (P). ΘA-P : ángulo horizontal horario medido en terreno entre las líneas A-B y A-P. AZA-B= Azimut A-B medido en terreno. AZA-P = Azimut A-P necesario para calcular coordenadas de P. Observación: Cuando se utiliza un teodolito o taquímetro repetidor, debe verificarse la orientación (cero-cero) cada una cierta cantidad de puntos levantados, aceptándose como tolerancia máxima la precisión del equipo de medición.



5.1.2. Radiación a partir de un punto con coordenadas y dirección conocida.

XP = XA + ΔXA-P YP = YA + ΔYA-P ZP = ZA + DNA-P (XP, YP, ZP): coordenadas totales de P. ΔXA-P = DH A-P Sin AZA-P

ΔYA-P = DH A-P Cos AZA-P

DNA-P = hi A + H A-P + 6.66 108 DiA-P2 - hjP

(ΔXA-P,ΔYA-P, DNA-P): coord. parciales A-P.

Figura 25 b: Radiación desde un punto con coordenadas y dirección conocida. Δ : símbolo que representa un punto trigonométrico cuyas coordenadas son conocidas, en este caso representa al trío de puntos coordenados de A(X,Y,Z). Ο : símbolo que representa al vértice de orientación (B) y al punto al cual se desea conocer las coordenadas (P). ΘA-P : ángulo horizontal horario medido en terreno entre las líneas A-B y A-P. AZA-B= Azimut A-B medido en terreno. AZA-P = Azimut A-P necesario para calcular coordenadas de P.

5.2 La intersección ⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎩⎨⎧

InversaiónTrilateraciónTriangulac

Directa

.2.2.1

.1

5.2.1.1 La triangulación. La triangulación topográfica, por su precisión, ha sido uno de los métodos clásicos más usados en el levantamiento de coordenadas planimétricas de vértices ubicados a distancias kilométricas; dichos vértices sirven a su vez para ligar diversos trabajos topográficos. Este método, consiste básicamente en que a partir de una base topográfica A-B conocida, se puede determinar la posición de un punto C, para ello la solución consiste en instalarse con un teodolito en las estaciones topográficas A, B y C y se miden por reiteración los ángulos horizontales interiores γβα y, , además los ángulos verticales A-C, A-B, B-A, B-C, C-A, C-B, las alturas instrumentales hiA, hiB, hiC , los hilos medios hmA, hmB y hmC.



Δ : Base topográfica de coordenadas conocidas, por lo que se conocen implícitamente los azimutes AzA-B, AzB-A y la distancia horizontal DHA-B=DHB-A = C.

Ο : Estación creada para determinar su posición. α ,β ,γ : Angulos horizontales horarios promedios C-A-B, A-B-C y B-C-A respectivamente, resultantes de una serie de reiteraciones, en el caso de trabajos de 3er orden geodésico, es necesario medir cuatro reiteraciones por cada ángulo.

dα ,dβ , dγ : desviación estándar de los valores

más probables, de los ángulos respectivos γβα ,, .

dα ,dβ , dγ ≤ ± 0,0017g, para trabajos de 3er orden geodésico.

Figura 26: Triangulación desde una base topográfica conocida. Condición angular de una triangulación. Teoría : α + β + γ = 2R R= 100g sistema centesimal. Práctica: α + β + γ = 2R + ε∠ R = 90º sistema sexagesimal. ε∠ : error de cierre angular obtenido. Obs. Para trabajos geodésicos de 3er orden el ε∠ Admisible ≤ ± 0,0030g. Si el ε∠ ≤ ε∠ Admisible ⇒ compensación εi = ± |ε∠ |/3 α’= α + εi , si ε∠> 0 ⇒ εi (-), si ε∠< 0 ⇒ εi (+) β’ = β + εi

γ’ = γ + εi

Cálculo de lados de una triangulación. sinγ’/c = sinα’/a = sin β’/b , α’,β’, γ’: ángulos horizontales ajustados. DHA-B = c “base conocida” DHB-C = a = sinα’/ sinγ’/c DHA-C = b = sin β’/ sinγ’/c Cálculo de coordenadas de C (desde la estación A). XC

= XA + ΔXA-C= XA + DHA-C sinAzA-C AzA-C = AzA-B - α’ YC = YA + ΔYA-C = YA + DHA-C cosAzA-C ZC = ZA + DNA-C= ZA + hiA + HA-C +6.66/108 DiA-C

2 - hmC

HA-C = DHA-C tg α = DHA-C/tgZ = - DHA-C/tgN , α, Z, N: ángulos verticales referidos al horizonte, al zenit y al nadir respectivamente. DiA-C= DHA-C/cosα = DHA-C/sinZ= DHA-C/sinN, DHA-C = b “Distancia Horizontal A-C”.



Cálculo de coordenadas de C (desde la estación B). X’C = XB + ΔXB-C= XB + DHB-C sinAzB-C AzB-C = AzB-A + β’ Y’C = YB + ΔYB-C = YB + DHB-C cosAzB-C Z’C = ZB + DNB-C= ZB + hiB + HB-C +6.66/108 DiB-C

2 - hmC

HB-C = DHB-C tg α = DHB-C/tgZ = - DHB-C/tgN , α, Z, N: ángulos verticales referidos al horizonte, al zenit y al nadir respectivamente. DiB-C= DHB-C/cosα = DHB-C/sinZ= DHB-C/sinN, DHB-C = a “Distancia Horizontal B-C”.

Coordenadas definitivas de C. XC = (XC + X’C)/2 YC = (YC + Y’C )/2 ZC = (ZC +Z’C )/2 Observaciones: 1. Para triangulaciones de 3er orden geodésico los ángulos horizontales interiores γβα y, se miden c/u con cuatro reiteraciones. 2. Los ángulos verticales referidos al α, Z y N, al horizonte, al zenit y al nadir respectivamente se miden con tres reiteraciones para trabajos geodésicos de 3er orden, y el error de índice tolerable es ε∠ Admisible ≤ ± 0,0050g. 3. De los métodos clásicos es el de mayor precisión y el de menor costo. 5.2.1.2 La trilateración.

Δ : Base topográfica de coordenadas conocidas, donde se conocen implícitamente los azimutes AzA-B, AzB-A y la distancia horizontal DHA-B= DHB-A = C.

Ο : Estación creada para determinar su posición. DHB-C = DHC-B = a (se mide con instrumental electrónico de distancia en forma recíproca). DHA-C = DHC-A = b (se mide con instrumental electrónico de distancia en forma recíproca).

Figura 27: Trilateración desde una base topográfica conocida. El surgimiento del método topográfico conocido como trilateración se inicia con la aparición de una amplia gama de distanciómetros electrónicos y de estaciones totales, las operaciones consisten en medir las longitudes de los



lados de los triángulos, para determinar con ellos por trigonometría los valores de sus ángulos, es decir, el proceso inverso que se utiliza en la triangulación. La medición de los lados de los triángulos debe hacerse en forma recíproca y con a lo menos cuatro mediciones en ambas direcciones. Las mediciones lineales deben corregirse por presión y por temperatura, ingresándose además la constante de los prismas, en 0,000 m en el lado de afuera o plano del portaprisma (of set) o en 0,030 m en el lado interior del portaprisma (in). Las operaciones en terreno consisten en instalarse en las tres estaciones A,B y C con el distanciómetro o con una estación total, en los extremos opuestos se ubican los prismas reflectores, y se miden recíprocamente las distancias A-B, A-C, B-A, B-C, C-B y C-A, además se deben medir los ángulos verticales con tres reiteraciones c/u (para lograr trabajos geodésicos entre el 3er y 4º orden) en las direcciones A-C, A-B, B-A, B-C, C-A y C-B, las alturas instrumentales hiA, hiB, hiC, así como también las alturas de jalón hjA, hjB y hjC.. Cálculo de los ángulos α, β y γ de una trilateración. a2 = b2 + c2 – 2bc cosα ⇒ α = Arcos (b2 + c2 - a2)/2bc) b2 = a2 + c2 – 2ac cosβ ⇒ β = Arcos (a2 + c2 - b2)/2ac) c2 = a2 + b2 – 2ab cosγ ⇒ γ = Arcos (a2 + b2 - c2)/2ab) Condición angular y cálculo de coordenadas de una trilateración. Idéntico a la triangulación, ver método de la triangulación en 5.2.1.1. Observaciones: Por el costo que significan las operaciones topográficas es el método menos utilizado, además de los costos de los materiales accesorios como los prismas reflectantes y el requerimiento de uso de radio de comunicaciones dada las distancias kilométricas entre estaciones. 5.2.2 Intersección inversa o problema de la carta (Pothenot). La intersección inversa consiste en que a partir de tres puntos de coordenadas conocidas, un operador se puede instalar con teodolito sobre una estación creada P y se miden los ángulos horizontales α’ y β, la altura instrumental hiP, los hilos medios hmA, hmB y hmC, los ángulos verticales P-A, P-B o P-C y obtener la posición de la estación de instalación P.



Δ : Vértice con coordenadas conocidas. Ο : Vértice sin coordenadas. ∠ APB = α ’ , ∠ BPC = β Azimut B-A – Azimut B-C = θ = ∠ BCA ∠ BAP = X , ∠ PCB = Y ∠ BCP = Ω = 2R – (β + Y) DHA-B = DHB-A = a , DHB-C = DHC-B = b DHB-P = DHP-B = d AzB-P = AzB-C + Ω , AzP-B = AzB-P – 2R

Figura 28: Intersección inversa o problema de la carta. De la figura ABCP se puede obtener:

i)∑=

=

∠4

1

intn

i

eriores i = 2R(n – 2) = 4R, (n=4)

i) x + θ + y + β + α’ = 4R, R= 100g o R= 90º i) x+y = 4R – (α’ + β + θ), si k= 4R – (α’ + β + θ) 1) x = k- y De la figura 1, triángulo ABP se puede obtener: sinα’/a = sinx/d ⇒ d= a sinx/sinα’ De la figura 2, triángulo BCP se puede obtener: sinβ/b = siny/d’ ⇒ d’= b siny/sinβ Igualando d = d’ ⇒ a sinx/sinα’ = b siny/sinβ 2) sinx = b sinα’ siny/a sinβ 1) x = k- y Como 1ª solución con las expresiones 1) y 2) se puede obtener la solución numérica de una ecuación, utilizando la iteración por el método de Newton, obteniendo los valores angulares de x e y.



Como 2ª solución se puede trabajar de la siguiente manera: 1) x = k- y / sin (aplicando la función seno a la expresión 1). sinx = sin(k-y) = sink cosy – siny cosk 1’) sinx = sink cosy – siny cosk 2) sinx = b sinα’ siny/a sinβ sink cosy – siny cosk = b sinα’ siny/a sinβ sink cosy = siny (cosk+ b sinα’/a sin β) 2’) tgy = sink/( cosk+ b sinα’/a sin β) ⇒ y = Arctg(sink/( cosk+ b sinα’/a sin β)) El valor de y se debe interpretar para indicar en que cuadrante se encuentra el ángulo buscado y, luego se reemplaza en 1) y se obtiene x. Cálculo de coordenadas de la estación P. XB

= XP + ΔXP-B YB = YP + ΔYP-B Coordenadas totales del vértice de posición conocida B. ZB = ZP + DNP-B

Pto. Pto. Observado Estación XP

= XB - ΔXP-B YP = YB - ΔYP-B Coordenadas totales de la estación de instalación P. ZP = ZB - DNP-B

ΔXP-B = DHP-B sin AzP-B =⎯d sin AzP-B ⎯d = (d+d’)/2 ΔYP-B = DHP-B cos AzP-B =⎯d cos AzP-B Coordenadas parciales desde P-B. DNP-B = hiP + HP-B + 6.66/108 Di2P-B - hjB HP-B = DHP-B tgα = DHP-B / tgZ = - DHP-B / tgN (α, Z, N ángulos verticales al horizonte, zenit y nadir respectivamente). DiP-B = DHP-B/cosα = DHP-B/sinZ = DHP-B/sinN AzP-B = AzB-P – 2R , AzB-P = AzB-C + Ω , Ω= 2R – (β + Y)



5.3 Poligonales. A partir de un vértice que tiene coordenadas conocidas es posible determinar la posición de otro punto, si se mide la distancia horizontal entre ellos y su azimut , este proceso puede extenderse indefinidamente midiendo cada vez la distancia horizontal entre la última estación creada y el nuevo punto del polígono, y además el ángulo horizontal entre las líneas, a todo este proceso se le denomina poligonación.

Δ : Vértice con coordenadas conocidas. Ο : Vértice de estación creada. ⎯DHi,j: pueden medirse con teodolito y mira, con teodolito y huincha, distanciómetro con jalón y prismas, o estación total con jalón y prismas. Las DHi,j deben medirse en forma recíproca. Los Azimutesi,j se obtienen a partir del AzA-B y los ángulos exteriores αi aplicando la regla de los azimutes en cada línea. Los ángulos horizontales αi deben medirse por reiteración las veces que lo requiera el orden de precisión del trabajo topográfico.

Figura 29: Proceso de generación de un polígono. La finalidad de las poligonales es la densificación de puntos coordenados que permitan realizar operaciones topográficas, tales como, levantamientos de detalles de sectores específicos, realización de replanteos o materialización de proyectos de ingeniería, y control de las obras o proyectos de ingeniería.



5.3.1 Variantes de poligonación y condición angular. 1. Poligonales cerradas con ángulos interiores.

Δ : Vértice de inicio y llegada de la poligonal, sus coordenadas son conocidas. Ο : Vértice de estación creada. (-): Sentido de avance antihorario, referencia a considerar al medir el acimut AzA.B y los los ángulos interiores αi, las distancias horizontales DHi,j, las coordenadas parciales ΔXi,j, ΔYi,j y DNi,j. Las distancias horizontales DHi,j deben medirse en forma recíproca. Los ángulos horizontales αi deben medirse por reiteración las veces que lo requiera el orden de precisión del trabajo topográfico.

Figura 30: Poligonal cerrada se inicia y se llega a la misma estación de coordenadas conocidas, midiendo los ángulos interiores horizontales en el sentido antihorario. Condición angular.

Teoría: ∑=

n

i

i1

α = 2R (N-2)

Práctica: ∑=

n

i

i1

α = 2R (N-2) + ε∠

R= 90º ∨ 100g según sistema sexagesimal o centesimal respectivo. ε∠ : error de cierre angular obtenido. N : Nº de lados o vértices del polígono. Si el ε∠ ≤ ε∠ ADMISIBLE ⇒adoptar criterio de compensación.



2. Poligonales cerradas con ángulos exteriores. Δ : Vértice de inicio y llegada de la poligonal, sus coordenadas son conocidas. Ο : Vértice de estación creada. (+): Sentido de avance horario, referencia a considerar al medir el acimut AzA.B y los ángulos exteriores αi, las distancias horizontales DHi,j, las coordenadas parciales ΔXi,j, ΔYi,j y DNi,j. Las distancias horizontales DHi,j deben medirse en forma recíproca. Los ángulos horizontales αi deben medirse por reiteración las veces que lo requiera el

orden de precisión del trabajo topográfico. Figura 31: Poligonal cerrada se inicia y se llega a la misma estación de coordenadas conocidas, midiendo los ángulos exteriores horizontales en el sentido horario. Condición angular.

Teoría: ∑=

n

i

i1

α = 2R (N+2)

Práctica: ∑=

n

i

i1

α = 2R (N+2) + ε∠

R= 90º ∨ 100g según sistema sexagesimal o centesimal respectivo. ε∠ : error de cierre angular obtenido. N : Nº de lados o vértices del polígono. Si el ε∠ ≤ ε∠ ADMISIBLE ⇒adoptar criterio de compensación.



3. Poligonales cerradas con ángulos exteriores e interiores. Δ : Vértice de inicio y llegada de la poligonal con coordenadas conocidas. Ο : Vértice de estación creada. (+): sentido de avance horario, se usan los ángulos horizontales exteriores para el cálculo de azimutes. (-):sentido de avance antihorario se usan los ángulos horizontales interiores para el cálculo de azimutes. F: estación ficticia, se considera para obtener el valor de K en la condición angular. DHi,j, ΔXi,j, ΔYi,j y DNi,j deben calcularse en la misma dirección en que se calculan los azimutes Azi,j.

Figura 32: Poligonal cerrada se inicia y se llega a la misma estación de coordenadas conocidas, midiendo ángulos horizontales exteriores e interiores. Condición angular.

Teoría: ∑=

n

i

i1

α = KR

Práctica: ∑=

n

i

i1

α = KR+ ε∠

R= 90º ∨ 100g según sistema sexagesimal o centesimal respectivo. ε∠ : error de cierre angular obtenido. K ∈ lN ; K = 2 N1 + 2 N2 – 4; N1 : es el número de lados o vértices del polígono 1, el cual puede tener n lados. N2 : es el número de lados o vértices del polígono 2, el cual también puede tener n lados. Si el ε∠ ≤ ε∠ ADMISIBLE ⇒adoptar criterio de compensación.



Obtención de K. Si F es una estación ficticia, en la figura 1 ABCF la condición angular es:

∑=

n

i

i1

α = 2R (N1+ 2) ⇒ i)α1 + α2 + α3 + 4R - ϕ = 2RN1 + 4R

∴ i) α1 + α2 + α3 - ϕ = 2RN1 En la figura 2 FDE la condición angular es:

∑=

n

i

i1

α = 2R (N2 - 2) ⇒ ii)α4+ α5+ ϕ = 2RN2 - 4R

Luego: i) α1 + α2 + α3 - ϕ = 2RN1 ii)α4+ α5+ ϕ = 2RN2 - 4R

∑=

=

5

1

n

i

iα = 2RN2 + 2RN1 – 4R = R(2N2 – 2N1 – 4)

K

∴∑=

=

5

1

n

i

iα = K R



4. Poligonales de enlace. Δ : Vértice de triangulación, cuyas coordenadas son conocidas. Ο : Vértice estación de poligonal creada. AzI-II: Azimut de partida de la poligonal de enlace. AzIII-IV: Azimut de llegada de la poligonal de enlace. DHi,j, ΔXi,j, ΔYi,j y DNi,j deben calcularse en la misma dirección en que se calculan los azimutes Azi,j, es decir, en el sentido de avance del polígono.

Figura 33: Poligonal de enlace, se inicia en un vértice con coordenadas y se llega a otro también de posición conocida, midiendo los ángulos horizontales en la dirección del sentido de avance. Una poligonal de enlace se inicia en un vértice con coordenadas, y se llega a otro vértice también de posición conocida, estos vértices pueden pertenecer a trabajos anteriores, tales como triangulaciones, poligonaciones, red geodésica nacional, red GPS, etc. Condición angular.

Teoría: ∑=

n

i

i1

α = Az Llegada – Az Partida + KR

→ sentido de avance

Práctica: ∑=

n

i

i1

α = Az Llegada – Az Partida + KR + ε∠

→ sentido de avance R= 90º ∨ 100g según sistema sexagesimal o centesimal respectivo. ε∠ : error de cierre angular obtenido. N : Nº de lados o vértices del polígono. K ∈ lN y se puede obtener en forma analítica o aproximadamente por cálculo. Si el ε∠ ≤ ε∠ ADMISIBLE ⇒adoptar criterio de compensación.



Obtención de K 1. Método analítico (usando regla de los azimutes, ver tabla página 48). AzII-A = AzI-II + α1 – 2R Ver tabla

AzA-B = AzII-A +α2 - 2R Ver tabla

AzB-C = AzA_B +α3 - 2R Ver tabla

AzC-III = AzB-C +α4 - 2R Ver tabla

AzIII-IV = AzC-III +α5 - 2R Ver tabla (+)

AzI-II = ∑=

=

5

1

n

i

iα - 10R + AzIII-IV

∑=

=

5

1

n

i

iα = AzIII-IV - AzI-II + 10 R

∴ K = 10 2. Método por cálculo.

K ≈ (∑=

=

5

1

n

i

iα + AzI-II - AzIII-IV )/R



5. Poligonales abiertas. Δ : vértice de poligonal con coordenadas conocidas. Ο : vértice estación poligonal creada. DHi,j, ΔXi,j, ΔYi,j y DNi,j deben determinarse en la dirección del cálculo de los azimutes Azij.

Condición angular. No tiene comprobación global. Observaciones: 1. En todos los casos de poligonales anteriores, tanto los ángulos horizontales como los verticales deben medirse por algún método de medición precisa de ángulos, siendo el mas recurrente la reiteración. Los ángulos horizontales para trabajos geodésicos de 3er orden deben medirse con 4 reiteraciones cada uno, aceptándose incertezas dα ≤ ± 0,0017g del promedio de las reiteraciones. Los ángulos verticales se deben medir con 3 reiteraciones y el error de índice debe ser ε∠ ≤ ± 0,0050g del promedio de las reiteraciones. 2. Las distancias inclinadas en las poligonales deben medirse en forma recíproca como lo indican las flechas rojas, para trabajos geodésicos de 3er orden se miden a lo menos 4 veces desde una dirección y con un instrumento que permita medir líneas con un error relativo εR ≤ 1/100.000. 3. En todos los tipos de poligonales tratadas desde las estaciones creadas debe observarse totalmente la estación anterior y la siguiente. 4. En todas las poligonales que tienen comprobación global (cerradas y de enlace) si ε∠ ≤ ε∠ ADMISIBLE ⇒ (εi).



5.3.2 Criterios de compensación de ángulos horizontales. 1. Proporcional al nº de lados o vértices: Si el ε∠ ≤ ε∠ ADMISIBLE ⇒ εi = ± |ε∠ |/N Ejemplo: de acuerdo al criterio enunciado compense los ángulos interiores αi de una poligonal taquimétrica cerrada ABCDE de 5 lados cuyos ángulos interiores resultaron: α1 = 123,8215g , α2= 169,0917g , α3= 72,2513g , α4= 154,0408g y α5= 80,8145g y considerando que el ε∠ ADMISIBLE ≤ 0,02g N , N=5

Teoría: ∑=

n

i

i1

α = 2R (N-2)

Práctica: ∑=

n

i

i1

α = 2R (N-2) + ε∠

∑=

5

1i

iα = 6R + ε∠ , 600,0198g = 600g + ε∠ ∴ ε∠= 0,0198g

ε∠ ADMISIBLE ≤ 0,02g 5 , ε∠ ADMISIBLE ≤ ± 0,04472g ∴ε∠< ε∠ ADMISIBLE ⇒ εi = - 0,0198g/5 = - 0,00396g (compensación para cada ángulo αi). Estación αi medido Compensación (εi ) αi Compensados A α1= 123,8215g - 0,00396g ⇒ α1 = 123,81754g B α2= 169,0917g - 0,00396g ⇒ α2 = 169,08774g C α3= 72,2513g - 0,00396g ⇒ α3 = 72,24734g D α4= 154,0408g - 0,00396g ⇒ α4 = 154,03684g E α5= 80,8145g - 0,00396g ⇒ α5 = 80,81054g

∑=

5

1i

iα = 600,0198g ∑=

5

1i

iα = 600,00000g

2. Criterio de los mínimos cuadrados. Sean αi los ángulos medidos. Sean α’

i los ángulos ajustados o compensados. Sean εi = αi - α’

i los residuos.

1) U = ∑=

n

i 1

εi2 = mínimo

2) Condición angular en teoría Utilizado los datos del ejemplo anterior se realizará el ajuste según criterio de los mínimos cuadrados.



1) U=∑=

5

1i

εi2=(α1 - α’

1 )2 +(α2 - α’

2 )2 + (α3 - α’3 )2+(α4 - α’

4 )2 +(α5 - α’5)2 = Mínimo

2) ∑=

5

1i

α’i = 2R(N - 2) = 6R = 600g

De 2) α’

1+α’2 +α’

3 +α’4 +α’

5 = 600g se obtiene α’1= 600g – (α’

2 +α’3 +α’

4 +α’5 )

1’) U=(α1+α’

2+α’3 +α’

4 +α’5 - 600g)2+(α2 - α’

2 )2+(α3 - α’3 )2+(α4 - α’

4 )2 +(α5 - α’5)2 = Mínimo

Obtención de las ecuaciones normales: ∂ U/∂ α’

2 = 2 (α1+α’2+α’

3 +α’4 +α’

5 - 600g)+2(α2 - α’2 ) (-1)= 0 /*1/2

i) 2α’2+α’

3 +α’4 +α’

5 = 600g+α2 - α1 = 645,2702g ∂ U/∂ α’

3 = 2 (α1+α’2+α’

3 +α’4 +α’

5 - 600g)+2(α3 - α’3 ) (-1)= 0 /*1/2

ii) α’2+2α’

3 +α’4 +α’

5 = 600g+α3 - α1 = 548,4298g ∂ U/∂ α’

4= 2 (α1+α’2+α’

3 +α’4 +α’

5 - 600g)+2(α4- α’4) (-1)= 0 /*1/2

iii) α’2+α’

3 +2α’4 +α’

5 = 600g+α4 - α1 = 630,2193g ∂ U/∂ α’

5= 2 (α1+α’2+α’

3 +α’4 +α’

5 - 600g)+2(α5- α’5) (-1)= 0 /*1/2

iv) α’2+α’

3 +α’4 +2α’

5 = 600g+α5 - α1 = 556,9930g i) 2α’

2+α’3 +α’

4 + α’5 = 645,2702g Resolviendo se obtiene: α’

2 = 169,0880g

ii) α’2+2α’

3+α’4 + α’

5 = 548,4298g α’3 = 72,2473g

iii) α’2+α’

3 +2α’4 + α’

5 = 630,2193g α’4 = 154,0370g

iv) α’2+α’

3 +α’4 + 2α’

5 = 556,9930g α’5 = 80,8105g

α’1= 123.8172g

En forma matricial tenemos: 2 1 1 1 α’

2 6R+α2 - α1 1 2 1 1 α’

3 = 6R+α3 - α1 1 1 2 1 α’

4 6R+α4 - α1 1 1 1 2 α’

5 6R+α5 - α1 A B C Análisis La matriz A mantiene su diagonal principal en 2 cualquiera sea el tipo de poligonal (cerrada con ángulos exteriores, cerrada con ángulos interiores y exteriores, y de enlace), esta matriz debe ser linealmente independiente y poseer inversa.



El vector B es un vector columna que tendrá N elementos, según sea el número de lados o vértices del polígono. En la matriz C el valor 6R representa la ley angular teórica del polígono de 5 vértices, es decir, 2R(N-2), así por ejemplo, si se tratase de una poligonal cerrada de 5 vértices con ángulos exteriores, el valor que tendría que contener la matriz sería 14R, es decir, 2R(N+2) ; si se tratase de un polígono de 5 vértices con ángulos exteriores e interiores, la matriz tendría que contener la expresión (2N1 + 2N2 – 4)R; en el caso de una poligonal de enlace donde se han medido 5 ángulos horizontales, tendríamos Azllegada – Azpartida + KR, donde K estará en función de la regla de los azimutes. 5.3.3 Error de cierre lineal o de posición en las poligonales cerradas y de enlace. 1. Poligonales cerradas.

Figura 34: Poligonal cerrada, se inicia en el vértice A de coordenadas conocidas y se llega al mismo vértice, sin embargo, debido a que se han medido los valores más probables de las distancias y de los ángulos, al calcular y sumar los YΔ i,j , y los XΔ i,j se va a llegar en la práctica alrededor del vértice A (A’), generándose un error de posición ε.



Para que un polígono cerrado cierre linealmente, en sus proyecciones debe ocurrir: En la proyección norte:

Teoría: =Δ∑=

n

k

kjiY

1, YFinal - YInicial = 0

Práctica: ∑=

Δn

k

kjiY

1, = εY

En la proyección este:

Teoría: =Δ∑=

n

k

kjiX

1, XFinal - XInicial = 0

Práctica: ∑=

Δn

k

kjiX

1, = εX

En el polígono de la figura 34, en la práctica las sumatorias de las proyecciones en los ejes debieran ser:

∑=

Δn

k

kjiY

1, = YΔ A,B + YΔ B,C + YΔ C,D + YΔ D,A = εY

⎯DHA,B cosAZA-B

∑=

Δn

k

kjiX

1, = XΔ A,B + XΔ B,C + XΔ C,D + XΔ D,A = εX

⎯DHA,B sinAZA-B

ε = ε = 22YX εε +

ε : Error de cierre lineal o de posición en un polígono cerrado. εY : Error de cierre lineal en la proyección norte. εX : Error de cierre lineal en la proyección este. Para poligonales electrónicas de 3er orden geodésico el error relativo está dado por la siguiente inecuación:

ERPolígono Electrónico ≤ 1/20.000 ; ER = 1/(∑=

n

k

kjiDH

1, /ε )

Si εY ≤ εTolerable ⇒ εYi’ = Yε /(∑=

Δn

k

kjiY

1, ) jiY ,Δ parcial

Si εX ≤ εTolerable ⇒ εXi’ = Xε /(∑=

Δn

k

kjiX

1, ) jiX ,Δ parcial

Si εY > 0 ⇒ εYi’ (compensación) < 0; Si εY < 0 εYi’ (compensación) >0 Si εX> 0 ⇒ εXi’ (compensación) < 0; Si εX < 0 εXi’ (compensación) >0



2. Poligonales de enlace.

Figura 35: Poligonal de enlace, se inicia en el vértice II de coordenadas conocidas, se realiza el recorrido y se llega al vértice III, sin embargo, debido a que se han medido los valores más probables de las distancias y de los ángulos, al calcular y sumar los YΔ i,j , y los XΔ i,j se va a llegar en la práctica alrededor del vértice III (III’), generándose un error de posición ε. Para que una poligonal de enlace cumpla su condición de cierre, en sus proyecciones debe ocurrir: En la proyección norte:

Teoría: =Δ∑=

n

k

kjiY

1, YFinal - YInicial

Práctica: ∑=

Δn

k

kjiY

1, = YFinal - YInicial + εY

En la proyección este:

Teoría: =Δ∑=

n

k

kjiX

1, XFinal - XInicial

Práctica: ∑=

Δn

k

kjiX

1, = XFinal - XInicial + εX

En el polígono de la figura 35, en la práctica las sumatorias de las proyecciones en los ejes debieran ser:



∑=

Δn

k

kjiY

1, = YΔ II,A + YΔ A,B + YΔ B,C + YΔ C,III = YFinal - YInicial + εY

300 - 800 + εY

⎯DHII;A cosAZII;A

- 500 m

∑=

Δn

k

kjiX

1, = XΔ II,A + XΔ A,B + XΔ B,C + XΔ C,III = XFinal - XInicial + εX

1.200 - 50

⎯DHII,A sinAZII,A

1.150 m

ε = ε = 22YX εε +

ε : Error de cierre lineal o de posición en un polígono cerrado. εY : Error de cierre lineal en la proyección norte. εX : Error de cierre lineal en la proyección este. Ejemplo de poligonal taquimétrica cerrada. A partir de los datos de terreno del siguiente registro de una poligonal taquimétrica cerrada ABCDA, determine las coordenadas de los puntos B, C y D, previo ajuste de las mediciones, si se sabe que el instrumento utilizado mide ángulos en el sistema centesimal y verticales cenitales, YA = XA = 1000 m , ZA = 500 m, y el acimut AZA-D = 174,82g .

Angulos

Angulos Ajustados

Estación

hi

Pto. Obs.

Horiz (+)

Vert (Z)

Estadía

hm

Horiz. (+)

Verticales (Z)

A 1,45 DD 0,00g 91,29g 1,828 1,076 1,45 91,295g

BD 114,25g 99,30g 2,500 1,300 1,90 114,25g 99,305g

BT 314,23g 300,69g 2,520 1,300 1,91 DT 199,98g 308,70g 1,830 1,080 1,45

B 1,46 AD 0,00g 100,45g 2,070 0,850 1,46 100,455g

CD 101,32g 94,22g 1,735 1,190 1,46 101,32g 94,245g

CT 301,30g 305,73g 1,730 1,190 1,46 AT 199,98g 299,54g 2,070 0,850 1,46 C 1,43 BD 0,00g 105,78g 1,710 1,150 1,43 105,805g

DD 106,93g 98,01g 2,140 0,720 1,43 106,93g 98,035g

DT 306,91g 301,94g 2,130 0,720 1,43 BT 199,98g 294,17g 1,700 1,160 1,43 D 1,34 CD 0,00g 102,01g 2,045 0,635 1,34 102,005g

AD 77,48g 108,67g 1,720 0,965 1,34 77,485g 108,695g

AT 277,49g 291,28g 1,710 0,965 1,34 CT 200,00g 298,00g 2,045 0,635 1,34 Solución:



1. Dibujo de poligonal ABCDA. Para dibujar a priori el polígono aproximaremos y ocuparemos la siguiente expresión: DH = 100 (Ls - Li) sinZ2 ≈ 100 (Ls –Li), aproximando sinZ2 = 1 Figura 36: Dibujo preliminar de la poligonal cerrada ABCDA, a partir de las coordenadas del vértice A, del AzA-D, de los ángulos horizontales sin compensar y aproximando DH= KG. 2. Ajuste de ángulos horizontales: i) Origen: (0,00g + 199,98g -200g)/2= - 0,01g ii) .HorizAngulo = (114,25g + 314,23g – 200g)/2= 114,24g iii) .HorizAngulo Ajustado = 114,24g + -0,01g= 114,25g Siguiendo la metodología expuesta se ajustaron y se obtuvieron los ángulos horizontales ajustados en las estaciones A,B,C y D. 3. Ajuste de ángulos verticales: ZD + ZT = 4R + ε∠ 91,29g + 308,70g = 400g + ε∠ ε∠ = - 0,01g “Error de índice obtenido” ⇒ εi = + -0,01g/2⎟ = 0,005g ZD

CORREGIDO = ZDcorregido + εi



ZDCORREGIDO = 91,29g + -0,01g/2⎟ = 91,2950g

4. Comprobación global y compensación de ángulos horizontales.

Práctica: ∑=

=

4

1

n

iiα = 2R (N-2) + ε∠ = 4R + ε∠

399,985g - 400g = ε∠ ∴ ε∠= - 0,015g ⇒ εi = +⎟ - 0,015g|4 = 0,00375g Compensación

Observación: ε∠ Admisible P/poligonales taquimétricas ≤ 0,02g n , n : número de lados o vértices del polígono. Estación αi medido compensación αi compensados A α1 = 114,25g + 0,00375g α1= 114,25375g

B α2 = 101,32g + 0,00375g α2= 101,32375g C α3 = 106,93g + 0,00375g α3= 106,93375g D α4 = 77,485g + 0,00375g α4= 77,48875g

∑=

4

1iiα = 399,985g ∑

=

4

1iiα = 400,00000g

5. Cálculo de azimutes. Usando la regla de los azimutes y en el sentido antihorario se calculan las direcciones: AzD-A = 374,8200g + 114,25375g

489,07375g – 200g AzA-B = 289,07375g + 101,32375g 390,39750g -200g AzB-C = 190,39750g + 106,93375g 297,33125g -200g AzC-D = 97,33125g +77,48875g 174,8200g + 200g AzD-A = 374,8200g



6. Ajuste de generadores e hilos medio, cálculos de DHi,j y de DNi,j. y sus valores más probable. Lado G ⎯G hm ⎯hm Zi,j DHi,j DNi,j ⎯DHi,j ⎯DNi,j

Directo 1,20 1,90 AB hiA=1,45 Tránsito 1,22

1.21 1,91

1,905

99,305g

120,986

0,866

Directo 1,22 1,46 BA hiB=1,46 Tránsito 1,22

1,22 1,46

1,460

100,455g

121,994

-0,872

121,490

0,869

Directo 0,545 1,46 BC

hiB=1,46 Tránsito 0,540

0,5425 1,46

1,460

94,245g

53,808

4,877

Directo 0,56 1,43 CB hiC=1,43 Tránsito 0,54

0,55 1,43

1,43

105,805g

54,544

-4,987

54,176

4,932

Directo 1,42 1,43 CD

hiC=1,43 Tránsito 1,41

1,415 1,43

1,43

98,035g

141,365

4,365

Directo 1,41 1,34 DC hiD

=1,34 Tránsito 1,41

1,41 1,34

1,34

102,005g

140,860

-4,438

141,113

4,402

Directo 0,755 1,34 DA hiD

=1,34 Tránsito 0,745

0,750 1,34

1,34

108,695g

73,610

-10,117

Directo 0,752 1,45 AD hiA=1,45 Tránsito 0,750

0,751 1,45

1,45

91,295g

73,705

10,141

73,658

-10,129

7. Cálculo de coordenadas a partir del vértice A de coordenadas conocidas.

Coord. Parciales Compensación Coord. Parc. Comp. Coord. Totales Lado

⎯DHi,j

AZii,j Δ yi,j Δ xi,j εyi εxi Δ y’i,j Δ x’i,j

Y(N) m

X(E)m

A

1000,000

1000,000

AB

121,490

289,07375g

-20,749

-119,705

0,059

- 0,420

-20,690

-120,125

979,310

879,875

BC

54,176

190,39750g

-53,561

8,141

0,154

-0,029

-53,407

8,112

925,903

887,987

CD

141,113

97,33125g

5,914

140,989

0,017

-0,496

5,931

140,493

931,834

1028,480

DA

73,658

374,8200g

67,971

-28,380

0,195

-0,100

68,166

-28,480

1000,000

1000,000

437,4

1390∑

=

=

n

k εy=-0.425 εx=1.045 εy’=0,425 εx’= -1,045 ∑= 0 ∑= 0

∑ =+ 885,73)( ∑ =+ 130,149)( ∑ =− 310,74)( ∑ =− 085,148)(

εy’ = Yε /(∑=

Δn

k

kjiY

1, ) jiY ,Δ parcial “expresión para obtener la compensación en el eje y”

cte.

εXi’ = Xε /(∑=

Δn

k

kjiX

1, ) jiX ,Δ parcial “expresión para obtener la compensación en el eje x”

cte.



ε = 22YX εε + = 1,128117902 m ERPolígono = 1/(∑

=

n

k

kjiDH

1, /ε ) = 1/346,096

Observación: de acuerdo a la referencia de error relativo para una poligonal taquimétrica vista en teoría de error página 18 de este texto, el trabajo debiera rechazarse porque el valor obtenido está fuera del rango de la inecuación. 8. Recálculo de las DHi,j y de los Azi,j , a través de las coordenadas parciales compensadas.

DHi-j = 2,

2, jiXjiY Δ+Δ “distancia horizontal desde i hasta j”

=ΔΔ=− ),/,( jiYjiXArctgjiθ ”expresión para obtener los rumbos de los lados del

polígono”. Lado DHi,j (m) Rumboi,j Azimuti,j

AB 121,894 S 89,1416 W 289,1416g BC 54,020 S 9,5963g E 190,4037g CD 140,618 N 97,3141g E 97,3141g

DA 73,876 N 25,1948g W 374,8052g Observación: si se comparan las nuevas distancias horizontales y los azimutes recalculados, con sus equivalentes datos obtenidos en terreno, se puede apreciar grandes diferencias, por lo cual es necesario dejar en claro que los azimutes recalculados son los utilizados para el cálculo de azimutes de nuevos puntos y las nuevas distancias las que deben utilizarse en el polígono definitivo.



Ejemplo de poligonal electrónica cerrada. A partir de los datos de terreno del siguiente registro de una poligonal electrónica cerrada IABCDI, determine las coordenadas totales compensadas de los puntos A, B, C y D, previo ajuste de las mediciones, si se sabe que la estación total utilizada mide ángulos en el sistema centesimal y verticales cenitales, los ángulos horizontales y verticales han sido previamente ajustados. Estación Y (Norte) m X (Este) m Z (Cota) I 13.508,275 16.925,821 1.214,235 II 14.729,336 15.327,628 1.619,823

Angulos

Estac.

hi

Pto. Obs. Horiz(+) Vertic Z)

Di

hj

DHi,j

DNi,j

⎯DHi,j

⎯DNi,j

Lado

I 1,59

II 0,0000g

D 94,4445g 106,2643g 5089,779 2,5 5065,158 -499,208

A 219,8214g 104,2011g 5799,364 3,2 5786,741 -381,797 5786,420 -381,868 I-A A 1,55

I 0,0000g 95,8179g 5798,606 2,5 5786,099 381,939

B 113,5001g 98,3593g 3869,850 3,2 3868,565 99,070 3868,574 99,038 A-B B 1,57

A 0,0000g 101,6185g 3869,834 3,2 3868,583 -99,006

C 143,2083g 103,6773g 5314,241 3,2 5305,378 -306,544 5305,355 -306,586 B-C C 1,58

B 0,0000g 96,3278g 5314,169 3,2 5305,331 306,627

D 107,9865g 99,0754g 6154,437 2,5 6153,788 90,984 6153,641 90,674 C-D D 1,50

C 0,0000g 100,9433g 6154,170 3,2 6153,494 -90,363

I 109,9107g 93,7487g 5089,712 2,5 5065,193 499,708 5065,176 499,458 D-I

Ω = 94,4445g “ángulo horario II-I-D” α1 = 219,8214g – Ω = 125,3769g



Solución: 1. Dibujo de poligonal IABCDI. A partir de la expresión DH= Di sinZ ≈ Di, aproximando sinZ =1, se dibuja a priori el polígono en el sistema de coordenadas cartesianas, comenzando con las coordenadas de la estación I, se utilizan las Di y los ángulos horizontales αi sin compensar.

2. Ajuste de ángulos horizontales y verticales. Los ángulos horizontales y verticales se midieron por reiteración y fueron ajustados previamente, para no extender el desarrollo del problema. 3. Comprobación global y compensación de ángulos horizontales.

Práctica: ∑=

=

5

1

n

iiα = 2R (N-2) + ε∠ = 6R + ε∠

599,9825g - 600g = ε∠ ∴ε∠= - 0, 0175g Observación: ε∠ Admisible P/poligonales electrónicas 3

erorden≤ 0,0050g n , n : número de

lados o vértices del polígono.

ε∠ Admisible P/poligonales electrónicas 3er

orden ≤ 0,0112g ∴ε∠= - 0, 0175g correspondería a poligonales entre 5o y 4o orden.



Luego ε∠= - 0,0175g ⇒ εi = +⎟ - 0,0175g|5 = 0,0035g Compensación

Estación αi medido compensación αi compensados I α1 = 125,3769g + 0,0035g α1

’= 125,3804g

A α2 = 113,5001g + 0,0035g α2= 113,5036g

B α3 = 143,2083g + 0,0035g α3= 143,2118g C α4 = 107,9865g + 0,0035g α4= 107,9900g D α5 = 109,9107g + 0,0035g α5= 109,9142g

∑=

5

1iiα = 599,9825g ∑

=

5

1iiα = 600,0000g

Observación : el ángulo α1 = 219,8214g – 94,4445g = 125,3769g Ω 4. Cálculo de azimutes. Usando la regla de los azimutes y en el sentido antihorario se calculan las direcciones, previo cálculo del AZI-II. θII-I = arc tag((XI – XII)/(YI – YII)) = -58,4658g ⇒ AZI-II = 2R + θII-I = 141,5342g AzII-I= 141,5342g + 219,8249g (Ω + α1

’) 361,3591g – 200g AzI-A = 161,3591g + 113,5036g 274,8627g -200g AzA-B = 74,8627g + 143,2118g 218,0745g -200g AzB-C = 18,0745g +107,9900g 126,0645g + 200g AzC-D = 326,0645g

+109,9142g 435,9787g -200g AzD-I = 235,9787g

+ 125,3804g 361,3591g – 200g AzI-A = 161,3591g



5. Cálculo de DHi,j , DNi,j y sus valores más probables. Las DHi,j , DNi,j , ⎯DHi,j y ⎯DNi,j fueron calculadas y se encuentran sus valores ennegrecidas en el registro con los datos de terreno. 6. Cálculo de coordenadas a partir del vértice I de coordenadas conocidas.

Coord. Parciales Compensación Coord. Parc. Comp. Coord. Totales Lado

⎯DHi,j

AZii,j Δ yi,j Δ xi,j εyi εxi Δ y’i,j Δ x’i,j

Y(N) m

X(E)m

I

13508,275

16925,821

IA

5786,420

161,3591g

-4752,850

3300,465

-0,081

0,042

-4752,931

3300,507

8755,344

20226,328

AB

3868,574

74,8627g

1488,144

3570,895

-0,025

0,045

1488,119

3570,940

10243,463

23797,268

BC

5305,355

18,0745g

5092,963

1486,108

-0,086

0,019

5092,877

1486,127

15336,340

25283,395

CD

6153,641

326,0645g

2449,626

-5645,054

-0,042

0,072

2449.584

-5644,982

17785,924

19638,413

DI

5065,176

235,9787g

-4277,577

-2712,626

-0,072

0,034

-4277,649

-2712,592

13508,275

16925,821

∑=

=

5

1166,26179

n

k εy= 0.306 εx=-0,212 εy’=-0,306 εx’= 0,212 ∑= 0 ∑= 0

∑ =+ 733,9030)( ∑ =+ 468,8357)( ∑ =− 427,9030)( ∑ =− 680,8357)(

εy’ = Yε /(∑=

Δn

k

kjiY

1, ) jiY ,Δ parcial “expresión para obtener la compensación en el eje y”

cte.

εXi’ = Xε /(∑=

Δn

k

kjiX

1, ) jiX ,Δ parcial “expresión para obtener la compensación en el eje x”

cte.

ε = 22YX εε + = 0,3722633476 m ERPolígono = 1/(∑

=

n

k

kjiDH

1, /ε ) = 1/70324,317

E.R.P/Polígonos Trabajos Geodésicos ≤ 1 /20.000 Observación: de acuerdo a la referencia de error relativo para una poligonal electrónica vista en teoría de error página 19 de este texto, el trabajo debiera aceptarse porque el valor obtenido está dentro del rango de la inecuación.



8. Recálculo de las DHi,j y de los Azi,j , a través de las coordenadas parciales compensadas.

DHi-j = 2,

2, jiXjiY Δ+Δ “distancia horizontal desde i hasta j”

=ΔΔ=− ),/,( jiYjiXArctgjiθ ”expresión para obtener los rumbos de los lados del

polígono”. Lado DHi,j (m) Rumboi,j Azimuti,j

I-A 5.786,510 S 38,6408g E 161,3592g A-B 3.868,606 N 74,8634g E 74,8634g B-C 5.305,278 N 18,0750g E 18,0750g

C-D 6.153,559 N 73,9356g W 326,0644g D-III 5.065,218 S 35,9779g W 235,9779g

Observación: si se comparan las nuevas distancias horizontales y los azimutes recalculados, con sus equivalentes datos obtenidos en terreno, se puede apreciar pequeñas diferencias, por lo cual es necesario dejar en claro que los azimutes recalculados son los utilizados para el cálculo de azimutes de nuevos puntos y las nuevas distancias las que deben utilizarse en el polígono definitivo.



5.3.4 Cálculo de cota en las poligonales. 1. Poligonales cerradas.

Teoría: 0|)(1

,|)(1

, =−∑=

−+∑=

n

kk

jiDNn

kk

jiDN

Práctica : =−∑=

−+∑=

|)(1

,|)(1

,n

kk

jiDNn

kk

jiDN εz

εz : error de cierre altimétrico obtenido.

Si εz ≤ εzAdmisible ⇒ εzi = ± | εz |/ |1

,|∑=

n

kk

jiDN jiDN , parcial “compensación proporcional

a las diferencias de nivel DNi,j”.

εzAdmisible P/Trabajos 3er geodésico ≤ 0,15 L m

L: recorrido o perímetro del polígono expresado en Km. 1. Poligonales de enlace. Teoría: DN Obtenida – DN Real = 0 Práctica : DN Obtenida – DN Real = εz

εz : error de cierre altimétrico obtenido.

DN Obtenida = |)(1

,|)(1

, −∑=

−+∑=

n

kk

jiDNn

kk

jiDN

DN Real = Cota Final - Cota Inicial

Si εz ≤ εzAdmisible ⇒ εzi = ± | εz |/ |1

,|∑=

n

kk

jiDN jiDN , parcial “compensación proporcional

a las diferencias de nivel DNi,j”.

εzAdmisible P/Trabajos 3er geodésico ≤ 0,15 L m

L: recorrido o perímetro del polígono expresado en Km.



Ejemplo de ajuste de cotas en una poligonal cerrada. De los datos de la poligonal taquimétrica cerrada anteriormente analizada se tiene:

⎯DNi,j

⎯DNi,j compensadas

Lado (+) (-)

εZ (+) (-)

Cota

Estación

A 500,0000 A A-B 0,869 - 0,0031 0,8658 500,8650 B B-C 4,932 - 0,0179 4,9141 505,7799 C C-D 4,402 - 0,0160 4,3860 510,1659 D D-A 10,129 - 0,0369 10,1659 500,0000 A

∑=

=

4

1 ,

n

ik

jiDN 10,203 10,129 - 0,0739 10,1659 10,1659

εz = 10,203 -10,129= 0,074 m εzAdmisible = 0,15 390437,0 m = ± 0,0937 m

∴ εz ≤ εzAdmisible ⇒ εzi = ± | εz |/ |1

,|∑=

n

kk

jiDN jiDN , parcial

εzi = - |0,074|/(10,203+10,129) jiDN , parcial

cte. CA = 500 m CB = CA + DN A-B

CC = CB + DN B-C

CD = CC + DN C-D

CA = CD + DN D-A = 500 m



Ejemplo de ajuste de cotas en una poligonal de enlace. En el levantamiento de una poligonal electrónica de enlace cuyo perímetro fue de 26.782,332 m, y las cotas de los vértices de inicio y final son de 1623,564 m y 1569,075 m respectivamente, se obtuvieron los siguientes datos:

⎯DNi,j


Lado (+) (-)

εZ (+) (-)

Cota

Estación

II 1623,564 II II-A 125,325 - 0,0953 125,2297 1748,7937 A A-B 425,476 - 0,3237 425,7997 1322,9940 B B-C 206,971 - 0,1574 206,8136 1529,8076 C C-D 96,981 - 0,0738 97,0548 1432,7528 D

D-III 136,426 - 0,1038 136,3222 1569,075 III

∑=

=

5

1 ,

n

ik

jiDN 468,722 522,457 - 0,7540 468,3655 522,8545

DN Obtenida = 468,722 – 522,457 = - 53,735 m DN Real = Cota Final - Cota Inicial = 1569,075 -1623,564 = - 54,489 m εz = DN Obtenida - DN Real = - 53,735 - (- 54,489) = 0,754 m εzAdmisible = 0,15 782332.26 m = ± 0,776 m


,|∑=

n

kk

jiDN jiDN , parcial

εzi = - |0,754|/(468,722+522,457) jiDN , parcial

cte. CII= 1623,564 m CA = CII+ DN II-A

CB = CA + DN A-B

CC = CB + DN B-C

CD = CC + DN C-D

CIII = CD + DN D-III = 1569,073 m



Ejemplo de ajuste de cotas en una poligonal electrónica cerrada. En el levantamiento de la poligonal electrónica cerrada IABCDI se obtuvieron los siguientes datos:

⎯DNi,j


Lado (+) (-)

εZ (+) (-)

Cota

Estación

I 1.214,235 I I-A -381,868 - 0,1985 382,0665 832,1685 A A-B 99,038 - 0,0515 98,9865 931,1550 B B-C -306,586 - 0,1593 306,7453 624,4097 C C-D 90,674 - 0,0471 90,6269 715,0366 D D-I 499,458 - 0,2596 499,1984 1.214,235 I

∑=

=

5

1 ,

n

ik

jiDN 689,170 688,454 - 0,7160 688,8118 688,8118

εz = 689,170 - 688,454 = 0,716 m εzAdmisible = 0,15 179166.26 m = ± 0,767 m


,|∑=

n

kk

jiDN jiDN , parcial

εzi = - |0,716|/(689.170+ 688.454 jiDN , parcial

cte. CI = 1214,235 m CA = CI + DN I-A

CB = CA + DN A-B

CC = CB + DN B-C

CD = CC + DN C-D CI = CD + DN D-I = 1214,235 m



5.4. Representación del relieve a través de curvas de nivel. La superficie real de la tierra, es el terreno, y se representa en un plano por medio de curvas de nivel. Una curva de nivel es una línea imaginaria que representa puntos que tienen la misma cota o altitud sobre o bajo un plano de referencia. Sirven para representar el relieve del terreno en una vista de planta o proyección horizontal.

Figura 37: Si una persona se encontrara sobre un islote en un momento determinado y considerara como plano de referencia el nivel medio del mar (N.M.M) curva de nivel 0 m, al ascender la marea después de cierto tiempo, observaría la intersección del agua con la superficie del terreno originando la curva de nivel 1 en una vista de planta, y así sucesivamente podría continuar subiendo el mar y a la vez generándose las curvas de nivel 2 hasta la 4. A la distancia vertical entre dos planos horizontales (P.H.) consecutivos se le denomina equidistancia entre curvas de nivel. 5.4.1. Equidistancia entre curvas de nivel. La equidistancia entre curvas de nivel, se refiere a la distancia vertical que existe entre dos curvas de nivel consecutivas, que generalmente corresponden a la milésima de la escala de representación de un plano, sin embargo, la elección de la equidistancia vertical, dependerá de la precisión con que se desea obtener la representación del relieve. Escala plano Equidistancia entre curvas 1:500.000 cada 500 m 1:250.000 cada 250 m 1:100.000 cada 100 m 1:50.000 cada 50 m 1:25.000 cada 25 m 1:10.000 cada 10 m 1:5.000 cada 5 m 1:1.000 cada 1 m 1:500 cada 0,5 m 1:200 cada 0,2 m



5.4.2. Consideraciones para tener presente en la representación del relieve. 1. Las curvas de nivel deben ser siempre múltiplos de la equidistancia. 2. Para representar la altimetría en un plano, se recurre a las curvas de nivel. 3. Para los efectos de apreciar las variaciones de las pendientes del terreno, los planos horizontales están separados a una misma altura entre ellos (equidistancia). 4. Las curvas de nivel más próximas entre si, representan terrenos de pendientes más fuertes, que las correspondientes curvas de nivel que están más separadas en el plano. 5. Para que la representación del terreno sea lo más entendible, es indispensable que las curvas de nivel sean acotadas, a fin de evitar falsas interpretaciones.

Figura 38: Los planos topográficos se acotan a través de curvas índices (curvas más ennegrecidas) cuando se representa el relieve y algún proyecto de ingeniería, una forma alternativa sería la del acotamiento por cada curva de nivel en los límites del modelo digital de terreno, generalmente utilizado en los software topográficos. 5.4.3. Determinación de curvas de nivel. 1. Método directo (uso del isómetro). 2. Método indirecto (uso de regla o escalímetro). 3. Método computacional (uso de software topográfico). 1. Uso del isómetro. Se construye a partir de un trozo de papel transparente como el diamante o poliéster y se dibuja una primera recta y luego se trazan paralelas cada 5 mm o según la necesidad. Una vez calculadas las coordenadas de los puntos del levantamiento y vaciados en un plano, se van escogiendo de a dos puntos, cuyas cotas son conocidas y se procede a la interpolación.



Se escoge el punto de menor cota (punto 5) y se adapta la cota del punto al isómetro (20,35 m), se pincha con un alfiler o aguja el punto 5 y se hace girar el isómetro hasta hacer coincidir el punto 6 de cota 27,80 m. Luego se pincha con un alfiler aquellos puntos que están en la intersección de la recta segmentada con las rectas paralelas del isómetro, lográndose encontrar los puntos por donde pasarán las curvas de nivel 21 hasta la 27, para una equidistancia de 1 m entre curvas.

Figura 39: Prototipo de isómetro confeccionado para interpolación manual a una equidistancia de 1 m entre curvas de nivel. 2. Uso de regla o escalímetro. Al igual que en el caso anterior, se van escogiendo de a dos puntos vecinos contiguos de cota conocida y se procede a determinar las distancias d y d1, correspondientes a las curvas de nivel buscadas según la equidistancia elegida. La distancia d debe medirse con regla o escalímetro en el plano, desde el punto de cota menor hasta la primera curva de nivel buscada, la distancia d1 en el caso de existir otra(s) curva(s) de nivel, se mide a partir de la primera curva de nivel hasta la siguiente curva que se busca, proceso que se repite en el caso de existir otras curvas de nivel, desde la última curva a la subsiguiente. La distancia d y d1 se pueden obtener de las expresiones resultantes usando el teorema de Thales como se explica en la figura 41, las cuales pueden almacenarse en las calculadoras y proceder a obtener las curvas de nivel requeridas. d= D/(CM – Cm) (CN – Cm) d1 = D/(CM – Cm) e D: Distancia horizontal medida con escalímetro o regla desde el plano, la escala utilizada puede ser diferente a la escala del plano, siendo 1:100 la más recurrente.



CM : Cota Mayor de los puntos a interpolar. Cm : Cota menor de los puntos a interpolar. CN : Curva de Nivel múltiplo de la equidistancia buscada. e : equidistancia entre curvas de nivel.

Figura 40: Interpolación con regla o escalímetro a equidistancia de 1 m, obsérvese que como criterio de interpolación se ha utilizado la diagonal por la cual pasan 6 curvas de nivel, es decir, la diagonal que pasa por los puntos 2 y 3, y no la diagonal entre 1 y 4, por la cual pasan solo 3 curvas de equidistancia 1 m.

Figura 41: Aplicación del teorema de Thales para obtener las expresiones d y d1 de interpolación de curvas de nivel, en el triángulo mayor se representa la proyección vertical existente entre los puntos 1 de Cota Mayor (CM) y el 3 de cota menor (Cm), además aparece CN que sería la curva de nivel buscada y luego las curvas subsiguientes.



Al realizar la relación de semejanza de triángulos entre el triángulo mayor y los dos triángulos menores en rojo y azul en la figura 41 se obtienen d y d1 respectivamente. D/H = d/h ∴ d = D/H h ⇒ d= D/(CM – Cm) (CN – Cm) donde: H = CM – Cm “diferencia de nivel entre las curvas de mayor a menor cota” h = CN – Cm “diferencia de nivel entre la curva de nivel buscada múltiplo de la equidistancia y la de menor cota”. D/H = d1/h1 ∴ d1= D/H h1 ⇒ d1= D/(CM – Cm) e donde: h1 = e “diferencia de nivel entre las curvas de nivel 60 y 59, o 61 y 60, o 62 y 61”, correspondiendo por lo tanto a la equidistancia entre curvas e”. Una vez calculadas las distancia d y d1 por cada par de puntos vecinos contiguos, se unen las curvas de nivel con una regla, y posteriormente se repasan manualmente para obtener el trazado definitivo de dichas curvas.

3. Uso de software topográfico. Modernos sistemas de automatización topográfica (Cartomap, Topograph, Surfer, Data Geosis, etc.) permiten en la actualidad generar curvas de nivel sobre un modelo digital de terreno. El usuario podrá plotear el dibujo de curvas de nivel o utilizarlo para generar perfiles longitudinales, transversales y cálculo de volúmenes. Procedimiento preliminar para el uso del software topográfico Cartomap. Una vez bajada la información de terreno levantada con estación total, se graba en el PC el archivo de terreno con extensión nombre.pts, luego se importa dicho archivo de trabajo con el software Cartomap siguiendo el siguiente proceder: 1. En el comando archivo se selecciona importar/exportar. 2. En la ventana Centro de comunicaciones Cartomap, en el campo fabricante se selecciona la opción ASCII Genérico, en el campo modelo se escoge Datos de Levantamiento y en el campo Formato se elige Puntos con coordenadas absolutas, luego se selecciona importar. 3. En la ventana Lectura de puntos en coordenadas absolutas, se selecciona la carpeta o unidad donde se encuentra el archivo.pts, se pincha sobre el nombre del archivo y se teclea aceptar.



4. Aparece una nueva ventana Centro de comunicaciones, indicando que la Importación ha finalizado, por lo tanto hay que aceptar. 5. Otra ventana se despliega indicando Presentación de Nuevos datos, donde el Maestro Aconseja: 1) Muestra representación en 2D inicial. 2) Muestra puntos y estaciones. Lo cual debe aceptarse. 6. En la pantalla se muestran posicionados los puntos del levantamiento en 2D, con los cuales se puede dar inicio a la interpolación de curvas de nivel. 7. Se pincha en el box Edición y se selecciona Modelo Digital de Terreno cálculo. 8. Surge la ventana Cálculo del Modelo Digital de Terreno (MDT), ante lo cual hay que teclear calcular, para que se obtenga el número de triángulos que conformarán la base del MDT. 9. Se va al box Gráficos y se elige Modelo Digital de Terreno apareciendo la ventana Presentación de Modelos Digitales, en la cual deben estar seleccionadas los box 1. Modelo Digital del terreno y 2. Mostrar Quads del nivel, y se teclea aceptar, apareciendo los triángulos que originan el MDT, los cuales pueden aparecer en color si previamente se elige dicho color. 10. En el box Gráficos se selecciona curvado, apareciendo la ventana Curvas de nivel, en el casillero Curva de nivel se selecciona 1 para obtener las curvas de nivel maestras, luego se hace un tick en el casillero visible, para que las curvas maestras pueden verse en pantalla, se baja hacia el casillero Equidistancia y se selecciona el número y el color que representará las curvas de nivel maestras que deseemos visualizar, después podemos teclear en las casillas Numera por líneas de numeración, Numera en los límites del MDT, seleccionar Dibujo, curvas suavizadas o la casilla Guardar y al final tecleamos Aceptar. 11. Se vuelve al box Gráficos Curvado, se despliega nuevamente la ventana Curvas de nivel, en el casillero Curva de nivel se selecciona ahora 2 para obtener las curvas de nivel restantes, se teclea en el casillero visible, para que las curvas restantes aparezcan en pantalla, se baja hacia el casillero Equidistancia y se selecciona el numeral de representación del curvado y el color de las mismas, luego se procede en forma idéntica a los pasos finales de la secuencia 10. 12. Aparecen en pantalla el MDT, todos los puntos del levantamiento, las curvas de nivel maestras y restantes en sus colores seleccionados. 13. Existe la alternativa para eliminar los puntos del levantamiento y descongestionar el dibujo, también es posible hacer desaparecer los triángulos que



conforman el Modelo Digital de Terreno (MDT), se pueden dividir los puntos en capas de levantamiento y definir conexiones que formen tanto las líneas de ruptura como las de zona de inclusión, mejoramiento del acabado del plano, embellecimiento del trazado, etc.

Figura 42: Dibujo preliminar en Cartomap que muestra en verde los triángulos del Modelo Digital de Terreno, cuyos vértices de los triángulos representan los puntos del levantamiento, en rojo se indican las curvas de nivel maestras cada 3 m, en azul las curvas de nivel con equidistancia altimétrica cada 1 m.



6. Elementos de hidráulica para canales de regadío.

6.1 Flujo de agua en canales (escurrimiento uniforme o flujo normal).

Las aguas de riego o drenaje, en los pequeños y grande proyectos, es trasladada a su destino final por medio de canales abiertos. Estos canales varían en tamaño, desde los grandes y principales conductos con capacidades de varios metros cúbico por segundo, hasta los pequeños surcos de riego, en parcelas, que conducen algunas unidades de litros por minuto.

Los principios generales para el diseño de canales para riego y para drenaje

son semejantes; la diferencia principal consiste en su localización, de acuerdo con los objetivos que cada uno debe cumplir. Es así como, los canales de regadío son siempre construidos en posiciones elevadas, en relación a las áreas que sirvan, mientras que los de drenaje, siempre se localizan en las depresiones de las zonas que beneficien.

En la hidráulica de canales abiertos, el escurrimiento es considerado un flujo

permanente uniforme, donde tanto la velocidad media, como la energía del agua son constantes. Esto implica que el flujo tiene lugar en un canal prismático (canal artificial), es decir, el área transversal es constante, y la línea o plano de energía (L.E.) es paralelo al eje hidráulico (E.H.) y a la línea de fondo (L.F.).

L.E. // E.H // L.F. V1,2 : Velocidad media en 1 y 2. tgα= i : Magnitud de la pendiente de fondo del canal. Q : Caudal. h1,2 : Alturas de agua en 1 y 2 , (h1=h2=h)

g2V 2

1 ,g2

V 22 : Energía cinética en 1 y 2 , respectivamente.

21−Λ : Pérdida de energía entre 1 y 2.

χ : Perímetro mojado.

0τ : Tensión de roce.

Λ

1-2

V2 ²/(2g)

L.F.

E.H. L.E.

V1²/(2g)

h 1 ,V 1

h2 ,V2

α

P.R.

Distribución lineal de presionesτ

Q

A χ



A1,2 : Áreas transversales en 1 y 2 (A1=A2=A). P.R. : Plano de Referencia. Para todo escurrimiento el caudal Q, en una sección del canal se expresa por: AVQ ∗= (1) V: Velocidad media del escurrimiento. A: Sección transversal del escurrimiento, normal a la dirección del flujo.

En la mayoría de los problemas de flujo permanente, el caudal Q es constante a lo largo del tramo del canal, es decir, el flujo es continuo, dando origen a la ecuación de continuidad para un escurrimiento continuo permanente:

.....2211 =∗=∗= AVAVQ (2)

Esta ecuación es obviamente sin valor cuando el caudal de un flujo permanente es no uniforme a lo largo del canal, tal como, cuando el agua entra o sale a lo largo del curso del escurrimiento.

6.2 Ecuación de Chezi para canales abiertos.

La ecuación básica para expresar el escurrimiento o flujo normal en un

canal abierto es: iRCV ∗∗= (3)

V : velocidad media del agua. R : radio hidráulico. i : magnitud de la pendiente de fondo del canal. C : coeficiente experimental de la velocidad según Chezi.

Inicialmente Chezi supuso C = Constante = 50, posteriormente ingenieros hidráulicos plantearon la variabilidad de C.

Experimentalmente se han determinado varias expresiones para C dado a que

es variable y depende de la naturaleza de la pared y del tipo de escurrimiento (laminar o turbulento):

6.2.1 Expresión de Bazin:

R

Cγ

+=

1

87 = RR

+γ87 (4)

R : radio hidráulico. γ : coeficiente de rugosidad para distintos materiales de constitución del canal.



Valores de coeficiente de rugosidad ( γ ), según Bazin. Naturaleza de paredes y fondo de canalización γ Paredes y fondos muy lisos (hormigón viejo perfectamente pulido; madera acepillada finamente; tubería soldada de hierro para conducción forzada de gran diámetro; tubería de hormigón armado).

0,06

Paredes y fondos lisos (hormigón fino alisado sin pulir, tubos de cemento revestidos de kanalhaut; obras de fábrica de ladrillos, lisos y limpios; tubos de hierro remachado longitudinal y transversalmente).

0,16

Paredes y fondo de capas de hormigón viejo (canalización de cemento, obras de fábrica de mampostería corriente de piedras talladas o ladrillos).

0,30

Paredes y fondo de obra de fábrica de canto toscamente tallado (capas planas de hormigón sin pulir). 0,46

Paredes de naturaleza mixta (perfiles constituidos por taludes de mampostería (empedrado) o de hormigón viejo sin pulir, y fondo de tierra; secciones transversales muy regulares de tierra (sin vegetación); paredes de roca muy lisa).

0,85

Perfiles regulares (canales y ríos) (con taludes y fondo de tierra (grava con fondo pedregoso o con limo, pero limpio)). 1,30

Lechos de tierra con cantos movibles o vegetación (cauces de deshielo; lechos vírgenes). 1,75

Canalizaciones toscamente labradas en roca sin otra preparación.

1,75 y más

6.2.2. Expresión de Manning:

6/11 Rn

C ∗= (5)

6.2.3. Expresión de Gauguillet-Kitter:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++=

i00155,023

Rn1

n1

i00155,023

C (6)

Para las expresiones (5) y (6)

R : radio hidráulico. n : coeficiente de rugosidad para distintos materiales de constitución del canal. i : magnitud de la pendiente de fondo del canal.



Valores de coeficientes de rugosidad (n) según Manning y Gauguillet-Kutter. Naturaleza de paredes y fondo de canalización n Paredes y fondos muy lisos (hormigón nuevo, fino perfectamente pulido; madera acepillada finamente; tubería de conducción forzada de hierro sin rebordes).

0,010

Hormigón viejo perfectamente pulido (tubería de conducción forzada de hierro, extensas, soldadas, pero con uniones transversales; tuberías de conducción forzada de hormigón armado).

0,012

Paredes y fondos lisos (obras de fábrica de ladrillos, revestimiento de hormigón, tubos de cemento revestidos de kanalhaut; tubos de hierro roblonados longitudinal y transversalmente).

0,013

Paredes y fondo de obra de fábrica de mampostería (superficie de hormigón, planos, sin enlucir). 0,017

Paredes de naturaleza mixta (canales con taludes empedrados y fondo de tierra; perfiles regulares de tierra). 0,020

Paredes regulares (canales y ríos) (con taludes y fondo de tierra o arena, limpios). 0,025

Lechos pedregosos o con algo de vegetación. 0,030 Canales muy mal tenidos (lechos con guijarros o cantos en movimiento o con vegetación; cauces de deshielos). 0,035

Canalizaciones toscamente labradas sobre roca (sin otra preparación).

0,035 y más

6.3 Obtención de la velocidad media (V) y del caudal (Q) de un canal abierto en función del coeficiente experimental de Chezi (C).

6.3.1. Usando expresión de Bazin:

iRCV ∗∗= = iR

R

∗∗+

γ1

87 = iRRR

∗∗+γ

87 (7)

iRRRAVAQ ∗∗

+

∗∗=∗=γ87 (8)

087=

+∗∗

∗−R

iRAQγ

(9)



6.3.2 Usando expresión de Manning (por su simplicidad, en relación a expresión (6) para la obtención de V y Q, dada la gran popularidad que ha ganado en el diseño de canales) tendremos:

iRn

iRRn

iRCV ∗∗=∗∗∗=∗∗= 3/216/11 (10)

iRn

AVAQ ∗∗∗=∗= 3/21 (11)

0iRn1AQ 3/2 =∗∗∗− (12)

6.4 Diseño de un canal.

Las expresiones (9) y (12) constituyen las ecuaciones de diseño de un canal, es así que, con calculadoras de bolsillo programables (Casio Fx 850-P, Casio Fx 880-P, Voyage 200, TI Titanium, etc.), es posible iterar usando el método de Newton-Raphson para obtener el parámetro o elemento geométrico del canal. Diseño de un canal significa:

- Que dado un caudal Q, se elige o determina los demás elementos del canal. - Se puede elegir como conocida la sección transversal del canal (rectangular,

trapezoidal, circular, etc.) y sus dimensiones (b, h, p, r, talud lateral, diámetro, γ o n) y se pide calcular la pendiente i del fondo del canal que cumpla dichas condiciones.

- Se puede elegir como conocidas la pendiente i del fondo del canal, uno de

los elementos de la superficie, taludes laterales, diámetro y se pide calcular el tirante hidráulico (h) del proyecto.

- Se puede elegir como conocidas la pendiente i del fondo del canal, el tirante

hidráulico, taludes laterales, diámetro y se pide calcular la base del canal.

6.4.1 Limitaciones en el diseño de un canal.

Existen varias limitantes a considerar en el diseño de un canal, por lo que es, de suma importancia analizar todas las posibilidades de factibilidad de un trazado y dejar al descubierto las debilidades y fortalezas de cada situación.



Entre los aspectos a analizar se pueden citar:

1. Las condiciones físicas y topográficas del terreno, que nos indicarán que se deben trazar varias alternativas del proyecto canal, de tal manera, que se pueda seleccionar la pendiente de fondo del canal que presente mayor seguridad para el proyecto.

2. Volumen de excavación para construir el canal, es una variable

preponderante al momento de decidir por la alternativa más óptima, puesto que, incide directamente en el costo de la obra; es sabido que a mayor volumen de excavación mayor también será su costo.

3. Eficacia del canal para conducir agua, tiene que ver con el uso racional

de los recursos disponibles, adecuándolos a la situación seleccionada, de manera que, satisfagan las expectativas planteadas para conducir el vital líquido.

4. Selección apropiada de los coeficientes de rugosidad γ para la expresión

experimental según Bazin y n para la expresión de Manning, sin duda, que la selección del valor para uno u otro, son totalmente independientes, y se ajustan.

6.5 Elementos geométricos de un canal.

Según sea la sección transversal elegida para el canal, son las expresiones obtenidas para sus parámetros geométricos. 6.5.1 Sección de escurrimiento rectangular.

b : base inferior del canal. L : base superior (ídem a la base inferior del canal) [L=b]. h : tirante hidráulico (ídem a la profundidad media). A : área mojada o sección de escurrimiento [A=b*h]. χ : perímetro mojado [χ= p1 + p2 + p3 = b + 2*h].

R : radio hidráulico [R=A/χ= h*2b

h*b+

].

H : profundidad media [H=A/L=b*h/b=h].



6.5.2 Sección de escurrimiento trapezoidal.

k : componente horizontal del talud. b : base inferior del canal. L : base superior del canal [L= b+2*k*h]. h : tirante hidráulico. A : área mojada o sección de escurrimiento [A=(b+k*h)*h]. χ : perímetro mojado [χ= p1 + p2 + p3 = b+2*h* k1 2+ ].

R : radio hidráulico [R=A/χ= 2k1*h*2b

h*)h*kb(

++

+ ].

H : profundidad media [H=A/L=h*k*2bh*)h*kb(

++ ].

6.5.3 Sección de escurrimiento triangular.

k : componente horizontal del talud lateral del canal. L : base superior [L=2*k*h]. h : tirante hidráulico. A : área mojada o sección de escurrimiento [A=k*h2]. χ : perímetro mojado [χ= p1 + p2 =2*h* k1 2+ ].

R : radio hidráulico [R=A/χ= 21*2

*

k

hk

+].

H : profundidad media [H=A/L=2h ].



6.5.4 Sección de escurrimiento circular.

L : base superior. h : tirante hidráulico.

A : área mojada o sección de escurrimiento [A=8

D*)θsenθ( 2− ].

χ : perímetro mojado [χ=2

D*θ ].

R : radio hidráulico [R=A/χ= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

θθ1 sen *

4D ].

L : ancho superficial [L= D*senθ/2=2* )hD(*h − ]. Observación: expresar θ en radianes.



7. Nivelación de terrenos. 7.1 Cálculo de movimiento de tierra por el método del centroide. Procedimiento de terreno y de cálculo. 1. Se estaca el predio cada 20 m en dos direcciones perpendiculares entre si. 2. Se marca en un papel milimetrado la ubicación de las estacas y los límites del predio. 20 m 20 m 20 m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 20 m 20 m 20 m 20 m 16 17 18 19 20 3. En el terreno se instala el Nivel de Ingeniero y se procede a nivelar la cuadrícula, registrando en el papel milimetrado las lecturas de mira en la parte superior derecha de cada estaca.



0,10 0,20 0,25 0,30 0,40 1 2 3 4 5 0,30 0,35 0,40 0,45 0,55 6 7 8 9 10 0,40 0,45 0,55 0,65 0,80 11 12 13 14 15 0,50 0,65 0,75 0,80 0,90 16 17 18 19 20 4. Se obtienen las cotas de cada una de las cuadrícula, asumiendo que la primera estaca tiene cota conocida. Estaca Lectura Atrás Lectura Intermedia Lectura Adelante Cota Instrumental Cota

1 0,10 10,00 9,90 2 0,20 9,80 3 0,25 9,75 4 0,30 9,70 5 0,40 9,60 6 0,30 9,70 7 0,35 9,65 8 0,40 9,60 9 0,45 9,55 10 0,55 9,45 11 0,40 9,60 12 0,45 9,55 13 0,55 9,45 14 0,65 9,35 15 0,80 9,20 16 0,50 9,50 17 0,65 9,35 18 0,75 9,25 19 0,80 9,20 20 0,90 9,10



5. Obtención de las áreas de influencia de cada uno de los puntos de la cuadrícula: 5.1 Subdivida (las veces que sean necesarias) a través de líneas punteadas la cuadrícula y obtenga las áreas de influencia de cada punto de cuadrícula. 5.2 En los sectores donde los límites de la cuadrícula sean irregulares, procure obtener con los numerales fraccionarios más apropiados el área de influencia.

6. Cálculo de la elevación del centroide.

Cota centroide = ∑=

∑=

n

iiAreas

n

iioductos

1

1Pr



Estaca Cotas Area Influencia Productos 1 9.90 ¼=0,25 2,475 2 9.80 ¼+1/4= 0,50 4,900 3 9.75 ¼+1/4=0,50 4,875 4 9.70 ¼+1/8=0,375 3,6375 5 9.60 1/8+1/16=0,1875 1,800 6 9.70 ¼+1/4=0,5 4,850 7 9.65 ¼+1/4+1/4+1/4=1 9,650 8 9.60 ¼+1/4+1/4+1/4=1 9,600 9 9.55 ¼+1/4+1/4+1/4=1 9,550 10 9.45 ¼+1/8+1/16=0,4375 4,134375 11 9.60 ¼+1/4=0,5 4,800 12 9.55 ¼+1/4+1/4+1/4=1 9,550 13 9.45 ¼+1/4+1/4+1/4=1 9,450 14 9.35 ¼+1/4+1/4+1/4=1 9,350 15 9.20 ¼+1/4=0,5 4,600 16 9.50 ¼=0,25 2,375 17 9.35 ¼+1/4=0,5 4,675 18 9.25 ¼+1/4=0,5 4,625 19 9.20 ¼+1/4=0,5 4,600 20 9.10 ¼=0,25 2,275

∑=

n

i 1 11,750 111,771875

Cota centroide= 750,11

771875,111 = 9,5125 m

7. Localización del centroide. Cuando la figura es regular (cuadrado, rectángulo, triángulo) el centro geométrico queda determinado por la intersección de las diagonales. Centroide Centroide Cuando la figura es irregular, el centro de gravedad o centroide geométrico puede ser ubicado usando una plomada:



7.1 Recorte el perímetro del predio dibujado en papel milimetrado de la figura irregular. 7.2 Con un alfiler o aguja haga un orificio en cada esquina de la figura irregular representada en el papel milimetrado. 7.3 Con un alfiler o aguja pinche la lienza de la plomada y en cada esquina de la figura irregular (en nuestro caso 5 posiciones diferentes) dibuje en el papel milimetrado la dirección de la plomada.



7.4 La intersección resultante de las 5 direcciones de la plomada dibujada en el papel milimetrado del predio irregular representa el centro geométrico del predio. 7.5 Traspase la ubicación del centroide geométrico a la hoja de la cuadrícula. 8. Traslado del centroide geométrico a cada ángulo de la cuadrícula, considerando la pendiente del terreno en dos direcciones. 8.1 Cuando el centro de gravedad del predio irregular no coincide con un ángulo de la cuadrícula, se mide con escalímetro y en forma proporcional a la pendiente se obtiene el valor de la cota centroide a la esquina más próxima de la cuadrícula. 8.2 Con el desplazamiento del centroide geométrico a la esquina más próxima de la cuadrícula, se procede en forma proporcional a las pendientes a trasladar el centro de gravedad a cada vértice de la cuadrícula (para nuestro caso 2,5 m/1000 m = X/20 m). X=0,050 m “representa la fracción decimal en metros que sube el centroide hacia arriba y a la izquierda” o “disminuye hacia abajo y a la derecha” si estamos de frente a la cuadrícula. 8.3 Escriba bajo cada esquina de la cota de terreno de la cuadrícula, la cota desplazada del centroide y haga la diferencia respectiva, que representará la altura de cada esquina del prisma resultante.



9. Obtención de las alturas medias y de las superficies de c/u de los prismas. h1= (0,213+0,163+0,063+0,063)/4=0,1255 m h2= (0,163+0,163+0,063+0,063)/4=0,1130 m h3= (0,163+0,163+0,063+0,063)/4=0,1130 m h4= (0,163+0,088+0,013+0,063)/4=0,08175 m h5= (0,063+0,063+0,013+0,013)/4=0,038 m h6= (0,063+0,063 - 0,037+0,013)/4=0,0255 m h7= (0,063+0,063 - 0,087 - 0,0374=0,0005 m h8= (0,063+0,013 - 0,187 - 0,087)/4= -0,0495 m h9= (0,013+0,013 - 0,137 - 0,037)/4= -0,037 m h10= (0,013 - 0,037 - 0,187 - 0,137)/4= -0,087 m h11= (-0,037 - 0,087 - 0,187 - 0,187)/4= -0,1245 m h12= (-0,087 - 0,187 - 0,237 - 0,187)/4= -0,1745 m A1= 20 * 20 = 400 m2 = A2 = A3 = A5 = A6 = A7 = A8 = A9 = A10 = A11 = A12

A4 = (10+20)/2 * 20 = 300 m2 10. Cálculo de volumen de corte (+) y de volumen de terraplén (-), para Cota centroide = 9,512 m. V1 = A1 * h1 = 400 * 0,1255 = 50,2 m3 V2 = A2 * h2 = 400 * 0,113 = 45,2 m3 V3 = A3 * h3 = 400 * 0,113 = 45,2 m3 V4 = A4 * h4 = 300 * 0,08175 = 24,525 m3 V5 = A5 * h5 = 400 * 0,038 = 15,2 m3 V6 = A6 * h6 = 400 * 0,0255 = 10,2 m3



V7 = A7 * h7 = 400 * 0,00005 = 0,20 m3 V8 = A8 * h8 = 400 * (-0,0495) = -19,8 m3 V9 = A9 * h9 = 400 * (-0,037) = -14,8 m3 V10 = A10 * h10 = 400 * (-0,087) = -34,8 m3

V11 = A11 * h11 = 400 * (-0,1245) = -49,8 m3

V12 = A12 * h12 = 400 * (-0,1745) = -69,8 m3

Volumen de corte (+) = V1 + V2 + V3 + V4 + V5 + V6 + V7 = 190,725 m3 Volumen de terraplén (-) = V8 + V9 + V10 + V11 + V12 = 189,000 m3 Observación 1: si tomamos como Cota Centroide = 9,513 m, tendríamos: Volumen de corte (+) = 188,225 m3 Volumen de terraplén (-) = -193,000 m3 10. Verifique que las pendientes en las dos direcciones (-2,5 º/oo para nuestro caso) entregue el exceso necesario de volumen de corte sobre el de relleno (lo ideal debería estar entre 5 a 15%). 190,725 m3 / X% = 189,000 m3 /100% ⇒ X=100,912 % lo que indica que: “hay un 0,912 % de exceso de volumen de corte sobre el de relleno” demasiado poco para el porcentaje ideal de exceso. Observación 2: considere como Cota Centroide = 9,5125 m para aumentar el volumen de corte sobre el de relleno y proceda a obtener dichos volúmenes.

topografia para ingenieria

Documents