tok funkcije
TRANSCRIPT
Matematika 1Tok funkcije
Katedra za matematiku, FSB
Zagreb, 2015.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 1 / 38
Ciljevi ucenja
Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:
Primjena diferencijalnog racuna na rast-pad, ekstreme, zakretanjai pregibe
Granicno ponasanje funkcijeIspitivanje toka funkcije i crtanja grafa
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 2 / 38
Ciljevi ucenja
Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:
Primjena diferencijalnog racuna na rast-pad, ekstreme, zakretanjai pregibeGranicno ponasanje funkcije
Ispitivanje toka funkcije i crtanja grafa
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 2 / 38
Ciljevi ucenja
Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:
Primjena diferencijalnog racuna na rast-pad, ekstreme, zakretanjai pregibeGranicno ponasanje funkcijeIspitivanje toka funkcije i crtanja grafa
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 2 / 38
Sadrzaj
Sadrzaj:
1 Tok funkcijeRast i pad funkcijeKriticne tocke funkcijeEkstremi funkcijeZakretanja i pregibiAlternativno ispitivanje ekstrema∗
Granicno ponasanje funkcije
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 3 / 38
Tok funkcije Rast i pad funkcije
Rast i pad funkcije
y
xx1 x2
y ′(x1)< 0⇒ y pada u x1
y ′(x2)> 0⇒ y raste u x2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 4 / 38
Tok funkcije Rast i pad funkcije
Primjer 1.
(a) Ispitati da li funkcija y = x4−x2 +3x raste ili pada u x =−1.(b) Da li funkcija u =
√t + t2 raste ili pada u t =−2?
Rjesenje.
(a) y ′ = 4x3−2x +3⇒ y ′(−1) = 4(−1)3−2(−1)+3 = 1 > 0⇒ raste.(b) du
dt = 1+2t2√
t+t2⇒ du
dt (−2) = −32√
2< 0⇒ pada.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 5 / 38
Tok funkcije Rast i pad funkcije
Primjer 1.
(a) Ispitati da li funkcija y = x4−x2 +3x raste ili pada u x =−1.(b) Da li funkcija u =
√t + t2 raste ili pada u t =−2?
Rjesenje.
(a) y ′ = 4x3−2x +3⇒ y ′(−1) = 4(−1)3−2(−1)+3 = 1 > 0⇒ raste.(b) du
dt = 1+2t2√
t+t2⇒ du
dt (−2) = −32√
2< 0⇒ pada.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 5 / 38
Tok funkcije Rast i pad funkcije
Primjer 2.
Razina vode u jezeru ovisi o vremenu t ovako: r(t) = 1t2−2t+2 . Da li se
ono puni ili prazni u trenutku t = 2?
Rjesenje.
drdt
=−2t +2
(t2−2t +2)2 ⇒drdt
(2) =−0.5 < 0.
Dakle jezero se prazni.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 6 / 38
Tok funkcije Rast i pad funkcije
Primjer 2.
Razina vode u jezeru ovisi o vremenu t ovako: r(t) = 1t2−2t+2 . Da li se
ono puni ili prazni u trenutku t = 2?
Rjesenje.
drdt
=−2t +2
(t2−2t +2)2 ⇒drdt
(2) =−0.5 < 0.
Dakle jezero se prazni.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 6 / 38
Tok funkcije Rast i pad funkcije
Primjer 3.
Polozaj cestice na osi x dan je s x(t) = t3−2t +1. Da li se ona utrenutku t = 1
2 prilizava ishodistu ili se udaljava od njega?
Rjesenje.
x(
12
)=
18, v(t) =
dxdt
= 3t2−2⇒ v(
12
)=−5
4.
0
x(12) = 1
8
v(12) = −5
4
Priblizava se ishodistu!
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 7 / 38
Tok funkcije Rast i pad funkcije
Primjer 3.
Polozaj cestice na osi x dan je s x(t) = t3−2t +1. Da li se ona utrenutku t = 1
2 prilizava ishodistu ili se udaljava od njega?
Rjesenje.
x(
12
)=
18, v(t) =
dxdt
= 3t2−2⇒ v(
12
)=−5
4.
0
x(12) = 1
8
v(12) = −5
4
Priblizava se ishodistu!
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 7 / 38
Tok funkcije Rast i pad funkcije
Primjer 4.
U kojem podrucju funkcija y = x2−4x +3 raste, a u kojem pada ?
Rjesenje.
y
x1 2 3
y = x2 − 4x+ 3
y ′ = 2x−4RAST : 2x−4 > 0⇒ x > 2PAD : 2x−4 < 0⇒ x < 2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 8 / 38
Tok funkcije Rast i pad funkcije
Primjer 4.
U kojem podrucju funkcija y = x2−4x +3 raste, a u kojem pada ?
Rjesenje.
y
x1 2 3
y = x2 − 4x+ 3
y ′ = 2x−4RAST : 2x−4 > 0⇒ x > 2PAD : 2x−4 < 0⇒ x < 2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 8 / 38
Tok funkcije Rast i pad funkcije
Primjer 5.
Odrediti na kojim intervalima funkcija y = x3−6x2 +9x raste, a nakojima pada.
Rjesenje.
y ′ = 3x2−12x +9 = 3(x2−4x +3) = 3(x−1)(x−3)
x (0) 1 (2) 3 (10)y ↗ 4 ↘ 0 ↗y ′ + 0 − 0 +
Funkcija raste na (−∞,1)∪ (3,∞) i pada na (1,3).
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 9 / 38
Tok funkcije Rast i pad funkcije
Primjer 5.
Odrediti na kojim intervalima funkcija y = x3−6x2 +9x raste, a nakojima pada.
Rjesenje.
y ′ = 3x2−12x +9 = 3(x2−4x +3) = 3(x−1)(x−3)
x (0) 1 (2) 3 (10)y ↗ 4 ↘ 0 ↗y ′ + 0 − 0 +
Funkcija raste na (−∞,1)∪ (3,∞) i pada na (1,3).
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 9 / 38
Tok funkcije Rast i pad funkcije
Rjesenje.y
x0 1 3
4
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 10 / 38
Tok funkcije Kriticne tocke funkcije
KRITICNE TOCKE FUNKCIJE
x0 je kriticna tocka za funkciju f ako je f ′(x0) = 0 ili ako f ′ nijedefinirana u x0. Na slici dolje je dano nekoliko primjera kriticnih tocaka.
y
xx1 x2 x3
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 11 / 38
Tok funkcije Ekstremi funkcije
EKSTREMI FUNKCIJE
y
xx1 x2 x3
x x1 x2 x3
y ↗ lok .max ↘ lok .
min ↗ nijeekstr . ↗
y ′ + 0 − 0 + 0 +
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 12 / 38
Tok funkcije Ekstremi funkcije
Primjer 1.
Nadimo kriticne tocke funkcije y = x4−4x3 +4x2−1. Odredimo ukojima od njih funkcija postize lokalne ekstreme te koliki su ti ekstremi.
Rjesenje.
y ′ = 4x3−12x2 +8x = 4x(x2−3x +2) = 4x(x−1)(x−2)y ′ = 0⇒ x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2 su jedine kriticne tocke.y(0) =−1, y(1) = 0, y(2) =−1.Tablica rasta i pada:
x (−100) 0 (0.5) 1 (1.5) 2 (100)y ↘ lok .
min ↗ lok .max ↘ lok .
min. ↗y ′ − 0 + 0 − 0 +
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 13 / 38
Tok funkcije Ekstremi funkcije
Primjer 1.
Nadimo kriticne tocke funkcije y = x4−4x3 +4x2−1. Odredimo ukojima od njih funkcija postize lokalne ekstreme te koliki su ti ekstremi.
Rjesenje.
y ′ = 4x3−12x2 +8x = 4x(x2−3x +2) = 4x(x−1)(x−2)y ′ = 0⇒ x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2 su jedine kriticne tocke.y(0) =−1, y(1) = 0, y(2) =−1.Tablica rasta i pada:
x (−100) 0 (0.5) 1 (1.5) 2 (100)y ↘ lok .
min ↗ lok .max ↘ lok .
min. ↗y ′ − 0 + 0 − 0 +
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 13 / 38
Tok funkcije Ekstremi funkcije
Rjesenje.y
x
−1
0 1 2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 14 / 38
Tok funkcije Ekstremi funkcije
Primjer 2.
Ispitati rast, pad i ekstreme funkcije y = x23 .
Rjesenje.
y ′ = 23x−
13 = 2
3 3√x⇒ y ′ nema nul-tocaka i y ′(0) nije definirano, tj. u 0 je
kriticna tocka.Tablica rasta i pada:
x −∞ 0 ∞
y ↘ 0lok .min ↗
y ′ − nijedef . +
Iz tablice slijedi da funkcija u 0 ima lokalni minimum!Napomena: Uocite da funkcija u 0 nije derivabilna (na grafu se to vidikao spic)!
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 15 / 38
Tok funkcije Ekstremi funkcije
Primjer 2.
Ispitati rast, pad i ekstreme funkcije y = x23 .
Rjesenje.
y ′ = 23x−
13 = 2
3 3√x⇒ y ′ nema nul-tocaka i y ′(0) nije definirano, tj. u 0 je
kriticna tocka.Tablica rasta i pada:
x −∞ 0 ∞
y ↘ 0lok .min ↗
y ′ − nijedef . +
Iz tablice slijedi da funkcija u 0 ima lokalni minimum!Napomena: Uocite da funkcija u 0 nije derivabilna (na grafu se to vidikao spic)!
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 15 / 38
Tok funkcije Ekstremi funkcije
Rjesenje(nastavak).y
x
y = x23
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 16 / 38
Tok funkcije Ekstremi funkcije
Zadatak 1.Nadite intervale rasta, pada te ekstreme i na osnovi tih podatakaskicirajte kvalitativan graf slijedecih funkcija:
1 y = 13x3−3x2 +5x
2 y = x4−2x2
3 y = x3−3x2−6x4 y = x3−3x2 +4
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 17 / 38
Tok funkcije Zakretanja i pregibi
ZAKRETANJA I PREGIBI
y ′(x) pada za x ∈ (−∞,x0) tj. y ′′(x)< 0y ′ raste za x ∈ (x0,∞) tj. y ′′(x)> 0y ′′(x0) = 0, (y se pregiba u x0)
x x0
y a pregib(infleksija) `
y ′′ − 0 +
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 18 / 38
Tok funkcije Zakretanja i pregibi
Primjer 1.
Nadite intervale na kojima funkcija y = x3−x +4 zakrece gore,odnosno dolje te odredite tocke pregiba. Nacrtajte zatim kvalitativangraf.
Rjesenje.Domena funkcije i njezinih derivacija je R.y ′ = 3x2−1⇒ y ′′ = 6x = 0⇒ x0 = 0.Tablica:
x 0y a pregib
(infleksija) `
y ′′ − 0 +
Funkcija je konkavna (zakrece prema dolje) na (−∞,0), konveksna(zakrece prema gore) na (0,∞). Dakle, u tocki x0 = 0 je pregib.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 19 / 38
Tok funkcije Zakretanja i pregibi
Primjer 1.
Nadite intervale na kojima funkcija y = x3−x +4 zakrece gore,odnosno dolje te odredite tocke pregiba. Nacrtajte zatim kvalitativangraf.
Rjesenje.Domena funkcije i njezinih derivacija je R.y ′ = 3x2−1⇒ y ′′ = 6x = 0⇒ x0 = 0.Tablica:
x 0y a pregib
(infleksija) `
y ′′ − 0 +
Funkcija je konkavna (zakrece prema dolje) na (−∞,0), konveksna(zakrece prema gore) na (0,∞). Dakle, u tocki x0 = 0 je pregib.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 19 / 38
Tok funkcije Zakretanja i pregibi
Rjesenje(nastavak).Za skicu kvalitativnog grafa odredimo prvo kriticne tocke:y ′ = 3x2−1 = 0⇒ x1,2 =± 1√
3Tablica(objedinjeno):
x − 1√3
0 1√3
y ↗a lok .max ↘a pregib ↘` lok .
min. ↗`y ′ + 0 − − − 0 +
y ′′ − − − 0 + + +
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 20 / 38
Tok funkcije Zakretanja i pregibi
Rjesenje(nastavak).y
x− 1√3
1√3
4
y = x3 − x+ 4
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 21 / 38
Tok funkcije Zakretanja i pregibi
Zadatak 1.Nadite intervale zakretanja i tocke pregiba za
1 y = x3−6x2
2 y = x4−4x3
3 y = x5−x4
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 22 / 38
Tok funkcije Alternativno ispitivanje ekstrema∗
Alternativno ispitivanje ekstrema∗
y
xx1 x2 x3
y ima max u x1y ′(x1) = 0, y ′′(x1)< 0
y ima min u x2y ′(x2) = 0, y ′′(x2)> 0
U x3 funkcija y nema ekstrem jer iako je y ′(x3) = 0, y ′′(x3) = 0
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 23 / 38
Tok funkcije Alternativno ispitivanje ekstrema∗
Primjer 2.
Odredimo ekstreme funkcije y = x3−3x +1.
Rjesenje.
y ′ = 3x2−3 = 3(x2−1) = 3(x +1)(x−1)x1 =−1 i x2 = 1 su kriticne tocke.y ′′ = 6x ⇒ y ′′(−1) =−6 < 0⇒ u x1 =−1 je lokalni maksimum.y ′′ = 6x ⇒ y ′′(1) = 6 > 0⇒ u x1 = 1 je lokalni minimum.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 24 / 38
Tok funkcije Alternativno ispitivanje ekstrema∗
Primjer 2.
Odredimo ekstreme funkcije y = x3−3x +1.
Rjesenje.
y ′ = 3x2−3 = 3(x2−1) = 3(x +1)(x−1)x1 =−1 i x2 = 1 su kriticne tocke.y ′′ = 6x ⇒ y ′′(−1) =−6 < 0⇒ u x1 =−1 je lokalni maksimum.y ′′ = 6x ⇒ y ′′(1) = 6 > 0⇒ u x1 = 1 je lokalni minimum.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 24 / 38
Tok funkcije Alternativno ispitivanje ekstrema∗
x
t
USPORAV A UBRZAV A
Ako x = x(t) opisuje gibanjecestice po osi x onda je x ′′ =x ′′(t) njezina akceleracija.AKO JE x ′(t)> 0:
x ′′(t)> 0 CESTICA UBRZAVA
x ′′(t)< 0 CESTICA USPORAVA
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 25 / 38
Tok funkcije Alternativno ispitivanje ekstrema∗
x
t
USPORAV A UBRZAV A
Ako x = x(t) opisuje gibanjecestice po osi x onda je x ′′ =x ′′(t) njezina akceleracija.AKO JE x ′(t)< 0:
x ′′(t)> 0 CESTICA USPORAVA
x ′′(t)< 0 CESTICA UBRZAVA
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 26 / 38
Tok funkcije Granicno ponasanje funkcije
GRANICNO PONASANJE FUNKCIJE
Primjer 1.
Ispitati granicno ponasenje funkcije y =1+x1−x
.
Rjesenje.Ponasanje u ”beskonacnosti”:
limx→±∞
1+x1−x
= (L′Hopital) = limx→±∞
(1+x)′
(1−x)′= lim
x→±∞(−1) =−1
Dakle, y =−1 je horizontalna asimptota funkcije.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 27 / 38
Tok funkcije Granicno ponasanje funkcije
GRANICNO PONASANJE FUNKCIJE
Primjer 1.
Ispitati granicno ponasenje funkcije y =1+x1−x
.
Rjesenje.Ponasanje u ”beskonacnosti”:
limx→±∞
1+x1−x
= (L′Hopital) = limx→±∞
(1+x)′
(1−x)′= lim
x→±∞(−1) =−1
Dakle, y =−1 je horizontalna asimptota funkcije.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 27 / 38
Tok funkcije Granicno ponasanje funkcije
GRANICNO PONASANJE FUNKCIJE
Rjesenje.Funkcija ima prekid u x = 1. To je kandidat za vertikalnu asimptotu:
limx→1−
1+x1−x
= limx→1x<1
1+x1−x
=+∞
limx→1+
1+x1−x
= limx→1x>1
1+x1−x
=−∞
Dakle x = 1 jest vertikalna asimptota funkcije.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 28 / 38
Tok funkcije Granicno ponasanje funkcije
GRANICNO PONASANJE FUNKCIJE
y
x
−1
1
y = 1+x1−x
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 29 / 38
Tok funkcije Granicno ponasanje funkcije
Zadatak 1.Zapisite limese koji karakteriziraju granicno ponasanje funkcije
y
x1
−2
Slika: 1.
y
x
Slika: 2.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 30 / 38
Tok funkcije Granicno ponasanje funkcije
Rjesenje.Slika 1. lim
x→±∞y(x) = 1, lim
x→−2−y(x) =−∞ lim
x→−2+y(x) = ∞
Slika 2. limx→−∞
y(x) = 0, limx→∞
y(x) = ∞, limx→0−
y(x) = ∞ limx→0+
y(x) = ∞.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 31 / 38
Tok funkcije Granicno ponasanje funkcije
Zadatak 2.Zapisite limese koji karakteriziraju granicno ponasanje funkcije
y
x
1
−1
2
Slika: 1.
y
x
2
Slika: 2.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 32 / 38
Tok funkcije Granicno ponasanje funkcije
Rjesenje.Slika 1.lim
x→−∞y(x) =−1, lim
x→∞y(x) = 1 lim
x→0−y(x) = 1 lim
x→2+y(x) = ∞
Slika 2. limx→0+
y(x) = 0, limx→∞
y(x) = 2.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 33 / 38
Tok funkcije Granicno ponasanje funkcije
HORIZONTALNA ASIMPTOTA
Ako je limx→∞
y(x) = c, c konstanta, onda graf funkcije y = y(x) ima sdesne strane horizontalnu asimptotu y = c.
Ako je limx→−∞
y(x) = d , d konstanta, onda graf funkcije y = y(x) ima s
lijeve strane horizontalnu asimptotu y = d .
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 34 / 38
Tok funkcije Granicno ponasanje funkcije
VERTIKALNA ASIMPTOTA
Ako je x0 tocka prekida funkcije y = y(x), u kojoj je
limx→x0−
y(x) =±∞ ili limx→x0+
y(x) =±∞
onda graf funkcije y = y(x) ima vertikalnu asimptotu x = x0.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 35 / 38
Tok funkcije Granicno ponasanje funkcije
Zadatak 3.Ispitajte granicno ponasanje funkcija:
1 y =− x(x−2)2
2 y =2x +1x−2
3 y =x2 +1x2−1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 36 / 38
Tok funkcije Granicno ponasanje funkcije
TOK FUNKCIJE-OBJEDINJENO
1 DOMENA2 PARNOST: y(−x) = y(x); NEPARNOST: y(−x) =−y(x)3 GRANICNO PONASANJE: VERTIKALNE I HORIZONTALNE
ASIMPTOTE4 RAST I PAD, EKSTREMI (1. DERIVACIJA)5 NEKE OSOBITE TOCKE GRAFA: SJECISTA S OSIMA6 ZAKRETANJA I PREGIBI (2. DERIVACIJA)7 SKICA GRAFA FUNKCIJE
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 37 / 38
Tok funkcije Granicno ponasanje funkcije
Zadatak 4.Ispitajte tok i skicirajte graf funkcija:
1 y = x3−x
2 y =x2−1
x3 y =
xx2 +1
4 y =x2 +xx−1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 38 / 38