Többváltozós Többváltozós függvények 1.függvények 1.

Petz ErikaPetz Erika

petzerika@yahoo.competzerika@yahoo.com

ÁttekintésÁttekintés

Kétváltozós függvények ábrázolásaKétváltozós függvények ábrázolása Kis Maple ízelítőKis Maple ízelítő Parciális deriváltak és geometriai Parciális deriváltak és geometriai

jelentésükjelentésük A gradiens vektorA gradiens vektor

A kétváltozós függvények A kétváltozós függvények ábrázolásaábrázolása

- Egyváltozós függvényeket -> görbével - Egyváltozós függvényeket -> görbével ábrázoljukábrázoljuk

- Kétváltozós függvényeket -> felülettel - Kétváltozós függvényeket -> felülettel ábrázoljuk. E felületet a z=f(x,y) ábrázoljuk. E felületet a z=f(x,y) egyenlettel jellemezzük.egyenlettel jellemezzük.

Az ábrákat Maple-el könnyen Az ábrákat Maple-el könnyen elkészíthetjük. elkészíthetjük.

Lássunk néhány példát!Lássunk néhány példát!

Legyen z=x*x+y*y Legyen z=x*x+y*y

AZ ÁBRÁZOLÁS LÉPÉSEI:AZ ÁBRÁZOLÁS LÉPÉSEI:

Az ábrázolás első lépéseként megvizsgáljuk a koordinátasíkokkal való metszeteket. Ez alapján szemléltetjük a függvényt.

Metsszük a felületet a zy síkkal. (x=0) -> metszetgörbe: z=y*y (parabola)

Hasonlóan: zx síkkal való metszet: z=x*x, szintén parabola

Az xy síkkal párhuzamos sík legyen z=r*r Ezzel a síkkal történő metszés alapján egy

r sugarú kör a metszésvonal

Összegezve : 2 parabolát és egy r sugarú kört kaptunk eredményként

A felületet: z=x*x (v. z=y*y) parabola tengely körüli forgatásával kapjuk

Ez egy paraboloid. Lássuk!

1).A. 1).A.   F(x,y) F(x,y) == x*x+y*y x*x+y*yxx == -2..2,-2..2, yy == -2..2-2..2

Az eAz előző függvénylőző függvénytt egy leszűkített egy leszűkített

tartományon ábrázolvatartományon ábrázolva Tartomány:

x = -2..2,

y = -2..2

Maple-ben a következő

parancsot is hozzávettük:

view=[-1..2,-2..2,0..4]

A felületet úgy képzeljük el, mintha a z=x*x parabolán „végigcsúszna”a z=-y*y parabola

->nyeregfelület

2)F(x,y)=x*x-y*y

Lássunk még néhány példát!Lássunk még néhány példát!

3). 3).   F(x,y) F(x,y) = x*(x^2 + y^2)/(x-y);= x*(x^2 + y^2)/(x-y);

Tartomány:

X=-5..5

y=-5..5

Szakadási helyek: x=y

„„Szedjük szét” a függvénytSzedjük szét” a függvényt

Tartomány:

x = -5..5, y = -5.001..x-0.001

Tartomány:Tartomány: x = -5..5, x = -5..5,

y =x+0.001..y =x+0.001....4.999,..4.999,

Tartomány:

x = -5..5, y = -5.001....x-0.001,

illetve

x = -5..5, y=+0.001..

..4.999

3). 3).   F(x,y) F(x,y) = sin(x) + sin(y) = sin(x) + sin(y) x = -1.5*Pi..1.5*Pi, y = -1.5*Pi..1.5*Pix = -1.5*Pi..1.5*Pi, y = -1.5*Pi..1.5*Pi

4). 4).   F(x,y) F(x,y) == sqrt(2*x^2+y^2) sqrt(2*x^2+y^2)x = -15..15, y = -15..15x = -15..15, y = -15..15

Hogyan rajzoljuk ki ezeket a Hogyan rajzoljuk ki ezeket a függvényeket?függvényeket? - Kis Maple ízelítő - Kis Maple ízelítő

Használjuk a Maple plot3d() Használjuk a Maple plot3d() függvényétfüggvényét

A függvény argumentumai: opciókA függvény argumentumai: opciók Az opciók lehetnek: tartomány, Az opciók lehetnek: tartomány,

fényerősség, tengelyek, orientáció fényerősség, tengelyek, orientáció stb.stb.

Lehetőség van az ábra utólagos Lehetőség van az ábra utólagos forgatásáraforgatására

Egy példa..Egy példa.. > z3:= y * ln (x*x); definiáljuk a függvényt > plot3d ( z3, <- ezt rajzold ki x = -1.5*Pi..1.5*Pi, Tartomány y = -1.5*Pi..1.5*Pi, axes = normal, Tengelyek lightmodel='light1', Árnyékolás + fény + szín shading=xyz, color= Yellow, title=`y*ln(x*x)`); Cím

Mit csinál a Maple az x=0 pontokban?• X=0 pontban az Ln(x*x) végtelenné válik, ezért, hogy ne

kapjunk nagyon ellapult felületet, z-re korlátozzuk a kirajzolást

• View=-15..15 parancsot használunk

És kirajzolva..És kirajzolva..

Bővebben a plot3d() opcióiról:Bővebben a plot3d() opcióiról:

Frank Garvan: The Maple BookFrank Garvan: The Maple Book

Heck: Bevezetés a Maple Heck: Bevezetés a Maple használatábahasználatába

A parciális deriváltA parciális derivált Kis ismétlés:Kis ismétlés:

parciális deriváltparciális deriváltnak nevezzük a többváltós függvények nak nevezzük a többváltós függvények olyan deriváltját, amikor a függvényt egyik változójának olyan deriváltját, amikor a függvényt egyik változójának függvényeként fogjuk fel, eszerint deriválunk, miközben a függvényeként fogjuk fel, eszerint deriválunk, miközben a többi változót többi változót állandónak állandónak tekintjük.tekintjük.

Elsőrendű parciális derivált Elsőrendű parciális derivált a a kk-dik változó szerint

- az f(x,y,z) függvény esetén rögzítsünk két változót, pl. az elsőt és a - az f(x,y,z) függvény esetén rögzítsünk két változót, pl. az elsőt és a harmadikat harmadikat

- egyváltozós függvényt már tudunk deriválni egy pontban -> ez az - egyváltozós függvényt már tudunk deriválni egy pontban -> ez az eredeti függvényeredeti függvénynek anek a 2-dik változó szerinti első parciális deriváltja 2-dik változó szerinti első parciális deriváltja

Eredmény: többváltozós, skalár értékű függvény.

PéldaPélda Számítsuk ki: Számítsuk ki: f(x,y)= f(x,y)= x^2*y-2*z/(x^2+y^2)x^2*y-2*z/(x^2+y^2) függvény y függvény y

szerinti első parciális deriváltját!szerinti első parciális deriváltját!

Eredmény:Eredmény:x^2x^2+ 4+ 4zzyy/(x^2+y^2)/(x^2+y^2)^2^2

Ellenőrzés Maple-benEllenőrzés Maple-ben::

diff(x^2*y-2*z/(x^2+y^2),y);diff(x^2*y-2*z/(x^2+y^2),y); paranccsal paranccsal Helyesen dolgoztunkHelyesen dolgoztunk ! !

Parciális deriváltak geometriai Parciális deriváltak geometriai jelentésejelentése

Geometriai jelentésGeometriai jelentés: érintők iránytangense : érintők iránytangense Egy Egy z = f(x,y)z = f(x,y) kétváltozós függvény parciális kétváltozós függvény parciális

deriváltja egy adott (deriváltja egy adott (AA, , BB) pontban) pontban -> -> a az x,y z x,y változókhoz tartozó parciális függvények változókhoz tartozó parciális függvények deriváltjaideriváltjai

A függvénygrafikonból ez geometriailag úgy A függvénygrafikonból ez geometriailag úgy származtatható, hogy az származtatható, hogy az x = x = A,A, illetve az illetve az y = y = BB egyenletű síkokkal elmetsegyenletű síkokkal elmetssszük a függvény által zük a függvény által meghatározott felületetmeghatározott felületet,, és a keletkezett és a keletkezett görbéknek, mint egyváltozós függvényeknek görbéknek, mint egyváltozós függvényeknek meghatározzuk a deriváltjait a keresett pontban. meghatározzuk a deriváltjait a keresett pontban.

Nézzük az ábrákat:Nézzük az ábrákat:

Geometriai jelentés Adott z = x*x*y*y függvény Az y szerinti első parciális deriváltat

keressük a (-1,M) pontban Megoldás menete: meghatározzuk a függvény és az x = -1 sík

metszetét Parciális derivált: a sík által „kivágott”

görbe érintőjének meredeksége a (-1,y) pontokban, ennek az értékét számítjuk az y=M helyen.

z = x*x*y*y

függvény és az x = -1 sík metszete

y szerinti parciális deriváltról van itt szó –> a sík által „kivágott” görbe érintőjének meredeksége a (-1,y) pontokban

A z = x*x*y*y függvény és az y = 1 sík metszete

x szerinti parciális deriváltról van itt szó –> a sík által „kivágott” görbe érintőjének meredeksége az (x,1) pontokban

Magasabb rendű deriváltakMagasabb rendű deriváltak

Maple programmal könnyen Maple programmal könnyen elvégezhető Diff() – függvény elvégezhető Diff() – függvény alkalmazásával alkalmazásával

AA számolás számolásbanban az elsőrendű parciális az elsőrendű parciális deriváltnál megismert technikát deriváltnál megismert technikát alkalmazzukalkalmazzuk

Függvény gradiense – Függvény gradiense – grad(f)grad(f)

Ismétlés:Ismétlés: GRADIENS: GRADIENS: többváltozós függvény els többváltozós függvény elsőő--

rendrendűű teljes deriváltja egy pontban teljes deriváltja egy pontban, ami, ami egy egy vektort definiálvektort definiál. Ez. Ez a függvény a függvény gradiensgradiense e az az adott pontban.adott pontban.

- Gradiens vektort Maple-el könnyen Gradiens vektort Maple-el könnyen számolunk a Grad() paranccsal.számolunk a Grad() paranccsal.

Így számoljuk a gradiensvektortÍgy számoljuk a gradiensvektort

Megjegyzések:

- Az F(x,y) függvény gradiens vektora mindig vizszintes.

- Az iránya és a hossza is változik x és y értékétől függően

Nézzünk egy egyszerű példát!

Tekintsük a paraboloid egyenletét: z=x*x+y*y

Számítsuk ki a gradiensvektorát!

Számítsuk ki az f (x,y) = x^2 + y^2 függvény gradiensvektorát.

> with(linalg): > f := (x,y) -> x^2 + y^2; > grad(f(x,y),vector([x,y])); Amit kapunk: [2x, 2y] (vagyis a

függvény x-szerinti, y-szerinti parciális deriváltjai)

Egy egyszerű példa...

Maple-ben:Maple-ben:

-A paraboloid egy, az eddig bemutatottak

tól eltérő ábrázolása:

A z= állandó síkokkal számolt szintvonalaknak az xy síkra való vetületét látjuk -> térképkészítéshez hasonló szemléltetésmód

Paraboloid gradienstereParaboloid gradienstere

Mint látjuk, a gradiens- vektorok a szintvonalak normálisai

u=6*x^4-x*y*z

Az x,y,z=-3..3 tartomány bizonyos pontjaiból kiindulva a Maple segítségével megrajzoltuk a pontokhoz tartozó gradiensvektort

FeladatFeladat

Oldjuk meg:Oldjuk meg:

z=x*x+y*y, z=x*x+y*y, z=1z=1

Megoldás: Megoldás: szintvonal. szintvonal.

Többváltozós függvényekről:Többváltozós függvényekről:

- Bolyai-könyvek : - Bolyai-könyvek : • Fekete Zoltán-Zalay Miklós: Fekete Zoltán-Zalay Miklós:

Többváltozós függvények analíziseTöbbváltozós függvények analízise- Gáspár Csaba Gáspár Csaba : : Lineáris algebra és Lineáris algebra és

többváltozós függvények többváltozós függvények - Kis IstvánnéKis Istvánné: : Többváltozós függvények Többváltozós függvények - Császár ÁkosnéCsászár Ákosné: : Valós többváltozós Valós többváltozós

függvények differenciálszámítása függvények differenciálszámítása - Császár ÁkosnéCsászár Ákosné: : Valós többváltozós Valós többváltozós

függvényekfüggvények integrálszámítása integrálszámítása