Yrd.Doç.Dr.İstem Köymen Keser Matematik II Türev

TÜREV

y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar

arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını

değişkendeki artma miktarına oranlarsak;

olur.

h→0 için bu oranın limiti varsa bu limite fonksiyonun türevi denir.

= = f’(x) ile gösterilir.

*Türev Alma Kuralları

1) Sabit bir sayının türevi sıfırdır.

2) n pozitif bir tamsayı olmak üzere xn ‘nin türevi nxn-1 şeklindedir.

3) f(x) = u(x)±v(x) fonksiyonunun türevi de f’(x) = u’(x)±v’(x) şeklindedir.

4)f(x) = u(x)v(x) fonksiyonunun türevi de f’(x) = u’(x)v(x)+ u(x)v’(x) şeklindedir.

5) f(x) = u(x)/v(x) fonksiyonunun türevi

6) f(x) = (u(x))n ise f’(x)= u’(x) n un-1(x)

*Kapalı Fonksiyonların Türevi

F(x,y) = 0 biçiminde bir bağıntıyla verilen fonksiyonlara kapalı fonksiyonlar denir. Eğer F(x,y) = 0

bağıntısından y, x’in bir fonksiyonu olarak çekilebiliyorsa, y = f(x) biçiminde yazılabiliyorsa

(x) türevi çözümlenebilir. Aksi takdirde kapalı fonksiyonlar için türev alma kuralına

göre,

*Parametrik Fonksiyonların Türevi

y= f(u) ve u= g(x) şeklinde türevi alınabilen iki fonksiyon ise y=f(g(x)) bileşik fonksiyonunun türevi bir

diğer deyişle y’nin x’e göre türevi,

x’e göre türev y sabit kabul edilir.

y’ye göre türev x sabit kabul edilir.

Yrd.Doç.Dr.İstem Köymen Keser Matematik II Türev

şeklinde bulunur. Buna zincir kuralı denir.

y= f(x) biçiminde verilen fonksiyon aynı zamanda x= h(t) ve y = g(t) t€ IR eşitlikleri ile de belirtilebilir.

Burada t€ IR değişkenine parametre denir. y=f(x)’in x=h(t) ve y=g(t) biçiminde gösterimine de

parametrik gösterim denir. x=h(t) ve y=g(t) şeklinde parametrik fonksiyon için = türevi zincir

kuralı yardımıyla

bağıntısından elde edilir.

TRANSANDANT FONKSİYONLARIN TÜREVLERİ

Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri

y = sin x →y’ = cos x

y = cos x → y’’ = -sin x

y = tan x → y’ = 1+tan2x = = sec2x

y = cot x → y’ = -(1+cot2x) =- = cosec2x

y = sec x = → y’= sin x/cos2x

y = cosec x= → y’=- (cos x/sin2x)

Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri

y = arcsin x → y’=

y = arccos x → y’’

y = arctan x → y’=

y = arctan x → y’=

Logaritmik Fonksiyonların Türevleri

y = ln x → y’=

y = log x → y’ =

Üstel Fonksiyonun Türevi

y= ax → y’ = ax lna

y= ex → y’ = ex lne = ex

TRANSANDANT FONKSİYONLARIN TÜREVLERİ

y= u(x) olmak üzere ; (y= 3x2+5)

Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri

y = sin u → y’ =u’ cos u

y = cos u → y’ = - u’ sin u

y = tan u → y’= u’ ( 1+tan2u) = = u’ sec2u

Yrd.Doç.Dr.İstem Köymen Keser Matematik II Türev

y = cot u → y’= - u’’ (1+cot2u) =- = - u’ cosec2u

y = sec u = → y’ = u’ sin u/cos2u

y = cosec u= → y’ =- u’ cos u/sin2u

Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri

y = arcsin u → y’=

y = arccos u →y’

y = arctan u → y’=

y = arctan u → y’=

Logaritmik Fonksiyonların Türevleri

y = ln u → y’’ =

y = loga u → y’’ =

Üstel Fonksiyonun Türevi

y= au → y’ = u’ au lna

y= ex → y’ = u’eu lne = u’eu

Yüksek Dereceden Türevler

y = f(x) fonksiyonunun y’= dy/dx türevi birinci dereceden türevdir. y’nün bir daha türevi

alınabiliyorsa, bunun x’e göre türevine y’nin ikinci dereceden türevi denir. böyle devam

edilerek y = f(x) fonksiyonunun n.dereceden türevi alınabilir.

y’’ şeklinde gösterilen ikinci dereceden türev ilk türevin eğiminin ve değişme oranının bir

ölçüsüdür. y’’’ ile gösterilen üçüncü dereceden türev de ikinci dereceden türevin eğimini ve

değişim oranını gösterir.

y’ = (birinci dereceden türev)

y’’ = (ikinci dereceden türev)

.

.

.

yn= (n. dereceden türev)

Genellersek

yn = f4(x) = = D4y şeklinde ifade edilebilir.

Yrd.Doç.Dr.İstem Köymen Keser Matematik II Türev

*Fonksiyonların Çarpımının Yüksek Dereceden Türevi İçin Leibnitz Formülü

y= f(x)g(x) olsun.

y’ = f’(x)g(x) + f(x)g’(x)

y’’= f’’(x)g(x)+2f’(x)g’(x)+f(x)g’(x)

y’’ türevini Binom açılımından faydalanarak;

y’’ = f2(x)g(x) + f1(x)g1(x)+ f(x)g2(x)

şeklinde düşünebiliriz. Genellersek;

yn = fn(x)g0(x) + fn-1(x)g1(x) + fn-2(x)g2(x)+…..+ f0(x)gn(x)

*Logaritmik Türev Alma

y=f(x)g(x) şeklindeki fonksiyonların türevini almak için her iki tarafın ln’i alınır.

*TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI

Aşağıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği ile A dan B ye geçen d doğrusu verilmiştir.

d doğrusunun eğimi:

m = tan α = =

x→a yaklaştıkça B noktası A noktasına yaklaşır. B’yi A’ya yaklaştırma işini sürdürürsek limit

durumunda d doğrusu y= f(x) fonksiyonunun grafiğine A noktasında teğet olur.

Bu durumda

y = f(x) eğrisi üzerinde A(a, f(a)) noktasında çizilen teğetin eğimi m ise

Yrd.Doç.Dr.İstem Köymen Keser Matematik II Türev

m = = f ‘ (a) dır.

y=f(x) fonksiyonunun üzerindeki bir nokta A(x0, y0) ise bu noktadan çizilen teğetin denklemi,

y-yo = f’(x0)(x-x0) olur.

y = f(x) eğrisinin üzerinde alınan bir noktadan çizilen teğete değme noktasında dik olan

doğruya fonksiyonun o noktadaki normali denir.

Normal çizildiği noktada teğete dik olduğundan y= f(x) eğrisine dik kabul edilir.

mT = Teğetin eğimi

mN = normalin eğimi

mTmN = -1

mN =- ve mT = f’(x0)

mN =-

y = f(x) eğrisi üzerindeki A(x0,y0) noktasından çizilen normalin denklemi:

y-yo = - (x-x0) olur.

*ARTAN VE AZALAN FONKSİYONLAR

f, [a, b] →IR herhangi bir fonksiyon olsun. Bu aralıktaki x1 ve x2 noktaları için

x1 ≤ x2 iken f(x1) ≤ f(x2) şartı sağlanıyorsa f’ye artan fonksiyon,

x1 ≤ x2 iken f(x1) ≥ f(x2) şartı sağlanıyorsa f’ye azalan fonksiyon denir.

Yrd.Doç.Dr.İstem Köymen Keser Matematik II Türev

Cebirsel ifadesi verilmiş bir fonksiyonun arttığı ve azaldığı aralıkları türev yardımıyla kolayca

bulabiliriz.

y = f(x) fonksiyonunun f’(x) türevi sürekli olsun. Eğer

f’(x) > 0 ise f(x) fonksiyonu artan fonksiyondur.

f’(x) < 0 ise f(x) fonksiyonu azalan fonksiyondur.

Bir diğer ifadeyle,

f’(x) = şeklindeydi.

Türev tanımında h > 0 olduğundan f’(x) >0 olması için f(x+h) – f(x) > 0 olmalıdır. Fonksiyon artandır.

Türev tanımında h < 0 olduğundan f’(x) <0 olması için f(x+h) – f(x) < 0 olmalıdır. Fonksiyon azalandır.

f fonksiyonu (-∞, a) aralığında artan,

(a,0) aralığında azalan, (0, +∞)

aralığında artandır.

g fonksiyonu ise (-∞, 2) aralığında

azalan, (2, +∞) aralığında artandır.

Yrd.Doç.Dr.İstem Köymen Keser Matematik II Türev

*MİNİMUM VE MAKSİMUM

- A1 noktasındaki, x1’e karşı gelen y1 fonksiyon değeri, A1 noktasına komşu olan diğer noktalardan

daha küçüktür.

- A3 noktasındaki, x3’e karşı gelen y3 fonksiyon değeri, A3 noktasına komşu olan diğer noktalardan

daha küçüktür.

- A2 noktasındaki, x2’ye karşı gelen y2 fonksiyon değeri, A2 noktasına komşu olan diğer noktalardan

daha büyüktür

A1, A3 noktaları için yerel (lokal) minimum

A2 noktası için yerel (lokal) maksimum olduğu söylenebilir.

Bu grafik incelendiğinde gerçekte x = x1 iken yani A1 noktasında mutlak minimum (en düşük nokta)

olduğunu söyleyebiliriz.

Ancak eğri yukarıya doğru sınırsız uzadığı için (en yüksek nokta) mutlak maksimum nokta yoktur.

Özetle,

x x1 x2 x3

f’(x) - + - +

Tanım: y = f(x) fonksiyonunun tanım aralığındaki her x değeri için

f(x) ≤ f(x0) ise (x0,f(x0)) noktasında fonksiyonun mutlak maksimumu,

f(x) ≥ f(x0) ise (x0,f(x0)) noktasında fonksiyonun mutlak minimumu vardır.

A3 noktasında y = f(x) fonksiyonunun f’(x) türevi belirli değildir. O halde yerel minimum yada yerel

maksimum noktasında fonksiyonun türevi olmayabilir. Ancak bu noktalarda türev belirli ise, bir diğer

deyişle tanımlanabiliyorsa (A1 ve A2 deki gibi) f’(x) = 0 dır. Bu nedenle şekilde A1 ve A2 noktalarında

teğetler yatay eksene paraleldir.

O halde y = f(x) fonksiyonunun (x0, f(x0)) noktasında yerel minimumu yada yerel maksimumu varsa,

bu durumda f’(x)=0 dır yada f’(x0) belirli değildir.

Her yerel minimum yada yerel maksimum noktada fonksiyonun türevi işaret değiştirir.

Yrd.Doç.Dr.İstem Köymen Keser Matematik II Türev

Yerel maksimum için x < x2 iken f’(x) >0

x > x2 iken f’(x) <0

Yerel minimum için x < x1 iken f’(x) <0

x > x1 iken f’(x) >0 dır.

Özetle yerel maksimum noktada fonksiyon önce artar sonra azalır, yerel minimum da ise fonksiyon

önce azalır sonra artar.

TANIM : y = f(x) fonksiyonunun f’(x) türevini sıfır yapan bir diğer ifadeyle, f’(x) = 0 denklemini

sağlayan x0 noktasına kritik nokta denir. Kritik nokta yada noktaların fonksiyonun tanım aralığının

içinde olması gerekir.

f’(x) = 0 denklemini sağlayan her nokta fonksiyonun bir yerel maksimumu yada minimumu

olmayabilir.

Özetle, minimum ve maksimum değerlerin bulunması birinci ve ikinci türev testi ile özetlenebilir.

- Birinci Türev Testi

1) f’(x) bulunur.

2) f’(x) denkleminin kökleri yani kritik noktalar bulunur.

3) Kritik noktaların yer aldığı aralıklarda f’(x)’in artan yada azalan olduğu aralıklar saptanır.

4) f(x)’ in tanım kümesindeki her kritik nokta için f’(x)’in işaret değiştirip değiştirmediği bulunur.

f’(x) (-) den (+) ya değişirse yerel minimum (+) dan (-) ye değişirse yerel maksimum vardır.

f’(x) işaret değiştirmezse yerel minimum yada maksimum yoktur.

-İkinci Türev Testi

1) f’(x) bulunur.

2) f’(x) denkleminin kökleri yani kritik noktalar bulunur.

3) f’’(x) bulunur.

4) f(x)’in tanım kümesinde bulunan x0 kritik noktasında f’’(x) türevi sürekli olmak üzere, f’’(x0) <0 ise x0

yerel maksimum noktanın absisidir. f’’(x0) >0 ise x0 yerel minimum noktanın absisidir.

Yrd.Doç.Dr.İstem Köymen Keser Matematik II Türev

*EĞRİLERİN KONVEKS VE KONKAVLIĞI

TANIM: (a,b) açık aralığında tanımlanmış ve sürekli bir f fonksiyonu verilmiş olsun. Eğer her x1,x2 €

(a,b) için eğri üzerindeki (x1, f(x1)) ve (x2, f(x2)) noktalarını birleştiren doğru parçası f fonksiyonunun

üstünde kalıyorsa f fonksiyonunun (ab) aralığında eğrine konveks eğri adı verilir.

TANIM1: (a,b) açık aralığında tanımlanmış ve sürekli bir f fonksiyonu verilmiş olsun. Eğer her x1,x2 €

(a,b) için eğri üzerindeki (x1, f(x1)) ve (x2, f(x2)) noktalarını birleştiren doğru parçası f fonksiyonunun

altında kalıyorsa f fonksiyonunun (ab) aralığında eğrine konkav eğri adı verilir.

Konveks ve konkav eğri tanımı olarak farklı kaynaklarda farklı gibi görünen tanımlar bulmak

mümkündür. Yukarıdaki tanımda eğrinin belli bir aralıkta tamamının bir doğru altında kalması veya

üstünde kalması biçiminde verilen bu tanımda eğrinin sürekli olması dışında bir şart yoktur.

TANIM 2: y= f(x) bir eğri ve N bu eğri üzerinde bir nokta olsun. Eğer y=f(x)’in N noktasındaki bir

komşuluğu N noktasındaki teğetinin tamamıyla üst kısmında bulunuyorsa, eğrinin bu kısmına

konveks (dışbükey) eğri parçası denir. eğrinin tamamı konveks ise eğriye konveks eğri denir.

Yrd.Doç.Dr.İstem Köymen Keser Matematik II Türev

y= f(x) bir eğri ve N bu eğri üzerinde bir nokta olsun. Eğer y=f(x)’in N noktasındaki bir komşuluğu N

noktasındaki teğetinin tamamıyla alt kısmında bulunuyorsa, eğrinin bu kısmına konkav(içbükey) eğri

parçası denir. Eğrinin tamamı konkav ise eğriye konkav eğri denir.

Eğrinin konvekslikten konkavlığa konkavlıktan konveksliğe geçtiği noktalara dönüm (büküm)

noktaları denir.

Tanım 2 de teğetin var olma şartı türevin varlığını gerektirmektedir. Buradan da konveks ve

konkavlığın türevle ilişkisi olduğu söylenebilir.

Teorem: y=f(x) fonksiyonunun [a,b] aralığında f’’(x) türevi sürekli ve

a) f’’(x) >0 ise fonksiyon bu aralıkta konveks (dışbükey) dir.

b) f’’(x) <0 ise fonksiyon bu aralıkta konveks (içbükey) dir.

Teorem: y=f(x) fonksiyonunun gösterdiği eğri üzerindeki bir noktada konkavlık yön değiştiriyorsa bu

noktaya büküm noktası denir. y= f(x) fonksiyonunun f’’(x) türevi sürekli ise büküm noktasındaki

f’’(x)’in türevi sıfır olmak zorundadır. Ancak f’’(x)=0 denklemini sağlayan her nokta büküm noktası

olmayabilir.

*ASİMTOTLAR

TANIM: Bir y=f(x) fonksiyonunun grafiği üzerindeki hareketli bir N noktası sınırsız olarak

uzaklaştığında bu noktanın belli bir doğruya veya eğriye olan uzaklığı sıfıra yaklaşıyorsa bu doğru veya

eğriye y=f(x) fonksiyonunun asimtotu denir.

İki tür asimtot vardır:

A) DOĞRU ASİMTOTLAR

A1) Düşey Asimtot

A IR olmak üzere f:A→IR, y=f(x) fonksiyonu verilsin. Eğer,

veya ise x= a doğrusuna y= f(x) eğrisinin bir düşey

asimtotu denir.

Yrd.Doç.Dr.İstem Köymen Keser Matematik II Türev

Bir y=f(x)= fonksiyonu için q(a)= 0 ise veya

olacağından bu durumda x=a doğrusu düşey asimtottur.

Kesirli fonksiyonlarda paydayı sıfır yapan değerler düşey asimtotu verir.

A2) Yatay Asimtot

A IR olmak üzere f:A→IR, y=f(x) fonksiyonu verilsin. Eğer,

ise y=b doğrusuna y=f(x) eğrisinin bir yatay asimtotu denir.

y=f(x)= fonksiyonunda p(x) ve q(x) birer polinom olmak üzere,

- p(x) ve q(x) polinomlarının dereceleri birbirine eşit ise yatay asimtot vardır ve p(x) ve q(x)’in

en büyük terimlerinin oranı b ise y=b doğrusu yatay asimtottur.

- p(x) polinomunun derecesi q(x) polinomunun derecesinden küçük ise y=0 doğrusu yatay

asimtottur.

- p(x) polinomunun derecesi q(x) polinomunun derecesinden büyük ise yatay asimtot yoktur.

A3) Eğik Asimtot

A IR olmak üzere f:A→IR, y=f(x) fonksiyonu verilsin. Eğer

Olacak biçimde m ve n sayıları varsa y=mx+n doğrusuna y=f(x) eğrisinin bir eğik asimtotu denir.

Bir y=f(x) eğrisinin y=mx+n biçiminde eğik asimtotunun var olması için gerek ve yeter şart

, veya ,

olmasıdır.

y=f(x)= biçimindeki polinomların oranı olarak verilen fonksiyonlarda p(x)’in derecesi q(x)’in

derecesinden bir büyük ise, bir diğer ifadeyle,

p(x) = derece q(x)+1 oluyorsa eğik asimtot vardır. Bu durumda p(x)’in q(x) e bölünmesiyle elde

edilen tam kısım eğik asimtotu verir.

B) EĞRİ ASİMTOTLAR

A IR olmak üzere f:A→IR, y=f(x) fonksiyonu verilsin. Eğer

olacak biçimde bir y=g(x) eğrisi var ise y=g(x) eğrisine y=f(x) eğrisinin bir

eğri asimtotu denir.

Yrd.Doç.Dr.İstem Köymen Keser Matematik II Türev

y= biçiminde polinomların kesiriolan bir fonksiyonda payın derecesi paydanın derecesinden en

az iki fazla ise f(x)’in eğri asimtotu vardır. Bu eğri asimtot payın paydaya bölümünden elde edilen

bölümdür.