téma 8 - vsb.czfast10.vsb.cz/krejsa/studium/ss_tema08.pdf · 8 / 67 příčinkové čáry na...
TRANSCRIPT
Katedra stavební mechanikyFakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava
Stavební statika, 1.ročník bakalářského studia
Téma 8Pohyblivé zatížení
• Příčinkové čáry na prostém nosníku, konzole aspojitém nosníku s vloženými klouby
• Pohyblivé vozidlo na prostém nosníku• Nepřímé pohyblivé zatížení
2 / 67
Pohyblivé zatížení
Úvod do problematiky pohyblivého zatížení
Vzniká pojížděním vozidel (vlaky, automobily, jeřáby) po stavební konstrukci (mosty, jeřábové dráhy, nájezdové rampy, podlahy garáží).
Tlak kola – bodové síly.
Nápravový tlak.
Ideální vlaky (vozidla).
Dynamické účinky zatížení (rázy, otřesy, rozkmitání konstrukce), zjednodušení výpočtu s využitím tzv. dynamického součinitele, po zvětšenípohyblivého zatížení vynásobením lze zkoumat pouze jeho statické účinky.
3 / 67
Průběh zatěžovací zkoušky
Úvod do problematiky pohyblivého zatížení
4 / 67
Průběh zatěžovací zkoušky
Úvod do problematiky pohyblivého zatížení
5 / 67
Průběh zatěžovací zkoušky
Úvod do problematiky pohyblivého zatížení
6 / 67
Průběh zatěžovací zkoušky
Úvod do problematiky pohyblivého zatížení
7 / 67
Průběh zatěžovací zkoušky
Úvod do problematiky pohyblivého zatížení
8 / 67
Příčinkové čáry na prostém nosníku bez převislých konců
Příčinkové čáry na prostém nosníku a konzole
b
Rb
a
Ra
P=1
c l - cl
Řešení s využitím příčinkových čar, které se sestrojí pro jednoduché vozidlo v podobě jediné bezrozměrné jednotkové svislé bodové síly.
x
c
Pro odvození příčinkových čar různých sledovaných veličin – statická a kinematická metoda.
lx ,0∈
.konstc =
9 / 67
( ) ( ) azxa RVV == =0
( ) xRM azLx .=
Nejjednodušší zatěžovací stavy prostých nosníků
b
Rbz
a
Raz
F
c d
l
Výpočet reakcí
Posouvající síla
Ohybový moment
( )↑=ldFRaz. ( )↑=
lcFRbz.
( ) ( ) bzazlxb RFRVV −=−== =
( ) ( ) 00 == =xa MM
1
( ) ( ) 0== =lxb MM
( ) ( ) cRMM azcx .1 == =
-+
+
xlx ,0∈
cx ,0∈
lcx ,∈
( ) azLx RV =
( ) FRV azLx −=
cx ,0∈
lcx ,∈ ( ) ( )cxFxRM azLx −−= ..
( ) ( )xlRM bzPx −= .
( ) ( ) dRMM bzcx .1 == =
ldF.
lcF.
−
dRcR bzaz .. =
M
V
Příčinkové čáry na prostém nosníku a konzole
Téma 4.konstc =lx ,0∈
10 / 67
( ) ( ) azxa RVV == =0
( ) xRM azLx .=
Nejjednodušší zatěžovací stavy prostých nosníků
b
Rbz
a
Raz
F=1
c d
l
Výpočet reakcí
Posouvající síla
Ohybový moment
( )↑=ldRaz ( )↑=
lcRbz
( ) ( ) bzazlxb RRVV −=−== = 1
( ) ( ) 00 == =xa MM
1
( ) ( ) 0== =lxb MM
( ) ( ) cRMM azcx .1 == =
-+
+
x
lx ,0∈
cx ,0∈
lcx ,∈
( ) azLx RV =
( ) 1−= azLx RV
cx ,0∈
lcx ,∈ ( ) ( )cxxRM azLx −−= .
( ) ( )xlRM bzPx −= .
( ) ( ) dRMM bzcx .1 == =
ld
lc
−
ldcdRcR bzaz... ==
M
V
Řešení pro F=1
Příčinkové čáry na prostém nosníku a konzole
1
.konstc =
11 / 67
Příčinkové čáry na prostém nosníku, odvození
baRa=1P=1Reakce Ra a Rb
ba
P=1
l
Rb=0
baRa=0 P=1Rb=1
4lx = l.4
34
3=aR 41=bR
ba
P=1
l2
lx =
21=aR 2
1=bR
2l
Jednotkové břemeno P = 1
P mění polohu – různé x
Příčinková čára sleduje proměnlivost statické veličiny Sx, např. Ra nebo Rb která se váže k jedinému průřezu c, např. a nebo b
Příčinkové čáry na prostém nosníku a konzole
( )lx
lxlRa −=
−= 1.10=∑ ibM
lx
lxRb ==
.10=∑ iaM
Dle podmínek rovnováhy platí:
0=c
lc =
12 / 67
Příčinkové čáry reakcí na prostém nosníku
Pořadnice η příčinkové čáry jsou bezrozměrná čísla
Ra
1
Rb
1l
xbR =η
lx
aR −=1η
Proměnlivézatížení P = 1
Hodnota Ra v průřezu aod P v průřezu x
Hodnota Rb v průřezu bod P v průřezu x
+
+
Příčinkové čáry na prostém nosníku a konzole
b
Rb
a
Ra
P=1
c l - cl
x
c
lx ,0∈
.konstc =Reakce Ra a Rb
0=c
lc =
13 / 67
Definice příčinkové čáry
Ra
1
+
Příčinková čára je grafické znázornění funkce, která vyjadřuje závislost sledované veličiny (např. Ra) na proměnné poloze bezrozměrnéjednotkové síly popsané nezávisle proměnnou vzdáleností x.
Příčinkové čáry na prostém nosníku a konzole
b
Rb
a
Ra
P=1
c l - cl
x
c
lx ,0∈
.konstc =
lx
aR −=1η
0=c
14 / 67
Příčinkové čáry reakcí na prostém nosníku, příklad
b
Rb
a
P=1
l
Ra
1
Rb
14
1== lx
bRη
+
+
4lx = lxl .4
3=−
43==
aRaR η
41==
bRbR η
Příčinkové čáry na prostém nosníku a konzole
Reakce Ra a Rb ?
Ra
431 =−= l
xaRη
0=c
lc =
4lx =
.konstc =
15 / 67
Příčinkové čáry reakcí na prostém nosníku, vyhodnocení
η==→= ac RSP 1 pro
η.1 pro PRP a =→≠
Příčinkové čáry na prostém nosníku a konzole
b
Rb
a
l
Ra
1
Rb
1l
xbR =η
+
+
x xl −
Reakce Ra a Rb ?
Ra
lx
aR −= 1η
0=c
lc =
.konstc =
lx ,0∈1≠P
16 / 67
Příčinkové čáry reakcí na prostém nosníku, příklad
b
Rb
a
P=20kN
l=7
Ra
1
Rb
17143,075 ==
bRη
2857,0751 =−=
aRη
+
+
5=x 2=− xl
kN7143,572.20. ===
aRa PR η
kN2857,1475.20. ===
bRb PR η
Příčinkové čáry na prostém nosníku a konzole
Ra
Reakce Ra a Rb ?
0=c
lc =
17 / 67
Využití příčinkových čar pro výpočet účinků nehybného zatížení
Příčinkové čáry na prostém nosníku a konzole
Výpočet účinků nehybného zatížení pomocí příčinkové čáryObr. 11.5. / str. 175
(a)
(b)
(c)
(d)
∑=
=n
iiic PS
1.η
( ) ( )∫=d
ca xxxqR d.η
pro q(x)=konst.
( ) cd
d
ca AqxxqR .d. == ∫η
Působí-li na nosníku n sil Pi (i=1, 2, ..., n)
Součet příspěvků(příčinků) jednotlivých sil
Působí-li na nosníku q=q(x) v úseku dxc ≤≤
18 / 67
Příčinkové čáry reakcí na prostém nosníku, vyhodnocení
b
Rb
a
Ra
x1 l - x1
l
Ra
1
Rb
1l
x11 =η
lx1
1 1−=η
+
+
221121 .. a pro ηη PPRPP a +=→
x2 l - x2
lx2
2 1−=η
lx2
2 =η
Příčinkové čáry na prostém nosníku a konzole
0=c
lc =
Reakce Ra a Rb ?12 ≠P11 ≠P
aRη
bRη
Obecně ∑=
=n
iiia PR
1.η
19 / 67
Příčinkové čáry reakcí na prostém nosníku, příklad
b
Rb
a
P2=10kN
l=7m
Ra
1
Rb
17143,02 =η
2857,02 =η
+
+
m3
kN4284,112857,0.105714,0.15.. 2211
=+==+= ηη PPRa
m2 m2
P1=15kN
4286,073
1 ==η
5714,07311 =−=η
kN5716,137143,0.104286,0.15.. 2211
=+==+= ηη PPRb
Příčinkové čáry na prostém nosníku a konzole
Ra
0=c
lc =
bRη
aRη
Reakce Ra a Rb ?
20 / 67
Příčinkové čáry reakcí na prostém nosníku
b
Rb
a
l = 6 m
Ra
1
Rb
1
+
+
2.
2.d..
0
2
0
lqxlqxx
lqR
ll
a =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡== ∫
q=5kN/m
kN 15== ab RR
( ) ( )∫=l
a xxxqR0
d.η
Příčinkové čáry na prostém nosníku a konzole
lx
bR =η
lx
aR −= 1η
Ra
0=c
lc =
Reakce Ra a Rb ?
pro q(x)=konst.
( ) AqxxqRl
a .d.0
== ∫η
21 / 67
Příčinkové čáry V(c) na prostém nosníkuPosouvající síla V(c)
( ) 03
== lc
V
( ) 25,03
−== lc
V
( ) 5,03
== lc
V
( ) 03
== lc
V
Příčinkové čáry na prostém nosníku a konzole
baRa=1
P=1
ba
P=1
l
Rb=0
baRa=0 P=1Rb=1
4lx = l.4
34
3=aR 41=bR
ba
P=1
l2
lx =
21=aR 2
1=bR
2l
c
c
c
c
3lc =
+75,0
V
25,0−
-
5,0 V
5,0−
-
+
.konstc =
lx ,0∈
22 / 67
Příčinkové čáry V(c) na prostém nosníku
b
Rb
a
Ra
P=1
x l - x
l
V(c)
1
+
c
-1
-
( )6,0
321max, ==−=
lc
cVη
( )3,0
31
min, −=−=−=lc
cVη
3lc = lcl .3
2=−
v průřezu c je jednotkový skok1=δ
Pořadnice η příčinkové čáry jsou bezrozměrná číslaPříčinkové čáry na prostém nosníku a konzole
cx ≤≤0
( ) ( ) lxRV bVc c
−=−==η
lxc ≤≤
( ) ( ) lxRV aVc c
−=== 1η
levá větev
pravá větev
.konstc =
lx ,0∈
3lc =
23 / 67
Příčinkové čáry M(c) na prostém nosníkuOhybový moment M(c)
ba
P=1
l4
l l.43
43=aR 4
1=bR
ba
P=1
3l
32=aR 3
1=bR
l.32
3lc =
( ) llRM bP
lc.
61.
32.
3==
=
( ) llRM aL
lx.
92
3.
3==
=
c
c
ba
P=1
2l
21=aR 2
1=bR
2l
( ) llRM aL
lx.
61
3.
3==
=
c
lcl .32=−
Příčinkové čáry na prostém nosníku a konzole
+M
+M
+M
24 / 67
Příčinkové čáry M(c) na prostém nosníku
b
Rb
a
Ra
P=1
x l - x
l
M(c)
c
3lc = ( ) lcld .3
2=−=
v průřezu c je jednotkové zalomení
+
Rozměrem pořadnice η příčinkové čáry je délka
3lc =
lcl .32=−
( )
( ) llll
lclc
cM .92
.3.3.2..
max,2 ==−
==ηη
1=ϕ1=ϕ
llll .
61
.3.4.2.
1 ==η
ll
ll .61
.2.3.
3 ==η
Příčinkové čáry na prostém nosníku a konzole
cx ≤≤0
( ) ( )( ) ( )
lclxclRM bMc c
−=−==
..η
lxc ≤≤
( ) ( )
( )l
xlccRM aMc c
−===
..η
levá větev
pravá větev
.konstc =
lx ,0∈
3lc =
25 / 67
Příčinkové čáry na prostém nosníku bez převislých konců
Příčinkové čáry na prostém nosníku a konzole
Příčinkové čáry na prostém nosníku bez převislých koncůObr. 11.1. / str. 171
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(b) Příčinková čára reakce Ra na prostém nosníku
(c) Příčinková čára reakce Rb na prostém nosníku
(d) Příčinková čára ohybového momentu M(c)na prostém nosníku
(e) Příčinková čára posouvající síly V(c)na prostém nosníku
26 / 67
Příklad 8.1
Příčinkové čáry na prostém nosníku a konzole
Zadání a řešení příkladu 8.1Obr. 11.6. / str. 175
(a)
(b)
(c)
(d)
Zadání:
S využitím příčinkových čar určete posouvající sílu Vc a ohybový moment Mcpro oba zatěžovací stavy s využitím příčinkových čar.
27 / 67
Příčinkové čáry na konzoleReakce Rb a Mb
a
P=1
x
l
Rb
1 bRη
Proměnlivézatížení P = 1
+
b
Mb+
bMηl
Příčinkové čáry na prostém nosníku a konzole
.konstc =
lx ,0∈
lc =
lc =
1==bRbR η
( )xlMbMb −== .1η
28 / 67
Příčinkové čáry na konzoleVnitřní síly V(c) a M(c)
a
P=1
x
l
V(c)-1
( )cVη
Proměnlivézatížení P = 1
-
bc
c
M(c) -( )cMη( )
ccM −=η
Příčinkové čáry na prostém nosníku a konzole
.konstc =
lx ,0∈
( ) ( )1−==
cVcV η
( ) ( )xxM
cMc −=−== .1η
cx ≤≤0
29 / 67
Příčinkové čáry na konzole vlevo vetknuté
Příčinkové čáry na prostém nosníku a konzole
Příčinkové čáry na konzole vlevo vetknutéObr. 11.2. / str. 173
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(b) Příčinková čára reakce Ra na konzole
(c) Příčinková čára reakce Ma na konzole
(d) Příčinková čára ohybového momentu M(c)na konzole
(e) Příčinková čára posouvající síly V(c)na konzole
30 / 67
Příčinkové čáry na konzole vpravo vetknuté
Příčinkové čáry na prostém nosníku a konzole
Příčinkové čáry na konzole vpravo vetknutéObr. 11.3. / str. 173
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(b) Příčinková čára reakce Rb na konzole
(c) Příčinková čára reakce Mb na konzole
(d) Příčinková čára ohybového momentu M(c)na konzole
(e) Příčinková čára posouvající síly V(c)na konzole
31 / 67
Prostý nosník s převislými konci
b
Rb
a
Ra
l lbla
P=1Reakce Ra a Rb
Ra
1
aRη
+
lla
Ra+= 1η
- llb
Ra−=η
Rb
1+-
Příčinkové čáry na prostém nosníku a konzole
.konstc =
ba lllx +−∈ ,
x
lla
Rb−=η bRη
llb
Rb+= 1η
lxR
aRa −== 1η
lc =
0=c
lxR
bRb ==η
32 / 67
Prostý nosník s převislými konci
b
Rb
a
Ra
l
c
lbla
P=1Posouvající síla V(c)
V (c)
1
+
-1
-
lc
−1
-+
lc
−lla l
lb−
( )cVη
Příčinkové čáry na prostém nosníku a konzole
x
c
33 / 67
Prostý nosník s převislými konci
a
cacb
-1
- V(cb)
1+
Příčinkové čáry na prostém nosníku a konzole
Posouvající síla V(ca) a V(cb)
b
Rb
a
Ra
l
ca
lbla
P=1
x
ca cb
cb
V(ca)
34 / 67
Prostý nosník s převislými konci
M(c)
+
-
-
( )
( )l
clccM
−=
.η
c
cl −
( )cMη
lclb .
−( )
lclla −
−.
Příčinkové čáry na prostém nosníku a konzole
b
Rb
a
Ra
l
c
lbla
P=1
x
cOhybový moment M(c)
35 / 67
Prostý nosník s převislými konci
a
- -
Příčinkové čáry na prostém nosníku a konzole
Ohybový moment M(ca) a M(cb)
b
Rb
a
Ra
l
ca
lbla
x
ca cb
cb
cacb
M(ca) M(cb)
( )( )aaM cl
ac−−=η
( )( )[ ]lcl bbM bc
−−−=η
36 / 67
Příčinkové čáry na prostém nosníku s převislými konci
Příčinkové čáry na prostém nosníku a konzole
Příčinkové čáry na prostém nosníku s převislými konciObr. 11.4. / str. 174
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(b) Příčinková čára reakce Ra
(c) Příčinková čára reakce Rb
(d) Příčinková čára ohybovéhomomentu M(c) v poli
(e) Příčinková čára posouvající síly V(c)v poli
(f) Příčinková čára ohybovéhomomentu M(a) nad podporou a
37 / 67
Příklad 8.2
Příčinkové čáry na prostém nosníku a konzole
Zadání a řešení příkladu 8.2Obr. 11.7. / str. 176
(a)
(b)
(c)
(d)
Zadání:
S využitím příčinkových čar určete případný extrémní účinek nahodilého zatížení
Řešení:
Největší kladný (záporný) ohybový moment – zatížit pouze část konstrukce s kladnými(zápornými) pořadnicemi příčinkové čáry
38 / 67
Příčinkové čáry na spojitém nosníku s vloženými klouby
Příčinkové čáry na spojitém nosníku s vloženými klouby
Příčinkové čáry na spojitém nosníku s vloženým kloubemObr. 11.8.b. / str. 178
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Část nesená
(c) Příčinková čára reakce Ra
(d) Příčinková čára interakce Rd
(e) Příčinková čára ohybovéhomomentu M(e)
(f) Příčinková čára posouvajícísíly V(e)
39 / 67
Příčinkové čáry na spojitém nosníku s vloženými klouby
Příčinkové čáry na spojitém nosníku s vloženými klouby
Příčinkové čáry na spojitém nosníku s vloženým kloubemObr. 11.8.b. / str. 178
(a)
(b)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
Část nesoucí
(g) Příčinková čára reakce Rb
(h) Příčinková čára reakce Rc
(j) Příčinková čára posouvajícísíly V(g) v poli
(i) Příčinková čára ohybovéhomomentu M(g) v poli
(l) Příčinková čára posouvajícísíly V(f) na převislém konci
(k) Příčinková čára ohybovéhomomentu M(f) na převislém konci
40 / 67
Příklad 8.3
Příčinkové čáry na spojitém nosníku s vloženými klouby
Zadání a řešení příkladu 8.3Obr. 11.9. / str. 180
(a)
(b)
(c)
Zadání: S využitím příčinkových čar určete případné extrémní účinky nahodilého zatížení Ma a M(s)
41 / 67
Pohyblivé vozidlo na prostém nosníku - formulace úlohy
Pohyblivé vozidlo na prostém nosníku
Pohyblivé vozidlo na prostém nosníkuObr. 11.10. / str. 181
Zatížení: Pohyblivé vozidlo ve formě soustavy svislých bodových silP1, …, Pi, …,Pn.
Předpoklad: Celá soustava se vejde na nosník, žádná síla nevyjede za okraj nosníku ani na nosník nevjede další síla.
Požadavek: Stanovení největšího možného ohybového momentu na nosníku.
42 / 67
Maximální ohybový moment v zadaném průřezu
Pohyblivé vozidlo na prostém nosníku
K odvození Winklerova kritériaObr. 11.11. / str. 181
(a)
(b)
(c)
Pevně zadaný průřez c, v němž se zjišťuje maximálnímožný ohybový moment.
∑=
=n
iiia bP
lR
1..1
( )
∑∑
∑∑
∑
==
−
==
=
−=
=−=
=−=
k
iii
n
iii
k
iii
n
iii
k
iiiac
dPbPlc
dPbPlc
dPcRM
11
1
11
1
...
...
..
Reakce
Ohybový moment
0=kd
43 / 67
Maximální ohybový moment v zadaném průřezu
Pohyblivé vozidlo na prostém nosníku
K odvození Winklerova kritériaObr. 11.11. / str. 181
(a)
(b)
(c)
( ) ( ) ( )
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+=
=+−+= ∑∑==
kc
k
iii
n
iiic
RRlcM
dPbPlcM
..
...11
δ
δδs
Soustava popojede o δ doleva
∑=
=n
iiPR
1∑
=
=k
iik PR
1kde
( ) ( ) ( )
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=
=−−−=
−
−
==∑∑
1
1
11
..
...
kc
k
iii
n
iiic
RRlcM
dPbPlcM
δ
δδr
Soustava popojede o δ doprava
∑−
=− =
1
11
k
iik PRkde
Rozhoduje znaménko výrazu (nesmí být kladné)
kRRlcD −= .
44 / 67
Winklerovo kritérium
b
Rb
a
Ra
P1
bi
l
c
c cl −
+
PnPk Pi
d1
( )
( )l
clckM c
−==
.ηη
1ηiη nη
kk RRlcR ≤≤− .1
1
1
1−
−
=∑ = k
k
ii RP RP
n
ii∑
=
=1
k
k
ii RP∑
=
=1
( ) ∑=
=n
iiiC PM
1
.max η
M(c)
Pohyblivé vozidlo na prostém nosníku
Musí platit:
kk RRlcRR
lcD ≤⇒≤−= .0.
RlcRRR
lcD kk .0. 11 ≤⇒≥−= −−
Winklerovo kritérium
Pk … kritická síla
Emil Winkler(1835-1888)
45 / 67
Příklad 8.4
Pohyblivé vozidlo na prostém nosníku
Výpočet maximálního ohybového momentuv zadaném průřezu (příklad 8.4)
Obr. 11.12. / str. 184
(a)
(b)
(c)
Zadání:
S využitím Winklerova kritéria určete rozhodující sílu a umístěte soustavu sil do nejúčinnější polohy, při které v průřezu c vznikne maximálníohybový moment. S využitím příčinkové čáry vypočtěte velikost maximálního ohybového momentu.
46 / 67
Obory sil pohyblivé soustavy na prostém nosníku
Pohyblivé vozidlo na prostém nosníku
Obory sil pohyblivé soustavyObr. 11.13. / str. 184
Obor síly – množina všech bodů, pro něž je rozhodující táž síla pohyblivésoustavy
Rl
cR kk .1
1−
− =
Rl
cR kk .=
Levá hranice
Pravá hranice
lR
Rc kk .1
1−
− =
lRRc k
k .=
→
→
47 / 67
Čára maximálních ohybových momentů pod sledovanou silou
Pohyblivé vozidlo na prostém nosníku
K odvození čáry maximálních ohybových momentůpod sledovanou silou a břemenového kritéria
Obr. 11.14. / str. 186
(a)
(b)
(c)
rRdPn
iii ..
1
=− ∑=
⇒ ∑=
−=n
iii dP
Rr
1
..1
0=∑ kPM
lxlRRa
−= .Reakce
Ohybový moment v působišti Pk
( ) ∑−
=
−−−
=1
1max, ...
k
iiik dPrx
lxlRM
( )⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+−
++−= ∑
−
=
1
1
2max, .....
k
iiik dPrRx
lrlRx
lRM
Poloha největšího možného ohybového momentu Mk,max,max pod Pk
( ) 0..2d
d max, =+
+−=l
rlRxlR
xM k
22rxl
−= … břemenové kritérium
48 / 67
Břemenové kritérium
b
Rb
a
Ra
P1
l
ka raal kk +=−
+
PnPk Pi
d1
1ηiη nη
∑=
−=n
iii dP
Rr
1
..1
∑=
=n
iiik PM
1maxmax,, .η
r
x xl −
s
Pohyblivé vozidlo na prostém nosníku
M(ak)
( )
( )l
ala kkkM ka
−==
.ηη
Pod sledovanou silou Pkpohyblivé soustavy sil na prostém nosníku vznikne maximální ohybový moment tehdy, jestliže střed nosníku s půlívzdálenost r mezi paprskem výslednice Rsoustavy a paprskem sledované síly Pk.
∑=
=n
iiPR
1
22rlak −=
49 / 67
Příklad 8.6
Pohyblivé vozidlo na prostém nosníku
Zadání a řešení příkladu 8.6Obr. 11.16. / str. 187
(a)
(b)
(c)
Zadání:S využitím břemenového kritéria určete maximální ohybový moment M2,max,max pod silou P2. Zjistěte, zda pořadnice momentu M2,max,max leží uvnitřoboru sledované síly.
Řešení:
∑=
=n
iiPR
1∑
=
−=n
iii dP
Rr
1
..1
m545,8222 =−=rla
laRR k
a .= 11maxmax,,2 .. dPaRM ka −=
m03,3.11 == l
RPc 2
212 m66,6. al
RPPc <=
+=
50 / 67
Příklad 8.7
Pohyblivé vozidlo na prostém nosníku
Zadání a řešení příkladu 8.7Obr. 11.17.a. / str. 189
(a)
(b)
(c)
Zadání:Sestrojte čáru maximálních ohybových momentů na celém nosníku pohyblivésoustavy tří sil, působících na prostém nosníku. Zjistěte moment Mmax,max.Řešení:
Hranice oborů sil a příčinkové čáry pro vnitřní hranice
1.l
RRc k
k .11
−− = l
RRc k
k .=
1
1
1−
−
=∑ = k
k
ii RP kN200
1
==∑=
RPn
ii k
k
ii RP∑
=
=1
m81 =c m142 =c m203 =cm00 =c
Pořadnice čáry maximálních ohybových momentů v místech vnitřních hranic
2.
( ) ∑=
=n
iiic PM
k1
max, .η
kNm720max,1 =M kNm660max,2 =M
51 / 67
Příklad 8.7
Pohyblivé vozidlo na prostém nosníku
Zadání a řešení příkladu 8.7Obr. 11.17.b. / str. 189
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
Řešení:Výpočet maximálních ohybových momentůpod silami soustavy
3.
∑=
−=n
iii dP
Rr
1
..1 kN2001
== ∑=
n
iiPR
22rlak −= ∑
=
=n
iiik PM
1maxmax,, .η
m5,81 =a kNm5,722maxmax,,1 =M
m5,102 =a kNm5,782maxmax,,2 =M
m5,113 =a kNm5,722maxmax,,3 =M
m31 =r
m12 −=r
m33 −=r
(d,e)
(f,g)
(h,i)
52 / 67
Příklad 8.7
Pohyblivé vozidlo na prostém nosníku
Čára maximálních ohybových momentů (výsledek příkladu 8.7)Obr. 11.18. / str. 190
Řešení:Čára maximálních ohybových momentů na celém nosníku4.
( )⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+−
++−= ∑
−
=
1
1
2maxmax,, .....
k
iiik dPrRx
lrlRx
lRM
kNm5,782maxmax,maxmax,,2 == MM
Čára maximálních ohybových momentůpředstavuje nejúplnějšíinformaci o ohybu nosníku, často dosti pracné.
Přímý výpočet – pod kterou Pi vznikne Mmax,max?
53 / 67
Přímý výpočet vůbec největšího ohybového momentu
Pohyblivé vozidlo na prostém nosníku
Šolínovo kritériumObr. 11.19. / str. 191
Předpoklad: Mmax,max vznikne ve smyslu Winklerova kritéria pod silou rozhodující pro střed nosníku (c=l/2) – aritmeticky střední síla Ps. Ve smyslu břemenového kritéria (Pk = Ps) pak pod Pk určit Mmax,max.
Nevzniká-li Mmax,max pod některou sousednísilou (pokud jsou výrazněvětší než Pk) se lze přesvědčit pomocíŠolínova kritéria:
k
k
k
k
lR
lR
lR
≤≤−
−
1
1
54 / 67
Šolínovo kritérium
b
Rb
a
Ra
P1
l
ka kal −
+
PnPk=Ps Pi
d1
1ηiη nη
∑=
=n
iiiPM
1
.maxmax η
r
rak + ka
s
1. Určení Pk pomocí Winklerova kritéria
2. Určení r pomocí břemenového kritéria
Mx
dk-1
Pohyblivé vozidlo na prostém nosníku
dk+1
( )
( )l
ala kkkM ka
−==
.ηη
k
k
k
k
lR
lR
lR
≤≤−
−
1
1
11 .41
−− −= kkk dal 1.41
++= kkk dal
1
1
1−
−
=∑ = k
k
ii RP RP
n
ii∑
=
=1
k
k
ii RP∑
=
=1
Průměrná hodnota zatíženípřipadající na celou délku nosníku lleží mezi průměrnými hodnotami zatížení připadajícími na pomocnéúseky o délkách lk-1 a lk.
3. Ověření účinnosti dle Šolínova kritéria
Josef Šolín(1841 - 1912)
Postup:
55 / 67
Příklad 8.8
Pohyblivé vozidlo na prostém nosníku
Zadání příkladu 8.8Obr. 11.20. / str. 192
Zadání:Zjistěte přímým výpočtem (s použitím Šolínova kritéria) hodnotu největšího možného ohybového momentu Mmax,max na celém nosníku.
kk RRlcR ≤≤− .1
Zjištění aritmeticky střední síly (Winklerovo kritérium)Řešení:
1.
2lc =
kN330=RkN503 == PPs
Výpočet maximálního ohybového momentu pod aritmeticky střednísilou (břemenové kritérium)
2.
∑=
−=n
iii dP
Rr
1
..1 m630,0−=r
kNm731,552maxmax,,3 =M
m315,63 =a
Použití Šolínova kritéria:3.m715,51 =−kl
m765,6=kl
kN1601 =−kR kN210=kR
k
k
k
k
lR
lR
lR
≤≤−
−
1
1
042,315,27997,27 <>
Není splněno, Mmax,max vznikne pod P2 kNm531,559maxmax, =M
56 / 67
Přibližná konstrukce čáry maximálních ohybových momentů
Pohyblivé vozidlo na prostém nosníku
Přibližná konstrukce čáry maximálních momentůObr. 11.21. / str. 192
Sestrojení s využitím přímého výpočtu dle Šolínova kritéria.
Výhodné pro soustavy s mnoha silami, u nichž se předpokládá symetrie působení (vlaky v obou směrech).
Doporučuje norma ČSN 73 6203 Zatížení mostů.
57 / 67
Výpočet extrémních hodnot posouvající síly v zadaném průřezu
Pohyblivé vozidlo na prostém nosníku
K výpočtu maximální posouvající síly v zadaném průřezuObr. 11.22. / str. 193
(a)
(b)
(c)
( ) ( ) ?, min,max, =cc VV konst.=c
Pozice I. P1 v c zprava
Pozice II. P2 v c zprava
Maximum (minimum) - kladná (záporná) část příčinkové čáry
( ) ∑=
==n
iiica bP
lVR
1I,I, ..1
( )∑=
+=n
iiia dbP
lR
1II, ..1
( ) ( ) 11
II, ..1 PdbPl
Vn
iiic −+= ∑
=
Kritérium pro výběr pozice I nebo II
( ) ( ) II,I, cc VV > ⇒ldRP .1 >
(v případě, že P1 je výrazně menší než P2)
( ) ( ) II,I, cc VV < ⇒ldRPn .>
Obdobně pro minimum(Pn nebo Pn-1 zleva)
58 / 67
Příklad 8.9
Pohyblivé vozidlo na prostém nosníku
Zadání a řešení příkladu 8.9Obr. 11.23. / str. 194
(a)
(b)
Zadání:Zjistěte nejúčinnější pozice pohyblivé soustavy 4 sil pro vyvození maximální a minimální posouvající síly v průřezu c. Určete tyto extrémy.
Maximální V(c)
Řešení:1.
kN3,616
8,1.56.kN201 ==>=ldRP
( ) kN6,24..11
max, == ∑=
n
iiic bP
lV
Minimální V(c)2.
kN4,816
4,2.56.kN44 ==<=ldRP
( ) kN8,14..1 1
11min, −=−= ∑∑
−
==
n
ii
n
iiic PbP
lV
Platí, pozice I
Neplatí, pozice II
59 / 67
Nepřímé pohyblivé zatížení
Nepřímé pohyblivé zatížení
Nepřímé pohyblivé zatíženíObr. 11.24. / str. 195
(a)
(b)
Konstrukce složená z mnoha prutů, hlavní podélný nosník zatížen nepohyblivými akcemi příčných nosníků.
60 / 67Rozpětí 460,8 m, 4 pole, modul příhrady 12,8 m.
Hlavnípodélnénosníky
Příčné nosníky(Příčníky)
Podélné nosníky(Podélníky)
Nepřímé pohyblivé zatížení
Dálničně - železniční most, Bratislava
61 / 67
Příčinkové čáry za nepřímého pohyblivého zatížení
Účinek břemene P, působícího na podélník, se přenáší na příčníky a na hlavní nosníky
P=1 podélník
hlavní nosníkpříčníky
Nepřímé pohyblivé zatížení
62 / 67
Příčinkové čáry za nepřímého zatíženíP=1
podélník
hlavní nosníkpříčníky
e x f
eη fηη′η
Sc
S’c
d
z z′
ηηηηη ′=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−=+=′ ...... F
dz
dzdFFFS feffeec
Nepřímé pohyblivé zatížení
vždy lineární průběh
63 / 67
Příčinkové čáry reakcí Ra a Rb za nepřímého zatížení
b
Rb
a
Ra
P=1
x l - x
l
R’a
1
R’b
1
+
+
e fc
Nepřímé pohyblivé zatížení
64 / 67
Příčinkové čáry Vx a Mx za nepřímého zatížení
b
Rb
a
Ra
P=1
x l - xl
1
e fc
V’c+
-1-
fη
efc
eη
M’c
e fc
+
fηeη( )
lclc −.
xη
xη
Nepřímé pohyblivé zatížení
65 / 67
Nepřímé pohyblivé zatížení
Nepřímé pohyblivé zatížení
Příčinkové čáry na prostém nosníku při nepřímém zatíženíObr. 11.25. / str. 195
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Příčinkové čáry při nepřímém zatížení
ReakceOhybový momentPosouvající síla(d)
(c)(a,b)
66 / 67
Metody řešení příčinkových čar, účinků pohyblivého zatížení
a) metoda analytická – odvozené vzorce dle zásad statikyb) metoda kinematická – s užitím kinematické definice příčinkové čáry
Příčinková čára veličiny S v průřezu c konstrukce je kinematickáčára, vyvozená na uvažované konstrukci jednotkovým impulsem v průřezu c.
Numerická metoda zjišťování extrémních účinků pohyblivého vozidla (počítačovásimulace pohyblivého zatížení)
Jednotkový impuls:pro příčinkovou čáru V, N a reakcí - posunutí δ = 1pro ohybový moment M - pootočení ϕ = 1
67 / 67
Okruhy problémů k ústní části zkoušky1. Příčinkové čáry na prostém nosníku bez převislých konců2. Příčinkové čáry na konzole3. Příčinkové čáry na prostém nosníku s převislými konci4. Příčinkové čáry na spojitém nosníku s vloženými klouby5. Využití příčinkových čar pro výpočet (extrémních) účinků
nehybného zatížení6. Maximální ohybový moment v zadaném průřezu
(Winklerovo kritérium)7. Maximální ohybový moment pod sledovanou silou
(břemenové kritérium)8. Vůbec největší ohybový moment na celém nosníku
(Šolínovo kritérium)9. Nepřímé pohyblivé zatížení
Podklady ke zkoušce