tÍch phÂn bẤt ĐỊnh
TRANSCRIPT
ĐỊNH NGHĨA
F(x) là nguyên hàm của f(x) trong (a, b) F’(x) = f(x)
f(x)dx = F(x) + C : tích phân bất định
BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM
2 2 2
2 2 2
2
2
22 2 2 2
2 2 2
11/ arctan 2 / arctan
1
3 / arcsin 4 / arcsin1
5 / ln
6 / arcsin2 2
7 / ln2 2
dx dx xx C C
a ax a xdx dx x
x C Cax a x
dxx x k C
x k
x a xa x dx a x C
ax k
x kdx x k x x k C
BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM
2
2
8 /
9 /
10 /
11 /
12 / ln tansin 2
13 / ln tancos 2 4
chx dx shx C
shx dx chx C
dxthx C
ch xdx
cothx Csh xdx x
Cx
dx xC
x
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1.Đổi biến:
Đổi biến 1: x = u(t) dx = u’(t) dt
f(x) dx = f(u(t))u’(t)
dt Đổi biến 2: u(x) = t u’(x) dx = dt
f(u(x))u’(x) dx = f(t)
dt
2. Tích phân từng phần:
u(x)v’(x) dx = u(x)v(x) u’(x)v(x) dx
Một số lưu ý khi dùng tp từng phần
( )nP x
n
n
n
P x dx
P xdx
P xdx
.ln( )
.arctan
.arcsin
ndv P dx ,
là đa thức bậc n.
xn
n
P e dx
P xdx
.
.sin( ),nu P x dv là phần còn lại
u là phần còn lại
Ví dụ
arcsinI xdx
2arcsin
1
xdxI x x
x
2
2
1 (1 )arcsin
2 2 1
d xx x
x
21arcsin 1
2x x x C
2arcsin
1
dxu x du
x
, dv dx chon v x
TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ
Nguyên tắc: chuyển về các tích phân cơ bản
2
( ),
( )mdx Ax B dx
x a x px q
Trong đó: * m là các số tự nhiên,
* Các tam thức bậc 2 có = p2 - 4q< 0
Tích phân các phân thức cơ bản
2
( )
Ax B dxx px q
2
22
x p
dxx px q
A22
dxx
Bpx
Aq
p
2 ln2
x p
dxx px q
duu C
u
Đạo hàm của MS (lấy hết Ax)
Ví dụ
21
1
xdx
x x
-
- +ò
21 2 12 1
xdx
x x
-=
- +ò 2
11
2 1
dx
x x
æ ö÷ç+ - ÷ç ÷çè ø - +ò
21ln( 1)
2x x= - + 2
12 1 3
2 4
dx
x
-æ ö÷ç - +÷ç ÷çè ø
ò
2
11 1 2 2ln( 1) . arctan2.2 2 3 3
xx x C
-= - + - +
Tích phân các phân thức cơ bản
2 2 2
( ) (2 )( )
2 2( ) ( ) ( )n n n
Ax B dx A x p dx Ap dxB
x px q x px q x px q
2
(2 )
( )n n
x p dx dux px q u
2 2 2( ) ( ) nn n
dx dvI
x px q v a
1 2 2 2
1(2 1)
2 ( )n nn
vI n I
na v a
Chứng minh quy nạp In
2 2( )n n
dxI
x a
2 2 2 2 1( ) 2 ( )
,
n nu x a du nx x a dx
dv dx choïn v x
2 2 2 2 2 1( ) 2 ( )n nnI x x a n x x a dx
2 2 2 2 2 2 2 1
2 2 2 2 2 2 2 1
( ) 2 ( )( )
( ) 2 ( ) 2 ( )
n nn
n n n
I x x a n x a a x a dx
x x a n x a dx na x a dx
2 2 21( ) 2 2n
n n nI x x a nI na I
1 2 2 2 2
1(2 1)
2 ( )n nx
I n Ina x a
ĐỊNH LÝ PHÂN TÍCH
2
( )( )
( ) ( ) ( )m n r
p xf x
x a x b x px q
Hàm hữu tỷ:
Với đa thức ở tử có bậc nhỏ hơn mẫu và tam
thức ở mẫu có < 0, sẽ được phân tích ở dạng
1 2 12
1 1 2 22 2 2 2
( ) ... ...( ) ( ) ( )
...( ) ( )
m nm n
r rr
A A A B Bf x
x a x bx a x a x b
C x D C x D C x D
x px q x px q x px q
MỘT SỐ VÍ DỤ PHÂN TÍCH
2
2 1 2 1( )
( 1)( 3) 1 32 3
x x A Bf x
x x x xx x
12 1 1( 1)
3 3 4
xx BA x A
x x
Tính A: nhân 2 vế với (x-1), sau đó thay x bởi 1
Để tính nhanh, trong biểu thức 2 1( 1)( 3)
xx x
Che (x-1) rồi cho x = 1 ta tìm được A
Tính B: nhân 2 vế với (x+3), sau đó thay x bởi -3
(hoặc che x+3 trong phân thức ban đầu) B = 7/4
2 2
1/ 42 1( )
1 3( 1) ( 3) ( 1)
x A Cf x
x xx x x
Tính B: vế trái che (x-1)2, sau đó thay x bởi 1
Tính C: vế trái che (x + 3), thay x bởi -3
2 2
1/ 4 72 1( )
1 3( 1) ( 3) ( 1)
/16x Af x
x xx x x
Tính B: vế trái che (x-1)2, sau đó thay x bởi 1
Tính C: vế trái che (x + 3), thay x bởi -3
Tính A: nhân 2 vế với x rồi cho x
2 2
1/ 4 72 1( )
1 3( 1) ( 3) ( 1)
/16x Af x
x xx x x
Tính B: vế trái che (x-1)2, sau đó thay x bởi 1
Tính C: vế trái che (x + 3), thay x bởi -3
Tính A: nhân 2 vế với x rồi cho x
2 2
2 1( )
1 3( 1) ( 3) ( 1
4 6
)
1 / 7 /1x Af x
x xx x x x
x x x
70 0
16A
Tính B: vế trái che (x-1)2, sau đó thay x bởi 1
Tính C: vế trái che (x + 3), thay x bởi -3
Tính A: nhân 2 vế với x rồi cho x
716
A
Sử dụng nguyên tắc chung
2 2
2 1( )
3( 1)( 3) 1
x A Bx Cf x
xx x x x x
2
2
2 1 ( 1) ( )( 3)
2 1 ( ) ( 3 ) 3
x A x x Bx C x
x A B x A B C x A C
0
3 2
3 1
A B
A B C
A C
Quy đồng mẫu số và đồng nhất tử số 2 vế
1
1
0
A
B
C
Ví dụ tính tích phân
2
2 1
( 1) ( 3)
xdx
x x
7 1 1 7ln 1 ln 3
16 4 1 16x x C
x
2
7 /16 1 / 4 7 /161 3( 1)dx dx dx
x xx
2
2 1
( 1)( 3)
xdx
x x x
ln 3x
ln 3x
23 1
dx xdxx x x
2
1 (2 1)2 1
x dx
x x
2
12 1 3
2 4
dx
x
1 2 1/ 2arctan
2 3 3 / 2
xC
21ln( 1)2
x x
TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ
trong đó m1, n1, m2, n2 là các số nguyên.
Phương pháp chung: đặt
n ax bt
cx d
n là BSCNN(n1, n2)
1 2
1 2, ,
m mn nax b ax b
R xcx d cx d
Ví dụ
23 ( 1)
1
x xI dx
x
6 1t x
4 65
3
16
t tI t dt
t
6 8 26 t t t dt
1 2
1 2
2 1,3 2
m mn n
56dx t dt
23 ( 1)( 1)
dxI
x x
3
11 1
x dxx x
3 11
xt
x
2
3 3 2 3
3
16 3
1 ( 1) 11
1
t dt dtI t
t t tt
3
3
1
1
tx
t
2
3 2
6
( 1)
t dt
dxt
Các trường hợp riêng của tích phân Eurler
2ax bx cdx
22
22 4
b c bax bx c a x
a a a
2
dx
ax bx c
Nguyên tắc chung: đưa về bình phương đúng của
các tam thức dưới căn và áp dụng tp bảng.
2
( )Ax B dx
ax bx c
2( )Ax B ax bx cdx
Ví dụ
2
( 1)
3 2 1
x dx
x x
2 2
1 ( 6 2) 46 33 2 1 3 2 1
x dx dx
x x x x
21 4 1 3 13 2 1 arcsin
3 3 2 33x x x C
TỔNG QUÁT
2,R x ax bx c dx
2 2( , )R u A u du
2 2( , )R u u A du
Sau khi đưa tam thức bậc 2 về bình phương đúng, có thể rơi vào các TH sau:
2 2( , )R u u A du
Đặt u = Asint, t [-/2, /2]
Đặt u = A/sint, t [-/2, /2]
Đặt u = Atant, t (-/2, /2)
Ví dụ
32 3 2( 4 5) ( 2) 1I x x dx x dx 2 3( 1)I u du 2 3
2(tan 1)cos
dtI t
t
Đặt u = tant
5 2 3 2 3
cos
cos (1 sin ) (1 )
dt tdt dv
t t v
TÍCH PHÂN TREBUSEV
( )m n px ax b dx
1mn
m,n, p là các sô hữu tỷ
TH 1: p là số nguyên : Đặt x = tk,
k là BSCNN mẫu số của m, n.
TH 2: là số nguyên:
1 mp
nTH 2: là số nguyên:
Đặt axn +b = tk , k là
mẫu số của p
Đặt bx n +a = tk , k là
mẫu số của p
VÍ DỤ
23 ( 1)
dxI
x x
21, 1,
3m n p
2
3 2
3
( 1)
tI dt
t t
310 1
mx t
n
2 2
( 2)3
1( 1)( 1) 1
dt dt t dttt t t t t
Ví dụ
4 21
dxI
x x
14, 2,
2m n p
1 4 1 12
2 2m
pn
Đặt x-2 +1 = t2 -2x-3dx = 2tdt
23 2
2
2
1
dxI
xx x
x
222 ( 1)
2 ( 1)t t dt
t dtt
sin cos m nI x x dx* m =2k + 1 2sin cos (cos ) k nI x x d x * n =2k + 1 2sin cos (sin ) m kI x x d x* m, n chẵn: dùng công thức hạ bậc
2 2
1sin cos sin 2 ,
21 cos2 1 cos2
sin , cos2 2
x x x
x xx x
TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC
TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC
(cos ,sin )R x x dx
cost x
sint x
Thay x bởi –x, biểu thức dưới dấu tp không đổi
Thay x bởi –x, biểu thức dưới dấu tp không đổi
Thay x bởi +x, biểu thức dưới dấu tp không đổi
tant x
Tổng quát: tan2x
t
VÍ DỤ
4 6(cos cos ) (cos ) x x d x
3 4sin cos I x x dx
3cos sin
dxI
x x
2 4(1 cos )cos (cos ) x x d x
5 7cos cos5 7
x xC
3
2
cos
cos 2sin
xI dx
x x
Thay x bởi - x trong biểu thức dưới dấu tp
3
2
cos ( )( )
cos ( ) 2sin( )
xd x
x x
3
2
cos( )
cos 2sin
xdx
x x
3
2
cos
cos 2sin
xdx
x x
Đặt x = sint
2
2
(1 sin )cos
1 sin 2sin
x x dx
x x
2
211 2
tdt
t t
3
2
cos
cos 2sin
xI dx
x x
2
2
1
1 2
tdt
t t
cos sin 2dx
Ix x
tan2x
t
2 2 2
2 2
1 2
2 1 1 2 32
1 1
dt dtI
t t t t t
t t
22
1 2(1 tan )2 2 1
xdt dx dx dt
t
Một dạng đặc biệt của tp hàm lượng giác
sin cos'sin 'cos 'a x b x c
dxa x b x c
Biểu diễn
TỬ SỐ = A (đạo hàm mẫu số) + B(MẪU SỐ) +C
Tìm A, B, C bằng đồng nhất thức.
Ví dụ
sin 2cos 3sin 2cos 3
x xI dx
x x
sin 2cos 3
(sin 2cos 3) ' (sin 2cos 3)
x x
A x x B x x C
sin 2cos 3
(cos 2sin ) (sin 2cos 3)
x x
A x x B x x C
4 3 6, ,5 5 5
A B C