³e dx e c ³ 1 2 ln c tích phân bất định lecture 7 nguyen ... · 1 tÍch phÂn 𝐹 tích...
TRANSCRIPT
1
TICH PHÂN
Tich phân bất định, xác định va
ưng dung
Lecture 7
Nguyen Van Thuy
Tich phân bất định
𝑓(𝑥): đao ham cua 𝐹(𝑥)
(𝐹(𝑥))’ = 𝑓(𝑥)
𝐹(𝑥): 1 nguyên ham cua 𝑓(𝑥)
𝑥3
3+ 1
′
= 𝑥2⟹𝑥3
3+ 1 la môt nguyên ham
cua 𝑥2
𝑥3
3− 5
′
=𝑥3
3+ 𝐶
′
= ⋯ = 𝑥2
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-2
Tich phân bất định
số nguyên ham của hàm 𝑥2?
dang tổng quat?
tich phân bất đinh cua ham 𝑥2
𝑥2𝑑𝑥 =𝑥3
3+ 𝐶
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-3
Tich phân bất định
Vây
Tinh chất
𝐶𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐶 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ± 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
( ( )) ' ( ) ( ) ( )F x f x f x dx F x C
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-4
Công thưc tich phân cơ bản
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy
ln | |
1
1sin( ) cos( )
1cos( ) sin( )
ax b ax b
dxx a C
x a
e dx e Ca
ax b dx ax b Ca
ax b dx ax b Ca
2 2
2
2
2 2
2 2
1a r c t a n
a r
1ln
2
l
c s
|
i
n |
n
d u u aC
u a a
d u uC
u a a
u a
d uu u
a
d u uC
k
a
Ck
u
u
a
7-5
Tich phân bất định
Phương pháp đôi biên sô
Phương pháp tich phân tưng phân
Tich phân ham hưu ty
Tich phân ham vô ty
Tich phân ham lương giác
Maple: int(f(x),x)
GG: Tichphan[f(x)]
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-6
2
Tich phân bất định
Câu 313. Tinh tich phân 𝐼 = 𝑑𝑥
𝑥(𝑥+1)
𝑎) 𝐼 = arctan 𝑥 + 𝐶 𝑏) 𝐼 = 2arctan 𝑥 + 𝐶
𝑐) 𝐼 = arcsin 𝑥 + 𝐶 𝑑) 𝐼 = ln 𝑥 + 𝐶
Câu 345. Tinh tich phân 𝐼 = 4𝑥3𝑑𝑥
1−𝑥8
𝑎) 𝐼 = 2 1 − 𝑥8 + 𝐶 𝑏) 𝐼 = ln 𝑥4 − 1 − 𝑥8 + 𝐶
𝑐) 𝐼 = ln 𝑥4 + 1 − 𝑥8 + 𝐶 𝑑) 𝐼 = arcsin 𝑥4 + 𝐶
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-7
Tich phân bất định
Câu 387. Tinh tich phân 𝐼 = 4 𝑥cos 2𝑥𝑑𝑥
𝑎) 𝐼 = 2𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝐶 𝑏) 𝐼 = 2𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝐶
𝑐) 𝐼 = 2𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝐶 𝑑) 𝐼 = 2𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝐶
Câu 393. Tinh tich phân 𝐼 = ln 𝑥
𝑥3𝑑𝑥
𝑎) 𝐼 = −2𝑙𝑛𝑥−1
4𝑥2+ 𝐶 𝑏)𝐼 = −
2𝑙𝑛𝑥+1
𝑥2+ 𝐶
𝑐) 𝐼 =2𝑙𝑛𝑥+1
4𝑥2+ 𝐶 𝑑) 𝐼 = −
2𝑙𝑛𝑥+1
4𝑥2+ 𝐶
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-8
Bài toán diện tich
Tinh diện tich hình phẳng S
{( , ) | ,0 ( )}S x y a x b y f x
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-9
Bài toán diện tich
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-10
Bài toán diện tich
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-11
* * *
1 2()lim[() () ()]nn
dtSfxxfxxfxx
Bài toán diện tich
Vi du
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-12
𝑦 = 𝑥2
S=?
3
Bài toán diện tich
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-13
𝑛 = 4, 𝑝ả𝑖, 𝐴 ≈ 0.46875 𝑛 = 4, 𝑡𝑟á𝑖, 𝐴 ≈ 0.21875
Bài toán diện tich
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-14
𝑛 = 10, 𝑡𝑟á𝑖, 𝐴 ≈ 0.285 𝑛 = 10, 𝑝ả𝑖, 𝐴 ≈ 0.385
Bài toán diện tich
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-15
𝑦 = 𝑥2
Định nghia tich phân xác định
Chia đoan [𝑎, 𝑏] thanh 𝑛 đoan con
Lấy tùy ý 𝑐𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖]
Lâp tổng tich phân
𝑆𝑛 = 𝑓(𝑐𝑖)(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1)
𝑛
𝑖=1
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-16
𝑎 𝑏
𝑥0 𝑥1 𝑥𝑖−1 𝑥𝑛
𝑐𝑖
𝑥𝑖
Tich phân xác định
Định nghĩa
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= lim𝑛→∞ 𝑓 𝑐𝑖
𝑛
𝑖=1
(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1)
Công thưc Newton-Leibniz
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-17
Tinh chất
'
'( )
( )
( ) ( )
[ ( ) ( )] ( ) ( )
( ) ( )
( ) [ ( )]. '( ) [ ( )]. '( )
b b
a a
b b b
a a a
x
a
v x
u x
C f x dx C f x dx
f x g x dx f x dx g x dx
f t d t f x
f t d t f v x v x f u x u x
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-18
4
Tinh tich phân xác định
Tương tư như tich phân bất đinh
Phương phap đổi biến số
Phương phap tich phân tưng phần
𝑢𝑑𝑣
𝑏
𝑎
= 𝑢𝑣 𝑏𝑎− 𝑣𝑑𝑢
𝑏
𝑎
Tich phân ham hưu ty, hàm vô tỷ
Tich phân ham lương giac
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-19
Tinh tich phân xác định
Maple: int(f(x),x=a..b)
GG: Tichphan[f(x),a,b]
(406)
(409)
1
4 ln
e
I x xdx
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-20
2 2) 1 ) 1 ) 1 )a I e b I e c I d I e
1
0
2arccosI xdx ) 2 ) 2 ) 2 ) 1a I b I c I d I
Vi du
Tinh
(395)
(398)
0
20
sin
lim
x
x
tdt
Lx
2
0
2
100
( 1) ln(cos )
lim
t
x
x
e t dt
Lx
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-21
1) 0 ) ) 1 )
2a L b L c I d I
1 1 1 1) ) ) )
10 10 20 20a L b L c I d I
Diện tich giưa đương cong và truc hoành
{( , )
( ) (
| ,0 ( }
)
)
b
a
S x y a x b y f
A S f x d
x
x
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-22
Diện tich giưa 2 đương cong
( ) [ ( )
{( , ) | , ( ) ( )}
( )]
b
a
S x y a x b g x y f x
A S f x g x dx
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-23
Diện tich giưa 2 đương cong
Vi du. Tinh diện tich phân hình phẳng đươc
tô đâm sau
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-24
5
Diện tich giưa 2 đương cong
( ) [ ( )
{( , ) | , ( ) ( )}
( )]
d
c
S x y c y d g y x f y
A S f y g y dy
S
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-25
Diện tich giưa 2 đương cong
Vi du. Tinh diện tich phân hình phẳng đươc
tô đâm sau
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-26
Diện tich giưa 2 đương cong
Tinh diện tich hình phẳng giơi han bơi 2
đương 21, 2 6y x y x
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-27
Thê tich
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy
( )
b
a
V A x dx
7-28
Thê tich
Vi du. Tinh thê tich hình câu bán kinh r
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy
2 2
2 2 2
2 2
32 3
( ) ( )
( ) ( )
4
3 3
r r
r r
r
r
y r x
A x y r x
V A x dx r x dx
xr x r
7-29
Thê tich vât thê tron xoay
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy
2 ( )
b
y
a
V xf x dx 2[ ( )]
b
x
a
V f x dx
7-30