chƢƠng 2 tÍch phÂn ĐƯỜng - …files.pthcmute.webnode.vn/200000160-2d4882e405/c2_a3.pdf ·...

CHƢƠNG 2

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG

I. Tích phân đường loại 1.

II. Tích phân đường loại 2.

1. Định nghĩa của tích phân đường loại một.

2. Tính chất của tích phân đường loại một.

3. Cách tính của tích phân đường loại một.

4. Ứng dụng của tích phân đường loại một.

I. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1


1. Định nghĩa. Cho ( , )z f x y xác định trên một cung

phẳng AB . Chia AB thành n cung nhỏ 1i i

A A (i =

1,…, n), độ dài cung

thư i là is . Lấy điểm

1( , )i i i i iM x y A A tuỳ

ý. Lập tổng Riemann

1

( , ).n

n i i ii

I f x y s

gọi là tổng tích phân của hàm ( , )f x y theo cung AB .


Tích phân đƣờng loại một của ( , )f x y dọc theo

AB là giới hạn của tổng tích phân khi

max 0is và được ký hiệu là

max 01

( , ) lim ( , ).i

n

i i isi

AB

f x y ds f x y s

trong đo ds ký hiệu yếu tố độ dài của cung AB

hay vi phân của cung AB .


Chu thích 1.

- AB là cung trơn nếu tiếp tuyến của cung biến

thiên liên tục. AB là cung trơn từng khúc nếu

chia cung AB thành hữu hạn các cung thành phần,

các cung thành phần là các cung trơn.

- Nếu ( , )f x y liên tục trên AB trơn từng khúc thì

( , )f x y khả tích trên cung AB .


Chu thích 2.

- Tích phân đường loại một không phụ thuộc vào

hướng của cung AB :

( , ) ( , )AB BA

f x y ds f x y ds

- Nếu ( , , )f x y z khả tích trên cung AB 3 thì

tích phân đường loại một trong không gian của

( , , )f x y z theo cung AB được ký hiệu là

( , , )AB

f x y z ds .


2. Các tính chất

Vì định nghĩa của tích phân đường loại một

tương tự với định nghĩa tích phân xác định,

nên các tính chất của tích phần đường loại

một giống như các tính chất tích phân xác

định.


3. Cách tính tích phân đường loại một

3.1. Cách tính tích phân đường loại một trong mp

Cho AB là cung trơn và hàm ( , )f x y liên tục trên AB .

Khi đó, ta có các trường hợp sau :

TH 1. Nếu AB có phương trình tham số

1 2

( ),

( ),

x x tt t t

y y t

thì

2

1

2 2( , ) ( ( ), ( ))t

t t

tAB

f x y ds f x t y t x y dt (1)


TH 2. Nếu AB có phương trình ( ),y y x a x b , thì

2( , ) ( , ( )) 1b

x

aAB

f x y ds f x y x y dx (2)

TH 3. Nếu AB có phương trình ( ),x x y c y d , thì

2( , ) ( ( ), ) 1d

y

cAB

f x y ds f x y y x dy (3)

TH 4. Nếu AB có phương trình trong tọa độ cực

1 2( ), r r ,

thì

2

1

2 2( , ) ( ( )cos , ( )sin ) ( ) ( )

AB

f x y ds f r r r r d (4)


VÍ DỤ

Ví dụ 1. Tính ( )AB

I x y ds với AB là đoạn

thẳng nối hai điểm (0,0), (4,3).A B

Giải

Cách 1: Ta biểu diễn AB theo phương trình tham số.

Ta có:

4 ,: [0,1].

3 ,

x tAB t

y t

Áp dụng công thưc (1) ta được 1

12 2

00

5(4 3 ) 4 3 5

2I t t dt tdt .


Cách 2: Ta có phương trình đường thẳng AB là

3 4 0.x y Do đó, ta có phương trình đoạn thẳng

AB là 3

: , [0,4].4

y x x

Áp dụng công thưc (2) ta được

4 4

2340 0

3 5 51 ( )

4 32( )

2I x x dx x dx .

Cách3: Ta có phương trình đoạn thẳng AB là

, [0,3].4

3x y y

Áp dụng công thưc (3) ta được

3 324

3 30 0

4 5 51(

2( ) )

9I y y dy ydy


Ví dụ 2. Tính 2 2

Lx y ds , với L là đường tròn

2 2x y ax

Ví dụ 3. Tính 2

Ly ds , với L là một vòm cuốn

cycloid (1 sin ),

0 2 , 0(1 cos ),

x a tt a

y a t

Ví dụ 4. Tính 4 4

3 3( )Lx y ds ,

với L :

3

3

cos ,0 2 , 0

sin ,

x a tt a

y a t


3. Cách tính tích phân đường loại một

3.2. Cách tính tích phân đường loại một trong KG

Tương tự ta có công thưc tính tích phân đường loại 1 trong

mặt phẳng. Ta có công thưc tính tích phân đường loại 1

trong không gian như sau.

Cho AB là cung trơn, hàm ( , , )f x y z liên tục trên AB và

AB có phương trình tham số

1 2( ), ( ), ( ), x x t y y t z z t t t t

thì

2

1

2 2 2( , , ) ( ( ), ( ), ( ))t

t t t

tAB

f x y z ds f x t y t z t x y z dt


VÍ DỤ

Ví dụ 5. Tính Lxyzds , với L là cung của đường

cong: 3 21 1, 8 , [0,1],

3 2x t y t z t t .

Ví dụ 6. Tính | |Ly ds , với L là cung của đường cong:

sin , cos , [0,2 ],x a t y a t z bt t .

Ví dụ 7. Tính ( )Lx y ds , với L là giao tuyến của

mặt cầu 2 2 2 4x y z và mặt phẳng y x .


4. Ứng dụng

a) Nếu gọi l là độ dài AB thì:

AB

l ds

b) Nếu một dây vật chất có dạng cung AB và mật độ

khối lượng là ( , )g x y thì khối lượng của dây vật chất

đó tính theo công thưc:

( , )AB

m g x y ds


VÍ DỤ Ví du 8. Tính chiều dài đường cong

1( ), 0 1.

2x xy e e x ĐS: 11

( )2e e

Ví du 9. Tính chiều dài đường cong

cos , sin ,t t tx ae t y ae t z ae ,

từ (0,0,0)A đến (0,0, ), 0.B a a ĐS: 3a

Ví du 10. Tính khối lượng của dây vật chất có phương

trình tham số cos , sin , [0, ]x t y t t và mật độ

khối lượng là ( , )g x y y . ĐS: 2

1. Định nghĩa của tích phân đường loại hai.

2. Các tính chất của tích phân đường loại hai.

3. Tính của tích phân đường loại hai.

4. Công thức Green.

5. Tích phân đường không phụ thuộc đường lấy

tích phân.

II. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2


1. Định nghĩa. Cho ( , ), ( , )P x y Q x y xác định trên AB

thuộc đường cong trơn L. Chia AB thành là n cung nhỏ

1i iA A (i =1, …, n). Gọi

is là dài cung thư i, ta có

1,

i i i i iA A s x i y j

Trong đo ,i ix y lần lượt là hình chiếc của véc tơ

1i iA A

xuống hai trục tọa độ.

Lấy tuỳ ý điểm 1

( , ) i i i i iM A A . Lập tổng tích phân

1

( ) ( )n

n i i i ii

I P M x Q M y


Tích phân đƣờng loại hai của hàm số ( , )P x y và

( , )Q x y dọc theo cung AB là giới hạn của tổng tích

phân trên khi max 0is , và được ký hiệu là

max 01

( , ) ( , )

lim ( ) ( )i

ABn

i i i isi

P x y dx Q x y dy

P M x Q M y

Chu thich 1. Tương tự tích phân đường loại một, tích

phân đường loại hai tồn tại nếu cung AB trơn từng

khúc và các hàm , P Q liên tục trên cung .AB


Chu thich 2. Công sinh ra do lực F (M) = P(M) i

+Q(M) j để dịch chuyển chất điểm từ A đến B là

( , ) ( , )AB

W P x y dx Q x y dy

Chu thich 3. Nếu AB là đường cong trong không gian

có ba hàm số ( , , ), ( , , )P x y z Q x y z và ( , , )R x y z xác định

trên cung AB thì tích phân đường loại hai của ba hàm

số đó cũng được ký hiệu là:

( , , ) ( , , ) ( , , )AB

P x y z dx Q x y z dy R x y z dz


2. Các tính của tích phân đường loại hai

a) Khác với tích phân đường loại một. Tích phân đường

loại hai đổi dấu khi đổi chiều lấy tích phân

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

AB BA

P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy

b) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

AB AB AB

P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy

Các tính chất còn lại tương tự như tích phân xác định.


3. Cách tính tích phân đường loại hai

Cho AB là cung trơn và các hàm ( , ), ( , )P x y Q x y liên tục

trên AB . Khi đó, ta có các trường hợp sau :

TH 1. Nếu AB có phương trình ( ),y y x a x b , thì

( , ) ( , ) ( , ( )) ( , ( )).b

x

aAB

P x y dx Q x y dy P x y x Q x y x y dx

TH 2. Nếu AB có phương trình ( ),x x y c x d , thì

( , ) ( , ) ( ( ), ) ( ( ), )d

y

cAB

P x y dx Q x y dy P x y y x Q x y y dy


TH 3. Nếu AB có phương trình tham số:

1 2( ), ( ), x x t y y t t t t .

Thì

( , ) ( , ) ( ( ), ( )) ( ( ), ( )).B

A

t

t t

tAB

P x y dx Q x y dy P x t y t x Q x t y t y dt

TH 4. Nếu AB có phương trình tham số:

1 2( ), ( ), ( ), x x t y y t z z t t t t .

Thì

( , , ) ( , , ) ( , , ) = ( ( ), ( )( ( )).

( ( ), ( ), ( )). ( ( ), ( )( ( )).

B

A

t

t

tAB

t t

P x y z dx Q x y z dy R x y z dt P x t y t z t x

Q x t y t z t y R x t y t z t z dt


VÍ DỤ

Ví du 11.Tính 2 2( 2 ) ( 2 )L

x xy dx y xy dy ĐS: 14

15

L là cung parabol 2y x đi từ A(-1, 1) đến B(1,1).

Ví du 12. Tính ( 2 ) (2 )L

x y dx x y dy ĐS: 16

3

L là cung parabol 21x y đi từ A(0, -1) đếnB(0,1).

Ví du 13. Tính 2( 3 ) 2L

x y dx ydy ĐS: 3

L là chu vi ∆OAB với O(0,0); A(1,1); B(0,2).


VÍ DỤ

Ví du 14. Tính 3 2( 2 ) (3 )L

y x dx xy x dy

L là nữa đường tròn trên 2 2( 2) 1x y đi từ A(1,0)

đến B(3,0). ĐS: 2

8

Ví du 15. Tính ( 1)L

xdx ydy x y dz ĐS: 1

2

L có phương trình tham số

. 2, , [0,1].x z t y t t

Ví du 16. Tính

L

xydx ydy yzdz ĐS: 13

L là đoạn thẳng nối điểm A(1,1,1) và B(2,3,4).


Cho L là biên của miền D.

- Qui ước chiều dƣơng trên L là chiều đi dọc theo

chiều này thì thấy miền D nằm ở phía bên tay trái.

- Miền D gọi là miền đơn liên, nếu các biên kín của D

co lại một điểm thuộc D mà không bị các biên khác

cản trở. Ngược lại gọi là miền đa liên.

- Tích phân lấy theo chiều dương thường ký hiệu là:

( , ) ( , )L

P x y dx Q x y dy


4. Công thức Green

Nếu các hàm số ( , ), ( , )P x y Q x y và các đạo hàm

riêng cấp một của chúng liên tục trong miền D có

biên trơn từng khúc là đường L. Khi đó, ta có

( , ) ( , )L D

Q PP x y dx Q x y dy dxdy

x y

Công thưc trên gọi là công thưc Green. Công thưc

Green cho ta liên hệ giữa tích phân đường loại hai

dọc theo L và tích phân kép theo miền D.


Chu thich 4.

a) Nếu chiều lấy tích phân ngược với chiều dương qui

ước thì

( , ) ( , )L D

Q PP x y dx Q x y dy dxdy

x y

b) Điều kiện áp dụng công thức Green

i) L là cung kín.

ii) , P Q và các đạo hàm riêng cấp một của chúng liên

tuc trong miền D.

c) Công thưc Green cho ta công thưc tính diện tích

miền phẳng D như sau: 1

2D

L

S xdy ydx


VÍ DỤ

Ví du 17. Tính 2( 3 ) 2L

x y dx ydy ĐS: 3

L là chu vi ∆OAB với O(0,0); A(1,1); B(0,2).

Ví du 18.Tính4

1

1(2 ) (2 )

yL

x y dx x dy ĐS: 144

L là cung parabol 2 6y x x đi từ A(0, 0) đến B(6,0).

Ví du 19. Tính 3 2( 2 ) (3 )L

y x dx xy x dy

L là nữa đường tròn trên 2 2( 2) 1x y đi từ A(1,0)

đến B(3,0). ĐS: 2

8


Ví du 20. Tính 2 2

( ) ( )

L

x y dx x y dy

x y

2 2{( , ) : 4}L x y x y ngược chiều kim đồng hồ.

ĐS: 2

Ví du 21. Tính 2 2( )(cos2 sin2 )x y

L

e xydx xy dy

2 2{( , ) : 4}L x y x y ngược chiều kim đồng hồ.

ĐS: 0

Ví du 22. Tính 2 2

L

xdy ydx

x y, với L là đường cong

kín bất kỳ ngược chiều kim đồng hồ. ĐS: 2


Ví dụ 24. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 3 3cos , sin , [0,2 ]x a t y a t t

ĐS: 23

8a

Ví dụ 25. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 2 2

2 21, 0, 0

x ya b

a b

ĐS: ab Ví dụ 26. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

đường lemniscate:

cos2r a

ĐS: 2a


5. Tích phân đường không phụ thuộc đường lấy tích phân.

Định lý 1. Giả sử các hàm P, Q và các đạo hàm riêng cấp

một của chúng liên tục trong miền đơn liên D. Khi đó bốn

mệnh đề sau tương đương:

i) , ( , ) .x yQ P x y D

ii)

L

Pdx Qdy = 0, L là đường cong kín, trơn từng khúc

nằm trong miền D.

iii)

AB

Pdx Qdy , chỉ phụ thuộc vào 2 điểm A,B mà không

phụ thuộc dạng AB .

iv) Biểu thức Pdx Qdy là vi phân toàn phần của hàm

( , )u x y nào đó trên miền D.


5. Tích phân đường không phụ thuộc đường lấy tích phân.

Hệ quả 1. Nếu ( , )du x y Pdx Qdy trong miền D thì :

( , ) ( , ) ( ) ( )AB

P x y dx Q x y dy u B u A

Trường hợp này, ta co thê viêt tich phân dươi dang sau ( , )

( , )

( , ) ( , )B B

A A

x y

x y

P x y dx Q x y dy

Ví dụ 27. Tính

(2,3)

1

( 1,2)

I ydx xdy

(6,8)

2 2 2(1,0)

xdx ydyI

x y

Ví dụ 28. Tính

(1,2)

2(2,1)

ydx xdyJ

x theo đương ko căt Oy.


5. Tích phân đường không phụ thuộc đường lấy tích phân. Định lý 2. Giả sử các hàm P, Q, R và các đạo hàm riêng

cấp một của chúng liên tục trong miền đơn liên D. Khi đó

bốn mệnh đề sau tương đương:

i) , , , ( , , ) .y x z y x zP Q Q R R P x y z D

ii)

L

Pdx Qdy Rdz = 0, L là đường cong kín,

iii)

AB

Pdx Qdy Rdz , chỉ phụ thuộc vào 2 điểm A,B

mà không phụ thuộc dạng AB .

iv) Biểu thức Pdx Qdy Rdz là vi phân toàn phần của

hàm ( , , )u x y z nào đó trên miền D.


Ví dụ 29. Tính

(6,1,1)

1

(1,2,3)

I yzdx zxdy xydz

ĐS: 0

Ví dụ 30. Tính

2( 1, ,2)

1

(0,0,0)

( cos ) ( sin )

( )

x xI e y yz dx zx e y dy

xy z dz

ĐS: 1

Hết chƣơng 2

chƢƠng 2 tÍch phÂn ĐƯỜng - …files.pthcmute.webnode.vn/200000160-2d4882e405/c2_a3.pdf ·...

Documents