these polution dans la ville

N d'ordre : 2332

THSE

PRSENTE

L'UNIVERSIT BORDEAUX I

COLE DOCTORALE DE SCIENCES PHYSIQUES ET DE LINGNIEUR

par Stphane GLOCKNER

POUR OBTENIR LE GRADE DE

DOCTEUR

SPCIALIT : MCANIQUE

CONTRIBUTION LA MODLISATION DE LA POLLUTION ATMOSPHRIQUE DANS LES VILLES

Soutenue le 14 dcembre 2000

Aprs avis de :

MM. Y. BRUNET, Directeur de Recherche, INRA-Bordeaux Rapporteur G. LAURIAT, Professeur, LMSNPT, Universit de Marne la Valle Rapporteur

Devant la Commission d'examen forme de :

MM. P. MOREL, Professeur, MAB, Universit Bordeaux I Prsident E. VILLENAVE, Matre de Confrence, LPCM, Universit Bordeaux I Rapporteur G. LAURIAT, Professeur, LMSNPT, Universit de Marne la Valle Examinateur Y. BRUNET, Directeur de Recherche, INRA-Bordeaux Examinateur J.P. CALTAGIRONE, Professeur, MASTER, Universit Bordeaux I Examinateur F. FOURNIER, Socit GERTRUDE, Bordeaux Examinateur

- 2000 -

Remerciements

Ce travail a t ralis au sein du laboratoire de Modlisation Avance des Systmes Thermiques et

coulements Rels (MASTER) de lEcole Nationale Suprieure de Chimie Physique de Bordeaux (ENSCPB)

dans le cadre dune convention CIFRE, contracte entre la socit GERTRUDE, le laboratoire de Math-

matique Appliqu de Bordeaux (MAB) et le laboratoire MASTER-ENSCPB.

Je remercie tout dabord Jean-Jacques Montech, directeur de la socit GERTRUDE, pour avoir accep-

t le co-financement ce projet, Franck Fournier, responsable du service recherche et dveloppement ainsi

que Paul Morel, professeur au MAB pour avoir co-encadr ce travail.

Je tiens exprimer toute ma reconnaissance Jean-Paul Caltagirone, professeur et directeur du labo-

ratoire MASTER, qui a dirig cette thse, pour son soutien au cours de ces trois annes, la confiance quil

ma tmoigne et lensemble des moyens quil a mis ma disposition.

Eric Villenave a su me rconcilier avec la chimie, et ce nest pas peu dire. Je le remercie vivement pour

sa participation ce travail, sa volont et pour mavoir fait lhonneur et le plaisir de participer mon jury

de thse.

Je suis reconnaissant au professeur Guy Lauriat de lUniversit de Marne-la-Valle et Yves Brunet,

directeur de recherche lINRA de bordeaux, de mavoir fait lhonneur dtre rapporteur de ce travail.

Le travail de thse est souvent considr comme un travail personnel mais cest aussi une petite

aventure collective. Jai eu la chance de passer ces trois annes dans un laboratoire ou lentraide est

importante, o il est ais de trouver une oreille rceptive son travail ou aux proccupations dun moment.

Je remercie donc tous ces membres, permanents ou de passage, davoir fait de ces trois annes une exp-

rience enrichissante tant sur le plan scientifique quhumain.

Commenons par les anciens : Jean-Benot, Jeff, Patrick, Olivier(s), Losamo, Manu, Naima, Pierre,

Rmy, Franck, Stphane et surtout Alain dont jai eu le plaisir et la chance de partager quelques mois le

bureau. Passionnant et passionn par la dcouverte des ples, il vit au moment mme ou jcris ces lignes

son rve en participant une expdition en Antarctique. Que ce soit le dbut dune longue srie.

Mon autre co-locataire du bureau S1-16 fut Hugues. Nous avons form un bureau souvent qualifi de

paisible . Jai pu apprcier ces nombreuses qualits tant humaines que scientifiques. Je le remercie pour

sa gentillesse, qualit des plus grande mes yeux, la complicit que nous avons et pour tous les bons mo-

ments passs ensemble. Chi va piano va sano e lontano, nest-ce pas Hugues ?

Comment ne pas remercier Jrme - gnreux et attentif - tant les changes ont t nombreux, efficaces

et profitables. Le travail en quipe pris avec lui une dimension que je ne connaissais pas jusqualors. Je

pense aussi Hadjira, virevoltante, insaisissable mais surtout adorable et Fred, dune grande gentillesse

et tout aussi adorable, Guillaume, Fred, Franois et Bassel. Les derniers arrivs au laboratoire, Boris,

Sandrille, Cdric, Claude, Damien et Philippe, se sont si vite intgrs que lon croirait les connatre depuis

bien plus longtemps. Je remercie galement tout particulirement Sylvie et Marie-Hlne de la socit

GERTRUDE.

Je remercie les permanents du laboratoire Eric, Natalie, David, Azis, Rmy et Jean pour leurs conseils

au cours de ces trois annes, les informaticiens Bernard et Sandrine quon a facilement tendance houspil-

ler au moindre bug, mais que lon ne remercie jamais assez dans le cas contraire, et Marie-Paule pour sa

relecture attentive du manuscrit.

Je remercie mes parents de mavoir donner le got des tudes et ne saurais conclure sans remercier et

ddier ce travail Stefania, tant sa comprhension et son soutien ont t dterminants ces dernires annes

mais surtout parce quelle illumine ma vie de mille feux.

Rsum :

La pollution gnre par la circulation automobile au cur de la ville ainsi que par les activits indus-trielles sa priphrie est un problme aigu des grandes cits. Une fois mis dans latmosphre, les polluants subissent deux types de contraintes : dune part ils ragissent chimiquement entre eux donnant naissance de nouveaux polluants tels que lozone, et dautre part ils sont transports par les vents. Nous avons choisi de travailler la fois sur les aspects dynamiques, thermiques et chimiques de la pollution et ce aux diffren-tes chelles des phnomnes : lchelle locale autour dun groupe de btiments et la mso-chelle pour la modlisation complte dune ville. Notre ambition nest pas de raliser un modle complet mais davancer pas pas sur chacun de ces aspects. Nous avons particip au dveloppement dun code de calcul qui pourra ensuite tre complt et utilis pour des tudes plus concrtes dpisodes de pollution. Le premier chapitre est consacr une description de la couche limite atmosphrique. Les chapitres deux et trois prsentent les modles utiliss et le rsultat de simulations numriques. Nous insistons particulirement sur les modles de turbulence k-, RNG et v2-f, sur les modles de rayonnement ainsi que les lois de paroi dynamiques et ther-miques permettant la prise en compte de la rugosit de surface. Le dernier chapitre est consacr la chimie de latmosphre. Nous avons galement dvelopp un solveur gnral traitant un nombre quelconque dquations de transport couples par une cintique chimique raide ainsi quune cintique simplifie de lozone.

Mots-cls : pollution, ville, modlisation, atmosphre, btiment, turbulence, rayonnement, chimie, ozone, couche limite

Summary :

Pollution generated by urban traffic and by industry at its periphery is a serious problem of our cities. Once emitted in the atmosphere, pollutants undergo two types of constraints: on one side they react chemi-cally one with another and, on the other side, they are transported by the wind. We have chosen to work on the dynamical, thermal and chemical aspects of the pollution at different scales of the phenomena: local scale (around a group of buildings) and meso-scale (a whole city). Our ambition is not to realize a complete model but to advance step by step on each aspect. We have contributed to the realization of a numerical tool that will be completed and used for concrete pollution episodes. The first chapter is a description of the at-mospheric boundary layer. Chapters two and three present models and results of numerical simulations. We stress on k-, RNG and v2-f turbulence models, radiative heat transfer models and dynamical and thermal wall laws that allow to take in consideration surface roughness. The last chapter is dedicated to atmospheric chemistry. We have moreover developed a general solver of any number of transport equations coupled by a stiff chemistry and simplified ozone kinetics.

Key words: pollution, city, modeling, atmosphere, building, turbulence, radiative heat transfer, chemis-try, ozone, boundary layer

SOMMAIRE

NOMENCLATURE...........................................................................................................1

INTRODUCTION..............................................................................................................7

CHAPITRE 1 PRSENTATION DE LTUDE..........................................................13 1.1 LA COUCHE LIMITE ATMOSPHERIQUE 13

1.2 LA COUCHE LIMITE URBAINE 15

1.3 LA CANOPEE URBAINE 17

CHAPITRE 2 DYNAMIQUE ET THERMIQUE LCHELLE LOCALE ..........21 2.1 LES EQUATIONS FONDAMENTALES 21

2.2 DES PROBLEMES TURBULENTS 23

2.2.1 Introduction.......................................................................................................23

2.2.2 Dcomposition de Reynolds .............................................................................24

2.2.3 Le concept de viscosit turbulente....................................................................26

2.2.4 Les modles k- et RNG ...................................................................................27

2.2.5 Le modle v2-f...................................................................................................30

2.3 PRISE EN COMPTE DU RAYONNEMENT SOLAIRE 32

2.3.1 Flux Solaire de Courte Longueur dOnde.........................................................33

2.3.2 Flux de Grande Longueur dOnde ....................................................................41

2.4 LES METHODES NUMERIQUES DE RESOLUTION 50

2.4.1 Un maillage dconnect de la gomtrie ..........................................................50

2.4.2 Discrtisation des quations..............................................................................51

2.4.3 Solutions informatiques pour la programmation des changes radiatifs ..........54

2.4.4 Une interface de calcul conviviale....................................................................55

2.5 SIMULATIONS NUMERIQUES 57

2.5.1 Cas tests 2D.......................................................................................................57 2.5.1.1 Marche descendante .............................................................................................. 57 2.5.1.2 Bloc bidimensionnel.............................................................................................. 63 2.5.1.3 Cylindre de section carre ..................................................................................... 68

2.5.2 Cas tests 3D.......................................................................................................73 2.5.2.1 Marche descendante .............................................................................................. 73

2.5.3 Simulations 3D..................................................................................................73

2.6 CONCLUSION 78

CHAPITRE 3 DYNAMIQUE ET THERMIQUE LCHELLE MSO ...............79 3.1 LES EQUATIONS FONDAMENTALES POUR LA COUCHE LIMITE ATMOSPHERIQUE 80

3.1.1 tat de rfrence ...............................................................................................80

3.1.2 Stabilit de latmosphre...................................................................................81

3.1.3 quations fondamentales ..................................................................................82

3.2 PROFILS POUR UNE COUCHE LIMITE DE SURFACE 84

3.2.1 Profil de vitesse pour une CLS neutre ..............................................................85

3.2.2 Influence de la stabilit de latmosphre ..........................................................87

3.2.3 Profils de temprature .......................................................................................88

3.2.4 Valeurs des variables turbulentes dans la CLS .................................................90

3.2.5 Prise en compte des fortes rugosits .................................................................90

3.3 TRAITEMENTS NUMERIQUES 91

3.4 VALIDATION DES LOIS DE PAROI 92

3.4.1 coulement avec un changement de rugosit du sol ........................................92

3.4.2 coulement avec un saut de temprature la paroi ..........................................95

3.5 CONCLUSION 97

CHAPITRE 4 CHIMIE ATMOSPHRIQUE..............................................................99 4.1 MISSION DES POLLUANTS 100

4.1.1 Gnralits ......................................................................................................100

4.1.2 Mthodologie pour un modle dmission .....................................................101

4.2 DISPERSION DES POLLUANTS 105

4.2.1 Description des quations gnrales pour la chimie .......................................105

4.2.2 Cintique chimique .........................................................................................109

4.2.3 Traitement numrique des quations de transport ..........................................113 4.2.3.1 Rsolution des systmes diffrentiels raides ....................................................... 114 4.2.3.2 Choix du schma dadvection.............................................................................. 118

4.2.4 Etude du schma TVD coupl la chimie atmosphrique .............................123

4.2.5 Un pr-processeur de chimie intgr au solveur.............................................130

4.3 UNE CINETIQUE CHIMIQUE DIURNE DE LOZONE SIMPLIFIEE 132

4.4 CONCLUSION 143

CONCLUSION ET PERSPECTIVES.........................................................................145

ANNEXE A DMONSTRATION DE LQUATION DE LNERGIE CINTIQUE TURBULENTE MOYENNE.......................................................................149

ANNEXE B CALCUL DE LAIRE DUN ARC DELLIPSE...................................153

ANNEXE C PRSENTATION DES FICHIERS DE DONNES DE LINTERFACE DU CODE DE CALCUL AQUILON.....................................................155

BIBLIOGRAPHIE.........................................................................................................163

1

NOMENCLATURE

Lettres romaines

A : acclration dun vhicule (m2.s-2)

ci : concentration dune espce chimique (molcule.cm-3)

Cp : capacit calorifique (J.kg-1.K-1)

Cd : coefficient de portance moyen (kg.s-2)

C. : constantes des modles de turbulence (.)

d : hauteur de dplacement (m)

D : coefficient de diffusion molculaire (m2.s -1)

Di : terme de dpt de lespce i (molcule.cm-3.s-1)

Ei : mission de lespce i (molcule.cm-3)

EV,T : mission dun vhicule V durant un temps T (g)

f : redistribution de lintensit turbulente (s -1)

: frquence de dtachement des tourbillons (Hz)

fij : facteur de forme entre deux surfaces Si et Sj (.)

fo : facteur dombre (.)

F : force de Coriolis (N)

Femp : facteur dmission unitaire pour un polluant p (g.m-1)

g : intensit de la force de gravit (N)

g : force de gravit (N)

G : terme de production dnergie cintique turbulente par gravit (kg.m-2.s-2)

NOMENCLATURE

2

h : angle horaire (rad)

H : hauteur de lobstacle (m)

i : angle dincidence du soleil par rapport une surface (rad)

I : intensit turbulente (.)

j : numro du jour dans le mois (.)

k : nergie cintique turbulente moyenne (m2.s -2)

: constante de vitesse des ractions chimiques (s-1 ou molcule-1.cm3.s-1)

K : coefficient de permabilit (m2)

: coefficient de diffusion turbulente (m2.s -1)

Kt : coefficient de transmission de latmosphre (.)

lr : longueur moyenne de la recirculation (m)

L : longueur caractristique dun coulement (m)

: longueur de Monin-Obukhov (m)

: terme de destruction (molcule.cm-3)

LV,T : longueur parcourue par un vhicule V durant le temps T (m)

LX : longueur dune rue X (m)

m : numro du mois (.)

mi : masse molaire de lespce i (kg)

Mi : masse molculaire de lespce i (kg)

ne : nombre de polluants (.)

p : pression (Pa)

pr : pression de rfrence (tat adiabatique et hydrostatique) (Pa)

P : terme de production des polluants (molcule.cm-3.s-1)

: terme de production dnergie cintique turbulente par cisaillement (kg.m-2.s-2)

QX,T : dbit de vhicules sur une rue X pendant le temps T (vh.s-1)

R : terme de production/destruction (molcule.cm-3.s-1)

Ra : nombre de Rayleigh (.)

Re : nombre de Reynolds (.)

Rf : nombre de Richardson de flux (.)

Ri : terme de production/destruction de lespce i (molcule.cm-3.s-1)

Ri : fluctuation de Ri (molcule.cm-3.s-1)

Sc : nombre de Schmidt (.)

NOMENCLATURE

3

St : nombre de Strouhal (.)

t : temps (s)

: heure locale apparente (h)

tj : date julienne (.)

T : temprature instantane (K)

: temps caractristique (s)

T : fluctuation de la temprature instantane (K)

T : temprature moyenne (K)

Ta : temprature sous abri (K)

T0 : temprature de rfrence (K)

Tr : temprature de rfrence (tat adiabatique et hydrostatique) (K)

U : vitesse caractristique dun coulement (m.s-1)

U0 : vitesse dentre (m.s-1)

Umoy : vitesse moyenne (m.s-1)

*u : vitesse de frottement (m.s-1)

u : vecteur vitesse instantane (m.s -1)

u : vecteur vitesse moyenne (m.s -1)

u : fluctuation du vecteur vitesse (m.s -1)

v2 : fluctuation de la vitesse (m2.s -2)

VT : vitesse dun vhicule (m.s-1)

w : vitesse angulaire de rotation de la Terre (rad.s-1)

x : vecteur position (m)

z0 : longueur de rugosit (m)

Z : angle solaire znithal (rad)

Lettres grecques

: angle entre laxe est/ouest et laxe longitudinal du repre considr (rad)

: coefficient de dilation thermique (K-1)

: inclinaison de la surface par rapport au plan horizontal (rad)

: dclinaison solaire(rad)

NOMENCLATURE

4

: azimut dune surface (rad)

: taux de dissipation de k (m2.s -3)

i : missivit de la surface Si (.)

: constante de von Karman (.)

: longueur caractristique (m)

: conductivit thermique (W.m-1.K-1)

: viscosit dynamique (kg.m 1.s -1)

t : viscosit turbulente (kg.m 1.s -1)

: viscosit cinmatique (m2.s -1)

: azimut solaire (rad)

: latitude (rad)

: pi (rad)

: masse volumique instantane (kg.m -3)

: masse volumique moyenne (kg.m -3)

0 : masse volumique de rfrence (kg.m -3)

r : masse volumique de rfrence (kg.m -3)

: (atmosphre adiabatique et hydrostatique) (kg.m -3)

: variable quelconque du problme

: densit de flux radiatif (W.m-2)

: constante de Stefan-Boltzman (kg.m4.s 1.K -4)

t : nombre de Prandtl turbulent (.)

: tenseur des contraintes (N.kg.m-2)

Espces chimiques

CO : monoxyde de carbone

CO2 : dioxyde de carbone

HC : hydrocarbures

HO2 : radicaux hydroproxyles

HNO3 : acide nitrique

NOMENCLATURE

5

NMHC : hydrocarbures non mthaniques

NO : monoxyde dazote

NO2 : dioxyde dazote

NOx : NO+NO2

O2 : oxygne

O3 : ozone

OH : radical hydroxyle

RO2 : radicaux proxyles

PAN : peroxyacylnitrates

SO2 : dioxyde de soufre

RCHO : aldhydes

Abrviations

CLA : couche limite atmosphrique

CLS : couche limite de surface

CLU : couche limite urbaine

DNS : direct numerical simulation

FD : flux solaire direct

FDH : flux solaire direct sur un plan horizontal

Fda : flux solaire diffus par latmosphre

Fde : flux solaire diffus par lenvironnement

FSCLO : flux solaire global de courte longueur donde

FGLO : flux de grande longueur donde

FIA : flux incident atmosphrique

FS : flux sortant par rayonnement

FE : flux incident reu de lenvironnement

NOMENCLATURE

6

Symboles mathmatiques

ij : symbole de Krnecker

I : matrice identit

: produit tensoriel

. : produit scalaire

t

: drive partielle par rapport au temps

: oprateur laplacien

: oprateur gradient

. : oprateur divergence

: symbole de sommation

: symbole dintgration t : oprateur de transposition

cos : fonction cosinus

sin : fonction sinus

7

INTRODUCTION

La pollution gnre par la circulation automobile au cur de la ville, et par les activits

industrielles sa priphrie, est un problme aigu des grandes cits urbaines dans lesquelles

nous vivons. Les rpercussions sur le bien tre de ses habitants sont nombreuses mais, bien

au-del, ce sont ses consquences sur la sant publique qui deviennent proccupantes.

Le problme de la pollution atmosphrique peut tre schmatis par le systme source-

vecteur-cible suivant :

Topographie - Vent - RadiationsMISSIONSgaz & particules

TRANSFORMATIONSchimiques & photochimiques

TRANSPORT

SANT PUBLIQUEENVIRONNEMENT

Figure 1 : le problme de la pollution atmosphrique schmatis

Une fois mis dans latmosphre par les vhicules ou les usines, les polluants alors dits

primaires - sont soumis deux types de contraintes : dune part ils ragissent chimiquement

entre eux, ce qui modifie leurs concentrations et donne naissance de nouvelles esp-

ces appeles polluants secondaires ; dautre part, ils sont transports dans latmosphre par les

INTRODUCTION

8

vents locaux et dominants, ce transport pouvant amener le dpt du polluant sur le sol, les

btiments, la vgtation, laccumulation dans certaines zones ou bien au transport hors de la

ville.

Un polluant en particulier montre bien le jeu de ces deux derniers phnomnes. Il sagit

de lozone (O3), cr par la photodissociation du dioxyde dazote (NO2) tout au long de la

journe, et transport la priphrie de la ville. Apparaissent ainsi des pics de concentration

en ozone au milieu de laprs-midi suite un pic dmission au dbut de la matine corres-

pondant lheure de pointe.

Les actions nocives des polluants sur lorganisme, rsumes dans le tableau suivant, sont

nombreuses et de plus ou moins grande gravit. Lors des pisodes de fortes concentrations en

polluants, ce sont en premier lieu les personnes fragiles (nourrissons, personnes ges, as-

thmatiques) qui en subissent les consquences.

Ozone (O3) Migraines, toux, altration des fonctions pulmonaires

Monoxyde de carbone (CO) Anorexie, vertiges, migraines, troubles de la vision

Oxydes dazote (NOx) Irritations, diminution des dfenses immunitaires et alt-ration des fonctions pulmonaires

Hydrocarbures (HC) Irritations oculaires, toux, actions cancrignes

Particules Transportent les polluants dans les poumons, attaquent les muqueuses nasales

Tableau 1 : actions nocives de quelques polluants sur lorganisme

Moins graves mais montrant tout aussi bien la nocivit de la pollution sont les dgts cau-

ss aux matriaux ou la vgtation. Il suffit de regarder la noirceur de nos villes pour sen

rendre compte. Ce sont les fortes concentrations en particules et fumes qui sont responsables

de ce phnomne. Quant lozone, il est particulirement actif en dtriorant les caoutchoucs.

Ceci a t remarqu Los Angeles o le taux de remplacement des pneumatiques tait plus

lev que dans dautres villes moins pollues lozone [Seinfeld, 1986]. Les polluants phyto-

INTRODUCTION

9

toxiques, comme le SO2 (dioxyde de soufre) ou les PAN (peroxyacetylnitrates), une fois dans

la feuille de la plante dtruisent la chlorophylle et perturbent la photosynthse, causant ainsi

une rduction de la croissance de la plante ou bien son dprissement.

La rduction de la visibilit qui accompagne gnralement les hauts niveaux de pollution

est peut tre le caractre le plus vident constat par tout un chacun. Elle est provoque par le

diffusion et labsorption de la lumire par les polluants gazeux et particulaires. Elle dpend de

la position du soleil dans le ciel ce qui fait que le smog peut avoir diffrentes couleurs selon le

moment de la journe. Le dioxyde dazote NO2 est le principal polluant gazeux qui absorbe le

rayonnement solaire mais des taux relativement faibles par rapport labsorption particu-

laire.

Les moyens daction. La question se pose alors de savoir comment minimiser limpact de la pollution atmosphrique sur les populations. La rponse nest pas unique et

plusieurs approches sont considrer et gnralement menes de front : il faut viser une

meilleure fluidit du trafic automobile, dvelopper les transports en commun, mettre en place

des rseaux de capteurs de polluants, favoriser le transport 2 roues, sensibiliser la population,

amliorer les technologies automobiles et les carburants. Ces mesures ont t suivies avec

plus ou moins de russite et ont conduit une diminution des concentrations pour les princi-

paux polluants (disparition du plomb dans lessence, rduction des missions de CO...).

Pourquoi modliser ? Une approche originale est celle de la modlisation, qui conduit la ralisation dun modle de qualit de lair permettant de dterminer les niveaux

de pollution aux diffrentes chelles dune ville . Ces modles viennent en complment des

rseaux de capteurs dont le nombre est, en raison de leur cot, toujours limit. Un modle de

qualit de lair peut tre un outil daide la dcision pour les municipalits : il permet en effet

de mesurer la rpercussion sur les niveaux de pollution de toute modification apporte au sys-

tme de voirie ou la politique de transport en commun. La modification initialement prvue

pourra, selon les rsultats du modle, tre effectue ou au contraire revue pour une amliora-

tion. Des simulations de scnarii types dpisodes de pollution sont aussi ralisables, afin

darriver une meilleure comprhension des phnomnes physiques rencontrs ainsi qu la

mise en place dune politique durgence la plus adapte la situation. On peut imaginer plus

long terme un couplage direct un systme de gestion du trafic et une raction en temps rel

sur la gestion des feux (et donc la densit de trafic) en fonction des niveaux de pollution.

INTRODUCTION

10

Problme multidisciplinaire. La ralisation dun modle de qualit de lair est linterface de plusieurs disciplines que sont notamment la chimie atmosphrique, la mcani-

que des fluides et les transferts thermiques. Le pralable l'tude du transport des polluants

est une bonne connaissance des coulements urbains. Il s'agit d'coulements dans les basses

couches de l'atmosphre, plus prcisment dans la couche limite urbaine que nous pouvons

ds maintenant dfinir comme la partie de la couche limite atmosphrique dont les caractris-

tiques dynamiques et thermiques sont modifies par la prsence des constructions urbaines et

de l'activit humaine qui y rgne. Ce sont typiquement des problmes de thermique et de m-

canique des fluides. Comme nous le verrons, les polluants ragissent chimiquement et photo-

chimiquement entre eux ce qui influe fortement sur les concentrations, do limportance de

la chimie dans les modles de qualit de lair.

Problme dchelle. Nous sommes de toute vidence face un problme dchelle tant les ordres de grandeurs des phnomnes physiques - dont quelques exemples sont donns

ci-aprs - sont variables :

Hauteur de la couche limite urbaine : 1-3 km

Hauteur dinhalation des polluants : 1,70 m

Largeur dune rue : 20 m

Dure de vie de lozone : 2 h

Dure de vie du radical hydroxyle OH : 1 s

Longueurs caractristiques de la turbulence : du mm au km

Face ces chelles varies, il existe diffrents modles gnralement classs selon des

chelles fonction des caractristiques spatiales et temporelles des phnomnes quils modli-

sent. Pour les coulements atmosphriques, plusieurs classifications existent dont celles

dOrlanski [Orlanski, 1975] et de Smagorinsky [Smagorinsky, 1974]. Nous ferons rfrence

ce dernier qui dfinit les chelles suivantes :

INTRODUCTION

11

chelle micro : 10-2 - 103 m

chelle locale : 102 - 5.104 m

chelle mso : 104 - 2.105 m

chelle macro : 105 - 108 m

Notre approche. Nous avons choisi de travailler la fois sur les aspects dynamiques, thermiques et chimiques de la pollution. Il est bien vident que notre ambition nest pas de

raliser un modle complet de modlisation de la pollution atmosphrique mais davancer pas

pas sur chacun de ces aspects en dveloppant des mthodes adaptes aux problmes que

nous rencontrons. Elles sintgrent un code de calcul dj existant qui pourra ensuite tre

complt et utilis pour des tudes plus concrtes dpisodes de pollution.

Nous avons galement choisi de travailler sur plusieurs chelles savoir lchelle locale

qui correspond aux coulements lchelle du btiment, et lchelle mso correspondant

celle de la ville. Le chapitre un de cette tude est consacr une description physique de la

couche limite atmosphrique, les chapitres deux et trois prsenteront les modles mathmati-

ques utiliss et le rsultats de simulations numriques, respectivement lchelle locale et

mso. Le chapitre quatre sera consacr la chimie atmosphrique. Une mthodologie identi-

que sera utilise pour chacun de ces problmes. Il faut dans un premier temps, par une appro-

che thorique, identifier les quations qui les modlisent, puis dterminer les mthodes num-

riques les mieux adaptes et enfin les valider par une comparaison lexprience sur une srie

de cas tests.

13

CHAPITRE 1

PRSENTATION DE LTUDE

1.1 La couche limite atmosphrique

De nombreux ouvrages traitent la couche limite atmosphrique. Nous citerons notam-

ment ceux de Stull [Stull, 1988], de Oke [Oke, 1987] et de De Moor [De Moor, 1983]. La

troposphre est scinde en deux parties : une couche limite dans sa partie basse coiffe

dune couche libre (cf. figure 1.1).

La couche libre est la partie suprieure de la troposphre dans laquelle le vent est d-

termin par de grands mouvements densemble lchelle de la plante. Il rsulte de

lquilibre entre les forces de pression et la force de Coriolis due la rotation de la Terre.

Le vent est appel dans cette zone vent gostrophique.

mesure que lon se rapproche de la surface, les forces de frottement de lair sur la

surface terrestre rentrent en jeux. Dun point de vue dynamique, la couche limite atmos-

phrique (CLA) est la zone de latmosphre au voisinage du sol dans laquelle se rpercute

directement, par viscosit , ladhrence au sol de lcoulement. Elle donne alors nais-

sance des couches cisailles. Dun point de vue thermique, cest la zone de latmosphre

au voisinage de la surface terrestre dans laquelle la variation diurne du rayonnement solaire

est directement perceptible. Cest dans cette zone que lon retrouve les thermiques si ch-

CHAPITRE 1 PRSENTATION DE LTUDE

14

res aux passionns de vol voile, formes de grands rouleaux convectifs causs par le r-

chauffement de lair au voisinage dun sol chaud. La hauteur de la couche limite atmosph-

rique, qui varie en permanence dans le temps et dans lespace, est comprise en moyenne

entre 100 et 3000 mtres. La totalit de la troposphre est en fait influence par la surface

mais le temps de rponse de la CLA des modifications des conditions la surface est

rapide, de lordre de lheure [Stull, 1988]. Cest une autre et importante de ses caractristi-

ques. Enfin, dans la CLA, le transport des diffrentes quantits que nous rencontrons (tem-

prature, polluants...) est principalement influenc horizontalement par le vent et vertica-

lement par la turbulence.

La structure de la CLA pour les zones hautes pressions est reprsente sur la figure

1.1. Elle est variable selon lheure de la journe et se compose le jour dune couche de m-

lange (mixed layer) domine par les phnomnes turbulents favorisant les mlanges des

quantits tudies, la nuit dune couche rsiduelle moins turbulente de stratification neutre

et dune couche nocturne rendue stable par le contact dun sol froid. Elle est peu turbu-

lente. Les forces dterminant le vent dans cette zone sont les forces de pression, de frotte-

ment, de Coriolis et dArchimde.

Figure 1.1 : structure de la couche limite atmosphrique [Stull, 1988]

1.2 La couche limite urbaine

15

sa base est prsente une couche de surface paisse de quelques dizaines de mtres

dans laquelle les caractristiques de latmosphre varient de moins de 10%. Dans cette

rgion la force de Coriolis est ngligeable. La couche de surface est compose dune cou-

che rugueuse dont lpaisseur est de lordre de 1 3 fois la hauteur de la rugosit et dont

les caractristiques trs irrgulires sont fortement influences par les dimensions et la r-

partition des lments rugueux. Au-dessous de la couche rugueuse, se trouve la couche

laminaire qui na que quelques centimtres dpaisseur : elle se trouve en contact direct

avec la surface et est domine par les effets visqueux.

Enfin, la couche limite atmosphrique est coiffe par une zone dentranement qui at-

tire latmosphre moins turbulente prsente au-dessus de la couche de mlange, ce qui

augmente la hauteur de cette dernire. La zone dentranement est souvent caractrise par

une stabilit thermique qui bloque les ascensions dair. Cest donc une zone par laquelle

les polluants ne schappent pas.

1.2 La couche limite urbaine

La couche limite urbaine (CLU) est un cas particulier de la couche limite atmosphri-

que. L'allure de la CLU varie en permanence entre deux extrmes : par vent fort, celle clas-

sique d'une couche limite sur plaque plane et par vent faible celle d'un dme domin par

les effets thermiques (cf. figure 1.2).

Ce qui la diffrencie nettement de la couche limite atmosphrique est lexistence au-

dessus des villes dun lot de chaleur, caractris par des tempratures plus leves qu'au-

dessus de la campagne environnante. Nous pouvons tous constater ce phnomne lhiver

en observant la quantit de givre sur les pare brise de voitures. Les vhicules sortant de

lagglomration en sont gnralement dpourvus alors que ceux venant de la priphrie,

moins denses en constructions, sont couverts dune pellicule blanche. Des carts de temp-

rature (fonction du vent et du nombre d'habitants) allant jusqu' 12 [Oke, 1987] ont t

relevs.


16

Figure 1.2 : structure de la couche limite urbaine [Mestayer, 1995].

Les causes d'un tel phnomne sont multiples :

activit anthropique - chauffage domestique, rejets de polluants... - qui r-

chauffe latmosphre et altre le bilan radiatif ;

diminution des vents due la prsence des constructions qui rduit lapport

dair frais ;

modification du bilan thermique de la surface en raison de la prsence des b-

timents : on observe au niveau des villes une absorption accrue des radiations

solaires provocant une diminution de lalbdo1de surface des villes [Aida,

1982]. La figure 1.3, sur laquelle on constante que le rayonnement incident est

pig lintrieur du canyon (rue borde de btiments), illustre ce phnomne.

1 proportion du rayonnement incident au rayonnement rflchi par une surface.

1.3 La canope urbaine

17

Figure 1.3 : rflexions multiples dans un canyon [Mestayer, 1995]


Cest la partie basse de la couche limite urbaine proximit directe du sol dans la-

quelle sont tudis les coulements entre les btiments. En raison de l'htrognit de la

topographie des villes, leurs structures sont particulirement complexes, composes de

couches de cisaillement, recirculations, sillages...

Aspect dynamique. Oke [Oke, 1998] a tudi en soufflerie lcoulement dans une rue borde de deux immeubles et a montr lexistence de trois rgimes fonction de la di-

mension des btiments et de la distance les sparant (figure 1.4 et 1.5). Si les btiments

sont bien espacs les uns des autres, lcoulement sapparente une succession de structu-

res identiques autour de btiments isols (figure 1.4a). Lorsque lcart diminue, les sillages

sont perturbs. Lcoulement en aval dun btiment est renforc par une dflexion au ni-

veau de la face amont du btiment suivant (figure 1.4b). Lorsque le rapport W/H est encore

plus faible (figure 1.4c), la rue se referme et une recirculation stablit lidentique dune

rue lautre. Lcoulement est alors dit rasant.


18

(a) coulement structures isoles

(b) coulement sillages perturbs (c) coulement rasant

Figure 1.4 : structure des coulements derrire des btiments [Oke, 1988].

Le figure 1.5 situe ces 3 types rgimes en fonction de la gomtrie des rues et bti-

ments :

coulement structures isoles

coulement sillages perturbs

coulement rasant

Figure 1.5: influence de la gomtrie des rues sur les coulements [Oke, 1988].

Lcoulement autour dun btiment, malgr une gomtrie des plus basique, est dune

grande complexit (figure 1.6). Il a t notamment tudi exprimentalement par Castro et

Robins [Castro & Robins, 1977] ainsi que par Martinuzzi et Tropea [Martinuzzi & Tropea,


19

1993]. Quand le fluide atteint le cube, un tourbillon en forme de fer cheval sentoure au-

tour de lui proximit du sol et se prolonge en aval. Le sillage est caractris par une tur-

bulence accrue et des vitesses horizontales plus faibles que dans la zone non perturbe.

Lcoulement revient vers le cube pour scraser contre la face sous le vent. On peut noter

ou non la prsence dun recollement sur la partie suprieure de lobstacle, et ceci en fonc-

tion de sa longueur et du niveau de turbulence.

Figure 1.6 : reprsentation schmatique de lcoulement autour dun obstacle cubique [Martinuzzi & Tropea, 1993]

Aspect thermique. La prise en compte du rayonnement solaire et des changes ra-diatifs entre les btiments est de premire importance, puisque la modification du bilan

thermique de surface, en raison de la prsence des btiments, est une des causes de

lexistence dun lot de chaleur au-dessus des villes [Oke, 1987]. En effet, pour une mme

superficie au sol, la surface totale offerte au rayonnement solaire est plus grande la ville

qu la campagne. Le rayonnement solaire est rflchi plusieurs fois dans les structures de

base de la ville appeles canyons (rue borde de btiments de chaque ct). La temprature

moyenne au-dessus des villes peut alors tre comme nous lavons dj voqu de 5C

12C suprieure celle de la campagne environnante [Oke, 1987]. La convection naturelle

sy dveloppe, aussi bien lchelle du quartier qu celle plus locale. Cest ce qua illustr

Levi-Alvares [Levi-Alvares, 1991] en simulant les coulements schmatiss sur la figure

1.7 dans un canyon, dune part en rgime isotherme, et dautre part en chauffant un des


20

deux btiments. La recirculation principale est alors scinde en deux en raison des phno-

mnes de convection qui naissent le long du btiment de droite.

+5

Figure 1.7 : recirculations dans un canyon avec ( droite) et sans ( gauche) diffrence de temprature entre les deux btiments

De nombreux paramtres entrent en ligne de compte pour modliser ces coulements,

tels que la dtermination de lintensit du rayonnement solaire, les rflexions du rayonne-

ment entre btiments ou la dtermination des masques et ombres portes. Ces aspects, d-

terminants pour la simulation de nos problmes, sont galement pris en compte lors de

ltude de la conception des btiments et du confort thermique dans les habitations [Boyer,

1993 ; Pignolet-Tardent, 1996].

21

CHAPITRE 2

DYNAMIQUE ET THERMIQUE

LCHELLE LOCALE

Nous prsentons dans cette partie la modlisation des coulements autour de btiments.

Nous verrons que les quations fondamentales de la mcanique des fluides que nous utilisons

doivent tre compltes, en raison du caractre turbulent des phnomnes, par un modle de

turbulence. Nous en tudierons trois dans la section 2.2. Suivent une prsentation et un choix

des mthodes destimation des diffrents flux solaires et dchange radiatif entre les obstacles.

Les outils numriques permettant la rsolution des quations ainsi que la validation des m-

thodes sur des cas tests et le rsultat de simulations numriques tridimensionnelles cltureront

ce chapitre.

2.1 Les quations fondamentales

Lapproche eulrienne des phnomnes est retenue et nous utilisons les quations dter-

ministes de la mcanique des fluides : quations de conservation de la masse (2.1) , de Na-

vier-Stokes (2.2) et de lnergie (2.4).

CHAPITRE 2 DYNAMIQUE ET THERMIQUE LCHELLE LOCALE

22

Nous faisons lhypothse dcoulement incompressible et rduisons les forces extrieures

au seul champ de pesanteur (la force de Coriolis est ngligeable car le nombre de Rossby est

infrieur 1). Les quations scrivent alors :

0 u. (2.1)

pesanteurde forcescontrainte

destenseur .)).(( guu

tu

+=+

(2.2)

o est dfini pour un fluide Newtonien par la relation suivante :

s visqueusescontraintepression)( uuI t ++= p (2.3)

radiatifflux

conductiondeflux advection

locale variation

.

).().(

=+ TT

tTC p u (2.4)

La masse volumique est ici variable, fonction de la temprature. Le systme, compos des

quations (2.1) (2.4), est complt par la loi dtat suivante :

( ))1 00 TT( = (2.5)

o 0 et T0 sont la masse volumique et la temprature de rfrence, et le coefficient de

dilatation isobare dfini pour le gaz parfait par :

0

11TT p

=

(2.6)

2.2 Des problmes turbulents

23


2.2.1 Introduction

L'tude des coulements atmosphriques est un domaine passionnant de la mcanique des

fluides de part les enjeux rencontrs (climatologie, prvisions mtorologiques, protection de

l'environnement...) mais aussi de part la nature mme des coulements faisant lobjet de nom-

breuses recherches fondamentales ou appliques. Que les chelles de travail soient continenta-

les, rgionales ou plus locales comme pour notre tude, la turbulence est toujours prsente.

Lesieur [Lesieur, 1994] la dfinit comme un systme dynamique imprvisible, dsordonn,

possdant de fortes proprits de mlange, un caractre dissipatif et faisant intervenir une trs

large gamme d'chelles spatiales2.

Deux nombres sans dimension caractrisent en gnral le rgime turbulent. Tous les deux

comparent, dun point de vue gnral, les facteurs dstabilisateurs aux facteurs

stabilisateurs [de Moor, 1983]. Lorsque le rapport de ces deux forces est suprieur une

valeur critique, le rgime dcoulement est alors turbulent. Le premier est le nombre de Re-

ynolds qui est le rapport des forces dinertie aux forces de viscosit. Si U et L sont une vitesse

et une longueur caractristiques de lcoulement et la viscosit cinmatique du fluide, il

scrit :

ULRe = (2.7)

Pour un coulement de couche limite - L reprsentant une abscisse - la transition se fait

aux environs de Re=5.105.

La turbulence peut aussi provenir de mouvements convectifs provoqus par des variations

de temprature qui induisent par le jeu des forces dArchimde des mouvements ascendants.

La viscosit soppose ces mouvements et lon peut dfinir un autre nombre sans dimension

2 chelles spatiales allant de la dimension transversale du domaine une chelle de quelques millimtres corres-pondant aux effets de dissipation visqueuse.


24

comme le rapport des forces convectives lies un gradient de temprature aux forces de vis-

cosit. Cest le nombre de Rayleigh qui scrit, pour lcoulement entre deux plaques horizon-

tales spares dune distance L, la plaque suprieure la temprature T0, lautre la tempra-

ture T0+T, par la relation suivante :

0

3

TTgLRa = (2.8)

Pour une valeur suprieure 50000 lcoulement est considr comme turbulent.

En ce qui concerne les coulements que nous rencontrons, il est ais de voir quils sont

fortement turbulents puisque pour une couche limite de 1000 mtres de longueur et une vi-

tesse de 15 m.s-1 le nombre de Reynolds est de lordre de 109. Le nombre de Rayleigh est plus

difficilement applicable la couche limite atmosphrique, mais si lon se place par exemple

entre deux btiments, lun lombre et lautre au soleil, distants de 20 mtres, la diffrence de

temprature minimum qui induira un coulement turbulent dun point de vue convectif est de

lordre de 8.10-5 .

2.2.2 Dcomposition de Reynolds

Dans l'absolu, le systme d'quations fondamentales que nous avons prsent dans le cha-

pitre prcdent permet de modliser la turbulence dans toutes ses chelles puisquelles sont

nettement supra-molculaires [Ha Min, 1993]. Cest lapproche de la simulation directe

(DNS), mais un maillage dans chaque direction de l'ordre Re3/4 est alors ncessaire pour traiter

les plus petites chelles de la turbulence. Nous atteignons ainsi, pour des nombres de Re-

ynolds atmosphriques, les limites de l'informatique actuelle.

Cependant, malgr le caractre alatoire de la turbulence, il est possible par une approche

statistique de modliser les coulements turbulents. Cette approche consiste l'aide d'un sys-

tme d'quations appropri filtrer les irrgularits de la turbulence pour nen retenir quune

valeur moyenne.


25

Le passage des quations dterministes aux quations statistiques repose sur la dcompo-

sition de Reynolds o tout champ ( = u, T ou p) se dcompose en un champ moyen3 et

en un champ fluctuant de moyenne nulle :

),('),(),( ttt xxx += (2.9)

La moyenne est l'origine une moyenne d'ensemble (moyenne stochastique), c'est dire

qu'elle est prise sur un ensemble d'expriences effectues dans des conditions identiques.

L'hypothse d'ergodicit [Favre, 1976] - il est quivalent de considrer une exprience rpte

une infinit de fois ou une seule exprience mene l'infini dans le temps - permet le passage

des moyennes temporelles, et par consquent un traitement statistique des quations. Les

quations ne sont alors a priori valables que pour des coulements stationnaires mais dans la

pratique elles sont largement utilises pour les cas instationnaires.

Un systme pour les champs moyens. Pour des coulements faible nombre de Mach, il est courant de considrer comme ngligeables les fluctuations de la masse volumique

[Schiestel, 1993], ce qui se traduit par la relation suivante :

= (2.10)

En remplaant dans les quations fondamentales les expressions instantanes des champs

par leur expression sous la forme de la relation (2.9), et en moyennant les quations obtenues,

on obtient le systme suivant :

0 u. (2.11)

guuuuu +=++ .)''()).((

t (2.12)

3 lopration moyenne vrifie les proprits classiques de linarit, de commutativit avec les oprations de dri-

vation de dintgration, et didempotence gfgf .. = .


26

).(=)''C.()).(t

(C pp TTTT ++

uu (2.13)

))(1( 00 TT = (2.14)

De part la non-linarit des quations Navier-Stokes et de l'nergie, des inconnues sup-

plmentaires apparaissent. Ces corrlations doubles (termes de Reynolds '' uu et ''TC p u )

rendent le systme ouvert : il comporte plus d'inconnues que d'quations. Diffrentes mtho-

des de fermeture ont t proposes. Nous ne dvelopperons que le concept de viscosit turbu-

lente, les autres approches figurant dans de nombreux ouvrages de mcanique des fluides et

de turbulence [Favre & al., 1976 ; Launder & al., 1984].

2.2.3 Le concept de viscosit turbulente

En considrant que linteraction entre le champ moyenn et le champ fluctuant se rduit

un terme de dissipation et en suivant une approche analogue celle dveloppe pour exprimer

le terme de contraintes visqueuses dans le cas de fluide Newtonien, les contraintes de Rey-

nolds peuvent tre modlises par la relation de Boussinesq suivante :

)(32'' uuuu ++= ttijk (2.15)

o k , lnergie cintique turbulente moyenne par unit de masse, joue le rle dune pres-

sion turbulente due aux mouvements dagitation. Elle est dfinie par :

''.21 uu=k (2.16)

La viscosit turbulente t est dfinie comme le produit de la masse volumique par le carr

dune vitesse et dun temps caractristiques de lcoulement. Les modles reposant sur ce

concept consistent donc expliciter des relations algbriques ou bien des quations pour ces

deux nouvelles variables k et t.


27

La fermeture de lquation pour la temprature (2.13) est base sur le mme principe. Le

flux turbulent de chaleur fluctuante sexprime par la relation :

TTt

t =

''u (2.17)

o t est le nombre de Prandtl turbulent.

Les quations Navier-Stokes et de lnergie se rcrivent donc comme suit. Il reste alors

valuer la viscosit turbulente et lnergie cintique turbulente.

guuuuu +++++=+ )))(.(()

32()).(( ttkpt

(2.18)

)TC=TtTC

t

tpp ++ ).(()).((

u (2.19)

2.2.4 Les modles k- et RNG

Le modle k- [Launder & Spalding, 1974] est certainement le modle le plus rpandu.

La viscosit turbulente est donne par la relation :

2kct = ( 2.20)

o , taux de dissipation visqueuse de lnergie cintique turbulente, est donn par :

':' uu t= (2.21)

Les deux quations de fermeture s'crivent (cf. Annexe A pour la dmonstration de

lquation en k) :


28

+++=+ GPkk

tk

k

t )).(()).(( u (2.22)

kC

kGCPC

tt

2

231 )()).(()).((

+++=+ u (2.23)

avec :

)::( uuuu += tt trP (2.24)

TGt

t = g.

(2.25)

Les constantes, dtermines empiriquement par les auteurs du modle, sont donnes dans

le tableau suivant :

C C1 C2 k t C1C3

0,09 1,44 1,92 1 1,3 1 0,7

Tableau 2.1 : constantes du modle k-

Pour tenir compte de la prdominance des forces de viscosit prs des parois, des lois

complmentaires doivent tre introduites pour dterminer la valeur des diffrentes variables

du problme au premier nud aprs une paroi (nud P). Elles sont ici simplifies puisque les

lois classiques sur la vitesse et lnergie cintique turbulente ne sont pas introduites : u et k

sont calcules jusquaux parois par les quations prcdentes et dtermin au nud P par la

loi suivante [Parneix, 1995] :


29

yk

C pp

2/34/3= (2.26)

avec :

, constante de von Karman gale 0,42

y, distance du nud P la paroi.

Ce modle est trs rpandu de part sa simplicit, sa robustesse et sa facilit de mise en

uvre. Bien que les aspects gnraux des coulements soient bien simuls, il apparat certai-

nes insuffisances dues notamment la valeur des constantes et au fait que le modle est trop

diffusif. Les modifications apportes au modle k- sont nombreuses, dont notamment les

extensions suivantes :

le modles k- deux couches [Chen & Patel, 1988] qui, proximit des parois, uti-

lise un modle une quation (pour k) et exprime laide dune longueur carac-

tristique dtermine par une formule algbrique fonction du nombre de Reynolds

local ;

le modle k- bas Reynolds [Jones & Launder, 1972] qui largit son domaine de

validit aux zones dcoulement laminaires ou de transition proximit des pa-

rois. Les constantes sont rendues dpendantes du nombre de Reynolds et des ter-

mes complmentaires sont ajouts aux deux quations pour tenir compte du carac-

tre non-isotrope du processus de dissipation.

le modle k- tendu [Chen & Kim, 1987], qui ajoute un terme lquation du

taux de dissipation pour que le transfert dnergie rponde plus efficacement la

dformation moyenne de lcoulement, rend le modle moins diffusif ;

le modle RNG, dvelopp par le groupe de renormalisation [Yakhot & Smith,

1992] et que nous avons implant dans le code. Il consiste en une estimation au

cours du calcul de la constante C1, remplace dans lquation de dissipation par

C1 donne par lexpression 2.27. Cette expression ajoute un terme fonction du


30

taux de dformation lquation du taux de dissipation le rendant ainsi moins

diffusif.

30

1'1 1

)1(

+

= cc (2.27)

avec :

t

Pk

= (2.28)

Les constantes du modle RNG ont pour valeur :

C C1 C2 k t C1C3 0

0,085 1,42 1,68 0,7179 0,7179 1 0,7 4,377 0,012

Tableau 2.2 : constantes du modle RNG

2.2.5 Le modle v2-f

Il a t dvelopp par Durbin [Durbin, 1991] et reprsente une volution du modle k-. Il

a t test sur divers coulements comme les coulements dcollement [Durbin, 1995] ou

limpact dun jet sur une plaque chauffe [Behnia et al., 1996], et constitue une relle amlio-

ration au niveau des profils de vitesse ou des transferts thermiques.

La viscosit turbulente cinmatique sexprime comme le produit du carr dune vitesse et

dun temps caractristiques de lcoulement. Dans le modle k-, lnergie cintique turbu-

lente reprsente le carr de la vitesse caractristique. Or, prs des parois, cette dernire est

plutt reprsente par la fluctuation de la vitesse normale aux lignes de courant v2 que par k.


31

Par consquent, le modle k- ne prend pas correctement en compte lannulation de la viscosi-

t turbulente prs des parois.

Dans le modle v2-f la viscosit turbulente dynamique est exprime par la relation :

TvCt2

= (2.29)

De cette faon, le modle tient compte de lanisotropie de la turbulence prs des parois. T

est le temps caractristique de la turbulence dfini par la relation suivante :

= 21T )

(C ,kmaxT (2.30)

Aux quations lgrement modifies de k et est alors rajoute une quation de transport

pour v2. Le systme se rsume aux quations suivantes :

++= kP

dtdk

k

t )(. (2.31)

++=

)(.2'1 t

TCPC

dtd (2.32)

++= 2

k

t22

v)(.

kvkf

dtdv (2.33)

o P est le terme de production dnergie cintique turbulente moyenne.

La variable f, qui reprsente la redistribution de lintensit turbulente - kf tant le terme de

production de f -, est value par lquation elliptique suivante :


32

kPC

TkvCfLf ff 2

2

122 32)1( += (2.34)

o L est la longueur caractristique donne par :

= 1/4

3

3/2

L )(C ,

kmaxCL (2.35)

Les constantes sont les suivantes :

C C1 *1C C2 Cf1 Cf2 CT CL C k

0,19 1,55 0,04 1,9 1,4 0,3 6 0,3 70 1 1,3

Tableau 2.3 : constantes du modle v2-f

et

+= 2

*11

'1 1 v

kCCC

2.3 Prise en compte du rayonnement solaire

La principale source de convection dans les villes est le rchauffement du sol par le

rayonnement solaire. Les transferts thermiques dans latmosphre et dans les btiments par

conduction et convection sont traits, comme nous le verrons section 2.4.1, lors de la rsolu-

tion de lquation de lnergie grce l'utilisation dun maillage dconnect de la gomtrie

tudie. Il reste dterminer les transferts par rayonnement qui se dcomposent en un flux

solaire de courte longueur donde et un flux dchange de grande longueur donde entre les

surfaces des btiments et des rues (figure 2.1). Ce seront des termes sources de lquation de

lnergie.


33

FGHA

Fda

FD

FIA

FdeFS

FS

FIE

FIA : flux incident atmosphriqueFIE : flux incident reu de

lenvironnementFS : flux sortant

FGHA: flux solaire hors atmosphreFD : flux solaire directFda : flux solaire diffus par

latmosphreFde : flux solaire diffus par

lenvironnement

Flux de courte longueur donde

Flux de grande longueur donde

Figure 2.1 : les diffrents flux radiatifs

Les chapitres suivants reprennent et dveloppent les rsultats dune publication parue en

1999 [Glockner et al., 1999].

2.3.1 Flux Solaire de Courte Longueur dOnde

Le flux solaire global de courte longueur donde (FSCLO) reu par une surface place ho-

rizontalement sur le sol est frquemment mesur par les stations mtorologiques, en gnral

toutes les heures. Mais cette information nest pas suffisante puisque nous sommes en pr-

sence de btiments, possdant des surfaces verticales, ou bien de rues pousant le relief et

donc possdant une inclinaison par rapport lhorizontale. Notre objectif est alors de dter-

miner le flux solaire global reu par une surface autre quhorizontale.

Limage dun disque solaire au contour net reprsente la portion du rayonnement solaire

qui atteint directement un observateur [Pielke, 1984] : cest le flux solaire direct. loppos,

par temps couvert, le soleil nest pas visible et tout le flux solaire est diffus par latmosphre.

Ce rayonnement est ensuite absorb par la surface terrestre, compose du sol et des construc-

tions, mais une partie est galement rflchie par le sol et les btiments vers latmosphre, ou


34

aussi vers les btiments. Nous dcomposons donc le flux solaire global en la somme dun flux

solaire direct FD et dun flux solaire diffus par latmosphre Fda et par lenvironnement Fde

(flux anisotrope) :

FSCLO = FD + Fda + Fde (2.36)

Les sections suivantes prsentent un bilan non exhaustif des mthodes existantes, le choix

que nous avons fait, ainsi que leurs adaptations aux espaces urbains.

Flux solaire direct FDH sur un plan horizontal. Lebru [Lebru, 1983] a test huit modles destimation de flux solaire direct sur des mesures effectues Trappes (Yvelines) et

Carpentras (Vaucluse). Ils sont bass sur une corrlation empirique donnant le flux direct so-

laire en fonction du coefficient de transmission de latmosphre Kt. Ce dernier est le rapport

du flux global hors atmosphre normal aux rayons solaires (FGHA=1370 W.m-2 en moyenne)

au flux global mesur au sol sur un plan horizontal FGH.

Pour tenir compte de la variation de la distance Terre-Soleil, le flux hors atmosphre

sexprime de faon plus prcise par la formule suivante dans laquelle Z est langle solaire

znithal (cf. q. 2.42), m le numro du mois et j le numro du jour dans le mois :

FGHA=1370 ( 1 + 0,034 cos ( 30 ( m 1 ) + j ) cosZ (2.37)

La seule donne dentre est donc le flux solaire sur un plan horizontal mesur par les sta-

tions mtorologiques laide dun pyranomtre. Lebru a retenu comme modles les plus

performants celui de Erbs et al. [Erbs et al., 1981] ainsi que celui de Orgill et Hollands [Orgill

et Hollands, 1976], formules polynomiales en Kt. Ce dernier est dcrit par les quations sui-

vantes :


35

=>

=

=

177,0 0,8

84,1557,1 ]75,0 ; 35,0[

249,01 ]35,0 ; 0[

GH

DHt

tGH

DHt

tGH

DHt

FFKsi

KFFKsi

KFFKsi

(2.38)

Plus rcemment, Perez [Perez, 1990a] compare sur une plus grande base de donnes ba-

layant tout type de climat - dsertique, continental, mditerranen, en atmosphres urbaines

pollues... - trois modles : les modles de Erbs et al., de Skartveit et Olseth [Skartveit et Ol-

seth, 1987] et celui de Maxwell [Maxwell, 1987]. Pour les deux derniers, lintroduction dun

paramtre physique (la distance znithale) amliore les rsultats. Des trois modles, celui de

Maxwell, bien quil soit dans certaines conditions dpass par celui de Skartveit et Olseth, est

dans lensemble le plus performant. Ce modle repose comme les autres sur des corrlations

empiriques mais galement sur une description physique du ciel.

Enfin, Perez [Perez, 1992] a modifi le modle de Maxwell en introduisant un facteur dy-

namique par la prise en compte des changements de condition densoleillement (et ventuel-

lement de la temprature du point de rose). Le modle, qui a gagn en complexit, est aussi

plus proche des mesures effectues l aussi pour tout type de climat. Cest celui que nous

avons retenu.

Passage un plan dinclinaison quelconque. Le passage du plan horizontal un plan dorientation quelconque ncessite la dtermination de la position du soleil par rapport

la surface. Pour une surface dont la normale fait un angle i avec la direction des rayons solai-

res (figure 2.3), le flux direct incident reu est :

iFF DHD cos= (2.39)

Cet angle peut sexprimer l'aide de relations de trigonomtrie sphrique en fonction de

la position gographique (latitude et longitude), de la position du soleil dans le ciel (azimut,

angle znithal et angle horaire) et de la position de la surface [Oke, 1987]. Ces formules font

appel aux angles et temps suivants (cf. figure 2.2) :


36

, la latitude du lieu ;

, la dclinaison solaire : angle entre la direction des rayons solaires et le plan

quatorial. Elle sexprime en fonction de la date julienne tj (numro du jour com-

pris entre 1 et 365) par la relation :

+=

365)10(360

cos4,23 jt

(2.40)

Z, langle solaire znithal : angle entre le znith et la direction des rayons solaires ;

t, lheure locale apparente : elle correspond lheure locale ramene au mridien

de Greenwich en ajoutant (ou soustrayant) 4 minutes par degr de longitude est

(ouest) laquelle on ajoute une correction algbrique en raison des variations du

taux de rotation de la Terre au cours de lanne ;

h, langle horaire : angle dont doit tourner la terre pour que le lieu en question soit

directement sous les rayons solaires de telle sorte que Z soit gal zro. Il est

donn par la relation suivante (la Terre effectue une rotation de 15 en une heure) :

)12(15 th = (2.41)

, lazimut solaire : angle entre la projection des rayons solaires sur le plan qua-

torial et la direction du nord gographique.

coshcoscossinsincos +=Z (2.42)

12ht si Z

-2

12ht si Z

>=


37

Z

Plan quatorial

h

N

Znith

Figure 2.2 : angles dans un repre quatorial

Une fois langle znithal exprim, langle dincidence i est donn par la relation suivante

dans laquelle est linclinaison de la surface par rapport au plan horizontal et son azimut

(cf. figure 2.3) :

)cos(coscossinsincos += ZZi (2.44)

Plan horizontal

Znith

N

i

Z

n

n

Figure 2.3 : angles relatifs une surface incline


38

Flux solaire diffus par latmosphre Fda. En traversant latmosphre, le flux so-

laire est rflchi par les particules solides, liquides ou gazeuses quil rencontre. Une partie est

rflchie hors atmosphre, lautre atteint la surface terrestre : cest le flux diffus par

latmosphre.

Les mthodes frquemment rencontres se scindent en deux catgories : isotropes et ani-

sotropes. Nous cartons les mthodes isotropes mieux adaptes une valuation journalire

quhoraire de ce flux. Sachant que sa dtermination est de premire importance dans

lestimation du flux solaire total, nous avons retenu la mthode la plus prcise actuellement

bien que plus coteuse en temps de calcul. Il sagit de la mthode de Perez [Perez, 1987], re-

commande par lIEA (International Energy Agency). Pour tenir compte des deux effets prin-

cipaux d'anisotropie dans latmosphre (diffusion par les arosols, diffusion de Rayleigh et

rtrodiffusion prs de lhorizon), la vote cleste caractre isotrope sont superposs les

effets de la zone circumsolaire, de lhorizon et du znith. Cette mthode a t valide et com-

pare dautres modles pour tout type de climat [Perez, 1990b] et a donn des rsultats trs

satisfaisants.

Flux solaire diffus par lenvironnement Fde. Le flux diffus par lenvironne-

ment provient de la rflexion du rayonnement solaire global (direct+diffus par latmosphre)

sur les surfaces constitutives de la ville (sols, toits, murs). Nous avons vu en introduction quil

tait une des causes de la formation de l'lot de chaleur au-dessus des villes. En nous limitant

une seule rflexion isotrope (hypothse vraisemblable pour des surfaces rugueuses pour les-

quelles le coefficient de rflexion est faible), le flux solaire diffus par lenvironnement reu

par une surface Si scrit :

+=ij

jjSS

jjiDdade fFFF )1()( (2.45)

o j est lmissivit de surface.

Adaptation aux espaces urbains. Les mthodes prcdemment exposes ont t mises au point pour des surfaces dgages de tout obstacle et ncessitent donc une adaptation

au cas de surfaces issues dune rue, dun toit ou dun btiment. La premire modification r-


39

side en fait dans la dtermination dun facteur multiplicatif du flux direct que nous appelons

facteur dombre fo. Si la surface est lombre il prend la valeur 1, sinon la valeur 0.

Nous le dterminons pour une surface Si donne en fonction de la position du soleil dans

le ciel (repr par son azimut et sa hauteur znithale) et de la position des btiments autour de

Si. Pour cela, nous centrons un repre horizontal sur Si dont le troisime axe est confondu avec

la verticale. Nous construisons ensuite des pyramides dont la base est forme des diffrentes

facettes des btiments. Puis, une comparaison des azimuts et des hauteurs des extrmits des

pyramides avec ceux du soleil permet de savoir si la direction du soleil est dans cette pyra-

mide directionnelle. Si tel est le cas, la surface est lombre. Sur la figure suivante, lazimut

de la position (1) et (3) du soleil est compris entre ceux de la pyramide. Dans le cas (1), le

soleil est au-dessus du btiment et claire donc la surface, contrairement au cas (3). Dans le

cas deux, aucun obstacle nentrave les rayons lumineux.

(1)

(2)

(3)

Figure 2.4 : pyramide directionnelle pour le calcul des ombres

Cette mthode a t programme pour un nombre quelconque de btiments. La figure 2.5

reprsente les ombres projetes par des btiments de la place Gambetta Bordeaux diff-

rents moments de la journe.


40

La seconde adaptation concerne la mthode de Perez. En effet selon lendroit o lon se

trouve dans la ville, lhorizon ne sera pas visible (par exemple depuis une rue borde de bti-

ments), la zone circumsolaire non plus et le ciel ne le sera que partiellement. Il faut donc faire

intervenir le facteur dombre mais aussi le facteur de forme entre le ciel et Si dont la dtermi-

nation est explicite dans le chapitre suivant.

Figure 2.5 : ombres projetes par les btiments de la place Gambetta Bordeaux diffren-

tes heures de la journe : (a) lever du soleil (f) coucher du soleil

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)


41

2.3.2 Flux de Grande Longueur dOnde

Pour une surface Si, le bilan radiatif de grande longueur donde (FGLO) se dcompose en

la somme dun flux sortant et de deux flux entrants, lun provenant de latmosphre et lautre

des surfaces environnantes non masques. Si nous assimilons les surfaces rencontres Si des

corps gris dmissivit i, il scrit :

+=

FIE

ijjjij

FIA

cielcielicieli

FS

ii TfTfTFGLO444 (2.46)

o

FIA est le flux incident atmosphrique.

FS est le flux sortant

FIE est le flux incident reu de lenvironnement constitu des surfaces Sj apparte-

nant aux autres constructions.

Le coefficient de rflexion des surfaces tant faible, nous ne considrons pas les r-

flexions de ces flux entre les btiments et vitons ainsi davoir traiter des problmes de ra-

diosit. Le bilan 2.46 ncessite la dtermination de certaines quantits obtenues par les m-

thodes prsentes ci-aprs.

Dtermination du Flux Incident Atmosphrique FIA. Jimnez [Jimnez, 1987] a rappel limportance de ce flux sans lequel la temprature de la surface de la Terre

serait infrieure de 30 40 C sa temprature actuelle. Devant la difficult de dterminer

une missivit et une temprature du ciel, dautres paramtres permettent de modliser ce

flux. On trouve gnralement la temprature sous abri, la pression de vapeur saturante et la

temprature du point de rose. Il a compar diffrents modles empiriques et analytiques

une srie de mesures effectues Barcelone par temps clair et pour une grande gamme de

temprature et dhumidit. Les rsultats des diffrents modles sont proches des mesures et

comparables entre eux pour des tempratures suprieures 0C. Ils sont par contre inadapts


42

aux tempratures ngatives. La multiplication des paramtres cits ci-dessus ne semble pas,

pour le cas de Barcelone, produire damlioration particulire. Nous avons retenu le modle

de Idso et Jackson [Idso et Jackson, 1969] dans lequel le flux incident atmosphrique FIA0 par

temps clair sexprime en fonction de la temprature de surface mesure sous abri par la rela-

tion :

FIA0 T cead Ta= 4 2731

2( )( ) (2.47)

avec c=7,77 10-4 K -2 et d=0,261.

Par temps couvert, le calcul du flux incident atmosphrique se fait par la prise en compte

des diffrentes couches de nuages. Le modle de Boltz [Monteith, 1973] s'crit suivant la rela-

tion suivante :

+= )A)Ak((FIAf iiociel-iciel 1FIA (2.48)

o A est la couverture nuageuse totale, Ai la couverture de la i me couche et ki une cons-

tante empirique fonction de la nature de la couche.

Lmissivit du ciel peut tre exprime en fonction de la pression partielle de vapeur

deau e0, du coefficient de transmission de latmosphre Kt ainsi que de la temprature de lair

Ta par la relation [Aubinet, 1994] :

40 )341,013ln6,1294( atciel TKe ++= (2.49)

Dtermination des facteurs de formes. La difficult principale dans l'valuation de lquation (2.46) rside dans la dtermination des facteurs de forme fij. Cest un nombre

sans dimension qui reprsente la fraction dnergie qui quitte une surface Si et atteint une au-

tre surface Sj. Cest un facteur purement gomtrique qui dpend de la distance sparant les

surfaces et de leur orientation relative (figure 2.6). Il est calcul par la formule suivante :

=i j

ji S S jiji

iSS dSdSr

S

f 2coscos1 (2.50)


43

Si

dSi

Sj

dSj

rin

jn

j

i

Figure 2.6 : facteur de forme en deux surfaces Si et Sj.

Groleau et Marenne [Groleau & Marenne, 1992] ont dvelopp une mthode simple, pr-

cise et efficace en terme de temps de calcul. Cest une mthode gomtrique qui donne des

rsultats exacts ( lerreur machine prs) pour le calcul du facteur de forme entre une surface

lmentaire dSi et une surface Sj polygonale. Elle est base sur lanalogie de Nusselt qui mon-

tre lquivalence entre le facteur de forme et une surface issue dune double projection de Sj

(figure 2.7).

Figure 2.7 : projections dans lanalogie de Nusselt


44

Considrons la formule du calcul du facteur de forme entre une surface lmentaire dSi et

une surface finie Sj :

=j

ji S j2ji

SdS dSrcoscos

1f (2.51)

Dans lexpression prcdente, j2j dS

rcos

est la surface lmentaire dSj, projection de dSj

sur une sphre de rayon unit centre en dSi. Lquation (2.51) se rcrit donc de la faon

suivante :

= 'j

ji S

'jiSdS dS

f cos1 (2.52)

dans laquelle 'cos jidS est la surface lmentaire dSj, projection orthogonale de dSj sur

le plan de base de la sphre. Lquation (2.52) se rcrit donc :

''jS

''jSdS S

dS

f''j

ji

11 == (2.53)

o Sj est donc la double projection de Sj.

Calculer cette surface quivaut donc dterminer le facteur de forme. Pour cela, on note

tout dabord que la projection sur la sphre dun segment de droite est un arc dun grand cer-

cle de la sphre, qui, luimme projet sur le plan de base, devient un arc elliptique. La sur-

face Sj se compose donc darcs elliptiques dont il suffit dintgrer les fonctions. Le dtail du

calcul de cette aire est report Annexe B. Cest cette mthode que nous avons programme.

Pour le calcul de facteur de forme entre 2 surfaces Si et Sj positionnes de faon quel-

conque lune par rapport lautre, une discrtisation de Si simpose et amne calculer par la

mthode prcdente autant de facteurs de formes quil y a dlments discrtiss Si. Le fac-

teur de forme final est donn par la relation suivante o N est le nombre dlments discrti-

ss :


45

=

=Ni

iSSi

SS SfSf

jiji,1

1 (2.54)

Notons que cette mthode possde lavantage de ne procder qu une simple discrtisa-

tion contrairement des mthodes beaucoup plus rpandues (hmi-cube, mthode de Spencer,

intgration numrique...), ce qui se traduit par un gain au niveau du temps de calcul et de la

prcision.

Nous avons pu vrifier le bon comportement de cette mthode sur des cas pour lesquels la

solution analytique est disponible [Siegel & Howell, 1984 ; Kreith, 1962] avec des prcisions

relatives de lordre de lerreur machine pour le calcul des facteurs de forme entre surfaces

lmentaires et surfaces finies.

La figure 2.9 reprsente lerreur relative en fonction de la racine carre du nombre de

points de calcul, pour lvaluation du facteur de forme entre deux carrs de ct unit, ayant

une arte commune, et inclins l'un par rapport l'autre d'un angle de 45(cf. figure 2.8a). On

peut noter que trs vite une bonne prcision est atteinte. La seconde partie de la figure repr-

sente, pour un maillage de 162, la prcision relative en fonction de la distance qui spare deux

carrs parallles de ct unit (cf. figure 2.8b). On remarque, qu maillage gal, plus la dis-

tance entre les surfaces est grande, meilleure est la prcision de la mthode. Ce dernier point

est intressant et permet de limiter le temps de calcul des facteurs de forme.

45

(a)

(b)

Figure 2.8 : position relative des deux carrs pour le calcul des facteurs de forme


46

00.002

0.0040.0060.008

0.01

0.0120.014

0 50 100 150Nombre de points dans chaque direction

Erre

ur re

lativ

e

(a)

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0 5 10 15Distance sparant les deux carrs (m)

Erre

ur re

lativ

e

(b)

Figure 2.9 : prcision relative du calcul du facteur de forme entre deux carrs en fonction du nombre de points de discrtisation dans chaque direction (a) et de la distance entre les deux

carrs (b).

Les deux figures suivantes montrent les courbes du facteur de forme lorsque lon fait va-

rier la distance entre les deux plans de 0 1 pour diffrentes discrtisations et lorsque lon fait

varier langle entre 0 et 180. On remarque le bon comportement gnral du code mais ga-

lement dans les cas limites o les deux plans sont confondus o lorsque langle est de 0 ou de

180. Le facteur de forme vaut alors 1 ou 0.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0Distance sparant les deux carrs (m)

Fact

eur d

e fo

rme

NP=1 NP=2 NP=4 NP=8 NP=16 Th.

Figure 2.10 : facteur de forme en fonction de la distance entre deux carrs parallles de cot

unit et pour diffrents nombres de points de discrtisation dans chaque direction


47

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180Angle entre les deux carrs ()

Fact

eur d

e fo

rme


Figure 2.11 : facteur de forme en fonction de langle entre deux carrs de cot unit ayant un

ct commun et pour diffrents nombres de points de discrtisation dans chaque direction

Enfin, nous avons test une troisime configuration (cf. figure 2.12) savoir deux rectan-

gles possdant un ct en commun et inclins lun par rapport lautre de 90. Nous faisons

varier la longueur transversale du rectangle et visualisons sur la figure 2.13 les valeurs prises

par le facteur de forme. On constate que le comportement aux limites est nouveau cohrent,

aussi bien lorsque d vaut 0 que lorsquil est grand, le facteur de forme dans ce dernier cas ten-

dant vers une valeur asymptotique.

90

1

d

1

Figure 2.12 : position relative des deux rectangles pour le calcul des facteurs de forme


48

0.000.050.100.150.200.250.300.35

0 5 10 15 20Longueur d'un ct du rectangle (m)

Fact

eur d

e fo

rme


Figure 2.13 : facteur de forme entre deux rectangles ayant un ct commun, spars dun

angle de 90 en fonction de la longueur dun ct du rectangle et pour diffrents nombres de points de discrtisation dans chaque direction

Le caractre polygonal des surfaces est ici un impratif puisque la mthode repose sur la

projection de segments de droite. Pour des surfaces courbes, une discrtisation en polygones

de ces dernires est ncessaire. Nanmoins, il est noter que pour les structures urbaines que

nous rencontrons, cette restriction est en gnral sans effet.

Dans le cas dun maillage cartsien il nest pas possible de travailler directement partir

des volumes de contrle puisque les obstacles peuvent se trouver de biais par rapport au mail-

lage. Donc, avant dvaluer le facteur de forme entre deux lments du maillage, il faut proje-

ter le volume de contrle sur la surface relle savoir le mur, le toit ou la rue. Cest partir de

cette surface projete que sera applique la mthode dcrite ci-dessus.

Dtermination des masques. Si lon isole deux surfaces solides dans un quartier, elles peuvent tre visibles ou invisibles l'une de l'autre, en raison de la prsence de btiments

les masquant. Donc, pralablement au calcul des facteurs de forme et afin de limiter le nom-

bre de calculs de ces derniers, une estimation des masques doit tre effectue.

Partant des volumes de contrle issus de la discrtisation du domaine, nous les projetons

sur les surfaces physiques (mur, rue ou toit). Deux surfaces sont alors masques si le segment

joignant les deux centres des surfaces est intercept par un btiment. Ceci implique que deux

surfaces seront entirement ou non visibles lune de lautre. Il serait bien entendu possible de

2.4 Les mthodes numriques de rsolution

49

calculer les masques pour chacun des lments discrtiss des surfaces mais cela alourdirait

les calculs. Dun point de vue pratique, le calcul des masques se fait avant lestimation des

facteurs de forme, qui sont alors calculs seulement entre surfaces visibles.

Nous illustrons le calcul des masques par la figure 2.14 qui reprsentent les parties des

btiments et des rues visibles depuis une surface dvaluation S, sous deux points de vue dif-

frents.

Figure 2.14 : valuation des surfaces visibles depuis une surface S (deux points de vue diff-rents de la mme scne)


Les quations de la mcanique des fluides et de la turbulence nont pas de solutions

analytiques connues. Les mthodes numriques que nous utilisons visent dterminer les

valeurs approches des diffrentes variables du problme sur un nombre fini de points du

domaine dtude (spatial et temporel).

La mthodologie numrique utilise est celle dveloppe pour le code de calcul

AQUILON du laboratoire MASTER ; cest un code traitant de nombreux problmes de m-

canique des fluides et de thermique - coulements compressibles ou incompressibles, mono-

phasiques ou diphasiques, turbulents ou laminaires, bi ou tridimensionnels - pour lequel le

choix des mthodes numriques sest fait sur des critres de stabilit et de solidit. Il repose

sur quelques concepts originaux que nous dcrivons ci-dessous.


50

2.4.1 Un maillage dconnect de la gomtrie

Une particularit du code AQUILON est lutilisation dun maillage dconnect de la

gomtrie tudie (figure 2.15) qui permet le traitement dans sa globalit dun milieu htro-

gne fluide/solide. En attribuant chaque maille un coefficient de permabilit K qui tend

pour des cas limites vers linfini pour la phase fluide et vers 0 pour la phase solide, il est pos-

sible de traiter le problme de faon globale par lajout dun terme de Darcy uK aux qua-

tions de Navier-Stokes. On obtient alors les quations de Brinkman gnralises (quation

2.55). Lorsque le milieu est fluide (K), ce terme devient ngligeable et lorsque le milieu

est solide (K=0), ce terme est prpondrant et impose par le passage dans le solveur une vi-

tesse nulle.

uguuuuuK

ttkpt ++++++=+

)))(.(()

32()).(( (2.55)

Ce principe est tendu aux autres quations, notamment lquation de lnergie pour la-

quelle la conductivit thermique prend des valeurs diffrentes selon la phase o le calcul est

effectu. Il est ainsi possible de s'affranchir de la dtermination d'un bilan de surface afin de

dterminer la temprature de surface des btiments et des rues. La conduction dans les murs et

dans les sols est simule, en imposant par exemple une temprature un mtre sous le sol

(temprature constante, indpendante des fluctuations du rayonnement solaire [Cauteret,

1987] et une temprature l'intrieur des btiments (typiquement 20C). Le problme est

alors trait dans sa globalit.


51

Figure 2.15 : le concept de maillage unique

2.4.2 Discrtisation des quations

Schmas en temps. Les quations sont discrtises implicitement en temps par le schma dEuler dordre 1 pour les coulements stationnaires et par le schma de Gear dordre

2 pour les coulements instationnaires. La discrtisation est crite de faon gnrale par

lutilisation des coefficients g1, g2 et g3 :

tggg

t

nnnn

++=

+

+ 132

11

1 (2.56)

g1=1 et g2=-1 : schma dEuler

g1=3/2, g2=-2, g3=1/2 : schma de Gear

Linarisation et dcouplage des quations. La linarisation des quations de Navier-Stokes se fait en crivant les termes non linaires deux temps diffrents. Les qua-

tions de Navier-Stokes sont dcouples de celles de la thermique et de la turbulence de la

mme faon. En se limitant aux quations de Navier-Stokes et de lnergie, le systme discr-

tis scrit alors :


52

111

111

)(.((

)32()).((

+++

+++

+++

+++

nntnnt

nnnnnnn

n

K-))

kp-=t

uuu

guuuun

(2.57)

)).((=)).(( 1111

++++

++ n

t

nt

pnn

nn

pn TCT

tTTC

u (2.58)

Couplage vitesse/pression. La mthode du lagrangien augment [Fortin & Glo-winski, 1982] permet de dcoupler les champs de vitesse et de pression. Cest une mthode

itrative qui consiste, partir dun champ de pression initial, rsoudre les quations de Na-

vier-Stokes modifies par lintroduction de la contrainte de divergence nulle, puis calculer

un nouveau champ de pression laide dune quation de continuit modifie. Elle permet de

saffranchir des conditions aux limites sur la pression. Entre deux itrations en temps, on

opre L itrations du lagrangien augment prsentes ci-dessous :

=

+

+++

+++

+++

++

++

+++++

LlnLlnLln

LlnLln

LlnLlnnt

nnnLlnLlnLlnLlLl

n

dppp

dr

kpt

//)1(/

//

/t/

/)1(//)1(/)1(/

.

K- .

)))(.((

)32(-=)).((

u

uu

uu

guuuunn

(2.59)

Les paramtres dp et dr sont en gnralement gaux et leurs valeurs sont relativement

constantes dun cas lautre.

Discrtisation. Les quations sont ensuite discrtises sur un maillage cartsien par la technique des volumes finis [Patankar, 1980]. Cette mthode consiste intgrer les quations

sur un volume de contrle centr en chacune des mailles. Il est alors ncessaire de connatre la


53

valeur des variables linterface des volumes de contrle. Afin de limiter les interpolations,

un maillage dcal en vitesse-pression (cf. figure 2.16) est utilis : les composantes de la vi-

tesse ne sont pas calcules sur la grille principale mais sur deux grilles dcales dans le sens

de la composante de la vitesse considre (horizontalement pour la composante horizontale et

ainsi de suite).

Figure 2.

these polution dans la ville

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