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UNIVERSITÉ MOHAMMED V – AGDAL FACULTÉ DES SCIENCES
Rabat N° d’ordre : 2342
THÈSE DE DOCTORAT
Présentée par
DIKRALLAH Adil
Discipline : Physique
Spécialité : Sciences du Bois
Titre : Etude de la typologie des défauts des arbres sur pied, analyse de l’anisotropie acoustique et détection des
altérations par tomographie : Application au Cèdre de l’Atlas (Cedrus atlantica Manetti)
Soutenue le 25 juin 2007
Devant le jury Président : A. HAKAM : Professeur à la Faculté des Sciences de Rabat. Examinateurs : A. FAMIRI B. KABOUCHI A. MERLIN M. RAHOUTI A. SESBOU
: Docteur d’état, Chercheur au Centre de Recherches Forestières Rabat. : Professeur à la Faculté des Sciences de Rabat. : Professeur à l’Université Henri Poincaré Nancy 1, France. : Professeur à la Faculté des Sciences de Rabat. : Professeur à l’Ecole Nationale Forestière d’Ingénieurs, Salé.
Invité : M. ZIANI : Docteur, Professeur assistant à l’Institut National des Sciences de
l’Archéologie et du Patrimoine, Rabat.
Faculté des Sciences, 4 Avenue Ibn Battouta B.P. 1014 RP, Rabat – Maroc Tél. +212 (0) 37 77 18 34/35/38, Fax: +212 (0) 37 77 42 61, http://www.fsr.ac.ma
À la mémoire de ma mère
AVANT-PROPOS
Ce travail a été réalisé dans le cadre de l’Unité de Formation et de Recherche (U.F.R.)
en Sciences du Bois de la Faculté des Sciences de Rabat, Université Mohammed V- Agdal, sous la direction du Professeur Abdelillah Hakam, en collaboration avec le Centre de Recherches Forestières (CRF - Rabat) et le Centre de Coopération International en Recherche Agronomique pour le Développement (C.I.R.A.D.), Montpellier, France.
J’exprimer ma profonde gratitude a mon Directeur de thèse, Abdelillah Hakam,
Professeur à la Faculté des Sciences de Rabat, Université Mohammed V- Agdal et responsable du Laboratoire des Sciences et Technologies du Bois (L.S.T.B.) qui m’a accueilli et guidé tout au long de mon initiation. Je le remercier pour la confiance qu’il m’a accordée, pour sa patience et ses encouragements.
Je tiens à remercier tout particulièrement tous ceux qui ont contribué à l’encadrement de ce travail. Messieurs : Henri Bailleres et Loïc Brancheriau du CIRAD Forêt, Montpellier, Abdelhak El Abid et Abderrahim Famiri du Centre de Recherches Forestières - Rabat, Haut Commissariat aux Eaux et Forêts et à la Lutte Contre la Désertification, Joseph Gril, Directeur de Recherches au CNRS, Université Montpellier 2 – France, Bousselham KABOUCHI, Professeur à la Faculté des Sciences de Rabat et Mohsine Ziani, Professeur à l’Institut National des Sciences de l’Archéologie et du Patrimoine - Rabat, trouvent ici l’expression de ma gratitude.
Je voudrais remercier Messieurs : André Merlin, Professeur à l’Université Henri
Poincaré Nancy 1 - France, Mohamed Rahouti, Professeur à la Faculté des Sciences de Rabat, Abdessadek Sesbou, Professeur à l’Ecole Nationale Forestière d’Ingénieurs (E.N.F.I.) de Salé, d’avoir accepté de juger ce travail.
Mes remerciements s’adressent également à Monsieur Jean GERARD, Chercheur au
CIRAD - Forêt de Montpellier - France, pour leurs encouragements, disponibilités et les discussions fructueuses pendant les stages réalisés au CIRAD - Forêt de Montpellier.
J’aimerai remercier l’ensemble des personnes du Laboratoire des Sciences et Technologies du Bois ainsi que de l’Unité de Formation et de Recherche (U.F.R.) en Sciences du Bois, en particulier Messieurs : M. El Kortbi, M. Hachmi, A. Machouh, B. Moulfih, H. El Rhaleb, A. EL Amarti, Z. Harroudi, A. El Alami, M. Ismaili, M. Ghanmi, M. Walia Allah, M. Mourad, M. Banouq, E. Ouboumalk, et Y. Saidi, ainsi que Monsieur ZOUGLAT, Professeur a la Faculté des Sciences de Rabat, qui m’ont aidé tout au long de cette étude, pour leur support technique et pour les contacts humains que nous avons pu partager.
SOMMAIRE INTRODUCTION ...................................................................................................................... 1 PARTIE I: Etude de la typologie et caractérisation des défauts du bois de cèdre (Cedrus atlantica Manetti)........................................................................................................................ 4 CHAPITRE I: Etude de la typologie et caractérisation des défauts du bois de cèdre
(Cedrus atlantica Manetti) .............................................................................. 4 I.1- Introduction ...................................................................................................................... 4 I.2- Matériel et méthodes ........................................................................................................ 4
I.2.1- Zone d’étude........................................................................................................... 4 I.2.2- Observations qualitatives ....................................................................................... 4 I.2.3- Mesures dendrométriques ...................................................................................... 4 I.2.4- Mesures photographiques....................................................................................... 5 I.2.5- Etude de la variabilité physique et mécanique....................................................... 7
I.2.5.1- Echantillonnage .............................................................................................. 7 I.2.5.2- Etude de la variabilité radiale de l’humidité et de l’infra-densité .................. 8 I.2.5.3- Etude de la variabilité radiale des propriétés mécaniques.............................. 8
I.2.5.3.1- Détermination de la résistance en compression axiale ....................... 8 I.2.5.3.2- Détermination du module d’élasticité et de cisaillement en flexion
dynamique .......................................................................................... 9 I.2.5.3.3- Détermination du module d’élasticité et de la résistance en flexion
statique. .............................................................................................. 10 I.2.5.3.4- Détermination des modules d’élasticité transverse. .......................... 12
I.3- Résultats et discussions .................................................................................................... 14 I.3.1- Analyse qualitative des défauts.............................................................................. 14 I.3.2- Analyse quantitative des défauts............................................................................ 14 I.3.3- Variation en fonction de la hauteur........................................................................ 15 I.3.4- Variation dans le plan transverse ........................................................................... 15 I.3.5- Variabilité physique et mécanique intra-arbre ....................................................... 16
I.3.5.1- Variation radiale de l’humidité et de l’infra-densité ...................................... 17 I.3.5.2- Variation radiale du module d’élasticité et du module de cisaillement.......... 18 I.3.5.3- Variation angulaire de la contrainte de rupture et du module élastique dans
le plan transverse............................................................................................ 19 I.3.5.4- Relation entre les caractéristiques physiques et mécaniques ......................... 19
I.3.6- Relation entre les mesures dynamiques et statiques .............................................. 21 I.3.7- Effet de la dégradation sur les propriétés mécaniques et physiques de base ......... 22
II.3- Conclusion ....................................................................................................................... 23 PARTIE II : Etude de faisabilité et mise au point d’une technique non destructive pour l’évaluation des défauts de bois .............................................................................................. 25 CHAPITRE II : Etude bibliographique .................................................................................. 25 II.1- Introduction.................................................................................................................... 25 II.2- Méthodes d’évaluation de la qualité du bois ............................................................... 25 II.3- Evaluation de la qualité du bois à partir de son comportement acoustique ............ 26
I.2.1- Approches expérimentales et théoriques en comportement acoustique................. 26 I.2.2- Influence de la structure du bois sur son comportement acoustique...................... 29
I.2.3- Influence de l’humidité et de la température sur le comportement acoustique...... 31 II.4- La tomographie acoustique pour l’évaluation de la qualité du bois ......................... 33 II.5- Conclusion ...................................................................................................................... 34 CHAPITRE III : Matériel et Méthodes ................................................................................... 35 III.1- Introduction .................................................................................................................. 35 III.2- Matière végétale............................................................................................................ 35 III.3- Appareillage .................................................................................................................. 36 III.4- Réglage de l’appareillage............................................................................................. 37 III.5- Conditions expérimentales .......................................................................................... 37 III.5- Mesure des vitesses de propagation ............................................................................ 37 III.7- Analyse de l’anisotropie acoustique............................................................................ 39
III.7.1- Principe de l’expérimentation.............................................................................. 39 III.7.2- Protocole expérimental ........................................................................................ 39 III.7.3- Mesure des caractéristiques mécaniques ............................................................. 41 IV.7.4- Mesure de l’humidité et de la densité.................................................................. 42 IV.7.5- Effet de l’humidité et de la densité sur la vitesse de propagation ....................... 42
III.8- Etude tomographique .................................................................................................. 43 III.8.1- Détection des défauts artificiels........................................................................... 43 III.8.2- Principe de l’expérimentation.............................................................................. 43 III.8.3- Simulation d’un défaut artificiel.......................................................................... 44 III.8.4- Repérage des sondes tomographiques ................................................................. 45 III.8.5- Mesures tomographiques..................................................................................... 46 III.8.6- Reconstruction tomographiques .......................................................................... 47
CHAPITRE IV : Etude et analyse de l’anisotropie acoustique du matériau bois .............. 49 IV.1- Introduction ................................................................................................................... 49 IV.2- Etudes comparative ....................................................................................................... 49
IV.2.1- Comparaison entre méthodes de calcule des vitesses de propagation ................ 49 IV.2.2- Comparaison des performances de deux cartes d’acquisition............................. 50
IV.3.- Analyse de l’anisotropie acoustique transverse ......................................................... 51 IV.3.1- Effet de l’orthotropie transverse sur la vitesse de propagation ........................... 51 IV.3.2- Comparaison entre propagation transverse et propagation guidées ................... 52 IV.3.3- Comparaison entre les deux sens possible de propagation ................................. 53 IV.3.4- Effet des conditions expérimentales.................................................................... 55
a) Effet de l’encastrement .......................................................................................... 55 b) Effet d’une charge additionnelle............................................................................ 56
IV.3.5- Effet de la densité sur la vitesse de propagation ................................................. 57 IV.3.6- Effet de l’humidité sur la vitesse de propagation................................................ 58 IV.3.7- Variabilité des modules d’élasticité et des modules de cisaillement dans le plan
transverse........................................................................................................... 59 IV.3.8- Effet des caractéristiques mécaniques................................................................. 59
IV.4- Modélisation de la propagation des vibrations acoustiques dans le bois ................. 60 IV.4.1- Modélisation de l’effet du gradient d’humidité et de la densité ................ 60 IV.4.2- Modélisation numérique de l’anisotropie acoustique ................................ 61
IV.5- Mesure des vitesses de propagation de référence ........................................................ 63 IV.5.1- Propagation dans le plan transverse............................................................ 63 IV.5.2- Répétabilité des mesures............................................................................. 64
IV.5.3- Simulation de la propagation d’ondes acoustique ...................................... 65 IV.6- Conclusion ...................................................................................................................... 67 CHAPITRE V : Détection des défauts dans le bois par mesures des vitesses de propagation et tomographie acoustique .................................................................................. 68 V.1- Introduction ..................................................................................................................... 68 V.2- Détection des défauts artificiels par la mesure des vitesses de propagation.............. 68
V.2.1- Détection d’un vide central.................................................................................... 68 V.2.2- Détection d’une hétérogénéité centrale ................................................................. 70 V.2.3- Détection des défauts artificiels par analyse tomographique ................................ 71
V.2.3.1- Analyse statistiques des résultats .................................................................. 71 V.2.3.2- Comparaison des vitesses de propagation de détection ................................ 72
V.3- Comparaison des images reconstituées par tomographie acoustique ........................ 73 V.4- Détection des défauts naturels par tomographique acoustique .................................. 75
V.5.1. Analyse des résultats................................................................................................ 75 V.5.2. Reconstruction des images tomographiques ........................................................... 78
V.5- Pertinence de la technique.............................................................................................. 79 V.6- Conclusion........................................................................................................................ 81 CONCLUSION GENERALE ................................................................................................. 82 REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES ............................................................................... 84
ANNEXES................................................................................................................................. 94
A.1. Beam Identification by Non-destructive Grading (BING) .......................................... 94
A.2.1. Présentation générale ............................................................................................... 94 A.2.2. Calcul mécanique..................................................................................................... 95 A.2.3. Principe d’acquisition et de traitement .................................................................... 97
A.2. Résultats de l’étude de la typologie des défauts des arbres sur pied .......................... 98 A.3. Calcul d'erreur expérimentale ....................................................................................... 100
A.3.1. Notions générales sur le calcule d’erreurs ............................................................... 100 A.3.2. Incertitude sur les mesures des densités................................................................... 100 A.3.3. Incertitude sur la mesure de la compression axiale ................................................. 101 A.3.4. Calcul de l’erreur maximale pour la mesure de E et G par la méthode vibratoire .. 101
A.3.4.1. Calcul de l'erreur relative sur E ................................................................... 102 A.3.4.2. Calcul de l'erreur relative sur G................................................................... 103 A.3.4.3. Application .................................................................................................. 104
A.3.5. Incertitude relative sur le module d’élasticité statique en flexion quatre points ...... 104 A.3.6. Incertitude relative sur la contrainte de rupture en flexion quatre points................. 105
A.4. Hétérogénéité et échelles de structure anatomique du matériau bois ........................ 106
A.4.1. Structure anatomique de la tige.............................................................................. 106 A.4.2. Structure macro-anatomique.................................................................................. 107 A.4.3. Ultra structure de la paroi ...................................................................................... 108
A.5. Exemple de tableau de résultats Signaux entrée marteau force et sortie
accéléromètre ..................................................................................................................... 110 A.6. Principes mathématiques de la tomographie acoustique................................................ 111
A.6.1. Modèles physiques.................................................................................................. 111 A.6.1.1. Tomographie analytique........................................................................... 111 A.6.1.2. Tomographie linéaire................................................................................ 111
A.6.2. Géométries et transformées................................................................................... 112 A.6.2.1. Géométries parallèle................................................................................ 112 A.6.2.2. Géométries éventail ................................................................................. 113
A.6.3. Techniques de reconstructions classiques............................................................. 114 A.6.3.1. Reconstruction analytique ......................................................................... 114 A.6.3.2. Reconstruction algébrique itérative........................................................... 117
A.7. Propagation d’ondes acoustiques dans un matériau orthotrope ................................... 120
A.7.1. Loi de comportement mécanique............................................................................ 120 A.7.2. Influence des paramètres physiques........................................................................ 122 A.7.3. Propagation d’ondes élastiques dans un matériau homogène................................. 124 A.7.4. Propagation d’ondes élastiques dans le matériau bois............................................ 125
INTRODUCTION GENERALE
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Au Maroc, les forêts de cèdre (Cedrus atlantica Manetti) couvrent environ 132.000 ha sur 5 millions du couvert forestier, réparties entre le Moyen Atlas et le Rif. Le cèdre est l’unique espèce qui produit du bois d’œuvre de qualité avec une production d’environ 100 000 m3/an, soit l’équivalent de 80 à 90% de la production locale en bois d’œuvre [M’hirit (1993)]. La qualité du matériau bois dépend des conditions de croissance de l’arbre dont les principales composantes sont la qualité du site, la densité des peuplements, le climat et les traitements sylvicoles. Le bois peut contenir des défauts qu’on peut séparer en deux catégories, la première inclut toutes irrégularités dans la structure du tronc de l’arbre tels que les nœuds, la fibre torse et les fentes, la seconde concerne la dégradation provoquée par les insectes et les champignons qui altèrent les performances mécaniques en particulier la rigidité et la résistance. Le développement des défauts et des altérations à l’échelle de l’arbre s’accompagne de pertes importantes de la matière ligneuse. L’altération de l’arbre sur pied par diverses pathologies conduit à une diminution significative de la productivité de la forêt en bois d’œuvre. En conséquence, les industriels et les utilisateurs des produits ligneux se trouvent face à une ressource de qualité variable et parfois médiocre et qui est difficile à transformer en produit de qualité. L’optimisation du processus de transformation du bois, un des axes majeurs d'amélioration de la compétitivité du secteur forêt-bois, consiste en l'évaluation rapide et non destructive de la qualité interne du bois des arbres sur pied et des billons sciables, ainsi que la progression dans l'analyse et la compréhension de la variabilité des propriétés technologiques des bois à l'échelle de l'arbre entier. Une des investigations majeures de notre travail est la récolte des informations sur la qualité du bois sur pied et la vulgarisation de celles-ci auprès des gestionnaires forestiers pour un aménagement forestier durable.
La production actuelle en bois d’œuvre de cèdre est en déclin important en raison de la dégradation biologique due à deux champignons lignivores (Ungulina officinalis et Trametes pini) [El Yousfi (1993)]. Le premier est une pourriture rouge qui attaque les arbres à travers les blessures ou par la voie des branches mortes. Il se propage ensuite dans le tronc en ravageant le bois de cœur jusqu’à sa destruction totale. L’arbre devient alors creux ou rempli de bois dégradé. Le second type de champignon dégrade la cellulose et la lignine ; il attaque le tronc de l’arbre du centre vers l’extérieur dans le sens radial et longitudinal. Actuellement, il n’existe aucune méthode d’auscultation fiable utilisée sur le terrain lors de l’exploitation forestière qui permet de détecter ces pathologies. La qualité mécanique des arbres sur pied est affectée par le degré de détérioration de la structure du tronc. Cette détérioration pathologique pourrait être déterminée par différentes techniques permettant de quantifier les défauts du bois sur pied et d’estimer la potentialité de la forêt. Une telle détection précoce aurait comme avantage la sélection des sujets altérés et de protéger les autres du risque d’attaque. L’évaluation de la qualité des ressources forestières nécessite la mise au point d’une technique la moins traumatisante possible pour les arbres et facilement praticable sur le terrain, et ce dans le but de fournir rapidement des informations pertinentes.
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L’objet de ce travail est la détection des dégradations biologiques (champignons) plus ou moins graves au sein du tronc des arbres de cèdre qui deviennent une préoccupation récurrente des forestiers et des utilisateurs. Les méthodes mises en œuvre doivent être les moins traumatisantes possibles pour les arbres, fournir rapidement une information pertinente, et être facilement utilisables sur le terrain.
Les techniques d’évaluation non destructives semblent être les plus adaptées à cet usage et qui sont susceptibles de surmonter les contraintes précitées. Leur application sur le terrain permettrait une évaluation de la qualité de la ressource forestière en termes de caractéristiques de base nécessaire à la classification des bois selon leurs aptitudes technologiques et une estimation de la qualité intrinsèque des arbres sur pied. L’étude et le développement d’un tel outil d’évaluation non destructive de la qualité du bois sur pied sont les objectifs du présent travail. Les démarches utilisées sont les suivantes :
- L’analyse des ondes de vibrations mécanique en terme de vitesse de propagation ; - L’analyse de la distribution des vitesses de propagation permettant la reconstruction
d’images par inversion tomographique ; - L’étude des interactions entre la propagation des ondes acoustiques et la structure du
bois.
Le présent manuscrit, composé de deux parties, est présenté comme suit : Partie I (Chapitre I) : Etude de la typologie et la caractérisation des défauts du bois de cèdre (Cedrus atlantica Manetti) : Cette partie est consacrée à l’étude de la typologie des défauts chez les arbres de cèdre sur pied, à la détermination des propriétés physiques et mécaniques de base (densité, module d’élasticité, résistance en compression et en flexion), et à l’influence des principales pathologies sur les caractéristiques mécaniques. La deuxième partie, consacrée à l’étude de la faisabilité et à la mise au point d’une technique non destructive pour l’évaluation des défauts de bois de cèdre, est composée de quatre chapitres :
Chapitre II : Revue bibliographique sur les techniques d’évaluation non-destructive de la qualité du bois :
Ce chapitre est consacré à une étude bibliographique sur les diverses techniques d’évaluation "non destructives" et aux différentes approches dynamiques, dites acoustiques, employées pour l’évaluation de la qualité du bois et des arbres sur pied. Il comporte aussi des notions sur l’influence de la structure et les propriétés physiques du matériau bois sur son comportement acoustique.
Chapitre III : Matériel et méthodes
Dans ce chapitre, nous exposons les méthodologies expérimentales utilisées pour la mise en évidence de l’anisotropie acoustique et pour l’adaptation d’une technique tomographique pour la détection des défauts du bois (artificiels et naturels).
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Chapitre IV : Etude et analyse de l’anisotropie acoustique du matériau bois ;
Ce chapitre présente les résultats relatifs à l’analyse expérimentale des interactions entre le comportement acoustique et la structure du matériau bois (sain et/ou attaqué). Cette étude s’intéresse à la dépendance de la vitesse de propagation et l’anisotropie transverse. Chapitre V : Détection des défauts du bois par tomographie acoustique ; Ce chapitre s’intéresse à l’évaluation de la qualité du matériau bois par une analyse multidirectionnelle des vitesses de propagation des ondes acoustiques. La faisabilité de la tomographie acoustique est étudiée à l’échelle du laboratoire sur des défauts artificiels et naturels.
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PARTIE I
Etude de la typologie et caractérisation des défauts du bois de cèdre (cedrus atlantica Manetti)
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CHAPITRE I
ETUDE DE LA TYPOLOGIE ET CARACTERISATION DES DEFAUTS DU BOIS DE CEDRE (Cedrus atlantica Manetti)
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I.1- Introduction L’étude entreprise dans ce chapitre consiste à étudier la structure des défauts du bois de cèdre sur pied et de déterminer les propriétés physiques et mécaniques de base telles que la densité, la résistance mécanique, les modules d’élasticité et de cisaillement. Cette étude est présentée comme étant une étape nécessaire d’une méthodologie d’auscultation permettant à l’utilisateur de déceler les zones d’intervention probable. Cette investigation a pour objectifs de connaître :
- Le taux de dégradation des arbres défectueux sur la parcelle exploitée ; - Le type d’anomalie le plus fréquent et à quel niveau il est rencontré ;
- Les moyens utilisés pour localiser les sujets attaqués. Sur le lieu de l’exploitation nous avons procédé à l’échantillonnage, à l’observation et à la cartographie des défauts du bois de cèdre. Les arbres concernés par l’étude sont ceux qui renferment un défaut causé par les pathogènes. I.2- Matériel et méthodes
I.2.1- Zone d’étude L’étude de la typologie des défauts chez le cèdre est effectuée sur la forêt d’Azrou Moyen Atlas canton Michelifen, pendant les compagnes d’exploitation menées par le Centre de Développement Forestier Régional (CDF Azrou) en 2004. Une coupe sanitaire, dont le but est l’élimination des sujets contaminés et/ou dépéris, est réalisée. Les arbres étudiés sont alors ceux qui renferment un défaut causé par les pathogènes. Les observations sur le terrain ont été guidées sur la base d’une enquête auprès des forestiers et des exploitants.
I.2.2- Observations qualitatives Sur la parcelle, 10 arbres sont sélectionnés. Avant l’abattage, la première étape consiste en l’identification des zones de faiblesse mécaniques. Un examen visuel de l’aspect extérieur des arbres échantillons est effectué, l’évaluation qualitative est basée sur la présence de défauts apparents et certaines particularités morphologiques :
- Cavités et blessures apparentes ; - Structures mortes (racines, branches…) ; - Structures altérées par les agents lignivores ; - Déformations et singularités sur le tronc.
I.2.3- Mesures dendrométriques et classement des grumes Les mesures dendrométriques sont réalisées avant et après abattage des arbres échantillons (Tableau I.1). Ces mesures permettent de relever les caractéristiques suivantes :
- hT : hauteur totale de l’arbre ; - hU : hauteur utile (hauteur de la grume après abattage) ; - C1.30 : circonférence de l’arbre à 1,30 m ; - Ca : circonférence de l’arbre à la hauteur d’abattage ;
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- Ee : épaisseur de l’écorce à la hauteur d’abattage. Tableau I.1 : Caractéristiques dendrométriques des arbres échantillons
Arbres hT (m) hU (m) Nb C1.30 (m) Ca (m) Ee (cm)
1 22.50 18.40 4 4.61 5.50 3.5 2 23.44 21.66 5 3.86 4.62 2.8 4 25.80 23.79 5 4.50 4.95 3.6 5 21.55 18.10 3 2.55 2.85 5.4 6 18.60 15.32 3 4.23 4.62 2.4 7 21.48 19.26 4 3.10 3.60 3.7 8 23.64 21.27 4 4.10 4.37 4.9 9 17.70 15.21 3 4.05 4.20 3.3 10 16.76 13.44 3 3.04 3.30 2.7
Nb : nombre des billons Après l’abattage des arbres échantillons, les grumes obtenues sont classées selon les critères de classement du bois rond résineux édités par le Centre Technique du Bois et de l’Ameublement (C.T.B.A.) [Fournier et Fouquet (1998)]. Ces critères (norme française) permettent de classer les grumes selon 7 classes (classes A, B, C, D pour le bois d’œuvre, classes T1, T2 pour le bois de trituration et la classe PR pour les rejets et purges), et tiennent compte des :
- Caractéristiques de la structure de la grume ; - Singularités de la structure de la grume ; - Singularité de la forme de la grume ; - Altérations dues à l’action des champignons ; - Dégradations dues aux insectes.
La répartition de volume en classes de bois ronds est présentée dans le tableau I.2. La
majeure partie du volume de bois ronds est située dans les classes C et D, les arbres sélectionnés sont de catégorie "Bois d’œuvre 2". Tableau I.2 : Répartition de volume en classe de bois ronds
Classe du bois ronds A+B C D T1+T2 % du volume 19 28 37 21
I.2.4- Mesures photographiques L’objectif est de quantifier les caractéristiques des défauts (surface, forme, position…) à partir d’images numériques des défauts photographiés sur chaque extrémité des grumes. Cette étude est réalisée en trois étapes : - Prise d’images L’opération consiste à prendre des photos du gros et fin bout de chaque billon après découpe à l’aide d’un appareil numérique type (Nikon) de résolution 3 Méga pixels. Les photos sont prises sous un angle de vue perpendiculaire à la base du billon à photographier.
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- Calibration des images Les images obtenues sont préalablement calibrées par rapport à un repère lié au billon photographié. Pour chaque base du billon, on définit un axe majeur relatif à chaque base photographiée que l’on détermine suivant l’excentricité des cernes. Nous mesurons la longueur de cet axe à l’aide d’un mètre ruban (précision 0.5 cm) en marquant le point de départ et le point d’arrivée de l’axe sur le bout du billon photographié. Les indices de forme de chaque défaut sont calibrés par rapport à la face étudiée. - Traitement des images Les images prises subissent un traitement avant leur analyse. Ces images sont imprimées à l’aide d’une imprimante laser au niveau de gris. Ensuite, les images imprimées sont calquées sur un calque. Cette technique consiste à tracer manuellement les contours sur une feuille transparente. Sur chaque calque nous traçons le contour de la face photographiée, le contour des zones défectueuses et l’orientation du bout par rapport au repère de la photographie. La numérisation des calques obtenus s’effectue à l’aide d’un scanner des images. L’analyse des images numériques permet d’extraire des informations relatives à la forme et à la position des défauts photographiés sur chaque bout de grume. Ces informations permettent de quantifier la forme et la position de défauts. Le logiciel utilisé pour cette analyse est Image Tool version 3.00. Par un changement de l’image au niveau de gris, il permet de détecter le contour des objets (défauts) (Figure I.1), puis de procéder ensuite au calcul des indices de forme. Ces indices de forme sont définis comme suit :
- Le nombre total des zones extraites à partir des images ; - La surface de chaque zone extraite ; - Les coordonnées du centre de masse de chaque zone ; - Le nombre de pixels présents dans la zone ; - La longueur du grand axe de chaque zone.
Figure I.1 - Exemple d’image numérique traitée
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I.2.5- Etude de la variabilité physique et mécanique
I.2.5.1- Echantillonnage Trois arbres de circonférence supérieure à 60 cm et de bonne rectitude sont séle io és de a auteur utile de l’arbre (Fig e . A partir des pla e fectionnées suivant
s es ’o oar sa distance à la moelle (Figure I.2 (b)). Ces baguettes sont découpées sous
forme d’éprouvettes de : - 20×20×20 mm, pour la mesure de l’humidité et la densité ; - 20×20×30 mm, pour la détermination des modules transverse ; - 20×20×60 mm, pour la mesure de la résistance en compression axiale ; - 20×20×360 mm, pour les essais de flexion dynamique et statique.
ct nnés parmi les arbres échantillons. Deux rondins de 50 cm de longueur sont prélevch que arbre, le premier à 1.30 m du sol et l’autre à 1/3 de la hur I.2 (a)). Deux planches diamétrales sont débitées de chaque rondin
nch s obtenues, des baguettes, de dimensions 20×20×500 mm, sont conax d rth tropie du bois (R, T et L). La position de chaque baguette dans le rondin est le
identifiée p
(a) (b)
Figure I.2 - Représentation schématique (a) échantillonnage sur arbre (b) échantillonnage sur rondin
Afin de quantifier l’effet des défauts sur les propriétés mécaniques et physiques, une étude comparative est effectuée sur des échantillons de bois sans défauts, bois coloré correspondant au premier état de dégradation et du bois avec de la pourriture cubique ou annulaire (Figure I.3).
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Figure I.3 - échantillons de bois utilisés pour la comparaison des propriétés mécaniques et physiques
l’humidité et de l’infra-densité L’humidselon le
I.2.5.2- Etude de la variabilité radiale de
ité h et l’infra-densité ρb des échantillons sont déterminées respectivement s normes Française NF B 51-004 et NF B 51-005. Le volume saturé Vs est mesuré par
la méthode de double pesée :
emm ae −
=S V (1)
e a tillon saturé dans l’eau et dans l’air, e la m
03°C jusqu’à une masse onstan 0 l’aide d’une balance de
ù m et m désignent respectivement la masse de l’échano
et asse volumique de l’eau (e= 1 g/cm3) Les échantillons sont ensuite séchés dans une étuve à 1
te (masse à l’état anhydre m ) pendant 48 h, et pesés à cprécision de 10-3 g. L’infra-densité est donnée par :
S
0
Vρ m
b = (2)
L’humidité de chaque éprouvette est exprimée en pourcentage de sa masse anhydre à aide de la formule suivante : l’
( ) 100%0
0 ×=m
h h (3) − mm
ave
la Recherche Forestière (CRF-Maroc). Les dimensions transversales i-longueur sont mesurées par un comparateur digital Mitutoyo. Les
ssais sont réalisés à l’aide d’une presse hydraulique
- Deux pistons (gros piston et petit piston), chacun exerce une force dans une gamme de charges bien déterminée ;
c mh est la masse humide de l’échantillon.
I.2.5.3- Etude de la variabilité radiale des propriétés mécaniques
a) Détermination de la résistance en compression axiale Les essais de compression axiale sont réalisés au laboratoire des essais physiques et mécaniques du Centre dede chaque éprouvette à me Testwell (Figure I.4), équipée de :
8
- mo contrôlé par une règle optique type (Stegmann) ;
- Une cellule de force de type (Scaime) de capacité 50 KN et de sensibilité 0,1 daN
arge croissante est appliquée à l’éprouvette par le biais du piston jusqu’à la pture. La durée de cet essai est comprise entre 1,5 et 2 mn. La résistance en compression iale
Une traverse horizontale ; dont le déplacement du bas vers le haut est entraîné par le uvement du piston et
permettant de mesurer la charge appliquée sur l’échantillon ; - Une rotule permettant d’adapter le cylindre de compression à l’éprouvette.
Une ch
ruax de chaque éprouvette ( cσR ) est donnée par le rapport de la charge de rupture par la section de l’éprouvette.
Figure I.4 - Presse universelle Testwell
b) Détermination du module d’élasticité longitudinal et de cisaillement en flexion dynamique
Le module d’élasticité longitudinal dynamique (ELd ) et de cisaillement (GTL) sont éterminés par la méthode BING (Beam Identification by Nondestructived
I. Grading) (Figure
5). Une description détaillée de cette méthode ise au point par le CIRAD-Forêt est donnée à l’annexe 1. Les essais sont réalisés sur des éprouvettes de dimensions normalisées à sections carrées de 20 mm de côté et d’une longueur de 360 mm. Pour chaque éprouvette, on mesure les dimensions transversales en trois points différents de la longueur (au milieu et aux extrémités) par un comparateur Mitutoyo, puis on mesure la longueur par une règle graduée et la masse par une balance avec p
, m
récision de 10-3 g.
9
Pesée et prise de dimensio(Balance, Pied à coullisse)
mousse
Traitement des données e
ns
Percussion sur l'éprouvette
Enregistrement du signal microphone Filtrage et numérisation
par le PICO.
taffichage des résultats
(FFT)(équations mécaniques)
mplifié puis par un filtre passe bas en éliminant les bruits parasites, ensuite transformé en un signal
numérique à l’aide d’un convertisseur analogique numérique (PICO 216) (Figure I.5). L’analyse du signal par logiciel Bing permet d’obtenir, à partir des fréquences propres de vibrations (Figure I.6), le module d’élasticité et le module de cisaillement.
Figure I.5 - dispositif BING.
L’éprouvette est posée sur deux supports élastiques. Un choc est réalisé sur l’une de ses extrémités à l’aide d’un percuteur. Un microphone récupère le signal acoustique à l’autre extrémité de l’éprouvette et le transforme en signal électrique. Ce signal est afiltré
Signal acoustique
Transformée de Fourier rapide
Figure I.6 - Fenêtre d’acquisition BING2000
c) Détermination du module d’élasticité longitudinal et de la résistance en flexion statique.
ique. La machine d’essai est e banc d’essai est constitué de deux appuis
cylindriques horizontaux de 6 cm de diamètre distants de 32 cm, et d’une traverse avec rotule comportant deux cylindres horizontaux de même diamètre que les appuis et distantes de 16 cm. La charge de flexion est répartie symétriquement en deux charges égales équidistantes des appuis du banc de flexion. L’éprouvette est placée sur les deux appuis cylindriques distants de 32 cm, et orientée de manière à ce que l’effort appliqué soit dirigé dans le sens tangentiel de l’éprouvette (Figure I.7).
Les essais de flexion statique sont réalisés selon la norme française B51-008, sur les
êmes éprouvettes utilisées précédemment pour la flexion dynamméquipée d’un bâti de flexion 4 points. L
10
La détermination du module d’élasticité (ELS) longitudinal est réalisée après
accommodation de l’éprouvette (application de 3 cycles successifs de charge et de décharge entre 200 et 600 N) (Figure I.8). La charge appliquée est mesurée à l’aide d’une cellule de force modèle (Scaime) de capacité 10 KN et de sensibilité 0,1 daN. Le déplacement de la traverse est mesuré avec un capteur de déplacement optique modèle (Stegmann).
400
700
0.250
0.300
0
0
0.450
500
6000.35
0.40
0
100
200
300
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 520.000
0.050
0.100
0.150
0.200
FlècheCharge
Temps (s)
Figure I.7 – Bâti de l’essai de flexion statique 4 points. Figure I.8 - Cycles charge-décharge.
us permet de déterminer le module d’élasticité stat e
La flèche est mesurée dans la zone centrale soumise à la flexion pure à l’aide d’un capteur de courbure (lvdt) (Figure I.9). La cellule de force, le capteur de déplacement et le capteur de courbure sont connectés à un convertisseur analogique numérique (Almemo) qui permet d’informatiser l’essai et de le visualiser sur l’écran d’un ordinateur. La mesure de la pente moyenne ∆P/∆f dans la zone linéaire des courbes charge-déplacement (Figure I.10) pen nda t les trois cycles de charge-décharge no
iqu en flexion 4 points :
( )fhe ∆
= 3s 8E (4) Pmal ∆− 23
L
l : distance entre les deux appuis cylindrique extérieures, m : la distance entre les deux ppuis de mesure de la flèche, a : distance entre les deux appuis internes, e : largeur de éprouvette, h : épaisseur de l’éprouvette.
Où, al’
0
100
200
300
400
500
600
700
0 0.1 0.2 0.3Déplacement (mm)
0.4
Figure I.9- Schématisation du dispositif de mesure de la flèche. Figure I.10 - Courbe charge déplacement
Pour déterminer la résistance à la flexion ( ), nous appliquons une charge croissante, à vitesse constante, jusqu’à la rupture de l’éprouvette. Nous enregistrons la force maximale à la rupture (Pmax); l’essai est arrêté lorsqu’il se produit une chute brutale de 25% de la charge appliquée. La contrainte de rupture en flexion statique est donnée par la formule suivante :
Cha
rge
(N)
Cha
rge
(N)
fRσ
Flèc
he (m
m)
11
( )
2max
23σ
healPf
R−
= (5)
d) Détermination des modules d’élasticités transverses.
Les mesures des constantes élastiques (le module d’élasticité radial (ER), le module d’élasticité tangentiel (ET) et le module d’élasticité apparent à 45° (E45°)) sont réalisées au laboratoire de technologie du bois du CIRAD- Forêt. La machine utilisée pour ces essais est une presse hydraulique (marque MTS modèle ADAMEL LHOMARGY DY 36) (Figure I.11), équipée de :
- Un module d'asservissement de force ; - Un capteur de déplacement ; - Une cellule de forces de 10 tonnes utilisées sur leurs plus petites gammes de
résolution, pour plus de précision ; - Un ordinateur avec le logiciel Test Works qui permet la programmation, le pilotage et
la visualisation de l'essai.
Figure I.11 - Machine d’essai MT damel Lhomargy DY
La figure I.12 montre re des constantes élastiques transverses. Au total, nous avons prélevé 30 éprouvettes de (20×20×30 mm), ayant le même axe cen
S A 36
les éprouvettes utilisées pour la mesu
tral que la barrette, taillées dans les trois directions naturelles du matériau (RTL) ; dix éprouvettes pour les essais dans la direction radiale (Figure I.12 (a)), dix autres pour les essais dans la direction tangentielle (Figure I.12 (b)) et dix autres pour les essais dans une direction de 45° d’orientation dans le plan transverse (Figure I.12 (c)).
12
(a) (b) (c)
Figure I.12 - Eprouvettes utilisées pour la détermination
des constantes élastiques transverses
L’essai est réalisé en deux étapes, la première étape consiste en la réalisation de trois cycles charge-décharge dans la zone linéaire. Ensuite, l’essai continu jusqu’à la rupture de l’éprouvette, on note la contrainte de rupture. Le module d’élasticité est déduit de la courbe charge-déplacement. La charge est mesurée par l’intermédiaire de la cellule de force, le déplacement est mesuré par le capteur de déplacement.
13
I.3- Résultats et discussions
I.3.1- Analyse qualitative des défauts Les observations obtenues sur les arbres sur pied permettent de constater que les deux types d’altérations causées par Ungulina officinalis et Trametes pini présentent une structure propre pour chacune. Dans la majorité des cas rencontrés la pourriture cubique (Ungulina officinalis) possède une structure plus ou moins régulière que l’on peut associer à une section circulaire et concentrique, les cavités provoquées sont plus importantes au niveau du pied de l’arbre et diminuent sur la hauteur de l’arbre. Ce constat nous permet de conclure que les spores du champignon passent à travers les racines ou les blessures présentes au pied de l’arbre.
L’étude de cas pour la pourriture annulaire (Trametes pini) a montré une forme irrégulière. Ces altérations sont rencontrées à partir d’une certaine hauteur (environ 4 m) et deviennent plus importantes au fur et à mesure que la hauteur augmente, la contamination de l’arbre se fait à travers les branches blessées ou mortes. L’analyse phytosanitaire réalisée par Ameziane (2004) a montré que la dégradation est plus importante à la base du tronc et que le risque d’infection est important chez les arbres de circonférence supérieure à 220 cm.
I.3.2- Analyse quantitative des défauts L’analyse consiste en la détermination de la perte de la résistance mécanique Rs pour chaque arbre. Deux configurations sont envisagées pour le calcul de Rs appelé aussi du risque de rupture [Drénou (2005)] ; la configuration A dans le cas d’une altération centrée et la configuration B dans le cas excentré (Figure I.13).
Figure I.13- Configurations de calcul du risque de rupture Dans le cas de la configuration (A), le risque de rupture est la proportion du bois altéré dans le tronc de l’arbre :
100×= ii
Rs ∑ s
(6)
vec si : surface du défaut ; S
TSa T : section transverse de l’arbre.
14
Dans le cas de la configuration (B), le risque de rupture est calculé en tenant compte de la forme et de la position de l’altér tion d s le tr nc de arbre
a an o l’ :
TT IIi
iiaI
Rs == ds∑ 2
(7)
IT : moment d’inertie du tronc ; si
Une altération excentrée provoque une perte de résistance mécanique plus grande qu’une d’un arbre ne dépend pas seulement de la ature du défaut mais aussi des conditions climatiques [Kennard et al (1996)].
s pour les différentes auteurs est présentée sur la figure I.15. Elle indique que la perte de la résistance mécanique
diminue en fonction de la hauteur pour la pourriture cubique et augmente pour la pourriture annulaire, cette variation dépend alors significativement de la hauteur.
Avec Ia : moment d’inertie de l’altération ; : surface du défaut ; di : distance entre le barycentre de l’altération et celui du tronc.
altération centrée. La probabilité de rupture n
I.3.3- Variation en fonction de la hauteur La perte de la résistance mécanique (Rs) est calculée pour chaque configuration, l’analyse de la distribution des valeurs moyennes (Figure I.14) montre que les fortes valeurs sont observées à la hauteur d’abattage pour des altérations causées par la pourriture cubique et diminuent en fonction de la hauteur, tandis que pour le second type les altérations ne deviennent perceptibles qu’à partir de 4 mètres. L’analyse quantitative des résultats rejoint les observations obtenues sur le terrain. La comparaison des valeurs de Rh
Hauteur (m)
1612840
Hauteur (m)
161284
R 0
Rs
(%)
20
16
12
8
4
Cubique
(%)
14
12
10
8
6
4
2Cubique
Annulaire
Annulaire
Figumoyennes de Rs (%).
Figure II.15- Distribution des valeurs de Rs (%) en fonction de la hauteur.
re ont excentrées dans la plupart des cas étudiés. Les valeurs calculées de Rs(%) sont très
re II.14- Histogramme des valeurs
I.3.4- Variation dans le plan transverse
La position des défauts dans le plan transverse des arbres est variable d’un type d’altération à l’autre. La figure I.16 montre cette variation, les altérations de type cubique sont centrées ou légèrement excentrées par rapport à la moelle. Les altérations de type annulais
15
inférieu
de istinction entre cubique et annulaire. A partir de cette hauteur on peut estimer la perte de la
résistance mécanique moyenne et le profil des e l’étude de la typologi nexe 2.
res aux seuils de rupture donnés par plusieurs auteurs (seuil de 30% en moyen) (Tableau I.3). Le maximum de Rs observé est de l’ordre de 17.5 % à la hauteur d’abattage.
Il est possible d’apprécier la qualité des arbres par des mesures non destructives à une hauteur comprise entre 3 et 4,5 m ; le risque étant alors de l’ordre de 12 % sans faired
altérations. Le tableau des résultats de des défauts des arbres de Cèdre de l’Atlas sur pied est donne à l’an
Hauteur (m)
161284
Posi
tion
à la
moe
lle (r
/R)
,4
,2
,1
,3
Cubi
Ann
que
ulaire
Figure I.16 - Distribution des positions des altérations par rapport
à la m elle en fonction hauteur Table Equations utilisées pour évaluer la perte de résistance mécanique des arbres sur pied due aux altérations internes du bois d’après [Drénou (2005)].
o de la
au I.3 –
Source Rs Seuil de rupture
Configuration A
Configuration B
Wagener (1963)
1003
3
×⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Dd > 33% 22 % 9 %
Smiley et al (
[ ] 1003 ⎟⎠
⎜⎝ D
> 33% 1992)
333
×⎟⎞
⎜⎛ −+ dDrd 22 % 14 %
Mattheck et al (1994) R
t < 0,3 0,45 ----
Kennard et al (1996) s
a
II ---- 12 % 28 %
Kennard et al (1996) 100×
Aa ---- 35 % 28 %
Préconisation forestière D
H > 70 --- ---
Avec ; d : diamètre du bois altéré ; D : diamètre du tronc ; t : épaisseur du bois sain ; r : taille d’une cavité uverte/ circonférence du tronc ; R : rayon du tronc ; Ia : moment d’inertie du bois altéré ; Is : moment d’inertie
du tronc ; a : surface e l’alté sur une section ronc ; A : ’une sec ;
od ration du t surface d tion du tronc
16
5- V bilit siq mé ue -arb
les valeurs moyennes, les écart-types et les coefficients de ariatio
I.3. aria é phy ue et caniq intra re Les propriétés physiques et mécaniques sont déterminées sur des échantillons issus des différents rondins extraits des arbres échantillons selon le protocole expérimental décrit précédemment. Le tableau I.4 regroupe v ns des caractéristiques physiques et mécaniques. Le calcul des incertitudes relatives sur ces grandeurs est détaillé à l’annexe 3. Tableau I.4 - Caractéristiques physiques et mécaniques du bois de cèdre
ρb
(Kg/m3) ELv
(MPa) ELs
(MPa)ER
(MPa)ET
(MPa)E45°
(MPa)GTL
(MPa) σR
(MPa) σR
f c
(MPa)x 439 10400 11700 1005 855 515 1093 100 73 e 156 177 192 107 102 82 79 20 10
Cv (%) 29 22 24 11 12 16 11 16 17 m
Les résultats du tableau I.3 montrent une variabilité marquée pour la densité, les odule
ompte de deux u plus
e eut être connue par l’observation, mais elle ne se réduit pas à l’erreur expérimentale. Sesbou 981) a montré que l’erreur expérimentale ne constitue qu’une faible part de la fluctuation
totale dont la part essentielle est de natures différentes et exprime l’individualisation biologique.
I.3.5.1- Profil radial de l’humidité et de l’infra- densité La figure I.17 montre la variation de l’infra-densité en fonction de la distance à la moelle pour chaque arbre. Une corrélation statistiquement significative est observée entre l’infra-densité et la distance à la moelle, la relation entre l’infra-densité et la distance à la moelle illustre une tendance à l’augmentation à partir du cœur à la périphérie.
on re u infra-dens g/cm ) ou n gradient de l me linéaire
). La diminution de l’humidité de la moelle vers la périphérie (Figure I.18) pe
s d’élasticités dynamique et statique (valeurs très élevées des coefficients de variation). Cette variabilité des résultats ne permet pas de déterminer une grandeur absolue pour les propriétés en question. D’une manière générale, l’analyse des résultats implique la prise en co ieurs variables et de leurs interactions, dans le but d’estimer l’influence de l’une sur l’autre et d’établir des liaisons entre deux variables par régression linéaire ou entre plusieurs variables par régression multiple permettant d’établir des équations entres variables.
La variabilité du bois implique parfois l’imprécision sur les mesures effectuées. Ellp(1
Le profil radial de l’infra-densité mité constante (ρ = 0,439 3
t ne grande variabilité, on peut estimer une’infra- densité de foru
0,3921ρ + )/( 0.= Rr(ut être attribuée au séchage des rondins échantillons entre la découpe et les mesures au
laboratoire.
17
Distance à la moelle (r/R)
1,0,8,6,4,20,0
Infr
,35
a-de
nsité
(g/c
m3)
,55
,50
,45
,40
,65
,60
Arbre3
Rsq = 0 6473
Arbre 2
Rsq = 0 8694
Arbre 1
Rsq = 0 7725
50
Distance à la moelle (r/R)
1,0,8,6,4,20,036H
umid
ité (
48
38
%)
46
44
42
40
Arbre 3
Rsq = 0 7653
Arbre 2
Rsq = 0 7754
Arbre 1
Rsq = 0 3586
Figure I.17 – Infra-densité en fonction de
la distance à la moelle Figure I.18 - Humidité en fonction de la distance à la moelle
El Azzouzi (1995) a déterminé une densité moyenne de l’ordre de 0,439 g/cm3,
il a attribué sa variabilité aux effets de substrat, des modes de traitement ou à la zone dans l’arbre.
I.3.5.2- Variation radiale du module d’élasticité dynamique et du module de cisaillement
La figure I.19, représentant le module d’élasticité longitudinal en fonction de la
distance à la moelle, montre une tendance à l’augmentation du module d’élasticité pour l’ensemble des échantillons. Ceci est expliqué par l’augmentation de l’infra-densité de la moelle vers la périphérie. Quelques singularités (légère diminution du module) sont observées. Le module de cisaillement GTL est déterminé sur les mêmes éprouvettes utilisées pour la détermination du module d’élasticité dynamique. La grande dispersion des valeurs de G obser ndanc à l’ a m illement e
de cisaillement en fonction de la distance à la moelle ont été observés par Ormarsson et al 999).
TLaugmentation, est probablement due à l
t à l’orientation des fibres. vée (Figure I.18), malgré une te
éthode de détermination du module de cisae
Des résultats similaires concernant la variation du module d’élasticité longitudinal et
(1
Distance à la moelle (r/R)
,9,8,7,6,5,4,3,2,1
M
Distance à la moelle (r/R)
,9,8,7,6,5,4,3,2,1
GPa
)
8,5
8,0
Mod
ule
d'él
astic
ité
7,5
7,0
6,5
axi
al (
Rsq = 0 2833
odul
e de
cis
aile
men
t (G
,7
,6
,5
,4 Rsq = 0 0202
Pa ,8
)
1,1
1,0
,9
Figure I.17- Module d’élasticité
longitudinal en fonction de la distance à la moelle
Figure I.18 - Module de cisaillement en fonction de la distance à la moelle
18
I.3.5.3- Variation angulaire de la contrainte de rupture et du module élastique dans le plan transverse
Les contraintes de rupture obtenues pour trois positions angulaires différentes par rapport à l’axe radial (0°, 45° et 90°) sont présentées sur la figure I.21. Un minimum est observé à 45°, le bois présente une rupture fragile. Suivant la direction radiale, la résistance mécanique est légèrement supérieure à la résistance dans la direction tangentielle. La figure I.22 montre que la valeur du module d’élasticité la plus élevée est suivant la direction radiale. En effet, la présence de rayons ligneux renforce cette direction [Persson (2000), Bucur (2003)]. La valeur la plus faible est suivant une orientation de 45° par rapport à l’axe radial. Ces résultats sont analogues à eux lis (2003)
c obtenus par d’autres auteurs [Vobo].
Position (°)
90450
Con
train
Position (°)
90450
Mod
ule
d'él
as
11
te d
e ru
ptur
e (M
Pa)
9
8
7
6
5
10
4
3
1200
ticité
(MPa
)
1100
1000
900
800
700
600
500
400
Figure I.21 Contrainte de rupture en
fonction de la position angulaire Figure I.22 - Module d’élasticité en fonction de la position angulaire
I.3.5.4- Relation entre les propriétés physiques et mécaniques
La figure I.23 présente la relation entre le module d’élasticité longitudinal et l’infradensité. Une corrélation statistiquement significative est observée (R2 ≈ 0,5). Sur la figure I.24 nous observons une relation peu significative entre le module de cisaillement et l’infra-densité (R2 ≈ 0,21) que l’on peut attribuer à d’autres paramètres comme l’orientation des
fibres.
Infra-densité
.45.40.35.30
Mod
ul
6000
4000 Rsq = 0.4983
e d'
élas
12000
ticité
(MPa
)
10000
8000
Infra-den
.45.40.35.30
Mod
ule
de 600
500 Rsq = 0.2054
sité
ci
900
saill
emen
t (M
Pa) 800
700
Figure I.23- Relation entre le module
d’élasticité dynamique et l’infra-densité Figure I.24 - Relation entre le module de cisaillement et l’infra-densité
19
Le module d’élasticité varie entre 4500 et 11700 MPa et le module de cisaillement entre 550 et 850 MPa. L’estimation du module d’élasticité longitudinal à partir des modèles prévisionnels de Guitard (1987) a montré une différence notable par rapport à nos résultats, ceci peut être attribué à la présence de la pourriture dans les échantillons. La figure I.25 montre une relation statistiquement significative entre la résistance en flexion et l’infra-densité (R2≈0,41). La résistance augmente quasi-linéairement en fonction de l’infra-densité sur un intervalle de 0,3 à 0,45g/cm3. La variation de la résistance en flexion est très grande (4.5 – 11MPa) en comparaison avec l’infra-densité.
Infra-densité
.45.40.35.30
Con
train
te d
e ru
ptur
e (M
Pa)
8
6
12
10
4 Rsq = 0.4111
Figure I.25 - Relation entre résistance en flexion et l’infra-densité
Aucune relation significative n’est observée entre le module d’élasticité ou le module de cisaillement et l’humidité (Figures I.26 et I.27). Ces résultats ne peuvent pas être expliqués par la variation de l’humidité d’un échantillon à l’autre, mais qui peuvent être attribués à l’orientation des fibres et à la variabilité intra et inter arbres.
Humidité (%) Humidité (%)
40302010
Mod
ule
d'él
astc
ité ( 8000
6000
4000 Rsq = 0.0004
MPa
)
12000
10000
40302010
Mod
ule
Cis
aille
men
t (M
700
600
500 Rsq = 0.0145
Pa)
900
800
Figure I.26 - Module d’élasticité en fonction Figure I.27 - Module de cisaillement en
midité
tive entre la résistance en exion et l’humidité, une grande variabilité est observée. En effet, au-dessus du point de
saturation des fibres, la rigidité et la résistance sont sensibles aux variations de l’humidité
de la teneur en humidité fonction de la teneur en hu
La figure I.28 montre aussi l’absence de relation significafl
20
[K an et Coté (1968), Guitard (1987)]. L’absence de corrélation significative pourrait être attribuée à la méthode de mesure de l’humidité qui est déterminée comme une moyenne de deux valeurs obtenues sur des éprouvettes de (2×2×2 cm
olm
3), une est prélevée du centre et l’autre de l’extrémité de l’échantillon.
Humidité (%)
40302010
Con
train
te d
e ru
ptur
e (M
Pa)
12
10
8
6
4
2
0 Rsq = 0.0009
Figure I.28 – Résistance en flexion en fonction de la teneur en humidité.
I.3.5- Relation entre mesures dynamiques et statiques
Les résultats de mesure du module d’élasticité dynamique et statique (Figure I.29) ont montrés une bonne corrélation (R≈0,87) de forme linéaire, la pente de la droite de régression (a=0,98) est très proche de 1, l’ordonnée à l’origine (b=0,36) est négligeable au seuil de 1%. On peut don
ne relation linéaire avec un coefficient de régression (R =0,57).
c considérer que les deux modules sont équivalents.
La mesure du module en vibration de flexion ou en flexion statique donne des valeurs presque identiques. Ross (2000) a déterminé une relation linéaire entre le module statique et le module en vibration de flexion avec un coefficient de corrélation (R2=0,95) sur du bois rond à petit diamètre. Pour des planches en dimension d’emploi, Renn (1999) a déterminé
2u
Module d'élasticité statique (GPa)
141210864
Mod
ule
d'él
astic
ité 7
6
5
dyn
ami
Pa)
12
10
8
4
11
que
(G
9
ure I.29- Relation entre module d’élasticité dynamique et statique
Une relation statis ig fi es trdynamique est la résistance en flexion (Figur
Fig
tiquement s ni cative e I.30) avec un coeffi
t observée en e le module d’élasticité cient de corrélation
21
(R2≈0 cheri u (200 ontré q st poss ’estim ontrain rupture à part res modu es de vibration en flexion.
,51). Branir des mesu
a 2) a m ui il e ible d er la c te dedu le d’élasticité et les fréquences propr
Module dynamique (Gpa)
1211109876
C
400
300
ontra
inte
de
rupt
ure
(M
200
100
Pa)
0 Rsq = 0.5050
Figure I.30 - Relation entre module dynamique et résistance en flexion.
I.3.5.4- Effet de la dégradation sur les propriétés mécaniques et physiques de base
Les propriétés physiques et mécaniques moyennes pour trois types de bois sont présentées dans le tableau I.4. Nous observons une différence significative entre ces pl’ordre de 16%.
ableau I.4 : Com écaniques pour les trois types de
ropriétés. Cette diminution est attribuée à la diminution de l’infra-densité et qui est de
T paraison des propriétés physiques et mbois de cèdre.
ρb (g/cm3) ELV(GPa) ELS(GPa) GTL (MPa) fRσ (Mpa)
x 0,44 10,4 11,7 1093 7,8 Bois sain e 0,025 0,8 1,2 101 1,3 x 0,41 8,3 8,6 797 4,9 Bois coloré e 0,016 0,5 0,8 93 0,6 x 0,37 6,2 5 225 2,3 Bois avec
pourriture e 0,029 0,7 0,5 64 0,7 La comparaison montre une diminution significative du module d’élasticité et de la ontrainte de rupture (Figure I.3 (a), (b) et (c)). Les fortes valeurs sont observées pour le bois
on biologique diminue significativement le module d’élasticité et la ontrainte de rupture. Les deux types de champignons dégradent la lignine l’élément
csain, la dégradaticresponsable de la rigidité du matériau, ce qui conduit à une chute de celle-ci et de la résistance mécanique.
22
3
Den
sit
,8
,4
rainte
de
120
20
321
é (g
/cm
3)
,7
,6
,5
321
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t
0
rupt
ure
(MPa
)
100
80
60
40
21
Mo 4
dule
d'éla
s
14
6
tcité
(GPa
)
12
10
8
ur les trois types de bois.
égende (1) Bois intact ;
tion par les champignons sur la rigidité et la résistance mécanique. L’absence
bois exposé à une dégradation biologique à partir des mesures de itesse propagation des ultrasons, les paramètres du modèle dépendent de l’essence et de la ature du pathogène. Le degré d’attaque et la perte en masse provoqués par la dégradation ont contrôlés par une mise en culture.
.4- Conclusion
L’étude de la typologie a montré que les deux types de défauts majeurs se caractérisent ar une structure typique. La pourriture cubique est souvent centrée ou légèrement excentrée vec la moelle, la dégradation est plus intense au pied de l’arbre. Tandis que la pourriture nnulaire n’est rencontrée qu’à partir d’une certaine hauteur, dans le plan transverse, elle est arfaitement excentrée.
L’étude de la variabilité mécanique et physique a permis de déterminer certaines ropriétés de référence. Les résultats obtenus nous ont permis de déterminer un ordre de randeurs, étudier la variation à l’échelle de l’arbre, étudier la relation existante entre ces ropriétés et d’estimer l’influence de la dégradation causée par les pathogènes sur quelques aractéristiques mécaniques de base.
Les résultats de la caractérisation obtenus, au cours de cette étude, montrent que le ois du cèdre est un bois léger avec une infra-densité moyenne d’environ 439 kg/m3, un odule d’élasticité de l’ordre de 11700 MPa et un module de cisaillement de l’ordre de 720 Pa.
L’étude de la variabilité radiale de l’infra-densité montre une variation linéaire. Cette ariation du cœur ver la périphérie peut aller de 400 à 630 Kg/m3 pour des arbres avec un iamètre supérieur à 600 mm. Pour développer l’étude on peut estimer une densité constante
ticité longitudinal, il varie significativement
(a) (b) (c) Figure II.31- Répartition de la densité, du module d’élasticité et de la contrainte de rupture po
L (2) Bois coloré ; (3) Bois avec pourriture cubique ou annulaire ;
En l’absence de défauts, le bois de cèdre possède un module d’élasticité axial compris entre 8000 et 12000 MPa et une résistance mécanique comprise entre 60 et 100 MPa. La comparaison des caractéristiques ne permet pas de quantifier dans le temps l’effet de la égradad
d’information sur le degré d’attaque ne permet pas de quantifier parfaitement l’influence des agents pathogène sur la qualité mécanique du matériau. Ross (1997) a élaboré un modèle de régression multi-variable permettant de prévoir la
gidité et la résistance durivns I paap pgpc bmM vdou un gradient de densité. Quant au module d’élas
23
sur le rayon de l’arbre tandis que le module de cisaillement reste constant sur le rayon de arbre.
La dégradation présente un effet significatif sur le module d’élasticité et la résistance écanique. Le bois intact possède un module compris entre 8000 et 12000 MPa et une sistance mécanique comprise entre 60 et 100 MPa. En dessous de cette plage, le bois est
égradé mécaniquement.
l’ mréd
24
PARTIE II
Etude de faisabilité et mise au point d’une technique non destructive pour l’évaluation des défauts de bois
25
CHAPITRE II
ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE
24
II.1- Introduction Le développement des techniques non destructives a pour principal objectif de détecter la présence de défauts et d’altérations naturels du bois. Ces techniques sont basées sur différents principes empiriques et scientifiques. L’évaluation non destructive de la qualité du bois est une nécessité pour résoudre des problèmes pratiques telle l’évaluation des propriétés physiques et mécaniques, des structures en bois tout en les préservant. Ce chapitre est consacré à une étude bibliographique sur les différentes méthodes d’évaluation non destructives de la qualité du matériau bois. Les avantages et les limites de chaque technique sont abordés.
Afin de situer notre travail, l’évaluation de la qualité du bois à partir de son comportement acoustique est traitée. La bibliographie est complétée par des notions sur l’influence de la structure du matériau et ses propriétés physiques sur son comportement acoustique. II.2- Méthodes d’évaluation de la qualité du bois Méthode visuelle La méthode la plus simple consiste à évaluer la qualité du bois à partir d’observations obtenues sur l’arbre sur pied. Cette évaluation consiste à identifier les points de faiblesse mécanique (nœuds, trous, fentes, attaques xylophages …).
Winn (2002) a montré que la présence des indicateurs externes renseigne sur la qualité du bois sur pied.
Cheung (2002) a établi des classes d’indicateurs visuels des défauts des arbres sur pied, en identifiant les anomalies mécaniques des arbres et en cherchant les moyens de les prévoir. Carottage Le carottage consiste en un prélèvement d’échantillons de forme cylindrique à l’aide d’une tarière.
Moore (1998) a évalué, d’une manière empirique, la qualité du matériau bois par l’observation de la carotte (odeur, couleur, fragilité…).
Bethge et Matteck (1998) ont utilisé des carottes de sondage pour mesurer la force de cohésion et de flexion des cellules de bois à l’aide d’un fractomètre. Perçage Le perçage consiste à traverser les différentes couches de bois à l’aide d’un résistographe pour évaluer la dureté des tissus ligneux, en mesurant la vitesse de progression d’une mèche enfoncée sous une pression constante ou en mesurant la pression nécessaire à l’enfoncement d’une mèche selon une vitesse constante. Cette technique permet de réaliser
25
des profils de la qualité mécanique sur un rayon de l’arbre. La répétition du sondage en divers points conduit à cartographier la section transverse de l’arbre sur pied et de localiser les défauts.
Bethge et al (1998), Kappel et Matteck (2000) et Brashaw et Ross (2002) ont trouvé une corrélation entre la résistance à la pénétration et le profil de densité d’une part, et les propriétés mécaniques du matériau bois d’autre part. Le sondage par carottage ou perçage permet de procurer des informations très localisées. L’orifice pratiqué présente un risque d’attaque sur les arbres sondés. Il peut mettre en communication les poches de pourritures avec le bois sain et d’augmenter le risque d’infection par les champignons. Afin de remédier à ce problème, actuellement, il existe des techniques sans risque pour l’arbre, basées sur différents principes physiques. Ces techniques, appelées non destructives, présentent un potentiel intéressant dans les sciences forestières et les sciences du bois. Méthode électrique Koppán et al (2000), Bertallot et al (2000) et Larsson et al (2004) ont utilisé la méthode de quatre point pour mesurer la résistivité électrique afin de détecter la présence de pourritures des arbres sur pied. Cette méthode consiste à appliquer un courant alternatif de basse fréquence le long de la tige de l’arbre, le voltage induit est mesuré entre deux points en différentes positions de la tige. Cette technique permet d’étudier aussi l’activité physiologique de l’arbre sur pied.
Torelli et Cufar (1994) et Bertallot (2000) ont utilisé l’impédance du matériau bois sous sa forme complexe comme paramètre indicateur de sa qualité mécanique. La partie réelle de l’impédance est une résistance tandis que la partie imaginaire est une réactance. Les défauts et les altérations influencent les propriétés électriques du matériau bois. Micro-onde
Cette technique consiste à mesurer la vitesse et l'atténuation des ondes électromagnétiques traversant le matériau à examiner. Pour le matériau bois, ces deux paramètres dépendent de sa densité et de sa teneur en humidité. La dépolarisation des ondes électromagnétiques renseigne sur l’angle des micro-fibrilles.
James et al (1985) et Bucur (2002) rapportent que les micro-ondes sont utilisées pour
l’évaluation des caractéristiques intrinsèques du matériau bois telles que la densité, le taux d'humidité, l’angle des micro-fibrilles….
Szymani et Mcdonald (1981) rapporte que les micro-ondes permettent une évaluation rapide des caractéristiques intrinsèques du matériau bois mais incapables de différencier entre les défauts Résonance Magnétique Nucléaire La Résonance Magnétique Nucléaire (RMN) consiste à soumettre le matériau à un champ de radiations magnétiques à hautes fréquences et d’étudier la réponse du moment magnétique des atomes d’hydrogène ou de carbone qui font partie de la composition chimique
26
du bois. La fréquence du champ magnétique appliqué correspond à la fréquence de résonance des atomes ciblés (hydrogène et carbone). L’énergie magnétique réémise par ces atomes et leur temps de relaxation sont utilisés comme source d’information.
Bucur (2002 et 2003) rapporte que cette technique est appliquée pour étudier les caractéristiques du matériau bois (la distribution de l’humidité, la densité, la porosité et la composition chimique). Chang et al (1989) a utilisé la RMN pour la détection des défauts du bois et pour étudier la décomposition chimique du matériau bois, causée par les champignons.
Chang et al (1991) a appliqué cette technique pour la détection des défauts des bois verts et secs et a montré que cette technique n’est pas efficace pour la détection des défauts des bois secs. Rayons X L’auscultation du bois par Rayons X (RX) est basée sur la mesure de l'atténuation des radiations traversant le matériau et de remonter au coefficient d'absorption qui dépend de la densité.
Les auteurs [Polge (1978), Echols (1973), Hoge et al (1974)] ont utilisé les RX pour mesurer les variations de densité dans et entre les cernes de croissance du bois.
Gupta et al (1998) et Ridder et Habermehl (2002) ont utilisé les RX pour l’identification des défauts des bois à différentes échelles.
Szymani et Mcdonald (1981) ont rapporté que les RX permettent d’identifier les nœuds, les poches de résine et sont incapable de différencier entre les défauts et le bois de l’aubier quand leurs densités sont similaires. I.3- Evaluation de la qualité du matériau bois à partir de son comportement
acoustique La détermination des propriétés élastiques permet une étude quantitative et objective de la qualité du matériau bois. Il existe différentes méthodes pour la détermination du module d'élasticité. Le module statique est déterminé à partir de la courbe de contrainte-déformation en flexion, en compression ou en traction…, utilisé en mécanique de structure. Ces techniques destructives sont décrites dans les normes (DIN 52186, NF B51-008, ISO 3349,…). Des approches alternatives dites dynamiques ou acoustiques permettent la détermination rapide des propriétés élastiques du matériau et qui fournissent l’avantage d’être non destructives en leur nature comparée aux méthodes statiques. I.3.1- Approches expérimentales et théoriques en comportement acoustique Diverses méthodes sont mises au point par plusieurs investigateurs, ces méthodes sont basées sur des approches dynamiques multiples. La méthode de la vitesse de propagation des ultrasons [Bucur et Archer (1984), Bucur (1986), Bucur et Rocaboy (1988), Bucur et al (2002)] est utilisée pour la détermination des constantes élastiques du matériau bois. L’étude est réalisée sur des
27
éprouvettes découpées suivant différents angles d’orientation par rapport aux directions principales de symétrie du matériau bois. La détermination des constantes élastiques permet la construction des courbes de lenteur propre au matériau bois. L’application de cette technique pour les arbres sur pied [Sandoz et Lorin (1994), Leininger et al (2001), Divos et Szalai (2002)] consiste à évaluer la qualité interne liée aux caractéristiques biologiques et la qualité élastique du bois. La vitesse de propagation d’une onde ultrasonore à basse fréquence est mesurée sur l'axe radial de l'arbre, comparé à une vitesse de référence de chaque espèce, la diminution de la vitesse est considérée comme indicateur de la présence d’altérations.
D’après Wang et al (2004), la qualité élastique du bois de l'arbre peut être évaluée par des ultrasons en mesurant la vitesse de propagation sur l'axe longitudinal de l’arbre.
L’évaluation du module d'élasticité par la mesure de la vitesse ultrasonore et les fréquences de résonance a été testée par Jacques et al (2004) sur différents types d'échantillons au cours des étapes de la découpe des clones de mélèze (de l'arbre sur pied jusqu'aux éprouvettes normalisées). Les ondes de vibrations mécaniques sont utilisées pour l’évaluation de la qualité mécanique du bois. La vitesse de propagation de l’onde est la caractéristique la plus fréquemment analysée [Ross (1999a et 1999b), Zombori (2001), Wang et al (2005)].
La vitesse de propagation des ultrasons est supérieure à la vitesse des ondes mécaniques dans le bois, cette différence est expliquée par leurs formes différentes. La courte longueur d’onde des impulsions ultrasonores provoque un déplacement perpendiculaire de la matière, il en résulte une vitesse plus élevée que les ondes de vibrations mécaniques [Dolwin et Barnett (2000)]. En utilisant des ondes produites par un choc, Wang et al (2004) et Pellerin et al (1984) ont constaté qu’une chute de la vitesse de 30% est accompagnée d’une diminution de la résistance mécanique pouvant atteindre 50% (Figure II.1). Avec des ultrasons, Emerson et al (2002) a constaté qu’une diminution de 50% de la vitesse conduit à une chute de 60% du module d’élasticité et de 40% de la résistance mécanique.
Figure II.1 - Relation entre la vitesse de propagation et le degré de dégradation par les champignons [Pellerin et al (1984)].
Les caractéristiques mécaniques du matériau bois peuvent être déterminées par l’analyse des fréquences naturelles des vibrations. Les phénomènes physiques fondamentaux
28
sont décrits par la théorie des poutres de Timoshenko et Euler-Bernoulli [Kolman et Côté (1968), Bordonné (1989), Bozhang et al (1996), Emerson et al (1998), Murphy (2000)].
Des approches analytiques ont été développées pour l’évaluation de l’effet de défauts
es avivés pour différents bois ; rigidité et résistance à la pture, en vue de leur classement et la normalisation de la technique des ondes de vibrations
Pour l’évaluation de la qualité des arbres sur pied, une onde mécanique est induite par n choc sur la tige de l'arbre, la réponse vibratoire est enregistrée le long de la tige, les
caractéristiques de l’onde résultante sont liées aux propriétés mécaniques du bois [Nanami et al (1992a, 1992b et 1993), Wang et al (2000 et 2004), Grabianowski et al (2006)]. Ces études ont montré l’existence de relations significatives entre les propriétés mécaniques de l’arbre sur pied et les avivés obtenus. Lawday et Hodges (1999a et 1999b) ont examiné la réponse vibratoire d'un arbre à une excitation à l'aide d'un marteau à impact et un accéléromètre, les signaux mesurés ont été étudiés en utilisant le transformée de Fourier. L’état mécanique d’un arbre sur pied est évalué en comparant sa réponse en fréquence à un impact par rapport à un arbre sain (Figure I.2).
sur le comportement dynamique du matériau bois, en particulier sur des poutres flottantes en vibrations libres. La présence d’une singularité peut être mise en évidence en comparant les fréquences naturelles de vibration avec celles prédites théoriquement [Brancheriau (2002)]. Des facteurs de corrélation statistique ont été identifiés entre le module d’élasticité dynamique et les propriétés statiques druforcées [Renn et al (1999)]. La même approche a été adoptée par Ross et al (2000) et Wang et al (2000) pour le classement des bois ronds en incluant le module d’élasticité en vibration de flexion. u
Figure I.2 – Réponse en fréquence d’un arbre sain et d’un arbre
défectueux [Divos et Szalai (2002)].
Stefan et Gotfried (2000) ont mis au point un algorithme d’analyse de la réponse en
.
fréquence à un impact pour l’évaluation de la qualité des arbres sur pied, le spectre fréquentiel est devisé en bandes de fréquence, la qualité mécanique de l’arbre est évaluée en comparant le spectre par rapport à un spectre normalisé pour un arbre de diamètre de 20 cm
29
Axmon et Hansson (1999) et Axmon et al (2001) ont utilisé une analyse combinée des fréquences de résonance, des modes de vibrations circonférentielles et la vitesse de propagation de l’onde de surface produite par l’impact. L’état de l’arbre est évalué en omparant la fréquence avec celle prévue pour un arbre sain. La forme et le mode de vibration
changements de sa structure physique affectant ainsi es propriétés d’amortissement (facteur de qualité et le décrément logarithmique) [Emerson
et al (1
Soltis et al (2000) a montré que les fréquences de résonance diminuent et amort
I.3.2- Influence de la structure du bois sur son comportement acoustique
une rte hétérogénéité que l'on rencontre à différentes échelles d'observation. La complexité de
directions d’anisotropie, ce phénomène dépend de l’orientation des fibres olwin et Barnett (2000)].
s facteurs tels que la ensité et le rapport entre le vide cellulaire et la densité de la paroi. La vitesse de propagation
d’une onde acoustique dans la direction radiale varie entre 1000 à 1500 ms-1, elle peut att a (1998)].
sineux la lenteur de propagation d’une onde d’impact résente un maximum au voisinage d’un angle d’orientation de 45° par rapport à la direction
csont employés pour s'assurer que les fréquences de résonance correspondantes sont comparables. La dégradation du bois induit dess
998), Ross et Pellerin (1994), Pellerin et Ross (2002)].
Ouis (1999 et 2002) a combiné les mesures des modules d’élasticité en vibration de flexion avec les propriétés d’amortissement pour l’estimation de la qualité mécanique des billons. l’ issement augmente sur des poutres en vibrations libres à différents états de dégradation, le rapport entre la fréquence de résonance et l’amortissement est un indicateur sur la qualité du matériau en vibration.
Le comportement acoustique du matériau bois, comme tous les matériaux, dépend de sa microstructure et ses propriétés physico-mécaniques. Sa structure se caractérise par focette structure est due essentiellement à l’organisation et l’orientation cellulaire (Annexe 4). Les propriétés élastiques et les vitesses acoustiques sont différentes dans les directions d’anisotropie du bois (radiale, tangentielle et longitudinale). L’onde peut se propager suivant ces trois[D
La vitesse de propagation d’ondes acoustiques est plus importante dans la direction des fibres, ces dernières constituent un guide d’ondes. Dans la section transverse les fibres sont le siège des phénomènes de réflexion et de diffraction des ultrasons [Bucur (1986)]. La variabilité acoustique du matériau bois est affectée par d’autred
eindre une valeur supérieure à 5000 ms-1dans la direction longitudinale [Niemz et Kucer
L’anisotropie acoustique du matériau est étudiée par Ross et al (1999) sur des éprouvettes parallélépipédiques prélevées suivant différents angles d’orientation dans le plan transverse. Il a montré que chez les répradiale. Chez les résineux, dans la section transverse, la vitesse de propagation d’une onde de vibration acoustique est supérieure dans la direction radiale (Figure I.3).
30
Figure I.3 - Variation de la vitesse de propagation en fonction de l’orientation des cernes
annuels [Ross et al (1999)].
Maurer et al (2005) ont proposé une propagation elliptique dans le plan transverse, l'anisotropie acoustique est calculée à partir des équations du mouvement pour un état de contraintes et de déformations planes. La variabilité du comportement acoustique dans la direction longitudinale peut être attribuée à l'angle des microfibrilles. La figure I.4 montre une augmentation de l’amortissement longitudinal de la paroi en fonction de l’angle des microfibrilles, d’après les rcésultats de mesure sur des bois de Hinoki à 20 °C et 65% H.R, par Norimoto et al (1986), ité dans [Gril (1988)].
Figure I.4 - Influence de l’angle de la microfibrille sur l’amortissement longitudinal d’après
[Norimoto et al (1986)] cité dans [Gril (1988)].
31
La différence d'orientation entre les couches influence la propagation des vidans la direction longitudinale. Dans la direction radiale, la propagation des vibrations esassurée par la présence des rayons [Hori et al (2002)].
brations t
L'atténuation dépend aussi de l’anisotropie naturelle du matériau bois. Dans la irection transversale de la tige de l'arbre, l'atténuation peut être supérieure trois fois que celle
dans la direction longitudinale [Ouis (2000)].
I.3.3- Influence de l’humidité et de la température sur le comportement acoustique
L’influence de l’humidité sur la vitesse de propagation d’une onde de vibrations acoustiques a été étudiée sur des éprouvettes sollicitées dans la direction des fibres par Kolman et Côté (1968) et Ross et al (1999). Ces études révèlent que au-dessous du point de saturation des fibres PSF, la vitesse de propagation augmente avec la diminution de l’humidité, tandis que la vitesse est constante au-dessus du PSF (Figure I.5). 3) e ns
m de ur de
régr èles bilinéa fication e l’effet gement des coefficients de régression à une teneur de 2% [S
e
d
En utilisant les ultrasons, Sandoz (199linéaires entre la vitesse de propagation et l’hul'humidité montre trois zones linéaires qui po
ession [Simpson (1998)]. Autres mod de l’humidité avec un chan
t Simpson (1998) suggèrent des corrélatiidité. La variation de la vitesse en fonction raient être caractérisés par trois équations
ires sont adaptés pour la quanti
o
d3 andoz (1993)]. En utilisant la technique de l’impulsion sur le bois de Peuplier noir, Bucur et Facaoaru (1974) ont montré que la fréquence de résonance diminue avec l’augmentation dl’humidité et que l’atténuation des hautes fréquences est importante lorsque l’humidité du bois est très élevée (Figure I.6).
Figure I.5 - Vitesse de propagation dans la
direction des fibres en fonction de l’humidité pour deux essences (Sapin et Chêne)
[Kolman et Côté (1968)].
Figure I.6 - Fréquence de résonance en fonction de l’humidité du bois de peuplier
noir "Populus Nigra" [Bucur et Facaoarun (1974)].
ois d e et d sur le[Fukada d’épicéa. Il constat ique diminue en fonction de l’humidité entre 0 et 10% (Figure I. de la
Les propriétés d’amortissement du be l’humidité. L’influence de l’humidité
(1950 et 1954)] sur du bois
épendent de la fréquence, de la températur décrément logarithmique a été étudiée par
e que le décrément logarithm7). Quant à l’influence
32
température, le frottement interne diminue avec l’augmentation de la température pour une
le , le vec
idité (Figure I.8).
gamme allant de -30 à +100 C°. Sur des éprouvettes en vibrations libres, Akitsu et al (1993) ont montré que décrément logarithmique augmente avec l’augmentation de l’humidité entre 10 et 20 %processus est inverse pour le module spécifique (rapport module densité) qui diminue al’augmentation de l’hum
Figure I.7 - Décrément logarithmique en
fonction de la fréquence et l’humidité [Fukada (1950 et 1954)].
Figure I.8 - Relation entre l’humidité, le module spécifique et le frottement interne
pour le bois (Picea glehni) [Akitsu et al (1993)].
L’effet de la température sur la vitesse de propagation des ultrasons est notamment étudié par Sandoz (1993) pour une gamme de température allant de -20 à 60 °C. La vitesse de propagation des ultrasons diminue avec l’augmentation de la température, le phénomène est parfaitement linéaire. La pente de la droite de régression a montré une corrélation avec l’humidité (Figure I.9). Un effet linéaire est observé au-dessous du point de saturation des fibres. L’analyse Thermomécanique réalisée par Backman et Lindberg (2001) sur du bois d férente La d stiqum tandis que, l moyenne un coefficie lus élevé que la direction radiale à une température autour e -80°C.
Booker 002) sur la vitesse de propagation des ultrasons mesurée par la technique de contact, cas du
e Pin sylvestre a montré une réponse difirection radiale présente un module élainimal à une température environ -40°C,
nt de frottement p
entre la direction radiale et tangentielle.e maximal et un coefficient de frottement
a direction tangentielle a en
d L’effet couplé de l’humidité et de la température est étudié par Kang et(2Pin radiata. Les résultats ont montré que la vitesse de propagation varie fortement avec l’humidité au dessus du point de saturation des fibres, tandis qu’elle varie sensiblement avec la température dans la gamme de 20 à 80 °C. Ces effets couplés sont présentés dans une représentation tridimensionnelle (Figure I.10).
33
Figure I.9 - Influence de la température
sur la vitesse de propagation des ultrasons pour différents états d’humidité d’après
Figure I.10 - Vitesse de propagation en fonction de la température et de l’humidité
[Kang et Bo[Sandoz (1993)].
I.4- La tomographie acoustique pour l’évaluation de la qualité du bois Les techniques tomographiques sont parmi les techniques de contrôle non destructives utilisées pour l’auscultation du bois à différentes éch
oker (2002)].
elles. Ces techniques permettent appré
d’information les Rayons X, s Ray
) pour ive et quantitative de la qualité du matériau bois.
transformées morphologiques de l’image tomographique. Le traitement et la ssific
istribution des vitesses de propagations d’ondes coustiq
d’ cier et de donner une image virtuelle de la matière à partir d’une multitude de projections autour de l’objet à ausculter et de localiser les hétérogénéités, les singularités, les vides et inclusions présents à l’intérieur de la matière. Les techniques tomographiques utilisent comme source le ons gamma, les Radiations Magnétiques Nucléaires, les Rayons thermiques, les ondes acoustiques et les micro-ondes [Schad et al (1996), Schmoldt et al (1996), Nicolotti et al (2003)]. Les techniques tomographiques présentent un potentiel intéressant pour la détection des défauts du bois. Des prototypes de tomographe à Rayons X ont été mis au point par Szendrodi et al (1994), Gupta et al (1998) et Ridder et Habermehl (2002l’évaluation qualitat D’autres études sont concentrées sur l’adaptation de la tomographie en tant que technique d’expertise. Des systèmes de classification à réseaux de neurones ont été développés par Sarigul et al (2000) et Schmoldt (1996). Ces systèmes sont basés sur des approches à cla ation sont appliqués pour identifier des valeurs locales caractéristiques de chaque type de défauts qui sont traitées séparément sous forme d’image binaire. Parmi les techniques tomographiques utilisées dans l’expertise du matériau bois, on rencontre la tomographie acoustique qui est une alternative intéressante pour le contrôle non destructif. Elle permet de cartographier la da ues mesurées suivant différentes orientations dans la section transverse. Les zones défectueuses sont caractérisées par une faible vitesse de propagation [Socco et al (2000), Rust (2000), Wang et al (2004), Martinis et al (2004)].
34
Cette technique a l’avantage d’employer les ondes de Rayleigh, de Lamb, de ompression ou de cisaillement, le choix de l’onde dépend de son application. Pour auscultation d’un corps volumineux seules les ondes de compression et de cisaillement euvent être utilisées [Bucur (2002 et 2003), Singhal (2002)].
La tomographie acoustique utilise les techniques de reconstruction analytique par ansformée algébriques itératives ou d’inversion directe. Ainsi, l'image reconstruite n’est utre qu’une distribution spatiale des vitesses de propagation mesurées suivant différentes rientations dans la section transverse du tronc de l’arbre. Le bois dégradé est alors caractérisé ar des vitesses relativement faibles et les défauts sont localisables dans la section transverse e l’arbre [Rust (2000), Wang et al (2004), Martinis et al (2004), Lin et al (2005)].
.5- Conclusion
Les techniques d’évaluation non destructive de la qualité du bois et des arbres sur pied ont très diversifiées, l’application de l’une ou de l’autre présente des avantages et des mitations.
Les méthodes dynamiques dites acoustiques présentent l’avantage d’être non estructives. La vitesse de propagation, les fréquences propres de vibration et le décrément garithmique caractérisent le comportement acoustique et dynamique du bois. Ces
aractéristiques sont fortement influencées par l’anisotropie du matériau et par son état physique (densité, humidité et température). Dans la suite du travail nous avons retenu l’analyse des ondes de vibrations acoustique couplée à l’analyse multidirectionnelle en termes de vitesse de propagation des ondes de compression pour l’évaluation de la qualité du bois. L’application de cette technique nécessite une étude approfondie des interactions entre le matériau bois et le phénomène de propagation.
cl’p
traopd I sli dloc
35
CHAPITRE III
MATERIEL ET METHODES
35
III.1. Introduction
Dans ce chapitre nous exposons la méthodologie expérimentale utilisée pour l’analyse de la vitesse de propagation et l’adaptation de technique tomographique pour la détermination de la taille minimale de défaut artificiel et naturel détectable par l’utilisation de deux méthodes :
• Mesures des vitesses de propagation d’ondes de vibrations acoustique sur l’axe radial ; • Reconstruction tomographique des vitesses de propagation des ondes de compression ;
III.2- Matière végétale Trois espèces d’origines différentes sont utilisées dans ce travail : - Le Douglas (Pseudotsuga menziesi) : les échantillons de bois sont découpés au parc AGROPOLIS du CIRAD sous forme de rondins de hauteur comprise entre 40 et 50 cm. Au Laboratoire Xylométrie et Instrumentation du CIRAD forêt, les rondins sont stockés dans l’eau à température ambiante afin de les garder à l’état vert durant toute l’expérimentation. Au moment de l’expérimentation, chaque rondin est découpé sous forme de rondelles d’épaisseurs comprise entre 6 et 7 cm. Cinq rondelles du bois de Douglas ont été utilisées dans ce travail, trois rondelles pour l’analyse de l’anisotropie acoustique, une rondelle pour la détermination de la taille de défaut détectable par mesure radiale et une rondelle pour les essais tomographiques. - Le Peuplier blanc (Populus alba) : les échantillons testés sont découpés sous forme de billons de diamètre de l’ordre 45 cm et de hauteur de l’ordre 1 m, l’arbre provenant du parc AGROPOLIS du CIRAD contient de la pourriture au cœur ce qui a provoqué la chute de l’arbre. Au cours de l’expérimentation au laboratoire le billon est gardé dans une chambre conditionnée à 4°C afin d’éviter son séchage. Le billon est utilisé pour les essais tomographiques. - Le Cèdre de l’Atlas (Cedrus atlantica Manetti) : les échantillons proviennent de la forêt d’Azrou Moyen Atlas canton Michelifen, trois arbres de cèdre sain de circonférence supérieure à 60 cm on été choisi. Après abattage et tronçonnage de ces arbres, deux rondins d’environ 50 cm de longueur ont été extraits à partir de deux positions à 1,30 m du sol et l’autre à 1/3 de la hauteur utile. A partir de chaque rondin une rondelle de 15 cm d’épaisseur est découpée (Figure III.1). Ainsi, pour chaque rondelle, les caractéristiques suivantes sont mesurées : la hauteur au niveau du sol, la circonférence et le diamètre suivant l’excentricité de l’arbre (Tableau III.1). Les rondelles sont écorcées, leur humidité est mesurée en huit points cardinaux à l’aide d’un humidimètre (précision ± 2%). Ensuite, chaque rondelle est conservée dans un film en plastique scotché autour afin de la garder à l’état vert. Quatre rondelles du bois de Cèdre ont été utilisées dans ce travail, deux rondelles pour l’analyse de l’anisotropie acoustique et deux rondelles pour les essais tomographiques. Tableau III.1 - Caractéristiques des rondelles échantillons du bois de cèdre de l’Atlas
Position HS (m) Cr(m) DGA(m) A 1,88 1,72 0,78 B 3,82 1,25 0,58 C 1,85 1,05 0,67 D 3,86 0,76 0,74
HS - hauteur de prélèvement de la rondelle par rapport au niveau du sol,
36
Cr – circonférence de la rondelle, DGA - diamètre grand axe de la rondelle,
Figure III.1 - Prélèvement et découpe des rondelles échantillon du bois de Cèdre de l’Atlas
comportant les
(A) Marteau Impact ou marteau force, B&K modèle 8202 ; (B) Conditionneur amplificateur B&K, modèle NEXSUS ; (C) Accéléromètre B&K, Delta Tron modèle 4397 à fixation magnétique; (D) Carte d’acquisition analogique numérique à deux voies Pico Technologie ; (E) PC portable HP pentium III avec le logiciel d’acquisition PicoScop.
III.3- Appareillage Les essais sont réalisés à l’aide d’une chaîne de contrôle non destructif éléments présentés dans la figure III.2 :
Figure III.2 - Représenta e contrô tif es deux ca o AD nt été testées. Les caractéristiques technologiques de chci-des
able ristiques techn tes d’acqu
tion de la chaîne d le non destruc
Les performances d rtes d’acquisition (Picaque carte sont présentées dans le tableau
C 216 et Pico 3206) o
sous. au III.2 - CaractéT ologiques des car isitions.
PICO ADC 216 PICO 3206 Résolution 16 bits 8 bits Gamme de tension ±10 mV → 20 V ±100 mV → 20 V Précision (%) ± 3 ± 1 Bande passante 166.6 KHz 00 MHz 1
37
Pour évite l’en la sortie, un choix de réglage de l’app e est urs essais prélim s (Tableau III.3) Tableau III.3 - Réglage adopté pour l’appareillage
C 216 06
r la distorsion des signaux de trée et de areillag adopté après plusie inaire .
PICO AD PICO 32
Entrée Marteau force
tillonnage e points
Fréquence de coupure
z
30 kHz
z
30 kHz
Fréquence d’échanNombre dGamme de tension
166 kH8192 500 mV
6,25 MH16384 500 mV
Sortie Nombre de points Accéléromètre
Fréquence d’échantillonnage
Gamme
166 kHz 8192 500 mV
6,25 MHz 16384 500 mV
Fréquence de coupure 22,4 kHz 22,4 kHz III.4- Conditions expérimentales Les expérimentations sont réalisées en condition d’encastrement de telle façon que les ndes de compression soient favorisées (Figure III.3). La rondelle est maintenue entre deux
la rondelle et les panneaux une couche de apier bulle est placée pouranneaux et le support. L’e tal à l’aide de deux serre-
opanneaux MDF (Medium Density Fibres). Entre p éviter les vibrations de contact entre la rondelle testée, les deux
nsemble est fixé sur un support horizonpjoints.
Figure III.3 - Système d’encastrement III.5- Mesure des vitesses de propagation La répercussion à l’aide du marteau force génère par l’intermédiaire d’une vis une onde ayant la forme d’une impulsion (Voie A). Cette onde est enregistrée via le marteau force et le conditionneur avant de traverser la section transverse, la réponse qui est une onde sinusoïdale amortie dans le temps est enregistrée via un accéléromètre aimanté placé sur la vis de la face opposée (Voie B).
Le signal induit par le marteau ainsi que sa réponse sont filtrés, conditionnés puis amplifiés par le conditionneur, ensuite numérisés à l’aide de la carte d’acquisition Pico, les deux signaux sont affichés sur l’écran d’un ordinateur lié à la carte Pico, grâce au logiciel
38
PicoScop (Figu force et sortie accéléromètre) es
re III.4). Un exemple de tableau de résultats (Signaux entrée marteaut donné à l’annexe 5.
Figure III.4 - Cas typique de signaux temporels, entrée marteau
force (voie A) et sortie accéléromètre (voie B)
Les vitesses de propagation sont mesurées par traitement et analyse des signaux acoustiques enregistrés. Deux méthodes sont utilisées : Méthode de lissage : consiste à mesurer le retard de phase entre le signal de l’entrée et celui de la sortie par filtrage des signaux avec un filtre numérique idéal passe bas (coupure de 30kHz) dans le plan fréquentiel (Figure III.5).
Pour la carte d’acquisition Pico ADC 3206 (Figure III.5). La largeur de la fenêtre de filtrage est de 91 points, soit une précision temporelle de ±7,28µs (137kHz). La fréquence d’échantillonnage passe de 6250kHz à 137kHz.
ico ADC thode de calcul du temps de
diffé e ’entrée et de l re III.5) après avoir effectué largeur est e 200 pt (32 µs).
Quant à l’acquisition par la carte Ppropagation est basée sur la détection de la
a sortie (Figu
216, la mérence des débuts et fins des signaux d
un lissage dont la ld
Figure III.5 - Filtrage des signaux de l’entrée et de la sortie
Figure III.6 - Détection des débuts des signaux entrée-sortie
39
Méthode énergétique : Cette méthode est basée sur le calcul de l’énergie temporelle cumulée (Figure III.7), à partir de laquelle le maximum de la dérivée seconde est déterminé (Figure III.8). Le temps de propagation est égale à la différence des temps associés aux maxima de la dérivée seconde de l’énergie cumulée des signaux de la sortie et de l’entrée. Cette technique n’est utilisée dans ce travail que pour la carte Pico ADC 3206.
Figure III.7 - Energie temporelle cumulée Figure III.8 - Dérivée seconde de l’énergie
porelle cumulée des signaux entrée-sortie
La tomographie utilise les algorithmes de reconstruction d’image qui reposent sur la théorie es rayons de propagations sont alors supposés
ctilignes. Le phénomène de propagation d’onde acoustique dans le bois est fonction de aniso
sure, le nombre des ssais initialement réalisés est dix dans le sens (AB) et dix dans le sens inverse (BA).
Suivant les autres rayons parallèles (en dehors du radial), les essais sont effectués trois is dans le sens (AB) et trois fois dans le sens inverse (BA) (Figure III.9). La comparaison
des résultats obtenus en fonction de la direction de propagation permet l’évaluation des différences existantes dans la détermination de la vitesse de propagation.
des signaux entrée-sortie tem III.6- Analyse de l’anisotropie acoustique
III.6.1- Principe de l’expérimentation
de la transformée de Radon. Lrel’ tropie du matériau. En effet la structure multicouche que forment les cernes annuels impose en effet certaines directions de propagation privilégiées. Les rayons de propagation peuvent alors ne pas être rectilignes.
III.6.2- Protocole expérimental La première étape consiste à déterminer la vitesse de propagation radiale sur des rondelles de bois de Douglas. Dans le but de minimiser l’erreur de mee fo
40
Figure III.9 - Schématisation des essais sur rondelles du bois de Douglas
Sur les rondelles du bois de cèdre, la vitesse de propagation sur l’axe radial est
esurée suivant quatre directions diamétrales A, B, C et D. Les mesures sont répétées deux fois dans le sens (ij) et dans le sens inverse (ji) (Figure III.10 (a)).
En balayant parallèlement le diamètre de la rondelle, l’essai est effectué une seule foi dans le sens (AiAj) et dans le sens inverse (AjAi) (Figure III.10 (b)) et ainsi de suite pour les directions B, C et D. La répétition des essais permet de comparer la variation de la vitesse entre les deux sens possibles de propagation.
m
(a) (b)
Figure III.10 - Schématisation des essais sur rondelles de bois de Cèdre (a) essais diamétraux et (b) essais parallèles
II.11).
Après la réalisation de l’ensemble de mesures, la rondelle est découpée sous forme de barreaux à l’aide d’une scie circulaire de telle façon que l’axe des sondes coïncide avec l’axe du barreau. La rondelle est ensuite « reconstruite » en rassemblant les barreaux obtenus espacés entre eux d’une distance de 5 mm environ (Figure III.12). La rondelle ainsi reconstruite est placée dans les mêmes conditions d’encastrement que la rondelle entière. Sur
Afin de vérifier l’hypothèse de rayon de propagation rectiligne dans la section transverse du matériau bois, les sondes sont plantées de telle façon que les vitesses de propagation soient mesurées suivant des droites formant une géométrie parallèle couvrant la section transverse de la rondelle (Figure III.11). Les rayons de propagation sont repérés en fonction de l’angle d’orientation (φ) qui représente l’angle de rotation du système de coordonnées de symétrie matériel (RT) et la direction de propagation possible de l’impulsion (Figure I
41
chaque barreau on mesure la vitesse de propagation de la même manière que pour la rondelle entière.
Figure III.11 - Représentation schématique du système de coordonnées matériel
Figure III.12 - Découpe des rondelles échantillon
III.6.3- Mesures des caractéristiques mécaniques Les barreaux obtenus par découpe des rondelles de Douglas et de Cèdre sont utilisés pour la confection des barrettes de section 3 × 3 cm2 et de longueur variable (longueur
ferieur ou égale au diamètre de la rondelle) pour mesurer le module d’élasticité dynamique en flexion et en compression et le module de cis illement. Les barrettes sont prélevées de telle manière que leur grand axe coïncide avec III.13). Les barrettes obtenues sont pesées ite, on procède à la
esure de la longueur de chaque barrette. La hauteur et la largeur sont mesurées à partir de nne.
ina
l’axe des tires (Figures à l’aide d’une balance de précision 10-2g. Ensu
mtrois points équidistants pour déterminer une moye
Figure III.13 - Barrettes obtenues après découpe
Deux modes d’excitations sont réalisées :
déterminés par analyse modale du signal acoustique dans le domaine équentiel. La détermination des fréquences propres de vibration permet la résolution de
- En vibration de compression, dans ce cas le module d’élasticité correspond au premier mode de vibration, la fréquence propre de vibration correspond au pic le plus énergétique dans le domaine fréquentiel. - En vibration de flexion, dans ce cas le module d’élasticité et le module de cisaillement sont fr
42
l’équation d’équilibre dynamique sous sa forme différentielle en quatrième ordre en utilisant l’approche de Bordonné (1989).
III.6.5- Mesure de l’humidité et de la densité L’humidité est mesurée en prélevant deux échantillons de (3 × 3 × 1 cm3) à partir de chaque barrette, un échantillon du milieu et l’autre de l’extrémité (Figure III.14). Le taux d’humidité est déterminé selon la norme française NF B 51 - 004. Les échantillons
-3 à
humidité h(%) sont pesés à l’aide d’une balance de précision de 10 g, ensuite mis dans l’étuve à une température de 103 °C ± 2°C jusqu’à poids constant. Une fois les échantillons sont déshydratés, on les met dans un dessiccateur pour les refroidir avant de peser leurs masses anhydres. Pour la mesure de la variabilité de la densité, le barreau diam ral est découpé sous forme d’éprouvettes de dimension (3×3×1 cm3) à différentes positions radiales (Figure III.15). La densité de chaque éprouvette est déterminée selon la norme française FB 51-005. Deux séries de mesures sont réalisées, la première est à l’état humide, les éprouvettes sont pesées par une balance précise à 10-3 g, les dimensions suivant les trois directions d’anisotropie ( esur prouve ve ventilée à une ne masse constante. Une fois les échantillons sont déshydratés, on les met dans un essicc
l’
ét
radiale, tangentielle et longitudinale) sont mttes sont séchées dans une étu
ées par un comparateur digital. Ensuite, cestempérature de 103 °C ± 2°C jusqu’à é
ud ateur pour refroidir avant de mesurer la masse et les dimensions une deuxième fois.
Figure III.14 - Prélèvements d’éprouvettes
pour la mesure de l’humidité Figure III.15 – Prélèvement d’éprouvettes
pour la mesure de la densité.
III.6.6- Effet de l’humidité et de la densité sur la vitesse de propagation L’influence de l’humidité et de la densité sur la vitesse de propagation est étudiée sur des éprouvettes de (3×3×20 cm3) prélevées de différentes orientations par rapport à l’axe radial. La vitesse de propagation est mesurée sur ces éprouvettes en vibration libre (Figure III.16 (a)). Pour l’étude de l’effet de l’humidité, les éprouvettes déposées initialement à l’état vert sur un support constitué de deux appuis élastiques (Figure III.16 (b)) subissent un séchage progressif dans une étuve conditionnée à une humidité d’équilibre de 6% correspondant à une température de 20°C et à une hygrométrie de 30%. Dans un intervalle de temps régulier, nous mesurons sur chaque éprouvette la vitesse de propagation, la masse à l’aide d’une balance de précision 10-3g et les dimensions (radiale, tange t axiale) à l’aide d’un pied à u’à la stabilité
ntielle eq coulisse digital de précision 10-2 mm. L’essai continue jus
43
de la masse des éprouvettes, ensuite, elles sont séchées dans une étuve ventilée à 103±2 °C squ’à une masse constante (la masse anhydre). ju
(a) (b)
ations de compression a), appuis élastiques (b)
e et de l’objet sondé. L’expérimentation ’intéresse ici à trois types de défauts :
• Défaut artificiel situé au centre de la section d’une rondelle du bois de Douglas sans
défaut initial. • Défauts naturels sur des • Défauts naturels sur un rondin du bois de Peuplier.
III.7.1- Détection des défauts artificiels
ions ’enc vers iamètres ont ensuite été forés au centre de la rondelle par prélèvement concentrique à l’aide ’une s des défauts artificiels sont 3 cm, 7.5 cm, 15 m et 2 delle est testée dans les mêmes conditions
Figure III.16 - Pont d’essais de vibren conditions libre-libre (
III.7- Etude tomographique Le niveau de précision d’une technique d’évaluation non destructive peut être défini par la plus petite taille détectable pour un défaut. Cette taille dépend de l’approche expérimentale choisie, de la métrologie utilisés
rondelles du bois de Cèdre ;
Une rondelle du bois de Douglas est testée à l’état "sans défaut" dans les conditastrement favorisant les ondes de compression. Des trous de forme circulaire de did
dd cie à cloche (Figure III.17). Les diamètres
0 cm. Pour chaque taille de défaut, la roncd’encastrement suivant les mêmes points sondés.
S
d
Figure III.17 – Rondelle du bois de Douglas avec un défaut artificiel central (trou)
44
III.7.2- Principe de l’expérimentation
ire de 45° (Figure III.18). Des essais vibratoire (type marteau force ccéléromètre) suivant la direction radiale sont réalisés. La percussion à l’aide du marteau rce est réalisée de telle façon à éviter la distorsion des signaux.
Une rondelle saine du bois de Douglas est sondée dans la section transverse suivant un balayage angulaafo
Figure III.18 – Schématisation des essais dans la section transverse
Pour chaque direction AiAj, 3 essais sont réalisés dans le sens AiAj et 3 essais dans le sens AjAi. La vitesse radiale de référence est déterminée comme étant la moyenne des 24 mesures réalisées :
n
∑ iv
n= i
Rv (8)
avec n = 24 En utilisant la distribution de Student avec une marge d’erreur de 5%, l’erreur relative est donnée par :
( )R
96,1%v
e=ε
avec e est l’écart type
Les valeurs de la vitesse radiale de référence moyenne, maximale, minimale et erreur relative sont données dans le tableau III.4.
ablea
l’ T
u III.4 : Vitesse radiale de référence.
vR (m/s) vmax (m/s) vmin (m/s) ε 1553 1595 1490 4 %
Une fois les mesures sont effectuées sur la rondelle sans défaut, des trous de forme irculaire de divers diamc
cètres d ont été forés au centre de la rondelle par prélèvement
oncentrique. Le forage est effectué à l’aide d’une scie à cloche. Pour chaque taille de défaut, nous mesurons la vitesse de propagation entre les mêmes points sondés. Les diamètres testés sont respectivement (1, 5, 8.3, 15 et 20 cm). Dans chaque cas, le défaut est caractérisé par le rapport de sa surface sur la surface totale de la rondelle (Figure III.17).
45
III.7.3- Simulation d’un défaut artificiel Pour simuler le défaut artificiel crée au centre de la rondelle du bois de Douglas, un mélange de coupons de bois de très fine granulométrie et de la colle vinylique AGO B 3 diluée à 90 % d’eau est utilisé pour remplir le vide. Le mélange est entassé à l’intérieur du trou et la rondelle échantillon est ensuite gardée pendant 48h dans une chambre conditionnée à 4°C pour stabiliser le défaut artificiel. Nous mesurons la vitesse de propagation d’une onde de compression entre les mêmes points sondés. A la fin de chaque essai la teneur en eau de l’hétérogénéité est déterminée en mesurant la masse initiale et la masse finale après séchage dans une étuve à 103±2 °C.
III.7.4- Repérage des sondes tomographiques La lim t une étape
portante dans le processus de numérisation des images virtuelles obtenues par la technique mogr
La rondelle échantillon est sondée dans la section transverse, seize sondes sont placées utour de celle-ci d’une manière
sens des aiguilles d’une montre. La position de chaque sonde (point Mi avec i=1 à 16) est isis dans le même plan de coupe. Pour
haque sonde, nous mesurons les distances O1Mi= di1 et O2Mi= di2 à l’aide d’un compas forestier (Figure III.19).
itation du contour de la section sondée par tomographie esimto aphique. En effet, elle permet l’identification de la surface et le nombre des pixels reconstruits après analyse. Cette étape consiste à repérer les positions des sondes émettrices-réceptrices dans l’espace.
a équidistante. Les sondes sont numérotées de 1 à 16 dans le
repérée par rapport à deux points fixes O1 et O2 choc
Figure III.19 - Technique de repérage des sondes tomographiques
Les seize distances di1 et di2 permettent de repérer la position de chaque sonde dans le plan (O1O2,V) comme il est montré dans Figure III.20. La technique consiste à convertir les distances des points sondées à des coordonnées (x1,x2) qui sont données par :
22
22
21
1d
ddd
x iii +
−= (9)
22
21212 22 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−−=
dddddx ii
ii (10)2
46
avec d est la distance entre les deux points O1 et O2.
Figure III.20 - Repérage des so
par rapport à 2 points extérieurs Ondes tomographiques
1 et O2
III.7.5- Mesures tomographiques Un essai vibratoire avec marteau force et accéléromètre est effectué sur chacune des 16 sondes disposées en géométrie de type éventail. Le point d’impact est une sonde émettrice (1) (Figure III.25), les quinze autres sondes sont réceptrices {2,..,16}. Les rayons de propagation constituent un réseau qui couvre la section transverse de la rondelle échantillon (Figure III.21). Ils sont schématisés sur la figure par des droites par commodité.
Figure III.25 - Projection en géométrie éventail de la section transverse de l’échantillon
amètres sont ensuite forés au centre de rondelle par prélèvement concentrique. Le forage est effectué à l’aide d’une scie à cloche
Le test est réalisé sur les rondelles échantillons de Cèdre et sur le rondin de Peuplier contenant des défauts naturels. Concernant le défaut artificiel, la rondelle de bois de Douglas est testée à l’état sans défaut dans les conditions d’encastrement favorisant les ondes de compression. Des trous de forme circulaire de divers dilaavec une vitesse de rotation optimale évitant l’échauffement et le séchage de la rondelle échantillon. Pour chaque taille de défaut, la rondelle est testée dans les mêmes conditions d’encastrement suivant les mêmes points sondés. Les diamètres testés sont de l’ordre de (3, 7.5, 15 et 20 cm).
47
Les vitesses de propagation obtenues à partir des seize projections en géométrie ventail seront utilisées d’une part pour la résolution du problème inverse de Radon et d’autre art, pour la reconstruction des images tomographiques en 2D et en 3D. Les images mographiques obtenues seront comparées avec les photographies des bois échantillons.
III.7.6- Reconstruction tomographique
Les signaux acquis et les coordonnées de chaque point de mesure sont arrangées d’une anière simple et facilement interprétable par le logiciel écrit en langage Matlab.
La technique de reconstruction est basée sur le théorème de Radon. La projection itiale des données est supposée un ensemble de rayons droits. Elle est ensuite corrigée pour
rendre en compte l’effet de l’anisotropie. L’algorithme de reconstruction est basé sur la troprojection filtrée pour l’application de la transformée inverse de Radon des projections. e réarrangement en données parallèles n’est pas utilisé, la reconstruction utilise une terpolation des projections de Radon en Cubic spline (en fonction du balayage angulaire
ropre à la géométrie éventail). L’image est reconstituée à partir de 240 mesures de temps de ropagation, correspondant à un nombre de 120 pixels à reconstruire.
épto
m inpréLinpp
( )2
1−=
nnn p (11)
Les principes mathématiques de la reconstruction d’images en tomographie acoustique ont détaillés dans l’annexe 6.
La reconstitution de l’image tomographique est réalisée en supposant que les trajets
arcourus par les ondes est un ensemble de segments droits [MiMj], avec (i = émetteur t j = récepteur). Ensuite, l’algorithme procède au calcul des points de projection de Radon et la reconstruction des projections.
Le couplage et l'atténuation des hautes fréquences présentent du bruit dans la rampe es projections. Le filtre est conçu directement dans le domaine de fréquence et ce en ultipliant les projections par le transformée inverse de Fourrier d’une fenêtre rectangulaire
e la largeur 2π et de hauteur 1. Le filtrage est réalisé dans le domaine et multiplié par le ansformée de Fourrier rapide (FFT) des projections.
L’image rétro-projetée est reconstruite en reconstruisant les projections de Radon par terpolation des vecteurs de projection en fonction du balayage angulaire propre à la
éométrie éventail. Le réarrangement des données parallèles n’est pas utilisé. L’opération de aitement des données prend entre 3 et 5 minutes. L’organigramme de l’algorithme de construction tomographique est présenté ci-dessus :
s
peà dmdtr ingtrre
48
Signaux Acoustiques
Coordonnées des Sondes
Identification du Contour et de la Surface
Traitement des Signaux Calcul du Retard
Calcul des Vitesses de Propagation
Transformée de Fourier
Analyse Statistique
Analyse Tomographique
Reconstruction Tomographique
Acquisition des Données
Filtrage des Projections
49
CHAPITRE IV
ETUDE ET ANALYSE DE L’ANISOTROPIE ACOUSTIQUE DU MATERIAU BOIS
49
IV.1- Introduction Le comportement acoustique du matériau bois, comme tous les matériaux, dépend de sa microstructure et de ses propriétés physico-mécaniques. La structure du matériau bois se caractérise par une forte hétérogénéité que l'on rencontre à différentes échelles d'observation. Cette structure multicouche qui caractérise le bois impose des directions de propagation privilégiées de l’onde acoustique. L’objet de ce chapitre est l’analyse expérimentale du phénomène de propagation d’ondes de vibrations acoustiques dans le matériau bois (ondes de compression) et sa sensibilité aux caractéristiques du bois (orthotropie, variabilité, taux d’humidité…). Et ce dans le but d’étudier d’une part, l’influence de l’anisotropie sur le comportement acoustique du matériau bois, et d’autre part d’estimer les paramètres correctifs de la vitesse de propagation d’une onde de compression mesurée suivant diverses orientations dans le plan transverse de l’arbre. Le principe de l’étude consiste à mesurer les vitesses de propagation d’ondes de compression produites par un impact contrôlé sur une structure anisotrope présentée par la rondelle. L’expérimentation est réalisée suivant trois étapes : - Essais vibratoires de compression de type (marteau force – accéléromètre) sur rondelle saine entière suivant une géométrie parallèle ;
- Essais vibratoires en compression de type (marteau force – accéléromètre) sur barreaux après découpe de la rondelle, ces essais se déroulent dans les mêmes conditions d’encastrement ;
- Essais de vibrations de compression et de flexion en conditions libres sur des barrettes de forme régulière issues de la découpe des barreaux pour la détermination des fréquences propres de vibration, des modules d’élasticités et des modules de cisaillements. IV.2- Etudes comparatives Les études comparatives sont réalisées sur des rondelles du bois de Douglas.
IV.2.1- Comparaison entre méthodes de détermination des vitesses de propagation
Les vitesses de propagation ont été déterminées en mesurant le temps de propagation par deux méthodes, la méthode de lissage et la méthode de l’énergie. La fiabilité de chaque méthode est déterminée par la précision sur le temps de propagation. La distribution des vitesses de propagation en fonction de l’orientation angulaire (Figure IV.1) montre une dispersion des valeurs plus faible pour la méthode de lissage en comparaison avec la méthode de l’énergie. D’une manière générale, les deux méthodes donnent des résultats comparables. Une relation quasi-linéaire est observée entre les vitesses obtenues par les deux méthodes (Figure IV.2). La technique de lissage donne des mesures plus précises, elle est donc utilisée par la suite pour la comparaison des performances des deux cartes d’acquisition Pico ADC 216 et Pico ADC 3206.
50
Angle (°)
44.3542.5728.5728.1214.6313.88.00
95%
CI V
itess
e (1
000
m/s
)
1.7
1.6
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1.0
.9
Méthode
Lissage
Energie
Vl (1000 m/s)
1.61.51.41.31.21.1
Ve (1
000
m/s
)
1.6
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1.0
.9 Rsq = 0.8208
Figure IV.1 - Distribution des vitesses de
propagation en fonction de la position angulaire de l’essai pour la méthode de
lissage et la méthode énergétique
Figure IV.2 - Relation entre vitesse de propagation (vl) obtenue avec la méthode de
lissage et (ve) obtenue avec la méthode énergétique
IV.2.2- Comparaison des performances des deux cartes d’acquisition utilisées
Cette étude est réalisée sur une rondelle du bois sain de Douglas, la rondelle est étudiée suivant une géométrie parallèle, la distance à la moelle est déterminée d’après les positions des sondes. La figure IV.3 présente les valeurs des vitesses de propagation obtenues par les deux cartes en fonction de la position de l’essai sur l’axe radial. Les mesures sont cohérentes entre la carte Pico ADC 216 et la carte Pico ADC 3206 sauf pour quelques essais ou la Pico ADC 216 donne des valeurs très dispersées. D’une manière générale, les mesures sont plus dispersées pour la carte Pico ADC 216 que pour la carte Pico ADC 3206. Une relation statistiquement significative est observée entre les vitesses mesurées par les deux méthodes (Figure IV.4). Les valeurs données par la carte Pico ADC 3206 sont également plus élevées que pour la carte Pico ADC 216. La fréquence d’échantillonnage plus élevée de la carte Pico ADC 3206 permet d’obtenir des valeurs plus précises mais aussi moins dispersées en raison du filtrage. Cette carte d’acquisition est utilisée par la suite.
Position (cm)
14.510.610.36.66.02.52.0
95%
CI V
itess
e (1
000
m/s
)
1.6
1.4
1.2
1.0
.8
.6
Cartes
Pico ADC 3206
Pico ADC 216
V C3206 (1000 m/s)
1.61.41.21.0.8.6
V C
216
(100
0 m
/s)
1.6
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1.0 Rsq = 0.4150
Figure IV.3 - Distribution des vitesses de propagation en fonction de la position de
l’essai pour les deux cartes Pico ADC 216 et Pico ADC 3206 par la méthode de lissage
Figure IV.4 - Relation entre vitesse de propagation (vC3206) mesurée avec la carte Pico ADC 3206 et (vC216) mesurée avec la
carte Pico ADC 216
51
IV.3- Analyse de l’anisotropie acoustique transverse
IV.3.1- Effet de l’orthotropie transverse sur les vitesses de propagation Les vitesses de propagation ont été mesurées sur deux types de rondelles (rondelles saines et rondelles contenant de la pourriture au centre) et sur des barreaux du bois de Douglas obtenus après découpe des rondelles selon la méthodologie présentée dans le chapitre III.
Un barreau est repéré par sa position dans la rondelle par un angleϕ, angle entre un diamètre de référence de la rondelle et la droite reliant ce diamètre et une des extrémités du barreau. Si A et B sont les deux extrémités d’un barreau, les mesures sont réalisées 3 fois dans le sens AB et 3 fois dans le sens BA, donc pour chaque angle ϕ nous avons 6 mesures de la vitesse. Résultats sur les rondelles et barreaux sains La figure IV.5 présente la vitesse de propagation en fonction de l’angle d’orientation. Une forte dépendance est observée entre la vitesse et les valeurs de (ϕ), en effet, la vitesse diminue avec l’augmentation de l’angle d’orientation par rapport au système de coordonnées de symétrie matériel (RT) pour (0≤ϕ<50°). Le maximum est observé sur rondelle entière dans la direction radiale, il est de l’ordre de 1600 m/s. Ces résultats s’expliquent par la structure anatomique du matériau, la présence de cellules orientées radialement facilite en effet la propagation de l’énergie acoustique [Bucur (2003)]. Une différence significative existe entre les vitesses de propagation de l’onde se propageant sur la rondelle entière et l’onde guidée sur les barreaux. Cette dernière observation permet de déduire que l’hypothèse de rayon de propagation rectiligne dans la section transverse du bois n’est pas vérifiée. Afin de faciliter la lecture du graphique (ne pas tenir compte de l’effet de la découpe), nous avons rapporté dans la figure IV.6 la variation du rapport (v(ϕ)/vR), en prenant la vitesse radiale (vR) comme étant une vitesse de référence. Un minimum de (v(ϕ)/vR) est observé autour de ϕ = 45° pour les barreaux. Ce phénomène est observe également par [Ringger (2003)] et est expliqué par une combinaison de l’effet de module de cisaillement et du module d’élasticité.
Angle (°)
50403020100
Vite
sse
(100
0 m
/s)
1.6
1.4
1.2
1.0
.8
.6
Aprés découpeRsq = 0.9743
Avant découpeRsq = 0.9112
Angle (°)
50403020100
1.1
1.0
.9
.8
.7
.6
.5
Aprés découpeRsq = 0.9705
Avant découpeRsq = 0.8680
Figure IV.6 - Variation du ratio (v(ϕ)/vFigure IV.5 - Vitesse de propagation en
fonction de la position angulaire "bois de Douglas sain"
R) en fonction de la position angulaire "bois de
Douglas sain"
v(ϕ)
/vR
52
Une corrélation très hautement significative de forme polynomiale (y=ax2+bx+c) existe entre la vitesse et les positions angulaire (ϕ), les coefficients a, b et c dépendent des conditions aux limite et d’encastrement. Résultats sur les rondelles avec la pourriture du cœur Les mesures de la vitesse de propagation en fonction de l’angle (0° < ϕ < 50°) sur une rondelle du bois de Douglas contenant de la pourriture du cœur, ont montré un comportement inverse (Figure IV.7). La vitesse augmente linéairement et la vitesse sur l’axe radial est de l’ordre de 1200 (m/s) avec une chute d’environ 25% par rapport à la vitesse radiale de référence.
Angle (°)
50403020100
Vite
sse
(x10
00 m
/s)
1.6
1.4
1.2
1.0
.8
.6
Avant découpeRsq = 0.7243
Aprés découpeRsq = 0.8002
Figure IV.7 - Vitesse de propagation en fonction de la position angulaire "bois de Douglas avec pourriture à cœur"
La comparaison de ces résultats permet de conclure que la présence des défauts (pourriture) dans le bois induit une diminution de la vitesse de propagation, et inversement la diminution de la vitesse, signifie la présence des défauts.
IV.3.2- Comparaison entre la propagation dans la rondelle et la propagation guidée dans les barreaux
L’exploitation des mesures précédentes en éliminant l’angle ϕ permet de déduire une présentation de la vitesse dans le barreau en fonction de la vitesse dans la rondelle (Figure IV.8) La figure IV.8 présente la variation de la vitesse de propagation de l’onde guidée dans les barreaux en fonction de celles obtenue dans la rondelle. Le résultat montre une relation polynomiale de second ordre statistiquement significative (R2 ≈ 0.82). La différence entre les vitesses de propagation est très hautement significative, elle peut être attribuée à l'anisotropie mécanique du bois dans la section transversale qui a pour conséquence d’imposer des directions privilégiées de propagation. Entre outre, Rin et Kraft (2005) ont montré que les propriétés internes de la tige déterminent la forme des rayons de propagation.
53
Vitesse avant découpe (1000 m/s)
1.61.51.41.31.2
Vite
sse
apré
s dé
coup
e (1
000
m
.9
.8
/s)
1.0
.7 Rsq = 0.8234
Figure IV.8 - Relation entre vitesse de propagation sur rondelles (avant découpe) et sur barreaux (après découpe) "Bois de Douglas sain"
Une relation similaire entre les vitesses de propagation d’une onde acoustique dans le bois de Douglas (barreau et rondelle) avec pourriture à cœur est observée (Figure IV.9). L’hypothèse de propagation de l’onde suivant des rayons droits implique des corrections sur les vitesses de propagation mesurées.
s)
1.2
1.51.41.31.21.1
és d
éco
000
m/
1.0
.8
Vitesse avant découpe (1000 m/s)
Vite
sse
apr
.6 Rsq = 0.7129
upe
(1
Figure IV.9 - Relation entre vitesse de propagation avant découpe et après découpe "bois de Douglas avec pourriture à cœur"
IV.3.3- dans le bois intact
non attaqué. es résultats montrent que les vitesses dans les deux sens opposés de propagation, dans le
(Figure IV.10)
Comparaison entre les deux sens possible de propagation
L’exploitation des mesures précédentes en éliminant l’angle (ϕ) permet d’avoir l’expression de la vitesse dans un sens en fonction de la vitesse dans le sens opposé. Les vitesses sont mesurées dans les deux sens possible de la propagation sur les rondelles et sur les barreaux découpés à partir des rondelles du bois de Douglas Lplan transverse, sont différentes, sauf pour les vitesses radiales qui présentent peu de différence
54
1640
0
0
1580
1560
1540
162
160
VAB (m/s)
1600158015601540152015001480
VBA(
m/s
)
1520
1500 Rsq = 0.9171
Figure IV.10 - Relation entre vitesses de propagation radiales
dans les deux sens de propagation
Sens (AB) Sens (BA)
L’analyse statistique des résultats réalisée sur les vitesses radiales de propagation, (l’axe radial est le plus long trajet parcourus par l’onde), révèle une faible dispersion des valeurs des vitesses de propagation autour de la moyenne 1550 (m/s), avec un coefficient de variation de l’ordre 2% (Tableau IV.1). On peut estimer une vitesse radiale de référence correspondant à l’état intact du bois de douglas, variable entre 1400 et 1600 m/s. Tableau IV.1 - Analyse statistique des vitesses de propagation sur l’axe radial "bois de Douglas"
Tv (ms) v (m/s) Tv (ms) v (m/s) xmax 0,277 1595 0,272 1620 xmin 0,259 1490 0,255 1518
x 0,266 1553 0,264 1564 Cv (%) 2,26 2.1 1,9 1,99
Tv - Temps de propagation v - Vitesse de propagation La figure IV.11 montre que le nuage de point est dispersé autour de la première bissectrice (x=y). Une relation statistiquement significative est observée entre les vitesses de propagation dans les deux sens possible de propagation (R2≈ 0,78). Cette différence est expliquée par le fait que l’onde ne se propage pas suivant le même rayon.
1.6
Vi B
A (
0 m
/s)
1.5
1.3
1.0 Rsq = 0.7757
1.4
100
1.2
tess
e 1.1
1.61.51.41.31.21.1
Vitesse AB (1000 m/s)
Figure IV.11 - Relation entre les deux sens de propagation dans le plan transverse
55
Sur les barreaux, les vitesses de propagation sont peu différentes dans les deux sens. La comparaison montre que le nuage de points est autour de la première bissectrice (Figure IV.12), l’onde se propage sur des rayons colinéaires au grand axe du barreau. Une relation linéaire très hautement significative est observée entre les vitesses de propagation dans les deux sens possible de propagation (R2≈ 0.98), la pente de la courbe de tendance (a = 0.98) montre u -3n écart type de 2% et l’ordonné (b = 6 10 ) qui est négligeable, on peut dire que
AB = vBA).
(v
Vitesse AB (1000 m/s)
1.31.21.11.0.9.8.7.6
Vite
.6 Rsq = 0.9756
sse
BA (1
000
m/s
)1.3
1.2
1.1
1.0
.9
.8
.7
Figure IV.12 - Relation entre les deux sens de propagation sur barreaux.
IV.3.2.4- Influence des conditions expérimentales a) Effet de l’encastrement sur les vitesses de propagation La vitesse vL dans les barreaux est mesurée en vibration libre par la relation de Bernoulli :
ρ= CE
Lv (12)
vec E est le module d’élasticité en vibration de compression a C
al ].
Le résultat montre les vitesses de propagation en vibration libre sont très faibles devant les vitesses de propagation dans les rondelles en encastrement (veR) et peu différentes en comparaison avec les vitesses de propagation dans les barreaux sous encastrement (veB) (Figure IV.13). Cette différence pourrait être attribuée, à notre avis, à deux facteurs à l’effet ’échelle "Effet Poisson" et à la contrainte appliquée par l’encastrement [Dikrallah et d
(2006)
56
VL (1000 m/s)
.9.8.7.6.5.4.3Ve
(100
0 m
/s)
1.6
1.4
1.2
1.0
.8
.6
BarreauxRsq = 0.7291
RondelleRsq = 0.0235
Figure IV.13- Relation entre la vitesse de propagation sous
La relation est quasi-linéai ropagation sur les barreaux sous
ncastreignific s de propagation sur les arreau
b) Effet d’une charge additionnelle
riétés acoustiques et mécaniques de référence sont déterminées en ibration libre. Ensuite, la vitesse de propagation est mesurée en variant une charge
Nous constatons que la vitesse de propagation (Figure IV.14 (a)) et le module d’élasticité (Figure IV.14 (b)) augmentent linéairement avec l’augmentation de la charge appliquée en comparaison avec celles obtenues en vibrations libres. Il ne peut donc y avoir de référence absolue de vitesse ; les conditions aux limites étant très variables. Le barreau n°2 possède un comportement atypique par rapport à l’autre car les serre–joints ont tendance à bomber le plateau supérieur provoquant alors un biais de chargement sur le barreau central.
encastrement et la vitesse libres
re entre la vitesse de p e ment (Veb) et en vibration libre (Vl), par contre, elle n’existe aucune relation
ative entre la vitesse de propagation sur rondelles et les vitessesb x en vibrations de compression (Figure IV.13), cette différence pourrait être expliquée par l’influence de l’angle d’orientation. L’effet de la contrainte est vérifié dans les mêmes conditions précédentes, en réalisant une expérimentation complémentaire. Des éprouvettes sont prélevées de différentes orientations, les propvadditionnelle appliquée sur le système d’encastrement.
Charge (Kg)
141210864201.5Ve
/VL
1.9
1.8
1.7
1.6Barreau 2Rsq = 0.9363
Barreau 1Rsq = 0.9731
Charge (
14121086420
Ee/
2.4
Kg)
EL
3.6
3.4
3.2
3.0
2.8
2.6
Barreaux 2Rsq = 0.9349
Barreaux 1Rsq = 0.9764
(a) (b)
Figure IV ) sur le module d’élasticité (b)
.14 - Effet d’une charge additionnelle sur la vitesse de propagation (a
57
IV.3.2.5- Effet de la densité sur la vitesse de propagation
Les échantillons sont sous forme de rondelles et de barreaux coupés à partir des
ndelles à l’état vert. Pour les rondelles les sondes sont placées suivant une géométrie parallè
ure IV.15).
0. + )/Rr .
role.
L’évolution de la densité suit une évolution quasi-linéaire en fonction de la distance à la moelle. La densité humide varie entre 0.5 et 0.8, quant à la densité anhydre varie entre 0.4 et 0.5 (Fig Une grande variabilité du profil radial de la densité est observée (Figure IV.15) On peut estimer une densité constante (ρ=0.5 g/cm3) ou un gradient de densité de forme linéaire
15 ( 0.=ρ 49
2520151050
Den
sité
.9
.8
.7
.6
.5
.4
.3
.2
densité anhydreRsq = 0.7904
densité à h(%)Rsq = 0.7541
Position (cm)
F
Les résultats de mesure de la vitesse de propagation en fonction de la densité (pour les
igure IV.15- Profil de la densité sur le diamètre de la rondelle du bois de Douglas
rondelles et les barreaux) sont présentés sur la figure IV.16.
600500400300
1.6
1.4
1.2
Densité anhydre
Vite
sse
( .8
.6
1000
m/s
)
1.0
Barreaux
Rsq = 0.5070
Rsq = 0.0453
Rondelle
Figure IV.16 - Relation entre la vitesse de propagation et la densité
On constate que la vitesse augmente avec la diminution de la densité pour une propagation transverse, en ce qui concerne la variabilité des vitesses de propagation sur
58
barreaux, elle ne peut pas être expliquée par la variation de la densité du centre vers la périphérie.
IV.3.2.6- Effet de l’humidité sur la vitesse de propagation Les échantillons sont sous forme de rondelles et de barreaux coupés à partir des rondelles à l’état vert. Pour les rondelles les sondes sont placées suivant une géométrie parallèle. Les fluctuations de la teneur en humidité ne sont pas expliquées par la distance à la moe e reste re IV
lle, l’hypothèse d’une relation linéair.17).
non significative au seuil de 1% (Figu
3020100
Hu
90
60 Rsq = 0.1321
mid
ité (%
)
80
70
Distance à la moelle (cm)
Figure IV.17- Profil de l’hum ètre de la rondelle du bois de Douglas
Une grande variabilité du profil radial de l’hu obse ). On peut considérer une humidité const utour de 80%. Les résultats de mesure de la vitesse de propagation en fonction de l’humidité dans les
barreaux sont présentés sur la figure IV.18.
idité sur le diam
midité est rvée (Figure IV.17ante a
rondelles et dans les
1.6
Humidité (%)
2001801601401201008060
Vite
ss
.6
e ( .8
1000
m/s
)
1.4
1.2
1.0
BarreauxRsq = 0.3305
RondelleRsq = 0.1442
Figure IV.18 - Relation entre la vitesse de propagation et l’humidité Une diminution de la vitesse de propagation est constatée pour des humidités supérieures à 60 %, aussi bien pour rondelle que pour les barreaux. La corrélation est plus significative pour les barreaux.
59
IV.3.2.7- Variabilité du module d’élasticité et du module de cisaillement dans le plan transverse
Le module d’élasticité et le module de cisaillement ont été déterminés en vibration libre de flexion sur des éprouvettes prismatiques du bois de Douglas obtenues après usinage des barreaux. Les résultats obtenus ont montré une grande dispersion dans le plan transverse (Figures IV.19 et IV.20). Cette variabilité pourrait être expliquée par la difficulté de prélèvement et l’usinage des éprouvettes et à la variation des caractéristiques géométriques des échantillons (élancement) d’une par et l’orientation angulaire d’autre part.
14121086420
e en
com
on (
500
Position (cm)
Mod
ul
200
100
pres
si 300
Mpa
) 400
14121086420sa
(
40
Mpa
) 30
illem
ent
20
Mod
ule
de c
i
10
0
Position (cm) Figure IV.19 - Module d’élasticité en
fonctFigure IV.20 - Variation du module de
parées aux valeurs théoriques obtenues par les modèles empiriques donnés par [Guitard (1987)] pour le bois vert et à h=12% qui tient compte de l’effet de la densité et de l’humidité. On observe une similitude entre les valeurs expérimentales et théoriques pour le bois vert (h> 30%). Autres valeurs expérimentales similaires sont données par [Bucur (1986)]. Tableau IV.2 : Propriétés élastiques du bois de douglas obtenues en vibrations libre "bois de Douglas".
Rigidités théoriques (MPa)
ion de la distance à la moelle "Bois de Douglas"
cisaillement en fonction de la distance à la moelle "Bois de Douglas"
Les propriétés élastiques du matériau (module d’élasticité radial (ER), module d’élasticité tangentiel (ET) et du module de cisaillement (GRT)) sont données dans le tableau IV.2 com
Rigidités expérimentales "Bois vert" (MPa) Bois vert h=12%; ρ12=0.44
ER 445 449 976 ET 218 284 617
GRT 33 38 83 ρ12
libre. Les vitesses de propagation obtenues sur lelation s ticité dynamique (Figure IV.21). En effet, la
te avec l’augmentation duns la rondelle, aucune rel
ropagation et le module d’élasticité (R2≈0.02).
: densité à 12 %
IV.3.2.8- Effet des caractéristiques mécaniques
Les modules d’élasticité dynamiques sont déterminés sur des éprouvettes en vibration s barreaux en encastrement ont montré une
ignificative avec les modules d’élasrevitesse augmen module d’élasticité des barreaux. Par contre pour la ropagation da ation significative n’est observée entre la vitesse de p
p
60
cisaillepour les rondelles aucune relation significative n’est observée entre la vitesse de propagation t le module de cisaillement (R ≈0.06). En effet, la propagation sur barreaux découpés intègre
e la vitesse de ropagation est fonction de la composante radiale et de l’anisotropie acoustique du matériau
[M
La figure IV.22 présente la variation de la vitesse en fonction du module de ment. La relation est statistiquement acceptable pour les barreaux (R2≈0.27) tandis que
2eles composantes de la matrice rigidité, tandis que dans le plan transversp
aurer et al (2005)].
1.6
1.4
Module d'ésticité (MPa)
500400300200100
Vite
sse
(100
0
1.0
.8
.6
m/s
)
1.2
BarreauxRsq = 0.5269
RondelleRsq = 0.0184
1.6
Module de cisaillement (MPa)
403020100
Vite
sse
(100
0 m
/ 1.0
.8
.6
s)
1.4
1.2
BarreauxRsq = 0.2714
RondelleRsq = 0.0618
Figure IV.21- Relation entre la vitesse de
propagation et le mFigure IV.22- Relation entre la vitesse de
odule d’élasticité propagation et le module de cisaillement
ans le bois
L’essentiel sur le comportement mécanique et le phénomène de propagation d’ondes acoustique dans le matériau bois est donné dans l’annexe 7. IV.3.3.1- Modélisation de l’effet du gradient d’humidité et de la densité La vitesse de propagation décroît avec l’augmentation de l’humidité (Figure IV.23 a). Cette évolution est plus marquée au dessous du point de la saturation des fibres (30% en moyenne) ; au dessus du point de saturation des fibres, la vitesse est moins sensible à l’augmentation de l’humidité. La vitesse de propagation décroît avec l’augmentation de la densité (Figure IV.23 b). Ces résultats sont en accord avec la littérature [Kollmann et Côté (1968)].
IV.3.3- Modélisation de la propagation des vibrations acoustiques d
2000
1800
2000
1800
Humidité (%)
50403020100800Vi
te/s
)
1600
1400
1200
sse
(m
1000Essai 3
Essai 2
Essai 1
Densité (g/cm3)
.58.56.54.52.50.48.46.44.42
Vi 800
te/s
)
1600
1400
1200
sse
(m
1000Essai 3
Essai 2
Essai 1
(a) (b)
Figure IV.23 - Vitesse de propagation en fonction de : (a) l’humidité et (b) la densité
61
Théoriquement, l’effet de l’humidité et de la densité est modélisé en tenant compte de :
L’évolution du module transverse (E) entre la direction radiale et tangentielle [Guitard (1987)
(13)
La variation du module en fonction de l’humidité (Eh) est considérée linéaire [Guitard (1987)] entre 6 et 20% (étendue dans le modèle de 0% à 30%), au-delà de 30%, (Eh) reste constant et est égale à E30% ;
] pour un résineux ;
( )45.023701000 12 −ρ+=E
( )( )1203.0112 −−= hEEh (14)
La densité à l’humidité ρh est calculée à partir de la densité anhydre [Kollmann et Côté (1968)], pour h entre 0 et 25% (étendue dans le modèle de 0% à 30%), le
-6 % V 0
coefficient de gonflement volumétrique (CV=8,4 10 hρ0) et pour h> 30(C =8,4.10-6.0,3 .ρ );
( ) ( )( )Vh Ch +−ρ=ρ − 1/101 2
0 (15)
la vitesse de propagation d’après ces modèles mpiriques de comportement du bois en fonction de la densité et de l’humidité.
t, l’humidité a une grande influence sur la vitesse de propagation esurée. A l’inverse le gradient de densité ne semble pas avoir d’influence sur la vitesse de
e quasi-onstante.
La figure IV.24 présente l’évolution de eThéoriquement comme expérimentalement, la vitesse de propagation décroît en fonction de la teneur en humidité. En effempropagation (Figure IV.25), la valeur de la composante élastique spécifique restc
Angle (°)
100806040200
Vite
ss
1600
1400
Humidité (%)
100806040200
Vite
s
2000
1800
se (m
/s)
1400
1200
1000
800
1600
600
e (m
/s)
1200
1000
800
600
h= 80%
D= [450 600] (kg/m3)
D=450 (kg/m3)
Figure IV.24- Courbe théorique de la vitesse
de propagation en fonction de l’humidité
Figure IV25- Effet de l’humidité et du gradient de densité sur l’évolution de la
vitesse de propagation dans le plan transverse IV.3.3.2- Modélisation numérique de l’anisotropie acoustique
62
La simulation numérique de l’effet de l’orthotropie est développée sur la base de deux modèles. Le premier est le modèle de propagation dans un barreau dont le rayon de propagation de l’onde est colinéaire au sens de la longueur. Le second est le modèle de propagation dans la section transverse d’une rondelle. Les résultats des simulations sont montrés dans la figure IV.26. Cette figure montre une différence notable entre une propagation dans un barreau et dans la section transverse. Dans cette section (a), les rayons de propagation apparaissent courbes et non rectilignes comme dans le modèle (b)
(a) (b)
Figure IV.26 - Modèles de propagation : (a) propagation dans la section transverse, (b) modèle de propagation dans barreaux.
Le front d’ondes est déterminé pour chaque modèle en approximant l’onde d’impacte à une onde sphérique [Coman et Gajewiski (2000)]. L’approche consiste à déterminer les M (xM,yM) distantes du point d’impacte O (xO,yO)
ans le plan (R,T) tel que : d
dtxx v+= M
dtyyMyv+= OM
xOM (16)
avec OM ⁄⁄ v L’incrément de temps dt est suffisamment petit pour que la propagation soit considérée linéaire et constante en vitesse (équation 21, annexe 7). Au point de l’impact, la propagation est supposée isotrope, les effets de bord sont négligeables. La figur n fonction de
ϕ Les résultats de la imulation sont analogues aux
e IV.27 présente la variation de la vitesse de propagation e) pour les ratios (ET /ER) ≈0,5 et (GRT/ER) ≈0,1.l’angle d’orientation (
s résultats expérimentaux pour (ϕ) comprise en 0 et 50°. Un minimum de vitesse de propagation est observé au voisinage de 50°.
63
Angle (°)
9080706050403020100Vi
tess
e (m
/s)
1500
1400
1300
1200
1100
1000
900
800
Modèle transverse
Modèle barreaux
e IV.27 - Représentation théorique de la vitesse de propagaFigur tion en fonction de l’angle d’orientation
nde en fonction de la position angulaire sur la ection transverse. Le rayon de propagation est curviligne dans la section transverse, ceci est
ser le centre, après ce dernier, l’onde se ropage dans la direction radiale et le front d’onde possède une forme circulaire. Ce
phénom
ssède une forme triangulaire après avoir traversé le centre. es valeurs utilisées dans la simulation sont des valeurs moyennes, les variations de densité e sont pas prises en compte. En utilisant la méthode des éléments finis, Görlacher (1991) a ontré que le front d'onde est parabolique et il est influencé par la forme de la tige. En sume, le front d'onde dépend de la fréquence et de l’anisotropie élastique du matériau.
IV.3.4.1- ropaga s le p sverse
La figure IV.28 montre iation de sse de p tion en f de l’angle d’orientation dans le plan transverse d’une le du bo cèdre. C riation est marquée par une diminution de tesse de 1 1250 (m ur (ϕ) co e entre 0 et
0°. Ce résu en accord la structure anatomique du matériau, en effet, les plus ortes v
La figure IV.26, présente le front d’o
sdû à l’anisotropie qui a tendance de déformer le rayon vers le centre (Figure IV.26 a), le front d’onde possède une forme triangulaire avant de traverp
ène est expliqué par la forme cylindrique du matériau bois et au principe de Fermat qui exige que l’onde se propage suivant le rayon le plus rapide [Schubert et al (2005)]. Le rayon de propagation est parallèle à la longueur du barreau. Le premier arrivé d’onde est sur l’axe radial et le front de l’onde est strictement perpendiculaire au rayon de propagation (Figure IV.26 b), le front d’onde poLnmré IV.3.4- Mesure des vitesses de propagation de référence dans le bois de Cèdre
P tion dan lan tran
la var la vite ropaga onctionrondel620
is de ette va la viavec
à /s) po mpris5f
ltat est aleurs sont observées sur l’axe radial.
64
Angle (°)
50403020100Vi
tess
e (m
/s)
1700
1600
1500
1400
1300
1200
Essai 2Rsq = 0.7030
Essai 1Rsq = 0.7771
Figure IV.28 - Vitesse de propagation en fonction de l’angle
d’orientation (section A) "bois de Cèdre sain" Une régression polynomiale de type (y=ax2+bx+c) pourrait mieux exprimer l’évolution de la vitesse de propagation en fonction de l’orientation angulaire (R2≈0.78).
’a ér par un V.29), les vite 420
/s), avec l’absence de corrélations significative entre la vitesse et l’angle d’orientation.
Dans le cas de la présence de zones de fluctuation importante (Figure I
lt ations la variation de la vitesse est marquéesses sont comprises entre 1200 et 1
(m
1500
6050403020100
Vite
sse
(m 1200
1100
/s)
1400
1300
Angle (°)
Essai 1Rsq = 0.0074
Essai 2Rsq = 0.0559
Figure IV.29- Variation de la vitesse de propagation en fonction
de rientation (sec "bois de altéré"
IV. 3.4.2- Répétabilité des mesures
Pour le bois sain, l’analyse stale tableau IV.3. La vitesse de propagation radiale est comprise entre 1450 et 1690 (m/s). La
re les valeurs de la vitesse dans les deux sens de propagation est non ignificative. L’onde est plus rapide sur l’axe radial, la vitesse de propagation est indifférente
l’angle d’o tion B) Cèdre
Les mesures des vitesses de propagation sont réalisées dans les deux sens (ij) et (ji) sur des rondelles de bois de cèdre saines et avec défauts.
tistique des mesures sur l’axe radial est présentée dans
différence entsentre les deux sens de propagation
65
Tableau IV.3 - Analyse statistique des mesures sur l’axe radial "bois de Cèdre sain".
Sens (ij) Sens (ji) Tv (ms) v (m/s) Tv (ms) v (m/s)
xmax 0,18 0,195 1690 5 1658x 0,159 1454 0,165 1487 min
x 0,174 1566 0,179 1593 Cv (%) 4,75 4 6,92 3,97
La différence qui peut exister entre les deux sens de propagation est étudiée en
comparant les vitesses de propagation. En l’absence d’altération (Figure IV.30), il existe une corrélation linéaire statistiquement significative entre les deux sens de propagation avec (y=0,88x+181,2) est la droite de régression. Pour le bois altéré, la différence entre les deux directions de propagation pourrait être ttribuée à l’anisotropie mécanique du matériau qui impose des directions privilégiées, les yons de propagation sont courbés vers le centre. La présence d’une hétérogénéité fait dévier
le trajet de l’onde. La présence de défaut influe significativement sur le sens de propagation de l’onde acoustique (Figure IV.31). La corrélation entre les deux directions est peu significative (R2≈0,32).
ara
Vij (m/s)
170016001500140013001200
Vji (
m/s
)
1600
1500
1400
1300
1200
Vij (m/s)
1500140013001200
Vji (
m/s
)
1200Rsq = 0.8414
1500
1400
1300
Rsq = 0.3178
Fig
étrie écani
ure IV.30- Comparaison entre les vitesses de propagation dans les deux sens
(section A) "bois de Cèdre sain"
Figure IV.31 - Comparaison entre les vitesses de propagation dans les deux sens
(section B) "bois de Cèdre altéré"
IV. 3.4.3- Simulation de la propagation d’ondes acoustique La simulation de la propagation consiste à introduire les paramètres de l’anisotropie coustique et de prévoir la variation de la vitesse de propagation dans les plans de syma
m que. Les vitesses de propagation de référence (axiales, radiales et tangentielles) sont présentées dans le tableau IV.4. Les calculs sont basés sur les modèles empiriques donnés par [Guitard (1987) et Kollmann et Côté (1968)].
66
Tableau IV.4 - Vitesses de propagation de référence "Cèdre".
h = 12% h = 80 % v (m/s) 5400 3600 L vR (m/s) 1512 1220 vT (m/s) 1110 990
La variation de la vitesse de propagation entre l’axe axial et radial est calculée en utilisant une loi Hankinson.
ϕ+ϕ
=ϕ nn cossin)(
RL
RL
vvvvv (17)
avec n = 1.25
La figure IV.32 présente la variation de la vitesse de propagation en fonction de l’angle d’orientation dans les deux plans (LR) et (LT). Dans le plan LR les vitesses sont légèrement supérieures aux vitesses de propagation dans le plan (LT), le maximum est sur l’axe axial. Cette différence est attribuée à l’anisotropie mécanique (EL>ER>>ET). Les résultats sont en accord avec les résultats théoriques et expérimentaux mentionnées par plusieurs auteurs [Niemz et Kucera (1998)].
Angle (°)
100806040200
Vite
sse
(m/s
)
6000
5000
4000
3000
2000
1000
Axial-Tangentiel
Axial-Radial
Figure IV.32 - Variation de la vitesse de propagation en fonction
de l’angle d’orientation. La figure IV.33 présente la variation de la vitesse de propagation en fonction de l’angle d’orientation dans le plan (RT). Le modèle de propagation transverse est présenté dans le cas d’une densité constante de 430 Kg/m3 et pour un gradient de densité variable entre 430 et 550 Kg/m3. Les résultats de la simulation montrent que dans le plan transverse la vitesse de propagation est peu sensible aux variations de la densité. Le maximum est sur le rayon, la vitesse diminue avec l’augmentation de l’angle de l’orientation. L’effet du gradient de la densité devient visible sur la périphérie. Par contre l’effet de l’humidité est nettement remarquable, l’amortissement induit par la teneur en eau au-dessus du PSF fait diminuer significativement la vitesse de propagation.
67
Angle(°)
9080706050403020100
Vite
sse
(m/s
)
1600
1400
1200
1000
800
600
h= 80 %
D=[0.43, 0.55]
D= 0.43
Figure IV.33 - Variation de la vitesse de propagation en fonction
de l’angle d’orientations dans le plan (RT) IV.4- Conclusion x méthodes (lissage et énergétinous a permis de conclure que la méthode lissage est plus fiable que la méthode énergétique et la carte ADC 3206 permet d’obtenir des valeurs plus précises. Ceci nous a permis d’évaluer la fiabilité de la métrologie et de la méthode de traitement et d’acquisition des données. L’étude du comportement acoustique du bois dans la section transversale nous a permis de dégager les conclusions suivantes : La vitesse de propagation dépend fortement de l’angle d’orientation dans le plan transverse. Elle est maximale dans la direction radiale (de l’ordre de 1500 m/s pour le Douglas et 1450 m/s pour le Cèdre). La vitesse de propagation décroît en fonction de la teneur en humidité. En effet, l’humidité a une grande influence sur la vitesse de propagation mesurée. A l’inverse le gradient de densité ne semble pas avoir d’influence, la valeur de la composante élastique spécifique reste quasi-constante. Les vitesses de propagation en vibration libre sont très faibles en comparaison avec celles obtenues en encastrement qui simule la situation d'un arbre sur pied, les vitesses sont plus importantes dans la structure du tronc.
La supposition que l’onde se propage suivant des rayons droits implique la prise en compte de quelques corrections sur les données. En effet, un rayon de propagation linéaire intègre les composantes de la matrice rigidité ui sont le module radial, le module tangentiel et le module de cisaillement, tandis que dans le opagation est fonction de la composante radiale et de l’anisotropie acoustique du matériau.
La comparaison des résultats de mesure des vitesses de propagation avec deuque) et avec deux cartes d’acquissions (ADC 216 et ADC 3206)
q tronc, la vitesse de pr
68
CHAPITRE V
DET CTION DES DEFAUTS DANS LE BOIS PAR MESURES DES VITESSES DE E
PROPAGATION ET TOMOGRAPHIE ACOUSTIQUE
68
V.1- Introduction Dans ce chapitre, la qualité du matériau bois est étudiée par la mesure des vitesses de propagation des ondes de vibration acoustique sur des rondelles du bois contenant des défauts artificiels ou naturels. L’analyse multidirectionnelle des vitesses de propagation est présentée grâce à l’outil tomographique. L’approche méthodologique et numérique utilisé pour l’adaptation de la technique tomographique est présentée. V.2- Détection des défauts artificiels par la mesure des vitesses de propagation Nous avons étudié l’effet de la présence d’un défaut artificiel réalisé au centre des rondelles du bois de Douglas non attaqué sur la vitesse de propagation des ondes de vibrations acoustiques sur l’axe radial. Deux types de
• Trous ou vide circulaires de diamètres respectifs d (1 ; 5 ; 8,3 ; 15 et 20 cm) ;
La figure V.1 montre la dépendance entre le ratio (vR/vr) et le diamètre (d) du vide entral. On constate une augmentation du ratio (vR/vr) avec l’augmentation du diamètre, ce
défauts artificiels sont étudiés :
• Hétérogénéité centrale (vide rempli avec de l’aggloméra humide de mêmes diamètres précédents)
V.2.1- Détection d’un vide central
cqui signifie que la vitesse diminue avec l’augmentation de la taille du défaut. En effet, l’onde se réfléchit partiellement en rencontrant le défaut. Cette augmentation du ratio est caractérisée par une relation linéaire de la forme :
bda +=r
avec d : le diamètre du défaut, v
R
vv
e sans éfaut), vr
n pe mesure de vr de déduire le diamètre du défaut
co
urrait être utilisée pour l’identification de la taille et de la forme des Khalid (1999) a établit une relation
R r urfacique du défaut.
R : la vitesse radiale de référence (dans la rondell: la vitesse radiale (dans la rondelle avec défaut).
Cette équatio rmet après la rrespondant.
d
oche pocavités à cœur. Avec de
Cette apprs ultrasons à basse fréquence,
inéaire entre le ratio (v /v ) et la proportion sl
L’identification des défauts artificiels est influencée par le type et la géométrie de défaut. Les défauts de petite taille sont à peine perceptibles, ceci est attribué à la variabilité naturelle du bois [Neimz et Kucera (1998)].
69
1.5
Daimètre défaut (cm)
02Vr
/V
1.3
1.
1.
1.
30100
1.4
2
1
0
.9 Rsq = 0.9523
Figure V.1 - Variation /vr) en fonction du diamèt centr
La déterm tion du seu t détec e ne c on des s. En e et, cette co araison peut être vérifiée s r Ce araison e d’une part pour l’ensemble de es et d a me une fin en soit lorsque l’intension est co ntrée sur l té des r L ort deux variances noté F est généralement admis c ère de is ede chra e la variance critère f (Tableau V.1) montre que la taille du défaut présente un e icatif v de ion r a probabilité de rejeter l’hypoth de dé ur a de sig n (Pr < 0.05). Tableau V.1 : A se de la va n seul c c catio défaut
Somme des carrées d oye F
du ratio (vR re du vide al.
ina il de défau table néc ssite u omparais résultatff mp ur les va iances. tte comp est util
s moyenn ’autre p rt comnce a variabili ésultats. e rapp entre les
omme crit compara on [Sn cor et Co n (1957)].
L’analys de à un seul de classi icationffet signif sur les itesses propagat adiale. Lèse nulle part est inférie u seuil nificatio
naly riance à u ritère de lassifi n "taille ".
l Carrée m n Pr Entre les groupes 1980 5 3 ,338676,690 96135 D les group 695 13 48 ans es 86,257 8 504,2
Total 2050 1486***
262,948 3 7 0
dl : degré de liberté F : distribution de Snedecor
r : probabilité de rejet de l’hypothèse nulle de départ P Afin de déterminer le seuil de défaut détectable, nous avons effectué une comparaison multiple des moyennes (Tableau V.2). L’analyse montre que la diminution des vitesses de propagation ne devient significative qu’au-delà d’un diamètre de 1 cm, la probabilité de rejeter hypothèse nulle (égalité de ratios) est inférieure au seuil de signification (Pr < 0,05). Au-delà, la différence devient significative par rapport à la matière intacte. L’indentification de la présence d’un défaut au centre devient possible si son diamètre est supérieur à 1 cm, représentant ainsi une proportion de l’ordre de 0,6 % de la section de la rondelle.
70
Tableau V.2 : Influence de la taille du défaut sur les vitesses de propagation
95% Intervalle de confiance
(I) Dd(cm) (J) Dd(cm) Différence moyenne (I-J) Ecart type Pr. Résidu min Résidu max
1 -0,0195 0,0073 0,132 -0,0414 0,0024 5 -0,1174* 0,0073 0,000 -0,1394 -0,0955
8,3 -0,1737* 0,0073 0,000 -0,1956 -0,1518 15 -0,2710* 0,0073 0,000 -0,2929 -0,2490
0
20 -0,3491* 0,0073 0,000 -0,3710 -0,3271 0 0,0195 0,0073 0,132 -0,0024 0,0414 5 -0,0979* 0,0073 0,000 -0,1199 -0,0760
8,3 -0,1542* 0,0073 0,000 -0,1761 -0,1323 15 -0,2515* 0,0073 0,000 -0,2734 -0,2295
1
0,00 6 20 -0,3296* 73 0,000 -0,3515 -0,3070 0,1174* 0,0 073 0,000 0,0955 0,13941 0,0979* 0,0073 0,000 0,0760 0,1199
8,3 -0,0563* 0,0073 0,000 -0,0782 -0,0344 15 -0,1535* 0,0073 0,000 -0,1755 -0,1316
5
20 -0,2316* 0,0073 0,000 -0,2536 -0,2097 0 0,1737* 0,0073 0,000 0,1518 0,1956 1 0,1542* 0,0073 0,000 0,1323 0,1761 5 0,0563* 0,0073 0,000 0,0344 0,0782 15 -0,0973* 0,0073 0,000 -0,1192 -0,0753
8,3
20 -0,1753* 07 0,000 73 -0,10,0 3 -0,19 5340 0,27 0,010* 0 0 0,2929 73 0, 49000 0,21 0,25 0,00 0, 2915* 73 000 0,2 5 0,2734 5 0,15 0,00 0,0 13135* 73 00 0, 6 0,1755
8,3 0,09 0,00 0,0 753 0,1192 73* 73 00 0,015
20 -0,07 0,00 0,0 1000 -0,0562 81* 73 00 -0,0 0,34 0,00 0,0 3271 0,3710 91* 73 00 0,1 0,3296* 0,0073 0,000 0,3076 0,3515 5 0,2316* 0,0073 0,000 0,2097 0,2536
8,3 0,1753* 0,0073 0,000 0,1534 0,1973 20
0562 0,1000 15 0,0781* 0,0073 0,000 0,* Différence moyenne significative au seuil de 0.05%
V.2.2- Détection d’une hétérogénéité centrale Sur la figure V.2, nous avons comparé par rapport à la première bissectrice les vitesses
ec de l’aggloméra humide our D ’une hétérogénéité centrale
our D = 8,3 cm et 90 % pour D=20 cm.
de propagation radiales avant (vravr) et après remplissage (vrapr) av = 8.3 cm et D = 20 cm. La figure montre que la présence dp
a pour effet d’augmenter les vitesses de propagation par rapport à la vitesse mesurée sur la rondelle avec trou central, le nuage des points est au-dessous de la première bissectrice. Cet effet est nettement visible en particulier pour un diamètre de 8,3 cm (Figure V.3). Ceci ourrait être attribué à la teneur en eau de l’hétérogénéité qui varie entre les deux cas 120% p
p
71
Vapr (m/s)
1150110010501000950900
Vavr
(m/ 950
900
s)
115
11
0
00
1050
1000
20 cmRsq = 0.3188
8 cmRsq = 0.1237
2424 2424N =
Diamètre (cm)
20.08.3
Vite
sse
(m 900
800
/s
1200
1100
)
1000
Sans remplissage
Avec remplissage
igur
n (Tableau V.3) montre que s vitesses augmentent significativement avec le remplissage (Pr < 0,05). En effet, la
effet d’augmenter sensiblement les vitesses de propagation. Cette a sa teneur en eau.
ableau V.3 - Analyse de la variance à un seul critère de classification "Remplissage". F Pr
F e V.2 - Influence d’une hétérogénéité centrale sur les vitesses de propagation
Figure V.3 - Répartition des valeurs moyennes des vitesses de propagation
L’analyse de la variance à un seul critère de classificatio leprésence de l’eau dans l’hétérogénéité a pour
ugmentation est influencée par la taille du défaut (D) et
T
Somme des carrées dl Carrée moyen Entre les groupes 10562,266 1 10562,266 Dans les groupes 8574,852 46 186,410 D=8,3 (cm)
Total 19137,118 47 56.7*** .000
Entre les groupes 5124,665 1 5124,665 Dans les groupes 21429,656 46 465,862 D=20 (cm)
Total 26554,321 47 11* .002
V.3- Détection des défauts artificiels par analyse tomographique Les mesures des vitesses de propagation sont réalisées suivant la géométrie éventail par l’utilisation de 16 sondes (méthode décrite au chapitre III). Seules les vitesses radiales seront prises en considération dans ce paragraphe. V.3.1- Analyse statistique des vitesses de propagation Le tableau V.4 regroupe les valeurs moyennes, maximales et minimales ainsi que les coefficients de variation correspondant aux vitesses radiales de propagation des ondes de vibrations acoustiques dans la rondelle du bois de Douglas en fonction du diamètre de forage.
72
Tableau V.4 - Analyse statistique de la vitesse de propagation Diamètre de
v (m/s) vmax (m/s) vmin (m/s) e (m/s) Cv (%) forage (cm) n
3 1367 1657 744 153 21 240 7,5 1350 1655 736 149 20 240 15 1326 1645 731 143 19 240 20 1306 1625 703 155 19 240
v : valeur moyenne de la vitesse, vmax : valeur maximale de la vitesse, vmin : valeur minimale de la itesse, e : écart type, Cv (%) : coefficient de variation et n : nombre d’échantillons
L’analyse des résultats montre que les valeurs mesurées des vitesses radiales sont comprises entre 703 et 1657 m/s et que leur distribution est caractérisée par une grande dispersion ; fortes valeurs des coefficients de variation Cv (%). On constate aussi une diminution des valeurs moyennes, maximales et minimales des vitesses au fur et à mesure que la taille du défaut augmente. La distribution statistique des vitesses de propagation (Figure V.4) présente des populations normales. Les histogrammes montrent une augmentation des populations des classes de faibles vitesses de propagation et une diminution des classes de fortes vitesses de propagation au fur et à mesure que la taille de défaut augmente.
v
Classes de vitesse (m/s)
155013501150950750
Fréq
ue
40
nce
(%)
20
10
30
0
3 cm
7 cm
15 cm
20 cm
Figure V.4 - Histogramme de distribution des vitesses
de propagation pour chaque taille de défaut
V.3.2- Comparaison des vitesses de propagation de détection Les vitesses radiales de propagation correspondant à chaque taille de défaut ont été déterminées par analyse tomographique suivant la géométrie éventail par l’utilisation de 16 sondes. Le ratio (vR/vr) montre une corrélation statistiquement significative avec celui déterminé par mesures directe (Figure V.5). Ceci nous a permis de conclure que la détectabilité de défaut central devient possible au-delà d’un diamètre de 5 cm. la valeur de la vitesse de propagation diminue significativement par rapport à sa valeur dans la matière intacte (Figure V.6
).
73
(Vr/V)I Diamètre défaut (cm)
2015885311.51.41.31.2
(Vr/V
) II
1.5
1.3
1.1
20 cmRsq = 0.9456
0
Vr/V
.9
1.5
1.4
1.
1.2
1.1
1.0
3
V2
Mesures directes
nalyse
mographique
A
to15 cmRsq = 0.9703
Figure V.5 - Corrélation entre le ratio (vR/vr)II
déterminé par analyse tomographique et le ratio (vR/vr)I déterminé par mesures directe.
Figure V.6 - Distribution du ratio (vR/vr) en fonction la taille du défaut.
V.4- Comparaison des images reconstituées par tomographie acoustique Sur la figure V.7 nous présentons la comparaison entre les lenteurs observées (projections) et celles obtenues par le problème de Radon après inversion. Nous constatons une grande similitude entre les lenteurs de propagation observées et celles obtenues par la solution du problème direct de Radon.
0 50 100 150 200 2500
0.005
0.01
0.015
N° du point de projection
N *
Lent
eur [
AB
]
ObservationsPb. direct de Radon
Figure V.7 - Comparaison entre les lenteurs observées et celles
obtenues par le problème direct de Radon.
Sur toutes les images reconstituées nous observons une zone des lenteurs très élevées au centre (Figure V.8) qui devient plus visible au fur et à mesure que le diamètre du défaut augmente. La présence des faibles contrastes également observés est probablement due àl’imprécision des m à la périphérie et la différence entretangentielles.
esures à les mesures radiales et
74
(D=3 cm) (D=15 cm)
(D= 7,5) (D= 20cm)
La présence singu par n faib ons sont diffic tecta Ceci es à la ré on spati t à la m odologie tomographique emplo i distrib orts cont de lente r les cellu irtuelles de
hénomène, les ondes acoustiques sont déviées en rencontrant les zones à faible vitesse de ropagation [Martinis et al (2004), Socco et al (2004)].
Figure V.8 - Images réelles et images tomographiques reconstituées "Rondelle du bois de Douglas"
des larités en ticulier les œuds de les secti
ilement dé bles. t dû soluti ale e éthyée qu ue de f rastes urs su les v
la surface auscultée, et par conséquent les valeurs les plus grandes sont sous-estimées tandis que les valeurs les plus faibles sont surestimées. L’effet Wielandt pourrait expliquer ce pp
(D=3 cm) (D=7.5 cm)
75
(D=15 cm) (D= 20 cm)
Figure V.9 - Représentation en 3D des lenteurs de propagation
"Rondelle du bois de Douglas" La représentation tridimensionnelle (Figure V.9) montre que la distribution transverse des lenteurs de propagation présente une crête au centre, qui devienne remarquable à partir d’un diamètre de 7,5 cm, la taille de défaut est de l’ordre de 4,5 % de la section auscultée. En effet, ceci est attribué à la forte information sur le centre ; 32 mesures radiales et au nombre d q
.5-
ites est réalisée en utilisant deux cartes d’acquisition. Deux sections
V.5.1- Analyse sultat tatistiqu itesses de propagation dans le bois de cèdre est donnée dans
tableau V.5. Pour l’ensemble de projections, la vitesse de propagation varie entre 450 et
e sondes ; 16 sondes. En utilisant la même approche, [Divos et Szalai (2002)] ont constatéu’avec huit sondes le minimum détectable est de l’ordre de 8% de la section transverse.
V Détection des défauts naturels par tomographique acoustique La technique tomographique est utilisée pour la détection des défauts et des zones d’altération naturelles du bois de Cèdre et du Peuplier. La comparaison des images omographiques reconstrut
C et D d’une rondelle du bois de Cèdre sont étudiées.
des ré s
L’analyse s e des vle1700 (m/s), signalant la présence de quelques singularités (nœuds et fentes), les ondes de vibrations acoustiques évitent les zones à faible vitesse de propagation. Tableau V.5 : Analyse statistique des vitesses de propagation "Rondelles du bois Cèdre attaqué"
v (m/s) vmax (m/s) vmin (m/s) e (m/s) Cv (%) Section C 1594 1687 457 390 24 Section D 1191 1658 470 276 23
v : Valeur moyenne de la vitesse, vmax : Valeur maximale de la vitesse, vmin : Valeur minimale de la vitesse, e : Ecart type, Cv (%) : Coefficient de variation
76
La figure V.10 montre la distribution des vitesses de propagation dans le bois de Cèdre. Les histogrammes présentent des classes de fréquence différentes, les distributions présentent des populations normales avec des allures relativement différentes qui se caractérisent par une dissymétrie à droite plus au moins marquée. Les vitesses sont concentrées entre 900 et 1500 (m/s) pour la position C et entre 1000 et 1500 (m/s) pour la position D.
Classes de vitesse (m/s)
1650145012501050850650450
Fr 0
éque
nce
(
40
30
20
10
%)
Position C
ion DPosit
Figure V.10 - Histogramme de distribution des vitesses de propagation
"Rondelle du bois de Cèdre attaqué".
La variabilité des vitesses pourrait être attribuée à deux facteurs. Le premier est la ariabilité mécanique et physique du matériau bois, le second facteur est la présence des
écanique. En effet la distribution des vitesses de propagation des ondes acoustiques dans le bois sans défaut présente une différence significative avec la distribution des vitesses de propagation des ondes acoustiques dans le bois avec défaut Concernant les mesures effectuées sur des rondelles du bois de Peuplier, les valeurs des vitesses mesurées à l’aide de la carte Pico ADC 3206 sont plus élevées que celles mesurées à l’aide de la carte Pico ADC216 (Figure V.11). Le nuage de points et au-dessous de la première bissectrice. La fréquence d’échantillonnage plus élevée de la carte d’acquisition ADC 3206 permet d’obtenir des valeurs plus précises. Les mesures sont cohérentes, en effet, la relation entre les vitesses mesurées par les deux cartes est statistiquement significative.
vzones altérées qui présentent une faiblesse m
77
1600
1400
1200
Vitesses (m/s) ADC 3206
24002000160012008004000Vi
tess
es (m
/s) A
DC
2
800
600
400
200 Rsq = 0.7197
16 1000
Figure V.11 - Vitesses mesurées à l’aide de la carte Pico ADC 216 en fonction des vitesses
mesurées à l’aide de la carte Pico ADC 3206 "Rondin du bois de Peuplier attaqué".
Le tableau V.6 regroupe l’analyse statistique des vitesses de propagation mesurées par les deux cartes d’acquisition sur le rondin du bois de Peuplier. L’analyse montre que la plage de variation des vitesses de propagation est comprise entre 370 et 1570 (m/s) pour une acquisition sur 8 bits, tandis que pour une acquisition sur 16 bits, les vitesses sont comprises entre 300 et 2053 (m/s). Tableau V.6 : Analyse statistique des vitesses de propagation "rondelle du bois de Peuplier"
L’analyse de la dis montre des distributions
ormales pour les deux cartes (Figure V.12). Les fréquences des mesures présentent des nt par une dissymétrie à droite plus au moins
existe des catégories distinctes aux niveaux des
tribution des vitesses de propagationnallures relativement différentes et se caractérise
arquée. Les histogrammes montrent qu’il mclasses des vitesses.
Classes de vitesse (m/s)
185015501250950650350
Fr 0
éque
nc
30
10e (%
)
20
40
ADC 216
ADC 3206
Figure V.12 - Histogramme de distribution des vitesses de propagation
"Rondin du bois de Peuplier".
v (m/s) vmax (m/s) vmin (m/s) Cv (%) e (m/s) ADC 3206 1150 2053 300 270 23 ADC 21 19 6 1061 1570 370 200
78
V.5.2- Reconstruction des images tomographiques La reconstruction des images tomographiques est réalisée par la résolution du problème direct de Radon. La projection des donnés en géométrie éventail suppose que les rayons de propagation sont linéaires. La figure V.13 montre les cartographies en 2D et 3D de la distribution des lenteurs de propagation comparées avec l’état réelle de la section artographiée. c
(Section C)
(Section D)
Figure V.13 - Reconstruction tomographique en 2D et 3D "Rondelle du bois de Cèdre attaqué".
Sur la projection bidimensionnelle les zones altérées se caractérisent par un fort ontraste (Figure V.13) et se manifestent comme des crêtes remarquables sur la cartographie idimensionnelle. La présence des singularités est caractérisée par des zones à moyen ontraste.
Les résultats obtenus sur le bois de peuplier en rondin à partir de l'inversion mographique (Figure V.14) montre une similitude entre les images tomographiques et l’état el de la section transverse ; une présence de la pourriture à cœur, décoloration et singularité. a reconstruction semble plus contrastée et plus précise pour une acquisition sur 8 bits en omparaison avec la reconstruction avec une acquisition sue 16 bits ; l’échelle des couleurs st ajustée à la gamme des lenteurs obtenues. La faiblesse mécanique est située au niveau des ondes 8 à 12 (Figure V.14) avec des vitesses associées de l’ordre de 600 m/s.
ctrc toréLces
79
Pico ADC 3206 Pico ADC 216
Figure V.14 - Reconstruction tomographique bidimensionnelle "Rondin du bois de Peuplier attaqué".
V.6- Pertinence de la méthode proposée La technique tomographique a permis de dégager des résultats intéressants confirmant ainsi qu’elle pourrait être un outil capable de détecter les défauts des arbres sur pied. Les mesures et le prétraitement des données tomographiques ont montré quelques aspects qui devraient être pris en considération pendant l'acquisition et l'inversion tomographique. L’atténuation des signaux dépend d’une part du couplage entre l’accéléromètre et les sondes et d’autre part, du contact entre les sondes et le bois. Ce paramètre pourrait être utilisé pour l’évaluation de l’état de la structure interne du bois dans l’arbre si on connaît l’impédance acoustique du couplage entre les sondes et le bois pour les différents points de mesure. L’anisotropie pourrait se répercuter sur les faibles vitesses et sur l'image tomographique. Les zones périphériques à faible contraste sont surestimées, ce qui ne correspond pas à leur état mécanique réel. Les différences de contraste entre le bois sain et dégradé sont sous-estimées par l'inversion tomographique.
Le développement d'un instrument spécifique pour l’évaluation de la qualité des arbres est faisable en automatisant les étapes de diagnostique qui sont l'acquisition, le traitement et l’interprétation des données. L’acquisition des données qui est relativement longue (75 min), mais cette limitation pourrait être améliorée à l’aide d’une carte d’acquisition à plusieurs voies et d’un collier support pour plusieurs accéléromètres pour un positionnement et une acquisition plus rapide. L’analyse tomographique des données et leur
80
traitement sont effectués manuellement, mais il est possible de développer un algorithme tomographique permettant d’automatiser la procédure. V.7- Conclusion Nous avons déterminé par des mesures directes une gamme de vitesses de propagation radiale de références correspondantes à l’état intact, toute chute de la vitesse de propagation est associée à la présence d’un défaut (trou, fente, pourriture…). L’étude de cas pour un trou concentrique a montré que cette chute devient significative à partir d’une taille de l’ordre de 20 cm2 environ 6% de la section examinée. Dans la réalité, les défauts se trouvent remplis d’eau de résine (poches d’eau et de résine), de la matière mouilleuse ou spongieuse. La vitesse de propagation du son dans l’eau est de l’ordre de 1500 m/s, cet ordre de grandeur est comparable avec la vitesse de propagation radiale de référence. La simula on d’un défaut artificiel nous a permis de constater que les vitesses de propagation augmentent significativement en fonction de la taille et la teneur en eau du défaut. La détectabilité des défauts par analyse tomographique des vitesses de propagation est étudiée sur des défauts artificiels et naturels. L’application de cette analyse permet de détecter un trou concentrique, le nombre élevé de mesure permet d’avoir une forte information sur le centre. La reconstruction tomographique a montré qu’un trou concentrique devient détectable à partir d’une taille de l’ordre de 4,5 % de la section auscultée. L’application de cette technique permet à une certaine limite la détection des altérations et des défauts natur ropie induisent une biaise de contraste sur les images reconstruites. La prise pte de ces effets permet d’améliorer la résolution spatiale.
ti
els. Les effets induits par l’anisot en com
81
CONCLUSION GENERALE
81
L’évaluation de la qualité du bois présente une étape importante dans le processus de
ansformation. Le développement et la mise au point d’une méthode d’évaluation non estruc
e. Les résultats obtenus nous ont permis de dégager les onclusions suivantes :
la hauteur augmente.
. La variation de la contrainte de rupture et du module d’élasticité, ns le plan transverse, présente un minimum suivant une orientation de 45°. Des relations
is étudiés.
ignificative à partir d’une taille de l’ordre de 20 cm (environ 6% de section examinée).
ficative de la vitesse de propagation radiale n comparaison avec à un trou central.
La détectabilité des défauts naturels et/ou artificiels par tomographie acoustique a été tudiée. Les images tomographiques sont reconstruites à partir des vitesses de propagation en tilisant la transformé de radon combiné avec le filtrage. A partir de seize projections en
trd tive de la qualité du bois de cèdre constituent l’objet principal de ce travail. L’analyse des vibrations acoustiques de compression produites par un choc en terme de vitesse de propagation a fournit des informations sur la qualité mécanique du bois. Notre est réalisé en trois étapes qui sont l’étude de la typologie des défauts des arbres sur pied, la mise en évidence de l’anisotropie acoustique et la mise au point d’un outil d’auscultation tomographiquc L’étude de la typologie (structure des défauts) a montré que la répartition des principaux pathogènes du bois de cèdre dépend de la hauteur et de l’âge cambial de l’arbre. Les altérations internes ont été quantifiées par le risque de rupture. La pourriture cubique possède une structure plus au moins régulière que l’on peut considérer comme une section circulaire et concentrique dont les cavités provoquées sont plus importantes au niveau du pied de l’arbre et qui diminuent en fonction de la hauteur de l’arbre. L’étude de cas pour la pourriture spongieuse a montré une forme irrégulière qui devient plus importante au fur et à mesure que La caractérisation physique et mécanique a permis d’étudier la variabilité radiale intra-arbre. Les résultats ont montré que la variation radiale de la densité se caractérise par une augmentation linéaire de la moelle vers la périphérie. Quant à la diminution radiale de l’humidité, elle est attribuée au séchage de l’arbre sur pied. Pour notre étude, nous avons considéré l’humidité constante dans un premier temps et l’existence d’un gradient de celle-ci dans un deuxième tempsdastatistiquement significatives entre le module d’élasticité, la résistance mécaniques et l’infra-densité ont été déterminées. Des corrélations statistiquement significatives entre le module d’élasticité dynamique (analyse modale) et statique (flexion 4 points) d’une part et le module de rupture (flexion 4 points) d’autre part ont été obtenues. Ces relations pourraient être utilisées pour le classement et la prédiction de la qualité mécanique des bo La mise au point d’une méthodologie d’auscultation basée sur la tomographie acoustique pour la détection des défauts artificiels et naturels a été réalisée en deux étapes. Les mesures directes des vitesses de propagation radiale ont permis de déterminer une gamme de vitesses de références correspondantes à l’état intact, toute chute de la vitesse de propagation est associée à la présence d’un défaut. Pour un trou concentrique, on a montré que cette chute devient s 2
la La simulation d’un défaut artificiel a permis de mettre en évidence l’effet couplé de la taille et de la teneur en eau d’une hétérogénéité centrale sur les vitesses de propagation. En effet, nous avons constaté une augmentation signie éu
82
géométrie éventail, nous avons constaté qu’un trou concentrique devient détectable à partir d’une taille de l’ordre de 4.5 % de la section auscultée. L’analyse tomographique des vitesses de propagation permet, dans une certaine limite, la détection des altérations et les défauts naturels. La comparaison entre les deux cartes d’acquisition utilisées (8 et 16 bits) a montré que la résolution spatiale est meilleure pour une acquisition sur 8 bits. L'effet de l’anisotropie coustique et l’état intact de l'arbre pourraient être incorporé dans l’algorithme afin de résoud les problèmes liées à la résolution spatiale et de réduire les contraintes techniques tel que le ombre de projection et le temps d’acquisition et de traitement des données. En l'absence des défauts, nous avons mis en évidence l’anisotropie acoustique du matériau. En effet, la vitesse de propagation a montré une forte dépendance avec l’angle d’orientation dans le plan transverse. Le max mum est observé sur l’axe radial qui est de l’ordre de 1500 m/s pour le Douglas et de 1450 m/s pour le Cèdre. La diminution de la vitesse de propagation dans le plan transverse dépend ent de l’anisotropie mécanique du matériau, le gradient de la densité et la teneur idité. En effet, le gradient d’humidité a une grande influence sur les vitesses de propagation. A l’inverse, le gradient de densité ne semble pas avoir une influence car les com osantes élastiques spécifiques restent quasi-constantes. Les vitesses d n comparaison avec celles obtenues en encastrem ied. Cette différence pourrait être expliquée par l’effet conjugué de l’encastrement et les conditions aux limites. Les vitesses sont plus importantes dans la stru dier à cette différence des vitesses, des corrections au niveau des constantes élastiques obtenues en vibration libre sembleraient nécessaire. La comparaison entre la vitesse de propagation des ondes de vibration acoustique dans le plan transverse avec celles guidée sur les arreaux dans les deux sens de propagation a montré que les rayons de propagation ne sont pas linéaires. L’expérimentation et la simulation numérique ont montré que les rayons de propagation sont courbés vers la moelle, forme imposée par l’anisotropie mécanique du matériau dans le plan transverse. Le modèle de propagation des ondes en vibration acoustique suivant des rayons droits implique la prise en compte de quelques corrections sur les données. En effet, un rayon de propagation linéaire intègre les composantes de la matrice rigidité qui sont le module radial, le module tangentiel et le module de cisaillement (ER, ET, GRT), tandis que dans le plan transverse la vitesse de propagation est fonction de la composante radiale et de l’anisotropie acoustique du matériau. L’application de la technique en forêt e t l’une des perspectives de notre travail. Il est possible d’envisager une étude approfondie théorique et expérimentale tenant compte des paramètres environnementaux. La prise en compte de l’anisotropie dans l’analyse tomographique serait un des aspects intéressants.
aren
i
essentiellem en hum
p
e propagation en vibration libre sont très faibles eent qui simule la situation d'un arbre sur p
cture du tronc. Pour remé
b
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ison, United States Departm
imber Defects and Associated Insh
CT imd southeastern sym
e Testi
93
ANNEXES
93
ANNEXE 1
A.1. Beam Identification by Nondestructive Grading (BING)
A.1.1. Présentation générale
Le « BING » est un système de mesure mis au point par le CIRAD-forêt. Il permet la ité dynamique de la pièce testée par analyse des vibrations.
• Ce
avec les défauts. •
mesure du module d’élastic
système de mesure permet de répondre à des besoins bien précis:
- le classement suivant les normes européennes - la mesure rapide et efficace de la rigidité - enrichir la prédiction de la mesure
Deux modèles mécaniques, BERNOULLI et TIMOSHENKO, permettent de trouver le module d’élasticité. L’écriture de l’équilibre dynamique de la poutre, associé à la loi de comportement du matériau donne une équation différentielle d’ordre 4:
02
2
4
4222
4)1(4
4=+++−
t
vAt
vKGI
tx
vKGEI
x
vEI∂
∂ρ∂
∂ρ∂∂
∂ρ∂
∂
Présentation générale:
A la suite des travaux entrepris par BORDONNE (thèse effectuée au CIRAD-Forêt1989), le CIRAD-Forêt dispose d’un appareillage permettant l’obtention très rapid
en e des
modules d’élasticité en flexion et en compression par analyse du spectre des vibrations naturelles d’une pièce en bois.
La méthode retenue utilise le principe de l’analyse spectrale des vibrations naturelles
Ce dispositif conçu initialement pour des éprouvettes normalisées peut être utilisé pour
des pièces couvrant une large gamme de dimensions. La méthode de détermination du module puis l’interprétation du spectre des fréquences
issues des vibrations naturelles en appliquant les modèles développés par E e plus élaboré). Deux
m
− En f termédiaire d’une percussion perpendiculaire à l’axe de
percussion dans l’axe de l’éprouvette.
de flexion. Ce procédé permet de déterminer les fréquences propres d’une poutre à partir de sa réponse à une excitation impulsionnelle appliquée à une des extrémités de façon à solliciter imultanément tous les modes propres de vibration. s
d’élasticité en flexion repose sur la recherche propres B RNOULLI (modèle le plus simple) ou/et TIMOSHENKO (modèl
odes de sollicitation impulsionnelle peuvent être pratiqués :
lexion, par l’inl’éprouvette,
− En compression, par l’intermédiaire d’une
94
95
L’élément de bois à tester repose sur deux supports élastiques afin que la propagation des vibrations soit la plus libre possible et puisse être provoquée par une simple percussion sur une des extrémités. A l’autre extrémité, un microphone enregistre les fréquences émises et les transmet via un filtre « passe-bas » à une carte d’acquisition sur micro-ordinateur pour une analyse par « transformée de Fourier rapide » (F.F.T.). Le traitement mathématique du signal (calcul et régression linéaire) est effectué par un programme écrit en VisualBasic qui intègre les caractéristiques géométriques et le poids de l’éprouvette. A.1.2. Calcul mécanique
De nombreux travaux sur la vibration de poutres élastiques, dont les conditions initiales et limites sont connues, ont montré l’existence de relations entre les fréquences propres de vibration et les propriétés mécaniques du matériau. Les types de sollicitations sont variés (axiales, transversales) et une analyse des modes propres du mouvement permet de déterminer la plupart des complaisances élastiques.
ntes permettent d’aboutir à ces relations. On suppose que
amortissement est assez faible pour que les fréquences propres du matériau bois soient voisines d’un matériau élastique équivalent. On considère alors une poutre prismatique arfaitement orientée, élastique et homogène, prélevée dans une grume supposée « idéale »,
P): on pourra alors appliquer la loi de omportement élastique. On supposera que la plus grande dimension de la section droite est
nt sur des appuis élastiques de rigidité très faible de manière à négliger les interactions. La sollicitation étudiée est la flexion et on se limitera à l’étude de la poutre en mouvement plan (on supposera que la section est symétrique par rapport au plan du mouvement et que les efforts de flexion sont appliqués dans ce plan). A partir de ces hypothèses Timoshenko propose une équation du mouvement qui prend en compte le moment fléchissant, l’effort tranchant, le cisaillement et l’inertie de rotation :
Goens (19 que Bo donné (1989) implifia en omettant le dernier terme (erreur sur E inférieure à 0,5%) :
Les hypothèses de calcul suival’
pdans le domaine des petites perturbations (HPcpetite devant la longueur pour appliquer la théorie des poutres en Résistance Des Matériaux (1/10 est une limite raisonnable). Les poutres repose
02
2
4
4222
4)1(
4
4=+++−
t
vAt
vKGI
tx
vKGEI
x
vEI∂
∂ρ∂
∂ρ∂∂
∂ρ∂
∂
r31) et Hearmon (1966) ont donné une solution approchée s
⎥⎦⎣
⎟⎠
⎜⎝ KGkkKGkk
kXk21αρ
⎤⎢ −++=⎟⎜ LfmFmF kk
2)2()()(1 παα⎡⎞⎛ ELfE 2)2( αρπ
Avec :
α =I et I module d’inertie, A aire de la section, l longueur de l’éprouvette
Al 2
risme: (P3h
12bI = , cylindre: I d
=Π 4
64)
module de cisaillement K fG
acteur de forme fixé arbitrairement à 0.9 (valeur moyenne).
96
)()(
)()()
)(2)(22
mthmtgkmthkmtg
kmk
kmkmF
−=
Θ−Θ=
(
1
longueurhauteur
kkm
k
kF
K
k
Θ
=
=α
)(6) (2
forme det coefficien 65
1=)cos(m)ch(m desolution k m avec 4
kmkm
iemekkmX
Θ+Θ=
=
12
L
2
2
Lh
h
En séparant les termes, on obtient:
kX
)1kF (12kf
2l 4kyet
kX2kF2
kf2l4
k xavec E+kxkGE
22
α
αππ
ρ
+==−= ky
, e
E/ρon déterm
et n effectuant une régression linéaire sur xk, yk:
est donc l’ordonnée à l’origine et E/kG la pente de la droite passant par les points (xk,yk); ine ces coefficients par régression linéaire.
pente= -E/KG
0
Yk
Xk
Ε/ρ
2
1
3
Plan de régression linéaire
ontré que cette méthode est précise pour déterminer E avec un ent (l/h) supérieur à 10 et pour les cinq premiers modes.
odèle de Bernoulli ne prend pas en compte le cisaillement et l’inertie de rotation, le e de la fréquence de vibration fondamentale.
odèle de TIMOSHENKO où l’on considère l’énergie de mation due au cisaillement négligeable devant celle due à la flexion.
k
k
k XlfE
απ
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ρ
2224
Bordonné (1989) a mélancem Le mmodule d’élasticité est obtenu par la connaissancC’est un cas particulier du mdéfor
97
A.1.3. Principe d'acquisition et de traitement:
Le micro-ordinattraitement de l’inform n - Paramétrage du boîtier d’acquis aux,
filtre anti-repliement (anti-aliasing), s d’acquisiti et nombre d’échantillons recueillis.
- L’onde sonore émise par l’extrémité de la poutre, est transformée en signal électrique par
un capteur adapté (mfiltré puis échant né par l’intermédiaire du boîtier d’acquisition. Puis après conversion du signal analogique en information num t transféré d ent via le port parallèle dans mémoire u PC
- La composition spectrale de l’enregistrem
rapide. La largeur spectrale (fenêtre d’investigation) dépend des paramètres d’acquisition fixés (nombre de points et dur
- La poutre est supposée obéir au
donné par l’opérateur qui indique en les sélectionnant, à partir de la souris, les fréquences propres à prendre en compte (module de cisaillement (G) dans le plan du mouvemen sont ensuite calculés par la mé oindres carrés appliquée a relation d’appr imation linéaire que vérifient ces différents facteurs.
Afi lite dent ation des prop ciel intègre lcul thé e basé su es re ns qui ex le m sans défaut les modules d’élasticité et la masse volumique à une humidité donnée. Les relations utilisées dans le logiciel provien
eur atio
gèr re
e cue
la il
tolie
talà l
ité a s
duuite
param d
étrrc
ageuss
dion
u a
boppl
îtiiqu
er d’acquisition et du éee la pe :
ition : voies d’acquisition, amon
plificateurs des signtemp
icrophone, accéléromètre, capteur Laser …). Celui-ci est amplifié, illon
éutil
riqisa
ueteu
, l’enregr d
ist.
rement es irectemune
ent est obtenue par transformée de Fourier
ée d’acquisition). Un zoom sur le spectre est possible.
modèle de Timoshenko ou de Bernoulli. Le contrôle est
nombre et rang). Le module d’élasticité dynamique (E) et le t,
thode des m
n de facioriqu
à l ox
- r l’i
r lificlatio
fréiste
qunt
enc, d
es ans
resaté
lria
e u
logibois
un, e
cantre
nent d’ajustements réalisés par GUITARD (1987).
98
EXE 2
ANN
A.3 ult e l’ o gie d défauts des arbres sur pied . Rés ats d étude de la typ lo es
SD (cm2) r (m) Arbre h (m) S(m2) P (m) D (m) 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
) Rs(%
1 0,28 12 2,03 2,17 1,16 109 25 - - - - 0,00 - - - - 9,681 0 0 12 2,06 2,16 1,34 155 36 44 - - - 0,00 ,27 ,22 - - - 14,241 16 2,01 2,24 1,42 243 - - - - - 0,17 - - - - - 1,811 16 2,01 2,24 1,42 243 - - - - - 0,17 - - - - - 1,812 16 2,01 2,35 1,62 684 - - - - - 0,00 - - - - - 4,522 16 1,87 2,07 1,25 881 - - - - - 0,14 - - - - - 7,072 2 0,25 0,00 0,00 12 1,80 2,03 1,30 660 133 47 16 - - 0,22 0,07 0,18 3,852 120 55 1 0 0 0 12 2,04 2,66 10,58 139 33 44 26 0,34 0,29 0,27 ,16 ,06 ,25 3,81 2 5,19 8 1,80 1,97 1,26 326 6,69 - - - 0,00 0,18 0,14 - - - 12,652 8 2,31 2,23 1,50 448 119 129 - - - 0,00 0,29 0,26 - - - 45,143 16 2,27 2,35 1,62 684 - - - - - 0,00 - - - - - 4,523 16 1,87 2,07 1,25 881 - - - - - 0,14 - - - - - 7,073 1 0 0 0,25 12 1,80 2,03 1,30 660 33 47 22 - - 0,22 ,07 ,18 - - 3,853 12 2,04 0,66 1,58 139 33 1,20 0,55 0,44 1,26 0,34 0,29 0,27 0,16 0,06 0,25 3,81 3 59 0 8 1,80 1,97 1,26 326 69 - - - 0,00 0,18 ,14 - - - 12,653 1 1 0 0 8 2,31 2,23 1,50 448 17 24 - - - 0,00 ,29 ,26 - - - 45,144 8 1,84 2,02 1,21 741 - - - - - 0,00 - - - - - 6,044 8 2,11 2,18 1,38 879 - - - - - 0,00 - - - - - 6,264 4 1,97 2,15 1,32 561 - - - - - 0,00 - - - - - 4,274 14,42 4 2,16 2,29 1,52 207 - - - - - 0,00 - - - - -4 4 1,93 2,16 1,26 1844 - - - - - 0,00 - - - - - 14,36 4 8 4,72 1,96 1,22 1672 514 253 - - - 0,00 0,18 0,23 - - - 7,75 4 8 1,91 2,06 1,32 244 46 61 - - - 0,00 0,22 0,24 - - - 27,60
99
SD (cm2) r (m) Arbre h (m) ST (m2) PT (m) DT (m) 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
Rs(%)
5 12 2,17 2,29 1,47 24 - - - 5 - - 11,15 14 9 - 0,12 0,3 - -5 12 1,97 2,19 1,32 - - 13,97 184 - - - - 0,11 - - - -5 16 1,96 2,10 1,25 51 - 0 - 6,16 285 - - - 0,09 0,1 - - -6 4 2,00 2,11 1,29 - - 1,49 199 - - - - 0,22 - - - -6 8 1,68 1,98 1,29 - - 2,82 316 - - - - 0,00 - - - -6 8 1,84 2,02 1,21 - - 6,04 741 - - - - 0,00 - - - -6 8 2,11 2,18 1,38 - - 6,26 879 - - - - 0,00 - - - -7 4 1,97 2,15 1,32 - - 4,27 561 - - - - 0,00 - - - -7 4 2,16 2,29 1,52 - - 2 210 - - - - 0,00 - - - - 14,47 8 2,12 2,14 1,37 57 5 58 0,00 0,25 0,25 5 7 221 101 6 31 0,2 0,23 0,20 38,07 8 2,21 2,23 1,44 40 0,00 0,28 0,22 2 314 52 49 58 25 0,28 0,27 0,27 36,47 12 2,11 2,16 1,36 46 3 - 0,00 0,25 0,21 4 268 35 11 - 0,23 - - 32,88 4 2,16 1,26 - 6 1,93 184 - - - - 0,00 - - - - - 14,38 8 1,96 1,22 - 0,00 0,18 0,23 - 5 4,72 167 52 25 - - - - 7,78 8 2,06 1,32 - 0,00 0,22 0,24 - 0 1,91 244 46 61 - - - - 27,68 12 1,99 1,22 316 6 4 - 0,20 0,15 0,20 4 1,82 1389 47 8 10 0,19 0,22 0,00 33,48 12 1,99 1,22 14,70 67 70 - 0,14 0,16 0,19 0 1,76 881 3,57 4, 14, 0,22 0,20 0,00 39,69 4 2,15 1,40 - - - - 0 - 32,02 517 93 0,18 0,3 - - - 4,5 9 8 1,37 2,32 1,23 - - 0 90 - - - - 0,11 - - - - 0,19 12 2,14 2,14 1,32 - - - - 4 72 - - 0,27 - - - - 5,09 12 2,03 2,07 ,24 33 53 9 25 0,07 0,14 0,19 1 0,18 9 1 71 4 85 0,3 0,23 23,3
10 12 2,17 2,29 1,47 204 - - - - 5 - - 5 1409 0,12 0,3 - - 11,110 12 1,97 2,19 1,32 - - - - - 13,97 1831 - - 0,11 - - -10 16 1,96 2,10 1,25 52 - - 0,0 0 - - 6,16 2,85 - - 9 0,1 - -10 4 2,00 2,11 1,29 - - - 1,49 199 - - - - 0,22 - - -10 8 1,68 1,98 1,29 - - - 2,82 316 - - - - 0,00 - - -10 8 1,84 2,02 ,21 - - - 6,04 1 741 - - - - 0,00 - - -
h : ; ST ; PT : périmètre du tronc ; iam du tronc ; S face défaut ; r stance à la moelle ; RS : risque de rupture.
Légendes : hauteur : section du tronc DT : d ètre D : sur du : di
ANNEXE 2
A.2. Calcul d'erreur expérimentale
A.3.1. Notions générales sur le calcule d’erreurs
On appelle erreur absolue sur la mesure d’une grandeur X, notée ∆X, la différence algébrique entre un résultat de mesurage XMESUREE et sa valeur vraie.
∆X = XMES - XVALEUR VRAIE
La valeur de comparaison est prise égale à la moyenne arithmétique d’une série de mesure de résultats de mesurage.
n résultats des divers mesures de la même grandeur rs égale à la moyenne arithmétique
UREE
Soient X1, X2,……, X (n ∈N), les X. la valeur le plus probable de la grandeur mesurée est alodes résultats obtenus.
n X X X
XX 1 +==VALEURVRAI
n2 +……+
Soit une grandeur X, fonction d’une grandeur y avec X=f(y). La fonction f est définit r l’intervalle I d s osée dérivable. La form e de Taylor au première ordre, au
voisinage de a ∈ I, est donnée par :
On appelle erreur relative le quotient de l’erreur absolue par la valeur de comparaison mesurée. On l’appelle l’erreur relative apparente.
su e R est upp ul
( ) ( ) ( )ydydf y-af(y)af += ( ) yy
dydf X ∆=∆ ( ) Xaf =
L'erreur absolue et l'erreur relative d'une mesure X fonction de n mesures s'obtiennent à partir d'un développement de Taylor-Lagrange au premier ordre:
∑⎥⎦⎢⎣1=i iy ∂⎥⎤
⎢⎡
∆≈∆n
ii y )(yfX ∂ ∆ ∆XX
fyi
(y yX
i
i
i=1
n≈
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
∑∂∂
)
u somme:Pour ne
( )( )
∆ ∆ ∆X Y+X Y
X YX Y+
=++
Pour un produit: ( )
( )∆ ∆XY
XYX
XY
Y= +
Pour un quotient: ( )
( )∆ ∆ ∆X Y
X YX
XY
Y/
/= −
∆
A.3.2. Incertitude sur les mesures des densités
rs de la détermination des densités du bois, l’incertitude engendrée par la méthode standard eut être calculée. Connaissant la précision des appareillages de mesure et les erreurs de lecture sur
es, l’erreur relative commise sur la densité anhydre est donnée par:
Loples valeurs mesuré
100
ité anhydre: Dens
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎛
+∆=∆
+∆
+∆
=∆ 0000
1R
lLL
TT
RR
V⎝
+
×
+=
000000
0
000
11
,
,ρ
LT
LVm
Avec, ∆m0 = ∆m = 0,01g, ∆R0 = ∆T0 = ∆L0 = ∆l = 0,01mm
Infra-densité
∆∆∆ 000ρ Vm
×= 000 TRV
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++∆=
∆+
∆+
∆=∆ s R
V
××=
+∆
=∆
ssss
s
s
s
s
s
sss
b
b
LTRl
LL
TTR
LTmm
111
,
,ρρ
0
0
Ls = ∆l = 0,01mm.
3 ncertitude sur la mesure de la compression axiale
∆ sV
sV
s RV
Avec, ∆Rs = ∆Ts = ∆ A.3. . I
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ =∆+
∆=
∆+
∆+
∆=
∆he
lFF
hh
ee
FF
CR
Avec,
CR 11
σσ
∆F = 0,2 daN = 2 N et ∆e = ∆h = ∆l = 0,01mm A.3.4. Calcul de l’incertitude maximale pour la mesure de E et G par la méthode vibratoire: Calcul de E et G sur les deux premières fréquences: Les relations obtenues par Bordonné [72] sont pour la kième fréquence propre fk:
(1) E E x yk kρ= + , avec
( )KG
xf F
kk k=
2 22π l
et ( ) ( )
yf F
kk=
+2 12π αl
Xk Xk
k
1
α
avec,
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )X m tel que m ch mk k k k= =4 1cos
( ) ( )( ) ( )
( )
F m mk k k= +12 6θ θ
F m m
tg m th mtg m th m
k k k
k kk k
k k
= −
−
22 2θ θ
65:
longueur : largeur,:,:
ire)rectangula(section 12 2
2
m m=θ
2
=
==
formedetcoefficienK
bhauteurh
hSI zz
l
llα
our les deux premières fréquences:
que l’on peut réécrire p
101
E x y x yx xρ
=−
1 2 2 1
1 2
-
( )G x y x y
K y yρ=
−1 2 2 1
2 1
- E
GK
y yx x
=−
2 1
1 2
-(2)
.3.4.1. Calcul de l’incertitude relative sur E
n fonction de α (facteur d’élancement) et du rapport des modules /G:
ompte tenu de
A
On exprime les résultats eE C
(3) ( )
y =1 F
xk+ 1α
n réécrit E/ρ en tenant compte de:
)
Fkk
k2α
O
( )E x x g
x xρα
=−
1 2
1 2, avec ( ) ( )
gF F F F F F
F Fα
α= −
− + −−22 21
111 22 12 21
22 21 (4
En appliquant les règle( )
s de calcul:
( )( )∆ ∆ ∆E x x/ ρ ∆ ∆
∆
x x g
A x A xg
g x
= + −−
+
− −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+ =
1 2 1 2
21 1
∆ ∆A x xavec A
x= ⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
−1 21
E x x x x g/ ρ −1 2 1 2
1 2 1 On détermine:
(5) ∆ ∆ ∆x f l
x f= +2 2
l
(6) ∆ ∆αg avec BF F F
= ⎛⎜
⎞⎟ =
g B F FF
+⎝ ⎠−−α α
21 1 11 22 121 22 21
(7) ∆α ∆ ∆α
= −2 2hh
l
l
D’où: ( )
( )∆ ∆ ∆ ∆E h A f/ ρ
= +⎛⎜
⎞⎟ − ⎛
⎜⎞⎟ + ⎛
⎜⎞⎟ −2 1 1 2 1 2 1l ∆
E B B h A f Af
f/ ρ α α+⎝ ⎠ +⎝ ⎠ −⎝ ⎠ −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟1 1 1
2 111
2
2l
Comme ( )
( )( )
( )E E E
EE
EE
Em
mh
hb
b= ⇒ = + = + − − −
ρρ
ρρ ρ
ρρ
∆ ∆ ∆ρ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆//
//
l
l
Ce qui
(8)
donne finalement:
( )2
2
1
1 2fffbhmE D
fDC
bhC
mE∆
−+∆
++−−=l
vec
∆∆∆∆∆ l
, AF F E
KGF+ +⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟22 11 211 α
aF F E
KGF
B CB
D AA
h=
+ +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
≈ = ++
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
21 12 22
2
127 8 1 2
12
11
12α
αα,
l
102
Les coefficients A, C et D sont appelés coefficients d’erreur. Ces coefficients dépendent de l’élancement (l/h) et du ratio E/G. Pour un élancement variant de 10 à 40 et un ratio E/G de 12 à 20
lage du matériau bois), les coefficients d’erreur prennent respectivement les valeurs 4, 3, et 3. (pL’écart maximal relatif sur E en valeur absolue est donné par:
( )21
LV
ffbhE
l
Pour des élancements inférieurs à 10, le risque d’erreur lié aux fréquences est plus important en
A.3.4.2. Calcul de l'incertitude relative sur G
21
LV
∆fD2∆fD∆C∆b∆hCm∆m
E−+++−−=
l ∆
raison de la croissance rapide du coefficient D.
EG
Ky yx x
=−
2 1- Compte tenu de (2):
1 2
(( )
)( ) ( )∆ ∆ ∆y y x x− −2 1 1 2
∆ ∆ ∆ ∆y N y x A=
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−−
⎛⎝⎜ −
⎞⎠⎟
−−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
1 1 21 1
E GE G
N y N y A x Ax
xavec A
xx
et Nyy
//
= −
⎞⎠⎟
+ ⎛⎝⎜
= =2 2
2 1
2
11 1 1 1
(9)
y y x x− −2 1 1 2
1 2 1 et compte tenu de (3):
( )∆ ∆ ∆αyy
xx F k
= −+α α1 1
D’où
( )( ) ( )( ) ( )( )
∆ ∆ ∆ ∆αE G N/ ⎛ 1E G N A
xx N
AA
xx
NF N F N/
=−
+−⎝⎜
⎞⎠⎟
−−
+−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
++ −
−+ −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
11
1 1 1 1 11
1 11
1
2
2 12 11 344444α α α
t compte tenu de (5) et (7) :
F G F H=1 244 344 1 244 344 1 24444444 44
E
( )( )
∆ ∆ ∆ ∆ ∆E GE G h/ l
H h H Ff
fF
ff
/= − + −2 2 2 21
1
2
2
l
Comme G EEG
GG
EE
EG
EG
=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⇒ = −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
∆ ∆∆
E pte tenu de (8):
t com
2
2
1
1LT
f∆f
K)(2f∆f
K∆Jb∆b
h∆hJ
m∆m
G∆G
++−+−−=l
l
103
Avec,
( )( )( )
( )
(( ))J
F F
KG
F F EKG
F
KG
h= −
−+ + +⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
12
2 1 11
1212 11
22 21 11 22 12 21
12 11 21
22 21 11 22 12 21
2α αα
l
ents utilisés au laboratoire, on peut évaluer alors les paramètres suivants:
m = 94 ± 0,1 (g) ⇒
E F F F F F FK E F F F F F F− + −
=− + −α α α
A.3.4.3. Application
partir des instrumA
∆mm
= 0 1%, * pour la masse:
* la hauteur (pied à coulisse): h = 20 ± 0,1 (mm) ⇒ ∆h 0,1h
=20
= 0,5%
* la largeur (pied à coulisse) : b = 20 0,1 (mm) ⇒ ∆bb
= 0,120
= 0,5% ±
∆l * la longueur (règle): l = 360 ± 1 (mm) ⇒
l=
360= 0,3% 1
* Mesure simultanée d
sc
er
es deux premières fréquences:
Pour les fréquences propres, celles-ci sont déterminées par une transformée de Fourier rète après numérisation et la résoludi tion r est fonction de fs la largeur fréquentielle de mesure
(largeur spectrale) et N le nombre de points de mesure. L’erreur absolue, ∆f peut être majorée par reur absolue expérimentale (1Hz) plul’ s la moitié de la résolution:
∆ ∆ ∆ ∆ff
ff
1
1
2
2=
+=
+f rf
f rf
exp exp, ,0 5 0 5
1 2
La largeur spectrale fs permet de sélectionner les deux premières fréquences, soit fs=f2 avec 4096 points de mesure. Compte tenu de (1) et des valeurs fixées pour E et G, on détermine f1 et f2:
f1=722Hz, f2=1849Hz et %09,0ff
22,0ff 21 =
∆=
∆r
fN
Hz= =2 56
1162,, ⇒ %
21
et
Finalement, pour E et G on obtient:
{ { {LV
LV
f0,09+3x0,22+3x0,3
b0,5
h3x0,5
m0,1
E∆E
321321321 +++= ⇒ 3,75% E∆E
L
L ≈
21fl
{ {∆G
4,44% G∆G
TL
TL ≈ GTL m h b
123l
1230,8x0,3 + 14x0,16 +16*0,06TL = + + +0 1 0 8 0 5 0 5
1 2
, , , ,xf f
124 34 124 34 ⇒
A.3.5. Incertitude relative sur le module d’élasticité statique en flexion quatre points
Le module d’élasticité statique en flexion quatre points est calculé à partir de l’équation suivante :
104
( )fP
hemal
∆∆−
= 3
2
Ls 83E
L’incertitude sur la mesure du module est données par :
kk
aDaD
mm
hh
ee ∆
+−
∆+∆+
∆+
∆+
∆= 23
E∆E
Ls
Ls , avec f
k∆
P∆=
Les ince des relatives sur les paramètres du calcule sont les suivants :
* la hauteur (pied à coulisse): e = 20 ± 0,1
rtitu
(mm) ⇒ ∆hh 20
= 0,1 = 0,5%
* la largeur (pied à coulisse) : b = 20 ± 0,1 (mm) ⇒ ∆b 0,1b 20
= 0,5%
* la longueur (règle): l = 360 ± 1
=
(mm) ⇒ ∆l
0,3%
* masse: m = 74 ± 0,
l 360= 1 =
la 1 (g) ⇒ ∆mm
= 0 1%,
On obtient l’erreur relative sur la mesure de ELS :
kk
aDaD
mmhe ∆
+−
∆+∆+
∆+
∆+
∆= 23
heE∆E
Ls
Ls
n obtient donc : O
3,15,08,025,038,0E∆E
Ls
Ls ++×+×+= %7,5E∆E
Ls
Ls =
A.3.6. Incertitude relative sur la contrainte de rupture en flexion quatre points
est donnée par l’équation suivante : La contrainte de rupture
( )2
max
23
σhe
alPfR
−=
L’erreur relative est de la forme :
hh
alal
ee
PP
fR
fR ∆
+−
∆+∆+
∆+
∆= 2
σ
∆σ
max
max
Les incertitudes expérimentables sur les paramètres de calcule sont donnés dans (A.3.6), ce qui conduit à :
5,025,03,18,0σ
∆σ×+++=f
R
%6,3σ
f
∆σ
=f
fRR
R
105
ANNEXE 4
A.4. Hétérogénéité et échelles de structure anatomique du matériau bois.
Avant d’aborder l’étude du comportement acoustique du matériau bois, il est intéressant de présenter des données essentielles sur la structure du matériau et les différentes échelles d’observation. A.4.1. Structure anatomique de la tige
A l’échelle de l’arbre (résineux ou feuillus), sur la section transverse de la tige, on observe l’int
de érieur vers de l’extérieur (Figure A.4. 1.)
Figure A.4. 1. - Structure morphologique du tronc d’un arbre, extrait de "la Nature" Bary-Lenger, citée dans [Badel (1999)].
- (1) Le duramen - formé de cellules mortes, sa conservation est assurée par les résines et les
tanins qui imprègnent les cellules ; - (2) L’aubier - la partie vivante de l’arbre physiologiquement active qui assure la circulation de
l’eau et des éléments nutritionnels ; - (3) Le cambium - une assise génératrice produisant le liber vers l'extérieur, le xylème ou bois
vers l’intérieur; - (5) L’écorce externe ou rhytidome - une enveloppe protectrice constituée en grande partie de
cellules mortes et qui est élaborée par l'assise génératrice subéro-phello-dermique. La structure cylindrique du tronc de l’arbre et la succession des cernes de croissances sont liées aux directions principales de croissance, on trouve la direction radiale (R), tangentielle (T) et longitudinale (L). ette anisotropie. Les fibres constituent des guide présence de cellules orientées
de es
éments anatomiques (trachéides, fibres, vaisseaux, etc..) et l’anisotropie microstructurale liée à organisation de la paroi cellulaire et aux composants poly-cristallins (cellulose, hémicellulose et
lignine) [Bucur (2003)].
La variabilité des propriétés du bois est liée essentiellement à cs d’onde dans la direction axiale. La
dans la direction radiale facilite le transfert de l'énergie acoustique. L'anisotropie acoustique du bois est liée à l’échelle de structure, en effet, il est possible distinguer deux échelles d'observation, au niveau des fibres induit par l'orientation préférentielle déll'
106
A.4.2. Structure macro-anatomique rôle physiologique ou de soutien dans l’arbre. La nature et l'organisation des cellules qui le compmodètridim (Figure A.4.2 (b)). Le bois des fe lldirec
(a)
Le bois est constitué de cellules de tailles, de forme et de fonctions différentes assurant un
osent constituent le "plan ligneux", la distribution de ces différents types cellulaires suit un le caractéristique de chaque espèce. La figure ci-dessous schématise la structure ensionnelle d’un résineux (Figure A.4.2 (a)) et d’un feuillus
ui us ou des résineux est constitué d’un réseau de cellules dont l’orientation préférentielle est la tion longitudinale.
1- plan transversal 2- plan radial-longitudinal
12- ponctuation simple
(b)
3- plan tangentiel-longitudinal 4- anneau de croissance 5- bois initial 6- bois final 7- rayon ligneux 8- rayon fusiforme 9- canal résinifère longitudinal 10- canal résinifère transversal 11- ponctuation aréolée
1- plan transversal 2- plan radial-longitudinal 3- plan tangentiel-longitudinal 4- anneau de croissance 5- bois initial 6- bois final 7- rayon ligneux 8- vaisseaux 9- perforations entre éléments de vaisseaux
Figure A.4.2 - Représentation schématique de la structure macro-anatomique du bois (a) Résineux (épicéa) (b) Feuillus (peuplier) [USDA (1999)].
Le plan ligneux des résineux est caractérisé par une structure uniforme et continue,
constituée par un seul type de cellules, tandis que le bois des feuillus est très hétérogène et est constitué de plusieurs types de cellules. La paroi des cellules est composée d’une substance polysaccharide (cellulose et hémicellulose) englobé dans une matrice amorphe et hydrophile (la lignine) [Berrada (1991)].
Quelques détails sur la structure anatomique du bois de peuplier et de douglas sont présentés
dans la figure A.4.3 (a) et (b).
107
(a) (b)
Figure A.4. microsco sversale de cellule de bois (a) douglas (×1000) (b) plier (×200
La struct is de Doug re A.4.3 ( e transver tre un gradient
de calibre des él nducteurs du bois. En effet, l ial est con trachéides ; des cellules en fuseaux à gros calibre et à paroi mince d’environ 1 à 3 mm de lde la sève brut conductio ésistance m e de l’arbre (tissus de soutien). Le bois final comporte des trachéides plus denses et à paroi épaisse. Dans ce genre de bois, on rencontre aussi d x résinifère borent la ré ments sécr SDA (1994)].
Une coupe transversale du Peuplier n ulus nigra sentée dans la figure A.4.3 (b cture de c e bois est composée de vaisseaux (éléments ouverts assurant le transport de la sève brute), de rayons et de parenchymes (cellule radial assurant le stockage de utritive). de cro ontiennen es perforations simples et des ponctuations inter-vasculaires. La longueur des fibres du bois du peuplier est de l`ordre de 0.85 mm SDA (1997)]. A.4.3. Ultra structure de la paroi Les cel bois (va parenchy es, traché ésultant de la différenciation des cellules cambiales ont une paroi stra ée par un ent de couches qui diffèrent pa isseur et le on. L éité est pl tante au niveau des strates contenant les micro-fibrilles. Leurs orientations par rapport au grand axe de la cellule est un paramètre i ans la co sion de certaines propriétés du bois. Ces différentes couches sont pr ans la figu
3 - Coupe pique tran
peu 0).
ure du bo las (Figu a)), en vu sale, monéments co e bois init stitué de
ong assurant le transport (tissus de n) et la r écaniqu
es canau s qui éla sine (élé éteurs) [U
bois de oire (Pop ) est pré). La stru e type d
s axial oumatière n Les cernes issance c t aussi d
[U
lules du isseaux, mes, fibr ides), rtifiée, form empilem
r leur épa ur compositi ’hétérogén us impor
mportant d mpréhenésentées d re A.4.4.
108
Figure A.4.4 - Quelques échelles d’observation d’un résineux, d’après [Norimoto et Gril (1989)].
(a) volume élémentaire représentatif contenant un nombre suffisant de cernes annuels, (b) échelle microscopique faisant apparaître la structure en nid d’abeille, (c) ultra-structure pariétale montrant la structure multicouche d’une paroi cellulaire, chaque sous-couche étant caractérisée par un renforcement de cellulose cristalline de différentes orientations. À l’échelle microscopique les cellules du bois présentent une structure en nid d’abeilles dans le plan transversal. La cellule elle même est composée de plusieurs couches, on distingue -
- La lamelle mitoyenne (ML)- c'est la première couche mise en place pendant la division cellulaire. Cette couche remplie les parties intercellulaires et assure la cohésion entre les cellules ;
- La paroi primaire (P)- elle constitue le premier niveau cellulosique de très faible épaisseur constituant l’enveloppe externe, riche en hémicelluloses et lignine et sa principale caractéristique est la plasticité. Elle est très hydrophile ;
- La paroi secondaire- dès que la jeune cellule a atteint sa dimension définitive, elle renforce sa paroi d'épaississements successifs qui constituent une paroi secondaire. Cette paroi épaisse et rigide, contenant de la cellulose cristalline, joue un rôle important dans les propriétés physiques du bois, elle est inextensible et peu hydratée. Les principales couches qui constituent la paroi secondaire sont-
• S1- première couche, la plus externe, très fine, dont les microfibrilles sont très inclinées, presque transversales par rapport à l'axe de la cellule;
• S2- la couche la plus épaisse, contenant une grande partie de la cellulose. Dans cette couche les microfibrilles forment une spirale très étirée et sont donc faiblement inclinées par rapport à l'axe de la cellule;
• S3- fine couche interne en bordure du lumen, parfois indiscernable, parfois remarquable par l’inclinaison transversale des microfibrilles.
109
ANNEXE 5
A.5. Exemple de tableau de résultats Signaux entrée marteau force et sortie accéléromètre
Temps (ms) Voie A
Amplitude du signal d’entrée (mv)
Voie A
Temps (ms) Voie B
Amplitude du signal de sortie (mv)
Vois B 0.000000 -0.19836 0.003000 -0.50354 0.006000 -0.18311 0.009000 -0.47302 0.012000 -0.19836 0.015000 -0.45776 0.018000 -0.19836 0.021000 -0.50354 0.024000 -0.19836 0.027000 -0.48828 0.030000 -0.19836 0.033000 -0.53406 0.036000 -0.18311 0.039000 -0.47302 0.042000 -0.18311 0.045000 -0.45776 0.048000 -0.22888 0.051000 -0.44250 0.054000 -0.16785 0.057000 -0.44250 0.060000 -0.22888 0.063000 -0.48828 0.066000 -0.16785 0.069000 -0.45776 0.072000 -0.15259 0.075000 -0.47302 0.078000 -0.19836 0.081000 -0.50354 0.084000 -0.22888 0.087000 -0.50354 0.090000 -0.10681 0.093000 -0.48828 0.096000 -0.16785 0.099000 -0.44250 0.102000 -0.21362 0.105000 -0.51880 0.108000 -0.19836 0.111000 -0.44250 0.114000 -0.15259 0.117000 -0.44250
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
49.026000 0.07629 49.029000 -0.47302 49.032000 0.06104 49.035000 -0.50354 49.038000 0.06104 49.041000 -0.48828 49.044000 0.10681 49.047000 -0.51880 49.050000 0.04578 49.053000 -0.45776 49.056000 0.06104 49.059000 -0.44250 49.062000 0.06104 49.065000 -0.50354 49.068000 0.07629 49.071000 -0.47302 49.074000 0.06104 49.077000 -0.51880 49.080000 0.04578 49.083000 -0.41199 49.086000 0.06104 49.089000 -0.50354 49.092000 0.06104 49.095000 -0.53406 49.098000 0.00000 49.101000 -0.53406 49.104000 0.00000 49.107000 -0.48828 49.110000 0.06104 49.113000 -0.51880 49.116000 0.04578 49.119000 -0.53406 49.122000 0.06104 49.125000 -0.47302 49.128000 0.03052 49.131000 -0.53406 49.134000 0.06104 49.137000 -0.47302 49.140000 0.10681 49.143000 -0.51880 49.146000 0.00000 49.149000 0.00000
110
ANNEXE 6
A.6. Principes mathématiques de la tomographie acoustique
A.6.1. Modèles physiques L’auscultation d’un milieu par tomographie acoustique consiste à collecter des informations caractéristiques de l’onde acoustique se propageant dans ce milieu :
- le temps de transmission, - l’amplitude, - la fréquence, - le déphasage, etc. [Grangeat (2002), bucur (2003)].
Le problème tomographique est la reconstruction tridimensionnelle de la distribution de l’une ces caractéristique à partir des projections bidimensionnelles d’un nombre de mesures autour de la structure.
A.6.1.1. Tomographie analytique. La reconstruction de l’image en tomographie acoustique, est basée sur la simulation de la distribution des lenteurs de propagation des ondes acoustiques. Le temps de transmission et la position des capteurs (émetteur et récepteur) sont les éléments essentiels pour la numérisation tridimensionnelle. Le temps de transmission tab mesuré entre les deux positions a et b est donnée par :
(01)
Avec : a et b sont les positions des deux capteurs ; est la lenteur de l’onde en un point (x,y) ; ds élément du rayon de propagation s. L’objectif est de déterminer la distribution de la fonction et les lignes d’intégration le long d’un rayon de propagation en se basant sur le principe de Fermat et Huygens [Bucur (2002), Singhal (2002), Socco et al (2004)]. Ce principe énonce que le rayon de propagation entre deux positions corespond à l’un des moindres temps de transmission. En reconstruction analytique, l’unique méthode utilisée est la rétroprojection filtrée. La reconstruction de la distribution des vitesses de propagation consiste en la résolution du problème exprimé sous sa forme continue (équation (01)), via le théorème de la section centrale et en utilisant des approximations de filtrage [Grangeat (2002)].
A.6.1.2. Tomographie linéaire. Il est possible de ramener le problème de reconstruction de la distribution des lenteurs de propagation à un problème inverse linéaire classique. En effet, le modèle physique est ramené à une
( )∫ ,b
a
b
aab dsyxdtt l∫ ==
)( y,xl
)( y,xl
111
distribution discrète. La reconstruction consiste en la résolution du problème exprimé sous cette forme via la résolution d’un système matriciel conduisant à la résolution du problème inverse. L’hypothèse de Radon suppose que les rayons de propagation sont des lignes droites. En divisant le polygone limité par les positions des capteurs sous forme d’un maillage de m cellules et en estimant que la lenteur est constante à l’intérieur de chaque cellule, l'image reconstruite est la distribution des lenteurs locale. Sous une forme discrète le modèle physique est donné par l’équation suivante : (02)
Avec : tij - temps de transmission entre du ième et jème pair capteurs ; s - segment d'intersection du ième rayon de propagation avec kème cellule ; - lenteur de propagation dans la kème cellule ; Ceci conduit à un système de n équation (nombre de mesure) avec m inconnu (nombre de cellule). La résolution du système est toujours possible, au sens de l’optimisation d’un critère, même en l’absence de solution théorique. Sous une forme matricielle le système d’équation linières est donnée par :
(03)
T et L sont deux opérateurs matriciels représentant les temps de propagation et les lenteurs locales, S est un opérateur projecteur représentant la matrice des segments d’intersection du ième rayon avec la kème cellule. Le problème tomographique consiste donc à déterminer la matrice L à partir de l’ensemble de projections avec T et S étant connus.
A.6.2. Géométries et transformées. Les techniques de reconstruction dites par transformées sont les méthodes analytiques de reconstruction. En supposant que la relation entre l’ensemble des projections est une fonction continue, le problème tomographique se réduit à la reconstruction de la distribution spatiale des lenteurs de propagation à partir de ces projections. Les méthodes analytiques sont dérivées directement de l’inverse de la transformée de Radon l’outil mathématique qui formalise le lien existant entre les projections et l’image qu’on cherche à reconstruire [Kak et Slaney (1999)]. Concernant l’acquisition des projections, deux types de géométries peuvent être considérés, auxquelles sont associés le paramétrage des projections acquises et des opérateurs agissant sur les fonctions qui définissent le problème direct.
A.6.2.1. Géométries parallèles
La géométrie parallèle correspond aux cas où les ondes émises suivent des chemins parallèles traversant la section transverse de l’objet. Du fait de sa simplicité par rapport aux autres géométries d’un point de vue mathématique, la géométrie parallèle reste fondamentale. En géométrie parallèle les projections sont collectées en mesurant un ensemble de rayons parallèles pour un nombre d’angles différents.
∑∑ ==k
kijkk
ijkij sdtt l
ijk
kl
LS=T
112
La position de chaque rayon est repérée par l’angle θ définit par la normale et traversant le centre (Figure A.6.1).
Figure A.6.1 - Schématisation de la géométrie parallèle. En utilisant le système de coordonnées représenté dans la figure A.6.1. Chaque ligne de projection est décrite par la fonction des lenteurs et par les deux coordonnées polaires (r,θ). La transformée de Radon R appliquée à la fonction , supposée régulière et continue sur le domaine D délimité par les frontières de la section à ausculté et infinie à l’extérieur, noté également
est donnée par :
(04)
Avec Le problème tomographie consiste à estimer la distribution des lenteurs à partir de l’ensemble de projections p(r,θ) grâce à l’inverse de la transformée de Radon. Ce qui conduit à résoudre le modèle physique sous sa forme analytique.
A.6.2.2. Géométries éventail Pour chaque position angulaire la sonde émettrice est fixe. Un réseau de sondes réceptrices est placé autour de la section à ausculté formant un cône ayant comme point focale la sonde émettrice. Le système subit également des rotations. La position de chaque rayon est définie par deux paramètres angulaires α et β (Figure A.6.2). On peut se ramener à la géométrie parallèle par un changement de variable.
)( y,xl
)( y,xl
( )[ ]yxR ,l
( ) ( )[ ] ( )( )∫==θ
θ,
,,,r
dsyxyxRrp ll
θ+θ= sincos yxr )( y,xl
113
Figure A.6.2 - Schématisation de la géométrie éventail.
En géométrie éventail la transformée de Radon bidimensionnelle associée à la fonction
est donnée par :
(05)
⇔
)( y,xl
( )[ ] ( )∫+∞
∞−
= dsyx,, ll βαχ
β=β+α=θ
sinRr [ ]Rr /arcsin=β
βθ=α (06)
Le principe de reconstruction en géométrie éventail consiste à transformer les projections en géométrie parallèles et à calculer le sinogramme équivalent (équation 10) en appliquant les changements de variables (équation 06) puis reconstruire l’image associée en utilisant la technique de rétroprojection filtrée. A.6.3. Techniques de reconstructions classiques En tomographie acoustique, deus types d’approches sont considérés. Elles conduisent toutes les deux à des algorithmes de reconstruction. La première approche analytique consiste à résoudre la formule d’inversion établie sous une forme continue. La seconde est une approche algébrique qui consiste discrétiser la formule d’inversion. Ces deux approches permettent de reconstruire la distribution des lenteurs.
A.6.3.1. Reconstruction analytique La méthode analytique est basée sur la résolution de la formule d’inversion, plus particulièrement la méthode de la rétroprojection filtrée. Il s’agit de la méthode la plus couramment utilisée en reconstruction analytique. Cette méthode est fondée sur le théorème de coupe-projection de Fourier qui nécessite le passage d’une grille cartésienne en une grille polaire [Kak et Slaney (1988), Grangeat (2002), Bucur (2002)]. La figure A.6.3 représente le théorème de coupe-projection de Fourier reliant la transformé d'une projection à la transformé Fourier de l'objet le long d'une ligne radiale.
114
Figure A.6.3 - Le théorème de coupe projection de Fourier. La formule de l’inversion de la transformée de Radon repose sur le résultat d’analyse de Fourier. En effet, la transformée de Fourier d'une projection parallèle est une coupe à deux dimensions de l'objet original. A partir des données de projectives, il est possible d'estimer la distribution des lenteurs en appliquant la transformé de Fourier et par suite reconstruire une coupe virtuelle de la section examinée. La transformée de Fourier bidimensionnelle la fonction lenteur est définit par : )( y,xl
( ) ( ) ( )∫ ∫∞
∞
∞+π−=
∞
2,, dydxeyxvuF vyuxjl (07)
Le passage du système de coordonnées lié à la projection caractérisée par l'angle θ est
obtenu par une rotation du systèm :
La transformée de Fourier P(ρ,θ) d’une projection p(r,θ) est défini par :
)( vu,e ),( yx
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛θθ−θθ
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛yx
vu
cossinsincos
( ) ( )∫+∞
∞−
= drerpPrj πρ
θθρ2
,, (08)
( ) ( ) ( )∫ ∫
+∞
∞−
+∞
∞−
+= dxdyeyxP
yxj θθπρθρ
sincos2,, l (09)
Ce qui conduit à :
( ) ( ) ( )θρθρ=θρ=θρ sin,cosF,F,P Avec et
θρ= cosu θρ= sinv
115
La transformée de Fourier du profil correspondant à la projection de l’objet à deux dimensions est une section centrale de la transformée bidimensionnelle de l’objet, c’est-à-dire une ligne passant par l’origine de l’espace de Fourier . Dans le cas d’un nombre infini de projections, la transformée de Fourier est connue en tout point dans l’espace de Fourier, la fonction
est obtenus en appliquant la transformée de Fourier inverse :
(10)
En coordonnées polaire la transformée de Fourier inverse s’écrit sous la forme :
(11)
Cette équation peut s’écrire sous forme d’une somme de deux intégrale [0,π] et [π,2π], on obtient :
(12)
Sachant que : ) L’expression est donné par :
)( vu,
)( y,xl
( ) ( ) ( )∫ ∫+∞
∞−
+∞
∞−
+= dvduevuFyx vyuxjπ2,,l
( ) ( ) ( )∫ ∫+∞
+=π
θθρπ θρρθρ2
0 0
sincos2,, ddeFyx yxjl
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )∫ ∫
∫ ∫∞
+++
∞+
++
=
ππθπθρπ
πθθρπ
ρρπθρ
θρρθρ
0 0
sincos2
0 0
sincos2
θ,
,,
ddeF
ddeFyx
yxj
yxjl
( ) ( θρ−=π+θρ ,, FF
de )( y,xl
( ) ( )∫ ∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
∞ππρ θρρθρ
0 0
2j,, ddeFyx rl (13)
En substituant la transformée de Fourier bidimensionnelle F(ρ,θ) par la transformée de Fourier de la projection p(r,θ), noté P(ρ,θ), on obtient :
( ) ( )∫ ∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
∞ππρ θρρθρ
0 0
2j,, ddePyx rl (14)
On définit "la projection filtrée" par :
( ) ( )∫∞
=0
2j, ρρθρρ πρθ dePQ r
(15)
116
L'équation (15) représente une opération de filtrage, où la réponse en fréquence du filtre est donnée par ρ . Les projections résultantes pour différents angles θ sont sommées pour former la fonction sous la forme :
(16)
La rétroprojection filtrée consiste donc à prendre la transformée de Fourier de chaque profil, ensuite à amplifier proportionnellement les hautes fréquences à l’aide d’un filtrage puis à revenir par la transformée de Fourier inverse dans l’espace réel avant d’effectuer les opérations de rétroprojection. Dans la pratique plusieurs types de filtre peuvent être appliqués, comme par exemple (Hamming, Hann, Butterworth, etc.). Les paramètres définissant le filtre sont la fréquence de coupure, l’ordre et la façon dont le filtrage est programmé (domaine spatial, domaine de Fourier, pré ou post-filtrage) [Grangeat (2002)]. A.6.3.2. Reconstruction algébrique itérative Les méthodes algébriques sont basées sur l’hypothèse discrétisation des données. Pour estimer une solution, plusieurs techniques sont considérées et aboutissent à des algorithmes différents. Nous présenterons les méthodes algébriques ; ART (Algebraic Reconstruction Technique), SIRT (Simultaneous Iterative Reconstruction Technique) et les méthodes algébriques directes. La différence entre ces deux méthodes itératives est la technique de résolution du système obtenu. Dans le cas de l’ART la résolution se fait avec la méthode de Kaczmarz et dans le cas des méthodes SIRT elle se fait par la méthode de Richardson [Rouault (1996)]. C’est deux méthodes consistent à discrétiser en cellules le support de la fonction lenteur et de définir les éléments discrets comme les indicateurs sur les pixels, c'est-à-dire la valeur de la fonction cherchée dans chaque cellule. Sous une forme discrète le modèle physique est donné par l’équation suivante : (17)
Les coefficients sijk sont définit comme étant la longueur d’intersection entre la cellule et le rayon de propagation. Ils définissent la sensibilité d’une observation individuelle qui est donnée par :
)( y,xl
( ) ( )∫ +=π
θ θθθ0
sincos, dyxQyxl
∑∑ ==k
kijkk
ijkij sdtt l
ijkk
ijk st
=∂
∂
l (18)
Les deux méthodes consistent en la résolution du problème exprimé sous forme discrète à travers la résolution d’un système d’équations linéaire. Ces méthodes conduit au calcul des coefficients et donc à résoudre un système linéaire sous une forme matricielle. Sous une forme matricielle le modèle tomographique est donné par :
il
117
(19)
Chaque ligne de la matrice représente l'équation d'un rayon de projection. ART est un algorithme itératif de résolution du système linéaire faisant agir une ligne de la matrice à la fois. Dans la version de base, l'idée est de corriger la solution à chaque itération de manière à la rendre consistante avec l'équation considérée à cette itération. La méthode consiste à initialiser l'image est à . A chaque itération q, on ajoute à l'image
un terme additif correctif ne dépendant que de l'équation j. Lorsque la méthode est utilisée sans relaxation, la correction est calculée de telle sorte que la jième équation soit satisfaite. Cette correction peut être interprétée comme la rétroprojection de l'écart entre la projection mesurée et la projection calculée.
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
mnmnn
m
m
n sss
ssssss
t
t
l
l
.
.
.
.
...............
...
...
.
.
.
.1
21
22221
112111
0il
qil
( ) ( )( )
tij
ij
qiijjq
iq
i mss
st2
1 lll
−λ+=+ (20)
Où sij désigne la iième ligne de la matrice S, ijs sa norme euclidienne, λ est un facteur de relaxation compris entre 0 et 2. Le facteur de relaxation peut être interprété comme une pondération de la rétroprojection de l'écart et permet d'accélérer la convergence. Lorsque λ = 1, elle consiste à effectuer une suite de projections orthogonales sur les hyperplans associés à chaque équation. La méthode SIRT est similaire à l'ART, mais au lieu de procéder rayon par rayon, elle procède pixel par pixel. En chaque pixel, toutes les mesures de projection correspondant à tous les rayons passant par ce point sont calculées et sommées. Un facteur de correction est appliqué à la densité de ce pixel, ce facteur est fonction de la différence entre les projections estimées et les projections mesurées, soit :
( ) ( )
( )
∑∑
∑∑ −
− −+=
jj
j
qij
jij
jj
qi
qi n
t
s
t 1
21
l
ll (21)
Où ijs représente la longueur du rayon numéro j et nj le nombre de pixels traversés par ce rayon. La correction peut aussi être appliquée de façon multiplicative, soit :
118
( ) ( )
( )
∑∑
∑
∑ −
− −=
jj
j
qij
jij
jj
qi
qi n
t
s
t 1
21
l
ll (22)
Les deux méthodes algébriques consistent à déterminer les solutions de moindres carrées, ce qui conduit à la recherche d’une solution ( )q
il minimisant l’écart E entre le temps de transmission théorique et expérimental , donné par :
theit
expit
2exp∑ −=i
ithei ttE (23)
avec
Ce qui conduit à chercher des approximations successives, en supposant au départ une valeur initiale sur la ième cellule qui est rien d’autre que la moyenne des lenteurs mesurées sur les rayons traversant la cellule.
( )qi
iijk
i
theij
thej sdtt l∑∑ ==
( )0il
( )
n
nj
i
i
∑= 10
l
l (24)
Avec est la lenteur moyenne mesurée sur le ième rayons. La reconstruction algébrique a l’avantage de s’adapter avec n’importe quelle géométrie d’acquisition (parallèle ou éventail). Les modifications dues à la géométrie sont au niveau du calcul de la matrice, la méthode de résolution du système ne changeant pas.
il
119
ANNEXE 7
A.7. Propagation d’ondes élastiques dans le matériau bois
Dans cette annexe des données essentielles sont présentées sur comportement mécanique du matériau bois. Ensuite, le phénomène de propagation d’ondes élastiques est traité en simulant le bois à un matériau anisotrope à orthotropie cylindrique. L’anisotropie acoustique transverse du bois est détaillée en raison de son intérêt particulier en tomographie acoustique. A.7.1. Loi de comportement mécanique. Le bois est un matériau de structure hétérogène. En négligeant la conicité du tronc et l’excentricité des cernes de croissance, le bois peut être assimilé à un matériau anisotrope à orthotropie cylindre (Figure A.7.1). Tout point matériel M est repéré dans la grume par des coordonnées cylindriques (R,θ, z) auxquelles sont associées les vecteurs de base naturelle locale orthonormée suivant les directions radiale, tangentielle et longitudinale (er,eθ,ez). Le référentiel de symétrie orthotrope est défini par les directions d’anisotropie naturelle de la grume, la direction radiale R, la direction tangentielle T et la direction longitudinale L telle que (er,eθ,ez) forme un trièdre direct (Figure A.7.1).
Figure A.7.1 - Représentation géométrique du tronc idéal, repère global et repère local. Le comportement élastique linéaire d’un milieu continu subissant des faibles déformations, s’exprime d’une manière générale par une relation linéaire entre les composantes du tenseur des
120
contraintes et celles des déformations. Dans une base quelconque, on représente cette relation par la loi de Hooke dont l’expression est la suivante : (01) (02) εij
sont les composantes du vecteur déformation, σij sont les composantes du vecteur contrainte. Cijkl et Sijkl désignent respectivement les composantes du tenseur des rigidités élastiques et du tenseur des complaisances élastiques du quatrième ordre. Dans la base (er, eθ, ez) définis par les trois directions d’orthotropies du matériau bois (R, T, L) la loi de comportement s’écrit de la façon suivante :
(03)
Avec les symétries suivantes :
klijklij C ε=σ
klijklij S σ=ε
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
τττσσσ
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
γγγεεε
RT
RL
TL
L
T
R
RT
RL
TL
L
T
R
66
55
44
333231
232221
131211
SS0
SSSS
0SSSSSS
323231132112 SS,SS,SS === La loi de comportement exprimée en termes de souplesses est donnée directement en termes de grandeurs techniques sous la forme :
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
τττσσσ
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
ν−ν−ν−ν−ν−ν−
=
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
γγγεεε
RT
RL
TL
L
T
R
RT
RL
TL
LLLTLLR
TTLTTRT
LRLRTRR
RT
RL
TL
L
T
R
GG
GEEE
EEEEEE
/1/10
/1/1//
0//1////1
(04)
Eij sont les modules de Young, νij sont les coefficients de Poisson et Gij sont les modules de cisaillement. Ces grandeurs, peuvent être déterminées par des essais de compression, de traction ou par essais de vibrations.
avec T
TR
R
RT
EEν
=ν
,L
LR
R
RL
EEν
=ν
,L
LT
T
TL
EEν
=ν
(05)
Les fibres sont orientées suivant la direction longitudinale, la rigidité est plus importante dans cette direction que dans les deux directions transverse. Le matériau est orthotrope la rigidité dans la direction radiale est de l’ordre de 1.5 fois la rigidité dans la direction tangentielle. Cette
121
différence est due à l’organisation de la structure cellulaire dans la direction tangentielle et radiale, la présence des rayons ligneux qui renforcent la structure dans la direction radiale en particulier chez les résineux [Persson (2000)] A.7.2. Influence des paramètres physiques L’humidité, la température et la densité influencent fortement le comportement mécanique du matériau bois. L’augmentation de l’humidité entraîne une augmentation des modules d’élasticités et de cisaillements jusqu’à 5% puis une diminution jusqu’au point de la saturation des fibres PSF. Au-delà du PSF les modules d’élasticités et de cisaillements restent pratiquement constants, tandis que les coefficients de Poisson diminuent avec la diminution de l’humidité (Figure A.7.2).
Figure A.7.2 - Influence de l’humidité du bois sur le module d’élasticité, les modules de
rigidité et les coefficients de Poisson d’après [Kollmann et Côté 1968].
La densité du bois est parmi les paramètres ayant une grande influence sur les caractéristiques mécaniques. Des modèles empiriques liant ce paramètre à chaque caractéristique mécanique ont été proposées par [Guitard (1983 et 1987)], et ce en connaissant la nature bu bois (feuillus ou résineux) et sa densité à un taux d’humidité de 12%.
122
Tableau A.7.1 - Modèles prévisionnels du comportement tridimensionnel élastique du matériau bois [Guitard (1983 et 1987)]. Feuillus
(ρ, h= 12%) Résineux
(ρ, h= 12%)
Feuillus standard h = 12%
ρ0 = 0,65g/cm3
(MPa)
Résineux standard h = 12%
ρ0 = 0,45g/cm3
(MPa) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ρρ
= −−
0
11ijij SS ( )0
11 ρ−ρ+= −− bSS ijij
30.1
65.01800 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ρ ( )45.023701000 −ρ+ RES =−1
11 1000 1800
74.1
65.01030 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ρ ( )45.01910636 −ρ+ TES =−1
22 636 1030
03.1
65.014400 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ρ ( )45.04170013100 −ρ+ LES =−1
33 14400 13100
TR
T
RT
R EESν
=ν
=− −112
41.1
65.02680 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ρ ( )45.052802050 −ρ+ 2050 2680
TL
T
LT
L EESν
=ν
=− −123
09.1
65.031200 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ρ ( )45.010100030800 −ρ+ 31200 30800
913.0
65.037300 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ρ
LR
L
RL
R EESν
=ν
=− −131
( )45.011700034200 −ρ+ 34200 37300
126
65.0971 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ρ ( )45.0989745 −ρ+ TLGS =−1
44 745 971
14.1
65.01260 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ρ ( )45.02080861 −ρ+ RLGS =−1
55 1260 861
74.1
65.0366 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ρ ( )45.02236.83 −ρ+ RTGS =−1
66 366 83.6
L’influence de la température sur le module de Young radial est étudiée par [Norimoto et Gril (1989)] sur trois types de bois, ils ont constatés que le module radial diminue en fonction de la température en comparaison avec les valeurs du module "sec à l’air" (Figure A.7.3). En effet, les lignines, responsables sur la rigidité du matériau bois, possèdent à température ambiante un comportement vitreux qui devient caoutchoutique au delà d’une certaine température appelée température de transition vitreuse [Gril (1997)].
123
124
Figure A.7.3 - Influence de la température sur le module d’élasticité radial d’un feuillus tempéré (a, Katsura) d’un feuillus tropical (b, Kapur) et d’un résineux (c, Akaezomatsu). aB0 B, bB0 B, cB0 B- sec à l’air (20 °C), aB1B, bB1 B, cB1 B- saturé par immersion dans l’eau de 20 à 90 °C ; aB2 B, bB2 B- immersion dans l’éthylène glycol de 20 à 130 °C ; d’après [Norimoto et Gril (1989)]. A.7.3. Propagation des ondes élastiques dans le matériau homogène. Une onde acoustique se propage dans un matériau grâce à la vibration locale des particules autour de leur point d’équilibre. Le matériau sert alors de support pour la transmission de l’onde. Pour un composite naturel tel que le matériau bois, le phénomène de propagation est fonction des modes de vibration de la microstructure et est directement influencée par leur état physique (humidité, température et densité). Une onde plane progressive se propage dans un matériau homogène avec la vitesse de phase définit part λ=ω= // fkVp ; où ω : la pulsation, k : le nombre d’onde, f : la fréquence, λ : la longueur d’onde. La vitesse de groupe VBgB est la vitesse de propagation d’un paquet d’onde concentré sur le nombre d’onde k. La relation entre la vitesse de phase et celle du groupe est donnée par :
dkdVgω
= (06)
Dans un milieu infini, la vitesse de l’onde est indépendante de la fréquence. Lorsque le milieu de propagation est homogène et illimité, en particulier lorsque la variation des propriétés est de l’ordre de la longueur de l’onde, l’onde peut être réfléchie partiellement ou totalement. Il en résulte des phénomènes de dispersions liés à la géométrie du corps et d’atténuation liés aux comportements viscoélastiques du matériau. Le comportement viscoélastique d’un matériau se traduit par une relation entre la vitesse de propagation et la fréquence des vibrations, c’est un phénomène d’atténuation. La vitesse de propagation augmente avec l’augmentation de la fréquence [Niemz et Kucera (1998), Ouis (1999)]. Les études expérimentales de la propagation des ondes acoustiques et élastiques dans le matériau bois utilisent la théorie de la dynamique des poutres dans le domaine des basses
125
fréquences. Le domaine des ultrasons est abordé pour la détermination des constants élastiques ou pour le contrôle non destructif des bois massif et des produits dérivés.
A.7.4. Propagation d’ondes élastiques dans le matériau bois. Le matériau bois est assimilé à un solide élastique, continu et à orthotropie cylindrique. La loi de comportement est donnée par : ijijklij C ε=σ (07) Considérons un volume élémentaire dv qui est localement en mouvement. L'équation élastodynamique en négligeant les forces exercées sur le volume est de la forme.
2
2
tudiv i
ij ∂∂
ρ=σ (08)
Avec t est le temps, ρ est la masse volumique et u le déplacement. L’équation du mouvement est donnée par un système de trois équations différentielles du second ordre à trois dimensions. Guitard (1983) a distingué neuf modes de propagation à partir du système d’équations d’équilibre dynamique d’un solide anisotrope à orthotropie cylindrique. Ces modes sont identifiés selon les trois directions d’anisotropie (radiale, tangentielle et axiale). Les vibrations élastiques se propagent dans les matériaux orthotropiques, dans une direction donnée, sous forme d’une onde longitudinale, et deux ondes transversales, dont les vitesses de phase sont fonction du tenseur d'élasticité et de la densité. En raison de la symétrie du matériau, les vibrations acoustiques se propagent le long de la direction longitudinale, tangentielle ou radiale, dans chacune des trois directions les trois types d’ondes peuvent être générées [Bucur (1986)]. L’onde de compression est la plus rapide, sa vitesse de propagation est toujours supérieure à la vitesse de propagation de l’onde de cisaillement. L’onde la plus dominante est celle qui se propage dans la direction de l’excitation, c’est une onde longitudinale pure. L’effet de l’onde de cisaillement est négligeable à une distance suffisamment grande du point de sollicitation. En tomographie acoustique, la variabilité acoustique dans le plan transverse présente un intérêt particulier. Dans le cas d’une propagation dans le plan transverse les composantes des champs des contraintes et des déformations sont donnée par :
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
τσσ
=σ
RT
TT
RR
et ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
γεε
=ε
RT
TT
RR
(09)
En coordonnées polaires, avec l’hypothèse des déformations planes, l’équation du mouvement est définit par :
126
( )
( ) 0,,,1
0,,,-∂∂
2
2
2
2
=∂
θ∂ρ−τ+
τ+
θ∂σ∂
=∂
θ∂ρ−
σσ+
θτ∂
+σ∂
θ
ttzru
rrr
ttzru
rrr
RTRTTT
rTTRRRTRR
(10)
Pour un matériau orthotrope, dans les plans de symétrie principaux, la loi du comportement élastique s’écrit sous la forme :
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
γεε
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
τσσ
RT
TT
RR
RT
TT
RR
CCCCC
33
2221
1211
0000
(11)
Par hypothèse 012 =C et 0=υij (effet de Poisson est négligeable).
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
γεε
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
τσσ
RT
TT
RR
RT
TT
RR
RT
TT
RR
GE
E
000000
(12)
En dehors des axes de symétrie (eBr B, eBθB), rotation suivant un angle ϕ.
ε=ε P* (13) σ=σ P* (14)
Si on considère P la matrice de rotation d’un angle ϕ du repère de (eBr B, eBθB) autour de l’axe de symétrie longitudinale eBzB est donnée par :
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ϕ−ϕϕϕϕϕ−ϕϕ−ϕϕ
ϕϕϕϕ=
22
22
22
sincoscossincossincossin2cossin
cossin2sincosP (15)
Si on injecte l’équation (13) et (14) dans la loi de comportement, on obtient :
*** ε=σ C avec 1* −= PCPC est la matrice de rigidité apparente suivant une orientation par rapport au plan de symétrie (eBr B, eBθB) En coordonnées polaires, les composantes du tenseur de déformation s’écrivent sous la forme :
127
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )r
tzθrur
tzθruθr
tzθru
tzθrurθr
tzθrur
tzθru
rRTRT
rTT
rRR
,,,,,,,,,2
,,,1,,,
,,,
θθ
θ
−∂
∂+
∂∂
=ε=γ
+∂
∂=ε
∂∂
=ε
(16)
Si on considère que ( )ruu rr = mouvement sans rotation, les composantes du tenseur de déformation se réduisent à :
( )
( )
0
1∂
=ε
=ε
∂=ε
RT
rTT
rRR
rur
rru
(17)
Le champ de contraintes s’écrit sous la forme :
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )rruC
rruC
rruC
rruC
rruC
rruC
r
rr
*32
*31
*22
*21
*12
*11
+∂
∂=τ
+∂
∂=σ
+∂
∂=σ
θ
θθ (18)
avec *ijklC sont les coefficients de la matrice rigidité apparente 1* −= PCPC ,
Si on injecte le système d’équation (10) dans l’équation du mouvement on obtient :
( ) 2
2
222
2 1∂
1∂ t
uurr
urr
u
r ∂∂
ϕ=
γ+
∂+
∂v
(19)
avec *11
*22
CC
=γ
On définit le coefficient la célérité de l’onde de compression suivant une orientation (ϕ).
( )ρ
ϕϕ+ϕ+ϕ=
ρ=ϕ
2244*11 sincos2sincos RTTR
r
GEECv (20)
En injectant l’expression de C* dans la vitesse de propagation on obtient :
( ) ϕ+ϕ+ϕ=ϕ 242R tan2tan1cos
R
RT
R
Tr E
GEE
vv (21)
Avec ρ
= RERv est la vitesse de propagation dans la direction radial.
128
Analytiquement, nous avons montré que la vitesse de propagation dans le plan transverse dépend de la vitesse de propagation radiale de référence, des constantes d’élasticité (EBR B, EBTB et GBRTB) et de l’angle d’orientation.